Tamtam Proceedings - lamsin

212 Abdelwahed et al.1. IntroductionLes lacs et les barrages constituent des réserves importantes d’eau douce ; qui peuventservir à alimenter les villes en eau potable. Ces réserves sont parfois confrontées à des problèmesd’eutrophisation. Cette dernière est un processus physico-biologique et thermiqueassez complexe qui conduit à la raréfaction de l’oxygène dans l’eau. Si la concentrationen oxygène est en dessous de 3mg/l, le lac est alors déclaré en état d’eutrophisation quise manifeste par une dégradation progressive de la qualité de l’eau.Une des techniques qui permettent le ralentissement de ce fléau est celle qui consiste àcréer une dynamique de l’eau du lac en injectant des bulles sous pression à partir du fond.Ainsi en remontant les bulles entrainent avec elles une certaine quantité d’eau qui s’oxygèned’abord au contact des bulles, mais surtout au contact des couches superficielles etde l’air atmosphérique.On s’intéresse dans ce travail à la modélisation et la simulation numérique de ce phénomèneassez complexe du fait non seulement de la présence simultanée de deux phases(eau-bulles d’air), mais aussi de la différence d’échelle qui existent entre les deux phases.2. Position et modélisation du problèmeLa modélisation la plus fine du problème consiste à suivre les bulles dans leur mouvementde façon individuelle (Clement [2]). Dans notre cas, une telle modélisation est trèsdifficile à implémenter numériquement du fait du nombre assez important des bulles àinjecter. Pour éviter cette difficulté, Abdelwahed [1] a utilisé une technique qui consiste àtenir compte de l’effet des bulles dans les équations de mouvement de l’eau par un termesource qui depend de la fraction volumique occupée par l’air.Dans ce travail, on utilise cette technique tout en modélisant de manière plus précisel’effet des bulles sur l’eau en utilisant une méthode cinétique. Cette dernière permetd’avoir l’effet de toutes les bulles sans être ramener à les suivre une par une.La modélisation cinétique fait intervenir une fonction de distribution f(t, x, v) quiest fonction du temps t, de la position x et de la vitesse v. f(t, x, v)dx dv représente laprobabilité de présence des bulles à un instant t autour du point x et ayant une vitesseautour de v.Dans le cas où on ne tient pas compte des collisions entre les bulles, la fonction dedistribution f(t, x, v) vérifie l’équation de Vlasov donnée par :{ ∂f∂t + v∇ xf + ∇ v .(F f) = 0 pour t ∈ [0, T ], x ∈ Ω et v ∈ R 2f| t=0 = f 0 dans Ω × R 2 ,(1)TAMTAM –Tunis– 2005