Anneau des polynômes

ses coe¢ cients sont ( 1; 0; :::; 0; 1; 0; :::; 0; :::) tous les coe¢ cients sont nuls saufa 0 = 1 et a n = 1:pExemple 2: Q = 2X 3 5X est un polynôme non unitaire de degré 3à coe¢ cients dans R; c.à.d p Q 2 R [X] : Le terme dominant de Q est 2X 3 etses coe¢ cients sont 0; 5; 0; 2; 0; :::; 0; ::: tous les coe¢ cients sont nuls saufa 1 = p 5 et a 3 = 2:Exemple 3: S = 4 + 2i est un polynôme non unitaire de degré 0 (polynômeconstant) à coe¢ cients dans C; c.à.d S 2 C [X] : Le terme dominant de S est4 + 2i et ses coe¢ cients sont (4 + 2i; 0; :::; 0; :::) tous les coe¢ cients sont nuls saufa 0 = 4 + 2i:6.2. Opérations sur l’ensemble A [X]6.2.1.Dé…nitions: Soient P = a 0 + a 1 X 1 + ::: + a n 1 X n 1 + a n X n + ::: et Q =b 0 + b 1 X 1 + ::: + b n 1 X n 1 + b n X n + ::: deux polynômes de A [X]On dé…nit la somme P + Q et le produit P:Q par:P + Q = (a 0 + b 0 )!+ (a 1 + b 1 ) X 1 + ::: + (a n 1 + b n 1 ) X n 1 + (a n + b n ) X n + :::PP:Q = a i :b j + P! ! !PPa i :b j X 1 + ::: + a i :b j X n 1 + a i :b j X n + :::i+j=06.2.2.Remarque: 1) c 0 =c 1 =i+j=1Pi+j=0Pi+j=1i+j=n 1Pa i :b j = a 0 :b 0 = 0 a i :b 0i=0Pa i :b j = a 0 :b 1 + a 1 :b 0 = 1 a i :b 1ii=0ii+j=n:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::c n 1 = P a i :b j = a 0 :b n 1 + a 1 :b n 2 + ::: + a n 1 :b 0 = n P 1a i :b n 1 ic n =i+j=n 1Pi+j=na i :b j = a 0 :b n + a 1 :b nP1 + ::: + a n :b 0 = n a i :b n:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::2) Pour énoncer la proposition suivante, on adopte la convention suivante:Pour tout n 2 N : n + ( 1) = ( 1) + n = 1; 1 < net ( 1) + ( 1) = 16.2.3.Proposition: Soient P et Q deux polynômes de A [X] ; alors:deg (P + Q) max (deg P; deg Q) et deg (P:Q) deg P + deg Qet si A est intègre, alors deg (P:Q) = deg P + deg QPreuve: Notons n = deg P et m = deg Q et P = a 0 +a 1 X 1 +:::+a n 1 X n 1 +i=0i=0i2

a n X n et Q = b 0 + b 1 X 1 + ::: + b m 1 X m 1 + b m X m1) Si l’un des polynômes est nul, par exemple P = 0, alors P + Q = Q etP:Q = 0 ainsi deg (P + Q) = deg Q = max ( 1; deg Q) = max (deg P; deg Q)deg (P:Q) = 1 = 1 + deg Q = deg P + deg Q2) Si aucun des polyômes P et Q n’est nul, alors2.1) Les coe¢ cients de P + Q sont tous nuls après le rang max (n; m) doncdeg (P + Q) max (n; m) = max (deg P; deg Q)2.2) Les coe¢ cients c k = P a i :b j de P:Q véri…ent pour tout k 2 N :c (n+m)+k =Pi+j=n+m+ki+j=ka i b j = a 0 b n+m+k + ::: + a n b| {z m+k + a} n+1 b m+k 1 + ::: + a n+m+k b| {z } 0dans ce terme tous les b j sont nuls dans ce terme tous les a i sont nuls= 0Ainsi degP(P:Q) n + m = deg P + deg Q:c n+m = a i :b j = a 0 :b n+m + ::: + a n 1 :b m+1i+j=n+m| {z }dans ce terme tous les b j sont nuls+ a n :b m + a n+1 :b m 1 + ::: + a n+m :b 0| {z }dans ce terme tous les a i sont nuls= a n :b mSi A est un anneau intègre, alors c n+m = a n :b m 6= 0 car a n 6= 0 et b m 6= 0.D’où deg (P:Q) = n + m = deg P + deg Q.Exemple 1: Dans Q [X], soient les polynômes:P = 3X 2 1 = 3X 2 + 0X 1 etQ = 1 2 X3 + 4X = 1 2 X3 + 0X 2 + 4X + 0 alorsP + Q = 0 + 2 1 X 3 + (3 + 0) X 2 + (0 + 4) X + ( 1 + 0) et= 1 2 X3 + 3X 2 + 4X 1P:Q = (( 1) 0) + (0 0) + 3 2 1 + (0 0) + (0 4) + (0 0) X5+ (( 1) 0) + 0 2 1 + (3 0) + (0 4) + (0 0) X4+ ( 1) 2 1 + (0 0) + (3 4) + (0 0) X3+ ((( 1) 0) + (0 4) + (3 0)) X 2+ (( 1) 4 + 0 0) X+ (( 1) 0)= 3 2 X5 + 0X 4 23 2 X3 + 0X 2 4X + 0 = 3 2 X5 23 2 X3 4XExemple 2: Dans Z= 6Z [X], soient les polynômes:P = 3X 2 1 =3X 2 + 0X 1 etQ = 4X 2 + 2X = 4X 2 + 2X + 0 alors 3 0P + Q = + 4 X 2 + + 2 X += X 2 + 2X 11+0et3

P:Q = 1 0 0 3 0 0 + 0 + 4 + 2 + 0 1 + 0 0 3 0 + 4 + 2 + 0 X 3 1 + 4 0 3 + 2 + 0 X 2 1 + 2 0 + 0 X 1 + 0 = 0X 4 + 0X 3 4X22X = 4X 2 2XOn remarque dans cet exemple que deg (P:Q) < deg P + deg Q; c’est parcequeZ= 6Z n’est pas intègre.6.2.4.Théoreme: (A [X] ; +; :) est un anneau unitaire commutatif.Preuve:1) Montrons que (A [X] ; +) est un groupe.L’addition des polyômes + est clairement une lois de composition interne associativeet commutative, car l’addition + l’est sur A:On véri…e facilement que le polynôme nul 0 est l’élément neutre et que P =( a 0 ) + ( a 1 ) X 1 + ::: + ( a n 1 ) X n 1 + ( a n ) X n + ::: est le symétrique de P =a 0 + a 1 X 1 + ::: + a n 1 X n 1 + a n X n + ::: pour l’addition des polynômes.Par conséquent (A [X] ; +) est un groupe commutatif.2) Pour la multiplication des polynômes qui est cailrement une lois interne,prenons P = p 0 + p 1 X 1 + ::: + p n 1 X n 1 + p n X n + :::; Q = q 0 + q 1 X 1 + ::: +q m 1 X m 1 + q m X m + ::: et S = s 0 + s 1 X 1 + ::: + s k 1 X k 1 + s k X k + ::et notons respectivement les coe¢ cients de (P:Q) :S, P: (Q:S), P:Q, Q:S par((P:Q) :S) l, (P: (Q:S)) l; (P:Q) let (Q:S) l; alors (P:Q) l= P p i :q j = P q j :p i = (Q:P ) li+j=lX 4j+i=let P:Q = Q:P; car ils ont les mêmes coe¢ cients, d’où la commutativité de la multiplication.((P:Q) :S) l= P (P:Q) r:s k=P!Pp i :q j :s kr+k=lr+k=l i+j=r= P!Pp i :q j :s k= P p i :q j :s kr+k=l i+j+k=r+ki+j+k=l(P: (Q:S)) l= P p i : (Q:S) r= P!Pp i : q j :s ki+r=li+r=l j+k=r= P!Pp i :q j :s k= P p i :q j :s ki+r=li+j+k=i+r4i+j+k=l

alors (P:Q) :S = P: (Q:S) car ils ont les mêmes coe¢ cients, d’où l’associativité dela multiplication.((P + Q) :S) l= P (P + Q) r:s k= P (P r + Q r ) :s kr+k=lr+k=l= P P r :s k+ P Q r :s k= (P:S) l+ (Q:S) lr+k=lr+k=lalors (P + Q) :S = P:S + Q:S, car ils ont les mêmes coe¢ cients, d’où la distributivitéde la multiplication par rapport à l’addition.L’anneau A est unitaire d’élément unité 1; alors l’anneau A [X] est aussi unitaired’élément unité 1.Par suite (A [X] ; +; :) est un anneau commutatif et unitaire.6.2.5.Proposition: Si A est un anneau intègre, alors (A [X] ; +; :) est un anneauintègrePreuve: Si P:Q = 0 alors deg (P:Q) = deg 0 = 1; donc d’après Prop.6.2.3, on conclut que deg P + deg Q = 1; alors ou bien deg P = 1 ou biendeg Q = 1 , c.à.d P = 0 ou Q = 0.6.3. Arithmétique dans A [X]Dans la suite, on suppose que A est un anneau commutatif, unitaire et intègre.6.3.1. Divisibilité:Soient P , B deux polynômes de A [X]On dit que B divise P , s’il exite Q 2 A [X] tel que P = Q:BExemple 1: Tout élément inversible a de l’anneau A divise tout polynôme Pde A [X] En e¤et: P = a: (a 1 P )Exemple 2: Tout polynôme P divise le polynôme nul 0 En e¤et: 0 = 0:PExemple 3: X + 1 divise X 2 + X En e¤et: X 2 + X = X (X + 1)6.3.1.1 Remarques:R1) 0 ne divise que 0; et les seuls diviseurs de 1 sont les éléments inversibles deA, qui sont aussi les seuls éléments inversibles dans A [X] :(si 1 = QB; alors 0 = deg 1 = deg Q + deg B; d’où deg Q = deg B = 0 doncQ = q 0 et B = b 0 avec 1 = q 0 b 0 )R2) Si B divise P , on dit aussi que P est un multiple de B:R3) Si B divise P et P 6= 0 , alors deg B deg P (P = Q:B et deg P =deg Q + deg B)5

6.3.1.2 Proposition: Soient P et B deux polynomes de A [X]i) B divise P , si et seulement, si P:A [X] B:A [X]ii) P = B ( un élément inversible de A) , si et seulement, si P:A [X] = B:A [X](Les polynômes P et B sont dits associés, si P = B où est un élément inversiblede A).Preuve: i) EvidentePour montrer ii), il su¢ t de remarquer que P:A [X] = B:A [X] et équivalente,d’après i) à P = Q 1 :B et B = Q 2 :P d’où P (1 Q 1 :Q 2 ) = 0 et comme A [X] estintègre (voir Prop.6.2.5), alors P = 0 ou Q 1 :Q 2 = 1* Si P = 0; alors B = 0 et P = 1:B* Si Q 1 :Q 2 = 1; alors Q 1 et Q 2 sont inverse l’un de l’autre, alors Q 1 = 2 Aet Q 2 = 1 donc P = B où est un élément inversible de A:Il est clair que si P = B; alors B = 1 P d’où B divise P et P divise B:6.3.2. Division euclidienne dans A [X] :Soient P , B deux polynômes de A [X]Si le coe¢ cient du terme dominant de B est inversible dans A, alors il existe uncouple (Q; R) 2 A [X] 2 tels queP = QB + R et deg R < deg BPreuve: a) Pour montrer l’existence, on a deux cas.a.1) Si P = 0, alors P = Q:B + R avec Q = R = 0; ce qui véri…e 1 =deg R < deg B ( deg B 0 car B 6= 0)a.2) Si P 6= 0, et deg P = n et deg B = m; alors P = p 0 + p 1 X + ::: + p n X net B = b 0 + b 1 X + ::: + b m X mRaisonnons par récurrence sur n:* Si n = 0, on a deux cas1 er cas: m = 0; alors P = p 0 et B = b 0 d’où P = Q:B + R avec Q = p 0 b0 1 etR = 0; ce qui véri…e 1 = deg R < deg B = 0)2 eme cas: m > 0; alors P = p 0 d’où P = Q:B + R avec Q = 0 et R = P; ce quivéri…e 0 = deg R < deg B)* Supposons le théorème démontré pour tous les polynômes de degré inférieurou égal à n 1 et montrons qu’il reste vrai pour les polynômes de degré n:on a deux cas1 er cas: m > n; alors P = Q:B + P avec Q = 0 et R = P; ce qui véri…en = deg R < deg B = m)6

2 eme cas: m n; alors P = P a n bn 1 X n m :B est de degré inférieur ou égal àn 1; alors d’après l’hypothèse de récurrence P = QB + R avec deg R < deg Bpar conséquent P = P + a n bn 1 X n m :B = Q + a n bn 1 X n m B + R doncP = Q:B + R avec Q = Q + a n bn 1 X n m et R = R; ce qui véri…e deg R < deg B)b) Pour montrer l’unicité, on suppose que P = Q:B + R = Q 1 :B + R 1 tels quedeg R < deg B et deg R 1 < deg B:Alors (Q Q 1 ) :B = (R 1 R) et par passage aux degrés, on obtient deg (Q Q 1 )+deg B = deg (R 1 R) max (deg R 1 ; deg R) < deg B; d’où deg (Q Q 1 ) = 1,ainsi Q Q 1 = 0 et par suite R 1 R = 06.3.2.1 Remarque: La preuve précédente montre que la division euclidiennede P par B; se ramène à la division euclidienne de P par B; avec deg P < deg P;ceci est la base d’un procédé itératif appelé algorithme de la division euclidiennedes polynômes.Exemple 1: Divison P = 3X 5 2X 3 5X 2 + 1 par B = 2X 3 + 1 2 X2 X3X 5 + 0X 4 2X 3 5X 2 1+ 0X + 12 X3 + 2X 2 X + 012X 4 + 4X 3 5X 2 + 0X + 1 6X 2 24X + 10452X 3 29X 2 + 0X + 1237X 2 + 104X + 1donc le quotient Q = 6X 2 24X + 104 et le reste R = 237X 2 + 104X + 16.3.3. Idéaux de A [X]Un idéal de (A [X] ; +; :) est un sous ensemble non vide I de A [X] véri…ant1) I contient le polynôme nul 0 et pour tous P ,Q 2 I : P Q 2 I2) Pour tous P 2 A [X] et Q 2 I : P:Q 2 I(voir cours 4.Propo.4.2.6.1 )Exemple 1: On peut facilement véri…er que les ensembles B:A [X] sont desidéaux de (A [X] ; +; :) (où B est un polynôme)6.3.3.1.Théorème: Soit K un corps commutatif, alors pour tout idéal I de(K [X] ; +; :) il existe un polynôme B unitaire ou nul tel que I = B:K [X]Preuve:1 er cas: Si I = f0g ; alors I = 0:K [X] et 0 est l’unique polynôme B véri…antB:K [X] = f0g : Dans ce cas B est nul.2 eme cas: Si I 6= f0g ; soit B un polynôme non nul de I de degré minimal. Onchoisit B unitaire (si B n’est pas unitaire, on le multiplie par l’inverse du coe¢ cient7

de son terme dominant, pour obtenir un polynôme de même degré dans I)On a B:K [X] I (car I est un idéal):Inversement; pour tout P 2 I , il existe (Q; R) 2 K [X] 2 tel que R = P QB;avec deg R < deg B (Voir 6.3.2). Comme I est un idéal et P 2 I , QP 2 I ,alors R = P QB 2 I et le fait que deg R < deg B , implique R = 0 (car B estun polynôme non nul de I de degré minimal appartenant à I). Par conséquentP = QB et I B:K [X]Les deux inclusions obtenues donnent l’égalité I B:K [X] :Si B:K [X] = B 0 :K [X] ; alors B = B 0 avec 2 K (voir Propo.6.3.1.2 ) etpuisque B et B 0 sont unitaires ou nuls, alors = 1, d’où l’unicité de B:6.3.4. Notion de pgcd et de ppcm.Dans ce qui suit K est un corps commutatif.6.3.4.1.Théorème et dé…nition: Soient P 1 ; P 2 ; :::; P s des polynômes de K [X].sP1) Il existe un unique polynôme unitaire ou nul D véri…ant P i :K [X] = D:K [X]p2) Il existe un unique polynôme unitaire ou nul M véri…ant \ P i:K [X] = M:K [X] :i=1D s’appelle le plus grand commun diviseur de la fammille P 1 ; P 2 ; :::; P s et il estnoté pgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P s )M s’appelle le plus petit commun multiple de la fammille P 1 ; P 2 ; :::; P s et il estnoté ppcm (P 1 ; P 2 ; :::; P s )PPreuve: 1) Montrons que s P i :K [X] est un idéal de (K [X] ; +; :) : En e¤et:P1.1) 0 = P 1 :0 + P 2 :0 + ::: + P s :0 donc 0 2 s P i :K [X]i=1P1.2) Si T 2 s PP i :K [X] et Q 2 s P i :K [X] ; alors T = P 1 :T 1 +P 2 :T 2 +:::+P s :T si=1i=1et Q = P 1 :Q 1 + P 2 :Q 2 + ::: + P s :Q s d’où T Q = P 1 : (T 1 Q 1 ) + P 2 : (T 2 Q 2 ) +P::: + P s : (T s Q s ) 2 s P i :K [X]i=1P1.3) Si Q 2 K [X] et T 2 s P i :K [X] ; alors T = P 1 :T 1 + P 2 :T 2 + ::: + P s :T si=1Pd’où Q:T = P 1 : (Q:T 1 ) + P 2 : (Q:T 2 ) + ::: + P s : (Q:T s ) 2 s P i :K [X]i=1sPDonc, d’après cours 4, Prop 4.2.6.1, P i :K [X] est un idéal de (K [X] ; +; :)i=1i=1i=18

et par application du th 6.3.3.1, on conclut l’existence et l’unicité du polynômePD véri…ant s P i :K [X] = D:K [X] :i=12) Montrons que \s P i :K [X] est un idéal de (K [X] ; +; :) : En e¤et:i=12.1) 8i 2 f1; 2; :::; sg on a 0 = P i :0 2 P i :K [X] ; alors 0 2 \s P i :K [X]i=12.2) Si T 2 \s P i :K [X] et Q 2 \s P i :K [X] ; alors 8i 2 f1; 2; :::; sg on a T 2i=1 i=1P i :K [X] ; et Q 2 P i :K [X] donc T Q = P i : (T i Q i ) 2 P i :K [X] ; et (T Q) 2s\ i:K [X]i=12.3) Si Q 2 K [X] et T 2 \s P i :K [X] ; alors 8i 2 f1; 2; :::; sg on a T 2i=1P i :K [X] ; et donc Q:T = P i : (Q:T i ) 2 P i :K [X] ; et Q:T 2 \s P i :K [X]i=1Donc, d’après cours 4, Prop 4.2.6.1,s\i=1 P i:K [X] est un idéal de (K [X] ; +; :)et par application du th 6.3.3.1, on conclut l’existence et l’unicité du polynômeM véri…ant \s P i :K [X] = M:K [X] :i=1Exemple: (2X 2 2) :K [X] = f(X 2 1) :Q = Q 2 K [X]g et (X + 1) :K [X] =f(X + 1) :Q = Q 2 K [X]g et (X 2 1) :K [X]\(X + 1) :K [X] = (2X 2 2) :K [X]donc ppcm(2X 2 2; X + 1) = X 2 16.3.4.2 Remarque: Le pgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) et le ppcm (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) son parfoisnotés respectivement P 1 ^ P 2 ^ ::: ^ P s et P 1 _ P 2 _ ::: _ P s6.3.4.3 Théorème (Caractérisation du pgcd et du ppcm): Soient P 1 ; P 2 ; :::; P sdes polynômes de K [X].1) Le polynôme D est le pgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) , si et seulement, si D est unitaireou nul eti) 8i 2 f1; 2; :::; sg : D divise P iii) (8i 2 f1; 2; :::; sg : D 0 divise P i ) =) D 0 divise D2) Le polynôme M est le ppcm (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) , si et seulement, si M esti) 8i 2 f1; 2; :::; sg : Punitaire ou nul eti divise Mii) (8i 2 f1; 2; :::; sg : P i divise M 0 ) =) M divise M 0Preuve:1) i) Si D = pgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) ; alors D est unitaire ou nul et pourtout i on a P i :K [X] s Pi=1P i :K [X] = D:K [X] donc d’après Prop.6.3.1.2 Ddivise P i ; pour tout iii) Si D 0 divise tous les P i ; alors d’après la Prop.6.3.1.2 P i :K [X] D 0 :K [X]pour tout i , d’où D 0 :K [X] s Pi=1P i :K [X] = D:K [X] et toujours d’après la9

Prop.6.3.1.2, D 0 divise D:Inversement, soit D un polynôme unitaire ou nul véri…ant i) et ii). D’après i),sPD divise tous les P i donc P i :K [X] D:K [X] et P i :K [X] D:K [X] ; d’oùD divise pgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) : En utilisant ii) et le fait que, 8i 2 f1; 2; :::; sg :pgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) divise P i ; on conclut qe pgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) divise D , d’oùl’égalité pgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) = :D; avec 2 K (voir Propo.6.3.1.2 ) et puisquepgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) et D sont unitaires ou nuls, alors = 1, d’où l’égalitépgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) = D:L’assertion 2) se démotre de la même façon que 1).6.3.4.4 Propriétés du pgcd et du ppcm: Soient P 1 ; P 2 ; :::; P s des polynômesK [X].1) Le pgcd et le ppcm ne changent pas en permuttant les P i2) pgcd ( 1 P 1 ; 2 P 2 ; :::; s P s ) = pgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) et ppcm ( 1 P 1 ; 2 P 2 ; :::; s P s ) =ppcm (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) pour 1 ; 2 ; :::; s 2 K3) Pour tout C 2 K [X] on a pgcd (C:P 1 ; C:P 2 ; :::; C:P s ) = C:pgcd b (P 1 ; P 2 ; :::; P s )et ppcm (C:P 1 ; C:P 2 ; :::; C:P s ) = C:ppcm b (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) où C b est le polynôme unitaireou nul associé à C4) Pour tout q 2 f1; 2; :::; sg , on :pgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) = pgcd (pgcd (P 1 ; P 2 ; :::; P q ) ; pgcd (P q+1 ; P q+2 ; :::; P s )) etppcm (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) = ppcm (ppcm (P 1 ; P 2 ; :::; P q ) ; ppcm (P q+1 ; P q+2 ; :::; P s ))(C.à. d pgcd et ppcm sont associatifs)PPreuve:1) s P i :K [X] ne change pas en permuttant les P i d’où le résultat.i=1P2) Pour tout i , ona i P i :K [X] = P i :K [X] , donc s P i :K [X] ne change pasen remplaçant les P i par i P i ; d’où le résultat.3) Pour tout i , ona C:P i :K [X] = C:P b Pi :K [X] , donc s C:P i :K [X] = C: b P s P i :K [X],d’où le résultat.P4) s PP i :K [X] = q P i :K [X] +i=1i=1s Pi=q+1La preuve est analogue pour le ppcm:i=1i=1i=1i=1P i :K [X] ; donc le pgcd est associatif.10

6.3.5. Algorithme d’EuclideL’algorithme d’Euclide est un procédé itératif permettant le calcul du pgcd (A; B) ;en se basant sur l’idée suivante: pgcd (A; B) = pgcd (B; R) où R est le reste de ladivision euclidienne de A par B:Exemple: Calculons pgcd (X 4 1; X 3 1) :2X 4 2 X 3 1 et X 3 1 2X 22X 2 2X X 2 112 X2 + 1X + 1 2 2X 10Alors pgcd (2X 4 2; X 3 1) = pgcd (X 3 1; 2X 2) = pgcd (2X 2; 0)= 1 (2X 2) = X 12On multiplie par 1 pour obtenir un polynôme unitaire.26.3.6. Polynômes premiers entre eux6.3.6.1 Dé…nition: Soit (P 1 ; P 2 ; :::; P s ) 2 K [X] s1) On dit que P 1 ; P 2 ; :::; P s sont premiers entre eux si a 1 ^ a 2 ^ ::: ^ a q = 1:2) On dit que P 1 ; P 2 ; :::; P s sont deux à deux premiers entre eux si P i ^ P j = 1:pour i 6= j ( i; j 2 f1; 2; :::; sg)6.3.6.2 Théorème de Bezout: Les polynômes P 1 ; P 2 ; :::; P s sont premiers entreeux si, et seulement, s’il existe (U 1 ; U 2 ; :::; U s ) 2 K [X] s tel ques Pi=1P i :U i = 1PPreuve: On a P 1 ^P 2 ^:::^P s = 1 donc s P i :K [X] = 1:K [X] ; alors il existe(U 1 ; U 2 ; :::; U s ) 2 K [X] s Ptel que s P i :U i = 1:i=1sPInversement, si P i U i = 1; alors tout diviseur commun des P i divise 1; donci=1P 1 ^P 2 ^:::^P s divise 1, alors deg (P 1 ^ P 2 ^ ::: ^ P s ) = 0 et puisqu’il est unitaire,il est égal à 1Exemple: Si 1 , 2 2 K, alors les polynômes X 1 et X 2 sont premiersenter eux si 1 6= 2 . En e¤et: ( 1 2 ) 1 (X 1 ) ( 1 2 ) 1 (X 2 ) = 1..6.3.6.3 Théorème de Gauss: Soient A; B; C des polynômes de K [X]Si A divise B:C et A est premier avec B , A divise CPreuve: IL existe U et V tels que AU + BV = 1 en multipliant par C =A:U:C + B:V:C donc A divise C car A divise A:U:C + B:V:C .i=111

.6.3.6.4 Propriétés des polynômes premiers entre eux: Soient P 1 ; P 2 ; :::; P s ;A; B; C des polynômes de K [X] et m; n des entiers naturels s Q1)Si 8i 2 f1; 2; :::; sg : P i ^ C = 1; alors P i ^ C = 1i=12) Si A ^ B = 1 Alors A n ^ B m = 13) Si P 1 ; P 2 ; :::; P s sont deux à deux premiers entre eux, alors P 1 _P 2 _:::_P s =Q s P i , pour un certain 2 Ki=14) (A ^ B) : (A _ B) = :A:B , pour un certain 2 K (cette propriété n’esttoujours vraie que pour deux polynômes)5) Si P 1 ; P 2 ; :::; P s sont deux à deux premiers entre eux et chaque P i divise BsQ, alors a i divise Bi=1Preuve: 1) P i ^C = 1; alors il existe des entires U i et V i tels que P i U i +CV i =Q1: En multipliant ces égalités, on obtient 1 = s sQ(P i U i + CV i ) = P i U i + Ri=1i=1où R est la somme des termes qui restent , qui contiennent tous C comme facteur.Q sAlors 1 =P ii=1Q:U + CV ; où U = s Q sU i et CV = R; donci=1P i ^ C = 1i=1(d’après le théorème de Bezout: Th.6.3.6.2 )2) Si n = 0 où m = 0; il est clair que A n ^ B m = 1:Et si n 6= 0 et m 6= 0 , alors d’après 1), on a A n ^ B = 1 en choisissantP 1 = P 2 = ::: = P n = A et C = B; en suite A n ^ B m = 1 toujours d’après 1), enchoisissant P 1 = P 2 = ::: = P n = B et C = A n :3) Commençons par le cas p = 2; et soit M = P 1 _ P 2 . On P 1 ^ P 2 = 1; alorsil existe U 1 , U 2 2 K [X] tels que P 1 U 1 + P 2 U 2 = 1; donc M = P 1 U 1 M + P 2 U 2 M ,or M = P 1 M 1 et M = P 2 M 2 d’où M = P 1 P 2 (U 1 M 2 + U 2 M 1 ) ; et P 1 P 2 divise M;mais M divise P 1 P 2 (car P 1 P 2 est un multiple commun de P 1 et P 2 ), alors on al’égalité P 1 P 2 = M = (P 1 _ P 2 ) ; pour un certain 2 K ( Voir Prop.6.3.1.2)Pour le cas p quelconque , on procède par récurrence en supposant la propriétévraie à l’ordre q et en la montant à l’ordre q + 1:Q qOn a d’après 1)P i ^ P q+1 = 1 et d’après le cas p = 2 , onai=1 q QP i _i=1P q+1 = 0q+1 QP i : En utilisant l’hypothèse de récurrence et Prop.6.3.4.4 2) et 4) ,i=1on conclut que: 0q+1 QP i = 00 (a 1 _ a 2 _ ::: _ a q ) _ a q+1 = a 1 _ a 2 _ ::: _ a q _ a q+1i=112

4) Si A = 0 ou B = 0 l’égalité est triviale.Et si A 6= 0 et B 6= 0; alors en posant A = (A ^ B) :A 0 et B = (A ^ B) :B 0 , lespolynômes A 0 et B 0 deviennent premiers entre eux, alors d’après 3) A 0 _B 0 = A 0 B 0et en utilisant Pté 6.3.4.4, on conclut queAB = (A ^ B) 2 A 0 B 0 = (A ^ B) 2 (A 0 _ B 0 )= (A ^ B) ((A ^ B) A 0 _ (A ^ B) B 0 ) = (A ^ B) (A _ B)5) B est un multiple commun des P i ; donc c’est un multiple de leur ppcm quiQest égal, d’après 3), à s QP i ; donc s P i divise B:i=16.3.7. Polynomes irréductiblesi=16.3.7.1 Dé…nition: On appelle polynôme irréductible ou premier dans K [X] toutpolynôme P tel que deg P 1 dont les seuls diviseurs sont les polynomes et:P , où 2 K = K f0g :Exemple 1: X a est un polynôme irréductible dans K [X] et d’une façongénérale tout polynôme P de degré 1 est irréductible dans K [X] :En e¤et: Si B divise P; alors deg B deg P = 1 et comme B ne peut pas êtrenul, on conclut que deg B 2 f0; 1g donc B 2 f; :P g où 2 K :Exemple 2: X 2 + 1 est irréductible dans R [X] car on ne peut pas l’écrirecomme produit de deux polynômes de degré 1 à coe¢ cients dans R:Le même polynome X 2 +1 est réductible dans C [X] , car X 2 +1 = (X + i) (X i)Exemple 3: X 4 +4 est réductible Q [X] , car X 4 +4 = (X 2 2X + 2) (X 2 + 2X + 2).6.3.7.2 Proposition: Soient P un polynôme irréductible et A; A 1 ; A 2 ; :::; A s desdes polynômes de K [X], alors:1) Ou bien P est premier avec A ou bien P divise A:Q2) Si P divise s A i , alors P divise au moins l’un des A i :i=1Preuve: 1) Les seuls diviseurs de P sont et P; ( 2 K )alors ou bienpgcd (A; P ) = 1 = 1; donc P et premier avec A; ou bien pgcd (A; P ) = P b (oùest le polynôme unitaire associé à P ) donc P divise A:2) Supposons que P ne divise aucun A i , alors d’après 1) , il est premier avecQtous les A i ; et d’après Ptè 6.3.6.4 , P est premier avec s P i , ce qui est absurde.i=1.6.3.7.3 Théorème: Tout polynôme P de K [X] tel que deg P 1; possède aumoins un diviseur irréductible unitaire.13

Preuve: L’ensemble DegD P des degrés des polynômes non constants diviseursde P , n’est pas vide (car deg P 2 DegD P ), alors il possède un plus petit élémentdeg Q. Cet élément Q est irréductible. En e¤et: Soit D un diviseur de Q ;alors ou bien D est constant ( D = 2 K ), ou bien D est non constant doncdeg D 2 DegD P ; alors deg Q deg D , d’où deg Q = deg D et Q = D; alors Qest irréductible.En …n b Q le polynôme unitaire associé à Q est un diviseur de P:6.3.7.4 Théorème: (Décomposition en facteurs irréductibles)Pour tout polynôme P de K [X] tel que deg P 1; il existe, de façon unique(à une permutation près), des polynômes irréductibles P 1 ; P 2 ; :::; P r unitaires, deuxà deux distincts de K [X] et des nombres entiers naturels strictement positifs 1 ; 2 ; :::; r et il existe un élément unique 2 K tels que P = rQp iPreuve: 1) Montrons l’existance de la décomposition par récurrence sur deg P1.1) Si deg P = 1; alors P est irréductible et P = P b où P b est le polynômeunitaire associé à P .1.2) Supposons maintenant que la décomposition est valable pour tout polynômenon constant de degré inférieur à n et montrons qu’elle reste valable pour unpolynôme P de degré n:Si P est irréductible alors P = P b où P b est le polynôme unitaire associé à P .Sinon P = AB où A et B sont des polynômes non constants de degrés inférieursà n, alors en appliquant l’hypothèse de récurrence à A et B; on obtient unedécomposition de leur produit P:2) Pour l’unicité, supposons P = rQP Qi= s Q j2.1) Comme r QP ii=1i et s QQ jjj=12.2) On a chaque P i divisei=1ij=1j :sont unitaires, alors = et r QsQQ jj=1i=1P iii=1i .= s QQ jjj=1j , alors d’après Prop 6.3.7.2, P i diviseau moins l’un des Q j , et puisque Q j et P i sont unitaires et irréductibles alorsP i = Q j . Par cconséquent fP 1 ; P 2 ; :::; P r g fQ 1 ; Q 2 ; :::; Q s g : De la même façon,on montre l’autre inclusion, d’où l’égalité fP 1 ; P 2 ; :::; P r g = fQ 1 ; Q 2 ; :::; Q s gAinsi r = s et à une permutation près on peut écrire P i = Q i .Pour montrer que i = i , supposons i < i14

Or 0 = r QP iii=1rQQ iii=1intègre et P Qii 6= 0; alors rk=1k6=i= P iiP k0BrQ@k=1k6=ik= Q i iiP kkQ i iirQk=1k6=iQ kkrQk=1k6=iQ kk1CA et comme K [X] estet Q i divise le deuxième membresans diviser le premier, ce qui est impossible. De la même façon, on montre qu’ilest impossible d’avoir i > i ; d’où l’égalité i = i.6.3.7.4 Calcul du pgcd et du ppcm à l’aide de la décomposition en facteursirréductibles:Soit A 2 K [X] = K [X] f0g ; Pour tout polynôme irréductible unitaire P ,on note par v P (A) ; l’exposant de P dans la décomposition en facteurs irréductiblesde A: Alors:v P (A) = 0 , si P ne divise pas Av P (A) 6= 0 , si P divise ADonc la décomposition donnée par le théorème Th 6.3.7.3 , peut être écriteA = Q P vp(A) ; où P est l’ensemble de tous les polynômes irréductibles unitairesP 2Pde K [X].Exemple: Dans C [X] ; on a: v X+i (X 2 + 1) = 1; v X+1 (X 2 + 1) = 06.3.7.4.1 Théorème:8Soient A 1 ; A 2 ; :::A s des polynômes de K [X] .< pgcd (A 1 ; A 2 ; :::A s ) = Q P min(v P (A 1 );v p(A 2 );:::;v p(A s))P 2POn a, alors: ppcm (A 1 ; A 2 ; :::A s ) = Q P max(v P (A 1 );v p(A 2 );:::;v p(A s))P 2PPreuve: 1) Soit D = pgcd (A 1 ; A 2 ; :::A s ) et= Q P min(v P (A 1 );v p(A 2 );:::;v p(A s)) :Pour tout i ; P min(v P (A 1 );v p(A 2 );:::;v p(A s)) divise les P vp(Ai) ; d’où= Q P min(v P (A 1 );v p(A 2 );:::;v p(A s)) divise les Q P vp(Ai) = A i et d’après le ThP 2P6.3.4.3 on conclut que divise D:Inversement, D = pgcd (A 1 ; A 2 ; :::A s ) et comme D divise les A i ; alors v P (D) v P (A i ) ; pour tout i 2 f1; 2; :::; sg , donc v P (D) min (v P (A 1 ) ; v P (A 2 ) ; :::; v P (A s ))et P v P (D) divise P min(v P (A 1 );v p(A 2 );:::;v p(A s)) ; et par passage aux produits, on aura Ddivise , d’où l’égalité D = :2) La preuve est analogue pour le ppcmP 2PP 2P15

6.4. Fonctions polynômes d’une variable, polynôme dérivé et racined’un polynôme6.4.1 Dé…nitions: Soit P = a 0 + a 1 X 1 + ::: + a n 1 X n 1 + a n X n un polynôme deK [X] :1) On appelle fonction polynôme d’une variable x associée à P; la fonction P ede K dans K dé…nie par: P e (x) = a0 + a 1 x 1 + ::: + a n 1 x n 1 + a n x n2) On dit qu’un élément est une racine ou zéro de P , si P e () = 0:3) On appelle polynôme dérivé du polynôme P le polynôme noté P 0 dé…ni par:P 0 = a 1 + 2a 2 X 1 + ::: + (n 1) a n 1 X n 2 + na n X n 1Exemple 1: La fonction polynôme associée au polynôme P = X 2 + 2X 3de R [X] est la fonction P e : R ! R telle que P e (x) = x 2 + 2x 3 et les seulesracines de P sont 3 et 1 car P e ( 3) = P e (1) = 0Le polynôme dérivé de P est P 0 = 2X + 2Exemple 2: La fonction polynôme associée au polynôme P = X 2 2 de Q [X]est la fonction P e : Q ! Q telle que P e (x) = x 2 2 et P n’a pas de racine careP (x) 6= 0 pour tout x 2 Q:Le polynôme dérivé de P est P 0 = 2X6.4.2 Remarque: 1) On dit que P e (x) est obtenu par substitution de x à X dansP:2) On véri…e facilement que ^P + Q = P e + Q e , P:Q g = P e : Q e ; P e0 = P f0 ;(P + Q) 0 = P 0 + Q 0 et (P:Q) 0 = P 0 :Q + P:Q 03) Si deg P 1; alors deg P 0 = deg P 1 et deg P < 1; alors deg P 0 = 16.4.3 Théorème: Soit P 2 K [X] et 2 K; alors:1) Le reste de la division euclidienne de P par X est P e () :2) est une racine de P si, et seulement, si X divise PPreuve: 1) On a P = (X ) Q + R où R et Q sont respectivement le resteet le quotient de la division euclidienne de P par X . Alors e P = ^ (X ) e Q+ e R,ainsi e P () = e R ().Or deg R < 1 donc R et constant, d’où e R = R et e R () = R: Par conséquenteP () = R:2) est une conséquence directe de 1).Exemple: 3 est une racine du polynôme P = X 3 + 5X 2 + 3X 9 de R [X] ;alors P = (X + 3) Q avec Q = 2X + X 2 36.4.4 Ordre de multiplicité d’une racine: Soit P 2 K [X] et une racinede P: On appelle ordre de multiplicité de la racine de P; le plus grand m 2 N16

tel que (X ) m divise P:* Si m = 1; on dit que une racine simple de P* Si m = 2; on dit que une racine double de P:* Si m = 3; on dit que une racine triple de P: ...etcExemple: 3 est une racine double du polynôme P = X 3 + 5X 2 + 3X 9de R [X] ; car P = (X + 3) 2 (X 1)6.4.5 Théorème: Soient P 2 K [X] et 2 K: est une racine simple de P si,et seulement, si P e () = 0 et P e 0 () 6= 0 (où P e0 est la dérivée de P e )Preuve: est une racine simple de P si, et seulement, s’il existe Q 2 K [X]tel que P = (X ) Q et Q () 6= 0:Or P e0 = Q e + (x ) Q e0 donc P e0 () = Q () ; d’où l’équivalence voulue.Exemple: Soit le polynôme P = X 3 + 5X 2 + 3X 9 de R [X] ;On a P e (1) = 0 et P e0 (1) 6= 0 ( P e0 (x) = 3X 2 + 10X + 3)6.4.6 Proposition: Si 1 ; 2 ; :::; r sont des racines deux à deux distinctes deP , d’ordres de multiplicité respectifs m 1 ; m 2 ; :::; m r ; alors (X i ) m idivise P:i=1Preuve: Les i sont deux à deux distinctes, alors les polynomes X i sontpremiers entre eux et par suite (X i ) m isont premiers entre euxOr (X i ) m idivise P donc r (X i ) m idivise P: (voir Ptés 6.3.6.4 ).i=16.4.6.1 Corollaire: 1) Un polynôme de degré n 2 N admet au plus n racinesdistinctes.2) Si P possède une in…nité de racines, alors P est le polynome nul.Preuve: 1) Supposons 1 ; 2 ; :::; n+1 des racines distinctes de P; alors d’aprèsla proposition précédente, n+1r n+1i=1 (X i)(X i) divise P; donc n+1 = degi=1deg P = n ce qui est absurde.2) L’assertion 1) montre que si P admet une in…nité de racine, alors deg P =2 N;donc P est nul.6.4.7 Théorème:(Théorème fondamental de l’algèbre): Tout polynômenon constant de C [X] admet au moins une racine dans C:Autrement dit: Les polynômes irréductibles de C [X] sont les polynômes de degré1(La preuve de ce théorème dépasse le cadre du cours d’algèbre de 1 ere annéeLMD)6.4.7.1 Remarque: Il existe des formules donnant les racines d’un polynômede degré 1; 2; 3 et 4 de C [X]. De telles formules n’existent pas pour un polynôme17

de degré n 5, alors on ne peut décomposer un polynôme de C [X] que dans descas particuliers.Exemple: Soit P = X 7 8XP = X 7 8X = X (X 6 8) = X(X 2 ) 3 2 3 = X (X 2 2) (X 4 + 2X 2 + 4)= X (X 2 2) X 2 + 1 i p 3 X 2 + 1 + i p 3 = X X p 2 X + p 2 X 1+ip p 32X + 1+ip p 32X 1 p ip 32X + 1 ip 3cette écriture est une décomposition de P en facteurs irréductibles dans C [X] :Pour obtenir la décomposition en facteurs irréductibles dans R [X] ; il faut remplacerles facteurs dont les produits sont des polynômes irréductibles dans R [X]par leurs produits.P = X X p 2 X + p 2 X 1+ip p 32X 1 p ip 32X + 1+ip p 32X + 1 p ip 32= X X p 2 X + p 2 p X 2 2X + 2 X 2 + p 2X + 2 cette écriture est une décomposition de P en facteurs irréductibles dans R [X] :Pour obtenir la décomposition en facteurs irréductibles dans Q [X] ; il fautremplacer les facteurs dont les produits sont des polynômes irréductibles dansQ [X] par leurs produits.P = X X p 2 X + p 2 p X 2 2X + 2 X 2 + p 2X + 2 = X (X 2 2) (X 4 + 2X 2 + 4)cette écriture est une décomposition de P en facteurs irréductibles dans Q [X] :p218

Université Ibn Khaldoun de Tiaret.Département d’Informatique.Module:Algèbre 1 (1 ere Année LMD)F iche de T:D N 0 6Exercice 1:Montrer que dans Z [X] le polynôme Q divise le polynôme P dansles cas suivants: 1) P = nX n+1 (n + 1) X n + 1 Q = (X 1) 22) P = 1 + X + X 2 + ::: + X 2n+1 Q = 1 + X 2n (Calculer (1 X) P )Exercice 2: Trouver dans R [X] les polynômes de degré n 6; divisibles parX 2 + 1 et X 2 X + 1Exercice 3: Déterminer 1) pgcd (X 5 + X 4 X 3 + X 2 + X 1; X 5 + X 4 + 2X 2 1)2) ppcm (3X 5 + X 3 6X 2 2; 3X 4 2X 2 1)3) pgcd (X 3n + 1; X 2n 1)Exercice 4: Dans R [X], montrer que les polynômes P = X 3 + 1 et Q =X 4 + 1 sont premiers entre eux et déterminer deux polynômes U et V véri…antUP + V Q = 1Exercice 5: Donner une condition nécessaire et su¢ sante pour qu’un polynomede degré 2 soit irréductible dans R [X] (resp dans Q [X]).Application: P 1 = 1 2 X2 3; P 2 = X 2 2X 3; P 1 = X 2 + X + 1Exercice 5: Dans R [X] , décomposer X 6 + 1 et X 4 + 2X 2 + 1 en facteursirréductibles puis calculer leur pgcd:Exercice 6: Dans R [X], un polynôme P a pour restes respectifs 3; 7; 13 dansles divisions euclidienne par (X 1) ; (X 2) ; (X 3) : Déterminer le reste dela division euclidienne de P par (X 1) (X 2) (X 3).Exercice 7: Soit A = a 0 + a 1 X + :::a n X n 2 Z [X], avec a n 6= 0 et n 2:1) Soit (p; q) 2 Z N tel que p ^ q = 1: Montrer que si p est une racine de Aqalors p divise a 0 et p divise a n :2) Que peut-on dire des racines rationnelles de A si A est unitaire.3) Déterminer les racines rationnelles des polynômes:X 4 10X 2 + 1; 3X 3 + 23X 2 + 57X + 45:Exercice 8: Soit R 2 [X] le sous ensemble de R [X], formé des polynômes dedegré au plus 2:1) Montrer que (R 2 [X] ; +) est un sous groupe de (R [X] ; +) :2) Soit u l’application dé…nie de R 2 [X] dans R 2 [X] dé…nie par u (P ) = X 2 P 02XP:Montrer que u est un endomorphisme de (R 2 [X] ; +) et calculer son noyau etson image.19