Anneau des polynômes

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ses coe¢ cients sont ( 1; 0; :::; 0; 1; 0; :::; 0; :::) tous les coe¢ cients sont nuls saufa 0 = 1 et a n = 1:pExemple 2: Q = 2X 3 5X est un polynôme non unitaire de degré 3à coe¢ cients dans R; c.à.d p Q 2 R [X] : Le terme dominant de Q est 2X 3 etses coe¢ cients sont 0; 5; 0; 2; 0; :::; 0; ::: tous les coe¢ cients sont nuls saufa 1 = p 5 et a 3 = 2:Exemple 3: S = 4 + 2i est un polynôme non unitaire de degré 0 (polynômeconstant) à coe¢ cients dans C; c.à.d S 2 C [X] : Le terme dominant de S est4 + 2i et ses coe¢ cients sont (4 + 2i; 0; :::; 0; :::) tous les coe¢ cients sont nuls saufa 0 = 4 + 2i:6.2. Opérations sur l’ensemble A [X]6.2.1.Dé…nitions: Soient P = a 0 + a 1 X 1 + ::: + a n 1 X n 1 + a n X n + ::: et Q =b 0 + b 1 X 1 + ::: + b n 1 X n 1 + b n X n + ::: deux polynômes de A [X]On dé…nit la somme P + Q et le produit P:Q par:P + Q = (a 0 + b 0 )!+ (a 1 + b 1 ) X 1 + ::: + (a n 1 + b n 1 ) X n 1 + (a n + b n ) X n + :::PP:Q = a i :b j + P! ! !PPa i :b j X 1 + ::: + a i :b j X n 1 + a i :b j X n + :::i+j=06.2.2.Remarque: 1) c 0 =c 1 =i+j=1Pi+j=0Pi+j=1i+j=n 1Pa i :b j = a 0 :b 0 = 0 a i :b 0i=0Pa i :b j = a 0 :b 1 + a 1 :b 0 = 1 a i :b 1ii=0ii+j=n:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::c n 1 = P a i :b j = a 0 :b n 1 + a 1 :b n 2 + ::: + a n 1 :b 0 = n P 1a i :b n 1 ic n =i+j=n 1Pi+j=na i :b j = a 0 :b n + a 1 :b nP1 + ::: + a n :b 0 = n a i :b n:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::2) Pour énoncer la proposition suivante, on adopte la convention suivante:Pour tout n 2 N : n + ( 1) = ( 1) + n = 1; 1 < net ( 1) + ( 1) = 16.2.3.Proposition: Soient P et Q deux polynômes de A [X] ; alors:deg (P + Q) max (deg P; deg Q) et deg (P:Q) deg P + deg Qet si A est intègre, alors deg (P:Q) = deg P + deg QPreuve: Notons n = deg P et m = deg Q et P = a 0 +a 1 X 1 +:::+a n 1 X n 1 +i=0i=0i2
a n X n et Q = b 0 + b 1 X 1 + ::: + b m 1 X m 1 + b m X m1) Si l’un des polynômes est nul, par exemple P = 0, alors P + Q = Q etP:Q = 0 ainsi deg (P + Q) = deg Q = max ( 1; deg Q) = max (deg P; deg Q)deg (P:Q) = 1 = 1 + deg Q = deg P + deg Q2) Si aucun des polyômes P et Q n’est nul, alors2.1) Les coe¢ cients de P + Q sont tous nuls après le rang max (n; m) doncdeg (P + Q) max (n; m) = max (deg P; deg Q)2.2) Les coe¢ cients c k = P a i :b j de P:Q véri…ent pour tout k 2 N :c (n+m)+k =Pi+j=n+m+ki+j=ka i b j = a 0 b n+m+k + ::: + a n b| {z m+k + a} n+1 b m+k 1 + ::: + a n+m+k b| {z } 0dans ce terme tous les b j sont nuls dans ce terme tous les a i sont nuls= 0Ainsi degP(P:Q) n + m = deg P + deg Q:c n+m = a i :b j = a 0 :b n+m + ::: + a n 1 :b m+1i+j=n+m| {z }dans ce terme tous les b j sont nuls+ a n :b m + a n+1 :b m 1 + ::: + a n+m :b 0| {z }dans ce terme tous les a i sont nuls= a n :b mSi A est un anneau intègre, alors c n+m = a n :b m 6= 0 car a n 6= 0 et b m 6= 0.D’où deg (P:Q) = n + m = deg P + deg Q.Exemple 1: Dans Q [X], soient les polynômes:P = 3X 2 1 = 3X 2 + 0X 1 etQ = 1 2 X3 + 4X = 1 2 X3 + 0X 2 + 4X + 0 alorsP + Q = 0 + 2 1 X 3 + (3 + 0) X 2 + (0 + 4) X + ( 1 + 0) et= 1 2 X3 + 3X 2 + 4X 1P:Q = (( 1) 0) + (0 0) + 3 2 1 + (0 0) + (0 4) + (0 0) X5+ (( 1) 0) + 0 2 1 + (3 0) + (0 4) + (0 0) X4+ ( 1) 2 1 + (0 0) + (3 4) + (0 0) X3+ ((( 1) 0) + (0 4) + (3 0)) X 2+ (( 1) 4 + 0 0) X+ (( 1) 0)= 3 2 X5 + 0X 4 23 2 X3 + 0X 2 4X + 0 = 3 2 X5 23 2 X3 4XExemple 2: Dans Z= 6Z [X], soient les polynômes:P = 3X 2 1 =3X 2 + 0X 1 etQ = 4X 2 + 2X = 4X 2 + 2X + 0 alors 3 0P + Q = + 4 X 2 + + 2 X += X 2 + 2X 11+0et3
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