Exercices de colle Lycée Louis Le Grand, MP*2 Semaine 14

– En déduire que si P ∈ Z[X] est réductible dans Q[X], il existe deux polynômes Q etR dans Z[X] de degrés non nuls tels que P = QR.– Soit P = a n X n + a n−1 X n−1 + · · · + a 0 ∈ Z[X], et p un nombre premier tels que pne divise pas a n , p|a i pour 0 ≤ i ≤ n − 1 et p 2 ne divise pas a 0 . Montrer que P estirréductible dans Q[X].– En déduire que 1 + X + X 2 + · · · + X p−1 est irréductible dans Q[X] pour p premier.6. Monter que le polynôme X 4 + 1 est irréductible dans Q[X] mais réductible dans Z/pZ[X]pour tout p premier.7. Soit n tel que 2 n + 1 soit premier. Montrer que n est une puissance de 2.8. Un entier naturel non nul n est dit parfait si la somme des diviseurs positifs de n est égaleà deux fois n. Montrer qu’un nombre pair est parfait si et seulement si il est de la forme2 p−1 (2 p − 1) avec 2 p − 1 premier.9. Montrer qu’il n’existe pas d’entier n tel que n|2 n − 1.10. Soient p un nombre premier et a, b et c des entiers tels que a et b soient non divisibles parp. Montrer qu’il existe des entiers x et y tels que ax 2 + by 2 ≡ c [p].11. Montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4 (remarquer que−1 est un carré modulo p premier si et seulement si p est congru à 1 modulo 4).2 Algèbre linéaire, déterminants.1. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n et E 1 , . . . ,E k des sous-espaces vectorielsde E tels que ∑ ki=1 dim E i > (k − 1)n. Montrer que ⋂ ki=1 E i ≠ {0}.2. Soient K un corps de caractéristique nulle, V un espace vectoriel de dimension finie surK, G un sous-groupe fini de GL(V ) et W un sous-espace vectoriel de V stable par tousles éléments de G. Montrer que W possède∑un supplémentaire stable par G dans V (onpourra considérer l’élément p G = 1|G| g∈G gpg−1 où p est un certain projecteur).3. Soient E, F , G et H quatre K-espaces vectoriels de dimension finie, u ∈ L(E,F ), v ∈L(F,G) et w ∈ L(G,H). Montrer querg(v ◦ u) + rg(w ◦ v) ≤ rg(w ◦ v ◦ u) + rg(v)4. Soient A, B et C trois matrices de projecteur de M n (R) telles que A + √ 2B + √ 3C soitune matrice de projecteur. Montrer que B = C = 0.5. Soit K un corps de caractéristique nulle. Quelle est la dimension du sous-espace de M n (K)engendré par les matrices nilpotentes?6. Soient a 1 , . . . ,a n ,b 1 , . . . b n des éléments de C tels que pour tout couple (i,j), a i + b j ≠ 0.Calculer ∣ ∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 11a 1 +b 1 a 1 +b 2. . . ∣∣∣∣∣∣∣∣a 1 +b n1 11a 2 +b 1 a 2 +b 2. . .a 2 +b n.. . .. .1 11a n+b 1 a n+b 2. . .a n+b n7. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que M ∈ M n (Z) soit inversible dansl’anneau M n (Z).2

8. Soient a 1 , . . . ,a n des éléments de C. Calculer le déterminant∣ a 1 a n a n−1 . . . a 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣. a 2 a 1 a n .. a3. a 3 a 2 a 1 .. a4. . .. . .. . .. .∣ a n a n−1 . . . a 2 a 19. Calculer le déterminant de la matrice (pgcd(i,j)) 1≤i,j≤n .3