Module G12 : Quelques exercices supplémentaires. - ENS de ...

UFR Mathématiques Université Rennes 1Master 1 re année Année 2006/2007Module G12 : Quelques exercices supplémentaires.Exercice 1. Corriger les erreurs des exercices.Exercice 2. Soient X une variable aléatoire réelle et ϕ sa fonction caractéristique. Montrer queX est intégrable si et seulement si t ↦−→ 1−Re(ϕ(t)) est intégrable sur (0, +∞).t 2Exercice 3. Soit X une variable aléatoire réelle ; on note F sa fonction de répartition.1. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de F est au plus dénombrable.2. Calculer E[F (X)].3. Soit Y une variable aléatoire indépendante de X et de même loi. Exprimer P({X − Y = 0}) enfonction de F .Exercice 4. Soient X 1 , . . . , X n des v.a.r. i.i.d. de fonction de répartition F continue.1. Pour i ≠ j, montrer que P({X i = X j }) = 0.On note X (1) , . . . , X (n) les variables X 1 , . . . , X n rangées par ordre croissant. Par exempleX (1) = min 1≤k≤n X k et X (n) = max 1≤k≤n X k .2. Justifier brièvement le fait que X (1) < X (2) < . . . < X (n) presque sûrement.3. On note, pour t ∈ R,N n (t) =n∑1 ]−∞,t] (X k ).k=1(a) Déterminer, pour tout réel t, la loi de N n (t).(b) Exprimer l’événement {X (k) ≤ t} en fonction de N n (t).(c) En déduire que la fonction de répartition de X (k) estF k (t) =n!(k − 1)!(n − k)!∫ F (t)0x k−1 (1 − x) n−k dx.(d) En déduire que lorsque X 1 a pour densité p, X (k) a pour densitép k (x) =n!(k − 1)!(n − k)! F (x)k−1 (1 − F (x)) n−k p(x).4. On définit, pour k = 1, . . . , net on pose R = (R k , . . . , R n ).R k =n∑i=11 Xk ≥X i1

(a) Comparer les événements {R k = p} et {X (p) = X k }. Que vaut X (Rk ) ?(b) Montrer que R est une permutation de {1, . . . , n}.(c) Montrer que R et ˜X = ( X (1) , . . . , X (n))sont indépendantes avec R de loi uniforme surl’ensemble des permutations de {1, . . . , n} et ˜X de densité n!1 S par rapport à la mesure µ ⊗n où µdésigne la loi de X 1 et S = {(x 1 , . . . , x n ) ∈ R n : x 1 < x 2 < . . . < x n }.Exercice 5. Soit (X n ) n≥1 une suite de v.a. i.i.d. dans R d . On note S 0 = 0 et S n = X 1 + . . . + X n .On désigne par N le nombre de fois où la suite (S n ) n≥0 passe par 0 c’est à direN = ∑ n≥01 {0} (S n ) = ∑ n≥01 Sn=0.Le but de l’exercice est de montrer l’alternative suivante :– si E[N] = ∑ n≥0 P({S n = 0}) < +∞ alors N < +∞ p.s. soit P(lim sup{S n = 0}) = 0 ;– si E[N] = ∑ n≥0 P({S n = 0}) = +∞ alors N = +∞ p.s. soit P(lim sup{S n = 0}) = 1.1. Comparer les événements {N = +∞} et lim sup{S n = 0}.2. On suppose que ∑ n≥0 P({S n = 0}) < +∞. Montrer que, presque sûrement, N < +∞.3. On suppose à présent que ∑ n≥0 P({S n = 0}) = +∞ et on veut montrer que N = +∞ presquesûrement i.e. P(lim sup{S n = 0}) = 1.(a) L’événement lim sup{S n = 0} est-il asymptotique de la suite (X n ) n≥1 ?(b) Montrer quelim inf{S n ≠ 0} = ⋃ n≥1({S n−1 = 0} ⋂ ⋂ ){S k ≠ 0} .k≥n(c) Soit n ≥ 1. Montrer que, pour tout p ≥ 1,P({S n−1 = 0} ⋂ ⋂ p){S k ≠ 0} = P ({S n−1 = 0}) Pk=net en déduire que(P {S n−1 = 0} ⋂ ⋂ ){S k ≠ 0}k=n(d) Montrer que(⋂ p−n+1i=1){S i ≠ 0}(⋂)= P ({S n−1 = 0}) P {S k ≠ 0} .k≥1(⋂)P(lim inf{S n ≠ 0}) = P {S ∑k ≠ 0} P({S n−1 = 0})k≥1( ⋂ )et en déduire que Pk≥1 {S k ≠ 0} = 0 puis que P(lim sup{S n = 0}) = 1.4. Que se passe-t-il si X 1 est réelle de loi P(X 1 = ±1) = 1/2 ?Exercice 6. Soient (X n ) n≥1 une suite de variables aléatoires positives indépendantes. On note,pour tout n ≥ 1,n≥1S n = X 1 + . . . + X n , Y n = min(X n , 1), T n = Y 1 + . . . + Y n .2

[ ∑ ]1. On suppose que En≥1 Y n < +∞.(a) Montrer que la série ∑ n≥1 Y n converge presque sûrement.(b) Établir que la suite (X n ) n≥1 converge presque sûrement vers 0.(c) En déduire que la série ∑ n≥1 X n converge presque sûrement.2. On suppose à présent que ∑ n≥1 X n est presque sûrement finie.(a) Montrer que ∑ n≥1 Y n est presque sûrement finie.On rappelle que, si a = 1 − e −1 ,∀x ∈ [0, 1],1 − x ≤ e −x ≤ 1 − ax.(b) Montrer que, pour tout n ≥ 1,puis queE [ e −Tn] n∏≤ E [1 − aY n ] ,k=1E [ e −Tn] ≤ e −aE[Tn](c) En déduire quee −a P n≥1 E[Yn] > 0,puis que ∑ n≥1 E[Y n] < +∞.3. Quelle est la conclusion des deux questions précédentes ?4. A-t-on convergence presque sûre de la série ∑ n≥1 X n dans les deux cas suivants ?(a) Pour tout n ≥ 1, X n suit une loi géométrique de paramètre p n ∈]0, 1[.(b) Pour tout n ≥ 1, X n suit la loi de Cauchy de paramètre n 2 .Exercice 7. 1. Soient m ∈ N ∗ et (X k ) k≥1 une suite variables aléatoires réelles indépendantes etidentiquement distribuées suivant la loi uniforme sur {1, . . . , m} :On note, pour tout n ≥ 1,∀k = 1, . . . , m, P(X 1 = k) = 1 m .B n = {X 1 , . . . , X n }, C n = card(B n ), F n = σ(X k , 1 ≤ k ≤ n),et, pour tout k = 1, . . . , m, τ k = inf{n ∈ N ∗ : C n = k}.(a) Vérifier que τ 1 = 1 puis que, pour tous k = 1, . . . , m, n ∈ N ∗ ,⎧⎪⎨ ∅ si n < k,{τ k = n} = {C n = k} si n = k,⎪⎩{C 1 < k} ∩ . . . ∩ {C n−1 < k} ∩ {C n = k} sinon.En déduire que {τ k = n} ∈ F n .(b) Vérifier que, pour tous k ∈ {1, . . . , m}, n ∈ N ∗ ,{τ k = n} = ⋃B∈P k{B n = B} ∩ {τ k = n}3

où P k désigne l’ensemble des parties à k éléments de {1, . . . , m}.(c) Soient k ∈ {2, . . . , m}, B ∈ P k−1 , n ∈ N ∗ , i ∈ N ∗ . Montrer que{τ k − τ k−1 = n, τ k−1 = i} ∩ {B i = B}= {X i+n ∉ B} ∩ {X i+n−1 ∈ B} ∩ . . . ∩ {X i+1 ∈ B} ∩ {τ k−1 = i} ∩ {B i = B}.(d) En déduire que, pour tout A ∈ F i ,(P ({τ k − τ k−1 = n, τ k−1 = i} ∩ A) = 1 − k − 1 ) ( ) k − 1 n−1P({τ k−1 = i} ∩ A).m m(e) Soient k ∈ {2, . . . , m} et (n 2 , . . . , n k ) ∈ (N ∗ ) k−1 . Montrer queP(τ k − τ k−1 = n k , . . . , τ 2 − τ 1 = n 2 )= ( 1 − k−1 ) ( k−1) nk −1m m P(τk−1 − τ k−2 = n k−1 , . . . , τ 2 − τ 1 = n 2 ).En déduire que les variables aléatoires (τ k − τ k−1 ) 2≤k≤m sont indépendantes et que, pour toutk ∈ {2, . . . , m}, τ k − τ k−1 suit la loi géométrique de paramètre 1 − (k − 1)/m.(f) En écrivant,calculer la moyenne et la variance de τ m .τ m = 1 +m∑τ k − τ k−1 ,k=22. Soit (U n ) n≥1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuéessuivant la loi uniforme sur [0, 1]. On note pour tout m ∈ N ∗ , n ∈ N ∗ ,{{} }X n (m) = [mU n ], T m = inf n ≥ 1 : Card X (m)1 , . . . , X n(m) = m .((a) Soit m ∈ N ∗ . Montrer que les variables aléatoiressont indépendantes et identiquementdistribuées suivant la loi uniforme sur {1, . . . , m}.En déduire la moyenne et la variance de T m .(b) Montrer queen probabilité.limm→+∞T mE[T m ] = 1,limm→+∞X (m)n)n≥1T mm ln m = 1.3. À méditer avant d’avoir des enfants. Bébert, 10 ans, collectionne les images de Harry Potterqu’il trouve dans les paquets de céréales de marque TRUC. Il y a en tout m images distinctes àcollectionner. Si m est assez grand, combien de paquets de céréales vont devoir acheter ses parentspour que Bébert obtienne toutes les images ?Exercice 8. On se place sur un espace probabilisé (Ω, F, P) et on considère une famille (X t ) t∈Tde variables aléatoires réelles, T étant un ensemble non vide.La famille (X t ) t∈T est équi-intégrable silim sup t∈T E [ ]|X t | 1 |Xt|>a = 0. (EI)a→+∞1. (a) Montrer qu’une variable intégrable est équi-intégrable.4

(b) On suppose que, pour tout t ∈ T , |X t | ≤ |Y t | presque sûrement. Montrer que la famille(X t ) t∈T est équi-intégrable si (Y t ) t∈T l’est. En déduire qu’un nombre fini de variables aléatoiresintégrables est équi-intégrable.2. (a) Montrer qu’une famille équi-intégrable est bornée dans L 1 . La réciproque est-elle vraie ?(b) Établir l’inégalité (x + y) 1 x+y>a ≤ 2x 1 2x>a + 2y 1 2y>a pour x et y positifs. En déduire que(X t + Y t ) t∈T est équi-intégrable si les deux familles (X t ) t∈T et (Y t ) t∈T le sont.(c) Soit p ∈]1, +∞[ ; on note q l’exposant conjugué de p : p −1 + q −1 = 1. On suppose que(|X t | p ) t∈Tet (|Y t | q ) t∈Tsont équi-intégrables. Montrer que la famille (X t Y t ) t∈T est équi-intégrable.3. Montrer que la famille (X t ) t∈T est équi-intégrable dans les deux cas suivants :(i) il existe Y ∈ L 1 telle que, pour tout t ∈ T , |X t | ≤ Y presque sûrement ;(ii) (X t ) t∈T est bornée dans L p avec p > 1.4. On se place sur ]0, 1[ muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue. On considère,pour n ≥ 1, X n (ω) =nln n 1 ]0, 1 [(ω). nMontrer que (X n ) N converge presque sûrement vers 0, vérifie (EI) sans satisfaire aucune desconditions de la question précédente.5. (a) Montrer que (X t ) t∈T est équi-intégrable si et seulement silim sup t∈T E [ (|X t | − a) +] = 0.a→+∞(b) Soit (X n ) n∈N ∗ une suite équi-intégrable. Montrer que la suite ( n −1 S n)n∈N ∗ est équi-intégrable.(c) Soient (X n ) n∈N ∗ et X des variables intégrables. Montrer que (X n ) n≥1 converge vers X dansL 1 si et seulement si (X n ) n≥1 converge vers X en probabilité et (X n ) n≥1 est équi-intégrable.6. (a) Soit X une variable aléatoire intégrable. Montrer que∀ε > 0, ∃η > 0, P(A) ≤ η =⇒ E[|X| 1 A ] ≤ ε.On pourra commencer par le cas borné et utiliser ensuite le théorème de convergence dominée.(b) Montrer que (X t ) t∈T est équi-intégrable si et seulement si (X t ) t∈T est bornée dans L 1 et∀ε > 0, ∃η > 0, P(A) ≤ η =⇒ ∀t ∈ T, E[|X t | 1 A ] ≤ ε.7. (a) Lemme de Scheffé : soit (X n ) n∈N et X des variables positives et intégrables telles que(X n ) n∈N converge vers X en probabilité. Montrer que (X n ) n∈N converge vers X dans L 1 si etseulement si lim n→+∞ E[X n ] = E[X].(b) Soit (X n ) n∈N ⊂ L p où p ∈ [1, +∞[ convergeant vers X en probabilité. Montrer que lespropriétés suivantes sont équivalentes :(i) (|X n | p ) n∈Nest équi-intégrable ;(ii) (X n ) n∈N converge vers X dans L p ;(iii) X ∈ L p et lim n→+∞ E [|X n | p ] = E [|X| p ].8. On suppose que (X n ) n∈N converge vers X en loi.(a) Montrer que E[|X|] ≤ lim inf E[|X n |].(b) Montrer que si (X n ) n∈N est équi-intégrable alors X ∈ L 1 et E[X] = lim n→+∞ E[X n ].9. Soit (X n ) n∈N une suite équi-intégrable telle que E[X n ] = m pour tout n ∈ N. On suppose les(X n ) n∈N indépendantes.Montrer que n −1 S n converge vers m en probabilité et dans L 1 .5