Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

Chapitre 2. Les équations du problème physique 61
où l, q (1) et q (1) sont des fonctions scalaires inconnues dépendantes de r et t.
Les expressions classiques des coefficients de corrélations longitudinales f(r) et transversales
g(r) sont :
u(x)u(x + r)
f(r, t) = R 11 (r, t) ≃
u ′2 (2.76)
g(r, t) = R 22 (r, t) ≃
v(x)v(x + r)
u ′2 (2.77)
où u ′ représente l’intensité des fluctuations de l’écoulement et vérifie la relation k = 3 2 u′2 avec k
la moyenne d’ensemble de l’énergie cinétique turbulente. Les représentations schématiques des
fonctions f et g sont données en figure 2.1.
f(r)
v(x)
g(r)
v(x+r)
A
u(x)
r
B
u(x+r)
A
r
B
Figure 2.1 – Corrélations longitudinales et transversales
Il est possible d’établir les équivalences entres les composantes des tenseurs de corrélations
et les expressions des coefficients de corrélations f et g. On utilise pour cela les équations (2.75)
et (2.77), de manière à obtenir :
2.2.4.3 Corrélations et incompressibilité
q (1) (r, t) = u
′2
f(r, t) − g(r, t)
r 2 (2.78)
q (2) (r, t) = u ′2 g(r, t) (2.79)
Si on considère désormais que les conditions d’homogénéité et d’isotropie sont couplées à
une évolution isovolume, les conditions (2.59) impliquent que les divergences des tenseurs P u ,i et
Q i,j sont nulles. Ces nouvelles propriétés font qu’en situation de THI isovolume, les corrélations
pression vitesse en deux points sont nulles avec :
P u i = 0 ∀i = 1, 2, 3 (2.80)
En ce qui concerne les corrélations doubles de vitesse, on prouve une relation entre les fonctions
scalaires q (1) et q (2) , en appliquant la condition d’incompressibilité (2.59) à l’expression de Q i,j
(2.75) :
4q (1) + r ∂q(1)
= 1 = 0 (2.81)
∂r r ∂r
Ces relations, dans les cas des échelles f(r) et g(r), permettent d’exprimer les relations de
Von-Kármán et Howarth en substituant dans l’équation (2.81) les équations (2.79) :
∂q (2)
g(r, t) = f(r, t) + r ∂f(r, t)
2 ∂r
(2.82)