Séance n 4 Eléments finis en dimension 1 et 2 Corrigé - Inria

More documents

Recommendations

Info

TD MA201Calcul Scientifiqueλ 1 (S 2 ) = 0 donne γ = 0 et λ 1 (S 3 ) = 0 donne α(x 3 − x 2 ) + β(y 3 − y 2 ) = 0. Donc λ 1 est dela forme :λ 1 (x, y) = C [(y 2 − y 3 )(x − x 2 ) + (x 3 − x 2 )(y − y 2 )]La constante C est déterminée de manière unique par l’équation λ 1 (S 1 ) = 1 :λ 1 (x, y) = (y 2 − y 3 )(x − x 2 ) + (x 3 − x 2 )(y − y 2 )(y 2 − y 3 )(x 1 − x 2 ) + (x 3 − x 2 )(y 1 − y 2 )Le dénominateur est proportionnel à l’aire du triangle, qui est non nulle car les points nesont pas alignés. De la même manière, on trouve une expression unique pour λ 2 et λ 3 . Onvérifie que le triplet vérifie bien les propriétés demandées, ce qui prouve l’existence.(λ 1 , λ 2 , λ 3 ) ∈ (P 1 ) 3 , c’est aussi une famille libre. Comme dim P 1 = 3, (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) est unebase de P 1 .2.2 - soit v h ∈ V h montrons que v h ∈ H 1 (Ω). Par définition de V h on a v h | Tl ∈ P 1 ∀ l =1, L, ceci implique que v h | Tl ∈ H 1 (T l ). v h est supposé continue sur ¯Ω. Par conséquent v hest dans H 1 (Ω) (cf TD2).2.3 - Par définition, sur chaque triangle T l la fonction W I est une fonction P 1 prenenanttrois valeurs données aux sommets du triangle T l . Or une fonction P 1 est entiérementdéterminée par les valeurs qu’elle prend en trois points alignés. Comme par hypothèse surle maillage les triangles T l sont d’intérieur non vide on en déduit que W I est définie d’unemanière unique. on notera également que W I est continue sur ¯Ω car la restriction de W Isur une arête définit une fonction affine le long de l’arête prenenat deux valeurs donnéeset toute fonction affine d’une variable est entièrement déterminée par les valeurs qu’elleprend en deux points distincts.1M IFig. 1 – Fonction de base W I6
TD MA201Calcul Scientifique2.4 - La famille (W I ) 1≤I≤N est libre car∑λ I W I = 0 ⇒ ∑ λ I W I (M J ) = 0 ⇒ λ J = 0 ∀J = 1, N.II(W I ) 1≤I≤N est génératrice car :∀ v h ∈ V h , v h (M) = ∑ Iv h (M I ) W I (M)En effet, en posant u h = v h − ∑ I v h(M I ) W I , on a :d’où u h = 0.u h (M J ) = 0 ∀ 1 ≤ J ≤ N.Exercice 3. Eléments finis P 2 en dimension 13.1 - On note x 1 i = 1/2(x i+1 + x i ). On pose w j⎧(x − x 1 j−1 )(x j−1 − x)(x ⎪⎨ j − x 1 j−1 )(x si x ∈ [x j−1 , x j ],j−1 − x j )w j (x) = (x − x 1 j )(x j+1 − x)(x j − x 1 j⎪⎩)(x si x ∈ [x j , x j+1 ],j+1 − x j )0 sinonet w 1 jw 1 j (x) = ⎧⎪⎨⎪ ⎩(x − x j )(x j+1 − x)(x 1 j − x j)(x j+1 − x 1 j ) si x ∈ [x j , x j+1 ],0 sinonOn vérifie que w j , w 1 j ıP 2 et satisfont w j (x i ) = δ ij , w j (x 1 i ) = 0, w 1 j (x 1 i ) = δ ij et w 1 j(x i ) = 0.3.2 - w 1 j ∈ C1 (]a, b[), supp(w 1 j ) = [x j, x j + 1] et w j ∈ C 0 (]a, b[), supp(w 1 j ) = [x j−1, x j + 1].7
Page 2: TD MA201Calcul ScientifiqueEn utili
Page 8: TD MA201Calcul Scientifiquew jw 1 j

Séance n 4 Eléments finis en dimension 1 et 2 Corrigé - Inria

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?