Enseignement Spécialisé d'Optimisation. Examen final. Durée 2h ...

Enseignement Spécialisé d’Optimisation.Examen final. Durée 2h. Tous documents autorisés.École Nationale Supérieure des Mines de ParisLes exercices sont indépendants. 30 mai 2008IMinimisation sous contraintesEn utilisant les conditions de Karush-Kuhn-Tucker, caractériser le minimum desous les contraintesJ(y 1 ,y 2 ) = (y 1 − a) 2 + (y 2 − b) 2−y 1 + y 2 ≤ 0y 1 ≤ 1y 2 ≥ 0Un raisonnement géométrique clair sera accepté. Traiter tous les cas possibles pour a et b.IICalcul des variationsOn considère le problème de minimisation de la fonctionnelleJ(x) =∫ 10(ẍ(t)) 2 dtoù x est une fonction deux fois dérivable définie sur [0, 1] telle queIII1. Former l’équation d’Euler-Poisson correspondante.2. Calculer x ∗ extrémale du problème.x(0) = ẋ(0) = x(1) = 0, ẋ(1) = 13. On veut montrer que x ∗ fournit effectivement un minimum de la fonctionnelle. ConsidérerJ(x ∗ + h) =∫ 10(ẍ ∗ (t) + ḧ(t))2 dtoù h est une variation admissible. En procédant à une double intégration par partie, montrer queConclure.Inégalité de KantorovichJ(x ∗ + h) ≥ J(x ∗ )On cherche à montrer le résultat suivant. Soit Q une matrice symétrique définie positive de taille n × n. Quel quesoit x, on a(x T x) 2q(x) =(x T Qx)(x T Q −1 x) ≥ 4aA(a + A) 2où a et A sont, respectivement, la plus petite et la plus grande des valeurs propres de Q.

9 124146162 9555335 5 3A A' B4 3 1 2 4 3 3 43 3 1 3223753831Sens de déplacementFigure 1: Chemins entre A et B.