Polynômes sur F p et corps finis

Polynômes cyclotomiquesUniversité d’Aix-MarseillePréparation à l’agrégation : Option Chttp://iml.univ-mrs.fr/~kohel/tch/Agreg/Polynômes sur F p et corps finisSoit Φ n (x) le polynôme cyclotomique défini récursivement parx n − 1 = ∏ m|nΦ m (x).En particulier, Φ 1 (x) = x − 1 et pour p premier, Φ p (x) = x p−1 + · · · x + 1.Rappel. La caractéristique d’un anneau A (unitaire) est le générateur (non-négatif) dunoyau de l’unique homomorphisme Z → A.Propriétés des polynômes cyclotomiques en caractéristique 01. Φ n (x) ∈ Z[x]2. Φ n (x) est irréductible dans Q[x].3. deg(Φ n (x)) = ϕ(n) (= |Z/nZ ∗ | par définition)4. Dans C[x], on aoù ζ n = e 2πi/n .Φ n (x) =∏k∈Z/nZ ∗ (x − ζ k n),5. Q[x]/(Φ n (x)) ∼ = Q(ζ n ) et Gal(Q(ζ n )/Q) ∼ = Z/nZ ∗Les groupes cycliques µ n = {ζ k n | k ∈ Z/nZ} des racines n-ièmes de l’unité sont les seulssous-groupes finis de C ∗ , et les polynômes cyclotomiques sont les polynômes minimauxde ces éléments distingués. Par ailleurs, tous les éléments non nuls d’un corps fini ontun ordre fini (et le groupe F ∗ q est un groupe cyclique), donc les polynômes cyclotomiquesjouent un rôle important dans la théorie des corps finis.Propriétés des polynômes cyclotomiques en caracteristique p1. Si n = p r − 1, alors Φ n (x) est un produit de polynômes de degré r.2. Si m et p sont premiers entre eux, alors Φ m (x) est un produit de polynômes de degrés, où s est l’ordre de p dans Z/mZ.3. Si n = p t m, avec m et p premiers entre eux, alors Φ n (x) = Φ m (x) ϕ(pt) .Théorème 1 Pour chaque p premier et r ≥ 1, il existe un et un seul corps, à isomorphismeprès, avec q = p r éléments.On peut construire “le” corps fini à q = p r éléments, comme F q = F p [ζ n ] où le polynômeminimal de ζ n est un diviseur f n (x) de degré r du polynôme cyclotomique Φ n (x), pour

n = q − 1. En général (voir les exercices ci-dessous) il y a plusieurs choix de diviseurirréductible de Φ n (x), et si m|n, (m ≠ n) est tel que l’ordre de p est (toujours) r modulom (dans le quotient de groupes Z/nZ ∗ → Z/mZ ∗ ), on a F p [ζ m ] ∼ = F p [ζ n ].Éléments primitifs de F q /F p et F ∗ qDans une extension L/K, on dit que α ∈ L est un élément primitif (relatif à K) siL = K[α]. Pour toute extension finie de corps, il existe un élément primitif. Pour un corpsfini K = F q un élément α du groupe F ∗ q est primitif si et seulement si l’ordre de α est q −1.Dans le premier cas, la définition de primitif concerne la propriété d’être un générateur deL comme K-algèbre et dans le deuxième elle concerne la propriété d’être un générateurdu groupe K ∗ . Un polynôme de degré r dans F p [x] est dit primitif si et seulement s’il estle polynôme minimal d’un élément primitif de F ∗ p r.Exercices1. Combien d’anneaux (commutatifs) d’ordre 4 est-qu’il y a ?2. La factorisation de Φ n (x) dans F p [x] montre que r divise ϕ(p r − 1). Plus généralement,pour tout entier a > 1 et r ≥ 1, démontrer que r divise ϕ(a r −1). (Indication :utiliser le théorème de Lagrange.)3. Trouver les premiers p et les entiers r ≥ 1 tel qu’il existe un seul polynôme primitifde degré r dans F p [x].4. Montrer qu’il existe un polynôme irréductible pour tout premier p et entier r.5. Montrer qu’il existe un polynôme primitif pour tout premier p et entier r.6. Démontrer l’unicité du corps de q éléments dans Théorème 1.7. Montrer que x p − x − a est irréductible dans F p [x] pour tout a dans F ∗ p.8. Déterminer la factorisation de Φ 7 (x) dans F 2 [x].9. Décrire les éléments primitifs de F 2 3/F 2 et de F ∗ 2 3 en termes de racines des polynômescyclotomiques.10. Déterminer la factorisation de Φ 15 (x) dans F 2 [x].11. Décrire les éléments primitifs de F 2 4/F 2 et de F ∗ 2 4 en termes des racines des polynômescyclotomiques.12. Trouver des isomorphismes :etF 2 [ζ 15 ] = F 2 [x]/(x 4 + x + 1) −→ F 2 [ζ 5 ] = F 2 [x]/(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1),F 2 [ζ 15 ] = F 2 [x]/(x 4 + x + 1) −→ F 2 [ζ ′ 15] = F 2 [x]/(x 4 + x 3 + 1).13. Montrer que φ(α) = α p est un homomophisme d’anneaux A → A pour tout anneauA de caractéristique p premier. Il s’appelle l’endomorphisme de Frobenius (oul’automorphisme de Frobenius lorsqu’il est un isomorphisme).14. Montrer que tout homorphisme d’un corps K est injectif, et conclure que l’endomorphismede Frobenius est un automorphisme dans le cas d’un corps fini.15. Soit φ : F q → F q l’automorphisme de Frobenius, où q = p r . Déterminer les élémentsfixés par φ et par φ r .16. Démontrer que Gal(F q /F p ) = 〈φ〉, un groupe cyclique d’ordre r.