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2-3D : D/2001/7362/3087


Un parcours pour apprendre àMettre au point des outils quiassocient la géométrie à denouvelles formes de calcul, etexploiter les méthodes dedémonstration et de résolutionde problèmes qui en découlentLe produit scalaire


IntroductionLe guide méthodologique est un complément au programme du troisième degré(référence D/2000/7362/023). Il s’agit d’une nouvelle formule de documentd’accompagnement, qui propose aux enseignants des situations d’apprentissage, desstructurations des connaissances acquises à la suite de ces situations, ainsi que quelquessituations d’intégration. Dans la logique du développement des compétences, on yprivilégie naturellement des situations qui favorisent les initiatives des élèves et ce, dèsl’introduction des notions, et non pas uniquement à l’occasion de l’une ou l’autreapplication. Quant à l’organisation générale d’une année, le guide met en évidencequelques moments-clés dans le parcours des grands thèmes du nouveau programme.Bien sûr, tous ces éléments sont livrés ici à titre d’exemples. Ils sont proposés commede nouveaux outils pour dynamiser les apprentissages et conduire à une maîtriseprofonde des notions fondamentales. En particulier, les situations d’apprentissage visentà ancrer ces notions dans un contexte qui soit significatif pour les élèves. Un desobjectifs essentiels poursuivi dans ce guide est donc de faire mieux apprécier lesconsidérations pédagogiques qui sous-tendent le nouveau programme, et de compléterdans ce sens la panoplie des ressources dont dispose l’enseignant.Une pédagogie qui encourage l’initiative de l’élève met inévitablement l’enseignant aucentre du projet. Dans la classe, l’enseignant demeure plus que jamais l’acteur quistimule les apprentissages, organise et évalue les acquis, relance chez chaque élève ledésir d’explorer, de découvrir, de s’insérer dans une dynamique de communication.L’enseignant reste aussi le metteur en scène qui définit l’essentiel de chaque thème, etdégage le temps nécessaire à la maîtrise de cet essentiel par tous les élèves. L’efficacitédes méthodes préconisées, dans ce guide ou ailleurs, tiendra toujours autant à l’art del’enseignant qu’à la nature des questions traitées.Le guide se présente sous forme de fascicules qui s’intègrent dans un classeur. Chaquefascicule est centré sur un des thèmes du programme, et s’organise autour de deuxgrandes rubriques, intitulées respectivement : « une situation d’apprentissage » et « unestructuration des connaissances ».Une situation d’apprentissageIl s’agit d’une situation-problème qui permet aux élèves de découvrir une notionessentielle d’un thème (cfr. à ce sujet le paragraphe intitulé « Une pédagogie de larecherche » dans le programme, loc. cit. p. 16). Cette rubrique est elle-même partagéeen différentes sections.La section « Enjeux » décrit brièvement les contenus disciplinaires abordés dans lasituation d’apprentissage. Elle précise éventuellement le niveau (mathématiques debase, générales ou pour scientifiques) et l’année d’étude.2 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


La section « Prérequis » signale les connaissances dont les élèves doivent disposer pourêtre autonomes dans la situation d’apprentissage.La section « Que font les élèves ? » essaie de préciser les activités que les élèves ont àmener seuls, au fur et à mesure du déroulement de la situation d’apprentissage.La section « Enoncé » fournit l’énoncé complet de la situation, tel qu’il peut être donnéaux élèves.Toutes ces sections, de par leur nature, sont relativement courtes. La section« Déroulement », qui vient ensuite, est en général beaucoup plus longue, parce qu’elletente de passer en revue les moments essentiels par lesquels les élèves vont passer pourrésoudre le problème qui leur est posé. Evidemment, il n’est pas possible de détaillerdans un document tout ce qui peut surgir du travail des élèves dans une telle situation !Mais on a au moins essayé – à l’aide de sous-titres – de relever quelques étapes quisemblent incontournables et par lesquelles tous les élèves devraient passer. Et c’est biensûr ici que l’art de l’enseignant se révélera indispensable !La section intitulée « D’autres situations d’apprentissage » énumère quelquesréférences bibliographiques où on peut trouver d’autres situations qui poursuivent desobjectifs pédagogiques analogues à ceux qui ont été mis en œuvre dans la situation dufascicule. Ces situations constituent des alternatives ou des compléments aux situationsproposées. La plupart des manuels, livres ou articles répertoriés à cette occasion peuventêtre consultés auCREM (Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques)Rue E. Vandervelde, 51400 – NIVELLES(tél. 067 / 21 25 27)En général, la situation d’apprentissage retenue dans le fascicule ne couvre pasl’ensemble des notions associées au thème. Parfois, l’énoncé de cette situation estdécoupé en plusieurs parties. Ailleurs, on trouvera plus d’une situation pour le mêmethème.Enfin, tout enseignant peut savoir qu’il n’est pas nécessaire d’aborder chaque notionsignificative à l’intérieur d’un thème à partir d’une situation d’apprentissage ad hoc.D’autant plus qu’il semble important d’habituer les élèves à s’approprier des notions oudes résultats nouveaux suivant des approches aussi variées que possible : travail derecherche à domicile, lectures, exposés, exercices et problèmes divers, …Une structuration des connaissancesCette rubrique vise à mettre en évidence les notions et les résultats de nature plusthéorique qui ont été découverts au travers de la situation d’apprentissage. Parfois, ellepropose aussi des points de vue ou des résultats qui permettent de gagner du temps enréorganisant quelques sujets tirés de thèmes différents. Cette section n’est que trèsGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 3


arement exhaustive quant aux contenus théoriques que le programme demande detraiter ! On ne perdra en tout cas pas de vue que pour devenir disponibles dans descontextes différents, les notions, et les principaux résultats qui les rendent efficaces,doivent toujours faire l’objet d’une construction théorique aussi cohérente que possible.Suivant l’occasion, une section intitulée « Une situation d’intégration » propose unesituation-problème plus ample, dont la place se situe plutôt en fin d’étude du thème, etqui demande aux élèves d’utiliser dans un contexte élargi les connaissances et lescompétences qu’ils viennent d’acquérir. De plus, cette situation requiert de la part desélèves d’organiser leur travail, de choisir une méthode et d’interpréter leurs résultats.Enfin, une « Annexe » regroupe des documents déjà présentés dans le corps du texte,mais repris dans cette annexe sous un format qui permet à l’enseignant de s’en servir aumieux pour les activités en classe.Ce guide est un outil, et se veut ouvert De par sa conception modulaire, le guide reste ouvert à des apports nouveaux et à descompléments. En particulier, les propositions des enseignants qui nous parviendraientpourraient ainsi être intégrées dans des documents ultérieurs.Dans son état actuel, ce guide est le fruit d’une collaboration entre les auteurs, lesmembres du secteur mathématique et les conseillers pédagogiques de la FESeC. Cesderniers ont fait circuler dans les écoles des projets de situations et ont transmis ensuiteles avis et les suggestions des enseignants qu’ils avaient rencontrés. Par ailleurs,plusieurs de ces situations ont été présentées et discutées à l’occasion de formationsICAFOC, et les remarques des enseignants à ces occasions ont souvent été précieuses.Que tous ceux qui ont ainsi collaboré anonymement à ce guide trouvent ici l’expressionde nos remerciements.Ce fascicule a été rédigé et réalisé par P. Tilleuil. Les remarques et les critiques de F.Van Dieren et D. Legrand ont permis d’améliorer la forme et le fond du texte. Et letravail de tous a permis de situer les considérations pédagogiques dans une perspectivecohérente avec les objectifs d’implantation de compétences.4 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Une situation d’apprentissage : développement etgéométrie cotéeEnjeuxIntroduire le produit scalaire au départ de calculs d’angles et de longueurs dans unefigure.Niveau : mathématiques générales, mathématiques pour scientifiques.PrérequisL’extension à l’espace des notions de calcul vectoriel dans le plan.Que font les élèves ?Ils situent une figure donnée dans un système de coordonnées orthonormé. Ils effectuentensuite divers calculs de longueurs et d’angles relatifs aux faces planes de cette figure.EnoncéLa géométrie cotée est un procédé de représentation plane des objets del’espace : on dessine une projection verticale de l’objet sur une feuille depapier (supposée horizontale) en marquant sur le dessin les « cotes » desuffisamment de points caractéristiques de l’objet, où la « cote » d’un pointest la hauteur de ce point par rapport au plan horizontal de référence. Parconvention, l’unité de mesure pour les hauteurs est la même que pour leslongueurs dans le plan horizontal.Dans la figure ci-dessous, les sommets A, B, C, D, E, F, G, H et I d’unefigure de l’espace sont représentés suivant les conventions de la géométriecotée. Dans ce type de représentation, la projection verticale d’un point estnotée par la même lettre que le point, mais affectée d’un « ’ » : ainsi, laprojection du point E est notée E’. Lorsqu’un point a une cote nulle, on nefait pas de différence entre ce point et sa projection.Calculer les longueurs des arêtes de cette figure, ainsi que l’amplitude desangles que ces arêtes forment entre elles.Réaliser un développement de cette figure, en utilisant les mesures delongueurs et/ou d’angles obtenus précédemment.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 5


Figure 1 : les cotes de ABCDEFGHIDéroulementD’ABORD UNE BONNE PERCEPTION DU PROBLEME …Comme dans la plupart des situations de géométrie dans l’espace, la première chose àfaire est de se familiariser avec le problème.A cet effet, on peut par exemple proposer aux élèves de réaliser une maquette : ils fixentsur une plaque de polystyrène expansé un agrandissement de la projection verticale, etplantent en chacun des points A’, B’, … de minces baguettes sur lesquelles ils reportentla hauteur correspondante à l’échelle convenable.Ils peuvent aussi réaliser une représentation de la figure en perspective cavalière, enréalisant d’abord une perspective cavalière de la projection verticale, et en montantensuite les hauteurs correspondantes à la verticale des points A’, B’, ... Etc.6 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Figure 2 : une perspective cavalière de ABCDEFGHIL’objectif est à chaque fois d’aider à bien percevoir la position de la figure par rapportau plan horizontal de référence … et de commencer à se faire une idée de la nature decette figure.S’agirait-il d’un parallélépipède (tronqué) ?UNE TRADUCTION VECTORIELLEAvec les données dont on dispose, le recours au calcul vectoriel s’impose asseznaturellement. On commence alors par choisir un repère.Figure 3 : le choix d’un repèreGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 7


→ →Si les deux premiers vecteurs de base e 1 et e2 sont placés au coin inférieur gauche de lafigure 1, suivant les directions du quadrillage et dans le sens direct, et si le troisième→vecteur de base e 3 est situé perpendiculairement au plan horizontal dans le sens descotes positives, on calcule facilement :⎯→⎯→⎯→→ →CD = FE = GH = 2e + 2e⎯→⎯→2 3⎯→→ → →EH = FG = DA = 5e + 5e −5e⎯→⎯→1 2 3⎯→→ → →DE = CF = AH = 6e − 3e + 3e1 2 33 ⎯CB = 3e1+ 3e2− 3e3= EH5⎯→→ → → ⎯ →1 ⎯IG = 2e1− e2+ e3= DE3⎯→→ → → ⎯ →Les principes du calcul vectoriel dans l’espace permettent ainsi de vérifier que la figureen question est bien un parallélépipède - oblique, jusqu’à preuve du contraire ! – coupépar le plan de cote 0 (le plan horizontal) suivant une section triangulaire.Au moment opportun dans le déroulement du problème, l’enseignant ne manquera pasde faire remarquer que le choix de l’origine du repère dans le plan horizontal n’aeffectivement eu aucune influence sur le résultat des calculs de longueurs et d’angles.LE CALCUL DES LONGUEURSLorsque la position et la nature de la figure sont bien visualisés par les élèves, on peutalors commencer à s’interroger avec eux sur une méthode de calcul des longueurs.Or, les principes mêmes de la géométrie cotée suggèrent de formuler cette question sousla forme suivante : comment calculer la longueur d’un segment - par exemple lesegment [ CD ] - connaissant la longueur de sa projection verticale [ CD ' ']et les cotes deses extrémités C et D ?Le théorème de Pythagore, appliqué dans le plan C’D’DC fournit une réponse adaptéeaux données de la question.8 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Figure 4 : le triangle rectangle CD’’DDans le plan horizontal, on lit immédiatement CD ' ' = 2 , et la différence des cotesdonne D'' D = 5− 3=2 , d’oùCD ² = CD''² + D'' D ² = C' D'² + D'' D ² = 2² + 2² = 8et donc CD = 2 2 . Un raisonnement analogue, ou les calculs de composantes devecteurs réalisés plus haut, implique(nt) alors immédiatement :CD = FE = GH = 2 2 .Le même recours au théorème de Pythagore permet de calculer la longueur des autresarêtes de la figure, si ce n’est que la longueur de la projection verticale ne se lit pasdirectement, mais doit être calculée. Si on souhaite par exemple déterminer la longueurdu segment [ CF ], on calcule d’abord la longueur du segment [ CF ' ']en appliquant lethéorème de Pythagore dans le plan horizontal.On trouve, puisque CF ' ' = 6e−3eFigure 5 : le triangle rectangle CF’’F⎯→→ →1 2 :CF ' '² = 6² + 3² = 45Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 9


d’où CF ' ' = 3 5 . Comme la différence des cotes des points C et F donne FF'' = 3on en déduit :et donc CF = 3 6 . Il s’ensuit queOn calcule pareillement⎯→⎯→CF ² = CF''² + FF"²= 45 + 9 = 54CF = DE = AH = 3 6EH = FG = DA = 25 + 25 + 25 = 75 = 5 3⎯→→ → →1 2 3.puisque EH = FG = DA = 5e + 5e −5e⎯→Enfin, comme CB⎯→⎯→= 3 EH et IG5⎯→= 1 DE3, on calcule encoreetCBIG3= EH = 3 351= DE = 63Tôt ou tard, tout ce processus de calcul des longueurs d’un segment à l’aide duthéorème de Pythagore doit être analysé dans la classe à partir des seules composantesdu vecteur sous-jacent. Une première synthèse consistera donc à mettre en évidence→ → → →que, si un vecteur s’écrit u = ae1+ be2+ce3 dans un repère orthonormé, alors salongueur est le nombre positif u → défini par→u = a ² + b ² + c ²LE CALCUL DES ANGLESLa figure ABCDEFGHI est entièrement déterminée par les projections verticales et lescotes de ses sommets. Les angles formés par deux arêtes consécutives doivent doncpouvoir être calculés, eux aussi, en termes des composantes des vecteurs sous-jacents.Comment ? C’est une première question à renvoyer aux élèves, en leur demandant derappeler les résultats connus concernant le calcul d’angles au départ de renseignementsde positions ou de longueurs.La trigonométrie, la réciproque du théorème de Pythagore, ou sa forme généraliséeconstituent l’essentiel des outils disponibles. Plus précisément,10 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


• la définition des nombres trigonométriques permet évidemment d’évaluer desangles, mais demande en règle générale qu’on travaille dans un triangle rectangle;malheureusement dans le cas considéré ici, les faces où se situent les angles àcalculer ne contiennent pas de triangles rectangles directement utilisables de cettemanière … ;• la réciproque du théorème de Pythagore permet justement de décider si un triangleest rectangle ou non, mais elle se limite à cela : elle ne permet que de détecter desangles droits … ;• la forme généralisée du théorème de Pythagore (cfr. le cours de 4 ème ) permet decalculer n’importe quel angle d’un triangle dès qu’on connaît la longueur de chaquecôté : en effet, et avec les notations de la figure 6, on tire facilement de la formulez² = x² + y² − 2 xycos Z < quecos < x² + y² − z²Z =2xyFigure 6 : la forme généralisée du théorème de Pythagorec’est donc certainement l’outil ad hoc , même si sa pertinence ne peut se révéler queprogressivement dans la suite du problème...Tout cela est remis en scène avec les élèves en leur demandant par exemple de calculerl’angle CFE . Ils doivent donc d’abord calculer les longueurs FC , FE et CE . Or, ils⎯→→ →savent déjà que FC = 3 6 et FE = 2 2 . Par ailleurs, comme FE = 2e + 2e⎯→→ → →et CF = 6e1− 3e2+3e3 , ils peuvent en déduire2 3et donc⎯→⎯→⎯→→ → →CE = CF + FE = 6e − e + 5e1 2 3CE = 36 + 1+ 25 = 62Le recours à la réciproque du théorème de Pythagore, ou au numérateur de sa formegénéralisée, montre alors queGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 11


FC ² + FE ² − CE ² = 54+ 8− 62 = 0L’angle CFE est donc un angle droit ! On vérifie de manière parfaitement analogue queles deux autres angles de sommet F - à savoir GFE et GFC - se trouvent eux aussi êtredes angles droits. Le parallélépipède (tronqué) ABCDEFGHI est donc unparallélépipède rectangle, ou droit. L’enseignant ne manquera pas de faire observer auxélèves que les angles de ce parallélépipède se projettent verticalement suivant desangles, tantôt aigus, tantôt obtus …Il reste encore à calculer les angles situés aux sommets de la section triangulaire, c’està-direessentiellement les angles DAB , IAH et CBI , puisque les autres angles s’endéduisent grâce à la valeur constante de la somme des angles intérieurs d’unquadrilatère ou d’un pentagone convexe.Si les élèves s’attaquent par exemple au calcul de l’angle CBI , ils travailleront avec letriangle a priori quelconque CBI :Figure 7 : le triangle CBI dans la face BCFGIet auront recours à la formule :cosCBI=CB ² + BI ² − CI ²2 CB BI⎯→→ → →Or, ils savent déjà que BC = 3 3 et BI = 6 . Comme CB = 3e + 3e −3e⎯→et BI→⎯→⎯→⎯→→ → →1 2 3= 6e1 , ils peuvent en déduire CI = CB + BI = 9e1+ 3e2−3e3 et doncCI = 81+ 9 + 9 = 99 = 3 11Ils obtiennent ainsi : cosCBI =27 + 36 −992⋅3 3⋅6=−33 , d’oùCBI = 125 , 2643897 ... °12 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


De manière parfaitement analogue, on trouve encore cos DAB = 155, d’oùDAB = 39 , 23152048 ... °et cos IAH =32 , d’où finalement IAH = 30 °On a ainsi dégagé une méthode de calcul (du cosinus) d’un angle à partir descomposantes des deux vecteurs qui le déterminent. Une formule un peu plus simpled’emploi sera obtenue dans la structuration des connaissances ci-après.LA CONSTRUCTION DU DEVELOPPEMENTElle ne pose plus de réels problèmes … Mais on peut faire observer aux élèves que lecalcul des angles n’est pas indispensable pour réaliser un développement : latriangulation des faces planes suffit toujours. De plus, dans le cas présent, des facestelles que ABCD sont entièrement déterminées dès qu’on réalise qu’il s’agit d’untrapèze rectangle dont toutes les longueurs de côtés sont connues. Néanmoins, et mêmesi on n’utilise que les longueurs des côtés pour réaliser le développement, la mesure del’amplitude des angles pourra servir de vérification ou de contrôle de précision.Figure 8 : le développement de la figure ABCDEFGHILa réalisation effective du développement par les élèves fournit l’occasion de revenirsur l’étape d’exploration par laquelle débutait le déroulement du problème, et deconfirmer, de compléter et d’achever ce qui n’avait été qu’observé à ce moment-là.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 13


G. Noël, F. Pourbaix, P. Tilleuil - L’algèbre linéaire au troisième degré du secondaire.Université de Mons-Hainaut, Service d’Analyse et de Méthodologie Mathématiques ;1997.Y. Sortais, R. Sortais - Géométrie de l’espace et du plan. Synthèse de cours. Exercicesrésolus. Hermann, Paris ; 1993.E. C. Wittmann - Géométrie élémentaire et réalité. Introduction à la penséegéométrique. Didier Hatier, Bruxelles ; 1998.... et à l’horizon septembre 2001 :CREM - Pratiquer la géométrie. Développement d’outils pédagogiques pour unenseignement de la géométrie accessible à tous. Centre de Recherche surl’Enseignement des Mathématiques a.s.b.l.Une structuration des connaissancesLa situation d’apprentissage détaillée ci-dessus a donc fait découvrir qu’il existe unprocessus, fondé sur le théorème de Pythagore et sur sa forme généralisée, qui permetde calculer des longueurs de segments ainsi que des amplitudes d’angles, à partir descomposantes de vecteurs sous-jacents. Il reste à libérer cet enchaînement de calculs desvaleurs numériques particulières des coordonnées de points ou des composantes devecteurs. C’est ce que va concrétiser la notion de produit scalaire.Le produit scalaire a un statut particulier dans l’étude de la géométrie dans l’espace.Stricto sensu, il n’est pas un outil indispensable pour traiter des questions de mesuresd’angles ou d’orthogonalité : des constructions ad hoc permettent assez souvent de s’enpasser. Mais la multiplicité des astuces auxquelles il faut alors recourir est vitedécourageante pour les élèves. Le produit scalaire est alors développé en vue de devenirun outil unificateur et simplificateur pour l’étude de la plupart des situations degéométrie « métrique ».Le produit scalaire : une notion issue du théorème dePythagore généraliséDans un repère orthonormé, on considère deux points U et V de coordonnées respectives( u1; u2; u3)et ( v1; v2; v3). Le théorème de Pythagore sous sa forme généralisée fournitla relationUV ² = OU ² + OV ² −2 OU OV cosUOVGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 15


Figure 10 : le triangle OUVOr, puisqu’on est dans un repère orthonormé :UV ² = ( v − u )² + ( v − u )² + ( v −u)²1 1 2 2 3 3OU ² = ( u )² + ( u )² + ( u )²1 2 3OV ² = ( v )² + ( v )² + ( v )²1 2 3Dès lors, la formule UV ² = OU ² + OV ² −2 OU OV cosUOV devient, en simplifiantles termes identiques :c’est-à-dire− 2( u v + u v + u v ) = −2OU OV cosUOV1 1 2 2 3 3OU OV cosUOV = u1v 1+ u2v2 + u3v3qui est l’identité fondamentale de la géométrie métrique de l’espace.Ce qui est important dans cette égalité, c’est qu’une expression telle que⎯→uv 1 1+ uv 2 2+ uv 3 3qui dépend a priori des composantes des vecteurs OU⎯→ ⎯et OVrévèle en réalité en être indépendante, puisque l’expression OU OV cosUOV nedépend en effet que de la longueur de chaque vecteur et de l’angle qu’ils forment. C’estcette remarquable propriété qui justifie qu’on introduise à partir de l’une ou l’autre deces expressions une nouvelle notion, celle de produit scalaire., se16 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


⎯→Si OU⎯→⎯→et OV sont deux vecteurs, leur produit scalaire est donc le nombre réel noté⎯→OU • OV , et défini par⎯→⎯→OU • OV = OU OV cosUOVL’identité fondamentale obtenue plus haut est alors une expression en termes decomposantes du théorème de Pythagore généralisé : si les trois vecteurs e 1→ →, e2→et e3⎯→→ → →forment un repère orthonormé de l’espace dans lequel on a OU = u e + u e + u e⎯→→ → →et OV = v1e1+ v2 e2+v3 e3 , alors⎯→⎯→OU • OV = u v + u v + u v1 1 2 2 3 3Les propriétés élémentaires du produit scalaire1 1 2 2 3 3Toutes les propriétés du produit scalaire (symétrie, bilinéarité, caractère défini positif,relation avec l’orthogonalité, formule de projection, etc...) s’obtiennent de manièreimmédiate au départ de l’identité fondamentale :⎯→⎯→OU • OV = OU OV cosUOV = u v + u v + u v1 1 2 2 3 3En particulier, on retrouve ainsi la formule de longueur d’un vecteur, déjà obtenue dansle déroulement de la situation d’apprentissage :⎯⎯→OU = ( u1)²+ ( u2)² + ( u3)²La bilinéarité du produit scalaire permet aussi d’étendre sa définition à des grandeursvectorielles d’origine quelconque :Etc…⎯→⎯→⎯→⎯→⎯→⎯→WU • WV = ( OU − OW )•( OV − OW ) = ...Le critère de perpendicularité d’une droite et d’un planCe critère est une conséquence immédiate de la linéarité du produit scalaire. Mais il estparticulièrement intéressant de faire voir en quoi une démonstration toute synthétique dece critère « exprime » cette linéarité.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 17


En bref, il s’agit de démontrer que, les trois droites AI, BI et CI étant situées dans le planπ , si la droite δ est perpendiculaire à AI et à BI, elle est aussi perpendiculaire à CI.Figure 11 : la « reproduction des médiatrices »DÉMONSTRATION (RÉSUMÉE)On peut toujours choisir les points P et Q sur la droite δ de telle sorte que PIComme AI est alors la médiatrice du segment [ PQ ], on a PAPBPC= IQ .= AQ , et pareillement= BQ . Mais alors, les triangles APB et AQB sont isométriques, et donc= CQ . Comme PI = IQ et PC = CQ , la droite IC est médiatrice du segment[ PQ ] dans le plan PQC : la cause est donc (synthétiquement) entendue.La démonstration précédente peut être paraphrasée ainsi : si les droites AI et BI sontPQ , alors n’importe quelle droite CI - où C est un pointmédiatrices du segment [ ](quelconque) sur la droite AB – est aussi une médiatrice du segment [ PQ ] . Plusbrièvement : à partir de deux médiatrices d’un même segment, on sait les fabriquertoutes !Cette propriété de « reproduction des médiatrices » semble être une expressionsynthétique de la linéarité du produit scalaire.Une situation d’intégrationIl y a plusieurs manières de traiter la question suivante : par des raisonnements degéométrie synthétique, par le calcul vectoriel, … Lorsque les circonstances lepermettent, il est particulièrement intéressant de comparer ces différentes approches, audépart des productions des élèves.18 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


ENONCÉDéterminer la perpendiculaire commune à deux arêtes non coplanaires (ou« gauches ») d’un octaèdre régulier.SOLUTION (RÉSUMÉE)On se limite ici à résumer la solution qu’on peut obtenir à l’aide du calcul vectoriel.On réalise l’octaèdre régulier comme polyèdre dual du cube, c’est-à-dire à partir descentres de symétrie de ses faces. Un repère orthonormé direct ⎛ e → 1 e→ 2 e→ ⎞⎜ , ,⎝3⎟d’origine O est⎠placé par exemple en un des sommets du cube (cfr. la figure 12). Si AF et BC sont lesdeux arêtes non coplanaires considérées, il s’agit alors, à partir des coordonnées despoints A, B, C et F :• de déterminer les coordonnées d’un point quelconque X sur la droite BC et d’unpoint quelconque Y sur la droite AF ;• d’exprimer ensuite (en termes de produit scalaire) que XY⊥ BC et XY⊥ AF .On note 2a la longueur de l’arête de ce cube. On détermine alors les coordonnées despoints A, B, C et F :A : ( a; 0 ; a)B : ( 2a; aa ; )C : ( a; 2 a; a)F : ( aa ; ; 2 a)Figure 12 : la perpendiculaire commune à deux arêtesnon coplanaires d’un octaèdre régulierPar définition, les équations paramétriques de la droite BC déterminent les coordonnéesd’un point quelconque X sur cette droite en fonction d’un paramètre k ; on trouve :Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 19


⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 2a−k⋅ay = a+ k⋅az = aPareillement, les équations paramétriques de la droite AF déterminent les coordonnéesd’un point quelconque Y sur cette droite en fonction d’un paramètre l ; on trouve :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = ay = l⋅az = a+ l⋅aDès lors :→ → → →XY = a( k −1) ⋅ e1+ a( l −k −1)⋅ e2+ al ⋅e3→ → → → → →Comme BC =−a ⋅ e1+ a ⋅e2 et AF = a⋅ e2+ a⋅e3 , les conditions d’orthogonalité→→→→XY• BC = 0 et XY• AF = 0 donnent finalement naissance au système⎧ l− 2k= 0⎪⎨⎩⎪ 2l−k− 1=0qui permet de déterminer les valeurs des paramètres qui conviennent. On trouve :k = 1 3et l = 2 3C’est l’interprétation de ce résultat qui est intéressante !En bref, si on détermine toutes les perpendiculaires communes à tous les couplesd’arêtes non coplanaires d’un octaèdre régulier, on observe qu’elles se regroupent parfamilles de 6 droites parallèles entre elles. Ces droites sont toutes perpendiculaires àdeux mêmes faces de l’octaèdre. On retrouve ainsi le principe de construction généralede la perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires : celles-ci déterminenttoujours deux plans parallèles dont chacun contient une de ces droites, et laperpendiculaire commune est prise parmi les droites perpendiculaires à ces deux plans.La projection orthogonale suivant la direction de ces droites fait apparaître une « étoilede David » dans l’octaèdre (cfr. figure 13), qui illustre parfaitement la position des piedsdes perpendiculaires communes aux tiers et deux tiers des arêtes.20 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Figure 13 : une projection orthogonale de l’octaèdre surune de ses faces fait voir une « étoile de David »Une maquette (cfr. figures 14 et 15) permet éventuellement de visualiser cesconfigurations et leurs propriétés.Figure 14 : une famille de perpendiculaires communes à des arêtesnon coplanaires, toutes parallèles entre ellesGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 21


Figure 15 : l’octaèdre régulier posé sur une de ses facesOn trouvera plus de détails sur l’exploitation de cette situation d’intégration, et sur lesraisonnements de géométrie synthétique sous-jacents, dans :J.-P. Cazzaro, G. Noël, F. Pourbaix et P. Tilleuil – Structurer l’enseignement desmathématiques par des problèmes. De Boeck, Bruxelles ; 2001.Un Complément : à propos de l’équation cartésienned’un planLa géométrie cotée permet aussi de construire des situations d’apprentissage à proposdes équations cartésiennes d’un plan. Par exemple, on peut demander de déterminer lescoordonnées de suffisamment de points situés dans le même plan que les points A, B etC représentés dans la figure ci-dessous :Figure 16 : les cotes de trois points d’un plan22 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


et ensuite d’en déduire une relation entre les coordonnées des points du plan enquestion.D’autre part, il est bien connu que le produit scalaire permet de traiter rapidement et/oud’interpréter élégamment l’équation cartésienne d’un plan. Mais l’équation cartésienned’un plan a encore du sens en dehors du choix d’un repère orthonormé. Une situationd’apprentissage à cet effet est détaillée dans une autre fiche de ce guideméthodologique. Elle permet à qui le souhaite de traiter de la question sans vecteurs niproduit scalaire, et de comparer ensuite les qualités de chaque mode d’approche.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 23


Un parcours pour apprendre àMettre au point des outils quiassocient la géométrie à denouvelles formes de calcul, etexploiter les méthodes dedémonstration et de résolutionde problèmes qui en découlentLes équations de plans et de droites


IntroductionLe guide méthodologique est un complément au programme du troisième degré(référence D/2000/7362/023). Il s’agit d’une nouvelle formule de documentd’accompagnement, qui propose aux enseignants des situations d’apprentissage, desstructurations des connaissances acquises à la suite de ces situations, ainsi que quelquessituations d’intégration. Dans la logique du développement des compétences, on yprivilégie naturellement des situations qui favorisent les initiatives des élèves et ce, dèsl’introduction des notions, et non pas uniquement à l’occasion de l’une ou l’autreapplication. Quant à l’organisation générale d’une année, le guide met en évidencequelques moments-clés dans le parcours des grands thèmes du nouveau programme.Bien sûr, tous ces éléments sont livrés ici à titre d’exemples. Ils sont proposés commede nouveaux outils pour dynamiser les apprentissages et conduire à une maîtriseprofonde des notions fondamentales. En particulier, les situations d’apprentissage visentà ancrer ces notions dans un contexte qui soit significatif pour les élèves. Un desobjectifs essentiels poursuivi dans ce guide est donc de faire mieux apprécier lesconsidérations pédagogiques qui sous-tendent le nouveau programme, et de compléterdans ce sens la panoplie des ressources dont dispose l’enseignant.Une pédagogie qui encourage l’initiative de l’élève met inévitablement l’enseignant aucentre du projet. Dans la classe, l’enseignant demeure plus que jamais l’acteur quistimule les apprentissages, organise et évalue les acquis, relance chez chaque élève ledésir d’explorer, de découvrir, de s’insérer dans une dynamique de communication.L’enseignant reste aussi le metteur en scène qui définit l’essentiel de chaque thème, etdégage le temps nécessaire à la maîtrise de cet essentiel par tous les élèves. L’efficacitédes méthodes préconisées, dans ce guide ou ailleurs, tiendra toujours autant à l’art del’enseignant qu’à la nature des questions traitées.Le guide se présente sous forme de fascicules qui s’intègrent dans un classeur. Chaquefascicule est centré sur un des thèmes du programme, et s’organise autour de deuxgrandes rubriques, intitulées respectivement : « une situation d’apprentissage » et « unestructuration des connaissances ».Une situation d’apprentissageIl s’agit d’une situation-problème qui permet aux élèves de découvrir une notionessentielle d’un thème (cfr. à ce sujet le paragraphe intitulé « Une pédagogie de larecherche » dans le programme, loc. cit. p. 16). Cette rubrique est elle-même partagéeen différentes sections.La section « Enjeux » décrit brièvement les contenus disciplinaires abordés dans lasituation d’apprentissage. Elle précise éventuellement le niveau (mathématiques debase, générales ou pour scientifiques) et l’année d’étude.2 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


La section « Prérequis » signale les connaissances dont les élèves doivent disposer pourêtre autonomes dans la situation d’apprentissage.La section « Que font les élèves ? » essaie de préciser les activités que les élèves ont àmener seuls, au fur et à mesure du déroulement de la situation d’apprentissage.La section « Enoncé » fournit l’énoncé complet de la situation, tel qu’il peut être donnéaux élèves.Toutes ces sections, de par leur nature, sont relativement courtes. La section« Déroulement », qui vient ensuite, est en général beaucoup plus longue, parce qu’elletente de passer en revue les moments essentiels par lesquels les élèves vont passer pourrésoudre le problème qui leur est posé. Evidemment, il n’est pas possible de détaillerdans un document tout ce qui peut surgir du travail des élèves dans une telle situation !Mais on a au moins essayé – à l’aide de sous-titres – de relever quelques étapes quisemblent incontournables et par lesquelles tous les élèves devraient passer. Et c’est biensûr ici que l’art de l’enseignant se révélera indispensable !La section intitulée « D’autres situations d’apprentissage » énumère quelquesréférences bibliographiques où on peut trouver d’autres situations qui poursuivent desobjectifs pédagogiques analogues à ceux qui ont été mis en œuvre dans la situation dufascicule. Ces situations constituent des alternatives ou des compléments aux situationsproposées. La plupart des manuels, livres ou articles répertoriés à cette occasion peuventêtre consultés auCREM (Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques)Rue E. Vandervelde, 51400 – NIVELLES(tél. 067 / 21 25 27)En général, la situation d’apprentissage retenue dans le fascicule ne couvre pasl’ensemble des notions associées au thème. Parfois, l’énoncé de cette situation estdécoupé en plusieurs parties. Ailleurs, on trouvera plus d’une situation pour le mêmethème.Enfin, tout enseignant peut savoir qu’il n’est pas nécessaire d’aborder chaque notionsignificative à l’intérieur d’un thème à partir d’une situation d’apprentissage ad hoc.D’autant plus qu’il semble important d’habituer les élèves à s’approprier des notions oudes résultats nouveaux suivant des approches aussi variées que possible : travail derecherche à domicile, lectures, exposés, exercices et problèmes divers, …Une structuration des connaissancesCette rubrique vise à mettre en évidence les notions et les résultats de nature plusthéorique qui ont été découverts au travers de la situation d’apprentissage. Parfois, ellepropose aussi des points de vue ou des résultats qui permettent de gagner du temps enréorganisant quelques sujets tirés de thèmes différents. Cette section n’est que trèsGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 3


arement exhaustive quant aux contenus théoriques que le programme demande detraiter ! On ne perdra en tout cas pas de vue que pour devenir disponibles dans descontextes différents, les notions, et les principaux résultats qui les rendent efficaces,doivent toujours faire l’objet d’une construction théorique aussi cohérente que possible.Suivant l’occasion, une section intitulée « Une situation d’intégration » propose unesituation-problème plus ample, dont la place se situe plutôt en fin d’étude du thème, etqui demande aux élèves d’utiliser dans un contexte élargi les connaissances et lescompétences qu’ils viennent d’acquérir. De plus, cette situation requiert de la part desélèves d’organiser leur travail, de choisir une méthode et d’interpréter leurs résultats.Enfin, une « Annexe » regroupe des documents déjà présentés dans le corps du texte,mais repris dans cette annexe sous un format qui permet à l’enseignant de s’en servir aumieux pour les activités en classe.Ce guide est un outil, et se veut ouvertDe par sa conception modulaire, le guide reste ouvert à des apports nouveaux et à descompléments. En particulier, les propositions des enseignants qui nous parviendraientpourraient ainsi être intégrées dans des documents ultérieurs.Dans son état actuel, ce guide est le fruit d’une collaboration entre les auteurs, lesmembres du secteur mathématique et les conseillers pédagogiques de la FESeC. Cesderniers ont fait circuler dans les écoles des projets de situations et ont transmis ensuiteles avis et les suggestions des enseignants qu’ils avaient rencontrés. Par ailleurs,plusieurs de ces situations ont été présentées et discutées à l’occasion de formationsICAFOC, et les remarques des enseignants à ces occasions ont souvent été précieuses.Que tous ceux qui ont ainsi collaboré anonymement à ce guide trouvent ici l’expressionde nos remerciements.Ce fascicule a été rédigé et réalisé par P. Tilleuil. Les remarques et les critiques de F.Van Dieren, D. Legrand, E. Van De Wiele et C. Varlet ont permis d’améliorer la formeet le fond du texte. Et le travail de tous a permis de situer les considérationspédagogiques dans une perspective cohérente avec les objectifs d’implantation decompétences.4 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Une situation d’apprentissage : comment rester enplan au milieu d’un cube ?EnjeuxLes équations cartésiennes d’une droite et d’un plan.Niveau : mathématiques pour scientifiques (5 ème année), mathématiques générales (6 èmeannée)Que font les élèves ?Après avoir énuméré une famille de plans relativement à un cube, ils doiventcaractériser (en termes de coordonnées) certaines droites caractéristiques de ces plans,puis ces plans eux-mêmes.EnoncéDans un système d’axes orthonormés, on considère un cube dont le centrede symétrie est à l’origine des coordonnées, dont les faces sont parallèlesaux plans de coordonnées, et dont la longueur des arêtes égale 20.Caractériser en termes de coordonnées chacun des plans déterminés parune face du cube.Caractériser en termes de coordonnées chacune des droites déterminéespar une arête du cube.DéroulementD’ABORD .UNE BONNE PERCEPTION DU PROBLEME …« Caractériser un objet géométrique en termes de coordonnées » signifie expliciter uneou plusieurs relations algébriques qui caractérise(nt) tous les points appartenant à cettefigure, et rien que ceux-là ! Les différentes situations proposées dans l’énoncépermettent aux élèves de définir ou de préciser cet objectif et de se familiariser avec samise en œuvre pour quelques droites et plans caractéristiques d’une figure géométriquede l’espace.Une bonne perception de la part de tous les élèves de la situation spatiale sous-jacenteest évidemment un préalable essentiel à la résolution des questions qui vont suivre. UneGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 5


maquette de cube peut aider certains élèves à s’approprier des éléments de la situation(cfr. plus loin les figures 15 et 16). La figure 1 situe le système de coordonnées àl’intérieur du cube et indique les coordonnées de quelques points caractéristiques.Figure 1 : les coordonnées de quelques points du cubeLA CARACTERISATION DES FACESLe plan déterminé par une face est caractérisé par la valeur constante attribuée à uneseule coordonnée. Cette valeur ne peut être ici que +10 ou −10 .Les 6 plans en question sont donc caractérisés par une des relations :x =+10 ou x =−10il s’agit alors des 2 plans des faces parallèles au plan de coordonnées yO z ;y =+10 ou y =−10il s’agit alors des 2 plans des faces parallèles au plan de coordonnées xO z ;z =+10 ou z =−10il s’agit alors des 2 plans des faces parallèles au plan de coordonnées xO y .LA CARACTERISATION DES ARETESLa droite déterminée par une arête est caractérisée par la valeur constante attribuée àdeux coordonnées, et cette valeur - encore une fois - ne peut être que +10 ou −10 .Les 12 arêtes en question sont donc caractérisées par les relations :6 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


⎧y=+ 10⎪⎨⎩⎪ z =+ 10ou⎧y=+ 10⎪⎨⎩⎪ z =−10ou⎧y=−10⎪⎨⎩⎪ z =+ 10ou enfin⎧y=−10⎪⎨⎩⎪ z =−10il s’agit alors des 4 arêtes parallèles à l’axe de coordonnées O x ,⎧x=+ 10⎪⎨⎩⎪ z =+ 10ou⎧x=+ 10⎪⎨⎩⎪ z =−10ou⎧x=−10⎪⎨⎩⎪ z =+ 10ou enfin⎧x=−10⎪⎨⎩⎪ z =−10il s’agit alors des 4 arêtes parallèles à l’axe de coordonnées O y ,⎧x=+ 10⎪⎨⎩⎪ y =+ 10ou⎧x=+ 10⎪⎨⎩⎪ y =−10ou⎧x=−10⎪⎨⎩⎪ y =+ 10ou enfin⎧x=−10⎪⎨⎩⎪ y =−10il s’agit alors des 4 arêtes parallèles à l’axe de coordonnées O z .Enoncé (suite)On conserve les mêmes hypothèses que dans la question précédente.Combien y a-t-il de plans ne passant que par des milieux d’arêtes ?DéroulementLes élèves peuvent mener une recherche exhaustive, et organiser les résultats quis’ensuivent. Ils font ainsi apparaître trois séries de plans ne coupant les arêtes du cubequ’en leur milieu.Il y a d’abord 3 plans du « 1 er type » ou de « type I », chacun est parallèle à deux faces(parallèles) du cube, cfr. la figure ci-dessous. Il s’agit en fait des plans de coordonnées.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 7


Figure 2 : les 3 plans parallèles aux facesIl y a ensuite 12 plans du « 2 ème type » ou de « type II », chacun est parallèle à quatrearêtes (parallèles) du cube, et ils se regroupent par couples de plans parallèles entre eux,cfr. les figures 3 à 5 ci-après. Par groupe de 4, ces plans sont parallèles à un (seul) desaxes de coordonnées.Figure 3 : les 4 plans parallèles à l’axe des x8 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Figure 4 : les 4 plans parallèles à l’axe des yFigure 5 : les 4 plans parallèles à l’axe des zOn dénombre enfin 12 plans du « 3 ème type » ou de « type III », chacun coupe toutes lesarêtes (éventuellement prolongées) du cube. Ils se regroupent par triplets de plansparallèles entre eux, chaque triplet comportant une section hexagonale régulière ; cfr. lesfigures 6 à 9 ci-après .Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 9


Figure 6 : un premier triplet de plans parallèles,dont un de section hexagonale régulièreFigure 7 : un second triplet de plans parallèles,dont un de section hexagonale régulièreFigure 8 : un troisième triplet de plans parallèles,dont un de section hexagonale régulière10 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Figure 9 : un quatrième triplet de plans parallèles,dont un de section hexagonale régulièreIl existe d’autres plans que ceux que l’on vient d’énumérer, qui coupent bien certainesarêtes du cube en leur milieu, mais qui coupent aussi d’autres arêtes du cube ailleursqu’en leur milieu. Ces plans ne répondent donc pas à la question. La figure 10 enmontre deux de ce type.Figure 10 : ces deux plans ne passent pas que par des milieux d’arêtesLa figure 11 illustre comment déterminer les coordonnées des points inappropriés : ladroite horizontale située dans la face supérieure du cube ne coupe les arêtes qu’en leurmilieu, un raisonnement par triangles semblables dans une des faces verticalescontenant un point « ? » montre alors qu’un tel point est situé au 1 de l’arête.6Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 11


Figure 11 : un raisonnement simple de similitude permetde déterminer les coordonnées des points inappropriés …En conclusion, on a ainsi obtenu 3 + 12 + 12 = 27 plans ne passant que par des milieuxd’arêtes.Enoncé (suite et fin)Toujours suivant les mêmes hypothèses que précédemment, caractériser entermes de coordonnées chacun de ces plans qui ne passent que par desmilieux d’arêtes.DéroulementD’ABORD LES CAS SIMPLES …Les élèves doivent commencer par chercher à caractériser les coordonnées des pointsd’un plan de type I ou II, c’est-à-dire d’un plan de coordonnées ou d’un plan parallèle àun des axes de coordonnées.Les coordonnées des points d’un plan de coordonnées sont entièrement caractérisées parune (seule) des conditions x = 0 , y = 0 ou z = 0 .Les coordonnées des points d’un plan parallèle à un seul des axes de coordonnéespeuvent être caractérisées en raisonnant comme suit. Supposons, pour fixer les idées,qu’il s’agit d’un des plans parallèles à l’axe de coordonnées O z .12 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Figure 12 : pour un plan parallèle à Oz, tout estdans sa trace sur le plan xOy• un tel plan est vertical ,• sa trace sur un plan horizontal (tel que le plan de coordonnées xO y ) ledétermine donc entièrement,• cette trace ne dépend que des coordonnées qui permettent de se situer dansce plan horizontal, c’est-à-dire les coordonnées en x et en y .Dans ce cas, chacun des 4 plans considérés est donc caractérisé par une (seule) deséquations :x+ y =10, x + y = −10 , − x + y = 10 ou − x + y = −10 .De manière générale, il faut qu’à l’issue de ce travail, les élèves aient bien réaliséqu’une équation d’un plan parallèle à un axe de coordonnées ne renferme pas lacoordonnée mesurée sur cet axe.ENSUITE, UN PLAN UN PEU MOINS EVIDENT …Il reste aux élèves à caractériser les plans de type III. Les méthodes pour cela nemanquent pas… Par exemple, le « triangle magique : Tableau – Graphique –Formule » , allié à un peu de géométrie, peut suggérer la caractérisation recherchée.Supposons pour fixer les idées qu’il s’agit de caractériser les coordonnées du planpassant par l’origine dans la figure 6.On peut commencer par rassembler les coordonnées de quelques points dans un tableau,et demander aux élèves s’ils peuvent en déduire une formule - conjecturale - liant lestrois coordonnées x , y et z de n’importe quel point du plan en question.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 13


Figure 13 : ce plan n’est parallèle à aucun des axes de coordonnéesx -10 -10 0 0 10 10 0 ...y 10 0 -10 0 -10 0 10 ...z 0 10 10 0 0 -10 -10 ...nom du point A B C O D E F ...Si à ce premier stade, aucune formule ne donne satisfaction, c’est qu’il manque encorede résultats numériques. Pour en obtenir plus, on peut essayer de décrire une famille dedroites parallèles à un des plans de coordonnées.Les droites parallèles au plan de coordonnées xO y sont situées dans des planshorizontaux, d’équation z = constante. On demande donc aux élèves de caractériserquelques droites de ce type, appartenant au plan considéré. Par exemple (cf. la figure14), les droites passant par les points B et C, A et D, E et F sont respectivement décritespar les équations :⎧x+ y = −10⎪⎨⎩⎪ z = 10,⎧x+ y = 0⎪⎨⎩⎪ z = 0,⎧x+ y = 10⎪⎨⎩⎪ z =−1014 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Figure 14 : quelques droites, chacune à hauteur constanteOn conjecture alors que toutes les droites de ce genre sont caractérisées par⎧x+ y = λ⎪⎨⎩⎪ z =−λOn prouve cette conjecture - comme souvent en géométrie dans l’espace - en travaillantdans deux plans différents. Le recours à une maquette peut permettre à certains élèvesde mieux relier entre eux les points de vue correspondants .Figure 15 : une maquette de cube, avec la section hexagonale étudiée iciet les deux sections triangulaires qui lui sont parallèlesGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 15


Figure 16 : une maquette de cube, avec la section hexagonale étudiée iciet les deux sections triangulaires qui lui sont parallèles (vues de l’arrière)On considère d’abord une vue de dessus du cube, c’est-à-dire une projectionorthogonale dans le plan z = 0 (cfr. la partie supérieure de la figure 17). Si le point L acomme coordonnées ( λ ; 00 ; ) et est donc situé dans le plan xOy, alors la droite T’L acomme équation (dans ce plan xOy) :x+ y = λDans ces conditions, à quelle profondeur se trouve la droite (de la section« hexagonale ») dont la projection verticale dans xOy est justement T’L ?On raisonne pour cela dans une vue de profil du cube, ici une projection orthogonaledans le plan x = 10 (cf. la partie inférieure de la figure 17). Or, les triangles rectanglesisocèles situés dans les deux vues en question montrent tout de suite que :OL = DT ' = T ' T = λLa droite (de la section « hexagonale ») dont la projection verticale est T’L passe par lepoint T : elle se trouve donc à la profondeurz =−λC’est bien ce qu’on voulait établir !16 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Figure 17 : à quelle profondeur se trouvent les points de la droitedont les deux premières coordonnées vérifient l’équation x+ y = λ ?La preuve de cette conjecture entraîne que tous les points du plan en question peuventdonc être caractérisés par la relation indépendante du paramètre λ :z =− ( x + y)ce qu’on écrit bien souvent x + y + z = 0 . Si le doute subsiste encore, une visualisationdu graphe de la fonction z = f( x, y) = − ( x+y) à l’aide d’un tableur par exemple, peutemporter les dernières hésitations.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 17


1086420-2-4-6-8-10-7-4-10-10-9-88-7-6-55-4-3-2-12-1012345678910Figure 18 : la section hexagonale du cube, visualisée à l’aide d’un tableurOn peut qualifier la méthode que l’on vient de mettre en œuvre de méthode du balayagepuisqu’il s’agit de reconstruire le plan en le balayant par une famille de droitesparallèles à un plan de coordonnées, ou encore de méthode des lignes de niveau puisqueles droites x+ y = λ dans le plan des x et des y sont les lignes de niveau de la fonctionde deux variables f ( x, y) =− ( x + y). La lecture du tableau à double entrée qui permetde réaliser la représentation de la figure 18 fait encore apparaître ces lignes de niveau :18 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


0 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0-9 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1-8 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2-7 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3-6 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4-5 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5-4 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6-3 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7-2 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8-1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -90 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -101 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -112 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -123 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -134 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -145 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -156 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -167 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -178 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -189 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -1910 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20Figure 19 : le tableau à double entrée de f ( x, y) =− ( x + y)(les valeurs de x et y sont notées en gras)Un raisonnement de parallélisme permet d’obtenir les équations des autres plansreprésentés dans la figure 6 ; on trouve :Etc.x + y + z = 20 et x + y + z = −20D’autres situations d’apprentissageEn dehors des manuels belges et des formations ICAFOC dispensées les annéesprécédentes, les collections françaises DIMATHEME (éd. Didier, Paris), FRACTALE(éd. Bordas, Paris), TERRACHER (éd. Hachette, Paris), etc… fournissent uneintéressante panoplie de situations d’apprentissage, et d’intégration. On peut encoresignaler :G. Noël, F. Pourbaix, P. Tilleuil - L’algèbre linéaire au troisième degré du secondaire.Université de Mons-Hainaut, Service d’Analyse et de Méthodologie Mathématiques ;1997.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 19


Une structuration des connaissancesIl existe plusieurs manières, sensiblement différentes, d’obtenir les équationscartésiennes de plans (et de droites) dans l’espace. Deux approches sont classiques :l’une à partir des équations vectorielles ou paramétriques, l’autre à partir du produitscalaire. La première est générale, mais l’interprétation des coefficients dans l’équationcartésienne qu’on obtient finalement n’est pas tout de suite évidente. La seconde fournitune interprétation très intéressante de ces coefficients, mais nécessite pour cela que lerepère soit orthonormé.On se propose de décrire dans la suite deux autres méthodes pour obtenir ces équationscartésiennes. Chacune fournit une interprétation des coefficients qui apparaissent dansl’équation, et ne demande pas que le repère soit orthonormé.L’équation d’un plan en termes des coordonnées de ses pointsd’intersection avec les axesOn considère un plan π dont les intersections avec les axes sont exactement les troispoints de coordonnées ( a, 00 , ) , ( 0, b , 0)et ( 00c , , ) , et on suppose donc que abc ≠ 0 .Alors les coordonnées ( x, y, z ) d’un point quelconque de ce plan vérifient la relationcaractéristiquePREUVE (RESUMEE)xa+ y zb+ c= 1La preuve réutilise la méthode du balayage ou des lignes de niveau travaillée dans lasituation d’apprentissage.Soient ( ; ; ) λ 00 les coordonnées d’un point U’ (variable avec λ ) sur l’axe Ox (cfr. lafigure 20). Pour chaque position du point U’, c’est-à-dire pour chaque valeur de λ , onconsidère le plan π λ défini comme suit : il passe par U’, et il est parallèle à la fois à ladroite AB et à l’axe Oz. Ce plan coupe le plan π donné suivant une droite UV, qui estdonc nécessairement parallèle à la droite AB. De plus, cette droite UV étant ainsiparallèle au plan de coordonnées xOy : il existe un et un seul plan parallèle au plan decoordonnées xOy et contenant cette droite UV. Tous les points de la droite UV ont doncbien la même troisième coordonnée (associée au point W sur la figure), et la droite enquestion est donc bien le relèvement d’une ligne de niveau.20 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Figure 20 : le balayage du plan déterminé par A, B et C,en termes de droites parallèles à la droite ABCette construction permet alors d’achever la preuve en quelques calculs. La droite ABadmet comme équation dans le plan z = 0 :x y+ =1a bComme les coordonnées du point U’ sont ( λ ; 00 ; ), la droite U’V’ admet donc commeéquation dans le plan z = 0 :x ya+ b= λaIl reste à déterminer la hauteur du point U. Or, la droite AC admet comme équationdans le plan y = 0 :x z+ =1a cOn en tire facilement la hauteur recherchée :⎛ ⎞z = c⎜1−λ ⎟⎝ a ⎠La droite UV a donc comme équations :Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 21


⎧⎪⎨⎩⎪x y λ+ =a b az = c⎛ λ ⎞⎜1−⎟⎝ a ⎠Comme on tire de la deuxième équation z = 1−λ , les coordonnées de n’importe quelc apoint du plan en question vérifient donc toujours la relation x y z+ = 1 − , ou encore :a b cx ya+ zb+ c=1indépendamment de λ . La conclusion attendue s’ensuit.Que devient le procédé (et non l’équation, bien sûr !) lorsque le plan dont on cherche àdéterminer l’équation passe par l’origine sans contenir aucun des axes de coordonnées ?Il s’adapte mutatis mutandis, d’autant plus que c’est le cas que l’on a considéré dans lasituation d’apprentissage. C’est donc une question que l’on peut poser aux élèves, et quipermet d’évaluer la manière dont ils ont compris et savent adapter cette méthode debalayage…L’équation d’un plan en termes de ses intersections avec lesplans de coordonnéesOn considère un plan π , non parallèle à l’axe de coordonnées Oz . Si les équations deses droites d’intersection avec les plans de coordonnées x = 0 et y = 0 sontrespectivement z = ny + q et z = mx + p , alors p = q , et les coordonnées ( x, y, z ) d’unpoint quelconque de ce plan vérifient l’équationz = mx + ny + pPREUVE (RESUMEE)Le fait que p = q provient de ce qu’au vu des hypothèses, le plan π ne peut avoir qu’unseul point d’intersection avec l’axe Oz. C’est le point P dans la figure ci-dessous, dontles coordonnées sont donc ( 00 ; ; p ) .22 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Figure 21 : un parallélogramme (de sommet variable)livre une équation cartésienne d’un planIl s’agit alors de déterminer à quelle hauteur z se trouve le point T dans le plan π, s’il estsitué à la verticale du point T’ de coordonnées ( x; y ) dans le plan xOy ? Or, par ce pointT, les plans parallèles à yOz et xOz déterminent dans le plan π un parallélogrammePRTQ. Si T’’ désigne le point situé à même hauteur que Q sur T’T, on a→ → →alors T' T = T' T'' + T''T , c’est-à-dire :La conclusion attendue s’ensuit.z = mx + p + ( ny + p − p)= mx + p + nyLa restriction imposée au plan π d’être non parallèle à l’axe Oz n’est pas essentielle,puisque la caractérisation des plans parallèles à cet axe est facile, et a déjà été réaliséedans le déroulement de la situation d’apprentissage.A propos des équations cartésiennes d’une droiteComme la situation d’apprentissage l’a fait découvrir, les équations cartésiennes d’unedroite s’obtiennent en termes de système de deux équations du premier degré portant surles trois coordonnées d’un point de cette droite. Cela équivaut à identifier une droite àl’intersection de deux plans. Très souvent, ces équations gagnent à être exprimées sousla formeGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 23


x−Ap=y−Bqz C= −roù p , q et r sont tous trois différents de 0 , et associés à un vecteur directeur de la droiteen question. De telles équations décrivent la droite en tant qu’intersection des plansx−Ap=y−Bqetx−Apz C= −rqui sont - comme la situation d’apprentissage l’a souligné - des plans parallèles auxaxes de coordonnées Oz et O y .24 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


24 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Un parcours pour apprendre àDévelopper certains savoirsalgébriques pour enrichir lagéométrie plane, l’algèbre etl’analyseetDéterminer certainescaractéristiques d’un phénomèneà l’aide des outils du calculinfinitésimal et les interpréter àl’aide d’un graphique, un tableaunumérique et une expressionalgébriqueLes formules de trigonométrie


IntroductionLe guide méthodologique est un complément au programme du troisième degré(référence D/2000/7362/023). Il s’agit d’une nouvelle formule de documentd’accompagnement, qui propose aux enseignants des situations d’apprentissage, desstructurations des connaissances acquises à la suite de ces situations, ainsi que quelquessituations d’intégration. Dans la logique du développement des compétences, on yprivilégie naturellement des situations qui favorisent les initiatives des élèves et ce, dèsl’introduction des notions, et non pas uniquement à l’occasion de l’une ou l’autreapplication. Quant à l’organisation générale d’une année, le guide met en évidencequelques moments-clés dans le parcours des grands thèmes du nouveau programme.Bien sûr, tous ces éléments sont livrés ici à titre d’exemples. Ils sont proposés commede nouveaux outils pour dynamiser les apprentissages et conduire à une maîtriseprofonde des notions fondamentales. En particulier, les situations d’apprentissage visentà ancrer ces notions dans un contexte qui soit significatif pour les élèves. Un desobjectifs essentiels poursuivi dans ce guide est donc de faire mieux apprécier lesconsidérations pédagogiques qui sous-tendent le nouveau programme, et de compléterdans ce sens la panoplie des ressources dont dispose l’enseignant.Une pédagogie qui encourage l’initiative de l’élève met inévitablement l’enseignant aucentre du projet. Dans la classe, l’enseignant demeure plus que jamais l’acteur quistimule les apprentissages, organise et évalue les acquis, relance chez chaque élève ledésir d’explorer, de découvrir, de s’insérer dans une dynamique de communication.L’enseignant reste aussi le metteur en scène qui définit l’essentiel de chaque thème, etdégage le temps nécessaire à la maîtrise de cet essentiel par tous les élèves. L’efficacitédes méthodes préconisées, dans ce guide ou ailleurs, tiendra toujours autant à l’art del’enseignant qu’à la nature des questions traitées.Le guide se présente sous forme de fascicules qui s’intègrent dans un classeur. Chaquefascicule est centré sur un des thèmes du programme, et s’organise autour de deuxgrandes rubriques, intitulées respectivement : « une situation d’apprentissage » et « unestructuration des connaissances ».Une situation d’apprentissageIl s’agit d’une situation-problème qui permet aux élèves de découvrir une notionessentielle d’un thème (cfr. à ce sujet le paragraphe intitulé « Une pédagogie de larecherche » dans le programme, loc. cit. p. 16). Cette rubrique est elle-même partagéeen différentes sections.La section « Enjeux » décrit brièvement les contenus disciplinaires abordés dans lasituation d’apprentissage. Elle précise éventuellement le niveau (mathématiques debase, générales ou pour scientifiques) et l’année d’étude.2 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


La section « Prérequis » signale les connaissances dont les élèves doivent disposer pourêtre autonomes dans la situation d’apprentissage.La section « Que font les élèves ? » essaie de préciser les activités que les élèves ont àmener seuls, au fur et à mesure du déroulement de la situation d’apprentissage.La section « Enoncé » fournit l’énoncé complet de la situation, tel qu’il peut être donnéaux élèves.Toutes ces sections, de par leur nature, sont relativement courtes. La section« Déroulement », qui vient ensuite, est en général beaucoup plus longue, parce qu’elletente de passer en revue les moments essentiels par lesquels les élèves vont passer pourrésoudre le problème qui leur est posé. Evidemment, il n’est pas possible de détaillerdans un document tout ce qui peut surgir du travail des élèves dans une telle situation !Mais on a au moins essayé – à l’aide de sous-titres – de relever quelques étapes quisemblent incontournables et par lesquelles tous les élèves devraient passer. Et c’est biensûr ici que l’art de l’enseignant se révélera indispensable !La section intitulée « D’autres situations d’apprentissage » énumère quelquesréférences bibliographiques où on peut trouver d’autres situations qui poursuivent desobjectifs pédagogiques analogues à ceux qui ont été mis en œuvre dans la situation dufascicule. Ces situations constituent des alternatives ou des compléments aux situationsproposées. La plupart des manuels, livres ou articles répertoriés à cette occasion peuventêtre consultés auCREM (Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques)Rue E. Vandervelde, 51400 – NIVELLES(tél. 067 / 21 25 27)En général, la situation d’apprentissage retenue dans le fascicule ne couvre pasl’ensemble des notions associées au thème. Parfois, l’énoncé de cette situation estdécoupé en plusieurs parties. Ailleurs, on trouvera plus d’une situation pour le mêmethème.Enfin, tout enseignant peut savoir qu’il n’est pas nécessaire d’aborder chaque notionsignificative à l’intérieur d’un thème à partir d’une situation d’apprentissage ad hoc.D’autant plus qu’il semble important d’habituer les élèves à s’approprier des notions oudes résultats nouveaux suivant des approches aussi variées que possible : travail derecherche à domicile, lectures, exposés, exercices et problèmes divers, …Une structuration des connaissancesCette rubrique vise à mettre en évidence les notions et les résultats de nature plusthéorique qui ont été découverts au travers de la situation d’apprentissage. Parfois, ellepropose aussi des points de vue ou des résultats qui permettent de gagner du temps enréorganisant quelques sujets tirés de thèmes différents. Cette section n’est que trèsGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 3


arement exhaustive quant aux contenus théoriques que le programme demande detraiter ! On ne perdra en tout cas pas de vue que pour devenir disponibles dans descontextes différents, les notions, et les principaux résultats qui les rendent efficaces,doivent toujours faire l’objet d’une construction théorique aussi cohérente que possible.Suivant l’occasion, une section intitulée « Une situation d’intégration » propose unesituation-problème plus ample, dont la place se situe plutôt en fin d’étude du thème, etqui demande aux élèves d’utiliser dans un contexte élargi les connaissances et lescompétences qu’ils viennent d’acquérir. De plus, cette situation requiert de la part desélèves d’organiser leur travail, de choisir une méthode et d’interpréter leurs résultats.Enfin, une « Annexe » regroupe des documents déjà présentés dans le corps du texte,mais repris dans cette annexe sous un format qui permet à l’enseignant de s’en servir aumieux pour les activités en classe.Ce guide est un outil, et se veut ouvertDe par sa conception modulaire, le guide reste ouvert à des apports nouveaux et à descompléments. En particulier, les propositions des enseignants qui nous parviendraientpourraient ainsi être intégrées dans des documents ultérieurs.Dans son état actuel, ce guide est le fruit d’une collaboration entre les auteurs, lesmembres du secteur mathématique et les conseillers pédagogiques de la FESeC. Cesderniers ont fait circuler dans les écoles des projets de situations et ont transmis ensuiteles avis et les suggestions des enseignants qu’ils avaient rencontrés. Par ailleurs,plusieurs de ces situations ont été présentées et discutées à l’occasion de formationsICAFOC, et les remarques des enseignants à ces occasions ont souvent été précieuses.Que tous ceux qui ont ainsi collaboré anonymement à ce guide trouvent ici l’expressionde nos remerciements.Ce fascicule a été rédigé et réalisé par P. Tilleuil, avec la collaboration de D. Legrandet M. Schneider. Les remarques et les critiques de F. Van Dieren, A. Koeune, E. Van DeWiele et C. Varlet ont permis d’améliorer la forme et le fond du texte. Et le travail detous a permis de situer les considérations pédagogiques dans une perspective cohérenteavec les objectifs d’implantation de compétences.4 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Une situation d’apprentissage : la superposition desondesEnjeuxEtudier certaines combinaisons linéaires de fonctions trigonométriques dans le contexte« Tableaux - Graphiques - Formules ». Découvrir à cette occasion les formulesd’addition des nombres/fonctions trigonométriques.Niveaux : mathématiques générales, mathématiques pour scientifiques ; la méthode derésolution de l’équation a sin x + bcosx = c est réservée au cours de mathématiquespour scientifiques.Que font les élèves ?Ils dégagent les caractéristiques d’une combinaison linéaire de deux ondes (de mêmefréquence) à partir de graphiques appropriés. Ils interprètent leurs résultats en termes deformules, qu’ils généralisent pour découvrir de nouvelles identités trigonométriques.EnoncéOn considère les deux phénomènes ondulatoires décrits par les fonctions3sin x et 4cosx .La superposition 3sinx 4cosx+ de ces deux ondes peut-elle encore êtreassociée à un phénomène ondulatoire ? Si oui, quelles en sont lescaractéristiques (amplitude de l’onde, période, racines, …) ?DéroulementDans toute la suite, et sauf mention explicite du contraire, tous les angles sont exprimésen radians.Les élèves construisent eux-mêmes - ou on leur fournit - les graphiques des troisfonctions en question.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 5


64200 2 4 6 8 10 12 14-2-4-6Figure 1 : les graphiques des fonctions 3sin x , 4cosx et 3sinx + 4cosxDISTINGUER LES FONCTIONS GRÂCE À LEUR AMPLITUDEA première vue, ces trois fonctions appartiennent à la même famille de fonctions deréférence : ce sont des multiples de fonctions du type « sinus », éventuellementdécalées, c’est-à-dire translatées horizontalement, ou déphasées, comme disent lesphysiciens. C’est bien évident pour les deux fonctions originelles...Lorsque ces fonctions sont représentées sur un même support, les élèves ont d’abord àpréciser quelle fonction est affectée à chaque série de points. C’est l’examen des valeursextrémales (ou de l’amplitude) des fonctions 3sin x et 4 cos x qui permet de lesdistinguer de la fonction f ( x) = 3sinx+4 cosx. Les élèves peuvent alors en déduireque l’amplitude de cette dernière semble être égale à 5.UNE SUPERPOSITION DE FONCTIONS DE MÊME PÉRIODE EST PÉRIODIQUELa fonction f ( x) = 3sinx+4 cosxest donc certainement périodique, et sa période nepeut être égale qu’à 2π .LES RACINES, ET CE QU’ELLES SIGNIFIENTLes racines de la fonction f ( x) = 3sinx+4 cosxsont celles de l’équationtrigonométrique élémentaire3sinx + 4cosx = 06 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Les élèves savent la résoudre avec ce qu’ils ont appris en trigonométrie en 4 ème : elleéquivaut en effet àtan x =− 4 3La valeur principale de l’angle recherché (c’est-à-dire la valeur comprise entre − π 2 etπ2 ) est ϕ 0 =− 0, 927295218 Une solution générale de cette équation s’écrit doncx =− 0, 927295218+kπ où k est un entier. Les deux premières valeurs positives quel’on obtient ainsi sont− 0, 927295218+ π = 2,214297436− 0, 927295218+ 2π= 5,355890089qui se retrouvent visuellement sur le graphe de f ( x) = 3sinx+4 cosx.RISQUER ET PRÉCISER UNE CONJECTUREA la suite de ces observations et de ces calculs, les conjectures peuvent prendre forme.Comme la fonction f ( x) = 3sinx+4 cosxse représente sous forme d’une onde dontl’amplitude est approximativement 5 et dont on connaît les racines, on peut amener lesélèves à proposer une identité du type3sin x+ 4cos x = 5sin( x−ϕ)où ϕ est une des racines qu’on vient de déterminer. Mais de quelle racine s’agit-il ?Cette question-là est un peu subtile !Si ϕ est la valeur principale de l’angle dont la tangente vaut − 4 , c’est-à-dire si3ϕ = ϕ0 = −0, 927295218, alors l’identité est plausible parce qu’au voisinage de cettevaleur de x, la fonction 5sin( x − ϕ 0 ) est croissante comme l’est la fonction3sinx + 4cosx au voisinage du même point.Par contre, si ϕ = 2, 214297436 est la première racine positive de l’équationtan x =− 4 alors l’identité est fausse, parce qu’au voisinage de cette racine, la fonction35sin( x − ϕ ) est croissante tandis que la fonction 3sinx + 4cosx est alors décroissante.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 7


CONCLUSIONSSi on définit ϕ 0 comme la valeur principale de l’angle dont la tangente vaut − 4 3 ,l’identité 3sin x+ 4cos x = 5sin( x−ϕ 0 ) semble raisonnable.Les élèves peuvent la tester numériquement : cela confirme le bien-fondé de laconjecture, … mais ne prouve rien ! Et avant d’aller plus loin, il est utile d’affiner unpeu ces premiers résultats : quelques nouvelles idées peuvent s’ensuivre !Enoncé (suite)On considère les deux phénomènes ondulatoires décrits par les fonctionssin x et 2cosx .La superposition sin x + 2 cos x de ces deux ondes peut-elle encore êtreassociée à un phénomène ondulatoire ? Si oui, quelles en sont lescaractéristiques (amplitude de l’onde, période, racines, …) ?DéroulementCE QUI CHANGE ET CE QUI NE CHANGE PAS …Encore une fois, les élèves construisent eux-mêmes - ou on leur fournit - les graphiquesdes trois fonctions en question.2,521,510,500 1 2 3 4 5 6 7-0,5-1-1,5-2-2,5Figure 2 : les graphiques des fonctions sin x , 2cosx et sin x + 2 cos x8 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Ils doivent arriver maintenant à les distinguer sans difficulté, constater quesin x + 2 cos x est encore une onde, préciser la périodicité, etc.Mais l’amplitude de la fonction gx ( ) = sinx+2 cosxne se lit pas très bien sur legraphique. Elle semble comprise entre 2 et 2,5. L’examen d’un tableau de valeurspermet d’être un peu plus précis.x sin x + 2 cos x0,5 2,234590662…3,6 -2,236037276…6,7 2,233616217…9,9 -2,235918199…13 2,2350606…Tableau 1 : extraits d’un tableau de valeurs de sin x + 2 cos x(dans le tableau complet, les valeurs de x se succèdent au dixième de radians)L’amplitude en question semble donc devoir être comprise entre 2,2336 et 2,2360.Par contre, les racines de cette fonction s’obtiennent comme précédemment : ce sont lessolutions de l’équation trigonométrique élémentaire sin x + 2cosx = 0, c’est-à-dire detan x =−2 . La valeur principale de l’angle recherché est ψ 0 =− 1107148718 , Unesolution générale de cette équation s’écrit donc x =− 1107148718 , +kπ où k est unentier. Les deux premières valeurs positives que l’on obtient ainsi sont− 1107148718 , + π = 2,034443936− 1107148718 , + 2π= 5176036589 , qui se retrouvent toujours visuellement sur le graphe de gx ( ) = sinx+2 cosx.On peut pousser encore plus loin les observations. Par exemple, l’amplitude desin x + 2 cos x devrait s’évaluer à mi-distance de deux racines consécutives. Commecelles-ci sont maintenant connues avec une très bonne précision, les premières valeurs àtester ainsi sont− 1107148718 , + 2,034443936= 0,46364760922, 034443936 + 5,176036589= 3,605240263 .2On calcule alorsg( 0, 463647609) = 2,236067977g( 3, 605240263) =−2,236067977Cela confirme et précise sensiblement l’encadrement obtenu plus haut.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 9


RISQUER ET PRÉCISER UN PEU PLUS UNE CONJECTUREAvec les élèves, on peut prolonger le genre de conjecture faite dans l’énoncé précédent.Si la fonction gx ( ) = sinx+2 cosxdoit se représenter sous forme d’une onde dont onconnaît les racines, on peut proposer une identité du typesin x+ 2 cos x = Asin( x−ψ)où ψ est une des racines qu’on vient de déterminer, et A est cette amplitudeapproximativement connue, proche de 2,23606...A nouveau, il s’agit de préciser de quelle racine il s’agit.Comme précédemment, si ψ 0 est la valeur principale de l’angle dont la tangente vaut− 2 (c’est-à-dire si ψ 0 =− 1107148718 , ), alors au voisinage de cette valeur de x, lafonction sin( x −ψ 0 ) et la fonction sin x + 2 cos x sont simultanément croissantes.Pour achever l’argument, il faudrait être sûr … du signe de A et, si possible, de savaleur « exacte (?) »UNE IDENTITÉ PEUT ÊTRE PARTICULARISÉESi l’identité est effectivement vraie, elle doit l’être pour toutes les valeurs de x. Enparticulier, pour x = 0 , elle devient :2 =−Asinψet, pour x = π 2 :1 = AcosψLes différentes détermination possibles de l’angle ψ n’interviennent que « modulo2π ». Or, si ψ = ψ 0 = −1107148718, , on asinψ 0 < 0 et cosψ 0 > 0 d’où A > 0tandis que si ψ = ψ 0 + π = 2, 034443936 :sinψ = sin( ψ 0 + π ) > 0 et cosψ = cos( ψ 0 + π)< 0 d’où A < 0En d’autres termes, le fait de choisir une racine bien précise de sin x + 2cosx = 0 fixeentièrement le signe de l’amplitude A.10 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


LE CALCUL DE L’AMPLITUDELes deux relations 2 =−Asinψ 0 et 1 = Acosψ 0 donnent immédiatement2 1A =− = =sinψcosψ0 0ce qui confirme les estimations réalisées précédemment.2,236067978Mais on peut faire encore un peu mieux ! En additionnant membre à membre les deuxrelations 2 =−Asinψ et 1 = Acosψ après les avoir élevées au carré, on trouve :Dès lors, 52² + 1² = A²sin² ψ + A²cos² ψ = A²2= A , d’où la valeur (positive) recherchée A = 5 = 2, 236067977CONCLUSIONSSi on définit ψ 0 comme la valeur principale de l’angle dont la tangente vaut − 2,l’identité sin x+ 2cos x = 5sin( x−ψ 0 ) semble aussi raisonnable que l’identité3sin x+ 4cos x = 5sin( x−ϕ 0 ) trouvée précédemment.Les élèves peuvent encore la tester numériquement, sans que cela ne donne autre chosequ’un grand nombre de vérifications … mais ne prouve rien !Enoncé (suite et fin)Comment déterminer généralement les constantes A et ϕ dans une identité(toujours conjecturale) du type : asin x+ bcos x = Asin( x−ϕ ) , ensupposant ab ≠ 0 .Comment en déduire un développement de sin( x − ϕ ) en termes desnombres trigonométriques de x et ϕ ?DéroulementLa première partie de l’énoncé revient pour les élèves à transposer en écriture littéralece qui a été réalisé numériquement dans les deux énoncés précédents. L’exercice peutprésenter quelques difficultés pour certains élèves, mais cette forme de généralisationest tellement importante qu’il convient de laisser tous les élèves s’y essayer !Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 11


LES ÉTAPES IMPORTANTES DE LA TRANSPOSITIONL’idée à mettre en œuvre est toujours la même que dans les cas numériques des énoncésprécédents. Si la formule asin x+ bcos x = Asin( x−ϕ ) est bien une identité, elle estvraie pour toutes les valeurs de x, en particulier pour ces trois valeurs remarquables :x = ϕ , x = 0 et x = π 2, on obtient ainsi les trois conditions :asinϕ+ bcosϕ= 0b =−Asinϕa = AcosϕLa première implique qu’on doit avoir :tanϕ =− b aL’angle ϕ est ainsi déterminé « modulo π », et on peut se décider une fois pour toutesπà choisir la valeur principale − < ϕ


D’UNE IDENTITÉ À L’AUTREPour obtenir un développement de sin( x − ϕ ) à partir de l’identitéasin x+ bcos x = Asin( x−ϕ ) , le mieux est de diviser membre à membre cette dernièrepar A. On trouve ainsi la relation :a bsin( x − ϕ ) = sin x + cos xA ALes deux conditions b =−Asinϕ et a = Acosϕ déjà utilisées précédemmentpermettent d’écrire cette relation sous la forme :sin( x− ϕ ) = cosϕ sin x−sinϕcos xou, de manière plus classique : sin( x− ϕ) = sin xcosϕ −cos xsinϕ , qui répond à laquestion.CONCLUSIONSLes trois énoncés qui ont été travaillés ont développé une interprétation – conjecturale !- du graphique de la superposition de deux fonctions périodiques de la même variable :asin x+ bcos x = signe( a) a² + b² sin( x−ϕ)où ϕ est l’unique angle vérifiant les deux conditions :π− < ϕ


E. W. Swokowski, J. A. Cole - Algèbre et Trigonométrie, avec GéométrieAnalytique. De Boeck Université, Paris, Bruxelles ; 1998.Le commentaire qui suit la rubrique « Une structuration des connaissances » estconsacré aux relations entre la physique et les mathématiques ; il renseigne in fine unebelle bible de physique, qui fournit encore d’autres références pour des situationsd’apprentissage sur le même sujet.Une structuration des connaissancesA propos de démonstration(s)La situation d’apprentissage précédente ne fournit pas une démonstration des formulesqui permettent de calculer les nombres trigonométriques d’une différence (ou d’unesomme) d’angles. En fait, on y suppose l’existence d’une relation - que le graphiquesuggère, mais ne démontre pas ! - et on se contente ensuite de déterminer les constantesarbitraires qu’on a été amené à introduire.Les démonstrations de la formule de soustraction sont bien connues. La plus directe estcelle qui utilise le produit scalaire, elle établit l’identitécos( u − v) = cosucosv + sinusinvOn en déduit les différentes formules d’addition et de soustraction d’angles pour lesinus et le cosinus en jouant avec les angles associés ou la réduction au premierquadrant.UNE DÉMONSTRATION EN TERMES D’AIRESUne démonstration élémentaire de l’identitésin( x− ϕ) = sin xcosϕ −cos xsinϕpeut être réalisée en termes d’aires, et à l’aide de triangles rectangles dont l’existenceest sous-jacente dans la situation d’apprentissage précédente.Avec les notations utilisées dans le déroulement de la dernière partie de cette situationd’apprentissage, on considère donc (cfr. la figure 3) un triangle rectangle dont les côtésde l’angle droit sont de longueur a = NP et b = PS , et dont l’angle opposé au côtéPS est d’amplitude ϕ , puisque tanϕ = b a. On construit alors un deuxième trianglerectangle dont un des côtés de l’angle droit est encore le côté PS de longueur a , et dont14 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


l’angle adjacent à ce côté est d’amplitude x (pour fixer les idées, on supposeπϕ < x


alors résoudre l’équation a sin x + bcos= c revient à résoudre l’équation élémentairecAsin( x− ϕ ) = c . En particulier cette équation n’est possible que siA ≤ 1.Etc.Commentaire : le mariage des mathématiques et de laphysiqueLes cours de physique donnent l’occasion de rencontrer des phénomènes naturels -appelés phénomènes ondulatoires ou périodiques - dont la représentation mathématiqueutilise des fonctions du typeAsinω t ou Asin( ω t ± ϕ)où la variable est le temps t. Les physiciens disposent d’une terminologie appropriée àl’étude de ces phénomènes. Cette terminologie peut aussi ajouter du sens aux calculs etaux raisonnements que le mathématicien réalise sur de telles fonctions. Ainsi, dansl’expression Asin( ω t ± ϕ), le physicien appelleA : l’amplitude de l’onde,ω : la pulsation de l’onde (elle est exprimée en rad/s, puisque le temps t estexprimé en secondes),ϕ : le déphasage (par exemple, la fonction cosinus est déphasée de π 2rapport à la fonction sinus).La plus petite séquence répétée dans un phénomène périodique s’appelle un cycle. Lapériode T du phénomène est le temps (minimal) nécessaire pour accomplir un cycle. Ona donc la relationω T=2 πLa fréquence ν du phénomène est le nombre de cycles réalisés par unité de temps,c’est donc l’inverse de la périodepar1ν = =Tω2πElle se mesure en hertz (Hz) : 1 Hz = 1 cycle/s = 1 s -1 .Une bonne part des problèmes de la physique des phénomènes ondulatoires revient àétudier des combinaisons linéaires - ou superposition - d’ondes. Ainsi, la situationd’apprentissage s’est attachée à l’étude de l’additionAsinωt + B cosωt16 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


de deux ondes de mêmes fréquences (déphasées de π ) et d’amplitudes différentes. Le2résultat est un mouvement ondulatoire qui a encore la même fréquence, et dontl’amplitude et le déphasage se calculent à partir des caractéristiques des ondes initiales.D’autres problèmes mènent à additionner des ondes de même amplitude mais defréquences différentes :Asinωt + Acosωt1 2Ce problème se règle grâce aux identités trigonométriques dites « de transformation desomme en produit », ou de Simpson ( ?) Le résultat peut s’interpréter physiquement entermes de modulation d’amplitude.2,521,510,50-0,501,93,85,77,69,511,413,315,217,11920,922,824,726,628,530,432,334,236,13839,941,843,745,647,549,451,353,255,15758,9-1-1,5-2-2,5Figure 4 : le graphe de sin t + sin 125 , tEnfin, presque tous les phénomènes périodiques peuvent être décrits avec une précisionaussi grande que voulue en termes de sommes d’ondes d’amplitude et de fréquencedifférentes. C’est l’objet de la théorie des séries de Fourier, qui constitue une branchetrès féconde des mathématiques, et où se mêlent l’algèbre, la géométrie et l’analyse.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 17


1,510,5000,91,82,73,64,55,46,37,28,199,910,811,712,613,5-0,5-1-1,5Figure 5 : les premiers termes de la série de Fourier d’une onde rectangulairePour (beaucoup) plus de précision sur ces sujets, les enseignants en physique sontirremplaçables. A défaut, on peut consulter par exemple :E. Hecht - Physique. De Boeck Université, Paris, Bruxelles ; 1999.Les chapitres 12, 13 et 24 sont plus particulièrement consacrés aux questions soulevéesici.18 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Un parcours pour apprendre àComprendre la portée desinformations chiffrées, lesanalyser et les critiquer à l’aide deparamètres statistiques et ducalcul des probabilitésLe calcul des probabilités


IntroductionLe guide méthodologique est un complément au programme du troisième degré (référenceD/2000/7362/023). Il s’agit d’une nouvelle formule de document d’accompagnement, quipropose aux enseignants des situations d’apprentissage, des structurations des connaissancesacquises à la suite de ces situations, ainsi que quelques situations d’intégration. Dans lalogique du développement des compétences, on y privilégie naturellement des situations quifavorisent les initiatives des élèves et ce, dès l’introduction des notions, et non pasuniquement à l’occasion de l’une ou l’autre application. Quant à l’organisation générale d’uneannée, le guide met en évidence quelques moments-clés dans le parcours des grands thèmesdu nouveau programme.Bien sûr, tous ces éléments sont livrés ici à titre d’exemples. Ils sont proposés comme denouveaux outils pour dynamiser les apprentissages et conduire à une maîtrise profonde desnotions fondamentales. En particulier, les situations d’apprentissage visent à ancrer cesnotions dans un contexte qui soit significatif pour les élèves. Un des objectifs essentielspoursuivi dans ce guide est donc de faire mieux apprécier les considérations pédagogiques quisous-tendent le nouveau programme, et de compléter dans ce sens la panoplie des ressourcesdont dispose l’enseignant.Une pédagogie qui encourage l’initiative de l’élève met inévitablement l’enseignant au centredu projet. Dans la classe, l’enseignant demeure plus que jamais l’acteur qui stimule lesapprentissages, organise et évalue les acquis, relance chez chaque élève le désir d’explorer, dedécouvrir, de s’insérer dans une dynamique de communication. L’enseignant reste aussi lemetteur en scène qui définit l’essentiel de chaque thème, et dégage le temps nécessaire à lamaîtrise de cet essentiel par tous les élèves. L’efficacité des méthodes préconisées, dans ceguide ou ailleurs, tiendra toujours autant à l’art de l’enseignant qu’à la nature des questionstraitées.Le guide se présente sous forme de fascicules qui s’intègrent dans un classeur. Chaquefascicule est centré sur un des thèmes du programme, et s’organise autour de deux grandesrubriques, intitulées respectivement : « une situation d’apprentissage » et « une structurationdes connaissances ».Une situation d’apprentissageIl s’agit d’une situation-problème qui permet aux élèves de découvrir une notion essentielled’un thème (cfr. à ce sujet le paragraphe intitulé « Une pédagogie de la recherche » dans leprogramme, loc. cit. p. 16). Cette rubrique est elle-même partagée en différentes sections.La section « Enjeux » décrit brièvement les contenus disciplinaires abordés dans la situationd’apprentissage. Elle précise éventuellement le niveau (mathématiques de base, générales oupour scientifiques) et l’année d’étude.La section « Prérequis » signale les connaissances dont les élèves doivent disposer pour êtreautonomes dans la situation d’apprentissage.2 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


La section « Que font les élèves ? » essaie de préciser les activités que les élèves ont à menerseuls, au fur et à mesure du déroulement de la situation d’apprentissage.La section « Enoncé » fournit l’énoncé complet de la situation, tel qu’il peut être donné auxélèves.Toutes ces sections, de par leur nature, sont relativement courtes. La section « Déroulement »,qui vient ensuite, est en général beaucoup plus longue, parce qu’elle tente de passer en revueles moments essentiels par lesquels les élèves vont passer pour résoudre le problème qui leurest posé. Evidemment, il n’est pas possible de détailler dans un document tout ce qui peutsurgir du travail des élèves dans une telle situation ! Mais on a au moins essayé – à l’aide desous-titres – de relever quelques étapes qui semblent incontournables et par lesquelles tous lesélèves devraient passer. Et c’est bien sûr ici que l’art de l’enseignant se révéleraindispensable !La section intitulée « D’autres situations d’apprentissage » énumère quelques référencesbibliographiques où on peut trouver d’autres situations qui poursuivent des objectifspédagogiques analogues à ceux qui ont été mis en œuvre dans la situation du fascicule. Cessituations constituent des alternatives ou des compléments aux situations proposées. Laplupart des manuels, livres ou articles répertoriés à cette occasion peuvent être consultés auCREM (Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques)Rue E. Vandervelde, 51400 – NIVELLES(tél. 067 / 21 25 27)En général, la situation d’apprentissage retenue dans le fascicule ne couvre pas l’ensemble desnotions associées au thème. Parfois, l’énoncé de cette situation est découpé en plusieursparties. Ailleurs, on trouvera plus d’une situation pour le même thème.Enfin, tout enseignant peut savoir qu’il n’est pas nécessaire d’aborder chaque notionsignificative à l’intérieur d’un thème à partir d’une situation d’apprentissage ad hoc. D’autantplus qu’il semble important d’habituer les élèves à s’approprier des notions ou des résultatsnouveaux suivant des approches aussi variées que possible : travail de recherche à domicile,lectures, exposés, exercices et problèmes divers, …Une structuration des connaissancesCette rubrique vise à mettre en évidence les notions et les résultats de nature plus théoriquequi ont été découverts au travers de la situation d’apprentissage. Parfois, elle propose aussides points de vue ou des résultats qui permettent de gagner du temps en réorganisant quelquessujets tirés de thèmes différents. Cette section n’est que très rarement exhaustive quant auxcontenus théoriques que le programme demande de traiter ! On ne perdra en tout cas pas devue que pour devenir disponibles dans des contextes différents, les notions, et les principauxrésultats qui les rendent efficaces, doivent toujours faire l’objet d’une construction théoriqueaussi cohérente que possible.Suivant l’occasion, une section intitulée « Une situation d’intégration » propose une situationproblèmeplus ample, dont la place se situe plutôt en fin d’étude du thème, et qui demandeGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 3


aux élèves d’utiliser dans un contexte élargi les connaissances et les compétences qu’ilsviennent d’acquérir. De plus, cette situation requiert de la part des élèves d’organiser leurtravail, de choisir une méthode et d’interpréter leurs résultats.Enfin, une « Annexe » regroupe des documents déjà présentés dans le corps du texte, maisrepris dans cette annexe sous un format qui permet à l’enseignant de s’en servir au mieuxpour les activités en classe.Ce guide est un outil, et se veut ouvertDe par sa conception modulaire, le guide reste ouvert à des apports nouveaux et à descompléments. En particulier, les propositions des enseignants qui nous parviendraientpourraient ainsi être intégrées dans des documents ultérieurs.Dans son état actuel, ce guide est le fruit d’une collaboration entre les auteurs, les membres dusecteur mathématique et les conseillers pédagogiques de la FESeC. Ces derniers ont faitcirculer dans les écoles des projets de situations et ont transmis ensuite les avis et lessuggestions des enseignants qu’ils avaient rencontrés. Par ailleurs, plusieurs de ces situationsont été présentées et discutées à l’occasion de formations ICAFOC, et les remarques desenseignants à ces occasions ont souvent été précieuses. Que tous ceux qui ont ainsi collaboréanonymement à ce guide trouvent ici l’expression de nos remerciements.Ce fascicule a été rédigé et réalisé par P. Tilleuil. Les remarques et les critiques de F. VanDieren et C. Varlet ont permis d’améliorer la forme et le fond du texte. Et le travail de tous apermis de situer les considérations pédagogiques dans une perspective cohérente avec lesobjectifs d’implantation de compétences.A propos du calcul des probabilitésCette fiche du document méthodologique, consacrée au calcul des probabilités, estsensiblement plus longue et détaillée que d’autres. Il y a grosso modo deux raisons à cela.• D’une part, les compétences terminales et donc les programmes, réservent une partimportante au calcul des probabilités, parce qu’il s’agit d’une discipline qui intervientdans un nombre croissant de domaines et tout particulièrement dans la vie quotidienne ducitoyen. Il faut donc prendre en compte cette évolution dans l’enseignement desmathématiques.• D’autre part, l’enseignement même du calcul des probabilités pose un certain nombre deproblèmes. D’abord, parce que c’est un enseignement où la modélisation (la mise enforme mathématique) de la réalité est continuelle et incontournable, ce qui suscite unemultitude de questions de la part des élèves et complique souvent la tâche de l’enseignantdans la gestion de sa classe. Ensuite, parce qu’assez souvent, les enseignants ne trouventpas dans leur formation initiale, le bagage d’intuitions fondamentales et de référencesthéoriques qui leur permet de répondre de manière éclairante à toutes ces questionsouvertes. Enfin, parce que certains manuels réduisent l’enseignement du calcul desprobabilités à une accumulation de recettes et d’astuces.La fiche qui est proposée ici ne va pas résoudre tous ces (vrais) problèmes d’un coup debaguette magique. Mais elle essaie de tracer quelques pistes pour commencer à les résoudre.4 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Cela demande souvent d’entrer dans plus de détails et d’être plus long que lorsqu’on traite degéométrie, d’algèbre ou d’analyse.Ce souci du détail ne doit pas pour autant induire chez l’enseignant l’idée que cette ficheconstitue un parcours obligatoire ! Comme pour tout le document méthodologique, sa raisond’être est de fournir un outil supplémentaire à qui en ressent le besoin. Cette fiche doit doncrester, d’abord et avant tout, un itinéraire possible parmi d’autres. Ce qui compte, c’estd’arriver à bon port : c’est toujours au capitaine - c’est-à-dire à l’enseignant – de choisir laroute !Les idées qui sont à la base de cette présentation du calcul des probabilités ne sont pas trèsneuves. Pour l’essentiel, il s’agit d’introduire la notion de probabilité à partir de celle defréquence statistique d’un résultat, afin de développer ainsi une véritable continuité entrel’apprentissage des statistiques et celui des probabilités. Les nouveaux programmes français(en particulier de seconde et de première, ce qui correspond à nos 4 ème et 5 ème transitions)mettent en avant depuis peu des idées analogues. A cet égard, une conférence de C. Robert auCREM en mai 2000 a permis de bien mesurer la portée de ces idées dans l’enseignementsecondaire, et a été déterminante pour la mise au point de cette fiche.La part de l’expérience et de la simulation dans l’apprentissage desprobabilitésQuelle est la part de l’expérience en mathématiques ? En quoi est-elle constitutive d’unapprentissage ? Et qu’en est-il pour l’enseignement des probabilités ?Dans l’enseignement de la géométrie par exemple, on n’imagine pas d’entamer des activitésde démonstration sans s’être d’abord familiarisé - et longuement, dès le primaire ! - avec lesfigures géométriques fondamentales du plan ou de l’espace. Ces explorations et cesdécouvertes participent à l’émergence d’une intuition géométrique, à partir de laquelle une(re)construction déductive peut ensuite s’organiser progressivement. De manière analogue, onne commence pas à développer toutes les ressources techniques de l’algèbre sans disposerd’abord d’une connaissance presque intime des mécanismes du calcul numérique. Là encore,l’intuition et l’expérience des nombres - initiées dès le primaire ! - sont irremplaçables.Qu’en est-il pour l’apprentissage du calcul des probabilités ? Le développement régulier etcontinu d’une intuition adaptée aux situations probabilistes de la vie courante est évidemmentaussi un objectif à poursuivre. Cette intuition se développera d’autant mieux que l’enseignantpeut consacrer le temps nécessaire à deux types d’activités directement en rapport avec dessituations concrètes : l’expérimentation et la simulation.L’expérimentation consiste à réaliser directement une expérience dont le résultat est l’effet duhasard (jet d’un ou de plusieurs dés, jeux de pile ou face, jet d’une punaise, tirage de cartes,enquêtes ou sondages, annuaires statistiques, etc…). Ce contact direct avec le concret livredes résultats dont l’interprétation statistique est simple, mais déjà riche, et qui offre aux élèvesl’occasion de se confronter physiquement aux variations ou fluctuations statistiquesinhérentes à ce genre d’expériences.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 5


La simulation consiste à réaliser de manière indirecte une expérience dont le résultat estl’effet du hasard, par exemple en utilisant un générateur de nombres aléatoires et un logicielad hoc. Cette approche relève déjà d’un second stade dans l’exploration et la découverte deslois du hasard, et constitue souvent un tremplin pour une modélisation des situationsprobabilistes de la vie courante. La simulation demande en effet à l’élève de commencer àpréciser sa description mathématique d’un phénomène aléatoire avant de la traduire en termesinformatiques. De plus, la taille des échantillons ainsi produits permet de mettre en évidencedes caractéristiques de stabilité pour les fréquences des résultats, et donc un environnementdans lequel la notion même de probabilité prend du sens.Une analogie permettra peut-être de mieux faire percevoir l’importance - et les nuances - querecouvrent ces deux types d’activités. En géométrie dans l’espace, l’expérimentationconsisterait par exemple à réaliser une maquette de cube ou de pyramide, tandis que lasimulation se proposerait de représenter ce cube ou cette pyramide en perspective cavalière.Lorsqu’il s’agit de comprendre comment la géométrie rend compte des objets de l’espace àtravers leurs propriétés, pourrait-on se permettre de sacrifier l’une ou l’autre étape ?Dans un apprentissage du calcul des probabilités, la structuration des connaissances gagnecertainement à être subordonnée à quelques situations d’apprentissage bien choisies, et donc àdes expérimentations et des simulations variées. C’est - comme pour les autres thèmes duprogramme – ce que cette fiche propose de mettre en scène. Et ici, comme en géométrie ou enalgèbre, c’est à partir de ce va-et-vient régulier entre un nombre suffisant de situations simpleset riches, et leur analyse théorique, que pourront se développer les premiers éléments d’unevéritable intuition mathématique des probabilités !6 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Une situation d’apprentissage : faut-il parier sur unbrelan ou sur un 4-2-1 ?EnjeuxDécouvrir les principes du calcul des probabilités, en particulier la définition classique et ladéfinition statistique ou fréquentiste de la probabilité d’un événement, ainsi que quelquesexemples très élémentaires de l’utilisation des diagrammes en arbre.Que font les élèves ?Au départ d’une situation aléatoire dont on fait varier certaines caractéristiques, les élèvesréalisent des expériences et des simulations, ils calculent des fréquences, ils raisonnent parinduction, ils confrontent certains modèles avec des résultats statistiques.Enoncé : les dés de couleurOn dispose de trois dés de couleurs différentes : un rouge, un bleu, un vert. On lesjette ensemble. Y a-t-il plus de chances d’obtenir un brelan (c’est-à-dire trois facesidentiques) que d’obtenir un « 4-2-1 » ?DéroulementCette première situation fait travailler les élèves sur trois sujets :• le vocabulaire de base pour modéliser des situations aléatoires,• l’hypothèse de symétrie ou d’équiprobabilité (chaque événement élémentaire possède apriori la même chance de se produire) pour les événements élémentaires, et la définitionclassique de probabilité qui en résulte,• la notion de fréquence probable, qui prépare une définition de probabilité en terme defréquence statistique.UNE EXPERIENCE A FAIREQuelle que soit la situation d’apprentissage choisie pour entamer l’étude du calcul desprobabilités, elle doit comporter une phase d’expérimentation ! Pour l’énoncé considéré ici,on peut organiser une expérience en classe en regroupant par exemple les élèves par deux, eten leur demandant de relever les occurrences des résultats attendus sur 200 lancers des troisdés. Après communication des résultats, il est souhaitable d’avoir en classe unquestionnement sur la signification de ces résultats ainsi que sur leur portée en termes deprévisions de résultats lors d’expériences ultérieures. Quelques éléments à ce sujet sont reprisà la fin de la section suivante.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 7


POUR ALLER PLUS LOIN : LA SIMULATIONUn tableur permet de simuler le genre d’expériences que les élèves viennent de réaliserphysiquement. L’intérêt d’une simulation, c’est de rendre les élèves sensibles à certainsaspects proprement mathématiques d’une situation probabiliste, tels que : la description del’expérience aléatoire et de son ensemble de résultats, certains paramètres d’ordre, derépétition, … qui la déterminent, etc. Comparativement, les expériences traditionnelles nedemandent en général aucune mathématisation préalable pour être réalisées et sont, de ce fait,relativement passives.Avec un tableur tel que EXCEL ® , on dispose de quelques fonctions de base pour produire desnombres aléatoires et pour effectuer des comptages dans un échantillon de résultats. Il n’estévidemment pas question ici d’être exhaustif quant à la manière dont on peut se servir detoutes les possibilités de ce tableur pour réaliser des simulations probabilistes. Mais à titred’exemples, les simulations dont les résultats sont décrits dans le tableau 1 ci-dessous on étéréalisées avec les deux fonctionsALEA() : cette fonction retourne aléatoirement un nombre compris entre 0 et 1 ;ENT(nombre) : cette fonction calcule la partie entière du « nombre », c’est-à-dire leplus petit entier inférieur ou égal à ce nombre.On simule alors un résultat de jet d’un dé à l’aide de l’instruction=ENT(6*ALEA())+1qui retourne un nombre entier compris entre 1 et 6. Pour le tri ou le dénombrement, on n’autilisé que les deux fonctions logiquesSI(condition ; X ; Y) : où « condition » est la condition logique à tester, et « X » et« Y » désignent les valeurs retournées par la fonction, suivant que la condition estsatisfaite ou non,NB.SI (plage de cellules ; X) : cette fonction dénombre les occurrences d’une valeur« X » dans la « plage de cellules » explicitée.Pour isoler les résultats dont on a réellement besoin, tous les moyens sont bons ! Par exemple,pour sélectionner un triplet ( x, y, z ) qui est un brelan, on teste si x = y et si y = z ; poursélectionner un triplet ( x, y, z ) qui est un « 4-2-1 », on teste si xyz = 8 et si x ≠ y . Etc.L’avantage de la simulation à l’aide d’un tableur est de fournir rapidement un nombre trèsimportant de résultats, et de mettre ainsi en scène la manière dont les fluctuations statistiquesse diluent dans des échantillons de grande taille. Voici un exemple de résultats obtenus ensimulant 10 fois 2000 lancers de 3 dés :8 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


n°d’exp.nbr. debrelansnbr. de4-2-1fréquencedes brelansfréquencedes 4-2-11 52 51 0,026 0,02552 70 58 0,035 0,0293 52 49 0,026 0,02454 54 45 0,027 0,02255 59 54 0,0295 0,0276 44 56 0,022 0,0287 52 48 0,026 0,0248 53 46 0,0265 0,0239 38 53 0,019 0,026510 59 50 0,0295 0,025Tableau 1 : un résultat de simulation (10 fois 2000 lancers de 3 dés)Sur un total de 20000 lancers de 3 dés, on obtient ainsi 533 brelans et 510 « 4-2-1 » ; lafréquence moyenne des brelans est de 2,665 % et celle des « 4-2-1 » est de 2,55 %.Dans l’exemple considéré, on observe un léger avantage pour les brelans. Mais lesfluctuations dans les résultats ne permettent pas de conjecturer qu’il y a plus de chances degagner en pariant sur l’un ou l’autre type de résultat. En fait, on ne sait pas prévoir d’avancequel sera le nombre exact de « 4-2-1 » ou de brelans qui sortira d’une expérience de 2000lancers. Et néanmoins, le résultat ne semble pas s’écarter trop d’une espèce de résultatmoyen : grosso modo entre 2 et 3 % , ce qui est paradoxalement assez précis lorsqu’on parlede l’imprévisible !A la suite de ces observations (et d’autres éventuellement), les élèves ne peuvent manquer deposer une foule de questions, souvent très diverses. L’enseignant essaiera d’en dégagerquelques problèmes plus fondamentaux.• Y a-t-il un modèle qui permette de rendre compte, d’expliquer toutes ces observations ?• Un tel modèle explique-t-il pourquoi les brelans ou les « 4-2-1 » ont une fréquence sifaible ?• Permet-il de prévoir - dans une certaine mesure (d’imprécision) - les fréquencesobservées ?• Permet-il de comprendre pourquoi les résultats de chacune des deux expériences sontapproximativement les mêmes (au sens où on tient compte de la taille de chaqueéchantillon) ?Il est important qu’il y ait dans la classe un débat aussi argumenté que possible sur de tellesquestions.COMMENT RAISONNER AVEC LE HASARD ?La plupart des questions ci-dessus demandent de mettre au point un modèle de calcul desrésultats d’une expérience aléatoire. C’est ce qu’on va essayer de faire, en se ramenantsystématiquement avec les élèves à un cas très simple : un seul dé, pour n’aller qu’ensuitevers des cas plus compliqués : 2 dés, 3 dés. On peut conseiller cette voie d’approche inductivedans beaucoup de situations, et on y aura recours plusieurs fois dans la suite. Il convient bienentendu de garder toujours présents à l’esprit les résultats expérimentaux correspondants.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 9


Il semble d’abord clair que lorsqu’on jette un seul dé, il y a une chance sur six d’obtenir unrésultat décidé à l’avance, par exemple le « 4 ». Mais comment mesurer la probabilitéd’obtenir par exemple un « double 4 » en jetant deux dés ? On peut encore recourir à unesimulation, mais cela ne peut plus être considéré comme suffisant : il ne s’agit pas tant defournir une réponse numérique que de la justifier, de la faire accepter pour des raisonsrationnelles par l’ensemble de la classe.On en revient donc à la situation simple, en essayant d’expliciter ce que signifie « lorsqu’onjette un seul dé, il y a une chance sur six d’obtenir un 4 ». Il est important de discuter avec lesélèves de tout ce que cette phrase signifie, et aussi de tout ce qu’elle ne signifie pas.• Ce qu’elle ne signifie pas - et l’expérience ou la simulation le montre à l’envi ! - , c’estque si je jette 6 fois le dé, le 4 sortira (au moins) une fois. Pourquoi ?D’abord, parce que ce raisonnement impliquerait - le choix a priori du résultat nedevant avoir aucune influence - que sur chaque lancer consécutif de 6 dés, chaquerésultat devrait alors sortir exactement une et une seule fois ! C’est le genred’affirmation que le simple bon sens condamne immédiatement.Et ensuite, parce que ce raisonnement ne permet même pas de traiter ce qui se passelorsqu’on jette le dé un nombre de fois qui n’est pas multiple de 6...• Ce qu’elle signifie - pourvu que le dé soit « honnête », c’est-à-dire non pipé - c’est qu’ilne peut pas y avoir plus de chances d’obtenir un résultat plutôt qu’un autre en un lancer(c’est même là une manière de définir un dé « honnête »).Cette hypothèse de symétrie sur les chances s’interprète en termes d’expériences ou desimulations par une répartition équitable sur l’ensemble de l’échantillon de tous les résultatsélémentaires possibles. Or, et comme on vient de le signaler, cette équirépartition n’a mêmepas de sens a priori si la taille de l’échantillon n’est pas multiple de 6. Par ailleurs, elle est engénéral d’autant moins observable que la taille de l’échantillon est petite. Mais lorsque cettetaille devient assez grande, on observe effectivement que les différents résultats possibles serépartissent équitablement :n° d’exp. nbr. de 1 nbr. de 2 nbr. de 3 nbr. de 4 nbr. de 5 nbr. de 61 1010 999 973 1036 979 10032 984 1025 990 975 990 10363 1050 970 996 1005 990 9894 1017 1004 963 978 1009 10295 1066 995 1017 953 965 10046 1025 989 1003 944 1025 10147 987 1054 964 1046 949 10008 986 1005 991 1019 974 10259 1017 1016 977 992 981 101710 988 973 1023 998 1013 1005nbr. total 10130 10030 9897 9946 9875 10122fréquence 0,16883… 0,16716… 0,16495 0,16576… 0,164583… 0,1687Tableau 2 : un résultat de simulation (10 fois 6000 lancers d’un dé)10 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Pour cette simulation, l’écart maximal avec une répartition parfaitement équitable est de0,0130, c’est-à-dire un peu plus de 1 %. On peut en déduire que lorsqu’on réalise un trèsgrand nombre de fois l’expérience de jeter un dé en notant le résultat obtenu, la fréquenced’un résultat quelconque doit être suffisamment proche de 1 6= 0, 166On étend ensuite ce raisonnement d’équirépartition au cas du lancer de deux dés. A nouveau,si les deux dés sont « honnêtes », il ne peut pas y avoir plus de chances d’obtenir un certainrésultat plutôt qu’un autre en un seul lancer. La question revient alors à faire une liste de tousles résultats possibles. Les dés étant de couleurs différentes, il n’est pas bien difficile d’arriverà 36 résultats possibles, et même de retrouver ce nombre de résultats par un raisonnementsimple, indépendant d’une liste exhaustive : pour chaque point apparent sur un dé, il y a 6possibilités de points apparents sur l’autre dé, d’où un total de 6 × 6 = 36 résultats possibles.De cette manière, on obtient qu’il y aurait 1 chance sur 36 d’obtenir un « double 4 » enlançant une fois deux dés de couleurs différentes. A nouveau, il peut être intéressant deconfronter ce résultat à une simulation ad hoc.Enfin, le cas de 3 dés se traite sans nouvelle difficulté, si ce n’est qu’ici, le raisonnementsemble bien préférable au dénombrement explicite de tous les cas possibles : on trouve eneffet 6×6×6 = 216 cas.Finalement, on dispose d’assez d’éléments pour attaquer la question initiale : rendre comptede la fréquence probable d’un brelan et la comparer à celle d’un « 4-2-1 ». Pour cela, on doitreprendre l’analyse précédente, non plus en termes d’un événement simple, mais bien d’unévénement composé de plusieurs événements simples. La situation du brelan est plus facile àaborder que celle du « 4-2-1 ». Il y a manifestement 6 brelans, à savoir : « 1-1-1 », « 2-2-2 »,« 3-3-3 », « 4-4-4 », « 5-5-5 » et « 6-6-6 ». Pour le « 4-2-1 », la distinction de couleur des désfacilite le dénombrement :rouge bleu vert1 2 41 4 22 1 42 4 14 1 24 2 1Tableau 3 : la liste des possibilités de tirage pour le « 4-2-1 »Pour les deux situations, on trouve donc à chaque fois comme valeur de la fréquenceprobable :6 1= = 0, 0277216 36Cette valeur s’insère de manière très satisfaisante parmi les résultats de simulation résumésdans le tableau 1 (pour mémoire : entre 2 et 3 %), et répond aux questions que cettesimulation avait fait naître.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 11


EN GUISE DE CONCLUSION…Cette première situation a permis d’introduire la probabilité d’un résultat en tant que formeidéalisée de la fréquence statistique. En début d’apprentissage, l’emploi de la locution« fréquence probable » ou « fréquence idéale » permet de garder présente à l’esprit cetteapproche statistique de la notion de probabilité.Une hypothèse de symétrie a aussi été dégagée, qui affirme que tous les résultats simples ouélémentaires sont équivalents devant le hasard. Cette hypothèse permet de supposer qu’engénéral ( ?) la fréquence probable ou probabilité d’un événement se calcule suivant laformule :nombre de résultats favorablesnombre de résultats possiblesMais cette formule n’est pas à utiliser sans discernement : l’énoncé suivant, consacré au casde dés indiscernables, permet de s’en rendre compte.Une terminologie, ainsi que des notions et notations plus précises peuvent éventuellement êtredéjà introduites en classe par l’enseignant à la fin de cette première situation : cfr. la section 1dans la structuration des connaissances.Enoncé (suite) : les dés indiscernablesOn dispose de trois dés indiscernables. On les jette ensemble.Y a-t-il plus de chances d’obtenir un brelan (c’est-à-dire trois faces identiques) ouun « 4-2-1 » ?DéroulementCette deuxième situation propose de faire réfléchir les élèves à propos de la notiond’équiprobabilité des événements observables.QUE SIGNIFIE « INDISCERNABLE » ?« Indiscernable » signifie qu’on ne sait faire aucune différence entre les dés. Si dans lapremière situation, le résultat « rouge : 1 / vert : 2 / bleu : 4 » est expérimentalement différentdu résultat « rouge : 1 / vert : 4 / bleu : 2 », cela n’est plus le cas lorsque les dés sontindiscernables, puisqu’ils sont alors au moins tous de même couleur !Si tous les dés ont la même couleur, le nombre de résultats possibles qu’on a calculéprécédemment semble donc devoir être modifié … Est-ce certain ? Pourquoi ?LE CHOIX D’UN MODELEDe nouveau, il vaut mieux d’abord traiter un cas simple. On considère par exemple deux désindiscernables (donc de même couleur), et on demande aux élèves s’il y a bien toujours 36résultats possibles, c’est-à-dire 36 couples distincts de points apparents ?12 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Il semble assez clair qu’il n’y a plus que 21 résultats observables :• les « doublés », toujours au nombre de 6 : « 1-1 », « 2-2 », « 3-3 », « 4-4 », « 5-5 », « 6-6 » ;• les « distincts », au nombre de 15 au lieu de 30 : « 1-2 », « 1-3 », « 1-4 », « 1-5 », « 1-6 »,« 2-3 », « 2-4 », « 2-5 », « 2-6 », « 3-4 », « 3-5 », « 3-6 », « 4-5 », « 4-6 », « 5-6 ».Qu’implique ce résultat en termes de probabilités ? Voici quelques possibilitésd’interprétation.• Si les deux dés sont de couleurs différentes, il y a 1 chance sur 36 d’obtenir un « double4 », tandis que si les deux dés sont indiscernables, il y a 1 chance sur 21 d’obtenir lemême résultat.• Si les deux dés sont de couleurs différentes, il y a 2 chances sur 36 d’obtenir un résultat telque « 1-4 », tandis que si les deux dés sont indiscernables, il y a toujours 1 chance sur 21d’ obtenir ce résultat.• Si les deux dés sont indiscernables, il y a la même probabilité d’obtenir un « double 4 »que d’obtenir un résultat tel que « 1-4 », alors que si les deux dés sont de couleursdifférentes, la probabilité d’obtenir un résultat tel que « 1-4 » est double de celle d’obtenirun « double 4 ».En fait, ces interprétations sont toutes équivalentes entre elles.Par ailleurs, il est bien clair que la résolution de cette (sous-)question pour le cas de deux dés -pour mémoire : le nombre de résultats possibles a-t-il changé ? – est déterminante pour venir àbout de la situation initiale.CE QU’APPREND UNE EXPERIENCE OU UNE SIMULATION, ET CE QUE LIVRE LERAISONNEMENTOn voit déjà apparaître une réponse à cette (sous-)question dès qu’on réalise une expériencead hoc. Mais pour que cette réponse apparaisse très clairement, il est intéressant que lesprobabilités à tester ne soient pas trop faibles et sensiblement différentes suivant l’hypothèsefaite. Par exemple, dans le cas de deux dés de couleurs différentes, la probabilité d’obtenir undoublé est de 6 1= = 0, 166 , tandis que lorsque les deux dés sont indiscernables, la36 6probabilité d’obtenir un doublé devient 6 2= = 0, 2857 puisqu’il n’y a plus que 21 cas21 7observables. Une expérience intéressante consiste donc à jeter deux dés indiscernables, et àrelever la fréquence des doublés. Cette fréquence est-elle de l’ordre de 16 à 17 % ou de 28 à29 % ? L’issue de l’expérience est inattendue pour certains élèves…Par ailleurs, dès qu’on commence à vouloir réaliser une simulation, de nouvelles questions seposent assez vite. Elles proviennent presque toujours de la manière dont on essaie d’adapterau cas des dés indiscernables les simulations réalisées pour les dés de couleurs différentes.Comment avait-on précisé la couleur de chaque dé ? Cette précision avait-elle une importancedans le dénombrement ? Comment faire disparaître la mention des couleurs dans la nouvellesimulation ? Comment le tableur la prenait-il en compte dans l’ancienne simulation ? Etc.Mais enfin, et surtout, une simple « expérience de pensée » permet de se convaincre … qu’iln’y a effectivement aucune différence entre les deux situations. Supposons en effet que lesdeux dés soient de couleur légèrement différentes, par exemple vert pâle et bleu pâle. OnGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 13


éalise l’expérience 200 fois, en la filmant avec une caméra noir et blanc (s’il en existeencore !) Quelle différence y a-t-il alors entre les résultats relevés par un observateur qui suitcette expérience en direct et qui discerne donc la couleur des dés, et les résultats que relèveun autre observateur qui ne voit de l’expérience que les images en noir et blanc (les deux désétant alors indiscernables) ? Il n’y en a évidemment aucune !Et il s’ensuit immédiatement qu’il n’y a pas non plus de différence pour la question decomparer la sortie des brelans à celles des « 4-2-1 » lors du jet de 3 dés, que les dés soient decouleurs différentes, ou indiscernables !EN GUISE DE CONCLUSION …Attention ! Le décompte qui a été effectué plus haut est entièrement correct : lorsqu’on jette 2dés indiscernables, il y a bien 15 événements observables distincts ! Mais ces événementsobservables ne sont pas équiprobables : l’« expérience de pensée » décrite plus haut en fournitquasiment une démonstration.A titre documentaire, et pour en revenir un peu à la situation originelle, on peut calculerencore qu’il y a 56 événements observables pour l’expérience du jet de 3 dés indiscernables :• 6 « triplés », tels que « 4-4-4 »,• 6× 5= 30 « doublés/non triplés », tels que « 2-2-4 »,• 20 « complètement distincts », à savoir : « 1-2-3 », « 1-2-4 » , « 1-2-5 », « 1-2-6 », « 1-3-4 », « 1-3-5 », « 1-3-6 », « 1-4-5 », « 1-4-6 », « 1-5-6 », « 2-3-4 », « 2-3-5 », « 2-3-6 »,« 2-4-5 », « 2-4-6 », « 2-5-6 », « 3-4-5 », « 3-4-6 », « 3-5-6 », « 4-5-6 ».Une expérience ou une simulation confirme ici aussi - si besoin ! – qu’il n’y a paséquiprobabilité de ces événements observables.Enfin, il devient intéressant à ce stade du travail de commencer à fixer quelques notionsfondamentales du calcul des probabilités ainsi que quelques premières règles de calcul : cfr.dans la structuration des connaissances, les extraits appropriés de la section 2.Enoncé (suite) : les dés consécutifsOn dispose de trois dés indiscernables. On les jette successivement.Y a-t-il plus de chances d’obtenir un brelan (c’est-à-dire trois faces identiques) ouun « 4-2-1 » ?DéroulementCette troisième situation permet de faire travailler les élèves sur deux sujets :• la représentation d’une situation probabiliste par un arbre,• le calcul des probabilités à l’intérieur d’un arbre (les cas élémentaires de ce qu’on appelleparfois la règle de la somme et la règle du produit et que, dans les sections 2 et 3 de lastructuration des connaissances, on a préféré appeler la formule de partition et la formulede la branche (simple)).14 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


La situation dont il est question ici n’a pas (du tout) pour objectif d’achever l’apprentissage detelles formules ! Il s’agit tout au plus de mettre en scène une situation simple où ces formulesmontrent le bout du nez sans presque qu’il soit nécessaire de les formaliser. La situationd’apprentissage suivante s’occupera de dégager des formulations plus abouties de cesrésultats.LE CHOIX D’UN MODELELorsqu’un événement est décrit sur un mode chronologique, la représentation en arbres’impose souvent de manière presque naturelle. De plus, une situation de jets de dés estsuffisamment simple pour faire apparaître – encore informellement – la manière de calculerde proche en proche les probabilités à l’intérieur d’un arbre.Comment découvrir ces règles de calcul à l’intérieur d’un arbre ? Le recours à un échantillonidéal (défini ici comme un échantillon de taille tellement grande qu’on peut y assimiler lafréquence à la probabilité) permet parfois de régler quelques difficultés. On pourra doncrecourir avec certains élèves à la construction préalable d’arbres statistiques, avant d’aborderl’étude d’arbres probabilistes. Un arbre statistique sera alors défini comme un arbre qui décritles résultats d’une expérience statistique idéale, c’est-à-dire d’une expérience mettant en jeuun échantillon idéal pour lequel les probabilités connues sont considérées comme desfréquences observées ; on pourrait parler d’arbre mixte, au sens où on y fait apparaître enmême temps des probabilités (connues) et les résultats d’une expérience.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 15


Voici un arbre statistique pour la situation en question dans le cas d’un échantillon idéal de2160000 expériences :111 er dé : 1 6 et 2 ème dé : 1 6 et 3 ème dé : 1360000 60000 10000111 er dé : 2 6 et 2 ème dé : 2 6 et 3 ème dé : 2360000 60000 10000111 er dé : 3 6 et 2 ème dé : 3 6 et 3 ème dé : 3360000 60000 10000111 er dé : 4 6 et 2 ème dé : 4 6 et 3 ème dé : 4360000 60000 10000111 er dé : 5 6 et 2 ème dé : 5 6 et 3 ème dé : 5360000 60000 10000111 er dé : 6 6 et 2 ème dé : 6 6 et 3 ème dé : 6360000 60000 10000Figure 1 : l’arbre statistique du brelan pour le lancer consécutif de 3 dés,dans le cas d’un échantillon idéal de 2160000 expériencesBien sûr, et tout en sachant bien qu’il n’y a pas de règles universelles à cet égard, il fautexpliciter avec les élèves la manière dont on choisit de représenter les éléments essentielsd’une situation aléatoire dans un arbre. Ici,- en dessous de chaque nœud de l’arbre, on a noté le nombre d’occurrences del’événement correspondant ;- au dessus de chaque branche de l’arbre, on a porté la probabilité (ou la fréquenceprobable) de la réalisation de l’événement associé au nœud suivant sur cette branche,lorsque l’événement associé au nœud précédent est réalisé.Cet arbre statistique peut aider à déterminer la probabilité d’obtenir un brelan dans la situationconsidérée. La taille de l’échantillon suggère en effet que le nombre de brelans finalementobtenus égale 10000 + 10000 + + 10000 = 60000, et donc que la probabilité d’obtenir unbrelan est de :10000 + 10000 + 10000 + 10000 + 10000 + 10000 60000 1= =21600002160000 3616 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


On peut évidemment traiter un arbre de ce genre directement en termes probabilistes :1 er dé : 1161 er dé : 2161 er dé : 3161 er dé : 4161 er dé : 5161 er dé : 61616 et 2 ème dé : 11 1⋅6 616 et 2 ème dé : 21 1⋅6 616 et 2 ème dé : 31 1⋅6 616 et 2 ème dé : 41 1⋅6 616 et 2 ème dé : 51 1⋅6 616 et 2 ème dé : 61 1⋅6 616 et 3 ème dé : 11 16⋅ 16⋅ 616 et 3 ème dé : 21 16⋅ 16⋅ 616 et 3 ème dé : 31 16⋅ 16⋅ 616 et 3 ème dé : 41 16⋅ 16⋅ 616 et 3 ème dé : 51 16⋅ 16⋅ 616 et 3 ème dé : 61 16⋅ 16⋅ 6Figure 2 : l’arbre probabiliste du brelan pour le lancer consécutif de 3 désOn tire de cet arbre une conclusion analogue à celle déduite de l’arbre statistique : laprobabilité recherchée s’obtient en faisant la somme des probabilités associées à l’extrémitéde chaque branche. On appelle une telle extrémité une feuille de l’arbre.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 17


On réalise ensuite les arbres correspondants dans le cas du « 4-2-1 ».1 er dé : 11et 2 ème dé : 2 et 3 ème dé : 41 11 1⋅6 66⋅ 16⋅ 66 et 2 ème dé : 4 et 3 ème dé : 21 11 1⋅6 66⋅ 16⋅ 61 er dé : 21et 2 ème dé : 1 et 3 ème dé : 41 11 1⋅6 66⋅ 16⋅ 66 et 2 ème dé : 4 et 3 ème dé : 11 11 1⋅6 66⋅ 16⋅ 61 er dé : 41et 2 ème dé : 1 et 3 ème dé : 21 11 1⋅6 66⋅ 16⋅ 66 et 2 ème dé : 2 et 3 ème dé : 11 11 1⋅6 66⋅ 16⋅ 6Figure 3 : l’arbre probabiliste du « 4-2-1 » pour le lancer consécutif de 3 désOn observe que l’arbre du « 4-2-1 » a une structure différente de celui du brelan. Mais – et enraisonnant comme dans le cas du brelan - la probabilité recherchée s’obtient encore en faisantla somme des probabilités calculées à l’extrémité de chaque branche.Le résultat final se révèle donc toujours identique à celui qu’on obtenait pour le lancersimultané : la probabilité d’obtenir un « 4-2-1 » ou un brelan lors du lancer consécutif de 3dés vaut aussi 1 36 .18 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


LES CONCLUSIONS QUE LIVRE LE MODELE … ET UN PARADOXEEncore une fois, il n’y a donc aucun changement : l’ordre suivant lequel on lance les dés n’aaucune influence sur le résultat !Mais cette conclusion semble parfois paradoxale à certains élèves : si, par exemple, le premierdé affiche « 3 », il est clair qu’il n’y a plus aucun espoir de gagner en misant sur un « 4-2-1 »alors qu’on a encore toutes les possibilités de gagner en misant sur le brelan. Comment peutonalors prétendre que les deux paris sont parfaitement équivalents ?Pour faire sortir ces élèves de leur dilemme, plusieurs voies peuvent être suivies parl’enseignant.• On peut expliciter une correspondance parfaite (une bijection) entre les résultats de cetteexpérience-ci et celle du jet de trois dés de couleurs différentes (pourvu que cette dernièresoit plus convaincante pour les élèves concernés), en décidant d’associer le rouge aupremier dé, le bleu au deuxième et le vert au troisième (comparer avec le tableau 3).• On peut en revenir à la définition de probabilité en termes de fréquence idéale ou defréquence pour un échantillon de très grande taille. Une probabilité ne se détermine eneffet pas du tout à partir d’une seule expérience : il faut bien au contraire considérer unéchantillon de taille suffisante pour commencer à se faire une idée, et à cette échelle, leschances se révèlent bien équilibrées. Par ailleurs, au second tirage, l’arbre du « 4-2-1 » estplus favorable que celui du brelan…• On peut aussi essayer d’approfondir un paradoxe analogue, mais de taille plus petite, etcomparer les modes de dénombrement.Un exemple de ce type est le paradoxe de la courte paille, où les règles du jeu de lacourte paille entre 5 personnes sont définies comme suit :règle 1 : parmi 5 pailles, il y en a 4 de même longueur et une plus courte queles autres,règle 2 : les pailles sont présentées identiquement aux joueurs qui ne peuventcomparer leurs longueurs,règle 3 : les joueurs tirent une paille à tour de rôle, sans la remettre en jeu et legagnant est celui qui tire la courte paille.La dernière personne qui doit prendre la paille qui reste prétend qu’elle estdéfavorisée, car le sort ne lui laisse plus de choix. Est-ce vrai ?Ce n’est qu’après avoir construit plusieurs arbres dans des contextes suffisamment différentsque les règles élémentaires du calcul arboricole peuvent être progressivement dégagées. Lasituation d’apprentissage qui suit constitue une étape supplémentaire dans ce sens.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 19


Une situation d’apprentissage concernant lesprobabilités conditionnelles : la relativité du témoignageEnjeuxDécouvrir la notion de probabilité conditionnelle, et mettre au point les deux formulesélémentaires du calcul des probabilités dans un arbre (appelées « formule de l’arborescence »et « formule de la branche (simple) » suivant la terminologie utilisée dans la structuration desconnaissances ci-après).PrérequisLes élèves devraient avoir déjà construit quelques arbres simples, par exemple du type deceux rencontrés dans la situation des « dés consécutifs » ci-dessus.Que font les élèves ?Les élèves précisent la signification des probabilités qui sont associées à une branche simpled’un arbre, ils en déduisent divers calculs de probabilités ainsi que quelques règles de calculgénérales ; ils résolvent des équations du premier degré dont les inconnues sont desprobabilités.EnoncéMonsieur Euildelynckx, 67 ans, est témoin d’un grave accident de voiture ; leconducteur responsable prend la fuite.Interrogé comme témoin principal, Monsieur Euildelynckx affirme que la voitureincriminée était un taxi bleu. Or, dans la ville où l’accident a eu lieu, il y a deuxcompagnies de taxis : la compagnie des taxis bleus, qui compte 15 voitures, etcelle des taxis verts, qui en compte 85. Un examen médical est demandé par lesenquêteurs, afin d’évaluer la capacité de reconnaissance des couleurs du témoin.Cet examen révèle que dans 80 % des cas, le témoin reconnaît correctement lescouleurs ; c’est-à-dire que dans 80 % des cas, lorsqu’on lui présente à unecertaine distance un objet bleu, il le déclare effectivement bleu, et lorsqu’on luiprésente à la même distance un objet vert, il le déclare effectivement vert.Avec ces éléments à leur disposition, quelle valeur les enquêteurs peuvent-ilsattribuer au témoignage de Monsieur Euildelynckx ?20 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


DéroulementLE DEBUT DE LA MODELISATIONUne première étape dans cette modélisation consiste à préciser l’expérience aléatoire ainsi quel’ensemble des événements à prendre en compte. Cela présente parfois des difficultés pourcertains élèves et demande un temps de mise au point.L’expérience peut se décrire comme suit : un témoin dont la vision des couleurs n’est pasparfaite, aperçoit un taxi d’une certaine couleur (vert ou bleu) et annonce ensuite la couleurqu’il voit. Comment préciser l’intervention du hasard là-dedans ? Cette intervention semanifeste par exemple dans le fait que le témoin annonce ce qu’il croit voir, et que ce n’estpas nécessairement la réalité ! Autrement dit, il n’y a pas de relation sûre à 100 % entre lacouleur réelle du taxi et la couleur que le témoin croit voir. Le hasard se manifeste donc dansle pourcentage de fiabilité attribué à la vision du témoin. Mais il se manifeste aussi dans le faitqu’un taxi d’une certaine couleur apparaît, au lieu d’un taxi de l’autre couleur …Il est intéressant d’abréger les événements qui interviennent dans le problème et de noter :• B : le taxi est effectivement bleu,• V : le taxi est effectivement vert,• b : le témoin estime que le taxi est bleu,• v : le témoin estime que le taxi est vert.Il n’y a alors que 4 événements élémentaires possibles :• B et b : le taxi est effectivement bleu et le témoin estime que le taxi est bleu,• B et v : le taxi est effectivement bleu et le témoin estime que le taxi est vert,• V et v : le taxi est effectivement vert et le témoin estime que le taxi est vert,• V et b : le taxi est effectivement vert et le témoin estime que le taxi est bleu.Ils sont manifestement 2 à 2 incompatibles (pourvu qu’on admette que le témoin ne changeplus d’avis après qu’il se soit prononcé). D’une manière ou d’une autre, les élèves doiventacquérir la conviction qu’il n’y a pas d’autres événements élémentaires possibles !Lorsque tout ceci est précisé, on peut commencer à prendre en compte les donnéesprobabilistes du problème. On a :Pr( B ) = 015 , et Pr( V ) = 085 ,Il peut être intéressant de disposer d’une interprétation de ces probabilités en termes defréquence statistique. Une manière de faire est d’assimiler ces deux probabilités àcelles associées au jet d’un dé (virtuel) de 100 faces, dont 15 sont bleues et 85 sont vertes ;plus classiquement, on peut aussi assimiler ces deux probabilités à celles associées au tiraged’une boule hors d’une urne comportant 15 boules bleues et 85 boules vertes. De tellesinterprétations permettent le cas échéant de réaliser une simulation appropriée…LA PROBABILITE SUR LA BRANCHEIl faut ensuite interpréter les autres données du problème. Pour cela, l’enseignant peutsuggérer aux élèves de construire un arbre statistique, par exemple au départ d’un échantillonde 10000 expériences. Les événements élémentaires étant au nombre de 4, la réalisation decet arbre n’offre pas de grandes difficultés. On obtientGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 21


10000B et b (témoignage correct)1200B1500 B et v (témoignage incorrect)300V et b (témoignage incorrect)1700V8500 V et v (témoignage correct)6800Figure 4 : l’arbre statistique de la relativité du témoignage,dans le cas d’un échantillon idéal de 10000 expériencesPour un tel échantillon, on passe manifestement d’un nœud de l’arbre au suivant grâce audegré de fiabilité (80 % ou 20 %) de la vision du témoin.0,80B et b1200B15000,20 B et v300Figure 5 : deux branches (simples) dans l’arbre statistique de la relativité du témoignagePour l’enseignant, le point essentiel est de bien faire comprendre aux élèves que ce degré defiabilité est une fréquence idéale relative, c’est-à-dire qu’elle ne s’applique pas à n’importequel échantillon, mais bien à un échantillon dont on sait déjà quelque chose : pour estimer lacouleur d’un objet, il faut d’abord être persuadé que cet objet possède une couleur. Les deuxprobabilités (ou fréquences probables) que sont 0,80 et 0,20 se rapportent donc ici• non pas à l’échantillon complet des 10000 expériences,• mais bien à un nouvel échantillon plus restreint, formé de ces seules 1500 expériences quifont apparaître un taxi bleu.Une telle probabilité relative se note de manière toute … relative : Pr B ( b ) , ou Pr( b si B ) , ouencore Pr( b| B ) , et s’appelle la probabilité de l’événement b relative à (la réalisation de)l’événement B, ou la probabilité conditionnelle de l’événement b si l’événement B est réalisé.L’hypothèse concernant l’acuité visuelle du témoin peut alors se traduire par les quatreconditions :Pr( b| B ) = 080 ,Pr( bV | ) = 020 ,Pr( v| B ) = 020 ,Pr( v| V ) = 080 ,22 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Les élèves peuvent alors déduire l’arbre probabiliste de la situation de l’arbre statistique. Parexemple, de la relation en termes de nombres de réalisations :1200 = 0, 8⋅ 1500 = Pr( b| B ) ⋅1500ils peuvent tirer une relation en termes de fréquence120010000= Pr( bB | ) ⋅150010000c’est-à-dire 012 , = 08 , ⋅ 015 , . L’arbre probabiliste s’obtient alors sans peine :B0,15V0,850,80 B et b0,15×0,8=0,120,20 B et v0,15×0,20=0,030,20 V et b0,85×0,20=0,170,80 V et v0,85×0,80=0,68Figure 6 : l’arbre probabiliste de la relativité du témoignageEn termes généraux, le genre de relation que l’on vient d’obtenir s’écrit :Pr( B et b) = Pr( b| B) ⋅ Pr( B)en assimilant la probabilité à une fréquence pour un échantillon idéal. On obtient pareillementPr( B et v) = Pr( v| B) ⋅ Pr( B), etc.ETRE OU NE PAS ETRE … UNE PROBABILITE CONDITIONNELLEL’arbre que les élèves viennent de construire offre quelques bonnes occasions de mettre àl’épreuve leur compréhension de la notion de probabilité conditionnelle.Une première observation à faire concerne la non-équiprobabilité des 4 événementsélémentaires : elle se visualise immédiatement sur la figure 6.Plus généralement, il peut être intéressant de discuter de la différence de signification entre lestrois probabilités Pr( b| B ), Pr( B ∩ b)et Pr( B| b ) construites à partir des deux événements« B : le taxi est effectivement bleu » et « b : le témoin estime que le taxi est bleu ».• La probabilité conditionnelle Pr( b| B ) est une mesure de l’acuité visuelle du témoin dansle bleu. Le hasard y est présent par la seule entremise du témoin lui-même, la couleur duGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 23


taxi étant invariablement bleue. Une condition telle que Pr( b| B ) = 1 signifierait que lavision du témoin est parfaite dans le domaine du bleu, tandis que Pr( bB | ) = 0 le décriraitcomme insensible au bleu. L’hypothèse Pr( bB | ) = 080 , signifie que la vision du témoinest d’assez bonne qualité (dans le bleu).• La probabilité conditionnelle Pr( B| b ) est une mesure de la fiabilité du témoin quand ilprétend qu’un taxi est bleu, c’est-à-dire de la concordance entre ce qu’il voit et la réalité.Le hasard n’y est présent que par le « tirage au sort » de la couleur de la voiture, l’avis dutémoin étant connu. Une condition telle que Pr( Bb | ) = 1 signifierait que son témoignageest irréfutable, tandis que Pr( Bb | ) = 0 impliquerait que le témoin doit être considérécomme totalement non crédible.• Enfin, la probabilité Pr( B et b)mesure la proportion de témoignages « sans fautes » dutémoin, ou plus exactement, elle n’en mesure qu’une partie : il faudrait y ajouterPr( V et v)pour être complet. Une condition telle que Pr( B et b)= 1 signifierait que tousles témoignages concernent toujours une voiture réellement bleue et vue comme telle,tandis que Pr( B et b)= 0 traduirait le fait que les deux événements « B : le taxi esteffectivement bleu » et «b : le témoin estime que le taxi est bleu » ne s’observentquasiment jamais. Suivant les données du problème, la probabilité Pr( B et b) = 012 , estfaible parce qu’il y a peu de taxis bleus, et qu’il y en a donc encore moins qui peuvent êtreidentifiés visuellement comme étant bleus.Mais un point est acquis maintenant : ce que le problème demande de déterminer, c’est laprobabilité conditionnelle Pr( B| b ) , c’est-à-dire la probabilité que le taxi soit effectivementbleu lorsque le témoin prétend qu’il l’est. A la suite de la discussion précédente, la classepourrait déjà marquer son accord a priori sur des critères tels que : si Pr( B| b) ≥ 075, , letémoin peut être considéré comme fiable, tandis que si Pr( B| b) ≤ 0,50 , le témoin peut êtreconsidéré comme douteux.Comment calculer cette probabilité Pr( B| b ) ?UNE PREMIERE METHODE : LE RENVERSEMENT DES ARBRESOn peut inciter les élèves à tirer de nouveaux renseignements de l’arbre statistique de la figure4, en leur suggérant d’en déduire un nouvel arbre qui parte de ses terminaisons ou feuilles(cfr. la figure 7 ci-dessous). En effet, les événements « B : le taxi est effectivement bleu » et« V : le taxi est effectivement vert » étant incompatibles, on calcule immédiatement le nombrede réalisations de l’événement « b : le témoin estime que le taxi est bleu » dans l’échantillonconsidéré :1200 + 1700 = 2900ainsi que le nombre correspondant de réalisations de l’événement « v : le témoin estime que letaxi est vert » :300 + 6800 = 710024 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


B et b1200bB et v 2900300V et b1700 v7100V et v680010000Figure 7 : le renversement de l’arbre statistique (échantillon idéal de 10000 expériences)Sur un échantillon de 10000 expériences de reconnaissance de la couleur d’un taxi, le témoinestimerait donc 2900 fois que le taxi est bleu et 7100 fois qu’il est vert. Comme il s’agit d’unéchantillon idéal, la probabilité de ces événements peut s’en déduire :2900Pr( b ) = = 029 ,100007100Pr( v ) = = 071 ,10000La considération de la branche inverséeB et b1200b2900permet finalement de calculer la probabilité relative cherchée :1200Pr( Bb | ) = = 0,41372900Cette valeur assez étonnante est commentée plus bas.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 25


Suivant le degré de maîtrise des élèves, on peut ne plus utiliser le modèle statistique, etraisonner directement en termes probabilistes. L’arbre correspondant montre qu’il n’y a pasde grandes différences quant au fond des choses :B et b0,12bB et v 0,290,03V et b0,17 v0,71V et v0,681… ni, évidemment, quant au résultat final.Figure 8 : le renversement de l’arbre probabilisteUNE DEUXIEME METHODE : LES EQUATIONS ARBORICOLESEn mathématiques, et dans un très grand nombre de questions, le simple fait de « donner unnom à ce qu’on ne connaît pas » permet souvent de faire un progrès essentiel vers unerésolution. On peut donc suggérer aux élèves que le problème considéré ici revient àconstruire un arbre dont on ne connaît que les feuilles, et leur proposer de considérer commedes inconnues toutes les probabilités qui y apparaissent et dont on ne connaît pas la valeur :b et Bm 0,12bxnb et V0,17v et Vp 0,68vyqv et B0,03Figure 9 : les inconnues dans l’arbreoù donc :x = Pr( b) et y = Pr( v)m = Pr( B| b) , n = Pr( V | b) , p = Pr( V| v) et q = Pr( Bv | )26 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Il s’agit alors d’expliciter toutes les relations qui relient ces inconnues les unes aux autres.C’est là que réside un des intérêts du procédé : les élèves sont ainsi obligés à formaliser ce quine l’était peut-être pas encore …Pour ce dont on a besoin, les 3 relations :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩m+ n = 1mx = 012 ,nx = 017 ,contiennent toute l’information nécessaire. On en tire :029 , = mx + nx = ( m + n)⋅ x = 1⋅ x = xd’où, pour la probabilité qui nous intéresse :012 ,Pr( Bb | ) = m= = 0,4137029 ,QUE VAUT DONC LE TEMOIGNAGE DE MONSIEUR EUILDELYNCKX ?Comme on vient de le calculer, la probabilité Pr( Bb | ) que le témoin ait « vu juste » est del’ordre de 41 %, de telle sorte que son témoignage peut assez légitimement être considérécomme douteux . Comment expliquer cela, alors que l’acuité visuelle du témoin semble tout àfait satisfaisante ?L’analyse de la formule de probabilité conditionnellePr( B et b) 012 , 1200Pr( Bb | ) = ==Pr(b) 012 , + 017 , 1200 + 1700permet de lever un pan du voile. Comme il y a proportionnellement beaucoup de taxisréellement verts (de l’ordre de 8500 sur un échantillon de 10000), il y en a une quantité nonnégligeable (à savoir 1700) dont la couleur est mal estimée, c’est-à-dire estimée comme bleue.C’est cette quantité de taxis mal identifiés qui amoindrit sensiblement la fiabilité (relative) dutémoignage de Monsieur Euildelynckx.Heureusement, il n’y a pas que des questions de probabilités dans les témoignages judiciaires,mais … autant savoir !EN GUISE DE CONCLUSION …Au delà de l’aspect chronologique, un arbre permet de représenter les événements d’unesituation aléatoire, lorsqu’ils sont connectés par des « et », des « si » et des « ou » :• un « et » intervient très souvent dans la définition de l’événement associé à un nœud,• un « si » sert à définir une branche (simple), et met en jeu une probabilité relative, ouconditionnelle,• un « ou » permet de rassembler des événements situés à la même hauteur, au mêmeniveau dans l’arbre.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 27


On trouve dans les sections 2 et 3 de la structuration des connaissances les principauxrésultats dont on dispose pour le calcul des probabilités conditionnelles et plus généralement,pour le calcul arboricole des probabilités. Mais il peut être utile de traiter encore une ou deuxautres situations-problèmes avant de développer l’essentiel des formules de ces deux sections.Enfin, on peut aussi aborder la notion d’indépendance de deux événements par le biais de lasituation de relativité du témoignage ; pour quelques éléments dans ce sens, cfr. l’exempledétaillé dans la section 4 de la structuration des connaissances.D’autres situations d’apprentissageLa situation d’apprentissage concernant la relativité du témoignage est extraite de l’article :R. Quinn, S. Tomlinson – Understanding Conditional Probability. Teaching Statistics, vol. 19(1997), pp. 2-7.Les livres ou articles suivants renferment bon nombre de situations qui peuvent jouer le mêmerôle que celles développées ci-dessus. De plus, ces sources proposent des corrigés, parfois trèsexhaustifs, de la plupart des questions qu’ils abordent.M. Berrondo-Agrell, J. Fourastié – Le calcul des probabilités compréhensible pour tous.Exercices avec corrigés. Gaëtan Morin Editeur, Montréal, Paris, Casablanca ; 1998.A. Engel – L’enseignement des probabilités et de la statistique. Editions CEDIC, Paris ; 1975.J. Fourastié, B. Sahler – Probabilités et statistiques. (Série J. Quinet, Dunod.) Bordas Editeur,Paris ; 1981 (2 ème édition).GEM – De question en question. Mathématiques 4. Didier Hatier, Bruxelles ; 1997.M. Glaymann, T. Varga – Les probabilités à l’école. Deuxième édition revue et corrigée.Editions CEDIC, Paris ; 1975.J.-P. Grange – Arbres et probabilités. IREM de Franche-Comté, UFR des Sciences ettechniques ; 16, route de Gray, La Bouloie – F-25030 BESANCON cedex ; 1999.J.-P. Grange – Probabilité conditionnelle et indépendance. IREM de Franche-Comté, UFRdes Sciences et techniques ; 16, route de Gray, La Bouloie – F-25030 BESANCON cedex ;1996M. Manderick, M. Peltier, N. Rouche – Contremanuel de statistique et probabilité. EditionsVie Ouvrière, Bruxelles ; 1982.G. Noël – Seconds rendez-vous probabilistes. Université de Mons-Hainaut, Centre deDidactique des Sciences ; 1993.F. Oberson – Trois dés troublants ou … les dés non transitifs. Math-Ecole n° 143 (1990), pp.20-32.28 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


G. Pagès, C. Bouzitat – En passant par hasard … Les probabilités de tous les jours.Deuxième édition revue et mise à jour. Vuibert, Paris ; 2000.A. Vander Linden – L’arbre, outil pédagogique en calcul des probabilités. Mathématique etPédagogie n° 25 (1980), pp. 29-51.Une documentation très variée concernant l’enseignement des probabilités sous tous sesaspects (historique, méthodologique, …) est rassemblée dans le recueil :Commission inter IREM Statistique et Probabilité – Enseigner les probabilités au lycée.Ouvertures statistiques, enjeux épistémologiques, questions didactiques et idées d’activités.IREM de Reims, diffusé par les réseau des IREM ; 1997.Quant à l’usage du tableur, en dehors des manuels standards, on peut signaler une parutionrécente, bien orientée vers les besoins de l’enseignement secondaire :M. Mincke - EXCEL ® . Un outil pour résoudre des problèmes au cours de sciences. DeBoeck, Bruxelles ; 2001.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 29


Une structuration des connaissancesPlan1. COMMENT DEFINIR UNE PROBABILITE ?Un peu de vocabulaireLa définition classique de probabilitéUne définition statistique de probabilitéDe la définition statistique à la définition classiqueDu calcul des fréquences au calcul des probabilités2. ARBRES ET PROBABILITES CONDITIONNELLESQuelques principes d’arboricultureLa formule fondamentale du calcul arboricole3. LA GREFFE D’UNE PARTITION SUR UN ARBREPartition et arborescenceComment renverser un arbre sans l’abattre ?4. L’INDEPENDANCE EN PROBABILITELa notion d’indépendanceLa règle du produitCOMPLEMENT 1 : MAIS VRAIMENT, QU’EST-CE QUE C’EST QU’UNE PROBABILITE ?COMPLEMENT 2 : LA FORMULE DE LA PROBABILITE DES CAUSESSi on en excepte les deux compléments, cette structuration des connaissances couvre tout leprogramme de 5 ème transition, quelle que soit l’option. La relation de l’approche suivie iciavec celle fondée sur l’axiomatique de Kolmogorov est l’objet du complément 1.1. Comment définir une probabilité ?Au tout début, il n’est pas nécessaire de s’étendre beaucoup sur la définition de probabilité :lorsqu’on jette un dé, il est clair qu’il y a 1 chance sur 6 d’obtenir un « 4 » , lorsqu’on jetteune pièce de monnaie, il y a 1 chance sur 2 d’obtenir « pile », etc. Cela ne signifie pas que desquestions ne puissent pas se poser sur des situations aussi élémentaires, mais les élèves ne lesperçoivent pas encore comme fondamentales à ce stade-là de leurs découvertes. Ce n’estqu’en abordant des questions un peu moins banales, et en n’y voyant pas clair, que les élèvesressentent le besoin de revenir sur des situations de base et de bien les comprendre. Cesmoments-là procurent de bonnes occasions pour les convaincre :30 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


• de préciser un vocabulaire qui puisse s’adapter à toutes les situations rencontrées, aussidiverses soient-elles,• de mettre au point une définition opérationnelle de probabilité, c’est-à-dire une manière dela percevoir qui corresponde aux expériences qu’ils font, et qui en suggère aussi le calculet le mode de fonctionnement.UN PEU DE VOCABULAIRE …On n’emploie jamais le mot « probabilité » tout seul, on parle toujours de la « probabilité dequelque chose », de la « probabilité d’un événement », et dans un contexte où le hasard estdéterminant.Quelques notions importantes1. Une expérience aléatoire est une expérience reproductible dont le déroulement est décritsans ambiguïté, mais dont le résultat (seul) est soumis au hasard, c’est-à-dire imprévisiblea priori.2. Décrire une expérience aléatoire peut se faire en décrivant tous les résultats qu’il estpossible d’obtenir lorsqu’on effectue cette expérience. Cet ensemble des résultatspossibles est connu sous de nombreuses appellations : ensemble - ou espace – deséventualités, des épreuves, des événements, et encore : catégorie d’épreuves, univers despossibles, etc… Dans la suite, on parlera d’ensemble des résultats (possibles) ; on réservetoujours la lettre grecque Ω à cet ensemble.3. Un événement élémentaire est alors un des résultats possibles, c’est-à-dire un élémentconstitutif de l’ensembleΩ . Un événement est un sous-ensemble (quelconque) del’ensemble Ω des résultats possibles.Exemple (cfr. la situation d’apprentissage concernant les dés de couleurs différentes). Sil’expérience aléatoire considérée consiste à jeter trois dés de couleurs différentes (un rouge,un bleu et un vert) et à noter les points obtenus sur chacune des faces, alors :• l’ensemble de tous les résultats possibles peut être énuméré sous la formeΩ= {(,,),(,, 111 112), ,(5,, 36), ,( 666 , , )}où, pour chaque triple ( abc , , ), le nombre a désigne le résultat qui apparaît sur le dérouge, le nombre b désigne celui qui apparaît sur le dé bleu et le nombre c celui quiapparaît sur le dé vert ; cet ensemble comporte 6×6×6 = 216 éléments ou événementsélémentaires ;• l’événement A = {( 124 , , ),( 142 , , ),( 214 , , ),( 241 , , ),( 412 , , ),( 421 , , )}correspond à « sortir un4-2-1 » et est constitué de 6 événements élémentaires.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 31


Remarque. Les notations et les opérations élémentaires de la théorie des ensembles sontsouvent très utiles dans le traitement des situations probabilistes. On peut trouver là uneexcellente occasion de mettre en évidence comment les mathématiques « parlent français »,c’est-à-dire comment un symbolisme mathématique traduit des énoncés du langage courant(par exemple : comment l’union ensembliste « ∪ » traduit le « ou » en français, etc...) Lepremier chapitre du livre de J. Fourastié et M. Berrondo-Agrell signalé dans la bibliographieci-dessus est particulièrement bien adapté et contient d’excellents exercices à ce propos.LA DEFINITION CLASSIQUE DE PROBABILITEDans l’enseignement secondaire, on peut recourir à plusieurs définitions élémentaires de lanotion de probabilité d’un événement. La définition classique est appelée ainsi parce que c’estcelle qu’utilisaient les premiers mathématiciens qui se sont intéressés au calcul desprobabilités : C. Huygens (1629-1695), P. de Fermat (1601-1665), B. Pascal (1623-1662), J.Bernoulli (1654-1705), P.-S. Laplace (1749-1827), etc… C’est certainement la définition laplus connue, et à juste titre.Définition. Si Ω est l’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire donnée, et si lesdeux hypothèses suivantes sont vérifiées :• (hypothèse de finitude) : l’ensemble des résultats est fini, et comporte N éléments,• (hypothèse de symétrie) : chaque événement élémentaire possède a priori la même chancede se produire que n’importe quel autre événement élémentaire,alors la probabilité d’un événement A, notée Pr( A ) , est le nombre défini parN( A)Pr( A)=Noù N ( A) est le nombre de résultats qui impliquent l’événement A, ou « qui sont favorables àl’événement A ».Remarques1. L’hypothèse de finitude est évidemment essentielle dans cette définition, puisque sanselle, le dénominateur de la fraction N ( A ) n’est pas défini.N2. L’hypothèse de symétrie est une manière d’exprimer que la situation est aussi aléatoireque possible !3. Au point de vue de la cohérence, la définition classique renferme un cercle vicieux, ausens où l’expression « avoir les mêmes chances de se produire » est une périphrase quidissimule l’ équiprobabilité des événements élémentaires : on définit ainsi la probabilité… à partir d’elle-même.4. La définition classique est difficilement exploitable lorsque l’expérience aléatoire nerépond pas à l’hypothèse de symétrie. Par exemple, lorsqu’on jette une punaise en l’air ennotant si elle retombe sur la tête ou non : il n’y a que deux événements élémentaires, maisil n’y absolument aucune raison pour qu’ils aient la même chance de se produire.Dans la grande majorité des situations traitées dans l’enseignement secondaire, l’espace desrésultats d’une expérience aléatoire comporte un nombre fini d’éléments, et l’hypothèse definitude est donc souvent vérifiée. Les variables aléatoires continues rencontrées dans le coursde 6 ème transition (la variable normale, ou éventuellement la variable de Poisson) peuvent êtreabordées comme approximation (dans les conditions appropriées) d’une binomiale, qui est,32 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


elle, associée à un espace de résultats fini. Sauf mention explicite du contraire, on fera donctoujours dans la suite cette hypothèse de finitude !UNE DEFINITION STATISTIQUE DE PROBABILITEL’idée de définir la probabilité d’un événement comme une forme idéalisée de sa fréquencestatistique est due à R. von Mises (1883-1953).Définition. On note toujours Ω l’ensemble des résultats de l’expérience considérée (et Ndésigne le nombre d’éléments que cet ensemble comporte). On appelle échantillon de taille npour l’expérience aléatoire en question : le relevé de tous les résultats de n expériences de cetype. Dans ce cadre, la fréquence Fr( A) d’un événement A est le nombre défini parnA ( )Fr( A)=noù nA ( ) est le nombre d’occurrences de l’événement A dans l’échantillon de taille n .Exemple (cfr. la situation d’apprentissage concernant les dés de couleurs différentes). Danscette expérience (dont l’ensemble des résultats comporte 216 éléments), une série de 10échantillons de taille 2000 permet de relever les fréquences d’apparition de l’événement« obtenir un brelan ».n°d’exp.nbr. debrelansfréquencedes brelans1 52 0,0262 70 0,0353 52 0,0264 54 0,0275 59 0,02956 44 0,0227 52 0,0268 53 0,02659 38 0,01910 59 0,0295Tableau 4 : résultats d’une simulation de lancers de 3 dés (extraits du tableau 1)N’importe quel exemple de ce genre montre qu’il n’y a aucune raison pour que la fréquenced’un événement dans un échantillon soit indépendante de cet échantillon. Néanmoins, lesobservations réalisées sur des quantités suffisantes d’échantillons de grande taille donnent dusens à l’hypothèse suivante.HYPOTHESE DES GRANDS NOMBRES. Lorsque la taille n d’un échantillon devientnA ( )suffisamment grande, la fréquence Fr( A)= d’un événement A tend à se stabiliser,nc’est-à-dire à devenir indépendante de l’échantillon.L’hypothèse des grands nombres permet alors de proposer une définition de la probabilitéd’un événement qui fait le lien avec les expérimentations et les simulations pratiquées enclasse.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 33


Définition. Si on admet que l’hypothèse des grands nombres est vérifiée, la probabilité d’unévénement A peut être définie comme la « limite » de sa fréquence dans des échantillons detaille croissante :n( A)Pr( A) = " lim "n →∞ nL’hypothèse des grands nombres peut se paraphraser en disant qu’à l’infini, les fluctuationsstatistiques ont tendance à s’évanouir, ou encore, comme le résumait A. Kolmogorov (1903-1987) : « … La valeur de la théorie des probabilités est fondée sur le fait que les phénomènesaléatoires engendrent à grande échelle une régularité stricte, où l’aléatoire a, d’une certainefaçon, disparu ». Une autre manière de dire cela, c’est que (loin) derrière la fréquence d’unévénement se cache un invariant : sa probabilité qui, elle, ne fluctue pas !Remarque. Dans la définition ci-dessus, la limite est une « limite expérimentale », et non pasune limite au sens du cours d’analyse. En dehors de l’hypothèse des grands nombres, on nedispose en effet d’aucun critère pour garantir que cette limite existe réellement. Ce statutexpérimental de la « limite statistique » la rend donc impossible à évaluer avec une précisionfixée a priori, et donc ambiguë à manipuler suivant les canons mathématiques. La théoriemoderne des probabilités (due aux travaux d’E. Borel (1871-1956), P. Lévy (1886-1971), A.Kolmogorov (1903-1987), etc…) est basée sur une définition générale et mathématiquementrigoureuse de la probabilité sur un ensemble d’événements. Cette définition permetd’interpréter ensuite la fréquence d’un événement dans un échantillon de grande taille, endémontrant des « théorèmes de grands nombres » et « de convergence ». A notre niveau, celasemble être une voie trop détournée pour introduire une définition de la probabilité qui soitintuitivement et expérimentalement acceptable. Le complément 1 à la fin de cette sectionfournit quelques indications supplémentaires sur ce problème.DE LA DEFINITION STATISTIQUE A LA DEFINITION CLASSIQUEOn peut relier la définition fréquentiste à la définition classique des Huygens, Fermat, … enobservant que, si l’hypothèse des grands nombres est vraie, la stabilisation des fréquencesdans des échantillons de grande taille s’interprète comme la disparition de leurs fluctuations,c’est-à-dire que pour de tels échantillons, l’ensemble des résultats possibles se répartitéquitablement sur tout l’échantillon, ou encore qu’«à l’infini, la symétrie l’emporte !»De manière un peu plus formelle, si N ( A) est le nombre d’occurrences de l’événement Adans une expérience aléatoire qui comporte N résultats possibles, alors le nombre nA ( )d’observations de cet événement dans un échantillon de taille n peut être estimé parN( A)nA ( ) ≈ ⋅ n , pourvu que cette taille soit suffisamment grande.NDU CALCUL DES FREQUENCES AU CALCUL DES PROBABILITESSi on veut développer le calcul des probabilités à partir de la définition fréquentiste, on doitrecourir à une « espèce de passage à la limite sur les propriétés des fréquences ». L’hygiènemathématique impose d’isoler une propriété (nouvelle) quand on n’est pas certain qu’elle soittoujours vérifiée. Dans un cadre formel, cela s’appelle un axiome ; ici, on va se contenter deparler de « principe ».34 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


PRINCIPE DE PASSAGE A LA LIMITE. Les règles usuelles du calcul des limitess’appliquent à la « limite expérimentale » qui permet de passer de la fréquence d’unévénement à sa probabilité.Ce principe suggère certaines propriétés des probabilités au départ de celles des fréquences,on en verra des exemples dans l’établissement des formules concernant les probabilitésconditionnelles. Il permet aussi de construire une correspondance entre la distribution desfréquences (pour un échantillon de taille donnée) et la loi - ou densité - de probabilitéscorrespondante. Plus précisément, si Ω = { ω , ω , 1 2,ω N} est l’ensemble des résultatspossibles d’une expérience aléatoire donnée, on a le tableau de correspondance suivant :Distribution de fréquences pour unéchantillon de taille donnéeLa distribution des fréquences est l’ensembledes fréquences ( f , f , 1 2 , f N) desévénements élémentaires { ω , ω , 1 2 , ω N}Chaque fréquence est un nombre comprisi∑ = Ni=1entre 0 et 1, et la somme f = 1Si A est un événement quelconque, alors safréquence Fr( A) se calcule parFr( A)= ∑ f ii : ωi∈ ASi les événements A et B sont incompatibles,alorsFr ( A ∪ B)= Fr(A)+ Fr(B)Quels que soient les événements A et BFr( A ∪ B)= Fr(A)+ Fr(B)− Fr(A ∩ B)Si A est un événement quelconque, alors lafréquence de l’événement contraire s’obtientparFr( non A) = 1 −Fr( A)iLoi - ou densité - de probabilités surl’ensemble des résultats possiblesLa loi de probabilités est l’ensemble desprobabilités { p , p , 1 2 , p N} des événementsélémentaires{ ω , ω , 1 2 , ω N}Chaque probabilité est un nombre comprisi∑ = Ni=1entre 0 et 1, et la somme p = 1Si A est un événement quelconque, alors saprobabilité Pr( A ) se calcule parPr( A)= ∑ p ii : ωi∈ ASi les événements A et B sont incompatibles,alorsPr( A ∪ B)= Pr( A)+ Pr( B)(règle de la somme)Quels que soient les événements A et BPr( A ∪ B)= Pr( A)+ Pr( B)− Pr( A ∩ B)Si A est un événement quelconque, alors laprobabilité de l’événement contraire s’obtientparPr( non A) = 1 −Pr( A)iTableau 5 : la correspondance entre fréquences et probabilités (ce tableau est inspiré d’un tableau analogue de C. Robert)Cette correspondance peut encore se prolonger en termes de variables aléatoires (finies), demoyenne ou d’espérance, de variance, … Elle sera reprise dans le cours de 6 ème transition.2. Arbres et probabilités conditionnellesUn diagramme en arbre est un excellent outil pour comprendre et résoudre des situationsprobabilistes un peu complexes, en particulier celles où une succession d’expériencesaléatoires (simples) est en jeu.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 35


QUELQUES PRINCIPES D’ARBORICULTURETrès souvent, on charge un arbre de notations diverses, qui représentent des événements oudes probabilités d’événements. Cela ne va pas sans créer parfois des ambiguïtés ou des abusd’écriture. Quelques principes d’arboriculture visent à préciser les choses, afin de garder àl’outil toute son efficacité.Sur le seul dessin d’un arbre (imaginaire), on peut déjà fixer un peu de terminologie :• le point initial est la racine de l’arbre : il représente l’événement certain Ω ,• les points terminaux (par exemple, ceux repérés par c et d dans le dessin) sont les feuillesde l’arbre,• les points intermédiaires (par exemple, ceux repérés par a et b dans le dessin) sont lesnœuds de l’arbre.Un segment qui relie deux nœuds consécutifs est appelé une branche simple, et une branche(ordinaire) est une succession de branches simples.…bcΩad……………Figure 10 : le dessin d’un arbre imaginaireUn arbre sert à modéliser une succession d’événements dans une situation probabiliste. Cesévénement sont placés aux nœuds de l’arbre. Il y a essentiellement deux manières de fairecela, et l’une est plus précise mais un peu plus longue à écrire que l’autre.On considère une suite de nœuds consécutifs. Une première manière consiste à placer lesévénements A , B , … en chacun des nœuds sans écrire explicitement que l’un est à la suite del’autre, en se disant (avec raison) que l’arbre exprime cela très clairement. On note parexemple :B CΩAFigure 11 : une (première) manière arboricole de noter les événements36 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


et l’arbre se lit sans difficulté : après l’événement A, on peut s’intéresser à l’événement B,ensuite à l’événement C, etc.Mais il faut bien garder à l’esprit que l’événement B n’est pas localisé (exclusivement) aunœud b : c’est seulement la conjonction de l’événement A et de l’événement B qui est ainsireprésentée. De même en c, c’est la conjonction de l’événement A, de l’événement B et del’événement C qui est en jeu, etc… C’est exactement ce genre de renseignement que l’arbreexprime ! En d’autres termes, il semble intéressant de représenter ces événements sous unedeuxième manière, plus précise :B ∩ AC ∩B ∩ AΩAFigure 12 : une (deuxième) manière arboricole de noter les événementsIl reste à calculer des probabilités à l’aide d’un arbre. Quelle que soit la manière de noter lesévénements sur l’arbre, la règle est d’associer à chaque nœud la probabilité de l’événementqu’il représente réellement dans l’arbre, c’est-à-dire tel que représenté dans la figure 12 , etdonc d’écrire les choses de la manière suivante :B ∩ AC ∩B ∩ APr( B ∩ A)Pr( C ∩B ∩ A)ΩA1 Pr( A )Figure 13 : une représentation arboricole d’événements et de leur probabilitéRemarque. On trouve dans certains manuels des représentations telles que :B CPr( B ∩ A)Pr( C ∩B ∩ A)ΩA1 Pr( A )Figure 14 : une autre représentation arboricole d’événements et de leur probabilitéElles sont faciles à décoder, mais recèlent les ambiguïtés dont on vient de discuter, et peuventde ce fait handicaper les élèves quand les situations deviennent un peu complexes.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 37


LA FORMULE FONDAMENTALE DU CALCUL ARBORICOLELe calcul des probabilités dans un arbre s’appuie sur ses branches (eh oui !). La questionessentielle est celle du calcul de proche en proche des probabilités associées aux différentsnœuds de l’arbre.Plus précisément, on considère deux événements quelconques A et B dans une expériencealéatoire donnée, et on se pose la question de calculer la probabilité terminale Pr( B ∩ A)àpartir de la probabilité initiale Pr( A)dans une branche simple telle queA B ∩ AOn commence par regarder ce qui se passe en termes de fréquences. Si n est la taille d’unéchantillon relatif à une expérience aléatoire donnée, on note :• nA ( ) : le nombre d’apparitions ou d’occurrences de l’événement A dans cetéchantillon,• n( B) : le nombre d’occurrences de l’événement B dans cet échantillon,• n( B ∩ A): le nombre d’occurrences simultanées de l’événement B et de l’événementA dans cet échantillon.nB ( ∩ A)Les deux fréquences naturellement associées au problème sont : Fr( B ∩ A)=etnn( A)Fr( A)= . Ce qui fait passer de l’une à l’autre est manifestement le nombre nB ( ∩ A ) .nnA ( )Comment ce nombre peut-il être compris comme une fréquence ? Pour le savoir, il suffitd’interpréter le numérateur et le dénominateur de cette fraction : elle est la fréquence del’événement B dans le (sous-)échantillon formé des seuls relevés de résultats où l’événementA est déjà réalisé.Notation. La fréquence d’observations de l’événement B lorsque l’événement A est réalisé estnotée Fr( B| A) ou FrA ( B), suivant qu’on veut souligner qu’il s’agit d’une fréquenceconditionnée par - ou relative à - la réalisation préalable de l’événement A , et on a donc :Fr( B| A)=nB ( ∩ A)nA ( )= FrA( B)L’introduction de cette fréquence relative fournit une solution immédiate à la question poséeplus haut, mais seulement en termes de fréquences :Fr( B ∩ A) = Fr( A) Fr( B| A)Le résultat correspondant en termes de probabilités s’imagine alors assez facilement, mais ilfaut d’abord préciser ce qu’est une probabilité conditionnée par un événement.Définition. Avec les notations ci-dessus, la probabilité Pr( | ) B A d’observer l’événement Bsachant que l’événement A est réalisé est définie par38 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Pr( BA | ) = " lim "nB ( ∩ A)nA ( )n( A) →∞n( A)→∞= " lim " Fr( B| A)Cette probabilité est connue sous des appellations variées :• la probabilité conditionnelle de l’événement B sous l’hypothèse ou la condition quel’événement A est réalisé (ou, plus brièvement : la probabilité conditionnelle del’événement B sous l’hypothèse A , ou la probabilité conditionnelle de B si A ),• la probabilité de l’événement B relative à la réalisation de l’événement A (on la note alorsparfois Pr A( B ) ).Par convention, la probabilité conditionnelle Pr( B| A ) n’est pas définie si Pr( A ) = 0 .La probabilité Pr( B ) d’un événement B, calculée sans hypothèse préalable est souventappelée la probabilité a priori de cet événement ; la probabilité Pr( B| A ) du même événementB lorsqu’on sait qu’un autre événement A est réalisé s’appelle une probabilité a posteriori deB .On peut enfin résoudre la question arboricole soulevée plus haut en termes de probabilités.LA FORMULE DE LA BRANCHE (SIMPLE)SiA B ∩ Aest une branche simple d’un arbre, alors la probabilité d’obtenir B et A se calculesuivant la formule :Pr( B ∩ A) = Pr( A)Pr( B| A)Preuve (résumée). On « passe à la limite » sur la relation déjà obtenue en termes defréquences :" lim " Fr( B ∩ A) = " lim " Fr( A) Fr( B| A)n( A) →∞n( A)→∞( )Le principe de passage à la limite, ajouté au fait que nA ( )→∞ implique n →∞ , fournitimmédiatement la formule annoncée.Remarques1. Il n’y a pas de relation d’ordre entre la probabilité a priori et celle a posteriori : l’une n’aaucune raison d’être plus grande ou plus petite que l’autre ! Par exemple, pour lesévénementsA : un individu est fumeur,B : un individu a le cancer du poumon,il n’est pas bien difficile de se convaincre que Pr( B| A) > Pr( B). Par contre, pour lesévénementsA : tirer une figure d’un jeu de 52 cartes,B : tirer un « 10 » d’un jeu de 52 cartes,Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 39


on a Pr( B| A ) = 0, tandis que Pr( B ) = 1 . Enfin, et comme on le verra dans la suite, la13probabilité a priori égale une probabilité a posteriori lorsque les événements sous-jacentssont indépendants.2. Il ne faut pas croire qu’une probabilité conditionnelle met en scène des événementsnécessairement consécutifs. Lorsqu’on parle de deux événements « consécutifs » enprobabilités, il faut toujours comprendre qu’il s’agit de deux événements pour lesquels onest en droit de se demander ce qui peut se passer pour l’un sachant que l’autre a eu lieu ouaura lieu. En particulier, pour deux événements A et B quelconque, on est fréquemmentamené à calculer aussi bien Pr( A| B ) que Pr( B| A ) . On est ainsi – et souvent ! – bien loind’une consécutivité temporelle ou d’un ordre immuable dans la succession desévénements.3. Un schéma tel queA B ∩ APr( A ) Pr( B| A ) Pr( B ∩ A)permet de mettre en scène sur chaque branche (simple) les termes de la formule. A cetteoccasion, on peut observer que toutes les notations sont cohérentes puisquePr( B∩ A| A) = Pr( B| A).4. La formule de la branche (simple) est parfois appelée la règle du produit ; dans ces notes,on a réservé cette dernière appellation au cas où les deux événements sont indépendants.3. La greffe d’une partition sur un arbreUn autre résultat utile en arboriculture détermine la somme des probabilités conditionnellesdes branches simples issues d’un nœud quelconque, mais pourvu qu’une conditionparticulière soit remplie. Cette condition est décrite en terme de partition d’un événement.40 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


PARTITION ET ARBORESCENCEOn considère un événement quelconque A et une collection { }B i1≤i≤md’événements dansl’ensemble Ω des résultats possibles d’une expérience aléatoire. On en tire une bellearborescence, qui met en évidence toute une brassée de branches simples partant del’événement A :B1 ∩ APr( B1 ∩ A)Pr( B1| A)B2 ∩ APr( B2 | A)Pr( B2 ∩ A)A…Pr( A )Pr( Bi | A)…Bi ∩ APr( Bi ∩ A)…Pr( Bm | A)…Bm ∩ APr( B A)m ∩Figure 15 : une arborescenceOn sait déjà comment les choses se passent dans une même branche simple. Y a-t-il unerelation entre les probabilités conditionnelles associées à des branches simples différentes ?A nouveau, il faut d’abord raisonner en termes de fréquences. On considère un échantillon detaille n (suffisamment grande), et on note :• nA ( ) : le nombre d’occurrences de l’événement A dans l’échantillon considéré (on peutsupposer qu’il est différent de 0),• nB ( i ∩ A): le nombre d’occurrences simultanées de l’événement B i et de l’événement Adans l’échantillon considéré.i=m∑Mais il est impossible de relier nB ( ∩ A)i = 1fréquences correspondantes, à moins que la collection { }ià nA ( ) et donc d’obtenir une relation entre dessoit « bien disposée » par1≤i≤mrapport à l’événement A ; c’est ce que décrit la notion de partition d’un événement.B id’événements crée une partition de l’événement A dès1≤i≤mqu’elle vérifie les deux conditions suivantes :• ces événements pris tous ensemble recouvrent l’événement A, c’est-à-dire Bi⊃ A .Définition. Une collection { }B i1≤i≤m• ces événements sont 2 à 2 incompatibles, c’est-à-dire : quels que soient les indices i et j( 1 ≤ i ≠ j ≤ m ), on a B ∩ B = ∅,ijGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 41


B iDès que la collection { }1≤i≤mcrée une partition de l’événement A , on a :i=m∑i = 1nB ( ∩ A) = nA ( )En divisant cette relation membre à membre par nA ( ), on en tirenB ( i ∩ A)puisque Fr( Bi| A)=nA ( )de probabilités.i=mLA FORMULE D’ARBORESCENCEi∑ Fr( Bi| A)= 1i = 1. On peut alors obtenir la formule correspondante en termesB iSi { }1≤i≤mest une partition d’un événement A quelconque, on a :i=m∑ Pr( Bi| A)= 1i=1(pourvu que Pr( A)≠ 0 ).Preuve (résumée). Encore une fois, on utilise le principe de passage à la limite sur la relationdéjà obtenue en termes de fréquences :pour obtenir la formule attendue." lim " ∑ Fr( Bi| A)= 1n( A)→∞i=mi = 1Remarque. On peut aussi déduire la formule précédente de la règle de la somme (cfr. letableau 5), mais ce n’est pas différent de ce qui précède.La formule de la branche (simple) et la formule d’arborescence suffisent pour calculer lesprobabilités attachées à beaucoup de situations probabilistes modélisées par un arbre : lapremière formule concerne les probabilités associées à une même branche simple, la seconderelie entre elles les probabilités conditionnelles associées à des branches simples de mêmeorigine (modulo l’hypothèse de partition). Mais on peut encore faire mieux !COMMENT RENVERSER UN ARBRE SANS L’ABATTRE ?On a rencontré dans la situation d’apprentissage concernant la relativité du témoignage, cequ’on a appelé une « équation arboricole » : il s’agissait de calculer certaines probabilitésinconnues à partir de probabilités connues associées à un arbre donné. Les probabilités notéesdans l’arbre suivant étaient celles qui étaient déjà connues, et il s’agissait de déterminer parexemple Pr( b ) .42 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


∩ BB Pr( b ∩ B)Pr( B )v ∩ BPr( v ∩ B)Ω1b ∩ VV Pr( b∩V)Pr( V )v ∩ VPr( v∩V)Figure 16 : l’arbre de la relativité du témoignageComme les événements B (« le taxi est effectivement bleu ») et V (« le taxi est effectivementvert ») sont incompatibles, la formule de la somme donne :Pr( b) = Pr( b∩ B) + Pr( b∩V)et la formule de la branche (simple) permet alors de déterminer la probabilité cherchéeuniquement en termes des données premières du problème :Pr( b) = Pr( B) ⋅ Pr( b| B) + Pr( V ) ⋅ Pr( bV | )D’une certaine manière, on poursuit ainsi la construction de l’arbre au delà de ses feuilles, ouon construit un nouvel arbre à partir des feuilles et des branches de l’ancien, ou encore : on lerenverse !b ∩ BB Pr( b ∩ B)Pr( B )v ∩ BPr( v ∩ B)Pr( b )bΩΩ1 1b ∩ VV Pr( b ∩ V )vPr( V )Pr( v )v ∩ VPr( v ∩ V )Figure 17 : l’arbre de la relativité du témoignage, et son renversementGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 43


Ce que l’on vient de faire est tout à fait général : le principe consiste à découper un événementd’une certaine manière en petits morceaux, afin d’en déduire le calcul de la probabilité de cetévénement.LA FORMULE DE PARTITION, OU DES PROBABILITES COMPOSEESSi A est un événement quelconque dans l’ensemble Ω des résultats possiblesd’une expérience aléatoire donnée, on peut calculer sa probabilité dès qu’ondispose d’une collection { B i } d’événements qui crée une partition de A,1≤i≤mgrâce à la formule :i=m∑Pr( A) = Pr( B ) Pr( A| B)i = 1iiPreuve (résumée). La formule d’arborescence pour un événement quelconque A s’écriti=m∑ Pr( Bi| A)= 1 (pourvu que Pr( A)≠ 0 ). On a alorsi=1i=m∑i=m∑Pr( A) = Pr( A) ⋅ Pr( B| A) = Pr( A) ⋅Pr( B| A)ii=1 i=1D’où, en appliquant deux fois la formule de la branche (simple) :i=m∑i=m∑Pr( A) = Pr( B ∩ A) = Pr( B )Pr( AB | )ii=1 i=1iii4. L’indépendance en probabilitéLa fréquence d’un événement quelconque dans une expérience aléatoire donnée est unenotion relative : elle dépend en particulier de la taille de l’échantillon et de la manière dont il aété constitué. La manière dont la fréquence varie avec la taille de l’échantillon est l’objet de ladéfinition même de probabilité. La manière dont la fréquence varie avec la constitution del’échantillon est prise en compte dans la notion d’indépendance.LA NOTION D’INDEPENDANCESi Ω est l’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire donnée, il s’agit de savoir si laréalisation d’un événement A exerce une influence quelconque sur la réalisation d’un autreévénement B ?En termes de fréquences, cette question s’interprète de la manière suivante : est-ce que lafréquence des réalisations de l’événement B est modifiée si, au lieu de la calculer sur unéchantillon donné, on la calcule sur le (sous-)échantillon formé des seuls résultats quiréalisent l’événement A ? Pour interpréter cette question, il faut encore un peu la préciser. Si nest la taille d’un échantillon relatif à l’expérience en question, on note (comme d’habitude !) :44 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


• nA ( ) : le nombre d’occurrences de l’événement A dans cet échantillon,• n( B) : le nombre d’occurrences de l’événement B dans cet échantillon,• n( B ∩ A): le nombre d’occurrences simultanées de l’événement B et de l’événementA dans cet échantillon.Dire que la fréquence des réalisations de l’événement B ne dépend pas du fait que cettefréquence soit calculée sur l’échantillon complet ou sur le (sous-)échantillon relatif à laréalisation de l’événement A se traduit alors par l’égalité de la fréquence absolue Fr( B) avecla fréquence relative FrA ( B), c’est-à-dire :nB ( ) nB ( ∩ A)FB ( ) = = = FrA( B)n nA ( )Mais, si cette condition doit exprimer l’indépendance des réalisations des événements A et B ,on peut vouloir qu’elle soit symétrique : on n’imagine pas très bien que la réalisation del’événement A puisse n’avoir aucune influence sur la réalisation de l’événement B alors quece même événement B influencerait de l’une ou l’autre manière la réalisation de l’événementA. Il n’y heureusement pas de crainte à avoir :puisqueFr( B) = Fr ( B) ⇔ Fr( A) = Fr ( A)AnB ( ) nB ( ∩ A)=n nA ( )nA ( ) nB ( ∩ A)⇔ =n nB ( )BDéfinitions. Si Ω est l’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire donnée, dont A et Bsont deux événements quelconques :• ces deux événements sont statistiquement indépendants sur un échantillon fixé si,relativement à cet échantillon :Fr( B) = FrA( B)• ces deux événements sont indépendants si :Pr( B) = Pr A( B) ( = Pr( B| A))En d’autres termes, deux événements sont indépendants si la probabilité a priori de l’un égalesa probabilité a posteriori (lorsque l’autre est réalisé).Exemple. Dans la situation d’apprentissage consacrée à la relativité du témoignage, les deuxévénements :b : le témoin associe la couleur bleue à un taxi,B : le taxi est effectivement bleu,ne semblent (évidemment !?) avoir aucune raison d’être indépendants. Le témoin est en effetd’autant plus fiable que la valeur de la probabilité a posteriori Pr( B| b ) est proche de 1, alorsque la probabilité a priori Pr( B ) est faible (= 0,15), due au petit nombre de taxis bleusprésents dans la ville.Mais comme on l’a déjà découvert dans le déroulement de cette situation d’apprentissage, leschoses ne sont pas si évidentes ! Le témoin n’est pas aussi fiable qu’on peut s’y attendre,012 ,puisqu’on trouve : Pr( Bb | ) = = 0, 413 ... Néanmoins la probabilité a posteriori reste029 ,différente de la probabilité a priori, et les deux événements ne sont pas indépendants : ce quele témoin a vu modifie la probabilité que le taxi soit effectivement bleu.Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 45


Que faudrait-il changer dans les données du problème pour qu’il y ait réellementindépendance des deux événements en question, c’est-à-dire pour que ce que le témoin a vun’ait aucune influence sur la probabilité que le taxi soit effectivement bleu ? On a envie derépondre : que le témoin ne soit pas fiable ! Mais cela ne se traduit pas par la conditionPr( B| b ) = 0 (le témoin serait devenu « fiable à l’envers », puisqu’on aurait alors Pr( V | b ) = 1,où V désigne l’événement : le taxi est effectivement vert). En réalité, le témoin n’est pasfiable si son comportement est parfaitement aléatoire, c’est-à-dire si Pr( B| b ) = 0,5 et doncPr( V | b ) = 0,5, ce qui signifie que la couleur effective du taxi n’est pas mieux déterminée parce que le témoin a vu que s’il jouait à pile ou face pour annoncer cette couleur (en codant« bleu » par « pile » et « vert » par « face » par exemple). On peut vérifier assez facilementque c’est la seule manière de rendre indépendants les événements B et b.En effet, si on garde Pr( B ) = 015 , et Pr( V ) = 085 , , et si on posePr( b| B) = k = Pr( v| V ) et Pr( v| B) = l = Pr( bV | ) avec 0≤k , l ≤1et k + l =1, oncalcule alors comme précédemment :Pr( b) = 015 , k + 085 , lIl y a indépendance entre les événements b et B si Pr( b| B) = Pr( b), c’est-à-direk = 015 , k + 085 , l d’où k = l = 05 , .Remarques.1. La définition d’indépendance en probabilité est, elle aussi, symétrique :Pr( B) = Pr( B| A) ⇔ Pr( A) = Pr( AB | ) . On le vérifie immédiatement à partir de laformule de la branche (simple).2. L’indépendance en fréquence et l’indépendance en probabilité ne sont pas des notionséquivalentes. A cause des fluctuations statistiques, elles ne sont qu’approximativementéquivalentes, ce qu’on pourrait écrire sous la forme :⎧ Fr( B) ≈ FrA( B)⎪⎨⇔ les événements A et B sont indépendants en probabilité⎩⎪ Fr( A) ≈ FrB( A)3. Quelle relation y a-t-il entre la notion d’indépendance pour deux événements et celle decorrélation pour deux séries statistiques ? La notion d’indépendance s’étend aux variablesaléatoires (dont il sera question dans le cours de 6 ème transition), et il en est de même pourcelle de coefficient de corrélation. On peut alors démontrer que si deux variablesaléatoires sont indépendantes, leur coefficient de corrélation est nul. Par contre, laréciproque n’est pas vraie.LA REGLE DU PRODUITLa formule de la branche (simple) permet déjà de calculer la probabilité de la réalisationconjointe de deux événements quelconques. Lorsque ces deux événements sont indépendants,le calcul se simplifie encore.LA REGLE DU PRODUITSi les événements A et B sont indépendants, alors la probabilité d’obtenir A et Bse calcule en effectuant le produit de la probabilité de A par celle de B :Pr( A ∩ B) = Pr( A) ⋅ Pr( B)46 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Preuve. C’est une conséquence immédiate de la définition d’indépendance et de la formule dela branche (simple) :Pr( A ∩ B) = Pr( A) ⋅ Pr( B| A) = Pr( A) ⋅ Pr( B)pourvu que Pr( A)≠ 0 . Si Pr( A ) = 0 , la formule annoncée reste vraie, puisque la fréquence –donc la probabilité – est une fonction croissante sur Ω .Remarque. Deux événements incompatibles ne sont pas nécessairement indépendants, pasplus que deux événements indépendants ne sont incompatibles ! Plus précisément, si dans uneexpérience aléatoire donnée, deux événements A et B sont incompatibles, c’est-à-dire siA∩ B = ∅ , on a Pr( A ∩ B)= 0 ; si ces deux événements étaient indépendants, on auraitalors suivant la règle du produit 0 = Pr( A ∩ B) = Pr( A) ⋅Pr( B ) , et donc au moins une desdeux probabilités Pr( A ) ou Pr( B ) serait nulle. On vient ainsi de montrer que deuxévénements A et B incompatibles et tous deux de probabilité non nulle ne peuvent pas êtreindépendants ! Et de manière équivalente, s’ils sont indépendants, ils ne peuvent pas êtreincompatibles !Le paradoxe - si paradoxe il y a ? – provient de l’interprétation courante que l’on attache auxtermes « incompatible » et « indépendant », à savoir : n’avoir aucune relation l’un avecl’autre. Par exemple, lorsqu’on jette un dé en observant le chiffre qui apparaît, les deuxévénementsA : obtenir un résultat pair,B : obtenir un résultat qui est multiple de 3,sont indépendants, sans être incompatibles. En effet, A∩B = { 6 }: les deux événements nesont donc pas incompatibles ; mais Pr( AB | ) = 1 2donc (manifestement) indépendants.et Pr( A ) = 3 6: les deux événement sontComplément 1. Mais vraiment, qu’est-ce que c’est qu’uneprobabilité ?La définition de probabilité comme forme idéalisée de la fréquence présente des difficultés auniveau de la rigueur mathématique qui ont déjà été signalées. De plus, la théorie desprobabilités n’est pas une science expérimentale, mais bien une théorie mathématique avecses objets premiers, ses axiomes et ses théorèmes, au même titre que la géométrie parexemple. Mais comme la géométrie, la théorie des probabilités entretient des relations étroitesavec une multitude de situations de la vie courante.LE CALCUL DES PROBABILITES ET LA REALITEAvant d’essayer de préciser une définition mathématique de probabilité, il est intéressant depréciser dans quel cadre cette théorie peut créer et développer des relations avec la réalité.Dans la modélisation des situations réelles, les trois étapes suivantes semblent intéressantes àdistinguer.• Etape 1 (de modélisation et d’expérimentation)Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 47


Un problème de type probabiliste étant donné, on commence par préciser l’expériencealéatoire sous-jacente ; on détermine ensuite la probabilité de certains événements« initiaux » ou élémentaires : cette détermination peut être basée sur des donnéesexpérimentales (une expérience ou une simulation, …) ou sur des raisons de symétrie, etdoit être (raisonnablement) facile à obtenir.• Etape 2 (conceptuelle, ou probabiliste).A l’aide du calcul des probabilités, on déduit de la probabilité de ces événements initiaux,la probabilité des événements que le problème demande de déterminer.• Etape 3 (expérimentale, ou statistique).On formule une prévision, ou une prédiction concernant la situation en question, au départdes probabilités que l’on a calculées ; on confronte éventuellement cette prédiction à uneexpérimentation ou une simulation appropriée.La théorie des probabilités s’exerce presque exclusivement dans l’étape 2 : elle a commeprojet de fournir un cadre mathématique pour traiter un modèle d’une situation de typeprobabiliste et de développer des conséquences théoriques à l’intérieur de ce modèle. Aprèscomparaison de ces conséquences avec la réalité, on peut être amené à modifier certainsparamètres du modèle, ou peut-être même tout le modèle, mais la théorie, elle, ne changepas !LA DEFINITION AXIOMATIQUE (OU DE KOLMOGOROV)Pour résoudre les difficultés mathématiques de la définition fréquentiste, les mathématiciensdu début du siècle passé ont proposé une définition• indépendante de tout recours à toute forme d’expérience,• et complètement opérationnelle, c’est-à-dire qui précise en termes d’objets mathématiquesconnus, les opérations et règles de calcul autorisées.La forme définitive de cette définition est due au mathématicien russe A. N. Kolmogorov(1903-1987), qui l’a exprimée sous forme de quelques axiomes très simples et très généraux.Définition. Si Ω est l’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire donnée (et ensupposant toujours que cet ensemble est fini), une (mesure de) probabilité sur cet ensemble derésultats est n’importe quelle fonction Pr : Ω → [ 0;1 ] qui vérifie les deux axiomessuivants :[ K.1 ] : Pr( Ω ) =1[ K.2 ] : si A et B sont incompatibles, alors Pr( A ∪ B) = Pr( A) + Pr( B)Remarque. Si l’ensemble des résultats n’est pas un ensemble fini, la définition précédentedoit être adaptée en conséquence. D’abord, la probabilité n’est alors plus définie pourn’importe quel événement : il faut se restreindre à un certain type de sous-ensembles departies de Ω (on appelle cela une σ -algèbre). Ensuite, il faut remplacer l’axiome [ K.2 ] parune condition plus forte (mettant en scène des unions infinies dénombrables d’événements)qu’on appelle l’axiome de continuité ou d’additivité complète.48 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Dans le cas fini, le résultat élémentaire suivant permet de construire beaucoup de mesures deprobabilités.Si l’ensemble Ω des résultats d’une expérience aléatoire quelconque est unensemble fini, n’importe quelle fonction P : [ ; ]définit une probabilité sur Ω .∑ P( ω ) = 1ω ∈ ΩΩ→ 01 telle quePreuve (résumée). Il suffit de détailler le type de raisonnement suggéré lors de la mise aupoint du tableau 5.Si Ω = { ω1, ω2, ,ω N} est l’ensemble des résultats possibles de l’expérience aléatoiredonnée, on note p = P( ω ) la mesure des différents événements élémentaires. On a donc pari∑ = Ni=1iihypothèse p = 1 . Si A est un événement quelconque, on définit alors sa mesurepar PA ( ) =∑ip ii : ω ∈ Aii=N∑. On a donc P( Ω ) = p ii=1quels que soient les événements A et B :PA ( ∪ B)= p i, d’où par l’hypothèse : P( Ω ) =1. D’autre part,∑ii : ω ∈A∪BOr, on a { i: ωi A B} { i: ωi A} { i:ωiB}l’ensemble { i: ω ∈ A}n’a aucun élément en commun avec l’ensemble { i B}∈ ∪ = ∈ ∪ ∈ . Si A et B sont incompatibles,i: ωi∈ , de tellesorte que dans ce cas, la somme initiale peut se décomposer en « sommes disjointes » :∑ ∑ ∑p = p + piiii : ω ∈A∪Bi : ω ∈Ai : ω ∈Bi i ic’est-à-dire : P( A ∪ B) = P( A) + P( B). La fonction P est donc bien une probabilité au sensde Kolmogorov.Exemple. Si l’expérience aléatoire consiste à jouer à pile ou face avec une pièce de monnaie,on a Ω= { pile, face}et il est clair que P( pile) = P( face) = 0,5 définit une mesure deprobabilité, tant au sens le plus commun qu’à celui de Kolmogorov ! Mais si onpose P( pile) = 09 , et P( face) = 0,1 , on définit ainsi une (autre) mesure de probabilité sur lemême ensemble de résultats possibles ; pourvu que la pièce soit « convenablement truquée »,la situation n’est pas irréaliste !Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 49


LA DEFINITION DE KOLMOGOROV ET L’HYPOTHESE DE SYMETRIESi on ajoute l’hypothèse de symétrie aux axiomes qui définissent une probabilité au sens deKolmogorov, on retrouve la définition classique des Huygens, Fermat, etc …Si Ω est l’ensemble fini des résultats d’une expérience aléatoire donnée, alors ilexiste une et une seule mesure de probabilité (au sens de Kolmogorov) sur cetensemble telle que chaque événement élémentaire possède la même mesure deprobabilité (hypothèse de symétrie).Dans ce cas, la mesure de probabilité d’un événement A est le nombre défini parPr( A)=N( A)Noù N est le nombre de résultats possibles dans le cadre de cette expérience etN ( A) est le nombre de résultats qui définissent l’événement A, ou « qui sontfavorables à l’événement A ».Preuve (résumée). Si = { ω , ω2, , }Ω1 ω Nest l’ensemble des résultats possibles del’expérience aléatoire considérée, alors l’hypothèse de symétrie équivaut àPr( ω i ) = 1NOn achève comme dans la proposition précédente.LA DEFINITION DE KOLMOGOROV ET LE CALCUL DES PROBABILITES ELEMENTAIRESIl est bien connu que la définition de probabilité au sens de Kolmogorov permet d’obtenirsans difficulté les principales propriétés élémentaires du calcul des probabilités ; on lesrappelle ici pour mémoire.• Les règles de calcul sur les événementsSi A et B sont des événements quelconques :Pr( nonA) = 1 −Pr( A)Pr( ∅ ) = 0Pr( A) = Pr( A− B) + Pr( B)etc …Pr( A ∪ B) = Pr( A) + Pr( B) −Pr( A ∩ B)• La définition de probabilité conditionnelleSi A et B sont des événements quelconques, la probabilité conditionnelle de B sil’événement A est réalisé est définie par :Pr( B∩A)Pr( BA | ) = = Pr A( B)Pr( A)(pourvu que Pr( A)≠ 0 , sinon cette probabilité conditionnelle n’est pas définie).50 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


On démontre facilement que la fonction Pr A ainsi définie est une mesure de probabilité ausens de Kolmogorov sur Ω∩A (qu’on note parfois Ω A ).• Les formules d’arborescence, de partition, …Toutes ces formules (ainsi que celle de Bayes, cfr. le complément suivant) se démontrentcomme auparavant.LA FREQUENCE STATISTIQUE ET LA DEFINITION DE KOLMOGOROVLorsqu’on dispose d’une définition complètement mathématique de probabilité, comme cellede Kolmogorov, une question naturelle est d’essayer de décrire sa relation (mathématique)avec le calcul d’une fréquence expérimentale ou statistique. Les réponses mathématiquesrigoureuses que l’on sait maintenant apporter à ce genre de questions nécessitent destechniques de démonstration assez élaborées, et en particulier, elles utilisent la définition deKolmogorov pour des expériences aléatoires dont l’ensemble des résultats n’est pas fini !Dans un tel cadre, une réponse est fournie par le résultat suivant.LA LOI (FAIBLE) DES GRANDS NOMBRES DE J. BERNOULLI (1654-1705)On considère un événement A dans le cadre d’une expérience aléatoiredonnée Ω ; si pour chaque réalisation de l’expérience aléatoire en question, cetévénement a toujours la même probabilité p d’être observé, alors pour n’importequelle valeur de ε > 0 :1Pr ( Frn ( A)− p < ε)≥1−4nε²ou( FrnA p )lim Pr ( ) − < ε = 1n →∞Fr ( A) étant la fréquence observée de l’événement A sur un échantillon de taillenn .Dans cette formulation de la relation entre la fréquence Frn ( A) et la probabilité p = Pr( A)de l’événement A, on observe en particulier que la limite n’est plus du tout une limiteexpérimentale, mais bien la limite (au sens ordinaire) de la suite de nombres réelsPr ( Frn ( A)− p < ε ) dépendant de n . La démonstration de ce théorème est l’affaire des coursde probabilités dispensés dans l’enseignement supérieur.On peut paraphraser le résultat de Bernoulli en disant que la fréquence moyenne d’apparitiond’un résultat dans une répétition d’épreuves tend vers la probabilité d’observer ce résultatdans une épreuve : c’est bien sous ce point de vue que l’approche fréquentiste développéedans ces notes a essayé d’introduire une notion de probabilité.Sous les mêmes hypothèses, le théorème central-limite (ou plutôt de la limite centrale) dû à A.de Moivre (1667-1754) précise beaucoup le comportement de Frn ( A)− p en faisantGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 51


apparaître dans le paysage la loi normale, due à C. F. Gauss (1777-1855), comme courbereprésentative des fluctuations de Fr A pn ( )− .Mais tout cela est une autre histoire …Complément 2 . La formule de la probabilité des causesSi on en revient un instant à la situation d’apprentissage concernant la relativité dutémoignage, on constate qu’on détermine bien l’arbre renversé en travaillant à l’envers : ondétermine d’abord les probabilités Pr( b ) et Pr( v ) et ce n’est qu’ensuite que l’on peut endéduire les probabilités conditionnelles Pr( B| b ), Pr( B| v ) , etc…b ∩ BB Pr( b ∩ B)Pr( B )v ∩ BPr( v ∩ B)Pr( b )bΩΩ1 1b ∩ VV Pr( b ∩ V )vPr( V )Pr( v )v ∩ VPr( v ∩ V )Figure 18 : l’arbre de la relativité du témoignage, et son renversementPar exemple, on détermine la probabilité conditionnelle Pr( B| b ) au départ de la formule de laPr( B∩b)branche (simple) : Pr( Bb | ) = , en y explicitant le numérateur et le dénominateur enPr( b)termes des données premières du problème, grâce (toujours) à la formule de la branche(simple) et à la formule de partition :Pr( Bb | ) =Pr( B∩ b)Pr( B) ⋅ Pr( b| B)=Pr( b)Pr( B) ⋅ Pr( b| B) + Pr( V) ⋅Pr( bV | )C’est un cas particulier de ce qu’on appelle la formule de Bayes (1701-1761).De manière générale, quand on renverse un arbre, la formule de partition calcule laprobabilités des événements situés aux nœuds de l’arbre renversé. La formule de Bayescalcule ensuite les probabilités conditionnelles attachées aux branches (simples) de cet arbrerenversé, et achève ainsi de le déterminer complètement.52 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


LA FORMULE DE BAYESB iSi { }1≤i≤m(pourvu que Pr( A)≠ 0 ).est une partition d’un événement A quelconque, on a :Pr( B| A)=iPr( B) ⋅ Pr( A| B)i=m∑i=1iPr( B) ⋅ Pr( A| B)iiiPreuve (résumée). Elle répète ce qu’on vient de faire dans l’exemple de la relativité dutémoignage. On détermine la probabilité conditionnelle demandée au départ de la formule dela branche (simple) , et on y explicite ensuite le numérateur et le dénominateur en termes desdonnées premières du problème :Pr( B| A)=iPr( A∩B )Pr( A)Pr( B ) ⋅ Pr( A| B )i i i=i=m∑i = 1Pr( B) ⋅ Pr( A| B)iiRemarque. La formule de Bayes est aussi connue sous le nom de formule des probabilitésinverses. On l’appelle aussi la formule de la probabilité des causes lorsqu’on l’utilise dans lecontexte suivant. Dans une expérience aléatoire donnée, on considère l’occurrence d’unévénement A, qui ne peut apparaître qu’à la suite de m causes { B i } qui s’excluent deux à1≤i≤mdeux. Si on dispose des probabilités a priori Pr( B i ) de chacune de ces causes, et desprobabilités Pr( AB | i ) de leurs effets sur la réalisation de l’événement A, alors la formule deBayes permet de calculer la probabilité a posteriori que la cause B i est présente sachant quel’événement A a été observé.BIBLIOGRAPHIE POUR LA STRUCTURATION DES CONNAISSANCESLes ouvrages et articles mentionnés à la fin des situations d’apprentissage restent tout à faitutiles pour la structuration des connaissances. Ceux qui sont ajoutés ci-dessous ont uncaractère plus théorique, tout en restant raisonnablement lisibles.J.-P. Bouchaud – Les lois des grands nombres. La Recherche (Spécial Nombres), n° 278(1995), pp. 784-788.P. Deheuvels – La probabilité, le hasard et la certitude. Collection « Que sais-je ? » (2 èmeédition), 1990. (Disponible au CREM)M. Mashaal – Les probabilités. La Recherche n° 294 (1997), pp. 90-93.C. Robert – Perception de l’aléatoire (Notes d’un exposé au CREM). Le 17 mai 2000. Cfr.aussi :CNDP (Centre National de Documentation Pédagogique) – Mathématiques/Classe deSeconde/Accompagnement des Programmes. Collection Lycée (Voie générale etGuide méthodologique mathématiques, troisième degré 53


technologique) ; Ministère de l’Education Nationale, Direction de l’EnseignementScolaire (France); octobre 2000. (Disponibles au CREM)R. von Mises – Probability, Statistics and Truth. Dover Publ. (Second Edition), New York,1981. (Disponible au CREM)R. von Mises – Sur les fondements du calcul des probabilités. Théorie des probabilités :exposés sur ses fondements et ses applications, publiés par la Société Belge de Logique et dePhilosophie des sciences, … ; E. Nauwelaerts-Gauthier-Villars, Louvain-Paris, 1952 ; pp. 15-29.54 Guide méthodologique mathématiques, troisième degré


Guide méthodologique mathématiques, troisième degré 55


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