Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

Concepts généraux 352.5. CritèresLa description des modèles à utiliser sous chargement uniaxial qui a été faite dansle chapitre précédent a mis en évidence un domaine d’élasticité, dans l’espace descontraintes et des variables d’écrouissage, pour lequel il n’y a pas d’écoulement plastiqueou viscoplastique. La trace de ce domaine sur l’axe de la contrainte se limite àun segment de droite, qui peut subir une translation ou une extension (il peut mêmeparfois se limiter à un point). Par ailleurs certains modèles sont capables de représenterune contrainte maximale supportable par le matériau. Afin de pouvoir aborderl’étude des chargements multiaxiaux, il est nécessaire de se donner les moyens de définirde telles limites en tridimensionnel. On passe donc en revue les outils disponiblespour écrire ces modèles dans le cas de milieux continus, enfin on montre les principalesclasses de critères. De même que pour les lois d’écoulement qui ont été citéesprécédemment, le choix de tel ou tel critère va dépendre du matériau étudié.2.5.1. Les outils disponiblesLe cas du chargement uniaxial étudié jusqu’à présent fait apparaître un domained’élasticité au travers de deux valeurs de contrainte, l’une en traction, l’autre en compression,pour lesquelles se produit l’écoulement plastique. Ainsi dans le cas du modèlede Prager, le domaine d’élasticité initial est le segment ¥ σ y ¡ σ y ¡ , et sa positionpour une déformation plastique ε p est ¥ σ y X ¡ σ y X¡ , avec X ¢ Hε p . Il est décritpar la fonction de charge (définie de 2 dans ), f : σ¡ X¡f σ¡ X¡ . Pour définirce même domaine en présence de chargements multiaxiaux, la fonction f devient unefonction du tenseur de contrainte, σ¨ et du tenseur Ẍ ¢ Hε¨ p , (de 12 dans ) telle que sif σ¨ ¡ Ẍ¡ ¢ 0, l’état de contraintes est élastique, si f σ¨ ¡ Ẍ¡ ¢ 0, le point de fonctionnementest sur la frontière, la condition f σ¨ ¡ Ẍ¡ ¢ 0 définissant l’extérieur du domaine.Dans le cas général, l’ensemble de départ contiendra les contraintes et toutes les variablesd’écrouissage, scalaires ou tensorielles, il faut donc définir f σ¨ ¡ A i ¡ . On va dansun premier temps limiter la présentation à la définition du domaine d’élasticité initial,pour lequel on supposera que les variables A i sont nulles, si bien qu’on se contenterad’écrire les restrictions des fonctions f dans l’espace des contraintes.L’expérience montre que, pour la plupart des matériaux, le domaine d’élasticitéinitial est convexe (c’est en particulier vrai pour les métaux qui se déforment par glissementcristallographique). La fonction de charge doit donc elle–même être convexeen σ¨ , ce qui implique, pour tout réel λ compris entre 0 et 1, et pour un couple (σ¨ 1, σ¨ 2)quelconque de la frontière :f λσ¨ 1 1 ¥ λ¡ σ¨ 2¡λ f σ¨ 1¡ 1 ¥ λ¡ f σ¨ 2¡ (2.85)Comme dans le cas de l’étude du tenseur d’élasticité, il faut ici encore respecter lessymétries matérielles. Ceci implique en particulier dans le cas d’un matériau isotrope