Intégration et calcul de primitives

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Intégration et calcul de primitives

Intégration et calcul de primitivesC. DucourantSeptember 13, 20071 Intégrale d’une fonction continue•Définition :Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a,b].Le réel noté ∫ baf(x)dx est appellé intégrale de a à b de f .•Signe de l’intégrale :Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I contenant les reels a et b tels que a≤b.- Si f est positive sur [a,b], ⇒ ∫ ba f(x)dx ≥ 0- Si f est négative sur [a,b], ⇒ ∫ ba f(x)dx ≤ 0•Intégrale et Aire :Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a,b] et soit (C f ) sa courbe représentative.Soit (D), l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe (C f ) et les droites d’équation x=a etx=b.• Si f est toujours positive sur [a,b] : ∫ baf(x)dx = aire(D) (unités d’aire)• Si f est toujours négative sur [a,b] : ∫ baf(x)dx = −aire(D)• Si f a un signe variable sur [a,b] : ∫ baf(x)dx = aire(D1) − aire(D2) + aire(D3)1


2 Propriétes des intégrale•Relation de chasle :Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Pour tout réel a, b, et c de I :∫ ba f(x)dx + ∫ cb f(x)dx = ∫ ca f(x)dx•Linéarité de l’intégrale :Soient f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I contenant a et b. Pour tousréels α et β on a :∫ ba [αf(x) + βg(x)]dx = α ∫ ca f(x)dx + β ∫ ca f(x)dx3 Intégrales et Primitives•Définition d’une primitive :Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I touteapplication F dérivable sur I telle que f soit l’application dérivée de F sur I.F est primitive de f sur I ⇔ ∀x ∈ I, F ′ (x) = f(x)Par exemple:F : x → x 3 est une primitive de f : x → 3x 2 surRMaisG : x → x 3 − 12 est aussi une primitive de f.⇒ on dit que F est une primitive de f sur R On note l’ensemble des primitives de la fonction f : ∫ f(x)dx∫f(x)dx = F (x) + CEn∫particulier :(ax + b)dx =1aF (ax + b) + C•Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive :Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I. Soient deuxréels a et b de I, alors:∫ ba f(x)dx = [F (x)]b a = F (b) − F (a)•Primitives classiques:∫Pn (x) = Q n+1 (x) + C, n est le degrés du polynome P n (x)∫Pn (x)e ax = Q n (x)e ax + C∫[Asin(x) + Bcos(x)]e kx dx = [Dsin(x) + Ecos(x)]e kx + C2


4 Méthodes de calcul d’une intégrale•Intégration par partie :Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que leurs dérivées u ′ et v ′ soientcontinues sur I.Pour tout réel a et b de I :∫ ba u′ (x)v(x)dx = [u(x)v(x)] b a − ∫ ba u(x)v′ (x)dxPar∫exemple :ba xn e kx dx = [ 1 k ekx x n ] b a − 1 ∫ bk a nxn−1 e kx ...etc...∫ ba sin(x)ekx dx = 1 [(ksinx − cosx)e kx ] b 1+k 2 a•Décomposition en élements simples :∫x 5= P(x−3)(x+1) 2 n (x) + C(x−3) +D(x+1) +E(x+1) 2avec n =différence de degrés entre numérateur et dénominateur, ici n=2.de polynome.Si négatif alors pasExemple : ∫ ba1(x−a)(x−b) = 1 ∫a−b (1x−a − 1x−b )dx5 Intégrales généraliséesSoit f une fonction définie et continue sur un intervalle ouvert I, inégrable sur tout segment contenudans I. On peut calculer l’intégrale de f sur des segments de plus en plus grands , contenus dansI, dont les bornes se rapprochent de celles de I. Quand l’intégrale a une limite on dit qu’elle estconvergente, sinon on la dit divergente.Par exemple :∫ ∞af(x)dx =limB→∞Ainsi pour k > 0 :∫ ∞0e −kx dx = 1 k∫ Baf(x)dx3


6 Tableau des dérivées usuellesFigure 1: De Y. Villessuzanne - Bordeaux4

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