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Axiomatisation complète de la construction d ... - Colmerauer, Alain

Axiomatisation complète de la construction d ... - Colmerauer, Alain

Montrons que

Montrons que la sous-condition 2 de la proposition 2.1 est vérifiée. Si ϕ est une formule atomique à plat,alors, d’après le point 2 du théorème 1, ϕ est équivalente dans T à une combinaison booléenne de formulesde base svls.Montrons que la sous-condition 3 de la proposition 2.1 est vérifiée. Soit donc une formule de la forme∃x ∧ i∈I (∃¯x i α i ) ∧ ∧ j∈J ¬(∃ȳ j β j ),avec les α i et β j des éléments de A. Il faut montrer que cette formule est équivalente dans T à une combinaisonbooléenne de formules de base svls. En remontant les quantifications ∃¯x i , après avoir éventuellementrenommé certaines variables de ¯x i , on obtient une formule, équivalente dans T , svls, de la forme∃¯xα ∧ ∧ j∈J ¬(∃ȳ jβ j ),avec α élément de A car A est fermé pour la conjonction et le renommage. En utilisant le point 3 du théorème1 la formule précédente est équivalente à une formule svls de la forme∃¯x ′ α ′ ∧ (∃¯x ′′ α ′′ ∧ (∃¯x ′′′ α ′′′ ∧ ∧ j∈J¬(∃ȳ j β j ))),avec ∃¯x ′ α ′ ∈ A ′ , α ′′ ∈ A ′′ , α ′′′ ∈ A, T |= ∀¯x ′′ α ′′ → ∃!¯x ′′′ α ′′′ . En utilisant le corollaire 3, la formule précédenteest équivalente dans T à la formule svls∃¯x ′ α ′ ∧ (∃¯x ′′ α ′′ ∧ ∧ j∈J¬(∃¯x ′′′ (α ′′′ ∧ ∃ȳ j β j ))),qui en remontant la quantification ∃ȳ j apres avoir renommé eventuellement certaines variables ȳ j et du faitque A soit fermé pour la conjonction et le renommage est équivalente dans T à une formule svls de la forme∃¯x ′ α ′ ∧ (∃¯x ′′ α ′′ ∧ ∧ j∈J¬(∃ȳ j β j )),avec β j ∈ A. En utilisant la propriété 20 la formule précédente est équivalente dans T à une formule, svls,de la forme∃¯x ′ α ′ ∧ (∃¯x ′′ α ′′ ∧ ∧ j∈J¬(∃ȳ ′ jβ ′ j ∧ β ′′j )),qui en utilisant la propriété 21 est équivalente dans T à une disjonction de formule svls de la forme∃¯x ′ α ′ ∧ (∃¯x ′′ α ′′ ∧ ∧ i∈I ¬(∃ȳ′ i β′ i )). (6)avec ∃¯x ′ α ′ ∈ A ′ , α ′′ ∈ A ′′ et ∃ȳ ′ i β′ i ∈ A′ . Montrons maintenant que chaque formule de cette disjonctionest équivalente, dans T , à une combinaison booléenne de formules de base. Soit ϕ une formule de la forme(6). En désignant par I 1 l’ensemble des i ∈ I tels que x ′′ n n’ait pas d’occurrences libres dans ∃ȳ ′ i β′ i , ϕ estéquivalente dans T , à la formule svls∃¯x ′ α ′ ∧ (∃x 1 , ..., ∃x n−1 ( ∧ i∈I 1¬(∃ȳ ′ i β′ i )) ∧ (∃x′′ nα ′′ ∧ ∧ i∈I−I 1¬(∃ȳ ′ i β′ i ))),qui du fait que α ′′ ∈ A ′′ et ∃ȳ ′ i β′ i ∈ A′ et du fait de la propriété 17 et des points 4 et 5 de la proposition 1, estéquivalent dans T , à la formule svls∃¯x ′ α ′ ∧ (∃x 1 , ..., ∃x n−1 ( ∧ i∈I 1¬(∃ȳ ′ i β′ i )) ∧ (∃x′′ nα ′′ )).qui en utilisant le point 5 de la proposition 1, est équivalente dans T à une formule svls de la forme∃¯x ′ α ′ ∧ (∃x 1 , ..., ∃x n−1∧i∈I 1¬(∃ȳ ′ i β′ i ) ∧ α′′ n),avec α ′′ n ∈ A ′′ . C’est-à-dire à∃¯x ′ α ′ ∧ (∃x 1 , ..., ∃x n−1 α ′′ n ∧ ∧ i∈I 1¬(∃ȳ ′ i β′ i )),En répétant les trois étapes précédente n − 1 fois et en désignant par I k l’ensemble des i ∈ I k−1 tels quex ′′(n−k+1) n’ait pas d’occurrences libres dans ∃ȳ′ i β′ i , on obtient, dans T , la formule svls∃¯x ′ α ′ ∧ α ′′1 ∧ ∧ i∈I 1¬(∃ȳ ′ i β′ i )), 6

avec α ′′1 ∈ A ′′ . Comme ∃¯x ′ α ′ ∈ A ′ alors d’après le point 4 du théorème 1, on a T |= ∃?¯x ′ α ′ , et donc T |=∃?¯x ′ α ′ ∧ α ′ 1, on peut alors utiliser la propriété 18, la formule précédente devient équivalente, dans T , à laformule svls(∃¯x ′ α ′ ∧ α ′′1) ∧ ∧ i∈I n¬(∃¯x ′ α ′ ∧ α ′′1 ∧ ∃ȳ ′ i β′ i ),qui en remontant la quantification ∃ȳ i ′ en renommant éventuellement certain ȳ′ i est équivalente dans T à uneformule svls de la forme(∃¯x ′ α ′ ∧ α ′′1) ∧ ∧ i∈I n¬(∃¯x ′ ȳ ′ i α′ ∧ α ′′1 ∧ β ′ i ),avec α ′ , α 1, ′′ β i ′ des éléments de A car A est fermé pour le renommage. Comme les formules α′ , α 1, ′′ β i ′ sont deséléments de A et que A est fermé pour la conjonction alors la formule précédente est bien une combinaisonbooléenne de formules de base. La sous-condition 3 de la proposition 2.1 est donc vraie, par conséquent laproposition 1 est démontrée.3 Structure des arbres aux feuilles ordonnéesDans cette partie, nous allons définir la structure A des arbres aux feuilles ordonnées, qui combine l’algèbredes arbres munis des opérations de construction avec un ensemble Q quelconque munis d’une relationd’ordre dense sans extrème. Pour Q on peut prendre par exemple l’ensemble des rationnels munis desa relation d’ordre dense sans extrème

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