La résolution de problèmes

La résolutionde problèmes

Sommaire1. Qu’est ce qu’un problème2. Le problème : une situation ti complexe3. Les types de problèmes4. La représentation d’un problème5. Fonction cognitive : les mémoires6. La compréhension du problème7. La mise en œuvre de stratégies8. Fonction cognitive : la fonction exécutive9. Conclusion

Une ambition internationaleP.I.S.A.Un échantillon représentatif d'élèves de 15 ans subit une épreuve "papier‐crayon"de deux heures en mathématiques et français.En maths, la France est au 22 ème rang sur 70 pays.

Sophie VayssettesOCDE

http://www.dailymotion.com/video/xhe8d9_stella‐baruk‐il‐n‐y‐a‐pas‐de‐troublesen‐mathematiques_shortfilms

L’âge du capitaineStella Baruk et Rémi Brissiaud97 élèves de CE1 et CE2 ont a résoudre le problème suivantSur un bateau, il y a 26 moutons et 10 chèvres.Quel est l’âge du capitaine ?76 ont donné l’âge du capitaine en utilisant les nombres figurant dans l’énoncé(78%).

Énoncés « absurdes »François Boule130 élèves de CE à CM le problème suivant74 % desélèves de CEcalculent20% desélèves de CMcalculentJ’ai 4 sucettes dans ma poche droite et 9 caramels dansma poche gauche.Quel est l’âge de mon papa ?Dans une bergerie, il y a cent vingt‐cinq moutons et cinqchiens.Quel est l’âge du berger ?Il y a 7 rangées de 4 tables dans une classe.Quel est l’âge de la maîtresse ?

Énoncés « absurdes »François BouleLes réponses ne sont pas liées à l’immaturité ou à l’irréflexion des élèves.Les réponses fournies ne sont pas arbitrairesLes problèmes à l’école fonctionnent de façon stéréotypée ;tout problème a une solution, que l’on peut trouver en utilisant lesdonnées (toutes les données) fournies.

Un problème ?•Un problème comprend toujours des nombres.•Il faut tfi faire une opération entre les nombres pour trouver lasolution.•Un problème a toujours une seule solution.•Pour trouver la solution, il n’y a qu’une démarche possible.•Pour trouver la solution, il faut déjà savoir.•Pour trouver la solution il faut trier les informations …

Qu’est cequ’un problème ?

Newell & Simon Chercheurs en psychologie cognitive ‐ 1972Un problème surgit de l'écart qui se forme entreun état initial et un état but.Résoudre un problème c’est chercher un ensembles de procéduresqui permettent t le passage d’un état t à un autre.Jean Brun Professeur en didactique des mathématiques –Université de Genève ‐ 1996Un problème est généralement défini commeune situation initiale avec un but à atteindre, demandant au sujetd’élaborer une suite d’actions ou opérations pour atteindre ce but.

DéfinitionLe problèmeune situation complexe

En classeConnaissanceLa suite numériqueLe sens de l’énoncé duproblèmeCapacitéLa maîtrise des techniques opératoiresLa maîtrise desprocédures de résolutionsAttitudeLe contrôle de lavraisemblance du résultat

ConnaissanceCapacitéCompétenceAttitude

ConnaissanceL’interprétation inadéquate del’énoncé ou de la consigneInsuffisance ou absence desprincipes logico‐mathématiquesÉchecCapacitéLes techniques opératoiresLa complexité de la stratégieL’utilisation d’heuristiqueinappropriéeAttitudeIncapacité à vérifier son résultatIncapacité à changer de stratégie

QuandÉvaluationdiagnostiqueAcquisition denouvellesconnaissancesÉvaluationfinale

Tedi-mathTEST DIAGNOSTIQUE DESCOMPETENCES DE BASE ENMATHEMATIQUESDiagnostic des troubles desapprentissages numériques dela MS à la fin du CE2

Évaluation diagnostiqueL'enfant en difficulté d'apprentissage enmathématiques : pistes de diagnostic etsupport d'interventionCatherine Van Nieuwenhoven , Stéphanie De Vriendt

Un problèmedes problèmes

Des démarches pédagogiquesLa pédagogie par situations‐problèmes ‐ Apprentissage par problèmesLes élèves, regroupés par équipes, travaillent ensemble à résoudre un problèmepour lequel ils n'ont reçu aucune formation particulière, de façon à faire desapprentissages de façon active.La situation‐problème est une tâche concrète qui supposent que les personnesfranchissent un certain nombre d'obstacles pour y arriver.La situation‐problème est toujours une fiction sous contrôle.

Jeux de logique B.O. n°10 du 10 mars 2011."Promotion des disciplines scientifiques et technologiquesRenforcer les fondamentaux des mathématiques et des sciences à lécole l'école primaireAncrer les fondamentauxLes jeux traditionnels comme les échecs, les jeux à règle comme les jeux de cartes, les jeux deconstruction permettent de développer la motivation et la concentration des élèves,d'encourager leur esprit d'autonomie et d'initiative et de travailler les fondamentaux par uneapproche différente."Rush HourPuissance 4La tour de Hanoï

Des situationsDes situations fonctionnellesEn rapport avec la réalité de la classe avec leEn rapport avec la réalité de la classe, avec levécu des élèves.

Laurence a acheté une console de jeu, un jeu, une manettesupplémentaire.Le prix total de l’achat lachat est de deux cent quatre vingt eurosdont trente euros pour la manette et cinquante‐huit eurospour le jeu.Laurence veut connaître le prix de la console.Michaël a un contrat avec sa mère qui s’est engagée à luiverser cinq euros d’argent de poche par semaine pendantun an en échange d’une participation active et régulière auxtâches ménagères.Michaël respecte sa part de contrat et veut savoir combienil gagne en un an.Marie‐Christine. Une petite fille saute à la corde.Elle fait quinze sauts en une minute.Combien de sauts aura‐t‐elle fait en trente minutes sachantqu’elle se repose deux minutes toutes les dix minutes ?

Des situationsDes situations pseudo‐concrètes« On fait comme si … », « Imaginons qu’on voudrait faire … »Ce sont les situations des manuels scolaires.Des situations abstraitesElles portent sur les nombres eux mêmes elles sont théoriques et seElles portent sur les nombres eux‐mêmes, elles sont théoriques et serapprochent de ce que font les mathématiciens.

Sabrina achète un livre a 18 eurosIl lui reste 15 eurosCombien avait – elle avant son achat ?Qui s’interroge pour savoir combiend’argent on avait avant un achat ?

SoitUn problème n'en rappelleaucun autreinvention d'une démarche personnelle,d'une solution•Les problèmes d’approches et dedécouvertes•Les problèmes ouvertsUn problème en rappelleun autreTransposition, transfert•Les problèmes de réinvestissement•Les problèmes d’évaluation

Interrogations surL’objetLa nature du problèmeproposé.Aspect technique : lesnotions utilisées,techniques opératoiressous jacentes…Le sujetAspect psychologique : inhibition, attitudenégative, évocation douloureuse… ;Aspect cognitif : difficulté de mémorisation,de catégorisation,

Comment se construitla représentation de problèmes ?

L’énoncé é du problèmeFrançois BouleLes premières difficultés rencontrées dans larésolution de problème ne sont ni techniques, ni mathématiques.Elles concernent d’abord la lecture de l’énoncé.

L’énoncé é du problèmeUn énoncé de mathématiques n’est pas un textecomme les autre.L’énoncé met en interaction 3 langages :•le langage ordinaire (description d’une situation)•le langage ordinaire (description d une situation),•le langage mathématique•le langage symbolique (ex. Triangle, chiffre …)

Aides à la compréhension de l’énoncééComment travailler lacompréhension de problèmes ?Ewan Guillou, ULIS Collège Jean Moulin, Châteaulin

Comment travailler la compréhensionde problèmes ?• Repérer les mots inducteurs.• Un énoncé peut aussi se schématiser :composition d’états ou comparaison d’états.Retenir des schémas types.• Un problème peut être une transformationd’état avec un état initial, i i une ou plusieurstransformations et un état final.

Travail de repérage des mots-inducteurs• Je propose aux élèves de lire des énoncés desproblèmes et repérer les mots qui reviennent le plussouvent.

EtPlusAjouterGagnerLes mots inducteurs+ - x :DifférenceResteMoinsRetirerEnleverPrendrePerdreResterChaqueChacunPartagerDistribuerCouperRépartir

Passer par l’écriture pour améliorer la compréhension• Pour s’approprier ce vocabulaire, il semble importantque les élèves passent par l’écriture d’un énoncé deproblème.Lefaitd’écrireunénoncédonnel’occasionaux élèves de voir qu’on n’emploie pas n’importequels termesdans un problème et qu’il faut poserune question en lien avec l’énoncé.• Les élèves souffrant de troubles cognitifs ont desdifficultés avecle traitement et la classification i desinformations. Écrire un énoncé permet de travaillerl’organisationorganisation, la réorganisation et la structurationd’informations.

Rédiger un problèmeet le résoudre• Étape 1 : En groupe, rappel des règles àrespecter lorsqu’on écrit un problème. Quelssont les mots inducteurs (avec les élèves onutilisera le terme de « mots indices ») ? Queretrouve‐t‐ont on à la fin d’un dun énoncé deproblème ?

• Étape 2 : Donner la consigne de l’activité.« Vous allez devoir écrire l’énoncé d’un dunproblème. Vous devez respecter les règles quenous avons vues ensemble. Je vous distribuedes étiquettes avec des objets et des prix.Vous devez vous en servir pourécrire l’énoncééde votre problème ».

On distribue troisétiquettes parélèves.Ce qui est évaluééc’est la rédactionpuis lacompréhension del’énoncé avec biensûr le choix ducalcul utilisé.

• Étape 3 : Individuellement id les élèves rédigent unénoncé. Puis ils doivent résoudre le problème qu’ils ontécrit pour voir si l’énoncé est correct, logique et si leproblème peut être résolu.• Étape 4 : Après vérification du respect des étapes parl’élève, puis par l’enseignant, l’élève recopie autraitement de texte son énoncé.• Étape 5 : Les élèves échangent leurs énoncés, ilsdoivent résoudre le problème d’un dun de leur camarade.Pour cette résolution, ils doivent chercher le motinducteur. Ils expliquent ce qu’ils cherchent, ils font lecalcul puis une phrase‐réponse. réponse

Les mots-inducteurs : les limitesi• Cet exercice de rédaction est intéressant car iloblige les élèves à structurer leur pensée pourrédiger un problème.• Cependant quand cet exercice est maîtrisé ilfaut montrer aux élèves que les motsinducteurs ne permettent pas de résoudretous les problèmes.

Les mots-inducteurs : les limitesi« Auguste a 13 ans. Il a 4 ans de moins queRomain. Quel âge à Romain ? »• L’élève repère le « moins »• Il calcule : 13 ‐ 4 = 9• « Romain a 9 ans. »

La schématisation i des problèmesClassification des problèmesde Gérard Vergnaud - 1981Des types de problèmesComposition Comparaison Composition d’étatsd'étattd'étattégauxTransformationd'étatt+ ou ‐ + ou ‐ X ou :

Composition d'état

Composition d'étatSchéma général+ ‐?recherche du composé?recherche d’une partieExempleA midi j’ai bu 2 verres d’eau et 1 verre de jusd’orange.Combien de verres ai‐je bu en tout ?ExempleDans notre cour, nous avons 5 bancs. Pendant larécréation, 3 bancs sont occupés par des enfants.Combien de bancs sont vides ?

Composition d'état« 102 jeunes garçons, 86 jeunes filles et 40 adultes setrouvaient à un concert.Combien y avait‐il de personnes au concert ? »Dans le schémas on fi fait apparaître les «parties » et le«tout», avec des cases ou des barres.Dans ce problème on connaît les 3 «parties».Pour trouver le« tout » on fait une addition.

Composition d'état« Monsieur Enzo a fait cuire 285 pizzas. Il en avendu beaucoup, mais il lui en reste 70.Combien de pizzas a‐t‐il vendues ? »On peut connaître le « tout » et une «partie»pour rechercher une autre partie.Dans ce cas on fait une soustraction.

Composition d'étatPartie 1 + Partie 2 = ToutTout – Partie 1 = Partie 2Tout – Partie 2 = Partie 1

Comparaison d'étatSchéma général+ ‐?recherche de l’un des étatsExempleAlexis a 3 ans. Il a 1 an de plus (ou de moins)que sa sœur.Quel âge a la sœur d’Alexis ??recherche de la comparaisonExempleSur une assiette, il y a 2 gâteaux. Sur une autre, il yen a 5.Combien y a‐t‐il de gâteaux de plus sur la deuxièmeassiette ?

Comparaison d'état

Comparaison d'étatLisa mesure 96 cm. Mathilde mesure 8 cm demoins que Lisa.Combien Mathilde mesure‐t‐elle ?Shé ti ti à ti d b l• Schématisation à partir de barres pour lescomparaisons.

Comparaison d'état• Plus grande quantité – la plus petite quantité = différence• Plus petite quantité + différence = plus grande quantité• Plus grande quantité – différence = plus petite quantité

Composition d’états égaux

Composition d’états égaux• Lorsque l’on connaît le nombre de «parties» et que ces«parties» sont égales on peut faire une multiplicationpour trouver le « tout t».• Lorsque l’on lon connaît le « tout » et le nombre de«parties» on fait une division pour trouver la valeurd’une «partie».• Lorsque l’on connaît le «tout» et la valeur d’une«partie», on fait une division pour trouver le nombre de« parties ».

Composition d’états égaux«5 enfants achètent un cadeau qui coûtent 30euros. Ils partagent la somme à py payeréquitablement. Combien chaque élève devra‐t‐il payer ? »• On connaît le « tout » et le nombre de«parties». On cherche la valeur d’une« partie ». Les élèves doivent faire une divisionou une multiplication à trou.

Transformation d'étatSchéma général? ?recherche de l’état finalExempleTu avais 2 voitures. Je t’en ten donneencore 1.Combien en as‐tu maintenant ?recherche de l’état initialExempleJ’ajoute 3 bonbons dans la boîte. Maintenantj’en ai 5.Combien la boîte contenait‐elle déjà debonbons ?

Transformation d'étatSchéma général?ExemplePose 5 cubes sur la table. Que dois‐tu faire pour en avoir7 ?recherche de la transformation

Transformation d'étatA partir d’une histoire comportant un état initial,une transformation et un état final, on cacheune donnée et on choisit un ordred’énonciationénonciation.

Transformation d'état«Avant la récréation, Augustus Gloop avait 17bâtons de chocolat. Pendant la récréation il joueet perd 5 bâtons.Combien a‐t‐il de bâtons après la récréation ? »• On connaît l’état initial et la transformation. Ondoit retrouver l’état final.

Transformation d'état« Que s’est‐il passé pendant la récréation ?Avant la récréation, Augustus Gloop avait 22bâtons de chocolat. Il joue. Après larécréation, il a 13 bâtons de chocolat. »• On connaît l’état initial et l’état final. Il fauttrouver la transformation.

• Combien d’énoncés possibles ?Etat initialEtat initialTransformationTransformationEtat finalEtat finalTransformation Etat final ?Etat final Transformation ?Etat final Etat initial ?Etat initial Etat final ?Transformation Etat initial ?Etat initial Transformation ?On peut aussi changer la position de la question.

Aides à l’opérationnalisationli iAider à se représenterles situations évoquéesAlbums codésSe former des images mentales.Par le dessin peut être utile.Le schémaCoder l’information par dessymboles abstraitshttp://www.tice1d.13.ac‐aix‐marseille.fr/maths/M31111.htm#2

Mémoire et problèmeHenri PLANCHONActivité Cognitive et Images MathématiquesLes problèmes que nous rencontrons sont mémorisés sous une forme ou sous uneautre et peuvent intervenir i dans la construction ti d’une nouvelle représentation.tiIls peuvent être mémorisés en tant que connaissanceset intégrés comme telles à nos structures cognitives.

Fonction cognitiveLes mémoires

Des systèmes de mémoire distinctstMémoire (psychologie)Mémoire (neurobiologie)

EnvironnementLes types (psychologie) p qL’information eststockée pendant unefaible durée(environ 30 secondes).Représentation schématique dumodèle du système cognitif proposépar Atkinson et Shiffrin (1969).VisuelAuditiftactilePerdueMémoire àCourt Terme(MCT)RéponseMémoire àLong Terme(MLT).L’information peut y rester ouêtre effacée.(capacité « infinie »

Mémoire à court terme (MCT)• MCT définie initialement par le durée de maintiendes informations (quelques secondes)• La MCT comporte aussi une limitation quantitative, l’empanmnésique: nombre d’éléments déléments qui peuvent s’y sy maintenir (5 à7 : Miller, 1950 en rappel immédiat)Miller, 1950

23571890

2 3 5 7 1 8 9 0

Les types (psychologie)Représentation schématique dumodèle du système cognitif proposépar Bradeley et Hith (1974).EnvironnementAuditifVisueltactileLa bouclephonologique(BP)Le calepinvisuo‐spatial spatial(CVS)Elle est capable deretenir et de manipulerdes informations sousforme verbaleIl est chargé desinformations codéessous forme visuelleCentre exécutifSuperviseurattentionnel

Boucle phonologiquenourriture manger sandwich seigle confiturefarine pâte croûte miche

Calepin visuel

Calepin visuel

Calepin visuel

Calepin visuel

1 2La MT permetLes inférences34

La MT peut être réactivéecerisepainEt trompée … 40 % des personnes répondent que le painétait dans la liste initiale

La mémoire à long terme (MLT)Stockage de l’information en mémoire à long termeReprésentation expliciteReprésentation implicite

CatégorisationLa MLT pour stocker l’information fabrique des catégorie.Eleanor Rosch (1975) a montré que certains exemple étaient demeilleurs représentants d’une catégorie que d’autres : notion de prototypeDans chaque catégorie, on distingue troisniveaux i hiérarchiquesniveau super‐ordonné (animal)niveau de base (chien)niveau sous‐ordonné(Bouvier Bernois)

Catégorisationniveau super‐ordonné (problème)niveau de base (problème additif)niveau sous‐ordonné ordonné(composition d’état)Dans un massif de fleurs,il y a 20 tulipes rougeset 40 tulipes jaunesCombien y a‐t‐il de tulipes en tout?

Catégorisationniveau super‐ordonné (problème)niveau de base (problème additif)niveau sous‐ordonné ordonné(composition d’état)Dans le massif de 60 fleurs,il y a 20 tulipes rougesCombien faut– il planter de tulipesjaunes ?

Cellule de lieu (neurobiologie)John O'KeefeLa fonction primordiale l'hippocampe est deconstituer une carte cognitive del'environnement dans lequel évolue l'animal lanimal.

Mémoire à court terme (MCT)

Aides à la catégorisation i des problèmesPrésentation deproblèmesisomorphesIdentificationdes analogiesAffiche de «types»de problèmescentrée sur lesanalogies destructure et nond’apparence.

Aides à la catégorisationiAider les élèves dans lechoix des procéduresEn catégorisant les problèmes

http://www.cndp.fr/crdp‐lille/problemes_CP‐CE1/

http://www.cndp.fr/crdp‐lille/problemes_CE2‐CM2/default.htmCM2/default htm

La compréhensiondu problème

Comment se construit la compréhension du problèmeJean Julo ‐ enseignant‐chercheur àl’Université Rennes I1Interprétationet sélection2StructurationTrois processussimultanés quiinteragissent !3C’est l’interaction de cestrois processus qui nousfont réussir la résolutionOpérationnalisation

Le processus d’interprétation et de sélectionLe contexte sémantiqued’un problèmeUn énoncé de problème est caractérisé par une forme maisaussi par un ensemble d’éléments qui lui donne son sensInterprétationSélectiond’informations

On dispose d'une bouteille de vin et d'une bouteille d'eau.On prend un verre de vin dans la bouteille de vin et on le versedans la bouteille d'eau.On prend un verre du mélange obtenu et on le verse dans labouteille de vin.(le verre est le même pour les deux opérations).Parmi ces trois affirmations, laquelle vous paraît juste ?1. il y a plus de vin dans la jarre d'eau que d'eau dans la jarre de vin2. il y a plus d'eau dans la jarre de vin que de vin dans la jarre d'eau3. il y a autant de vin dans la jarre d'eau que d'eau dans la jarre de vin 20%

Une boîte verte contient des jetons verts et une boite rougecontient des jetons rouges.On prend un certain nombre de jetons verts dans la boîte verte eton les place dans la boîte rouge.On prend ensuite le même nombre que précédemment de jetonsdans la boîte rouge et on les place dans la boîte verte.Parmi ces trois affirmations, laquelle vous paraît juste ?1. le nombre de jetons verts dans la boîte rouge est plus grand que le nombre dejetons rouges dans la boîte verte.2. le nombre de jetons verts dans la boîte rouge est plus petit que le nombre dejetons rouges dans la boîte verte.3. le nombre de jetons verts dans la boîte rouge est égal au nombre de jetons60 %rouges dans la boîte verte.

Le processus de structurationAu‐delà de la compréhension de la consigne, il y a lamanière dont nous organisons cette information et ceque nous nous autorisons à faireProblème des 9 points de Maier :Réunir les 9 points ci‐dessous par 4 segments de droite tracés sans lever le crayonSolution

Problème de l’euro qui manqueTrois voyageurs yg arrivent à l’auberge pour y passer la nuit.Il ne reste plus qu’une seule chambre à trois lits pour laquelle l’aubergiste demande 30 €.Chaque voyageur débourse donc 10 €. Plus tard en encaissant la somme l’aubergiste serappelle que le prix de la chambre n’est pas de 30 €mais de 25 €.Il envoie alors le garçons porter 5 pièces de 1 € aux voyageurs.Mais le garçon décide alors de prélever son pourboire au passage et ne redonne qu’uneseule pièce de 1 € à chaque voyageur gardant 2 € pour lui.Chaque voyageur a donc payé son lit 9 €, soit en tout 27 €.Le garçon a gardé 2€ pour lui. Le total est donc de 29 € (27 + 2).Où est passé l’euro qui manque ?

Le processus d’opérationnalisationC’est Cest le processus qui permet le passage à laction l’action effective (calculs, tracés …)ou mentale (raisonnement, déductions…)J. Julo « Comprendre quelque chose c’est construire une représentation d’une chose. »

Problème de RestleSi le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci étaitplus difficile que le problème que vous avez résolu après que vous ayez résolule problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci,est‐ce que le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolucelui‐ci était plus difficile que celui‐ci ?Si le problème que vous avez résolu le problème avant que A vous ayez résolu celui‐ci étaitplus difficile que le problème que vous avez le résolu problème après B que vous ayez résolule problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci, ci est‐ceque le problème que vous avez résolu le problème avant que A vous ayez résolu celui‐ciétait plus difficile que celui‐ci le problème B ?

La mise en œuvrede stratégiesExemple d’un problème ouvert

Exemple d’un problème ouvert• L'énoncé est court.• La solution nest n'est pas évidente.• Tout élève peut démarrer sa recherche par tâtonnement,par des dessins ...• L'énoncé n'induit pas la méthode de résolution.• Les problèmes où la solution est accessible par plusieursmodes de raisonnement t(lébi (algébrique, logique,géométrique,..).

Démarche - Le problème ouvertLes 6 étapes de la résolution de problème ouvert :•Présentation par l’enseignant (précision des consignes)•Recherche personnelle•Confrontation avec le groupe•Miseencommun•Vérification des hypothèses•Synthèse collective, communicationProblème ouvert classe de SIFPRO –IME F Huon de Quimperlé

Kangourou au pays des conteshttp://dpernoux.free.fr/ouverts.htm

http://www.recreomath.qc.ca/banque_prob.htmhttp://rustrel.free.fr/enigmes.htm

http://www.pedagonet.com/other/enigme.htmlhttp://carresmagiques.free.fr/index.html

Unerésolutionréussiene permet pas d’inférersur les stratégiesacquisesEvelyne Clément

Fonction cognitiveLa fonction cto exécutiveécutve

La fonction exécutiveÉlaboration de stratégies et planification destâches à accomplir.Flexibilité cognitive (adaptation aux imprévus,correction des erreurs, passage d’une tâche àl’autre)

Stratégies de résolution de problèmeAlgorithmeL’algorithme est une règlequi permet d’arriver à lasolution dans tous les cas.HeuristiqueUne heuristique est unerègle générale d’action,applicable à toute situation,qui permet la plupart dutemps d’aboutir plusrapidement à la solution.

Exemple d’algorithmeRecherche par dichotomiePierre propose à Paul le jeu suivant :« choisis en secret un nombre compris entre 0 et 100 ; je vais essayer de le deviner leplus rapidement possible, en ne pouvant que te poser des questions auxquelles turéponds par oui ou par non ».Paul choisit 66 et attend les questions de Pierre :j p pAlgorithme de résolution :Toujours proposer la moitié de la valeurCette méthode itérative permet à Pierre de trouver le nombre en posant en moyenne moins de questions que s'ilprocédait par des questions du type « Est‐ce que le nombre est égal à 30 ? ».

Exemple d’heuristiqueiLa tour de Hanoïhttp://javaboy.free.fr/tourdehanoi/variantesLes 2 tours de hanoï

3 types de stratégiesté La recherche paressai ‐ erreurAppliquer au hasard lesopérateurs légauxjusqu'à atteindre un but.Stratégie duhill climbingAppliquer les opérateurslégaux et évaluer l'état létatobtenu à chaque étape.Analysemoyens‐finÉliminer i ou réduire ladifférence entre l’étatinitial et l’état final enconstruisant des sous butsjusqu’à l'élimination de ladifférence de départ.Beaucoup d'actions inutilesNe permet pas toujoursStratégie reproductible.Ati Actions non reproductibles d'atteindre dle but Capacité itéà s’éloigner du butpour l’atteindre.

Illustration de la stratégie fin-moyensLoup, chèvre, chouxhttp://jeux.lulu.pagesperso‐orange.fr/html/loupChe/loupChe1.htmMissionnaires etcannibaleshttp://www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=54

Aides à l’élaboration de stratégiesDéfinition du butà atteindreL’anticipationcollective durésultat précède larecherche de lasolution.Raisonnement àvoix hauteVerbalisation engroupe desstratégiesindividuelles.Le réexamencollectif ducheminementRt Retour réflexif,à caractèremétacognitif .

Flexibilité -Test de Wisconsincouleurformenombre

2 types de flexibilitéFlexibilité spontanéEvelyne ClémentFlexibilité réactive

Évaluation des problèmes ouvertsSphère affectiveSphère instrumentaleSphère socialeSphère cognitive

Une mise en place dessituations complexesselon 3 phases

Une ambition internationalePhase 1 : On demande aux élèves d'accomplir une tâche complexe sansaucun étayage.Phase 2 : On propose à nouveau aux élèves la même tâche. Mais cette fois, latâche complexe est découpée en tâches élémentaires dont les consignes sontexplicites et qui sont présentées dans l'ordre où elles doivent être accomplies.Phase 3 : On propose aux élèves une série de tâches simplesdécontextualisées, dont les consignes sont celles qui sont utilisées ordinairementdans l'apprentissage des procédures élémentaires qu'on propose à l'école.

« Cible » de compétences

Pour résoudreun problème mathématique

1S’approprierle texte del’énoncé5Valider lerésultat,critiquerMétacognition2Organiserles données4Déterminerune stratégiede résolution3Se donner unereprésentation( mentale ouschématisée)