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Exercices du chapitre Suites numériques

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2. Si u et v sont telles que pour tout n ∈ N, u n v n et ∃ lim(u − v) = 0 alors u et vconvergent.3. Si u converge et si pour tout n ∈ N, u n < 0 alors lim u < 0.4. Si u et v sont deux suites telles que u + v converge alors u et v convergent.5. Si u est une suite qui tend vers 0 sans s'annuler alors 1 utend vers +∞.Exercice 6 (Suite arithmético-géométrique (suite de l'exercice 3 de la seconde feuille)) :Etant donnés trois réels a, b, c ∈ R, on rappelle qu'on appelle suite arithmético-géométriquede paramètre (a, b, c) la suite (u n ) n ∈ R N dénie par le relation de récurrence suivante :u 0 = c et pour tout n ∈ N, u n+1 = au n + b. Si a = 1 on dit que la suite est arithmétiquede raison b. Si b = 0 on dit que la suite est géométrique de raison a.1. Etudier la convergence d'une suite arithmétique en fonction de sa raison.2. Même chose pour une suite géométrique. On pourra distinguer les cas suivants : a = 0, a = 1 et a = −1 où a est la raison, a > 1 en notant a = 1 + α avec α > 0 (penser au binôme), 0 < |a| < 1 (penser à l'inverse), a < −1 (extraire deux suites pour montrer la divergence).3. Soit S(u) n := ∑ nk=0 u k pour tout n ∈ N la série associée à (u n ) n . Dans le casoù u est arithmétique donner une expression simple de S(u) n puis étudier saconvergence.4. Même chose dans le cas où u est géométrique.5. On revient au cas général d'une suite arithmético-géométrique de paramètre (a, b, c) :rappeler la tête <strong>du</strong> terme général et étudier sa convergence.Exercice 7 (Encore des limites) :Dans chacun des cas suivants justier l'existence éventuelle des limites, puis calculez-les :( ) ( )1(5 n + 4(−1) n ) n0,3 + 3n (−2)n , ( 6 n 2 −2n)8 2n + 7n, ( (−1) n + (−1) n+1) .n0 n0n0,n0Exercice 8 (Croissance comparée) :Avec les seuls résultats <strong>du</strong> cours on ne peut pas (pourquoi ?) déterminer le comportementdes suites suivantes (où α > 1 et k ∈ N) :( ( )nkαnu =et v =n!α n )n0En quelques sorte on ne sait pas qui tend le plus vite vers +∞ entre (n k ) n , (α n ) net (n!) n ; d'où le nom de l'exercice. On va montrer qu'elles sont à ranger dans cet ordre,autrement dit que u et v tendent vers 0.n02


u1. Montrer qu'on a pour tout n 1, nu n+1= ( n kn+1)α. En dé<strong>du</strong>ire qu' à partir d'uncertain rang u est décroissante. En dé<strong>du</strong>ire qu'elle converge. Notons l sa limite.2. Montrer que l = 0 (on pourra procéder par l'absurde et faire tendre n → +∞ dansu nu n+1= ( n kn+1)α)3. Appliquer un raisonnement similaire pour v.(4. Que dire de w =n kn!5. Montrer que n!α n2 → 0 dès que α > 1.6. Qu'est-ce que la formule de Stirling ?)n?Exercice 9 (Encore des limites) :Dans chacun des cas suivants justier l'existence éventuelle des limites, puis calculez-les :( ( ( )(( ) 9n57 5n,2)n19 + 4n 6 + n −2 20113n,,((−1) n 6n 4 + 2n)n1n + 25n2 n 3,6 n!n142n)n14 34n 3 )n1Exercice 10 (Séries harmoniques) :On dénit les suites de rationnels suivantes pour tout n ∈ N ∗ :H n :=n∑k=11k , G n :=n∑ (−1) k+1, u n := G 2n et v n := G 2n+1 .kk=11. En dessinant le graphe de x ↦→ 1 n, montrer que pour tout n 2, ln 1 n+1 lnx n−1 n n .2. En dé<strong>du</strong>ire que (H n ) ( Hn tend vers +∞, puis que n)tend vers 1.ln n n3. Montrer que (u n ) n et (v n ) n sont adjacentes. En dé<strong>du</strong>ire que (G n ) n converge.4. (plus <strong>du</strong>r) Montrer que cette limite vaut ln 2.Exercice 11 (La divine proportion ) :Les artistes de tous genres (peintres, sculpteurs, architectes. . .) se sont intéressés à laproportion à peu près en ces termes : étant données deux grandeurs a > b > 0, quel doitêtre le bon rapport a pour que a ne paraisse ni trop grand ni trop petit par rapport à b ?bIls s'accordent généralement sur la réponse suivante : le grand doit être au petit ce quele tout est au grand ; en nos termes à nous : a = a+bb a .1. Montrer qu'il existe eectivement un seul et unique réel 1 Φ > 1 égal à se rapport.2. Montrer que Φ est irrationnel.1 Ce-dernier est souvent appelé nombre d'or .3


3. On peut remarquer que Φ = 1 + 1 et donc que2ΦΦ = 1 + 11 + 1 Φ= 1 +11 + 11+ 1 Φ= · · · = 1 +11 + 11+ 11+ 1....4. On va donner un sens à ces petits points en termes de limite. Montrer que les conditionsϕ 0 = 1 et pour tout n ∈ N, ϕ n+1 = 1 + 1ϕ ndénissent bien une suite derationnels. Calculer les 10 premières valeurs.5. On intro<strong>du</strong>it la suite dite de Fibonacci dénie par les relations suivantes F 0 =0, F 1 = 1 et pour tout n ∈ N, F n+2 = F n+1 + F n . Justier qu'elle est bien dénie.Calculer les 10 premières valeurs. Quel est le lien avec (ϕ n ) n ?6. On note Ψ l'autre racine de x 2 − x − 1. A quelle condition nécessaire sur a, b ∈ Ra-t-on F n = aΦ n + bΨ n pour tout n ∈ N ?7. Montrer que cette condition est susante. En dé<strong>du</strong>ire que (ϕ n ) n tend bien vers Φ.Exercice 12 (Autour de l'exponentielle) :Soit a un réel positif, on pose pour tout n ∈ N, S(a) n := ∑ n a kk=0 k! .1. Montrer que (S(0) n ) n est une suite convergente. Quelle est sa limite ?2. En se souvenant que ( (2a)kk!) k tend vers 0, montrer que (S(a) n ) n est une suite croissantemajorée pour tout a > 0. On note S(a) sa limite. En particulier le réel S(1) est appelénombre d'Euler et noté e. Une valeur approchée en est 2, 718.3. De quelle pathologie sourait Euler à sa mort ?4. (plus <strong>du</strong>r) On suppose que e = a b avec a, b ∈ N × N∗ . En décomposantb!e =b∑k=0+∞b!k! + b! ∑k=b+11k!monter que b!e n'est pas entier. Puis en dé<strong>du</strong>ire que e est irrationnel.5. On veut montrer que : ∀a, b 0, S(a + b) = S(a)S(b). Traiter le cas où ab = 0.6. (plus <strong>du</strong>r) On suppose (donc) que a, b ∈ R ∗ + . Justier l'encadrement :∀n ∈ N, S(a) n S(b) n S(a + b) 2n S(a) 2n S(b) 2n , puis conclure.{S(x) si x 07. Que dire 3 de l'application R → R, x ↦→S(−x) −1 ?si x < 02 Dans pareil cas, on parle de développement en fraction continuée.3 Est-elle bien dénie, et la reconnaissez-vous ?4

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