Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

84 Chapitre 3. Présentation du code EVEREST
k 3
dκ
k 2
k 1
Équivalence numérique
k 2
k 3
k 1
Figure 3.9 – Maintien de la cohérence entre l’espace continu et l’espace discrétisé
On en déduit, pour tout point (κ 1 , κ 2 , κ 3 ) de l’espace spectral S, une relation entre le module
de la vitesse et le spectre de l’énergie turbulente :
‖ũ(κ 1 , κ 2 , κ 3 )‖ 2 = E(κ)
2πκ 2 ∆V κ (3.28)
√
où κ = κ 2 1 + κ2 2 + κ2 3 . À ce niveau, le module du champ de vitesse est connu. En tout point de
l’espace spectral, les phases liées aux vecteurs de vitesse spectrale sont tirées au sort, ce qui offre
la possibilité de générer des champs de vitesse turbulents différents pour un même spectre. Il
existe néanmoins une contrainte sur la phase qui devra être telle que la transformée de Fourier
inverse du champ de vitesse spectrale soit réelle. Les expressions des composantes du vecteur
vitesse spectrale (ũ 1 , ũ 2 , ũ 3 ) que l’on peut retrouver dans [55] s’écrivent :
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛ √
ũ 1 = ⎝ Γκκ 2 + Λκ 1 κ 3
√ ⎠ , ũ 2 = ⎝ −Γκκ 1 + Λκ 2 κ 3
√ ⎠ , ũ 3 = ⎝− Λ κ 2 1 + ⎞
κ2 2
⎠ (3.29)
κ κ 2 1 + κ2 2
κ κ 2 1 + κ2 κ
2
avec
Γ = Γ(κ 1 , κ 2 , κ 3 , α 1 , α 3 ) = ‖ũ(κ 1 , κ 2 , κ 3 )‖ exp(iα 1 ) cos(α 3 ) (3.30)
Λ = Λ(κ 1 , κ 2 , κ 3 , α 2 , α 3 ) = ‖ũ(κ 1 , κ 2 , κ 3 )‖ exp(iα 2 ) sin(α 3 ) (3.31)
Les phases α 1 , α 2 et α 3 sont choisies aléatoirement.
3.3.2 Passage des fluctuations spectrales dans le domaine physique
3.3.2.1 Présentation de la librairie FFTW
La librairie FFTW (Fastest Fourier Transform in the West) écrite en C permet de calculer
la Transformée de Fourrier Discrète (TFD) d’un signal complexe ou réel, quel que soit le nombre
de dimensions. Ainsi, la compilation de la transformation se déroule en deux phases :
– La première phase est appelée ”planner” : elle génère un plan qui indique à la machine
utilisée le moyen le plus rapide de calculer.