Exposé du 18 mars 2003 `a l'ESIEA Le probl`eme de Monge par D ...

Exposé du 18 mars 2003 à l’ESIEALe problème de Mongepar D. FeyelHistoriqueEn 1781 Monge publie un célèbre mémoire [13] sur les déblais et les remblais :comment déplacer un tas de cailloux de la manière la plus économique ? C’est unproblème facile à poser, d’interprétation physico-géométrique évidente, et qui s’estrévélé peu à peu d’une très grande richesse mathématique.Plus tard Ampère a été conduit à une question semblable à propos du passaged’un courant dans un milieu de conductivité variable, d’où le nom de l’équationde Monge-Ampère.On peut décrire les arrangements du déblai et du remblai par des masses ayantdes densités : µ(dx) =f(x)dx et ν(dy) =g(y)dy telles que ∫ f(x)dx = ∫ g(y)dy.On peut alors présenter les choses ainsi : soit X l’espace IR m , et soit c(x, y) une“fonction de coût” en général ≥ 0 sur X 2 . Existe-t-il une application T : X → Xqui transporte le déblai µ(dx) = f(x)dx sur le remblai ν(dy) = g(y)dy etminimisant l’intégrale de coût∫∫c(x, T (x))µ(dx) = c(x, T (x))f(x)dx (1)XL’équation de transport (Monge-Ampère) s’écritXf(x) =g◦T (x)|J T (x)|Si elle existe, la solution T est dite transport optimal de µ sur ν. Bien sûr, les deuxmasses totales µ = ∫ f(x)dx et ν = ∫ g(y)dy doivent être égales.Le problème a été repris par Appell [1,2] en 1897 et 1928, puis par Kantorovitch[11] en 1942. Ce dernier a entièrement renouvelé la manière de poser le problème,qui est ainsi devenu le problème de Monge-Kantorovitch (en abrégé PMK). Noteraussi que Monge posait le problème pour le coût c(x, y) = |x − y|, alors queKantorovitch l’a posé pour le coût quadratique c(x, y) =|x − y| 2 .Dans les travaux les plus récents, le problème est posé pour des coûts plus généraux,par exemple c(x, y) =|x − y| p ,etmême pour des espaces métriques plus générauxque IR m (par exemple des variétés riemanniennes).1

Le problème de Monge-Kantorovitch (PMK)On introduit l’ensemble Γ(µ, ν) constitué des mesures sur X 2 se projetant surµ et ν. C’est clairement un ensemble convexe compact en topologie étroite. Soitθ ∈ Γ(µ, ν), posons∫∫J(θ) = c(x, y)θ(dx, dy) ≤ +∞ (2)X 2On appelle alors problème de Monge-Kantorovitch (PMK) le problème consistantà chercher θ ∈ Γ(µ, ν) minimisant J de sorte que J(θ) < +∞. Remarquer qu’il sepeut que J ≡ +∞, auquel cas le problème est dégénéré.Evidemment, ce problème de minimisation n’est pas a priori équivalent auproblème de Monge qui est un problème hautement non-linéaire. Kantorovitch leramène ainsi à un problème linéaire, la mesure θ minimisant J(θ), appelée mesureoptimale, existe par un simple argument de compacité. Comment utiliser θ pourrésoudre le problème de Monge ?Toute solution θ du PMK portée par le graphe d’une application T fournira unesolution du problème de Monge. Il restera encore à discuter de l’unicité.Rachev [15] a montré que sous certaines conditions, le problème général avaitune solution θ unique. De plus, selon Sudakov [17], pour certaines fonctionsc(x, y) (puissances d’une distance), θ est portée par le graphe d’une applicationT : X → X, cequirésout le problème initial de Monge.Nous nous occuperons ici du PMK historique, donc X =IR m et c(x, y) =|x − y| 2 .Le théorème de Rockafellar [16]Un ensemble A ⊂ X 2 est cycliquement monotone si pour toute suite finie(x i ,y i ) 1≤i≤n et pour toute permutation σ de {1, 2,...,n}, ona∑|x i − y i | 2 ≤ ∑ |x i − y σ(i) | 2iiou ce qui revient au même∑〈y i ,x i 〉≥ ∑ii〈y i ,x σ(i) 〉Exemple : le sous-différentiel d’une fonction convexe Φ. C’est l’ensemble ∂Φ despoints (x, y) tels que l’on ait pour tout z〈y, z − x〉 ≤Φ(z) − Φ(x)2

Remarquer que l’on a nécessairement y = ∇Φ(x) en tout point x où Φ estdifférentiable.Le théorème de Rockafellar affirme que la réciproque est vraie : si un sous-ensembleA de X 2 est cycliquement monotone, alors il est inclus dans le sous-différentield’une fonction convexe Φ.Démonstration : On fixe un point (x 1 ,y 1 ) ∈ A. Onpose{}n−1∑Φ(x) = Sup 〈x − x n ,y n 〉 + 〈y i ,x i+1 − x i 〉le Sup étant étendu à toutes les suites (x i ,y i ) i≤n ∈ A. Il est clair que Φ(x) estconvexe ≤ +∞, et que Φ(x 1 ) ≤ 0 de sorte que Φ n’est pas la constante +∞. Laformule (3) implique pour tout x l’inégalitéi=1Φ(x) ≥〈x − x n ,y n 〉 +Φ(x n )donc 〈x − x n ,y n 〉≤Φ(x) − Φ(x n ), ce qui signifie justement que le point (x n ,y n )(arbitrairement pris dans A) appartient au sous-différentiel de Φ.Si Φ est finie sur un ensemble de mesure > 0, il existe un ouvert convexe U ≠Øtelle que Φ soit finie continue sur U et soit +∞ à l’extérieur. Dans U, Φ possèdeun gradient ∇Φ en presque tout point, et A est inclus dans l’adhérence du graphede ∇Φ.(3)La solution de McCann [12], (1995)Théorème de McCann : Toute mesure optimale θ est portée par un ensemblecycliquement monotone A et donc par le sous-différentiel d’une fonction convexenon-dégénérée Φ.Ça résout à la fois le problème de Monge et celui de Monge-Kantorovitch pourle coût |x − y| 2 . Il existe en effet un ensemble N négligeable tel que l’applicationT = ∇Φ soit définie sur U\N et soit une bijection de U\N sur son image. Alors θest l’image de µ par x → (x, T (x)), et ν est l’image de µ par T . De plus la mesureoptimale θ est unique : si θ 2 est une autre mesure optimale, θ ′ =(θ + θ 2 )/2 estaussi optimale, donc ne peut-être portée par un graphe que si c’est celui de T .Parsuite θ ′ = θ et θ 2 = θ.Le minimum J(θ) obtenu pour θ optimale se note d(µ, ν) 2 .Ondémontre facilementque d(µ, ν) est une distance (la distance de Monge-Kantorovitch-Wasserstein) surl’ensemble des mesures de même masse totale.1 Remarque : Naturellement il existe aussi un unique transport optimal deν sur µ, d’où une fonction convexe Ψ telle que S = ∇Ψ transporte ν sur µ.3

Les considérations d’unicité montrent que S◦T (x) =xµ-presque partout, et queT ◦S(y) =yν-presque partout. On a aussiΦ(x)+Ψ(y) =〈x, y〉 θ − presque partout2 Corollaire : Φ(x) et Ψ(y) sont conjuguées au sens de Legendre.Cela signifie queΨ(y) = Supx∈IR m {〈x, y〉−Φ(x) },Φ(x) = Supy∈IR m {〈x, y〉−Ψ(y) } (4)Exemple : On prend X =IR m = IR, Φ(x) =|x| + x 2 /2, Ψ(y) =(|y|−1) 2 /2 pour|y| ≥1, Ψ(y) =0pour|y| ≤1. On constate que ∇Φ est le transport optimal dela mesure de Lebesgue dx sur la mesure dy restreinte aux demi-droites [1, +∞[ et] −∞, −1]. Il conviendrait en fait de remplacer la mesure dx par une mesure demasse finie.Inversement, si Φ et Ψ sont conjuguées de Legendre, c’est-à-dire satisfont auxformules (4), alors T = ∇Φ est le transport optimal de µ sur ν, ceci quelle quesoit µ ayant une densité, pourvu que ν = T (µ). Ainsi le problème est étroitementlié àlathéorie des fonctions convexes conjuguées. C’est d’ailleurs par ce biais quele problème avait été abordé par Kantorovitch [11] puis par Brenier [4].Inégalité de TalagrandOn se place dans X =IR m , et on suppose queµ(dx) =e −x2 /2 dx/(2π) m/2 , ν(dy) =L(y) e −y2 /2 dy/(2π) m/2alors∫d(µ, ν) 2 ≤ 2L(x) Log L(x)µ(dx)En effet, on a d’après Monge-Ampèree −x2 /2 = e −T (x)2/2 L◦T (x)J T (x)où le jacobien J T vautJ T (x) = det ∇ 2 Φ ≤ exp(Trace(∇ 2 Φ − I)) = exp(∆Φ − m)l’inégalité résultant de la convexité de Φ, doncT (x) 2 − x 2 ≤ 2 Log L◦T (x) + 2(∆Φ − m)4

|T (x) − x| 2 ≤ 2 Log L◦T (x) + 2(∆Φ − m)+2x 2 − 2〈x, T (x)〉|T (x) − x| 2 ≤ 2 Log L◦T (x)+2(x 2 − m)+LΦoù L =∆− x∇ est l’opérateur d’Ornstein-Uhlenbeck. Par suite∫d(µ, ν) 2 ≤ 2 L Log LdµApplications1 o . On prend L(y) =1 B (y)/µ(B), donc ν(dy) =L(y)µ(dy). Soit T le transportoptimal de µ sur ν : il est presque sûrement à valeurs dans B. On a donc∫d(µ, ν) 2 1≤ 2 L Log Ldµ = 2 Logµ(B)On a d’autre part |T (x) − x| ≥q(x) = Inf{|y − x| / y ∈ B}, donc∫q 2 dµ ≤ d(µ, ν) 2 1≤ 2 Logµ(B)2 o . On prend pareillement µ A =1 A µ/µ(A), µ B =1 B µ/µ(B), on ad(µ A ,µ B ) 2 ≤ 2[d(µ A ,µ) 2 + d(µ, µ B ) 2 ] ≤ 4 Log1µ(A)µ(B)Supposons que A et B soient à distance ≥ δ>0, alors si T est le transport optimalde µ A sur µ B ,onadonc|T (x) − x| ≥δ µ A − presque partoutδ 2 ≤ d(µ A ,µ B ) 2 ≤ 4 Log1µ(A)µ(B)⇒ µ(A)µ(B) ≤ e −δ2 /4Ces inégalités (isopérimétriques) sont indépendantes de la dimension, elles admettentdonc des généralisations en dimension infinie [9,10].3 o . Pour t ∈ [0, 1], posonsΦ t (x) =(1− t)x 2 /2+tΦ(x),T t (x) =∇Φ t (x) =(1− t)x + t∇Φ(x)Soit µ t la mesure image de µ 0 = µ par le transport T t . On constate qued(µ 0 ,µ t ) ≤ (1−t)d(µ 0 ,µ 1 ), d(µ t ,µ 1 ) ≤ td(µ 0 ,µ 1 ). Ce sont donc des égalités. Noter5

qu’il s’agit exactement du paramétrage du transport de µ 0 sur µ 1 , paramétrageproportionnel au temps. Noter aussi que la trajectoire d’un point x ne rencontrepas celle d’un point y ≠ x, sans quoi le transport ne serait pas optimal.ConclusionDes travaux récents (Caffarelli [6], Cordeiro-Erausquin [7], et alt.) montrentla grande importance de cette notion de transport optimal. Elle fournit eneffet de nouvelles méthodes générales de démonstration pour un certain nombred’inégalités (Isopérimétrie, Sobolog, Otto-Villani [14], Bobkov-Ledoux).Il est curieux de constater que le problème initial de Monge (avec le coût |x−y|) eststrictement plus difficile àrésoudre que le même problème pour le coût quadratique|x − y| 2 .Pour le calcul numérique approché de la solution, il y a peu de travaux. On pourracependant consulter un article récent de Benamou-Brenier [3].Certains auteurs ont généralisé la chose dans plusieurs directions : extension surle coût (avec application aux variétés riemanniennes), et extension de IR m àunespace de Hilbert, où à un espace de Banach réflexif. La méthode de McCann exigedes extensions du théorème de Rockafellar, et même des modifications de la notionde convexité. Il semble que ces généralisations ne soient pas uniquement formelles.BIBLIOGRAPHIE[1] P. Appell Mémoire sur les déblais et les remblais des systèmes continus oudiscontinus.Mémoires présentés par divers savants à l’Académie des Sciences de l’Institut deFrance. Paris, I. N. 29, 1-208, (1887).[2] P. Appell Le problème géométrique des déblais et des remblais.Mémorial des Sciences Mathématiques, fasc. XXVII, Paris (1928).[3] J.D. Benamou, Y. Brenier A Computational Fluid Mechanics solution to theMonge-Kantorovich mass transfer problem.Preprint (2001).[4] Y. Brenier Décomposition polaire et réarrangement monotone des champs devecteurs. CRAS Paris 305, série I, 805-808 (1987).[5] Y.Brenier Factorisation polaire et réarrangement des fonctions à valeurs vectorielles.Séminaire du Collège de France, vol.XI (1989-91)[6] L. Caffarelli Monotonicity properties of optimal transportation and the FKG andrelated inequalities. Preprint (1999).6

[7] D. Cordeiro-Erausquin Some applications of mass transport to Gaussian typeinequalities. Preprint (2001).[8] D. Cordeiro-Erausquin, R.J. McCann, M. Schmuckenchläger A Riemannian interpolationinequality à la Borell, Brascamp et Lieb. Prépublication de Marne-La-Vallée, 17/2000 (2000).[9] D. Feyel, A.S. Ustünel Measure transport on Wiener space and the Girsanovtheorem. CRAS Paris, Série I 334, 1025-1028 (2002)[10] D. Feyel, A.S. Ustünel Monge-Kantorovitch measure transportation and Monge-Ampère equation on the Wiener space. A paraître au PTRF (2003).[11] L.V. Kantorovitch On the transfer of masses.Dokl. Acad. Nauk. SSSR 37, 227-229 (1942).[12] R.J. McCann Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps.Duke Math. J. 80, 309-323 (1995).[13] G. Monge Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais.Histoire de l’Académie Royale des Sciences, Paris (1781).[14] F. Otto, C. Villani Generalization of an inequality by Talagrand and links withthe logarithmic Sobolog inequality. J. Funct. Anal. 173, 361-400 (2000).[15] S.T. Rachev The Monge-Kantorovitch transference problem.Th. Prob. Appl. 49, 647-676 (1985).[16] R.T. Rockafellar Convex analysis.Princeton University Press (1972).[17] V. N. Sudakov Geometric problems in the theory of infinite dimensional probabilitydistributions.Proc. Steklov Inst. Math., 141, 1-178 (1979).[18] M. Talagrand Transportation cost for Gaussian and other product measure.Geom. Funct. Anal. 6, 587-600 (1996).D. FeyelUniversité d’Evry-Val-d’Essonnefeyel@maths.univ-evry.frL’auteur remercie les organisateurs du séminaire de l’ESIEA pour leur accueilchaleureux, l’intérêt qu’ils ont porté à cet exposé, et leur aide dans la confectiondu manuscrit final.7