1 - IREM de Grenoble - Université Joseph Fourier

JOURNAL POUR LES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES DU
PREMIER CYCLE DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE
Ouverture vers les Sciences et les Technologies
petit x
1995-1996 n° 40
Comité de rédaction
René Berthelot
IUFM d'Aquitaine
Centre de Pau
Annie Bessot
Laboratoire Leibniz
Université J. Fourier - Grenoble
I.R.E.M. de Grenoble
Antoine Bodin
Col1ège d'Ornans
I.R.E.M. de Besançon
Bernard Capponi
Collège Le Vergeron, Moirans
I.R.E.M. de Grenoble
Gérard Chauvat
IUT GE II
Tours
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Chercheur en didactique des mathématiques
La Romanèche
Etoy (Suisse)
Ruhal Floris
Collège Voltaire
et FAPSE Université de Genève
Carouge (Suisse)
Régis Gras
I.R.M.A.R.
Campus de Beaulieu
Rennes
Denise Grenier
Equipe DidaTech
Université J. Fourier - Grenoble
Paule Kober
IUFMdeNice
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I.R.E.M. d'Aix-Marseille
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I.P.R.
Rectorat de Toulouse
Robert Noirfalise
lREM de Clermont-Ferrand
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I.R.E.M. - Université Paris VII
Paris
Jean-Claude Rauscher
Col1ège Martin Schongauer, Ostwald
IREM de Strasbourg
Secrétariat de rédaction: Annie Bessot et Bernard Capponi
I.R.E.M. de Grenoble
B.P. 41 - 38402 Saint-Martin-d'Hères Cedex
© 1995-1996 - I.R.E.M. de Grenoble - Tous droits réservés pour tous pays.
ISSN 0759-9188. Directeur de publication le Directeur de l'I.R.E.M. Claude MOSER
Composition, Annie Bicais, I.R.E.M. de Grenoble.

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SOMMAIRE
Mathématiques et fonnation
(J.P. Kahane) . 5
Réflexions à propos de l'utilisation des calculatrices dans l'enseignement
(Ph. Clarou) .. 15
Activité Dans un cube . 40
Réflexions sur inégalité triangulaire et distance d'un point à une droite à
partir d'observations de classes
(A. Berté) . 41
Courrier aux lecteurs : Erratum .. 64
Pour démarrer en géométrie et en classe de 3ème : une situation problématique
(S. Pellequier, A. Bronner) .. 65
Act. ., A d' . 1 d' d'l'
IvIte... utour un tnang e, un qua fi atere .. 86

4
Le journal «petit x» :un journal pour le collège
Le journal «petit x» a été créé en 1983 par l'IREM de Grenoble pour favoriser la
diffusion de réflexions, de comptes rendus de travaux et d'activités réalisés dans les
classes du premier cycle de l'enseignement secondaire principalement dans le domaine
des mathématiques mais avec une ouverture vers les sciences physiques et la technologie.
Ses principaux objectifs sont:
- en ouvrant largement ses pages à des approches diverses, de constituer un lieu
d'échanges et de débats sur les problèmes soulevés par l'apprentissage et l'enseignement
des sciences au collège.
- d'ajouter un moyen nouveau de formation continue à ceux déjà disponibles dans
les IREM, et de constituer ainsi un complément aux stages de formation et aux
publications thématiques déjà existantes. La revue «petit x» est ainsi un outil précieux
pour les professeurs enseignant dans les IUFM.
- de constituer plus particulièrement un moyen de diffusion des travaux sur
l'enseignement notamment en ce qui concerne les recherches en didactique des
mathématiques. La revue «petit x» constitue un lieu d'interactions entre les enseignants et
les chercheurs.
Les articles publiés sont pour l'essentiel des types suivants:
- Vécu dans les classes: présentation et description d'activités ou de séquences
d'enseignement effectivement réalisées dans les classes de collège.
- Outils et documents: dans chaque numéro présentation d'activités directement
exploitables dans les classes et régulièrement de documents et de commentaires sur des
aspects historiques de notions.
- Recherches et réflexions : compte rendus de travaux portant sur des
problèmes d'enseignement ou d'apprentissages en mathématiques.
La revue «petit x» examine aussi tous les articles qui rentrent dans le cadre de ses
préoccupations et décide ou non de leur publication, éventuellement sous la forme de
courrier des lecteurs ou de tribune libre.
PROPOSITION D' ARTICLE
Les articles soumis pour publication dans la revue «petit x» doivent être envoyés en
trois exemplaires à l'adresse de l'IREM de Grenoble que vous trouverez dans ce numéro.
Indiquer si l'article a déjà été publié ou s'il a été proposé à d'autres revues.
Les textes sont examinés par deux lecteurs au moins. Dans le cas où ils sont
acceptés pour publication, il est demandé à l'auteur de fournir le texte définitif sous la
forme d'un fichier infornlatique dans un traitement de texte courant.
Copyright:
Le «copy right» de la revue est détenu par l'IREM de Grenoble qui accordera cependant aux auteurs, sur demande et
sans frais, l'autorisation de faire ré-imprimer leurs articles. Ils devront mentionner «Petit x» pour première
publication, ainsi que le fait que c'est l'IREM de Grenoble qui détient le Copyright.
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MATHÉMATIQUES ET FORMATION·
Jean-Pierre KAHANE
Université Paris Il - Orsay
Département de mathématiques
Très brièvement, cet article abordera une immense question : les besoins de
formation dans le monde actuel et futur. Puis il se centrera sur les mathématiques: leur
image, leur réalité comme science, les tendances qui se font jour dans la recherche et
dans leur enseignement, quelques contradictions et paradoxes, exigences et enjeux.
Les besoins de formation
Pour les besoins de formation, une excellente référence est la conférence d'Antoine
Casanova au colloque d'Orsay de juin 1993, intitulée «Enjeux et perspectives de
l'éducation 1793-1993»1. La vue de l'historien éclaire bien les enjeux du présent, et je
m'en inspirerai librement.
Les conventionnels, en matière d'éducation, avaient l'héritage de Rousseau,
l'apport des encyclopédistes, la contribution de Condorcret. La révolution créait des
possibilités et des besoins nouveaux. La première exigence était d'avoir des citoyens
éclairés : sans éducation, pas de véritable citoyenneté; sans éducation, péril pour la
République. Une idée de Condorcet surprend par son ambition: il faut que l'éducation
rende le citoyen capable d'anticipation 2 • Nous y reviendrons. La seconde exigence
* Ce texte est la mise en forme d'une conférence donnée le 9 décembre 1993 à l'hôtel du département
du Val-de-Marne, à Créteil: il a été publié dans le nO 302 de la pensée (Avril-mai-juin 1995). Il est
repris dans notre revue avec l'autorisation de l'auteur et des responsables de la revue. Une première
version est parue dans le Journal de mathématique des élèves de l'Ecole Normale Supérieure de Lyon.
vol. nO 2, octobre 1994.
1 Antoine Casanova, Enjeux et perspectives de l'éducation 1793-1993, colIaque de Campus 89,
«L'enseignement : les grands idéaux des révolutionnaires et leur confrontation avec la société
contemporaine et son devenir» (Orsay, 2-5 juin 1993), pp. 91-114.
2 «Vous devez à la nation française une instruction au niveau de l'esprit du XVIII siècle, de cette
philosophie qui, en éclairant la génération contemporaine, présage, prépare et devance déjà la raison
supérieure à laquelle les progrès nécessaires du genre humain appelIent les générations futures. Tels
ont été nos principes et c'est d'après cette philosophie libre de toutes les chaînes, affranchie de toute
autorité, de toute habitude ancienne, que nous avons choisi et classé les objets de l'instruction
«petit x» nO 40, pp. 5 à 14, 1995 - 1996

6
était d'avoir des travailleurs instruits, instruits dans la nouveauté: la Révolution crée le
système métrique et, immédiatement, l'enseignement du système métrique. En
démocratie, comme disait Montesquieu, «le peuple, qui a la souveraine puissance, doit
faire par lui-même tout ce qu'il peut bien faire»3. L'enseignement doit lui en donner les
moyens.
La Révolution avait brusquement élargi l'horizon de chacun. Cependant, la vie
sociale et le travail avaient des cadres assez fixes et étroits: la famille, le village, le
quartier. Tel était l'environnement des enfants. Au siècle suivant, l'enfant de
Baudelaire rêvait devant les cartes et les estampes. Aujourd'hui, les enfants passent en
un instant de leur chambre à des images télévisées de pays lointains et d'exploration
spatiale. Leur environnement n'est plus seulement la famille et le quartier: c'est la
planète, l'univers et aussi les microbes, le sida, le microscopique et l'invisible. Les
changements d'échelle dans l'espace et le temps, les figures et les nombres sont
constants. Comment s'y retrouver et comment anticiper?
Plus évidemment encore, le travail a changé. Les outils actuels exigent moins de
force et d'habilité, mais beaucoup d'attention, de vigilance, de responsabilité. Ce
qu'ils permettent, et permettront, de développer dans l'avenir est encore inédit. Mais il
paraît clair que les aptitudes symboliques, cognitives, imaginatives des hommes seront
toujours plus sollicitées. Pour bien faire tout ce qu'il peut bien faire, que ce soit dans le
travail ou dans la cité, le peuple d'aujourd'hui a besoin d'une formation bien plus large
et plus variée. C'est une condition nécessaire pour tirer parti des informations et des
nouvelles technologies.
Les sciences découvrent sans cesse de nouveaux rivages, les technologies sont
toujours plus flexibles dans leurs applications et dans leur conception même.
L'ambition de la formation générale, initiale comme continue, peut être de permettre à
tous les hommes d'être des acteurs dans ces mouvements : de se situer, de
comprendre, de prévoir, de se concerter pour agir.
Est-ce que les mathématiques participent à cette ambition? Ce sera le thème à
explorer.
Les nlathénlatiques et leur image
Chacun a un rapport aux mathématiques, une image personnelle des
mathématiques: dégoût ou plaisir, souvenir d'échec, admiration, inquiétude, haine,
etc. De plus, le rôle qu'elles jouent dans la formation est dénoncé avec force et de
divers bords. Des physiciens comme Hubert Curien 4 et Pierre-Gilles de Gennes 5 ont
dénoncé leur tyrannie. Les élèves et parents d'élèves la considèrent comme la matière à
sélectionner par excellence. Des questions sont posées: est-ce bien utile? à quoi ça
publique» (rapport de Condorcet à l'Assemblée législative, avril 1792, cité par Antoine Casanova, e.c.
p. 1(0).
3 Charles de Secondat Montesquieu, L'Esprit des lois, première partie, II.2 : Du gouvernement et des
lois relatives à la démocratie: œuvres complètes, Le Seuil, 1964, p. 533.
4 Nice-Matin
5 Pierre-Gilles de Gennes, Les Objets fragiles, Plon, 1994.

7
sert? Des affirmations font écho à l'opposition faite par Pascal entre esprit de
géométrie et esprit de fmesse : la mathématique est vieille, aride, morte.
Le rôle sélectif mérite réflexion. Il n'.est nullement scandaleux que les
mathématiciens sélectionnent les mathématiciens, comme le font les pianistes, les
footballeurs et beaucoup de corps de. métiers. Les mathématiques jouent un rôle
contestable et contesté quand elles servent à sélectionner les médecins ou les
architectes; mais le phénomène n'est pas limité aux mathématiques; le français joue
aussi ce rôle sélectif en soulevant beaucoup moins de passion. Le plus grave me paraît
être, non la sélection, mais l'élimination, l'exclusion. Quand l'élève X est déclaré
inapte aux mathématiques, c'est la porte fermée, généralement sans appel. La révolte
serait salutaire mais elle est rare. C'est le plus souvent la première expérience pour X
de l'exclusion acceptée.
Je compléterai cette remarque par deux données. La première concerne
l'enseignement supérieur. La plus grand partie des services d'enseignement des
enseignants-chercheurs en mathématiques est effectuée auprès d'étudiants qui, non
seulement ne se destinent pas aux mathématiques, mais qui ont été considérés, et se
sont considérés eux-mêmes, comme inaptes. Or, motivés par leur discipline majeure,
trouvant des portes d'entrée qu'ils ne soupçonnaient pas, il arrive très souvent que ces
étudiants travaillent bien, réussissent, et même trouvent plaisir aux mathématiques
qu'ils découvrent.
La seconde concerne les élèves des collèges et. lycées. A l'imitation de la
compétition mathématique australienne, qui date de douze ans et qui est une grande
manifestation populaire (SOO 000 candidats pour lS millions d'habitants), une
compétition du même type s'est créée en France, sous le nom de Kangourou 6 • Elle en
est à la quatrième année et a dépassé, cette année, les SOO 000 candidats, sur la base du
volontariat aussi bien pour les candidats que pour les organisateurs. Cela semble être la
preuve. qu'une compétition mathématique peut donner du plaisir.
Leur spécificité
Après ces remarques, je voudrais évoquer un aspect des mathématiques mal connu:
la science mathématique comme science vivante, son mouvement, sa spécificité, ses
tendances.
Il paraît actuellement, recensés par la revue de référence américaine Mathematical
Reviews, plus de 100 000 articles de recherche mathématique par an. Il y a 40 ans,
c'était 2 SOO. Le rythme de l'accroissement, exponentiel, dépasse le doublement tous
les 10 ans. Cette explosion de papier - que l'informatique, bien employée, peut
relayer - s'accompagne de grands changements dans les sujets traités et les
méthodes. Des sujets somnolents sont soudain réactivés et conquièrent d'autres
sciences (c'est le cas des fractales), d'autres se créent à partir de pratiques actuelles
(codes, automates, langages), des problèmes anciens sont résolus, attestant l'efficacité
des méthodes nouvelles (le «théorème de Fermat»)..
6 3615 Kang sur Minitel.

8
Cependant, comparées à d'autres sciences, il n'est pas immédiat d'expliquer de
quoi les mathématiques s'occupent. On dit souvent que c'est à cause de l'abstraction
des concepts mathématiques. Est-ce bien le cas? Un quark, que personne n'a jamais
vu, est bien aussi abstrait qu'un triangle. Mais le quark s'applique, remarquablement
bien, à une réalité du monde physique : les particules élémentaires. Le triangle, lui,
intervient un peu partout : la reconstitution des champs inondés par le Nil dans
l'Égypte ancienne, le percement d'un tunnel à travers l'île de Samos dans l'Antiquité
grecque, la triangulation géodésique quand, à l'époque de la Révolution française, on
mesurait le méridien terrestre. La méditation sur le triangle et la somme de ses angles
est à la base des géométries non-euclidiennes, qui à leur tour fondent la relativité
générale, et on pourrait continuer ainsi pendant longtemps. Ce que les mathématiciens
appellent un groupe, une variété, une probabilité, est extrêmement général et
s'applique à une foule d'objets d'autres sciences ou d'autres pratiques. Ainsi, ce qui
apparaît spécifique aux mathématiques, c'est la non-spécificité de leur champ
d'application. L'histoire abonde en concepts mathématiques issus d'une science ou
d'une pratique et fécondant un champ tout à fait différent. L'efficacité surprenante des
concepts mathématiques (le physicien Wigner parle de l'efficacité déraisonnable des
mathématiques dans les sciences de la nature) 7 est liée, certes, à leur abstraction, mais
beaucoup plus à leur généralité. Les mathématiques sont peuplées de sortes de
fantômes du monde réel. Mais, dans ce monde de fantômes, elles classent,
rassemblent, découvrent des rapport nouveaux, élaborent des rapports de dépendance,
élaguent, simplifient, créent au besoin des formes nouvelles. Il n'est pas tellement
étonnant, au fond, que la pensée humaine, opérant sur des formes idéalistes de la
réalité physique, découvre des formes de la réalité physique non encore idéalisées.
A côté de la généralité, un autre trait spécifique des concepts mathématiques est leur
permanence. Le triangle d'Euclide est toujours notre triangle. Arrivés à un certain
degré de pureté, et c'est parfois long, les concepts sont fixés, immuables, au point
qu'ils semblent appartenir à un monde mathématique existant de toute éternité: c'est
l'illusion platonicienne. Ce qui est vrai, c'est que les mathématiques sont beaucoup
plus liées à leur histoire qu'aucune autre discipline scientifique. Ce n'est pas seulement
parce qu'elles sont anciennes, mais c'est surtout parce que, pour elles, le passé n'est
jamais mort. Aujourd'hui, les outils informatiques donnent des moyens nouveaux
pour revisiter les mathématiques des siècles passés, et on voit se réactiver des sujets
anciens, comme je l'ai déjà dit. Les articles mathématiques comportent souvent des
références anciennes, les œuvres des grands mathématiciens figurent dans les
bibliothèques, le patrimoine est une ressource vivante.
Enfin, le trait spécifique le plus apparent des mathématiques est leur lien à
l'enseignement. C'est vrai au cours de l'histoire. Les Éléments d'Euclide 8 , les cours
de Cauchy à l'Ecole polytechnique 9 , le traité de Bourbaki 10 , sont à la fois des mises au
point, des mises en forme, des synthèses, des ouvrages d'enseignement. C'est plus
7 Eugène Wigner, «The Unreasonable Effectivness of Mathematics» in The Natural Sciences.
Comment in Pure an Applied Mathematics, 13 (1980), pp. 1-14.
8 Euclide, Les Eléments.
9 Augustin Cauchy, Cours d'analyse de l'Ecole polytechnique.
10 Nicolas Bourbaki, Eléments de mathématiques. Première partie: Les structures fondamentales de
l'analyse. Livre 1 - Théorie des ensembles. Livre II - Algèbre. Livre III - Topologie générale. Livre IV
- Fonctions d'une variable réelle..., Hermann, Paris, à partir de 1940.

9
évident encore si l'on jette un coup d'œil sur le monde d'aujourd'hui : quelques
dizaines de milliers de mathématiciens participant à la recherche, des dizaines de
millions d'enseignants, des milliards d'élèves. Aucun autre champ du savoir
n'entretient avec la communauté des hommes une relation aussi étendue.
L'enseignement des mathématiques est omniprésent, et il nous faudra examiner
quelques aspects de sa relation avec la science qu'il est censé transmettre.
Leurs tendances
Auparavant, il nous faudra compléter le tableau par l'évocation des grandes
tendances de la recherche mathématique au cours du siècle.
Contrairement à ce qu'on dit parfois, le lien avec la physique et avec les
applications ne s'est jamais rompu. Cependant, il est vrai que la tendance dominante
des années cinquante était une réorganisation de l'édifice mathématique sur la base de
la théorie des ensembles et des structures. C'était la grande époque des structures dans
toutes les sciences : structures des langues, structures des sociétés, structures de la
matière, structures de la pensée. L'ambition était considérable, la vision totalisante.
Les mathématiques modernes étaient portées par l'air du temps. C'était la science des
structures par excellence. L'unité de la mathématique résidait dans son fondement, le
socle bien établi de la théorie des ensembles, et Bourbaki dessinait les branches
maîtresses.
Les choses ont bien changé. Dès les années soixante, la théorie des ensembles
apparaissait multiforme et rejoignait les autres théories mathématiques dans la variété
de ses présentations et de ses applications. Par contre, entre des branches éloignées se
tissaient des relations inattendues. L'unité était faite de ces liens entre les branches et
les rameaux, ces interactions nouvelles et imprévues. Actuellement, les maîtres mots
sont interactions et modèles ll . Les mathématiques interagissent entre elles, et surtout
avec les autres sciences, les technologies, les pratiques; elles intéressent la finance et
le militaire. On trouve des modèles dans toutes les sciences, à commencer par
l'économie. Grâce aux ordinateurs, les modèles permettent des simulations plus
rapides que les observations et expérimentations, des représentations commodes, des
prévisions à court terme. Les mathématiques, pour beaucoup, sont devenues la science
des modèles. En même temps qu'une efficacité nouvelle, cette tendance aux modèles
va de pair avec un rétrécissement des perspectives, des objectifs à court terme, des
fmancements instables, une précarisation des métiers de la recherche.
Une nouvelle tendance me semble se dessiner. Le goût revient de la réflexion et du
débat sur la place des mathématiques dans la société. Le premier congrès européen de
mathématiques, en 1992 à Paris, consacrait une large place à ce thème l2 . Il s'agit
naturellement de l'enseignement, de la vulgarisation, des rapports avec le grand public,
de la situation des jeunes filles et des femmes par rapport aux mathématiques, de
11 Rapports de conjoncture du Comité national de la recherche scientifique, 1989 (CNRS 1990),1992
(CNRS 1993).
12 Congrès européen de mathématiques - European Mathematical Congress, Paris, juillet 1992,
Proceedings, Birkhauser 1994, vol. III.

10
l'industrie et des services, des autres sciences, de l'histoire, de l'épistémologie. La
Société Mathématique de France a décidé en 1993 de deux nouvelles publications:
l'une en histoire des mathématiques, l'autre, panoramas et synthèses, pour fournir au
public mathématique les moyens de s'informer et de se cultiver. Beaucoup d'ouvrages,
quelquefois excellents Ge pense d'abord au livre de Mauduit et Tchamitchian,
Mathématiques I3 ), donnent à un public assez large l'accès aux mathématiques telles
qu'elles se font. Le débat philosophique reprend sur la nature des objets
mathématiques, sur le prévisible et l'imprévisible, sur invention et découverte, sur
ordre et chaos. Il est encore souvent naïf, mais c'est un nouveau champ d'interaction
qui s'ouvre, et l'élaboration d'une nouvelle pensée théorique.
Leur enseignement ; besoins et tendances
L'enseignement des mathématiques se trouve au carrefour d'exigences
contradictoires. TI doit aller au-devant des besoins des individus et des sociétés, qui
sont pour une bonne part inconnus et, pour une autre, dévoyés par une demande
sociale qui exprime les intérêts des puissants et des nantis. Il doit viser à développer la
capacité d'anticipation dont parlait Condorcet, alors que le futur est imprévisible. Il
doit apporter une formation toujours plus large et plus variée, alors que les éléments
semblent déjà si difficiles à acquérir. TI doit s'ouvrir à la nouveauté de la science tout
en assurant l'acquisition des notions permanentes. Il doit séduire et motiver tout en
exerçant les élèves à la dure discipline de la rigueur.
On lui reproche parfois son inertie. Le reproche est injustifié. L'introduction des
mathématiques modernes, il y a trente ans, a été une erreur scientifique et
pédagogique, mais aussi un formidable mouvement pour bousculer les habitudes et
faire du neuf ; replacé dans l'époque, c'était la vision des structures - Piaget et
Bourbaki s'épaulant mutuellement - mise en œuvre dans l'enseignement.
Aujourd'hui, d'autres tendances se font jour. En voici trois qui me paraissent très
prometteuses.
D'abord, les calculettes et les ordinateurs sont partout. Les calculs devenant faciles,
l'important n'est plus de faire un calcul, mais de savoir quel calcul faire; c'est une
incitation au raisonnement, la possibilité de travailler sur des données réelles, de
brancher les mathématiques scolaires sur le traitement des données. Les fautes doivent
être repérées; c'est une incitation au calcul mental, à l'estimation des ordres de
grandeurs. A un niveau un peu plus élevé, il faut écrire des programmes, définir des
algorithmes, comparer des algorithmes. Un algorithme est un procédé systématique
pour la résolution d'une classe de problèmes. La notion est ancienne (on parle de
l'algorithme d'Euclide pour le calcul des plus grands communs diviseurs) ; le terme est
un hommage à l'algébriste arabe al-Khwarizmi; mais la modernité tient aux
ordinateurs, aux automates, aux robots. Les algorithmes sont le moyen de gouverner
les ordinateurs, et, du coup, ils apparaissent aussi comme un bon moyen de gouverner
notre propre pensée.
13 Christian Mauduit et Philippe Tchamitchian, Mathématiques, collection «La Science et les
Hommes», dirigée par Paul Brouzeng, Messidor La Farandole, 1990).

11
La géométrie est partout également. A l'origine, c'est une mise en fonne de notre
vision de la Terre et du Monde. Aujourd'hui nous voyons la Terre, le Monde,
l'Univers à travers les géométries. La physique, la mécanique produisent et exploitent
sans cesse de nouveaux objets géométriques. L'intuition géométrique, l'art de
raisonner sur des figures de la pensée, devient une exigence universelle. Les objets
géométriques les plus classiques (le triangle, le cercle) sont riches de propriétés
merveilleuses. Les bulles de savon, les polyèdres, les anfractuosités naturelles sont
une mine de géométries nouvelles. Les changements d'échelles, si constants dans le
monde des enfants, se réalisent en géométrie comme une sorte de zoom intellectuel, un
va-et-vient entre le global et le local qui découvre les régularités cachées dans le très
petit et le très grand. Qui pourrait dire que la géométrie n'est pas actuelle?
L'évaluation des chances et des risques, les estimations et les contrôles sur
échantillons, les statistiques, font aussi partie de notre univers quotidien. Les
probabilités, dont la théorie est relativement récente, s'imposent chaque fois qu'il est
question de prévision, de risque, d'assurance. Les lois du hasard montrent comment
l'ordre peut jaillir du chaos. Le passage d'une activité humaine - serait-ce un jeu du
hasard - à sa modélisation probabiliste est un excellent exercice de l'esprit critique.
Laplace jugeait déjà nécessaire, il y a deux siècles, que les probabilités fassent l'objet
d'un enseignement 14 . Aujourd'hui, l'apprentissage des probabilités par tous les jeunes
gens me paraît à l'ordre du jour.
Il n'est sans doute pas nécessaire d'insister, et d'aller chercher d'autres exemples
en théorie des nombres, en algèbre, en analyse, en logique. Les mathématiques à
enseigner ne sont pas un luxe de l'esprit, elles sont en prise avec les besoins
fondamentaux de la formation tels que nous les avons définis tout à l'heure.
Contradictions
J'ai parlé d'exigences contradictoires. On peut en effet pointer des contradictions
majeures, qui me paraissent à la source des difficultés que rencontrent les enseignants
et les élèves.
14 Le premier à demander un enseignement de probabilités, au titre de la mathématique sociale, a été
Condorcet. Laplace a donné le premier cours de probabilités à l'Ecole normale de l'an III. Cf. Pierre
Crépel, De Condorcet à Arago: l'enseignement des probabilités en France de 1786 à 1830. SABIX
(bulletin de la Société des amis de la bibliothèque de l'Ecole polytechnique), nO 4, mai 1989, pp. 29­
55. Voici le programme de Laplace en 1795 : «Enfin, on donnera les principes de la théorie des
probabilités. Dans un temps où tous les citoyens sont appelés à décider du sort de leurs semblables, il
leur importe de connaître une science qui fait apprécier, aussi exactement qu'il est possible, la
probabilité des témoignages, et celle qui résulte des circonstances dont les faits sont accompagnés : il
importe surtout de leur apprendre à se défier des aperçus même les plus vraisemblables; et rien n'est
plus propre à cet objet que la théorie des probabilités, dont souvent les résultats rigoureux sont
contraires à ces aperçus. D'ailleurs, les nombreuses applications de cette théorie, aux naissances, aux
mortalités, aux élections et aux assurances, applications qu'il est avantageux de perfectionner et
d'étendre à d'autres objets, la rendent une des parties les plus utiles des connaissances humaines». Cf.
J. Dhombres (diT.), L'Ecole normale de l'an III. Leçons de mathématiques, Paris, Dunod, 1992, p. 47.

12
Première contradiction. On doit tout enseigner, et on ne peut pas tout apprendre. On
doit tout enseigner, c'est-à-dire ne rien perdre de la substance des 100 000 articles qui
se publient chaque année. Si l'on accepte en principe que des parties substantielles de
la production mathématique échappent à toute assimilation sociale, on consent à la
situation annoncée prophétiquement par Paul Langevin en 1945 pour l'ensemble de la
recherche scientifique et de la société: faute d'un enseignement scientifique assez
développé, une avant-garde perdue, une arrière-garde traînante 15 . On ne peut pas tout
apprendre, c'est évident. La contradiction, au premier regard, n'est qu'apparente: ce
ne sont pas les mêmes étudiants qui vont apprendre toutes les connaissances de pointe.
Encore faut-il que la croissance des effectifs étudiants permette la diversification des
cursus, et qu'un nombre suffisant arrive au niveau du troisième cycle dans toutes les
branches actives. Cela impose, en principe, que les effectifs étudiants croissent à un
rythme comparable à la production scientifique, et, en mathématiques, nous en
sommes loin. Au second regard, la contradiction demeure: à moins de consentir à un
éclatement complet des compétences, il faut assurer à tous une formation reposant sur
des acquis relativement récents. Heureusement, la science ne procède pas seulement
par accumulation, mais aussi par refonte et simplification. La formule de résolution de
l'équation du second degré exprime en une ligne l'essentiel de gros livres arabes du
Moyen Age. L'axiomatique de Kolmogorov, en quelques lignes, les règles
fondamentales sur lesquelles se base la théorie moderne des probabilités16. Les
groupes, en quelques lignes aussi, les traits communs à une foule d'objets
mathématiques dont les théories s'étaient développées séparément. Un choix s'impose
selon les orientations : mais la contradiction ne conduit pas nécessairement à
l'éclatement.
La deuxième contradiction, c'est que, si l'on commence par ce qui est le plus
simple, le plus général, le plus puissant, on tire parti de la science, mais on trahit sa
démarche. Historiquement, le simple est l'aboutissement d'un long processus de
distillation, et chaque définition mathématique est en élixir. En prenant la définition
comme base, on peut marcher d'un pas sûr et rapide, mais cela n'a rien à voir avec la
marche de la découverte. n en est de même en toute science: on ne peut enseigner la
science qu'en trahissant la démarche scientifique. C'est ce qu'on appelle la
transposition didactique. On ne peut pas y renoncer (qui recommanderait de ne pas dire
aux enfants que la Terre tourne autour du Soleil ?). Mais, pour éviter que la science ne
se transforme en dogme, il faut aller assez loin pour que la richesse de la théorie
rejoigne l'expérience commune et la variété des connaissances partielles qui,
historiquement, lui ont donné naissance. Il faut aussi que, sur des sujets bien choisis,
les élèves aient l'occasion d'apprécier l'immense effort qui a abouti aux notions
considérées aujourd'hui comme simples et fondamentales.
La troisième contradiction, c'est qu'en mathématiques ce qui est le plus simple, le
plus puissant, le plus général, n'est pas accessible d'emblée. On ne peut pas introduire
la notion de groupe, malgré sa simplicité formelle, avant que les élèves en aient
quelques exemples significatifs. On ne peut pas, bien sûr, introduire les nombres
15 Paul Langevin, «La Pensée et l'action», conférence pour l'Union française universitaire, mai 1946.
La conclusion de ce texte est au positif: il faut un enseignement scientifique et un développement
social sans avant-garde perdue ni arrière-garde traînante.
16 A.N. Kolomogorov (Kolmogoroff), Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin,
Springer. 1933.

13
complexes avant les nombres réels, ni les nombres réels (qui comprennent les nombres
négatifs) avant les nombres positifs. Ainsi, à chaque niveau de l'apprentissage des
mathématiques, il y a tout un système de notions acquises, de représentations, de
processus mentaux auxquels le nouveau se confronte. Au début, cela crée des
blocages, des fautes, un manque de confiance en soi-même et dans les nouveaux outils
de pensée. Il y a deux siècles, Lazare Carnot, qui était bon mathématicien, refusait
pour cette raison qu'on enseigne les nombres négatifs: ils sont la source de trop de
fautes, et Carnot refusait même qu'on les appelle des nombres l7 . Mais aujourd'hui,
nous n'avons pas le choix: les enfants connaissent les thermomètres et les ascenseurs,
ils ont besoin du concept de nombre négatif, quoi qu'il en coûte. On peut multiplier les
exemples: les calculettes, les informations télévisées, les postes de travail imposent un
niveau de connaissances inconcevable il y a cinquante ans, qu'on ne peut atteindre que
par une difficile et périlleuse ascension en spirale. Les blocages scolaires, en
mathématiques, devraient être considérés comme des épisodes aussi naturels qu'une
scarlatine ou une entorse. lis devraient faire l'objet de dépistage, de diagnostic et de
soins adaptés.
Jalons pour avancer
Pour amorcer ma conclusion, j'évoquerai un paradoxe de Bertrand Russell et la
réponse d'Émile Borel. Russell disait que les mathématiques sont la seule science où
l'on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai. Borel répondait que, en
mathématiques, on sait toujours exactement de quoi on parle, et on est sûr que ce
qu'on dit est vrai. Naturellement, Russell se réfère à la relation des mathématiques au
réel, tandis que Borel se réfère à la construction intellectuelle. Dans cette construction,
la rigueur est celle des enchaînements: si. .., alors... La démonstration est le moyen
systématique de passer de l'acquis au nouveau, et elle garantit que, si l'acquis est
valable, le nouveau l'est aussi : elle donne donc une certitude conditionnelle. Les
démonstrations d'Euclide sont toujours valables, celles de Bourbaki aussi ; c'est le
ciment des constructions mathématiques.
C'est aussi un aspect spécifique et majeur du raisonnement mathématique. Certes le
raisonnement ne se réduit pas à la preuve, mais la preuve en est la mise en forme,
l'ultime mathématisation. Si les mathématiques ne sont pas un catalogue à mémoriser,
mais un système coordonné de connaissances, à comprendre, c'est grâce aux
démonstrations et au raisonnement hypothético-déductif. Il faut donc s'inquiéter
quand, en France, et dans tous les pays du monde, on voit des jeunes gens ayant
terminé leurs études sans comprendre ce qu'est un raisonnement mathématique. Faiton
assez, demandait Évariste Galois, pour que le raisonnement devienne une seconde
mémoire 18 ? Clairement, aujourd'hui, on ne fait pas assez.
Nous disposons en France d'un atout presque unique au monde. A côté d'une très
bonne école mathématique, très liée à toutes les avancées scientifiques dans le monde,
17 Cf. Charles C. Gillepsie et Adolphe P. Youschkevitch, Lazare Carnot savant, Prin, Paris, 1979,
pp. 141-153 ou les citations de Carnot dans J. Dhombres, dir., Mathématiques aux cours des âges,
Gauthier-Villars, Paris, 1987
18 Evariste Galois, Sur l'enseignement des sciences, Ecrits et mémoires, édition critique intégrale (R.
Bourgne, J.P. Azra), Gauthier-Villars, Paris, 1962, p. 21.

14
le corps des enseignants de mathématiques des collèges et des lycées est, dans une
large proportion, bien formé, compétent et dynamique. J'ai cité l'aventure de
Kangourou, je pourrais m'étendre sur les rallyes mathématiques, les expositions, les
livres, les activités liées à la recherche comme Math. en jeans, la foule des initiatives
prises dans les classes et les établissements l9 . Face à de nouvelles exigences sociales,
cet atout est précieux.
Or de nouvelles exigences se manifestent: c'était l'objet même de cet article. Il faut
lever les blocages, multiplier les portes d'entrée vers les mathématiques, montrer les
ressorts et les enjeux de la science qui se fait.
Certes les enjeux de la formation des hommes dépassent, et de loin, la formation
mathématique. Mais on ne saurait réduire la formation mathématique à une couche
d'utilisateurs virtuels. La mathématique est une langue universelle, dont les éléments
doivent être connus de tous les hommes; c'est un sport universel, accessible à tous les
enfants; c'est une science vivante, dont le mouvement, dans ses grandes lignes, doit
pouvoir être saisi par tous les citoyens; c'est la continuation d'une longue histoire,
l'annonce d'une histoire future, qui intéresse tous les êtres humains à venir. Elle a sa
place, complètement et pour tout le monde, dans la culture de notre temps.
Orsay, le 2 février 1994
19 Cf. note 12.

RÉFLEXIONS À PROPOS DE L'UTILISATION DES
CALCULATRICES DANS L'ENSEIGNEMENT
(SUITE ET FIN DE L'ARTICLE COMMENCÉ DANS LE N° 39)
Philippe CLAROU
IUFM de Grenoble
VA. Quelques activités avec calculatrice au collège et en seconde
VA.!. Approximations
1°) CD Sur un compact-disque, je trouve onze morceaux avec les durées
suivantes:
4' 07; 6' 50; 6' 59; 4' 09; 2' 37; 3' 53; 3' 02; 6' 43; 7' 58; 7' 32; 6'
18.
1. Évaluez la durée totale du CD sans calculatrice. Expliquez la (ou les)
méthode(s) d'approximation utilisée(s).
2. Calculez à l'aide d'une calculatrice, la durée exacte. Expliquez votre
méthode.
2°) Note de Super marché Spéc Laitier 3,20
St Hubert 6,80
Voici une note de Super marché: Stylesse 9,20
Librairie 24,70
Librairie 24,70
1. Calculez le montant de la note sans tenir compte Carte 43,70
des centimes.
Céréales
27,30
Miel mont 19,25
Flan nappé 5,05
Gélifiés x4 4,90
Sachets thé 22,85
Demak up 3/2 14,90
2. Que pensez-vous du moyen d'approximation
suivant:
Au total en francs, j'ajoute 27 x 0,50 ? Escalope 11,88
Escalope 23.10
Oeufs 11,80
3. Comparez le montant exact de la note et le montant Chips 4,90
obtenu avec l'approximation. Chipster 10,50
Poireaux 6,45
4. Essayez la même méthode avec d'autres notes.
Mélange 400g 16,80
Pous' recharge 5,80
Golden 80/85 12.35
Carotte 5,35
Cornichons 13,95
Soupl EcoTe 11,15
Malabar 12.95
Persil 3,95
Eau Vals 16,05
«petit x» nO 40 pp. 15 à 39, 1995-1996

16
V.4.2. Les grands nombres
notation scientifique
1°) Autour d'un milliard
1 Avez-vous vécu un milliard de secondes?
2 Un porte-avions coûte environ 8 milliards. Quelle hauteur de billets de 100 F
cela représente-t-il ? (un billet de 100 F a une épaisseur de 0,08 mm).
3 À quelle hauteur arriverait-on si chaque être humain se montait sur la tête?
La comparer à la distance Terre Lune (environ 300 000 km) ?
population mondiale environ 5 milliards
2°) Retrouvez la notation scientifique
Pour ces exercices, essayez de répondre dans un premier temps, sans utiliser
une calculatrice. Vous pouvez ensuite vérifier votre réponse. En cas d'erreur,
essayez de comprendre pourquoi vous vous êtes trompé.
Complète: 121,23 x 105 + 4,56789 x 10 4 = 1,686789 x 10'"
1,23 x 105 x 4,56789 x 10 4 = 5,6185047 x 10'"
9,87 x 10--2 + 6,54 x 102 =6,540987 x W·"
9,8 x 10--2 x 6,5 x 102 =6,37 x W·"
10--2 + 2,3 x 10 3 + 4,5 x 10 4 =4,73 x W·"
30 + 45,67 = 1,27567 x W·" 1230 x 45,67 = 5,61741 x 10'"
1 x 10- 3 + 2 x 10- 2 + 3 x 10- 1 + 4 +5 x 101 + 6 x 10 2 = x 10 2
3°) Le rubik's cube
(D'après pour la science, mai 1981) À l'aide
d'un cube hongrois dit "Rubik's cube" on peut
obtenir 43 252003 274489 856000 dispositions
différentes.
- En supposant que l'on obtienne une
disposition différente toutes les secondes, combien
faudrait-il de temps pour épuiser toutes les
configurations ?
- Comparer le résultat avec l'âge de l'univers:
15 milliards d'année.
(4 e collection Pythagore, éditions Hatier).
4°) Les planètes
Voici le diamètre des planètes du système solaire: Mercure (4 878 km), Vénus
(1,21 x 10 4 km), Terre (12 756 km), Saturne (12 x 104 km), Neptune (48000
km), Pluton (3 500 km).
- Rangez-les de la plus petite à la plus grosse.
- Calculez la superficie et le volume de chacune.
aire d'une sphère de rayon r : 4 1t r2 ; volume : ~ 1t r3

17
5°) L'échiquier
Pour le remercier de l'invention du jeu d'échecs, un roi des Perses (ou un
empereur des Indes) proposa au génial inventeur de choisir une récompense.
Celui-ci répondit qu'il ne voulait qu'un grain de blé pour la première case de
l'échiquier, deux grains pour la seconde et ainsi de suite en doublant jusqu'à la 64 e
case.
- calculer le nombre de grains de blé nécessaires pour la 64 e case.
- sachant qu'un m 3 de blé contient environ 15 milliards de grains, évaluer la
hauteur d'un grenier de 4 m de large et de 10 m de long assez grand pour
entreposer ce tas de blé !
- comparer le résultat avec la distance de la Terre à la Lune (environ 300 000 km).
V.4.3. Séquence de touches
De la séquence de touches à l'écriture mathématique
Dans cet exercice, nous désignerons par lEI la touche qui permet la mise en
mémoire du nombre à l'écran. Sur les calculatrices les plus courantes on trouve
1E\.1~~ JM in1, 1STO1ou ... Vous utiliserez la touche correspondante de votre
calculatrice.
Écrivez les expressions mathématiques correspondant à la séquence de touche
suivante:
1 taper un nombre x puis lEI0 o IIIE1l!10 ~RMI ElIIIEl .
2 taper un nombre x puis lEI0 00ElIIIEl ~RMI E10El .
3 taper un nombre x puis lEI0 ElIII ~RMI El1II1I10El .
4 taper un nombre x puis lEIIIIEl III0 'RM10 ElIIIIIIEl­
5 taper un nombre x puis
6 taper un nombre x puis
De l'écriture mathématique à la séquence de touches
Écrire la séquence de touches correspondant au calcul des expressions suivantes
et vérifier votre réponse en calculant avec les valeurs x =5 et x =-7 :
o 5 x + 3 x 2 - 4 0 ( x + 3 ) x ( 4 - 2 x ) + 3
o ~ x - ~ x2 0 ( ..J7 x + 5)2 0 ( 5 ~ : ~3 )2
2

18
3°) Tonneau (d'après 4e collection Pythagore,
éditions Ratier)
Voici quelques procédés de calcul du volume intérieur
d'un tonneau:
(1) Formule de Kepler: V = ~; (2 D2 + d 2 )
1tL 2
(2) Formule de l'An II : V = 36 (2 D + d)
"""'1
........ --'
(3) Formule de Dez : V = 1t L (5 D 1~ 3 dJ
(4) V=~t(5D2+4d2)
(5) V = ~; ( D2 + d 2 + D d )
(6) V=0,8LDd
(7) V = 1,0453 L (0,4 D2 + 0,2 D d + 0,15 d2 )
Nous avons mesuré deux tonneaux:
une barrique de 220 litres environ : L = 80 cm, d = 50 cm, D = 65 cm
une demi-barrique de 120 litres environ: L = 66 cm, d =" 41 cm, D = 53 cm.
Comparer les résultats obtenus en utilisant les 7 formules.
4°) Des aires à découvrir (d'après 4e collection
Pythagore, éditions Ratier).
a) Calculez l'aire totale de chaque solide dans
les cas suivants: x = 2 et x = 3,5.
b) Calculez l'aire totale de chaque solide à
l'aide de x. Calculez vos expressions pour les
valeurs de x précédentes.
~
3
x
3
x

19
5°) Calculatrices et Espace
a) On veut une citerne de 1000 1de l'une des fonnes suivantes:
c
Quelle dimension doit-on donner suivant la fonne choisie?
Quelle fonne doit-on choisir pour obtenir le plus petit échauffement possible de
la paroi par l'air ambiant?
b) Considérons un cube de côté 2 cm.
(1)
(4)
(3)
Ce cube est inscrit en (1) dans une sphère et en (3) dans un cylindre; en (2)
c'est une sphère et en (4), c'est un cylindre qui sont inscrits dans le cube. Dans
chacun des cas, quel est le rapport entre les volumes des deux solides imbriqués.
V.4.4. Calcul exact ou approché ?
1°) = ou::::: ?
a) Sur une calculatrice scientifique, en mode d'écriture scientifique, pour
543 x 26,987 on obtient 1,4653941 x 1()4. Complèter par le signe approprié =ou
::::: en justifiant la réponse: 543 x 26,987 1,4653941 x 1()4·
b) Même question: 432,1 x 567,89 2,45385269 x 105.
c) Même question: 12,34 x 98,7654 1,218765036.
d) Même question: 12,344 x 9,87654321 ...... 1,219160494 x 102.
2°) Pour calculatrice scientifique (2e collection spirale, 1990, éditions Belin).
Calculer la valeur exacte de 0,0093786 x 0,00053294.
3°) Multiplication (2e collection spirale, 1990, éditions Belin).
Utiliser les écritures 5247 x 103 + 624 et 1872 x 103 + 239 pour calculer la
valeur exacte du produit 5247624 x 1872239.

20
4°) Multiplication en multiprécision
Voici une disposition particulière
de la multiplication qui permet
12 345 679 x
d'effectuer, en particulier avec l'aide
d'une calculatrice, des multiplications 98
pour des grands nombres et d'obtenir
les résultats exacts. 765
a) Compléter l'opération ci-contre
et justifier le bon fonctionnement de
cette disposition.
986 435
b) Effectuer d'autres multiplications.
V.4.S. Valeur exacte ou approchée
1°) Calculer à la calculatrice le produit :
({2 + 13 + {5) ({2 -13 + {5) ({2 + 13 - {5) ({2 -13 - {5)
Ce produit P est-il entier?
Ajouter 24 au résultat précédent. Pensez-vous toujours que P est entier?
En regroupant astucieusement les facteurs deux par deux, calculer la valeur exacte
de P.
2°) Précision des calculs (d'après l'ouvrage de 2e, 1994, éditions Belin)
Soit l'expression :
A = 1579932 - (1 +13) - 10 (1 + 13)2 - 100 (1 + {3)3 - 1000 (1 + {3)4 ­
13)5. (1 + ooסס‎1‎
a) Calculer A en utilisant la valeur affichée par une calculatrice pour 1 +13.
b) Calculer A en utilisant la valeur fournie par la machine pour 1 +13.
Dans les deux cas, il est intéressant d'utiliser une mémoire.
Quelques commentaires
Nous avons regroupé un certain nombre d'activités, assez classiques et le plus
souvent trouvées dans les manuels en usage, pour lesquelles la calculatrice est un outil
efficace.
Approximations. Il est intéressant de poser la question de l'ordre de grandeur
d'un résultat en ayant la possibilité de comparer avec le résultat obtenu avec une
calculatrice. Les deux méthodes ne sont pas considérées en compétition mais elles se
complètent.
Pour évaluer la durée totale du compact-disque (figurant heureusement souvent sur
la pochette !), on peut ajouter au total des minutes autant de minutes que la moitié du
nombre de plages. De même pour la note de supermarché, on peut ajouter autant de
francs que la moitié du nombre d'articles. Cette méthode d'approximation se justifie en
considérant que les durées en seconde sont en moyenne de 30s et que la valeur des

21
centimes du prix de chaque article est en moyenne de 0,50F. Pour les prix, cette
estimation est plus discutable puisque les commerçants prennent soin de proposer des
prix comme 14,95F au lieu de 15F.
La plupart des manuels de 6e ou de 5e propose de nombreux exercices de calcul
"mental" ou "à faire dans la tête". TI parait intéressant, au lieu d'interdire l'usage de la
calculatrice pour ces exercices, de comparer les résultats obtenus par le calcul réfléchi
et avec la machine. En particulier, cela pourra mettre en évidence que l'usage des
calculatrices peut être lourd (dans le cas des calculs très simples) et s'accompagner
d'erreurs de frappe.
Les grands nombres,. la notation scientifique. Ces exemples d'activités ont été
choisis pour montrer l'utilité de la notation scientifique.
Séquences de touches. On utilise les calculatrices à l'occasion de certains calculs
ou pour l'évaluation d'une formule pour des valeurs données. Il y a ici un certain
nombre d'exemples qui devrait permettre d'évaluer une certaine maîtrise de cet outil.
Calcul exact ou approché. Les premiers exercices sont l'occasion de réfléchir au
fonctionnement de l'algorithme traditionnel de la multiplication.
v.s. Ordre de grandeur ; opérations sans calculatrice
Pour cette série d'exercices, effectuez les vérifications à l'aide de la calculatrice,
essayez ensuite de répondre en utilisant un simple raisonnement; enfin, vous pouvez
éventuellement vérifier vos réponses avec la machine.
1. (d'après 6e Delord, Vinrich, 1994, éditions Hachette)
a) Je dois acheter 24 objets coûtant 1,95F chacun. Ai-je assez avec un billet de
50F?
b) Le litre d'essence coûte 5,45F. Je mets 411 dans le réservoir. Ai-je assez
pour payer avec 200F ?
2. (d'après 6e Delord, Vinrich, 1994, éditions Hachette)
Pour chacun des produits suivants, on vous propose plusieurs résultats.
Expliquez pourquoi vous pouvez être sûr que certains sont faux. Vérifiez avec la
calculatrice le résultat.
121 x 981 20 518 2 058 2 085 258
10,83 x 471 49,01 45,21 39,1 39,01

22
3. Une tache cache le deuxième facteur du produit donné pour lequel quatre
résultats sont proposés. Vous savez que le nombre caché est un nombre entier.
_1
118 x 3 546 3 465 992 16
a) Sans utiliser la calculatrice ou poser d'opération, pourquoi pouvez-vous dire
qu'un seul des résultats proposés est possible?
b) En utilisant la calculatrice, à quelle condition pouvez-vous deviner le
nombre caché?
4. (d'après 6e Delord, Vinrich, 1994, éditions Hachette)
Connaissant le résultat suivant: 542 - 213,7 = 328,3 et sans utiliser la
calculatrice ni faire pratiquement aucun calcul complètez :
328,3 + 213,7 = 542 - 328,3 =
5420 - 2 137 = 0,542 - 0,2 137 =
1 542 - 213,7 = 742 - 213,7 =
542 - 203,7 = 842 - 113,7 =
Expliquez vos réponses.
Éventuellement, vérifiez avec votre calculatrice.
5. Vérifiez que 38,26 x 1,7 = 65,042
Complètez:
38,26 x 17= . 3826 x 17 = .
0,3826 x 170 = . 38,26 x 3,4 = .
19,13 x 3,4 = . 38,26 x 51 = .
65,042 = 1,7
65,042
38,26 = .
6. v, en 'f' lez que 1J) 7,12 = 445 ,
Complètez:
7,12
~ = ;
7,12
0,16 = .
712 7,12
16 = ; 4,45 = .
7,12 7,12 =
08=·················; 32 .
, ,
4,45 x 1,6 = ; 8,90 x 1,6 = .
7. Sans calculer le produit 5,576 x 2,428, essayez de répondre aux questions
suivantes:
nombre de chiffres à droite de la virgule: .
nombre de chiffres à gauche de la virgule: .
chiffre le plus à droite: .
chiffre le plus à gauche: .

23
8. (d'après 6e Delord, Vinrich, 1994, éditions Hachette)
Pour chacun des quotients suivants:
41,5 7,03 6,3 305
10,3 0,98 2,05 6
a) donnez d'abord un ordre de grandeur en expliquant la méthode suivie;
b) vérifiez à la calculatrice.
9. (d'après 6e Delord, Vinrich, 1994, éditions Hachette)
1") a) vérifiez avec la calculatrice que 999 x 0,99 est inférieur à 1 000 ;
b) quel raisonnement vous permet de prévoir ce résultat sans faire le calcul
avec l'aide de la machine.
c) Et pour 999 x 0,999999999?
2") a) vérifiez avec la calculatrice si 999 x l,lest plus grand que 1 ()()() ;
b) même question pour 999 x 1,01 ; pour 999 x 1,001 ; pour ...
c) Quel raisonnement vous permet de prévoir les réponses aux questions
précédentes sans effectuer le calcul avec l'aide de la machine ?
Commentaires
Ces exercices peuvent très bien être abordés au niveau 6e.
Ils devraient permettre une certaine réflexion sur l'ordre de grandeur du résultat et
plus généralement sur les opérations usuelles. Ils devraient aussi inciter à un certain
recul par rapport à la calculatrice puisque l'élève est invité à anticiper par rapport au
résultat qu'il pourra lire sur l'écran. Ces objectifs ne seront atteints que si l'enseignant
explique bien la consigne, la tâche attendue et s'il prend soin de faire expliciter les
démarches de chacun.
La mise en commun des différentes méthodes d'approximation est importante, ne
serait-ce que pour donner des méthodes à ceux qui n'en ont pas et qui n'arrivent pas à
se dégager des algorithmes opératoires.
Exercice 1. Il est nécessaire de bien préciser la consigne : on essaye de répondre
d'abord sans la calculatrice.
Exercice 2. Pour 21 x 98, le résultat est évidemment de l'ordre de 2000. Sans
effectuer l'opération, on peut être sûr que le résultat n'est pas 20518 ni 258. On peut
écarter aussi de façon sûre 2 085 à cause du chiffre des unités ou de sa parité. Donc,
seul, 2 058 est vraisemblable. Mais attention, il faut faire le calcul pour être certain
que le produit vaut bien 2 058.
Pour 0,83 x 47, les arguments sont un peu différents. On peut prévoir que le
résultat est inférieur à 47 puisque le premier facteur est inférieur à 1 ; 49,01 est donc
écarté. Ce produit doit comporter deux chiffres après la virgule puisque 7 x 3 =21. Il
est plus difficile d'écarter 45,21 : on peut considérer que le produit cherché est
inférieur au produit 0,9 x 50 qui vaut 45.
Exercice 3. Le résultat doit être pair; nul ou supérieur ou égal à 18, multiple de 9.
On peut donc écarter 3 465, 16 et 992.

24
Exercice 4. C'est l'occasion ici de réfléchir au sens de la soustraction, au lien avec
l'addition et sur les algorithmes des opérations avec les décimaux.
Exercices 5 et 6. Mêmes remarques à propos cette fois de la multiplication et de la
division.
Exercice 7. Le résultat est compris entre 5 x 2 et 6 x 3 c'est à dire entre 10 et 18 :
le chiffre le plus à gauche est donc 1.
V.6. Au delà de l'écran de la calculatrice
1. Quel est le chiffres des unités de 2 1995 .
2. 1°) Quel est le 1995ième chiffre après la virgule obtenu dans la division de
1 par 7?
2°) dans la division de 10 par 97 ?
3°) dans la division de 10 par 51 ?
3. (D'après "plus fort que ma calculatrice" brochure Modules en 2nde, Irem
de Strasbourg).
1°) Quelle est la valeur exacte de 7 12 ?
2°) Celle de 9 11 ?
4. Rallye de la réunion 1991.
Quel est le nombre de chiffres de 300 300 ?
5. Différence de deux carrés.
1°) Calculez, sur votre calculatrice, 1234567890 2 - 1234567889 2 .
Le résultat vous parait-il exact? Argumentez votre réponse.
2°) Comparez le résultat obtenu avec plusieurs modèles de calculatrice.
3°) Factorisez l'expression et calculez sa valeur exacte.
Comparez avec les résultats obtenus précédemment.
6. Encore une différence de deux carrés.
1°) Calculez, sur votre calculatrice, 1 000 000 0252 - 999 999 9752.
Le résultat vous parait-il exact? Argumentez votre réponse.
Comparez le résultat obtenu avec d'autres modèles de calculatrice.
2°) Calculez, sur votre calculatrice, 9 999 999 9252- 9 999 9998752.
Le résultat vous parait-il exact? Argumentez votre réponse.
Comparez le résultat obtenu avec d'autres modèles de calculatrice.
3°) Développez (a + b)2 - (a - b)2.
Appliquez le développement précédent aux expressions du 1°) et du 2°) pour
trouver leurs valeurs exactes.

25
Commentaires
Exercice 1. Il s'agit de remarquer et d'utiliser la 2 .. 4
périodicité des chiffres des unités dans la suite des puissances
de 2.
t
~
6 ~
Exercice 2. Il s'agit ici de remarquer et d'utiliser la périodicité des approximations
décimales d'un rationnel. Pour les deux premiers exemples, on peut "voir" la période
sur l'écran de la calculatrice. Pour le troisième exemple, pour ~~ on obtient, sur
l'écran d'une calculatrice comportant un affichage de dix chiffres, 0,196078431.
Attention, la période n'est pas 19607843. Elle est beaucoup plus longue:
1960784313725490.
Tout l'intérêt de l'activité réside dans la recherche des différents moyens pour
trouver les différents chiffres après la virgule. C'est très facile avec une calculatrice
possédant la division euclidienne. On effectue la division entière de la par 51. On note
le quotient O. On multiplie le reste par 10 et on effectue à nouveau la division entière
par 51. Et ainsi de suite .. ,
Exercice 3. Sur une calculatrice scientifique ayant 10 chiffres à l'affichage (c'est
le cas de la majorité des machines), on obtient la valeur exacte de 7 11 . Pour 7 12 , on
obtient le résultat en écriture scientifique ce qui nous donne les 9 premiers chiffres. En
multipliant 711 par 7 on trouve facilement tous les chiffres de 712.
7 11 = 1977326743 7 12 "" 1,38412872 x 1010 comme 7 x 43 = 301 on a :
7 12 = 1,3841287201 x 1010.
Attention, on obtient 911 "" 3,138105961 x 1010 et 911 =3,1381059609 x 1010.
Exercice 4. On a 300300 =(3 x 100)300 =3300 x 10600.
3300 = (3 150)2 "" (3,6998848 x 10 71 )2
"" 13,689147 x 10 142 . 300300 a donc 2 + 142 + 600 chiffres.
Exercice 5. Sur une calculatrice scientifique, on obtient généralement
2 500 000 000 ou 2 469 000 000.
Puisque (a + 1)2 - a2 =2 a +1 on trouve 2 x 1234567889 + 1 =2 469 135779.
Exercice 6. Il est intéressant d'utiliser l'identité (a + b)2 + (a - b)2 =4 ab.
On trouve donc pour la première expression 4 x 109 x 25 = 1011. Les calculatrices
donnent généralement ce résultat.
Pour la deuxième, le calcul donne: 4 x 9,9999999 x 109 x 25 =3,9999996 x 10 11.
Avec une calculatrice, on obtient généralement 1012.
V.7. Défi
Pour relever chacun des défis suivants, il faut trouver une séquence de touches
pennettant d'effectuer le calcul donné en respectant les contraintes indiquées.
Précisez bien le type de calculatrice avec laquelle vous relevez le défi (calculette,
calculatrice scientifique ou bien calculatrice avec éditeur d'expression).
Comparez votre résultat avec celui de vos camarades.
8

26
1. Allumez votre calculatrice et affichez simplement 7 à l'écran.
Comment obtenir à l'écran un nombre supérieur à 10 20 en appuyant seulement
sur deux touches?
(la touche l2ndl, JShiftl ou ~ ne compte pas ainsi que la touche 'ENTER1ou
IFXEI pour une calculatrice avec éditeur d'expression mais toutes les autres
comptent en particulier pour une calculatrice scientifique, la touche ~).
2. a) Sans utiliser la touche El (ni éventuellement la touche fraction \ZI) et sans
1 1
- + ­
modifier l'expression,calculez i ?
2- 3"
(attention, vous devez trouver 5).
b) Essayez de ne pas utiliser non plus les touches l~l et III.
3. Sans utiliser la touche lB ni les touches !Il et III et sans modifier
1 1
- + ­
l'expression, calculez i ?
2 3"
4. Sans vous servir des touches [El et I 1YI, X calculez 7 24 en appuyant au
plus 7 fois sur une touche.
Commentaires
Défi 1. Sur une calculatrice scientifique possédant la fonction factorielle 7 0 81
donne 6,08281 ... 1()62 !!!
Si la calculatrice ne possède pas la fonction factorielle, il ya 7 0110x 1qui donne
10 49 !!!
Défi 2. Il suffit d'utiliser la touche lB et de remplacer la division par le produit de
l'inverse.
Le résultat très simple permet là aussi une vérification facile.
Défi 3. Cette fois, il faut utiliser la division et un registre mémoire pour éviter le
parenthésage.
Défi 4. En classe de Terminale, ce défi peut être relevé en utilisant les fonctions
logarithmes et exponentielles.
Ici il suffit de remarquer que 28 = 8 + 16 et de calculer 7 8 x 7 16 à l'aide
d'utilisation successive de la touche (ill. Cela donne par exemple:
7000~0El·

27
V.S. DES CONJECTURES AVEC UNE CALCULATRICE
V.S.l. Avec des carrés
1°) Choisir deux entiers consécutifs (par exemple 7 et 8). Calculer la différence
de leurs carrés (ici 82 - 72). Le résultat est-il toujours impair? Effectuer plusieurs
essais puis établir la réponse dans le cas général.
2°) Choisir deux entiers ayant pour différence 2 (par exemple 47 et 49).
Calculer la différence de leurs carrés. Le résultat est-il toujours un multiple de 4 ?
Établir la réponse dans le cas général.
V.S.2. Nombres retournés
1°) Vérifiez que 123 + 456 = 579 et que 321 + 654 = 975. Comparez les
termes des deux sommes et les deux résultats.
Faites-vous la même remarque avec 246 + 732 et 642 + 237 ?
2°) Pouvez-vous généraliser votre remarque? Et avec des nombres de deux
chiffres?
V.S.3. Produit d'entiers consécutifs
Pour chacune des questions vous effectuerez plusieurs vérifications à l'aide de la
calculatrice puis vous établirez les résultats dans leur généralité en soignant
l'argumentation.
1°) a) Choisir trois entiers consécutifs (par exemple Il, 12 et 13). Effectuer le
produit de ces entiers et le diviser par 6.
Le résultat est-il entier: toujours? jamais? à condition ... (à préciser) ?
b) Le produit de trois entiers consécutifs est un multiple de 24 :
toujours? jamais? à condition ... (à préciser) ?
c) Le produit de quatre entiers consécutifs est un multiple de 24 :
toujours? jamais? à condition ... (à préciser) ?
2°) a) Vérifier que 1994 x 1995 x 1996 + 1995 = 19953.
b) Sur la calculatrice, calculer 1994 x 1995 x 1996 + 1995 - 19953.
puis ~1994 x 1995 x 1996 + 1995 - 1995.

28
V.8.4. Avec des fractions
10) Vérifier avec la calculatrice puis par le calcul que:
7
"5 + 1 7
et que 5 ="5
- + 1
7
2°) Peut-on généraliser ces résultats? sous quelle fonne ? Justifier la réponse.
V.8.S. Somme des carrés
10 x 11 x 21
1°) Vérifier que 1 2 + 2 2 + ... + 10 2 = 6
, . 2 2 2 11 x 12 x 23
2°) Venfierque 1 + 2 + ... + 11 = 6
3°) Essayer de trouver l'égalité correspondant à 1 2 + 2 2 + ... + 20 2 et la
vérifier.
4°) Essayer de deviner la fonnule donnant la somme des carrés des n premiers
entiers en fonction de n.
V.8.6. Avec des racines
1°) (D'après 2e collection Terracher, 1990, éditions Hachette)
a) Vérifier que '"49 + ..J36=49 - 36.
b) Y a-t-il d'autres nombres pour lesquels la somme des racines est égale à la
différenceenneles nombres ?
2°) a) Doit-on écrire '"325 + {52 = '" 637 ou bien '" 325 + {52 "" '" 637 ?
Justifier la réponse.
b) Doit-on écrire "'833 + "'612 = -..f2873 ou bien "'833 + "'612 "" "'2873 ?
Justifier la réponse.
c) Essayer de trouver d'aunes valeurs pour un exercice semblable.
(D'après de 2e collection Terracher, 1990, éditions Hachette)
Soit A, B et C trois points du plan tels que AB = '" 325, AC = ...[52 et
BC = "'637.
Sont-ils alignés?
3°) (D'après 2e collection Pythagore, 1994, éditions Hatier)
a) Soit x = 17 + 5 -f3 et y = 17 - 5 -f3.
Vérifier sur une calculatrice si la somme x + y, le produit xy et la somme
x2 + y2 sont des entiers.
Essayer d'établir de façon sûre ce résultat sans l'aide de la calculatrice.
b) Faire le même travail avec x =23 + 7 {S et y =23 -7 {S.
c) Peut-on généraliser en considérant les nombres a + b -{C et a - b -{C?

29
V.S.7. Drôle de produit
1°) Calculer (~ + {3 + {5) (~-{3 + {5) (...J2 + {3 - {5) (...J2 - {3 - {5).
Le résultat est-il entier? Ajouter 24 au résultat précédent. Pensez-vous toujours
que le résultat est entier?
2°) Mêmes questions pour le produit:
(-../23+ m + -[[0) (-../23-m + ...J1O) (-..[23+ m - ...J1O) (-../23-m-..JTO).
3°) Essayez sur votre calculatrice avec d'autres nombres puis essayez de
généraliser le résultat.
Commentaires
Avec des carrés. Cet exercice peut avoir des prolongements à propos d'identités
remarquables.
Nombres retournés. Il s'agit de comparer la somme de deux nombres de trois
chiffres avec celle des deux nombres "retournés". Dans les exemples proposés, on
trouve 579 et 975 pour le premier et 978 et 879 pour le deuxième. Les résultats sontils
toujours miroirs l'un de l'autre? Évidemment non. Cela ne se produit que lorsqu'il
n'y a pas de retenue. Il nous parait que cet exercice est l'occasion de revenir sur
l'algorithme de l'addition.
Produit d'entiers consécutifs. Même si les notions de diviseurs et les multiples ne
sont plus explicitement au programme du collège, une réflexion sur ce thème est
intéressante à mener. Il est facile d'établir les résultats demandés en s'appuyant sur les
propriétés suivantes : parmi trois entiers consécutifs, il y a toujours un multiple de
trois (les multiples de trois se succèdent de trois en trois) ; parmi deux entiers
consécutifs, il y a un nombre pair; parmi deux nombres pairs consécutifs, l'un d'eux
est multiple de deux, l'autre de quatre; parmi quatre entiers consécutifs, il y a un
multiple de 4 et un multiple de 2. Pour 2°) il suffit de développer (n - 1) n (n + 1).
1 1 1 1
Avec des fractions. Il suffit d'écrire 2 ~ 3 = ~ 3"' 3 x 4 = 3" - 4"' ... et de
simplifier les termes.
Somme des carrés. Le travail demandé ici est surtout orienté vers la découverte
d'une formule en fonction de n. Par contre, il n'est pas prévu de l'établir.
Avec des racines. 1°) L'égalité est vérifiée parce qu'il s'agit des carrés de deux
entiers consécutifs. ....j a2 + -V (a + 1)2 = a2 - (a + 1)2.
2°) Pour avoir une égalité il suffit de considérer n\r(r) + p\r(r) que l'on écrit \r(n2 r)
+ -Vp2 r d'une part et -V (n + p)2 r d'autre part.
3°) TI peut être intéressant de ne pas donner la formulation générale mais de la faire
découvrir.
Drôle de produit. On a ({a+..[b+{C) ({a-..[b+{C) (..Ja+..[b-{C)({a-..[b-{C) =
a2 + b2 + c2 - 2 a b - 2 a c - 2 b c.

30
V.9. Des clés pour des nombres
V.9.1. CCP
Les numéros de compte chèque postaux (ccp) sont formés de 11 caractères
comprenant de gauche à droite:
- 7 chiffres pour le numéro de compte proprement dit.
- 1 lettre suivie d'un zéro.
- un code à 2 chiffres désignant le centre de chèques postaux dans lequel le
compte a été ouvert (code de 20 à 38).
La lettre est une clé permettant de vérifier la cohérence du numéro. Elle peut
être déterminée à l'aide des autres informations de la façon suivante.
a) On calcule le reste de la division par 23 du nombre:
(code du centre) x 1()6 + (nO de compte).
b) A ce reste on associe la lettre de l'alphabet privé de l, de 0 et de Q suivant la
correspondance suivante: ABC X y Z
o 1 2 20 21 22
1°) Utiliser une calculatrice pour vérifier la clé du compte 153847 KO 36.
(avec une TI Galaxy 40, on dispose d'une touche l:El pennettant de calculer le quotient et le
reste d'une division; il est possible de l'utiliser malgré la longueur des nombres).
2°) Si vous disposez d'un autre numéro de CCP, vérifiez la clé. Essayez
d'utiliser au mieux votre calculatrice pour simplifier le plus possible vos calculs.
V.9.2 N° d'identification INSEE
Le numéro d'identification INSEE (que l'on trouve sur une carte de sécurité
sociale) est un nombre de 13 chiffres ainsi constitué :
- le chiffre 1 pour un homme ou 2 pour une femme,
- deux chiffres correspondant à l'année de naissance (81 pour 1981),
- deux chiffres correspondant au mois de naissance (par exemple 07 pour
juillet),
- deux chiffres correspondant au numéro de département du lieu de naissance,
- trois chiffres correspondant au code de la commune de naissance,
- trois chiffres correspondant au numéro d'ordre sur le registre d'état civil.
Si N désigne le nombre de 13 chiffres du numéro d'identification national, la
clé de contrôle C est calculée par la formule:
C =97 - reste de la division de N par 97.
1°) Vérifiez la clé de votre numéro d'identification.
(En réfléchissant un peu, on peut utiliser avec profit une calculatrice comme la TI Galaxy 40
qui possède une touche donnant le quotient et le reste d'une division entière même si un nombre
aussi long ne peut être transcris sur la machine).
2°) Quelle est, à votre avis, l'utilité de cette clé.

31
V.9.3. Compte bancaire
On peut observer sur un relevé d'identité bancaire (rib), qu'un compte en
banque est identifié par 23 caractères (la plupart sont des chiffres). Les deux
derniers chiffres de droite constitue une clé permettant de vérifier la cohérence du
numéro.
Les 21 premiers caractères sont formés par :
-le code de la banque (5 chiffres),
- le code du guichet (5 chiffres) ou de l'agence,
- le numéro de compte proprement dit.
Si l'un des caractères est une
lettre, codez-la à l'aide du tableau de
correspondance ci-contre.
Code numérique:
A B C D E F G H 1
J K L M N 0 P 0 R
R S T U V W X y
1 2 3 4 5 6 7 8 9
N désignant le nombre de 21 chiffres défini ci-dessus, la clé de contrôle C est
calculée par la formule: C =97 - reste de la division de (loo x N) par 97.
1°) Vérifiez la clé du
numéro suivant:
Banque Guichet Compte Clé
18207 00071 01170925418 43
2°) En ajoutant à droite les deux chiffres de la clé de contrôle, on obtient un
nombre de 23 chiffres. Vérifiez que ce nombre est un multiple de 97 autrement dit
que le reste de la division par 97 est nul.
3°) Essayez de trouvçr un RIB et vérifiez la clé du numéro donné.
/
Commentaires
Un des intérêts de cette activité est de permettre d'expliquer en partie une pratique
auquel chacun a pu être confronté un jour ou l'autre: les clés de saisie informatique.
Cette activité est particulièrement intéressante si on dispose d'une calculatrice
donnant le quotient et le reste d'une division entière. C'est le cas notamment de la
Galaxy 40 de TI. En effet, cette machine possède une touche Œl. Mais lors de son
utilisation, on peut se heurter aux problèmes de limitations d'affichages:
- le nombre donné doit être inférieur à 1011 ;
-le quotient ou le reste de la division entière ne doivent pas dépasser 106.
Ces limitations obligent à revenir sur l'algorithme même de la division. En effet, il
suffit de considérer par exemple le nombre formé des 5 premiers chiffres du nombre
donné et de chercher le reste de la division de ce nombre. On continue ensuite en
prenant le nombre formé par le reste obtenu suivi des 3 ou 4 chiffres suivants du
nombre de départ. Et ainsi de suite. Une réflexion sur le fonctionnement de
l'algorithme traditionnel de la potence permet de résoudre ces difficultés.

32
V.I0. Avec trois chiffres et une calculatrice
547 547 Il
o
1. Choisir un nombre entier t de trois chiffres (par exemple: 547).
L'écrire deux fois de suite pour former un nombre entier s de 6 chiffres (dans
l'exemple on obtient 547547). Chercher des diviseurs de ce nombre s (on dit que
un entier d est un diviseur du nombre entier n si la division de n par d "tombe
juste" et donne un quotient entier).
Trouvez-vous que 7 et Il sont des diviseurs de votre nombre s ?
2. Reprendre la question 1 en partant d'autres nombres de trois chiffres.
Trouvez-vous encore que 7 et Il sont des diviseurs du nombre de six chiffres
que vous avez formé?
3. Trouver au moins 5 diviseurs de tous les nombres de six chiffres que vous
pouvez former en écrivant deux fois de suite un nombre de trois chiffres.
4. Comparez vos résultats avec ceux de vos camarades et essayez d'expliquer
pourquoi vous obteniez toujours ces mêmes diviseurs quelque soit le nombre de
départ.
5. Pouvez-vous observer les mêmes résultats en partant de nombres de deux
chiffres?
Il Y a seulement deux nombres qui sont diviseurs de tous les nombres de
quatre chiffres que vous pouvez former en écrivant deux fois de suite un nombre
de deux chiffres. Essayez de les trouver.
6. Prolongez vos remarques en partant cette fois d'un nombre de quatre
chiffres que vous écrivez deux fois de suite.
Commentaires
Cette activité peut être proposée en 6e. Il est intéressant de la mener en liaison avec
des travaux sur la division, le quotient de deux entiers et les multiples.
La calculatrice permet de ne pas se focaliser sur la seule conduite des algorithmes
opératoires mais de privilégier la réflexion sur les résultats.
Il est possible de faire découvrir aux élèves que "passer de 547 à 547 547, cela
revient à multiplier 547 par 1001". li suffit alors de remarquer que 1001 =7 x 11 x 13

33
pour expliquer le fait que tous les nombres obtenus sont des multiples de 7, Il, 13,
77,91 et 143.
Le cas des nombres de deux chiffres n'est pas intéressant puisque 101 est premier.
Pour un nombre de quatre chiffres, il y a seulement trois diviseurs constants
puisque 100(n =73 x 137.
V.ll. Avec des fractions
1. Soit F = 5 + 1 1 . Essayez de calculer F avec votre calculatrice.
4 + 1
3 + "2
2. Vérifiez que F = 11ri. Expliquez votre méthode (attention aux erreurs de
calcul possible).
3. Cherchez une séquence de touches permettant de calculer F sur votre
machine suivant la première expression en utilisant seulement les touches @], @],
[il, [li, ~, G, œ, El et éventuellement les parenthèses.
4. Toujours à partir de cette première expression de F, essayez de trouver une
séquence de touches permettant de calculer F en utilisant seulement les touches
@], @], @], ŒJ, ~, El, E], B et éventuellement les parenthèses.
5. Il est assez facile de passer de la première écriture de F (avec des sommes
d'entiers et d'inverses d'entiers) à une écriture fractionnaire de F. Cherchons à
passer de la deuxième écriture à la première.
Par exemple ~; .On écrit la fraction comme somme d'un entier et d'une fraction
inférieure à 1. On écrit cette nouvelle fraction sous la forme de l'inverse de
l'inverse et on recommence avec la nouvelle fraction:
soit 53 = 1 + ~ = 1 + 1... . 47 - 7 + i =7 + ! . ~ - 1 + ! d'où 53 _ 1 + _-::..1__
47 47 47' 6 - 6 § , 5 - 5 47 - 7 + _1_
6 5 1 + L
5
Cette nouvelle écriture de ~~ (à l'aide seulement d'entiers et d'inverse) est
appelée parfois écriture sous forme de fractions continues.
a) Essayez de retrouver 1 a premlere
·,,·
ecnture
d
e
F'
a partrr
. d
e
157
30 .
, . .. 1995 31416 1414 54321
b) Cherchez les ecntures en fracnons contmues de : 1981 ; WOOO; 1000; 12345 .
3

34
6. Expliquer comment l'on peut procéder le plus simplement possible, pour
trouver l'écriture d'une fraction sous la forme de fractions continues. Comparez
votre méthode avec celles trouvées par vos camarades.
Commentaires
Cette activité peut être proposée au niveau 4e. Elle présente aussi un intérêt au
niveau de la classe de 2e avec un prolongement possible à propos d'approximation de
1t en fractions continues et de programmation.
Elle permet de vérifier une certaine maîtrise des calculatrices pour le calcul des
fractions.
Question 1. Toutes les méthodes de calcul sont envisageables. Avec certaines
calculatrices, il peut y avoir dépassement de capacité si on utilise plusieurs niveaux de
parenthésage. Si on utilise une calculatrice permettant le calcul sur les fractions, il faut
tout de même organiser le calcul pour qu'il soit possible. La question reste intéressante
à traiter.
Question 2. Cette question oblige à envisager l'utilisation de la touche inverse. TI
est possible de ne pas utiliser de parenthèses et donc de faire ce calcul avec une
"calculette 4 opérations".
Question 3. Cette question permet de faire le lien entre inverse et quotient.
Question 4. Certaines calculatrices (par exemple la Galaxy 40 de TI) permettent
d'obtenir très simplement le quotient et le reste d'une division entière. TI est aisé, dans
ce cas, de trouver le développement en fraction continue de n'importe quel rationnel.
La d etermmatIon
, . . d
e
l'
ecnture
, .
en
f'
ractIOns contmues
. d
e
31416 è
ooסס‎1‎ sugg re
l'approximation de 1t. On peut facilement aller plus loin.
Remarque : Avec une calculatrice programmable, il est assez simple de créer un
programme permettant de retrouver l'écriture sous forme de fractions continues.
entrée de a et b
tant que b ~O
calcul et affichage du quotient entier q de a par b
calcul du reste r de la division entière de a par b
a~ b; b ~ r.
V.12. La somme des carrés des chiffres d'un nombre
3 et 7 sont les chiffres du nombre 37.
Le nombre 9 + 49 est bien la somme des carrés des chiffres du nombre 37
puisque 3 2 = 9 et 7 2 = 49.

35
1. a) Observe cette "suite" de nombres. Vérifiez que chaque nombre est bien
la somme des carrés des chiffres du nombre qui le précède.
37 • 58 • 89 ., •••
b) Recopiez et complètez cette suite en calculant les 10 nombres qui suivent. Si
vous n'avez pas fait d'erreurs de calcul, vous devez, au bout d'un moment,
retrouver les mêmes nombres. Notez votre remarque.
c) Disposez cette suite en forme de "bracelet" !!!
2. Calculez de la même façon les nombres de la suite :
7 .. 49 ••••
Que remarquez-vous au bout d'un moment?
3. Essayez de compléter les suites qui commencent par 2, par 3, ..., par 9. On
va retrouver certaines suites. Cherchez à adopter une présentation qui évite d'écrire
plusieurs fois la même suite.
4. Comparez la suite que vous obtenez à partir de 37 et celle que vous obtenez
à partir de 73. Comparez les suites obtenues à partir de 7 et de 70. Quelle
remarque pouvez-vous faire? Complètez la présentation réalisée dans la question
précédente en utilisant cette dernière remarque.
5. Il est possible de représenter chaque suite comportant tous les nombres
compris entre 1 et 100 en réalisant deux regroupements seulement. En répartissant
le travail à plusieurs, cherchez à placer tous les nombres compris entre 1 et 100.
6. Vous avez remarqué que, quelquefois, la somme des carrés des chiffres
d'un nombre était supérieure à ce nombre. Cependant, les sommes obtenues pour
un nombre de chiffres donné ne peuvent dépasser un maximum.
Trouvez ce maximum pour les nombres de deux chiffres ; pour les nombres de
trois chiffres.
Pensez-vous que si vous cherchez les suites à partir d'un nombre de trois
. chiffres, vous retomberez, à un moment ou à un autre, sur les mêmes nombres.
Justifiez votre réponse.
Commentaires
Cette activité peut être proposée dès la classe de 6e. Mais dans ce cas, il faudra
peut-être supprimer la dernière question.
Il nous parait intéressant de bien préciser au départ que l'on peut s'aider de la
calculatrice parce que justement, on se rend compte assez vite, qu'il est plus facile de
mémoriser le résultat des carrés des nombres de 1 à 9 pour éviter les erreurs et une
certaine perte de temps.

36
TI est important que le travail se fasse en groupe pour confronter les idées de chacun
et pour pouvoir répartir le travail. Il faudra veiller à ce que les élèves adoptent des
dispositions commodes.
En remarquant que les sommes obtenues pour un nombre de deux chiffres sont
inférieures à 2 x 92 soit 162 puis que celles obtenues pour un nombre de trois chiffres
sont inférieures à 3 x 92 soit 243, on peut être sûr que, en calculant un certain nombre
de termes d'une suite, on "bouclera".
Voici une représentation des suites obtenues à partir des nombres inférieurs à 100 :
88~12~~ 1 6 \ JO 93
117/
t
t/~39
51 ~1 33
f 47 t 18.Jt"
Il 1~26 ~ ~ 7/75
~ ~ ~ ~~
J 62-r
t .. 16 »- $7
24~~42(/"14*-~~58'l1(
!K-56
1~76
?9 /f85~
99 7 55 92 1~~

37
•
V.13. DES FORMULES POUR L'AIRE D'UN TRIANGLE
Soit un triangle de côtés a, b et c.
L'aire S de ce triangle est donnée par la fonnule :
Si p désigne le périmètre de ce triangle, on a aussi:
1
S = "4..J p (p - 2a) (p - 2b) (p - 2c)
1°) a) Calculez l'aire du triangle de côtés a =5 , b =6 et c =7 à l'aide de la 1ère
fonnule.
b) Calculez le périmètre puis l'aire du même triangle à l'aide de la 2 ième
fonnule.
2°) Soit le triangle de côtés a =5, b =4 et c =3.
a) Pourquoi pouvez-vous être sûr que ce triangle est rectangle?
b) Quelle est l'aire de ce triangle?
c) Vérifiez que vous trouvez bien la même aire avec les deux fonnules
précédentes.
3°) Dans le cas où le triangle est équilatéral, c'est à dire si a =b =c,
a) Calculez la hauteur du triangle en fonction du côté a. Quelle est l'aire du
triangle?
b) Simplifiez l'écriture des deux fonnules en tenant compte des égalités:
a = b =c.
Ces fonnules "classiques" du calcul de l'aire d'un triangle sont un prétexte pour
approcher la maîtrise des calculs avec les machines.
Généralement, avec une calculatrice courante, les deux fonnules donnent le même
résultat (leur différence est nulle) !
Attention, avec certains modèles, suivant l'organisation adoptée pour le calcul, on
peut aboutir à un dépassement de capacité. Cela nous parait intéressant que l'élève soit
confronté aux limites de calculs et soit amené à réfléchir à d'autres organisations
possibles.
• d'après 2e collection Pythagore, 1994, éditions Ratier

38
En classe de 3e ou de 2e, on peut prolonger cette activité avec un travail sur les
expressions algébriques: en développant les deux expressions, il est possible à ce
niveau, de montrer l'équivalence de ces deux formules. Il est aussi possible de
montrer que les deux formules conduisent à S =! b c dans le cas d'un triangle
rectangle si on tient compte de l'égalité a2 =b2 + c2.
VI. Conclusion
Tous ces exemples d'activités peuvent être évidemment développés et multipliés.
En guise de conclusion, j'insisterai sur la nécessité d'aider les élèves à acquérir et à
entretenir une certaine maîtrise des calculatrices sans perdre de vue qu'ils ne peuvent y
parvenir seuls. Cette aide ne doit pas se limiter au collège; elle doit avoir un
prolongement en lycée aussi bien au niveau du calcul que de l'utilisation des
calculatrices graphiques l . TI manque ici un développement d'activités plus spécifiques
montrant les limites de l'utilisation des nombres décimaux, celles de la représentation
des nombres dans une calculatrice et plus généralement certaines limites des
calculatrices. Il nous a paru nécessaire de donner l'occasion d'une réflexion sur la
perception qu'ont les élèves des ensembles de nombres, sujet qui devrait faire l'objet
d'un prochain article dans la revue 2 .
Bibliographie
BONIN M.(1990). L'informatique en mathématiques au lycée: quelques pistes.
IREM de Grenoble.
BOUVIER J.P., OLIVIER Y.(1994). Calculatrices en Mathématiques. CRDP de
Poitou-Charentes.
DIEVAL A., LEULLIER J.L., WARIN S. (1990). La calculatrice au collège, IREM
de Picardie.
ENGEL A. (1979). Mathématiques d'un point de vue algorithmique. COOie.
KUNTZMANN J. (1987). Calcul mental de 10 à 90 ans. IREM de Grenoble.
LOZI R. Activités avec la Galaxy 9, Cycle des approfondissements. Texas
Instruments et Hachette Écoles.
ORIOL lC., PAINCHAULT J., ROBERT C. (1977, 1978, 1981). Matchinettes 1,2
et 3. IREM de Grenoble.
1 voir par exemple Trouche L. (1994) Calculatrices graphiques: la grande illusion in Repères n 014
2 voir Isabelle Jacquier (1994) Quelles connaissances. quelle maîtrise des nombres. Mémoire
professionnel PLC2, LU.F.M. de Grenoble

39
TREPOT E., VERPLANCKE A.(1988). Calculettes en 6e se : Estimations et
stratégies sur différents types de machines. IREM d'Orléans.
VAGOST D., VERDIER J. (1991). Mathématiques au lycée avec la Tf-82. Dunod.
Le lecteur trouvera aussi dans les documents et revues suivants de
nombreuses informations à propos des calculatrices
• Brochure APMEP n031. (1980). Calculatrices 4 opérations.
• Fiches d'Activités pédagogiques avec la Galaxy 9, (1991), Texas Instruments.
• Collectif ClAP Univ. J. Fourrier de Grenoble. (1991). Fiches d'Activités
pédagogiques avec la Galaxy 40 UJF. Texas Instruments.
• Collectif (1992). Modules 2de. "plus fort que ma calculatrice '''. IREM de
Strasbourg.
• Groupe !REM (1982). Activithèmes pour la classe de 2de. lREM de Grenoble.
• (1983) compte rendu de séances d'utilisation des calculatrices dans les classes de 1er
cycle. !REM de Lorraine.
• Revue Tangente. Éditions Archimède.
• Revue Hypercube Éditions Archimède.
• Revue 3'33 ; Casio Noblet.
• Revue Hypothèses Texas Instruments.
• Suivi scientifique 6ème (8S-86), sème (86-87), 4ème (87-88), 3ème (88-89).
Bulletin Inter-Irem. édités par !'!REM de Lyon.

40
ACTIVITÉ••• DANS UN CUBE
Philibert CLAPPONI
I.R.E.M. de Grenoble
G
E~---+---------.'
o D'après toi, combien peut-on enlever de «morceaux» identiques à ce
«coin» EABD ?
un seul? deux ? trois ? quatre ? cinq ? huit?
o Et lorsque tu enlèves le plus possible de «coins» identiques, reste-il
quelque chose ?
Pour pouvoir argumenter tes réponses :
1.
- dessine le patron d'un cube (côté 4,1 cm environ) en enlevant une des
faces;
- dessine un ou plusieurs patron(s) du «coin« EABD (côté AB de 4 cm) ;
- construis les volumes correspondant aux patrons et essaye de placer le plus
possible de «coins» dans le cube.
2.
- Calcule le volume du cube.
- Calcule le volume du «coin» EABD.
- Compare ces deux volumes.
3.
Si tu n'es pas arrivé(e) à remplir entièrement le cube avec des «coins»
identiques à EABD, dessine le patron du «morceau» qui manque.

RÉFLEXIONS SUR INÉGALITÉ TRIANGULAIRE ET
DISTANCE D'UN POINT A UNE DROITE À PARTIR
D'OBSERVATIONS DE CLASSES
AnnieBERTÉ
IUFM d'Aquitaine et
LADIST de Bordeaux
Depuis plusieurs années et indépendamment des programmes en vigueur, nous
avons relevé en collège et jusqu'en seconde une erreur fréquente. Dans un triangle
ABC certains élèves écrivent: AB + BC =AC. S'agit-il d'une faute d'inattention venant
de l'oubli des flèches dans AB + OC =AC ? Mais l'erreur se produit même avant que
les élèves voient les vecteurs et, non seulement ils écrivent cette égalité, mais ils
calculent effectivement AC en faisant la somme des deux longueurs AB et BC.
Pourquoi ne pensent-ils pas à l'inégalité triangulaire? Nous avons fait quelques
observations de classe en collège et en seconde sur l'enseignement de l'inégalité
triangulaire qui ont confirmé la possibilité d'un questionnement didactique non pas sur
l'enseignement de ce concept isolé mais sur celui d'un réseau de concepts: inégalité
triangulaire, détermination d'un triangle par les mesures de ses trois côtés, positions
relatives de deux cercles et nombre de points communs à deux cercles, distance d'un
point à une droite, positions relatives d'une droite et d'un cercle. De nouvelles
observations de classe nous ont permis de mettre à jour les conceptions des élèves
dans cet environnement de l'inégalité triangulaire, de constater l'amalgame entre objet
géométrique et dessin et l'absence de problématisation dans l'enseignement. Trouver
une problématique qui permettrait de construire le sens en instaurant des liens entre les
différentes questions suppose des choix didactiques sur l'ordre dans lequel on les
aborde.
«petit x» nO 40, pp. 41 à 63. 1995 - 1996

42
I. Premières observations sur l'inégalité triangulaire
1.1. Observation dans une classe l de 4ième
On donne trois séries de nombres aux élèves dans cet ordre:
lier cas: 7, 8, 9. 2ième cas: 9, 5, 4 3ième cas: 10,5,4
Le maître leur demande de dessiner dans chaque cas un triangle d,lnt les côtés ont
pour mesure en centimètres ces trois nombres.
Les élèves travaillent en petits groupes et discutent entre eux.
Dans le premier cas.. tous les élèves dessinent un triangle avec If .compas ou avec la
règle pivotant autour du zéro et utilisée comme un compas. Dans t ~ deuxième cas, un
groupe d'élèves arrive à dessiner un triangle très aplati, mais pas tout à fait. La
vérification de la longueur des côtés avec la règle graduée leur paraît exacte. Malgré
quelques objections timides des autres élèves, ils s'acharnent, mesures à l'appui, à dire
que le triangle existe, en d'autres termes qu'il n'est pas plat. Lors de cette première
observation, la discussion sur le deuxième cas a duré très longtemps et, à la fin de la
séquence, toute la classe était convaincue que le triangle 9, 5, 4 n'était pas plat!
Personne n'avait eu le temps d'examiner le troisième cas.
Le fait que certains élèves tracent un vrai triangle dans le cas limite n'est-il pas un
effet du contrat didactique? (Brousseau 1988). Le maître a demandé de construire des
triangles. Les élèves croyant que toute question a une réponse, il est normal qu'ils
s'acharnent à trouver un triangle dans le maximum de cas. S'ils étaient arrivés au
troisième cas, ils n'auraient pas pu trouver de triangle, de sorte qu'en posant les
questions dans un ordre différent (lier cas, 3ième cas, 2ième cas), on les aurait obligés
à voir plus tôt un cas d'impossibilité évidente, certainement avant que la séquence soit
finie. Penseraient-ils alors avec moins de réticence au triangle plat? Il Y avait une
raison à l'ordre choisi par le maître pour les trois cas: progression formelle allant de
l'existence du triangle au cas limite puis à l'impossibilité. Elle n'était pas pertinente
dans la situation semble-t-il ! Après avoir identifié cet effet possible dû au contrat, et
trouvé un moyen de le réduire, nous avons recommencé l'expérience, car nous
pensions que cette explication n'épuisait pas la question. La lecture, quelque temps
après, d'un document de l'IREM du Mans (1986) relatant une observation similaire
nous a encouragés à continuer, les auteurs de ce document se référant eux-mêmes à un
travail antérieur de l1REM de Lyon 2 .
1.2. Observation dans plusieurs classes de seconde 3
La séquence se passe cette fois en début de seconde. Le maître demande à chaque
élève: "Choisissez trois nombres entre 2 et 10 et écrivez-les". Le maître renouvelle sa
demande plusieurs fois. Trois ou quatre triplets suffisent car les choix de chacun étant
indépendants de ceux du voisin, on a ainsi une variété assez grande. Il est préférable
que le maître demande de choisir un triplet, de l'écrire, puis de choisir un autre triplet,
1 Observation au collège de Cestas (Gironde) (classe de Michel Piquemale) en 1986 et publiée dans le
document IREM, Berté et coll., Bordeaux, octobre 87
2 La pratique du problème ouvert. !REM de Lyon, publication provisoire Document publié ensuite en
1988 : Problème ouvert et situation-problème, Arsac, Germain, Mante.
3 Ces observations ont été faites au lycée Magendie de Bordeaux, chaque année de 1986 à 1990
(document !REM de Bordeaux, février 92)

43
de l'écrire, etc...., sans indiquer à quoi cela va servir et en disant qu'il est impossible
de changer ensuite. Sinon les élèves gomment, après coup, les choix qui les
dérangent. En général, ils prennent uniquement des entiers, mais ce n'est pas gênant,
au contraire, car les choix étant ainsi limités pour eux, ils ont davantage de chance de
tomber sur les trois cas, particulièrement sur le cas limite. Le maître demande alors:
"Dans chaque cas, essayez de construire un triangle dont les côtés mesurent ces trois
nombres en centimètres. Faites un bilan de ce qui se passe suivant les cas." Les élèves
choisissant eux-mêmes les données, l'effet de contrat est moindre. Les choix sont
individuels, puis les élèves se mettent par groupes de 4. Chaque groupe a ainsi un
stock suffisant de triplets pour débattre du bilan à tirer. Nous avons là des élèves plus
grands que des 4ième, qui ont normalement déjà vu cela au collège. Dans ces
conditions, si certains tracent encore un vrai triangle dans le cas limite, on est en droit
de penser qu'il existe un problème réel. Or cela se reproduit à chaque observation. Les
élèves trouvent facilement deux cas - le triangle existe ou le triangle n'existe pas, et la
condition d'existence stricte - si a est la mesure du plus grand côté et b et c celle des
autres, le triangle existe si a

44
2- Certains élèves, même en seconde, ne disposent peut-être pas du troisième
cas d'isométrie des triangles qui n'est plus institutionnalisé au collège. Ils ne voient
pas de raison pour que deux triangles qui ont leurs trois côtés respectivement de même
longueur soient "les mêmes". Après tout c'est faux pour
deux triangles ayant leurs trois angles respectivement
égaux.
Si les triangles ont un côté commun, on peut avoir
quatre triangles se déduisant l'un de l'autre par symétrie.
S'il y a eu action de translations ou rotations sur l'un
d'eux, l'isométrie n'est plus évidente.
L'apparition de çe "théorème - élève" sur l'influence de l'ordre dans le tracé est
favorisée par les choix didactiques actuels. Les maîtres demandent souvent au collège,
avant la quatrième, la construction d'un triangle en imposant les mesures des trois
côtés (toujours dans des cas où c'est possible car on laisse l'inégalité triangulaire pour
la 4ième) mais sans demander dans chaque cas de donner le nombre de solutions à une
isométrie près. Depuis 1978, on n'ose plus prononcer au collège le mot "isométrie"
qui se trouvait dans les programmes de 1970. Donc il est normal que les élèves ne
s'engagent pas dans la réflexion sur l'influence du procédé sur le nombre de triangles.
On le découvre fortuitement au moment du triangle plat quand le changement dans
l'ordre du tracé fait basculer, pour une raison de précision, de l'inexistence à
l'existence de la solution. Le professeur peut institutionnaliser "en catastrophe" au
cours de la séquence le troisième cas d"'égalité" des triangles. Arsac et coll.(1992)
notent que, "quand le problème de l'ordre des côtés est soulevé, le professeur propose
de contrôler sur un exemple et institutionnalise pour tout triangle l'indépendance de
l'ordre dans lequel estfait le tracé". Les auteurs soulignent que c'est insuffisant et les
élèves doutent que ce soit vrai pour le "triangle exceptionnel" (5,9,4). Nos
observations ont donné le même résultat. Un travail sur l'ordre dans le tracé et plus
largement un travail sur le troisième cas d'isométrie des triangles est nécessaire dans
une séance spécifique avant celle-ci, avec la recherche d'une démonstration, même
partielle par les élèves. Est-ce suffisant pour que le débat sur l'inégalité triangulaire
aboutisse? Non car à ce stade, les élèves qui pensent que le triangle n'existe pas
doivent avoir les moyens d'argumenter pour convaincre les autres de la justesse de leur
conjecture. Faire choisir les nombres par les élèves eux-mêmes évite que le débat
tourne à l'avantage de l'erreur, car ils ne supposent plus a priori l'existence d'une
solution sur la base du contrat. C'est un progrès. Néanmoins si les élèves n'ont pas
construit auparavant le savoir nécessaire à l'argumentation, les deux camps restent sur
leur position. 5
III. Examen des preuves d'alignement
111.1. Trois preuves accessibles aux élèves de 4ième
Lors de notre première observation en seconde, le professeur, qui ne voulait pas
que la séquence se termine sans conclusion, a pris la décision de donner lui-même une
preuve en s'appuyant sur une piste lancée par un élève. Comment prouver que le
triangle est plat?
5 Même conclusion dans le texte déjà cité de Arsac et collaborateurs

45
Soient A, B, H trois points alignés. On prend AC = AH et BC = BH.
Supposons C *" H.
Mathématiquement il y a trois possibilités, utilisant des notions vues en 6ième et
5ièmeet donc connues en début de 4ième.
111.1.1. La médiatrice
AC = AH donc A E médiatrice de
[CH]
BC = BH donc B E médiatrice de
[CH]
(AB) est donc la médiatrice de
[CH]
orHE [AB]doncC=H.
C
A~B ~B
C
111.1.2. Les angles des triangles isocèles
Le triangle ACH est isocèle
C
donc AΠ=AHC C ~
Le triangle BCH est isocèle ~ ~
donc BCH = BHC A H B HAB
Deux cas defigure: ACB = BCH + ACH = AHC + BHC = AHB = 180 0
ou ACB = BCH - ACH = BHC - AHC =0 0
Dans les deux cas on peut conclure que le triangle est plat.
Il faut envisager deux cas de figures, car ici, selon la position de H, la
démonstration change. Ce n'était pas le cas pour la démonstration précédente et ce ne
sera pas le cas pour la suivante qui se lisent avec l'une ou l'autre figure.
111.1.3. L'unicité du cercle déterminé par trois points
S'il existe un point C, sommet du triangle hors de
(AB), par raison de symétrie, il y en a un autre C
symétrique de C par rapport à (AB). Donc il existe
trois points C, C et H à la même distance de A et à la
même distance de B.
Donc il existe deux cercles différents, l'un de centre A et l'autre de centre B passant
par les trois points C, H, et C. Ces cercles sont d'ailleurs ceux tracés avec le compas
quand on construit le triangle. Ceci est en contradiction avec l'unicité du point de
concours des médiatrices d'un triangle donc avec l'unicité d'un cercle passant par trois
points.
Donc C = H = C.
n y a une quatrième voie pour montrer que cette figure est impossible, en utilisant le
fait que la perpendiculaire est plus courte que l'oblique, résultat qui n'est pas vu
aujourd'hui avant la quatrième. Nous en parlons au paragraphe V.
Lors de notre première observation en seconde, le professeur a donné la troisième
preuve à partir de la proposition d'un élève de montrer que les cercles avaient le seul

46
point H commun. Nous en avions pris l'idée dans un ouvrage de Lucienne Félix 6 .
Nous avons constaté que, même si la démonstration n'a pas été construite par les
élèves mais formulée par le maître, la preuve a été accueillie avec soulagement par eux,
autant par ceux qui étaient persuadés que le triangle n'existait pas que par ceux qui
avaient une opinion contraire, car elle a mis fin à une tension entre les deux parties. Si
ceci doit être traité en quatrième, on peut se demander si cette preuve "par l'absurde"
n'est pas trop difficile pour les élèves. Tout ce qu'on peut dire, c'est qu'ils l'utilisent
spontanément: "Vous dites que j'étais absent à votre cours, mais ce n'est pas vrai, car
si j'avais été absent, je n'aurais pas telle chose dans mon cahier."... Même les enfants
tout petits s'en servent. Nous pouvons supposer, jusqu'à démenti contraire que,
quand la rigueur répond à un besoin, cette preuve n'est pas plus difficile qu'une autre,
et que les difficultés ne viennent pas uniquement de là.
111.2. Tentatives de preuve par les élèves et blocages
En observant cette leçon plusieurs fois, dans des classes de seconde, où les élèves
s'expriment mieux qu'en 4ième, nous avons pu voir pourquoi ils ont des difficultés à
conclure par une preuve.
111.2.1. Le point H doit apparaître
Les élèves qui trouvent un vrai triangle non plat dans le cas limite, n'ont pas sur
leur dessin le point H sur (AB) et ils n'ont pas les cercles entiers en général. Ils ont
seulement deux petits arcs et le point C à leur intersection. Le débat avec leurs
camarades qui trouvent le triangle plat leur pemlet de prendre conscience de l'existence
du point H. Par exemple sur un segment [AB] de mesure 9, on a nécessairement un
point H avec AH =4 et HB =5 ou bien si AB =4 on a hors de [AB] un point H avec
AH =5 et HB =5 + 4 =9. La simple découverte de l'existence de ce point, plus facile
à voir quand le grand côté est horizontal et tracé en premier, peut conduire les élèves
peu sûrs d'eux et persuadés qu'un problème ne peut avoir qu'une solution, à éliminer
leur point C trouvé hors du segment sans plus d'examen. Mais une partie d'entre eux
résiste: ce qui est construit avec les "bonnes" mesures doit être exact! Ceci permet au
débat de se poursuivre. On se trouve donc avec les deux points C et H.
111.2.2 Les voies possibles
1 - Certains élèves commencent souvent en disant qu'il faut prouver que (CH) est
perpendiculaire à (AB) ou, quand ils ont tracé des cercles entiers, que C, C et H sont
alignés, affirmations sur lesquelles on ne sait rien a priori car le point H se place
indépendamment des points C et C. A ce stade, pour convaincre les autres que le
point C n'existe pas, ils doivent penser à la médiatrice de [CH], ou aux angles des
triangles isocèles ou aux deux cercles. La difficulté pour les cercles vient du fait qu'ils
n'ont souvent que deux petits arcs et ils doivent imaginer ou tracer les cercles entiers.
2 - Ni en seconde ni en 4ième, nous n'avons jamais vu un élève s'engager dans la
voie de la médiatrice de [CH]. En effet, penser à cette médiatrice revient à voir qu'elle
passe par A et B donc que [CH] n'existe pas. Un professeur a relevé dans sa classe de
6 "Initiation à la géométrie"; Classe de 5ième, Dunod, 1964. Nous avions suggéré cette possibilité
aux maîtres dans notre publication IREM de Bordeaux 1987

47
4ième la deuxième voie, celle des triangles isocèles. Pour que les élèves s'y engagent,
ils doivent être bien préparés au niveau du triangle isocèle et des démonstrations
utilisant les angles, ce qui était le cas dans cette classe.
3 - Nous avons vu des élèves de seconde s'engager dans la troisième voie en
pensant aux deux cercles, (cercles sécants, tangents, intérieurs ou extérieurs selon leur
cas de figure). Pour conclure sur le triangle plat, il faut savoir que si deux cercles ont
un point commun sur la ligne des centres, ils ne peuvent pas en avoir d'autres, et pour
cela il faut savoir que deux cercles ont au plus deux points communs.
Mathématiquement l'inégalité triangulaire et les positions relatives de deux cercles ne
sont qu'un même problème.
On observe une angoisse chez certains élèves quand ils commencent à s'apercevoir,
en imaginant des arcs plus grands, que si deux points existent, on pourrait en trouver
beaucoup d'autres, intermédiaires, en faisant descendre C vers H.
Nous interprétons cette angoisse comme une .---~----~-------.
manifestation d'un savoir implicite sur l'impossibilité ~ ~~
d'avoir plusieurs triangles de côté commun [AB] et A~ _ B
dont les deux autres côtés sont les mêmes mesures, 5 H' 4
ceci dans une portion de plan réduite, intérieure au premier triangle presque plat déjà
tracé. Imaginer des arcs plus grands n'est pas inutile, car cela conduit à tracer les
cercles entiers.
IV. Inégalité triangulaire et intersection de deux cercles
IV.I. Une autre observation en 4ième
Dans les observations faites jusqu'à une date récente, nous n'avions pu voir que
deux alternatives: soit les élèves avaient deux petits arcs sécants et ils affirmaient que
le triangle existait, soit ils affirmaient que le triangle était plat. En 1994 nous avons fait
une observation 7 , dans une classe de 4ième où, depuis le début de l'année, le
professeur, en accord avec nous, demandait aux élèves de tracer les cercles entiers
quand ils avaient besoin de leur intersection (par exemple pour construire au compas la
médiatrice d'un segment, un triangle équilatéral, ou tout autre tracé connu depuis
l'école élémentaire, mais qui se font généralement avec seulement les deux petits arcs
utiles). Nous avons observé dans cette classe les mêmes réactions des élèves à
quelques détails près:
1 - Certains élèves contestaient les vrais triangles obtenus dans le cas limite par
leurs camarades qui commençaient par le plus petit côté au nom d'une "règle" des
années antérieures: "on doit commencer par le plus grand". Un enseignant avait-il
donné ce conseil pour éviter trop d'erreurs dans les dessins ?"
2 - Nous avons suivi un groupe où une élève affirmait très fort aux autres que le
triangle 3, 5, 8 était plat. Elle avait fait un dessin en commençant par le grand côté.
7 Collège Émile Combes de Bordeaux dans la classe de Dominique Woillez

48
Dans ce groupe, le problème de l'ordre n'était pas soulevé. Elle a dit ceci : "Les
nombres sont alignés donc il n'y a pas de triangle". Nous lui avons demandé:
"Pourquoi dis-tu que les nombres sont alignés ?" Réponse: "parce que 3 + 5 = 8 "
C'est ainsi qu'elle affirmait l'existence du point H. La discussion entre les élèves s'est
alors engagée sur les cercles, favorisée par la présence des cercles entiers, et la même
élève a affirmé: "il n'y a pas de triangle parce que les cercles n'ont pas d'intersection".
Nous lui avons dit alors: "Donc ils n'ont pas de points communs ?" Réponse: "Si, ils
ont un tas de points communs, mais pas d'intersection !" Question: "Où sont ces
points communs ?" Elle a montré tout le voisinage du point de contact, où, dans
l'épaisseur du trait, on pouvait "voir" effectivement pas mal de points communs!
IV.2. Deux constats après cette observation
1 - Un travail sur les positions relatives de deux cercles qui ne figurent pas dans
les programmes ni de collège ni de seconde est directement lié à celui sur l'inégalité
triangulaire. Pour que ce savoir soit construit, les élèves doivent faire le lien avec la
détermination d'un cercle par trois points, c'est à dire le cercle circonscrit au triangle
vu en 5ième et le fait que deux cercles différents ont au plus deux points communs.
Notre hypothèse est que cela nécessite en outre un travail sur la conception du cercle
comme ensemble de points.
2 - Une conviction forte sur l'alignement dans le cas limite n'implique pas
nécessairement une conception correcte du nombre de points communs aux cercles
tangents. La conviction peut venir:
- d'une conception spécifique de la construction des triangles. Deux petits arcs qui
se croisent visiblement donnent le sommet du triangle; mais si les arcs "se touchent
seulement" il n'y a pas de triangle. Si on demande à ces élèves de construire un
triangle dont les côtés mesurent 8; 3 et 5,2 par exemple, ils ne trouvent pas non plus de
triangle car les cercles "se touchent" sans être sécants.
- d'une conception du cas limite qui peut se développer sans référence à des tracés
de cercles: si un nombre est la somme des deux autres, il y a un point sur le segment
de sorte qu'une longueur est la somme des deux autres, d'où l'alignement. Le tracé de
cercles n'est pas pris en compte, ni aucun lien avec les cercles tangents.
Nous avons donc étudié les conceptions des élèves sur l'intersection de deux
cercles.
IV.3. Figure formée de deux cercles
IV.3.l. Cercles sécants
Soient deux cercles se coupant en deux points A et B. En 1976 déjà, nous avions
observé qu'en posant à des élèves de 5ième la question: "Quelle est l'intersection de
ces deux cercles ?" on obtenait parfois la réponse: "les deux petits arcs AB". Même
résultat en 1991 dans le collège 8 où nous avons fait les observations sur l'inégalité
triangulaire. Des interviews d'élèves en 1976 nous avaient conduite à postuler deux
causes (Berté 1981) :
8 L'observation de 1976 est faite dans un collège de Niamey (Niger) et celle de 1991 au collège Émile
Combes de Bordeaux

49
- une référence aux "bords de l'intersection" : les élèves voyaient les parties du
plan délimitées par les cercles, en prenaient l'intersection, et le bord de l'intersection
était l'intersection des bords. Ceci pouvait venir des diagrammes ensemblistes
enseignés à l'époque, mais aussi de la perception des disques. La conception de disque
est première par rapport à celle de cercle, ce qui explique que l'observation se répète
dix ans plus tard.
- une référence au mot section (verbe sectionner, couper). On dit : "les cercles se
coupent". Les élèves nous ont dit: "c'est ce qui tombe, ce qui est sectionné", comme si
on avait deux anneaux matériels qui s'interpénètrent.
Dans les deux cas, la conception du cercle comme ensemble de points n'est pas
construite, donc la recherche d'un point comme intersection de cercles ne peut pas
avoir de sens.
IV.3.2. Cercles tangents
Voici une observation en classe de seconde 9 où rien n'avait été fait auparavant sur
l'inégalité triangulaire qui n'est pas dans le texte officiel des programmes de seconde.
Le professeur, en accord avec nous, propose d'étudier les positions relatives de deux
cercles. Certains élèves disent: "Pour simplifier, commençons par le cas particulier de
deux cercles de même rayon" et ils ajoutent: "et de même centre". Ceci s'est reproduit
dans les autres classes de seconde à chaque observation. On a alors une infinité de
points communs.
Une seule fois, en revanche, un élève a poursuivi: "Je
déplace le centre du deuxième cercle en a', tout près de a
centre du premier, et je diminue le rayon R' de la même
quantité 00'." Il avait donc deux cercles tangents
intérieurement, mais il refusait de dire que ces cercles
n'avaient qu'un seul point commun pour la raison
suivante : "On est parti d'une infinité de points, on a
modifié un tout petit peu la position. On ne peut donc
"tomber" subitement à un seul point commun. Il faut
passer par un intermédiaire de 100, 30, 10, points
communs".
En s'appuyant sur la perception induite par l'épaisseur du crayon, il s'obstinait à
voir un grand nombre de points communs aux deux cercles tangents. Par une
évolution "catastrophique" le nombre de points communs passe au cours d'une petite
transformation de un à l'infini. Ce pourrait être de zéro à l'infini en gardant le centre
fixe et en changeant le rayon. Ceci est contradictoire avec une idée intuitive de
continuité qu'on utilise en mathématique dans des conseils heuristiques. L'algèbre
permet de comprendre ce qui se passe.
Dans un repère d'origine le point de contact, les équations des cercles sont x 2 + y2_
2Rx =0 et x 2 + y2 - 2R'x = 0; ce qui donne pour l'intersection (R - R')x = O. Tous les
points sont solution si R = R' et seule l'origine est solution si R * R'.lO L'équation du
cercle n'est plus au programme de seconde, donc le changement de cadre n'est pas
O' a
9 Observation réalisée au lycée Magendie de Bordcaux en 1989
10 Nos remerciements au relecteur de «petit x» qui nous a donné cette rédaction du passage au cadre
algébrique. M.F. Coste-Roy nous avait fait la même remarque lors de la sortie du document IREM de
Bordeaux (1992).
4

50
possible à ce niveau et il faut comprendre dès le collège que deux cercles ont au plus
deux points communs.
Ceci pose le problème de la confusion entre objet géométrique et dessin. Le
professeur a pu convaincre l'élève de seconde en revenant au cercle circonscrit vu en
5ième. Par trois points alignés, il ne passe aucun cercle et un seul par trois points non
alignés. Donc si deux cercles ont un point commun sur la ligne des centres ils n'en ont
pas d'autres car s'ils en avait un autre hors de la ligne des centres, ils en auraient un
troisième par symétrie. Il n'y a pas de raison que le nombre de points communs aux
cercles soit plus évident en 4ième qu'en seconde aussi bien pour des cercles tangents
extérieurement qu 'intérieurement.
IV.4. Cercle déterminé par trois points
IV.4.l. Deux conceptions contradictoires
Dans une classe de terminale D Il , nous avons demandé aux élèves: "Combien
passe-t-il de cercles par trois points ?" 50% des élèves ont répondu: "cela dépend des
points".
Pour expliciter, une élève a fait ce dessin en disant:
B
"Si on veut faire passer un cercle par ces trois points,
vous voyez "la touche" du cercle! " Elle avait placé les
trois points de sorte que l'angle ABC soit très obtus.
En seconde, quand les maîtres avec qui nous travaillons ont, à notre demande, posé
la question, ils ont constaté que presque tous les élèves pensent que l'existence du
cercle dépend de la position des points ! C'est exactement pareil dans toutes les
classes, de la 5ième à la terminale, que le cercle circonscrit aitdéjà été vu ou non (dans
les programmes c'est en 5ième). Si rien n'est fait pour changer les conceptions des
élèves, elles restent identiques pour la majorité d'entre eux.
Deux conceptions mathématiquement contradictoires coexistent donc chez les
élèves:
1 - Deux cercles dont la distance des centres est égale à la somme ou à la
différence des rayons, peuvent très bien avoir plusieurs points communs au voisinage
du point de contact.
2 - Quand on choisit trois points de façon que le triangle qu'ils forment ait un
angle très visiblement obtus, aucun cercle ne passe par ces trois points.
La première pose le problème de la différence entre le dessin perçu et l'objet
géométrique pensé. La seconde est à relier avec la difficulté des élèves à concevoir le
centre du cercle à l'extérieur du triangle, amalgame éventuel avec le centre de gravité
qui lui ne sort jamais du triangle. Dans les triangles "typiques" les points remarquables
sont toujours voisins. Avant d'aborder l'inégalité triangulaire, les élèves doivent avoir
à leur disposition toutes les voies possibles pour conclure le débat sur le triangle plat,
d'où la nécessité de prévoir avant une séquence sur le cercle circonscrit.
Il Lycée Bertrand de Born, Périgueux (1990), Observation de Joël Brely

51
circonscrit
IV.4.2. Observation d'une séquence sur le cercle
Nous avons fait plusieurs fois cette observation aussi bien en 5ième qu'en
seconde 12 .
Le maître pose successivement deux questions aux élèves:
1 - Combien passe-t-il de cercles par deux points A et B ?
Jusqu'en seconde, nous avons rencontré des élèves qui répondent: "un seul!" en
prenant pour centre du cercle le milieu du segment joignant les deux points, même si le
segment n'est pas tracé. Les élèves ne le tracent pas en général, mais cela ne les
empêche pas de prendre les points sur une "horizontale" du cahier.
Nous avons vu en seconde des élèves qui disent qu'il existe trois cercles parce
qu'ils font l'un ou l'autre des dessins ci-dessous:
Le premier dessin est obtenu en prenant pour centres le milieu de [AB], puis le
point A et le rayon AB, puis le point B et le même rayon. Les deux derniers cercles
répondent à la question car certains élèves considèrent encore en seconde le centre du
cercle comme un point du cercle. Le second dessin est obtenu en prenant pour centre le
milieu de [AB] puis les deux autres centres let J à la fois sur l'axe de symétrie vertical
et sur ce premier cercle tracé de manière à obtenir un joli dessin bien équilibré. La
médiatrice n'est pas tracée, mais imaginée comme simple axe de symétrie du dessin
(Berté, 1993). Un "bilan partiel" permet d'institutionnaliser une infinité de centres et la
médiatrice du segment. Le maître peut poser ensuite deux questions équivalentes:
2 - Combien passe-t-il de cercles par trois points? ou bien
Combien passe-t-il de cercles par les trois sommets d'un triangle?
Même si la question est posée avec le mots "points", les élèves aussi bien au collège
qu'en seconde, n'isolent pas deux points pour se ramener au problème précédent. Ils
considèrent les trois points dans leur globalité, et donc pour eux ce problème est
entièrement nouveau par rapport au précédent 13 . Certains reviennent aux deux points.
après un certain temps de recherche. Si on a posé le problème en termes de points, les
élèves commencent par le cas des trois points alignés. Ils disent que dans ce cas il n'y
a pas de cercle, sans justification, et sans que cela donne lieu à débat. Si on a posé le
problème en terme de triangle, ils examinent des cas particuliers de triangles (rectangle,
12 A Bordeaux dans les collèges Léonard Lenoir (Annick Appriou) et Émile Combes (Dominique
Woillez) et au Lycée Magendie
13 Observation de Francis Reynès, collège Grand Air, Arcachon (1992)

52
équilatéral, isocèle et enfin quelconque), et arrivent, grâce au débat, à trouver le cas
général (Berté, 1993). Si le problème est posé sans se référer au triangle et surtout si le
maître, comme nous l'avons observé dans une classe, pour appuyer sa question, place
trois points au tableau, en évitant croyant bien faire les directions privilégiées,
l'examen des cas particuliers risque de ne pas démarrer. Les élèves placent les trois
points en reproduisant la disposition du tableau, sans les joindre, et ne s'autorisent
plus à les faire bouger. Ils font alors des essais de cercles, au hasard, plus ou moins
infructueux et peu éclairants, jusqu'à énervement. En revanche, les élèves laissés
libres, placent très souvent les deux premiers points sur une même horizontale du
cahier, et ils pensent alors seuls en termes de triangle dès qu'ils choisissent l'autre
point et surtout ils envisagent des cas particuliers selon ce troisième point. Cela leur
permet des conjectures: triangle rectangle et équilatéral dans lesquels le centre du
cercle a une position privilégiée, puis triangle isocèle quelconque dans lequel l'axe de
symétrie guide la recherche. Le problème se pose sur la place du centre sur cet axe de
symétrie, surtout si l'angle au sommet est obtus, ce qui amène la deuxième médiatrice.
On arrive ainsi à deux médiatrices dans le triangle quelconque. C'est alors que le
maître peut revenir au cas des points alignés et au parallélisme des médiatrices. Pour
cette séquence, le savoir sur la médiatrice (définition et propriété caractéristique) doit
être disponible. Les professeurs avec qui nOlis travaillons ont introduit, au moment où
le problème se pose pour le triangle quelconque, la situation imaginée par Brousseau
(1983). Sur le papier, l'intersection des trois médiatrices est un petit triangle et le
maître demande de produire un dessin pour le rendre plus visible. Il s'agrandit quand
on passe le dessin à la photocopieuse. En revanche, si on fait le dessin au compas en
agrandissant le triangle de départ, la petite tache d'intersection des médiatrices ne
s'agrandit pas, au contraire!
C'est une situation fondamentale à finalité triple:
a - pour passer des dessins matériels aux concepts géométriques. Un point en
géométrie est représenté par une petite tache qui ne peut pas s'agrandir par
proportionnalité. C'est le problème de la modélisation sur lequel nous reviendrons plus
loin.
b - pour déclencher la recherche d'une preuve de l'unicité du centre du cercle.
Sans cela les élèves se contentent de deux médiatrices et ne se posent pas le problème
de la troisième.
c - pour fonder la preuve géométrique sur une axiomatique sur laquelle on
s'accorde, ici la caractérisation de la médiatrice. Si on admet la propriété caractéristique
de la médiatrice, l'existence et l'unicité du cercle en découlent nécessairement.
IV.4.3. Conclusion pour les choix didactiques
1 - Ce qui est mis en scène dans les observations que nous relatons est l'énoncé
suivant: "si trois nombres a, b, c, vérifient a

53
possibilité de construire des triangles, donc sur le théorème réciproque sert
d'introduction, et c'est le théorème direct qui est institutionnalisé, comme si c'était
équivalent.
Si a, b, c, sont les longueurs des trois côtés,
a

54
d'une situation-problème telle qu'ils la définissent, et proposent pour le collège de la
6ème à la 3ème, le texte suivant: "Choisis trois nombres. Construis un triangle dont
les côtés ont pour longueur ces trois nombres. Fais d'autres essais. Note-les dans un
tableau." Effectivement, dire dans le texte aux élèves de collège, voyant ceci pour la
première fois, qu'il y a des conditions à trouver, didactifie la situation. Notre deuxième
observation (IREM de Bordeaux, 1992) se place en seconde. Pour cette raison, sans
toutefois prononcer le mot "conditions", nous avons demandé de choisir tous les
triplets, sans dire ce qu'on allait en faire, d'essayer de construire les triangles, puis de
tirer des conclusions par groupe, ceci pour susciter un débat dans les groupes puis
entre groupes. Par notre observation antérieure nous savions bien qu'il y aurait débat.
Arsac et coll. (1992) s'interrogent eux aussi sur le choix de l'énoncé et changent la
forme donnée par l'IREM de Lyon en 1988 qui était: "Choisis trois nombres a, b, c.
Est-il toujours possible de trouver un triangle dont les mesures des côtés soient ces
trois nombres?" Ils adoptent finalement: "Existe-t-il un triangle dont les côtés
mesurent 5 cm, 9 cm et 4 cm ?"
b - Fabrication de triangles avec un matériel
Une des causes de l'échec dans notre première expérimentation, vient du fait que le
maître avait demandé de construire seulement un triangle, puis un autre, alors qu'un
stock assez grand de triplets est nécessaire pour tirer des conclusions. Pour arriver à
beaucoup de triplets on peut fournir des spaghettis aux élèves. Ils les cassent, au
hasard, et essaient de faire un triangle avec trois morceaux. On leur demande de tirer
ensuite en groupe les conclusions. Cette situation est différente de la précédente. Elle
porte sur le théorème direct et réciproque. Ce n'est pas une situation de construction
géométrique avec des mesures choisies. On a à la fois des triangles matériels fabriqués
au hasard sur lesquels on doit conjecturer une inégalité entre les mesures des côtés, et
des cas d'impossibilité de fabrication à expliquer. Les élèves feront des mesures
décimales des bouts de spaghettis avec des incertitudes et ils peuvent trouver
uniquement des cas où on sait si le triangle existe ou n'existe pas de façon évidente, ou
bien des cas proches du cas limite sans y être exactement. Dans la construction
géométrique, les erreurs dans les dessins physiques existent de la même façon, mais
les élèves peuvent s'engager en premier lieu dans le débat mathématique car on discute
sur des mesures choisies a priori avec au moins un cas limite tranché. Ils peuvent
comprendre ensuite que ce qui leur est arrivé dans le dessin provient d'incertitudes de
mesures si un travail préalable sur la figure, signe d'un objet géométrique, a été fait
(différence entre un point et sa représentation par une tache). Avec les spaghettis, le
problème physique en premier plan suppose qu'on l'écarte pour construire d'abord le
modèle mathématique, puis qu'on revienne à la modélisation physique des incertitudes
plus complexe. En classe de seconde, on peut passer au cadre graphique: couper un
spaghetti en trois, nommer a et b la longueur des deux plus petits morceaux, placer le
point de coordonnées a et b dans un repère orthonormé. Si on peut construire un
triangle avec les trois morceaux, marquer le point en rouge, sinon, marquer le point en
bleu 14 • Pour obtenir un grand nombre de triangles, nous avions suggéré aux maîtres
des spaghettis ou des baguettes dans notre publication de l'IREM de Bordeaux (1987).
14 Ce passage au cadre graphique nous a été donné par le relecteur de

55
Imaginons deux baguettes que l'on écarte
petit à petit. On a ainsi une infinité de triangles
par déformation continue. Il faut imaginer le
côté AB variable. Les points A et B s'écartent
ou se rapprochent à volonté
Les deux cas limites sont:
a
A
B
b a b
Valeur maximum AB =a+ b
Valeur minimum AB = a - b
On retrouve:
la-bl

56
Pour l'oblique, l'erreur est plus fréquente dans le cas d'un triangle rectangle isocèle
dessiné sur le quadrillage du cahier: par exemple dans le dessin ci-dessus OH = HA =
OA = 3. Le quadrillage découpe la diagonale en trois parties de longueur prise pour
unité comme si elle était égale à celle du côté du carré unité. Cela revient à se poser à
nouveau le problème sur un petit carreau, à plus petite échelle.
II.2. Liens entre ttla perpendiculaire est plus courte que l'oblique tt
(1) et l'inégalité triangulaire sens direct (2)
II.1.2. L'énoncé (1) permet de démontrer l'énoncé (2)
En effet, dans le cas où la hauteur [BH] est
intérieure au triangle:
si AH < AB et HC < BC
alors AH + HC < AB + BC
or AC=AH+HC
donc
AC < AB +BC
Si on admet que dans un triangle la hauteur relative au plus grand côté est toujours
intérieure l'inégalité triangulaire dans le sens direct est démontrée. On peut éviter de le
supposer, en envisageant les deux cas de figures. Il faut alors utiliser les mesures
algébriques et l'inégalité triangulaire dans: IAQ = IAH + HC'1 $ /AH! + M
Cette démonstration avec les mesures algébriques figurait dans les manuels de
1970. Un manuel actuel de l'IREM de Lorraine la reprend sans les mesures
algébriques en supposant la hauteur à l'intérieur. Ce manuel s'appuie sur le cosinus
d'un angle aigu vu assez tôt en 4ième conformément à l'écriture du programme 15 .
On admet que ce cosinus positif est inférieur à 1, et on s'en sert.
II· 2 2. L'énoncé (2) permet de démontrer l'énoncé (1)
H
On veut montrer que AB > AH. Soit A' symétrique de A par
rapportàH:
AB + BA' > AA' donc 2AB > 2AH donc AB > AH
Ceci se trouve dans des manuels actuels différents du
précédent et s'explique par l'ordre d'écriture des
programmes 16 .
A
H 1----" B
A'
D'un point de vue académique la notion de distance entre un point et un ensemble
de points (la droite) (1) est plus élaborée que la distance entre points, (inégalité
triangulaire) (2). Ceci est-il la raison implicite de l'ordre d'écriture du texte des
programmes? Majoritairement les manuels 1 ? vont donc prendre (2) comme un
axiome, et ensuite, certains, pour la faire vivre, vont s'en servir dans la partie
"distance d'un point à une droite", ce qui se traduit par la démonstration de (1) grâce à
(2). Beaucoup de manuels admettent à la fois (1) et (2) car rien n'est précisé sur les
15 Le programme de quatrième débute par : "1 - Dans le plan, projection sur une droite selon une
direction, projection orthogonale, cosinus comme opérateur de projection orthogonale."
16 Le programme se poursuit par : "2 - Problèmes de plus courte distance: inégalité triangulaire,
distance d'un point à une droite."
17 Ce n'est pas le cas du manuel de l'!REM de Lorraine qui sur ce point comme sur d'autres prend des
initiatives marginales par rapport aux autres manuels.

57
démonstrations à faire. En revanche, tous les manuels utilisent l'inégalité triangulaire
en démontrant que la médiatrice d'un segment partage le plan en deux régions
caractérisées par des inégalités, savoir exigée par les commentaires officiels du
programme (voir annexe 1). Dans la majorité des manuels on définit le cosinus dans
un premier chapitre en admettant ou ignorant qu'il est inférieur à 1, puis après avoir
démontré ou admis plus loin que la perpendiculaire est plus courte que l'oblique on ne
fait le lien ni avec le cosinus ni avec le théorème de Pythagore. Le manuel IREM de
Lorraine, unique par la progression adoptée, après avoir démontré l'inégalité
triangulaire avec le cosinus inférieur à 1, démontre encore que la perpendiculaire est
plus courte que l'oblique, dans un chapitre plus loin intitulé distance d'un point à une
droite. Il le fait en utilisant le théorème de Pythagore, vu en début d'année,
contrairement aux autres manuels et au programme qui le placent plus tard: Si AB2 =
AH2 + HC2 alors AB2 > AH2 donc AB > AH. C'est, sous une autre forme, la même
démonstration que celle utilisée en 1970 où le seul axiome de la symétrie du rapport k
de projection orthogonale (ou cosinus) permettait de démontrer le théorème de
Pythagore (k2+ k' 2 =1) et donc que k::; 1 (voir annexe 2)
Dans les programmes de 1964 et les programmes antérieurs, l'inégalité triangulaire
dans le sens direct était démontrée en supposant que les angles égaux d'un triangle
isocèle sont aigus (voir annexe 3). Puis la perpendiculaire plus courte que l'oblique
était démontrée par le théorème de Pythagore. La réciproque de l'inégalité triangulaire
l'était en caractérisant les positions de deux cercles par disjonction des cas. C'est en
1978, que l'inégalité triangulaire (2) et la distance d'un point à une droite (1),
considérées comme évidentes, ont disparu des programmes. Elles y sont revenues en
1987, l'inégalité triangulaire en premiere position dans le texte. Les énoncés (1) et (2)
ne sont ni plus ni moins "évidents" l'un que l'autre. Pourquoi les démontrer dans leur
généralité plutôt que les admettre? C'est l'égalité seule qui pose problème aux élèves.
II.2.3. Démonstrations pour le cas limite
Une démonstration semblable à celle du cas limite de l'inégalité triangulaire prouve
que la perpendiculaire ne peut être égale à l'oblique:
- soit si OH =OA, et par symétrie OH =OA'
Par trois points alignés At, H, A, passerait un cercle
de centre 0 Ne pas le savoir implicitement est-il en
relation avec une faiblesse dans la conception du cercle ?
Il faut "voir" que si une baguette pivote autour de 0, elle
se soulève du sol.
A H A'
- soit si OH =OA, le triangle OHA est isocèle, donc OHA =90°.
Donc (OH) et (OA) sont parallèles. Ne pas le savoir implicitement, est-il en relation
avec une faiblesse sur le triangle isocèle? (égalité des angles à la base)
A propos de la distance d'un point à une droite, émerge ainsi tout un tissu de
relations à construire. On voit en particulier l'importance du cercle conçu comme ligne
de niveau ou ensemble de points, du triangle isocèle et de ses angles à la base (déjà
utilisé dans la démonstration de l'inégalité triangulaire des années 60) et de la
médiatrice dont nous avons parlé à propos du cercle circonscrit. Un travail sur le
triangle isocèle est primordial pour les conceptions : selon le problème, on doit
considérer la médiatrice comme un axe de symétrie portant le sommet principal

58
équidistant des deux autres avec l'égalité des angles à la base ou le cercle de centre le
sommet, les deux autres sommets étant des points du cercle l8 .
II.3. Positions relatives d'une droite et d'un cercle en classe de
Sième
Après avoir travaillé le cercle comme ensemble de points, nous avons demandé aux
élèves (Berté, 1981)19 de placer sur une droite (0) un point H le plus près possible
d'un point 0 extérieur à la droite.
Soit les élèves ont placé le point H sans tracer
effectivement la perpendiculaire, simplement dans un
voisinage du pied de cette perpendiculaire mais un peu
au hasard, soit ils ont pris leur compas et ont tracé des
cercles de rayon de plus en plus grand en nous disant :
"à un certain moment, un des cercles touche la droite et
c'est là que se trouve le point H." Le cercle est conçu ici
comme une ligne de niveau (OM =k). Il n'y a pas eu de
débat sur l'existence de plusieurs points H possibles. Il
a paru évident à tous ceux qui ont proposé cette solution
qu'il y avait un seul point H.
H
Cette observation est à rapprocher de la méthode de certains élèves de 6ième ou
5ième pour tracer une droite parallèle à une droite donnée (0) et à une distance donnée
a de cette droite.
Ils tracent plusieurs cercles centrés sur la
droite (D) et de rayon a. La droite cherchée est
la tangente commune à ces cercles tracée par
7'"'
tâtonnement.
Cette méthode fournit un dessin de bonne
précision
TI est implicite chez les élèves qu'une droite peut toucher un cercle en un seul point.
Quand on leur demande de tracer une droite tangente à un cercle donné et passant par
un point donné extérieur au cercle, ils disent: "je trace une droite qui frôle le cercle" et
le font par tâtonnement sans recourir à la propriété de la tangente d'être perpendiculaire
au rayon. Si on demande aux élèves de donner tous les cas possibles pour
l'intersection d'une droite et d'un cercle, on trouve sans problème les trois cas: pas de
points communs, un point commun et deux points communs. La seule erreur constatée
lors de plusieurs observations est l'apparition d'un quatrième cas: trois points
communs. C'est le cas où la droite est un diamètre du cercle. Le centre du cercle est le
troisième point. Cette conception du cercle comme une ligne et un point au centre est
peut-être induite par l'usage du compas, non pas du fait de l'instrument lui-même mais
du fait que les maîtres exigent des élèves de marquer le centre avant de poser la pointe
du compas. Le dessin obtenu ainsi est toujours un rond avec un point au centre. Nous
18 Voir l'article: Triangles isocèles et cercles au collège, A.Berté et D. Woillez, «petit x» n038
19 Cette observation a été faite dans un collège à Niamey, et répétée dans de nombreuses classes de
5ième en Gironde entre 1990 et 1992

59
avons déjà signalé une erreur produite par cette conception lors de la recherche des
cercles passant par deux points donnés.
Ces observations nous conduisent à penser que, pour les élèves, le fait que la
perpendiculaire est plus courte que l'oblique (1) pourrait être construit simultanément
avec les positions relatives d'une droite et d'un cercle, de même que l'inégalité
triangulaire (2) pourrait être construite simultanément avec les positions relatives de
deux cercles. Un lien académique de cause à conséquence entre (1) et (2) peut être fait,
dans un sens ou dans l'autre selon les axiomes choisis. Mais une telle démonstration
magistrale est insuffisante pour certains élèves pour créer le tissu de relations
nécessaire à la construction du sens. Comprendre que la perpendiculaire est plus courte
que l'oblique semble plus "facile" parce que les positions relatives d'une droite et d'un
cercle sont plus simples que celles de deux cercles, ne serait-ce que par le nombre plus
limité de cas possibles. Savoir que la perpendiculaire est plus courte que l'oblique
donne aux élèves la possibilité d'une quatrième voie pour se convaincre que les points
sont alignés dans le cas limite de l'inégalité triangulaire. Donc les deux résultats sur la
distance d'un point à une droite et l'inégalité triangulaire pourraient arriver l'un à la
suite de l'autre dans cet ordre et prendre du sens par l'étude des relations entre eux.
Ceci suppose une progression différente de celle suivie par la majorité des manuels de
la classe de 4ième conformes à l'ordre d'écriture du programme.
III. Quelques hypothèses pour conclure
111.1. Le problème de la modélisation géométrique
R. Berthelot et M-H. Salin (1992) se réfèrent à notre travail à propos de l'inégalité
triangulaire dans leur thèse. La reprise qu'ils ont faites de nos publications lREM de
Bordeaux (1987 et 1992) nous permet aujourd'hui de préciser nos hypothèses. Nous
voulons montrer entre autres la nécessité d'un enchaînement de situations et examiner
les problèmes de gestion que cela pose pour enseigner quelques notions de géométrie
métrique plane. R. Berthelot et M-H. Salin (1992) ont bien identifié le problème
central de l'enseignement de la géométrie, ou comment enseigner la modélisation de
l'espace. Cette modélisation implique la compréhension par les élèves de la différence
entre les figures dessinées ou les objets fabriqués dans l'espace sensible et les concepts
abstraits de la géométrie avec lesquels on construit la théorie.
Ce problème est connu depuis longtemps. Ils font référence à Poincaré et à Fréchet.
On l'observe effectivement de façon typique au moment de l'inégalité triangulaire,
mais pas seulement. Tous les problèmes de construction géométrique abordés dès le
collège, portent en eux la confusion de contrat possible: faut-il produire un dessin
dans l'espace sensible (ce que l'élève peut comprendre a priori) ou bien faire une
construction géométrique justifiée par les propriétés des objets abstraits? (Chevallard
et lullien, 1991 ; Reynès, 1991). Le langage usuel ne fait pas la distinction. On dit aux
élèves de tracer un cercle, un triangle et non leurs représentations (Artigue, 1984).
C'est pour cela qu'un problème de construction avec discussion de cas, quel qu'il soit,
ne peut pas être posé sans préparation à une classe dans laquelle trop peu d'élèves ont
commencé à comprendre qu'on se trouve dans un autre contrat. Ceci ne veut pas dire
qu'il ne doit pas être posé du tout pour travailler le cas limite de l'inégalité triangulaire.

60
En effet, un débat a toujours lieu à ce propos, quelles que soit les observations, dans
les nôtres comme dans celles citées plus haut. Donc nous ne nous intéressons pas aux
conditions de naissance du débat, qui a toujours lieu, mais nous nous intéressons aux
conditions qui permettent son aboutissement amenant ainsi les élèves à entrer dans la
géométrie. Certains élèves modélisent avant d'autres. Ce décalage entre les élèves
permet l'enseignement.
Notre première hypothèse est la suivante : Le passage de l'espace sensible à
l'espace modélisé peut se produire ou se renforcer selon les élèves à l'occasion du
débat scientifique entre eux au moment de l'inégalité triangulaire, car certains
modélisent spontanément et tous sont prêts à le faire quand des conditions précises
sont remplies. Ces conditions sont l'objet des deux hypothèses suivantes.
111.2. Le choix de l'ordre d'enseignement
La disparition de certains objets d'enseignement des programmes actuels (isométrie
des triangles, positions de deux cercles), la disparition momentanée de certains autres
(inégalité triangulaire, distance d'un point à une droite), leur réapparition récente et la
façon dont ils vivent, sont des phénomènes de transposition didactique. (Chevallard,
1991) Cela va poser des problèmes aux maîtres plus ou moins explicitement. Notre
deuxième hypothèse est que les conceptions sur les isométries des triangles, le nombre
de points communs à deux cercles, les différentes conceptions du cercle, doivent être
travaillées et les résultats institutionnalisés avant l'ouverture du débat sur le triangle
plat pour que celui-ci aboutisse.
Notre troisième hypothèse est qu'une des conditions à la construction du sens,
réside dans la réalisation par le maître d'un enchaînement de situations, donc dans le
choix d'un ordre pour aborder les concepts géométriques, de manière que tel obstacle
soit franchi avant tel autre, que tel débat puisse être engagé avant tel autre. Plusieurs
ordres sont mathématiquement possibles, et ils sont d'autant plus nombreux qu'on
décide de choisir une axiomatique surabondante. Avec une très forte axiomatique,
l'ordre peut même être quelconque pour les concepts de base. Or des observations de
classe, et une théorie didactique, les deux fonctionnant de façon dialectique - une
observation, l'interprétation des faits, une deuxième observation en changeant les
conditions - nous ont conduits à des nécessités d'enchaînement qui semblent exclure
une juxtaposition dans un ordre quelconque et nous ont permis, au cours des années,
de poser quelques jalons. Dans notre observation en seconde, le débat sur le triangle
plat est conclu par le maître qui apporte la démonstration. La nécessité de cette
intervention du maître est venue entre autres du fait que la condition sur l'enchaînement
des situations n'était pas remplie. Le débat peut aboutir sans que le maître didactifie si
lourdement la situation. Les élèves ont plusieurs possibilités de preuve, ce qui
augmente leurs chances de réussite s'ils peuvent s'en saisir. Il suffira au maître de
recadrer les arguments ou d'en provoquer la reformulation dans des situations de bilan
partiel. Pour cela, il faut que certains résultats aient été institutionnalisés avant, sinon il
y aura trop d'implicite, autant pour ceux qui ont des conceptions justes et qui doivent
mettre en place une argumentation convaincante, que pour ceux qui ont des
conceptions erronées et qui doivent comprendre leurs camarades. Cette condition sur
l'ordre est une condition nécessaire.

61
Un des domaines de la didactique est d'étudier les possibilités des enseignants pour
construire et gérer en classe les enchaînements de situations, compte-tenu des
contraintes du système : programmes, manuels, habitudes, influences et pressions
diverses.
Bibliographie
ARTIGUE M. et ROBINET J. (1982). Conceptions du cercle chez les enfants de
l'école élémentaire, RDM, vol. 3/1, Grenoble: La Pensée Sauvage
ARTIGUE M. (1984). Contribution à l'étude de la reproductibilité des situations
didactiques, Thèse de Doctorat d'État, Université Paris 7
ARSAC G. CHAPIRON G. COLONNA A. GERMAIN G. GUICHARD Y.
MANTE M. (1992). Initiation au raisonnement déductif au collège, Presses
Universitaires de Lyon
BERTÉ A.(1981). Observations dans les classes du développement de l'activité
mathématiques des élèves du premier cycle de l'enseignement secondaire. Thèse de
troisième cycle, Université de Paris 7
BERTÉ A.(1989). Rôle et conception des programmes de mathématiques ­
Enchaînement dynamique de quelques situations didactiques, Actes de la
C./.E.A.E.M., 41 ième Rencontre, Bruxelles
BERTÉ A. (1993). Mathématiques dynamiques, Collection Perspectives didactiques,
Nathan Pédagogie
BERTHELOT R. et SALIN M.H. (1992).L'enseignement de l'espace et de la
géométrie dans la scolarité obligatoire, Thèse, Université de Bordeaux 1
BROUSSEAU G.(1983). Étude de questions d'enseignement. Un exemple: la
géométrie, Séminaire de didactique des mathématiques et de l'informatique, LSD2­
IMAG, Grenoble
BROUSSEAU G. (1986). Théorisation des phénomènes d'enseignement des
mathématiques, Thèse de Doctorat d'État, Université de Bordeaux 1
BROUSSEAU G. (1988). Le contrat didactique, le milieu. R.D.M., vol 9/3,
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CHEVALLARD Y.(1991). La transposition didactique du savoir savant au savoir
enseigné, Grenoble: La Pensée Sauvage
CHEVALLARD Y. et JULLIEN M.(l991). Autour de l'enseignement de la géométrie
au collège, Petit x, nO 27, IREM de Grenoble
FELIX L.(1964). Initiation à la géométrie en classe de cinquième, Dunod

62
IREM DE BORDEAUX (1987). réédition revue et augmentée en 1992- Berté et coll.:
Enseignement des mathématiques utilisant la "réalité", Bordeaux 1
IREM DES PAYS DE LOIRE (1986). L'enseignement des mathématiques par les
situations problèmes au collège, Le Mans
REYNES F. (1991). Géométrie ou trahison des dessins, Petit x, n026, IREM de
Grenoble
ANNEXE 1
Médiatrice et inégalité triangulaire
Propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment [AB}. Le maître peutfaire
ainsi:
1 - Les élèves dessinent [AB], et plient de sorte que A vienne sur B Pour tout
point M du pli, la trace du segment [MA] se superpose à celle du segment [MB]. On
admet que tout point de la médiatrice est équidistant de A et B
2 - Réciproquement, tracer [AB] et construire au compas dix points équidistants
de A et B. Ils semblent alignés. On admet que tout point équidistant de A et B étant à
l'intersection de deux cercles de même rayon de centre A et B est sur l'axe de symétrie
de [AB]
Dans les manuels avant 1970,. on démontrait le point 2 en démontrant sa
contraposée avec l'inégalité triangulaire. Soit M n'appartenant pas à la médiatrice de
[AB] notée (D) :
MA = MI + lA = MI + lB > MB donc MA > MB
En conséquence: M é (D) =} MA "# MB
donc MA =MB =} M E (D)
Aujourd'hui ceci ne sert plus à démontrer 2 qui est
admis antérieurement. C'est devenu un exercice pour faire
vivre l'inégalité triangulaire puisqu'on on la voit après. A B
(D)
M

63
ANNEXE 2
Démonstration du théorème de Pythagore au collège
(programmes de 1970)
La démonstration se présente ainsi:
On projette A en H et B en A
Œ=CA=k
CA CB Ceci est un axiome
- -
donc CH = k CA = k 2 CB
De même: HB = k' 2 CB don CH + HB = CB = (k2+ k' 2) CB donc k 2 + k'2 = 1
C'est du théorème de Pythagore sous cette forme k 2 + k' 2 =1 dont on déduit:
1 k 1 :::; 1.
ANNEXE 3
Démonstration de l'inégalité triangulaire sens direct
(manuels avant 1970 )
1 - On admet qu'un triangle isocèle a ses angles à la base aigus.
2 - On démontre que dans un triangle ayant un angle droit ou obtus, le côté
opposé à cet angle est plus grand que les deux autres.
BAC obtus ou droit et BC = a
A
On porte la longueur BD = BA = c
~
Le triangle BAD étant isocèle, BAD est aigu,
donc il se trouve à l'intérieur de BAC. Donc D se B
trouve entre B et C donc c < a. Idem pour b < a
c D C
3 - Soit un triangle quelconque tel que a > b et a > c
On porte la longueur BD = c donc DC = a - c
~
Le triangle ABD est isocèle donc ADB aigu,
donc ADC est obtus
Dans le triangle ADC, b> a - c donc a < b + C
B C D 8-C C

64
COURRIER AUX LECTEURS
ERRATUM
Nous avons reçu une lettre de François CONNE à propos de son article intitulé
«Ricochets» paru dans «petit x» nO 39. Nous en publions ci-dessous des extraits. (Le
dessin est de Serge Cecconi)
Je viens de recevoir avec grand plaisir le dernier numéro de «petit x». Merci à la
rédaction pour la nette amélioration typographique qu'elle y a apporté.
Hélas, rien n'est parfait. J'ai ressenti un petit pincement de cœur à voir le titre
amputé.
Je crains maintenant que les lecteurs ne sachent plus pourquoi cet article
s'intitule «Ricochets». Ricochets ... et alors?
,.- . ,.-.
..'--=-=- -. "'" ..':.-=-::- -."",
Dommage. Outre que j'avais trouvé un moyen élégant d'indiquer les mots clés, il
y a ricochets, comme au bord de l'eau, mais ici de manière transpositive entre:
concept ~ théorie ~ modèle ~ situation ~ question ~ problème ~ représentation
concept :
théorie
modèle :
mesure des longueurs et de distances, rapports de mesures, unités de mesure
le traitement mathématique de ce concept
celui qu'on tire de la théorie et qui préside à la construction de la situation
et de ses variables
situation
«la situation des distances»
question : posée aux groupes d'élèves: «qui a la plus grande distance ?»
problème:
celui qui suscite la comparaison de distances mesurées avec des unités
distinctes
représentation qui lie distances, unités de longueurs, reports, nombre de reports; et au
travers de laquelle se manifeste le conOit qui crée le problème suscité par la
question
Bon, ceci dit, n'en parlons plus, passons. Merci d'avoir publié ce texte, d'en
avoir amélioré la présentation et laissons donc à l'astuce des lecteurs le soin de
découvrir pourquoi je l'ai intitulé: Ricochets.
François Conne
"petit x» N° 40, P. 64, 1995-1996

POUR DÉMARRER EN GÉOMÉTRIE
ET EN CLASSE DE 3ème : Une situation problématique
Sylvie PELLEQUER et Alain BRüNNER
IREM de Montpellier
Groupe Didactique
Introduction
Le démarrage de l'année est toujours une aventure et les premiers contacts sont
souvent décisifs autant au niveau relationnel qu'au niveau du type de fonctionnement
en classe.
Quel enseignant ne s'est-il jamais demandé comment il allait commencer l'année?
Quels contenus et quels objectifs?
Par des révisions systématiques pour pallier à l'érosion des grandes vacances?
Par des exercices ? Par quelles démarches ?
Nous proposons un démarrage possible expérimenté dans une classe de troisième
dont les objectifs principaux visent le repérage des acquis et l'apprentissage du
raisonnement en géométrie. Ce type de situation peut cependant être repris dans
l'année.
I. Problématique
Notre intention est de démarrer l'année en prenant en compte dès le début les
objectifs suivants:
- connaître les acquis et les difficultés des élèves sur certains domaines de
connaissances et commencer des remédiations ;
- repérer leur rapport à la démonstration et engager un apprentissage en troisième;
- mettre en place un certain contrat pédagogique et didactique dans la classe
(Brousseau, 1986).
«petit x» nO 40, pp. 65 à 85, 1995 - 1996 5

66
Commencer l'année sur des révisions systématiques, plus ou moins exhaustives,
ne nous paraît pas un moyen efficace pour remédier à d'éventuelles difficultés, ne
donne pas l'impression aux élèves qu'ils ont changé de classe et risque de laisser des
mathématiques une image de "déjà vu". Au contraire, il nous a semblé important
d'essayer de motiver les élèves autour d'une situation dans laquelle, ils sont moteurs
vis à vis de leurs réflexions et de leurs décisions. La nouveauté n'est pas dans le
contenu mathématique abordé (ici les définitions et théorèmes de la classe de
quatrième), mais dans la façon de les aborder.
Nous avons cherché à proposer aux élèves une situation assez riche favorisant:
- une recherche de problème où les élèves sont les acteurs;
- la mise en jeu de nombreux concepts mathématiques issus des enseignements
précédents;
- une prise en compte de l'hétérogénéité des élèves par une différenciation des
tâches proposées ;
- des types d'activités de nature différente (raisonnement, calcul, rédaction, ...).
Les problèmes scolaires d'application du "cours", où figurent directement, après les
donnés, des questions du type "calculer telle distance ou tel angle" ou "démontrer que
..." ne nous convenaient pas. De plus la gestion des séances de travaux dirigés où on
propose de résoudre une liste de petits exercices suivis de correction par un élève ou le
professeur, ne satisfaisait pas à nos intentions.
On ne pouvait utiliser des situations-problèmes au sens de Douady (1986) puisque
notre but n'est pas de mettre en place de nouvelles connaissances au moyen de
certaines conditions sur les problèmes.
Des problèmes ouverts (Arsac et al, 1988) ne correspondent pas à nos objectifs,
même si nous si nous ne rejetons pas le développement d'une démarche scientifique
telle que "faire des essais, conjecturer, tester, prouver". D'autre part il ne s'agit pas
d'attendre des démarches originales dans des problèmes possédant les caractéristiques
d'un problème ouvert, mais bien de repérer si certaines connaissances et méthodes de
la classe de quatrième sont disponibles.
Nous avons donc été amenés à proposer une situation satisfaisant aux conditions
suivantes:
- La situation s'appuie sur un énoncé-problématique: nous entendons ainsi un
énoncé où figurent des données géométriques et/ou numériques sans question
précisée. Cet énoncé doit permettre de faire émerger de nombreuses questions
produites par les élèves eux-mêmes. Les questions doivent mettre en jeu de nombreux
. concepts mathématiques et pouvoir être traitées avec les connaissances visées dans les
apprentissages précédents.
- L'opérationnalisation d'un tel énoncé en classe doit conduire à la mise en place
d'un milieu (Brousseau, 1986) avec lequel l'élève va interagir. Nous essayons de
favoriser un fonctionnement a-didactique (Brousseau, 1986) à travers des situations de
communication et des situations de validation. Plus précisément les élèves seront
amenés successivement:
• à émettre des questions à partir de l'énoncé;

67
• à proposer à d'autres élèves une question, à préciser les théorèmes, qui
permettent son traitement, et les informations utiles de l'énoncé;
• à analyser et critiquer la résolution du groupe récepteur, à comparer avec leur
propre démarche de résolution.
Nous faisons l'hypothèse que dans une telle situation:
- on favorise un riche questionnement et des activités de résolution de problèmes,
sans nécessairement prendre des problèmes complexes et mettre en jeu de nouvelles
connaissances;
- on peut apprécier le degré de capitalisation de connaissances, méthodes et
situations sur un domaine déjà étudié par les élèves;
- on permet aux élèves une meilleure prise en compte des attentes de l'enseignant
sur l'activité mathématique et le fonctionnement de la classe de mathématique;
- on permet à l'enseignant une meilleur connaissance de ses élèves et on favorise
un début de mise en place d'un contrat didactique en classe.
II. Nos positions sur l'apprentissage de la démonstration
Elles s'appuient sur les analyses de R. Duval et M.A. Egret (1991) qui montre
qu'un pas déductif met en œuvre trois propositions.
La structure ternaire d'un pas déductif est illustrée par le scéma ci-dessous:
Théorème
~mrnl
Conditions
d'accès
Conclusion
Les trois flèches qui relient les conditions d'accès au théorème montrent qu'il en
faut autant que de conditions requises par le théorème. Le nombre de conditions pour
appliquer un théorème varie donc en fonction du théorème et il faut s'assurer que l'on
retrouve bien, dans l'exercice, toutes les conditions nécessaires à l'application du
théorème, c'est à dire la partie "Si ..." du théorème.
De plus le théorème utilisé ne peut être pris que dans un ensemble de théorèmes
déjà construits théoriquement et connus (le cours des enseignements précédents et des
classes précédentes). Il faut amener les élèves à bien concevoir ces énoncés comme
toujours vrais.
Enfin il n'y a qu'une seule conclusion possible, celle qu'on détache du théorème (la
partie "alors..." du théorème) et qu'on applique à l'exercice. Ces trois éléments n'ont
de sens dans le raisonnement que globalement et en interaction, mais pour mieux faire
sentir ces trois étapes aux élèves, des situations peuvent être conçues pour bien mettre
en évidence chacune d'elles.

68
Concernant la rédaction de la démonstration, nos choix sont de laisser les élèves
organiser ces étapes sans pour autant imposer d'ordre dans les divers éléments de
chaque pas déductif. Cependant nous sommes exigeants sur la structure ternaire d'un
pas déductif.
Dans une rédaction de démonstration, il nous semble important de retrouver:
- toutes les conditions d'accès au théorème, liées à la question, bien marquées;
- le théorème utilisé, cité hors contexte, représentant le savoir mathématique;
- la conclusion, liée à l'exercice, bien citée.
L'essentiel est que la logique interne du pas ternaire soit respectée: un élève peut
rédiger en commençant par la conclusion et raisonner juste. Par contre, il faut essayer
de faire comprendre à l'élève qu'une affirmation, qui ne s'appuie pas sur un théorème
ou sur une reconnaissance des données, reste du domaine de l'opinion et pas de celui
des mathématiques.
III. Objectifs de la situation expérimentée
La situation choisie est une activité géométrique centrée sur le raisonnement
déductif, mais on peut différencier plusieurs types d'objectifs.
111.1. Au niveau du raisonnement
- Connaître la position des élèves sur le raisonnement déductif: le sens des
théorèmes (du type "si ... alors ...") et leurs utilisations, le statut de la figure, et la
rédaction de démonstrations;
- Donner des références communes aux élèves sur le raisonnement déductif et
continuer l'apprentissage de la démonstration.
111.2. Au niveau des contenus
- Repérer les connaissances des élèves sur les théorèmes de géométrie;
- Réactiver lesthéorèmes de quatrième les plus utiles pour la troisième;
- Connaître les rapports des élèves avec le théorème de Pythagore et la notion de
racine carrée (par exemple l'utilisation du radical) ;
- Avoir des informations sur la disponibilité de l'outil "cosinus" et sur la conclusion
qu'ils donnent pour lecalcul d'un angle; en particulier voir leur niveau de réflexion
sur les notions de "valeur exacte" et "valeur approchée" ;
- Donner des pistes pour les remédiations, prolongements, et approfondissements
dans les domaines du programme des classes antérieures et celui de troisième.
111.3. Au niveau du contrat de travail
- Habituer les élèves à une certaine rigueur dans les raisonnements, le vocabulaire
et les rédactions ;
- Faire repérer les attentes de l'enseignant dans les rédactions de démonstrations;
- Habituer les élèves au travail en groupe, aux échanges entre pairs sur les
mathématiques, et favoriser l'écoute des autres;

69
- Inverser le contrat traditionnel pour : "le savoir n'est pas du seul ressort de
l'enseignant". A certains moments ce n'est plus le professeur qui valide, mais les
connaissances mathématiques des élèves. Ils doivent interroger le savoir, l'utiliser et
avancer dans la résolution de la situation de manière autonome.
IV. Description de la situation
IV.1. L'énoncé-problématique
Il s'agit de la figure ci-dessous
.
Le choix de cette figure est d'abord justifié par le fait que nous voulions une
situation qui permette de mobiliser les connaissances des classes antérieures sur les
triangles (et les triangles rectangles en particulier), le théorème de Pythagore et sa
réciproque, les divers théorèmes des milieux dans un triangle, le théorème du cercle
circonscrit à un triangle rectangle, le cosinus d'un angle, la notion de racine carrée.
Ensuite elle favorise un questionnement sur les "inconnues" de la figure, puis le
traitement de nombreuses questions et par là des raisonnements.
Elle est très riche quant au nombre de questions possibles et de théorèmes à utiliser.
De plus il peut y avoir des questions "très simples", même pour des élèves en
difficulté. Elle peut aussi permettre un questionnement sur les notions de "valeur
exacte" et "valeur approchée" d'un nombre.
L'activité est basée sur un questionnement à partir de la figure codée; sans question
posée par le professeur. Ce choix est motivé par le fait qu'elle favorise un travail de
réflexion sur la figure et son statut:
- la figure est un moyen pour "chercher" des solutions;
- mais elle n'est pas un moyen pour démontrer;
- une figure codée montre la "force" des codages et des "non" codages;
- et ainsi aide à différencier ce qu'on voit de ce que l'on sait de façon sûre;

70
- cela permet aussi de passer en revue de futures conditions d'accès.
IV.2. Le dispositif et le déroulement de la situation
L'expérimentation a eu lieu en tout début d'année dans une classe de troisième de
l'un des auteurs de l'article. La classe est constituée de 26 élèves qui seront partagés
en 4 groupes de 4 élèves et 2 groupes de 5 élèves. Lors de cette première situation les
groupes se font par regroupement géographique puisque le professeur ne connaît pas
encore ses élèves.
La situation s'est déroulée sur trois séances d'une heure. La première a permis
l'émergence de questions et le repérage des éléments de la structure ternaire des pas
déductifs. L'objectif de la deuxième séance est le traitement des questions issues de
l'énoncé, par l'intermédiaire de phases de communication et de validation entre les
groupes d'élèves. La troisième séance vise un travail sur la rédaction en géométrie.
IV.2.1. Première séance
• Phase 1 (20 minutes environ)
objectifs
Mener une réflexion sur le statut de la figure et sur les données, et éventuellement
modifier ce statut. Apprendre à lire les informations codées sur une figure et prendre
conscience de l'intérêt du codage d'une figure.
Dégager les futures conditions d'accès (pour les phases 2 et 3) des conséquences
probables, faire la différence entre données (sûres) et informations visibles ou
probables, conjectures.
consignes
"Ecris toutes les informations que la figure te donne et dont tu es sûr".
déroulement
La figure est distribuée à chaque élève de la classe.
Dans un premier temps le travail est individuel et dure environ 10 minutes.
Dans un deuxième temps le professeur organise un bilan.
Au tableau le professeur écrit la liste de toutes les informations prises sur la figure
par la classe. Chaque proposition va être discutée. Le professeur anime un débat avec
la classe entière sur l'acceptation ou le rejet de certaines informations. Il ne tranche
qu'en dernier recours.
La discussion a porté sur les questions:
- Peut-on considérer BDC comme un triangle rectangle ou bien F est-il milieu de
[DB] ?
- Peut-on écrire directement que E milieu de [AD] ou que les droites (AB) et (EF)
sont parallèles ?
(Voir en annexe 7 les informations de l'élève Bes).
Le fait de parler de ce type de questions dès le début de l'année permet de clarifier
les exigences et attentes du professeur, et de préciser le contrat dans la classe de
mathématique.

71
Le professeur doit clairement laisser entendre que les propositions doivent être
rejetées ou acceptées par la classe et qu'il gère le débat entre les élèves.
A la fin du bilan, chaque élève de la classe peut aborder la phase suivante en
disposant des mêmes informations que tous ses camarades, ce qui permet une certaine
régulation au niveau des élèves.
Cette phase permet de mettre en place le milieu de la situation avec lequel l'élève va
être confronté.
• Phase 2 (40 minutes)
objectifs
Mener une réflexion sur le raisonnement déductif et faire prendre conscience de la
structure ternaire d'un pas déductif. Continuer le travail sur le statut de la figure.
Repérer la disponibilité de certaines connaissances géométriques et numériques.
consignes
a - Imagine une question que tu pourrais poser à un autre groupe.
b - Ecris à l'aide de quel(s) théorème(s) on peut y répondre.
c- Ecris les informations utiles de la figure pour cette question.
d- Cherche le plus de questions possibles.
déroulement
La recherche se fait maintenant par groupe. Le rôle du professeur dans cette phase
est de faire respecter les consignes et le contrat du travail en groupe qui doit se mettre
en place dans la classe.
La tâche du groupe est de trouver et traiter le plus de questions possibles liées à
cette figure. Pour préparer la phase suivante le professeur va donner son accord sur
une question à poser à un autre groupe.
Dans cette phase, le rôle du professeur est crucial. Il passe de groupe en groupe,
pour s'assurer du bon fonctionnement de travail du groupe, et pour s'informer sur la
façon de chercher, de débattre dans le groupe, mais aussi pour mesurer l'avancée du
travail et le type de questions proposées et traitées. Mais il ne répond jamais à une
question concernant le savoir mathématique. A chaque fois qu'il est interpelé dans ce
sens, il renvoit la question au groupe. Le professeur n'est plus à ce moment le
responsable du savoir en jeu, il ne valide pas les solutions des élèves, mais ce sont les
élèves ici qui doivent prendre cette responsabilité. La règle du jeu doit être annoncée
aux élèves, mais le professeur doit exercer sa vigilance pendant toute la séance.
Il est souvent difficile de gérer les différences de rythme de travail des élèves. Dans
ce type d'activité la régulation est facilitée car il suffit d'inciter les groupes à chercher
d'autres questions.
Le professeur assure la régulation des connaissances par le choix des questions à
poser aux groupes. Ce choix est déterminé par les deux principaux critères: avoir des
questions non triviales pour tous les groupes, des questions non trouvées par l'autre
groupe et des questions intéressantes à développer en classes entière. Par exemple les
groupes n'ayant pas pensé au "cosinus", ont une question dans ce sens. La phase
suivante prolongera aussi la régulation entre les élèves.

72
Les questions apparues et les solutions sont reprises et analysées au
paragraphe V.
IV.2.2. Deuxième séance
• Phase 3 (30 minutes)
Cette phase se déroule toujours en groupe et va comporter trois étapes.
objectifs
Les objectifs précédents sont poursuivis, plus spécifiquement: faire émerger les
critères des élèves concernant une bonne rédaction.
Le travail est maintenant centré sur la résolution d'une question choisie par le
professeur et la validation de la structure ternaire demandée dans la phase 2 de la
séance précédente.
consignes
Résoudre la question reçue et rédiger le plus soigneusement possible la solution
choisie par le groupe. Cette solution sera envoyée au groupe qui a émis la question.
(premier temps).
Reprendre la question envoyée et la réponse de l'autre groupe. "Corriger" l'autre
groupe avec les critères suivants:
Est-ce juste ou faux?
La rédaction est-elle correcte?
La démarche est-elle identique? Sinon expliquer la vôtre.
déroulement
Premier temps
La tâche de chaque groupe est de résoudre et de rédiger une solution au problème
correspondant à la question posée par un autre groupe.
Deuxième temps
Ensuite le groupe émetteur reçoit la solution d'un autre groupe à sa question et la
confronte à sa propre solution selon les consignes données par le professeur.
Dans cette phase le professeur donne les nouvelles consignes et explique le
fonctionnement de la classe qui peut ne pas être habituel pour les élèves. Il transmet les
questions, puis les solutions dans le deuxième temps de la phase.
Il s'assure de la compréhension des consignes et garde la vigilance sur le
fonctionnement et le contrat de travail en groupe.
Troisième temps (assez bref)
On effectue un dernier échange et chaque groupe reprend sa solution corrigée à la
question posée par le groupe émetteur. Ce groupe peut ainsi réagir à la correction et
voir éventuellement une autre démarche.
Le professeur est la courroie de transmission pour passer les questions ou renvoyer
les solutions entre certains groupes, et il fait respecter le contrat. Il continue à jouer
pendant cette phase un rôle d'observateur de l'apprentissage et du travail des groupes.
La régulation entre les groupes reste facilitée car le professeur peut proposer aux
groupes les plus rapides de rédiger une autre question.

73
Chaque groupe reste responsable de son travail. Les diverses communications entre
les groupes permettent, à des degrés différents, une certaine rétroaction du travail de
chacun, sans le besoin indispensable de validation par le professeur dans cette phase.
• Phase 4 (30 minutes)
objectifs
Prendre conscience aux élèves du pas ternaire dans les démonstrations et faire
poursuivre la régulation entre les élèves à propos de la démonstration et de certains
contenus mathématiques.
C'est une phase de bilan où deux questions vont être reprises:
- La nature du triangle BDC
- Le calcul de l'angle ABD
En particulier les conditions d'accès du théorème seront précisées ainsi que le
théorème lui même. Le choix de la première question permet de mettre en évidence
l'utilisation implicite de la contraposée dans certaines questions (sans institutionnaliser
cette notion).
Un deuxième objectif est de mener une réflexion sur les notions de "valeur exacte"
et de "valeur approchée" à propos du cosinus, et plus généralement sur le traitement
des écritures correctes ou fausses apparues dans la première question.
déroulement
Le professeur reprend au tableau avec la classe entière les deux questions retenues.
C'est la classe entière maintenant qui va faire le point sur ce qu'on attend comme
solution aux deux questions. Le professeur reprend en fin de séance la responsabilité
de façon à expliciter ses premières exigences et attentes sur la démonstration et sur les
connaissances mathématiques en jeu dans la situation.
Les théorèmes sont décontextualisés de la situation et écrits dans le cahier de cours.
Cette phase est centrée sur la validation des raisonnements, des solutions et de
certaines écritures mathématiques. Elle est délicate à gérer dans la mesure où le
professeur essaie de rester au maximum en retrait par rapport à l'évaluation des
propositions des élèves. En général la classe (les élèves) a pu argumenter correctement
et se mettre d'accord sur la démonstration des questions. A partir d'un certain moment
le professeur a fait usage de sa responsabilité pour faire le point sur le raisonnement
déductif et pour trancher sur certains résultats, notamment pour les réponses attendues
sur le cosinus et soulever le problème des valeurs approchées. Cette dernière question
sera retravaillée tout le long de l'année.
• Phase 5 (une heure)
IV.2.3. Troisième séance
objectif
Continuer le travail sur le sens de la démonstration en centrant l'activité sur les
problèmes de rédaction de démonstrations.

74
Donner de l'importance à la rédaction de la démonstration et la détacher du temps
de recherche.
Mesurer l'impact des phases précédentes et faire émerger certains critères
indispensables (voir II.) à une bonne rédaction d'une démonstration.
déroulement
Quatre rédactions d'élèves de certaines questions sont retenues (annexe 6).
Dans cette phase le travail se fait d'abord en groupe, puis en classe entière.
La tâche des élèves est de discuter des conditions d'acceptation ou de refus des
rédactions.
La situation aurait pu se terminer après le bilan de la phase précédente, mais il nous
a semblé important de travailler un autre aspect, la présentation de la solution. En effet
on constate régulièrement dans les classes que c'est une difficulté importante pour de
nombreux élèves. De plus la rédaction est généralement négligée car les élèves
s'arrêtent souvent à la solution sans chercher à la mettre en forme. Même si pendant
les phases précédentes de notre situation, le problème de la rédaction de solutions est
intervenu plus ou moins explicitement, une phase explicitement centrée sur ce
problème nous semble nécessaire.
Si nous ne souhaitons pas imposer de modèles de rédactions, nous préciserons
certaines exigences en rapport à nos positions et choix sur la démonstration (voir
paragraphe II). Cet aspect sera bien entendu repris selon les besoins dans d'autres
séances.
Le choix de la rédaction 1 est dû au fait que toutes les conditions d'accès au
théorème sont incomplètes au début et elles sont complètement oubliées dans
l'enchaînement des pas.
Dans la rédaction 2 ne figure aucune condition d'accès qui justifierait l'utilisation
d'un théorème.
La rédaction 3 correspond à nos critères (malgré un léger oubli concernant la
condition d'accès au premier théorème - se placer dans le triangle ABD), même si la
lisibilité et la présentation peuvent être améliorées. Enfin dans la rédaction 4 les élèves
ont oublié le deuxième théorème. On n'a pas choisi des rédactions trop mauvaises, car
elles seraient trop facilement rejetées. Celles-ci pouvaient être acceptées par les élèves
ou du moins amener une confrontation importante entre les divers points de vue.
V. Analyse de quelques productions d'élèves
Les questions suivantes ont été proposées par les élèves:
- Calculer la longueur des segments [AF], [EF], et des côtés du triangle BFG ?
- Calculer le périmètre du triangle BFG ?
- Les droites (FG) et (CD) sont-elles parallèles?
- Calculer l'angle ABD?
- Calculer l'angle ADB?
- F est-il le centre du cercle circonscrit à ABD?
- Quelle est la nature du triangle BCD ?

75
V.1. Le calcul de AF (4 élèves, Chal, Pers, Bois, Mat)
La méthode choisie repose sur le fait que [AP] est un rayon du cercle circonscrit au
triangle rectangle ADB et sur le calcul du diamètre DB. Il n'apparaît pas d'erreur de
contenus ou de calcul. En particulier l'utilisation du théorème de Pythagore est correcte
et les élèves utilisent convenablement le radical pour conclure. Cela les conduit au bon
résultat pour DB.
Ces quatre élèves ont indiqué que le triangle rectangle est inscrit dans un cercle de
diamètre l'hypoténuse.
En revanche au niveau du raisonnement des implicites apparaissent:
- un élève (Cha) considère directement que F est le milieu de [BD] ou que [AF] est
une médiane. (voir rédaction en annexe 1)
- Tous les élèves considèrent que les droites (AB) et (EF) sont parallèles.
Est-ce dû au statut de la figure, ou bien ce parallélisme leur paraît-il évident avec les
hypothèses? Ce point sera discuté avec les élèves dans le bilan (phase 4).
Au niveau de la rédaction de la démonstration les principales difficultés sont:
- l'absence du théorème utilisé;
- le théorème sur le cercle circonscrit à un triangle rectangle (Mat, Chal, Pers);
- le théorème de Pythagore (Bois, Mat);
- un théorème des milieux (Mat) ;
- la précision des conditions d'accès au théorème utilisé (explicitement ou
Ïplplicitement) :
- Pour le calcul de DB, on ne précise pas que le triangle est rectangle
(Mat, Bois) ;
- Pour montrer que F est le milieu de [DB] (Bois) ;
-l'indication de la question (Chal).
V.2. Le calcul de EF (3 élèves, Ho, Sh, Bes)
Deux méthodes sont repérées:
- utilisation uniquement des théorèmes des milieux dans le triangle et en particulier
EF est la moitié de AB (Bes, Ho) ;
- utilisation des théorèmes des milieux pour montrer que F est le milieu de [BD], et
ensuite utilisation du théorème de Pythagore dans les triangles ADB et DEF (Sh).
Il n'apparaît pas d'erreur de contenu ou de calcul.
Sh et les théorèmes : L'utilisation du théorème de Pythagore par Sh est correcte,
mais il a des difficultés avec les manipulations symboliques et en particulier avec le
radical. Les résultats sont cependant corrects pour DB et EF. Signalons qu'il cite le
théorème de Thalès au lieu de celui de Pythagore, mais applique bien ce dernier. Pour
cet élève le fait que les droites (AB) et (EF) sont parallèles semblent implicites.
Les élèves Bes et Ho ont ressenti la nécessité de démontrer le parallélisme des
droites à partir des données sur les droites orthogonales.
Au niveau de la rédaction de la démonstration dans ce groupe tous les théorèmes
sont cités, sauf pour le parallélisme de (AB) et (EF).

76
En effet le théorème portant sur "les droites perpendiculaires à une même troisième"
n'est pas cité et on a droit ici à une rédaction de la démonstration dans un code
symbolique:
(AB).l(AE)} AB EF
(AE).l(EF) / /
On peut se demander s'il n'y a pas un effet didactique dû aux corrections au
tableau. Y a-t-il cohérence entre la rédaction demandée et la présentation au tableau
d'exemple de démonstration ou de correction d'exercices par les professeurs (ou les
élèves) ?
La principale difficulté reste la précision des conditions d'accès au théorème utilisé:
- Pour montrer que F est le milieu de [DB] (Sh, Ho) ;
- Pour le calcul de EF , on ne précise pas le triangle et surtout les informations sur
les milieux (Bes, Ho) (Voir la rédaction de Bes en annexe 2).
Concernant la difficulté de préciser les conditions d'accès d'un théorème :
On remarque ici que cet "oubli" se manifeste plus fréquemment entre deux pas de
déduction, que pour le premier pas de la rédaction de la démonstration.
L'hypothèse que l'on peut avancer est qu'une fois qu'ils ont écrit les données et
conséquences de certains pas, les élèves ne ressentent plus le besoin de reprendre à
chaque pas les conditions d'accès du théorème utilisé.
Si cela est une exigence pour nous, elle ne paraît pas naturelle et spontanée pour les
élèves et doit donc faire l'objet d'un apprentissage.
V.3. Le calcul des côtés du triangle BFG (2 élèves, Gras, Fré)
Cette question nécessite de nombreux raisonnements et calculs, analogues à ceux à
la fois des questions a) et b).
Pour BF une méthode conduit à montrer que F est le milieu de [BD] et à utiliser le
calcul de BD par le théorème de Pythagore. Ensuite pour [FG] on peut utiliser un
théorème de milieux comme pour la question b). Ces méthodes semblent bien
comprises pour ces deux élèves, mais Gras présente une qualité supérieure de
rédaction. On ne note pas d'implicite, ni d'imprécision au niveau des théorèmes ou des
conditions d'accès.
Au niveau du symbolisme apparaît chez Gras la difficulté à gérer les notations sur
les segments, distances, longueurs; et des formulations du genre BG = 1/2 de BC.
Rappelons par ailleurs que cet élève a une rédaction très claire et semble bien
maîtriser les contenus sous-jacents. Ceci nous interpelle sur les difficultés propres à
l'usage des notations.
Faut-il les accepter "encore" en 3ème, amener progressivement les élèves à un
usage correct ou bien être intransigeant sur ce point?
Fré a des difficultés pour présenter sa rédaction (voir annexe 4).
Des implicites apparaissent sur le fait que F est le milieu de [BD]. De plus cet élève
semble "tourner en rond" en voulant préciser les conditions d'accès d'un théorème des
milieux. Le théorème de Pythagore n'est pas donné.

77
Dans le calcul de BF il Ya des infonnations inutiles qui semblent, peut être, venir
de confusions avec l'usage intempestif des théorèmes de milieux.
VA. F est le centre du cercle circonscrit à ABD (3 élèves, Sin, Bel, x)
Il Ya moins de travail a priori ici car il suffit de montrer que F est le milieu de BD,
ce qui a été en général démontré dans les questions précédentes.
Deux élèves ont bien vu que l'exercice repose sur la propriété du centre circonscrit
à un triangle rectangle et qu'il faut montrer que F est le milieu de BD. Par contre au
niveau du raisonnement l'implicite fort du parallélisme des droites (AB) et (EF)
apparaît dans les trois copies et aucun ne fait référence à l'orthogonalité de certaines
droites.
Le théorème des milieux est donné, par contre pour la propriété du centre les
comportements sont plus variés. Seul Sin cite le théorème, tandis que x ne donne pas
de théorème mais l'applique correctement.
Bel ne semble pas percevoir clairement le théorème d'appui de la déduction (voir
annexe 4).
Les conditions d'accès sont données en général.
V.S. Le calcul des angles ABD (7 élèves, Dez, Iso, Ana, Bar, y, Cas,
Tamb) et ADB(ou EDF) (3 élèves, All, Bra, Gran)
La méthode ne semble pas posée de problème à ces élèves. Ils ont tous bien vu que
le calcul passait par celui de BD (obtenu sans difficulté par le théorème de Pythagore),
celui du cosinus de l'angle considéré. Enfin ils ont conclu en utilisant la touche
appropriée de la machine, sauf pour un élève.
La mobilisation du théorème de Pythagore est correcte et les élèves utilisent
convenablement le radical pour conclure. Cela les conduit au bon résultat pour DB.
Au niveau de la rédaction le théorème est cité (sauf Tarn et Bra) et très souvent
énoncé. Un élève (Gra) donne un énoncé imprécis en ne précisant pas les côtés de
l'angle droit. Quelques élèves ne donnent pas la condition d'entrée du théorème (Ana,
Bar, y, Tarn).
Deux des élèves se placent dans le triangle EDF, et fournissent des démonstrations
assez longues et laborieuses (Alla, mais surtout Bra).
Le calcul du cosinus des angles ne pose pas de problème. Les élèves laissent
parfois les résultats sous fonne fractionnaire, parfois donnent l'écriture décimale
3
par exemple cos (EDF) = - ou 0,6.
. 5
Par contre peu d'élèves signalent les conditions d'accès à la fonnule donnant le
cosinus (Cas, Tarn, All, Bra seulement).
Ils utilisent correctement la machine pour avoir l'angle cherché. Un élève (Gra)
explicite le procédé:
liA l'aide de la machine (inverse cosinus) j'obtiens l'angle EDF qui est égal à :"
53,13° 11 •

78
Au niveau des résultats les formulations et valeurs pour l'angle sont assez diverses,
et montrent le flou sur ce calcul.
En général les élèves donnent l'égalité entre une valeur décimale et l'angle.
On trouve pour l'angle ABD les formulations:
Elève Thlz Bar Y Tarn Ana Iso Cas
Valeur =36,86° =36,9° =36,87 ~36,8 =36,86
"" 37°
et pour l'angle EDF les formulations:
=36,86
=37°
=36°9
Elève Gras Alla Bra
Valeur : 53,13° ==53° == 53,3°
L'angle EDF fait 53,3°
Beaucoup d'élèves donnent une égalité avec une valeur approchée. Il est difficile de
préciser les critères de choix des valeurs approchées à part le fait d'être entière, ou
décimale à une ou deux décimales.
Notons que pour certains l'approximation apparaît quand ils prennent un entier
comme résultat. Enfin un élève (Iso) marque l'égalité avec deux valeurs approchées
(voir annexe 5). On peut ainsi se demander quel est le statut de cette égalité ou du
signe == dans le cadre de cette recherche d'angle.
Cela semble, somme toute, assez normal par rapport au contrat (assez flou) en
vigueur en 4ème concernant le calcul d'angle par le cosinus et la calculatrice.
D'ailleurs qu'auraient-ils donné avec le calcul de distance par le théorème de
Pythagore si on avait choisi des nombres non carrés parfaits?
Deux comportements attirent notre attention:
AB 8
(Iso) - =- =cos(ABD) =36,86
DB 10 .
8
(Tarn) ABD =cos-=cosO,8 =36,8 =36,86
10
Ces réponses montrent bien la difficulté pour ces élèves de gérer les écritures entre
le cosinus et la fonction réciproque (ou plutôt une procédure réciproque) pour obtenir
l'angle.
Un certain contrat doit ainsi être précisé en 3ème sur ces questions avec les élèves.
Ce contrat va t-il de soi? Pour les élèves sûrement pas comme on le voit.
Est-il le même pour tous les professeurs? Il n'est pas certain qu'il en soit ainsi.

79
VI. Conclusion
Après cette première activité de début d'année des séquences spécifiques sur le
théorème de Thalès, la trigonométrie et le calcul littéral ont été abordées. Elles ont pris
appui sur ce premier travail de l'année et elles en constituent un prolongement et un
approfondissement au niveau des contenus et du raisonnement.
Certaines séances ont été gérées comme celles décrites plus haut et un certain
contrat de fonctionnement dans la classe a pu s'établir de sorte qu'elles n'aient pas de
caractère anecdotique. D'autres situations-problématiques ont été ainsi proposées aux
élèves dans des domaines différents.
Les résultats des élèves trois mois après cette activité et le contrat ainsi établi nous
confortent dans notre hypothèse de l'impact d'une première activité du type décrit en
tout début d'année:
D'une part elle nous a donnés, dès les premières séances, beaucoup d'informations
sur les élèves eux mêmes, leurs acquis et leurs difficultés.
Un travail de fond a été effectué sur le raisonnement déductif et en plus tous les
théorèmes important de Quatrième ont été réactivés.
D'autre part cette activité, par sa présentation et son fonctionnement, rompt le
"contrat habituel" de la classe pour interpeller les élèves et les faire réagir dans le sens
souhaité.
La première rupture vient du type même de tâche qui est proposée aux élèves,
énoncer des questions et non résoudre directement des exercices ou faire des calculs
comme dans le "contrat habituel".
Au niveau des contenus et du raisonnement le contrat doit aussi se négocier. Les
élèves disposent d'une situation avec des informations. Ils sont invités à partir de
celle-ci à repérer d'autres informations que l'on peut déduire des précédentes. Ainsi
dans une situation géométrique, il y a des éléments données, d'autres qui sont alors
"déterminés" et parmi ceux-ci certains que l'on peut connaître par l'usage de théorèmes
et de déductions.
Ce n'est plus l'enseignant qui est le seul pilote, mais les élèves peuvent aussi
accéder à un certain niveau de commande en interrogeant et en utilisant le savoir. Par
exemple dans la situation ce n'est pas le professeur qui décide que (EF) Il (AB), mais
c'est le savoir.
Nous avons ainsi tenté une "dévolution" : un transfert d'une certaine responsabilité
aux élèves vis à vis du savoir. N'est-ce pas là une condition nécessaire à un
apprentissage mathématique?
Une certaine autonomie doit être acceptée par moments par les élèves, ce qui n'est
pas facile à obtenir. Cela nécessite la mise en place d'un certain milieu favorisant ce
transfert de responsabilité. La recherche de situations et de conditions favorisantes est
une préoccupation constante, et c'est ce que nous avons tenté dans le cadre de nos

80
objectifs, en nous situant panni certains résultats des recherches en didactique des
mathématiques.
Bibliographie
ARSAC G., GERMAIN G., MANTE M. (1988) Problème ouvert et situationproblème,
IREM de Lyon.
BROUSEAU G. (1986) Fondements et Méthodes de la didactique des Mathématiques.
RDM Vol. 7.2, la pensée sauvage. '
DOUADY R. (1986) Jeux de cadres et dialectique outil-objet. RDM Vol. 7.2, la
pensée sauvage.
DUVAL R. (1991), Structure du raisonnement déductif et apprentissage de la
démonstration, Educational Studies in Mathematics, Vol. 22 - nO 3, pp. 233-261.

81
Annexe 1 : rédaction de l'élève "Cha" pour le calcul de AF
CHAt
AfJ) "bt.lOA\~ 'Jt~I\~ ~l\ Pt- ÙlS~t db ~.Q. ~
c~& de t/J ) e)~ .
-----Lé ç) t'\~d·iom.e..~ ~ ft .
.l>cnc.. ·Ar .·=.:J>F.
C:Jcul~ Je) ". .
J)s ~ tùan.'~·i~~~. " A&D;
~ro.i-~~rt'to\.

_
82
Annexe 3 : rédaction de l'élève "Fré" pour le calcul des côtés du triangle (BFG)
-~ -ee.u..e Je. g'-4~~~---------.-­
~D~oee ~'~Q. ~~,,-~_11?~-B-1}-:-o-----.
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---B.!>--::. ~~_~ ._AD.Y\.c:.....2Lr..::.... ~Q. -=.5 ..~ .... __ B_F_=-.5~-_--_.-.
2.

••••• _
•
_._•• 0 •••••
_
83
Annexe 4 : rédaction de l'élève "Bel" pour montrer que f est le centre du cercle
circonscrit au triangle (ABD)
"* .:l)icY'Onhe.r- ~02. F ed- ~ œrk ~
~ c.Ùt.~~r è.u.. -ill~\a ~~?
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\. ~ cB(\ ~_1-_d" Cll1.. .ix.; Cl.f\~\ra. fit ~ () _
.J~ du. œ;l;QU. ~
'a~ \.u..~ d,.\\..\::Q. ~ /1 Q... j ~ d~u. '\"\
::L.~ ~ (h-~ fbA- \e «\i\i~ c\ \.\\.'YI cm.~
cê'k: Qto~ Q.ijg, (.~ ~"3Q.. Ltt~· ~n ~
tY\dl

84
Annexe 6: Les rédactions retenues pour la phase 5
;46 =- 11 e-.,
:~o-e :l'E-t-=-:~=-~-_-I
••• o. •••• •
~. Co.2~ da. bB ~ k l\\I ck p~~ G> k. ~
cLz.. e: ~po~ Q.b~~. 0.. lA. ~'htN!.. ~ ~
c1.J.c:, ~ Q.M.~ c.ôbSe. .d,.' u.m.~ .....c~)
~.It':: A~lo ... Mf
.. B,nJ. = ~1 t 62­
(­
\:'---'OD~= 6:"4.."--3(,.
. l?»nz.= 100 .BD= ViëO·· BI>=- iO
tk~
1· ....A\l(.C:k..th.(~.':1i~~"lD- ~k ~ p11'o- .~
.~. Uc> "'- UN\ ~~k t.tIIc.~\a.. l4. """;'\L.-. c.\.C. l'~po
t.hil'\.~ Cl5l \cl. ~ dM. .~ ~~.
~c. C3..U.t..c.. CA. -\:l\. "'"'. \ ~ .: ..~.~
:..~~~-' ".-o~::ëDl=j(':.:.=:-t-Af.:;'~=: =~~::-:---':'::.-=": - ~::':.
~A~t::: 'r)F- ~:.Bt~S~'·- . :-.. ---._ ..::" :.. . : :' ::'.:'_ ':.
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.. . .... ... ...-. -- -_ ... --- ..
~ :::.~=~.~====-~::. ~·"':.~K ~_..'~. ..-...... ":. .:'.~':. _.. . .
:~>~n~./.l~~b~~~~; =L~~=.~P:i~8~{:. .. ::..:~.
;~.~~~OjRA -.~.I!:.~ ~:~~. ~ : :~.~: ..:.. :

85
~q.u.Q. FQ::t QG ~ cl..u- cercQe.
~.au.~ ReD.
..JJF~ d2lOOJ -~:
I:h~~:
S~ ,J.UY\Q ciJ:SJe gd- Il ci: .J céé d '.J ~Qa
.or~ ~ \)a. ~.d J.J O,! t%Q ciJé. cCi::Ju:;J
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(Ae,J II[EF] L·o-QsxJ ~~~ÔQ.. ~J
écmL~cR.fol 5 .
SL: FAA.~c.2~ }
@
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clù.. Q2VcQ2 ~t:
1

86
ACTIVITÉ... AUTOUR D'UN TRIANGLE,
D'UN QUADRILATÈRE
Philibert CLAPPONI
I.R.E.M. de Grenoble
1. Dans un triangle
Construis une triangle quelconque et trace une médiane.
Établis que la médiane détermine deux aires égales.
c
2. Autour d'un triangle
Soit ABC un triangle.
1°) Construis le point A', symétrique de A par rapport à B ;
le point B', symétrique de B par rapport à C ;
le point C', symétrique de C par rapport à A.
2°) Compare les aires des triangles ABC et A'B'C'.
C'
....
....
A'
«petit x» nO 40, pp. 86 à 87, 1995-1996

87
3. Autour d'un parallélogramme
Soit ABCD un parallélogramme.
1°) Construis le point A' symétrique de A par rapport à B ;
le point B' symétrique de B par rapport à C ;
le point C' symétrique de C par rapport à D.
le point D' symétrique de D par rapport à A
L~----
A'
B'
2°) Montre que l'aire de A'B 'C'D' est égale à cinq
fois l'aire du parallélogramme ABCD.
4. Autour d'un quadrilatère
Soit ABCD un quadrilatère quelconque.
1°) Construis le point A' symétrique de A par rapport à B ;
le point B' symétrique de B par rapport à C ;
le point C' symétrique de C par rapport à D.
le point D' symétrique de D par rapport à A
k::-=-=----­
B'
A'
2°) Compare les aires des quadrilatères ABCD et A'B 'C'D'.

88
LISTE DES AUTEURS AYANT PARTICIPÉ À CE NUMÉRO
Annie Berté
LR.E.M. de Bordeaux
Université Bordeaux 1 - LF.E.
40, rue Lamartine
33400 Talence
Alain Bronner
I.R.E.M. de Montpellier
Place E. Bataillon
34095 Montpellier Cedex
Philippe Clarou
LU.F.M de Grenoble
31 avenue Marcellin Berthelot
38100 Grenoble
Jean-Pierre Kahane
Département de mathématique
Université Paris Il - Orsay
Sylvie Pellequer
I.R.E.M. de Montpellier
Place E. Bataillon
34095 Montpellier Cedex
LOUIS-JEAN
avenue d'Embrun, 05003 GAP cedex
Tel.: 9253.17.00
Dépôt légal: 20 - Janvier 1996
Imprimé en France