cours 3.pdf - ENS de Cachan - Antenne de Bretagne

ENSAI - 2ème année - 2008/2009MARTINGALES ET PROCESSUS DE LÉVYChapitre 3 : théorèmes d’arrêt pour les martingalesDans ce chapitre, F = (F n ) n≥0 désigne une filtration et F ∞ = σ(∪ n F n ).1. Temps d’arrêtDéfinition Une va T à valeurs dans IN ∪ {+∞} est un F-temps d’arrêt (t.a.) si, pour chaque n ≥ 0, {T ≤ n} ∈ F n .Remarques(a.) Une va T à valeurs dans IN ∪ {+∞} est un F-t.a. si, et seulement si pour tout n ≥ 0, {T = n} ∈ F n . On aalors {T = +∞} ∈ F ∞ .(b.) Si T est un F-t.a., T + 1 est un F-t.a., mais pas T − 1, sauf si F est prévisible et T ≥ 1 p.s.(c.) Si (X n ) n≥0 est un processus adapté à F, et si B est un borélien, alors, avec la convention inf ∅ = +∞, la vaT = inf{n ≥ 0 : X n ∈ B} est un F-t.a. T est appelé temps de 1ère entrée dans le borélien B.(d.) Une va constante est un t.a.A titre d’exemple, considérons (S n ) n≥0 , la marche aléatoire élémentaire symétrique (cas p = 1/2, cf Chap. 2) issuede 0 (i.e. S 0 = 0 p.s.), et T le temps de 1ère entrée dans l’état 1, i.e. T = inf{n ≥ 0 : S n = 1}. Avec un peu decombinatoire, on peut calculer pour chaque n ≥ 0 :11IP (T = 2n + 1) =2n + 1 Cn+1 2n+12 2n+1 ,d’où, après quelques calculs, IP (T < ∞) = 1. Ceci signifie que pour IP -presque tout ω ∈ Ω, il existe n ≥ 0 tel queS n (ω) = 1, et donc que S T = 1 p.s.Propriétés Soient U, T deux F-t.a. Alors, U ∨ T = sup(U, T ), U ∧ T = inf(U, T ) et U + T sont des F-t.a.Définition-Proposition Si T est un F-t.a., l’ensemble}}F T ={A ∈ F : A ∩ {T ≤ n} ∈ F n ={A ∈ F : A ∩ {T = n} ∈ F nest une tribu, appelée tribu des événements antérieurs à T .Remarques(a.) Si F est la filtration naturelle du processus (X n ) n≥0 et T un F-t.a., l’information contenue dans F T comprend,d’une part, la valeur de T et d’autre part, les valeurs de X 0 , · · · , X T .(b.) Un autre avantage de cette définition : soit (X n ) n≥0 un processus F-adapté et T un F-t.a. On note X Tl’application définie pour chaque ω ∈ Ω par X T (ω) = X T (ω) (ω). Alors, X T est F T -mesurable.Il faut bien noter que si T est un F-t.a., alors σ(T ) ⊂ F T , l’égalité étant fausse en général. De plus, si la va T est p.s.égale à k ∈ IN, alors F T = F k . En fait, la tribu des événements antérieurs à un temps d’arrêt hérite de la filtrationinitiale ses propriétés importantes. En particulier :Propriétés Soient U, T deux F-t.a. Alors, F U∧T = F U ∩ F T . En particulier, F U ⊂ F T si U ≤ T p.s.2. Processus arrêté et théorèmes d’arrêtProposition Soit (X n ) n≥0 une F-(sous ; sur)-martingale et U, T deux F-t.a. bornés (i.e. IP (U ≤ M) = IP (T ≤ M) =1, pour un M > 0) vérifiant U ≤ T p.s. Alors, X T , X U ∈ L 1 (IP ) et IE(X T |F U )(≥; ≤) = X U p.s.Le fait que les t.a. soient bornés est essentiel. Si le t.a. n’est que p.s. fini, on a le contre-exemple suivant : reprenonsle cas de la marche aléatoire élémentaire symétrique issue de 0 que nous avions notée (S n ) n≥0 , et T le temps de 1èreentrée dans l’état 1. Comme T < ∞ p.s., S T = 1 p.s. donc IE(S T ) = 1 ≠ IE(S 0 ). Dans ce cas, il est clair que si n < T ,on a S n ≤ 0. Ce type de remarque justifie la définition ci-dessous :Définition Soit X = (X n ) n≥0 un processus F-adapté et T un F-t.a. On appelle processus arrêté au temps T leprocessus stochastique X T défini pour chaque n ≥ 0 par Xn T = X n∧T .1

Propriétés Soit X = (X n ) n≥0 un processus F-adapté et T un F-t.a.(a.) X T est (F n∧T ) n≥0 -adapté (et donc F-adapté car F n∧T ⊂ F n pour chaque n ≥ 0).(b.) Si X est une F-(sous ; sur)-martingale, X T est une F-(sous ; sur)-martingale.Reprenons l’exemple de la marche aléatoire symétrique issue de 0 notée S = (S n ) n≥0 . Un argument de martingalepermet de retrouver le résultat T < ∞ p.s. : comme S T est une martingale inférieure à 1, elle converge p.s. vers uneva intégrable. Or, la probabilité que S converge est nulle. Comme S = S T sur {T = ∞}, ceci ne peut se produire quesi IP (T = ∞) = 0.Par ailleurs, IE(S n∧T ) = IE(S 0 ) = 0 pour chaque n ≥ 0, alors que IE(S T ) = 1. Comme S n∧T → S T = 1 p.s. lorsquen → ∞, on est donc devant un paradoxe, en apparence du moins ... En réalité, (S n ) n≥0 ne possède pas les propriétésrequises pour pouvoir justifier l’interversion de la limite en n et de l’espérance. Pour que le résultat attendu soit valide,il faut en fait donner des conditions supplémentaires. C’est l’objet du résultat ci-dessous :Théorème [Théorème d’arrêt de Doob] Soit X = (X n ) n≥0 une F-(sous ; sur)-martingale et T un F-t.a. Alors,la va X T est intégrable, et on a IE(X T )(≥; ≤) = IE(X 0 ) dans chacun des trois cas suivants :(1.) T est bornée ;(2.) X est bornée et T < ∞ p.s. ;(3.) T est intégrable et il existe K > 0 tel que pour tout n ≥ 1 : |X n − X n−1 | ≤ K p.s.2