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PlanEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur le problème d’affectationAlgorithme d’enchèresGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde KantorovichProblème de transport optimal discretAnnexe : Dualité de Kantorovich


Une condition suffisante d’optimalitéRelâche de la condition précédente :π i,σ(i)≥ max π i,j − ε ∀i (CS)j« écart entre profit réalisé avec objet σ(i) et profit max ≤ ε »PropositionSi 0 ≤ ε < 1 N, alors : (CS) =⇒ σ est optimalDémonstrationEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde KantorovichV ∗ ≤ D(p) = ∑ i(max π i,j + p σ(i) )j≤∑ i(ε + π i,σ(i) + p σ(i)} {{ }v i,σ(i)) = V (σ) + Nε=⇒ V ∗ − 1 < V ∗ − Nε ≤ V (σ) ≤ V ∗


Description de l’algorithmeEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud Moncet◮ Simulation d’une « vente aux enchères »◮ Enchères simultanées pour tous les objets◮ À la fin, chaque personne repart avec un objetDéfinitionAffectation : bijection σ : I ⊂ {personnes} → J ⊂ {objets}Affectation complète : I = {personnes} et J = {objets}Généralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovich◮ Initialisation : σ : ∅ → ∅, p ≡ 0◮ Idée : modifier (σ, p) par étapes◮ À chaque étape : (CS) vraie ∀i ∈ I◮ Fin quand σ affectation complète


Description d’une étapeOn part de (σ, p) qui vérifie (CS)◮ Chaque personne i non affectée propose une enchère e ipour son objet favori j i (un objet qui lui offre le meilleurprofit) :e i = π i,ji − max π i,j + εj≠j i} {{ }≥0∀ objet j ayant reçu une enchère, le commissaire priseur :◮ choisit d’attribuer l’objet à une personne i qui a proposél’enchère max e i → nouvelle affectation σ ′◮ éventuellement retire l’objet à un ancien enchérisseur◮ augmente le prix de l’objet de e i :nouveau prix p ′ j = p j + e i (≥ p j )◮ nouveaux profits π ′ i,j = v i,j − p ′ j(≤ π i,j )Enchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovich


ExempleOn choisit ε = 0, 31 123personnes213 0objetsσ p 1 p 2 p 31. 1 ↦→ 1 0, 3 0 02. 1 ↦→ 1 ; 2 ↦→ 2 0, 3 0, 6 03. 2 ↦→ 2 ; 3 ↦→ 1 0, 9 0, 6 04. 1 ↦→ 2 ; 3 ↦→ 1 0, 9 1, 2 05. 1 ↦→ 2 ; 2 ↦→ 1 1, 5 1, 2 06. 1 ↦→ 2 ; 2 ↦→ 1 ; 3 ↦→ 3 1, 5 1, 2 0, 52Enchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde KantorovichOn obtient V ∗ = 2 + 2 + 1 = 5


Conservation de (CS)Soit i une personne affectée par σ ′πi,σ ′ ′ (i) ≥ max π i,j ′ − ε ?j1. Si la personne i était déjà affectée :OK car rien n’a changé2. Sinon : σ ′ (i) = objet favori de la personne iEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovichπi,σ ′ ′ (i)= π i,σ ′ (i) − e i= max j≠σ ′ i,j − ε(i)≥maxj≠σ ′ (i) π′ i,j − ε


Estimation du nombre d’étapes◮ B := max v i,j◮ Avant l’étape finale, ∃ un objet j 0 jamais attribué=⇒ p j0 = 0 =⇒ π i,j0 ≥ 0 ∀i◮ Dès que le prix d’un objet j a dépassé B, π i,j < 0 ∀i,donc cet objet ne reçoit plus d’enchères◮ À chaque enchère reçue par un objet, son prix augmented’au moins ε◮ Chaque objet ≠ j 0 reçoit donc au plus B ε + 1 enchères◮ Pire des cas = une affectation par étape :( ) Bnombre d’étapes ≤ (N − 1)ε + 1 + 1 ≤ NB ε ≃ N2 BEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovich◮ Complexité en O(N 3 B)◮ On peut faire mieux, avec du ε-scaling : O(N 3 log(NB))


PlanEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur le problème d’affectationAlgorithme d’enchèresGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde KantorovichProblème de transport optimal discretAnnexe : Dualité de Kantorovich


Version discrète du problème de transportEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud Moncetk minesm hangarsGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchères◮ Contenances µ i , ν j (entiers ≥ 0) :◮ Mines : µ 1 = 2, µ 2 = 1◮ Hangars : ν 1 = 2, ν 2 = 1◮ Plans de transfert :T ={τ ∈ M k,m (R + ) /◮ Réalisabilité : « stock = capacité »∑µ i = ∑ ν j =: Nij∑∑ j τ i,j = µ i ∀ii τ i,j = ν j ∀j}Problème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovich


Coût du transport◮ c i,j : coût de transport de i vers j (entier ≥ 0)◮ Coût total du transport : C(τ) = ∑ i,j c i,j τ i,j◮ Problème : trouver un plan de transfert τ ∗ qui minimisele coût total :ExempleC(τ ∗ ) = minτ∈T C(τ) =: C ∗Enchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovichτ ∗ =( ) 2 00 1c =( )1 31 2C ∗ = 4


Transformation en un problème de transportuniformeEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud Moncet◮ mine i ← µ i mines x i,1 , · · · , x i,µi , de contenance 1◮ hangar j ← ν j hangars y j,1 , · · · , y j,νj , de contenance 1◮ coût(x i,∗ → y j,∗ ) = c i,jExempleGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovichc =( 1 31 2)c =⎛⎝1 1 31 1 31 1 2⎞⎠


Coïncidence des deux problèmesEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetPropositionLes valeurs min des 2 problèmes coïncidentDémonstrationComment transformer un plan de transfert ?Généralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde KantorovichCes deux plans de transfert ont le même coût=⇒ mêmes coûts minimaux


Structure du problème de transport uniforme◮ N sources et N buts, de mesure 1◮ Plans de transfert = matrices bistochastiques{∑T = B N = τ ∈ M N (R + ) / ∑ j τ i,j = 1 ∀ii τ i,j = 1 ∀jThéorème (Birkhoff-von Neumann)L’ensemble B N est un polyèdre convexe dont les pointsextrémaux sont les matrices de permutationConséquence}Enchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovich◮ C atteint sa valeur min sur une matrice de permutation :∃σ ∈ S N tel que C ∗ = ∑ i c i,σ(i) =: C(σ)◮ Autrement dit : équivalent à un problème déterministeC ∗ = minτ∈B NC(τ) = minσ∈S NC(σ)


Équivalence avec un problème d’affectation◮ v i,j := B − c i,j (où B = max i,j c i,j )◮min C(σ)σ∈S}N{{ }C ∗= NB − maxσ∈S NV (σ)} {{ }V ∗◮ Une permutation est simultanément optimale pour lesdeux problèmes :V (σ) = V ∗ ⇐⇒ C(σ) = C ∗Enchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovich◮ On s’est donc ramené à un problème d’affectationExemple (B=3)⎛ ⎞1 1 3⎛c = ⎝ 1 1 3 ⎠ v = ⎝1 1 2C ∗ = 4 V ∗ = 52 2 02 2 02 2 1⎞⎠


Preuve du théorème de Birkhoff-von NeumannL’ensemble B N est un polyèdre convexe dont les pointsextrémaux sont les matrices de permutation◮ Les matrices de permutation sont des points extrémaux◮ Soit τ ∈ B N , τ ≠ P σ◮ On peut trouver une suite de bi-indices (i 0 , j 0 ), (i 0 , i 1 ),(i 1 , j 1 ), (i 1 , j 2 ), · · · , (i r−1 , j r = j 0 ) tous distincts, telle que0 < τ ik ,j k< 1 et 0 < τ ik ,j k+1< 1Enchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovich⎧⎨ τ i,j + ε si (i, j) = (i k , j k )◮ Soit τi,j ′ = τ⎩ i,j − ε si (i, j) = (i k , j k+1 )τ i,j sinonet soit τ ′′ définie de manière inverse (ε ↔ −ε)◮ ε


Algorithme d’enchères appliqué au problème detransport optimalEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud Moncet◮ Problème de transport structure particulière duproblème d’affectation : objets et personnes similaires◮ Raffinement de l’algorithme d’enchères qui tient comptedes similitudes◮ terminaison plus rapide◮ ε


PlanEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur le problème d’affectationAlgorithme d’enchèresGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde KantorovichProblème de transport optimal discretAnnexe : Dualité de Kantorovich


Problème dualEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud Moncetk minesm hangarsGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscret◮ φ i : prix pour charger une unité de la mine i◮ ψ j : prix pour décharger une unité dans le hangar j◮ Systèmes de prix admissibles :Annexe : Dualitéde KantorovichP := {(φ, ψ) ∈ R k × R m / φ i + ψ j ≤ c i,j }◮ Prix total : P(φ, ψ) = ∑ i φ iµ i + ∑ j ψ jν j◮ Problème dual : trouver (φ ∗ , ψ ∗ ) ∈ P tel queP(φ ∗ , ψ ∗ ) =max P(φ, ψ) =: P∗(φ,ψ)∈P


Théorème de dualitéRemarqueP(φ, ψ) ≤ C(τ) ∀(φ, ψ) ∈ P, ∀τ ∈ T :Enchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresP(φ, ψ) = ∑ φ i µ i + ∑ ψ j ν j ≤ ∑iji,j} {{ }P} {{ }i,j φ Pi τ i,ji,j ψ j τ i,jc i,j τ i,j = C(τ)Problème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde KantorovichThéorème (Kantorovich)P ∗ =max P(φ, ψ) = min C(τ) = C ∗(φ,ψ)∈P τ∈T


Démonstration de la dualitéEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud Moncet◮ Rappel : P(φ, ψ) ≤ C(τ) ∀(φ, ψ) ∈ P, ∀τ ∈ T◮ P ∗ = max (φ,ψ)∈P P(φ, ψ) existe :◮◮◮◮P forme linéaire majorée sur PP ≠ ∅P = polyèdre cvx + cône polyédrique cvx (admis)} {{ }P≤0=⇒ P ∗ = max de P sur le polyèdre convexeGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovich◮ Il suffit de montrer : ∃ τ ∈ T , C(τ) = P ∗{ P=⇒∗ = C(τ) ≥ C ∗P ∗ ≤ C ∗◮ Par l’absurde : ∄ τ ∈ T , C(τ) = P ∗◮ k = m = 2


Démonstration de la dualité (suite)∄ (τ 1,1 , τ 1,2 , τ 2,1 , τ 2,2 ) ≥ 0 tel que :⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞11000011τ 1,1 ⎜ 1⎟ + τ 1,2 ⎜ 0⎟ + τ 2,1 ⎜ 1⎟ + τ 2,2 ⎜ 0⎟⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠c 1,1 c 1,2 c 2,1 c 2,2} {{ } } {{ } } {{ } } {{ }v 1,1v 1,2v 2,1v 2,2=⎛ ⎞µ 1µ 2⎜ν 1⎟⎝ν 2⎠P ∗} {{ }uEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovichux ⊥◮ u /∈ K cône convexe engendré par les v i,j◮ séparation des convexes =⇒ ∃ x ∈ R 5 ,x · u > 0 et x · v i,j ≤ 0K


Démonstration de la dualité (suite et fin)◮ x =: (φ 1 , φ 2 , ψ 1 , ψ 2 , −γ)◮ γ > 0 :τ ∈ T :{φi + ψ j ≤ γc i,j ∀i, j (1) i,jP(φ, ψ) > γP ∗ (2)∑τ i,j (1) i,ji,j→ ∑ φ i τ i,j + ∑ ψ j τ i,j ≤ γC(τ)i,ji,j} {{ } } {{ }Pi φ Pi µ ij ψ j ν jEnchères,Bertsekas etKantorovichArnaud MoncetGénéralités sur leproblèmed’affectationAlgorithmed’enchèresProblème detransport optimaldiscretAnnexe : Dualitéde Kantorovich=⇒ γP ∗ < P(φ, ψ) ≤ γC(τ) =⇒ γ (C(τ) − P ∗ ) > 0} {{ }≥0◮ (φ ′ , ψ ′ ) := 1 γ(φ, ψ)◮ (1) i,j =⇒ (φ ′ , ψ ′ ) prix adm.(2) =⇒ P(φ ′ , ψ ′ ) > P ∗ : contradiction

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