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1.2 Fonctions polynomiales, rationnelles, algébriques et définies par parties4. Déterminer le domaine des fonctions suivantes.22a) f(x) 4x 2 7 d) f(x) x2 95xb) g(x) e) f(x) -6x 2 x 127 4 x 71c) h(x) 5x 12 f) k(x) 10 2x 3 8 x 2 x 15. Déterminer le domaine et les zéros des fonctions suivantes.(3 2x)(5x 7)ta) f(x) d) f(t) 4 t (x 5)(2 3x) 4 t3 5 3b) g(x) e) f(x) (x 2 x 2)4x 4 7 3x4(4 x)(x 6)c) h(x) f) h(x) (x 2 x 2)3x 56. Un démographe estime que la population d’une ville est donnée parP(t) 12 000t 40 000, où t est en années et 0 t 20.a) Quelle sera la population de cette ville dans quatre ans et dans huit ans ?b) Quand la population de la ville sera-t-elle de 80 000 habitants ?7. Déterminer le domaine des fonctions suivantes.a)3x 2 4 si -3 x 4h(x) 5x 9 si 4 x 7x si x 1b) f(x) x 2 si 1 x 2-1 si x 2 et x 31 si x 0x 5c) g(x) x 3 si x 2x 4t 4 si t 5d) s(t) 1 6 si t 5 t8.x 2 1 si x -1Soit f(x) 3x 5 si - 1 x 47 si x 45 3x 2 si x 4 et x 7.Évaluer, si possible :a) f(-5) ; c) f(0) ; e) f(4) ;b) f(10) ; d) f(-1) ; f) f(7).9. Déterminer le domaine et représenter graphiquement les fonctions suivantes.x 3 si x 4a) h(x) 6 si x 4-2x 1 si x - 1b) g(x) - 2 si - 1 x 1x 2 9 si x 2FONCTIONS29

Exercices récapitulatifs6. Soit la représentation graphique suivante.yB11D 3(9, 1)A(4, -3)12D D14D 5a) Déterminer l’équation des droites cidessus.b) Déterminer les coordonnées des pointsA et B.c) Déterminer l’équation d’une droitepassant par P(1, 2) et qui est parallèleà D 3.d) Déterminer l’équation d’une droitepassant par P(9, 1) et qui est perpendiculaireà D 3; donner votre réponsesous la forme ax by c 0, où a, bet c z.7. a) Représenter sur un même graphiqueles fonctions suivantes :f(x) x 2 4x 5 et g(x) - 2x 3.b) Déterminer les points d’intersectionde ces courbes.c) Déterminer l’équation de la droite quipasse par le point P(1, f (1)) et qui estparallèle à la droite définie par g.8. Construire une fonction quadratique dontles zéros sont -6 et 2 et pour laquelleima f -∞, 32].9. Déterminer l’ensemble des valeurs de kpour lesquelles 4x 2 kx 9a) a deux zéros réels ;b) a un zéro réel ;c) n’a aucun zéro réel.10. Déterminer le domaine des fonctions suivanteset les représenter graphiquement. x 2 4 si x 2a) g(x) x 21 si x 2D 2x x 2 9 sib) h(x) x 3x -3-6 si x -3c) f(x) 2 x 3d) k(x) 4 2x x 211. Déterminer les valeurs de x qui vérifientles inéquations suivantes.a) (x 2)(x 5) 0b) x 2 9 0c) (3x 5) 2(x 4) 0(3x 1)12. Une personne qui travaille pour une compagniede location d’automobiles ayant40 voitures à louer, reçoit un salaire quotidiende 30 $ ; de plus, elle obtient unecommission de 4 $ pour chaque automobilequ’elle loue.a) Déterminer son salaire d’une journéesi elle loue 22 automobiles.b) Si n représente le nombre d’automobileslouées, déterminer la fonction Squi donne le salaire quotidien en fonctiondu nombre d’automobiles louées,en précisant son domaine.c) Combien d’automobiles doit-elle louerpour que son salaire quotidien soit de78 $?d) Si, au cours d’une semaine cette personnetravaille 5 jours, combien doitelle,en moyenne, louer d’automobilespar jour pour que son salaire hebdomadairesoit de 570 $?13. Un automobiliste roulant à 36 km/h freinepour décélérer uniformément à raison de4 m/s 2 .a) Déterminer la fonction donnant lavitesse de l’automobile en fonction dutemps.b) Déterminer sa vitesse après 1,3 s.c) Déterminer le temps requis pour immobiliserl’automobile.d) Déterminer la fonction donnant la positionde l’automobile en fonction dutemps, en posant x 0 0 m.34 CHAPITRE 1

Perspective historiquePerspective historiqueVOUS DITES CONTINU ?La matière, nous disent les physiciens, secompose d’atomes, eux-mêmes constituésde particules élémentaires. L’univers n’estdonc pas physiquement continu. Si j’avais la capacitéde me rapetisser indéfiniment, jusqu’à devenirdu même ordre de grandeur qu’un atome, jen’aurais pas le choix, pour me déplacer, que desauter d’un atome à un autre. Mais, intuitivement,mon mouvement ne serait-il pas, lui, continu ?Entre deux atomes, mon déplacement ne seraitpas saccadé. Puis-je alors dire que l’espace estcontinu ? Y aurait-il des « atomes » d’espace ?Y aurait-il des « atomes » de temps ?Ce genre de questions, les philosophes et lesscientifiques se les posent depuis la nuit des temps.Chez les Grecs de l’Antiquité, les discussions prirentune tournure particulièrement dramatique.Pour le grand philosophe Aristote (384-322 av.J.-C.), une chose est continue si on peut la subdiviserà répétition, indéfiniment. Mais alors, querépondre à Zénon d’Élée qui remarquait, dans leparadoxe appelé « la dichotomie », que lorsque jeme déplace vers un mur, je dois d’abord arriver àla moitié de la distance qui me sépare du mur,puis, à nouveau, à la moitié de la distance qui mesépare alors du mur, et ainsi de suite. Supposantl’espace continu, même si je m’approche de plusen plus du mur, il me restera toujours une moitiéde distance à parcourir. Je n’atteindrai donc jamaisle mur. Par contre, si je suppose l’espace noncontinu, en me déplaçant, j’arriverai à un momentdonné à une distance du mur qui ne sera plusdivisible. Alors, à l’étape suivante, je parviendrainécessairement au mur. Puisque, en réalité, j’atteinsle mur, cela ne voudrait-il pas dire que l’espaceest effectivement discontinu ?Ce genre d’arguments fera l’objet d’une controversependant plusieurs siècles. On montrera finalement,au Moyen Âge, à l’aide des séries infinies,que puisque les temps pour parcourir les « moitiésd’espaces restants » deviennent de plus en pluscourts à mesure qu’on approche du mur, au total,cela prend un temps fini pour y arriver.En mathématiques, nous tenons pour acquisque l’espace géométrique est continu et doncqu’il peut se subdiviser à l’infini. Ainsi, lorsqu’ontrace le graphe d’une fonction y f (x), on tientpour acquis que x prend successivement toutes lesvaleurs sur l’axe des x. Votre expérience avec lesfonctions vous porte sans doute à croire que, saufpour des cas assez rares (comme y f(x) 1/x) etartificiels (comme les fonctions escaliers), le graphecorrespond à un tracé continu. De Descartes(1637) jusqu’au début du XIX e siècle, les mathématicienspensèrent de même. L’expression symbolique,même infinie, permettant de calculer lavaleur de f (x) semblait un garant du fait que legraphe de la fonction puisse être tracé d’un traitcontinu, sauf peut-être en quelques points. On nesentait donc pas vraiment le besoin de préciserdavantage ce qu’était une fonction « continue ».Mais alors, l’intuition commença à être prise endéfaut(voir le problème ci-dessous). C’est dansle contexte de la recherche d’une plus granderigueur que le Français Augustin Cauchy (1789-1857) définira la continuité d’une fonction (1823):Lorsque la fonction f (x) admettant une valeur uniqueet finie pour toutes les valeurs de x comprises entredeux limites [comprendre ici les bornes d’un intervalle]données, la différencef(x i) f(x)est toujours entre ces limites une quantité infiniment petite,on dit que f(x) est fonction continue de la variable entre leslimites dont il s’agit.[i est vu ici comme un nombredont la valeur se rapproche infiniment du zéro.]PROBLÈME: La fonction correspondant à la sommeinfinie de fonctions continues est-elle elle-même unefonction continue?Cauchy a répondu d’abord intuitivement ouipour produire par la suite une démonstration. Maisle jeune mathématicien Niels Abel (1802-1829) luioppose un contre-exemple à la démonstration deCauchy. Vous pouvez vous rendre compte vousmêmedu bien-fondé du contre-exemple en traçant,sur votre calculatrice graphique ou, mieux encore,sur un traceur graphique d’un ordinateur, la fonctionsuivante:y sin(x) sin( 2x) sin( 3x) sin( 4x) …2 3 4en ajoutant toujours davantage de termes. Vousremarquerez que d’un graphe à l’autre, le graphese rapproche du graphe suivant. 2-3 - 3 8- 240 CHAPITRE 2

Puisque lim f(x) lim f(x) 0,16, alors lim f(x) 0,16. (théorème 1)x → 9- x → 9 x → 9c) Représentons f(x)graphiquementf sur [0, 20]. 0, 1 3 2.1 Notion de limitef(x)0,16f(x)f(x) x 30,0501 x 9x → 9 -x9 ← x x 9yx2x 2 3x 1■ Exemple 3 Soit g(x) .2x 1a) Trouvons dom g.dom g IR \ {-0,5}b) Calculons lim f(x), à l’aide de tableaux de valeurs, où x → -0,5 - et x → -0,5 .x → - 0,5x -0,6 -0,51 -0,501 -0,5001 … → -0,5 -2x 2 3x 1f(x) -0,4 -0,49 -0,499 -0,499 9 … → -0,52x 1donc, limx → - 0,5 - f(x) -0,5x -0,4 -0,49 -0,499 -0,499 9 … → -0,5 2x 2 3x 1f(x) 0,6 0,51 0,501 0,500 1 … → 0,52x 1donc, lim f(x) 0,5x → - 0,5 Puisque lim f(x) lim f(x), alors lim f(x) n’existe pas. (théorème 1)x → - 0,5- x → - 0,5 x → - 0,5Remarque Une étude plus approfondie des notions de limite à gauche, de limiteà droite et des conditions d’existence de la limite sera faite à la section 2.3.c) Représentons graphiquement f.11xLIMITE, CONTINUITÉ45

2.3 Continuitéf est continue.La 1 re condition est satisfaite.La 2 e condition est satisfaite.La 3 e condition est satisfaite.En x -5 x -2 x 0 x 3 x 65. À l’aide de la définition, déterminer si les fonctions suivantes sont continues à la valeur de xdonnée.a) En x 0 pour f(x) 3x 2 4x 6 si x -1b) En x - 1 pour f(x) 3 si x -15x 2 si x -1c) En x 1 pour f(x) 7x 2 1 si x 14x3x 2 1 si x 16. Trouver les valeurs de x où la fonction serait susceptible d’être discontinue et déterminer si lafonction est continue en ces valeurs.a) f(x) 3x 2 4x 564b) f(x) x 2x(x 2)c) f(x) (x 3)(3x 9)(2 5x)2x 6 si x -14 si x -1d) f(x) x 2 3 si -1 x 27 3x si x 27. Soit f, la fonction représentée par le graphique ci-contre.f(x)Répondre par vrai (V) ou faux (F).La fonction f est continue sur :a) [2, 6] ; d) [-4, 2] ; g) [-1, 1[ ;b) ]2, 6[ ; e) ]-4, 2] ; h) ]6, ∞;11xc) ]-4, 2[ ; f) ]-4, 6[ ; i) -∞, -4].8. Répondre par vrai (V) ou faux (F).Les fonctions f suivantes sont continues sur les intervalles donnés.xa) f(x) sur [-1, 1] ; sur ]0, 3] ; sur [0, 3[ ; sur [1, 4]x 3b) f(x) 2x 4 sur IR ; sur ]- 2, 0] ; sur ]-3, 2] ; sur [-2, ∞3x 2c) f(x) sur [- 2, 2] ; sur [-4, 0[ ; sur [-1, 1] ; sur ]-2, 2[ 4 x 2LIMITE, CONTINUITÉ67

Exercices récapitulatifs> Exercices récapitulatifsbiologie chimie administration physique1. Évaluer les limites suivantes en construisantles tableaux de valeurs appropriées.x 1a) lim x → - 13 x x 2b) limh → 0 5h 1h2. Évaluer, à l’aide des théorèmes, les limitessuivantes.a) lim (7x 2 4)x → 2b) limx → 0 3x 2 7x 233x 1 c) lim [(7x 3)(4x 2 1)]x → 1d) limx → - 1 8x 3 7x 210x 169x x 2 2 e)limx → 2f) lim 13x 2x 3 -2x → 1 2 f(x) 64, limx → ah(a) 2, g(a) - 1 et f(a) non définie.3. Soit limx → ag(x) -1, lim h(x) 0,x → aÉvaluer, si possible, les limites suivantes.a) limx → a 1 2 f(x) 2g(x) h(x) b) lim [(f(x) g(x) h(x)) g(x)]x → ac) limx → a d) limx → a3f ( x g ( x ) )g( x) 2g(a)h ( x) 2h(a)e) lim [f(x) g(x)(x a)]x → af) limx → ax 6 x 4 x 2 2x 2 xf( x)h ( a)g) lim [x f (x) (x g(x)) 2 ]x → ah) limx → a g(x) g(a)h(x)4. En utilisant les données de la questionprécédente, déterminer si les égalitéssuivantes sont vraies (V) ou fausses (F).a) lim g(x) g(a)x → ab) lim h(x) h(a)x → ac) lim h lim h(x)( x)x → a x → a g( x)lim g(x)x → ad) limx → ae) limx → ag( x) h ( x)g( x) li mx → a g( x) f) lim h ( x) lim h ( a)x → a g( x)x → a g( a)5. Évaluer les limites suivantes.a) limx → - 5 x xb) limx → - 2 x 2xc) lim x 2 x → 1lim x → alimx → a2 25 5 x 22 2x2xx 2 1 h 1 4 h 4 11d) limt → 0 (3 t ) 2 9te) limh → - 4f) limh → 1g) limx → 5h) limx → 4i) limt → 5 3 h 1 45h 4h 1x 2 5x x 5x 2 x 42t 10t 5g(x)h(x)j) limh → 0 (x h ) 3 x3hLIMITE, CONTINUITÉ71

Problèmes de synthèse> Problèmes de synthèse1. Soit f (x) et g(x), deux fonctions polynomialeset h(x) une fonction rationnelle.Répondre par vrai (V) ou faux (F) et donnerune justification.a) lim f(x) f(a)x → ab) limx → af( x)f( a) g ( x)g ( a)c) lim h(x) h(a)x → ad) limx → ae) limx → a 3 g( x) 3 g( a) 4 f( x) 4 f( a)2. Déterminer, pour que les limites suivantesexistent, la forme appropriée, c’est-à-direx → a , x → a - , ou les deux formes.a) lim x 5x → 5 ?b) lim 2 3xx → 2 3 ?c) lim 3 x 8x → 8 ?d) lim x 2 4x 5x → 1 ?e) lim x 2 4x 4x → 2 ?f) limx → 3 ? x 2 x 9 33. Soit lim f(x) 0, lim g(x) 0, g(x) 0 six → ax → af( x)x a, f(x) 0 si x a et lim 3.x → a g ( x)Évaluer les limites suivantes.a) lim x f(x)x → a g(x)b) lim f 2(x)x → a g(x)c) limx → a f(x) g(x)g(x)d) limx → ae) lim g ( x)x → a f( x) [f(x) g(x)] f(x)g 2 (x)f) limx → a f 2(x)( x a 2)g(x)( x a)4. Si limx → af( x) lim g ( x)f( x), évaluer lim .g ( x)x → a f( x)x → a g ( x)5. Évaluer, si possible, les limites suivantes.a) lim x 2 x → 0 xb) limx → 9 2x 8x 6x 3c) limx → 1 d) limx → 06. Déterminer la valeur de a telle que :a) limx → - 3b) limx → 4c) limx → 0(x 2 1) 3 2x 1 (x 1)x 3 x 2 x 3 x 2x 3 ax 2 10x 24x 2 x 12x 3 ax 2 10x 24x 2 x 12x 3 ax 2 10x 24x 2 x 12 -5;existe ;existe.7. Déterminer, si possible, des fonctions f et gtelles que :a) lim f(x) 9, mais f(x) 9 ∀ x IR ;x → 3b) lim f(x) 0, mais lim [f(x) g(x)] 4;x → 5x → 5c) lim f (x) n’existe pas, lim g(x) n’existex → 1x → 1pas, mais lim [f(x) g(x)] existe ;x → 1d) f soit discontinue en x a, mais f soitcontinue en x a. x 3 1x 1si x 18. Soit g(x) B si x 1 x 1 six 1x 1.Déterminer, si possible, la valeur de B:a) telle que g soit continue en x 1;b) telle que g soit continue sur [0, 1] ;c) telle que g soit continue sur [1, 2].74 CHAPITRE 2

4.2 Dérivée de produits, de sommes et de quotients de fonctionsdy8. Calculer si : d xxa) y x 1 ;x 1 x 2b) y x ( 10 x)4x 3 2 x; c) y .3x 8(x4 1)x9. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.a) f(x) 4x 5 c) f(x) 6x 5 1, de deux façons différentes.32xi) en utilisant d’abord le théorème 3 ;ii) en utilisant d’abord le théorème 5.5b) x(t) t 2i) sans utiliser le théorème 8 ;ii) en utilisant le théorème 8.10. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.a) y 4x 2 24x 10 4 i) y (2x 1)(3x 3)(4 5x)b) y 4 5 x 5 2 7 x 7j) y 1 142 x 7 1 9 x 2c) y 5x 4 3x 2 10 3 x k) y x xx xxd) y 8(x 3 5x 1) 6x 2 l) y 7 7 x e) y x 4 x14 m) y nx xn 1f) y x(2x 2 7x 4) n) y x n 1nx3g) y x 1h) y 7 3 x2x 2 3 o) y xxnn 1 1x11. Soit y .42 3xdya) Calculer .d xdyb) Calculer ⏐ d x x 1.c) Déterminer m tan (- 1,1 ).d) Déterminer les points de la courbe de la fonction où la pente de la tangente est nulle.OUTIL TECHNOLOGIQUE 5e) À l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel approprié, tracer lacourbe de y et vérifier la pertinence des réponses obtenues en d).138 CHAPITRE 4

4.3 Dérivée de fonctions composées et dérivées successives de fonctionsdzb) Calculons . d x⏐ x 4Déterminons la valeur de u et de y lorsque x 4.En posant x 4, nous obtenonsu 4 2 et y 1 4(2) 5 -127dzdonc, d x⏐ - 60(- 127)(2) 4.x 4 4 60 960La notation de Leibniz nous sera utile au chapitre suivant, où nous allonsrésoudre des problèmes de taux de variation liés.Dérivées successivesIl sera essentiel dans les chapitres ultérieurs de calculer la dérivée de la dérivée d’une fonction.Ainsi, pour une fonction f (x), la dérivée de f (x) c’est-à-dire [f (x)], est appelée dérivée seconde de lafonction f(x) et peut être notée f (x).De même, la dérivée de la dérivée seconde [f (x)] est appelée dérivée troisième de la fonction f (x) etpeut être notée f (x). Nous pouvons également calculer la dérivée n e de la fonction f (x) qui peutêtre notée f (n) (x).Notations pour exprimer les dérivées successives d’une fonction y f(x)dyDérivée première : y y (1) f (x) f (1) (x) d xd 2yDérivée seconde : y y (2) f (x) f (2) (x) d x 2d 3yDérivée troisième : y y (3) f (x) f (3) (x) d x 3d nyDérivée n e : y (n) f (n) (x) d x n■ Exemple 1 Soit y x57 et g(t) 2t 3 4t 2 1.d 3y 3ya) Calculons d x 3 et ddx 3 ⏐ x 2.Afin d’éviter d’utiliser la formule du quotient à trois reprises, ce qui peutdevenir laborieux, il est préférable de transformer la fonction initiale.Ainsi, y x57 5x - 7dy -35x - 8d xd 2y dyd d x 2 ddx d x (-35x - 8 ) 280x - 9d xDÉRIVÉE DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES ET D’ÉQUATIONS IMPLICITES145

Problèmes de synthèsee) où la tangente à la courbe de f estperpendiculaire à la droite d’équationx 48y 1 0.12. Soit f(x) 2x 3 x 2 15x.a) Calculer la pente de chaque tangenteà la courbe de f, aux points où la courberencontre l’axe des x.b) Calculer la pente de la tangente à lacourbe de f au point où la courbe rencontrel’axe des y.OUTIL TECHNOLOGIQUEc) Déterminer approximativement lescoordonnées des points de la courbe f,où la tangente à cette courbe est parallèleà l’axe des x. Vérifier la pertinencedu résultat à l’aide d’une calculatrice àaffichage graphique ou d’un logicielapproprié.13. Déterminer le point C(c, f (c)) de la courbede f, définie par f (x) - x 2 12x 20, telque la tangente à la courbe en ce point soitparallèle à la sécante passant par A(3, f(3))et B(8, f (8)). Représenter graphiquementla courbe, la sécante et la tangente.14. Soit f(x) x 3 4x 2 7x 6.a) Déterminer l’équation de la tangente àla courbe de f au point A(1, f(1)).b) Déterminer l’équation de la tangente àla courbe de f, qui est parallèle à laprécédente.c) Déterminer l’équation de la normale àla tangente au point A(1, f(1)).OUTIL TECHNOLOGIQUEd) À l’aide d’une calculatrice à affichagegraphique ou d’un logiciel approprié,représenter la courbe f, les tangentesprécédentes et la normale précédente.x15. Soit l’ellipse d’équation 21 6 y 29 1.y1a) Déterminer l’équation de la tangentereprésentée.b) Déterminer les valeurs respectives de aet de b.c) Déterminer l’équation de la tangente àl’ellipse qui est parallèle à la tangentereprésentée.m nB(0, b)3 xA(a, 0)16. Soit y x , où m z et n z*.Démontrer à l’aide de la dérivationmdimplicite que x m d x n x m 1 nn.> Problèmes de synthèse1. Soit f(x) x 2 x 6.a) Déterminer l’équation des droites tangentesà la courbe de f aux points oùcette courbe coupe l’axe des x.b) Illustrer graphiquement cette courbe etces deux droites.c) Calculer l’aire A, du triangle formé parl’axe des x et les deux tangentes précédentes.2. Déterminer si la droite donnée est tangenteà la courbe de f donnée. Si oui, détermineren quel point.a) y 4x 17 et f(x) x 2 2x 8b) y -4x 5 et f(x) x 2 2x 8c) y 20x 33 et f(x) 2x 3 4x 1OUTIL TECHNOLOGIQUEd) Vérifier la pertinence des résultats précédentsà l’aide d’une calculatrice àaffichage graphique ou d’un logicielapproprié.3. Soit f(x) (x 1) 3 (2x 3) 1, représentéepar le graphique suivant. Repérer les deuxpoints suivants : A(a, f (a)) et B(b, f (b)).DÉRIVÉE DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES ET D’ÉQUATIONS IMPLICITES157

5.1 Taux de variation instantanéReprésentations graphiques with(plots) : c1 :plot(13*q,q0..13,colorblue) : c2 :plot(q^222,q0..13,colororange) : display(c1,c2) ; with(plots) : c3 :plot(13*qq^222,q0..13,colororange) : c4 :plot(20.25,q4..9,colorblue) : display(c3,c4) ;180160140120C(q)R(q)2010P(q) 0P(q)10080024 6 8 10 12 q60-104020-20024 6 8 10 12 qIci nous constatons graphiquementque la valeur R(q) C(q) estmaximale lorsque q 6,5.Ici nous constatons graphiquementque le maximum de P estatteint lorsque q 6,5.7Exercices 5.1D’où le profit est maximal lorsque q 6500 unités.d) Évaluons le profit maximal.P(6,5) - 6,5 2 13(6,5) 22 20,25, c’est-à-dire 20 250 $1. Une balle est lancée verticalement vers le haut. Sa position par rapport au sol est donnée parx(t) -4,9t 2 39,2t 44,1, où t [0 s, b s], b étant le temps où la balle touche le sol et x(t) étanten mètres.a) Calculer la vitesse moyenne de cette balle sur [1 s, 6 s] et sur [4 s, 6 s].b) Déterminer les fonctions donnant la vitesse instantanée et l’accélération instantanée de laballe.c) Calculer la vitesse initiale de la balle.d) Calculer la hauteur, la vitesse et l’accélération de la balle après deux secondes ; après septsecondes.e) Calculer l’accélération moyenne sur [2 s, 5 s].f) Calculer l’accélération moyenne sur [t 1, t 2], où t 1et t 2 [0, b].g) À quelle valeur de t la balle atteindra-t-elle sa hauteur maximale ? Déterminer cette hauteur.h) Calculer la hauteur de laquelle la balle est lancée et le temps nécessaire pour qu’ellerevienne à cette même hauteur.i) Calculer le temps que prend la balle pour toucher le sol et déterminer la vitesse de la balle àcet instant.OUTIL TECHNOLOGIQUEj) Représenter graphiquement les courbes x, v et a.TAUX DE VARIATION175

5.2 Taux de variation liéstemps, lorsqu’il y a 4 cm d’eau dans le cône.Nous cherchons d r lorsque r 4 cm.dtExprimons le volume en fonction de r. h r 8 6 (triangles semblables)donc,h 4 3 rainsi, V(r) 1 3 r 2 4 3 r 4 r 3.9Calculons la dérivée de V par rapport à t. d V d V d r (règle de dérivation en chaîne)dtdrdtd15 d r 4 r 39 d rdt car d V 15 et V 4 r 3dt9 15 4 r 2 d r3 dtdonc, d r 45 .dt4 r 2Lorsque h 4 cm, nous avons r 3 cm car r 3 h4 donc, d r dt⎥ d r 45 .h 4 cm dt⎥ r 3 cm 4 ( 3) 2D’où d r 5 dt⎥ h 4 cm 4 cm/s.7Exercices 5.21. Soit une sphère dont le rayon s’accroît à un rythme de 2 cm/s.a) Déterminer la fonction donnant le taux de variation du volume par rapport au temps.b) Évaluer le taux de variation du volume par rapport au temps lorsque r 5 cm.c) Évaluer le taux de variation du volume par rapport au temps lorsque V 2304 cm 3 .2. Après l’usage d’un médicament, le volume d’une tumeur sphérique diminue à un rythme de4cm 3 /mois. Déterminer le taux de variation instantané du rayon de la tumeur par rapport autemps lorsque le rayon est de 5 cm.3. Soit un cercle dont le rayon r varie en fonction du temps suivant l’équation r(t) - t 2 6t 1,où r est en centimètres, t est en secondes et t [0 s, 6 s].a) Déterminer la fonction donnant le taux de variation instantané de l’aire par rapport autemps.b) Évaluer le taux de variation instantané de l’aire par rapport au temps lorsque t 2 s ; t 5 s.c) Évaluer le taux de variation instantané de l’aire par rapport au temps lorsque r 7,75 cm.d) Déterminer l’aire du cercle lorsque le taux de variation instantané de l’aire en fonction du182 CHAPITRE 5

Exercices récapitulatifs> Exercices récapitulatifs1. Soit un objet qu’on laisse tomber d’unemontgolfière en ascension. La position x decet objet par rapport au sol est donnée parx(t) - 4,9t 2 4,9t 1225, où t est en secondeset x(t), en mètres.a) Déterminer la hauteur de la montgolfièreau moment précis où on laissetomber l’objet.b) Déterminer les fonctions donnant lavitesse instantanée et l’accélération instantanéede l’objet.c) Déterminer la vitesse initiale de l’objetet sa vitesse après deux secondes.d) Déterminer la hauteur maximale qu’atteindral’objet.e) Déterminer la vitesse de l’objet au momentoù celui-ci touche le sol.2. Un zoologiste soutient qu’à compter d’aujourd’hui,la population d’une espèce, pourles dix prochaines années, sera donnée parP(t) 3600 2 t 1, où t désigne le nombret 3d’années et P(t), le nombre d’individus del’espèce.a) Déterminer l’augmentation de la populationdurant les trois premières années.b) Quel sera le rythme de croissance T decette population dans sept ans ?c) Déterminer le rythme de croissancede cette population lorsqu’elle est de5200 individus.d) Déterminer la population de cette espècelorsque le rythme de croissance est de720 individus par année.OUTIL TECHNOLOGIQUEe) Représenter graphiquement les courbesde P et celle de T.3. Soit une compagnie dont les revenus, endollars, sont donnés par R(q) - 3q 2 640qet les coûts, en dollars, par C(q) 5q 2 30,où q désigne le nombre d’unités produiteset q [0, 70].a) Déterminer la fonction R mdonnant lerevenu marginal instantané et la fonc-biologie chimie administration physiquetion C mdonnant le coût marginal instantané.b) Déterminer le profit maximal de cettecompagnie.4. Soit un cylindre dont le volume en fonctionde son rayon r et de sa hauteur h est donnépar V(r, h) r 2 h, où r et h sont en centimètreset V(r, h), en centimètres cubes.a) Calculer la variation du volume d’uncylindre de rayon 5 cm et de hauteur7 cm, si on augmente seulement le rayonde 1 cm ; si on augmente seulement lahauteur de 1 cm ; si on augmente lerayon et la hauteur de 1 cm.b) Répondre aux questions de a) pour uncylindre de rayon 8 cm et de hauteur3 cm.c) Déterminer le taux de variation instantanéT r(r, h) du volume par rapport aurayon pour une variation du rayon r, hétant constant ; calculer ce taux lorsquer 3 cm et h 5 cm.d) Déterminer le taux de variation instantanéT h(r, h) du volume par rapport àla hauteur pour une variation de la hauteurh, r étant constant ; calculer ce tauxlorsque r 3 cm et h 5 cm.5. La force électrique peut être considéréecomme une fonction de la distance x séparantdeux particules.Soit F (x) , où k est une constantexk2positive.a) Déterminer la fonction T donnant letaux de variation instantané de la forceen fonction de la distance x entre lesdeux particules.b) Que signifie le signe négatif dans l’expressionde la dérivée de la fonction F ?6. Soit un rectangle dont l’aire A varie en fonctionde la base x, où 0 m x 10 m, et dontle périmètre est égal à 20 m.a) Déterminer la fonction T donnant letaux de variation instantané de l’aire durectangle par rapport à la base x.TAUX DE VARIATION185

Exercices récapitulatifsb) Calculer T(2); T(7); interpréter les résultatsobtenus.c) Déterminer pour quelle valeur de x letaux de variation instantané de l’aire durectangle est nul ; quelle figure géométriqueparticulière obtient-on dans cecas ?7. Soit un cylindre dont le rayon r et la hauteurh varient en fonction du temps de la façonsuivante: r(t) 3t 4 et h(t) 3t 2 1, oùt est en secondes et 0 s t 10 s.a) Déterminer la fonction T rdonnant letaux de variation instantané du rayonen fonction du temps ; évaluer ce tauxlorsque h 148 cm.b) Déterminer la fonction T hdonnant letaux de variation instantané de la hauteuren fonction du temps ; évaluer cetaux lorsque r 4 cm.OUTIL TECHNOLOGIQUEc) Déterminer la fonction T Vdonnant letaux de variation instantané du volumeen fonction du temps ; évaluer approximativementce taux lorsqueV 1081 cm 3 .8. Si le rayon d’une sphère varie en fonctiondu temps suivant l’équation r(t) t 2, où t est2en minutes et r(t), en centimètres, déterminer:a) la fonction T Vdonnant le taux de variationinstantané du volume par rapportau temps ;b) le taux de variation instantané du volumepar rapport au temps lorsque lerayon est de 8 cm;c) le taux de variation instantané du volumepar rapport au temps lorsque t 3 min ;d) la fonction T Adonnant le taux de variationinstantané de l’aire par rapport autemps ;e) le taux de variation instantané de l’airepar rapport au temps lorsque le volumeest de 3 2 cm 3 .39. Les côtés congrus d’un triangle isocèlemesurent 13 cm. Si la longueur de la bases’accroît à une vitesse de 0,5 cm/s :a) évaluer le taux de variation instantanéde la hauteur par rapport au tempslorsque la base est de 10 cm;b) évaluer le taux de variation instantanéde l’aire par rapport au temps lorsquela hauteur est de 5 cm;c) évaluer le taux de variation instantanéde l’aire par rapport au temps lorsquela base est de 10 cm;d) déterminer la longueur de la base àl’instant où le taux de variation instantanéde l’aire est nul.10. Un auto-patrouilleur placé au point P,situé à 20 m d’une route, pointe son radarsur une automobile située en A. Le radarindique la vitesse de rapprochement entrel’automobile et l’auto-patrouilleur. Lalimite de vitesse permise sur la route del’automobiliste est de 30 km/h.20 mCPAa) Si le radar indique 25 km/h, lorsque ladistance entre C et A est de 15 mètres,une contravention est-elle méritée?Expliquer.b) Qu’indiquera le radar si l’automobileroule à la vitesse permise lorsque ladistance entre C et A est de 40 mètres ?11. On estime que la fonction déterminant lahauteur y, en mètres, entre un télésiège et2xle sol est donnée par y 1 ,1 00où x représente la distance horizontale, enmètres, entre le télésiège et le point dedépart et 0 x 50.a) Déterminer la vitesse verticale du télésiègesi celui-ci se trouve à une distancede 25 m du point de départ, sachantque sa vitesse horizontale à cet instantest de 1,5 m/s.b) Déterminer la vitesse horizontale dutélésiège si celui-ci se trouve à une hauteurde 17 m, sachant que sa vitesseverticale à cet instant est de 1,05 m/s.12. Un panneau rectangulaire de 120 cm sur240 cm est appuyé contre un mur vertical.186 CHAPITRE 5

Test préliminaireen effet, dans son traité de 1696, qu’une fonctionpeut, s’il y a une asymptote verticale, croître puisdécroître sans avoir atteint de maximum (voir lafigure). À certains égards, il est réconfortant devoir même le grand Leibniz ne pas prévoir certainscas spéciaux. De toute façon, ce raisonnementbasé sur un rapport ne tiendra plus lorsqueCauchy (1789-1857) aura rigoureusement défini ladérivée non pas comme un rapport mais biencomme la limite d’un rapport.> Test préliminairePartie A1. Déterminer le signe ( ou ) de chaqueexpression, sachant que () désigne unevaleur positive et (), une valeur négative.a) ( ) d) ( )()( )( )b) ( ) e) ()( )()( )( )c) ( ) f) ()( )()( )( )2. Résoudre les équations.a) (x 4)(3x 7) 0b) x 2 x 6 0c) (x 2 4)(x 3 x 2 ) 0d) x 5 x 0e) 3(x 1) 2 (2x 3) 2(x 1) 3 0f) 2(x 1)(x 1) 2 2(x 1)(x 1) 2 0g) x 2 25 0x 4h) x 2 x 2 0i) (x 2 x 1)(x 2 1) 03. Compléter le tableau suivant en utilisant , ou 0 dans la case appropriée selon quel’expression est positive, négative ou nulle.x -∞ 0 3 4 ∞x 3 (x 4)4x 2 (x 3)4. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminerun intervalle [a, a 1] où a z telque f (c) 0 où c ]a, a 1[, en utilisantle théorème de la valeur intermédiaire.a) f(x) 2x 5 x 4 2x 1b) f(x) -2x 3 5x 2 8x 20Partie B1. a) Donner une définition de la dérivéef (x).b) Quelle est l’interprétation graphique def (x) ?2. Déterminer les zéros de f (x) si :a) f(x) (3x 2) 4 (5x 2) ;29b) f(x) ; xx2 9x 3c) f(x) . x 2 63. Déterminer les zéros de f(x), f (x) et de f (x)si f(x) x 3 2x 2 5x.3ANALYSE DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES195

6.1 Intervalles de croissance, intervalles de décroissance, maximum et minimumD’une part, nous constatons que f est décroissantesur - ∞, 1] et qu’en traçant quelques tangentesà la courbe de f sur -∞, 1[, toutes ces tangentesont une pente négative, d’où f (x) 0,pour tout x -∞, 1[.f(x)1xD’autre part, nous constatons que f est croissantesur [1, ∞ et qu’en traçant quelques tangentesà la courbe de f sur ]1, ∞, toutes ces tangentesont une pente positive, d’où f (x) 0,pour tout x ]1, ∞.f(x)1xDe plus, le point (1, f (1)) est un point de minimumet en ce point la tangente à la courbe de fest horizontale, ainsi la pente de la tangente à lacourbe de f égale 0, c’est-à-dire f (1) 0.f(x)1x(1, f(1))Énonçons maintenant un théorème, que nous acceptons sans démonstration,qui nous permettra de déterminer si une fonction est croissante ou décroissanteà l’aide du signe de sa dérivée première.7Théorème 2Soit f une fonction continue sur [a, b] telle que f existe sur ]a, b[.a) Si f (x) 0 sur ]a, b[, alors f est croissante sur [a, b].b) Si f (x) 0 sur ]a, b[, alors f est décroissante sur [a, b].Remarque 1) Si f (x) 0 sur - ∞, b[, ]a, ∞ ou sur IR, alors f est croissante surrespectivement -∞, b], [a, ∞ ou IR.Remarque 2) Si f (x) 0 sur -∞, b[, ]a, ∞ ou sur IR, alors f est décroissante surrespectivement -∞, b], [a, ∞ ou IR.Nombre critiqueSelon la valeur de la variable indépendante, la dérivée d’une fonction peut êtresoit positive, soit négative, soit nulle, ou ne pas exister.■ Exemple 1 Soit f (x) 3 x 2 1 dont la représentation graphique est à lapage suivante.200 CHAPITRE 6

6.1 Intervalles de croissance, intervalles de décroissance, maximum et minimumÉvaluons pour certaines valeurs du domainede f, la dérivée en ces valeurs.Puisque f(x) 3 x 2 1, alors2xf (x) et2 33 (x 1) 26f (3) 1 donc, f (3) 0338 2 2- 4f (-2) donc, f (-2) 0333 2 f (0) 0f (1) n’existe pas, car nous ne pouvonspar diviser par zéro.f:x→surd((x^21),3) :plot(f(x),x-4..4,y-1.5..3,colororange) ;f(x)2y1-3 -2 -1 0 1 2 3 xx-1DéfinitionSoit c dom f. Nous disons que c est un nombre critique de f si :1) f (c) 0ou2) f (c) n’existe pas.Définition Le point (c, f (c)) est un point stationnaire de f, si f (c) 0.Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et c I tel que f (c)n’existe pas.1) Le point (c, f (c)) est un point de rebroussement de f si :Définition i) en ce point la tangente à la courbe est verticale ;ii) f (x) change de signe lorsque x passe de c - à c .2) Le point (c, f(c)) est un point anguleux de f si en ce point les portionsde courbes admettent deux tangentes distinctes.■ Exemple 2 Soit f(x) 5 x 2 2x 3, où dom f IR.a) Déterminons les nombres critiques de f.Calculons d’abord f (x).2 x 22(x 1)f (x) (en factorisant)5 5 [(x 3)(x 1)] 4 55 (x 2 2x 3) 41) f (x) 0 si x 1, d’où 1 est un nombre critique de f.2) f (x) n’existe pas si x - 1 ou x 3, d’où - 1 et 3 sont des nombres critiquesde f.b) Déterminons les points stationnaires de f.Le point (1, f(1)) est un point stationnaire de f car f (1) 0.ANALYSE DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES201

6.1 Intervalles de croissance, intervalles de décroissance, maximum et minimumL’usage de tableaux pour condenser une ou des informations mathématiques aconnu un âge d’or chez les Arabes entre 1000 et 1300. Ces tableaux n’étaient pasemployés en calcul différentiel puisque ce dernier n’existait pas encore. On lesutilisait plutôt pour les calculs algébriques. Ils permettaient de faire des calculscomplexes sur les polynômes, par exemple pour en déterminer les racines.Avant de construire un tableau de variation qui nous permettra de déterminerles intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif etles points de minimum relatif d’une fonction, donnons un exemple graphiquerésumant les notions étudiées auparavant.■ Exemple 1 Soit la fonction f définie par le graphique suivant.f(x)f estdécroissante.a b c d(a, f(a))min. rel.f estcroissante.(c, f(c))max. rel.f estdécroissante.(d, f(d))min. rel.xf estcroissante.f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0f (a) 0 f (b) 0 f (c) 0 f (d) n’existe pasf passe du au .f ne changepas de signe.f passe du au .f passe du au .Les points (a, f (a)), (b, f (b)) et (c, f (c)) sont des points stationnaires.Le point (d, f (d)) est un point de rebroussement.Plaçons maintenant, dans un tableau de variation relatif à f , les informationsobtenues à partir de la dérivée première de la fonction f pour esquisser legraphique de f.■ Exemple 2 Soit f(x) x 2 6x.a) Déterminons les intervalles de croissance et de décroissance de f.Nous savons, d’après le théorème 1, que si f (x) 0 sur ]a, b[, alors f estcroissante sur [a, b] et, que si f (x) 0 sur ]a, b[, alors f est décroissantesur [a, b]. Il faut donc déterminer les valeurs de x pour lesquelles f (x) 0et les valeurs de x pour lesquelles f (x) 0.ANALYSE DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES203

6.1 Intervalles de croissance, intervalles de décroissance, maximum et minimumGraphique de f et graphique de fLes graphiques d’une fonction et de sa dérivée sont dépendants l’un de l’autre.■ Exemple 1 Déterminonsl’esquisse du graphiquede f connaissant legraphique de f.f(x)a b cxIndiquons les informations nécessaires à la construction du graphique de f .f(x)a b cxf 1 f 2 f 2 f 1f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0f (a) 0 f (b) 0 f (c) 0f (x)a b cx■ Exemple 2 Soit f , la fonction définie par le graphiqueci-contre.Donnons une esquisse du graphique de f.1 re étape : Déterminer les nombres critiques de f.f (x) 0 si x - 1 ou x 3 (intersection de lacourbe de f avec l’axe des x), d’où - 1 et 3 sontdes nombres critiques de f.2 e étape : Construire le tableau de variation.x - ∞ -1 3 ∞f (x) 0 0 f 2 f(-1) 1 f(3) 2min.max.f (x)2-2 123 4xMême si nous ignorons les valeurs exactes def (- 1) et de f (3), nous pouvons donner uneesquisse du graphique de f qui respecte les donnéesdu tableau de variation.f(x)(3, f(3))Remarque Il existe une infinité d’esquisses dugraphique respectant les données du tableau devariation précédent.-1(-1, f(-1))1x210 CHAPITRE 6

6.1 Intervalles de croissance, intervalles de décroissance, maximum et minimum7Exercices 6.11. Compléter les énoncés suivants, sachant que f est une fonction continue sur [a, b] et c ]a, b[.a) Si f (x) 0 sur ]a, b[, alors …b) Si f (x) 0 sur ]a, b[, alors …c) c est un nombre critique de f si …d) Si f (c) 0, alors (c, f (c)) est …e) Si f (x) passe du «» au «» lorsque x passe de c - à c , alors le point …f) Si f (x) passe du «» au «» lorsque x passe de c - à c , alors le point …2. Compléter les énoncés suivants, sachant que f, f , f , etc. sont continues sur IR.a) Si f (x) 0 sur ]a, b[, alors f …b) Si f est une fonction décroissante sur [a, b], alors f (x) …c) Si f (4) (x) 0 sur ]a, b[, alors …d) Si f (7) (x) est une fonction croissante sur [a, b], alors …3. Pour chaque courbe, déterminer le(s) :i) minimum(s) relatif(s) ; iii) maximum(s) relatif(s) ; v) point anguleux ;ii) minimum(s) absolu(s) ; iv) maximum(s) absolu(s) ; vi) point de rebroussement.a) yd) yP 1P 2P 3P 4P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 8P 9P 10xa b c dxb) ye) Même courbe qu’en d) sur [a, b].P 1P 2xc) yf) Même courbe qu’en d) sur ]c, d].P 1P 2P 3P 4P 5xANALYSE DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES211

6.1 Intervalles de croissance, intervalles de décroissance, maximum et minimum9. Connaissant le graphique de f, construire le tableau de variation relatif à f .a) yc)(-7, 3) (-2, 3)3(-5, 1)-1 3xy1-3 -2 -11 2 3 4 5x(3, -3)b)y2(0, 1)-2 -11 2x10. Construire le tableau de f relatif à f et donner une esquisse possible du graphique de f à partirdu graphique de f (x).a) f (x)c)f (x)1(-3, 0) 1(-2, 0) 1 x1 (1, 0) xb) f (x)d)f (x)(-2, 0) 1 (1,5, 0)1x2x11. Soit la fonction f définie sur [-5, 5] par le graphique suivant.f(x)11xa) Sur quel intervalle f (x) 0?b) Sur quel intervalle f est décroissante ?c) Déterminer la valeur de x telle que f soit minimale. Estimer la valeur minimale de f .ANALYSE DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES213

6.1 Intervalles de croissance, intervalles de décroissance, maximum et minimum12. Soit les graphiques de différentes fonctions.a) f(x)d) f(x)g)f(x)11x11x12xb) f(x)e) f(x)h)f(x)11x11x11xc) f(x)f) f(x)i)f(x)11x11x11xLes graphiques suivants représentent les dérivées des fonctions représentées précédemment.Associer à chaque fonction précédente le graphique qui représente, le plus précisément possible,la dérivée de cette fonction.1 f (x)3 f (x)5 f (x)21x1-11x11x2f (x)4 f (x)6 f (x)11x111x2x214 CHAPITRE 6

6.3 Analyse de certaines fonctions algébriques à l’aide des dérivées première et secondemax.(-1, 6)g(x)864inf. 2(0, 2)max.(1, 2)-2-11 2x(x 1, 0)min.inf.-2-4-6(x 2, 0)min.inf.(x 3, 0)min.inf.Les points (x 1, 0), (x 2, 0) et (x 3, 0), c’est-à-dire (-1,582…, 0), (0,402…, 0) et(1,371…, 0) sont des points anguleux.5 x 3(x 1) 1 31) f (x) 0 si x 52) f (x) n’existe pas si x -1.2 3■ Exemple 3 Soit f(x) 3(x 1) 1 (x 1) 2.5Étudions la fonction f à l’aide des dérivées première et seconde après avoirdéterminé dom f.Puisque nous pouvons toujours calculer des racines impaires, c’est-à-dire 3 (x 1) 2 et 3 (x 1) , 5 dom f IR.1 re étape :2 e étape :2 (x 1) 2 3f (x) f (x) - - 4- 12 (x 1) 32 (x 1) 3(x 1) 31 3393 e étape : Construire le tableau de variation.5 3-2(x 4)9(x 1) 4 31) f (x) 0 si x -42) f (x) n’existe pas si x -1.x -∞ -4 -1 5 ∞f (x) ∃/ 0 f (x) 0 ∃/ f 2 9,48… 2 2 1 7,94… 2E. du G. 5 (-4, f(-4)) 4 (-1, 2) 3 (5, f(5)) 4inf. min. max.232 CHAPITRE 6

Exercices récapitulatifs> Exercices récapitulatifsbiologie chimie administration physique1. Déterminer les intervalles de croissance etde décroissance des fonctions suivantes.4b) f(x) (5 x) 3 6f) f(x) x 4 4x 3 4x 2 1c) f(x) 8x 3(2 x)d) f(x) (x 1) 2 (x 1) 2a) f(x) 12x 3 24x 2 12xe) f(x) x2 x 2b) f(x) 3 6 3 x 5 15 3 x 2 c) f(x) 80x x 5 7f) f(x) x 2 1d) f(x) (1 x)(x 5)OUTIL TECHNOLOGIQUE2. Déterminer, si possible, les points de maximumrelatif et les points de minimum relatifdes fonctions suivantes. (Préciser s’ils’agit d’un point de maximum absolu oud’un point de minimum absolu.)6. Pour les fonctions suivantes :f(x) -6x 6 15x 4 5g(x) (x 4) 3 (x 1) 2h(x) -x 3 3x 2 2a) f(x) x 6 3x 2 5b) f(x) 2x 3 6x 2 6x 3c) f(x) x 2 x 12x x 1d) f(x) 4 5 (3 x) 4e) f(x) 4 2 3 5 xf) f(x) x 3 12x 2 sur [0, 5]g) f(x) x 2 1 6 3 sur [1, 5[x 2h) f(x) 3x 2 x 23. Soit f, une fonction continue sur IR telle quef (x) x 2 (x 1) 4 (3x 2 7).Expliquer pourquoi la fonction f ne peutavoir ni maximum ni minimum.4. Déterminer, si possible, le maximum absoluet le minimum absolu des fonctions suivantes.a) f(x) 3x 3 x 2 x 4 sur ]0, 3]b) f(x) x 6 3x 4 1 sur ]-3, 2]a) f(x) x 3 3x 15. Déterminer les intervalles de concavité versle haut, les intervalles de concavité vers lebas et, si possible, les points d’inflexion dela courbe de f dans les cas suivants.a) f(x) (1 4x) 3b) f(x) 3x 4 4x 3 12x 2 10c) f(x) 1 3x 5 5x 3d) f(x) 2x(4 x) 3e) f(x) x 4 8x 3 36x 2 1a) donner une esquisse du graphique enprécisant le point d’intersection avecl’axe des y;b) déterminer, si possible, algébriquementsinon approximativement les zéros desfonctions ;c) déterminer algébriquement les pointsde maximum relatif et les points de minimumrelatif des fonctions ;d) déterminer les points d’inflexion desfonctions ;e) déterminer, si possible, les points anguleuxet les points de rebroussement desfonctions.7. Pour chacune des fonctions suivantes, construirele tableau de variation relatif à f et àf . Donner une esquisse du graphique de lafonction et déterminer, s’il y a lieu, les pointsde maximum relatif, les points de minimumrelatif, les points d’inflexion, les points derebroussement et les points anguleux.5 3ANALYSE DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES237

Problèmes de synthèsea) Utiliser le calcul différentiel pour déterminerle point de la courbe C 1le plusprès du point A(10, 24) ; le plus loindu point A(10, 24).b) Déterminer, sans utiliser le calcul différentiel,le point de la courbe C 1le plusprès du point B(- 3, 1,2) ; le plus loindu point B(-3, 1,2).c) Déterminer le point de la courbe C 2leplus près du point D(2, 3) ; le plus loindu point D(2, 3).9. Déterminer les dimensions du rectangleinscrit entre les courbes de f et de g pourque la somme des aires ombrées dans lareprésentation graphique suivante soit minimale.y13. Soit f(x) (x 3) 2 , où x [0, 3].Déterminer le point P de la courbe de f telque le triangle rectangle délimité par lesaxes et la tangente à la courbe de f aupoint P soit un triangle rectangle d’airemaximale, et calculer l’aire de ce triangle.yy 1 -xyy 2 2 x 2y 3 2x xg(x) x 2Pf(x) 6 x 210. La distance initiale entre deux particules Aet B, où A est au sud de B, est de 100 m. Laparticule A se dirige vers l’est, à une vitessede 5 m/s, et la particule B se dirige vers lesud, à une vitesse de 10 m/s. Déterminer àquel temps la distance séparant A et B seraminimale, et évaluer cette distance minimale.11. On déménage une tige métallique droiteen la faisant glisser sur le plancher d’uncorridor qui tourne à angle droit et dontla largeur passe de 2 m à 3 m. Déterminerla longueur maximale de la tige que l’onpeut déménager.2 m3 m12. Déterminer l’aire maximale du trapèze suivant.xx14. Quelle doit être la longueur de la base d’untrapèze dont les trois autres côtés mesurentrespectivement a mètre(s), si l’on veut quel’aire de ce trapèze soit maximale?15. Quelles sont les dimensions du rectangled’aire maximale inscrit :a) à l’intérieur d’un cercle de rayon r ;b) à l’intérieur d’un demi-cercle derayon r ;c) à l’intérieur d’un triangle rectangle debase b et de hauteur h;d) à l’intérieur de l’ellipse définie parx 2 y 2a2 2b 1.16. a) Quelle est la relation entre la hauteuret le rayon d’un cylindre circulairedroit, fermé aux extrémités, de volumeV pour que sa fabrication nécessite lemoins de matériau possible ?b) Déterminer si les dimensions d’une cannettede boisson gazeuse de 355 ml vérifientla relation établie en a). Sinon,quelles devraient être les dimensions dela cannette?PROBLÈMES D’OPTIMISATION261

8.3 Asymptotes obliques2. Soit f, définie par le graphique ci-contre.a) Évaluer les limites suivantes :i) lim f(x) ii) lim f(x)x → -∞x → ∞b) Donner l’équation des asymptotes horizontales.y1x3. a) Tracer un graphique qui répond aux deux conditions suivantes :i) lim f(x) 2 ii) lim f(x) -1x → -∞x → ∞b) Donner les équations des asymptotes horizontales.4. Déterminer si les limites suivantes sont indéterminées. Évaluer ces limites.a) lim (7x 3 4x 2 7x 1) b) lim (7x 3 4x 2 7x 1) c) lim (x 2 4 x 3 )x → -∞x → ∞x → -∞5. Déterminer, si possible, les asymptotes horizontales de chacune des fonctions suivantes, en explicitantles étapes du calcul, lorsque la limite est indéterminée.334xa) f(x) 7 c) f(x) x 17x2 13x b) f(x) 2 5x2 4 14x 1d) f(x) x 1 x 2 96. Déterminer, si possible, les asymptotes horizontales des fonctions suivantes et donner l’esquissedu graphique de la fonction près de ces asymptotes.-23xa) f(x) e) f(x) 7x 8 2x 2 1x4 x4x 8 4 xb) f(x) 5 1 x f) f(x) 75 xc) f(x) x 1 3 g) f(x) x 2 3 x2x4 x 3 4d) f(x) 5 4x 2 1x5xh) f(x) 3 2x7. Déterminer la valeur de k, où k 0, telle que :kx 1a) y 8 soit une asymptote horizontale de f(x) , lorsque x → 3 x 4 ∞;b) y 7 soit une asymptote horizontale de f(x) 7 kx 1, lorsque x → -∞.2x 48.3 ASYMPTOTES OBLIQUESObjectif d’apprentissageÀ la fin de cette section, l’élève pourra identifier les asymptotes obliques de la courbe d’une fonctionet donner l’esquisse du graphique de la fonction près de ces asymptotes.278 CHAPITRE 8

8.3 Asymptotes obliques7Théorème 1La droite d’équation y ax b, où a IR, a 0 et b IR, est une asymptoteoblique de la courbe de f, si :1) lim f( x) a et 2) limx → -∞ xx → -∞(f(x) ax) b1) lim f( x) a et 2) lim (f(x) ax) bx → - ∞ xx → ∞ou7PreuveSoit y ax b une asymptote oblique de la courbe de f.Ainsi, nous avons par définition, f(x) ax b r(x), où a 0 et lim r(x) 0 oux → -∞r(x) 0.limx → ∞1) lim f( x) limx → -∞ x x → -∞ ax b r(x)x limx → -∞ a b r( x) x x a 0 0 aOn procède de façon analogue pour lim f( x).x → ∞ x2) lim (f(x) ax) lim (ax b r(x) ax)x → -∞x → -∞ lim (b r(x))x → -∞ bOn procède de façon analogue pour lim (f(x) ax).x → ∞car lim r(x) 0x → -∞car lim r(x) 0x → -∞■ Exemple 2 Soit f(x) 1 3x 2 2, où dom f IR.Déterminons, s’il y a lieu, les asymptotes obliques de cette fonction à l’aide duthéorème 1.1) Évaluons les limites suivantes lorsque x → -∞.lim f( x) limx → -∞ x x → -∞ 1 3x 2 2x indétermination de la forme -∞ limx → -∞ limx → -∞1 x 3 2 2xx1 x 3 2 2x limx → -∞ 1 x xx 3 2 2xx(car x -x si x 0)∞ ASYMPTOTES ET ANALYSE DE FONCTIONS281

8.4 Analyse de fonctions5. Construisons le tableau de variation.x - ∞ -3 -2 -1 ∞f (x) 0 ∃/ 0 f (x) ∃/ f ∞ 2 5 1 ∃/ 1 -3 2 -∞E. du G. 5 (-3, 5) 6 3 (-1, -3) 4min. Asymptote max.verticale :x -26. Donnons une esquisse du graphique de f.y10(-3, 5)min.5-5 0max.(-1, -3)-55A(0, -4)10xx -2 -10y -2x 3Exercices 8.41. À l’aide des données suivantes et du tableau de variation ci-dessous :lim f(x) - ∞, lim f(x) - ∞, lim f(x) ∞, lim f(x) -∞, lim f(x) -3, lim f(x) 2x → -4 - x → -4 x → 2 - x → 2 x → -∞x → ∞7x - ∞ -4 -2 -1 0 2 5 6 ∞f (x) ∃/ 0 0 ∃/ 0 f (x) ∃/ 0 ∃/ 0 f ∃/ - 1 -2 -3 ∃/ 6 4a) Déterminer dom f ;b) Donner les équations des asymptotes verticales ;c) Donner les équations des asymptotes horizontales ;d) Déterminer les points de maximum relatif et de minimum relatif ;e) Déterminer les points d’inflexion ;f) Esquisser le graphique de cette fonction.ASYMPTOTES ET ANALYSE DE FONCTIONS287

Problèmes de synthèsea) f(x) 3 x 12 x3b) f(x) 5 4 x 2c) f(x) 8 x 3d) f(x) 2x 2 x 2x 2 1e) f(x) x 2 2x 5x 132f) f(x) (x2 4) 2g) f(x) 4x 2 x 3 322x4h) f(x) x 3 3x3x i) f(x) 3x3 16xj) f(x) x 15. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminerles points de maximum relatif, deminimum relatif, d’inflexion, les équationsdes asymptotes, et donner une esquisse dugraphique de la fonction.a) f(x) x2 4xb) g(x) x2 4xc) h(x) 4 x 2xd) f(x) 2 x 2 4e) f(x) 4 16x 2x2x( 4 x)4 16x 2x 2x(4 x)f) f(x) ⏐ ⏐6. La fonction énergie potentielle correspondantà la force agissant entre deux atomesdans une particule diatomique peut s’écrirede la manière suivante :U(x) xc9 d x où c et d sont des constantes positives et xest la distance entre les atomes.a) Déterminer, si possible, les points demaximum relatif, les points de minimumrelatif, les points d’inflexion, leséquations des asymptotes, et donnerune esquisse du graphique de U.b) Déterminer la force F(x) entre les atomeset tracer la courbe représentant F enfonction de x, sachant que F (x) - dU .dx> Problèmes de synthèse1. Évaluer, si possible, les limites suivantes.a) lim x → 0 x12 b) lim 1x → 0 x c) lim 2x xx → 0 - 3x x 2d) limx → 0 9 x 3xe) limx → ∞ ( 22x 3)2( x 1)f) lim x 3 3x 2 4x → -∞ x 5 3 xg) lim x 3 3x2 22x → -∞ 5x xh) limx → ∞3 3 x 5 2x 13 8x 5 x 1i) lim (x 1 x)x → ∞j) lim (x x 2 2x)x → ∞k) lim (x x 2 2x)x → -∞a2. Soit Q(x) nx n a n – 1x n – 1 a n – 2x n – 2 … a 1x a 0,b mx m b m – 1x m – 1 b m – 2x m – 2 … b 1x b 0où a n 0, b m 0, n IN et m IN.292 CHAPITRE 8

■ Exemple 3 Soit f(x) cos (x sin x).Calculons f (x).f (x) [cos (x sin x)] [-sin (x sin x)] (x sin x) (théorème 4) [-sin (x sin x)] (sin x x cos x) (x cos x sin x) sin (x sin x)9.1 Dérivée des fonctions sinus et cosinusExercices 9.11. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.a) f(x) x 3 sin x d) y co s x4 g) f(x) x5 s in xb) g(x) x 4 2x e) f(x) x 2 (sin x) (cos x) h) h(x) sin 3 x cos 3 xsin xsinxc) x(t) si n t f) f(x) c os xi) f(x) x 3 cos xx 12. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.a) f(x) sin (7x 1) g) f(x) cos (3 x 4)2xb) g(t) cos (3 t 3 ) h) v(t) cos 5 (3t 2 4)c) f(x) sin x 2 4 cos (x x 2 ) i) f(x) sin 3 (5x 2 7x)d) g(u) cos 3u 42u j) f(x) [cos (x cos x)] 7e) f(x) sin (cos x) cos (sin x) k) f(x) x sin 7 (x 2 1)sinxf) f(x) l) f() cos 2 5sin 2 5co s x3. Calculer la pente de la tangente à la courbe au point donné.a) f(x) sin x, au point (0, f(0)) c) f(x) si n x, au point (, f())2xb) g(t) cos t, au point 4 , g 4 d) h(t) 6 sin 4 3t , au point (, h())x4. Soit f(x) sin 2x, où x [0, ] et g(x) cos , où x [0, 6].3Déterminer les points de la courbe où la tangente à la courbe de :a) f est horizontale ;b) g est parallèle à la droite d’équation x 6y 1.5. Soit f(x) sin x et g(x) cos 4x. Calculer :a) f (3) (x) et g (3) (x) ; c) f (40) (x) et g (40) (x).b) f (6) (x) et g (6) (x) ;DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES303

9.2 Dérivée des fonctions tangente, cotangente, sécante et cosécante 3 (sec x) 2 (sec x) 3 sec 2 x [sec x tan x] (théorème 9) 3 sec 3 x tan xDéterminons maintenant la dérivée de fonctions composées de la formeH(x) sec f(x).Théorème 10Si H(x) sec f(x), où f est une fonction dérivable,alors H(x) [sec f(x) tan f(x)] f (x).La preuve est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.■ Exemple 2 Soit f(x) sec(s in x 2 ). Calculons f (x).f (x) (sec (sin x 2 )) 1 2 1 2 (sec (sin x 2 ))-1 2(sec (sin x 2 ))1 [sec (sin x 2 ) tan (sin x 2 )] (sin x 2 ) (théorème 10)2(sec (sin x 2 )) 1 2sec (sin x2 ) tan (sin x 2 )(2x cos x 2 )2sec( si n x 2 ) x cos x 2 tan (sin x 2 ) sec( si n x 2 )Dérivée de la fonction cosécanteLa représentation graphique ci-contre est une esquisse du graphiquede f(x) csc x, oùy7dom f IR \ {k} où k IR etima f -∞, -1] [1, ∞.De plus, x k, où k z, sont des asymptotes verticales de lacourbe de f.1 2xThéorème 11 Si H(x) csc x, alors H(x) -csc x cot x.La preuve est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.■ Exemple 1 Soit f(x) 7x 3 csc x. Calculons f (x).f (x) (7x 3 ) csc x 7x 3 (csc x) 21x 2 csc x 7x 3 csc x cot x (théorème 11)Déterminons maintenant la dérivée de fonctions composées de la formeH(x) csc f(x).308 CHAPITRE 9

Problèmes de synthèsea) Déterminer le taux de variation del’angle par rapportPau temps lorsque 60°et I est à 10 m de P.b) Déterminer l’angle si I d 0,1 rad/s ; d 0,15 rad/s.dtdt13 m5 mP17. On doit suspendre une lampe au-dessus ducentre d’une table carrée dont l’aire est de4 m 2 . On sait que l’intensité de la lumièreà un point P de la table est directementproportionnelle au sinus de l’angle que faitle rayon lumineux avec la table et inversementproportionnelle à la distance séparantla lampe du point P. Déterminer àquelle hauteur au-dessus de la table doitêtre suspendue la lampe pour que l’intensitéde la lumière soit maximale à chacundes coins de la table.18. Une personne P observedeux automobiles, A etPB, qui roulent respectivementà des vitesses50 mde 80 km/h et de100 km/h.Calculer letaux deC20 mAvariation del’angle lorsqueB DA est à 100 m de C, et B, à 70 m de D.19. Les ailes d’une éolienne tournent à lavitesse constante de 2 tours/min.Sachant que la longueur des ailes est de5 m, et qu’un pigeon s’est perché à l’extrémitéd’une de ces ailes :a) Déterminer en fonction de la hauteurdu pigeon.b) Déterminer en fonction de la vitessede variation, par rapport au temps, dela hauteur du pigeon.c) Déterminer la hauteur et la vitesse devariation, par rapport au temps, de lahauteur du pigeon pour les valeurs de suivantes :i) 0°; iii) 180°.ii) 90°;d) Déterminer les valeurs de telles quela vitesse de variation, par rapport autemps, de la hauteur du pigeon soit de0 m/min.e) Déterminer la hauteur du pigeon lorsquela vitesse de variation, par rapportau temps, de la hauteur du pigeon estde 10 m/min.> Problèmes de synthèsedy1. Calculer si : d xa) sin y cos x;b) tan (y 3 ) y sin x;c) cot (x y) x 2 y 2 ;d) csc x sec y x 2 y 3 ;e) cos y x 2 y 3 sin 3 2x;sinxf) xy. c osy3. Démontrer que si tan y x,dy1alors .d x 1 x 2a) f(x) 2. Évaluer la pente de la tangente à la courbe4. Déterminer la valeur de k et la valeur de apour que la fonction suivante soit continueen x 2 . sin x si x 2 k si x 2 a cos x 2 six 2 DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES321

Problèmes de synthèse sin 4si 0b) g() k si 0 si n 3a si 05. Soit la représentationsuivante où CB esttangent au cerclede rayon 1.Évaluer les limitessuivantes.a) lim → 0b) lim → 0aire du secteur AOBaire AODaire COB aire AOBc) lim → 0 lo ngueurarcABlongueurA D6. Pour chacune des fonctions suivantes, construirele tableau de variation relatif à ladérivée première et à la dérivée seconde etdonner une esquisse du graphique correspondant.a) v(t) 2 s2 , intsintoù t 0, 3 2b) f(x) 2 sin x sin 2x, où x - ,2 cosxc) g(x) ,1 sin xoù x [ - , 2\ - 3 , 2 2 d) f() sin , où ]0, ∞7. La position x d’un corps, oscillant en mouvementharmonique simple sur un axe horizontalest donnée parx(t) 1 3 cos t 6 où t est en secondes et x est en mètres.a) Déterminer l’amplitude et la période dumouvement de ce corps.b) Calculer la vitesse v et l’accélération adu corps.c) Déterminer la position, la vitesse et l’accélérationdu corps à t 1 s.OA CD Bd) Calculer la vitesse moyenne du corpssur [0 s, 1 s].e) Déterminer le déplacement x ducorps sur [0 s, 1 s].f) Déterminer la distance parcourue parle corps sur [0 s, 1 s].8. Une particule qui se déplace sur un axehorizontal est en mouvement harmoniquesimple lorsque sa position x par rapport àla position d’équilibre varie en fonction dutemps t selon la relationx(t) A cos (t )où t est en secondes, x est en mètres et A, et sont des constantes.a) Déterminer la vitesse v et l’accélérationa d’une particule en mouvementharmonique simple.b) Déterminer les valeurs maximales de lavitesse et de l’accélération.c) Exprimer a en fonction de x.9. La position y d’une auto contournant descônes est donnée par y(t) W 2 sin L vt,où W est la largeur de l’auto, v est lavitesse de l’auto, constante pour un essai,L est la distance en mètres entre les cônes,et t est en secondes. W 2 2Ly(t) W 2 sin L vt a) Déterminer, en fonction du temps, lavitesse latérale v lde l’auto.b) Déterminer, en fonction du temps,l’accélération latérale a lde l’auto.10. a) Une municipalité veut transplanter desfleurs dans un parterre dont la formeest un secteur de cercle. Si on estimequ’on a besoin d’une superficie de9 m 2 pour transplanter ces fleurs,déterminer le rayon r et l’angle dusecteur pour que son périmètre soitminimal.b) Répondre aux questions posées en a) sila superficie est de A m 2 .322 CHAPITRE 9

Problèmes de synthèse11. Soit le triangle3 cm xci-contre.a) Déterminer le5 cmtaux de variation,par rapport au temps, du troisièmecôté, si le taux de variation de l’angle est de 0,4 rad/min lorsque 30°.b) Déterminer le taux de variation, parrapport au temps, de l’angle si le tauxde variation du troisième côté est de-3 cm/min lorsque x 6 cm.12. Soit le triangle ci-dessous, où d x 2 cm/min.ydt60°60°OA9 cma) Déterminer d lorsque 30°.dtb) Déterminer d y lorsque 45°.dtx30°13. Déterminer le point sur la courbe définiepar f (x) cos x, où x [0, 2], tel que lapente de la tangente à la courbe esta) maximale ; b) minimale.14. Trois bateaux, A, B et C, partent d’unpoint O en suivant les trajets illustrés cidessous.CBSachant que la vitesse du bateau A est de12 km/h, celle de B de 20 km/h et celle deC de 32 km/h, calculer la vitesse à laquellevarie, après 15 min, la distance séparant :a) les bateaux A et B ;b) les bateaux B et C;c) les bateaux A et C.15. Soit f(x) x 4 et la droite D joignantl’origine à un point P(x, y) quelconque def. Déterminer le point P qui maximise l’angle, où est l’angle entre D et l’axe des x.Évaluer cet angle maximal.16. Soit deux automobiles, A et B, se dirigeantvers le nord à des vitesses respectives de13 m/s et de 25 m/s.600 m800 mDéterminer d aprèsdta) 16 s ; b) 32 s.A17. La figure ci-dessous représente un systèmede manivelle, où la distance d entre M et Pest constante. Soit x, la distance entre Oet P.OMada) Exprimer l’abscisse du point P en fonctionde .b) Exprimer d x en fonction de d .dtdt18. Une fonction est dite périodique lorsqu’ilexiste un nombre p positif tel quef (x p) f (x) ; la plus petite valeur de pest appelée la période de f. Soit f, unefonction dérivable de période p. Démontrerque f est une fonction périodique depériode p, en utilisant la définition de ladérivée.19. Au numéro 10 des exercices 9.3, on a démontréqu’un rayon lumineux traversantdeux milieux différents obéit à la loisuivante : s in1 v 1 (Loi de Snell), où v 1 estsin2v2v2le rapport entrela vitesse de lalumière dans lesMilieu 1deux milieuxrespectifs.Milieu 2BP 1 2DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES323

10.1 Fonctions exponentielles et logarithmiquesc) Représentons graphiquement la courbe de P, où t [0 h, 12 h] et utilisonsle graphique pour estimer le temps nécessaire pour que la populationsoit de 60 000 bactéries.P(t)80 00060 00040 00020 00002 4 6 8 10 12tDonc, le temps nécessaire pour avoir une population de 60 000 bactéries estd’environ 10,7 heures.Nous verrons, à l’exemple 9, page 337, une méthode pour résoudre algébriquementl’équation 5000 2t 3 60 000.■ Exemple 5 Sachant que la demi-vie du radium est de 1600 ans, la demi-vieétant le temps nécessaire pour qu’une quantité (masse, concentration, etc.)donnée diminue de moitié :a) Déterminons la fonction Q qui nous permettra d’évaluer la masse duradium en fonction du temps t, exprimé en années, si la masse initialed’une quantité de radium est de R 0grammes.Si t 0, alors Q(0) R 0.Si t 1600, alors Q(1600) R 0 1 2 .Si t 3200, alors Q(3200) R 0 1 2 1 2 R 0 1 2 2 .Si t 4800, alors Q(4800) R 0 1 2 2 1 2 R 0 1 2 3 .Nous constatons que la quantité initiale R 0est toujours multipliée par 1 2 ,affecté d’un exposant égal au temps t divisé par 1600, où 1600 ans est letemps nécessaire pour que la quantité de radium diminue de moitié.Ainsi, Q(t) R 0 1 2 1 t 1600b) Déterminons, en fonction de R 0, la quantité de radium après 15 000 ans.Q(15 000) R 0 1 2 1 160015 000 0,001 5 R 0Il reste donc environ 0,15 % de la quantité initiale R 0, donc 99,85 % de laquantité initiale s’est désintégrée.En général, lorsque le facteur de croissance ou de décroissance d’une quantitédonnée est constant, nous pouvons exprimer cette quantité à l’aide d’une fonctionexponentielle de la forme donnée dans l’encadré suivant.DÉRIVÉE DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES331

Exercices récapitulatifs> Exercices récapitulatifsbiologie chimie administration physique1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.a) f(x) e - x e 2x tan xb) g(x) 1 cos x0x8c) y ln x 4 ln 4 xd) v(t) log 4(ln t)e) f(x) log (cot x e - x )f) h(x) e (ex )sin xg) f(x) (ex ) e (x ) x (e )h) f(u) u ln u1 i) g() sec (ln ) ln (sec )j) f(x) ln e x x k) f(x) ln (log e x )l) y ln 1 si1 s n inm) f(x) ln (x 2 e x ) ln e x 2xe n) f(x) ex3e 2 xx 4o) d(x) ln x 2 p) f(x) log 5[7 - x log 6(x 3 e x )]q) c(t) c 0(1 i) tr) f(x) e x -x ex -e e x2. Quel est le point P(x, y) sur la courbe d’équationf (x) xe x pour lequel l’équation de ladroite tangente à la courbe en ce point estdonnée par y - ?e13. Pour chaque fonction, calculer, si possible,la pente de la tangente à sa courbe au pointdonné.a) f(x) ln x , au point (1, f(1))3x-xb) g(x) e , au point (2, g(2))2x4. Soit f(x) x 3 e (4 x2 ).a) Déterminer l’équation de la tangente àla courbe de f au point (-2, f(-2)).b) Déterminer l’équation de la normale àcette tangente.5. En 1975, la population d’une ville était de5000 habitants ; en 1990, elle était de12 500 habitants. Si le facteur de croissancedemeure constant :a) Déterminer la fonction P qui permetd’évaluer la population en fonction dutemps t.b) Exprimer t en fonction de P.c) Quelle sera la population de cette villeen l’an 2010 ?d) En quelle année la population de cetteville a-t-elle été (ou sera-t-elle) d’environ23 000 habitants ?OUTIL TECHNOLOGIQUEe) Tracer l’esquisse du graphique de la fonctionP en fonction de t.f) Tracer l’esquisse du graphique de t enfonction de P.6. Le sucre, mélangé à un certain liquide, sedissout conformément à l’équation suivante:Q(t) Q 0e kt , où Q(t) est la quantité restantede sucre, Q 0, la quantité initiale de sucre, k,un facteur de décroissance et t, le temps enheures écoulé depuis le début du mélange.Au cours d’un mélange, la quantité initialede sucre est de 20 kg et, après 3 heures, ilreste 8 kg de sucre non dissous.a) Déterminer la valeur du facteur dedécroissance k.b) Déterminer la fonction donnant le tauxde variation de Q(t).c) Déterminer ce taux de variation 5 heuresaprès le début du mélange, et déterminerla quantité de sucre non dissous àce moment.7. Des sociologues, aidés de mathématiciens,ont établi que le nombre de personnes quipropagent une nouvelle dans une ville aprèsDÉRIVÉE DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES357

Exercices récapitulatifsi) maximale ; ii) minimale.c) Compléter cette phrase : Les pointstrouvés en b) sont des pointsd) Représenter sur votre esquisse de graphiqueles tangentes trouvées en b).13. Soit f(x) e - x sur -∞, 3[.a) Donner les coordonnées du pointP(x, y) de la courbe de f tel que lapente de la droite D joignant ce pointau point A(3, 0) soit maximale.OUTIL TECHNOLOGIQUEb) Représenter la courbe de f et la droite Ddéterminée en a).c) Compléter cette phrase : La droite Dest14. Soit f(x) (x 2)e - xet g(x) - 3x 4 6x 2 3.OUTIL TECHNOLOGIQUEDéterminer l’abscisse des points d’intersectiondes courbes de f et de g, en donnantvotre réponse avec cinq chiffres significatifs.15. Déterminer lesdimensions durectangle d’airemaximale situé sousl’axe des x, entre l’axedes y et la courbed’équation y ln x.yy ln x16. a) Déterminer l’aire du rectangle d’airemaximale que l’on peut inscrire entrela courbe définie par y edes x.OUTIL TECHNOLOGIQUE- x 22xet l’axeb) Représenter la courbe de y et le rectangletrouvé en a).17. Certains psychologues estiment que, engénéral, la fonction définie par5C(x) donne approximativementune mesure numérique de3x ln x 5x 10lacapacité d’apprendre d’un enfant âgé de6 mois à 5 ans, en fonction de son âge x,où x est en années. Déterminer l’âge auquella capacité d’apprendre d’un enfant estmaximale.18. Le physicien anglais William Thomson(1824-1907), mieux connu sous le nom delord Kelvin, a démontré que la vitesse v detransmission d’un signal à l’intérieur d’uncâble conducteur sous-marin dépend d’unecertaine variable x qui peut être déterminéeà partir du diamètre extérieur du câbleet du diamètre du fil intérieur.Sachant que v(x) kx 2 ln 1 x , où k est uneconstante dépendant de la longueur ducâble et de sa qualité, déterminer la valeurde x à laquelle v est maximale.19. Dans certaines conditions, l’acide oxaliquepeut se décomposer en acide formique eten dioxyde de carbone.HOOCCOOH → HCOOH CO 2, où lesquantités sont exprimées en grammes.Consulter le graphique ci-dessous qui représentela concentration de l’acide oxaliqueen fonction du temps.Q(mol/L)0,050,0240,0120 40 60 80t(s)a) Sachant que la quantité Q est donnéepar Q(t) Q 0e kt , déterminer l’équationQ(t).b) Calculer la vitesse moyenne de réactionentre 10 s et 30 s.c) Déterminer la vitesse initiale de laréaction.d) Déterminer la vitesse instantanée de laréaction à 40 s.e) Déterminer la vitesse instantanée dela réaction lorsque Q est égale à0,04 (mol/L).DÉRIVÉE DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES359

Problèmes de synthèse> Problèmes de synthèse1. Soit la fonction sinus hyperbolique définiepar sinh x e x e -xet la fonction cosinus2hyperbolique définie par cosh x e x e -x.2a) Calculer (sinh x).b) Calculer (cosh x).c) Démontrer que cosh 2 x sinh 2 x 1.OUTIL TECHNOLOGIQUEd) Représenter sur un même système d’axesles courbes de f(x) sinh x et deg(x) cosh x.dy2. Calculer si : d xa) e y e x ln x;b) log y x ln x;c) e xy x 2 y 3 0;d) sin x ln y xy.3. Déterminer la pente de la tangente à la courbedéfinie par e x ln y 2xy, au point (0, 1).4. Soit y e x e.-x2a) Démontrer que x ln (y y 2 1).dyb) Calculer et d x . d x dyc) Vérifier, à partir des résultats obtenusen b), que d x 1 .dydyd x5. Soit un mobile se déplaçant de façon rectiligne.Si sa position en fonction du tempsest donnée par x(t) ae t be - t , où t est ensecondes et x(t), en centimètres, déterminer:a) la fonction donnant la vitesse en fonctiondu temps t;b) la fonction donnant l’accélération enfonction du temps t.6. Soit f(x) e - x .a) Exprimer f sous la forme d’une fonctiondéfinie par parties.b) Déterminer si f est continue en x 0.c) Déterminer si f est dérivable en x 0.d) Déterminer si le point O(0, 0) est unpoint de rebroussement ou un pointanguleux.OUTIL TECHNOLOGIQUEe) Représenter graphiquement cette fonction.7. Analyser les fonctions suivantes.a) f(x) e x sin x 1, sur [- , [b) f(x) si n x , sur [0, ]xec) f(x) e 2x 2x, sachant quelim (e 2x 2x) ∞x → ∞d) f(x) ln (cos x), sur - , 2 2 8. Soit f(x) ln (e x 1).a) Déterminer dom f.b) Démontrer que ∀x dom f,ln (e x 1) x ln (1 e - x ).c) Déterminer l’asymptote oblique de f.d) Représenter graphiquement cette fonctionainsi que l’asymptote précédente.e) Représenter graphiquement et déterminerles asymptotes des fonctions g et h,si g(x) ln (e x 1) et h(x) ln e x 1.9. Soit f(x) 3 ln x 2x 1 .a) Faire l’analyse de f.b) À partir du graphique obtenu en a),déduire le graphique de la fonctiong(x) ⏐ 3 ln x 2x 1 ⏐ .c) Faire l’analyse de la fonction h,si h(x) 3 ln⏐ x 2 x 1⏐ .360 CHAPITRE 10

Problèmes de synthèsec) x(t) Arc sin 3t2 3td) f(x) 2 2 Arc tan x212. Sur la courbe définie par f(x) 2 Arc tan x 2 ,déterminer, si possible, le point où la pentede la tangente à cette courbe est :a) minimale et calculer la valeur de cettepente minimale ;b) maximale et calculer la valeur de cettepente maximale.c) Si la vitesse du navire est de 25 m/min,déterminer la vitesse de variation del’angle , lorsque le navire est situé à100 mètres du pied de la falaise ;lorsque le navire est situé à 100 mètresde la personne.d) À quelle distance de la rive se situe lenavire lorsque d -0,3 rad/min ?dt14. Le bas d’un écran de cinéma de 12 mètresde haut est situé à 6 mètres au-dessus desyeux d’une spectatrice.13. Une personne observe, du haut d’unefalaise de 75 mètres, un navire qui sedirige perpendiculairement vers la rive àune vitesse constante.xd12 m6 m75 mRive x Navirea) Exprimer en fonction de x.b) Exprimer d en fonction de d x et de x.dtdta) Exprimer et en fonction de x.b) Exprimer en fonction de x.c) En considérant que l’on obtient lameilleure vision lorsque l’ouvertured’angle rapportée à l’écran est maximale,à quelle distance d du bas del’écran la spectatrice doit-elle se situerpour obtenir la meilleure vision ?> Problèmes de synthèse1. Écrire les expressions suivantes sous uneforme qui ne contient aucune fonction trigonométriqueni trigonométrique inverse.a) sin (Arc tan )b) sin (2 Arc sin x)c) cos (2 Arc cos t)d) sin 1 2 Arc cos e) sin (Arc sin x Arc cos x)f) cos (Arc sin u Arc cos u 2 )2. Soit f(x) Arc sin x Arc cos x.a) Calculer f (x).b) À l’aide du résultat trouvé en a), déterminerle type de fonction de f et représentergraphiquement f.dy3. Calculer dans les cas suivants.d xa) x 2 Arc tan y 4b) Arc tan (xy) 3 Arc sin xc) x y 3 Arc sec y 2d) e Arc tan y x 34. Soit la courbe définie par2 Arc sin x Arc tan (3y) xy.Déterminer l’équation de la droite tangenteet de la droite normale à la courbe précédenteau point O(0, 0).390 CHAPITRE 11

Problèmes de synthèse5. On peut démontrer que si f (x) g(x), alorsf(x) g(x) k.Utiliser la proposition précédente pour démontrerque :2 Arc tan x Arc tan 1 2xx .26. Soit f(x) x 2 et g(x) x 2 2x 4.Déterminer l’angle aigu formé par lesdroites tangentes aux courbes de f et g àleur point d’intersection. Représenter graphiquementle résultat.7. Soit g(t) Arc cos t 2 .OUTIL TECHNOLOGIQUECalculer l’aire A du triangle formé par lesaxes et la droite tangente à la courbe de gau point 1 , g 2 1 2 . Représenter graphiquementle résultat.10. Le centre du cadran d’unehorloge, située en haut d’unetour, est à 30 mètres au-dessusdu sol. Sachant que lediamètre du cadran est de4mètres, déterminer à quelledistance du pied de la tour onpeut observer le diamètrevertical du cadran sous l’anglele plus grand.11. Dans un parc d’amusement, il y a unegrande roue dont le rayon est égal à20 mètres, et dont le centre est situé à22 mètres au-dessus du sol. Sachant quel’angle au centre de la grande roue varieau rythme de radian parS(x, y)1 5seconde :22 m8. Analyser les fonctions suivantes.a) f(x) x Arc tan x2b) f(x) 2x 4 Arc tan xc) f(x) ln (x 2 1) 2x Arc tan x,sur [-1, 1[9. Soit le triangle ci-dessous.acba) À l’aide de la loi des cosinus ou de laloi des sinus, déterminer en radianset en degrés, lorsque a 3, b 5 etc 6; en degrés, lorsque a 5, b 7et 52°.b) Exprimer d en fonction de d , et dtdtlorsque l’angle varie et que la longueurdes côtés b et c demeure constante.a) Exprimer la hauteur, par rapport ausol, du siège S en fonction de l’angle .b) Déterminer la fonction v ydonnant lavariation de la hauteur du siège enfonction du temps.c) Déterminer la fonction v xdonnant lavitesse horizontale du siège en fonctiondu temps.d) Déterminer les valeurs de lorsque lavitesse horizontale est nulle.e) Démontrer que v x2 v y2 C, où C estune constante et évaluer cette constante.f) Évaluer v xet v ylorsque le siège est situéà 30 mètres au-dessus du sol.DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES INVERSES391

5. a) y -4b) y 6x 1c) y 7d) x -3e) y - x 43 6 6b) dom h IRh(x)11 (3, 0)x1f) y 3x 5(0, -3)6. a) D 1: x 4D 2: y -3D 3: y 4 5 x 3 15D 4: y - 3 x4D 5: y -2x 5b) A 3 14, 0 et B 0, - 3c) y 4 5 x 6 5 d) 5x 4y 49 015 c) dom f IRf(x)(-5, 0) 1(-2, -3)1(1, 0)x7. a)(-2, 7)yf(x)d) dom k IR \ {2}k(x)111x(0, -2)1x(4, -5)g(x)b) Les points d’intersection sont P(-2, 7) et Q(4, -5).c) y -2x 68. f(x) -2x 2 8x 249. a) k -∞, -12[ ]12, ∞b) k 12c) k ]-12, 12[10. a) dom g IRg(x)11. a) x -∞, -5] [2, ∞b) x ]-3, 3[c) x -4, 1 3 5 3 12. a) 118 $b) S(n) 30 4n, où dom S {0, 1, 2, 3, …, 40}c) 12 automobilesd) 21 automobiles13. a) v(t) 10 4t, exprimée en m/s.b) 4,8 m/sc) 2,5 s(0, 2)1(-2, 0)1xd) x(t) -2t 2 10t, exprimée en m.e) 12,5 m14. Laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.15. Laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.CORRIGÉ DU CHAPITRE 1 Exercices récapitulatifs399

g)y15105-5 5 10 15P(0, f(0))-5DR 5 2 , f 5 2 Q(5, f(5))D 1D 2x0,20 si 0 r 25 0006. a) T(r) 0,23 si 25 000 r 50 0000,26 si r 50 0000,20r si 0 r 25 000b) M(r) 5000 (r 25 000)0,23 si 25 000 r 50 00010 750 (r 50 000)0,26 si r 50 000c) i) M(20 000) 4000, donc 4000 $ii) M(37 528) 7881,44, donc 7881,44 $iii) M(68 927,34) 15 671,108, donc 15 671,11 $d) M($)20 00014. a) 3x 2 4 8x 2 0 3x 4 48 02x3(x 2)(x 2)(x 2 4) 0x2D’où x -2 ou x 2.2xb) 5 x 2 05 x 225 2x 0 5 x 2D’où x -2,5 ou x 2,5.c) 2(x 1) 2 (x 1) 3 (2x 2 x 3) 12x 2 4x 2 x 1 3 2x 2 x 44x 0D’où x 0.5. a) (f ° g)(x) 5 x 3x 1; dom (f ° g) 1, 5 3 1b) (g ° f)(x) ; dom (g ° f) 2x 3 1 3 , ∞ \ {2}215 00010 0005 0000e) En résolvant 5742,90 5000 (r 25 000)0,23,nous trouvons r 28 230, donc 28 230 $.7. a) A(t) (t 0)(g(t) f(t)) t((9 2t) 1)A(t) 8t 2t 225 000 50 000 75 000b) Déterminons le sommet S -b, A 2 a -b 2 a de laparabole précédente.-b -8Puisque 2, nous avons S(2, A(2)).2 a 2( -2)Ainsi, A(2) 16 2(2) 2 8D’où l’aire maximale égale 8u 2 .r($)CORRIGÉ DU CHAPITRE 1 Test récapitulatif401

2. a) lim f(x) lim x -5x → - 5 x → - 5 lim f(x) lim x 2 25x → - 5-x → - 5 -donc,pas.b) lim f(x) lim (5x 2 2x) 3x → 1 x → 1 lim f(x) limx → 1-limx → - 5f(x) n’existex → 1 - 3x 3 donc, f(x) 3.c) lim f(x) lim (x 2 4) 4x → 0 x → 0 limx → 0f(x) lim (1 x) 1- -x → 0lim f(x) lim (5x 2) 13x → 3 x → 3 lim f(x) lim (x 2 4) 13x → 3-x → 3 -d) lim f(x) lim xx → 2-x → 2 - xlimx → 2 4 22limx → 0donc, f(x)n’existe pas.donc, lim f(x) 13. lim 2)(x 2)-(x x → 2 x 2 lim (x 2) (car (x 2) 0)x → 2- 4 4f(x) limx → 2 2x3. a) f(-5) est non définie.b) f(2) 1c) f(-2) 2d) f(4) est non définie.e) lim f(x) -2x → - 2 -f) lim f(x) -2x → 2 g) lim f(x) 3x → 2 -h) lim f(x) n’existe pas.x → 2i) lim f(x) 2x → - 5j) lim f(x) 0x → - 44. En x -5 x -2f est continue. F FLa 1 re conditionest satisfaite.F VLa 2 e conditionest satisfaite.V VLa 3 e conditionest satisfaite.F Flimx → 1x → 3 indétermination de la forme 0 0 donc, lim f(x) 4.x → 2x 0 x 3 x 6V F FV V FV F FV F F5. a) 1) f(0) -42) limx → 0f(x) lim (3x 2 4) -4x → 03) lim f(x) f(0)x → 0D’où f est continue en x 0.b) 1) f(-1) 32) lim f(x) lim (x 6) 5x → - 1-x → - 1-limx → - 1 f(x) limx → - 1 5x 2 53) lim f(x) f(-1)x → - 1D’où f est discontinue en x -1.c) 1) f(1) 22) lim f(x) limx → 1-limx → 1 f(x) limx → 1 7x 2 1 2x → 1 - 4x(3x 2 1) 23) lim f(x) f(1)x → 1D’où f est continue en x 1.donc, lim f(x) 5.6. a) Puisque f est une fonction polynomiale, f estcontinue sur IR.b) Puisque -2 dom f, f est discontinue en x -2.c) Puisque 3, -3, - 25 dom f, f est discontinue enx 3, x -3 et x - 2 .5d) i) Vérifions si f est continue en x -1.1) f(-1) 42) lim f(x) lim (2x 6) 4x → - 1-x → - 1-limx → - 1 f(x) limx → - 1 (x2 3) 43) lim f(x) f(-1)x → - 1D’où f est continue en x -1.ii) Vérifions si f est continue en x 2.1) f(2) 72) lim f(x) lim (x 2 3) 7x → 2-x → 2 -limx → 2 f(x) limx → 2 (7 3x) 1D’où f est discontinue en x 2.7. a) F d) F g) Vb) V e) V h) Vc) V f) F i) Fx → - 1donc,f(x) 2.limx → 1donc,f(x) 4.limx → - 1donc, limx → 2f(x)n’existe pas.8. a) V; F; V; F b) F; V; F; V c) F; F; V; V9. Puisque f est une fonction polynomiale, f est continuesur [-2, 2]. Il suffit d’évaluer :f(-2) 32f(-1) -3f(0) 10f(1) 23f(2) 842CORRIGÉ DU CHAPITRE 2 Exercices 2.3407

35 2x 1 5 2x 1x → 2 lim(x 2) 2x 1 55 2x 15 (2x 1) limx → 2 (x 2) 2x 1 5 (5 2x 1)-2(x 2) limx → 2 (x 2) 2x 1 5 (5 2x 1)-2 limx → 2 2x 1 5 (5 2x 1)(car x 2)-1 5 59. a) f (2) limx → 2 f(x ) f(2) (par définition)x 2Puisque f est définie par parties, il faut calculer lalimite à gauche et la limite à droite.lim h(x ) h(1) limx → 1 x 1 (2 x 2 ) 1x → 1 x 1 lim 1 2 xx → 1 x 1 lim (1 x) (1 x)x → 1 -(1 x) lim -(1 x) (car x 1)x → 1 -2Ainsi, limx → 1 h(x) h(1) n’existe pas.x 1D’où h(1) est non définie. y42(1, 1)y12x8-2642(2, 4)0 1 2 3 4 x) f(2)lim-f(x limx → 2 x 2x 2 4x → 2 - x 2 lim 2)(x 2)-(x x → 2 (x 2) lim (x 2) (car x 2)x → 2- 4lim f(x ) f(2) limx → 2 x 2 4x 4 4x → 2 x 2 lim 4 ( x 2)x → 2 ( x 2) lim 4 (car x 2)x → 2 4donc, limx → 2 f(x ) f(2) 4x 2D’où f (2) 4.b) h(1) limx → 1 h(x ) h(1) (par définition)x 1si cette limite existe.Calculons la limite à gauche et la limite à droite.) h(1)lim-h(x limx → 1 x 1x 3 1x → 1 - x 1 lim (x 2 x 1) (car x 1)x → 1 - 310. La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.11. a) Si t 1 s, v [2 s, 3 s] x(3 ) x3 (2)2 65,9 60,41 5,5 m/sSi t 0,1 s, v [2 s, 2,1 s] x(2 ,1) x(2)2,1 2 61,391 60,4 9,91 m/s0, 1Si t 0,01 s, v [2 s, 2,01 s] x(2 ,01) x(2)2,01 2 60,503 51 60,4 10,351 m/s0,01Si t 0,001 s, v [2 s, 2,001 s] 10,395 1 m/sSi t 0,0001 s, v [2 s, 2,0001 s] 10,399 6 m/sAinsi, lim x(2 t) x(2) 10,4 m/st → 0 tL’utilisateur ou l’utilisatrice peut vérifier que nousobtenons le même résultat lorsque t → 0 - .D’où v t 2 s 10,4 m/s.b) v t 2 s limt → 0 x(2 t) x(2)t[-4,9(2 t) lim2 30(2 t) 20] 60,4t → 0t-4,9(4 4t (t) lim2 ) 60 30t 20 60,4t → 0t-19,6t 4,9(t) lim2 30tt → 0t limt → 0 t(10,4 4,9t)t lim (10,4 4,9t) (car t 0)t → 0 10,4 m/s418 CHAPITRE 3 Exercices 3.2

3 lim (3x 2 3xx (x) 2 2) (car x 0)x → 0 3x 2 25. a) g(x) lim g(t) g(x)t → x t x limt → x limt → x3(x t) lim t → x t x(t x) lim - 3 (car t x)t → x tx - 3x 2b) g(x) lim g(t) g(x)t → x t x limt → x limt → x limt → x 2x 1 33x 2 323x 1 3 3 t 3 x t x 3x 3ttx t x2t3 x 2 3 t x(t 1 3 x 1 3 )(t 1 3 x 1 3 )(t 1 3 x 1 3 )(t 2 3 t 1 3 x 1 3 x 2 3 )(t 1 3 x 1 3 )(t 2 3 t 1 3 x 1 3 x 2 3 )c) g(x) lim g(t) g(x)t → x t x limt → x(t 4 1) (x 4 1)t x(car t x) lim t 4 4 xt → x t x limt → x limt → x (t x)( t 2 x 2 ) (car t x)1 (2x)(2x 2 ) 4x 36. Puisque le TVI est égal à la dérivée de la fonction, nousobtenons, par un procédé analogue à celui utilisé auxnuméros 3, 4 et 5:a) TVI 0b) TVI 31c) TVI ū 2y7. Puisque lim limx → 0 x x → 0nous obtenons-1a) 2 x 3 b) 3x 2(t x)(t x)(t 2 x 2 )t xf(x x) f(x) , en calculant,xc) -10x 78. Soit y ax b, l’équation de L.Puisque a g - 12 1 09donc, y 1 0x b9De plus, L passe par P - 1 -5 , 1 2 2 . En remplaçant x par - 1 -5-5 et y par 1 , nous obtenons 1 02 21 2 9 - 12 b5donc, b . 3 6D’où L: y 1 0 5x .9 3 6> Exercices récapitulatifs (page 113)1. a) i) 0 ii) 0b) i) -3 ii) -3c) i) -2x x 3 ii) -5d) i) -3x 2 3xh h 2 2x hii) -h 2 5h 8-4(1 h)e) i) ii) - 809 1 2 h 2 c) TVM [- 3, 1] 0d) m tan (- 1, f (- 1)) 0b) 20 m/minb) v [1 s, 2 s] 4 cm/se) P(- 2, -8)d) 0 m/min-2f) i) ii) - 2x x x 52. Les représentations sont laissées à l’utilisateur ou l’utilisatrice.a) dom f IR et ima f [-9, ∞ b) m sec -23. a) 100 m/min c) -120 m/min4. a) v [0 s, 1 s] -2 cm/s c) v [0 s, 2 s] 1 cm/s5. a) 32 600 emplois/anb) -0,1 %/anc) …le taux de chômage diminue.d) …le taux de chômage augmente.6. a) Environ -0,45 %/km420 CHAPITRE 3 Exercices 3.3 • Exercices récapitulatifs

3j) y 2x 7k) x 2y 4 0l) Aire 11,25 unités 2m) T(-5, -12) et S(1, 0)3. a) f (x) 15 x 4et f (-2) 604b) d x 2at b et d x 3a bdtdt⏐t 1,5dyx dyc) et - 2d x x2 1 d x⏐x - 1 22 2d) g(x) et g(1) 03 x 3 3 x 22(5x 2)e) h(x) et h(0) -4(1 5x) 1 5x1f) f (x) 3 et f 2 x 1 4 44. a) f est continue en A(1, f(1)) ;f est dérivable en A(1, f(1)) et f (1) 2.b) f est continue en B(2, f(2)) ;f est dérivable en B(2, f(2)) et f (2) 0.c) f est continue en C(3, f(3)) ;f est non dérivable en C(3, f(3)).d) f est non continue en D(5, f(5)) ;f est non dérivable en D(5, f(5)).2x 2 si x 35. a) f(x) 10 2x si x 3b) f est continue en x 3.c) f est non dérivable en x 3.d) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.6. a) Environ 6702 habitantsb) N 568 habitantsc) TVM [650, 750] 5,68 hab./empl.d) d N 15,07 hab./empl.dx⏐x 100L’interprétation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.e) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.7. a) d Q 1000 , exprimé en g/s.dt(1 0 t) 2b) Q(0) 0 g et Q(20) 66,6 gc) Q 16,6 gd) TVM [10 s, 20 s] 1,6 g/s et TVM [20 s, 30 s] 0,83 g/se) Laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.f) lim Q(0 h ) Q(0) 10 g/sh → 0 hL’interprétation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.g) d Q 2,5 g/s et dt⏐ d Q 0,2 g/st 10 s dt⏐ t 1 minh) La quantité augmente et le taux de variation instantanédiminue.i) 0,9 g/sj) 60 gk) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.8. a 2 3 et b 719. a) -f (a) c) 2f (a) e) f (a)b) f (a) d) 2a f (a)10. f (x) f(x)11. a) s(x) 2b) s(0) 0c) L’explication est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.d) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.12. a) f (-x) -f (x) c) ii) …impaire.b) f (-x) f (x) ii) …paire.13. La démonstration est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.> Test récapitulatif (page 118)1. a) TVM [x, x h] f(x h ) f(x)h[(x h)2 5(x h)] (x 2 5x)hx2 2xh h 2 5x 5h x 2 5xh 2xh h 2 5hh h(2x h 5)h 2x h 5 (si h 0)b) En posant x -1 et h 4, nous obtenonsTVM [- 1, 3] 2(-1) 4 5 -3.Le TVM [- 1, 3]correspond à la pente de la sécantepassant par les points A(-1, f(-1)) et B(3, f(3)).c) Puisque m sec TVM [1, 6], nous posons x 1 et h 5,ainsi m sec 2(1) 5 5 2.d) f (x) limh → 0 f(x h ) f(x)h lim (2x h 5) (voir a))h → 0 2x 5422 CHAPITRE 3 Problèmes de synthèse • Test récapitulatif

e) f (4) 2(4) 5 3f (4) correspond à la pente de la tangente à lacourbe de f au point P(4, f(4)).f) Soit y ax b l’équation la tangente.Puisque a f (4) 3, nous avons y 3x b.Cette droite passe par le point P(4, - 4). En posantx 4 et y -4, nous obtenons -4 3(4) bdonc, b -16.D’où y 3x 16.g)Sécante(-1, f(-1))2. a) Considérons d’abord les quatre intervalles à droitesuivants : [2 s, 2,1 s], [2 s, 2,01 s], [2 s, 2,001 s],[2 s, 2,0001 s] et calculons la vitesse moyenne surchacun de ces intervalles.v [2 s, 2,1 s] 8,2 m/sv [2 s, 2,01 s] 8,02 m/sv [2 s, 2,001 s] 8,002 m/sv [2 s, 2,0001 s] 8,0002 m/sConsidérons maintenant les quatre intervalles àgauche suivants : [1,9 s, 2 s], [1,99 s, 2 s],[1,999 s, 2 s], [1,9999 s, 2 s] et calculons la vitessemoyenne sur chacun de ces intervalles.v [1,9 s, 2 s] 7,8 m/sv [1,99 s, 2 s] 7,98 m/sv [1,999 s, 2 s] 7,998 m/sv [1,9999 s, 2 s] 7,9998 m/sPuisque, à droite et à gauche, les vitesse moyenness’approchent de 8 m/s, nous pouvons conclure quev t 2 s 8 m/s.b) Graphiquement, la vitesse instantanée au tempst 2 s est égale à la pente de la tangente à la courbeau point (2, x(2)), c’est-à-dire au point (2, 6).x(t)(m)2y11(4, f(4))(3, f(3))Tangente(2, x(2))m tan vitesse instantanée1 2t(s)x3. a) f(-1) 0 et f (-1) 0b) f(0) 0 et f (0) 0c) f(1) non définie et f (1) non définied) f(1,5) 0 et f (1,5) 0e) f(2) 0 et f (2) 0f) f(3) 0 et f (3) non définie4. a) Puisque la droite y 2x 3 est tangente à la courbef au point P(-3, f(-3)), nous avons f(-3) -9.b) Puisque m tan (- 3, f (- 3)) f (-3) et que m tan (- 3, f (3)) 2,f (-3) 2.5. a) f (x) limh → 0 f(x h ) f(x)h[2(x h) lim3 (x h) 7] (2x 3 x 7)h → 0h[2(x lim3 3x 2 h 3xh 2 h 3 ) x h 7] 2x 3 x 7h → 0h2x lim3 6x 2 h 6xh 2 2h 3 x h 7 2x 3 x 7h → 0h6x lim2 h 6xh 2 2h 3 hh → 0hh(6x lim2 6xh 2h 2 1)h → 0h lim (6x 2 6xh 2h 2 1) (car h 0)h → 0 6x 2 1dyyb) lim d x x → 0 x(x x 4)[2(x x) 6] (x 4)(2x 6) lim x → 0x2x lim2 4xx 2x 2x 24 2(x) 2 2x 2 2x 24x → 0x4xx 2x 2(x) lim 2x → 0 xx(4x 2 2x) lim x → 0 x lim (4x 2 2x) (car x 0)x → 0 4x 2c) H(x) lim H(t) H(x)t → x t x limt → x limt → x limt → x limt → x limt → xt 4 x 4t x(t 4) (x 4)(t x)(t 4 x 4)(t x)(t x)(t 4 x 4)1t 4 x 41 2x 4t 4 x 4 (t 4 x 4) t x (t 4 x 4)(car t x)3CORRIGÉ DU CHAPITRE 3 Test récapitulatif423

4c) [f(x) g(x)] f (x) g(x) f(x) g (x)-5d) u v uv uv 8 u 22v5. a) f (x) (8x 3 4x 2 9x 1)de) (x r ) rx r 1 (8x 3 ) (4x 2 ) (9x) (1)d x(corollaire 4.2)2. a) y 7x 6 24x 2 8x 9b) f (x) 7 4 x3 4db) d 2 t t 2 5t -c) h(x) (x - 4 ) -4x - 5 - t dd t 1 2t 1 2 d d (t 2 ) (5t - 2 )22 dtd t4(corollaire 4.2)x 5dd) d t 1 t -d (t ) - 11- 3 21 -1 2t 1 0t 2 4 t t 3d t 22t 3 2c) g(x) e) f (u) 1 4x 5x 8 x - 3 3 6 4 - 1 3f) g(x) x 1 (4x ) (5x 8 ) x - 3 6 3 4 313. a) f (x) (x ) 1 2 x - 1 2 2 1 1 (corollaire 4.2)2x 1 2 2x- 41 40x 7 1b) g(x) (x ) 1 3 x -33x 4 2 x 42 3 3 1 33 x 2 3c) h(x) (x ) 3 2 x 1 2 3 x2-d) f (t) (t ) - 2- 5 32 t 3-2 -2 33t 33 t5 354. a) f (x) 0 (théorème 1)b) v(t) 1 (théorème 2)c) g(x) (5x 3 ) 5(x 3 ) (théorème 3) 5(3x 2 ) (théorème 6) 15x 2dd) d t 3 t4 3 4 d(t) (théorème 3)dt 3 (1) (théorème 2)4 3 4 e) f (x) - - 19 x 45 - - 19 (x 4) (théorème 3)5 - 95 - - 51 x 44 (théorème 7)920x 5 4f) f (u) 5 8 u - 1 13x 2 3 2 5 8 (u - 1 ) (théorème 3) 5 8 ( -1u - 2 ) (théorème 7)- 1d) x(t) 1 2 at 2 v 0t x 0 at v 01 2 1 2 at 2 (v 0t) (x 0) (corollaire 4.2)6. a) y (3x 1)(2 5x 3 ) (3x 1)(2 5x 3 )(théorème 5) 3(2 5x 3 ) (3x 1)(-15x 2 ) 6 60x 3 15x 2b) x(t) (t t)(4t 3 2t 2 5) (t t)(4t 3 2t 2 5) (théorème 5) 1 2- 1 2 1 2 t 1 (4t 3 2t 2 5) 1(t2 t)(12t 2 4t) 1 12 t (4t 3 2t 2 5) (t t)(12t 2 4t)5 14t 5 5t 3 16t 3 6t 2 52 tc) g(t) (t 3 )(5t 2 4)(3 t 4 ) t 3 (5t 2 4)(3 t 4 ) t 3 (5t 2 4)(3 t 4 ) (corollaire 5.1) 3t 2 (5t 2 4)(3 t 4 ) t 3 (10t)(3 t 4 ) t 3 (5t 2 4)(-4t 3 ) -45t 8 28t 6 75t 4 36t 2 t 2 (-45t 6 28t 4 75t 2 36)d) f (x) [x(3x 1)] [(2x 5)(4 3x 2 )](corollaire 4.1) [(x) (3x 1) x(3x 1)] [(2x 5)(4 3x 2 ) (2x 5)(4 3x 2 )](théorème 5) (3x 1) x(3) [2(4 3x 2 ) (2x 5)(-6x)] 18x 2 24x 9426 CHAPITRE 4 Exercices 4.2

15. a) M(x) xC(x) C(x)2xb) Si M(x) 0, alors xC(x) C(x) 0D’où C(x) C( x) M(x).x16. H(x) [f(x) g(x) k(x)] [(f(x) g(x)) k(x)](car f(x) g(x) k(x) (f(x) g(x)) k(x)) (f(x) g(x)) k(x) (théorème 4) f (x) g(x) k(x) (théorème 4)17. H(x) limh → 0 H(x h ) H(x) (par définition)h[f(x h) g(x h)] [f(x) g(x)] limh → 0hf(x h) g(x h) f(x) g(x) limh → 0hf(x h) f(x) g(x h) g(x) limh → 0h limh → 0 f(x h ) f(x) g(x h ) g(x)hh limh → 0 f(x h ) f(x)h limh → 0 g(x h ) g(x)h f (x) g(x)(par définition de f (x) et de g(x))Exercices 4.3 (page 146)dy1. a) r[f(x)] r 1 f (x)d xdydyb) d x d u dud xd d 2y3yc) d x d x 2 ddx 32. a) f (x) 7(x 4 1) 6 (x 4 1) 7(x 4 1) 6 (4x 3 ) 28x 3 (x 4 1) 6b) g(t) 10(1 5t 4 ) 9 (1 5t 4 ) 10(1 5t 4 ) 9 (-20t 3 ) -200t 3 (1 5t 4 ) 9dyc) 7 d x 2 (5x 2 3x 2) (5x 2 3x 2) 7 2 (5x 2 3x 2) (10x 3)d) f (x) 1 2 (x 5 1) (x 5 1)1 (5x 4 )2(x 5 1) 1 25x 42x5 1 5 2 5 2- 1 2e) g(x) 3 x 12x 1 x 1 x 1 3(x 1) (x 1) (x 1) 2(x 1)2(x 1) 2 - 6(x 1) 2(x 1) 4f) x(t) 1 2 mt1 t - 1 2mt 1 t 1 2 1 mt t m(1 t) 23. a) f (x) 5 1 (8 x) (8 x)35 (-1)3(8 x) 2 3-5 33 (8 x) 2b) g(x) 3(- 3x 7x 2 ) 2 (- 3x 7x 2 ) 7(3 5x 4 ) 6(3 5x 4 )6 3(-3x 7x 2 ) 2 (-3 14x) 70x 3 (3 5x 4 )63dyc) 5[(x 3 2x) 4 3x] 4 [(x 3 2x) 4 3x]d x 5[(x 3 2x) 4 3x] 4 [4(x 3 2x) 3 (x 3 2x) 3] 5[(x 3 2x) 4 3x] 4 [4(x 3 2x) 3 (3x 2 2) 3]d) f (t) [(t 2 1) 3 ](1 t 3 ) 4 (t 2 1) 3 [(1 t 3 ) 4 ] 3(t 2 1) 2 (t 2 1)(1 t 3 ) 4 (t 2 1) 3 4(1 t 3 ) 3 (1 t 3 ) 3(t 2 1) 2 (2t)(1 t 3 ) 4 (t 2 1) 3 4(1 t 3 ) 3 (-3t 2 ) 6t(t 2 1) 2 (1 t 3 ) 4 12t 2 (t 2 1) 3 (1 t 3 ) 3 6t(t 2 1) 2 (1 t 3 ) 3 [(1 t 3 ) 2t(t 2 1)] 6t(t 2 1) 2 (1 t 3 ) 3 (1 2t 3t 3 )e) d x dt ( t 3 35 1)7( 1 t) 12 1 m t t[(t 3 1) 35 ](1 t) 7 (t 3 1) 35 [(1 t) 7 ][(1 t) 7 ] 235(t 3 1) 34 (3t 2 )(1 t) 7 (t 3 1) 35 7(1 t) 6 (- 1)(1 t) 147(t 3 1) 34 (1 t) 6 [15t 2 (1 t) (t 3 1)](1 t) 147(t 3 1) 34 (15t 2 14t 3 1)(1 t) 8f) f (x) 1 2 (x 2 3x) [x 2 (3x) ]- 2 31 2x 1 2 (3x) (3) 2x2 3x1 2x 3- 1 22x2 3xm(1 t) mt (1 t)21 223x - 124CORRIGÉ DU CHAPITRE 4 Exercices 4.2 • Exercices 4.3429

44. Calculons d’abord f (x).b) f(x) x 7 3x 2 4 f (x) 210x 4b) m tan ( , f ( )) f 1 4 0,1 11 4 4d) f(x) x x f(x) 3 28 x 2f (x) [(4x 1) 2 ](2 3x) 2 (4x 1) 2 [(2 3x) 2 ] 2(4x 1)(4)(2 3x) 2 (4x 1) 2 2(2 3x)(-3) 2(4x 1)(2 3x)[4(2 3x) 3(4x 1)] 2(4x 1)(2 3x)(11 24x)f (x) 7x 6 6xf (x) 42x 5 6c) f(x) 1 x x - 1 f (4) (x) 840x 3f (5) (x) 2520x 2f (x) -6x - 4a) m tan (0, f (0)) f (0) -44f (x) -1x - 2 f (4) (x) 24x - 5f (x) 2x - 3 f (5) (x) -120x - 6au point A 1 4 , f 1 4 , la tangente à la courbe de fest parallèle à l’axe des x.c) En posant f (x) 0, nous obtenons2(4x 1)(2 3x)(11 24x) 0donc, x 1 4 , x 2 3 ou x 1 1 .24D’où A 1 4 , f 1 4 , B 2 3 , f 2 3 et C 1 1, f24 1 124,c’est-à-dire A 1 4 , 0 , B 2 3 , 0 et C 1 1 625, 242 304.d) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.5. a) d x 12t 5 et d x 19dtdt⏐ t 2dz1 zb) d y 2 et ȳ ddy⏐ - 1 y - 3 9c) d y d dt y d x 1d x d (12t 5) 12 t 5t 2 x2xLorsque t -1, nous avons x 6(-1) 2 5(-1) 11ainsi, d y dt⏐ 12( -1) 5 -17 .t - 1 211 2 11dzdzdy1 1 -1d) d x d y d x 2 ȳ 2 x 2y2xLorsque x 1 9 , nous avons y 1 9 1 3 f (x) 1 2 x - f (4) (x) - 1- 715x216f (x) - - 31 x f(5)(x) 1 - 9 205 105x2 43232 x 9 e) f(x) 3 1x x f(x) 1 - 8 30 x327f (x) 1 3 x - f (4) (x) - 2- 11 380x381f (x) - - 52 x f(5)(x) 8 - 14 30 880x3 92843243x 1 43f) f(x) x 5 1 x 3 x - 22xf (x) 3x 2 2x - 3f (x) 6x 6x - 4f (x) 6 24x - 5f (4) (x) 120x - 6f (5) (x) -720x - 7 - 7207x7. a) f (4) (x) 120xb) y (9) 02x 2- 5c) d dt 2 9,8d 3yd) d x 3 30(x 3 1) 2 (91x 6 38x 3 1)e) f (2) (1) -4d 3yf) d x 3 ⏐ 10 5x 4 4dz-1ainsi, d x⏐ - 27 .1 x 2 9e) d z dzdy d x 1 1 dtd y d x dt2 (12t 5) 5 12tȳ 2 x2y 2xLorsque t 3, nous avons x 6(3) 2 5(3) 39 ety 39ainsi, d z 5 12(3) -31 .dt⏐ t 3 2(39)2 39 78 3922 1 3 2 1 9 6. a) f(x) 2x 3 x 5x f(x) 124f (x) 6x 2 x 2 5 f (4) (x) 0f (x) 12x 1 2 f (5) (x) 08. a) f (x) 5x 4f (x) 5 4x 3f (x) 5 4 3x 2f (4) (x) 5 4 3 2xf (5) (x) 5 4 3 2 1 5!f (6) (x) 0, car f (5) (x) est une constante.Ainsi, f (k) (x) 0, pour k 5b) f (x) nx n 1f (x) n(n 1)x n 2f (x) n(n 1)(n 2)x n 3f (n 1) (x) n(n 1)(n 2) … 3 2 xf (n) (x) n(n 1)(n 2) … 3 2 1 n!f (k) (x) 0, pour k nc) f (k) (x) 0430 CHAPITRE 4 Exercices 4.3

9. a) La pente de la tangente à la courbe de f au pointA(1, f (1)) est donnée par f (1).6tu 3t 2 d u 4u 2 4t(2u) d u 0dtdtPuisque f(x) x 4 d u(3t 2 8tu) 4u 2 6tuf (x) 4x 3dtf (x) 12x 2 d u 4 u m tan (1, f (1)) f (1) 12dt3t 2 6tu2 8tu 2 u(2u 3t)t ( 3t 8u)b) La pente de la tangente à la courbe g au pointddd) (x 2 y 2 ) (2x 2 4)B(2, g(2)) est donnée par g (3) (2).d xd xPuisque g(t) (4 3t) 5 1g(t) -15(4 3t)2 (x - 2 y 2 1dd d) (x 2 y 2 ) (2x 2 ) (4)d xd x d x4g(t) 180(4 3t)13 2x 2 y d d(x 2 ) (y 2 )g (3) (t) -1620(4 3t) 22 d x d x 4xm tan (2, g (2)) g (3) (2) -64801 2x 2 y d dy2x (y 2 ) 2 d y d x 4xExercices 4.4 (page 151)dy2x 2y 8xx 2 y 21. b) et d)d xdddy2. a) (x 3 4y 3 ) (5 3x 2 )2y 8xx 2 y 2 2xd xd xd xd d d ddy(x 3 ) (4y 3 ) (5) (3x 2 ) 8xx2 y 2 2x 4x(x2 y 2 1)d x d x d x d xd x 2yyd dy3x 2 (4y 3 ) 0 6xdyd y d x3. Calculons d’abord . d xdy-12y 2 -6x 3x 2ddd x(x 2 3y) (5 6x)d xd xdy - 6x 3x 2d2x -12y x(2 x)4 d d d dy 2 (x 2 ) (3y) (5) (6x)d x d x d x d xdb) d x x 3y d (5x 2 6y 3 )dy2 d x2x 3 -6 d xdd(x 3 )y 2 x 3 (y 2 )dyd xd x d d (5x 2 ) d x(6y 3 d x)donc, (y 2 d) x - 6 2x32d dya) m3x 2 y 2 x 3 (y 2 ) tan (- 1, ) - 6 2(-1) - 410 33 3d y d x d dy 10x (6y 3 ) dyy4d y d xb) 0 d xdy3x 2 y 2 2x 3 y d xdy - 6 2x 0 donc, x -3 10x 18y 2 3d xy4dydy3x 2 y 2 2x 3 y 10xy 4 18y 6 d xd xdydy3x 2 y 2 10xy 4 2x 3 y 18y 6 d x d xdy(2x 3 y 18y 6 ) 3x 2 y 2 10xy 4d xd yd x 3x 2 y 2 10xy 4 xy ( 3x 10y2)2 2x 3 3y 18y 6 ( x 9y5)ddc) (3t 2 u 4tu 2 ) (9)d td t dd(3t 2 )u 3t 2 (u) dtd t dd(4t)u 2 4t (u 2 ) d td t 0 6tu 3t 2 ddu (u) d udt d4u 2 4t d u (u 2 ) d udt 0D’où P -3, 1 43 est le point cherché.dy4. Calculons d’abord . d x 2 1 24dd(x 2 y 2 x 3 y 3 ) (-4)d xd xd d(x 2 y 2 ) (x 3 y 3 ) 0d x d xdydy2xy 2 2x 2 y 3x 2 y 3 3x 3 y 2 0d xd xddonc, yd x - 2 2 32xy 3xy2 y (-2 3xy)23 2x y 3xy x(2 3xy)(-2)(-2 3(1)(-2))D’où m tan (1, - 2) 2.(1)(2 3(1)(-2))CORRIGÉ DU CHAPITRE 4 Exercices 4.3 • Exercices 4.4431

45. a) Soit x 2 y 2 r 2 l’équation du cercle oùr 2 (1) 2 (-3) 2 4.Ainsi, x 2 y 2 4 est l’équation du cercle.dyCalculons . d xdd(x 2 y 2 ) (4)d xd xdonc,dy2x 2y 0 d xd yd x - x y-1 1D’où m tan (1, - 3 ) .- 3 3b) Le point cherché est P(-1, 3).dy6. Calculons . d xdd(4x 2 9y 2 36) (0)d xd xdonc,dy8x 18y 0 d xd yd x - 4x9 yEn remplaçant x par 5 dans 4x 2 9y 2 36 0,nous trouvons 4(5) 2 9y 2 36 09y 2 16y 2 1 69donc, y - 4 4 ou y 3 3 .-4(5)D’où m tan ( , ) - 545 339 4 3 -4(5)et m tan ( , ) 5 .9 - - 45 433 3dd7. a) (y 5 2y 3 x) (0)d xd xdydy5y 4 6y 2 1 0d x d xdy-1D’où .d x 5y4 6y 2b) x -y 5 2y 3 d x -5y 4 6y 2dydy-11 1c) d x 5y4 6y 2 - 5y 4 6y 2 d xdydy8. Calculons d’abord . d xd d(2y 3 ) (xy 7)d x d xdydy6y 2 y x d x d xdyydonc, d x 6y2 xEn isolant x, nous trouvons x 2y 3 7 2y 2 7 yy donc, d x 7 4y dyy 2 4y 3 7.2ydyyPuisque d x 6y2 xy6y 2 2y 2 7 y y4y 2 7 y 2y 4y3 71 1 4y 3 y 7 dx2d y car x 2y 2 7 y > Exercices récapitulatifs (page 155)dy1 211. a) xd x16x 7 4x 2 3dyb) -42(1 7x) 5d xdyc) 21x 2 (x 3 1) 6d xdy3d) 2x d x 23 x 1dy223x15x 4xe) 2x3x 1 d x2 3 x 1 2 3x 13 2x (x 1)dy2 xf) - x 2 d2xx22xdyg) 5(2 x) 4 (-1)(7x 3) (2 x) 5 7d x (2 x) 4 (-42x 1)dy5(4x 5)h) d x 2 2 x2 5 x 7dyi) d x2x(x 7 2 4) (x 2 4)(2x) - 112x(x 2 4) 2 (x 2 4) 2432 CHAPITRE 4 Exercices 4.4 • Exercices récapitulatifs

dy(7 3xj) 2 ) d xx42 15(3 7x x 3 ) 2 3dyk) 4(x 2 3) 3 2x(2x 3 5) 3 (x 2 3) 4 3(2x 3 5) 2 6x 2d x 2x(x 2 3) 3 (2x 3 5) 2 (17x 3 27x 20)dyl) 18[(x 2 5) 8 x 7 ] 17 [8(x 2 5) 7 2x 7x 6 ]d x-1 2 12. a) f (x) x 3 3x 4 405x 4 (2x 1)(xb) g(x) 3 2) 3x 2 (x 2 x 1)(x 3 2) 2-xb) g(x) 4 2x 3 3x 2 4x 2(x 3 2) 2c) x(t) -(b at) 4d) f (x) 5 ( 3 x 1 (x 7) 1 3 (x 1) - 2d) f (x) 196ue) f (u) 6 (1 2u 7 ) 5 2 5(3tf) v(t) 2 3)(3 t 2 ) (t 3 3t)(-2t) -1(3 t 2 ) 21g) g(x) (1 3x) 22 1 1 3 3 x xg) g(x) 1 1 3 3 x xh) x(t) i) f (x) 3(1 3x) (-3)(1 3x)3 (1 3x) 23j) g(x) 5 x 7 x 4 (7 4 x) x(7 x) 35x 2 (7 x ) 6k) f (v) 7v 6 8v 3 2v v(7v 5 8v 2 2)64x l) h(x) 2x(x 3 2) 5 x 2 5(x 3 2) 4 (3x 2 ) 7(x8 5) 2764xl) h(x) x(x 3 2) 4 (17x 3 4) (x8 5 ) 23. a) f (x) 3. a) f (x) 10(2x 5)3(x 1) 2 3t(2t 2 1) 3 (1 t 2 t 4 )94x2 x - 4x2 4 1 x 1 4 x - x 4 1 x 2-15x 2 4 + 1 x 212 b) f (x) 8[3x 4 (5 x 6 ) 5 ] 7 [12x 3 30x 5 (5 x 6 ) 4 ]c) f (x) 18(x 2 1) 17 (2x)(x 3 1) 12 (x 2 1) 18 12(x 3 1) 11 (3x 2 )c) f (x) 36x(x 2 1) 17 (x 3 1) 11 (2x 3 x 1) 3d) f (x) 4 5(3 2x) 4 (x 3 4x) 3 - 8(3 2x) 3 2 0(3x 243( x 4) 54x)24x 2 1 x 2 (2x 2 1) x1 x 2 1 x 2e) f (x) (x1 x ) 2 24xe) f (x) 2 1x 2 (1 x 2 ) 3 2f) f (x) 4x 3 7 x x 1 1 x 4 1 7 x xf) f (x) 1 1 - 6 7 (x -21) 2g) f (x) 7x 6 9 2 x 7 2 3 3 23x2 xh) f (x) - 23 2x 1 x - 5 2x(1 x) x 232(1 x)-2(2 x)h) f (x) 3x 7 3 (1 x) 1 3i) f (x) 1 3 x xi) f (x) 33 1 1 - 2dej) f (x) ab (ex m) 22ax(a xk) f (x) 2 ) 3 ax 2 3(a x 2 ) 2 2x(a x 2 ) 6k) f (x) 2a x(a 2x2)( a x 2 4) 2x 1 2x 12x 1 (4 x 2 ) 2x(2x 1)x 1l) f (x) (4 x 2 ) 2l) f (x) 4. a) f (x) 60x 2 6 5 et f (7) (x) 0d 4yb) d x 4 360x 2 3 024d 6y et 10x d x 6 720 332 640x 1 2c) d 2x -26dt 2 et93 (1 t) 5 (2t 1) 5 d 3x -1030dt 3 273( 1 t) 8 (2 t 1) 7d 2yd 3yd) d x 2 et (5 122x) 3 d x 3 72⏐ x 3e) f (n 1) (x) n!a nx (n 1)! a n 1f (n) (x) n!a netf (n 1) (x) 05. a) 8; 2 c) non définie ; - 5527b) -1728 ; 02x 3 (14x 2 x 14)7(x 1) 8 7 (x 1) 6 7-2x 2(x 3 1) 2 3 (x 3 1) 4 3 32x 3 7x 2 28x 202(4 x 2 ) 2 x 13x 2 (x 3 1) 3x 2 (x 3 1)(x 3 1) 24CORRIGÉ DU CHAPITRE 4 Exercices récapitulatifs433

4d6. a) yd x - 4x 3y3 x 2ydyb) d x 6y -515y 2dyy 2 (1 3x 2 y)c) d x x 2(-1 3xy 2 )dd) yd x - x y2 4dyx y y dy2xe) , ou d x 23 3xy x d x 3 y 2dyyf) d x x y( x y) 2d7. a) yd x - 49 ; xym - 2 tan (- 1, - 2)9db) yd x - 2 2 32xy 3xy2 ; m23 2x y 3xytan (1, - 2) 2dy-y4c) ; m d xtan (2, 8) x 4 yxy 6 3dd) yd x 3 2 3( x y)-93( ;x y)2m 1tan (2, - 4) 1 1de) yd x - x ;ym tan (- 3, 4) 3 4 et m - 3tan (- 3, - 4) 48. a) d u -4t 3 ; d u 32dtdt⏐ t - 2dyb) d u 1 dy10x 2 x 9u 2 ; 8996,4d u⏐ u 2c) d x 9u 2 (-4t 3 )dz - 1z 2 ; d x 0dz⏐ z 1d) d y dz110x 2 x d y est non définie.dz⏐ z 0,5 (9u 2 )(-4t 3 ) - z9. a) d y -24x 2 ; d y -384dtdt⏐ x 4b) d y - 6dtx 4(4 5t 2 ); d y 2 dt⏐ t - 1 2 712 ;10. a) m tan (0, f (0)) 0 ; la représentation est laissée à l’utilisateurou l’utilisatrice.b) La pente de la tangente à la courbe au point(0, g(0)) n’est pas définie, puisque g (0) n’est pasdéfinie ; la représentation graphique est laissée àl’utilisateur ou l’utilisatrice.c) P(0, f(0)), c’est-à-dire P(0, 0)d) Il n’existe aucun point.e) R(0, g(0)), c’est-à-dire R(0, 0)11. a) A(-5, 102) et B(1, -6)b) C(-4, 94) et D(0, 2)c) E(-2, 48)d) Aucun pointe) F(-7, 58) et G(3, 38)12. a) m tan (- 3, 0) 33,m tan (0, 0) -15, etm tan ( , 0) 5 55 22b) m tan (0, 0) -15c) A(- 1,75…, 18,59…) et B(1,42…, - 13,55…) ; la vérificationest laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.13. C(5,5, 15,75)La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.14. a) y 2x 8b) y 2x 2 1227c) y - 1 21x 2 2d) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.-9 1215. a) y x 4 7 7b) a 1 6 12 et b 3 7-9 12c) y x 4 7 716. La démonstration est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.> Problèmes de synthèse (page 157)1. a) y 1 -5x 10 et y 2 5x 15b) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.c) A 31,25u 22. a) Oui, au point A(3, -5)b) Nonc) Oui, au point C(-2, -7)d) La vérification est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.3. A(-1, f(-1)), c’est-à-dire A(-1, 1), etB 7 8 , f 7 8 , c’est-à-dire B 7 8 , - 148272058434 CHAPITRE 4 Exercices récapitulatifs • Problèmes de synthèse

4. x 1 -3 et x 2 217. a) 0 g5. a) A - 1 3 , 2 8 b) 1 8 get B(1, 0)7b) Oui, au point A - 6 21 3 , 2 8 c) g/s ; g/s3 5 2 1c) C 1 2 , - 38 ; y - 61 1x 4 4 d) Q(t) , exprimé en g/s(2t 1) 26 6d) x 0; M(0, 0)e) g/s ; 4 9 1 21 g/s6. a 7 1 et a 7 3f) 4 s3232g) 9,5 s7. A - 3, 1 32 4 et B 3, 1 3x2 4 18. a) p 300 48. A 16u 2b) R(x) 300x x 249. a) f (0) 10c) P(x) 240x x 2 5004b) f (3) 04c) H(0) 9d) x 480 unités ; l’interprétation est laissée à l’utilisateurou l’utilisatrice.10. La démonstration est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.19. a) M(x) 25x 2 10 000, où x 0x11. a 3 et b -5b) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.12. a - 1 5 et b 4 4 c) x 20 unités ; l’interprétation est laissée à l’utilisateurou l’utilisatrice.13. A 1 2 , 1 4 et B - 1 1 , 2 4 20. a) P - 3, 3 2 4 et R 3, 3 2 4 14. P 6a 1, - 264a 12a4 aet Q 6a 12 , - 264a 1a 4ab) C 0, 5 4 21. a) La démonstration est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.15. A(4, 2) ; la représentation est laissée à l’utilisateur oul’utilisatrice.b) b a 2 1 16. A 2u 2 2 > Test récapitulatif (page 160)1. Voir le théorème 5, page 130.2. a) f (x) 40x 4 3 x 2 5 7 x x43 b) d 2x 4dtt a t 3 2t(a t) (a t 2(-1)2t)b) d x 4t 7(2a t)dt( a t) 5c) g(x) 4(x 2 5x 3 ) 3 (2x 15x 2 )(x x 2 ) 3 (x 2 5x 3 ) 4 3(x x 2 ) 2 (1 2x)c) g(x) (x 2 5x 3 ) 3 (x x 2 ) 2 x 2 (90x 2 89x 11)c) g(x) x 10 (1 5x) 3 (1 x) 2 (90x 2 89x 11)d) f (x) 8[(7 x 3 ) 5 x 4 ] 7 [-15x 2 (7 x 3 ) 4 4x 3 ]dye) dxdye) d x-12x 3 3 x (5 4x 3 ) x3 x 23 x x 2 (3 x)12x 4 48x 3 15x 302x 2 (3 x) 3 2dydy3. a) 4x 3 2xy 3 3x 2 y 2 d x 1 d xdydy4x 3 2xy 3 3x 2 y 2 1 d x d xdydy4x 3 2xy 3 1 3x 2 y 2 d x d xCORRIGÉ DU CHAPITRE 4 Problèmes de synthèse • Test récapitulatif435

En résolvant la dernière équation, nous trouvonst 9,75 et t 16.En remplaçant t par 9,75 dans l’équation initiale,cette dernière n’est pas vérifiée, donc t 9,75 n’estpas une solution.En remplaçant t par 16 dans l’équation initiale,cette dernière est vérifiée.D’où t 16 est la seule solution.3c) 2 523 t 13 3t 11 43t 1 32 1 4 3214 1t 3D’où t - 187 .5884. a) d z dz d xdtd x dtb) d z dt 1 2 2x 2 145 4 x 3 2t2 3 t t 2lorsque t 1, x 2D’où d z 489 .dt⎥ t 1 16 025> ExercicesExercices 5.1 (page 175)1. a) v [1 s, 6 s] x(6 ) x6 (1)1 102,9 78,45 4,9 m/sv [4 s, 6 s] x(6 ) –x6 (4)4 102,9 122,52 -9,8 m/sb) v(t) x(t) -9,8t 39,2, exprimée en m/sa(t) v (t) -9,8, exprimée en m/s 2c) v(0) -9,8(0) 39,2 39,2 m/sd) x(2) 102,9 m, v(2) 19,6 m/s et a(2) -9,8 m/s 2x(7) 78,4 m, v(7) -29,4 m/s et a(7) -9,8 m/s 2e) a [2 s, 5 s] v(5 ) v(2) - 9,8 19,6 -9,8 m/s 25 23f) Puisque a(t) -9,8 est une fonction constante,a [t1 , t 2 ]-9,8 m/s 2 .g) La balle atteint sa hauteur maximale lorsque v(t) 0,c’est-à-dire -9,8t 39,2 0, d’où t 4 s.Hauteur maximale x(4) 122,5 mh) Hauteur initiale x(0) 44,1 mIl faut résoudre x(t) 44,1, c’est-à-dire-4,9t 2 39,2t 44,1 44,1-4,9t 2 39,2t 0donc, t 0 s (à rejeter) et t 8 s.i) La balle touche le sol lorsque x(t) 0, c’est-à-dire-4,9t 2 39,2t 44,1 0donc, t -1 s (à rejeter) et t 9 sv(9) -49 m/s.j) plot(-4.9*t^239.2*t44.1,t0..9,colororange) ;x(t)1201008060402002468t plot(-9.8*t39.2,t0..9,colororange) ;v(t)40200 2 4 6 8 t-20-40 plot(-9.8,t0..9,a-20..1,colororange) ;a(t)0 2 4 6 8 t-5-10-15-206480002. a) v(t) x(t) 20, exprimée en m/s(t 120) 2a(t) v(t) - 1 296000, exprimée en m/s 23( t 120)b) v(0) 25 m/sa(0) -0,75 m/s 2c) Le train s’immobilise lorsque v(t) 0, c’est-à-dire648000 20 0(t 120) 2donc, t -300 s (à rejeter) et t 60 s.D’où t 60 s.d) Distance parcourue x(60) x(0) 600 0 600 me) Il faut résoudre x(t) 300, c’est-à-dire-648000 20t 5400 300( t 120)-648000 20t 5100( t 120)438 CHAPITRE 5 Test préliminaire • Exercices 5.1

5T(t)86420Le taux de variation instantané T est toujours positifet décroissant sur ]0 s, 80 s[, ce qui signifie que laquantité Q augmente de plus en plus lentement.5. a) T(x) dVdxd (x 3 ) d x 3x 2 , exprimée en cm 3 /cmb) V(10) 1000 cm 3 ; T(10) 300 cm 3 /cmc) T(x) 3x 2 4800, d’où x 40ainsi, V(40) 64 000 cm 3d) V(x) x 3 2197, d’où x 13ainsi, T(13) 507 cm 3 /cmd6. a) T r(r, h) d r r 3 2 rh, exprimé en cm 3 /cm3b) T r(2, 3) 4 cm 3 /cmT r(5, 3) 10 cm 3 /cmT r(6, 3) 12 cm 3 /cmdc) T h(r, h) d h r 2h3 r, 2exprimé en cm 3 /cm3d) T h(6, 2) 12 cm 3 /cmT h(6, 3) 12 cm 3 /cmT h(6, 6) 12 cm 3 /cme) T r(r, h) T h(r, h), ainsi 2 rh r, 2d’où 2h r3 32h7. a) C m(q) C (q) 6q, exprimé en $/unitéb) R m(q) R(q) -2q 200, exprimé en $/unitéc) P(q) R(q) C(q) -4q 2 200q 1000d) ($)C(q)100020 40 60 80 t25P(q)R(q)Quantitée) Sachant que le profit peut être maximal lorsqueR(q) C(q), c’est-à-dire -2q 200 6q, on obtientq 25 unités.On constate graphiquement que le profit est maximallorsque q 25.D’où P max P(25) 1500 $.8. a) N(0) 16 000 satellitesb) TVM [2, 6] N(6) N(2) 150 satellites/année6 2c) T (t) N(t) 20t 70,exprimé en satellites/annéeT(4) 150 satellites/annéed) En posant T (t) 17020t 70 170D’où t 5 ans.Ainsi, N(5) 16 600 satellites40x9. a) T(x) N(x) 2 160x 44 ,(x 2)2exprimé en hab./emp.b) N(60) 2323,29…, donc environ 2323 habitantsT(60) 39,946…, donc environ 39,95 hab./emp.c) N (x) 3922, d’où x 100 emplois ainsi,T(100) 39,980…, donc environ 39,98 hab./emp.10. a) E(0) 31 250 $;En posant E(t) 050t 2 2500t 31 250 050(t 25) 2 0D’oùt 25 ans.b) En posant E(t) 15 62550t 2 2500t 31 250 15 62550t 2 2500t 15 625 025(2t 2 100t 625) 0donc, t 42,67 (à rejeter) et t 7,32 ansc) TVM [2, 5] E(5 ) E(2) -2150 $/an5 2d) T (t) E(t) 100t 2500, exprimée en $/ane) T(10) 100(10) 2500 -1500 $/anf) En posant T (t) -1800100t 2500 -1800donc, t 7 ansD’où E(7) 16 200 $.Exercices 5.2 (page 182)1. a) d V d V d rdtdrdtd d r 4 r 33 d rdt (4r 2 ) (2) 8r 2 , exprimé en cm 3 /sb) d V 200 cm 3 /sdt⎥r 5 cm440 CHAPITRE 5 Exercices 5.1 • Exercices 5.2

c) V(r) 4 r 3 2304, d’où r 12 cmD’où d y -2 m/s.3dt⎥ y 3 m d V 1152 cm 3 /sdt⎥r 12 cm5. a) h r 3 00 (triangles semblables)752. d V d V d rD’où h 4r.dtdrdtd-4 d r 4 r 33 d rAinsi, V r 2 (4r) 4 r33 3dt-4 4r 2 d r d V d V d rdtdrdtdtddonc, d -6000 r -1d r , exprimé en cm/mois 4 r 33 d rdtdt2r d -6000 4rr -2 d r1dt -0,013 cm/moisdt⎥ r 5 cm 2 5donc, d r - 1500, exprimé en cm/s.2dtr3. a) d A d A d rLorsque h 150, nous avons r 37,5 cm.dtdrdtd dD’où d r-1500 -0,34 cm/s. (r 2 ) (-t 2 6t 1)dt⎥ h 150 cm ( 37,5) 2d r d th (2r)(-2t 6), exprimé en cm 2 /s.b) De a) r . 4b) Lorsque t 2, on obtient r 9 cmD’où d AAinsi, V 1 36 cmdt⎥ 2 /s ;3 h4 2 3hh 48t 2 s d V d Vlorsque t 5, on obtient r 6 cmdtdh d hdtD’où d A -48 cmdt⎥ 2 /s.d-6000 t 5 s d h h48 3 d hd tc) Lorsque r 7,75, on obtient t 3 2 ou t 9 2 -6000 h16 2 d hd tD’où d A 46,5 cmdt⎥ 2 /s etdonc, d h - 96000, exprimé en cm/s.t 3 22 s dth d A -46,5 cmdt⎥ 2 /s.D’où d h -96000 -1,36 cm/s.9dtt 2 s⎥ h 150 cm 2( 150)d) d c) Soit v, le volume du cylindre.A 0, d’où t 3 s, ainsi r 10 cmSoit v (50)dt2 h 2500hdonc, A 100 cm 2 d v dv d hdtd h dt4. a) Soit x, la distance entre le basd6000 (2500h) d hde l’échelle et le mur, et y, la distanceentre le haut de l’échelle etd h dt6000 2500 d h5 yle bas du mur.dtx 2 y 2 25 (Pythagore)2x d x 2y d donc, d h 12yx , exprimé en cm/s.dt5 0dtdtPour un rayon de 50 cm, la vitesse à laquelle la hauteurdu liquide augmente est constante et d’environ d y - x d x 0,76 cm/s.dty dt - x (1, 5)y car d 1,5dxt .6. a) D’une part, V(t) 5t 34, etde plus V(x) x 3 , où x est l’arête.Lorsque x 2, y 21D’où d y d V d V d x -0,65 m/s.dtdxdtdt⎥ x 2 cmdd(5t 34) (x 3 ) d xb) Lorsque y 3, x 4d td x dt5CORRIGÉ DU CHAPITRE 5 Exercices 5.2441

55 3x 2 d x2 t dtdonc, d x 5 , exprimé en cm/s.dt6x2tLorsque t 36, V 536 34 64ainsi, x 3 64, donc x 4D’où d x5 0,008 7 cm/s.dt⎥ t 36 s 6(4)236b) Nous avons A 6x 2 . d A d A d xdtdxdtd (6x 2 ) d x 5 6x2t (voir a)) 12x 5 6x2tdonc, d A 10 , exprimé en cm 2 /s.dtx tD’où d A 10 0,416 cmdt⎥ 2 /s.t 36 s 4 367. a) Nous avons d x 2 cm/s et nous cherchons d y.dtdtd d t x 22 5 y 29 d (1)d t2d d t x 2 5 d d t y 29 0d d x x 2 2 5 d x dd t d y y 29 d y 0dt2 (2) x2 5 2 y9 d y 0dtD’où d y - 18x, exprimé en cm/s.dt25yxb) De 22 5 y 29 1, nous avons y 3 5 25 x .2Si x -3, alors y 1 2 d’où d y 0,9 cm/s ;5 dt⎥ x - 3 cmsi x 0, alors y 3 d’où d y 0 cm/s ;dt⎥ x 0 cmsi x 4, alors y 9 5 d’où d y -1,6 cm/s.dt⎥ x 4 cm8. a) Soit x, la distance entre la femme et le réverbère ety, la longueur de l’ombre. x y y (triangles semblables)9 1 ,8D’où 4y x.d d(4y) (x)d t d td(4y) d y d xd y dtdt4 d y 2,2dtD’où d y 2 ,2 0,55 m/s.dt4db) (x y) d x d yd t dtdt 2,2 0,55 2,75 m/s9. a) Soit y, la hauteur de la boîte et x, la distancehorizontale parcourue par la boîte.zxy y z 3 (triangles semblables)8donc, y 3 8 z d y d dtd t 3 8 d zdt 3 8 z 3 8 (2)D’où d y 0,75 m/s.dtb) x z 64 9 55 8 883donc, x 55 z8 d x d dtd t 558 z 55 d z8 dt 55 (2)89x1,8yD’où d x 1,85 m/s.dt10. a) d P d P d qdtdqdtd d t 40 2 5q d qdt442 CHAPITRE 5 Exercices 5.2

- 252q (-2)D’où d P 5 0dtq 2, exprimé en $/tm.b) Lorsque P 5040 2 5 50, ainsi q 2,5qdonc, d P 50 8 $/jourdt⎥ P 50 (2 , 5) 2> Exercices récapitulatifs (page 185)1. a) 1225 mb) v(t) -9,8t 4,9, exprimée en m/sa(t) -9,8, exprimée en m/s 2c) 4,9 m/s ; -14,7 m/sd) 1226,225 me) Environ -155 m/s2. a) 3000 individusb) 180 ind./anc) 222,2 ind./and) 3600 individuse) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.3. a) R m(q) -6q 640, exprimé en $/unitéC m(q) 10q, exprimé en $/unitéb) 12 770 $4. a) 77 cm 3 ; 25 cm 3 ; 113 cm 3b) 51 cm 3 ; 64 cm 3 ; 132 cm 3c) T r(r, h) 2rh, exprimé en cm 3 /cm30 cm 3 /cmd) T h(r, h) r 2 , exprimé en cm 3 /cm9 cm 3 /cm5. a) T(x) - 2k3xb) Laissé à l’utilisateur ou l’utilisatrice.6. a) T(x) 10 2x, exprimé en m 2 /mb) 6 m 2 /m ; -4 m 2 /mL’interprétation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.c) 5 m ; laissé à l’utilisateur ou l’utilisatrice.37. a) T r(t) , exprimé en cm/s ;23 t 40,3 cm/sb) T h(t) 6t, exprimé en cm/s ;24 cm/sc) T V(t) (27t 2 24t 3), exprimé en cm 3 /s ;environ 658 cm 3 /s8. a) T V(t) 4r 2 t, exprimé en cm 3 /minb) 1024 cm 3 /minc) 243 cm 3 /mind) T A(t) 8rt, exprimé en cm 2 /mine) 32 cm 2 /min9. a) La hauteur diminue à une vitesse d’environ0,104 cm/s.b) L’aire diminue à une vitesse de 5,95 cm 2 /s.c) L’aire augmente à une vitesse d’environ2,479 cm 2 /s.d) 132 cm10. a) Oui, car sa vitesse réelle est de 41,6 km/h.b) Environ 26,8 km/h11. a) 0,75 m/s b) Environ 1,31 m/s12. a) Le volume augmente à une vitesse de 2016 cm 3 /s.b) Le volume diminue à une vitesse de 1512 cm 3 /s.13. a) 3000 mb) 6000 m ; 120 sc) -40 m/s ; -10 m/s ; -45 m/s ; -0,83 m/s14. a) 54 cm 3 ; 12 cmb) T V(t) -3, exprimé en cm 3 /s-4c) T h(t) , exprimé en cm/s h-2d) 3 -0,21 cm/s-2e) -0,15 cm/s3 2-4f) -0,31 cm/s(4,0 83…)g) Environ 56,55 s2q15. a) R(q) 40q , exprimé en $2 00qb) R m(q) 40 , exprimé en $/unité10 0C m(q) 9, exprimé en $/unitéc) 300 calculatrices2qd) P(q) 31q 6000, exprimé en $2 00e) 3100 calculatrices ; 42 050 $f) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.5CORRIGÉ DU CHAPITRE 5 Exercices 5.2 • Exercices récapitulatifs443

Problèmes de synthèse (page 188)51. a) Environ 82,49 km/hb) Environ 83,56 km/hc) Environ 87,31 m ; environ 269 md) La démonstration est laissée à l’utilisateur oul’utilisatrice.2. a) 10 cm/s b) 82 cm 2 /s3. a) Environ 19,23 m/s b) Environ 4,45 s4. a) Les cyclistes s’éloignent à une vitesse de 20 km/h.b) Les cyclistes se rapprochent à une vitesse d’environ19,89 km/h.c) Les cyclistes se rapprochent à une vitesse de28 km/h.5. a) 1,2 m/s c) Environ 6,124 m/sb) Environ 0,358 m/s6. a) T h(t) -2 cm/min b) 6,3 cm/min7. a) T a(t) -0,2 cm/min c) 15 minb) 4,096 cm 3 d) 8 cm 38. a) Environ 0,006 9 m/minb) Environ 0,005 m/min9. a) 3 cm 3 /cm 2 ; 0,5 cm 3 /cm 2b) 16 cm 210. a) 102 4 cm 33b) d h 100 , exprimé en cm/hdt(h2 64)c) Environ -20,02 cm/hEnviron -0,66 cm/hEnviron -0,497 cm/hd) r 16h h 2e) d r dt8 h 1 6 h h 100 2 (h2 64) , exprimé encm/hf) Environ -0,88 cm/hEnviron -0,38 cm/hg) Environ 10,72 h11. a) 36 cm 3b) 180 sc) V inf(t) 0,2 t; H 1,48 cmd) d r - 0,8dt9r2 ; d r -0,02 cm/sdt⎥ r 2e) d R - 0, 32dtR ; d R d -0,016 cm/st ⎥ r 2f) d h - 8,1dt8h2 ; d h -0,05 cm/sdt⎥ r 2g) d H 0,8 ; d H 0,01 cm/sdt9(4 H) 2 dt⎥ r 212. a) d x 1 , exprimé en cm/sdt3x t 12b) Environ 0,02 cm/sc) Environ 108,95 sd) T AC(t) , exprimé en cm 2 /s63 t 12e) Environ 0,006 cm 2 /s13. a) Lorsque t 0 min, d(A, B) 1005 met d(A, E) 6,7 m.Lorsque t 3 min, d(A, B) 135 met d(A, E) 33 m.b) Lorsque t 0 min,v(bateau, quai) -375 m/min,v(bateau, rive) -12,5 m/min etv(bateau, A) -374,38 m/min.Lorsque t 3 min,v(bateau, quai) -187,5 m/min,v(bateau, rive) -25 m/min etv(bateau, A) -183,37 m/min.c) -8,3 m/min ; -16,6 m/mind) Les coordonnées du point B sont environ (83, 579).14. a) Environ 0,57 m/s ; 0,25 m/sb) Environ 0,43 m/s ; 0,25 m/sc) Taille supérieure à 1,4 md) Lorsque x 10 menviron 2,57 m/s et 2,25 m/s.Lorsque x 5 menviron 2,57 m/s, environ 2,37 m/s et 2,25 m/s.y2 10 0 y 20 2t 2 2 0 t si 0 t 10 dx15. a) 2dty2 10 -0 y 20 2t 2 2 0 t2 si 10 t 20 b) d x 4 cm/min ou dt⎥ d x 8 cm/min ;y 8 dt⎥ y 8 d x 2,83 cm/mindt⎥ x 2 2 2y 501 0 y 5001 0 y20 2t 22 20 t si 0 t 10 dAc) 2dt - y 2 2 501 0 y 5001 0 y20 2t 22 20 t si 10 t 20 2d) d A 22 cmdt⎥ 2 /min ;x 4 d A 12,26 cmdt⎥ 2 /min, ouy 6 d A -76,37 cmdt⎥ 2 /miny 6444 CHAPITRE 5 Problèmes de synthèse

9. a) x -∞ 3 ∞f (x) f (3) f -2 x 1 -0, 854… ; x 2 1; x 3 5,854…f(x)30Remarque f (3) 0 ou f (3) 0b) x -∞ 3 ∞g (x) 0 g g(3) inf.-22010x 1max.(0, 5)x 22 4 6x 3x6c) x -∞ 1 5 ∞h(x) 0 0 h h(1) h(5) inf.inf.10. a) et 3 c) et 2b) et 1 d) et 411. a) 1 f ; 2 g; 3 fb) 1 f ; 2 g; 3 fExercices 6.3 (page 233)1. a) f (x) -3x 2 et f (x) -6x;x -∞ 0 ∞f (x) 0 f (x) 0 f 2 4 2E. du G. 5 (0, 4) 4inf.f(x)inf.(0, 4)11 x( 3 4, 0)b) f (x) 3x(x 4) et f (x) 6x 12 ;x -∞ 0f (x) 0 f (x) f 1 5 2E. du G. 3 (0, 5) 4max.2 4 ∞ 0 0 -11 2 -27 1(2, -11) 5 (4, -27) 6inf.min.-10-20-30(2, -11)inf.(4, -27)min.c) f (x) 5x 4 3x 2 1 et f (x) 2x(10x 2 3) ;x -∞ 0 ∞f (x) f (x) 0 f 1 0 1E. du G. 3 (0, 0) 6inf.f(x)(0, 0)inf.11x1-2d) f (x) et f (x) ;93 (x 3) 533 (x 3) 2x -∞ 3 ∞f (x) ∃/ f (x) ∃/ f 1 -2 1E. du G. 6 (3, -2) 3inf.f(x)11 11(3, -2)inf.x454 CHAPITRE 6 Exercices 6.2 • Exercices 6.3

2-2e) f (x) et f (x) ;93 (x 4) 433 (x 4)x -∞ -4 ∞f (x) ∃/ f (x) ∃/ f 2 -3 1E. du G. 4 (-4, -3) 3min.f(x)inf.(-3, 36)(-3, 0)min.f(x)10max.(0, 81)1inf.(3, 36)(3, 0)min.xx 11x 23xh) f (x) (x 4) 2 (4x 2) et f (x) 12(x 4)(x 1);(-4, -3)x 1 -27 4min.x 2 27 4(-4, -3) est un point de rebroussement.f) dom f [-3, 3] ;-x-9f (x) et f (x) 9 x 2(9 x 2 ) 3 2x -3 0 3f (x) ∃/ 0 ∃/f (x) ∃/ ∃/f 0 1 3 2 0E. du G. (-3, 0) 3 (0, 3) 4 (3, 0)min. max. min.f(x)3x -∞ -4f (x) 0 f (x) 0 f 2 0 2E. du G. 5 (-4, 0) 4inf.-1 1 2 ∞ 0 0 -81 2 - 2187161(-1, -81) 5 1 2 , - 218716 6inf.min.61-31 3 xg) f (x) 4x(x 3)(x 3) et f (x) 12(x 2 3) ;x -∞ -3 -3f (x) 0 f (x) 0 f 2 0 1 36 1E. du G. 5 (-3, 0) 6 (-3, 36) 3min.inf.0 3 3 ∞0 0 0 81 2 36 2 0 1(0, 81) 4 (3, 36) 5 (3, 0) 6max. inf. min.inf.(-4, 0)f(x)40inf.(-1, -81)(0, -128) 1 2 , - 218716min.2( 3 x 1)2i) f (x) et f (x) ; 33 x 4 3 x1x -∞ 0 1 ∞f (x) ∃/ 0 f (x) ∃/ f 1 0 2 -1 1E. du G. 6 (0, 0) 5 (1, -1) 6max. min.xCORRIGÉ DU CHAPITRE 6 Exercices 6.3455

6b) Maximum absolu : aucunMinimum absolu : -55. a) Concavité vers le haut : -∞, 0,25]Concavité vers le bas : [0,25, ∞Inf. : (0,25, 0)b) Concavité vers le haut : IRInf. : aucunc) Concavité vers le haut : [2, ∞Concavité vers le bas : -∞, 2]Inf. : (2, 16)d) Concavité vers le haut : -∞, - 1 3 1 3 , ∞Concavité vers le bas : - 1 3 , 1 3 Inf. : - 1 3 , 4 9 et 1 3 , 4 9 e) Concavité vers le haut : [-2, 0]Concavité vers le bas : [0, 2]Inf. : (0, 0)f) Concavité vers le bas : -∞, -1] [1, ∞Inf. : aucun6. a) Les représentations sont laissées à l’utilisateur oul’utilisatrice.b) Zéros de f : -1,532…, -0,822…, 0,822… et 1,532…Zéros de g : -4 et 1Zéros de h: - 0,732…, 1 et 2,732…c) Max. rel. de f : - 5 3 , 2 42 0 7et 5 3 , 2 402 7 Min. rel. de f : (0, -5)Max. rel. de g : (-1, 108)Min. rel. de g : (1, 0)Max. rel. de h: (0, 2) et (2, 2)Min. rel. de h: (-0,732…, 0), (1, 0) et (2,732…, 0)d) Points d’inflexion de f : (-1, 4) et (1, 4)Points d’inflexion de g : (- 4, 0), (- 2,22…, 58,17…)et (0,22…, 45,32…)Points d’inflexion de h: (-0,732…, 0) et (2,732…, 0)e) Points anguleux de h: (-0,732…, 0), (1, 0) et(2,732…, 0)7. Les tableaux de variation et les esquisses de graphiquesont laissés à l’utilisateur ou l’utilisatrice.a) f (x) 3(x 1)(x 1) et f (x) 6x;max. rel. : (-1, 3), min. rel. : (1, -1), inf. : (0, 1)b) f (x) 12x(x 2)(x 1) etf (x) 12(3x 2 2x 2) ;max. rel. : (0, 10), min. rel. : (-1, 5) et (2, -22),inf. : (-0,5…, 7,3…) et (1,2…, -8,3…)c) f (x) -15x 2 (x 2 1) et f (x) -30x(2x 2 1) ;max. rel. : (1, 3), min. rel. : (-1, -1),inf. : -1, 8 72 2 8 , (0, 1) et 1, 8 72 2 8 d) f (x) 8(4 x) 2 (1 x) et f (x) 24(4 x)(x 2);max. rel. : (1, 54), inf. : (2, 32) et (4, 0)e) f (x) 4x(x 2 6x 18) et f (x) 12(x 2 4x 6);min. rel. : (0, 1)f) f (x) 4x(x 1)(x 2) et f (x) 12x 2 24x 8;max. rel. : (1, 0), min. rel. : (0, -1) et (2, -1),inf. : (0,4…, -0,5…) et (1,5…, -0,5…)g) f (x) 9x 2 (1 x 6 ) et f (x) 18x(1 4x 6 );max. rel. : (1, 0), min. rel. : (-1, -4),-inf. : 1, - 2732 8 , (0, -2) et 1, - 532 8 3(x 5)3(x 13)h) f (x) et f (x) ;29 x4(9 x) 3 2max. rel. : (-9, 7), min. rel. : (-5, -9)-1-2i) f (x) et f (x) ;3(5 x) 2 39(5 x) 5 3inf. : (5, 3)-2-2j) f (x) et f (x) ;3(5 x) 1 39(5 x) 4 3min. rel. et point de rebroussement : (5, 3)5(x 3)10xk) f (x) et f (x) ;3(x 1) 1 39(x 1) 4 3max. rel. et point de rebroussement : (1, 2),min. rel. : (3, -2,7…),inf. : (0, -4)l) f (x) (1 x)(1 x) et f (x) 2 x(x2 3) ;2(1 x ) 2 ( 1 x 2 3)max. rel. : 1, 1 2 , min. rel. : - 1, - 12 ,inf. : -3, - 34 , (0, 0) et 3, 34 5 xx 11m) f (x) et f (x) ;2(x 2) 3 24(x 2) 5 2max. rel. : (5, 4 23),min. rel. : (3, 0) et 18, - 34 ,inf. : (11, 0)2x-2(xn) f (x) et f (x) 2 3) ;3(x 2 1) 2 39(x 2 1) 5 3max. rel. : (-2, 3 3) et (3, 2), min. rel. : (0, -1),inf. : (-1, 0) et (1, 0)8. La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.460 CHAPITRE 6 Exercices récapitulatifs

9. x - ∞ - 1 3f (x) 0 f (x) 0 f 1 f(- 1) 2 f(3) 2E. du G. 3 (- 1, f(- 1)) 4 (3, f(3)) 5max.inf.5 6 8 ∞0 ∃/ 0 ∃/ ∃/ f(5) 1 f(6) 1 f(8) 1(5, f(5)) 6 (6, f(6)) 3 (8, f(8)) 6min. inf. inf.10. Les représentations sont laissées à l’utilisateur oul’utilisatrice.11. a) F e) Vb) F f) Fc) V g) Vd) F h) F12. a) 1, 3 et 7b) 3; 1c) 2, 5 et 7d) Concave vers le bas ; concave vers le haute) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.13. a) 1 f ; 2 f ; 3 fb) 1 f ; 2 f ; 3 f > Problèmes de synthèse (page 239)1. La démonstration est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.2. a) a -6, b -15 et c 24b) a -6, b 9 et c 113c) a 2 3b; f n’est jamais décroissante ; a 2 3b3. a) Laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.b) -b, f 3 a -b 3 a 4. a) f possède un max. rel. et un min. rel.; inf.: (-1, 1)b) Aucun minimum, ni maximum ; inf. : - 1 17, 3 9 c) Aucun minimum, ni maximum ; inf. : - 1 142, 3 27d) Aucun minimum, ni maximum ; inf. : (0, 0)5. Les tableaux de variation sont laissés à l’utilisateur oul’utilisatrice.6. a) Si n est pair et k 0, - b, ca est un point de minimum absolu.b) Si n est pair et k 0, - b ,a c est un point de maximum absolu.c) Si n est impair et k IR \ {0}, - ba ,c est un point d’inflexion.7. Les représentations sont laissées à l’utilisateur oul’utilisatrice.8. a) f est continue en x 2.b) f est non dérivable en x 2.c) Laissés à l’utilisateur ou l’utilisatrice.9. a) f est non continue en x 1b) f est non dérivable en x 1c) Laissés à l’utilisateur ou l’utilisatrice.10. a) f a un seul zéro réel.b) L’explication est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.11. - 3, - 32 , (0, 0) et 3, 23 12. a) La démonstration est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.b) Laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.13. Max. rel. : a, 21ainf. : 33a, 4 a ; min. rel. : -a, 2-1 , (0, 0) et -3a, 4-a ;3a14. La démonstration est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.15. Les démonstrations sont laissées à l’utilisateur oul’utilisatrice.6> Test récapitulatif (page 241)1. a) … f(x 1) f(x 2).b) … point de maximum absolu de f.c) … point de minimum absolu de f sur [a, b].d) … point de minimum relatif de f.e) … point d’inflexion de f.f) … point de maximum relatif de f.g) … le point (c, f (c)) est un point anguleux.CORRIGÉ DU CHAPITRE 6 Exercices récapitulatifs • Problèmes de synthèse • Test récapitulatif461

2. a) x -∞ -8 - 6f (x) 0 f (x) 0 f 2 -2 1 1 1E. du G. 5 (-8, -2) 6 (-6, 1) 3min.inf.f(x)max.(-2, 2)1(0, -1)inf.1(3, -4)min.x6- 4 -2 2 ∞0 ∃/ ∃/ 0 4 2 -1 1 3 1(-4, 4) 4 (-2, -1) 6 (2, 3) 3max.min.inf.inf.b) Aucunc) -2d) (-4, 4)e) (-8, -2) et (-2, -1)f) (-8, -2) et (-4, 4)g) (-6, 1), (-2, -1) et (2, 3)h) Aucuni) (-2, -1)j) -∞, -8]k) [-6, -4] [2, ∞3. a) B, C et Db) C et Ec) Entre A et B, et entre C et D ;d) Entre B et C ;e) Entre D et E ;f) Entre A et B ;g) Entre B et C, et entre C et D.4. x -∞ -2f (x) 0 f (x) f 1 2 2E. du G. 3 (-2, 2) 4max.5. a) f (x) 5(1 x)(1 x)(1 x 2 ) et f (x) -20x 3 ;x -∞ -1f (x) 0 f (x) f 2 -7 1E. du G. 5 (-1, -7) 6min.0 1 ∞ 0 0 -3 1 1 2(0, -3) 3 (1, 1) 4inf.max.f(x)max.2 (1, 1)1(0, -3)xinf.(-1, -7)min.Zéros de f : -1,618…, 0,618… et 1,275… (outilb) f (x) 3 2 x 3 et f (x) 3 technologique) ;4xx 0 4 ∞f (x) ∃/ 0 f (x) ∃/ f 5 2 1 1E. du G. (0, 5) 5 (4, 1) 6max.min.f(x)0 3 ∞ 0 0 -1 2 -4 1(0, -1) 5 (3, -4) 6inf.min.1max.(0, 5)min.(4, 1)1x462 CHAPITRE 6 Test récapitulatif

7R(x) 0 si x 53,6 ; n.c. : 53,6R(x) n’existe pas si x 0 ou x 150 ;n.c. : 0 et 150x 0 53,6 150R(x) ∃/ 0 ∃/R 1 R(53,6) 2max.Formulation de la réponse.Puisque x doit être entier, on doit calculer le revenupour x 53 et x 54, les deux valeurs entières lesplus près de 53,6.R(53) 92 926 $ et R(54) 92 928 $Puisque R(54) R(53), alors le nombre de passagerset de passagères est 214 5(54), c’est-à-dire484.16. Mathématisation du problème.a) Soit un point P(x, y) quelconque sur la courbe de f.b) d(x, y) (x 0) 2 (y 3) 2doit être minimale ; doit être maximale.c) Puisque f(x) x , alors y x .442d) d(x) x2 x 2 4 3 2, où dom d [ -3, 4].Analyse de la fonction.d(x) y(0, 3)1-3 1 422x x x 34 2x(x 2 4)2 x 2 x 2 4 3 28 x 2 x 2 4 3 2d(x) 0 si x -2, 0 ou 2 ; n.c. : -2, 0 et 2d(x) n’existe pas si x -3 ou x 4; n.c. : -3 et 4.x -3 -2d(x) ∃/ 0 dP(x, y)d 3 1742 22 1max.min.0 2 40 0 ∃/3 2 22 1 17max. min. max.xFormulation de la réponse.Les points de f les plus près de (0, 3) sont (-2, 1) et(2, 1) ; le point de f le plus loin de (0, 3) est (4, 4).17. Mathématisation du problème.a) Soit x, la distance entre O etP, et y, la distance entre A et P.O x P BPar Pythagore, OB 4 3 yD’où PB (4 x).5b) C(x, y) 12y 8(4 x) doit Aêtre minimal.c) Puisque x 2 9 y 2 , alors y x 2 9.d) C(x) 129 x 2 8(4 x), où dom C [0, 4].Analyse de la fonction.12x12x 89 x C(x) 8 9 x 2 9 x 2C(x) 012x 89 x 2 012x 89 x 23x 29 x 2 9x 2 4(9 x 2 )5x 2 36x 2 3 656Donc, x 5 -6-6 à rejeter car dom C5 5 6; n.c. : 5C(x) n’existe pas si x 0 ou x 4; n.c. : 0 et 4.6x 0 4 5C(x) ∃/ 0 ∃/C 2 1min.Formulation de la réponse.6Le point P doit être situé à km, soit environ 52,683 km de O.Le coût sera alors d’environ 58 832 816 $.18. a) Mathématisation du problème.i) Soit x, le rayon de la demisphère,y la hauteur du cylindre,et a le coût de fabricationxpar m 2 de la surface latérale duycylindre.ii) C(x, y) 4a(2x 2 ) a(2xy)doit être minimal.iii) Puisque 2 x 33 x 2y 1000, alors y 1 000 2x 2 x3 .468 CHAPITRE 7 Exercices 7.1

iv) C(x) a 8x 2 20 00 4 x 2x 3 a 20 x 2 20 003 xAnalyse de la fonction.C(x) a(40x 3 6000)23x , où dom C 0, 3 1 5 0 0 C(x) 0 si x 1 5 0 ; n.c. :3 1 5 0 .3x 0 1 5 0 3C(x) 0 C 2 1min.3 1 5 0 0 Formulation de la réponse.Le rayon de la demi-sphère et du cylindre est 1 5 0 3 ,c’est-à-dire environ 3,63 m, et la hauteur ducylindre est d’environ 21,77 m.b) Coût 8020 1 5 0 23 66 155 $3 2000 (car a 80) 1 5 0 3> Exercices récapitulatifs (page 258)1. Le premier nombre est 112,5 et le second est 37,5.2. a) Dimensions de la boîte : 5 cm sur 5 cm sur 10 cmCoût de fabrication : 6 $b) Dimensions de la boîte :250 3 500 cm sur 3 500 cm sur cm, c’est-à-dire(35 0 0) 2environ 7,94 cm sur 7,94 cm sur 3,97 cmCoût de fabrication : environ 7,56 $3. a) Prix du billet : 170 $; revenu : 46 240 $b) Prix du billet : 190 $; revenu : 45 600 $4. La base égale 28 5 cm et la hauteur égale 7 5 cm.555. a) La hauteur est environ 4,89 cm et les côtés de labase mesurent environ 31,22 cm et 14,22 cm.b) Environ 2171 cm 3c) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.6. Le dénominateur est -5 et le numérateur est -50.7. Les dimensions doivent être 20 m sur 20 m.8. La base égale 3 unités et la hauteur égale 36 unités.9. a) R - 1 13, 5 5 b) S a 2 b 6, 2a 4b 355 10. Les nombres sont 12,5 et -12,5.11. La longueur doit être 52 cm.12. a) La base égale 12 8 m et la hauteur du rectangleégale 12 38 m.b) La base égale 12 4 3 m et la hauteur du rectangleégale 12 634 3 m.13. 26 cm de hauteur et 24 cm de largeur.14. La base égale 1 6 unités et la hauteur égale 12 8 unités.3915. La largeur égale 15 cm et la hauteur égale 153 cm.16. Dimensions du terrain : 125 m sur 2 50 250 m, où m correspond au diamètre des demi-cercles.17. a) Les trois côtés mesurent 10 cm.b) Les trois côtés mesurent 2 4 300, soit environ8,32 cm.18. a) 45 m sur 35 mb) 42 m sur 39,375 m19. a) La hauteur du cylindre égale 43 cm et le rayonégale 26 cm.b) La hauteur du cône égale 30 cm et le rayon de labase égale 9 cm.160020. a) On utilise cm pour former le carré 4400et cm pour former le cercle. 4b) On utilise toute la corde, c’est-à-dire 400 cm, pourformer le cercle.21. a) L(x) (x 1) x 2 4 ; ( 3 34 1)2mxxb) L(x) x ;x2 4 16 416 3 43 m6 167CORRIGÉ DU CHAPITRE 7 Exercices 7.1 • Exercices récapitulatifs469

2. Mathématisation du problème.a) Soit x, le premier nombre, et y, le second nombre.b) S(x, y) x 4 y doit être minimale.c) Puisque xy 128, alors y 12 8 .xd) S(x) x 4 12 8 , où dom S ]0,x∞.Analyse de la fonction.S(x) 4x 3 1 282x 4(x 5 32)x 2S (x) 0 si x 2; n.c. : 2x 0 2 ∞S (x) 0 S 2 1min.Formulation de la réponse.Les deux nombres recherchés sont x 2 et y 64.3. Mathématisation du problème.a) Soit un point P(x, y) quelconque sur la courbe de f.b) d(x, y) (x 1) 2 (y 0) 2doit être minimale ; doit être maximale.c) On a y 4 x .22d) d(x) (x 1 )2 4 4 x 2, où dom d [ -2, 2].Analyse de la fonction.d(x) 2(x 1) 2x 2 (x 1 )2 4 4 x 23x 44 (x 1 )2 4 4 x 2d(x) 0 si x 4 3 ; n.c. : 4 3 d(x) n’existe pas si x 2; n.c. : -2 et 2.x -2 4 3 2d(x) ∃/ 0 ∃/d 3 2 d 4 3 1 1max. min. max.Formulation de la réponse.Le point le plus près de A(1, 0) est P 4 3 , 53 ;le point le plus loin de A(1, 0) est Q(-2, 0).4. Mathématisation duproblème.a) Soit un point P(x, y)sur la courbe de f,où x 0, ainsi labase du rectangleégale 2x.b) A(x, y) 2xydoit être maximale.c) On a y 12 x 2 .d) A(x) 2x(12 x 2 ), oùdom A [0, 23].Analyse de la fonction.A(x) 6(4 x 2 )A(x) 0 si x 2(-2 à rejeter car -2 dom A); n.c. : 2A(x) n’existe pas si x 0 ou x 23;n.c. : 0 et 23.A (2) 0 et A (2) 0, donc (2, A(2)) est un pointde maximum.Formulation de la réponse.L’aire est égale à 32 u 2 .5. Mathématisation du problème.a) Soit 2x, la largeur de la fenêtre,et y, la hauteur de la fenêtre.b) Q(x, y) 2(2xy) x22doit être maximale.c) Puisque 4x 2y 8, alorsy 4 2x.d) Q(x) 4x(4 2x) x, 2où2dom Q [0, 2].Analyse de la fonction.Q(x) 16 ( 16)x1616Q(x) 0 si x ; n.c. : 16 16 Q(x) n’existe pas si x 0 ou x 2; n.c. : 0 et 2.Q 16 16 0 et Q 16 16 0Donc, 16, Q 16 16 16 est un point demaximum.Formulation de la réponse.32La largeur égale m et la hauteur égale16 4 (8 ) m.16 6. Mathématisation du problème.a) Soit x, le nombre de fois que le prix augmente de2,50 $.Remarque x est donc également le nombre de foisoù deux personnes sont dissuadées.12xy1-4-3 -2 -1 1 2 3 42xxP(x, y)2xxxy7CORRIGÉ DU CHAPITRE 7 Test récapitulatif471

y1-1inf.max.1inf.xmin. rel. : (2, 13)max. rel. : (0, -3)ymin.i) dom f - ∞, - 1[ ]1, ∞ ; A.V. : x - 1 et x 1;A.H. : y -2 et y 2f (x) 2(x 21) 3-6xet f (x) (x 21) 54max.2xyb) dom f IR \ {1} ; A.V.: x 1;A.O. : y 4x 1 ety -4x 1-212xmin. abs. : (0, 3)min. rel. : (2, 13)y12min.3. a) Le tableau de variation est laissé à l’utilisateur oul’utilisatrice.dom f IR \ {1} ; A.V.: x 1; A.O. : y 4x 1f (x) 4 x(x( x 2)21)et f (x) 8 (x 1) 3min.2x> Exercices récapitulatifs (page 291)81. a) D 1est une asymptote verticale ; x -2.D 4est une asymptote verticale ; x 3.D 2est une asymptote horizontale ; y 1.D 5est une asymptote oblique ; y - 1 x 1.2b) i) 1ii) -∞iii) 1iv) ∞v) -∞vi) - 1 22. a) V g) Vb) V h) Fc) F i) Vd) F j) Ve) V k) Ff) F l) F3. A.V. A.H. A.O.a) x -2, x 2 y 3 aucuneb) x -3 y 0 aucunec)x -4, x 0,x 1aucuneaucuned) aucune y -3, y 3 aucunee) x -1 aucune y 4x 4f) x -2, x 2 y -5, y 5 aucuneg) x -5, x 5 y -4, y 4 aucuneh) x 2 aucune y 5x 3i) x -1, x 1 aucune y -2x 3j) x -1, x 2 aucune y 2x 2k) aucune aucune4. a) dom f IR \ {2} ; A.V.: x 2; A.H. : y -37f (x) et f (x) (2 x) 2 (2 14x) 3y -x 7,y 5x 7480 CHAPITRE 8 Exercices 8.4 • Exercices récapitulatifs

11b) dom f IR \ {-2, 2}; A.V.: x -2 et x 2; A.H.: y 5f (x) et f (x) (4 6xx 6 ( 3x 2 4)2 ) 2( 4 x 2 3)min. rel. : 0, 2 34 yy1-11min.c) dom f -∞, 2]-3x 3x(xf (x) et f (x) 3 32)228 x 34(8 x3) 3 2min. abs. : (2, 0)inf. : (0, 8)yinf.21 min.123 xd) dom f IR; A.H. : y 22 xf (x) et f (x) (x122 x(x 2 3) 1) 22 3( x 1)min. abs. : (-1, 1,5)max. abs. : (1, 2,5)inf. : -3, 8 34 ,(0, 2) et 3, 8 y34 max.inf.inf.inf.min. 1xx1 2xe) dom f IR \ {1} ; A.V.: x 1; A.O. : y x 1(x 3)(x 1)8f (x) et f (x) (x 1)2(x 1)3min. rel. : (3, 4)max. rel. : (-1, -4)ymin.12 xmax.f) dom f IR \ {-2, 2}; A.V.: x -2 et x 2; A.H.: y 0128xf (x) et f (x) (x-212 8(5x 2 4) 4) 32( x 4) 4min. rel. : (0, 2)ymin.11 xg) dom f IR \ {0} ; A.V.: x 0; A.O. : y -x 4f (x) - (x 3 64)3x et f (x) 1 92x 4min. rel. : (-4, 10)ymin.22 xh) dom f IR \ {-3, 0, 3}; A.V.: x -3, x 0 etx 3; A.H. : y 012(1 x 24(2xf (x) 2 )et f (x) 4 3x 2 3) (x 3 3x) 2 (x 3 3x) 3min. rel. : (-1, 2)max. rel. : (1, -2)8CORRIGÉ DU CHAPITRE 8 Exercices récapitulatifs481

6. a) 150 000 $, ce qui représente les coûts fixes de lacompagnie.b) 153 700 $, ce qui représente les coûts de productionpour 100 calculatrices ; 1537 $, soit le coût moyende fabrication par calculatrice pour une productionde 100 calculatrices.c) C _ C( q) (q) q 37q 1 50 000q d) lim C _ (q) 37, soit 37 $; le coût moyen de fabricationq → ∞par unité tend vers 37 $ lorsque le nombre d’unitésproduites tend vers ∞.e) A.V.: x 0 C _ (q)A.H. : y 377. a) Les points (-2, -1) et (2, 1) ; pente minimale - 1 .4Le point (0, 0) ; pente maximale 2.b) L’analyse est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.8. a) Q 1 2 , 3 22 b) 3 3 unités29. P 1(2 2, 2 2) et P 2(2 2, 2 2)10. Base 4 uHauteur 1 2 uAire 2 u 220016012080401000q11. Q 9 4 , 2 3 ; pente 2-4712. Laissé à l’utilisateur ou l’utilisatrice.13. Les représentations sont laissées à l’utilisateur oul’utilisatrice.> Test récapitulatif (page 294)81. a) i) 0 vi) 0Asymptotes horizontalesii) -5 vii) -∞iii) Non définie viii) ∞xlim2 x est une indétermination dex → -∞ (x 1)(x 5)iv) 2 ix) 1v) 3 x) -∞la forme ∞∞ .b) A.V.: x -5 et x 4xA.H. : y 3, lorsque x → -∞lim2 xx lim2 x x → -∞ (x 1)(x 5) x → -∞ x 2 4x 5A.O. : y - 1 x 2, lorsque x → ∞2x 2 1 1 x limx → -∞2. a) dom f IR \ {-5, 1}x 2 1 4 x 5x 2 Asymptotes verticalesx 30Pour x -5, lim2 x ∞ et 1 1x → -5 - (x 1)(x 5) - 6(0 - x ) lim 1x → -∞x 30lim2 x 1 4 -∞x 5x 2 x → - 5 - 6(0 ) (x 1)(x 5)Donc, y 1 est une asymptote horizontale lorsqueDonc, x -5 est une asymptote verticale.x → -∞.2 xDe façon analogue, lim f(x) 1.Pour x 1, lim est une indéterminationde la forme 0 0 .Donc, y 1 est une asymptote horizontale lorsquex → 1 - x → ∞(x x1 )(x 5)x → ∞.x x(x 1)lim2 x lim Asymptotes obliquesx → 1 - (x 1)(x 5) x → 1 - (x 1)(x 5)Lorsque x → -∞ et x → ∞, il y a une asymptote horizontale,alors il ne peut y avoir d’asymptote oblique. lim x 1x → 1 - (x 5) 6 etx x 1lim2 xb) dom f IR lim x → 1 (x 1)(x 5) x → 1 x 5 6Asymptotes verticalesDonc, x 1 n’est pas une asymptote verticale.f n’a aucune asymptote verticale.484 CHAPITRE 8 Problèmes de synthèse • Test récapitulatif

h) h(x) 3 sin 2 x cos x 3 cos 2 x sin x 3 sin x cos x (cos x sin x)x 3cos x(3x 2 cos x x 3 sin x) x 1 2 x 1i) f (x) (x 1)2. a) f (x) 7 cos (7x 1)b) g(t) 3t 2 sin (3 t 3 )c) f (x) 2x cos x 2 4(1 2x) sin (x x 2 )d) g(u) 3u 83u sin 3u 4u 2e) f (x) -sin x cos (cos x) cos x sin (sin x)cos x cos x sin x sin x2xf) f (x) (cos x) 2-3x sin (3x 4) 2 cos (3x 4)g) f (x) x 3h) v(t) -30t cos 4 (3t 2 4) sin (3t 2 4)i) f (x) 3(10x 7) sin 2 (5x 2 7x) cos (5x 2 7x)j) f (x) 7[cos (x cos x)] 6 [- sin (x cos x)] (cos x x sin x)k) f (x) [sin (x 2 1)] 7 14x 2 sin 6 (x 2 1) cos (x 2 1)l) f () 03. a) f (x) cos x; m tan f (0) cos 0 1b) g(t) -sin t; m tan g 4 -sin 4 - c) f (x) x cos x 2 sin x- 1 ; m3xtan f () 2t td) h(t) 8 sin 3 cos 3 ; mtan h() 3 33 2224. a) Il faut résoudre f (x) 0, c’est-à-dire 2 cos 2x 0.Ainsi, 2x 2 ou 2x 3 2donc, x 4 ou x 3 .4D’où les points sont 4 , 1 et 3 , -14 .b) Il faut résoudre g(x) - 1 ,6c’est-à-dire - 1 x - 1 sin 3 3 6x 1sin 3 2 .x Ainsi, 3 6 ou x 5 3 6donc, x 2 ou x 5 .2D’où les points sont 2 , 32 et 5 25. a) f (3) (x) - cos x et g (3) (x) 4 3 sin 4xb) f (6) (x) - sin x et g (6) (x) -4 6 cos 4x -3, 2 .c) f (40) (x) sin x et g (40) (x) 4 40 cos 4x6. Toutes les limites sont des indéterminations de la forme 0 . Il faut lever ces indéterminations.0a) lim sin 3x lim 3 si n 3xx → 0 x x → 0 3x 3 lim sin 3xx → 0 3x 3 lim sin y (où y 3x)y → 0 y 3 1 3b) lim sin 2x lim sin x sin xx → 0 x x → 0 x lim sin xx → 0 limc) lim cos2 x 1 lim - sin2x22x → 0 xx → 0 x sin xx → 0 x 0 1 0 -limx → 0 sin x sin xx x - lim sin xx → 0 x lim sin xx → 0 x -17. Soit H(x) y cos u, où u f(x).dydyAlors d x d u dud (notation de Leibniz)xdd (H(x)) d x d u (cos u) d (f(x))dxH(x) [-sin u] f (x)D’où H(x) [-sin f(x)] f (x) (car u f(x)).Exercices 9.2 (page 309)1. a) f (x) 3x 2 tan x x 3 sec 2 x x 2 (3 tan x x sec 2 x)b) g(x) x sec2 x tan x2x- 2csc tc) f (t) 2 cottd) f (x) e) h(x) 5(1 2 cos x) cot x 5(x 2 sin x) csc 2 x25 cot 2 x(2x sec x tan x) x 5 5x 4 (x 2 sec x)x 10x(2x sec x tan x) 5(x 2 sec x)x 6- 1 3f) x() 2 3 sec sec tan 2 3 3 sec 2 tan g) f (x) (1 sin x) csc x (x cos x) csc x cot x csc x (1 sin x x cot x cos x cot x)h) f (x) 12 sec 2 x sec x tan x 5 csc4 x (-csc x cot x) 79CORRIGÉ DU CHAPITRE 9 Exercices 9.1 • Exercices 9.2489

9 12 sec 3 x tan x 5 csc5 x cot x72. a) f (x) (3x 2 sec 2 x) sec 2 (x 3 tan x)b) f (x) 35x 6 sec (x 7 1) tan (x 7 1)c) g(t) -9 csc t cot t 7 csc 7t cot 7td) f (x) (3x 2 4) cot x 5 5x 4 (x 3 4x) csc 2 x 5dy-6xe) 5 csc x 6 cot x 6 csc x csc x cot x csc x6d xcsc 2 xcsc x6 (-6x 5 cot x 6 cot x)csc xf) f (x) 5x 4 sec 2 x 5 5 tan 4 x sec 2 xg) f (u) -5 csc 2 5u 6u 2 cot (u 3 1) csc 2 (u 3 1)h) f (x) 3 sec 3x tan 3x csc x 3 1 3 sec 3x csc x3 cot x 3 sec 3x csc x 3 3 tan 3x 1 3 cot x3 i) f () j) f (x) 1 5 (sec x sec x 5 ) (sec x tan x 5x 4 sec x 5 tan x 5 )k) f (x) 1 csc 2 (tan x) sec 2 xl) g(x) 1 csc 2 x tan x cot x sec 2 x 13. a) f (x) 2 sec 2 x tan xb) f (x) 4 sec 2x tan 2 2x 4 sec 3 2x 4 sec 2x (tan 2 2x sec 2 2x)4. a) f (x) sec 2 x; m tan f (0) 1b) g(x) 1 2 sec x2 tan x 2 ; m tan g 2 22c) x(t) cot t t csc 2 t; m tan x 4 1 2 -u csc u cot u csc ud) h(u) ;m tan h 6 5. a) (cot x) c ossin x xb) (csc x) 1 sin x sec (sec ) tan (sec ) sec tan 2u2- 4 5-123 72 2(cos x) sin x (sin x) cos xsin 2 x-sin x sin x cos x cos xsin2 x - (sin 2 x cos 2 x)sin2x-1 sin2 x(car sin 2 x cos 2 x 1) -csc 2 x car 1 csc xsin x (1) sin x 1 (sin x) sin2 x - cosx2sinx- 1 si n x c osxsinx -csc x cot xc) Soit H(x) y sec u, où u f(x).dydyAlors d x d u dud (notation de Leibniz)xd d(H(x)) d x d u (sec u) d(f (x))dxH(x) [sec u tan u] f (x)D’où H(x) [sec f(x) tan f(x)] f (x).(car u f(x))Exercices 9.3 (page 316)1. f (x) -cos x sur - ,2 ; n.c. : 2 x - 22 f (x) ∃/ 0 ∃/f 3 inf.Le point 2 , 3 est un point d’inflexion.2. a) f (x) 1 cos x 0 pour tout x IR(car - 1 cos x 1), d’où f est toujours croissanteet, par conséquent, f ne possède pas de minimumni de maximum.b) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.3. a) f (x) sec 2 x csc 2 x1 1 co s 2 x sin2 x si n 2x co 2xsin2x cos sx2f (x) 0 si x 4 D’où 4 , 2 est le point stationnaire de f.b) x 0 4 2 f (x) ∃/ 0 ∃/f ∃/ 2 2 1 ∃/min. abs. : 2max. abs. : aucunmin.490 CHAPITRE 9 Exercices 9.2 • Exercices 9.3

(100 sec 2 ) 12,xd’où d b2 (d x) 2 v 1xx2 a 1200 sec 2 , exprimée en m/min.2 d x v2dtxb) Si d 400, alors sec 4,x2 a 2 v 1d’où d xd x v2 19,2 km/min.dt⏐ b2 d 400 (d x) 2c) Puisque d xD’où s in1 v 1 . 1200 sec 2 et que sec 2 1,sin2v2dtalors d 2xx est minimale lorsque sec 2 1,dte) d x2T 1dx 2 v 2 a 2 x2a 2 1 x 2 a 2c’est-à-dire 0°.D’où la vitesse minimale égale 1,2 km/min, et la-b 2 (d x) 2 (d x)(d x)( -1)source lumineuse est dirigée à cet instant vers le1b 2 (d x 2 )point A. v2b 2 (d x) 210. a) PR a 2 x 2 et QR b 2 (d x) 21 x 2 a 2 x2 PR QRv1 (xb) T 1 et T 2 2 a 2 ) 3 2v1 v21 -(b 2 (d x) 2 ) (d x)2c) T x2 a 2 b2 ( d x) v22 [b 2 (d x) 2 ] 3 2v1v21d) d T a xd x 1 b22 ;v1 (xvdx2 a 2 ) 3 22 [b 2 (d x) 2 ] 3 2v1 x 2 a 2 v2 b 2 ( d x) 2 d T xd x donc, d 2T 0dx 2 0dxv 2b 2 (d x) 2v1 x 2 a 2xd xAinsi, lorsque d T 0, nous obtenons un minimum. dxv2 b 2 (d x) 2v1 x 2 a 2> Exercices récapitulatifs (page 319)1. a) f (x) 3 cos 3x 3 cos x2. a) f (x) 5 sec 2 5x 3 sec x tan x 8 sin 3 (-2x) cos (- 2x)b) f (x) -3 sin 3x 6 cos 2 2x sin 2x2x tan x x 2 sec 2c) g(x) (2x sin x) cos (x 2 cos x)b) f (x) 2xxd) f (t) 2t sec 2 t 2 2 tan t sec 2 ttan2 xe) f (u) - 2u sin (tan u 2 ) sec 2 u 2cot x cscc) g(x) 2 xf) f (x) (12x 3 2) sec (3x 4 2x) tan (3x 4 2x)33 (x cotx) 2 g) f () - 3 csc22 3 2 3 2 csc2 3d) f (x) 6(x 7 sec x) 5 7x x 7 sec x tan x6 sec x 2x -csch) f (x) 2 x x sec x2 tan x 2 e) h(x) 2 sin x cos 4 x 3 sin 3 x cos 2 x2x secx2 sin x cos 2 x (2 cos 2 x 3 sin 2 x)i) f (x) 3x 2 sec 2x 2x 3 sec 2x tan 2xf) f (x) 2x (3x x 2 sec 2x (3 2x tan 2x)2 tan x 2 2x 4 sec 2 x 2 )g) f () -cos [tan (cos )] sec- 5tj) x(t) 4 csc 5t cot 5t 4t 3 csc 5t2 (cos ) sin t 8x sec (sin xh) f (x) 2 ) tan (sin x 2 ) cos x2csc 5t (-5t cot 5t 4)sec(s in x 2 ) t5(cos 3x 3x sin 3x)(xi) v(x) 2 2) 2x 2 cos 3xk) f (x) 12 tan 2 4x sec 2 4x 35 sec 5 7x tan 7x(x 2 2) 2l) g(x) 36x 2 63 cos 7x 3x 2 csc (1 x 3 ) cot (1 x 3 )3 secj) f (x) 2 3x (1 cot 2x) 2 tan 3x csc 2 2xm) f (x) sec (sin x) tan (sin x) cos x cos (sec x) sec x tan x(1 cot 2x) 2n) v(t) 1 cos 2 t sin 2 t 2 sin 2 tk) x(t) 5 o) f (x) 5x 4 (1 sec 2 x 5 ) sec 2 (x 5 tan x 5 )3 sec t3 tan t 3 6 t 2 csc 2 2 t 3p) f (x) csc 2(x 4) x 1 2 x 4 l) f (x) csc - x2 2x csc2 - x2 cot - x2 9CORRIGÉ DU CHAPITRE 9 Exercices 9.3 • Exercices récapitulatifs493

Analyse de la fonction.288(2 )A() ; n.c. : 2( 2)3 0 2 2A() ∃/ 0 ∃/A 1 2max.Formulation de la réponse.Rayon : 6 mAngle au centre : 2 radiansb) Puisque A 25 sin cos ,2alors d A 2 5(cos 2 sin 2 ) d .dt2dtAinsi, d A dt⏐ 2 5 2 cos 2 6 sin2 6 (0,03) 0,1875 cm 2 /sc) Mathématisation du problème.A() 25 sin cos doit être maximale,2où dom A 0, 2 . 697. Soit y, la hauteur du triangle, et x, la longueur de labase du triangle.5 cmxa) Puisque y 5 sin , alors d y 5 cos d .dtdtAinsi, d y dt⏐ 3y 5 cos 3 (0,03) 0,075 cm/s.Analyse de la fonction.A() 2 5 [cos 2 sin 2 ] ; n.c. : 24 A() -50 sin cos Puisque A 4 0 et A 4 0, alors le point 4 , A 4 est un point de maximum.Formulation de la réponse. 4 et l’aire maximale égale 6,25 cm2 .CORRIGÉ DU CHAPITRE 9 Test récapitulatif497

109000 3Q(t) (ln 3) 2 (9 3 t ) ; n.c. : 2(9 3 t ) 3 g) f (x) 10 log9 x 10 10x 100 logx 1 0ln 10 x 10 x ln 10t 0 2 ∞ h) f (x) 4x 3 4x3ln x 4 4(1 ln x 4 )8xx 5Q(t) ∃/ dy8[ln (xei) )] 7 (e x xe x ) 8(1 x) ln(xe x ) Q(t) ∃/ 0 d xxexxf (x)D’où H(x) , car u f(x).f(x)Q 100 1 500 1 1000 j) g(x) 0E. du G. (0, 100) 6 (2, 500) 3k) h(w) 0min.inf.3. Soit H(x) y ln u, où u f(x).Q(t)dydyAlors d x d u(t.m.)x(notation de Leibniz)1000dd (H(x)) d x d u (ln u) d (f(x))dx1H(x) f (x)500 inf.u100min.1Exercices 10.3 (page 353)1. a) f (x) 1 ln x2xdyb) 4x 3 ln 5 x 5x 3 ln 4 x x 3 ln 4 x (4 ln x 5)d x1c) v(t) 3 2logtt ln 3 t ln10dd) zd x lo g x lnxx x ln10dy1e) d u 2u ln udyf) 5(x ln 2 x) 4d x 1 2 l n xx (ln x 1)e ln x 1 x ln xg) g(x) x (x ln x)ex(e x ex) 2h) d x 0dt1 1 12. a) f (t) t 2 t 2 t312xb) g(x) (3x4 1) ln 2dy1c) d x 4x ln x1d) f (x) x 3 log x 13x 2 x ln 10 e) h(v) 5(v ln v 2 ) 4 1 2 v dyf) d x13 x ln 3 x l n 3(3 x log 3x) ln 1 2 t (a)4. a) Puisque ln 1 0, la courbe coupe l’axe des xen x 1.Ainsi, y f( 1) f (1)x 1y 0 1 x 1 car f (x) 1 x D’où y x 1.b) Puisque l’équation de la droite est y 1 x 1,4il faut résoudre f (x) 1 4 .Ainsi, y f( 4) 1 x 4 4 1 x 1 4 , donc x 4D’où y 1 x ln 4 1.45. g(x) 1 8 x 1 2x 2 (x 6) ( x 2)2xn.c. : 2 et 6 ; puisque dom g ]0, ∞, 0 n’est pas unnombre critique.x 0 2 6 ∞g(x) ∃/ 0 0 g ∃/ 1 -4 8 ln 2 2 4 8 ln 6 1max.min.max. rel. : (2, -4 8 ln 2) et min. rel. : (6, 4 8 ln 6)2x6. a) f (x) 1 ( x 1) 2 0 ∀x IRx22 1 x 1D’où f est croissante sur IR.b) f (x) 2 ( 1 x 2)( x 2; n.c. : -1 et 12 1)502 CHAPITRE 10 Exercices 10.2 • Exercices 10.3

D’où P 42 412 hab.d) Si P 23 000 habitants, alors t 25 ansD’où année 1975 25, soit l’an 2000.e) plot(5000*((2.5)^(t/15)),t0..40,P0..50000) ;PN(t)1 000 000100 000min.1t(sem.)5000f) plot(15*ln(P/5000)/ln(2.5),P0..70000,t0..50) ;t(a)10t(a)9. a) dom f IRA.H. : y 0f (x) e x (x 2 2x 3) et f (x) e x (x 2 4x 1)inf. : (-4,2…, 0,2…) et (0,2…, -3,7…)max. rel. : (-3, 0,29…)ymin. abs. : (1, -5,4…)inf. max. 11xinf.min.106. a) k ln 0,435000 50 000Pb) dom f IR \ {3} ;A.V.: x 3-2f (x) et f (x) 3 x (3 -2x) 2yb) Q(t) 20 ln 0,4ln 0,4 t e 33c) Environ -1,33 kg/h ; environ 4,34 kg7. a) P(0) 20 000 personnesb) P(2) 710 921 personnesc) t 2,85 joursd) P(t) 9 9 4 0000002t - 2e ( 99et 0, ∀t dom P2 1)e) 2 000 000. L’interprétation et l’esquisse du graphiquesont laissées à l’utilisateur ou l’utilisatrice.8. a) Environ 2 semainesb) 1 000 000 disques1 000 000e - t3c) N(t) 0 sur ]0, ∞, d’où N est3croissante sur [0, ∞.11c) dom f IRA.H. : y 0(1 xf (x) 2 )2e x 2x(xet f (x) 2 3)2e x 2inf. : (-3, -0,38…), (0, 0) et (3, 0,38…)min. abs. : (-1, -0,6…)ymax. abs. : (1, 0,6…)1 max.inf. inf.xinf. min.1x10-1 000 000e - t3d) N (t) 0 sur ]0, ∞, d’où TVI est9décroissant sur ]0, ∞.e) A.H. : y 1 000 000min. abs. : (0, 0)d) dom f IRf (x) ( x 12x ) 21et f (x) 2 2( x 1)( 2x 1)2inf. : (-1, -1 ln 2) et (1, 1 ln 2)CORRIGÉ DU CHAPITRE 10 Exercices récapitulatifs505

f(x)13. a) P(2, e - 2 )b) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.11min.xc) Tangente à la courbe de f au point P(2, e - 2 )14. x 1 -7,3693, x 2 -1,4505 et x 3 1,523415. 1 unité sur 1 unitéeg(x) x 2 (3 x) g(x) etxeg(x) x(x 2 6x 6) 1xeinf.inf. de g : (0, 0)(3 3, 0,57…) et(3 3, 0,93…)max. abs. de g : (3, 1,34…)11. P(-3, 1)max.inf. inf.1x216. a) u 2 eb) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.17. Environ 1,95 ans118. x et ln 0,4819. a) Q(t) 0,05eb) Environ -9 10 - 4 (mo l/L)s 201012. a) L’esquisse est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.b) i) -1 1 , 2 e ii) 1 1 , 2 e c) … d’inflexiond) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.c) Environ -1,8 10 - 3 (mo l/L)sd) Environ -4,2 10 - 4 (mo l/L)se) Environ -1,5 10 - 3 (mo l/L)s> Problèmes de synthèse (page 360)1. a) (sinh x) cosh xb) (cosh x) sinh xc) La démonstration est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.d) plot([sinh(x), cosh(x)],yx-3..3,y-6..6) ;d2. a) yd x xe x 1xe y3. 2dyb) y ln 10 (1 ln x)d xcosh xsinh xdy2xy 3 ye xyc) d x xexy 3x 2 y 2dyy(y cos x ln y)d) d x sin x xy4. a) La démonstration est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.dyb) e x e - xetd x 221xy1 d x y2 1 1 dyy y2 1 y2 1c) La vérification est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.5. a) v(t) ae t be - t , exprimée en cm/s.b) a(t) a 2 e t + b 2 e - t , exprimée en cm/s 2 .e x si x 06. a) f(x) 1 si x 0e - x si x 0b) f est continue en x 0.c) f n’est pas dérivable en x 0.d) O(0, 0) est un point anguleux.e) A.H. : y 0 with(plots) : c1 :plot(exp(x),x-3..0,y0..2) : c2 :plot(exp(-x),x0..3,y0..2) : display(c1,c2) ;y2max.1xCORRIGÉ DU CHAPITRE 10 Exercices récapitulatifs • Problèmes de synthèse507

Analyse de la fonction. d 2 x ; n.c. : 2dx2(x 2 x 1) x 1x 1 2 ∞ d dx∃/ 0 0 1 2max.Formulation de la réponse.L’angle est maximal lorsque la droite passe par lepoint P(2, f(2)), c’est-à-dire P(2, 1).7. cot (Arc cot x) x(car y Arc cot x ⇔ x cot y par définition)[cot (Arc cot x)] (x)(en dérivant les deux membres de l’équation)[-csc 2 (Arc cot x)](Arc cot x) 1(car [cot f(x)] [-csc 2 f(x)] f (x))Puisque nous cherchons la dérivée de Arc cot x, nousavons1(Arc cot x) - csc2 (Arc cot x)-1 cs c 2(car Arc cot x y)y-1 (car csc 2 y 1 cot 2 y)1 cot 2 y 1 -1x 2Exercices 11.3 (page 386)(car cot y x).1. a) 3e) 4,6122…b) Non définie f) 3,2417…c) g) 2 d) 2 h) 5 23x 4x 3 Arc sec xdyx 2. a) 2 1d xx8x 3 (1 4x 2 1 Arc sec x)x 8 x 2 1cos b) f () (2 sin ) (2 sin ) 2 11c) f (x) (3 Arc sec x) (3 Arc cx) se 2 13 15(Arc sec xd) g(x) 5(Arc sec x 3 ) 4 3 ) 4xx6 1 xx6 1e) f (x) (3x 2 csc 2 x) Arc csc x -5tf) f (t) 4(t 5 1)(t 5 1) 2 1-1g) h(x) 1 1 xx2 (x Arc csc x) (x Arc csc x) 2 1-(3xh) f (x) 2 cos x)2Ar ccs c(x 3 nx) si (x 3 sin x)(x 3 nx) si 2 1di) yd x 7(Arc sec x 2 sec x 3 ) 6 2xx 4 1 3x 2 sec x 3 tan x 3sec u tan u 3u 2j) f (u) (sec u u 3 )(s ecu u 3 ) 2 14 Arc csc 4 ln 4 Arc sec 2xk) f (x) x4(4x ) 2 x4x8 1 1l) v() 1 -13. a) f (x) xx 2 1 y f( 2) f (2)x 2y 6 -1 x 2 2 3y 6 -1 (x 2)23-1D’où y x 2 3 6 13 .1 1 1b) g(t) t t 1 2t 2t t 1 y g( 4) g(4)t 4y 3 t 4 83y 1 (t 4)3831183123D’où y t 3 .x 3 cot xxx2 1- 1xx2 1 1> Exercices récapitulatifs (page 389)1. a) 0,643… rad c) 0,614… radb) 0,841… rad2. a) 0,8b) 0,970… rad11CORRIGÉ DU CHAPITRE 11 Exercices 11.2 • Exercices 11.3 • Exercices récapitulatifs515

c) - rade) -0,980…2d) Non définie f) 1,657… radu3. a) x 2 c) 1 u 2b) 1 t 23x4. a) f (x) 2 31 (x3 3x) 2 4xb) g(x) 5[x Arc tan 2x] 2 14 1 4x2dycos x 1c) d x (sin x x)(s in x x) 2 15d) f (u) Arc sin u 5 u 51 u 10x(2x cos x x 2 sin x)Arc sin x 2 cosx 1 x 2e) h(x) (Arc sin x) 2-2(1 xf) f (x) 2 )(1 x 2 ) 2 1 21 x x 22dzsin xg) cos x Arc tan x d x2Arc tan x (1 x 2 )-24h) f (x) (2x 1)(2x 1) 2 1 xx8 1-ei) g(x) x[(e x ) 2 1] Arc cot (e x )4[Arc sec (Arc tan x)]j) f (x) 3Arc tan x (Arc tan x) 2 1 (1 x 2 )Arc cos t Arc sin tk) x(t) 1 t 2 (Arc cos t) 23 sin tl) v(t) 2t cos t Arc cot 3t 1 9t 2-(3x 2 cos x)m) f (x) 2Arc cos(x 3 sin x)1 (x 3 sin x) 2n) d Arc sin xu e [1 Arc sin x]dx1 x 25. a) y 2x 1 b) y - 1 x 2 4 6. y t 4 17. b 6 319. a) f (x) 0, ∀x ]1, ∞xx 2 1D’où f est croissante sur [1, ∞.1 2xb) f (x) 2 0, ∀x -∞, -1] [1, ∞x2(x 2 1)x 2 1D’où f est concave vers le bas sur -∞, -1] [1, ∞10. a) (4, 3)b) 4 1 4 3 , 3 6 et 4 1 4 3 , 3 6 c) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.11. a) dom f [-1, 1]f (x) Arc sin x; n.c. : 01f (x) ; n.c. : -1 et 11 x 2max.-1f(x) 2min.b) dom g IR-1g(x) ; n.c. : aucun1 ( 3 x) 22( x 3)g(x) ; n.c. : 3[1 ( 3 x) 2 ] 2A.H. : y 0 et y g(x)c) dom x -2 2 , 3 3 3(1 4 3t )x(t) 2;4 3t 2-22n.c. : , -1, 1 et 3 333tx(t) ; n.c. : 0(4 3t 2 ) 3 211max.xinf.x118. a) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.b) Croissante sur -∞, -2] [2, ∞;Décroissante sur [-2, 2] ;Max. rel. : (-2, Arc tan 16) ;Min. rel. : (2, Arc tan (-16)).c) A.V.: y - et y 2 2 min.max.-1 2x(t)inf.0,21min.max.t516 CHAPITRE 11 Exercices récapitulatifs

d) dom f IR- 4xf (x) ; n.c. : 01 x 4f (x) 4 ( 3x 4 1)-11;( 1 x 4n.c. : et 2) 43 43A.H. : y - y2 max. 2inf. inf.- 2b) Q 1 , 43 3 ; pente maximale 4 2713. a) Arc tan x 7 5 b) d dt 562575 x d x2 dtc) -0,12 rad/min ; -0,1875 rad/mind) 25 mètres1 2-12. a) P 1 , 43 3 ; pente minimale - 4 27x14. a) Arc tan 1 8x et Arc tan 6 x b) Arc tan 1 8x Arc tan 6 x c) d 12 mètres> Problèmes de synthèse (page 390)1. a) d) 1 2 12b) 2x 1 x 2 e) 1c) 2t 2 1 f) u 2 1 u 2 u 1 u 4A.O. : y x , lorsque x → -∞ ety x, lorsque x → ∞.y2. a) f (x) 0b) La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.dy-2(1 y 2 ) Arc tan y3. a) d xxdy3(1 x 2 y 2 )b) d x x 1 x 2dy3x 2 (1 y 2 )d) d x eArc tan y4. y - 2 3x et y 3 2 x xy dyy y 4 1c) d x 2 3y 3y 4 15. La démonstration est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.inf. 2b) dom f IRf (x) 2( 1 x 2); n.c. : -1 et 121 x-8xf (x) ; n.c. : 0(1 x 2 ) 2A.O. : y -2x , lorsque x → -∞ ety -2x 3, lorsque x → ∞.yx6. 12,53°La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.7. A ( 23) 26 unité 272La représentation est laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.min.max.inf.x8. a) dom f IRxf (x) ; 2 n.c. : 01 x 2f (x) ; n.c. : 0(1 2xx 2 ) 2c) dom f [-1, 1[f (x) -2 Arc tan x; n.c. : -1 et 011CORRIGÉ DU CHAPITRE 11 Exercices récapitulatifs • Problèmes de synthèse517

f (x) ; n.c. : aucun1 -2x 2-1min.9. a) 0,98… rad ; 93,745°y-1max.1xb) d b cos d dtc cos dt10. Environ 29,93 mètres11. a) y 22 20 sin b) v y 4 cos 3c) v x - 4 sin 3d) k, où k {0, 1, 2, 3, …}e) Laissée à l’utilisateur ou l’utilisatrice.f) Laissées à l’utilisateur ou l’utilisatrice.> Test récapitulatif (page 392)111. csc (Arc csc x) x(car y Arc csc x ⇔ x csc y, par définition)[csc (Arc csc x)] (x)(en dérivant les deux membres de l’équation)[-csc (Arc csc x) cot (Arc csc x)](Arc csc x) 1(car [csc f(x)] [-csc f(x) cot f(x)] f (x))D’où on obtient :(Arc csc x) 1-csc (Arc csc x) cot (Arc csc x)1 (car Arc csc x y)csc ȳ cot y1x cs 2-c y 1(car csc y x etcot y cs c 2 y 1,-1x x 2 1or y 0, 2 , 3 2 d’où cot y cs c 2 y 1)(car csc y x). 3 (x Arctan2x) Arc sin (3x 1)1( 3x 1 )1 21 24x 22. a) f (x) (x Arc tan 2x) 2-56[Arc csc (2tb) h(t) 2 )] 32Arc cot5t (1 25t 2 ) t 4t 41-4x Arc cos x (Arc cos xc) g(x) 2 Arc sec (x 1)2 ) 21 x (x 1)(x 1)2 4 13. d y dy d x (notation de Leibniz)dtd x dtd (Arc tan x) d xd xdt 1 1 x d x2 dtD’où d y dt⏐ t 2 1 120 d x 1 2 dt⏐ t 2 4 01 (18) 18 .4014. a) dom f [1, 3]-1f (x) ; n.c. : 1 et 31 ( x 2) 2(2 x)f (x) ; n.c. : 2(1 (x 2)2) 3x 1 2 3f (x) ∃/ ∃/f (x) ∃/ 0 ∃/f 1 2 2 1 2 1 2 E. du G. 1, 1 2 5 (2, 1) 4 3, 1 2 y1max. inf. min.max.1 2b) dom v IR-3t v(t) ; 2 n.c. : 01 t 6v(t) 6t ( 2t 6 1) ; n.c. : 0, -2( 1 t6 0,5 et 6 0,56)inf.min.zéro : x 2,841...lim v(t) , donc y est une asymptote horizontalelorsque t →t → -∞-∞.lim v(t) 0, donc y 0 est une asymptote horizontalelorsque t →t → ∞∞.x518 CHAPITRE 11 Problèmes de synthèse • Test récapitulatif

t -∞ - 6 0,5et y Arctan(-1) 1 x (-1)2 v (t) v(t) 0 y 4 1 (x 1).2v 2 2,18… 2D’où y 1 2 x 1 2 4 .E. du G. 4 (- 6 0,5, 2,18…) 56. Mathématisation du problème.inf.P(x) (3x Arc cot x) 3 1 1x 20 6 0,5 ∞doit être maximale, où dom P IR.0 Analyse de la fonction.-2x0 0 P(x) ; n.c. : 0(1 x 2 ) 2 2 0,95… 2 02 x -∞ 0 ∞ 0, 2 4 ( 6 0,5, 0,95…) 5P(x) 0 P 1 4 2inf.inf.max.v(t)Formulation de la réponse.La pente de la tangente à la courbe est maximale auinf.inf.point (0, g(0)), c’est-à-dire 0, - 2 .inf.La pente maximale g(0) 4.11 t- x27. Puisque sin , 6 05. Il faut d’abord résoudre f (x) 1 2 .alors Arc sin x 6 0 ,60 mx1 1 1 x 2 2 d d dtd x Arc sin x 6 0 d xdtdonc, x 1 ou x -1. d 1 x .Ainsi, y Arctan 1 1 dtx 1 2 60 1 x60 2y 4 1 (x 1)En posant d x 5 et x 20, on obtient2 dtD’où y 1 2 x 4 1 2 d 0,088… rad/s.dt⏐ x 2011CORRIGÉ DU CHAPITRE 11 Test récapitulatif519

Aide-mémoireFactoriellen! n(n 1)(n 2)…3 • 2 • 1, où n IN0! 1Remarque Les propriétés suivantes ne s’appliquentque si les expressions sont définies.Lois des exposantsa m a n a m nm a a n a m n(a m ) n a mn a -m a1m (ab) m a m b m a o 1 a b m a b m mf (x) ∆limx→ f(x ∆ x) f(x)0 ∆xf (x) limt→x f(t) f(x)t xB. PropriétésFonctionDérivée1. k f (x) 1. k f (x)2. f (x) g(x) 2. f (x) g(x)3. f (x) g (x) 3. f (x) g(x) f(x) g(x)f (x)f (x) g (x) f (x) g (x)4. 4. g(x)g 2(x)5. [ f (x)] r 5. r[ f (x)] r – 1 f (x)6. f (g(x)) 6. f (g (x))g(x)Radicauxa n a n a n1 nb anbma n a m ( n a) m n na n ⏐a⏐, si n est pair. n ab n a n b n a n a, si n est impair.Propriétés des logarithmeslog a(MN) log aM log aNlog a M N log a M log a Nlog a(M k ) k log aMlog aM l ogbMlogbalog a log 10aln a log ealog a1 0log aa 1log ab c ⇔ a c bln A B ⇔ e B Ae ln A Aln e B Bln Aex x c A cDÉRIVATIONA. Définitionsf (x) limh→0 f(x h ) f(x)hC. Formules de dérivationFonctionDérivée1. k, constante 1. 02. x, identité 2. 13. x a , où a IR 3. ax a 14. sin f (x) 4. [cos f (x)] f (x)5. cos f (x) 5. [-sin f (x)] f (x)6. tan f (x) 6. [sec 2 f (x)] f (x)7. cot f (x) 7. [-csc 2 f (x)] f (x)8. sec f (x) 8. [sec f (x) tan f (x)] f (x)9. csc f (x) 9. [-csc f (x) cot f (x)] f (x)10. a f(x) 10. a f(x) ln a f (x)11. e f(x) 11. e f(x) f (x)12. ln f (x) 12. f (x)f(x)f ( x)13. log af (x) 13. f( x) lnaf ( x)14. Arc sin f (x) 14. 1 [ x) f(] 2-f ( x)15. Arc cos f (x) 15. 1 [ x) f(] 2f (x)16. Arc tan f (x) 16. 1 [ f(x)] 2-f (x)17. Arc cot f (x) 17. 1 [ f(x)] 2f (x)18. Arc sec f (x) 18.f(x)[ f x ( )] 119. Arc csc f (x)-f (x)19. f(x)[f (x )]2 1526