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Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6SYSTEMES DYNAMIQUES MICROBIENSQuelques Problèmes de Microbiologie Prévisionnelle(INRA-MIA, ISC, ARC INRIA EPS)


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 61 Caractéristiques2 Objectifs3 Identification4 Approches choisies5 Illustrations6 Méthodologies7 Applications à Listeria Monocytogenes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Caractéristiques des systèmes dynamiquesmicrobiens de type alimentaireComplexité structurelle◮ écosystèmes bactériensComplexité fonctionnelle◮ modèle primaire : évolutions bactériennes(variables d’état) → inobservables directement◮ modèle secondaire : évolutions des dynamiques◮ modèle d’observation : prélèvements etcomptages → erreurs importantes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Caractéristiques des systèmes dynamiquesmicrobiens de type alimentaireComplexité structurelle◮ écosystèmes bactériensComplexité fonctionnelle◮ modèle primaire : évolutions bactériennes(variables d’état) → inobservables directement◮ modèle secondaire : évolutions des dynamiques◮ modèle d’observation : prélèvements etcomptages → erreurs importantes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Caractéristiques des systèmes dynamiquesmicrobiens de type alimentaireComplexité structurelle◮ écosystèmes bactériensComplexité fonctionnelle◮ modèle primaire : évolutions bactériennes(variables d’état) → inobservables directement◮ modèle secondaire : évolutions des dynamiques◮ modèle d’observation : prélèvements etcomptages → erreurs importantes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Caractéristiques des systèmes dynamiquesmicrobiens de type alimentaireComplexité structurelle◮ écosystèmes bactériensComplexité fonctionnelle◮ modèle primaire : évolutions bactériennes(variables d’état) → inobservables directement◮ modèle secondaire : évolutions des dynamiques◮ modèle d’observation : prélèvements etcomptages → erreurs importantes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Caractéristiques des systèmes dynamiquesmicrobiens de type alimentaireComplexité structurelle◮ écosystèmes bactériensComplexité fonctionnelle◮ modèle primaire : évolutions bactériennes(variables d’état) → inobservables directement◮ modèle secondaire : évolutions des dynamiques◮ modèle d’observation : prélèvements etcomptages → erreurs importantes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6v1 va vbvb1boite 1vb2boite 2vbsD1(VD1 = V1+ vt)D1a -> D'1a(V1 -> V1+v1)D1b -> D'1b(V1 -> V1+va)De(0 -> vb)boite sSchéma de dilution d’un tube D 1 .


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6ModélisationObjectifs visésIdentificationPrédictionAnalyse de risque : détection d’évolutions critiquesContrôle


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6IdentificationEstimation des paramètresEstimation des densités d’effectifs bactériensComparaison / Sélection de modèlesInférence statistique=⇒ Echantillonnage temporel optimal


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Approches choisies :Représentation des dynamiques◮modèles stochastiques à espace d’étatProcessus de prélèvements-dilutions-comptages◮ modèles stochastiques spatio-temporels :répartitions spatiales : poissonnienneserreurs de volumes et comptages : gaussiennesEstimation◮ Filtrage particulaire (à convolution)Comparaison/Sélection◮approche bayésienne : −→ facteurs de Bayes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Approches choisies :Représentation des dynamiques◮modèles stochastiques à espace d’étatProcessus de prélèvements-dilutions-comptages◮ modèles stochastiques spatio-temporels :répartitions spatiales : poissonnienneserreurs de volumes et comptages : gaussiennesEstimation◮ Filtrage particulaire (à convolution)Comparaison/Sélection◮approche bayésienne : −→ facteurs de Bayes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Approches choisies :Représentation des dynamiques◮modèles stochastiques à espace d’étatProcessus de prélèvements-dilutions-comptages◮ modèles stochastiques spatio-temporels :répartitions spatiales : poissonnienneserreurs de volumes et comptages : gaussiennesEstimation◮ Filtrage particulaire (à convolution)Comparaison/Sélection◮approche bayésienne : −→ facteurs de Bayes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Approches choisies :Représentation des dynamiques◮modèles stochastiques à espace d’étatProcessus de prélèvements-dilutions-comptages◮ modèles stochastiques spatio-temporels :répartitions spatiales : poissonnienneserreurs de volumes et comptages : gaussiennesEstimation◮ Filtrage particulaire (à convolution)Comparaison/Sélection◮approche bayésienne : −→ facteurs de Bayes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Approches choisies :Représentation des dynamiques◮modèles stochastiques à espace d’étatProcessus de prélèvements-dilutions-comptages◮ modèles stochastiques spatio-temporels :répartitions spatiales : poissonnienneserreurs de volumes et comptages : gaussiennesEstimation◮ Filtrage particulaire (à convolution)Comparaison/Sélection◮approche bayésienne : −→ facteurs de Bayes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Approches choisies :Représentation des dynamiques◮modèles stochastiques à espace d’étatProcessus de prélèvements-dilutions-comptages◮ modèles stochastiques spatio-temporels :répartitions spatiales : poissonnienneserreurs de volumes et comptages : gaussiennesEstimation◮ Filtrage particulaire (à convolution)Comparaison/Sélection◮approche bayésienne : −→ facteurs de Bayes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Approches choisies :Représentation des dynamiques◮modèles stochastiques à espace d’étatProcessus de prélèvements-dilutions-comptages◮ modèles stochastiques spatio-temporels :répartitions spatiales : poissonnienneserreurs de volumes et comptages : gaussiennesEstimation◮ Filtrage particulaire (à convolution)Comparaison/Sélection◮approche bayésienne : −→ facteurs de Bayes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Illustration : un système monospécifiqueDynamique de Listeria MonocytogenesModèle Primaire : Modèle de Baranyi II◮ N t+1 =δ N 0 exp(µ max A t ) 1 dAB t(µ tmax − dB tdt dtavec1B t)+N t +ϕ t◮ A t = t + 1µ maxln(exp(−µ max t) + exp(−µ max λ) −exp(−µ max t − µ max λ))◮ B t = 1 + exp(µ max A t )−1NmaxN 0


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Illustration : un système monospécifiqueDynamique de Listeria MonocytogenesModèle Primaire : Modèle de Baranyi II◮ N t+1 =δ N 0 exp(µ max A t ) 1 dAB t(µ tmax − dB tdt dtavec1B t)+N t +ϕ t◮ A t = t + 1µ maxln(exp(−µ max t) + exp(−µ max λ) −exp(−µ max t − µ max λ))◮ B t = 1 + exp(µ max A t )−1NmaxN 0


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Illustration : un système monospécifiqueDynamique de Listeria MonocytogenesModèle Primaire : Modèle de Baranyi II◮ N t+1 =δ N 0 exp(µ max A t ) 1 dAB t(µ tmax − dB tdt dtavec1B t)+N t +ϕ t◮ A t = t + 1µ maxln(exp(−µ max t) + exp(−µ max λ) −exp(−µ max t − µ max λ))◮ B t = 1 + exp(µ max A t )−1NmaxN 0


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Illustration : un système monospécifiqueDynamique de Listeria MonocytogenesModèle Primaire : Modèle de Baranyi II◮ N t+1 =δ N 0 exp(µ max A t ) 1 dAB t(µ tmax − dB tdt dtavec1B t)+N t +ϕ t◮ A t = t + 1µ maxln(exp(−µ max t) + exp(−µ max λ) −exp(−µ max t − µ max λ))◮ B t = 1 + exp(µ max A t )−1NmaxN 0


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6concentration87echelle log106543estimationdonnees0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Temps


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Illustration : un système monospécifiqueDynamique de Listeria MonocytogenesModèle secondaire :modèle dit des “Températures Cardinales”Pour T min < T < T max ,µ max = µ opt(T −T max )(T −T min ) 2(T opt −T min )((T opt −T min )(T −T opt )−(T opt −T max )(T opt +T min −2T ))Paramètres inconnus◮ T min température minimale de croissance◮ T opt température optimale de croissance◮ T max température maximale de croissance◮ µ opt taux de croissance maximum à la température optimale


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Illustration : un système monospécifiqueDynamique de Listeria MonocytogenesModèle secondaire :modèle dit des “Températures Cardinales”Pour T min < T < T max ,µ max = µ opt(T −T max )(T −T min ) 2(T opt −T min )((T opt −T min )(T −T opt )−(T opt −T max )(T opt +T min −2T ))Paramètres inconnus◮ T min température minimale de croissance◮ T opt température optimale de croissance◮ T max température maximale de croissance◮ µ opt taux de croissance maximum à la température optimale


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Illustration : un système monospécifiqueDynamique de Listeria MonocytogenesModèle secondaire :modèle dit des “Températures Cardinales”Pour T min < T < T max ,µ max = µ opt(T −T max )(T −T min ) 2(T opt −T min )((T opt −T min )(T −T opt )−(T opt −T max )(T opt +T min −2T ))Paramètres inconnus◮ T min température minimale de croissance◮ T opt température optimale de croissance◮ T max température maximale de croissance◮ µ opt taux de croissance maximum à la température optimale


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Illustration : un système monospécifiqueDynamique de Listeria MonocytogenesModèle secondaire :modèle dit des “Températures Cardinales”Pour T min < T < T max ,µ max = µ opt(T −T max )(T −T min ) 2(T opt −T min )((T opt −T min )(T −T opt )−(T opt −T max )(T opt +T min −2T ))Paramètres inconnus◮ T min température minimale de croissance◮ T opt température optimale de croissance◮ T max température maximale de croissance◮ µ opt taux de croissance maximum à la température optimale


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Illustration : un système monospécifiqueDynamique de Listeria MonocytogenesModèle secondaire :modèle dit des “Températures Cardinales”Pour T min < T < T max ,µ max = µ opt(T −T max )(T −T min ) 2(T opt −T min )((T opt −T min )(T −T opt )−(T opt −T max )(T opt +T min −2T ))Paramètres inconnus◮ T min température minimale de croissance◮ T opt température optimale de croissance◮ T max température maximale de croissance◮ µ opt taux de croissance maximum à la température optimale


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Illustration : un système monospécifiqueDynamique de Listeria MonocytogenesModèle d’observation :Modèle probabiliste de comptage aprèsprélèvements-dilutionsy t ∼ L(N t ,µ max ,λ,N 0 ,N max )−→ loi inconnue mais simulable !


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Traitement :Adaptation d’un Filtre à convolution de particulesModèle à espace d’état{xt = f t (x t−1 ,θ,ε t )y t∽ L t (x t ,θ)Filtrage =⇒ estimation en tout t de :◮ p t (x t |y 1 ,...,y t ) et E(x t |y 1 ,...,y t )◮ p t (θ t |y 1 ,...,y t ) et E(θ t |y 1 ,...,y t )


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Traitement :Adaptation d’un Filtre à convolution de particulesModèle à espace d’état{xt = f t (x t−1 ,θ,ε t )y t∽ L t (x t ,θ)Filtrage =⇒ estimation en tout t de :◮ p t (x t |y 1 ,...,y t ) et E(x t |y 1 ,...,y t )◮ p t (θ t |y 1 ,...,y t ) et E(θ t |y 1 ,...,y t )


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Traitement :Adaptation d’un Filtre à convolution de particulesModèle à espace d’état{xt = f t (x t−1 ,θ,ε t )y t∽ L t (x t ,θ)Filtrage =⇒ estimation en tout t de :◮ p t (x t |y 1 ,...,y t ) et E(x t |y 1 ,...,y t )◮ p t (θ t |y 1 ,...,y t ) et E(θ t |y 1 ,...,y t )


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel : Filtre à convolution de particulesGénérations successives de n particules :◮ Pour t = 0 : ¯x0 i ∼ px 0 , ¯θ i 0 ∼ pθ 0 , ˜εi 0 ∼ L ε 0◮ Pour t = 1 : ˜x1 i = f 1(¯x0 i , ¯θ i 0 , ˜εi 0 ), ˜θ i 1 = ¯θ i 0 ,ỹ1 i ∼ L t(˜x1 i , ˜θ i 1 )◮ Pour t > 1 :(¯x i t−1 , ¯θ i t−1 ) ∼ ̂pn t−1 (x,θ|y 1:t−1),˜ε i t−1 ∼ L ε t−1˜x i t = f t(¯x i t−1 , ¯θ i t−1 , ˜εi t−1 )˜θ i t = ¯θ i t−1ỹ i t ∼ L t(˜x i t , ˜θ i t )


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel : Filtre à convolution de particulesGénérations successives de n particules :◮ Pour t = 0 : ¯x0 i ∼ px 0 , ¯θ i 0 ∼ pθ 0 , ˜εi 0 ∼ L ε 0◮ Pour t = 1 : ˜x1 i = f 1(¯x0 i , ¯θ i 0 , ˜εi 0 ), ˜θ i 1 = ¯θ i 0 ,ỹ1 i ∼ L t(˜x1 i , ˜θ i 1 )◮ Pour t > 1 :(¯x i t−1 , ¯θ i t−1 ) ∼ ̂pn t−1 (x,θ|y 1:t−1),˜ε i t−1 ∼ L ε t−1˜x i t = f t(¯x i t−1 , ¯θ i t−1 , ˜εi t−1 )˜θ i t = ¯θ i t−1ỹ i t ∼ L t(˜x i t , ˜θ i t )


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel : Filtre à convolution de particulesGénérations successives de n particules :◮ Pour t = 0 : ¯x0 i ∼ px 0 , ¯θ i 0 ∼ pθ 0 , ˜εi 0 ∼ L ε 0◮ Pour t = 1 : ˜x1 i = f 1(¯x0 i , ¯θ i 0 , ˜εi 0 ), ˜θ i 1 = ¯θ i 0 ,ỹ1 i ∼ L t(˜x1 i , ˜θ i 1 )◮ Pour t > 1 :(¯x i t−1 , ¯θ i t−1 ) ∼ ̂pn t−1 (x,θ|y 1:t−1),˜ε i t−1 ∼ L ε t−1˜x i t = f t(¯x i t−1 , ¯θ i t−1 , ˜εi t−1 )˜θ i t = ¯θ i t−1ỹ i t ∼ L t(˜x i t , ˜θ i t )


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel : Filtre à convolution de particulesGénérations successives de n particules :◮ Pour t = 0 : ¯x0 i ∼ px 0 , ¯θ i 0 ∼ pθ 0 , ˜εi 0 ∼ L ε 0◮ Pour t = 1 : ˜x1 i = f 1(¯x0 i , ¯θ i 0 , ˜εi 0 ), ˜θ i 1 = ¯θ i 0 ,ỹ1 i ∼ L t(˜x1 i , ˜θ i 1 )◮ Pour t > 1 :(¯x i t−1 , ¯θ i t−1 ) ∼ ̂pn t−1 (x,θ|y 1:t−1),˜ε i t−1 ∼ L ε t−1˜x i t = f t(¯x i t−1 , ¯θ i t−1 , ˜εi t−1 )˜θ i t = ¯θ i t−1ỹ i t ∼ L t(˜x i t , ˜θ i t )


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel : Filtre à convolution de particulesEstimation des densités :̂p n t (x,θ|y 1:t) = ∑n i=1 K y h (ỹ i t − y t)K θ h (˜θ i t − θ)K x h (˜xi t − x)∑ n i=1 K y h (ỹ i t − y t)̂p n t (θ|y 1:t) = ∑n i=1 K y h (ỹ i t − y t)K θ h (˜θ i t − θ)∑ n i=1 K y h (ỹ i t − y t)̂p n t (x|y 1:t) = ∑n i=1 K y h (ỹ i t − y t)K x h (˜xi t − x)∑ n i=1 K y h (ỹ i t − y t)t = t + 1


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel : Filtre à convolution de particulesPropriétés (cf. Rossi - Vila 2005) :◮ Convergence L 1 p.s. :{nhnlim q+d+pn→∞ = ∞logn =⇒lim n→∞ h n = 0lim n→∞ ‖pt n(x,θ|y 1:t) − p t (x,θ|y 1:t )‖ L1 = 0 p.s.lim n→∞ ‖pt n(x|y 1:t) − p t (x|y 1:t )‖ L1 = 0 p.s.lim n→∞ ‖pt n(θ|y 1:t) − p t (θ|y 1:t )‖ L1 = 0 p.s.◮ Vitesse de convergence L 1 intégrée :IE [‖p n t (x,θ|y 1:t) − p t (x,θ|y 1:t )‖ L1 ]≤ u t [O t (hn) s 1+ O t ( √nh d+q+pn)] avec u t = 2 t+1 − 1.


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel : Filtre à convolution de particulesPropriétés (cf. Rossi - Vila 2005) :◮ Convergence L 1 p.s. :{nhnlim q+d+pn→∞ = ∞logn =⇒lim n→∞ h n = 0lim n→∞ ‖pt n(x,θ|y 1:t) − p t (x,θ|y 1:t )‖ L1 = 0 p.s.lim n→∞ ‖pt n(x|y 1:t) − p t (x|y 1:t )‖ L1 = 0 p.s.lim n→∞ ‖pt n(θ|y 1:t) − p t (θ|y 1:t )‖ L1 = 0 p.s.◮ Vitesse de convergence L 1 intégrée :IE [‖p n t (x,θ|y 1:t) − p t (x,θ|y 1:t )‖ L1 ]≤ u t [O t (hn) s 1+ O t ( √nh d+q+pn)] avec u t = 2 t+1 − 1.


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel : Filtre à convolution de particulesPropriétés (cf. Rossi - Vila 2005) :◮ Convergence L 1 p.s. :{nhnlim q+d+pn→∞ = ∞logn =⇒lim n→∞ h n = 0lim n→∞ ‖pt n(x,θ|y 1:t) − p t (x,θ|y 1:t )‖ L1 = 0 p.s.lim n→∞ ‖pt n(x|y 1:t) − p t (x|y 1:t )‖ L1 = 0 p.s.lim n→∞ ‖pt n(θ|y 1:t) − p t (θ|y 1:t )‖ L1 = 0 p.s.◮ Vitesse de convergence L 1 intégrée :IE [‖p n t (x,θ|y 1:t) − p t (x,θ|y 1:t )‖ L1 ]≤ u t [O t (hn) s 1+ O t ( √nh d+q+pn)] avec u t = 2 t+1 − 1.


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel : Filtre à convolution de particulesEstimations ponctuelles (cf. Rossi - Vila2005)◮ Soit (¯x i t , ¯θ i t ) ∼ pn t (x,θ|y 1:t), i = 1,...,n.◮ Soit ̂x n t = 1 n ∑n i=1 ¯xi t et ̂θn t = 1 n ∑n i=1 ¯θ i t .


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel : Filtre à convolution de particulesEstimations ponctuelles (cf. Rossi - Vila2005)◮ Soit (¯x i t , ¯θ i t ) ∼ pn t (x,θ|y 1:t), i = 1,...,n.◮ Soit ̂x n t = 1 n ∑n i=1 ¯xi t et ̂θn t = 1 n ∑n i=1 ¯θ i t .Propriétés : convergences ponctuelles p.s.{= ∞nhnlim q+d+pn→∞ lognlim n→∞ h n = 0=⇒ lim n→∞ |̂x t n − IE[x t |y 1:t ]| = 0 p.s.lim n→∞ |̂θ n t − IE[θ t |y 1:t ]| = 0 p.s.


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel : Filtre à convolution de particulesEstimations ponctuelles (cf. Rossi - Vila2005)◮ Soit (¯x i t , ¯θ i t ) ∼ pn t (x,θ|y 1:t), i = 1,...,n.◮ Soit ̂x n t = 1 n ∑n i=1 ¯xi t et ̂θn t = 1 n ∑n i=1 ¯θ i t .De plus :lim IE[θ|y 1:t] = θ ∗ p.s. =⇒ lim |̂θ n t − θ ∗ | = 0t→∞ n,t→∞p.s.


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Filtre à convolution - suiteAutres utilisations :◮ Comparaison / Sélection de Modèles decinétiques◮ Détermination d’instants de prélèvementsoptimaux pour l’estimation des paramètres


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Filtre à convolution - suiteAutres utilisations :◮ Comparaison / Sélection de Modèles decinétiques◮ Détermination d’instants de prélèvementsoptimaux pour l’estimation des paramètres


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Filtre à convolution - suiteAutres utilisations :◮ Comparaison / Sélection de Modèles decinétiques◮ Détermination d’instants de prélèvementsoptimaux pour l’estimation des paramètres


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Comparaison / Sélection de Modèles decinétiques◮ Soit : M 1 , M 2 deux modèles probabilistescandidats.◮ Soit :Y = (y 1 ,...,y T ) = y 1:T , T observations.


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Comparaison / Sélection de Modèles decinétiques◮ Soit : M 1 , M 2 deux modèles probabilistescandidats.◮ Soit :Y = (y 1 ,...,y T ) = y 1:T , T observations.Rappel : Facteur de Bayesavec p i (Y ) =B 12 = p 1(Y )p 2 (Y )ZΘ ip i (Y |θ)p i (θ)dθ i = 1,2.


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Comparaison / Sélection de Modèles - suiteRemarque :p(Y ) = p(y 1:T ) = p(y 1 )Πt=T −1t=1p(y t+1 |y 1:t )


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Comparaison / Sélection de Modèles - suiteRemarque :t=T −1p(Y ) = p(y 1:T ) = p(y 1 )Πt=1 p(y t+1 |y 1:t )=⇒ Estimation convergente du Facteur de Bayes :B n 12 = pn 1 (Y )p n 2 (Y )avecetp n (Y ) = p1(y n t=T −11 )Πt=1 pt+1(y n t+1 |y 1:t ), i = 1,2p n t+1(y t+1 |y 1:t ) = 1 nn∑ K y h n(y t+1 − ỹt+1)ii=1


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Application à Listeria Monocytogenes


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel :Dynamique de Listeria MonocytogenesModèle Primaire : Modèle de Baranyi II◮ N t+1 =δ N 0 exp(µ max A t ) 1 dAB t(µ tmax − dB tdt dtavec1B t)+N t +ϕ t◮ A t = t + 1µ maxln(exp(−µ max t) + exp(−µ max λ) −exp(−µ max t − µ max λ))◮ B t = 1 + exp(µ max A t )−1NmaxN 0


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel :Dynamique de Listeria MonocytogenesModèle Primaire : Modèle de Baranyi II◮ N t+1 =δ N 0 exp(µ max A t ) 1 dAB t(µ tmax − dB tdt dtavec1B t)+N t +ϕ t◮ A t = t + 1µ maxln(exp(−µ max t) + exp(−µ max λ) −exp(−µ max t − µ max λ))◮ B t = 1 + exp(µ max A t )−1NmaxN 0


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel :Dynamique de Listeria MonocytogenesModèle Primaire : Modèle de Baranyi II◮ N t+1 =δ N 0 exp(µ max A t ) 1 dAB t(µ tmax − dB tdt dtavec1B t)+N t +ϕ t◮ A t = t + 1µ maxln(exp(−µ max t) + exp(−µ max λ) −exp(−µ max t − µ max λ))◮ B t = 1 + exp(µ max A t )−1NmaxN 0


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Rappel :Dynamique de Listeria MonocytogenesModèle Primaire : Modèle de Baranyi II◮ N t+1 =δ N 0 exp(µ max A t ) 1 dAB t(µ tmax − dB tdt dtavec1B t)+N t +ϕ t◮ A t = t + 1µ maxln(exp(−µ max t) + exp(−µ max λ) −exp(−µ max t − µ max λ))◮ B t = 1 + exp(µ max A t )−1NmaxN 0


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Données : ENV-Alfort (J.C. Augustin)


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Données : ENV-Alfort (J.C. Augustin)Protocole :◮ 10 instants de prélèvement :0, 72, 120, 168, 240, 264, 288, 336, 408,504 (heures).◮ 3 prélèvements par instants.◮ Facteurs de dilution :1 (0 - 120), 0.1 (168), 10 −3 (240 - 264),10 −4 (264 - 408), 10 −5 (504).


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Données : ENV-Alfort (J.C. Augustin)Lois a priori :◮ µ max ∼ U [0.01 − 2.]◮ λ ∼ U [20. − 50.]◮ N 0 ∼ U [100 − 400]◮ N max ∼ U [10 8 − 10 9 ]


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Données : ENV-Alfort (J.C. Augustin)Pas de temps du filtrage :δ = 24h.


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Données : ENV-Alfort (J.C. Augustin)Nombre de particules :n = 10 5 .


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Résultats du filtrage : estimation de la cinétiqueconcentration87echelle log106543estimationdonnees0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500TempsTemps d’exécution : 66 s. (pentium)


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Estimation finale de µ max : 0.051780Evolution des estimations de mumax1.81.61000000 particules1.41.210.8MoyenneBorne inf IC a 95%Borne sup IC a 95%0.60.40.21 2 3 4 5 6 7 8 9 10Observations


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Histogramme final des estimations de µ max8 x 104 Distribution des estimations de mumax765432100.0518 0.0518 0.0518 0.0518 0.0518 0.0518 0.0518 0.0518 0.0518


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Estimation finale de λ : 33.662285Evolution des estimations de lambda451000000 particules403530MoyenneBorne inf IC a 95%Borne sup IC a 95%251 2 3 4 5 6 7 8 9 10Observations


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Histogramme final des estimations de λ8 x 104 Distribution des estimations de lambda7654321033.6623 33.6623 33.6623 33.6623 33.6623 33.6623 33.6623 33.6623 33.6623 33.6623


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Estimation finale de N0 : 186.192126Evolution des estimations de N03501000000 particules300250200MoyenneBorne inf IC a 95%Borne sup IC a 95%1501 2 3 4 5 6 7 8 9 10Observations


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Histogramme final des estimations de N010 x 105 Distribution des estimations de N09876543210160 170 180 190 200 210 220


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Estimation finale de Nmax : 421941672.1634x 10 8Evolution des estimations de Nmax981000000 particules7654MoyenneBorne inf IC a 95%Borne sup IC a 95%321 2 3 4 5 6 7 8 9 10Observations


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 604.2194 4.2194 4.2194 4.2194 4.2194 4.2194 4.21948Histogramme final des estimations de Nmax10 x 105 Distribution des estimations de Nmax987654321


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Résultats du filtrage : estimation de la cinétique de Rossoconcentration87echelle log106543estimationdonnees0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500TempsTemps d’exécution : 64 s. (pentium)


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Estimation finale de µ max : 0.050686Evolution des estimations de mumax1.81.61000000 particules1.41.210.8MoyenneBorne inf IC a 95%Borne sup IC a 95%0.60.40.21 2 3 4 5 6 7 8 9 10Observations


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Histogramme final des estimations de µ max10 x 105 Distribution des estimations de mumax98765432100.0505 0.0506 0.0506 0.0506 0.0506 0.0506 0.0507 0.0507 0.0507 0.0507


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Estimation finale de λ : 29.550421Evolution des estimations de lambda451000000 particules403530MoyenneBorne inf IC a 95%Borne sup IC a 95%251 2 3 4 5 6 7 8 9 10Observations


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Estimation finale de N0 : 222.185316Evolution des estimations de N03501000000 particules300250200MoyenneBorne inf IC a 95%Borne sup IC a 95%1501 2 3 4 5 6 7 8 9 10Observations


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Histogramme final des estimations de N010 x 105 Distribution des estimations de N09876543210222 223 224 225 226 227 228 229


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Estimation finale de Nmax : 438177472.0241x 10 8Evolution des estimations de Nmax981000000 particules7654MoyenneBorne inf IC a 95%Borne sup IC a 95%321 2 3 4 5 6 7 8 9 10Observations


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 604.3815 4.382 4.3825 4.383 4.3835 4.3848Histogramme final des estimations de N09 x 105 Distribution des estimations de Nmax87654321


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Quelques référencesMicrobiologie :Baranyi, J., Roberts, T.A. (1994). A dynamic approach topredicting bacterial growth in food. International Journal of FoodMicrobiology, 23,277-294.Baranyi, J., Roberts, T.A. (1995). Mathematics of predictive foodmicrobiology International Journal of Food Microbiology, 26,199-218.Rosso, L., Lobry, J.R., Flandrois, J.P. (1993) An unexpectedcorrelation between cardinal temperatures of microbial growthhighlighted by a new model. J. of Theoretical Biology, 162,447-463.


Sommaire Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6Quelques références - suiteFiltrage, etc :Rossi, V., Vila, J.P. (2003) Filtrage non linéaire en temps discretpar convolution de particles. Actes des XXXVèmes Journées deStatistique, 823-826.Rossi, V., Vila, J.P. (2005) Approche non paramétrique du filtragede système non linéaire à temps discret et à paramètresinconnus. C.R. Acad. Sci. Paris. Ser I 340, 759-764.Rossi, V., Vila, J.P. (2006) Nonlinear filtering in discrete time : aparticle convolution approach. Inst. Stat. Univ. Paris, 3, 71-102.Vila, J.P., Saley, I. (2009). Estimation de facteurs de Bayes entremodèles dynamiques non linéaires à espace d’état. C.R. Acad.Sci. Paris, Ser. I, 347, 429-434.

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