Exercices - Réduction des endomorphismes : indications ... - Bibmath

Exercices - Réduction des endomorphismes : indications
Réduction pratique de matrices
Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Spé - ⋆
Calculer le polynôme caractéristique, le factoriser, puis chercher les sous-espaces propres.
Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Spé - ⋆
Quelles sont les valeurs propres de la matrice ? A quoi serait-elle semblable si elle était
diagonalisable ?
Exercice 3 - Avec un paramètre - L2/Math Spé - ⋆⋆
1. Calculer le polynôme caractéristique de A.
2. Si m ≠ 1, m ≠ 2, appliquer un théorème du cours. Si m = 1 ou m = 2, chercher la
dimension de l’espace propre associé.
3. Diagonaliser A et écrire A k = P D k P −1 .
Exercice 4 - Trigonalisation - avec indication - L2/Math Spé - ⋆
1. Calculer le polynôme caractéristique de f.
2. Résoudre l’équation (A − I)u = 0, avec u = (x, y, z).
3. Calcul direct.
4. Idem !
5. Procéder par récurrence sur k.
6. Ecrire A = QT Q −1 , et utiliser la question précédente.
Exercice 5 - Trigonalisation - sans indication - L2/Math Spé - ⋆⋆
Exercice 6 - Racine cubique - L2/Math Spé - ⋆⋆
Calculer le polynôme caractéristique de A. A est semblable à une matrice diagonale D.
Trouver d’abord une matrice M telle que M 3 = D.
Exercice 7 - Application à des suites récurrentes - L2/Math Spé - ⋆
1. Méthode usuelle. Calcul du polynôme caractéristique.
2. Utiliser la relation A = P DP −1 qui donne A n = P D n P −1 par récurrence.
3. On a X n+1 = AX n . Par récurrence, X n = A n X 0 ce qui permet de calculer u n , v n et w n .
Exercice 8 - Base de matrices diagonalisables... - L2/Math Spé - ⋆⋆
Essayer d’abord de trouver une telle base avec n = 2. On rappelle qu’une matrice triangulaire
dont tous les éléments sur la diagonale sont distincts est diagonalisable.
Exercice 9 - Déduire du cas 2x2 - L2/Math Spé - ⋆⋆
1. Calculer le polynôme caractéristique de A.
2. Remarquer que E i = vect(e i , e 2p+1−i ) est stable par A.
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Exercices - Réduction des endomorphismes : indications
Exercice 10 - Matrice d’ordre n - L2/Math Spé - ⋆⋆
1. Retirer la première colonne à la dernière.
2. Procéder par récurrence sur n.
3. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Exercice 11 - Un bloc - L2/Math Spé - ⋆⋆
Resoudre B ( x
y) = λ
( x
y) et trouver quelles sont les valeurs de λ possibles.
Exercice 12 - Triangulaire supérieure par blocs - L2/Math Spé/Oral Centrale - ⋆⋆⋆
Voici un énoncé avec les questions intermédiaires :
1. Soit P un polynôme scindé à racines simples. Montrer que P ∧ P ′ = 1.
2. Pour P un polynôme, calculer P (B).
3. Déterminer les matrices.....
Réduction d’autres endomorphismes
Exercice 13 - Transposition - L2/Math Spé - ⋆⋆
Chercher l’équation φ(M) = λM.
Exercice 14 - Endomorphisme de polynômes - L2/Math Spé - ⋆⋆
Chercher à quoi peuvent être égales les valeurs propres... Puis déterminer des vecteurs
propres correspondants. On pourra distinguer les cas n pair et n impair.
Exercice 15 - Matrice nilpotente - L2/Math Spé - ⋆⋆
1. Récurrence.
2.
3. A k est un vecteur propre !
4. Nombre fini de valeurs propres !
Réduction des endomorphismes : théorie
Exercice 16 - f ◦ g et g ◦ f diagonalisables ? - L1/Math Sup - ⋆
1. (a) Factoriser par B (une fois à droite, une fois à gauche).
(b)
(c) Un isomorphisme préserve les dimensions.
(d) Raisonner sur la somme des dimensions des espaces propres.
2. (a) Utiliser le déterminant.
(b)
(c) Raisonner par contraposée.
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Exercices - Réduction des endomorphismes : indications
(d) Prendre un exemple en dimension 2, avec AB = 0 et BA ≠ 0.
Exercice 17 - Endomorphisme sur un espace vectoriel réel - L2/Math Spé - ⋆⋆
Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton, et séparer le cas où le polynôme caractéristique ne
contient que deux facteurs de degré 2
Exercice 18 - - Oral Mines-Ponts - ⋆⋆
A quelle condition un endomorphisme est diagonalisable (raisonner en termes de polynômes...)
?
Exercice 19 - Diagonalisation simultanée - L2/Math Spé - ⋆⋆
Procéder par récurrence sur m et commencer par traiter le cas m = 2. On étudiera les
restrictions de u 2 à chaque sous-espace propre de u 1 .
Exercice 20 - Diagonalisation et sous-espaces stables - L2/Math Spé - ⋆⋆⋆
Pour le sens direct, on pourra fabriquer un supplémentaire avec le théorème de la base
incomplète. Pour le sens réciproque, considérer un supplémentaire stable d’un hyperplan.
Exercice 21 - Avec une puissance - L2/Math Spé/Oral Mines - ⋆⋆⋆
Pour le sens direct, écrire M = P DP −1 . Pour la réciproque, partir du fait que M p annule
un polynôme P scindé à racines simples, et factoriser P (X p ).
Exercice 22 - Réduction des endomorphismes anti-involutifs - Math Spé - ⋆⋆⋆
1. Définir l’endomorphisme sur une base.
2. Que doit vérifier une valeur propre ? Que dire d’un polynome de degré impair ?
3.
4. Procéder de proche en proche.
Exercice 23 - Spectre et racine n-ième - L2/Math Spé - ⋆⋆
Ecrire X p − 1 = X p − (ω −1 ) p et factoriser ce polynôme.
Polynômes d’endomorphismes
Exercice 24 - Quel est le polynôme minimal ? - L2/Math Spé - ⋆
Réduire A et prouver que A est diagonalisable. Pour B, montrer que B n’est pas diagonalisable,
puis calculer (B + I 3 ) 2 .
Exercice 25 - Déterminant et polynôme annulateur - L2/Math Spé - ⋆⋆
Exercice 26
Centrale - ⋆⋆
- Polynômes annulateurs de A et propriétés de A - L2/Math Spé/Oral
1. Quelles sont les racines du polynôme caractéristique de A (dans C) ?
2. Soit f l’application linéaire associée à A, et g sa restriction à Im(f). Appliquer la première
question à g.
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Exercices - Réduction des endomorphismes : indications
Exercice 27 - Polynôme annulateur - L2/Math Spé/Oral Mines - ⋆⋆
Écrire P (X) = a n X n + · · · + a 1 X + a 0 et traduire la condition sur les coefficients. Prendre
ensuite y ∈ ker(f) ∩ Im(f) et prouver que y = 0.
Exercice 28 - Polynôme annulateur - L2/Math Spé - ⋆⋆
Prendre le R-espace vectoriel de dimension infinie le plus simple possible, et considérer un
endomorphisme très simple sur cet espace vectoriel.
Exercice 29 - - Math Spé - ⋆⋆⋆
Montrer d’abord que M f |C f . Raisonner ensuite par l’absurde, et appliquer le théorème
de décomposition des noyaux. Obtenir qu’un endomorphisme est inversible, et trouver une
contradiction.
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