Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

§§§Concepts généraux 43Ainsi le critère de Coulomb pour les matériaux isotropes transverses s’écrit :f σ¨ ¡ ¢ max K p maxσ i ¥ minσ i ¥ R c ¡ T N tanφ ¥ C ¡ (2.103)1 sinφK p1 ¥ sinφ¢2C cosφR ¡ c1 ¥ sinφ¢(2.104)et où φ désigne l’angle de frottement dans le plan de schistosité, C la cohésion, φl’angle de frottement pour le glissement d’une lame par rapport à l’autre, C la cohésion.2.6. Méthodes numériques de résolution des systèmes d’équations non–linéairesOn présente ici les méthodes générales de résolution de systèmes d’équations non–linéaires se mettant sous la forme :R¢ U¢ ¡ ¢¡ 0¢ (2.105)où R¢ est dépendant de U¢ On se trouve dans le cas linéaire quand R¢ U¢ ¡ semet sous la forme K¡ © U¢ A¢ où K¡ est indépendant de U¢ . Il est à noter qu’uneéquation écrite sous la forme R¢ U¢ ¡ ¢ A¢ peut se réécrire sous la forme généralede l’équation 2.105. Dans le cadre de la méthode des éléments finis, ces méthodes derésolution seront employées à la fois lors de la résolution du problème «global» et lorsde l’intégration des lois de comportement (problème «local»).2.6.1. Méthodes de type Newton/Newton modifiéLa méthode de Newton est itérative et consiste à linéariser l’équation précédente(k : numéro d’itération) :On notera :R¢ U¢ ¡ ¢¡ R¢ U¢ k¡ R¢ ∂U¢ ∂§ U¡£¢ U¡ kU¢ ¡ ¢∂ R¢∂ U¢K¡© U¢ ¥ U¢ k¡ (2.106)(2.107)ouK i j U¢ ¡£¢∂R i∂U j(2.108)On obtient après résolution du système linéarisé (figure 2.14a) :U¢ k¤ 1 ¢¡ U¢ k ¥ K¡ ¤ 1k © R¢ k (2.109)