Comment construire un patch Arlequin - Ecole Centrale Paris

Résolution de problèmes de structuresmulti-défauts dans le cadre Arlequin.Préconisations pratiques et adaptation dusolveur FETINadia Elkhodja, Hachmi Ben Dhia, François-Xavier RouxEcole Centrale Paris, MSS-MATONERA Châtillon

MotivationModélisation de problèmes multi-échelles avec des géomètries complexes detype aubes de turbines multi-perforées, les structures fortement hétérogènes...Principale difficulté est liée aux différences d'échellesPour résoudre ces problèmes:⇨ utiliser des méthodes multi-modèles, multi-échelles ⇨ la méthode Arlequin⇨ explorer les potentialités du solveur itératif // FETI adapté à la méthode Arlequin3

PlanContexte des problèmes multi-échellesDifférentes approches multi-échellesProblème Arlequin mono-patchComment construire un patch et comment distribuer lespatchs dans une structure multi-défauts?Solveur parallèle : FETI adaptée aux problèmes ArlequinRésultats numériques4

Problème multi-échelles1. échelle couches limites2. échelle singularités / fond de fissure3. échelle des hétérogénéités …• Coupler plusieurs modèles :- différentes finesses (à l'échelle du défaut, hétérogénéité …)- différentes cinématiques- différentes interpolations5

Approches multi-échelles récentes Approches qualifiées de type micro-macro mono-modèle et correctivesu = u H+ u hglobalcorrection locale2- Méthode EF (Feyel & Chaboche)MicroMacroεΜε µloi microσΜσ µhomogénéisation- Modélisation adaptative (Oden & al)u HMacroMicrou Hcorrection a posterioriu Hu H6

Alternative: la méthode ArlequinΩ 0 Ω 1 01g⇨ Superposition d'un patch local Ω 1sur un domaine global sain Ω 0⇨ Répartition des énergies entre les différents modèles⇨ Couplage ou collage des modèles en“ volume ”sur la zone de collage 01g• Paramètres:- zone de superposition (la zone libre et la zone de collage)- les fonctions de pondérations- l'espace des multiplicateurs de Lagrange- opérateur de couplage7

ApplicationsZoom Jonction SubstitutionΩ 1Ω 2Ω 1Ω 2Ω 1Ω 2raffinement h, pcinématiquedifférenteeg. coque/3Dintroduction de défauts8

Le problème Arlequin mono-patchLe problème Arlequin mono-patch:Inf e 0(u 0) + e 1(u 1)(u 0,u 1)∈W 0xW 1“u 0= u 1 “ in 01 gW 0, W 1espaces cinématiquement admissiblesΩ 0 01gΩ 1fPondération des énergies:e i(u i) =Formulation Lagrangienne :Inf Sup e 0(u 0) + e 1(u 1) + c(µ 01, u 0– u 1)(u 0,u 1)∈W 0xW 1 µ 01∈W 01gW 0, W 1espaces cinématiquement admissibles9

Opérateur de couplageQuel opérateur de couplage prendre?S c•(L 2 discret)S f• L'opérateur de couplage énérgétique ⇨ rigidité volumique du collage11

Modélisation multi-patchModélisation 1-niveauCouplage 1-niveauModélisation multi-niveauCouplage économique12

Questions Comment construire un patch Arlequin ? Comment distribuer les patchs ?13

Design d'un patch ArlequinComment construire un patch Arlequin ? Comment distribuer des patchs ? Partition d'un patchgluing zone⇨ d( 01g) ? d( 01f) ?Ω 1Ω 0 Une barre avec une altération:modelalterated zonecritical zone(non-smooth deformation)14

Design d'un patch Arlequin•Une barre avec une altérationd( 01f)HCondition nécessaire:⇨ La zone libre d'un patch doit contenir au moins les éléments grossiers altérés.15

Alternative 1 : raffinement en h et p• Est- il possible de faire des analyses Arlequin avec un patch intra-élémentgrossier?

Alternative 2 : cascade hierarchique de patch• Idée 2: zoomer progressivement la zone d'interêt par une cascade hierarchiquede patch. E= 1; E=0.001; H=3 ; H i=0.5 ; h=0.01 1=[5.5 9.5]; 2=[6.8 8.2]=9.4 10 -3⇨⇨bon comportement de la solutioncoût relativement comparable à une analysemono-patch intra-élément grossier.17

Distribution des patchs Comment construire un patch Arlequin ? Comment distribuer les patchs dans une structure multi-défauts?Première solution:1 patchglobal coarse meshmodel⇨ le patch doit respecter la condition nécessaire precedente2 patchsH• Corollaire:⇨ Il faut que les éléments grossiers altérés soient distants d'au moins un élémentgrossier.18

Conclusions Comment construire un patch Arlequin ?⇨ La zone libre d'un patch doit contenir au moins les éléments grossiers altérés⇨ 2 alternatives pour avoir des patchs intra-élément grossier :raffinement en h ou p du maillage substratzoomer progressivement la zone d'intérêt par une cascade hierarchique depatch. Comment distribuer les patchs ?⇨ Il faut que les éléments grossiers altérés soient distants d'au moins unélément grossier.19

QuestionsComment traiter les modes rigides des patchs“flottants”? ⇨ adaptation de la méthode FETI Comment résoudre efficacement et en parallèle lesproblèmes Arlequin multi-patchs?20

Résolution directeMéthodes directes: Gauss (factorisation LU), Cholesky, Crout ...Système Arlequin mono-patch⇨ solveurs directs traditionnels ne possédent pas de stratégie de pivotement⇨ pas de factorisation LDL tMéthode des “doubles Lagranges” ⇨ decomposition LDLt⇨ système + grand = coût de calcul + important21

Principe des méthodes de résolution par sous-domaines• Découpage du maillage en sous-domaines• Résolution itérative globale du pb condenséaux interfaces (peu d'inconnues)• Solveur mixte direct/itératif⇨ direct dans les ss-domaines / itératif sur le pbcondensé⇨ couts de factorisation réduits, robustes• Perfomances des DD⇨ réduire le temps de calcul (CPU, humain)⇨ accéder à de très gros calcul⇨ faire du parallélisme22

Stratégie de résolution itérativePatchs “flottants”: pour traiter les singularités locales, on utilise la méthodologieFETI .• Système Arlequin discret bi-patch• Problème condensé mixteAlgorithme du GCP23

Stratégie de résolution itérative• Opérateur de projection :locauxEtape de résolution:projecteurs⇨ à k fixé⇨ détermination des déplacements de chaque domainedes équations d'équilibrepar la résolution⇨ calcul du résidu à partir de l'équation de contrainte⇨ construction la direction de descente à partir du vecteur résidu24

Mise en œuvre en parallèle• Un domaine par processeur• Résolution des problèmes indépendants dans chaqueprocesseur• Echange des résidus entre patchs et domaine global•• Méthode itérative sur la zone de collage pour les problèmescondensés, directe pour chaque domaine25

Technique de préconditionnementUn préconditionneur local est nécéssaire. La contribution d'un patch pourl'opérateur condensé est :matrice de rigidité⇨ le préconditionneur naturelmatrice de souplesseUn préconditionneur global inclus dans la méthode Arlequin ⇨ le modèleglobal transfert naturellement de l'information à tous les patchs en mêmetemps et à chaque itération.⇨ interactions entre patchs éloignés prises encompte immédiatemment à chaque itération⇨ convergence indépendante du nombre de domaines26

Effet du préconditionneur localUne inclusion 3D+ =Globalpatch Taille du problème condensé varie de 10000 à 18000 ddl⇨ évolution du résidu pour différentes tailles de zone de collage sans et avecpréconditionnement .80016027

Effet du couplageUne inclusion 2D 208 multiplicateursE= 300; = 0.3E=3.10 7 ; = 0.3H=0.5 ; h=0.1 xxTol = 1.e-8⇨ évolution de l'erreur en déplacement pour différents opérateurs de couplages.28

Application multi-patchApplication multi-patch: patchs en modes rigidesNombre de multiplicateur par patch 243 ddlE= 300; = 0.3E=3.10 7 ; = 0.3H=0.5 ; h=0.1Nombre de patchs: 1829

Résultats numériques xx yy30

Effet du couplage Application multi-patch Tol = 1.e-6⇨ évolution du résidu pour différentes couplage31

ConclusionDéfinition d'une condition nécessaire pour construire un patchArlequin.Etude de la possibilité de faire des analyses Arlequin par despatchs intra-élément substratDéfinition une taille minimale pour disposer des patchs.Proposition un solveur itératif: FETI adaptée aux problèmesArlequinMise en oeuvre en parallèle sans difficultésUn préconditionneur localApplications 3D, 2D multi-patch32