Étude d'une méthode de volumes finis pour la résolution des ... - SMAI

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesÉtude d'une méthode de volumes nis pour larésolution des équations de Maxwell en 2DS. LAYOUNIEncadrant: P. OMNESDirecteur: K.DOMELEVOCEA Saclay, DEN/DANS/SFME/LMPEUniversité Paul Sabatier. ToulouseCANUM 26 Mai 2008S. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesIntroductionTable des matièresDiscretisation du système avec la nouvelle méthodeDiscretisation de la loi de Faraday sur le maillage primal et dualDiscretisation de la loi d'Ampere-Maxwell sur le maillage diamantDiscrétisation de la divergencePropriétés du schémaPreservation de la divergenceConservation d'une énergie électromagnétique discrèteStabilitéConvergenceReexions parasitesRéférencesS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesSystème de Maxwell (mode T.M)∂B∂t+ ∇ × E = 0 dans [0, T ] × Ω∂E∂t − c 2 ∇ × B = − 1 ɛ 0J dans [0, T ] × ΩαE · t − βB = 0 dans [0, T ] × ∂ΩE(0, .) = E 0 dans ΩB(0, .) = B 0 dans Ωavec ∇ · E = ρ ɛ 0dans [0, T ] × ΩS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesSchéma de Yee∫ ( )∂B1/+ ∇ × E = 0 C ′ ∂ti∫∂B⇒ + ∑ ∫E · t ′ j = 0∂t2/C ′ij∈AC ′iA ′ j |C ′i | ∂B′ i+ ∑|A ′ j|E j · t ′ j = 0∂tj∈AC ′i∫ ( ∂E−A” j∂t c 2 ∇ × B = − 1 )J · n” jɛ 0∫∫∂E⇒ · n” j − c 2 ∇B · t” j = − 1 ∫A” j∂t A” jɛ 0 |A” j | ∂E j∂t · t′ j − c 2 (B ′ 2 − B 1) ′ = − 1 |A” j |J j · n” jɛ 0B'J · n” jA” jS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2Dn''t'A''E.t'

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma Référencesn"t"n’t’EB" iB’ i1/ |C ′i | ∂B′ i∂t+ ∑j∈AC ′i|A ′ j|E j · t ′ j = 02/ |A” j | ∂E j∂t· n” j − c 2 (B ′ 2 − B ′ 1) = − 1 ɛ 0|A” j |J j · n” jproblème : n” j ≠ t ′ j !S. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesDiscretisation de la loi de Faraday sur le maillage primal et dualn"t"n’t’EB" iB’ in"t"n’t’EB"iB’ iZC ′ i„∂B↩→ |C ′i | ∂B′ i∂t↩→ ∂B′ i∂t∂t + ∇ × E⋄ = 0+ Xj∈AC ′ i+ `∇ ′ ×E ⋄´«|A ′ j|E ⋄ j · t ′ j = 0= 0iZ „ «∂B+ ∇ ×C” ∂t E⋄ = 0i↩→ |C” i | ∂B” i∂t↩→ ∂B” i∂t+ Xj∈AC” i|A” j |E ⋄ j · t” j = 0+ (∇”×E ⋄ ) i= 0S. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesDiscretisation de la loi d'Ampere-Maxwell sur le maillage diamantEt"t’B’ iB"i∫C ⋄ j( ∂E |C ⋄j | ∂E⋄ j∂t∂t − c 2 ∇ × B = − 1 ɛ 0J)+ c 2 ( (B ′ 2 − B ′ 1)|A ′ j|t ′ j + (B” 2 − B” 1 )|A” j |t” j)= −1ɛ 0|C ⋄j |J ⋄ j ∂E⋄ j∂t− c 2 (∇ ⋄ ×B ′ ” n ) j= − 1 ɛ 0J ⋄ jS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesDiscretisation de la loi d'Ampere-Maxwell sur le maillage diamantB ′ n+1= B ′n − ∆t∇ ′ ×E ⋄n+1/2B” n+1 = B” n − ∆t∇”×E ⋄n+1/2E ⋄n+1/2 = E ⋄n−1/2 + c 2 ∆t∇ ⋄ ×B ′ ” n − ∆t J ⋄nɛ 0Pour un maillage cartésien ⇓B ′ n+1i= B ′ ni− ∆t|C ′i |B” n+1i= B” n i − ∆t|C” i |E ⋄n+1/2jE ⋄n+1/2j· t ′ ij = E ⋄n−1/2j∑j∈∂AC ′i· t” ij = E ⋄n−1/2j∑|A ′ j|E ⋄n+1/2j· t ′ ijj∈AC” i|A” j |E ⋄n+1/2 j · t” ij· t ′ ij − c 2 ∆t|A” j |( )B ′ i j− B ′ i − ∆t J ⋄nj · t ′ ijɛ 0· t” ij − c 2 ∆t ( ) ∆t|A ′ | B” ij − B” i − J ⋄nj · t” ijjɛ 0S. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesDiscrétisation de la divergenceDiscrétisation de la divergence sur le maillage primal et dual11 ∑∫∇ · E =|C ′ | E · n ′ ji|C ′i | ∫C ′i≃∫1∇ · E =|C” i | C” i1|C ′i |j∈AC ′i∑j∈AC ′i:= ( ∇ ′· E ⋄ ) i1|C” i |≃1|C” i |A ′ j∑∫j∈AC” i∑j∈AC” i:= ( ∇”· E ⋄ ) i|A ′ j| E ⋄ j · n ′ ijA” jE · n” j|A” j | E ⋄ j · n” ijS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesPropriétés des opérateurs discrets :• ∇ ′· (∇ ⋄ ×B ′ ”) = 0• ∇”· (∇ ⋄ ×B ′ ”) = 0• 〈∇ ′ ” × E ⋄ , B ′ ”〉 ′ ” = 〈E⋄ , ∇ ⋄ × B ′ ”〉 ⋄+ 〈E ⋄ · t ′ , B ′ ”〉 ∂Ωoù,˙H ′ ”, B ′ ”¸′ ”〈E ⋄ , H ⋄ 〉 ⋄:=˙H ⋄ , B ′ ”¸∂Ω:= 1 2N ⋄X0XN ′@i=11XN”i | H ′ i B ′ i + |C” i | H” i B” iA|C ′|C ⋄i | E ⋄ i· H ⋄i=1i=1:= 1 X|A ′ j|H ⋄ j (B” j2 + B” j1 + 2B ′ j )4A ′ j ⊂∂ΩS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesPreservation de la divergenceDiscrétisation adéquate de ρ etJCondition initiales satisfaisant la ⇒loi de Gauss discrèteLoi de Gauss discrète satisfaite àchaque instant⋄n+1/2∇ ′·E =∇”·E ⋄n+1/2ρ′n+1/2ɛ 0= ρ”n+1/2ɛ 0Discrétisation adéquate ↔ Conservation de l'équation de charge discrèteρ ′n+1/2 − ρ ′n−1/2+ ∇ ′·J ⋄n = 0∆tρ” n+1/2 − ρ” n−1/2+ ∇”·J ⋄n = 0∆tS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesPreservation de la divergenceExemple d'une discrétisation adéquate de ρ et J :ρ ′n+1/2i=ρ” n+1/2i=1J ⋄ni · n ′ i = 1 ∆t|C ′ | i∫C ′ρ(X, t n+ 1 2 )dXi∫1ρ(X, t n+ 1 2 )dX|C” i | C” i∫ tn+1/2 ∫|A ′ | J · n ′ i dXdtit n−1/2 1J ⋄ni · n” i = 1 ∫ tn+1/21∆t t n−1/2 |A” i |A ′ i∫A” iJ · n” i dXdtS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesConservation d'une énergie électromagnétique discrèteConservation d'une énergie électromagnétique discrète :E n := ɛ 2= E 0( ∣∣∣E⋄n+1/2∣∣ 2 + 〈 c 2 B ′ ” n , B ′ ” n+1〉 )′⋄”S. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesStabilitéStabilité :◮ Schéma stable sous une condition CFLc∆t < mini√minA ′ j ⊂∂C ′ ∂Ω i◮ condition CFL pour un maillage cartésien2|A” j ||C ′ | sin θ i j(1 + | cos θ j |)|∂C ′i |c∆th≤ 1 √2⇒ CFL du schéma de YeeS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesConvergencePour des champs réguliers||er n || :=√∣∣er⋄n+1/2 ∣ ∣ 2 ⋄ + 1 2( )|er ′n| 2 ′ + |er” n | 2 ” ≤ K(h + ∆t 2 )Où,er n :=“er ′n , er” n , er ⋄n+1/2”er ⋄n+1/2 := E ⋄n+1/2 − Π ⋄n+1/2 Eer ′n := B′ n− Π ′ n Ber” n := B ”n − Π ”n BΠ ⋄n+1/2 E :Projection du champ électrique exact sur le maillage diamantΠ ′ n B :Projection du champ magnétique exact sur le maillage primalΠ ”n B :Projection du champ magnétique exact sur le maillage dualS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesConvergenceΠ ′n+1 B−Π ′n B∆t+ ∇ ′ ×Π ⋄n+1/2 E = r ′nΠ ”n+1 B−Π ”n B∆t+ ∇”×Π ⋄n+1/2 E = r” nΠ ⋄n+1/2 E−Π ⋄n−1/2 E∆t− c 2 ∇ ⋄ ×Π ′ ” n B + 1 ɛ 0J ⋄n = r ⋄n⇓er ′n+1 −er ′ n∆t+ ∇ ′ ×er ⋄n+1/2 = r ′ner ”n+1 −er ”n∆t+ ∇”×er ⋄n+1/2 = r” ner ⋄n+1/2 −er ⋄n−1/2∆t− c 2 ∇ ⋄ ×er ′ ” n = r ⋄nS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesConvergenceer ′n+1 = er ′n − ∇ ′ ×er ⋄n+1/2 + ∆tr ′ner ”n+1 = er ”n − ∇”×er ⋄n+1/2 + ∆tr” ner ⋄n+1/2 = er ⋄n−1/2 + c 2 ∇ ⋄ ×er ′ ” n + ∆tr ⋄ner n+1 = M h er n + ∆t r n = M n+1her 0 + ∆t||er n || ≤ ||M n+1her 0 || + ∆tn∑k=0⇓⇓||M n−khr k || ≤ K(n∑k=0M n−khr k||er 0 || + ∆t)n∑||r k ||k=0S. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesConvergenceProjection vériant l'équation de Faraday discrète1|C ′i | ∫C ′i∫ tn+1t nΠ ′n+11 B − Π ′ n1 B∆t(∂B∂t + ∇ × E = 0 )⇓+ ∇ ′ ×Π ⋄n+1/21 E = 0avec(Π ⋄n+1/21E) j · t ′ j := 1 ∫ tn+1 ∫1∆t t n |A ′ | E · t ′ jj A ′ j(Π ′ n11 B) i :=B(., t n )|C ′i | ∫C ′iS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesConvergence∫1tn+1 ( )∂B|C” i |∫C” + ∇ × E = 0 i t n ∂tΠ ”n+11 B − Π ”n1 B∆t⇓+ ∇”×Π ⋄n+1/21 E = 0avec(Π ⋄n+1/21E) j · t” j := 1 ∫ tn+1∆t∫(Π ”n1 B) i :=1|C” i ||A” j |t n 1∫C” iB(., t n )A” jE · t” jS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesConvergenceProjection vériant l'équation d'Ampère discrèteZ1|A ′ | jA ′ jZ tn+1/2 „∂Et n−1/2Π ⋄n+1/22 E − Π ⋄n−1/22 E∆t∂t − c 2 ∇ × B = − 1 ɛ 0J⇓«− c 2 ∇ ⋄ ×Π ′ ” n 2B + 1 ɛ 0J ⋄n = 0avec(Π ⋄n+1/22 E) j · n ′ j :=(Π ⋄n+1/22 E) j · n” j :=Z1|A ′ | j1|A” j |A ′ jZE(., t n+1/2 ) · n ′ jA” jE(., t n+1/2 ) · n” jZ(Π ′ n2 B) i := 1 tn+1/2ZB(C ′∆t t n−1/2 i , .) et (Π ”n2 B) i := 1 tn+1/2B(C” i , .)∆t t n−1/2S. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesConvergenceΠ ⋄n+1/2 E := Π ⋄n+1/21 EΠ ”n B := Π ”n2 BΠ ′ n B := Π ′ n2 B⇒⇓Erreur de troncature⇓Erreur initialer ′n = Π′n+1 2 B − Π ′n2 B − Π′n+1 1 B + Π ′n1 B∆t||er 0 || ≤ K(h + ∆t 2 )r” n = = Π”n+1 2 B − Π” n 2 B − Π”n+1 1 B + Π” n 1 B∆tr ⋄n = Π⋄n+1/2 1 E − Π ⋄n−1/21 E − Π ⋄n+1/22 E + Π ⋄n−1/22 E∆t||r n || ≤ K(h + ∆t 2 )S. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesConvergenceEtude de convergence sur des maillages non conformes250B(x,y=0)−25−50−75−1 −0.5 0 0.5 1xS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesConvergenceConvergence10.1e(B)slope=20.10.010.010.0010.0011e−041e−041e−051e−051e−061 1 1 1 1 1 1 1 20482048 1024 512 256 128 64 32 16hvRu 10Te(B) = t 9T |B − ΠB|2 LR 210T,9T |ΠB|2 L 2B : Champs magnétique numériqueΠB : Projection du champ magnétiqueexact101e(E)slope=21 1 1 1 1 1 1 11024 512 256 128 64 32 16hvRu 10Te(E) = t |E 9T − ΠE|2 LR 210T,9T |ΠE|2 L 2E : Champs électrique numériqueΠE : Projection du champ électriqueS. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesReexions parasitesOnde rentrante avec sortie absorbanteE.t=0E.t−cB=2sin( ωt+ ω/c)during 1 periodE.t−cB=0E.t=0S. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma RéférencesReexions parasites4e−93e−92e−91e−90−1e−9−2e−9−3e−9−4e−9B(t) on one vertex ofthe conforming mesh1 2 3 4 5 6Time periods4e−93e−92e−91e−90−1e−9−2e−9−3e−9−4e−91B(t) on one vertex of thenon−conforming mesh2 3 4 5 6Time periods⇒ La non conformité du maillage n'amplie pas les reexions parasites.S. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D

Introduction Discretisation du système avec la nouvelle méthode Propriétés du schéma Références• K. S. Yee. IEEE Trans. Antennas and propag. 14. pp. 302-307. 1966• F. Hermeline. J. Comput. Phys., 106, pp.1-18, 1993.• R. A. Nicolaides et D.-Q. Wang. Math. comput. 65. pp. 947-963. 1998.• L. Fezoui, S. Lanteri, S. Lohrengel et S. Piperno. M2AN. Vol.39, N 6,2005, pp. 1149-1176.• K. Domelevo. et P. Omnes M2AN. Vol.39, N 6, 2005, pp. 1203-1249.• S. Delcourte, K. Domelevo et P. Omnes. SIAM journal on numericalanalysis. 45(3),pp. 1142-1174, 2007.• F. Hermeline, S. Layouni et P. Omnes. A nite volume method for theapproximation of Maxwell's equations in two space dimensions onarbitrary meshes. Soumis au J. Comput. Phys.S. LAYOUNIÉtude d'une méthode de volumes nis pour la résolution des équations de Maxwell en 2D