Grandeurs et mesures au cycle 3

Grandeurs et mesures àl’école primaire : le cycle 3

Avertissement• « Grandeurs et mesures » sont desnotions utilisées par les enseignants, quidoivent être parfaitement maîtristrisées afinde pouvoir enseigner avec efficacité, , maisce ne sont en aucun cas des termes àutiliser avec les élèves.

Qu’estest-ce qu’une une grandeur?• Concept difficile à définir• Une grandeur est une caractéristiquephysique, chimique ou biologique qui estmesurée ou repérée.• Des exemples : longueur, aire, volume,capacité, masse, durée, vitesse,accélération, angle, température, intensitéd’un courant, date, altitude…etc…

Deux types de grandeurs• Grandeurs repérablesrables :grandeurs pour lesquelles on peut constaterl’égalité et qu’on peut ordonnerExemples : la température, la date, l’altitudelaltitude…• Grandeurs mesurables :grandeurs qui ont les propriétés s précédentes etqu’en plus on peut additionner et multiplier parun nombreExemples : la longueur, la masse, l’aire, lle volume, la durée

Autre catégorisation des grandeurs• Grandeurs de base : longueur, masse,durée, intensité du courant, luminosité dela lumière, température, quantité dematière• Grandeurs dérivdrivées : aire, volume, angle,vitesse, pression…mettent en jeu aumoins deux grandeurs de base

Quelles grandeurs pour quelsobjets?• Lignes• Surfaces• Solides• Secteurs angulaires• Événement qui s’és’étaledans le temps• Objets divers• Longueur• Aire• Volume – capacité• Angle• Durée• Masse

La perception des grandeurs• Comparaison directe de grandeurs ; perceptive ellenécessite des manipulations, des découpages,dl’utilisation d’une dbalance Roberval, desdécompositions/recompositions,……a la même taille que, dureaussi longtemps…….est plus long, plus haut , pluslourd, plus jeune que…a a une pluspetite taille que…a a une plus petiteétendue que…, , dure moinslongtemps…

La confusion des mots….• Deux mots pour dire tout et…n’importe quoi, « grand »et « petit »:- un appartement plus petit, c’est cune affaire d’airedaire…- une valise plus grande, c’est cune histoire de volume…- un vase plus grand souvent pour parler d’un dvase plushaut…ou plus profond!!!ou un petit chemin dans la forêt lorsqu’il est étroit- que dire d’une dpetite fille, d’une dpetite vieille!!!

Plusieurs mots pour désigner dunemême grandeur• Largeur, épaisseur, profondeur, hauteur,longueur, périmprimètre, rayon, diamètre,distance…tous tous ces mots désignent duneseule grandeur, une longueur….• Aire, superficie

Les unités s SI – a. duréeLes unités s de durée e sont apparues naturellement, defaçon homogène quelles que soient les civilisations, enfonction des observations, des progrès s de la sciences ettout particulièrement rement de la précision des outils de mesure.On part du jour, unité laplus naturelle, maisscientifiquement trèsdifficile à définirrigoureusement, viennentensuite des multiples(semaines, mois, années,etc.) ou des subdivisions(heures, minutes,secondes, etc.).

Les unités s SI – b. longueurLes étalons (platine, marbre).Définition aujourd’hui (1983) :Distance parcourue par lalumière dans le vide en1⁄299792 458 seconde.36, rue de Vaugirard,Paris, VIe

Qu’estest-ce qu’une une mesure ?• L’approche des sciences physiques :confond l’action lde mesurer (mesurage) etle résultat rde cette action (déterminationde nombres)• L’approche des mathématiquesmatiques

En mathématiques matiques : Qu’est ce qu’une une mesure ?- Une mesure est une fonction.Ce quel’on veutmesurerMesure- À tout élément d’une famille, elleassocie la mesure d’une grandeurdonnée, dans une unité donnée.Exemples :- Pour l’ensemble des objets physiqueson peut définir une fonction qui à unobjet donné associe sa masse, dansune unité donnée.- Pour l’ensemble des segments duplan on peut définir une fonction qui àun segment donné associe salongueur, dans une unité donnée.

Une mesure ou des mesures?Pour une grandeur donnée on peut définir plusieursmesures, en lien avec le choix de l’unité.Exemple :- Chaque unité de longueur :- longueur d’une bandelette de papier ;- coudée royale (Égypte) ;- pied (unité impériale britannique) ;- centimètre ;- mètre (unité SI) ;-etc.permet de définir une mesure…

Des liens entre les mesuresPour une grandeur donnée on peut définir plusieursmesures, en lien avec l’unité choisie.Remarques :- la troisième règle de définition d’une mesureimplique bien que l’ordre reste le même : l’objet leplus long, le plus lourd a la plus grande mesurequelle que soit l’unité choisie ;- le lien entre les différentes mesures sera toujours,pour ce qui concerne les élèves, un lien deproportionnalité et pourra donner lieu à defructueux exercices de travail sur ce champ.

Mesurable ou pas ?Maintenant que nous savons ce qu’est une mesure,nous pouvons comprendre que certaines grandeursne sont pas mesurables.Exemple : la température- En degré Celsius, c’est évident puisqu’elle peut êtrenégative ;- En Kelvin c’est plus subtil (K=°C + 273,15), et -273,15°Cest le zéro absolu, la température en Kelvin est donctoujours positive, mais que se passet-t-il lorsque jecherche la température d’un steak à 32°C (305,15K) réuniavec des frites à 58°C (331,15K) ????- On ne « mesure » donc pas la température, on la«relève».- Le thermomètre porte mal son nom…

L’heure, une unité de mesure ?Réponse : Cela dépend…OUI, si on utilise un chronoMÈTRE, on mesure unedurée.NON, si on utilise une montre pour lire, relever(comme la température) l’heure. Comme pour ladate (grandeur repérée), l’année peut être négative.

Mesures, relevés s : des nombres• Ce sont des nombres, un ou plusieurs nombres entiers,un nombre décimal, dun nombre réelrel…d’où un lien trèsétroit entre la construction des nombres et le travail surles grandeurs…• Une phrase, un exemple : « Zoé mesure un mètre mdix »On écrit 1m 10cm ou encore 1,10m, lorsque les nombresdécimaux ont été construits.On n’én’écrit pas 1m,10….Remarque sur le zérozro….un zéro zpas si inutile que cela..

Les symboles officiels• m, g et leurs multiples et sous multiples s’és’écriventen minuscule (kg et non pas Kg).• L et l sont acceptés s pour litre, mais on privilégiera Lqui est le symbole le plus utilisé dans le seconddegré.• °C C pour degré Celsius• min et non mn pour minute• 1,50 m et non pas 1 m 50• 1,99 mètre mcube est plus petit que 2 mètres mcubes• Laisser une espace entre le nombre et l’unitlunité

2. Grandeurs et mesures àl’école primaire

Les grandeurs à l’école maternelle« Découvrir les formes et les grandeursEn manipulant des objets variés, , les enfants repèrent rent d’abord ddes propriétés s simples (petit/grand ; lourd/léger). Progressivement,ils parviennent à distinguer plusieurs critères,res, à comparer et àclasser selon la forme, la taille, la masse, la contenance. »«Dès s la petite section, les enfants utilisent des calendriers, deshorloges, des sabliers pour se repérer rer dans la chronologie etmesurer des duréeses…. Toutes ces acquisitions donnent lieu àl’apprentissage d’un dvocabulaire précisdont l’usage lréitritéré, , enparticulier dans les rituels, doit permettre la fixation. »

Les grandeurs à l’écoleélémentaire (cycle 2)• Au CP- Repérer des événements dela journée e en utilisant lesheures et les demi-heures.- Comparer et classer desobjets selon leur longueur etleur masse.- Utiliser la règle rgraduée e pourtracer des segments, comparerdes longueurs.- Connaître et utiliser l’euro. l- Résoudre des problèmes devie courante.• En CE1- Utiliser un calendrier pourcomparer des durées.- Connaître la relation entreheure et minute, mètre metcentimètre, tre, kilomètre et mètre, mkilogramme et gramme, euroet centime d’euro. d- Mesurer des segments, desdistances.- Résoudre des problèmes delongueur et de masse.

Les grandeurs à l’écoleélémentaire (cycle 3, CE2)- Connaître les unités s de mesure suivantes et les relations quiles lient :. Longueur : le mètre, mle kilomètre, le centimètre, tre, le millimètre ;. Masse : le kilogramme, le gramme ;. Capacité : le litre, le centilitre ;. Monnaie : l’euro let le centime ;. Temps : l’heure, lla minute, la seconde, le mois, l’annlannée.- Utiliser des instruments pour mesurer des longueurs, desmasses, des capacités, puis exprimer cette mesure par un nombreentier ou un encadrement par deux nombres entiers.- Vérifierqu’un un angle est droit en utilisant l’él’équerre ou un gabarit.- Calculer le périmprimètre d’un dpolygone.- Lire l’heure sur une montre à aiguilles ou une horloge.Problèmes- Résoudre des problèmes dont la résolution rimplique lesgrandeurs ci-dessus.

Les grandeurs à l’écoleélémentaire (cycle 3, CM1)- Connaître et utiliser les unités s usuelles de mesure des durées, ainsi queles unités s du système métrique mpour les longueurs, les masses et lescontenances, et leurs relations.- Reporter des longueurs à l’aide du compas.- Formules du périmprimètre du carré et du rectangle.Aires- Mesurer ou estimer l’aire ld’une dsurface grâce à un pavage effectifà l’aide d’une dsurface de référence r rence ou grâce à l’utilisation d’un dréseau quadrillé.- Classer et ranger des surfaces selon leur aire.Angles- Comparer les angles d’une dfigure en utilisant un gabarit.- Estimer et vérifier ven utilisant l’él’équerre, qu’un un angle est droit, aigu ouobtus.Problèmes- Résoudre des problèmes dont la résolution rimpliqueéventuellement des conversions.

Les grandeurs à l’écoleélémentaire (cycle 3, CM2)- Calculer une durée à partir de la donnée e de l’instant linitial et del’instant final.- Formule de la longueur d’un dcercle.- Formule du volume du pavé droit (initiation à l’utilisation d’unitdunitésmétriques de volume).Aires- Calculer l’aire ld’un dcarré, , d’un drectangle, d’un dtriangle en utilisantla formule appropriée.- Connaître et utiliser les unités s d’aire dusuelles (cm2, m2 et km2).Angles- Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit.Problèmes- Résoudre des problèmes dont la résolution rimplique desconversions.- Résoudre des problèmes dont la résolution rimpliquesimultanément ment des unités s différentes de mesure.

Fractions au cycle 3, une approchepar les longueurs et les aires• Fractions (CM1)- Nommer les fractionssimples et décimales denutilisant le vocabulaire :demi, tiers, quart,dixième, centièmeme….- Utiliser ces fractionsdans des cas simples departage ou de codage demesures de grandeurs.• Fractions (CM2)- Encadrer une fractionsimple par deux entiersconsécutifs.cutifs.- Écrire une fraction sousforme de somme d’un dentier et d’une dfractioninférieureà 1.- Ajouter deux fractionsdécimales ou deuxfractions simples demême dénominateur.d

Nombres décimaux dau cycle 3• Construction des nombres décimaux dà partir desfractions décimales d: lien avec le systèmemétrique….les nombres décimaux dservent àmesurer des grandeurs…• La technique de la multiplication de deuxnombres décimaux dtrouve sa justification dans lecalcul de l’aire lde rectangles…• …………Voir plus loin….

3. Les grandeurs et mesures dansle socle• Au palier 1 :- Utiliser les unitésusuelles de mesure ;estimer une mesure- Être précis etsoigneux dans lesmesures et les calculs- Résoudre desproblèmes de longueuret de masse• Au palier 2 :- Utiliser des instruments demesure- Connaître et utiliser lesformules du périmètre et del’aire d’un carré, d’un rectangleet d’un triangle- Utiliser les unités de mesuresusuelles- Résoudre des problèmes dontla résolution implique desconversions

4. Ce que disent les évaluations

Évaluation CM240%

50%Évaluation CM2

60%Évaluation CM2

20%Évaluation CM2

5. Un travail collectif

Un travail collectifLes progressions ne peuvent être pensées es qu’en terme d’éd’école et non declasse ou de cycle.1. Introduction de la grandeur2. Comparer des grandeurs avec une unité de mesure choisie par lemaître ou l’él’élève3. Introduction des unités s officielles4. « Sentir » les mesures, avoir des mesures de référencerrence5. Maîtriser les outils de mesure classiquesLes différentesétapes sont à répartir pour chaque grandeur sur lesdifférentes années de l’él’école, de la maternelle au CM2.Les « objets » de références, r rences, distance pour aller à la piscine, à l’arrêt debus, longueur de la cour, masse d’une dvoiture, masse d’un dcartable ou duhamster de la classe, doivent également être pensés s en terme d’éd’école.

Exemple de progressions pour letravail sur différentes grandeursMS GSCPCE1CE2CM1CM2Longueurmasseaire1 2 3mcm4mcm1 2 3gkg3km3 et 4mm4gkg3 et 4dm, dam, hm3 et 4mg, cg, dg, dag, hg,q, T1 2 3cm²,m²,km²

Poursuivre le travail sur lesgrandeurs abordées au cycle 2• Conformément ment au programme et aux progressions…• En particulier sur les longueurs….- davantage d’unitdunités s : le millimètre…puis les autres- utiliser les instruments de mesure,- calculer le périmprimètre d’un dpolygone, d’un dcarré et d’un drectangle , d’un dcercle,- travailler avec des nombres décimauxdcimaux…sur les ordres degrandeurs,- « sentir » les mesures, avoir des références. r rences.

6. Introduction d’une dnouvellegrandeur : l’airel

L’aireL’aire est une grandeur associée e aux surfaces(planes ou non).Contrairement aux grandeurs introduitesprécédemment il n’existe npas d’instrument dpourmesurer les aires, celles-ci ci se calculent.Elle apparaît t dès d s l’antiquitlantiquité (mesures agraires).

L’aireAttention ! La signification du mot « surface »en cours de mathématiques matiques est différente dusens dans la vie courante ou les mots « aire »et « surface » sont employés s l’un lpour l’autre. l

L’airePlusieurs difficultés à surmonter pour les élèves :- confusion entre encombrement de la surface et aire ;- confusion entre aire et forme et en particulier difficulté àconcevoir que deux surfaces de forme différentes peuventavoir la même aire.Comme pour les autresgrandeurs le travail doitcommencer par un travail decomparaison d’aires dsansmesure (surface ayant uneaire plus grande, plus petitequ’une une autre, ou surfaces demême aires).

L’aireIl s’agit sdonc de travailler par superposition, avecun éventuel découpage.dIl faudra s’assurer squ’il est bien évident que l’aire lse conserve par découpage d(Quid du périmprimètre ?)

L’aireLes quadrillages permettent ensuite d’introduire ddefaçon naturelle une unité de mesure : le carreau.Attention au double sens que peut avoir lecarreau : unité de longueur et unité d’aire…On pourra alorsrenforcer l’absence lde liens entreforme, aire etpérimètre (formedifférente et mêmeaire, plus grandpérimètre et pluspetite aire, etc.)

L’aireOn veillera égalementà varier la forme d’une dunité. . L’unitLunité « carrée » étant un choix.

L’aireLe travail des élèves ne doit pas se limiter à des comptagesde carreaux et d’unitdunités s de longueur, des problèmes deconstruction et recherche doivent être proposés s :Construire un rectangle d’aire d24 carreaux (réponsesdifférentes et justes…), pour les plus rapides on pourrademander de les trouver tous (sous-entendu ayant desdimensions entières).Construire un polygone d’aire d31 carreaux et déterminer dsonpérimètre.Construire un rectangle d’aire d36 carreaux et de périmprimètre26 unités.Construire un rectangle d’aire d31 carreaux

L’aireVoici les 6 voyelles.1. Si on les colorie,- lesquelles useront le plus votre feutre ?- laquelle usera le moins votre feutre ?2. Et pour les écrire,- lesquelles useront le plus votre stylo ?- lesquelles useront le moins votre stylo ?C. Houdement

L’aireDeux seigneurs prétendent posséder le plus granddomaine. Voici les représentations de cesdomaines. Il font donc appel au roi pour lesdépartager et éviter toute contestation.Comment celui-ciciva-t-il s’y s y prendre ?Grandeurs et mesures - Cycle 3Enseigner et apprendre les grandeurspar la résolution rde problèmesScéren / CRDPNord – Pas de Calais

L’aireCertaines activitéspermettront aux élèves dese rendre compte del’insuffisance des nombresentiers ; les fractions (etéventuellement les nombresdécimaux)apparaissentnaturellement.

L’aireLe centimètre tre carré pourra être introduit commeaire d’un dcarré de 1 cm de côté sans que celan’empêche de continuer à travailler en parallèleleavec des carreaux. Sur des feuilles à petitscarreaux, on pourra ainsi constater qu’un un carré de2 cm de côté a une aire de 16 carreaux ou 4 cm².

L’aireEncadrer l’aire ld’un disque derayon 3 cm.

Entre 16 et 36 cm²L’aire

ou entre 24 et 32 cm²L’aire

L’aireTravail possibleavec unquadrillageplus fin….

L’aireLes changements d’unitdunité ne sont pas clairement attendus,car seules les unités s cm², , m² m et km² sont présentes dans lesprogrammes.Si il est présentsenté, , le passage de cm² à dm² ne doit pas êtreintroduit comme un exercice technique, mais il faut aucontraire lui donner tout son sens :- expliciter la notation cm² et dm² (grandeur produit) ;- parler de dimension 2 (préparationparation à la dimension 3) ;- construire un carré de 1 dm² et représenter les cent carrésde 1 cm²- Que pourrait être « 1 cm x dm » ?

7. Grandeurs, fractions etnombres décimauxd

Les fractions en référence r rence à deslongueurs• Représenter en gras un quart du segment ci-dessous :On l’obtient en partageant le segment en quatreparties égales c’est-à-dire en segments d’égaleslongueurs.

Les fractions en référence r rence à des airesHachurer une moitié du carré :Quelques propositionsDire, dans chaque cas, quelle fraction du carré représente lapartie hachurée :

Des nombres décimaux, dpour mesurer….• Leur construction passe par les fractions décimales det les liensqu’elles entretiennent :• Activité 1: unité, , dixième, centième1- Tracer un carré dont le côté a pour longueur dix côtés s de carreau.2- Partager ce carré en dix parties égales. On dit que chaque partie représente undixième du1carré, , noté .103- Hachurer les trois dixièmes du carré ( soit ).4- Partager chaque dixième du carré en dix parties égales. Combien y a-t-il adepetits carrés s ainsi dessinés s au total? On dit que chacun d’eux dreprésente uncentième du carré, , noté .5- Combien y a-t-il ade centièmes dans trois dixièmes ?Combien y a-t-il ade centièmes dans une unité ? Dans deux unités s ?Combien faut-il de centièmes pour faire un dixième ?310

Des nombres décimaux dpour mesurer….• Activité 2 : Des mesures de longueur• Un segment (d’une longueur de 1m 14 cm, par exemple) est dessinéau tableau.• 1- Un élève mesure ce segment.• 2- Combien y a-t-il ade décimdcimètres dans un mètre? mQuelle fraction d’un dmètre représente un décimdcimètre?• 3- Combien y a-t-il ade centimètres tres dans un décimdcimètre? Dans unmètre?La mesure, en mètre, mdu segment est donc 1unité, ,1d’unitdunité et4100d’unité. . Elle est aussi 1 unité et 14114d’unitdunité ou encore d’unitdunité.10010010

On peut s’appuyer ssur le travail fait sur les mesures : « pour mesurerune grandeur (longueur, masse…) ) il suffit de se donner une unité et decompter le nombre d’unitdunités s qu’il faut reporter. Mais on doit souventpartager l’unitlunité choisie en un nombre de parties égales. Commel’écriture des entiers repose sur le principe de l’él’échangeà 10 contre 1on privilégie des partages de l’unitlunité en 10, 100, 1000…partieségales».- Un exemple :1m 14cm peut s’és’écrire, en mètre, m tre, 1 + + , puis ensuite 1,14.100- Cette somme d’un dnombre entier et de fractions décimales dest appelénombre décimal. dIl est essentiel de travailler un certain tempsavec cette écriture décomposdcomposée e des nombres décimaux.d1104

La multiplication de deux nombresdécimaux• 4,2 × 3,3 est l’aire, lenunité d’aire, de cerectangle de côtés s 4,2unités s et 3,3 unités• il y a 12 grands carrés, donc12 unités s d’aired• Il y a 18 rectangles donc 18dixièmes d’unitdunité d’aire, soit 1unité et 8 dixièmes d’unitdunitéd’aire• Il y a 6 petits carrés, soit 6centièmes d’unitdunité d’aire• Au total : 13 unités, 8dixièmes et 6 centièmesd’unité d’aire

8. Le cercle

Le cercle• Vocabulaire : on parle de longueur d’un dcercle ou de périmprimètre d’un ddisque, mais« le périmprimètre d’un dcercle » n’a a pas desens.

Le cercle• La longueur d’un dcercle est proportionnelà son diamètre.• À faire conjecturer par les élèvesà partir demesures sur des objets cylindriques.• Quel est le coefficient de proportionnalité ?• Conjecture qui peut être renforcée à partird’un logiciel de géomgométrie dynamique :Exemple avec Geogebra.

Le cercle• Le nombre pi.• Sa nature• Son histoire• Quelle actualité ?• Qu’est ce que « chercher la quadrature ducercle » ?

9. Quelques compléments ments surles pratiques en classe

Calcul mental• Sommes (1,50m + 50cm ; 1,450kg + 50g ;12,9cm + 24,5cm ; 1m 56cm + 50cm ; etc.)• Différences (56cm – 32cm ; 1m 12cm – 22cm)• Conversions en minutes (2h ; 1h23min ; etc.)• Multiples (2,56cm x 4 ; 45g x 2,5 ; 16min x 4 ;23m x 10)• Rappel : Comment faire progresser les élèves encalcul mental ?

Les traces écrites enmathématiques matiques : quelques conseils• L’éventuelle utilisation d’un dfichier…• La résolution rde problème intimement liée à lamaîtrise de langue.• Les activités s de recherche• Quid de la trace écrite ?• Différencier en modifiant les variables didactiques.• Institutionnaliser : mémoire m moire du travail accompli