Quantité de mouvement Les systèmes de masse variable

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Quantité de mouvement Les systèmes de masse variable

3 ème os DYNAMIQUE ThéorierF = dr pdt(2)Remarquons que cette dernière relation englobe les situations dans lesquelles la masse peutvarier, car :où dmdtd r pdt = d dt (mr v ) = v r dmdt + m dr vdt≠ 0 si la masse du corps sur lequel s'exerce la force, varie au cours du temps. Dans lecas particulier où la masse m est constante, dm = 0 et la deuxième loi de Newton prend sadtforme la plus couramment utilisée :rF = dr prdt = md v{ dtra= m r aLa loi (2) s'applique à une unique particule de masse m, mais on peut montrer qu'elle restevalable pour un système de n particules de masses respectives m 1, m 2, …, m n:--rF ext= d PrdtrFr ext: résultante des forces externes exercées sur le système.P = r p 1+ p r2+ ...+ r r r rp n= m 1v 1+ m 2v 2+ ...+ m nv n: quantité de mouvement totale dusystème.L'équation (3) est l'expression mathématique de la deuxième loi de Newton s'appliquant auxsystèmes de particules.(3)La fusée, un exemple de système de masse variableLors de sa propulsion, une fusée consomme son carburant et éjecte par ses réacteurs le gazrésultant de cette combustion. Sa masse diminue au fur et à mesure de cette consommation.Nous supposons que la fusée éjecte des gaz avec un débit massique D constant ( D = ∆m∆t , enkg/s) et une vitesse (mesurée par rapport à la fusée) constante. Nous cherchons à exprimer laforce de propulsion de la fusée (force exercée par les gaz sur la fusée). Notons m, la masse dela fusée et v 1sa vitesse à l'instant t, m * sa masse et v 1 * sa vitesse après un intervalle de temps∆t (où m * < m puisque la fusée a éjecté des gaz et donc diminué de masse pendant cetintervalle de temps).P. Rebetez/systèmes de masse variable.doc/14.12.2007 2


3 ème os DYNAMIQUE ThéorieEn notant ∆v 1≡ v 1 * −v 1et en réarrangeant les termes de cette dernière équation, on obtient :La division de cette équation par ∆t , donne :m∆v 1= v relD∆tm ∆v 1{ ∆ta 1m= v relDLe terme a 1m≡ ∆v 1est l'accélération moyenne de la fusée. En faisant tendre vers 0 l'intervalle∆tde temps ∆t , on obtient son accélération instantanée et l'équation ci-dessus devient :ma{ = v 1 relDF resoù le terme ma 1est, en vertu de la deuxième loi de Newton, la résultante des forces F resquis'exercent sur la fusée. Le terme v relD a pour unité le m s ⋅ kgs = kg ⋅ m s 2 , qui est l'unité d'unemasse multipliée par une accélération, c'est-à-dire une force, toujours en vertu de la deuxièmeloi de Newton. Cette force est exercée par les gaz sur la fusée lors de leur éjection, c'est doncla force de propulsion. Cette force résulte de l'interaction entre les gaz et la fusée constituanttous deux le système considéré. On dit pour cette raison, que c'est une force interne ausystème. On voit que la résultante des forces exercées sur la fusée (l'un des deux objets dusystème fusée-gaz) est une force interne : F res= F int.L'intensité de la force de propulsion de la fusée est égale au produit du débit massique desgaz éjectés par leur vitesse d'éjection :F prop= v relD (4)Remarquons que cette force ne dépend ni de la masse, ni de la vitesse de la fusée et qu'elle estde plus constante si la vitesse d'éjection et le débit massique des gaz sont constants.Système non-isoléConsidérons maintenant le cas où le système gaz-fusée n'est pas isolé (la fusée est parexemple entrain de décoller d'une planète et subit sa force gravitationnelle (c.f. fig. cidessous)).P. Rebetez/systèmes de masse variable.doc/14.12.2007 4


3 ème os DYNAMIQUE ThéorieLe principe de conservation de la quantité de mouvement n'est plus valable dans cettesituation. Nous pouvons cependant appliquer la 2 ème loi de Newton (équation (3) pour unintervalle de temps ∆t fini) :F ext m= ∆P∆toù ∆P ≡ P * − P avec P = mv 1et P * = mv 1 * − v relD∆t , comme nous l'avons vu plus haut. Enutilisant les résultats obtenus dans le cas du système isolé, on obtient :D'où :∆P = m∆v 1−v relD∆t∆P∆t = m ∆v 1∆t − v relDEn substituant cette dernière relation dans la deuxième loi de Newton, on obtient :F ext m= m ∆v 1∆t −v relDEn prenant la limite ∆t → 0 , cela donne finalement :F ext= ma 1−v relDoù F extest la résultante des forces externes (instantanées) exercée sur la fusée, a 1l'accélération (instantanée) de la fusée. En réarrangeant les termes de l'équation ci-dessus, onobtient :ma{ = F 1 ext+ v{ relD (5)F resOn voit cette fois que la résultante des forces exercée sur la fusée (l'un des deux objets dusystème fusée-gaz) est la somme des forces externes et des forces internes :F intP. Rebetez/systèmes de masse variable.doc/14.12.2007 5


3 ème os DYNAMIQUE Théorieet que, comme dans le cas du système isolé :F res= F ext+ F int (6)L'intensité de la force de propulsion de la fusée est égale au produit du débit massique desgaz éjectés par leur vitesse d'éjection :F propulsion= v relDP. Rebetez/systèmes de masse variable.doc/14.12.2007 6

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