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Analyse complexe et harmonique<br />

Maillard Kenji<br />

19 août 2012<br />

Table <strong>de</strong>s matières<br />

1 Introduction aux fonctions harmoniques et holomorphes via les graphes 3<br />

1.1 Fonctions harmoniques discrètes et fonctions harmoniques conjuguées . . . . . . . . . . . . . 3<br />

1.2 Analogue continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />

I Fonctions holomorphes, fonctions analytiques 5<br />

2 Définitions, premières remarques 5<br />

3 Intégrale <strong>de</strong> contours et formule <strong>de</strong> Cauchy 6<br />

3.1 Définition d’intégrale le long <strong>de</strong> chemins dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />

3.2 Théorème <strong>de</strong> Gowsat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />

3.3 Conséquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />

3.4 Formule <strong>de</strong> Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />

3.5 Autres conséquences sympathiques <strong>de</strong> la formule <strong>de</strong> Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />

3.6 Suites <strong>de</strong> fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />

3.7 Zéros <strong>de</strong> fonctions holomorphes II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />

4 Tranformations conformes 18<br />

4.1 Introduction & définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />

4.2 Le théorème <strong>de</strong> Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />

4.3 Automorphismes conformes d’un domaine Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />

4.4 Rappels sur les (homographies) transformations linéaires du plan . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />

4.5 Introduction à la métrique hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />

5 Comportement au “bord” <strong>de</strong>s transformations conformes 26<br />

5.1 Cas <strong>de</strong>s polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />

5.2 Compléments (variés) sur les transformations conformes (& autres) . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />

5.2.1 Sphère <strong>de</strong> Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />

5.2.2 Singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />

5.2.3 Fonctions univalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />

5.2.4 Longueur extrémale et invariance conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />

6 Fonctions holomorphes et méromorphes sur C 33<br />

6.1 Rappels et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />

6.2 “Resommation” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />

6.3 Factorisation <strong>de</strong> fonctions entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />

6.4 Lien entre croissance d’une fonction entière et nombre <strong>de</strong> zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />

6.4.1 Rappels & intro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />

1


6.4.2 Résultats simple entre n(R) et C ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />

6.4.3 Théorème d’Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />

7 Fonctions Γ, ζ et applications 40<br />

7.1 Fonction Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />

7.1.1 Approche #1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />

7.1.2 Approche #2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />

7.2 Fonction ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />

7.2.1 Equation fonctionelle <strong>de</strong> la fonction ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />

page principale du <strong>cours</strong> : wen<strong>de</strong>lin.free.fr<br />

page du TD : www.math.ens.fr/ taibi<br />

Emploi du temps : partiel mercredi 21/3 ; pas <strong>cours</strong> lundi 26 ; mercredi 28 <strong>cours</strong> sur le Des Mathématiques<br />

2


1 Introduction aux fonctions harmoniques et holomorphes via les<br />

graphes<br />

1.1 Fonctions harmoniques discrètes et fonctions harmoniques conjuguées<br />

On se donne une fonction u : Z 2 → R. On dit que u est harmonique en x si u(x) = “la moyenne <strong>de</strong> u<br />

en les 4 voisins <strong>de</strong> x”. Si D est un ensemble <strong>de</strong> points connexes 2 à 2 <strong>de</strong> Z 2 , on dit que u : Z 2 → R est<br />

harmonique sur D si ∀x ∈ D, elle est harmonique en x.<br />

Remarque 1.1.1. Pour voir si u est harmonique en D, il faut connaître u sur D et sur ∂D = {x ∈ Z 2 :<br />

d(x, D) = 1}.<br />

Remarque 1.1.2. Une fonction harmonique sur D fini ne peut atteindre son maximum que sur ∂D, autrement<br />

dit si on se donne une fonction f : ∂D → R et si D est fini alors ∃!u : D ∪ ∂D → R harmonique dans D telle<br />

que u = f sur ∂D.<br />

Remarque 1.1.3. La fonction u minimise<br />

parmi les fonctions u qui coinci<strong>de</strong>nt avec f sur ∂D.<br />

E(u) = ∑ (u(x) − u(y)) 2<br />

x∼y<br />

x∈D<br />

Lorsque u est harmonique dans D et que D est “simplement connexe”, on définit l’ensemble <strong>de</strong>s faces<br />

F comme l’ensemble <strong>de</strong>s petits carrés dont les quatres sommets sont dans D ∪ ∂D. Il y a une structure <strong>de</strong><br />

graphe naturelle sur les faces. On dit que v : F → R est une fonction harmonique conjuguée à u si : ∀x, y<br />

voisins dans D, a, b sont les faces ayant x et y en commun et telles que angle( → xy, → ab) = 90 ◦ alors :<br />

v(b) − v(a) = u(y) − u(x)<br />

Remarque 1.1.4. Si v est une fonction harmonique conjuguée à u alors ∀c ∈ R la fonction v + c l’est aussi.<br />

On peut donc chercher s’il existe une fonction v harmonique conjuguée à u telle que v(a 0 ) = 0 pour un<br />

certain a 0 donné.<br />

On cherche alors ∀b ∈ F, v(b) pour v(a 0 ) = 0 et v harmonique conjuguée à u. La condition impose alors<br />

la valeur <strong>de</strong> v sur tout le chemin qui va <strong>de</strong> a 0 à b : Si elle existe, v est unique.<br />

Existence : Le problème <strong>de</strong> l’existence est que si l’on choisit 2 chemins différents <strong>de</strong> a 0 à b, on est pas<br />

certain d’arriver “au même résultat v(b)”.<br />

Remarque 1.1.5. Sur une boucle <strong>de</strong> longueur 4, l’incrément <strong>de</strong> v (sa somme) est nulle. C’est à dire que<br />

(v(x 0 ) − v(x 1 )) + (v(x 1 ) − v(x 2 )) + (v(x 2 ) − v(x 3 )) + (v(x 3 ) − v(x 0 )) = 0<br />

3


Si on considère <strong>de</strong>ux chemins γ 1 et γ 2 <strong>de</strong> a 0 à b, on peut compléter le “creux” entre les <strong>de</strong>ux chemins par<br />

<strong>de</strong>s boucles <strong>de</strong> longueurs 4 γ 1 − γ 2 = 0 d’où l’existence <strong>de</strong> v.<br />

Exercice 1.1.1. Avec les notations précé<strong>de</strong>ntes, montrer que :<br />

⊲ v est alors harmonique.<br />

⊲ u est une fonction harmonique conjuguée <strong>de</strong> −v.<br />

1.2 Analogue continu<br />

Soit Ω un ouvert connexe borné (sans trous) <strong>de</strong> R 2 . On dit qu’une fonction u ∈ C 2 dans Ω est harmonique<br />

si : ∀z ∈ Ω, ∆u(z) = 0 avec ∆u = ∂2 u<br />

∂x<br />

+ ∂2 u<br />

2 ∂y<br />

. 2<br />

Ce qui est équivalent à dire que la moyenne <strong>de</strong> u sur le cercle est nulle puisque :<br />

∂u<br />

u(x + h 1 , y + h 2 ) = u(x, y) + h 1<br />

∂x + h ∂u<br />

2<br />

∂y + 1 ∂ 2 u<br />

2 h2 1<br />

∂x 2 + 1 ∂ 2 u<br />

2 h2 2<br />

∂y 2 + o(||h||2 )<br />

Remarque 1.2.1. La moyenne <strong>de</strong> u sur un carré centré en z <strong>de</strong> largeur 2ɛ est u(z) + o(ɛ 2 ) lorsque u est<br />

harmonique.<br />

Définition 1.1. On dit que v est une fonction harmonique conjuguée à u si ∀z ∈ Ω :<br />

⊲ ∂v ∂u<br />

∂y<br />

(z) =<br />

∂x (z)<br />

⊲ ∂v<br />

∂u<br />

∂x<br />

(z) = −<br />

∂y (z)<br />

Si ∂v<br />

∂x = − ∂u<br />

∂y , alors sur un chemin γ 1 selon x (i.e. parallèlement à l’axe <strong>de</strong>s abscisses) on a :<br />

v(γ 1 (t 1 )) = v(z 0 ) +<br />

∫ t1<br />

0<br />

− ∂u<br />

∂y (γ 1(s)) ds<br />

avec z 0 = γ(0)<br />

Si v existe (avec v(z 0 ) = 0) alors il est unique. Pour l’existence, si γ est un lacet fermé, il faut montrer<br />

que l’intégrale <strong>de</strong>s “incréments <strong>de</strong> v” le long <strong>de</strong> ce lacet est nul. Pour cela on considére un petit lacet <strong>de</strong><br />

largeur ɛ et on montre que l’incrément et en o(ɛ 2 ). En dimension 2, si on pose F (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)<br />

alors si on fait le développement limité (comme dans R 2 )<br />

( ) ∂u<br />

F (z 0 + h) = F (z 0 ) +<br />

}{{}<br />

h<br />

∈C<br />

×<br />

∂x + i ∂v<br />

∂x<br />

} {{ }<br />

F ′ (z 0)<br />

(z 0 ) + o(h)<br />

4


Formellement, on obtient donc :<br />

F (z 0 + h) − F (z 0 )<br />

h<br />

h→0 dans C<br />

−−−−−−−→ F ′ (z 0 )<br />

Première partie<br />

Fonctions holomorphes, fonctions analytiques<br />

2 Définitions, premières remarques<br />

Soit Ω un ouvert dans C, z 0 ∈ Ω. On dit qu’une fonction F : Ω → C est holomorphe en z 0 si<br />

converge lorsque h → 0 dans C vers un nombre complexe que l’on note F ′ (z 0 ) :<br />

Attention : h → 0 dans C<br />

F (z 0 + h) = F (z 0 ) + hF ′ (z 0 ) + o(h)<br />

Remarque 2.0.2. Holomorphe en z 0 =⇒ continu en z 0<br />

Remarque 2.0.3. Si F est C 2 au voisinage <strong>de</strong> z 0 et F holomorphe alors si on pose F = u + iv<br />

( ∂u<br />

F (x 0 + iy 0 + x) = F (x 0 + iy 0 ) + x<br />

∂x + i ∂v )<br />

(x 0 + iy 0 ) + o(x)<br />

∂x<br />

( ) ∂u<br />

F (x 0 + iy 0 + iy) = F (x 0 + iy 0 ) + y<br />

∂y + i∂v (x 0 + iy 0 ) + o(y)<br />

∂y<br />

( ∂u<br />

d’où<br />

∂x + i ∂v )<br />

(z 0 ) = F ′ (z 0 ) = 1 ( ) ∂u<br />

∂x<br />

i ∂y + i∂v (z 0 )<br />

∂y<br />

=⇒ ∂u<br />

∂x = ∂v<br />

∂y ∧ ∂u<br />

∂y = − ∂v<br />

∂x<br />

F (z0+h)−F (z0)<br />

h<br />

Plus généralement : Si pour chaque η ∈ {z | |z| = 1}, on définit la dérivée directionnele <strong>de</strong> F dans la direction<br />

η par :<br />

∂F (<strong>de</strong>f) F (z 0 + ηh) − F (z 0 )<br />

= lim<br />

∂η h→0 h<br />

dans R<br />

Alors F holomorphe en z 0 =⇒ ∀η, F ′ (z 0 ) = 1 η<br />

Remarque 2.0.4.<br />

F (z 0 + h) = F (z 0 ) + h F ′ (z 0 ) +o(h)<br />

} {{ }<br />

ρe iθ<br />

Localement, « F » au premier ordre se comporte comme une similitu<strong>de</strong> au voisinage <strong>de</strong> z 0 .<br />

∂F<br />

∂η<br />

Définition 2.1. Une fonction F est holomorphe dans Ω si elle est holomorphe en tout point z 0 <strong>de</strong> Ω.<br />

Remarque 2.0.5. Si F est C 2 alors si on pose u = R(F ) et v = I(F ), on a vu que<br />

alors<br />

d’où<br />

∂u<br />

∂x = ∂v<br />

∂y<br />

et<br />

∂u<br />

∂y = − ∂v<br />

∂x<br />

∂ 2 u<br />

∂x 2 = ∂2 v<br />

∂y∂y et ∂2 u<br />

∂y 2 = − ∂2 v<br />

∂x∂y<br />

∂ 2 u<br />

∂x 2 + ∂2 u<br />

∂y 2 = 0<br />

5


Quelques exemples : Si F et G sont <strong>de</strong>ux fonctions holomorphes dans Ω alors<br />

– F + G l’est aussi (et (F + G) ′ = F ′ + G ′ )<br />

– F × G l’est aussi (et (F × G) ′ = F ′ × G + F × G ′ )<br />

– Si G ≠ 0 en tout point, F G est aussi holomorphe et ( )<br />

F ′<br />

G =<br />

F ′ G−F G ′<br />

G 2<br />

– l’application z ↦→ z est holomorphe<br />

– par conséquent tous les polynômes sont <strong>de</strong>s fonctions holomorphes sur C.<br />

– Toutes les fractions rationelles P (z)<br />

Q(z)<br />

sont <strong>de</strong>s fonctions holomorphes sur leur ensemble <strong>de</strong> définition.<br />

– Si F (z) = ∑ (<br />

) −1<br />

n≥0 a nz n avec R := lim sup n |a n | 1 n ≥ 1 alors F est holomorphe dans le disque unité<br />

U = {z | |z| < 1}. Plus généralement F est holomorphe sur le disque ouvert <strong>de</strong> rayon R.<br />

Preuve 2.1. On veut montrer que si z 0 ∈ U, F est holomorphe en z 0 .<br />

On pose ˜F (z 0 ) = ∑ n≥0 na nz n−1<br />

0<br />

∑<br />

n≥0<br />

Remarque 2.0.6. ˜F (z0 ) est bien définie.<br />

On veut montrer que<br />

∑<br />

n≥0<br />

a n (z 0 + h) n − a n z n 0<br />

h<br />

a n<br />

[ (z0 + h) n − z n 0<br />

h<br />

h→0 dans C<br />

−−−−−−−−→ •<br />

]<br />

− nz0<br />

n−1 h→0 dans C<br />

−−−−−−−−→ 0<br />

Idée : on fixe ɛ > 0 alors ∃N, ∀h petit tel que D(z 0 , |h|) ⊂ D(0, R)<br />

∑<br />

[ (z0 + h) n − z n ] ∣ 0 ∣∣∣∣ a n − nz0<br />

n−1 ≤ ɛ<br />

∣<br />

h<br />

et ensuite pour ce N donné, ∃h 0<br />

n≥N<br />

∣ ∣∣∣∣∣ N ∑<br />

n≥0<br />

a n<br />

[ (z0 + h) n − z n 0<br />

h<br />

] ∣ ∣∣∣∣<br />

− nz0<br />

n−1 ≤ ɛ<br />

pour tout |h| ≤ h 0 .<br />

Conclusion : Une série entière ∑ n≥0 a nz n est holomorphe sur son disque <strong>de</strong> convergence.<br />

3 Intégrale <strong>de</strong> contours et formule <strong>de</strong> Cauchy<br />

3.1 Définition d’intégrale le long <strong>de</strong> chemins dans C<br />

Supposons que γ est une fonction C 1 <strong>de</strong> [0; T ] → C. On se donne f une fonction continue sur un voisinage<br />

<strong>de</strong> l’image <strong>de</strong> γ([0; T ]). On définit<br />

∫<br />

«<br />

γ<br />

f(z) dz » (<strong>de</strong>f)<br />

=<br />

∫ T<br />

0<br />

f(γ(s)) · γ ′ (s)<br />

} {{ }<br />

∈ C<br />

ds<br />

6


Remarque 3.1.1. Si on change la paramétrisation <strong>de</strong> γ, c’est à dire si φ est une bijection croissante C 1 <strong>de</strong><br />

[0; S] → [0; T ] et on pose ˜γ(s) = γ(φ(s)). Alors<br />

∫<br />

˜γ<br />

f(z) dz =<br />

=<br />

t = φ(s) → =<br />

∫ S<br />

0<br />

∫ S<br />

0<br />

∫ T<br />

0<br />

f(γ(φ(s))) · ˜γ ′ (s) ds<br />

f(γ(φ(s))) · γ ′ (φ(s))φ ′ (s) ds<br />

f(γ(t)) · γ ′ (t) dt<br />

Conclusion : ∫ f(z) dz ne dépend pas <strong>de</strong> la paramétrisation choisie par γ.<br />

γ<br />

Cas particulier : γ(0) = γ(T ) =⇒ « γ est un lacet »<br />

Si γ est C 1 par morceaux, la définition <strong>de</strong> ∫ f(z) dz se généralise aisément. (On intégre sur chaque morceaux)<br />

γ<br />

Remarque 3.1.2. Supposons que F est une fonction holomorphe dans Ω telle que z ↦→ F ′ (z) soit continue sur<br />

Ω, on note alors f = F ′ alors ∀γ chemin Cpm 1 à valeurs dans Ω et d’extrémités a et b<br />

∫<br />

γ<br />

f(z) dz = F (b) − F (a)<br />

Preuve 3.1.<br />

∫<br />

f(z) dz =<br />

γ<br />

=<br />

∫ S<br />

0<br />

∫ S<br />

0<br />

F ′ (γ(s))γ ′ (s) ds<br />

(F ◦ γ) ′ (s) ds ← dérivée <strong>de</strong> fonctions composées<br />

= F (γ(S)) − F (γ(0)) ← intégration réelle<br />

= F (b) − F (a)<br />

Conséquence : Si γ est un lacet dans Ω alors ∫ γ f(z) dz = 0 si f = F ′ est continue dans Ω (avec f et F<br />

holomorphes).<br />

Attention : il existe <strong>de</strong>s fonctions f holomorphes et <strong>de</strong>s lacets γ tels que ∫ f(z) dz ≠ 0.<br />

γ<br />

Exemple : γ est une paramétriqation du cercle unité : t ↦→ e it et f(z) = 1 z<br />

. On a alors :<br />

∫<br />

γ<br />

∫<br />

dz 2π<br />

z = ie it dt<br />

0 e it = 2iπ ≠ 0<br />

Le but du prochain paragraphe sera pourtant <strong>de</strong> voir que si γ est un lacet sans point double et si f est<br />

holomorphe sur Ω qui contient γ « et tout l’intérieur <strong>de</strong> γ » alors ∫ f(z) dz = 0.<br />

γ<br />

3.2 Théorème <strong>de</strong> Gowsat<br />

On se donne un triangle T orienté et une fonction f holomorphe sur un voisinage <strong>de</strong> T ∪ { l’intérieur <strong>de</strong><br />

T } (f holomorphe sur Ω ouvert qui contient Z où Z est la surface du triangle). Alors<br />

Théorème 3.1. ∫ T f(z)dz = 0 7


Preuve 3.2. Par l’absur<strong>de</strong>, supposons que ∫ T f(z)dz ≠ 0. On divise T en 4 triangles T 1 , T 2 , T 3 , T 4<br />

∫<br />

∫<br />

∫<br />

∫<br />

∫<br />

f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz + f(z) dz + f(z) dz<br />

T<br />

T 1 T 2 T 3 T ∫<br />

∣∫ ∣ 4 =⇒ ∃j ∈ {1, 2, 3, 4},<br />

∣ f(z) dz<br />

f(z) dz ∣ ≥<br />

T 4<br />

j<br />

∥ ∫ f(z) dz<br />

T ∣<br />

1<br />

4<br />

.<br />

On note T 1 ce triangle. On divise T 1 en 4 triangles, et l’un <strong>de</strong>s 4 (noté T 2 ) vérifie ∣ ∫ T 2<br />

f(z) dz∣ ≥<br />

Par récurrence, il existe une suite <strong>de</strong> triangles emboités (T n ) n telle que :<br />

le périmètre <strong>de</strong> T n = 1<br />

2<br />

× périmètre <strong>de</strong> T .<br />

n<br />

l’aire <strong>de</strong> T n = 1<br />

4<br />

× aire <strong>de</strong> T .<br />

n<br />

l’aire <strong>de</strong> T n = 1<br />

4<br />

× aire <strong>de</strong> T .<br />

n<br />

– ∣ ∫ T n<br />

f(z) dz∣ ≥ 1 4<br />

∣ ∫ ∣∫<br />

T n−1<br />

f(z) dz∣ ≥ . . . ≥ 1<br />

4 n T f(z) dz∣ ∣<br />

T n est une suite <strong>de</strong> fermés emboités dont le « rayon » tend vers 0 donc ∃z 0 ∈ ⋂ n T n.<br />

On sait que diamètre T n ≤ cste<br />

2<br />

et donc ∀z ∈ T n n , |z − z 0 | ≤ cste<br />

2<br />

. On sait que f est holomorphe en z n 0<br />

donc lorsque z −→ C z 0<br />

f(z) = f(z 0 ) + (z − z 0 )f ′ (z 0 ) + o(z − z 0 )<br />

∫<br />

∫<br />

f(z) dz =<br />

T n<br />

T n<br />

f(z 0 ) dz<br />

} {{ }<br />

=0<br />

∫<br />

+<br />

T n<br />

(z − z 0 )f ′ (z 0 ) dz<br />

} {{ }<br />

=0<br />

∫<br />

∣ ∣∣∣ ∣ f(z) dz<br />

∣ = ‖z − z 0 ‖ · R(z − z 0 ) dz<br />

∣<br />

T n<br />

∫T n<br />

∫<br />

+ ‖z − z 0 ‖ · R(z − z 0 ) dz<br />

T n<br />

≤ cste<br />

2 n × Périmètre(T n) × MANQUEQUELQUECHOSE<br />

≤ cste<br />

4 n u n<br />

8


avec R(z − z 0 ) −−−→<br />

z→z 0<br />

0.<br />

Or par construction<br />

∫<br />

∣∫<br />

∣ f(z) dz<br />

∣ ≥ T f(z) dz∣ ∣<br />

T n<br />

4 n<br />

On a donc une contradiction car alors<br />

cste<br />

4 n u ∣ ∫ T<br />

n ≥<br />

f(z) dz∣ ∣<br />

4 n<br />

Remarque 3.2.1. Si R est un rectangle orienté dont l’intérieur est contenu aussi dans un ouvert Ω et si f est<br />

holomorphe dans Ω alors ∫ f(z) dz = 0 (il suffit <strong>de</strong> couper le rectangle en <strong>de</strong>ux triangles).<br />

R<br />

3.3 Conséquence<br />

Supposons que f est holomorphe dans un disque D(0, r). On va fabriquer une fonction F holomorphe<br />

dans D(0, r) telle que F ′ = f. A chaque z 1 ∈ D(0, r) on associe le chemin γ z1 <strong>de</strong> 0 à z 1 comme sur le schéma<br />

2 et on pose :<br />

∫<br />

F (z 1 ) = f(z) dz<br />

γ z 1<br />

Alors<br />

car<br />

∫<br />

F (z 1 + h) − F (z 1 ) = f(z) dz<br />

∫<br />

∫<br />

f(z) dz = 0 et<br />

˜γ<br />

ˆγ<br />

[z 1;z 1+h]<br />

f(z) dz = 0<br />

∫<br />

F (z 1 + h) − F (z 1 ) =<br />

[z 1;z 1+h]<br />

∫<br />

= hf(z 1 ) +<br />

(f(z 1 ) + R(z)) dz avec R(z) −−−→ z→z1<br />

0<br />

[z 1;z 1+h]<br />

R(z) dz<br />

9


Or ∣ ∫ ∣ ∣∣<br />

[z R(z) dz 1;z 1+h] ≤ ‖h‖ maxD(0,r) R<br />

Donc<br />

F (z 1 + h) − F (z 1 ) h∈C→0<br />

−−−−−→ f(z 1 )<br />

h<br />

Conclusion : f est continue et est la dérivée d’une autre fonction holomorphe F dans D(0, r) =⇒ ∀γ lacet<br />

(C 1 par morceaux) inclus dans le disque alors<br />

∫<br />

f(z) dz = 0<br />

γ<br />

Résumé ∫ : si f est holomorphe dans un disque D(z 0 , r) alors ∀γ lacet (C 1 par morceaux) inclus dans ce disque<br />

f(z) dz = 0.<br />

γ<br />

Supposons maintenant que f est holomorphe dans un domaine D(z 1 , R) \ D(z 0 , r) (en fait f est holomorphe<br />

sur un voisinage <strong>de</strong> cet ensemble). On définit γ 1 le bord extérieur et γ 2 le bord intérieur (cf schéma 5).<br />

Théorème 3.2. Alors :<br />

∫<br />

∫<br />

f(z) dz = f(z) dz<br />

γ 1 γ 2<br />

Preuve 3.3. On divise D(z 1 , R) \ D(z 0 , r) en plein <strong>de</strong> parcelles disjointes <strong>de</strong> diamètre <<br />

schéma 6) et avec <strong>de</strong>s bords C 1 par morceaux.<br />

ɛ<br />

10<br />

chacune (cf<br />

Pour chaque parcelle, f est holomorphe dans un disque qui contient cette parcelle donc ∫ f(z) dz =<br />

contour <strong>de</strong> la parcelle<br />

0. On somme sur toutes les parcelles (cf schéma 7). Tout se simplifie sauf les contributions <strong>de</strong> γ 1 et γ 2 .<br />

=⇒<br />

∫<br />

f(z) dz =<br />

γ 1 ∫<br />

f(z) dz<br />

γ 2<br />

10


3.4 Formule <strong>de</strong> Cauchy<br />

Théorème 3.3. Supposons que f est holomorphe sur un voisinage d’un disque D = D(z 0 , R). Soit a ∈ D.<br />

Soit γ le bord du disque orienté directement. Alors :<br />

f(a) = 1 ∫<br />

f(z)<br />

2iπ z − a dz<br />

Preuve 3.4. Soit a fixé dans D(z 0 , R). La fonction z ↦→ f(z)<br />

z−a est holomorphe sur un voisinage <strong>de</strong> D(z 0, R) \<br />

D(a, r) (pour tout r donné). On applique le résultat précé<strong>de</strong>nt à cette fonction ˜f(z) = f(z)<br />

z−a<br />

∫<br />

∫<br />

˜f(z) dz = ˜f(z) dz<br />

γ<br />

γ<br />

C(a,r) +<br />

∫<br />

C(a,r) +<br />

∫<br />

f(z)<br />

2π<br />

z − a dz =<br />

=<br />

0<br />

∫ 2π<br />

0<br />

f(a + re it ).ire it<br />

dt<br />

re it<br />

if(a + re it ) dt<br />

= 2iπ × Moyenne <strong>de</strong> f sur C(a, r) +<br />

r→0<br />

−−−→ 2iπf(a)<br />

car f continue en a<br />

Conclusion : La donnée <strong>de</strong> f sur γ caractérise complétement la donnée <strong>de</strong> f dans « l’intérieur <strong>de</strong> γ »<br />

On peut voir le résultat précé<strong>de</strong>nt comme une intégrale à paramètre. De plus, a étant dans l’intérieur du<br />

disque, ∃ɛ > 0, ∀z ∈ γ, |z − a| ≥ ɛ.<br />

Conséquence :<br />

11


– Soit a ∈ D, et h avec ‖h‖ petit<br />

f(a + h) − f(a)<br />

h<br />

= 1 ∫<br />

2iπ<br />

= 1 ∫<br />

2iπ<br />

γ<br />

γ<br />

f(z)<br />

h<br />

[<br />

1<br />

z − a − h − 1 ]<br />

dz<br />

z − a<br />

dz<br />

f(z)<br />

(z − a)(z − a − h)<br />

∫<br />

1<br />

dz<br />

f(z)<br />

2iπ (z − a) 2<br />

(Convergence dominée)<br />

−−−−−−−−−−−−−−→<br />

h→0<br />

} {{ }<br />

intégrale unidimensionnelle<br />

γ<br />

Donc<br />

– De même on montre que<br />

∀a ∈ D, f ′ (z) = 1 ∫<br />

f(z)dz<br />

2iπ γ (z − a) 2<br />

f ′ (a + h) − f ′ (a)<br />

h<br />

h→0<br />

−−−→ 2 ∫<br />

2iπ γ<br />

– Si f est holomorphe dans un ouvert Ω alors f ′ l’est aussi.<br />

– On a<br />

f (n) = n! ∫<br />

f(z)dz<br />

2iπ (z − a) n+1<br />

γ<br />

f(z)dz<br />

(z − a) 3<br />

Théorème 3.4. (De Morera) Si f est une fonction continue dans un disque D telle que ∀T triangle ⊂ D<br />

∫<br />

f(z)dz = 0<br />

alors f est holomorphe.<br />

Preuve 3.5. On définit ∀Z ∈ D, F (Z) = ∫ T Z<br />

f(z)dz (cf schéma 9) alors F est holomorphe<br />

et F ′ = f =⇒ f est holomorphe car dérivée d’une fonction holomorphe.<br />

T<br />

(<br />

F (Z+h)−F (Z)<br />

h<br />

)<br />

h→0<br />

−−−→ f(Z)<br />

∫<br />

On se donne f holomorphe au voisinage du disque D et on sait qu’alors ∀a ∈ D, f(a) = 1 f(z)dz<br />

2iπ γ z−a .<br />

12


Supposons pour commencer que le centre du disque est 0 et que D a pour rayon R. Alors<br />

f(a) = 1 ∫<br />

f(z)dz<br />

2iπ γ z(1 − a z )<br />

= 1 ∫<br />

f(z) ∑ ( a<br />

) n<br />

dz<br />

2iπ γ z z<br />

n≥0<br />

= 1 ∫ 2π<br />

f(Re it )iRe it ∑ ( a<br />

) n<br />

2iπ 0 Re it Re it dt<br />

n≥0<br />

} {{ }<br />

|·|≤sup γ |f| ∑ ( |a|<br />

R ) n<br />

= 1 ∑<br />

∫<br />

f(z)a n<br />

2iπ<br />

n≥0<br />

γ z n+1 dz<br />

= ∑ ( ∫ )<br />

1 f(z)<br />

2iπ<br />

n≥0<br />

γ z n+1 dz a n<br />

} {{ }<br />

|·|≤ sup γ |f|<br />

R n<br />

Conclusion : f(a) = ∑ n≥0 A ∫<br />

na n avec A n = 1 f(z)dz<br />

2iπ γ z<br />

=⇒ f est en fait une série entière <strong>de</strong> rayon <strong>de</strong><br />

n+1<br />

convergence ≥ R. De même si le centre z 0 du disque n’est pas 0 :<br />

∀a ∈ D, f(a) = ∑ ( ∫<br />

)<br />

1 f(z)dz<br />

2iπ<br />

n≥0<br />

γ (z − z 0 ) n+1 (a − z 0 ) n<br />

Remarque 3.4.1. On dit qu’une fonction f définie sur un ouvert Ω est analytique si ∀D disque D(z 0 , R) ⊂ Ω, f<br />

s’ecrit comme une série entière au voisinage <strong>de</strong> z 0 . Avec cette définition on vient <strong>de</strong> voir que f est holomorphe<br />

dans Ω ⇐⇒ f est analytique dans Ω.<br />

Récapitulatif : On a équivalence entre :<br />

– f est holomorphe dans D disque<br />

– f est une série entière qui converge dans D<br />

– f continue et ∀T triangle ∫ T f(z)dz = 0<br />

– f = u + iv où u et v sont <strong>de</strong>s fonctions harmoniques conjuguées.<br />

3.5 Autres conséquences sympathiques <strong>de</strong> la formule <strong>de</strong> Cauchy<br />

Théorème 3.5. Si f est une fonction holomorphe dans Ω ouvert connexe et s’il existe une suite z k dans Ω<br />

qui converge vers z ∞ (/∈ {z k , k ≥ 0}) dans Ω avec ∀k, f(z k ) = 0 alors f = 0.<br />

Conséquence : Si Ω est connexe ouvert, f et g <strong>de</strong>ux fonctions holomorphes dans Ω qui sont égales dans<br />

un petit disque D ⊂ Ω alors f = g dans Ω.<br />

Preuve 3.6. (<strong>de</strong> la conséquence) f − g est holomorphe dans Ω, on a une suite z k qui converge dans D et<br />

(f − g)(z k ) = 0 =⇒ f − g = 0. C’est l’unicité du prolongement analytique (s’il existe).<br />

Autre formulation : Si Ω est un ouvert connexe et si z k est une suite <strong>de</strong> points distincts dans Ω qui<br />

convergent vers un point z ∞ ∈ Ω, alors ∀(f k ) k≥0 suite dans C, il existe au plus une fonction analytique dans<br />

Ω telle que ∀k, f(z k ) = f k<br />

Preuve 3.7. 1ère étape :<br />

On montre que f = 0 au voisinage <strong>de</strong> z ∞ . Supposons que f n’est pas nulle au voisinage <strong>de</strong> z ∞ , comme on<br />

13


sait que f est analytique au voisinage <strong>de</strong> z ∞ , on a ∀z proche <strong>de</strong> z ∞ , f(z) = ∑ n≥0 a n(z − z ∞ ) n et comme<br />

f ≠ 0, ∃n, a n ≠ 0. Soit n 0 le plus petit n avec a n non nul alors<br />

f(z) = a n (z − z ∞ ) n0 [1 + o(1) ]<br />

}{{}<br />

−−−→ 0<br />

z→z 0<br />

∃ρ tel que ∀z |z − z ∞ | < ρ |”o(1)”| ≤ 1 2 et alors |f(z)| ≥ |a n 0<br />

| · |z − z ∞ | n0 1<br />

2 et donc ∀z ∈ D(z ∞, ρ) \ z ∞ ,<br />

f(z) ≠ 0 ce qui contredit l’hypothése (car dans ce disque il y a <strong>de</strong>s z k ).<br />

2ème étape :<br />

On note Ω ′ = {a ∈ Ω | ∃voisinage <strong>de</strong> z sur lequel f = 0} On sait que Ω ′ est ouvert par définition, l’étape 1<br />

montre que si z k −→ z ∞ avec z k ∈ Ω ′ et z ∞ ∈ Ω alors z ∞ ∈ Ω ′ donc Ω ′ est fermé. =⇒ Ω ′ = Ω car Ω est<br />

connexe et Ω ′ ≠ ∅ (cf étape 1).<br />

Résultat plus anecdotique :<br />

Théorème 3.6. Si f est une fonctionholomorphe sur C tout entier et qui est bornée (∃M < ∞ : ∀z ∈ C, |f(z)| ≤ M)<br />

Alors f est constante.<br />

On peut faire une analogié avec les polynomes ( « polynômes infinis »).<br />

Preuve 3.8. Soit z 0 ∈ C, R > 0 (grand), alors comme f est holomorphe sur C tout entier, si γ R dénote le<br />

cercle <strong>de</strong> centre z 0 et <strong>de</strong> rayon R « orienté », on a :<br />

f ′ (z 0 ) = 1 ∫<br />

f(z)dz<br />

2iπ (z − z 0 ) 2<br />

donc<br />

|f ′ (z 0 )| ≤ 1 ∫ 2π<br />

sup γR<br />

|f| · Rdt<br />

2π 0 R 2 = sup γ R<br />

|f|<br />

≤ M R→∞<br />

−−−−→ 0<br />

R R<br />

Conclusion : f ′ (z 0 ) = 0 Ceci est vrai ∀z 0 =⇒ f ′ = 0 =⇒ f = cste<br />

Remarque 3.5.1. Dans cette preuve on a utilisé une majoration <strong>de</strong> |f ′ (z 0 )| due à la formule <strong>de</strong> Cauchy. On<br />

peut démontrer immédiatement <strong>de</strong> façon analogue que si f est holomorphe sur un voisinage <strong>de</strong> D(z 0 , R)<br />

alors<br />

sup γR<br />

f<br />

γ R<br />

|f (n) | ≤ 1 n! R n<br />

Par ailleurs, si |f| est minorée par un ɛ > 0 sur D(0, 1). Donc (exo) f est bornée sur C (il suffit <strong>de</strong><br />

1<br />

considérer<br />

f( 1 z<br />

)).<br />

Conclusion f est constante<br />

3.6 Suites <strong>de</strong> fonctions holomorphes<br />

a) On suppose que (f n ) est une suite <strong>de</strong> fonctions holomorphes sur un même voisinage du disque unité<br />

D = D(0, 1) [ = ∃epsilon : ∀nf n est holomorphe sur D(0, 1 + 2ɛ) ]. On suppose qu’il existe M > 0 tel que<br />

∀z ∈ D(0, 1 + ɛ), ∀n, |f n (x)| ≤ M<br />

Théorème 3.7. Alors ∃n k ↗ strictement (⇐⇒ f nk sous-suite <strong>de</strong> (f n )), ∃f holomorphe tels que f nk (0, 1) D f<br />

et f ′ n k<br />

(0, 1) D f ′ et f ′′<br />

n k<br />

(0, 1) D f ′′ , etc...<br />

Notion <strong>de</strong> convergence pour les fonctions :<br />

– 1er ingrédient : Étant donné f n : [0; 1]− > [0; 1], on peut trouver une sous-suite n 1 (k) telle que f n1(k)(0)<br />

converge (but compact). Puis on peut à nouveau extraire une sous-suite n 1 (n 2 (k)) telle que f n1(n 2(k))(1)<br />

converge. Ainsi <strong>de</strong> suite, étant donné une suite <strong>de</strong>nse (x k ) dans [0; 1] (source séparable), on peut définir<br />

une extraction N k (k) = n 1 (n 2 (. . . n k (k) . . .)) telle que ∀x j , f Nk (x j ) converge.<br />

14


– 2nd ingrédient : l’Équicontinuité<br />

(f n ) est équicontinue si ∀ɛ > 0, ∃δ, ∀n, ∀x, ∀y, |x − y| ≤ δ =⇒ |f n (x) − f n (y)| < ɛ<br />

Preuve 3.9. Soit γ le cercle <strong>de</strong> centre 0 et <strong>de</strong> rayon 1 + ɛ orienté positivement. On fait la convergence en<br />

<strong>de</strong>ux étapes<br />

– d’abord sur le cerle<br />

– puis on « remplit » le disque<br />

On choisit γ ′ le cercle <strong>de</strong> centre 0 et <strong>de</strong> rayon 1 + ɛ 2<br />

. On sait que :<br />

1. La suite <strong>de</strong> fonction f n restreinte à γ ′ est une suite <strong>de</strong> fonctions continues, bornées par M.<br />

2.<br />

car<br />

∀z ∈ γ ′ , ∀n, |f ′ n(z)| ≤<br />

∫<br />

f n(z) ′ =<br />

γ<br />

M<br />

( n 2 )2<br />

1 f(z ′ )dz ′<br />

2π (z ′ − z) 2<br />

Conclusion : ∃N k ↗ une suite, ∃g une fonction continue sur γ ′ telle que f ′ Nk → +∞ γ <br />

<br />

g<br />

Mais alors, par convergence dominée : ∀a ∈ D(0, 1)<br />

∫<br />

∫<br />

f Nk dz k→+∞ g(z)dz<br />

−−−−→<br />

z − a<br />

γ z − a<br />

′<br />

et plus généralement :<br />

∫<br />

γ ′<br />

γ ′<br />

f Nk dz<br />

(z − a) 2 k→+∞<br />

−−−−→<br />

f Nk<br />

<br />

f (n)<br />

N k<br />

<br />

∫<br />

1<br />

2iπ<br />

∫<br />

1<br />

2iπ<br />

γ ′<br />

γ ′<br />

∫<br />

γ ′<br />

g(z)dz<br />

z − ·<br />

g(z)dz<br />

(z − a) 2<br />

:= f(·)<br />

g(z)dz<br />

:= f(·)<br />

(z − ·)<br />

n+1<br />

Il faut encore montrer que f est une fonction holomorphe : Si T est un triangle dans D(0, 1)<br />

∫<br />

∫<br />

0 = f Nk (z)dz k→+∞<br />

−−−−→ f(z)dz = 0<br />

Par le théorème <strong>de</strong> Morera, f est donc bien holomorphe.<br />

T<br />

Théorème 3.8. Si f n est une suite <strong>de</strong> fonctions holomorphes sur une même ouvert Ω avec ∃M, ∀z, ∀n, |f n (z)| ≤<br />

M alors il existe une sous-suite N k telle que f Nk converge sur tous compact K ⊂ Ω vers une fonction holomorphe<br />

f (et on a aussi la convergence uniforme <strong>de</strong>s dérivées).<br />

Preuve 3.10. On choisit une famille <strong>de</strong> disque fermés recouvrant Ω (et inclus dans Ω), puis on extrait une<br />

famille finie recouvrant K. Sur chaque disque la convergence est uniforme (on peut intercaller un disque dans<br />

Ω contenant strictement notre disque et <strong>de</strong> rayon ɛ plus grand).<br />

3.7 Zéros <strong>de</strong> fonctions holomorphes II<br />

Soit f une fonction holomorphe sur Ω connexe ouvert<br />

T<br />

k<br />

15


Rappel : Si f est non constante, alors il n’existe pas <strong>de</strong> suite z n<br />

n→+∞<br />

−−−−−→ z ∞ avec z ∞ ∈ Ω et z n ≠ z ∞ qui<br />

vérifie ∀n, f(z n ) = 0<br />

Définition 3.1. Si f est holomorphe non-constante dans Ω et si f(z 0 ) = 0, on appelle multiplicité du zéro<br />

z 0 la valeur entière n 0 telle qu’il existe a n0 ≠ 0 avec f(z) = a n0 (z − z 0 ) n0 + o((z − z 0 ) n0 ) lorsque z → z 0 .<br />

(l’existence et l’unicité <strong>de</strong> n 0 à cause du développement en série entière <strong>de</strong> f au voisinage <strong>de</strong> z 0 )<br />

Théorème 3.9. Si f est holomorphe au voisinage d’un disque D et si γ désigne le cercle orienté positivement<br />

<strong>de</strong> D. Si ∀z ∈ γ, f ≠ 0 alors si z 1 , . . . , z J désignent les zéros <strong>de</strong> f dans D<br />

où n(z) est la multiplicité du zéro z.<br />

J∑<br />

j=1<br />

n(z j ) = 1 ∫<br />

f ′ (z)dz<br />

2iπ γ f(z)<br />

(Si une telle formule surprend, c’est surtout que l’on a pas compris la formule <strong>de</strong> Cauchy).<br />

∫<br />

f ′ ∫<br />

(z)dz<br />

= d ln(f(z))<br />

f(z)<br />

(Informellement)<br />

Preuve 3.11. Pour ɛ petit, on considère l’ouvert D \ ⋃ J<br />

j=1 D(z j, ɛ) = D ɛ , f ′<br />

f<br />

même sur un voisinage <strong>de</strong> D ɛ ). Alors<br />

J ɛ j<br />

J ɛ j<br />

∫<br />

γ<br />

γ<br />

f ′ (z)dz<br />

f(z)<br />

=<br />

γ<br />

J∑<br />

∫<br />

j=1<br />

J ɛ j<br />

f ′ (z)dz<br />

f(z)<br />

Mais (avec un développement limité à l’ordre 2)<br />

∫<br />

f ′ ∫ [ ]<br />

(z)dz (exo) n(zj )<br />

=<br />

+ O(1) dz = 2iπn(z j ) + O(ɛ) −−→ 2iπn(z j )<br />

f(z)<br />

z − z j ɛ→0<br />

est holomorphe dans Dɛ (et<br />

Conséquence : Si f et g sont <strong>de</strong>ux fonctions holomorphes au voisinage d’un disque D et ∀z ∈ ∂D, |f(z)| ><br />

|g(z)| (=⇒ f et f − g non nulle sur ∂D) alors le nombre <strong>de</strong> zéros (multiplicité comprise) <strong>de</strong> f dans D est<br />

égual au nombre <strong>de</strong> zéros <strong>de</strong> f − g dans D.<br />

Preuve 3.12. ∀t ∈ [0; 1] on définit f t (z) = f(z) − tg(z). Par hypothése, ∀t ∈ [0; 1], f z ≠ 0 sur ∂D. Donc<br />

∀t, (#zéros <strong>de</strong> f t dans D) = 1 ∫<br />

f t(z)dz<br />

′<br />

2iπ ∂D f(z)<br />

+<br />

∫<br />

1 f t(z)dz<br />

′ = 1 ∫<br />

f ′ (z) + tg ′ (z)<br />

2iπ ∂D f(z) 2iπ<br />

+<br />

∂D f(z) + tg(z) dz<br />

est une fonction continue par rapport à t sur [0; 1] et à valeurs entière.<br />

Conclusion c’est une fonction constante et la valeur en 0 est la même que celle en 1.<br />

Récapitulatif :<br />

∫<br />

– Si f est holomorphe dans Ω ouvert =⇒ f ′ aussi etc . . . et<br />

cercle ⊂ Ω.<br />

Cercle<br />

f(z)dz = 0 si le disque intérieur au<br />

16


– Si f est holomorphe dans un disque on peut définir F holomorphe dans le même disque avec F ′ (z) =<br />

f(z) ∫<br />

dz<br />

– Mais<br />

C(0,1) z = 2iπ<br />

Question : Quelle hypothése naturelle faut-il pour qu’une fonction f holomorphe dans un ouvert Ω<br />

admette une primitive <br />

Définition 3.2. On dit que <strong>de</strong>ux chemins continus γ 0 et γ 1 <strong>de</strong> a à b dans l’ouvert Ω sont homotopes dans<br />

Ω si ∃Γ une application [0; 1] × [0; T ] → Ω continue telle que :<br />

– ∀s ∈ [0; 1], Γ(s, 0) = a, Γ(s, T ) = b<br />

– γ 0 (·) = Γ(0, ·)<br />

– γ 1 (·) = Γ(1, ·)<br />

Théorème 3.10. Si f est holomorphe dans Ω ouvert et si γ 0 et γ 1 sont homotopes dans Ω alors<br />

∫<br />

∫<br />

f(z)dz = f(z)dz<br />

γ 0 γ 1<br />

Preuve 3.13. ∃ɛ d(∁Ω, Γ([0; 1]×[0; T ])) > 4ɛ. Γ est continue sur [0; 1]×[0; T ] =⇒ ∀ɛ > 0, ∃δ > 0∀s 1 , s 2 , t 1 , t 2<br />

|s 1 − s 2 | < δ et |t 1 − t 2 | < δ =⇒ |Γ(s 1 , t 1 ) − Γ(s 2 , t 2 )| < ɛ<br />

∫<br />

∃N et s 0 = 0, s 1<br />

∫<br />

= 1 N , . . . , s N = 1, t 0 = 0, t 1 =<br />

1<br />

N , . . . , t N = 1 <strong>de</strong> sorte que 1 N < δ et T N < δ. Montrons que f(z)dz = f(z)dz,<br />

Γ(s j,·)<br />

Γ(s j,·)<br />

Γ(s j , [t i , t i+1 ]) ∪ [Γ(s j , t i+1 ); Γ(s j+1 , t i+1 )] ∪ Γ(s j+1 , [t i+1 ; t i ]) ∪ [Γ(s j+1 , t i ); Γ(s j , t i )]<br />

est un circuit <strong>de</strong> diamètre ≤ 2ɛ, contenu dans un disque <strong>de</strong> rayon 2ɛ contenu dans Ω l’intégrale <strong>de</strong> f le<br />

long <strong>de</strong> ce chemin ∫ est nul. Si ∫ on fait la somme <strong>de</strong> toutes ces intégrales pour i = 0, . . . , N − 1, on trouve<br />

exactement f(z)dz = f(z)dz.<br />

Γ(s j,·)<br />

Γ(s j,·)<br />

Définition 3.3. On dit que Ω ouvert connexe est simplement connexe si ∀a, ∀b ⊂ Ω, ∀γ 0 , γ 1 chemins continus<br />

reliant a à b dans Ω, γ 0 est homotope γ 1 .<br />

Théorème 3.11. Si Ω est un ouvert simplement ∫connexe et si f est holomorphe dans Ω alors<br />

∀γ circuit C 1 par morceaux formé dans Ω, f(z)dz = 0<br />

∃F holomorphe dans Ω avec F ′ = f (f admet une primitive dans Ω)<br />

γ<br />

Preuve 3.14. Pour Le premier point, on combine la définition <strong>de</strong> la simple connexité, le théorème précé<strong>de</strong>nt<br />

et le fait que ∫ γ est homotope au chemin ˜γ qui reste en un point <strong>de</strong> γ. Pour le second point, on a montré que<br />

l’intégrale f(z)dz où γ est un chemin reliant a à b dans Ω ne dépend pasdu choix <strong>de</strong> ce chemin ( ne<br />

γ<br />

dépend que du choix <strong>de</strong> a et b). On fixe a ∈ Ω, et on pose F (b) = ∫ f(z)dz pour γ un chemin a → b qui<br />

γ<br />

reste dans Ω. En particulier si γ a→b est un tel chemin, alors ∀c proche <strong>de</strong> b : « γ a→b ∪ [b; c] » est un chemin<br />

reliant a à c dans Ω et :<br />

∫<br />

F (c) − F (a) = f(z)dz ∼ f(b)(c − b) lorsque c → b<br />

=⇒ F est holomorphe en b et F ′ (b) = f(b).<br />

[b;c]<br />

1<br />

∫<br />

Conséquence : C \ {0} n’est pas simplement connexe. En effet,<br />

z<br />

est holomorphe sur C \ {0} et<br />

dz<br />

C(0,1) z ≠ 0.<br />

+<br />

Conséquence importante : Si Ω est un ouvert simplement connexe qui contient 1 mais pas 0, il existe<br />

une unique primitive <strong>de</strong> 1 z dans Ω qui vaut 0 en 1. On la note log Ω(z).<br />

17


Remarque 3.7.1. La fonction<br />

exp(z) = ∑ n≥0<br />

z n<br />

n!<br />

est définie sur C. Elle vérifie (si on pose E(z) = exp(z) : E ′ (z) = E(z). Si Ω est simplement connexe alors<br />

on a :<br />

∀z ∈ Ω, exp(log Ω (z)) = z<br />

Preuve 3.15. Si G(z) = log Ω (z), on a ∀z ∈ Ω, G ′ (z) = 1 z<br />

. On pose H(z) = zE(−G(z)). On dérive :<br />

H ′ (z) = E(−G(z)) − E(−G(z)) = 0 et H(1) = 1. Donc H = 1.<br />

4 Tranformations conformes<br />

Idée / Approche : Voir les applications holomorphes « localement » comme <strong>de</strong>s applications qui<br />

transforment/envoie un ouvert Ω en/vers un autre ouvert Ω’.<br />

4.1 Introduction & définition<br />

⋆ Si f est holomorphe au voisinage d’un point z 0 et si f ′ (z 0 ) ≠ 0 alors ∃r > 0 (ou alors ∀r assez petit),<br />

f est une bijection <strong>de</strong> D(z 0 , r) dans f(D(z 0 , r)).<br />

Preuve 4.1. f ′ est continue donc ∃r > 0 tel que ∀z ∈ D(z 0 , r),<br />

Donc :<br />

|f ′ (z) − f ′ (z 0 )| ≤ |f ′ (z 0 )|<br />

=⇒ ∀z ∈ D(z 0 , r), |f ′ (z)| ≥ |f ′ (z 0 )|<br />

2<br />

2<br />

∫<br />

∀z 1 , z 2 ∈ D(z 0 , r), f(z 2 ) − f(z 1 ) = f ′ (z)dz<br />

[z 1;z 2]<br />

|f(z 2 ) − f(z 1 )| ≥ |z 2 − z 1 | |f ′ (z 0 )|<br />

2<br />

⋆ Si f est holomorphe au voisinage d’un point z 0 et si f ′ (z 0 ) = 0 alors ∀r > 0, f |D(z0,r) n’est pas injective.<br />

Autrement dit : ∀r > 0, ∃z 1 ≠ z 2 ∈ D(z 0 , r) avec f(z 1 ) = f(z 2 ).<br />

Preuve 4.2. On peut supposer f non constante (=⇒ f ′ n’est pas constamment nulle au voisinage <strong>de</strong> z 0 =⇒<br />

∃r 0 tel que f ′ n’a pas d’autre 0 que z 0 dans D(z 0 , r 0 ). Au voisinage <strong>de</strong> z 0 : f(z) = f(z 0 ) + a k (z − z 0 ) k +<br />

o((z − z 0 ) k ) avec k ≥ 2(car f ′ (z 0 ) = 0 et k < ∞ (car f est non constante). Si on pose f z0 (z) = f(z) − f(z 0 )<br />

alors z 0 est un zéro <strong>de</strong> multiplicité k ≥ 2 <strong>de</strong> f z0 . D’aprés le théorème <strong>de</strong> Rouché,<br />

∫<br />

si on se donne r < r 0 et<br />

f ′ (z)<br />

si on choisit un cercle γ centré en z 0 dans D(z 0 , r) tel que f ≠ f(z 0 ) sur γ alors<br />

dz = 2iπ{<br />

γ f(z) − f(z 0 )<br />

nombre <strong>de</strong> zéros <strong>de</strong> f z0 à l’intérieur <strong>de</strong> γ } ≥ 2 × 2iπ. Ainsi ∀η ∈ C suffisament proche <strong>de</strong> 0, on aura aussi<br />

f ′ (z)<br />

dz = la même chose.<br />

f(z) − f(z 0 ) − η<br />

Ainsi ∀η assez petit, f(z) − f(z 0 ) − η a au moins <strong>de</strong>ux zéros à l’intérieur <strong>de</strong> γ. Ces <strong>de</strong>ux zéros z 1 et z 2<br />

sont forcéments distincts car sinon, on aurait f ′ (z 1 ) = 0 ce qui n’est pas possible par définition <strong>de</strong> r 0 .<br />

Conclusion : Pour qu’une fonction holomorphe au voisinage <strong>de</strong> z 0 puisse être localement interprétée<br />

comme une bijection, il faut et il suffit que f ′ (z 0 ) ≠ 0.<br />

Définition 4.1. On dit que f définie sur un ouvert Ω <strong>de</strong> C est une transformation conforme si<br />

→ f est holomorphe dans Ω.<br />

→ f est une bijection <strong>de</strong> Ω → f(Ω).<br />

Si Ω 1 = f(Ω), on dit aussi que f est alors une transformation conforme <strong>de</strong> Ω dans Ω 1 .<br />

18


Remarque 4.1.1. On vient <strong>de</strong> voir que si f est une transformation conforme <strong>de</strong> Ω → Ω, alors ∀z ∈ Ω, f ′ (z) ≠ 0.<br />

Remarque 4.1.2. Alors f(Ω) est un ouvert aussi, et on peut définir f −1 : f −1 : f(Ω) → Ω, et df −1 est<br />

holomorphe aussi ( si Z 0 = f(z 0 ) ) :<br />

et on a<br />

z 0+h(H)<br />

{ }} {<br />

f −1 (Z 0 + H) −f −1 (Z 0 )<br />

=<br />

H<br />

h(H)<br />

f(z 0 + h(H)) − f(z 0 )<br />

(f −1 ) ′ (f(z 0 )) = 1<br />

f ′ (z 0 )<br />

H∈C→0<br />

−−−−−→ 1<br />

f ′ (z 0 )<br />

Exemples : Il y a plein <strong>de</strong> transformations conformes définies sur Ω = U = {z | |z| < 1}, il suffit <strong>de</strong><br />

considérer une série entière <strong>de</strong> rayon <strong>de</strong> convergence quelconque ∑ n≥0 a nz n et <strong>de</strong> choisir : φ(z) = ∑ n a n(ɛz) n<br />

avec ɛ assez petit.<br />

Remarque 4.1.3. L’ensemble <strong>de</strong>s transformations conformes d’un ouvert Ω dans lui même ( { automorphismes<br />

conformes <strong>de</strong> Ω } ) est un groupe.<br />

Exemples :<br />

– Quelques automorphismes conformes <strong>de</strong> H = {z = x + iy|y > 0} :<br />

→ translation horizontale : z ↦→ z + a, a ∈ R<br />

→ homothéties centrées en 0 : z ↦→ λz, λ > 0<br />

→ z ↦→ −1<br />

z<br />

– Il existe <strong>de</strong>s transformations conformes H −→ U<br />

ψ : z ↦→ z + i<br />

z − i<br />

F est un automorphisme conforme <strong>de</strong> H ⇐⇒ ψ ◦ F ◦ ψ −1 est un automorphisme conforme <strong>de</strong> U.<br />

– Quelques automorphismes conformes <strong>de</strong> U<br />

ψ α : z ↦→ z − α<br />

ᾱz − 1<br />

où α ∈ U. ψ α « échange » α et 0. Le calcul montre que ψ −1<br />

α<br />

4.2 Le théorème <strong>de</strong> Riemann<br />

Théorème 4.1. Soit Ω un ouvert simplement connexe dans C et z 0 un élément <strong>de</strong> Ω, (et on suppose Ω ≠<br />

C ). Alors il existe une unique transformation conforme φ <strong>de</strong> Ω dans le disque unité U avec φ(z 0 ) = 0 et<br />

φ ′ (z 0 ) ∈ R + .<br />

Lemme 4.1. Clé #1 (Lemme <strong>de</strong> Schwarz) Si f est une application holomorphe sur U avec f(U) ⊂ U et<br />

f(0) = 0 alors ∀z ∈ U, |f(z)| ≤ |z|. De plus s’il existe z 0 ∈ U \ {0} tel que |f(z 0 )| = z 0 alors f est une<br />

rotation (∃θ, f(z) = e iθ z). Et si |f ′ (0)| = 1 alors f est une rotation.<br />

Preuve 4.3. Au voisinage <strong>de</strong> 0, f(z) = ∑ n≥1 a nz n donc f(z)<br />

z<br />

= ∑ n≥1 a nz n−1 est holomorphe au voisinage<br />

<strong>de</strong> 0. Si on pose G(z) = f(z)<br />

z<br />

, on a une fonction holomorphe dans U. Sur U, f est bornée par 1, donc ∀r < 1,<br />

on sait que ∀z ∈ ∂D(0, r), |G(z)| ≤ 1 r , or d’aprés le principe du maximum, ∀z ∈ D(0, r), |G(z)| ≤ 1 r . Si z ∈ U<br />

est fixé, alors ∀1 > r > |z|, |G(z)| ≤ 1 r . On fait tendre r → 1− , |G(z)| = 1. Maintenant, sil existe z 0 avec<br />

|G(z 0 )| = 1 (le maximum est atteint à l’intérieur) alors G est constante donc G = e iθ . Pareil si |G(0)| = 1<br />

= ψ α<br />

19


Rappel :<br />

– Si f n est une suite <strong>de</strong> fonctions définie sur Ω et si ∃M > 0 tel que ∀n, ∀z, |f n (z)| < M alors ∃(n k ) une<br />

sous-suite telle que f nk converge uniformément sur tout compact K ⊂ Ω vers une fonction holomorphe<br />

f (et alors f n ′ k<br />

→ +∞ K <br />

<br />

f ′ , ∀K ⊂ Ω compact).<br />

– On a vu le lemme <strong>de</strong> Schwarz (juste ci-<strong>de</strong>ssus).<br />

k<br />

Remarque 4.2.1. Si φ est une transformation conforme <strong>de</strong> U dans U telle que φ(0) = 0 et φ ′ (0) ∈ R + alors<br />

φ(z) = z.<br />

Preuve 4.4. φ et φ −1 vérifient les conditions du lemme <strong>de</strong> Schwarz donc<br />

∀z ∈ U<br />

{ |φ(z)| ≤ |z|<br />

|z| ≤ |φ(z)|<br />

=⇒ |φ(z)| = |z|<br />

donc par le lemme <strong>de</strong> Schwarz, φ est une rotation.<br />

Lemme 4.2. Si U est un ouvert simplement connexe avec 0 ∈ U, U ⊂ U et U ≠ U alors il existe ϕ une<br />

transformation conforme <strong>de</strong> U dans ϕ(U) ⊂ U avec ϕ(0) = 0 et |φ ′ (0)| > 1.<br />

Rappel : Si Ω est simplement connexe avec 0 /∈ Ω alors on peut définir une primitive <strong>de</strong> z ↦→ 1 z dans Ω<br />

notée log Ω (·) et alors log Ω est une bijection <strong>de</strong> Ω −→ log Ω (Ω) car on sait que ∀z ∈ Ω, exp(log Ω z) = z. On<br />

peut aussi définir « Ω√ z »:= e 1 2 log Ω (z) holomorphe dans Ω et injective.<br />

Preuve 4.5. (du lemme) Rappel :<br />

∃ψ α :<br />

{ U −→ U<br />

z ↦−→ α−z<br />

1−ᾱz<br />

est une bijection holomorphe dès que |α| < 1 avec ψ α (ψ α (z)) = z qui échange 0 et α (cf schéma 11). On<br />

définit G holomorphe sur U (cf. : schéma 11), G(0) = 0, G(U) ⊂ U. Mais G n’est pas bijectif puisque ψ α et<br />

ψ β le sont mais pas z ↦→ z 2 , donc |G ′ (0)| < 1 (s’il y avait égalité, G serait bijectif). On note que : ψα<br />

−1 (U)<br />

est simplement connexe, 0 /∈ ψα<br />

−1 (U) := Ω. Alors on peut définir sur Ω, z ↦→ Ω√ z tel que ( Ω√ z) 2 = z. On note<br />

« Ω ′ := Ω√ Ω » (cf. : schéma 12). On pose :<br />

F := ψ −1<br />

β<br />

◦ Ω√· ◦ ψ −1<br />

α<br />

est une application holomorphe sur U qui vérifie F (U) ⊂ U, F (0) = 0, ∀z ∈ U, G(F (z)) = z =⇒ F est<br />

injective et |F ′ (0)| = 1<br />

|G ′ (0)| > 1<br />

Preuve 4.6. (du théorème <strong>de</strong> Riemann)<br />

1er cas : Ω est un ouvert simplement connexe borné, z 0 ∈ Ω. On pose<br />

C = {f | f holomorphe et injective dans Ω, f(Ω) ⊂ Ω, f(z 0 ) = 0}<br />

– C ≠ ∅ car ∃z ↦→ ɛ(z − z 0 ) qui appartient à C(si Ω ⊂ D(z 0 , 1 ɛ )).<br />

– Soit r = d(z 0 , ∁Ω) <strong>de</strong> sorte que D(z 0 , r) ⊂ Ω. Si f ∈ C, alors h : z ↦→ f(z 0 + rz) est une transformation<br />

holomorphe qui envoie U sur un sous-ensemble <strong>de</strong> U et 0 et 0 :<br />

|h ′ (0)| ≤ 1 (Schwarz)<br />

=⇒ |f ′ (z 0 )| ≤ 1 r<br />

∀f ∈ C, |f ′ (z 0 )| ≤ 1 r<br />

20


Idée : Trouver dans Cune fonction f qui « maximise » |f ′ (z 0 )|. On pose M = sup f∈C |f ′ (z 0 )|. Alors ∃f n<br />

suite dans Ctelle que |f n(z ′ 0 )| −−−−−→ M. Or ∀n, ∀z, |f n(z)| ≤ 1 donc ∃(n k ) une sous-suite, ∃f holomorphe<br />

n→+∞<br />

dans Ω avec ∀K compact dans Ω<br />

⎧<br />

⎨<br />

f K <br />

nk f<br />

⎩<br />

f n ′ K <br />

k<br />

f ′<br />

∣<br />

en particulier : |f ′ (z 0 )| = lim k→+∞ f n ′ k<br />

(z 0 ) ∣ = M. Que sait-on sur f :<br />

– Elle est holomorphe sur Ω<br />

– f(z 0 ) = 0<br />

– |f ′ (z 0 )| = M<br />

◦<br />

– f(Ω) ⊂ U ⊂ U<br />

Montrons que f est inective par l’absur<strong>de</strong> : Supposons ∃z 1 , z 2 ∈ Ω, z 1 ≠ z 2 , f(z 1 ) = f(z 2 ). Alors on définit<br />

g n (z) = f n (z) − f n (z 1 ) et on a<br />

⎧<br />

⎨<br />

⎩<br />

g nk K <br />

f(·) − f(z 1 )<br />

g ′ n k K f ′<br />

Soit γ ⊂ Ω une petite courbe autour <strong>de</strong> z 2 où f ≠ f(z 2 ) et z 1 à l’extérieur <strong>de</strong> z 1 . Alors<br />

∫<br />

g ′ (z)<br />

dz = 2iπ × (nombre entier > 0)<br />

g(z)<br />

γ<br />

avec g(z) = f(z) − f(z 1 ). Donc ∀k assez grand, on en déduit que g nk ≠ 0 sur γ et<br />

∫<br />

g n ′ k<br />

(z)<br />

dz = 2iπ × (nombre entier > 0)<br />

g nk (z)<br />

γ<br />

=⇒ g nk a au moins un zéro à l’intérieur du cercle γ ce qui est impossible car alors ∃z ≠ z 1 ∈ Ω avec<br />

f nk (z) = f nk (z 1 ). Conclusion : f ∈ C.<br />

Montrons que f(Ω) = U. Par l’absur<strong>de</strong> si U = f(Ω) est un sous-ensemble stricte <strong>de</strong> U avec 0 ∈ U =⇒<br />

∃F : U −→ F (U) ⊂ U conforme avec F (0) = 0 et |F ′ (0)| > 1 d’aprés le lemme clé et alors F ◦ f ∈ C avec<br />

|(F ◦ f) ′ (z 0 )| = |F ′ (0)| |f ′ (z 0 )| > M ce qui est absur<strong>de</strong>.<br />

Ensuite on pose φ(z) = e −iθ f(z) avec θ choisi <strong>de</strong> sorte que φ ′ (0) ∈ R + et on a bien ∃φ : Ω → U, bijective<br />

avec φ(z 0 ) = 0 et φ ′ (z 0 ) ∈ R + .<br />

Dernier point, l’unicité : Si φ 1 et φ 2 conviennent alors φ 1 ◦ φ −1<br />

2 est une transformation conforme <strong>de</strong> U<br />

dans U <strong>de</strong> dérivée à l’origine positive =⇒ c’est l’i<strong>de</strong>ntité et donc φ 1 = φ 2 .<br />

2nd cas : Ω n’est pas borné mais simplement connexe avec z 0 ∈ Ω, Ω ≠ C. ∃α /∈ Ω =⇒ s ↦→ z − α envoie<br />

Ω sur Ω 0 qui ne contient pas 0.<br />

log Ω0<br />

−−−→ Ω1<br />

On note que si z ∈ Ω 1 alors z + 2iπ /∈ Ω 1 car exp est une bijection <strong>de</strong> Ω 1 −→ Ω 0 . Dans Ω 1 ,<br />

Donc<br />

Ω 0<br />

∃D(z 1 , ɛ) ⊂ Ω 1 =⇒ D(z 1 + 2iπ, ɛ) ⊂ ∁Ω 1<br />

z ↦−→<br />

ɛ<br />

z − (z 1 + 2iπ)<br />

On s’est ramené à un domaine inclus dans D(0, 1), donc borné. Il ne reste plus qu’à composer les différentes<br />

applications pour obtenir le résultat :<br />

ɛ<br />

(z ↦→<br />

z − (z 1 + 2iπ) ) ◦ log Ω 0<br />

◦(z ↦→ z − α)<br />

z ↦→ log Ω0<br />

(z − α) − (log Ω0<br />

(z − α) + 2iπ)<br />

21


Rappel :<br />

– Si Ω est un ouvert simplement connexe, avec Ω ≠ C, z 0 ∈ Ω et θ ∈ [0; 2π[ alors ∃!φ conforme Ω −→ U<br />

avec φ(z 0 ) = 0 et φ ′ (z 0 ) ∈ R + · e iθ (cf schéma 12)<br />

– Si Ω 1 et Ω 2 sont <strong>de</strong>ux ouverts simplement connexes avec Ω 1 ≠ C, Ω 2 ≠ C, z 1 ∈ Ω 1 , z 2 ∈ Ω 2 et<br />

θ ∈ [0; 2π[ alors ∃!φ conforme <strong>de</strong> Ω 1 −→ Ω 2 avec φ(z 1 ) = z 2 et φ ′ (z 1 ) ∈ R + · e iθ (cf schéma 13)<br />

Quelques exemples simples { :<br />

H −→ U<br />

– (cf schéma 14) ψ :<br />

z ↦−→ z−i<br />

z+i<br />

– l’exponentielle : (cf schéma 15)<br />

– les puissances : (cf schéma 16)<br />

– les transformations bizarres : (cf schéma 17)<br />

4.3 Automorphismes conformes d’un domaine Ω<br />

Pour Ω simplement connexe (Ω ≠ ∅, Ω ≠ C) on introduit :<br />

Remarque 4.3.1. Aut(Ω)est un groupe :<br />

– φ ∈ Aut(Ω) =⇒ φ −1 ∈ Aut(Ω)<br />

– φ 1 , φ 2 ∈ Aut(Ω) =⇒ φ 1 ◦ φ 2 ∈ Aut(Ω)<br />

– Aut(Ω)est non commutatif.<br />

Aut(Ω) = {φ : Ω −→ Ω | φ conforme}<br />

Remarque 4.3.2. Si Ω 1 et Ω 2 sont <strong>de</strong>ux ouverts simplement connexe, (avec Ω 1 ≠ C, Ω 2 ≠ C, Ω 1 ≠ ∅,<br />

Ω 2 ≠ ∅), alors ∃ une bijection qui préserve la structure <strong>de</strong> groupe <strong>de</strong> Aut(Ω 1 ) dans Aut(Ω 2 ). On se donne ψ<br />

une transformation conforme <strong>de</strong> Ω 1 −→ Ω 2 . Alors ∀φ automorphisme <strong>de</strong> Ω 1 , on définit T φ ∈ Aut(Ω 2 ) par<br />

T φ = ψ ◦ φ ◦ ψ −1 <strong>de</strong> réciproque T −1 φ = ψ −1 ◦ φ ◦ ψ.<br />

Remarque 4.3.3. Automorphismes conformes simples :<br />

– Dans H :<br />

– z ↦−→ z + a, a ∈ R<br />

– z ↦−→ λz, λ ∈ R +<br />

– z ↦−→ −1<br />

z<br />

22


−→ les composées <strong>de</strong> ces applications conformes sont aussi dans Aut(H). Les composées <strong>de</strong> telles<br />

applications sont toujours <strong>de</strong> type<br />

z ↦−→ az + b<br />

cz + d<br />

pour a, b, c, d réels bien choisis.<br />

– Dans la ban<strong>de</strong> <strong>de</strong> largeur π centrée en 0 (cf schéma 18) : z ↦−→ z + a, a ∈ R (qui correspon<strong>de</strong>nt à<br />

z ↦→ λz dans H).<br />

– Dans U :<br />

– z ↦−→ e iθ z<br />

– ψ α : z ↦−→ α−z<br />

1−ᾱz<br />

– et leurs composées<br />

Proposition 4.1.<br />

Aut(U) := { z ↦→ e iθ ψ α<br />

∣ ∣ θ ∈ [0; 2π], α ∈ U<br />

}<br />

Preuve 4.7.<br />

– Soit φ ∈ Aut(U). Alors ∃α ∈ U, φ(α) = 0 et ∃θ ∈ [0; 2π] avec φ ′ (α) ∈ −e iθ · R +<br />

– Donc ce φ est l’unique (par le théorème <strong>de</strong> Riemann) application conforme U −→ U avec φ(α) = 0 et<br />

φ ′ (α) ∈ −e iθ · R +<br />

– Or ψ α (α) = 0 donc e iθ ψ α (α) = 0, ψ ′ α(α) ∈ R − donc e iθ ψ α (α) ∈ −e iθ · R + et z ↦−→ e iθ ψ α (z) ∈ Aut(U)<br />

– Conclusion : ∀z, φ(z) = e iθ ψ α (z)<br />

Remarque 4.3.4.<br />

est une bijection <strong>de</strong> [0; 2π[×U −→ Aut(U)<br />

(θ, α) ↦−→ e iθ ψ α (·)<br />

Remarque 4.3.5. Si on compose <strong>de</strong>ux applications du type z ↦→ az+b<br />

cz+d et z ↦→ a′ z+b ′<br />

c ′ z+d ′<br />

a( a′ z+b ′ 1<br />

c ′ z+d ′ 1 ) + b1<br />

c( a′ z+b ′ 1<br />

c ′ z+d ′ 1 ) + d1 = a(a′ z + b ′ 1) + b(c ′ z + d ′ 1)<br />

c(a ′ z + b ′ 1) + d(c ′ z + d ′ 1)<br />

( ) ( )<br />

a b<br />

a<br />

Si on pose M = et M<br />

c d<br />

′ ′<br />

b<br />

=<br />

′<br />

c ′ d ′ L’application composée correpond alors à MM ′ . Conclusion :<br />

On peut voir Aut(U) comme un groupe quotient d’un sous-groupe <strong>de</strong>s matrices à coefficients dans C <strong>de</strong><br />

déterminant non nul (inversibles).<br />

23


Conséquences pour Aut(H) :<br />

Proposition 4.2. Tous les automorphismes <strong>de</strong> Hs’écrivent <strong>de</strong> la forme :<br />

avec a, b, c, d réels et ad − bc = 1<br />

Preuve 4.8. En exercice.<br />

Remarque 4.3.6.<br />

Alors PSL 2 (R) ∼ Aut(H)<br />

z ↦−→ az + b<br />

cz + d<br />

SL 2 (R) = {M ∈ M 2 | <strong>de</strong>tM = 1}<br />

PSL 2 (R) = SL 2 (R)/{+Id, −Id}<br />

Y a-t-il <strong>de</strong>s sous-groupes discrets <strong>de</strong> PSL 2 (R) On choisit α 0 réel dans U. Puis en itérant A :<br />

Pour α 0 bien choisi BA = ABA −1<br />

A = ψ α0 (·) B = ψ iα0 (·)<br />

4.4 Rappels sur les (homographies) transformations linéaires du plan<br />

Considérons l’application ϕ : z ↦−→ az+b<br />

cz+d<br />

, a, b, c, d ∈ C<br />

Question 1 : Quand est-ce que ϕ est non constante <br />

ϕ est non constante ⇐⇒ ad − bc ≠ 0<br />

Question 2 : Quel est l’ensemble <strong>de</strong> définition <br />

Il peut y avoir un problème en z = − d c<br />

si c ≠ 0. On le résout en posant Ĉ = C ∪ {∞} et on définit :<br />

– Si c ≠ 0, ϕ( −d<br />

−d<br />

c<br />

) = ∞ et ϕ(∞) =<br />

c<br />

– Si c = 0, ϕ(∞) = ∞<br />

Alors ϕ est une bijection <strong>de</strong> Ĉ dans Ĉ.<br />

( )<br />

( )<br />

a<br />

′<br />

b<br />

Question 3 : Quelles sont les<br />

′<br />

a b<br />

c ′ d ′ qui définissent la même fonction que <br />

( )<br />

( )<br />

c d<br />

a b<br />

a b<br />

Ce sont les multiples <strong>de</strong> . Il en existe <strong>de</strong>ux tels que <strong>de</strong>t = 1 d’où<br />

c d<br />

c d<br />

{<br />

z ↦→ az + b<br />

cz + d avec ad − bc ≠ 0 }<br />

=<br />

{<br />

M =<br />

( ) ∣<br />

a b ∣∣∣<br />

<strong>de</strong>tM = 1}<br />

/{±Id}<br />

c d<br />

24


Remarque 4.4.1. Toute transformation z ↦−→ az+b<br />

cz+d s’écrit comme composée d’applications du type ⎧<br />

⎨<br />

⎩<br />

z ↦→ z + b<br />

z ↦→ 1 z<br />

z ↦→ az<br />

az+b<br />

Proposition 4.3. Si C est un cercle ou une droite dans Ĉ et ϕ : z ↦−→<br />

cz+d<br />

avec ad − bc ≠ 0 alors ϕ(C)<br />

estun cercle ou une droite (avec la convention que ∞ est dans toutes les droites)<br />

Preuve 4.9. Il suffit <strong>de</strong> le vérifier pour z ↦→ 1 z .<br />

En fait, Aut(U) = transformation ϕ qui envoient ∂U sur lui même (et l’intérieur vers l’intérieur). De<br />

même, Aut(H) = transformation ϕ qui envoient Rsur R(et “<strong>de</strong>ssus sur <strong>de</strong>ssus”). Notamment les angles droits<br />

sont conservés (cf schéma 21)<br />

4.5 Introduction à la métrique hyperbolique<br />

Remarque 4.5.1.<br />

– Si φ ∈ Aut(U) et φ(0) = α alors ∃θ : φ(z) = ψ α (e iθ z)<br />

– Si φ ∈ Aut(U) et φ(α) = 0 alors ∃θ tel que φ(z) = e iθ ψ α (z)<br />

Par ailleurs : |ψ ′ α(0)| = 1 − |α| 2<br />

Donc ∀φ ∈ Aut(U), φ(0) = α, on a |φ ′ (0)| = 1 − |α| 2<br />

Première approche :<br />

Alors :<br />

On définit ∀A ouvert ⊂ U, A(A) = “aire <strong>de</strong> A” = ∫∫ A<br />

dxdy<br />

(1−|z| 2 ) 2<br />

(où z = x + iy).<br />

Proposition 4.4. ∀ψ ∈ Aut(U), ∀A ouvert ⊂ U, A(ψ(A)) = A(A)<br />

Preuve 4.10.<br />

∫∫<br />

A(ψ(A)) =<br />

ψ(A)<br />

dXdY<br />

(1 − |z| 2 )<br />

∫∫A<br />

2 = |ψ ′ (z)| 2 dxdy<br />

(1 − |ψ(z)| 2 ) 2<br />

avec Z = X + iY = ψ(x + iy).<br />

1<br />

Or<br />

1−|ψ(z)|<br />

= | dérivée en Z = ψ(z) <strong>de</strong> l’application conforme qui envoie Z en 0| donc |ψ ′ 1<br />

(z)|| 2 1−|ψ(z)|<br />

| est 2<br />

la dérivée en z d’une application conforme qui envoie z sur 0.<br />

Deuxième approche : On va définir une distance dans U. Lorsque γ est une courbe C 1 <strong>de</strong> [0; T ] dans U,<br />

on définit<br />

∫ T<br />

‖γ ′ ∫<br />

′′<br />

(s)‖ds<br />

L(γ) =<br />

1 − ‖γ(s)‖ 2 = “ |dγ|<br />

1 − ‖γ(s)‖ 2<br />

Proposition 4.5. ∀γ ∀φ ∈ Aut(U), L(φ(γ)) = L(γ)<br />

Preuve 4.11. En exercice.<br />

Définition 4.2. On pose<br />

0<br />

∀x, y ∈ U, d(x, y) := inf { L(γ) ∣ ∣ γ courbe C 1 reliant x à y dans U }<br />

Remarque 4.5.2.<br />

– d(x, y) > 0 si x ≠ y<br />

– d(x, y) = d(y, x)<br />

– d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)<br />

– D’aprés la proposition précé<strong>de</strong>nte ∀φ ∈ Aut(U), d(x, y) = d(φ(x), φ(y))<br />

– Du coup, d(x, y) = d(0, ψ x (y)) = d(0, |ψ x (y)|) = d(0, |x−y|<br />

|1−xȳ| )<br />

25


Géodésique : plus court chemin entre <strong>de</strong>ux points pour notre distance.<br />

Si γ est un chemin C 1 <strong>de</strong> 0 à r ∈ [0; 1] dans U, γ(s) = (x(s), y(s))<br />

L(γ) =<br />

∫ T<br />

= 1 2<br />

( )<br />

et on à l’égalité L(γ) = 1 2 ln 1+r<br />

1−r<br />

)<br />

(<br />

Conclusion : d(0, r) = 1 2 ln 1+r<br />

1−r<br />

appelle γ la géodésique entre 0 et r.<br />

‖γ ′ ∫<br />

(s)‖ds T<br />

0 1 − ‖γ(s)‖ 2 ≥ 0<br />

(<br />

ln 1 + x(T )<br />

1 + x(0)<br />

− ln<br />

1 − x(T )<br />

1 − x(0)<br />

|x ′ ∫<br />

(s)|ds T<br />

1 − |x(s)| 2 ≥<br />

)<br />

seulement lorsque “γ = [0; r]”.<br />

0<br />

= 1 2 ln ( 1 + r<br />

1 − r<br />

x ′ (s)ds<br />

1 − x(s) 2<br />

)<br />

et le segment [0; r] est l’unique chemin <strong>de</strong> 0 à r tel que L(γ) = d(0, r). On<br />

( )<br />

Conclusion Bis : Si x, y ∈ U, d(x, y) = 1 2 ln |1−¯xy|+|x−y|<br />

|1−¯xy|−|x−y|<br />

et le seul chemin <strong>de</strong> x à y qui réalise cette<br />

distance est l’arc <strong>de</strong> cercle entre x et y (qui passe par x et y) qui coupe (quand on le prolonge) ∂U <strong>de</strong><br />

manière orthogonale.<br />

Remarque 4.5.3. Pour tout triangle tracé sur U, la somme <strong>de</strong>s angles est inférieure (strictement) à π.<br />

Remarque 4.5.4. Dans le <strong>de</strong>mi-plan H, on obtient une distance invariante par les automorphismes <strong>de</strong> H en<br />

prenant dxdy<br />

y<br />

dans l’intégrale.<br />

5 Comportement au “bord” <strong>de</strong>s transformations conformes<br />

On se donne un ouvert simplement connexe borné non vi<strong>de</strong> Ω. Soit alors F : U −→ Ω donné par le<br />

théorème <strong>de</strong> Riemann.<br />

Est-il possible (sous quelles conditions ) <strong>de</strong> prolonger F par continuité en une application <strong>de</strong> U dans Ω <br />

Si le bord est une fonction continue alors la résponse est “oui”. On ne va pas le démontrer dans cette généralité<br />

là.<br />

Remarque 5.0.5.<br />

∫∫<br />

De même, si G : H −→ Ω est conforme :<br />

∫∫<br />

Aire(Ω) =<br />

U<br />

|F ′ (z)| 2 dxdy = Aire(Ω)<br />

H<br />

|G ′ (z)| 2 dxdy<br />

Comme Ω est borné, il est d’aire finie. Alors, pour G, ∫ ɛ<br />

0 r ∫ π<br />

0 |G′ (re iθ )| 2 dθdr < ∞ et ∫ π<br />

0 |G′ (re iθ )| 2 dθ ne<br />

peut tendre vers +∞ trop vite.<br />

Lemme 5.1. On se donne Ω simplement connexe et G : H −→ Ω une transformation conforme. On note<br />

j→+∞<br />

d(r) = diam(G(C r )) où C r = {z ∈ H | |z| = r}. Alors il existe r j −−−−→ 0 tel que d(r j ) −−−−→ j→+∞<br />

0.<br />

Preuve 5.1. Par l’absur<strong>de</strong>, supposons que :<br />

∃ɛ > 0, ∃r 0 , Ar < r 0 , d(r) > ɛ<br />

Ainsi, ɛ étant fixé, ∀r < r 0 , ∃z 1 (r), ∃z 2 (r) ∈ C r tel que |G(z 1 (r)) − G(z 2 (r))| > ɛ. Si z 1 (r) = re iθ1 et<br />

z 2 (r) = re iθ2 , θ 1 < θ 2 ,<br />

|G(z 1 (r)) − G(z 2 (r))| ≤<br />

r<br />

∫ θ2<br />

θ<br />

∫<br />

1<br />

π<br />

0<br />

|G ′ (re iθ )|rdθ<br />

|G ′ (re iθ )|dθ<br />

26


Ainsi :<br />

Par Cauchy-Schwartz,<br />

Donc :<br />

d’où la contradiction<br />

(∫ π<br />

0<br />

∃ɛ > 0, ∀r petit,<br />

∫ π<br />

) 1 √<br />

r|G ′ (re iθ )| 2 2 r<br />

dθ ≥<br />

∞ ><br />

∫ α ∫ π<br />

0<br />

0<br />

0<br />

|G ′ (re iθ )dθ > ɛ r<br />

√ π<br />

∫ π<br />

r|G ′ (re iθ )| 2 dθdr ≥<br />

0<br />

|G ′ (re iθ )|dθ ≥ ɛ √ πr<br />

∫ α<br />

0<br />

ɛ 2<br />

r 2 dr = ∞<br />

Corollaire 5.1. Si F : U −→ Ω est conforme avec Ω borné et simplement connexe et si on pose C r ′ =<br />

j→+∞<br />

{z ∈ U | |1 − z| = r}, alors il existe r j −−−−→ 0 tel que diam(F (C r ′ j<br />

)) −−−−→ j→+∞<br />

0.<br />

Proposition 5.1. Si Ω est borné simplement connexe, si f : H −→ Ω est une transformation conforme et<br />

si on a une condition supplémentaire, alors lorsque z → 0, f(z) admet une limite notée f(0) qui appartient<br />

à ∂Ω.<br />

Remarque 5.0.6.<br />

– Ω est compact (Ω borné). Il suffit <strong>de</strong> montrer que si z n → 0 dnas Halors (f(z n )) n n’a qu’une seule<br />

valeur d’adhérence.<br />

– Si z n → 0 dans Het si (f(z n )) n converge dans Ω, alors la limite <strong>de</strong>s (f(z n )) n est dans ∂Ω (sinon il y a<br />

contradiction avec le caractère conforme <strong>de</strong> f).<br />

Preuve 5.2. Supposons qu’il existe a ≠ b ∈ ∂Ω avec z n → 0 dans H et f(z n ) −→ a ; z ′ n −→ 0 dans Het<br />

f(z ′ n) −→ b.<br />

On construit alors un chemin continu γ : [0; 1] −→ Ω ∪ {a} avec γ([0; 1[) ⊂ Ω, γ(1) = a, γ(1 − 1 n ) = f(z n).<br />

C’est là que l’on utilise la condition supplémentaire pour que ce soit possible : par exemple, il existe c > 0<br />

tel que ∀z, z ′ ∈ Ω, ∃ un chemin γ 0 <strong>de</strong> z à z ′ continu dans Ω avec diam(α 0 ) ≤ C|z − z ′ |.<br />

On regar<strong>de</strong> alors f −1 (γ 0 )<br />

f −1 (γ) : [0; 1[−→ H continue tel que f −1 (γ)(1 − 1 n ) = z n. Par le lemme, on se donne une suite r j −→ 0 tel<br />

que diam(f(C rj )) −→ 0. Il existe alors T j −→ 1 tel que ∀j grand, f −1 (γ)(T j ) ∈ C rj . On fait <strong>de</strong> même avec γ ′<br />

qui interpole les f(z n) ′ et γ ′ (1) = b. Il existe T j ′ −→ 0 tel que, ∀j grand, f −1 (γ ′ )(T j ′) ∈ C r j<br />

. On a γ(T j ) −→ a,<br />

γ ′ (T j ′) −→ b et f −1 (γ)(T j ) ∈ C rj , f −1 (γ ′ )(T j ′) ∈ C r j<br />

. Donc |γ(T j ) − γ(T j ′)| ≤ diam(f(C r j<br />

)) −−−−→ j→+∞<br />

0. Donc<br />

a = b ce qui contredit notre hypothése. Ainsi f(z n ) −→ f(0) ∈ ∂Ω.<br />

Exemple :<br />

Si Ω est un polygone, Cca marche.<br />

Corollaire 5.2. Si F : U −→ Ω, Ω borné simplement connexe, F conforme et les mêmes conditons que<br />

précé<strong>de</strong>mment, alors, ∀z 0 ∈ ∂U, F (z) −−−→<br />

z→z0<br />

α et on pose α = F (z 0).<br />

z∈U<br />

27


Preuve 5.3. On passe par H en envoyant 0 sur z 0 .<br />

On définit ainsi F : U −→ Ω, holomorphe dans U, continue sur U.<br />

(∀z 0 ∈ ∂U, ∃δ > 0, ∀z ∈ U, |z − z 0 | < δ =⇒ |F (z) − F (z 0 )| < ɛ alors ∀z 0 ∈ ∂U, ∃δ > 0, ∀z ∈ U,<br />

|z − z 0 | < δ =⇒ |F (z) − F (z 0 )| < ɛ).<br />

Remarque 5.0.7. Si f est une transformation conforme <strong>de</strong> Hdans Ω avec les mêmes conditions sur Ω, alors<br />

on peut prolonger f en une fonction continue <strong>de</strong> H ∪ {∞} dans Ω.<br />

5.1 Cas <strong>de</strong>s polygones<br />

On considère Ω un polygone dans C :<br />

Que peut-on dire <strong>de</strong> f transformation conforme <strong>de</strong> H =⇒ Ω <br />

Pour simplifier : β 1 = 1 − α 1 , β j = 1 − α j ∈] − 1; 1[ Alors ∑ N<br />

j=1 β j = 2 (un tour)<br />

Principe <strong>de</strong> réflexion & conséquence Si G + est une fonction holomorphe sur Ω + (cf schéma23) et si<br />

G + se prolonge par continuité à Ω 0 et G + (Ω 0 ) ⊂ R alors si on pose<br />

⎧<br />

⎨ G + (z) z ∈ Ω +<br />

G(z) = G + (z) z ∈ Ω 0<br />

⎩<br />

G + (z) z ∈ Ω −<br />

G est alors holomorphe sur Ω = Ω + ∪ Ω 0 ∪ Ω −<br />

Preuve 5.4. (cf schéma 24)<br />

∮<br />

T<br />

∮<br />

G(z)dz = lim<br />

ɛ→0<br />

T ɛ 1<br />

G(z)dz<br />

} {{ }<br />

=0<br />

∮<br />

+<br />

T ɛ 2<br />

G(z)dz<br />

} {{ }<br />

=0<br />

Si G est une transformation conforme <strong>de</strong> Ω + dans D + (cf schéma 25) avec G(Ω 0 ) ⊂ D 0 ⊂ R On définit<br />

alors G aussi sur Ω − par G(z) = G(z).<br />

F : transformation conforme H −→ Ω un polygone. ∀z 0 ∈ R, si F (z 0 ) n’est pas un coin, alors F se prolonge<br />

<strong>de</strong> manière holomorphe au voisinage <strong>de</strong> z 0 et F ′ (z 0 ) ≠ 0 (cf schéma 26). Si z 0 ∈ R et F (z 0 ) = A 1 alors (avec<br />

28


le schéma 27) (F (z) − F (z 0 )) 1 α se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage <strong>de</strong> z 0 <strong>de</strong> dérivée ≠ 0 en<br />

z 0 .<br />

(F (z) − A 1 ) 1 α = (z − z0 )H(z)<br />

fonction holomorphe au voisinage <strong>de</strong> z 0 avec H(z 0 ) ≠ 0<br />

(F (z) − A 1 ) = (z − z 0 ) α ˜H(z)<br />

fonction holomorphe au voisinage <strong>de</strong> z 0 avec ˜H(z 0 ) ≠ 0<br />

F ′ (z) = α(z − z 0 ) α−1 ˜H(z) + (z − z0 ) α ˜H′ (z) = (z − z 0 ) α−1 Ĥ(z)<br />

fonction holomorphe au voisinage <strong>de</strong> z 0 avec Ĥ(z 0) ≠ 0<br />

Transformation <strong>de</strong> Schwarz-Christoffell<br />

P polygone<br />

Supposons que F est une transformation conforme <strong>de</strong> H −→<br />

Théorème 5.1. Alors<br />

Autrement dit<br />

F ′ cste<br />

(z) =<br />

(z − a 1 ) β1 . . . (z − a n ) βn<br />

F (z) =<br />

∫ z<br />

où par convention (z − a j ) βj laisse stable R.<br />

0<br />

cste<br />

dw<br />

(w − a 1 ) β1 βn<br />

. . . (w − a n )<br />

Preuve 5.5. On définit U(z) = F ′ (z)(z − a 1 ) β1 . . . (z − a n ) βn :<br />

– holomorphe sur H<br />

– ∀z 0 ∈ R<br />

– si z 0 /∈ {a 1 , . . . , a n }, U(z) se prolonge <strong>de</strong> manière holomorphe au voisinage <strong>de</strong> z 0<br />

– si z 0 = a j , F ′ (z)(z − z 0 ) βj se prolonge <strong>de</strong> maniére holomorphe et donc U aussi (U(z 0 ) ≠ 0).<br />

– U au voisinage <strong>de</strong> 0 est réel.<br />

– U est réel sur R.<br />

– petit exercice : U est borné en +∞ (considérer ˜F (z) = F (− 1 z ).<br />

Remarque 5.1.1. Dans le cas du rectangle, on se trouve dans la situation du schéma 29 :<br />

Sur l’axe réel :<br />

F (z) = cste<br />

∫ z<br />

0<br />

F (x) =<br />

dw<br />

(w − 1) 1 2 (w + 1) 1 (w − k) 1 2 (w + k)1 2<br />

2<br />

∫ x<br />

∫ 1<br />

F (1) = K = cste<br />

0<br />

F (k) = K + i2K ′<br />

0<br />

dy<br />

(1 − y 2 ) 1 2 (k 2 − y 2 ) 1 2<br />

∫ k<br />

K ′ = cste<br />

1<br />

dy<br />

√<br />

(1 − y 2 )(1 − ( y<br />

k<br />

) 2)<br />

dy<br />

√<br />

(1 − y 2 )(1 − ( )<br />

y 2)<br />

k<br />

Posons I = F −1 “fonction elliptique”, on peut alors la prolonger par le principe <strong>de</strong> réflexion, puis prolonger<br />

par périodicité (cf schéma 30).<br />

Théorème 5.2. Si F est injective sur U, F (z) = z + ∑ n≥2 a nz n alors |a n | ≤ n.<br />

29


5.2 Compléments (variés) sur les transformations conformes (& autres)<br />

5.2.1 Sphère <strong>de</strong> Riemann<br />

On considère la sphère S = { (x, y, z) ∈ R 3 ∣ ∣ x 2 + y 2 + z 2 = 1 } et le plan équatorial π = {z = 0}. A<br />

chaque point M = (x, y, z) ∈ S on associe Z = (X, Y, 0) ∈ π en prenant l’intersection <strong>de</strong> π avec la droite<br />

passant par M et par A = (0, 0, 1) (cf schéma 2-1) :<br />

et par convention l’image <strong>de</strong> M = A est Z = ∞.<br />

On pose Z = X + iY :<br />

X =<br />

x<br />

1 − z<br />

Y =<br />

y<br />

1 − z<br />

X 2 + Y 2 = x2 + y 2<br />

(1 − z) 2 = 1 − z2<br />

(1 − z) 2 = 1 + z<br />

1 − z<br />

z = |Z|2 − 1<br />

|Z 2 | + 1<br />

x = X(1 − z) =<br />

y =<br />

2Y<br />

1 + |Z| 2<br />

2X<br />

1 + |Z| 2<br />

Un cercle C sur S s’écrit comme l’intersection <strong>de</strong> S avec un plan d’équation αx + βy + γz = δ. La<br />

projection stéréographique <strong>de</strong> C a pour équation<br />

γ |Z|2 − 1<br />

|Z 2 | + 1 + α 2X<br />

1 + |Z| 2 + β 2Y<br />

1 + |Z| 2 = δ<br />

(δ − γ)(X 2 + Y 2 ) − 2αX − 2βY + δ − γ = 0<br />

ce qui correspond à l’équation d’un cercle si C ne passe pas par A et à l’équation d’une droite si C passe par<br />

A. (cf http://www.youtube.com/watchv=6JgGKViQzbc).<br />

5.2.2 Singularités<br />

Supposons que F est holomorphe sur U \ {0} (cas où Ω est ouvert simplement connexe privé d’un point).<br />

Les fonctions holomorphes sur un tel domaine sont :<br />

– Les fonctions holomorphes sur U.<br />

– Les fonctions <strong>de</strong> la forme 1<br />

z k<br />

pour k ∈ N<br />

– z ↦→ e 1 z<br />

– Les combinaisons linéaires <strong>de</strong> ces fonctions<br />

Définition 5.1. On dit que<br />

– 0 est une singularité éliminable <strong>de</strong> F si F se prolonge en une fonction holomorphe sur U.<br />

– 0 est un pôle <strong>de</strong> F s’il existe n ∈ N ∗ et G holomorphe dans U avec G(0) ≠ 0 tel que ∀z ∈ U \ {0},<br />

F (z) = z −n G(z) (=⇒ polynôme en 1 |z|→0<br />

z<br />

+ fonction holomorphe). Dans ce cas on a |F (z)| −−−→ +∞.<br />

– Sinon on dit que 0 est une singularité essentielle pour F .<br />

Proposition 5.2. 0 est une singularité éliminable ⇐⇒ F est bornée au voisinage <strong>de</strong> 0.<br />

30


Preuve 5.6. (=⇒ évi<strong>de</strong>nt)<br />

⇐= Si F est bornée sur 3 4U \ {0} alors F est prolongeable en une fonction holomorphe. Idée : on note γ le<br />

cercle orienté <strong>de</strong> rayon 3 4 autour <strong>de</strong> 0 et γ ɛ le cercle orienté <strong>de</strong> rayon ɛ autour <strong>de</strong> 0. Alors ∀ξ ∈ U 2 \ {0},<br />

pour ɛ petit.<br />

∫<br />

2πiF (ξ) =<br />

γ<br />

∫<br />

F (z)<br />

z − ξ dz −<br />

γ ɛ<br />

F (ξ) = 1 ∫<br />

F (z)<br />

2iπ γ z − ξ dz<br />

F (z)<br />

z − ξ dz ɛ→0<br />

−−→0<br />

est bien une fonction holomorphe au voisinage <strong>de</strong> 0 en posant F (0) = 1<br />

2iπ<br />

∫<br />

γ<br />

F (z)<br />

z<br />

dz.<br />

Proposition 5.3. Si 0 est une singularité essentielle alors ∀ɛ > 0, F (ɛU) est <strong>de</strong>nse dans C.<br />

Corollaire 5.3. Si F est holomorphe sur U \ {0} et si |F (z)| z→0<br />

−−−→ ∞ alors 0 est un pôle pour F .<br />

Preuve 5.7. Supposons que a /∈ F (ɛU), alors on pose ˜F (z) = F (z) − a. ˜F est holomorphe sur U \ {0}<br />

et 0 /∈ ˜F (ɛU). Donc ∃ɛ 0 , ∃M, ∀z ∈ ɛ 0 U, | ˜F | > 1 1<br />

M<br />

. Si on pose G(z) = , G est bien holomorphe sur<br />

˜F (z)<br />

ɛ 0 U \ {0} et G est bornée au voisinage <strong>de</strong> 0 (par M). G est prolongeable en une fonction holomorphe non<br />

nulle ∃n 0 , a n0 ≠ 0, G(z) = a n0 z n0 + z n0+1 h où h est une fonction holomorphe. 0 est un pôle pour F = 1 G et<br />

|F (z)| |z|→0<br />

−−−→ ∞ ou |F (z)| |z|→0<br />

−−−→ 1<br />

a n0<br />

(si n 0 = 0) d’où la contradiction.<br />

Remarque 5.2.1. z ↦→ e 1 z possé<strong>de</strong> une singularité essentielle en 0.<br />

Définition 5.2. Si Ω est un ouvert <strong>de</strong> C simplement connexe, on dit que F est méromorphe sur Ω avec<br />

pôles en (z 1 , z 2 , z 3 , . . .) si :<br />

– F est holomorphe U \ ⋃ i {z i} −→ C<br />

– Chaque z i est un pôle pour F (i.e. |F (z)| −−−→ z→zi<br />

∞)<br />

– (z i ) suite (finie ou) dénombrable <strong>de</strong> points <strong>de</strong> Ω qui n’a pas <strong>de</strong> point d’accumulation.<br />

Remarque Soit Ω un ouvert simplement connexe “sympa” tel que F : Ω −→ U conforme se prolonge a ∂Ω<br />

(cf schéma 2-2). On obtient alors Φ comme sur le schéma et on pose v = IΦ qui vérifie :<br />

– v harmonique : ∆v = 0 dans Ω<br />

– v → 0 quand z → ∂ 0<br />

– v → 1 quand z → ∂ 1<br />

v est alors l’unique fonction harmonique vérifiant les conditions précé<strong>de</strong>ntes. On définit alors u la fonction<br />

harmonique conjuguée (définie à constante additive prés) et alors Φ = cste ∈ R + u + iv. u + iv est alors<br />

l’unique fonction holomorphe <strong>de</strong> Ω dans le domaine “ban<strong>de</strong>”.<br />

5.2.3 Fonctions univalentes<br />

On sait que si F (z) = a 1 z + ∑ n≥2 a nz n avec a 1 ≠ 0, alors ∃ɛ > 0 tel que F est conforme <strong>de</strong> ɛU −→ F (ɛU).<br />

Question naturelle : Que peut-on dire si F est une transformation conforme définie <strong>de</strong> U −→ F (U),<br />

que peut-on dire <strong>de</strong>s coefficients a n <br />

Remarque 5.2.2. Si F est univalente sur U (c’est à dire holomorphe et injective) alors ∀λ, λF aussi.<br />

Il suffit donc <strong>de</strong> comprendre le cas où F (z) = z + ∑ n≥2 a nz n .<br />

z<br />

Schéma 2-3, fonction <strong>de</strong> Koebe :<br />

(1−z)<br />

= ∑ 2 n≥1 nzn donc a n = n.<br />

Conjecture Bieberbach <strong>de</strong> prouvée en 1986 par <strong>de</strong> Branges :<br />

– Si F (z) = z + ∑ n≥2 a nz n est univalente alors ∀n ≥ 2, |a n | ≤ n<br />

– Si ∃n 0 tel que |a n | = n alors F est la fonction <strong>de</strong> Koebe (ou une conjuguée par rotation).<br />

31


5.2.4 Longueur extrémale et invariance conforme<br />

Motivation : Existe-t-il une quantité dans un ouvert invariante par transformation conforme <br />

Exemple : Soit Ω un ouvert simplemement connexe tel qu’il existe F conforme qui se prolonge en une<br />

bijection <strong>de</strong> Ω −→ U. On se donne quatre points A, B, C, D sur ∂Ω, a = F (A), b = F (B), c = F (C),<br />

d = F (D). (cf schéma 2-4) ∀ρ ∈ C ∞ , ρ > 0 dans Ω. On définit A ρ (Ω) = “aire <strong>de</strong> ρ” = ∫∫ Ω ρ(x, y)2 dxdy. ∀γ<br />

chemin dans Ω, γ : [0, 1] −→ Ω C 1 , on définit L ρ (γ) = “longueur pour ρ <strong>de</strong> γ” = ∫ T<br />

0 |γ′ (s)|ρ(γ(s))ds. Γ =<br />

ensemble <strong>de</strong>s chemins joignant (DA) ⊂ ∂Ω à (BC) ⊂ ∂Ω dans Ω (cf schéma 2-5) c’est à dire γ(0) ∈ (DA),<br />

γ(1) ∈ (BC), γ(]0; T [) ⊂ Ω. ∀ρ, inf γ∈Γ L ρ (γ) = “distance pour ρ entre (DA) et (CB)”.<br />

Question : Y-a-t il une fonction ρ qui rend cette distance aussi gran<strong>de</strong> que possible <br />

inf<br />

On pose d((DC), (AB), Ω) = sup<br />

γ∈Γ L ρ(γ) 2<br />

ρ A ρ(Ω)<br />

. On appelle cette quantité la longeur extrémale <strong>de</strong> l’ensemble<br />

<strong>de</strong>s chemins Γ.<br />

Remarque 5.2.3. Cette quantité est invariante par tranformation conformes : Si Φ : Ω −→ ˜Ω se prolonge en<br />

une bijection <strong>de</strong> Ω −→ ˜Ω alors<br />

d((DC), (AB), Ω) = d(Φ((DC)), Φ((AB)), ˜Ω)<br />

D’où<br />

˜ρ(Φ(z)) =<br />

ρ(z)<br />

|Φ ′ (z)|<br />

A˜ρ = A ρ (Ω)<br />

L˜ρ (Φ(γ)) = L ρ (γ)<br />

inf γ∈Γ L ρ (γ) 2 inf γ∈Γ L˜ρ (γ) 2<br />

sup<br />

= sup<br />

ρ>0 A ρ (Ω)<br />

˜ρ A˜ρ (˜Ω)<br />

Cas particulier : On prend pour Ω un rectangle <strong>de</strong> largeur 1 et <strong>de</strong> longueur l, avec A, B, C, D les<br />

sommets du rectangle (cf schéma 2-6) :<br />

Remarque 5.2.4.<br />

d’où<br />

∀ρ A ρ (Ω) =<br />

∫ 1 ∫ l<br />

0<br />

0<br />

ρ(x, y) 2 dxdy ≥<br />

∫ 1<br />

0<br />

(<br />

1<br />

l<br />

∫ l<br />

0<br />

ρ(x, y) 2 dx<br />

d((AD), (CB), Ω) ≤ l<br />

Remarque 5.2.5. Si ρ = 1, inf γ∈Γ L ρ (γ) = l, A ρ (Ω) = l :<br />

donc d((AD), (CB), Ω) = l<br />

inf γ∈Γ L ρ (γ) 2<br />

= l<br />

A ρ (Ω)<br />

) 2<br />

dy ≥ 1 l<br />

∫ 1<br />

0<br />

inf L ρ(γ) 2 dy<br />

γ∈Γ<br />

inf<br />

Exemple 2 : (cf schéma 2-7) : Γ : ensemble <strong>de</strong>s chemins joignant ∂ int à ∂ ext dans Ω sup<br />

γ∈Γ L ρ(γ) 2<br />

ρ A ρ(Ω)<br />

est invariant par tranformations conformes. Si on considére un anneau formé <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux cercles concentriques,<br />

l’un <strong>de</strong> rayon 1, l’autre <strong>de</strong> rayon R, la même métho<strong>de</strong> que dans l’exemple précé<strong>de</strong>nt montre que la distance<br />

extrémale est ≥ log R<br />

1<br />

2π<br />

et cette valeur est atteinte pour ρ(z) =<br />

|z| .<br />

Remarque 5.2.6. Culturelle Sous certaine conditions on peut trouver <strong>de</strong>s transformations conformes envoyant<br />

“naturellement” un ouvert à un trou dans un anneau (cf schéma 2-9) et un ouvert à n trous dans un truc<br />

ichelou (cf schéma 2-10).<br />

32


6 Fonctions holomorphes et méromorphes sur C<br />

6.1 Rappels et définitions<br />

Définition 6.1. Une fonction F : C −→ C est dite “entière” si c’est une fonction holomorphe sur C.<br />

Remarque 6.1.1. Il y en a beaucoup, il suffit <strong>de</strong> considérer F (z) = ∑ n≥0 a nz n <strong>de</strong> rayon <strong>de</strong> convergence infini.<br />

Remarque 6.1.2. Si F est entière et bornée alors F est constante. On a même mieux : si ∃n 0 , ∃C, ∀z,<br />

|F (z)| ≤ C(|z| n0 + 1) et F entière alors F est un polynôme.<br />

Remarque 6.1.3. On connaît <strong>de</strong>s fonctions entières non-constantes telles que ∀z ∈ C, F (z) ≠ 0. Il suffit <strong>de</strong><br />

prendre F (z) = e G(z) pour G(z) entière.<br />

Définition 6.2. On dit que F est méromorphe sur C s’il existe une suite (z ν ) ν>0 ∈ C avec |z ν | → ∞ telle<br />

que : F est définie sur C \ {z ν , ν ≥ 0}, holomorphe sur cet ensemble et z ν est un pôle pour F . Autrement<br />

dit ∃P ν polynôme <strong>de</strong> <strong>de</strong>grés n ν tel que z ↦→ F (z) − P ν (<br />

1<br />

z−z ν<br />

) est holomorphe au voisinage <strong>de</strong> z ν .<br />

6.2 “Resommation”<br />

Si F est méromorphe avec une infinité <strong>de</strong> pôles, on aimerait dire que F (z) − ∑ ν P 1<br />

ν(<br />

z−z ν<br />

) est entière.<br />

Problème : La sommation sur ν ne converge pas forcément.<br />

−→ idée : c’est pas grave. On va trouver <strong>de</strong>s polynômes p ν <strong>de</strong> sorte que<br />

F (z) − ∑ (<br />

)<br />

1<br />

P ν ( ) − p ν (z)<br />

z − z<br />

ν<br />

ν<br />

soit entière.<br />

Exemple simple où ce n’est pas la peine :<br />

F (z) =<br />

π 2<br />

(sin(πz)) 2<br />

din(πz) = eiπz − e −iπz<br />

2i<br />

s’annule lorsque e 2iπz = 1 c’est à dire lorsque z ∈ Z. L’ensemble <strong>de</strong>s pôles <strong>de</strong> F : Z. Tous les polynômes :<br />

P ν (z) = z 2 Question : la somme ∑ ( 2<br />

1<br />

n∈Z z−n)<br />

converge-t-elle Réponse : Oui, sans problème, la fonction<br />

G(z) := ∑ ( ) 2<br />

1<br />

n∈Z z−n est holomorphe sur C\Ϝ. Si on pose E(z) =<br />

π 2<br />

(sin(πz))<br />

− ∑ ( 2,<br />

1<br />

2 n∈Z z−n)<br />

E se prolonge<br />

en une fonction entière. En fait :<br />

– ∀z ∈ C, E(z + 1) = E(z)<br />

– Si on regar<strong>de</strong> E sur la ban<strong>de</strong> verticale <strong>de</strong> partie réelle [0; 1], on observe que E −−−−−−−→ I(z)→±∞<br />

0 (cf schéma<br />

2-11)<br />

– E entière bornée =⇒ E constante qui doit être forcément nulle car <strong>de</strong> limite nulle en ±i∞<br />

Théorème 6.1. Soit f une fonction méromorphe sur C, avec une infinité <strong>de</strong> pôles (z ν ) ν∈N (|z ν | → +∞).<br />

1<br />

Soient (P ν ) ν <strong>de</strong>s polynômes tels que ∀ν, au voisnage <strong>de</strong> z ν , z ↦→ f(z) − P ν (<br />

z−z ν<br />

) se prolonge en une fonction<br />

holomorphe.<br />

Alors il existe <strong>de</strong>s polynômes (p ν ) ν <strong>de</strong> telle sorte que z ↦→ ∑ (<br />

)<br />

1<br />

ν<br />

P ν (<br />

z−z ν<br />

) − p ν (z) converge uniformément<br />

sur tout compact inclus dans C \ ⋃ n {z ν} et alors z ↦→ f(z) − ∑ (<br />

)<br />

1<br />

ν<br />

P ν (<br />

z−z ν<br />

) − p ν (z) se prolonge en une<br />

fonction entière.<br />

Remarque 6.2.1. Si ˜P est un polynôme alors on peut voir ˜P ( 1<br />

1−y ) = ∑ N<br />

k=0 a k( 1<br />

1−y )k comme une série entière<br />

en y <strong>de</strong> rayon <strong>de</strong> convergence 1.<br />

33


Preuve 6.1. Avec la remarque précé<strong>de</strong>nte, pour tout ɛ > 0, il existe un polynôme ˜p(y) tel que ∀|y| < 1 2 ,<br />

| ˜P ( 1<br />

1−y ) − ˜p(y)| < ɛ<br />

– Si z ν0 = 0 est un pôle, alors on prend p ν0 (z) = 0<br />

1<br />

– Si z ν est pôle non nul, P ν (<br />

z−z ν<br />

) = ˜P 1 ν (<br />

1−<br />

) On choisit alors ˜p z<br />

ν <strong>de</strong> sorte que, ∀|y| < 1 2 , | ˜P ν ( 1<br />

1−y ) −<br />

zν<br />

˜p(y)| ≤ 1<br />

2<br />

Ainsi, ∀ν avec z ν ν ≠ 0, ∀z avec |z| < |zν|<br />

2<br />

, on a :<br />

1<br />

|P ν ( ) − ˜p( z )| ≤ 1 z − z ν z ν 2 ν<br />

Donc pour tout R donné, il existe ν 1 tel que, ∀ν ≥ ν 1 , |z ν | > 2R et ainsi ∑ 1<br />

ν≥ν 1<br />

|P ν (<br />

z−z ν<br />

) − ˜p( z<br />

z ν<br />

)| est une<br />

série absolument et uniformément convergente <strong>de</strong> fonctions holomorphes sur B(0, R). Cette série est donc<br />

aussi holomorphe sur B(0, R). De là, ∑ ν≥1 P 1<br />

ν(<br />

z−z ν<br />

) − p(z) est une fonction méromorphe sur B(0, R)<br />

}{{}<br />

=˜p( z<br />

zν )<br />

dont les pôles dans cette boule sont ceux <strong>de</strong> f.<br />

Si on note G cette fonction, G a les mêmes pôles que f et G − f est définie sur C \ ⋃ ν {z ν}, reste bornée au<br />

voisinage <strong>de</strong> chaque pôle et se prolonge donc en une fonction entière.<br />

Remarque 6.2.2. On a vu que :<br />

= ∑ n∈Z<br />

–<br />

π 2<br />

(sin πz) 2<br />

1<br />

(z−n) 2<br />

– En intégrant, πcotan(πz) = ∑ n∈Z 1<br />

z−n<br />

: ne converge pas donc ne marche pas. . .<br />

Mais a-t-on πcotan(πz) = 1 z + ∑ 2z<br />

n≥1 z 2 −n<br />

oui !<br />

2<br />

6.3 Factorisation <strong>de</strong> fonctions entières<br />

On s’intéresse maintenant à <strong>de</strong>s fonctions entières (F : C → C holomorphe) et à leurs zéros.<br />

Remarque 6.3.1. Si F est une fonction entière sans zéros alors il existe f entière telle que F (z) = e f(z) .<br />

Preuve 6.2. On remarque que F ′<br />

F est une fonction entière et on note ˜f une primitive <strong>de</strong> F ′<br />

F<br />

. Alors, si on<br />

pose H(z) = F (z)e − ˜f(z) , on a :<br />

H ′ (z) = F ′ (z)e − ˜f(z) − F (z) ˜f ′ (z) e − ˜f(z) = 0<br />

} {{ }<br />

F ′<br />

F<br />

Donc H est constante et F (z) = Ke ˜f(z) . Comme la constante K est non nulle, K = e α , α ∈ C. Donc<br />

F (z) = e (α+ ˜f(z)) .<br />

Remarque 6.3.2. Si F est une fonction entière avec un nombre fini <strong>de</strong> zéros, F (z 1 ) = F (z 2 ) = . . . = F (z N ) = 0<br />

et ∀z /∈ {z 1 , . . . , z n }, F (z) ≠ 0, alors si n 1 , . . . , n N sont les multiplicités <strong>de</strong> z 1 , . . . , z N alors la fonction<br />

G(z) =<br />

est entière et ne s’annule pas. Donc il existe une fonction entière f telle que F (z) =<br />

F (z)<br />

(z−z 1) n 1 ...(z−z N ) n N<br />

(z − z 1 ) n1 . . . (z − z N ) n N<br />

e f(z) . Si tous les z i sont non nuls, on peut aussi écrire F (z) = ∏ N<br />

i=1 (1 − z z i<br />

) ni e ˜f(z) .<br />

Remarque 6.3.3. Si F est une fonction entière non constante qui a une infinité <strong>de</strong> zéros (z i ) i∈N alors<br />

{z i | i ∈ N} n’a pas <strong>de</strong> point d’accumulation dans C, et quitte à réordonner, |z j | −−−−→ j→+∞<br />

+∞.<br />

Peut-on alors l’écrire F (z) = z α ∏ i≥1 (1 − z z i<br />

) ni e ˜f(z) <br />

Pas toujours : il faut que le produit soit bien défini.<br />

rappel ∀|y| < 1 2 , on peut définir log(1 + y) la détermination continue du logarithme sur D(0, 1 2<br />

) qui vaut<br />

0 en y = 0, <strong>de</strong> sorte que exp(log(1 + y)) = 1 + y (et on a | log(1 + y)| ≤ 2|y|). Ainsi, si (a n ) n≥1 est une suite<br />

<strong>de</strong> nombres complexes ≠ −1 avec ∑ n≥1 |a n| < ∞, alors le produit ∏ n≥1 (1 + a n) est bien défini et non nul.<br />

34


Exemple : Posons G(z) = z ∏ z2<br />

n≥1<br />

(1 −<br />

n<br />

) puis on note que z ↦→ sin(πz)<br />

2 πG(z)<br />

se prolonge en une fonction entière<br />

sans zéro. Ainsi sin(πz)<br />

π<br />

= G(z)e f(z) , avec f entière. On peut facilement se rendre compte que f = 0<br />

(par exemple en regardant la dérivée logarithmique et en utilisant le fait que πcotan(πz) = 1 z +∑ 2z<br />

n≥1 z 2 −n<br />

). 2<br />

Proposition 6.1. Si ∑ ( ∏N<br />

|a n | converge et, ∀n ∈ N, a n ≠ −1, alors<br />

k=1 k))<br />

(1 + a converge vers un<br />

N<br />

complexe non nul noté ∏ ∞<br />

k=1 (1 + a k).<br />

Preuve 6.3. a n → 0 donc à partir d’un certain rang, |a n | < 1 2 . On peut alors définir log(1 + y) sur 1 2 U tel<br />

que exp(log(1 + y)) = 1 + y.<br />

N∑<br />

S N = log(1 + a n ) −−−−−→ converge<br />

S ∞<br />

n=n 0+1<br />

De là, ∏ N<br />

n=1 (1 + a n) = ∏ n 0<br />

n=1 (1 + a n)e S N<br />

→ ∏ n 0<br />

n=1 (1 + a n)e S∞ ∈ C ∗<br />

Proposition 6.2. Soit Ω ⊂ C ouvert, (F n ) n une suite <strong>de</strong> fonctions holomorphes sur Ω et une suite a n > 0<br />

tel que :<br />

– ∀n, ∀z ∈ Ω, |F n (z) − 1| ≤ a n<br />

– ∑ a n < ∞<br />

Alors pour tout z ∈ Ω, ∏ N<br />

n=1 F n(z) → G(z) ∈ C.<br />

Si ∀n, F n (z) ≠ 0, alors G(z) ≠ 0, G est holomorphe sur Ω et ∑ N<br />

n=1<br />

F ′ n (z)<br />

F n(z) → G′ (z)<br />

G(z) .<br />

Preuve 6.4. La convergence découle <strong>de</strong> la proposition précé<strong>de</strong>nte, tout comme la non nullité <strong>de</strong> G. G est<br />

holomorphe comme limite uniforme <strong>de</strong> fonction holomorphes<br />

|G(z) −<br />

N∏<br />

| ≤<br />

n≥1(1 ∏ + a n )|1 −<br />

n=1<br />

∞∏<br />

(1 + a n ) |<br />

N+1<br />

} {{ }<br />

N→+∞<br />

−−−−−→1<br />

Si G N (z) = ∏ N<br />

n=1 F n(z) et si G(z 0 ) ≠ 0, alors il existe K, voisinage compact <strong>de</strong> z 0 , sur lequel G(z) ≠ 0. De<br />

CVU<br />

plus, G N −−−→ G sur K et G ′ CVU<br />

N −−−→ G ′ sur K. Donc G′ CVU<br />

N<br />

−−−→ G′<br />

G<br />

sur K. Or G′ N<br />

G N<br />

= ∑ F ′ N<br />

N<br />

.<br />

Cas particulier : On se donne (z n ) n ∈ C ∗ tel que ∑ n≥0 |z < ∞. On peut alors définir G(z) = ∏ n| n≥0 (1−<br />

z<br />

z n<br />

). C’est une fonction holomorphe : si R > 0 et Ω = B(0, R), on peut appliquer le résultat précé<strong>de</strong>nt avec<br />

a n =<br />

R<br />

|z et F n| n(z) = 1 − z<br />

z n<br />

.<br />

G est entière, s’annule en chaque z n . Elle ne s’annule pas ailleurs et ∀z /∈ {z k | k ∈ N},<br />

G ′ (z)<br />

G(z) = ∑ n≥0<br />

−<br />

1<br />

z n<br />

G N<br />

1 − z<br />

z n<br />

1<br />

1<br />

= ∑ z − z n<br />

n≥0<br />

Exemple : F n (z) = 1 − z2<br />

n<br />

, F 2 0 (z) = z<br />

En faisant la même chose, on dispose <strong>de</strong> G(z) = z ∏ z2<br />

n≥1<br />

(1 −<br />

n<br />

). ∀z /∈ Z,<br />

2<br />

G ′ (z)<br />

G(z) = 1 z + ∑ 2z<br />

z 2 − n 2<br />

n≥1<br />

= πcotan(πy)<br />

= F ′ (z)<br />

F (z)<br />

si F (z) = sin(πz)<br />

π<br />

35


F<br />

G<br />

est alors une fonction holomorphe sur C \ Z qui se prolonge en une fonction entière qui ne s’annule pas :<br />

il existe f entière tel que F = Ge f . De plus, F ′<br />

F = G′<br />

G<br />

+ f ′ donc f ′ = 0 et f = cste. Or F (z) z→0<br />

z<br />

−−−→ 1 et<br />

G(z) z→0<br />

z<br />

−−−→ 1 : f = 0. On a donc : sin(πz)<br />

z<br />

= z ∏ z2<br />

n≥1<br />

(1 −<br />

n<br />

). 2<br />

Plus généralement, si on se donne une suite (z n ) n≥1 dans C \ {0} avec |z n | −→ ∞, on voudrait construire<br />

une<br />

∑<br />

fonction entière qui s’annule en chaque z n et nulle part ailleurs. On vient <strong>de</strong> voir que c’est le cas si<br />

1<br />

n≥1 |z < ∞ (on prend juste ∏ n| n≥1 (1 − z<br />

z n<br />

)) mais la recette ne marche pas si ∑ 1<br />

n≥1<br />

(<br />

|z = ∞.<br />

n|<br />

(1 − z<br />

Idée : Prendre F (z) = “ ∏ n≥1<br />

z n<br />

)e fn(z) )” où les f n sont choisis <strong>de</strong> sorte que le produit converge.<br />

Une faCcon <strong>de</strong> procé<strong>de</strong>r est <strong>de</strong> noter que : ∀|y| < 1 2<br />

y2<br />

∣log(1 − y) + y +<br />

2 . . . + yk<br />

k ∣ < C|y|k+1<br />

où C est une constante indépendante <strong>de</strong> k et <strong>de</strong> |y| < 1 2 . ( car ∣ ∣∣ ∑ ∞<br />

j=k+1<br />

y j<br />

j<br />

∣ ≤ |y| k+1<br />

∣ log(1 − z ) + ( z ) + 1 z n z n 2 ( z ) 2 . . . + 1 z n k ( z ∣ ∣∣∣<br />

) k < C|y| k+1<br />

z n<br />

dés que |z| ≤ |zn|<br />

2<br />

On peut ainsi choisir k = k(n) <strong>de</strong> sorte que ∀z avec |z| ≤ |zn|<br />

2<br />

(<br />

∣ exp log(1 − z ) + ( z ) + 1 z n z n 2 ( z ) 2 . . . + 1 z n k ( z )<br />

) k<br />

z n<br />

Alors on pose f n (z) =<br />

z<br />

z n<br />

+ 1 2<br />

(<br />

) 2<br />

z<br />

z n<br />

+ . . . +<br />

1<br />

k(n)<br />

(<br />

− 1<br />

∣ < 2−n<br />

∞ ∑<br />

|y| j<br />

et donc<br />

j + 1<br />

j=0<br />

} {{ }<br />

(j+1) =C<br />

≤ ∑ ∞<br />

j=0 2−j<br />

) k(n)<br />

z<br />

z n<br />

et Fn (z) = (1 − z<br />

z n<br />

)e fn(z) . Alors ∀z tel que<br />

|z| ≤ |zn|<br />

2 , on a |F n(z) − 1| ≤ 2 −n . ∀R > 0, on considère Ω = B(0, R), on veut montrer que ∏ n≥1 F n(z) est<br />

bien défini dans B(0, R). Mais ∃n 0 , ∀n ≥ n 0 |z n | ≥ 2R et on peut donc appliquer le résultat précé<strong>de</strong>nt : pour<br />

∏ N<br />

n=n 0<br />

F n (z) −−−−→ N→∞<br />

fonction holomorphe G(z) non nulle sur Ω (en prenant a n = 2 −n ) et donc ∏ ∞<br />

n=1 F n(z) −→<br />

∏ n0−1<br />

n=1 (z − z n) × G(z).<br />

Résumé :<br />

<strong>de</strong>s zéros.<br />

On a donc une procédure qui permet <strong>de</strong> définir une fonction entière dont on a prescrit l’ensemble<br />

Remarque 6.3.4. Si on applique cette procédure pour fabriquer une fonction entière ayant une racine simple<br />

en chaque entier et nulle part ailleurs<br />

∏<br />

z (1 − z n )efn(z)<br />

n∈Z\{0}<br />

Or |ln(1 − y) + y| < C|y| 2 lorsque |y| < 1 2 . On prend simplement f n(z) = z n Tentative :<br />

∏<br />

z (1 − z n )e z n<br />

n∈Z\{0}<br />

En fait, alors ∀z fixé, pour |n| grand : |(1 − z n )e z n − 1| ≤ C ∣ z ∣ 2 et donc cette procédure fonctionne. C’est<br />

presque la même que z ∏ z2<br />

n≥1<br />

(1 −<br />

n<br />

) car e z 2 n e − z n = 1.<br />

Remarque 6.3.5. Si on utilise la même idée pour fabriquer une fonction<br />

∏<br />

entière dont les racines sont exactement<br />

les entiers strictement positifs. On obtient : U(z) = lim N→∞ n=1 (1 − z n )e z n . Alors zU(z)U(−z) =<br />

N<br />

sin(πz)<br />

π<br />

, ∀z ∈ C.<br />

n<br />

36


Rappel : On a vu que :<br />

– Si on se donne une suite z n ∈ C avec |z n | → +∞ et si P n est une suite <strong>de</strong> polynômes alors on sait<br />

construire une fonction méromorphe F dont les pôles sont exactement (z n ) et tel que ∀n, au voisinage<br />

1<br />

<strong>de</strong> z n , F (z) − P (<br />

z−z n<br />

) reste bornée (idée : ∑ ( 1<br />

P n (<br />

z−z n<br />

) − p n (z) )<br />

– Si on se donne une suite (z n ) dans C avec |z n | → +∞ alors on sait construire une fonction entière F<br />

dont les z n sont (exactement et en comptant les multiplicités) les zéros<br />

Idée : Si tous les z n ≠ 0 : ∏ n≥1<br />

( ) (<br />

par 1 − z<br />

z n<br />

exp<br />

z<br />

z n<br />

)<br />

( )<br />

1 − z<br />

z n<br />

pour assurer la convergence on remplace le terme principal<br />

+ 1 2 ( z<br />

z n<br />

) 2 + . . . + 1<br />

m(n) ( z<br />

z n<br />

) m )<br />

– Conséquence : Si ˜F est holomorphe et si (zn ) sont ses zéros, si on regar<strong>de</strong> ˜F<br />

F<br />

est une fonction entière<br />

sans zéros = e G(z) du coup :<br />

˜F (z) := e G(z) z ∏ m (1 − z )e z<br />

z n<br />

n≥1<br />

zn + 1 2 ( z<br />

zn )2 +...+ 1<br />

m(n) ( z<br />

zn )m<br />

– Si F est une fonction méromorphe alors il existe <strong>de</strong>ux fonctions entières F 1 et F 2 telles que ∀z ∈ Pôles<br />

<strong>de</strong> F , F (z) = F1(z)<br />

F 2(z)<br />

idée : On définit F 2 (z) <strong>de</strong> sorte que ∀z n pôle d’ordre k pour F , z n sont un zéro <strong>de</strong> multiplicité k pour<br />

F 2 et on vérifie que F 2 (z)F (z) se prolonge en une fonction entière F 1 .<br />

6.4 Lien entre croissance d’une fonction entière et nombre <strong>de</strong> zéros<br />

6.4.1 Rappels & intro<br />

Remarques :<br />

– Un polynôme <strong>de</strong> C[X] est essentiellement déterminé par ses zéros (avec multiplicité).<br />

– Si on se donne une fonction entière F telle que ∃K > 0, ∃C > 0, ∀|z| > 1, |F (z)| ≤ C|z| K alors F est<br />

un polynôme.<br />

– En choisissant le comportement d’une fonction en ∞ on caractérise partiellement la fonction : si elle est<br />

holomrphe sur C ∪ ∞ alors elle est constante ; si elle a un pôle en ∞ (et holomorphe ailleurs) alors c’est<br />

un polynôme. Les fonctions “intéressantes” et holomorphes possé<strong>de</strong> donc une singularité essentielle en<br />

∞.<br />

Questions :<br />

– Peut-on lier le nombre (“la <strong>de</strong>nsité”) <strong>de</strong> zéros <strong>de</strong> F au type <strong>de</strong> croissance <strong>de</strong> F au voisinage <strong>de</strong> l’infini <br />

– Dans quelle mesure une fonction entière est-elle déterminée par l’ensemble <strong>de</strong> ses zéros <br />

Définition 6.3. Pour quantifier le “nombre <strong>de</strong> zéros” d’une fonction entière<br />

– n(R) est le nombre <strong>de</strong> zéros (avec multiplicités) <strong>de</strong> F dans D(0, R). On peut regar<strong>de</strong>r alors le comportement<br />

<strong>de</strong> n(R) lorsque R → ∞.<br />

– On peut aussi regar<strong>de</strong>r pour quelles valeurs <strong>de</strong> s > 0, la somme ∑ 1<br />

|z s n | converge.<br />

Définition 6.4. Pour majorer |F| au voisinage <strong>de</strong> ∞ On note C ρ l’ensemble <strong>de</strong>s fonctions entières F telles<br />

qu’il existe A, B ∈ R + <strong>de</strong> sorte que<br />

∀z ∈ C, |F (z)| ≤ Ae B|z|ρ<br />

On définit l’ordre <strong>de</strong> F comme l’infinimum <strong>de</strong> l’ensemble {ρ | F ∈ C ρ } (avec la convention inf ∅ = ∞)<br />

6.4.2 Résultats simple entre n(R) et C ρ<br />

Questions : Y-a-t il un lien entre le comportement <strong>de</strong> n(R) et l’ordre d’une fonction entière <br />

Théorème 6.2. Si F ∈ C ρ (pour ρ > 0) alors :<br />

– ∃C < ∞ telle que ∀R ≥ 1, n(R) ≤ CR ρ 37


– ∀s > ρ alors ∑ 1<br />

|z n| s < ∞ où les (z n ) sont la suite <strong>de</strong>s zéros non nuls <strong>de</strong> F avec multiplicité.<br />

Remarque 6.4.1. Moralement : beaucoup <strong>de</strong> zéros =⇒ croissance rapi<strong>de</strong><br />

On va utiliser le résultat suivant :<br />

Théorème 6.3. <strong>de</strong> Jensen Si f est une fonction holomorphe sur un voisinage <strong>de</strong> D(0, R) avec f(0) ≠ 0 et<br />

f ≠ 0 sur le cercle C(0, R) et si z 1 , . . . , z N sont ses zéros dans D(0, R) (avec multiplicité) alors<br />

log |f(0)| =<br />

N∑<br />

n=1<br />

log |z n|<br />

R + 1<br />

2π<br />

∫ 2π<br />

0<br />

log |f(Re iθ )|dθ<br />

Preuve 6.5. On note que si la formule est vraie pour la fonction f 1 et la fonction f 2 alors elle l’est aussi<br />

pour f 1 × f 2 . En [ effet, “formule pour f 1 ” + “formule pour f 2 ” = “formule pour f 1 + f 2 ”. Or f quelconque<br />

∏N<br />

s’écrit f(z) =<br />

n=1 n)]<br />

(z − z g(z) où g est une fonction holomorphe qui ne s’annule pas sur un voisinage<br />

<strong>de</strong> D(0, R). Il suffit donc <strong>de</strong> vérifier la formule pour g et les fonction (z − z n ).<br />

∫<br />

– Pour g : On veut montrer que log |g(0)| = 1 2π<br />

2π<br />

log |g(Re iθ )|dθ avec g ≠ 0 sur D(0, R), on peut donc<br />

0<br />

définir G holomorphe telle que g = e G sur un voisinage <strong>de</strong> D(0, R) et alors log |g(z)| − Re(G(z)) =<br />

fonction harmonique dont la valeur au centre est égale à la moyenne sur C(0, R).<br />

– Pour z ↦→ z − z n avec z n ∈ D(0, R). On veut montrer que<br />

log |z n | = log |z n | − log R + 1<br />

2π<br />

∫ 2π<br />

∫<br />

On veut donc montrer que 1 2π<br />

2π<br />

log |e iθ − zn 0 R |dθ = 0<br />

Ce qui donne en posant a = zn R et en remplaCcant θ par −θ : 1<br />

0<br />

log |Re iθ − z n |dθ<br />

∫ 2π<br />

2π<br />

log |1 − ae iθ |dθ = 0<br />

0<br />

La fonction z ↦→ 1 − az est non nulle et holomorphe sur un voisinage du disque unité et comme dans<br />

le cas précé<strong>de</strong>nt on a :<br />

1<br />

2π<br />

∫ 2π<br />

0<br />

log |1 − ae iθ |dθ = log |1| = 0<br />

Remarque 6.4.2. Si f est une fonction entière avec f(0) ≠ 0 alors<br />

n(r) = ∑ n≥1<br />

frm[o]−− |zn|≤r<br />

∫ R<br />

0<br />

n(r) dr<br />

r = ∑ n≥1<br />

= ∑ n≥1<br />

(formule <strong>de</strong> Jensen)<br />

=<br />

∫ R<br />

1<br />

2π<br />

|z n|<br />

∫ 2π<br />

∫ R<br />

0<br />

dr<br />

r =<br />

Outil <strong>de</strong> base pour démontrer le théorème immédiatement.<br />

0<br />

dr<br />

frm[o]−− |zn|≤r<br />

r<br />

∑<br />

n/|z n|≤R<br />

R<br />

|z n |<br />

log |f(Re iθ )|dθ − log |f(0)|<br />

Preuve 6.6. En effet, si f ∈ C ρ alors ∃A, B avec ∀z ∈ C, |f(z)| ≤ Ae B|z|ρ . Donc ∃C tel que ∀z avec |z| > 1<br />

log |f(z)| ≤ C|z| ρ<br />

et alors ∀R > 1 :<br />

∫ R<br />

0<br />

n(R) dr<br />

r ≤ CRρ + cste ≤ C ′ R ρ<br />

38


Comme r ↦→ n(r) est croissante :<br />

log 2n(R) ≤<br />

On obtient bien n(R) ≤ ( C′ 2 ρ<br />

log 2 )Rρ<br />

∫ 2R<br />

R<br />

n(R) dr ∫ 2R<br />

r ≤ n(r) dr ∫ 2R<br />

r ≤<br />

Chaque z n (avec |z n | > 1) appartient à un intervalle ]2 j , 2 j+1 ] (j > 0).<br />

⎛<br />

∑<br />

n≥1<br />

1<br />

|z n | s = ∑<br />

|z n|≤1<br />

R<br />

0<br />

n(R) dr<br />

r ≤ C′ (2R) ρ<br />

⎞<br />

1<br />

|z n | s + ∑ ∑ 1<br />

⎜<br />

|z<br />

j≥0 ⎝<br />

n | s<br />

⎟<br />

|z n|∈]2 j ,2 j+1 ] ⎠<br />

} {{ }<br />

⋆<br />

Conclusion : si s > ρ alors ∑ 1<br />

|zn| s<br />

6.4.3 Théorème d’Hadamard<br />

< ∞<br />

⋆ ≤ 1<br />

2 js · n(2j+1 )<br />

≤ cste × 2 −js × 2 jρ<br />

≤ cste2 −ɛj<br />

ɛ = s − ρ<br />

Théorème 6.4. d’Hadamard Soit F une fonction entière d’ordre p. Si (z n ) n∈N ∗ désigne la suite <strong>de</strong>s zéros<br />

non nuls (avec multiplicité), et si k + 1 > p, k ∈ N, alors on peut écrire<br />

F (z) = exp(P (z))z ∏ [<br />

m (1 − z ) exp(( z ) + 1 z n z n 2 ( z ) 2 + . . . + 1 z n k ( z ]<br />

) k )<br />

z n<br />

n≥1<br />

où m est la multiplicité du zéro 0 <strong>de</strong> F et P est un polynôme <strong>de</strong> <strong>de</strong>gré ≤ k.<br />

Remarque 6.4.3. Lorsque p < 1, on prend k = 0. Dans ce cas là, l’énoncé <strong>de</strong>vient : F (z) = αz m ∏ n≥1 (1− z<br />

z n<br />

).<br />

Pour démontrer ce cas :<br />

– p < 1 =⇒ ∑ 1<br />

n≥1 |z < ∞ =⇒ ∏ n| n≥1 (1 − z<br />

z n<br />

) converge pour tout z.<br />

– z ↦→ ∏ n≥1 (1 − z<br />

z n<br />

) est entière : ˜F (z) = z<br />

m ∏ n≥1 (1 − z<br />

z n<br />

) est donc entière.<br />

– F˜F se prolonge en une fonction entière qui n’a pas <strong>de</strong> zéro. Il existe g entière telle que F˜F = exp ◦g. Il<br />

faut alors essayer <strong>de</strong> majorer 1˜F au voisinage <strong>de</strong> +∞. On aura alors une majoration <strong>de</strong> | exp ◦g| c’est à<br />

dire <strong>de</strong> R(g), pour déduire que g = cste.<br />

Preuve 6.7. On va poser E k (u) = (1 − u) exp(u + u2<br />

2 + . . . + uk<br />

k ). Ainsi, quand |u| < 1 2 ,<br />

Pour finir la preuve du théorème d’Hadamard, il nous reste à montrer que :<br />

Lemme 6.1. Si g est une fonction entière telle que ∃C, s > 0, avec k + 1 ≥ s > k tel que ∀z avec |z| ≥ 1,<br />

R(g(z)) ≤ C|z| s alors g est un polynôme <strong>de</strong> <strong>de</strong>gré ≤ k.<br />

Preuve 6.8. On a g(z) = ∑ n≥0 a nz n série entière qui converge sur C et on note que :<br />

1<br />

2π<br />

∫ 2π<br />

0<br />

g(Re iθ )e −inθ dθ =<br />

39<br />

[<br />

am R m si m ≥ 0<br />

0 si m < 0


car<br />

1<br />

2π<br />

∫<br />

∫<br />

−m dz<br />

g(z)z<br />

C R<br />

z = dz<br />

a m<br />

C R<br />

z<br />

∫<br />

1 2π<br />

[<br />

g(Re iθ )e −inθ a0 si m = 0<br />

dθ =<br />

2π 0<br />

0 si m > 0<br />

[ 1<br />

R(g(Re iθ ))e −inθ dθ = 2 a mR m si m > 0<br />

R(a 0 ) si m = 0<br />

∫ 2π<br />

0<br />

On veut montrer que si R(g(z)) ≤ C|z| s , ∀|z| > 1 alors ∀m ≥ k + 1, a m = 0. Soit m ≥ k + 1 > s.<br />

∣ 1 ∣∣∣<br />

∣2 a mR m ≤ 1<br />

2π<br />

Conclusion : a m = 0<br />

∫ 2π<br />

0<br />

− 1 2 a mR m = 1<br />

2π<br />

∫ 2π<br />

7 Fonctions Γ, ζ et applications<br />

7.1 Fonction Γ<br />

7.1.1 Approche #1<br />

Rappel : sin(πz)<br />

π<br />

0<br />

(CR s − R(g(Re iθ ))e −inθ ) e −inθ dθ<br />

} {{ }<br />

réel >0 si R≥1<br />

(CR s − R(g(Re iθ ))e −inθ )dθ = CR s − R(a 0 ) =⇒ |a m | ≤ 2CR s−m − R(a 0)<br />

R m<br />

est “la” fonction entière la plus simple dont les zéros sont Z (et les zéros sont simples).<br />

sin(πz)<br />

π<br />

= z ∏ n≠0(1 − z n )e z n<br />

Si on cherche “la fonction G” entière la plus simple dont les zéros (simples) sont exactement les entiers<br />

négatifs ou nuls G(z) = z ∏ n≠0 (1 − z n )e z n .<br />

Remarque 7.1.1. z ↦→ G(1 − z) entière, les zéros sont les entiers > 0, du coup G(z)G(1 − z) est une fonction<br />

entière, d’ordre 1 dont l’ensemble <strong>de</strong>s zéros est Z. Conclusion : ∃a, b∞C, G(z)G(1 − z) = e az+b sin(πz)<br />

π<br />

Remarque 7.1.2. z ↦→ G(z + 1) fonction entière dont les zéros simples sont exactement les entiers < 0. Avec<br />

le même argument que précé<strong>de</strong>mment, on obtient : zG(z + 1) = e a′ z+b ′ G(z).<br />

7.1.2 Approche #2<br />

On pose : ∀z avec R(z) > 0, Γ(z) = ∫ ∞<br />

0<br />

e −t t z dt = ∫ ∞<br />

0<br />

e −t t R(z)−1 e i(log t)I(z) dt<br />

Remarque 7.1.3. Pas <strong>de</strong> problème <strong>de</strong> convergence dans cette intégrale pour R(z) > 0.<br />

Remarque 7.1.4. Dans H + = {z | R(z) > 0}, la fonction z ↦→ Γ(z) est holomorphe.<br />

∫ 1<br />

ɛ<br />

En effet, on peut voir Γ(z) = lim ɛ→0 ɛ<br />

e−t t z−1 dt et ∫ 1 ɛ<br />

ɛ<br />

e−t t z−1 dt comme limite d’une somme <strong>de</strong> Riemann.<br />

En utilisant le fait que la limite d’une suite bornée <strong>de</strong> fonctions holomorphes sur un ouvert est holomorphe,<br />

on en déduit que Γ est holomorphe sur toute boule ouverte à distance > 0 <strong>de</strong> l’axe imaginaire.<br />

Lemme 7.1. ∀z ∈ H + , zΓ(z) = Γ(z + 1)<br />

Preuve 7.1. Pour montrer l’égalité entre ces <strong>de</strong>ux fonctions analytiques sur H + , il suffit <strong>de</strong> la vérifier<br />

∀z ∈ R ∗ +. Pour s ∈ R ∗ + :<br />

sΓ(s) =<br />

∫ ∞<br />

0<br />

st s−1 e −t dt = lim ɛ→0<br />

∫ 1<br />

ɛ<br />

ɛ<br />

st s−1 e −t dt (IPP)<br />

=<br />

∫ ∞<br />

0<br />

t s e −t dt = Γ(s + 1)<br />

40


Posons ∀z ∈ {R(z) > −1} \ {0}, ˜Γ(z) = Γ(z)<br />

z<br />

alors :<br />

– ∀z ∈ H + , ˜Γ(z) = Γ(z).<br />

– ˜Γ est méromorphe sur {R(z) > −1} et a un pôle simple en 0 avec ˜Γ(z) ∼ 1 z (z C −→ 0).<br />

Remarque 7.1.5. ˜Γ est le seul prolongement méromorphe possible <strong>de</strong> Γ à {z | R(z) > −1}.<br />

De même, ∀n > 0, si on pose ∀z ∈ {R(z) > −n} \ {0, −1, . . . , −n + 1}<br />

Γ˜<br />

Γ(z + n)<br />

n (z) =<br />

z(z + 1) . . . (z + n − 1)<br />

et alors ∀z avec R(z) > 0, Γn ˜ (z) = Γ(z) et Γ ˜ n est l’unique prolongement méromorphe <strong>de</strong> Γ à {R(z) > −n}.<br />

Conclusion : Cela permet <strong>de</strong> définir un prolongement méromorphe <strong>de</strong> Γ à C \ Z − .<br />

Définition 7.1. On appelle Γ ce prolongement :<br />

∀n∀z avec R(z) > −n, Γ(z) =<br />

1<br />

z(z + 1) . . . (z + n − 1)<br />

∀z avec R(z) > 0, Γ(z) =<br />

∫ ∞<br />

0<br />

t z+n−1 e −t dt<br />

∫ ∞<br />

0<br />

t z−1 e −t dt<br />

Γ est donc une fonction méromorphe dont les pôles sont exactement Z − , ce sont <strong>de</strong>s pôles simples et ∀n ≥ 0,<br />

Si n est un entier strictement positif,<br />

1<br />

Γ(−n + h) ∼<br />

h→0 −n(−n + 1) . . . − 1 × 1 h<br />

∼<br />

h→0<br />

(−1) n<br />

× 1 n! h<br />

Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = . . . = (n − 1)(n − 2) . . . 1 Γ(1) = (n1)!<br />

}{{}<br />

=1<br />

Remarque 7.1.6. Si on savait montrer que Γ ne s’annule pas sur C \ Z − , on avait alors “ 1 Γ<br />

entière avec ensemble <strong>de</strong> zéros simples = Z − ”.<br />

est une fonction<br />

Proposition 7.1. ∀z ∈ C \ Z, Γ(z)Γ(1 − z) =<br />

π<br />

sin(πz)<br />

On va prouver cette relation “directement”.<br />

Preuve 7.2. Il suffit (gràce au prolongement analytique) <strong>de</strong> prouver cette relation pour z ∈]0; 1[.<br />

Lemme 7.2. ∀s ∈]0; 1[, ∫ ∞ e sx<br />

−∞ 1+e<br />

dx = π<br />

x sin(πs) .<br />

Preuve 7.3. Exo d’application sur les intégrales <strong>de</strong> contour. On prend pour γ R le rectangle passant par<br />

R, −R et 2iπ. z ↦→ esx<br />

1+e<br />

est alors méromorphe sur γ x R et l’intérieur du rectangle privé du point iπ et au<br />

voisinage <strong>de</strong> iπ : e(iπ+h)s h→0<br />

∼<br />

−eiπs<br />

1+e iπ+h h . e<br />

=⇒<br />

∮γ sz<br />

dz = −2iπeiπs<br />

R<br />

1 + ez lim<br />

R→∞<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

( ∫ R<br />

−R<br />

)<br />

e sx<br />

1 + e x dx (1 − e 2iπs ) = −2iπe iπs<br />

e sx<br />

1 + e x dx = π 2i<br />

e iπs − e −iπs =<br />

π<br />

sin(πs)<br />

41


Preuve 7.4. Pour s ∈]0; 1[ :<br />

Conséquence : ∀z ∈ C \ Z<br />

Γ(s)Γ(1 − s) =<br />

∫ ∞<br />

0<br />

∫ ∞<br />

u=vt<br />

=<br />

0<br />

∫ ∞ ∫ ∞<br />

=<br />

=<br />

0<br />

∫ ∞<br />

e −t t s−1 [∫ ∞<br />

0<br />

]<br />

e −u u −s du dt<br />

[∫ ∞<br />

]<br />

e −t t s−1 e −vt (vt) −s tdv dt<br />

0<br />

v −s<br />

0<br />

∫ ∞<br />

v=e<br />

=<br />

x<br />

−∞<br />

1 + v dv<br />

π<br />

sin(π(1 − s))<br />

π<br />

sin(πs)<br />

0<br />

e −t(v+1) v −s dtdv<br />

e −(1−s)x<br />

1 + e x dx<br />

1<br />

Γ(z) = sin(πz) Γ(1 − z)<br />

π<br />

∀n ∈ N ∗ , z ↦→ sin(πz)Γ(1 − z) reste bornée au voisinage <strong>de</strong> n (car sin(πz) a un zéro simple en n et Γ(1 − z)<br />

a un pôle simple en n). et donc 1 Γ<br />

se prolonge en une fonction entière. =⇒ ∀z ∈ C \ Z, Γ(z) ≠ 0.<br />

Conclusion provisoire : Si on arrive à montrer que l’ordre <strong>de</strong> 1 Γ = 1, alors 1 Γ<br />

est une fonction entière<br />

1<br />

dont les zéros (tous simples) sont les entiers < 0. Par le théorème d’Hadamard : ∃a, b, c ∈ C,<br />

Γ(z)<br />

=<br />

e az+b z ∏ n>0 (1 + z n )e− z n .<br />

Théorème 7.1. – 1 Γ<br />

est d’ordre 1.<br />

1<br />

– ∀z ∈ C\Z,<br />

Γ(z) = eγz z ∏ n>0 (1+ z ∑<br />

n )e− z n<br />

n où γ est la constante d’Euler-Macheroni (γ = lim n→+∞ k=1 1 k −<br />

ln(n)).<br />

Preuve 7.5.<br />

1<br />

Remarque 7.1.7. z ↦→ est une fonction entière d’ordre 1, <strong>de</strong> zéros 1 Γ(z)Γ(z+ 1 2 ) 2 Z− . Mais z ↦→ 1<br />

Γ(2z)<br />

D’aprés le théorème d’Hadamard, il existe a, b, tels que :<br />

On regar<strong>de</strong> l’i<strong>de</strong>ntité pour z = 1 2 et z = 1 :<br />

1<br />

Γ(z)Γ(z + 1 2 ) = 1<br />

eaz+b<br />

Γ(2z)<br />

e a 2 +b =<br />

e a+b =<br />

Γ(1)<br />

Γ(1)Γ( 1 2 ) = √ 1<br />

π<br />

Γ(2)<br />

Γ(1)Γ( 3 2 ) = 2 √ π<br />

De là, e a 2 = 2 et e b = 1<br />

2 √ π : Γ(2z) = 4z<br />

2 √ π Γ(z)Γ(z + 1 2 )<br />

(Formule <strong>de</strong> duplication <strong>de</strong> Legendre).<br />

aussi.<br />

42


7.2 Fonction ζ<br />

Définition 7.2. On définit ∀s tel que R(s) > 1, ζ(s) = ∑ n≥1<br />

1 n<br />

. Cette fonction est holomorphe sur son<br />

s<br />

ensemble <strong>de</strong> définition.<br />

ζ(s) = ∏ k≥1 ( 1<br />

1−p −s<br />

k<br />

) où p k est la suite <strong>de</strong>s nombres premiers. (=⇒ ∀s, R(s) > 1, ζ(s) ≠ 0)<br />

∫ ∞<br />

u s−1<br />

Γ(s)ζ(z) =<br />

0 e u − 1 du<br />

} {{ }<br />

On définit sur C \ R + (et z /∈ 2iπZ) la fonction F (z) = (−z)s−1<br />

e z −1<br />

. Avec zα = r α e iαθ pour z = re iθ donc<br />

(−z) s−1 n’est pas définit sur R + . La fonction est parfaitement définit par rapport à s. Pour tout r < 1 2 ,<br />

ɛ < 1 2 , ɛ > r on définit un contour C r,ɛ constitué <strong>de</strong> l’union d’un disque <strong>de</strong> rayon ɛ centré en 0 et d’une<br />

ban<strong>de</strong> <strong>de</strong> largeur r autour <strong>de</strong> R + . Si on pose γr,ɛ M l’intersection du contour précé<strong>de</strong>nt avec le <strong>de</strong>mi-plan <strong>de</strong>s<br />

complexes <strong>de</strong> partie réelle ≤ M, on a :<br />

∫<br />

γ M r,ɛ<br />

car |F (z)| < e −√ R(z) , ∀z avec R(z) sufisament grand.<br />

(<strong>de</strong>f)<br />

= I<br />

∫<br />

F (z)dz −−−−−→<br />

M→+∞<br />

F (z)dz<br />

C r,ɛ<br />

Remarque 7.2.1. Si on note C, l’union <strong>de</strong>s contours γr,ɛ M et γr M ′ ,ɛ′ reliés selon la droite R(z) = M alors<br />

∫<br />

C F (z)dz = 0. En particulier si M → +∞, alors ∫ C r,ɛ<br />

F (z)dz = ∫ C F (z)dz. Donc l’intégrale ∫ r ′ ,ɛ ′ C r,ɛ<br />

F (z)dz =<br />

∫C r,ɛ<br />

(−z) s−1<br />

e z −1<br />

dz ne dépend ni <strong>de</strong> ɛ ni <strong>de</strong> r. On note J(s) cette fonction et on remarque (théorèmes habituels<br />

<strong>de</strong> limites bornées <strong>de</strong> fonctions holomorphes) que J est une fonction entière.<br />

On fixe s avec R(s) > 1, et on regar<strong>de</strong> ∫ C ɛ,r<br />

F (z)dz lorsque r → 0, ɛ → 0, avec C ɛ,r orienté dans le sens<br />

direct : La branche infinie <strong>de</strong> partie imaginaire négative donne alors<br />

∫ ∞<br />

0<br />

u s−1 e iπ(s−1) du<br />

e u − 1<br />

La branche infinie <strong>de</strong> partie imaginaire positive donne<br />

∫ ∞<br />

u s−1 e −iπ(s−1) du<br />

−<br />

0 e u − 1<br />

z→0<br />

Et sur le cercle autour <strong>de</strong> zro, on a |z||F (z)| −−−→ 0 car s > 1 donc ∫ C ɛ,r<br />

F (z)dz −−−−−−→ ɛ→0,r→0<br />

0. Conclusion :<br />

∫<br />

∫ ∞<br />

u s−1 du<br />

lim F (z)dz =<br />

ɛ,r→0<br />

C ɛ,r 0 e u (2i sin(π(z − 1)))<br />

− 1<br />

} {{ } } {{ }<br />

J(s)<br />

I(s)<br />

Conclusion bis : ∀s > 1, ζ(s)Γ(s)(−2i sin(πz)) = J(s) =⇒ ζ(z) = −1 J(s)Γ(1 − s) car Γ(s)Γ(1 − s) =<br />

π<br />

sin(πs)<br />

. Formule valable ∀s ∈]1; 2[, or ζ est une fonction holomorphe sur cet ensemble, J est entière, Γ(1 − s)<br />

est méromorphe avec pôles en N ∗ . Par unicité du prolongement analytique, la formule est valable ∀s tel que<br />

R(s) > 1 et s /∈ N. On définit ∀s ≠ 1, 2, . . .,<br />

˜ζ(s) = −1 J(s)Γ(1 − s)<br />

2iπ<br />

Comme on sait que ζ = ˜ζ sur ]1; 2[ et que ζ est définie et holomorphe sur R(s) > 1, on en déduit que ˜ζ se<br />

prolonge en une fonction holomorphe sur cet ensemble avec ˜ζ = ζ. Conslusion : on a prolongé ζ sur C \ {1}<br />

en une fonction méromorphe avec un seul pôle simple en s = 1.<br />

2iπ<br />

43


Remarque 7.2.2.<br />

et donc ζ(s) ∼<br />

s→1<br />

−Γ(1 − s) ∼<br />

s→1<br />

1<br />

s−1<br />

∫<br />

lim<br />

ɛ,r→0<br />

C ɛ,r<br />

7.2.1 Equation fonctionelle <strong>de</strong> la fonction ζ<br />

dz<br />

e z − 1 = 2πi<br />

et donc (s − 1)ζ(s) est une fonction entière.<br />

On utilise un nouveau contour, ˜Cɛ,r,m est le cercle <strong>de</strong> rayon m, centré en 0, auquel on a enlevé un bout<br />

autour <strong>de</strong> m et rajouté γɛ,r m à la place.<br />

∫<br />

[ m<br />

]<br />

∑<br />

F (z)dz = 2iπ (2iπn) s−1 + (−2iπn) s−1<br />

˜C ɛ,r,m<br />

car F à un pôle en chaque 2iπk pour k ∈ Z.<br />

m∑<br />

= −2iπ(2π) s−1 ( n s−1 (e iπ 2 (s−1) + e − iπ 2 (s−1) )<br />

n=1<br />

n=1<br />

n=1<br />

m∑<br />

= −2i(2π) s 1<br />

(<br />

n 1−s ) cos(π (1 − s))<br />

2<br />

m∑<br />

= −2i(2π) s 1<br />

(<br />

n 1−s ) sin(π 2 s)<br />

Que se passe-t-il lorsque m → ∞ <br />

On suppose que s < 0, le terme <strong>de</strong> droite converge vers : −2i(2π) s ζ(1 − s) sin( π 2 s).<br />

Le terle <strong>de</strong> gauche La partie ∫ γ 2π(m+ 2 1 → J(s).<br />

)<br />

ɛ,r<br />

Sur le grand cercle : |F (z)| ≤ 4 |z|s−1 (car |e z − 1| > 1 4<br />

). Comme s < 0, ce terme converge vers 0.<br />

Conclusion : Pour s < 0,<br />

J(s) = −2i(2π) s ζ(1 − s) sin( πs (−2iπ)<br />

) = J(s)<br />

2 Γ(1 − s)<br />

Théorème 7.2. ∀s ≠ 1,<br />

ζ(s) = 2 s π s−1 Γ(1 − s) sin( πs<br />

2 )<br />

Preuve 7.6. Ok pour s < 0 réel + prolongement analytique.<br />

Remarque 7.2.3. Il y a une reformulation simple sous la forme suivante :<br />

Définition 7.3. On pose<br />

ξ(s) = 1 2 s(1 − s)π− s s<br />

2 Γ(<br />

2 )ζ(s)<br />

Alors ξ est une fonction (entière) qui vérifie ∀z ∈ C,<br />

n=1<br />

ξ(s) = ξ(1 − s)<br />

Preuve 7.7. (exercice) utiliser le théorème précé<strong>de</strong>nt et la formule <strong>de</strong> duplication <strong>de</strong> Legendre.<br />

Une autre conséquence du théorème : On sait que ζ ≠ 0 sur {s | R(s) > 1}. Du coup pour R(s) < 0,<br />

ζ(s) = (terme non-nul)Γ(1 − s) sin( πs<br />

2 )<br />

avec Γ(1 − s) non nul et bien défini et sin( πs<br />

2<br />

) possé<strong>de</strong> <strong>de</strong>s zéros en −2, −4, . . .<br />

Conclusion : Les seuls zéros <strong>de</strong> J dans {s | R(s) < 0} sont −2N ∗ .<br />

On s’attend à une infinité <strong>de</strong> zéros <strong>de</strong> ζ dans {s | R(s) ∈ [0; 1]}.<br />

Conjecture <strong>de</strong> Riemann : Tous les zéros <strong>de</strong> ζ (sauf −2, −4, −6, . . .) se trouvent sur la droite R(s) = 1 2 .<br />

44


Remarque 7.2.4. On peut montrer que ζ est d’ordre 1. Si a n est la suite <strong>de</strong>s zéros <strong>de</strong> ζ on a :<br />

(1 − s)ζ(s) = e ∏ as+b (1 − s )e s<br />

a n<br />

n≥1<br />

an<br />

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