Dessiner

wstein389

1o3HqYu

TikZ

pour l'impatient

Gérard Tisseau et Jacques Duma

avec

L A TEX

Dessiner

Fait avec

LATEX et TikZ


TikZ pour l’impatient

Gérard Tisseau

Jacques Duma

3juillet2015


l’impatient

TikZ

pour

\def\arete{3} \def\epaisseur{5} \def\rayon{2}

\newcommand{\ruban}{(0,0)

++(0:0.57735*\arete-0.57735*\epaisseur+2*\rayon)

++(-30:\epaisseur-1.73205*\rayon)

arc (60:0:\rayon) -- ++(90:\epaisseur)

arc (0:60:\rayon) -- ++(150:\arete)

arc (60:120:\rayon) -- ++(210:\epaisseur)

arc (120:60:\rayon) -- cycle}

\begin{tikzpicture}[very thick,top color=white,bottom color=gray]

\shadedraw \ruban;

\shadedraw [rotate=120] \ruban;

\shadedraw [rotate=-120] \ruban;

\draw (-60:4) node[scale=5,rotate=30]{Ti{\color{orange}\textit{k}}Z};

\draw (180:4) node[scale=3,rotate=-90]{l’impatient};

\clip (0,-6) rectangle (6,6); % pour croiser

\shadedraw \ruban;

\draw (60:4) node [gray,xscale=-3,yscale=3,rotate=30]{pour};

\end{tikzpicture}


Table des matières

Avant-propos 9

Vous avez des documents à publier, avec des figures .................. 9

Vous avez essayé d’inclure des figures, sans grand succès ............... 9

Nous vous recommandons d’utiliser TikZ ....................... 9

Ce livre vous aide à utiliser TikZ ............................ 9

Chercher dans le livre : la table des matières ...................... 9

Trouver une référence : le glossaire ........................... 10

Le site compagnon .................................... 10

Remerciements ...................................... 10

1 Premières figures 11

1.1 Utilisation de TikZ dansL A TEX ............................. 11

1.1.1 TikZ estunpackage:\usepackage{tikz} .................. 11

1.1.2 Insérer une figure TikZ :\begin{tikzpicture} ............... 12

1.2 Le repérage des points .................................. 13

1.2.1 Coordonnées cartésiennes : (x,y) ........................ 13

1.2.2 Coordonnées polaires : (a:r) .......................... 13

1.2.3 Échelle : [scale=k] ............................... 14

1.3 Exemple : tracer un segment ou un cercle ....................... 14

1.3.1 Énoncé : deux segments, un cercle ....................... 14

1.3.2 Solution à la main ................................ 14

1.3.3 Solution TikZ :(a,b) -- (c,d) et (a,b) circle (r) ........... 15

1.3.4 Écrire des textes : (x,y) node [position] {texte} ............ 15

1.3.5 Arc de cercle : (x,y) arc (a:b:r) ...................... 16

1.3.6 Annotations : angle droit, segments égaux ................... 17

1.4 Figure géométrique : méthodes de base ......................... 19

1.4.1 Problème principal : calculer les coordonnées ................. 19

1.4.2 Exemple : triangle de côtés 3, 4 et 5 ...................... 19

1.4.3 Préparer la figure avec GeoGebra ........................ 21

1.4.4 Faire engendrer le code TikZ parGeoGebra .................. 22

1.5 Exercices : figures géométriques ............................. 22

1.5.1 Théorème de Thalès ............................... 23

1.5.2 Parallélogramme ................................. 23

1.5.3 Losange ...................................... 23

1.5.4 Centre de gravité ................................. 24

1.5.5 Cercle circonscrit ................................. 24

1.5.6 Orthocentre .................................... 25

1.5.7 Centre du cercle inscrit ............................. 25

1.6 Résumé .......................................... 26

3


4 TABLE DES MATIÈRES

2 Chemins, options graphiques 27

2.1 Simplifications, raccourcis, abstractions ........................ 27

2.1.1 Nommage des points : \coordinate(nom) at (x,y) ............. 27

2.1.2 Enchaînement de traits : chemin, position courante .............. 28

2.1.3 Rectangle : (a,b) rectangle (c,d) ...................... 29

2.1.4 Figures fermées : cycle, fill .......................... 29

2.1.5 Noeuds sur les traits : midway, sloped ..................... 30

2.1.6 Coordonnées relatives : ++(x,y) ........................ 30

2.2 Décorations, styles, options graphiques ......................... 32

2.2.1 Options : [ ] ................................... 32

2.2.2 Épaisseur des traits : thick, thin, line width=5pt ............ 32

2.2.3 Pointillés, styles des traits : dotted, dashed, double ............ 32

2.2.4 Pointes de flèches : ->, >= stealth ...................... 33

2.2.5 Couleurs : red, color=gray!20 ........................ 33

2.3 Axes, grille, fenêtre d’affichage ............................. 34

2.3.1 Axes ........................................ 34

2.3.2 Quadrillage (grille) : grid ............................ 35

2.3.3 Fenêtre d’affichage : clip ............................ 36

2.4 Compléments : opacité, couleurs, styles ......................... 36

2.4.1 Ordre des tracés, transparence : opacity ................... 36

2.4.2 Noms et calculs des couleurs, package xcolor ................. 37

2.4.3 Définition de styles : \tikzstyle, \tikzset .................. 38

2.5 Exercices : styles de traits, flèches, couleurs ...................... 38

2.5.1 Somme de deux vecteurs ............................. 38

2.5.2 Triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle ................. 39

2.5.3 Angle inscrit et angle au centre ......................... 39

2.5.4 Parallèles, aires égales .............................. 39

2.5.5 Composée de deux symétries centrales ..................... 39

2.5.6 Suite géométrique ................................ 40

3 Courbes 41

3.1 Tracer une courbe : plot (...) ............................ 41

3.1.1 Domaine : [domain=a:b] ............................ 42

Le problème de babel français et de « : » ................... 42

Désactiver « : » avec \shorthandoff{:} .................... 43

Introduire une autre option [domaine={a}{b}] ................ 43

Utiliser le package microtype ......................... 43

Exemples de domaines .............................. 43

3.1.2 Formules mathématiques disponibles ...................... 44

Opérations .................................... 44

Fonctions ..................................... 44

Fonctions trigonométriques ........................... 44

Nombres aléatoires ................................ 45

Opérations booléennes .............................. 45

3.2 Aspect du graphe .................................... 45

3.2.1 Nombre de points : samples ........................... 45

3.2.2 Lissage : smooth, tension ........................... 46

3.2.3 Discontinuités : on peut séparer les intervalles ................. 46

3.2.4 Grandes valeurs : scale, \clip ........................ 47

3.3 Régions limitées par des courbes ............................ 48

3.3.1 Une courbe et des segments : cycle, \fill, \filldraw ........... 48

3.3.2 Région entre deux courbes ............................ 49

3.3.3 Région non convexe : interior rules ....................... 49

3.4 Compléments techniques ................................. 50

3.4.1 Utilisation de Gnuplot : plot function .................... 50

3.4.2 Automatisation de certaines configurations .................. 51


TABLE DES MATIÈRES 5

3.5 Exercices ......................................... 52

3.5.1 Ellipse. Angles avec circle et \clip ...................... 52

3.5.2 a b = b a . xscale, yscale ............................ 52

3.5.3 Fonction périodique : \foreach ......................... 53

3.5.4 Fonctions réciproques, aires : pattern ..................... 54

3.5.5 Lemniscate de Gerono. \scope, xshift, \filldraw ............ 55

3.6 Résumé .......................................... 56

4 Géométrie dans l’espace 59

4.1 Coordonnées (x,y,z) .................................. 59

4.1.1 Représentation TikZ standard ......................... 59

4.1.2 Autres représentations : x=..., y=..., z=... ................ 60

4.2 Quelques figures de géométrie .............................. 60

4.2.1 Section d’un cube suivant un hexagone ..................... 60

4.2.2 Grande diagonale d’un cube ........................... 61

4.2.3 Droites et plans .................................. 61

4.3 Courbes et surfaces .................................... 62

4.3.1 Représentation paramétrique, plot, \foreach ................. 62

4.3.2 Hélice ....................................... 63

4.3.3 Cylindre x 2 + y 2 =1 ............................... 64

4.3.4 Sphère x 2 + y 2 + z 2 =1 ............................. 64

4.3.5 Paraboloïde z = x 2 + y 2 ............................. 64

4.4 Résumé .......................................... 64

5 Représentation de données 65

5.1 Notions de base ...................................... 65

5.1.1 Diagramme d’effectifs : plot coordinates .................. 65

5.1.2 Améliorer la lisibilité : grid, node, \foreach ................. 66

5.1.3 Marquer les points, étiqueter : mark, node, rotate .............. 67

5.1.4 Diagramme à barres : xcomb, ycomb, polar comb .............. 68

5.1.5 Histogramme : xcomb, ycomb, line width .................. 69

5.1.6 Affichage des données d’un fichier : plot file ................ 69

5.2 Diagramme à barres horizontales ............................ 70

5.2.1 Le blé dans le monde : utilisation d’un tableur ................ 70

5.2.2 Barres horizontales : plot file, xcomb .................... 71

5.2.3 Installation d’une grille : grid, xstep, ystep ................. 73

5.2.4 Étiquetage du repère : \foreach, node .................... 73

5.2.5 Deux séries plus une légende : plot, shift, node .............. 74

5.3 Courbe des variations de données ............................ 75

5.3.1 Production annuelle de riz : pré-traitement .................. 75

5.3.2 Courbe des variations : plot file ....................... 76

5.3.3 Quadrillage : grid, step ............................ 77

5.3.4 Annotations, décorations : \foreach, node, mark .............. 78

5.4 Diagramme à secteurs .................................. 79

5.4.1 Répartition par catégories socioprofessionnelles ................ 79

5.4.2 Calcul des angles : pré-traitement avec un tableur .............. 79

5.4.3 Dessiner les secteurs : \draw, arc, cycle, fill, $ .............. 80

5.4.4 Diagramme complet : \foreach ........................ 81

5.5 Résumé .......................................... 82

6 Graphes : Introduction 83

6.1 Notions de base ...................................... 83

6.1.1 Nœuds et Arcs : \draw, --, node, et\node .................. 83

6.1.2 Chemin annoté : \draw avec opération node ................. 84

6.1.3 Graphe : \node puis \draw avec nom de nœud ................ 84

6.2 Styles des nœuds et des arcs ............................... 84


6 TABLE DES MATIÈRES

6.2.1 Les arcs : \draw, --, |-, -|, to et options de flèches ............. 84

6.2.2 Extrémités des arcs : [->|, *-o, >->>, )-( .................. 86

6.2.3 Frontières des nœuds : circle, ellipse, diamond .............. 86

6.2.4 Abstraction des styles : \tikzstyle, \tikzset ................ 87

6.2.5 Points d’ancrage des nœuds : N.south, N.left, N.below ........... 88

6.2.6 Flèches vers les ancres : N.north, N.center, N.15 .............. 89

6.3 Techniques avancées ................................... 90

6.3.1 Tracer un arc sans avancer : edge ....................... 90

6.3.2 Étiquetage des arcs : sloped, midway, pos .................. 90

6.3.3 Inclinaison des étiquettes : sloped, rotate .................. 91

6.3.4 Modification de la taille des annotations : scale ............... 91

6.3.5 Insérer une sous-figure : scope, shift, rotate, scale ............ 91

6.3.6 Textes longs : text width, justified, centered .............. 93

6.3.7 Contournement d’un nœud ........................... 94

6.4 Exercices ......................................... 95

6.4.1 Voyelle ou Consonne ............................... 95

6.4.2 Les points cardinaux ............................... 95

6.4.3 Orientations .................................... 96

6.4.4 Pentagone ..................................... 96

6.4.5 Benzène ...................................... 97

6.4.6 Arbre généalogique ............................... 98

6.5 Résumé .......................................... 98

7 Graphes : Exemples 99

7.1 Graphe d’une relation .................................. 99

7.1.1 Relations entre quadrilatères .......................... 99

7.1.2 Des nœuds et des flèches : node et -> ..................... 99

7.1.3 Graphe final : courbure bend, ancrageP.east ................ 102

7.2 Organigramme informatique ............................... 103

7.2.1 Somme des N premiers nombres entiers .................... 103

7.2.2 Style des nœuds : draw, ellipse, fill, text ................. 103

7.2.3 Forme des flèches : >=, rounded corners, |- ................. 104

7.2.4 Organigramme final ............................... 106

7.3 Diagrammes syntaxiques ................................. 107

7.3.1 Grammaire des expressions mathématiques .................. 107

7.3.2 Alignement des nœuds, étiquetage ....................... 107

7.3.3 Regroupement de figures : scope et yshift .................. 108

7.4 Graphe de preuve ..................................... 109

7.4.1 Résolution d’une équation : 2x +3=7 .................... 109

7.4.2 Placement des nœuds : \node (a) at (x,y), below ............ 110

7.4.3 Placement et étiquetage des flèches : ->, midway .............. 111

7.4.4 Flèches courbes : bend, to ........................... 112

7.4.5 Exercice d’amélioration ............................. 113

7.5 Résumé .......................................... 114

8 Des figures aux illustrations 115

8.1 Les anneaux olympiques ................................. 115

8.1.1 Un anneau : circle, fill, even odd rule .................. 116

8.1.2 Entrelacer les anneaux : \coordinate, fill et arc ............. 116

8.1.3 La figure complète : \newcommand ....................... 118

8.2 Diagrammes de Venn ................................... 120

8.2.1 Ensembles E, A, B : rectangle, circle, \newcommand ........... 120

8.2.2 Coloriage : \fill, color, opacity ....................... 121

8.2.3 Méthode par superposition de couleurs ..................... 121

A, B et A [ B : \draw et \fill ........................ 121

A \ B, A \ B, B \ A et A B : \clip et scope ................ 122


8.2.4 Méthode par coloriage entre les frontières ................... 123

Définition des frontières : rectangle, circle et arc ............. 124

Coloriage des régions : \fill, even odd rule ................ 125

8.3 Personnages et décors .................................. 126

8.3.1 L’océan : \shade, arc, top color, bottom color .............. 126

8.3.2 Le quai : \fill, rectangle, rotate ...................... 127

8.3.3 Les personnages : \fill, ellipse, circle .................. 127

8.3.4 Le cœur : \draw, .. controls and .. .................... 127

8.3.5 Cœurs multicolores : \shift, rotate, ball color ............. 129

8.3.6 La figure complète : scope, shift, rotate .................. 130

8.3.7 La solution : scope, shift, rotate ...................... 130

8.4 Résumé .......................................... 130

9 Compléments techniques 131

9.1 Transformations avec scope .............................. 131

9.1.1 Translations : xshift, yshift ou shift ................... 131

9.1.2 Combinaison de translation et rotation : [xshift=6cm,rotate=45]] ... 132

9.1.3 Translation et changement d’échelle : [xshift=6cm,scale=0.5] ...... 133

9.1.4 Épaisseur des traits : \draw et line width .................. 134

9.1.5 Taille et inclinaison de textes : transform shape .............. 136

9.1.6 Exercice ...................................... 137

9.2 Au sujet des arbres .................................... 137

9.2.1 Définition : \node node et child ........................ 138

9.2.2 Espacement des frères : sibling distance ................. 139

9.2.3 Forme globale : level distance et grow .................. 140

9.2.4 Étiquetage des arcs : edge from parent ................... 140

9.2.5 Style des arcs : edge from parent path ................... 141

9.3 Liaisons entre figures : overlay ............................ 141

9.3.1 Définitions globales des noms : remember picture .............. 142

9.3.2 Dessiner d’une figure à l’autre : overlay ................... 142

9.3.3 La page courante est un nœud : current page ................ 143

9.4 Résumé .......................................... 143

A La syntaxe de TikZ 145

A.1 Les environnements : {tikzpicture}, {scope} .................... 145

A.2 Les commandes ...................................... 145

A.3 Les coordonnées ..................................... 146

A.3.1 Forme générale : (...) ............................. 146

A.3.2 Calculs sur les nombres : package pgfmath ................... 146

A.3.3 Calculs sur les coordonnées : bibliothèque calc ................ 147

A.4 Les opérations de chemin ................................ 147

A.5 Les options ........................................ 148

A.6 Utiliser des commandes L A TEX dans TikZ ....................... 150

B Erreur ! Que faire ? 151

Oubli du « ; » .......................................... 151

Les nombres trop grands .................................... 151

Le « ! » dans la définitions des couleurs ............................ 151

Le problème de babel français et de « : » .......................... 152

C Où trouver de l’aide ? 153

D Glossaire 155


Avant-propos

Vous avez des documents à publier, avec des figures

Vous avez régulièrement des documents à publier. Vous avez choisi L A TEX poursagrandequalité

typographique, son ouverture et sa portabilité. Vous souhaiteriez maintenant inclure des figures et

illustrations dans vos documents, mais sans avoir à sortir de l’environnement L A TEX, et de manière

àpouvoirproduiredirectementdesdocumentsauformatPDF,quidevientunformatd’échange

et de publication standard.

Vous avez essayé d’inclure des figures, sans grand succès

Les différentes solutions que vous avez essayées ne vous ont pas semblées satisfaisantes.

Vous avez préparé un dessin dans un logiciel externe, puis vous avez utilisé la commande

\includegraphics, maisvousn’avezpastrouvépratiquelefaitdemanipulerdesfichiersexternes

et d’essayer d’adapter le style et le format à votre document.

Vous avez essayé pstricks, maisvousl’aveztrouvéunpeutropcomplexe,mêmesipstricks

et TikZ offrentàpeuprèslesmêmesoutils.

Nous vous recommandons d’utiliser TikZ

TikZ estunpackagepourL A TEX permettantd’incluredesfiguresauformatPDFenrestant

dans l’environnement L A TEX.

Il a été créé vers 2006 par Till Tantau. Il devient rapidement populaire, car il répond aux besoins

précédents en évitant les inconvénients des autres solutions. La phase initiale d’apprentissage est

rapide, et les figures simples peuvent être obtenues simplement. On sent que le langage a été conçu

pour répondre à des besoins usuels de manière pratique. Il continue d’évoluer, et les extensions

actuelles permettent de créer des illustrations très variées.

Utiliser TikZ estunplaisircaronobtientdesfiguresprécisesetd’unegrandequalité,avecune

impression de maîtrise.

Ce livre vous aide à utiliser TikZ

Dans ce livre, nous présentons TikZ demanièreàvousrendrecapabled’obtenirrapidementdes

figures incluses dans vos documents L A TEX, en l’illustrant de différentes façons : géométrie, courbes,

graphes, arbres, histogrammes, illustrations.

La lecture des deux premiers chapitres est indispensable. Vous pourrez créer vos figures dès

le premier chapitre. Le deuxième fournit des compléments importants d’ordre général, et ensuite

vous pourrez choisir en fonction de votre domaine d’application.

Les deux derniers chapitres présentent des exemples plus complexes et des compléments techniques.

Il est préférable d’être à l’aise avec L A TEX et TikZ pourlesaborder.

Chercher dans le livre : la table des matières

La table des matières est une sorte d’aide mémoire intégré.

Chaque fois que c’est possible, un titre est la description d’une tâche ou d’un problème suivis

des mots-clés TikZ quipermettentderéalisercettetâcheouderésoudreceproblèmedefaçon

standard.

9


10 TABLE DES MATIÈRES

Par exemple : Échelle : [scale=k], Étiquetagedesarcs:sloped, midway, pos, etc.D’unseul

coup d’oeil, on devrait pouvoir retrouver une information utile et la situer dans le contexte d’un

exemple.

Trouver une référence : le glossaire

Ce livre contient un glossaire mais pas d’index. Le problème d’un index alphabétique est que

l’on ne peut y trouver que des mots déjà connus.

Notre glossaire rassemble uniquement la liste des mots-clés du langage présentés dans le livre,

avec pour chacun d’eux un court résumé et une référence au passage du Manuel de TikZ &PGF

de Till Tantau présentant le concept.

Till Tantau signale lui-même que l’index de son manuel n’est pas très satisfaisant parce qu’il

contient tout alors qu’il ne devrait contenir qu’une sélection. Il contient plus de 2000 entrées !

Nous avons justement fait une sélection (moins de 100 entrées). Le résumé devrait suffire pour

l’usage indiqué dans cet ouvrage, et ensuite vous pourrez obtenir des compléments dans le manuel

officiel.

Le site compagnon

Un site Internet, créé par les auteurs, accompagne ce livre. On y trouvera le code de tous les

exemples présentés ici, plus quelques compléments.

Àpartirdusite,ilestaussipossibledecontacterlesauteurs:Touteslesquestions,toutesles

critiques et toutes les suggestions sont les bienvenues.

http://math.et.info.free.fr/TikZ/index.html

La version papier de ce document est en noir et blanc, seule la version PDF disponible sur ce

site est en couleurs.

Remerciements

Merci à Emmanuel Collinet pour sa lecture très attentive de « TikZ pourl’impatient»etpour

ses nombreuses remarques pertinentes. Ainsi, nous avons pu améliorer la qualité de ce document.


Chapitre 1

Premières figures

1.1 Utilisation de TikZ dans L A TEX

1.1.1 TikZ estunpackage:\usepackage{tikz}

TikZ étantunpackagepourL A TEX, il s’utilise comme tout autre package, en déclarant

\usepackage{tikz} dans le préambule.

Pour savoir quelle est la version de TikZdontvousdisposez,vouspouvezfaireafficherlenuméro

de version par la commande \pgfversion (PGF est le nom du « moteur » de TikZ).

Par exemple, ce document a été composé le 3 juillet 2015 avec la version 3.0.0 de TikZ, mais

la première version a été rédigée en février 2008 avec la version 2.00.

Si vous ne disposez pas de TikZ ousivousavezuneversionplusanciennequelaversion2.00,

le plus simple est sans doute de charger entièrement la plus récente version de la distribution TEX

(TikZ estfourniaveclesprincipalesdistributionsdeTEX).

Dans ce cas il faudra consulter la documentation de l’auteur si quelques différences apparaissent

dans la composition des exemples.

Version la plus récente de « TikZ &PGF Manual »

Le document minimal utilisant TikZ estdonc:

\documentclass{article}

\usepackage{tikz}

\begin{document}

La version de TikZ est : \pgfversion

\end{document}

Les standards sont TeX Live pour les systèmes Unix (y compris MacOS X, où elle est présente

dans MacTeX) et MiKTeX pour les systèmes Windows. Ces distributions TEX sontassezsouvent

mises à jour (une fois par an environ).

La version 2 de TikZ estinclusedansladistributionTeXLiveversion10.2de2008.

Pour Windows : http://miktex.org

Pour Mac : http://www.tug.org/mactex/

Pour Unix, Linux : http://www.tug.org/texlive/

Éventuellement, vous pouvez obtenir directement le package pgf et lui seul, mais il faut une

certaine expertise pour l’installer correctement « à la main ». Cependant MikTeX dispose d’un

utilitaire pour cela, accessible par un menu, et il existe une commande tlmgr sous Unix (TeX Live

manager).

Package pgf : http://sourceforge.net/projects/pgf/

ou http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pgf/

Comme dans toute utilisation de package, il faut être prudent : il peut exister des conflits avec

d’autres packages. Le plus notable pour TikZ estleconflitavecxcolor, carTikZ redéfinitcertaines

des fonctions de xcolor. Cependant les deux packages peuvent rester compatibles si on déclare

xcolor avant tikz.

11


12 CHAPITRE 1. PREMIÈRES FIGURES

1.1.2 Insérer une figure TikZ :\begin{tikzpicture}

L’élément de base que permet de créer TikZ dansundocumentL A TEX estunefigure (picture).

Elle se matérialise dans le document L A TEX parunenvironnementtikzpicture :

\begin{tikzpicture}

...

\end{tikzpicture}

Àl’intérieurdecetenvironnementsetrouveunezonedetextedanslaquelleonécritsuivantla

syntaxe spéciale de TikZ. Voici par exemple comment on trace un cercle de rayon 1 dont le centre

apourcoordonnéescartésiennes(0, 0) (dans le système de repérage de TikZ) :

\begin{tikzpicture}

\draw (0,0) circle (1) ;

\end{tikzpicture}

Ce qui donne :

La syntaxe \draw (0,0) circle (1) ; est analysée par TikZ suivantsespropresconventions,

qui ne sont pas celles du L A TEX standard,etquenousdétailleronsparlasuite.

Comment une figure TikZ est-elle placée dans le document final ? TikZ calculed’abordl’encombrement

total de la figure et fait en sorte que L A TEX considèrecettefigurecommeunbloc

rectangulaire. L A TEX insèrealorsceblocdansleflotnormal,suivantlesrèglesapplicablesaux

blocs de type mbox.

Dans l’exemple qui suit, on a inséré une figure TikZ dansdutexteetonl’aencadréeavec

\fbox :

Voici une première ligne ...

... et de rayon 1

\fbox{

\begin{tikzpicture}

...

\end{tikzpicture}

}

inséré dans une ligne ...

Voici une première ligne de texte L A TEX. pour montrer l’insertion d’une figure. Voici le cercle de

centre (0, 0) et de rayon 1

inséré dans une ligne L A TEX et encadré avec fbox. La

figure est considérée comme un rectangle et est alignée sur la ligne de base.

On peut ensuite gérer l’alignement et le placement sur la page avec les outils L A TEX habituels

de mise en page. La plupart du temps, on isole la figure sur une ligne et on la centre avec

\begin{center} ... \end{center}.

:newpage


1.2. LE REPÉRAGE DES POINTS 13

1.2 Le repérage des points

1.2.1 Coordonnées cartésiennes : (x,y)

Dans le système par défaut, les points sont repérés à l’aide de deux axes perpendiculaires :

l’axe des abscisses, horizontal et dirigé vers la droite et l’axe des ordonnées, vertical et dirigé vers

le haut. Les vecteurs de base ont exactement pour longueur 1 cm (et quand on imprime, c’est très

précisément 1 cm). La position d’un point est repérée par un couple de nombres (x,y)

y

(x, y)

1

0

1

x

On peut se demander où est placée l’origine dans la figure engendrée. En fait, elle n’a pas de

position prédéfinie. La figure occupe seulement la place minimale pour que tous les éléments tracés

explicitement soient visibles. La position de l’origine par rapport à la figure dépend donc des points

tracés. Si on trace juste un cercle de centre (2, 0) et de rayon 1, l’origine ne sera pas dans le cadre

de la figure, qui ne montrera que les abscisses x entre 1 et 3 et les ordonnées y entre 1 et 1.

TikZ possèded’autressystèmesderepéragequenousverronsaufuretàmesure.Signalons

tout de suite les coordonnées polaires (a:r) où a est l’angle polaire en degrés et r le rayon polaire.

1.2.2 Coordonnées polaires : (a:r)

On peut repérer la position d’un point M dans un système de coordonnées polaires, avec la

syntaxe (✓ : r), où✓ est l’angle orienté (en degrés) entre le vecteur de base des abscisses et le

!

vecteur OM et r est la distance OM.

1 r

(✓ : r)


M

0

1


Les formules permettant de passer d’un système à un autre sont :

r = p x 2 + y 2 , cos(✓) = x r , sin(✓) =y r

x = r cos(✓) et y = r sin(✓)

Par exemple, le point de coordonnées cartésiennes (2,2) apourcoordonnéespolairesapprochées

(45:2.82), où2.82 est la valeur approchée de p 8= p 2 2 +2 2 .


14 CHAPITRE 1. PREMIÈRES FIGURES

2

1

(45 : 2.82)


p

8

45°

0

1

2

Dans la version de base, on doit spécifier les coordonnées sous forme numérique approchée.

Cependant une extension de TikZ permetd’introduirequelquescalculsformels.Nousverronscela

dans la suite, mais pour l’instant nous utiliserons uniquement les valeurs numériques.

1.2.3 Échelle : [scale=k]

Il peut arriver que la figure, telle qu’elle est définie avec les coordonnées, soit trop petite ou trop

grande. On peut alors utiliser l’option [scale=k], qu’onécritjusteaprès\begin{tikzpicture}.

Elle signifie que toutes les dimensions seront multipliées par k.

Pour avoir une figure deux fois plus grande, écrire

\begin{tikzpicture}[scale=2] ... \end{tikzpicture}

Le point de coordonnées (1,0) sera alors dessiné à 2 cm de l’origine au lieu de 1 cm.

1.3 Exemple : tracer un segment ou un cercle

1.3.1 Énoncé : deux segments, un cercle

Dans un repère orthonormal d’unité 1 cm, tracer les deux segments reliant l’origine aux points

unités de coordonnées (1, 0) et (0, 1), ainsiquelecercletrigonométrique.

1.3.2 Solution à la main

Pour cela, on procède en séparant les trois éléments de la figure :

1. Premier segment (horizontal)

(a) Positionner le crayon au-dessus de l’origine

(b) Abaisser le crayon et tracer le segment jusqu’au point de coordonnées (1, 0)

2. Deuxième segment (vertical)

(a) Relever le crayon, le positionner au-dessus de l’origine

(b) Abaisser le crayon et tracer le segment jusqu’au point de coordonnées (0, 1)

3. Cercle

(a) Prendre un compas, piquer sa pointe à l’origine

(b) Fixer un rayon de 1 cm, tracer le cercle.


1.3. EXEMPLE : TRACER UN SEGMENT OU UN CERCLE 15

1.3.3 Solution TikZ :(a,b) -- (c,d) et (a,b) circle (r)

Cette construction se traduit en TikZ delamanièresuivante:

\begin{tikzpicture}

\draw (0,0) -- (1,0) ;

\draw (0,0) -- (0,1) ;

\draw (0,0) circle (1) ;

\end{tikzpicture}

On y retrouve tous les éléments de la solution précédente.

La figure entière est délimitée par un environnement au sens de L A TEX :

\begin{tikzpicture}

...

\end{tikzpicture}

À l’intérieur de cet environnement, TikZ introduitsapropresyntaxe,quin’estpluscellede

L A TEX (cequipeutdérouteraudébut).

Chacune des sous-figures (segments, cercle) est délimitée par

\draw ... ;

Chaque élément d’une sous-figure correspond à une opération à l’intérieur du \draw :

positionner : (x,y)

tracer un segment : --(x,y)

tracer un cercle : circle (r)

Il y a bien d’autres éléments de syntaxe dans TikZ, nous les verrons au fur et à mesure.

1.3.4 Écrire des textes : (x,y) node [position] {texte}

Pour que la figure soit plus parlante, on veut maintenant écrire le nom des points à côté des

points : O pour l’origine, A pour (1, 0), B pour (0, 1)

B

O

A

Pour cela, on veut exprimer en gros les actions suivantes :

Écrire la lettre O en-dessous de l’origine

Écrire la lettre A àdroitedupoint(1, 0)

Écrire la lettre B au-dessus du point (0, 1)

Ces trois instructions s’écrivent en TikZ delamanièresuivante:

\draw (0,0) node[below]{$O$} ;

\draw (1,0) node[right]{$A$} ;

\draw (0,1) node[above]{$B$} ;

Achaquefois,onretrouvel’opérationdepositionnement:(0, 0) pour se positionner à l’origine,

etc.

Puis vient le mot-clé node. Cela fait référence à un concept de TikZ :leconceptdenœud.

Cela désigne en gros une boîte de texte. Il faut ensuite préciser où se place le centre de cette boîte

par rapport à la position spécifiée. C’est l’objet de l’option entre crochets : [below] par exemple

(il n’est pas nécessaire de donner une position très précise, TikZ faitdeschoixraisonnables).Puis

on donne le texte à afficher, entre accolades, et dans ces accolades on écrit une expression L A TEX

quelconque. C’est une des forces de TikZ :pouvoirannoterunefigureavecdestextesécritsen

L A TEX.

Ces instructions se rajoutent à la figure précédente, qui devient :


16 CHAPITRE 1. PREMIÈRES FIGURES

\begin{tikzpicture}

\draw (0,0) -- (1,0) ;

\draw (0,0) -- (0,1) ;

\draw (0,0) circle (1) ;

\draw (0,0) node[below]{$O$} ;

\draw (1,0) node[right]{$A$} ;

\draw (0,1) node[above]{$B$} ;

\end{tikzpicture}

On peut ne pas spécifier du tout de position. Le centre du texte est alors placé au point de

référence :

Par exemple, pour placer la lettre O précisément à l’origine, on peut écrire :

\draw (0,0) node{$O$};

Les positions possibles sont (avec les significations des mots anglais) :

above, below, right, left,

above left, above right, below left, below right

au-dessus, en-dessous, à droite, à gauche

au-dessus à gauche, au-dessus à droite, en-dessous à gauche, en-dessous à droite

Parfois ces indications qualitatives ne sont pas assez précises. Le plus simple est souvent alors

de placer le centre du nœud explicitement à un autre point proche du point principal, en contrôlant

exactement les coordonnées. Il y a d’autres méthodes, mais elles introduisent de nouveaux concepts

techniques que nous aborderons plus tard.


O

(0,0) node[below left] {$O$}

O


(-0.6,-0.3) node {$O$}

1.3.5 Arc de cercle : (x,y) arc (a:b:r)

Comment dessiner seulement le quart de cercle de A à B ?

B

O

A

Pour spécifier mathématiquement un arc de cercle, on peut donner le centre du cercle, son

rayon, l’angle polaire du point origine et l’angle polaire du point extrémité (le vecteur de référence

!

des angles polaires étant comme d’habitude le vecteur (1, 0), iciOA).

Par exemple, ici, on pourrait dire : tracer l’arc de cercle de centre (0, 0) et de rayon 1 dont

l’origine a pour angle polaire 0° et donc l’extrémité a pour angle polaire 90°.

Malheureusement, TikZ n’a pas choisi cette façon de s’exprimer. Il faut dire quelque chose

comme : tracer l’arc de cercle qui commence en A, detellemanièrequeA se trouve sur ce cercle

avec un angle polaire de 0°, jusqu’aupointd’anglepolaire90° sur le même cercle, sachant que le

rayon du cercle vaut 1.

\draw (1,0) arc (0:90:1) ;


1.3. EXEMPLE : TRACER UN SEGMENT OU UN CERCLE 17

Bien sûr, ces informations suffisent pour retrouver le centre et pour reconstituer la figure, mais

ce n’est sans doute pas la convention la plus naturelle possible (sauriez-vous construire géométriquement

le centre ?). L’avantage qu’on peut lui trouver, c’est justement de ne pas avoir à préciser

le centre. Mais existe-t-il des cas où on trace un arc de cercle sans avoir aucune idée du centre ?

Une application fréquente de cette construction est de marquer un angle sur une figure.

Soit le triangle OAB avec O(0, 0), A(2, 0), B(2, 2). Marquersurledessinl’angleenO.

B

O

A

\begin{tikzpicture}

\draw (0,0) node[below] {$O$};

\draw (2,0) node[right] {$A$};

\draw (2,2) node[right] {$B$};

\draw (0,0) -- (2,0) ;

\draw (0,0) -- (2,2);

\draw (1,0) arc (0:45:1) ;

\end{tikzpicture}

Et ensuite, on peut utiliser le concept de node pour écrire la valeur de l’angle à côté. Il faut

alors placer la boîte de texte au bon endroit, près de l’arc. Ici on peut utiliser les coordonnées

polaires, puisque l’angle en O est connu : 45°. Lenœudestalorsplacédansladirectiondel’angle

moitié : 22.5°, àunedistanceunpeuplusgrandequelerayondel’arc:1.3. Enfait,onnepeut

indiquer qu’un nombre entier de degrés, donc on arrondit par exemple à 22.

\draw (22:1.3) node {$\dfrac{\pi}{4}$};


4

1.3.6 Annotations : angle droit, segments égaux

Annotons maintenant le triangle avec les signes habituels indiquant que c’est un triangle isocèle

rectangle.

On marque l’angle droit avec deux petits segments perpendiculaires, l’égalité des côtés avec

deux petits segments coupant les côtés. Bien que ces signes ne fassent pas vraiment partie de la

figure et qu’ils ne vont pas faire l’objet d’une étude géométrique, il s’agit, après tout, quand même,

d’éléments géométriques : des segments. On peut les tracer avec les outils vus jusqu’à maintenant,

mais cela nécessite de calculer les coordonnées de leurs extrémités.

Cela peut paraître inhabituel, car on trace souvent ce genre de signes sans trop y faire attention

et sans avoir à résoudre de nouveaux problèmes géométriques.

Ici les traits de la marque d’angle droit sont horizontaux et verticaux, donc il n’est pas difficile

d’imaginer des coordonnées (leur longueur exacte résulte d’un choix arbitraire, disons 0.3).

Donc les nouveaux points à introduire sont (1.7, 0), (1.7, 0.3) et (1.7, 0.3), (2, 0.3)


18 CHAPITRE 1. PREMIÈRES FIGURES

...

\draw (1.7, 0) -- (1.7, 0.3) ;

\draw (1.7, 0.3) -- (2, 0.3) ;

Les marques de segments égaux peuvent également être choisis horizontaux et verticaux, disons

de longueur 0.2

Donc les nouveaux points à introduire sont (1.9, 1), (2.1, 1) et (1, 0.1), (1, 0.1).

....

\draw (1.9,1) -- (2.1,1);

\draw (1,-0.1) -- (1,0.1);

Et si on voulait marquer les points avec des points plus gros, comme • ?

Eh bien, un gros point de ce type est simplement un caractère L A TEX : $\bullet$

Il suffit d’introduire un nœud (node), centré sur le point (il suffit de ne donner aucune option

de position) et dont le contenu est $\bullet$ :

\draw (0,0) node {$\bullet$} ;

\draw (2,0) node {$\bullet$} ;

\draw (0,2) node {$\bullet$} ;


• •

On peut prolonger cette idée : un noeud de texte peut être rempli avec un symbole L A TEX,

et un symbole n’est rien d’autre après tout qu’un dessin. Écrire un symbole, c’est dessiner, et

L A TEX estbienfourniensymbolesdivers.Onpeututilisercetteidéeicipourtracerlespetitstraits

indiquant l’égalité des côtés : on peut utiliser les symboles $|$ (barre verticale |), --- (tiret —),

$\backslash$ (barre oblique \), $/$ (barre oblique /), $\times$ (multiplication ⇥).

— –-

$\backslash$

\

⇥ $\times$

|

$|$


$\times$


1.4. FIGURE GÉOMÉTRIQUE : MÉTHODES DE BASE 19

1.4 Figure géométrique : méthodes de base

Nous venons de voir les éléments de base qui constituent une figure géométrique comme on en

rencontre au collège et au lycée, et comment ils se traduisent en TikZ :

— des segments : (a,b) -- (c,d)

— des cercles : (a,b) circle (r)

— des arcs de cercle : (a,b) arc (u:v:r)

— des annotations de texte : (a,b) node[position] {texte}

Nous allons voir maintenant comment on peut créer de nombreuses figures de géométrie uniquement

àl’aidedecesélémentsdebase.Autrementdit,vouspouvezêtreopérationnelsdèsmaintenant

avec les techniques vues jusqu’ici.

TikZ proposebiend’autrespossibilités(sonmanuelcomporte560pages),maisilestessentiel

de se familiariser avec les bases pour comprendre l’intérêt des extensions et savoir quand les utiliser

de manière pertinente. Et encore une fois, les bases peuvent vous suffire pour la plupart de vos

figures.

Cela peut paraître surprenant de pouvoir se contenter de ces constructions, mais après tout,

si vous observez une figure de géométrie usuelle, même compliquée, vous verrez bien qu’elle n’est

formée que de ces éléments, du moins en ce qui concerne sa structure. Les figures usuelles sont bien

de ce type : points, segments, triangles, parallélogrammes, polygones, cercles, droites parallèles et

perpendiculaires, etc.

1.4.1 Problème principal : calculer les coordonnées

Construire une figure avec les techniques de base seulement suppose que vous devez calculer

d’abord par vos propres moyens les coordonnées (cartésiennes ou polaires) de tous les points.

Ce n’est pas ce qu’on fait d’habitude quand on trace une figure à la main : on dispose d’outils

de dessin (règle, compas, rapporteur, papier quadrillé) et d’outils de calcul (calculatrice, logiciel

mathématique).

La difficulté du calcul dépend de la figure que vous avez à construire et des contraintes sur cette

figure. Si les positions des points sont imposées par un énoncé et si les points ne sont pas placés

de manière pratique pour le dessin, alors il peut y avoir beaucoup de calculs. Mais souvent, vous

avez une certaine marge de manœuvre : si votre but est d’illustrer une propriété géométrique, vous

pouvez décider de placer certains points de telle manière que les calculs soient facilités.

Voici quelques stratégies, qui sont en fait déjà bien connues pour les tracés à la main :

— privilégier les points à coordonnées entières

— privilégier les directions verticales et horizontales

— privilégier les directions d’angles polaires simples et connus, ce qui permettra d’utiliser plus

facilement les coordonnées polaires

— commencer par la fin : si on veut illustrer le cercle circonscrit à un triangle, commencer par

placer le cercle

1.4.2 Exemple : triangle de côtés 3, 4 et 5

Voici un exemple : tracer un segment [AB] horizontal de longueur 5, puis tracer le triangle

ABC direct tel que BC =4et AC =3.

On choisit des coordonnées simples pour A et B : A(0, 0) et B(5, 0).

Il faut calculer les coordonnées de C, entraduisantAC =3et BC =4,soitx 2 + y 2 =3 2 ,

(x 5) 2 + y 2 =4 2 .

On résout ensuite le système par différence : 10x 25 = 7, soitx = 9 = 1.8, puis,en

5

remplaçant, y = 12

5 =2.4

On peut alors écrire le code TikZ, qu’on peut annoter avec des commentaires L A TEXpour plus

de lisibilité :


20 CHAPITRE 1. PREMIÈRES FIGURES

\begin{tikzpicture}

\draw (0,0) -- (5,0); % AB = 5

\draw (0,0) -- (1.8,2.4); % AC = 3

\draw (5,0) -- (1.8,2.4); % BC = 4

\end{tikzpicture}

On peut rajouter des nœuds de texte pour montrer les noms Des points :

\draw (0,0) node [below] {$A$}; etc.

C

A

B

Et finalement, on peut indiquer les longueurs des côtés. Pour cela, il faut trois noeuds de ✓ texte, ◆ 5

placés aux alentours des milieux des segments, milieux dont on calcule les coordonnées :

2 , 0 ,

✓ 17

5 , 6 ✓ 9

,

5◆

10 , 6 ◆

.

5

Donc, par exemple \draw (3.4,1.2) node [above right] {$4$} ; etc.

C

3

4

A

5

B

Il serait dommage de ne pas en profiter pour illustrer le théorème de Pythagore : l’angle en

C est droit puisque 3 2 +4 2 =5 2 .Pournotercela,ilfautdespetitstraitsdansl’angleenC, de

longueur 0.5 par exemple, de manière à former un carré CGIH avec G sur [CA] et H sur [CB].

G

C

I

H

!

On pose CG = 1 2 ⇥ 1 ! !

CA, CH = 1 3

2 ⇥ 1 !

CB,puis CI ! = CG ! + CH.

!

4

On trouve G (1.5, 2), H(2.2, 2.1) et I(1.9, 1.7).

Sur le dessin on trace [GI] et [IH] : \draw (1.5,2) -- (2.2,2.1) ; etc.


1.4. FIGURE GÉOMÉTRIQUE : MÉTHODES DE BASE 21

C

3

4

A

5

B

Il faut quand même un certain temps pour concevoir tout cela, faire les calculs et réaliser la

figure, et cela pour un simple triangle. Le plus long n’est d’ailleurs pas de tracer le triangle, mais

de bien placer les annotations (noms des points, longueurs des côtés, marque d’angle droit). On

conçoit alors que la réalisation d’une figure plus complexe peut demander beaucoup de temps et

de calculs.

Une possibilité est alors de les faire exécuter d’abord par un autre logiciel spécialisé en géométrie

et en mathématiques. Un exemple d’un tel logiciel est GeoGebra. Nous allons voir comment l’utiliser

pour préparer cette figure.

1.4.3 Préparer la figure avec GeoGebra

Le site de GeoGebra est à l’adresse http://www.geogebra.org/

GeoGebra permet de construire interactivement et visuellement une figure avec des primitives

mathématiques, comme tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point, tracer l’intersection

de deux lignes, tracer le milieu d’un segment, tracer l’image d’un point par une rotation

donnée, tracer le cercle passant par trois points, etc. Il permet aussi de nommer les points, de

tracer les droites par leurs équations, de déterminer le lieu d’un point quand un autre varie.

Autrement dit, il manipule directement des objets géométriques de manière visuelle et conceptuelle

et il a des capacités de calcul mathématique. Ces possibilités peuvent être très avantageuses

pour préparer une figure TikZ.

Un autre de ses avantages est que vous pouvez déplacer certains points pour que la figure

soit bien mise en place sans avoir à tout redéfinir (les contraintes géométriques imposées restent

vérifiées). Pour cette raison, on dit que c’est un logiciel de géométrie dynamique (un autre excellent

logiciel bien connu de ce type est Cabri).

Voici comment réaliser la figure précédente avec GeoGebra :

Tracer le point A(0, 0), lepointB(5, 0), lecercledecentreA et de rayon 3, le cercle de centre

B et de rayon 4, puis définir C comme un des points d’intersection des deux cercles (le point

d’ordonnée positive). Dans la colonne des coordonnées à gauche, vous pouvez lire les coordonnées

de C : (1.8, 2.4). Vousn’avezpaseudecalculsàfairepourcela.

De même on peut tracer les milieux des côtés et lire leurs coordonnées.

Pour la marque d’angle droit, on peut construire G et H comme les intersections du cercle de

centre C et de rayon 0.5 avec les segments [CA] et [CB], puisobtenirI comme image de C par la

rotation de centre H et d’angle 90°.

D

G

C

I

H

E

A

F

B

On peut ainsi retrouver toutes les coordonnées utiles et reconstituer la figure.


22 CHAPITRE 1. PREMIÈRES FIGURES

1.4.4 Faire engendrer le code TikZ par GeoGebra

Au lieu de lire les coordonnées et de les utiliser pour écrire le code TikZ, vous pouvez laisser

GeoGebra le faire pour vous ! En effet, depuis la préversion de développement 3.1 de septembre

2008, on trouve un menu "Fichier ! Exporter ! Export PGF/TikZ". Lorsqu’on demande un

export, on obtient le code d’un document L A TEX contenant une figure TikZ. Si votre seul but

est de produire un document avec juste une figure, cela suffit. La figure reproduit à l’identique

(quasiment) celle que vous avez construite avec GeoGebra, avec la qualité TikZ. Autrement dit,

dans ce cas, vous n’avez même pas à apprendre TikZ!

Il se peut que vous souhaitiez inclure cette figure dans un document L A TEX, ce que vous pouvez

faire par copier-coller. Il se peut aussi que vous ne souhaitiez pas conserver tous les éléments de la

figure (en particulier ce qui concerne les déclarations des couleurs, la grille, les axes). Il faut alors

analyser précisément le code produit par GeoGebra pour extraire juste ce qui vous intéresse, par

exemple les segments entre les points (il est préférable de cacher d’abord sous GeoGebra tout ce

qu’on ne souhaite pas voir). En général, le code correspondant est identifiable et bien groupé.

Par exemple, après avoir tracé un triangle équilatéral avec la commande GeoGebra « polygone

régulier », on peut extraire juste les lignes qui tracent le triangle :

\draw [color=zzttqq] (2,1)-- (4,2);

\draw [color=zzttqq] (4,2)-- (2.13,3.23);

\draw [color=zzttqq] (2.13,3.23)-- (2,1);

puis supprimer les indications de couleur. On obtient alors un tracé simple :

\begin{tikzpicture}

\draw (2,1)-- (4,2);

\draw (4,2)-- (2.13,3.23);

\draw (2.13,3.23)-- (2,1);

\end{tikzpicture}

On peut ensuite partir de ce code pour compléter la figure.

Ce procédé a été utilisé pour construire de nombreuses figures de géométrie de ce livre, en

particulier pour les exercices qui suivent.

1.5 Exercices : figures géométriques

Dans chaque exercice, on demande de réaliser la figure spécifiée. Toutes ces figures peuvent être

construites en TikZ uniquementàpartirdesélémentsdebase:coordonnées,segments,cercles,

arcs, nœuds. Pour certaines figures, les coordonnées ont été obtenues à l’aide du logiciel GeoGebra.

Comme éléments de solution, nous donnons les coordonnées utilisées (il est recommandé d’utiliser

GeoGebra ou au minimum un papier quadrillé).

Il est parois étonnant de s’apercevoir que, même pour des figures aussi classiques et relativement

simples, le nombre de points peut être élevé (une vingtaine de points). C’est dû en partie aux points

auxiliaires utilisés pour les annotations.


1.5. EXERCICES : FIGURES GÉOMÉTRIQUES 23

1.5.1 Théorème de Thalès

Figure : deux droites obliques coupées par trois parallèles horizontales.

Aide :

droites obliques (0,0)--(1,3) et (4,0)--(2,3)

droites parallèles (0,1)--(4,1) (0,1.5)--(4,1.5) et

(0,2.5)--(4,2.5)

1.5.2 Parallélogramme

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu

\

|| • ||

\

Aide :

Centre : $\bullet$ (0,0)

Diagonales : (-2,0)--(2,0) et (1,1)--(-1,-1)

Marques $||$ : ( 1, 0) et (1, 0)

Marques $\backslash$ : ( 0.5, 0.5) et (0.5, 0.5) ;

1.5.3 Losange

Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires.

Ici le losange est formé de deux triangles équilatéraux.

/



/

Aide :

Losange : (0, 0), (2, 0), (3, 1.73), (1, 1.73)

Diagonales (0,0) -- (3,1.73) ; (1,1.73) -- (2,0)

Marques $/$ : (2, 1.73), (1, 0)

Marques --- : (2.5, 0.87), (0.5, 0.87)

Angle droit : (1.38, 1.07), (1.59, 1.19), (1.7, 0.99)


24 CHAPITRE 1. PREMIÈRES FIGURES

1.5.4 Centre de gravité

Le centre de gravité d’un triangle est l’intersection des médianes.

Les points ont été choisis sur le cercle trigonométrique.

✓ 3

A

5 , 4 p ! p !

3

, B

5◆

2 , 1 3

, C

2 2 , 1

2

\

A

B

\


G

|| ||

C

Aide :

Échelle : 2.

Triangle : A(0.6, 0.8),B( 0.87, 0.5),C(0.87, 0.5)

Milieux : (0, 0.5), (0.74, 0.15), ( 0.13, 0.15)

Centre de gravité G(0.2, 0.07)

Marques $\backslash$ : (0.24, 0.47), ( 0.5, 0.18)

Marques $||$ : ( 0.44, 0.5), (0.44, 0.5)

1.5.5 Cercle circonscrit

Le centre du cercle circonscrit à un triangle est l’intersection des médiatrices. Même triangle :

✓ 3

A

5 , 4 p ! p !

3

, B

5◆

2 , 1 3

, C

2 2 , 1

2

\

A

B

\


O

|| ||

C

Aide :

Échelle : 2.

Triangle : A(0.6, 0.8),B( 0.87, 0.5),C(0.87, 0.5)

Milieux : (0, 0.5), (0.74, 0.15), ( 0.13, 0.15)

Cercle : centre O(0, 0), rayon:1 (tout ça pour ça !)

Marques $\backslash$ : (0.24, 0.47), ( 0.5, 0.18)

Marques $||$ : ( 0.44, 0.5), (0.44, 0.5)

Angle droit sur [BC] : (0.1, 0.5), (0.1, 0.4), (0, 0.4)

Angle droit sur [AB] : ( 0.08, 0.09), ( 0.02, 0.14), ( 0.07, 0.2)


1.5. EXERCICES : FIGURES GÉOMÉTRIQUES 25

1.5.6 Orthocentre

L’orthocentre est l’intersection des hauteurs.

B

A

• H

C

Aide :

Triangle : A(0, 0),B(2, 2),C(3, 2)

Pieds des hauteurs :

sur [AC] : (0.46, 0.31), sur[BC] : (2.35, 0.59), sur[AB] : (0.5, 0.5)

Orthocentre : H(0.8, 0.2)

Angles droits :

sur [AC] : (0.8, 0.53), (1.02, 0.2), (0.68, 0.03)

sur [BC] : (1.96, 0.49), (2.06, 0.1), (2.45, 0.2)

1.5.7 Centre du cercle inscrit

Le centre du cercle inscrit est l’intersection des bissectrices.

C

I •

A

B

Aide :

Triangle : A(0, 0),B(4, 0),C(3, 3)

Cercle : centre I(2.54, 1.05), rayon:1, 05

Points de contact :

sur [AB] : (2.54, 0), sur[AC] : (1.8, 1.8), sur[BC] : (3.54, 1.38)

Marques d’angles (en A, l’angleestsimple:45°) :

BAI : (1,0) arc(0:22:1), IAC : (1.11,0.46) arc (23:45:1.2)

Angle droit sur [AB] : (2.34, 0), (2.34, 0.2), (2.54, 0.2)


26 CHAPITRE 1. PREMIÈRES FIGURES

1.6 Résumé

TikZ estunpackagepourL A TEX, déclaré par \usepackage{tikz}.

Une figure TikZ estengendréeparducodeplacédansunenvironnement

\begin{tikzpicture} ... \end{tikzpicture}, suivantunesyntaxespécialepropreàTikZ.

Les points sont repérés par leurs coordonnées cartésiennes (x,y) ou par leurs coordonnées

polaires (a:r)

L’unité par défaut est 1 cm, mais on peut appliquer à toute la figure une échelle avec [scale=k]

(l’unité devient k cm).

La principale commande de dessin est \draw ... ;

Tracer un segment : \draw (a,b) -- (c,d) ;

Tracer un cercle : \draw (a,b) circle (r) ;

Tracer un arc de cercle : \draw (a,b) arc (u:v:r) ;

Écrire un texte L A TEX :\draw (a,b) node {texte} ;

ou \draw (a,b) node [position] {texte} ; (position : above, below, etc.)

Le problème principal pour tracer une figure de géométrie est de déterminer les coordonnées des

points, surtout pour les points auxiliaires servant aux annotations. Pour cela, il peut être pratique

de s’aider d’un logiciel auxiliaire comme GeoGebra, qui est même capable d’engendrer du code

TikZ.


Chapitre 2

Chemins, options graphiques

Dans ce chapitre, nous allons voir différentes façons de simplifier le tracé des figures par rapport

aux méthodes de base vues dans le chapitre précédent. Nous introduirons la possibilité de nommer

les points, de regrouper des traits élémentaires dans un chemin, despécifierdespositionspar

rapport à des traits et plus seulement à des points. D’autre part, nous présentons des options

graphiques permettant de faire varier l’apparence des traits : pointillés, couleurs, remplissage. Et

enfin nous introduirons des façons de préciser le cadre de la figure : axes, grille, fenêtre.

Ces outils permettent de réaliser de nombreuses figures de géométrie avec une présentation de

qualité.

2.1 Simplifications, raccourcis, abstractions

Toutes les figures précédentes étaient construites point par point, trait par trait, et à partir de

coordonnées qui devaient toutes être calculées au préalable. On peut trouver cela un peu fastidieux.

TikZ fournitdifférentesfacilitéspoursimplifierleschoses.Maisquiditsimplificationditnouveaux

outils, nouvelle syntaxe, nouveaux concepts. Ces nouveautés ont un avantage et un inconvénient

: l’avantage, c’est que le code à écrire sera un peu plus simple ou de plus haut niveau,

l’inconvénient c’est que cela rajoute une charge mentale de mémoire, de compréhension, de décision.

Il faut apprendre et comprendre les nouveautés et il faudra se demander lors de chaque

figure quel va être le choix de l’outil le plus approprié. Ces nouveautés pourront même embrouiller

rétrospectivement ce qu’on pensait avoir compris. Donc prudence : il n’est pas nécessaire de se

précipiter sur toutes les nouveautés. Il faut que l’acquisition soit progressive.

2.1.1 Nommage des points : \coordinate(nom) at (x,y)

Pour concevoir et vérifier une figure, il est plus agréable de pouvoir désigner les points par des

noms plutôt que par des coordonnées.

Il y a plusieurs variantes syntaxiques. Nous conseillons la suivante, qui joue le rôle de déclaration,

un peu comme dans un texte mathématique : « Soit A le point de coordonnées (1, 0) ». Cela s’écrit

\coordinate (A) at (1,0) ;

\coordinate (nom) at (x,y) ;

Le nom peut être choisi librement, mais il ne doit pas contenir de signes de ponctuation ou de

symboles spéciaux.

Si on reprend la figure du début, on peut déclarer les noms des points puis utiliser ensuite ces

noms pour le tracé :

\begin{tikzpicture}

\coordinate (O) at (0,0) ;

\coordinate (A) at (1,0) ;

\coordinate (B) at (0,1) ;

\draw (O) -- (A) ;

27


28 CHAPITRE 2. CHEMINS, OPTIONS GRAPHIQUES

\draw (O) -- (B) ;

\draw (O) circle (1) ;

\end{tikzpicture}

Apparemment, on n’y gagne pas en concision, puisqu’on rajoute des lignes. Mais on y gagne

sur plusieurs points : en lisibilité d’abord (on voit clairement qu’on trace le segment [OA] par

exemple), en modularité ensuite (on sépare nettement les positions particulières et la structure de

la figure) et en réutilisabilité enfin (on peut utiliser plusieurs fois le même nom pour faire référence

àlamêmeposition).

Cela facilite aussi les corrections : si on s’est trompé dans le calcul des coordonnées d’un point,

il n’y a qu’un seul endroit à rectifier (la déclaration des coordonnées).

2.1.2 Enchaînement de traits : chemin, position courante

Jusqu’à maintenant, nous avons tracé les traits un par un, chacun dans une instruction \draw.

C’est un peu fastidieux quand il faut tracer des successions de traits qui s’enchaînent (des lignes

brisées et polygones) car on est obligé d’écrire deux fois ou plus les points intermédiaires. TikZ

introduit un raccourci pour cela : plutôt que d’écrire

\draw (0,0) -- (1,0) ;

\draw (1,0) -- (1,1) ;

On peut écrire en enchaînant les traits dans une même instruction :

\draw (0,0) -- (1,0) -- (1,1) ;

Cela s’appelle un chemin (path). Cette notion est introduite ici à propos d’une suite de segments,

mais elle est beaucoup plus générale et forme une des bases de TikZ.

Syntaxiquement, elle se présente comme une suite d’opérations de chemin (path operations).

Ici, il y en a trois : (0,0), quiestuneopérationdepositionnementexplicite,puis -- (1,0) et

-- (1,1) ,quisontdesopérationsdetracédesegment.

Ces dernières opérations ont un double rôle : un rôle de tracé d’abord, mais aussi un rôle

de positionnement implicite après le tracé. En effet, le long d’un chemin, TikZ maintientune

« position courante » : c’est la position qui résulte du tracé précédent et qui servira de référence

(point de départ) pour le tracé suivant. D’une manière imagée, c’est la position du crayon.

Dans le cas d’un segment, cette position implicite est naturelle : après l’instruction de tracé

-- (x,y) ,lapositioncourantedevient(x, y). Maisilyad’autresinstructionspourlesquellesla

convention est moins évidente, ce qui peut être source de confusions.

Par exemple, après le tracé d’un cercle par circle (r), la position courante devient le centre du

cercle.

Après le tracé d’un arc, la position courante devient l’extrémité de l’arc. Cette différence entre

arc et cercle explique peut-être la convention inhabituelle choisie pour décrire un arc. Un arc peut

être inclus dans une succession de lignes pour former une ligne continue :

\draw (0,0) -- (1,1) arc (180:0:1) -- (4,0);

(1, 1)

180° 0°

(0, 0)

(4, 0)

Les indications données en gris ont été rajoutées pour bien montrer l’influence des paramètres,

mais elles ne font pas partie du dessin proprement dit.

Si on remplace l’arc par un cercle, on obtient :

\draw (0,0) -- (1,1) circle(1) -- (4,0);


2.1. SIMPLIFICATIONS, RACCOURCIS, ABSTRACTIONS 29

(1, 1)

(0, 0)

(4, 0)

Après le tracé du cercle, le crayon est en son centre (1, 1) et on repart de là pour joindre le

point suivant (4, 0).

2.1.3 Rectangle : (a,b) rectangle (c,d)

Il est fréquent d’avoir à tracer un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. TikZ fournit

une opération pour cela : rectangle, utiliséesouslaforme(a,b) rectangle (c,d), où(a, b) et

(c, d) sont deux coins opposés du rectangle.

Exemple : (0,0) rectangle (2,1);

(2,1)

(0,0)

Autre exemple : (0,2) rectangle (2,0);

(0,2)

(2,0)

2.1.4 Figures fermées : cycle, fill

Pour tracer un triangle ABC, onpeuttoujoursécrire:

\draw (a) -- (b) -- (c) -- (a);

Mais TikZ possède le concept de chemin fermé. Il est possible de dire : tracer de A à B puis à

C, puisfermerlafigure:

\draw (a) -- (b) -- (c) -- cycle;

Il y a deux intérêts à cela : d’abord dans la jonction des traits entre le départ du point initial

et le retour au point initial (TikZ s’arrangepourquelajonctionsefassebienaupixelprès)et

ensuite dans le remplissage des figures fermées avec de la couleur ou des motifs.

Pour remplir une figure fermée, on utilise \fill au lieu de \draw :

\fill (0,0) -- (1,0) -- (1,1) -- cycle;

Le principal intérêt de la notion de chemin ne réside pas tellement dans l’économie d’écriture

qu’elle permet (on économise quelques instructions \draw), mais dans cette possibilité de définir

des chemins fermés pour l’instruction \fill. Elleaunautreavantage:ellepermetderegrouper

en un seul endroit les options graphiques qui s’appliquent sur tout le chemin (voir plus loin).

Nous allons voir plus loin comment remplir la figure avec des couleurs et des motifs.


30 CHAPITRE 2. CHEMINS, OPTIONS GRAPHIQUES

2.1.5 Noeuds sur les traits : midway, sloped

Dans ce qui précède, nous avons vu l’opération node, quipermetdeplaceruneboîtedetexte

àunepositiondonnée,avecéventuellementuneoptiondepositionnement:

\draw (0,0) node[below right] {$O$} node{$\bullet$};


O

On peut aussi placer un nœud pour annoter un trait, et non plus un point : pour cela on

place l’opération node après l’extrémité du trait, avec une option de position relative au trait

(midway, near start, near end). TikZ comprendraalorsgrâceàcetteoptionquelenœudse

rapporte au trait plutôt qu’au point.

\draw (0,0) -- (4,0) node[midway] {$M$}

node[near start] {$NS$}

node[near end] {$NE$};

NS

M

NE

On peut ajouter les options usuelles de placement : above, below, etc. (ici : above), et ajouter

d’autres nœuds (ici les points qui marquent les positions exactes) :

node[midway,above] {$M$} node[midway] {$\bullet$}

Cela permet par exemple de tracer rapidement le milieu M d’un segment.

NS M NE

• • •

On peut aussi indiquer que le texte doit suivre l’orientation du trait : option sloped

node[midway,above,sloped] {$M$}

NS M NE

Cette dernière possibilité est pratique pour noter des segments égaux par de petits traits.

Au lieu de tracer ces petits traits explicitement à l’aide de coordonnées, on peut les considérer

comme des nœuds associés aux segments (option midway), avec un contenu symbolique comme $|$

(un trait vertical |) etl’optionsloped pour que le petit trait reste perpendiculaire au segment :

node[midway, sloped]{$|$}

|

|

|

2.1.6 Coordonnées relatives : ++(x,y)

Il peut être pratique de désigner un point non pas par ses coordonnées absolues mais par un

déplacement à partir du point courant.

La notation \draw (a,b) -- ++(x,y); est un raccourci qui remplace \draw (a,b) -- (c,d)

par c = a + x et d = b + y.


2.1. SIMPLIFICATIONS, RACCOURCIS, ABSTRACTIONS 31

Autrement dit, on joint le point (a, b) au point qui s’en déduit par la translation de vecteur

(x, y).

Ainsi, \draw (1,2) -- ++(1,1); équivalent à \draw (1,2)--(2,3);

++(x,y)

(a,b)

! v (x, y)

Ici encore, les annotations en gris ne font pas partie de la figure proprement dite.

Cette opération est intéressante pour décrire un chemin par étapes locales : pour trouver le

trésor, partez du grand chêne en (1, 2), puisfaites2pasverslenord,puis3pasversl’est.

\draw (1,2) -- ++(0,2) -- ++ (3,0);

C’est équivalent à \draw (1,2) -- (1,4) -- (4,4);

(1, 4)

++(3,0)

(4, 4)

++(0,2)

(1, 2)

Cela peut être pratique pour tracer des polygones dont on connaît les vecteurs des côtés, par

exemple un carré OABC :

\draw (0,0) -- ++(1,1) -- ++(-1,1) --++ (-1,-1) -- cycle;

! ! !

Les coordonnées des vecteurs sont : OA(1, 1), AB( 1, 1), BC( 1, 1)

B

C

A

O

Cette dernière technique est particulièrement intéressante en utilisant les coordonnées polaires,

par exemple pour tracer un pentagone régulier. L’angle entre deux côtés successifs d’un pentagone

régulier est 72°, etlescôtésonttouslamêmelongueur,prenons1parexemple.

Le premier côté est (0,0) -- (1,0).

Pour tracer le deuxième côté, on peut écrire : \draw -- ++(72:1). Cela revient à dire : tracer

un segment dans la direction d’angle polaire 72°, surunedistance1.Pourletroisièmecôté,ilsuffira

de dire -- ++ (144:1), sachantque144 est le double de 72, c’estl’anglepolairedutroisièmecôté.

Et ainsi de suite avec les multiples de 72 :

\draw (0,0) -- (1,0)

-- ++(72:1) -- ++(144:1) -- ++(216:1) -- cycle;

144°

(0, 0) (1, 0)

72°


32 CHAPITRE 2. CHEMINS, OPTIONS GRAPHIQUES

2.2 Décorations, styles, options graphiques

2.2.1 Options : [ ]

Une figure n’est pas constituée que de traits pleins entre des points. Il devient très vite nécessaire

de modifier l’aspect des lignes : pointillés au lieu de traits pleins, couleur, épaisseur des traits,

pointes de flèches, etc. Non pas pour le simple plaisir de faire joli, mais pour communiquer des

informations à propos de la figure.

TikZ permetcelaparl’intermédiaired’options graphiques. Leconceptetlasyntaxedesoptions

est analogue à ce qu’on trouve dans L A TEX :lesoptionss’écrivententrecrochets,séparéespardes

virgules. Par exemple [thick, red] signifiera qu’on veut des traits épais et rouges. Remarquez

qu’on a déjà utilisé cette syntaxe pour le positionnement des noeuds :

dans l’expression node[below]{}, below était une option au sens indiqué ici.

Les questions qui se posent à propos de cette nouvelle construction syntaxique sont les suivantes

:

— où peut-on (doit-on) écrire ces options ?

— quelles sont les options disponibles, avec quelle syntaxe ?

— quels sont les éléments de la figure affectés par l’option ?

Nous ne pouvons pas répondre d’un seul coup ni complètement à toutes ces questions. En gros,

les options s’écrivent immédiatement après les différentes commandes comme \tikzpicture (pour

une option s’appliquant à toute la figure), \draw (pour une option s’appliquant uniquement au

chemin), et dans les opérations de chemin, comme node. Ellessont...optionnelles,c’est-à-dire

qu’on peut ne pas les faire figurer (dans ce cas TikZ choisiraalorsautomatiquementdesvaleurs

par défaut). En fait, chaque fois que nous introduirons une nouvelle possibilité de TikZ, nous

indiquerons les principales options associées.

2.2.2 Épaisseur des traits : thick, thin, line width=5pt

À chaque opération draw, on peut spécifier l’épaisseur des traits, avec les options suivantes (fin

ou épais) :

thin, very thin, ultra thin

thick, very thick, ultra thick

Par exemple \draw [very thick] (0,0) -- (1,0);

Remarquez que TikZ permetdes’exprimerdemanièrequalitative(enanglais),sanstropse

préoccuper de précision absolue. C’est souvent suffisant, mais si on veut on peut aussi spécifier la

largeur exacte du trait, avec des unités de longueur :

[line width=5pt]

On peut remarquer deux choses dans cette syntaxe : d’abord les noms des options peuvent

contenir des espaces, et ensuite il y a deux formes possibles, l’une courte, comme [thin], etl’autre

longue comme [line width=5pt]. Ondifférencieenfaitlenom de l’option (line width) etla

valeur de l’option (5pt). La plupart du temps, TikZ sedébrouilletoutseulpourtrouverdequelle

option on parle quand on donne une valeur seulement (quand on donne [red], TikZ reconstitue

la syntaxe complète [color=red]). En cas d’ambiguïté il faut préciser le nom de l’option.

2.2.3 Pointillés, styles des traits : dotted, dashed, double

On peut spécifier qu’un trait doit être en pointillés :

dotted

Options possibles : dotted, loosely dotted, densely dotted

ou en traitillés :

dashed


2.2. DÉCORATIONS, STYLES, OPTIONS GRAPHIQUES 33

Options possibles : dashed, loosely dashed, densely dashed

On peut aussi spécifier qu’un trait doit être double :

\draw [double] (0,0) -- (1,0)

On peut même préciser l’écartement entre les deux traits :

\draw [double distance = 5pt] (0,0) -- (1,0)

2.2.4 Pointes de flèches : ->, >= stealth

On peut spécifier que l’extrémité d’un trait doit être une pointe de flèche avec l’option [->].

Si la flèche doit être à l’origine plutôt qu’à l’extrémité : [, parexemple:[>=stealth]. Rappelonsque

les options s’accumulent entre crochets, séparées par des virgules : [>=stealth,->]

Le mot stealth évoque la forme de l’avion furtif appelé stealth-fighter (stealth = ruse).

Autre forme de flèche, plus triangulaire : [>=latex]

Une extension de TikZ permetd’avoirdespointesdeflèchesvariées(libraryarrows)

2.2.5 Couleurs : red, color=gray!20

On peut indiquer qu’un trait ou une région doit être d’une couleur donnée en indiquant seulement

le nom de la couleur comme option : [red] ou avec le nom d’option : [color=red].

On peut spécifier une couleur pour toute la figure :

\begin{tikzpicture}[red] ... ou juste un trait \draw[red]...

Les noms de couleur autorisés sont les noms de couleur standard en L A TEX. Les couleurs de base

sont :

red, green, blue, cyan, yellow, magenta, black, white, gray

On peut de plus ajouter une nuance à la couleur, le procédé consistant à suffixer le nom de

couleur par un point d’exclamation suivi d’un nombre de 0 à 100.

Exemple : [color=gray!20], signifiequelacouleurestgriseà20%(pluslenombreestpetit,

plus la couleur est claire). Mais attention, syntaxiquement il faut alors indiquer obligatoirement le

nom de l’option : color=gray!20

gray!20 gray!40 gray!60 gray!80 gray!100


34 CHAPITRE 2. CHEMINS, OPTIONS GRAPHIQUES

On peut distinguer la couleur de remplissage et la couleur du contour :

\draw [black,fill=gray!20]

2.3 Axes, grille, fenêtre d’affichage

Dans les figures de géométrie la position précise des points est importante, et il est pratique de

l’indiquer visuellement en traçant les axes ainsi qu’un quadrillage (en anglais grid, souventtraduit

par grille).

2.3.1 Axes

TikZ nepossèdepasd’instructionparticulièrepourtracerlesaxes.Unaxen’estriend’autre

qu’un segment qu’on trace entre deux points, comme tous les autres segments, en lui appliquant

éventuellement des options graphiques (flèches, épaisseur, pointillés, couleur) et en ajoutant des

annotations :

\begin{center}

\begin{tikzpicture}

\draw[->] (-1,0) -- (1,0);

\draw (1,0) node[right] {$x$};

\draw [->] (0,-1) -- (0,1);

\draw (0,1) node[above] {$y$};

\end{tikzpicture}

\end{center}

y

x

Une figure classique consiste à indiquer les coordonnées d’un point dans les axes.

Par exemple, pour le point A(2, 1), ilfautjoindrelepointA àsesprojetéssurlesaxes(2, 0) et

(0, 1), etindiqueràcôtédecesprojetésl’abscisse2etl’ordonnée1.

\draw [dashed] (2,1) -- (2,0) node[below] {$2$};

\draw [dashed] (2,1) -- (0,1) node[left] {$1$};

1

A(2, 1)

2

Plutôt que de tracer séparément les deux segments, il est possible de faire le dessin en une seule

opération. On veut joindre le point (0, 1) au point (2, 0) par une ligne d’abord horizontale, puis

verticale. TikZ possèdeuneopérationpourcela,notée-| :

\draw [dashed] (0,1) -| (2,0);

Ou, dans l’autre sens, on joint le point (2, 0) au point (0, 1) par une ligne d’abord verticale puis

horizontale : \draw [dashed] (2,0) |- (0,1);


2.3. AXES, GRILLE, FENÊTRE D’AFFICHAGE 35

2.3.2 Quadrillage (grille) : grid

Pour rendre les coordonnées directement lisibles, il est souvent pratique d’afficher un quadrillage

(une grille). TikZ fournitl’instructiongrid pour cela.

La syntaxe est \draw (a,b) grid (c,d);

Cela dessine un quadrillage dont les points sont les points de coordonnées entières à l’intérieur

du rectangle défini par deux coins opposés (a, b) et (c, d).

Par défaut, les traits sont espacés de 1 cm.

Par exemple \draw (0,0) grid (3,2);

(3, 2)

(0, 0)

Le problème d’un quadrillage, c’est qu’il risque d’embrouiller la figure. Il vaut donc mieux le

dessiner discrètement. Pour cela, on peut utiliser les options very thin et gray (trait très fin et

gris).

\draw [very thin, gray] (0,0) grid (3,2);

\draw (1,0) -- (3,2);

Cela peut ne pas suffire pour les nœuds de texte. On peut alors affecter à ces noeuds l’option

fill=white. Cela colorie le fond du nœud en blanc (non transparent). Il faut alors tracer le noeud

après la grille.

node

grid puis node[fill=white]

(AB)

(AB)

La distance par défaut de 1 cm peut parfois être insuffisante. On peut alors utiliser l’option

step appliquée à l’opération grid.

Par exemple, il est possible d’obtenir un quadrillage de cahier d’écolier avec : grid [step=0.5],

et pour un papier millimétré : grid [step=0.1]. Etsionveutrenforcerlestraitsdesunités,on

peut tracer une autre grille standard par-dessus, avec des traits un peu plus gros.

grid[step=0.5]

grid[step=0.1]

deux grilles

1•

0 • 1 •

1•

0 • 1 •

1•

0 • 1 •


36 CHAPITRE 2. CHEMINS, OPTIONS GRAPHIQUES

2.3.3 Fenêtre d’affichage : clip

Il se peut que, pour différentes raisons, on doive réduire la fenêtre d’affichage, c’est-à-dire la

région qui sera effectivement affichée. On utilise alors l’instruction \clip.

La syntaxe est \clip (a,b) rectangle (c,d);

La région effectivement affichée sera seulement l’intérieur du rectangle dont les coins opposés

sont (a, b) et (c, d). Cela affectera uniquement les dessins placés après l’instruction \clip.

Les pointillés ont été rajoutés pour l’exemple, ils ne font pas partie de l’instruction \clip.

(a,b)

5

2

3

4

(c,d)

\clip (a,b) rectangle (c,d)

(a,b)

5

4

1

3

(c,d)

2

En fait, la fenêtre n’a pas forcément toujours une forme de rectangle. Elle a la forme qu’on

définit à l’intérieur de l’instruction \clip. Enparticulier,ellepeutavoiruneformecirculaire.

1

\clip (a,b) circle (r);

1

2

3

4

5

\clip

(a,b)

5

(a,b) circle (r);

4

3

2

1

(c,d)

2.4 Compléments : opacité, couleurs, styles

2.4.1 Ordre des tracés, transparence : opacity

Dans une figure, les traits se superposent dans l’ordre du tracé. Or certains tracés sont transparents

et d’autres pas. Donc les tracés non transparents vont cacher les traits qui ont été tracés

avant.

C’est le cas en particulier avec la grille grid et des commandes \fill.

La grille est transparente, mais un triangle rempli avec \fill ne l’est pas :

grid, puis \fill

\fill, puis grid

Autre exemple, dans l’option double, quitraceuntraitdouble,enfaitletraitestunrectangleet

la région entre les deux traits n’est pas transparente. Il faut éventuellement y penser pour l’ordre

de tracé des traits, sachant que les différents traits se dessinent l’un après l’autre, c’est-à-dire l’un

sur l’autre. Dans l’exemple suivant, le trait vertical de gauche est tracé avant le trait horizontal

double, et le trait vertical de droite est tracé après. Le trait horizontal en traitillé est tracé après,

et montre comment le trait double s’aligne : il est centré sur la ligne du trait simple.


2.4. COMPLÉMENTS : OPACITÉ, COULEURS, STYLES 37

Il existe une option pour gérer la transparence ou plutôt l’opacité : opacity, avecdesvaleurs

allant de 0 (transparent) à 1 (opaque).

On peut reprendre le premier dessin (la grille suivie d’un triangle rempli de gris) en appliquant

[gray,opacity = 0.5] au triangle. On obtient :

grid, puis \fill[gray,opacity=0.5]

opacity=0.2

Le triangle est bien tracé par-dessus la grille, mais il est en partie transparent. Plus précisément,

on peut distinguer draw opacity l’opacité pour le contour et fill opacity l’opacité pour le

remplissage, sachant que opacity fixe les deux à la fois.

2.4.2 Noms et calculs des couleurs, package xcolor

Si on veut disposer de noms de couleur plus variés qu’en L A TEX standard,onpeutchargerle

package xcolor. Il est déclaré par \usepackage[usenames, dvipsnames]{xcolor}.

Attention, il faut le déclarer avant \usepackage{tikz}, sinonilyaincompatibilité.

On dispose alors des couleurs suivantes :

— De jaune à orange : GreenYellow, Yellow, Goldenrod, Dandelion, Apricot, Peach, Melon,

YellowOrange ;

— De orange à rouge :Orange,BurntOrange,Bittersweet,RedOrange,Mahogany,Maroon,

BrickRed, Red ;

— De rouge à rose : OrangeRed, RubineRed, WildStrawberry, Salmon, CarnationPink, Magenta,

VioletRed, Rhodamine ;

— De rose à violet : Mulberry, RedViolet, Fuchsia, Lavender, Thistle, Orchid, DarkOrchid,

Purple ;

— De violet à bleu : Plum, Violet, RoyalPurple, BlueViolet, Periwinkle, CadetBlue, CornflowerBlue,

MidnightBlue ;

— De bleu à bleu clair : NavyBlue, RoyalBlue, Blue, Cerulean, Cyan, ProcessBlue, SkyBlue,

Turquoise ;

— De bleu clair à vert :TealBlue,Aquamarine,BlueGreen,Emerald,JungleGreen,SeaGreen,

Green, ForestGreen ;

— De vert à brun : PineGreen, LimeGreen, YellowGreen, SpringGreen, OliveGreen, Raw-

Sienna, Sepia, Brown, Tan.

Sinon, on peut fabriquer soi-même ses propres couleurs en faisant des mélanges :

[color=blue!30!red] désigne une couleur avec 30 % de bleu et 70 % de rouge. C’est donc

une couleur plutôt rouge, légèrement violette.

De même [color=blue!30!red!40!green] désigne le mélange de la couleur précédente en

proportion de 40 %, avec 60 % de vert. Cela donne une définition globale dans le système RVB,

avec des valeurs de 0 à 255 : R = 31,B = 71,V = 153 (calcul de barycentres). Le résultat est

plutôt vert.

Cela donne une grande liberté, mais il n’est peut-être pas très raisonnable de vouloir à tout

prix inventer ses propres couleurs. C’est un exercice difficile, et les coloristes ont établi des palettes

soigneusement étalonnées qu’il est préférable d’utiliser. Les 64 couleurs de xcolor plus les couleurs

standard devraient suffire.


38 CHAPITRE 2. CHEMINS, OPTIONS GRAPHIQUES

2.4.3 Définition de styles : \tikzstyle, \tikzset

Il est fréquent que plusieurs éléments d’une figure aient les mêmes options graphiques, et que

ces options soient associées à une convention particulière de représentation, qu’on appelle un style.

Il est alors pratique de séparer la définition du style, qui est commune, et ses applications aux

divers éléments.

Par exemple, pour que les traits soient en pointillés épais et que la couleur de remplissage soit

en gris, on écrit habituellement :

\draw[thick, dashed, fill=gray] ...

On peut alors désigner ce style par un nom, par exemple grisEncadre. Ondéclarealorsce

nom à TikZ delafaçonsuivante:

\tikzstyle{grisEncadre}=[thick, dashed, fill=gray!20]

On peut écrire cette commande n’importe où dans le document L A TEX, avant la figure.

Ensuite, on peut utiliser ce nom dans la figure de la manière suivante, en écrivant seulement le

nom comme option, et cela jouera le rôle d’une abréviation :

\draw [grisEncadre] (0,0) circle (1);

Et on peut utiliser ce même style plusieurs fois :

\tikzstyle{grisEncadre}=[thick, dashed, fill=gray!20]

\begin{tikzpicture}

\draw [grisEncadre] (0,0) circle (1);

\draw [grisEncadre] (2,0) circle(0.5);

\end{tikzpicture}

Cette façon de faire augmente la lisibilité et facilite les corrections : en corrigeant seulement la

définition du style, toutes les figures utilisant ce style seront modifiées automatiquement.

En fait, la commande \tikzstyle semble tombée en désuétude dans la version 2 (même si elle

est toujours correcte et utilisable).

La méthode utilisée par la version 2 utilise la commande \tikzset pour définir un style, avec

une syntaxe un peu plus compliquée :

\tikzset{grisEncadre/.style={thick, dashed, fill=gray!20}}

Cette légère complication permet de profiter des possibilités du package pgfkeys, quenousne

détaillons pas dans cet ouvrage.

2.5 Exercices : styles de traits, flèches, couleurs

Voici des exercices à réaliser avec TikZ. Pour chacun d’eux, on donne une figure et il faut écrire

le code TikZ quitracecettefigure.Ondonnecommeindicationslestechniquesutilisées,c’est-à-dire

les mots-clés TikZ utilisés.

Les figures sont des figures classiques de géométrie.

2.5.1 Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs s’obtient en traçant la diagonale d’un parallélogramme, ou en

plaçant les vecteurs bout à bout.

! u ! u +

! v ! v

! v

! u +

! v

! u


2.5. EXERCICES : STYLES DE TRAITS, FLÈCHES, COULEURS 39

Techniques utilisées : ->, >= stealth, --, node, above

below right, dashed, midway

2.5.2 Triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle

Tout triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle dont le diamètre est l’hypoténuse.

| • |

Techniques utilisées : dashed, arc, node, --

2.5.3 Angle inscrit et angle au centre

L’angle au centre est le double de l’angle inscrit.

Techniques utilisées : double distance, thick, arc,

color=gray!20, circle, --, densely dotted

2.5.4 Parallèles, aires égales

Deux triangles, de bases égales et de hauteurs égales, ont des aires égales.

| |

Techniques utilisées :

color=gray!20, --, cycle, node, \fill

2.5.5 Composée de deux symétries centrales

La composée s 2 s 1 de deux symétries centrales de centres I 1 et I 2 est la translation de vecteur

2 I !

1 I 2 .SiM 1 = s 1 (M) et M 2 = s 2 (M 1 ),

!

alors MM 2 =2 I !

1 I 2 .


40 CHAPITRE 2. CHEMINS, OPTIONS GRAPHIQUES

M

2 ! v

I 1 •

||

! v


I 2

||

M 2

M 1

Techniques utilisées : >=latex, node, below, midway, --,

above, dashed, left, below right, ->

2.5.6 Suite géométrique

1

2 + 1 4 + 1 nX 1

+ ···= lim

8 n!+1 2 k =1

k=1

Le triangle OAB est isocèle rectangle en B, direct.ÀpartirdeB, oneffectueunesuitede

projections orthogonales : sur [OA] d’abord, puis sur [AB], puissur[OA], puissur[AB], etc.

Les longueurs des segments sur [OA] forment une suite géométrique de raison 1 2·

B

O

A

1

2

1

4

1

8

1

Techniques utilisées :

>=latex, , node, left, above, --,

right, midway, below, densely dashed


Chapitre 3

Courbes

3.1 Tracer une courbe : plot (...)

Dans ce chapitre, nous allons voir comment tracer des courbes définies à l’aide d’équations

mathématiques, comme l’équation ⇢ cartésienne y =sin(x), l’équationpolaire r = f(✓) ou les

x = cos(t)

équations paramétriques

.

y =sin(t)

L’opération principale pour cela est plot, àinsérerdansunecommande\draw par exemple :

\draw plot ... ;

Nous décrivons ici la syntaxe de cette opération dans la version 2 de TikZ.

Cette opération permet de tracer des courbes paramétrées, le nom du paramètre par défaut

étant \x.

Après le mot plot, onécrit:

— ou bien (X, Y ), oùX et Y sont les formules de l’abscisse et de l’ordonnée en fonction du

paramètre, Si ces formules contiennent des parenthèses ou des virgules, il faut les écrire

entre accolades. C’est très souvent le cas pour Y. Par exemple, on écrit (\x,{exp(\x)}) ;

— ou bien (✓ : r), où✓ et r sont les formules de l’angle polaire (en degrés) et du rayon en

fonction du paramètre (rayon algébrique, qui peut être négatif). Les accolades peuvent être

nécessaires également.

Par exemple, pour tracer la courbe de la fonction d’équation cartésienne y = x

( 4 ,ilfautd’abord

x = x

la traduire en équations paramétriques :

y = x ,etonécrit:

4

\draw plot (\x, \x/4);

ce qui donne :

y = x 4

(5, 1.25)

\

(0, 0)

( 5, 1.25)

On a ajouté des annotations en gris pour montrer comment la figure se place.

Ici, TikZ autilisésesoptionspardéfautpourchoisirledomaineduparamètre: 5 6 x 6 5.

Autre exemple : la courbe d’équation polaire ✓ = 20 ⇥ r. Onpeutlareprésenterenchoisissantr

comme paramètre, ce qui s’écrit :

\draw plot (20*\x:\x);

41


42 CHAPITRE 3. COURBES

La courbe part du point (✓ = 100° : r = 5) et arrive au point

(✓ = 100° : r = 5) car \x varie par défaut de 5 à 5. Onobtient:

(100 : 5)

( 100 : 5)

( 45 : 2.25)—

—(45 : 2.25)

|

(0 : 0)

Si on ne souhaite pas conserver le nom par défaut \x pour le paramètre, on peut lui attribuer

un nom, par exemple \t, avecl’option[variable=\t] appliquée à l’opération plot.

Exemple : \draw plot [variable=\t] (\t,2*\t);

Il reste différentes questions, que nous allons étudier dans la suite :

— Comment définir le domaine du paramètre ?

— Quelles sont les formules mathématiques disponibles ?

— Comment spécifier le nombre de points calculés, le lissage ?

— Comment sont traités les points singuliers (discontinuités, valeurs trop grandes) ?

3.1.1 Domaine : [domain=a:b]

Pour dire que le paramètre (\x par défaut) varie de a à b, TikZaprévulasyntaxe[domain=a:b].

Malheureusement, cette syntaxe pose un problème pour les utilisateurs français qui ont déclaré

le package babel avec une option french, frenchb ou francais.

Le problème de babel français et de « : »

Remarque : Dans la dernière version de TikZ &PGF (la version 2.10), qui est actuellement

fournie avec la distribution TEXlive 2011, ce problème de babel du « : »estcorrigé.

Si on dispose d’une version plus ancienne, lire la suite.

Avec le package babel français (french, frenchb ou francais), le code interne TEX ducaractère

« : » (son catcode) estmodifiépourpermettreuntraitementspécialadaptéauxrègles

typographiques de la langue française. Cela ne pose pas de problèmes en général dans L A TEX, mais

comme TikZ utiliseunesyntaxespécialeetdoncuneprocéduredelecturespéciale,celainterfère

avec ses règles syntaxiques et provoque une erreur, en particulier dans l’option [domain=a:b]. On

obtient en général dans la fenêtre de console le message suivant, difficile à comprendre, mais qui

peut servir d’indice pour repérer l’erreur :

Paragraph ended before \tikz@plot@samples@recalc was complete

Nous proposons deux solutions différentes :

— dire à L A TEX deneplusconsidérerlecaractère«:»commeuncaractèrespécialdansles

passages où il doit être interprété par TikZ, en utilisant la commande fournie par babel

français : \shorthandoff{:} ;

— configurer TikZ pourmodifierlasyntaxedel’optiondomain=a:b, ouplutôtintroduireune

autre option équivalente domaine={a}{b} qui n’utilise pas les deux-points.

Aucune des deux solutions n’est parfaite, nous les développons dans ce qui suit.


3.1. TRACER UNE COURBE : PLOT (...) 43

Désactiver « : » avec \shorthandoff{:}

On peut dire à L A TEX deneplusconsidérerlecaractère«:»commeuncaractèrespécialdans

les passages où il doit être interprété par TikZ. La commande pour cela est :

\shorthandoff{:}

Où exactement placer cette commande ? Répondre précisément et complètement à cette question

est difficile, parce qu’il s’agit d’interactions à un niveau de base de TEX(lalecturedescaractères

et l’exécution des commandes), et que des effets inattendus peuvent se produire.

La plupart du temps il suffit d’insérer la commande à l’intérieur de chaque environnement

tikzpicture :

\begin{tikzpicture} \shorthandoff{:} ... \end{tikzpicture}

Cependant, cela ne suffit pas si la tikzpicture est elle-même à l’intérieur d’une autre commande,

comme quand on veut encadrer une tikzpicture par \fbox. Onobtientlemessaged’erreur

suivant :

Argument of \tikz@plot@samples@recalc has an extra }

Dans ce cas-là, on peut essayer d’écrire :

{ \shorthandoff{:}

\fbox{ \begin{tikzpicture} ... \end {tikzpicture} } }

Introduire une autre option [domaine={a}{b}]

Nous proposons d’introduire l’option domaine (c’est un mot français rappelant que le problème

se pose pour les utilisateurs de babel en français).

Pour la définir, il suffit d’écrire la ligne suivante à la fin du préambule L A TEX dudocument:

\tikzset { domaine/.style 2 args={domain=#1:#2} }

Alors, dans une tikzpicture, au lieu d’écrire [domain=a:b], onécrira

[domaine={a}{b}]

Cette solution est pratique quand on écrit soi-même le code de ses figures TikZ. Elle ne règle

cependant pas tous les problèmes quand on veut récupérer un code TikZ quiutilisedirectement

l’option domain originale. Dans ce cas-là, il vaut mieux utiliser la solution avec \shorthandoff{:}.

Utiliser le package microtype

Un package récent, microtype, permetderésoudreleproblèmeglobalementdefaçonsimple.

Il suffit d’ajouter :

\usepackage[babel=true,kerning=true]{microtype} après la déclaration d’utilisation du package

babel. Ainsilecaractère«:»nesembleplusposerdeproblème.

Attention :noussupposons,àpartirdemaintenant,quetoutescesprécautionssontprises

quand nous utilisons [domain=a:b] dans les exemples.

Exemples de domaines

Avec les précautions concernant « : », voici comment on peut modifier le domaine de la courbe

polaire précédente (d’équation ✓ = 20 ⇥ r), par exemple en le fixant à 0 6 x 6 90. Onpeut

également en profiter pour modifier l’échelle (diviser les dimensions par 2 avec scale=0.5).

\draw [domain=0:9, scale=0.5] plot (20*\x:\x);

(135 : 6.75)

(90 : 4.5)

✓° = 20 ⇥ r

(45 : 2.25)

(180 : 9)

(0 : 0)


44 CHAPITRE 3. COURBES

Le bon réglage du domaine est important pour les fonctions qui prennent de très grandes

valeurs, par exemple l’exponentielle.

Avec \draw plot(\x,{exp(\x)});, onobtientuntraitquasimentverticalquiprendtoutela

page, car e 5 ⇡ 148.

Il vaut mieux écrire \draw [domain=-3:1.5] plot(\x,{exp(\x)});

y = e x

(0, 0)


3.1.2 Formules mathématiques disponibles

Depuis la version 2, TikZ permetd’écriredesformulesmathématiquesavecunesyntaxeusuelle

analogue à celle des calculatrices, des logiciels mathématiques ou des langages de programmation.

Cependant, la gamme de fonctions disponibles n’est pas très grande. TikZ n’estpasunlogiciel

de calcul, et il ne faut pas lui en demander trop.

Si les fonctions disponibles ne suffisent pas, il y a deux grandes solutions :

— utiliser l’opération plot function qui fait appel (de manière transparente) au logiciel libre

Gnuplot, qu’il faut avoir préalablement installé et connecté à TikZ. Voir plus loin « compléments

techniques » pour des précisions sur Gnuplot ;

— préparer les données (coordonnées des points de la courbe) à l’aide d’un logiciel extérieur,

les sauvegarder sur fichier sous un format convenable, puis utiliser l’opération plot file

(voir chapitre suivant).

Opérations

Addition, soustraction, multiplication, division, élévation à une puissance :

x+y, x-y, x*y, x/y, x^y

Modulo, maximum, minimum :

mod(x,y), max(x,y), min(x,y)

Fonctions

Valeur absolue, exponentielle, logarithme népérien, racine carrée :

abs(x), exp(x), ln(x), sqrt(x)

Arrondi, partie entière (plancher), entier immédiatement supérieur (plafond) :

round(x), floor(x), ceil(x)

Fonctions trigonométriques

Les angles sont en degrés.

sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), cosec(x)

Fonctions réciproques :

asin(x), acos(x), atan(x)

Constante ⇡, conversions

pi, x r, deg(x), rad(x)


3.2. ASPECT DU GRAPHE 45

En TikZ, les fonctions trigonométriques attendent des angles en degrés. Pour retrouver les fonctions

mathématiques habituelles qui attendent des angles en radians, il faut convertir les radians

en degrés.

Appelons s la fonction notée en TikZ parsin et continuons à appeler sin la fonction mathématique

habituelle en radians. On a alors les relations :

sin(x) =s

✓ 180

⇡ x ◆

et s(x) =sin

⇣ ⇡

180 x ⌘

Multiplier x par 180 (c’est-à-dire convertir les radians en degrés) peut se faire de deux façons


en TikZ :deg(x) ou x r.

Par exemple sin(pi/2 r) vaut 1, ainsi que sin(deg(pi/2))

Mais attention au niveau de priorité de la notation r :elleestdemêmeprioritéqu’unemultiplication.

Elle représente en effet la multiplication par 180

⇡ ·

Autrement dit a*b r représente ab ⇥ 180


mais a+b r représente a + ✓

b ⇥ 180


La courbe habituelle de la fonction sinus sur [ ⇡; ⇡] est obtenue par

\draw [domain=-pi:pi] plot (\x,{sin(\x r)});.


·



(0, 0)


La fonction sinus en radians sur [ ⇡; ⇡]

Inversement, pour convertir de degrés en radians (c’est-à-dire multiplier par

utiliser rad(x)


180 ),

Nombres aléatoires

Un réel aléatoire entre 0 et 1 : rnd

Un réel aléatoire entre 1 et 1 : rand

Opérations booléennes

Tests d’égalité et d’inégalités :

x == y, x < y, x > y

Le résultat est 1 pour vrai et 0 pour faux.

La manuel ne précise pas avec quelle approximation numérique ces tests sont effectués.

3.2 Aspect du graphe

3.2.1 Nombre de points : samples

Par défaut, lorsqu’on demande à TikZ detracerunecourbeavecplot, ilcalculeuncertain

nombre de points de la courbe (25 points) puis il les joint par des segments. On peut changer ces

choix par des options.

On peut changer le nombre de points avec l’option samples.

Par exemple, pour la courbe dont la formule TikZest(\x,{sin(5*\x r)},c’est-à-direlacourbe

de la fonction mathématique x 7! sin(5x)

— Avec la valeur de samples par défaut (25) :


46 CHAPITRE 3. COURBES

— Avec [samples=200] :

3.2.2 Lissage : smooth, tension

On peut demander à TikZ denepasjoindrelespointspardessegmentsmaispardescourbes

(calculées avec un algorithme de lissage). On obtient alors une courbe lissée.

La courbe de la fonction précedente x 7! sin(5x) avec 25 points, mais lissée avec l’option

[smooth] est moins cahotique, mais ne compense pas l’effet dû au faible nombre de points :

Le degré de lissage (la courbure des arcs de courbes) peut être configuré avec l’option tension.

Une valeur de 0 donne un segment (comme si on n’avait pas mis l’option smooth), la valeur par

défaut est 0.55, etlemaximumestlavaleur1(pluslavaleurestgrande,pluslesarcssontcourbés).

Avec [smooth, tension=1] :

On voit que, de toutes façons, le meilleur effet de lissage est obtenu en augmentant le nombre de

points avec samples. Cependant, l’option smooth peut quand même être efficace pour des courbes

simples et régulières.

3.2.3 Discontinuités : on peut séparer les intervalles

Exemple : tracer la courbe de la fonction x 7!

|x|· x La fonction n’est pas définie en 0, et pas

non plus prolongeable par continuité en 0. La courbe est formée de deux demi-droites : y = 1

pour x0.

Quand on écrit l’équation directement, TikZ nedonnepasunrésultatcorrect(contrairement

par exemple à GeoGebra) :

\draw[domain=-3:3] plot(\x,{\x/abs(\x)});

TikZ jointsystématiquementlespointsqu’ilcalcule.

La solution usuelle est de tracer séparément deux morceaux de courbes, sur deux intervalles

qui évitent le point de discontinuité, mais quand même très proches de ce point, par exemple

[ 3, 0.01] et [0.01, 3].


3.2. ASPECT DU GRAPHE 47

\draw[domain=-3:-0.01] plot(\x,{\x/abs(\x)});

\draw[domain=0.01:3] plot(\x,{\x/abs(\x)});

3.2.4 Grandes valeurs : scale, \clip

Prenons l’exemple de la fonction x 7! 1 ,tracéeàl’échelle0.5, aveclenombredepointspar

x

défaut (25).

\draw [scale=0.5] plot (\x, {1/\x});

Le « dernier » point à gauche de 0 ne devrait pas être relié au « premier » point à droite de 0

parce que le domaine de définition de la fonction n’est pas connexe.

Si on voulait augmenter le nombre de points ([samples=100]), ce serait encore pire : on obtiendrait

un message d’erreur : Dimension too large. Lesvaleursauvoisinagede0sonteneffet

trop grandes pour les capacités de calcul de TikZ (sanscompterleproblèmedelavaleuren0).

La seule façon de résoudre le problème est d’étudier la fonction avant, d’analyser les problèmes

de discontinuité et de valeurs trop grandes, et de tracer séparément deux morceaux de courbe sur

des domaines différents, en prenant soin d’éviter les abscisses trop proches de 0.

On peut alors essayer [domain=-3:-0.2] pour l’une et [domain=0.2:3] pour l’autre. Les

courbes se tracent mais les valeurs extrêmes des ordonnées restent un peu grandes ( 5 et 5), ce

qui donne une image de 10 cm de hauteur.

Il y a deux sortes de solutions à cela : l’option scale ou la commande \clip.

Avec scale, onpeutréduirel’échelle,parexemple[scale=0.5].

Avec \clip, ongardel’échellemaisonpeutréduirelafenêtred’affichage,parexemple:

\clip (-3,-2) rectangle (3,2); (commande à placer au début de la figure).

[scale=0.5]

\clip (-3,-2) rectangle (3,2);



Il peut paraître un peu décevant que TikZ neprennepasenchargecesproblèmesdediscontinuité

et de valeurs trop grandes, contrairement à certaines calculatrices ou logiciels. Mais encore


48 CHAPITRE 3. COURBES

une fois, ce n’est qu’un module pour TEX, qui n’est après tout qu’un logiciel de composition typographique

et n’est pas du tout prévu pour être un logiciel de calcul. Il est même remarquable que

TEX arriveàsupportertoutescesextensionsdemanièrerobuste.

3.3 Régions limitées par des courbes

Il arrive souvent qu’on doive représenter une région limitée par des courbes, par exemple pour

des calculs d’aires. La technique de base est de définir le contour à l’aide d’un chemin, en enchaînant

les courbes, puis de demander à remplir ce chemin avec fill.

3.3.1 Une courbe et des segments : cycle, \fill, \filldraw

Exemple : remplir la région comprise entre l’axe des abscisses, la courbe de la fonction x 7! 1 x

et les droites d’équation x =1et x =2.

B

A

C

D

Il s’agit de remplir la région ABCD, avecA(1, 0),B(1, 1),C(2, 0.5),D(2, 0).

Pour cela on définit un chemin fermé avec dans l’ordre : le segment de A à B, lacourbedeB

à C et les segments de C à D, puisdeD à A.

Le code suivant doit être inclus dans un environnement tikzpicture en n’oubliant pas d’éviter

le problème des deux-points grâce à \shorthandoff{:}. Notezbienquetouslesélémentsdu

chemin sont connectés les uns aux autres (y compris la courbe) par des tirets -- pour indiquer un

chemin connexe, et que le chemin est fermé par -- cycle.

\fill[color=gray!20]

(1,0) -- (1,1) % segment de A à B

-- plot [domain=1:2] (\x,1/\x) % courbe de B à C

-- (2,0) -- cycle; % segment de C à D puis fermer

Il y a un sous-entendu concernant la position implicite du crayon après la tracé d’une courbe

par plot :lecrayonestplacéaudernierpointtracéparcetteopération,icilepointC(2, 0.5),

sachant que les points sont tracés dans l’ordre du domaine [domain=1:2], c’est-à-direde1à2.Le

même morceau de courbe aurait pu être tracé de 2 à 1 par [domain=2:1], maisalorsilauraitété

parcouru dans l’autre sens et la position finale du crayon aurait été B(1, 1).

On souhaite souvent tracer le contour également. Au lieu de \fill, onpeututiliser\filldraw,

qui remplit et trace le contour. Mais il faut spécifier deux couleurs différentes, avec les options

fill et draw :

\filldraw [fill=gray!20,draw=black]

Cette région n’est qu’un élément de la figure complète, avec les axes et la courbe. Pour des

raisons d’ordre du tracé et de recouvrement, il est préférable de tracer la région avant.

La structure de la figure complète est donc :


3.3. RÉGIONS LIMITÉES PAR DES COURBES 49

\begin{tikzpicture}

%\shorthandoff{:} % protection des deux-points pour domain

\filldraw ... ; % la région ABCD

\draw ... ; % l’axe des abscisses de 0 à 3

\draw ... ; % l’axe des ordonnées de 0 à 2

\draw plot ... ; % la courbe complète, de 0.5 à 3

\draw ... ; % les noeuds de texte A, B, C, D

\end{tikzpicture}

Aire(ABCD) =

Z 2

1

1

x

dx = ln(2)

B

A

C

D

3.3.2 Région entre deux courbes

Exemple : remplir la région comprise entre la courbe de x 7! x 2 et celle de x 7! p x sur [0; 1].

Le principe est le même : on définit un contour, puis on remplit la région intérieure. Il faut

juste faire attention aux sens des tracés des courbes. Il faut tracer une première courbe de 0 à 1,

puis tracer l’autre de 1 à 0 pour revenir à l’origine.

\filldraw[draw=black,fill=gray!20]

plot [smooth,domain=0:1] (\x,{sqrt(\x)})

-- plot [smooth,domain=1:0] (\x,\x^2)

-- cycle;

3.3.3 Région non convexe : interior rules

Pour l’instant, nous avons défini un contour et utilisé la commande \fill pour remplir son intérieur.

Mais comment est défini exactement l’intérieur d’un contour ? La question devient délicate

lorsque la frontière de la région se recoupe et se traverse elle-même.

Exemple : remplir la région limitée par la courbe de x 7! sin(x) et l’axe des abscisses sur [0; 2⇡].

0 ⇡ 2⇡

La frontière se recoupe et se traverse au point (⇡, 0).

Pour remplir la région grisée, on peut définir un chemin fermé comme précédemment :

\filldraw[fill=gray!20,draw=black]

(0,0) -- plot [domain=0:2*pi] (\x,{sin(\x r)}) -- cycle;


50 CHAPITRE 3. COURBES

On obtient ce qu’on veut, mais il faut bien comprendre ce qu’a fait TikZ. Il dispose de deux

modes de calcul pour déterminer l’intérieur d’un chemin. Dans le cas de l’exemple précédent, les

deux modes donnent le même résultat, mais ce ne sera pas toujours le cas.

Il a utilisé ici son mode par défaut, qu’on aurait pu demander explicitement par l’option

nonzero rule, l’autremodeétanteven odd rule.

La définition de ces modes n’est pas simple (voir le manuel : interior rules). Comme le dit luimême

le manuel : « Vous pensez que c’est compliqué ? Eh bien, oui, ça l’est ! ». Le plus compliqué

est le mode par défaut, l’autre est un peu plus naturel.

Cependant, pour les cas usuels étudiés ici (région entre deux courbes de fonctions continues),

les deux modes donnent le même résultat. Par exemple : tracer la région délimitée par la courbe

du sinus et la courbe du cosinus sur [0; 2⇡]. Ontraced’abordlacourbedusinusde0à2⇡, puisla

courbe du cosinus de 2⇡ à0.

\filldraw [draw=black,fill=gray!20]

plot [domain=0:2*pi] (\x,{sin(\x r)})

-- plot [domain=2*pi:0] (\x,{cos(\x r)})

-- cycle;

0 ⇡

4

5⇡

4

2⇡

Notez que le quadrillage grid doit être dessiné après les courbes pour qu’il soit entièrement

visible. On peut aussi dessiner le quadrillage avant, mais alors si on veut qu’il reste visible, il faut

que les dessins tracés par-dessus soient transparents, par exemple avec l’option [opacity=0.5].

3.4 Compléments techniques

3.4.1 Utilisation de Gnuplot : plot function

Il se peut que les formules mathématiques intégrées dans TikZ ne vous suffisent pas. Il faut

alors faire appel à un programme extérieur. Une possibilité prévue par TikZ estd’utiliserGnuplot,

logiciel permettant de tracer toutes sortes de courbes et diagrammes.

Le mécanisme est le suivant : quand on donne la commande \draw avec une opération

plot function, commedansl’exemplesuivant:

\draw plot function {sin(x)};

TikZ fait appel au logiciel Gnuplot (qui doit avoir été installé et connecté à TikZ), qui se charge

de calculer une liste de points à tracer, les enregistre dans un fichier, puis TikZ valirecefichieret

s’en sert pour tracer la courbe.

Plus précisément, si le nom du fichier L A TEX estdoc.tex, TikZ engendreunfichier:

doc.pgf-plot.gnuplot, puiscefichierestexécutéparGnuplot,quifournitenretourunfichie:

doc.pgf-plot.table, qui est ensuite utilisé par TikZ pourtracerlacourbe,exactementcomme

si on avait écrit : \draw plot file {doc.pgf-plot.table};

Pour que cela soit possible, il faut certaines manipulations préalables. Il faut d’abord charger

et installer Gnuplot, ce qui est plus ou moins facile suivant les systèmes d’exploitation.

La page d’accueil de Gnuplot est http://www.gnuplot.info/

Il faut s’assurer de la compatibilité entre les versions de Gnuplot, du système et de TEX.

Il faut ensuite configurer le système TEX pourqu’ilpuisseseconnecteràGnuplot.Làaussi,la

manoeuvre à suivre dépend des systèmes.

Quand tout fonctionne, on peut utiliser \draw plot function {...},ennotantquelasyntaxe

de représentation des fonctions n’est pas celle de TikZ, c’est celle de Gnuplot.

Cette opération admet différentes options permettant de contrôler Gnuplot, en particulier l’option

parametric pour tracer des courbes paramétrées.


3.4. COMPLÉMENTS TECHNIQUES 51

Depuis la version 2 de TikZ, l’usage de Gnuplot devient moins nécessaire car on peut maintenant

écrire directement des formules mathématiques. Il n’est donc pas systématiquement conseillé

d’utiliser Gnuplot, d’autant que son installation peut être délicate.

3.4.2 Automatisation de certaines configurations

Dans les calculatrices graphiques et les logiciels qui tracent des courbes, il y a souvent un

couplage étroit entre différentes options : la fenêtre de tracé, le domaine d’étude de la fonction,

le tracé des axes et du quadrillage. En général, on fixe les bornes pour l’abscisse et l’ordonnée, et

tout le reste en découle.

Il est possible de réaliser cela avec TikZ, en utilisant ses possibilités de gestion d’options (le

package pgfkeys) etunpeudeprogrammationL A TEX. Ce package nécessite la version 2 de TikZ.

Le but recherché est le suivant : introduire quatre nouvelles options xmin, xmax, ymin, ymax

permettant de fixer les bornes, et trois commandes L A TEX \axes, \grille, \fenetre utilisant

ces bornes pour tracer les axes et la grille (grid), et fixer la fenêtre (\clip).

Exemple d’utilisation :

\begin{center}

\begin{tikzpicture} [xmin=-2,xmax=2,ymin=0,ymax=5]

\grille \axes \fenetre

\draw plot[smooth] (\x,\x^2);

\end{tikzpicture}

\end{center}

L’ordre des tracés est délicat : si on place \axes avant \grille, lesaxessontrecouvertsparla

grille. Si on place \fenetre avant \axes, lapointedeflèchedesabscissesestrognée(ceproblème

peut être évité en élargissant la fenêtre vers le bas).

Pour obtenir ces nouvelles options et commandes, il suffit d’insérer à la fin du préambule du

document L A TEX lesquelqueslignessuivantes:

% Définition des nouvelles options xmin, xmax, ymin, ymax

% Valeurs par défaut : -3, 3, -3, 3

\tikzset{

xmin/.store in=\xmin, xmin/.default=-3, xmin=-3,

xmax/.store in=\xmax, xmax/.default=3, xmax=3,

ymin/.store in=\ymin, ymin/.default=-3, ymin=-3,

ymax/.store in=\ymax, ymax/.default=3, ymax=3,

}

% Commande qui trace la grille entre (xmin,ymin) et (xmax,ymax)

\newcommand {\grille}

{\draw[help lines] (\xmin,\ymin) grid (\xmax,\ymax);}

% Commande \axes


52 CHAPITRE 3. COURBES

\newcommand {\axes} {

\draw[->] (\xmin,0) -- (\xmax,0);

\draw[->] (0,\ymin) -- (0,\ymax);

}

% Commande qui limite l’affichage à (xmin,ymin) et (xmax,ymax)

\newcommand {\fenetre}

{\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax);}

3.5 Exercices

3.5.1 Ellipse. Angles avec circle et \clip

Illustrer la propriété suivante : la tangente et la normale en un point A àuneellipsesontles

bissectrices de (AF, AF 0 ),oùF et F 0 sont les foyers de l’ellipse.

A


F 0

P


F

Echelle 0.5

⇢ x = 5 cos(✓)

Ellipse (représentation paramétrique) :

y =3sin(✓)

Foyers F (4, 0) et F 0 ( 4, 0) car 3 2 +4 2 =5 2 .

A(2, 2.75)

Tangente : y = 0.26x +3.27, normale:y =3.82x 4.89

Angle droit : (2.25,3.72) -- (1.28,3.97) -- (1.03,3)

Les coordonnées ont été obtenues avec GeoGebra.

Pour les marques d’angle, on a tracé des cercles de centre A (rayons 1 et 1.2), et on n’en a

montré que la partie intérieure aux triangles AF 0 P et AP F , P étant le point de la normale sur

l’axe Ox : P (1.28, 0). Pournemontrerqu’unepartie,onutilise\clip, etpourlimiterlaportéede

ce clip, on utilise un environnement \begin{scope} ... \end{scope}

\begin{scope}

% pour limiter la portée du \clip

\clip (a) -- (p) -- (f2) -- cycle; % triangle APF’

\draw [gray] (a) circle (1); % cercle pour arc

\end{scope}

3.5.2 a b = b a . xscale, yscale

Illustrer la propriété suivante : l’équation a b = b a n’a que deux solutions entières (a, b) avec

a 6 b : (2, 2) et (2, 4)

L’équation est équivalente à ln(a) = ln(b) · Pour illustrer cela, on trace la courbe de x 7! ln(x)

a b

x

et on étudie ses intersections avec des droites horizontales y = k. L’étudedusensdevariation

montre un maximum en e et une limite de 0 en +1. Donclaseulesolutionenvisageableesta =2.


3.5. EXERCICES 53

|

0

|

1

|

2

e

|

3

Pour mieux voir le sens de variation au voisinage de e, onpeutchoisiruneéchelledifférente

pour les abscisses et pour les ordonnées, par exemple multiplier les abscisses par 2 et les ordonnées

par 100 : ici [xscale=2,yscale=100].

Pour les points d’ordonnée ln(2)

2 ,onpeututiliserdirectementuneformuledecalculdansles

coordonnées, par exemple (2,{ln(2)/2}).

On limite également le domaine de la fonction, avec [domain=1.85:4.5]. Attentionauxdeuxpoints

: protéger avec \sorthandhoff(:) ou utiliser

[domaine={1.85}{4.5}]


e, 1 ◆

e


y = ln(2) •

2 x =2

x =4 •

3.5.3 Fonction périodique : \foreach

Tracer la courbe de la fonction périodique de période 2 dont la formule sur [ 1; 1] est y = x 2 .

L’idée est de tracer d’abord la courbe sur une période avec

\draw plot [domain=-1:1] (\x,\x^2);

puis de reproduire ce morceau par des translations de vecteur (2, 0).

,

! v (2, 0)

,

On ajoute pour cela \draw plot [domaine={-1}{1}] (\x+2,\x^2); .

On peut rajouter de même différents morceaux, en factorisant les options au début :

\begin{tikzpicture} [domaine={-1}{1}, samples=80]

\draw plot (\x,\x^2);

\draw plot (\x+2,\x^2);

\draw plot (\x+4,\x^2);


54 CHAPITRE 3. COURBES

\draw plot (\x+6,\x^2);

\draw plot (\x+8,\x^2);

\end{tikzpicture},

Cette répétition d’écritures peut être résumée par l’utilisation de \foreach :

\foreach \k in {0,2,...,8}

{\draw plot (\x + \k, \x^2);}

\foreach est une instruction de boucle au sens usuel de l’informatique. Nous en verrons d’autres

exemples plus loin.

3.5.4 Fonctions réciproques, aires : pattern

Illustrer la formule

Z 2

1

ln(x) dx +

Z ln(2)

0

e x dx = 2 ln(2) en l’interprétant en termes d’aires.

L’intégrale du logarithme est représentée par l’aire grise A, l’intégraledel’exponentiellepar

l’aire hachurée. Les fonctions ln et exp sont réciproques, donc les deux aires grises A et B sont

égales, par symétrie par rapport à la droite d’équation y = x. L’aire(hachurée+B) estl’aired’un

rectangle et vaut 2 ln(2),

y = e x

2

y = x

1

B

y =ln(x)

0

ln(2)

A

1 2

On trace les régions avant le reste. Pour les hachures, il faut utiliser la bibliothèque patterns,

en déclarant dans le préambule :

\usepackage{tikz}

\usetikzlibrary{patterns}

On l’utilise alors avec l’option pattern (voir le manuel pour les différents motifs possibles :

vertical lines, north east lines, dots, etc.):


3.5. EXERCICES 55

\fill [pattern=horizontal lines]

(0,0)

-- plot [domaine={0}{ln(2)}] (\x,{exp(\x)})

-- ({ln(2)},0)

-- cycle;

Attention au domaine de définition du logarithme, et aux grandes valeurs au voisinage de 0. Il

faut choisir un domaine convenable. De même pour les grandes valeur de l’exponentielle. De plus,

on peut fixer la fenêtre pour bien cadrer le dessin. Attention à l’ordre des différentes commandes.

La structure du code est :

\begin{tikzpicture}[scale = 2,xmin=-1,xmax=3,ymin=-1,ymax=3]

\fenetre

\fill ... ;

% aire grise avec logarithme

\fill ... ;

% aire grise avec exponentielle

\fill ... ;

% aire hachurée

\axes

\draw plot ... ; % courbe de ln

\draw plot ...; % courbe de exp

\draw plot ... ; % courbe y = x

\draw [dashed] ... ; % les lignes de rappel en pointillés

... % les noeuds de texte

\end{tikzpicture}

3.5.5 Lemniscate de Gerono. \scope, xshift, \filldraw

La lemniscate de Gerono est la courbe de représentation paramétrique

⇢ x = cos(✓)

y =sin(✓) cos(✓)

Son équation cartésienne est x 4 + y 2 = x 2 ,soity = x p 1 x 2 ou y = x p 1 x 2 .Lebutestde

représenter l’aire de la région intérieure délimitée par la courbe, puis de représenter un encadrement

de cette aire.

1 6 A 6 3 2

A 1 6 A A 6 3 2

Pour représenter l’aire A, utiliser\filldraw. TikZ déterminecorrectementlarégionintérieure.

Pour représenter l’encadrement d’aires, il faut calculer différents éléments de la fonction x 7!

x p 1 x 2 sur [0; 1] :

p !

2

la tangente en O apouréquationy = x, lemaximumest

2 , 1 .

2

Mettre au point d’abord 4 figures séparées (les trois aires puis le résultat). Ne pas oublier que

les angles de la formule mathématique sont en radians.

Ensuite, regrouper ces figures en une seule en utilisant scope et xshift.

Ainsi, \begin{scope}[xshift=1.5 cm] ... \end{scope} effectue une translation de 1.5 cm

vers la droite et limite l’effet de cette translation à l’environnement scope.

En remplissant les régions, attention à l’ordre du tracé : tracer les régions remplies avant les

autres éléments.


56 CHAPITRE 3. COURBES

La structure du code est donc :

\begin{tikzpicture}[scale=...]

\begin{scope}

\filldraw[fill=...] plot ...;

\draw (0,-1) node {$A$};

\end{scope}

% choisir une échelle

% première figure

% la courbe et l’aire

% commentaire

\begin{scope}[xshift= 2.3cm] % translation

\filldraw ... ;

% aire minorante

\draw[densely dashed] plot ...; % la courbe

\draw (0,-1) node ... ; % commentaire

\end{scope}

\begin{scope}[xshift= 4.6cm] % translation

\filldraw ... ;

% aire majorante

\draw[densely dashed] plot ... ; % la courbe

\draw (0,-1) node ... ; % commentaire

\end{scope}

\begin{scope}[xshift= ...cm] % translation

\draw (0,0) node ... ; % le résultat

\end{scope}

\end{tikzpicture}

3.6 Résumé

Pour tracer une courbe définie par des équations mathématiques utiliser :

\draw plot (abscisse,ordonnée); ou \draw plot (angle:rayon);

Les formules sont données en fonction d’un paramètre nommé \x par défaut, ou qu’on peut

nommer comme on veut avec l’option variable=.

Avec l’option [domain=a:b], onpeutfixerledomainedevariationdeceparamètre,maiscette

syntaxe pose des problèmes quand on utilise babel français. Ces problèmes peuvent être résolus

par l’emploi de shorthandoff(:) ou par la programmation d’une option [domaine={a}{b}].

TikZ fournitunesyntaxepourlesformulesmathématiquesusuelles.Lesfonctionstrigonométriques

utilisent des angles en degrés, mais TikZ fournitdespossibilitésdeconversionderadians

en degrés : r ou deg().

L’aspect des courbes peut être contrôlé par des options : samples pour le nombre de points,

smooth pour le lissage.

Le traitement des discontinuités ou des grandes valeurs n’est pas automatique. Il faut alors

séparer soi-même les intervalles, fixer explicitement l’échelle avec scale, xscale, yscale et la

fenêtre d’affichage avec \clip.

Les courbes formées de morceaux qu’on reproduit par des transformations (fonction périodique

par exemple) peuvent être construites avec la commande \foreach.

On peut remplir des régions délimitées par des courbes. Pour cela il faut définir un chemin

fermé (avec -- et cycle) etutiliser\fill ou \filldraw. Certaines portions du chemin peuvent

être des courbes tracées avec plot, sachantqu’ellessontparcouruesdanslesensdéfiniparl’ordre

des valeurs extrêmes du paramètre dans domain=a:b (de a vers b, mêmesia>b).

On peut remplir une région avec de la couleur ou des motifs, comme par exemple :

[pattern= horizontal lines] (voir la bibliothèque patterns).

Le remplissage des régions est régi par des règles techniques à consulter dans le manuel (interior

rules : nonzero rule par défaut, ou

even odd rule). La règle par défaut donne en général le résultat attendu.

Une autre possibilité pour tracer des courbes est d’utiliser plot function, quifaitappelau

logiciel extérieur Gnuplot. Cela peut être utile quand les fonctions mathématiques de TikZ se

révèlent insuffisantes, ou pour récupérer des figures chargées sur Internet. Mais cela exige une


3.6. RÉSUMÉ 57

bonne installation et configuration de Gnuplot et de TEX. Se référer aux manuels de TikZ etde

Gnuplot.

Une autre possibilité encore est d’utiliser plot file {fichier}, oùfichier contient la liste des

coordonnées des points avec un point par ligne.

On peut retrouver les options de certaines calculatrices graphiques avec un peu de programmation

:

xmin, xmax, ymin, ymax, \axes, \grille, \fenetre.

Pour construire une figure composée de plusieurs sous-figures indépendantes, on peut utiliser

l’environnement scope pour séparer les sous-figures et les options shift, xshift, ouyshift pour

les décaler.


Chapitre 4

Géométrie dans l’espace

4.1 Coordonnées (x,y,z)

4.1.1 Représentation TikZ standard

TikZ prévoitunesyntaxe(x,y,z) pour représenter des points dans l’espace. Mais ce n’est

pas un logiciel de modélisation 3D : il ne gère pas les surfaces cachées, ne permet pas de voir les

figures sous différents points de vue. Il se contente de tracer des figures planes qui sont les projetées

!

de figures de l’espace, sachant que le point M(x, y, z) est défini par OM = x ! i + y ! j + z ! k ,où

⇣ !i, ! !


j, k sont des vecteurs du plan, avec par défaut ! 1

k =

2 p ! 1 i

2 2 p ! j (ce n’est pas ce

2

que dit le manuel, mais on peut vérifier sur la figure suivante).

! j

! k

! i

Le cube unité est alors obtenu par :

\draw (0,0,0)--(1,0,0)--(1,1,0)--(0,1,0)--cycle; % face arrière

\draw (0,0,1)--(1,0,1)--(1,1,1)--(0,1,1)--cycle; % face avant

% arêtes horizontales, de l’arrière vers l’avant

\draw (0,0,0) -- (0,0,1); % bas gauche

\draw (1,0,0) -- (1,0,1); % bas droit

\draw (1,1,0) -- (1,1,1); % haut droit

\draw (0,1,0) -- (0,1,1); % haut gauche

Si l’on considère le cube comme un solide plein, on peut tracer en pointillés ([dashed]) les

arêtes cachées (celles qui partent de l’origine) :

Ou bien on peut ombrer les faces avec \fill (le soleil est en haut à gauche) :

59


60 CHAPITRE 4. GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

On peut de plus rendre les faces transparentes avec opacity :

Tout cela est possible avec les options habituelles de TikZ, mais ce n’est pas automatique.

Il faut décider soi-même ce qui sera en pointillés [dashed], en gris [fill=...], transparent

[opacity=0.7], etbiendessinerlesélémentsdanslebonordre.

4.1.2 Autres représentations : x=..., y=..., z=...

La représentation de TikZ estuneconventioncommeuneautre,etunefoisqu’onl’acomprise,

on peut l’utiliser. Cependant, l’enseignement mathématique français utilise une autre convention à

laquelle sont attachés des réflexes et des images mentales, et changer ces réflexes peut induire une

charge mentale inutile.

TikZ possèdedesoptionsx, y et z, quipermettentderedéfinirlesvecteursdebaseenfonction

de coordonnées planes absolues (abscisses horizontales vers la droite, ordonnées verticales vers le

haut).

La représentation mathématique française usuelle peut être obtenue par :

[x= {(-0.353cm,-0.353cm)}, z={(0cm,1cm)}, y={(1cm,0cm)}]

! k

! i

! j

Si l’on souhaite utiliser souvent cette représentation, il peut être pratique d’en faire un style

(par exemple math3d), qu’on définit une fois pour toutes au début du document :

\tikzset{math3d/.style=

{x= {(-0.353cm,-0.353cm)}, z={(0cm,1cm)},y={(1cm,0cm)}}}

On peut d’ailleurs choisir une autre valeur de x pour les besoins de la perspective. Pour chaque

figure où l’on veut utiliser cette convention, il suffira d’ajouter l’option math3d :

\begin{tikzpicture} [math3d] ... \end{tikzpicture}

4.2 Quelques figures de géométrie

4.2.1 Section d’un cube suivant un hexagone

En joignant les milieux de certains côtés, on obtient un hexagone régulier, section du cube par

le plan médiateur de la grande diagonale.


4.2. QUELQUES FIGURES DE GÉOMÉTRIE 61

En soi, il n’y a pas de difficulté particulière concernant TikZ. Il faut préalablement calculer

les coordonnées de tous les points, mais c’est plus un problème mathématique qu’un problème de

dessin. Pour le dessin, il faut tracer des segments entre les points, en repérant ce qui doit être

ombré, mis en pointillés ou transparent.

Une décision à prendre est de choisir un parallélogramme pour représenter le plan de l’hexagone.

On a choisi des points dont la position est facilement repérable par rapport aux autres éléments

du dessin, le but étant de favoriser la vision dans l’espace.

(3/2,0,0) (0,3/2,0) (-1/2,1,1) (1,-1/2,1)

4.2.2 Grande diagonale d’un cube

La grande diagonale du cube coupe un certain triangle équilatéral en son centre de gravité,

perpendiculairement.


Là encore, il faut calculer les coordonnées de tous les points, repérer ce qui est caché et le

traduire par des couleurs, des pointillés, une opacité, un ordre de tracé.

4.2.3 Droites et plans

Il est fréquent d’avoir à illustrer un problème de géométrie qui demande de dessiner des droites

et des plans quand on connaît leurs équations.

Par exemple : construire la perpendiculaire commune aux deux droites

d et d 0 dont les représentations paramétriques sont :

8

< x =1

d y = t

:

z =2t

t

et d 0 8

<

:

x = t

y =2+2t

z = t

Une solution mathématique consiste à construire le plan P parallèle à d et contenant d 0 (d’équation

x y + z 1=0), puis ✓ le plan Q perpendiculaire à P et contenant d 0 (d’équation x z =0).

2

Ce plan Q coupe d en H

3 , 1 3 , 2 ·

3◆

✓ 1

Soit K le projeté de H sur P : K

3 , 4 ◆

3 , 1

·

3

Alors la perpendiculaire commune à d et d 0 est la droite (HK).

Le problème est mathématiquement résolu, mais il reste à faire la figure suivante pour l’illustrer :

Q

H

K

d 0

d

P


62 CHAPITRE 4. GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Pour cela, il reste de nombreux choix supplémentaires à faire et de problèmes auxiliaires à

résoudre.

On choisit d’abord deux points A et B de d et on trace le segment [AB]. Demême,onchoisit

C et D sur d 0 et on trace le segment [CD]. Ce n’est pas grand chose, mais rien que cela peut

demander plusieurs essais pour que la figure ne soit pas trop grande et que la vue en perspective

soit interprétable. On choisit A(2, 1, 2); B(0, 1, 2); C(0, 2, 0); D( 1, 0, 1).

Ensuite il faut représenter le plan P par un parallélogramme. On décide de choisir [CD] comme

diagonale de ce parallélogramme. On choisit l’autre diagonale [C 0 D 0 ] parallèle à d pour bien suggérer

le parallélisme. Mais pour que le parallélogramme ne soit pas trop grand, on prend pour longueur

C 0 D 0 la moitié de AB. ✓

On obtient C 0 1, 3 2 , 1 ◆ ✓

; D 0 0, 1 ◆

2

2 , 3

·

2

Il faut ensuite représenter le plan Q par un parallélogramme. On choisit [CD] comme un des

côtés et on s’arrange pour que le côté parallèle à [CD] contienne H. Lesautressommetssontalors

E(1, 1, 1) et F (0, 1, 0).

Pour le dessin, il faut faire attention à l’ordre du tracé pour suggérer la perspective : le contour

et le remplissage du plan P doivent être faits d’abord (le plan P est placé derrière), puis celui du

plan Q avec une certaine transparence [opacity = 0.7].

B

F

H

D

E

D’

K

C’

C

A

On voit que, pour une structure mathématique relativement simple (deux plans et trois droites),

les contraintes du tracé en perspective rendent la réalisation assez délicate : il faut matérialiser les

droites par des segments et les plans par des parallélogrammes, suggérer les propriétés de la figure

(parallélisme), rendre la figure lisible et pas trop grande. Et tout cela en respectant les équations

données par l’énoncé et les règles de la représentation en perspective.

Une astuce consisterait à considérer que la figure finale n’est après tout qu’une figure plane comportant

essentiellement deux parallélogrammes, et de tracer ces parallélogrammes sans se soucier

d’un quelconque repère de l’espace. On peut alors choisir les parallélogrammes de formes arbitraires,

à condition de respecter la possibilité d’interpréter la figure comme une projection d’une

figure de l’espace.

Cependant, il ne serait plus possible de les choisir arbitrairement si on devait de plus représenter

le repère de l’espace de manière cohérente avec les équations (ou alors dans ce cas il faudrait calculer

la bonne position du repère).

4.3 Courbes et surfaces

4.3.1 Représentation paramétrique, plot, \foreach

Une courbe dans l’espace peut être définie par une représentation paramétrique à un paramètre.

On peut donc la dessiner avec l’opération plot (X, Y, Z) en exprimant X, Y et Z en fonction d’un

paramètre (nommé \x par défaut).


4.3. COURBES ET SURFACES 63

Une surface peut être définie mathématiquement par une représentation paramétrique à deux

paramètres t et u. TikZ neprévoitpascettepossibilité,maisonpeutcependantlamettreen

oeuvre.

Lorsqu’on fixe t et qu’on fait varier u, onobtientunecourbedansl’espace,tracéesurlasurface.

L’idée est de tracer chacune de ces courbes avec l’opération plot, etcelapourdifférentesvaleurs

de t, qu’onpeutobteniràl’aided’uneboucle\foreach.

Le schéma est donc :

\foreach \t in {...} { plot ( ..., ..., ...) }

Prenons comme exemple une surface de révolution d’axe Oz (comme un cylindre, un cône, une

sphère). Elle est obtenue en faisant tourner la courbe plane d’équation x = f(z) autour de l’axe

Oz et a pour représentation paramétrique (avec deux paramètres ✓ et t, ✓ variant de 0 à 2⇡) :

8

<

:

x = f(t) cos(✓)

y = f(t)sin(✓)

z = t

On peut alors représenter la surface par empilement de disques horizontaux (un disque est

obtenu pour t constant), en les dessinant dans l’ordre croissant des valeurs de t. Onmatérialise

ainsi les sections de la surface par des plans horizontaux (les courbes de niveau).

Avec TikZ, les noms des paramètres vont être \x pour ✓ et \t pour t. Onferavarier\t grâce

àuneboucle\foreach, et\x sera le paramètre d’une instruction plot. Suivantlasurface,ilfaut

choisir correctement les valeurs de \t etledomainede\x

4.3.2 Hélice

8

>< x = ✓

Une hélice circulaire (un ressort) est définie par :


y = cos(✓)

>:

z =sin(✓)

\draw [domain=-4*pi:4*pi, samples=80, smooth]

plot (\x/pi, {cos(\x r)}, {sin(\x r)}) ;

TikZ n’apasdemécanismeautomatiquepourmettreenévidencelespartiescachées.Surcette

figure, il n’est pas facile de le faire, contrairement à ce qui peut se passer pour les faces d’un cube.

L’axe de l’hélice est l’axe des abscisses. Dans le sens des variations du paramètre, de 4⇡ à 4⇡, les

spires vont de l’arrière vers l’avant, en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

On constate les limitations de TikZ en ce qui concerne les figures dans l’espace. Il fournit une

façon simple de repérer précisément les points dans l’espace avec trois coordonnées, ce qui permet

de faire des figures exactes, mais il ne permet pas d’analyser les figures obtenues pour obtenir un

rendu analogue à la vision humaine.


64 CHAPITRE 4. GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

4.3.3 Cylindre x 2 + y 2 =1

C’est une surface de révolution de représentation paramétrique :

(cos(✓), sin(✓),t)

\foreach \t in {-1,-0.9,...,1} {

\filldraw plot[domain=0:2*pi]

({cos(\x r)}, {sin(\x r)}, \t);

}

4.3.4 Sphère x 2 + y 2 + z 2 =1

C’est une surface de révolution de représentation paramétrique : ( p 1 t 2 cos(✓), p 1 t 2 sin(✓),t)

On n’obtient pas tout à fait l’aspect visuel habituel d’une sphère, mais cela s’explique par le

type de perspective utilisé : perspective cavalière (c’est-à-dire projection sur un plan) et non pas

perspective centrale (qui correspond à notre mode de vision).

Il y a d’autres façons de représenter une sphère, mais ici la représentation par empilement de

disques horizontaux permet de suggérer le relief et de cacher les parties qui sont derrière.

4.3.5 Paraboloïde z = x 2 + y 2

C’est une surface de révolution obtenue en faisant tourner une parabole autour de Oz. Une

représentation paramétrique est ( p t cos(✓), p t sin(✓),t)

4.4 Résumé

TikZ permetd’exprimerlescoordonnées(x,y,z) d’un point de l’espace, qu’il représente par

projection sur le plan de dessin.

Le repère correspondant de l’espace a une position prédéfinie, qu’on peut modifier par les

options x, y et z, quifixentlesprojetésdesvecteursdel’espace.Pourunereprésentationfrançaise

standard, on peut choisir

[x= {(-0.353cm,-0.353cm)}, z={(0cm,1cm)}, y={(1cm,0cm)}]

TikZ n’estpasunlogicieldemodélisation3D,etilnefournitaucuneautrefonctionnalitéautomatique

à part la tracé d’un point par (x,y,z). Il faut donc décider soi-même des représentations

du relief, de la perspective, des parties cachées. À part les cas simples (faces planes, segments), ce

n’est pas forcément possible. Il est alors conseillé de se tourner vers des logiciels spécialisés.

Les courbes peuvent être tracées à partir de leurs représentations paramétriques, en utilisant

l’opération plot.

Les surfaces peuvent être représentées par leurs courbes de niveau, en combinant l’utilisation

de l’instruction \foreach et celle de l’opération plot.


Chapitre 5

Représentation de données

5.1 Notions de base

On parle de représentation graphique de données, lorsque des informations relatives à un certain

phénomène et qui sont fournies comme une liste de nombres, sont affichées sous forme d’un

diagramme significatif.

On va montrer, dans ce chapitre, comment réaliser les diagrammes utilisés de façon usuelle dans

ce type de situation : les courbes, les diagrammes à barres, les histogrammes, les diagrammes à

secteurs.

5.1.1 Diagramme d’effectifs : plot coordinates

Dans une classe, un professeur a rendu un devoir noté sur 10, en points entiers. Il a compté

combien il y avait de copies pour chaque note. Il désire faire une représentation graphique du

nombre de copies par note.

Note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre de copies 0 0 2 0 6 4 7 4 3 0 1

Pour être traitées, ces données numériques vont être représentées sous forme d’une liste de

couples de coordonnées, avec en abscisse la note et en ordonnée le nombre des copies ayant obtenu

cette note.

Ainsi en utilisant l’opération plot coordinates :

\begin{tikzpicture}

\draw plot coordinates {(0,0) (1,0) (2,2) (3,0)

(4,6) (5,4) (6,7) (7,4) (8,3) (9,0) (10,1)};

\end{tikzpicture}

on va dessiner le diagramme suivant :

65


66 CHAPITRE 5. REPRÉSENTATION DE DONNÉES

Comme on le voit, la commande :

\draw plot coordinates {(0,0) (1,0) (2,2) ... (10,1)};

produit le même tracé que : \draw (0,0)--(1,0)--(2,2) ... --(10,1);

On peut alors se demander quel intérêt il y a à utiliser plot coordinates.

Sur ce petit exemple, cen’estpasévident.Maislessériesstatistiquescomportentparfoisune

très grande quantité de données, et nous verrons plus loin comment traiter ces données facilement

àl’aided’applicationsauxiliaires(tableurououtilsstatistique)etcréerdesfichiersdedonnéesà

associer au code source du document.

Nous allons maintenant présenter plusieurs exemples avec ces données. Pour éviter d’avoir à les

recopier plusieurs fois, nous allons les définir sous forme d’une commande L A TEX réutilisabledans

les exemples qui vont suivre. En effet, bien que TikZ définissesespropresrèglessyntaxiques,ilpeut

quand même bénéficier de certains mécanismes de L A TEX, en particulier l’utilisation de commandes

vues comme des macros de remplacement de texte.

Voici la commande \nombresCopiesParNote :

\newcommand{\nombresCopiesParNote}

{(0,0)(1,0)(2,2)(3,0)(4,6)(5,4)(6,7)(7,4)(8,3)(9,0)(10,1)}

Maintenant, l’exemple précédent peut être obtenu plus simplement avec :

\draw plot coordinates {\nombresCopiesParNote};

5.1.2 Améliorer la lisibilité : grid, node, \foreach

Nous allons maintenant montrer comment améliorer ce diagramme pour rendre compréhensibles

les informations fournies.

Il est nécessaire de placer ces données sur une grille pour rendre les valeurs plus facilement

lisibles : \draw (-1,0) grid (11,7);

On peut ensuite étiqueter les abscisses avec des commandes de ce type :

\draw (\x,0) node[below]{\x} en faisant varier \x entre 0 et 10.

ou les ordonnées avec : \draw (-1,\y) node[left]{\y};

Pour cela on peut utiliser la commande \foreach qui permet en deux instructions d’effectuer

l’étiquetage des abscisses et des ordonnées :

\foreach \y in {1,2,...,7} \draw(-1,\y)node[left]{\y};

\foreach \x in {0,1,...,10} \draw(\x,0)node[below]{\x};


5.1. NOTIONS DE BASE 67

Dans la commande \foreach, lavariable\x va prendre successivement les valeurs définies par

{0,1,...,10} c’est-à-dire {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Les trois points signifient que la liste doit être prolongée en utilisant comme modèles les 2

premières valeurs et jusqu’à la valeur finale. Pour cela, on ajoute à la seconde valeur de la différence

d’elle même avec la première et ainsi de suite...

Par exemple : {-1,4,...,19} représente {-1,4,9,14,19}

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5.1.3 Marquer les points, étiqueter : mark, node, rotate

On peut placer un texte sur chaque axe pour préciser ce qu’il représente. On utilise pour cela

un nœud (node) correctementplacé:

\draw (5.5,-0.75) node{Notes};

\draw (-1.75,3.5) node[rotate=90]{Nombre de notes};

On peut aussi marquer les points significatifs de la courbe à l’aide de l’option mark affectée à

l’opération plot :

\draw[thick] plot[mark=*] coordinates {\nombresCopiesParNote};

On obtient alors cette nouvelle version du diagramme :

7

6

plot[mark=*]

Nombre de notes

5

4

3

2

\draw[thick]

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Notes


68 CHAPITRE 5. REPRÉSENTATION DE DONNÉES

Le marquage des points est fait à l’aide de l’option mark= suivie d’une des 3 valeurs *+ou x qui

placent respectivement • + ou ⇥ sur chaque point de la liste. L’option mark size=, suivied’une

dimension, permet de modifier la taille de la marque. Par exemple : [mark=*,mark size=5mm]

L’option ball permet aussi de placer une marque comme celle-ci

D’autres marques sont disponibles dans la bibliothèque (library) plotmarks. Pourcela,dansle

préambule, lors du chargement de TikZ ilfautajouter:

\usetikzlibrary{plotmarks} après \usepackage{tikz}

Pour un diagramme d’effectifs, la courbe qui relie les points n’est pas très significative, et ce

n’est donc pas une bonne idée de tracer cette courbe.

5.1.4 Diagramme à barres : xcomb, ycomb, polar comb

Par défaut, l’opération plot relie les points donnés par une ligne polygonale, mais on peut

remplacer cette ligne par des barres :

— horizontales avec l’option xcomb ;

— verticales avec l’option ycomb ;

— joignant les points à l’origine avec l’option polar comb.

Voici trois petits exemples où la même liste de coordonnées est affichée avec les options xcomb,

ycomb et polar comb.

On pourra ainsi comparer les différents modes d’affichage :

\draw[very thick] plot coordinates

{(-1.5,1.5)(0.5,2)(1.5,0.5)(-0.5,-0.5)(-2,-1)(1,-1.5)}




xcomb

ycomb

polar comb

Pour le diagramme actuel, la meilleure option est donc ycomb.

On peut aussi rendre les barres bien visibles en dessinant des traits plus larges et en marquant

le point avec, par exemple :

Nombre de notes

7

6

5

4

3

2

1

plot[ycomb,mark=*]

\draw[line width=4pt]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Notes


5.1. NOTIONS DE BASE 69

5.1.5 Histogramme : xcomb, ycomb, line width

Un histogramme est aussi un diagramme à barre, en effet il suffit de supprimer les marques du

diagramme précédent et d’augmenter la largeur du trait pour obtenir un histogramme traditionnel :

7

6

\draw[line width=8mm,color=blue!50]

plot[ycomb]

Nombre de notes

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Notes

5.1.6 Affichage des données d’un fichier : plot file

Dans les exemples précédents, les effectifs par note ont été donnés sous forme d’une liste de

coordonnées :

{(0,0)(1,0)(2,2)(3,0)(4,6)(5,4)(6,7)(7,4)(8,3)(9,0)(10,1)}

Cependant les informations statistiques sont souvent disponibles sous forme de fichier de texte

contenant les données numériques. Voici par exemple le fichier « nombresCopiesParNote.txt »

contenant les même informations que ci-dessus sous un format différent :

0 0

1 0

2 2

3 0

4 6

5 4

6 7

7 4

8 3

9 0

10 1

Il y a un couple de coordonnées par ligne, et il y a au moins un séparateur (espace ou tabulation)

entre l’abscisse et l’ordonnée. Il est facile de créer un tel fichier avec n’importe quel éditeur de texte

ordinaire.

En général si on copie deux colonnes d’un tableur et qu’on les colle dans l’éditeur de texte, on

obtient exactement ce que l’on désire.

Une fois ce fichier « nombresCopiesParNote.txt »placédansledossiercontenantlesource

.tex du document en cours de rédaction, on obtiendra exactement le même résultat en remplaçant

la commande :

\draw plot coordinates {\nombresCopiesParNote};

ou la commande :

\draw plot coordinates {(0,0) (1,0) (2,2) (3,0)

(4,6) (5,4) (6,7) (7,4) (8,3) (9,0) (10,1)};


70 CHAPITRE 5. REPRÉSENTATION DE DONNÉES

par la commande :

\draw plot file {nombresCopiesParNote.txt};

Le principal avantage de cette approche est qu’il est, dans ce cas, facile de changer les données

dans le fichier texte auxiliaire, sans modifier le code source .tex du document. Une simple

compilation permet alors une mise à jour rapide de l’affichage des données.

Un autre avantage concerne le traitement des données statistiques de grande taille (des centaines

de points). Dans ce cas l’inclusion des données dans le source serait trop pénible et provoquerait

des risques d’erreurs.

5.2 Diagramme à barres horizontales

5.2.1 Le blé dans le monde : utilisation d’un tableur

On désire présenter sur un diagramme, de façon significative, les deux séries statistiques suivantes.

Ces données représentent la production de blé pour les années 2004 et 2005 (en millions de

tonnes), pour les principaux pays producteurs dans le monde :

Pays Production 2004 Production 2005

Chine 91,96 97,45

Inde 72,16 68,64

États-Unis 58,74 58,74

Russie 45,41 47,70

France 39,69 36,89

Canada 25,86 26,78

Australie 21,91 25,09

Allemagne 25,43 23,69

Pakistan 19,50 21,61

Turquie 21,00 21,50

Ukraine 17,52 18,70

Royaume-Uni 15,47 14,86

Iran 14,57 14,31

Argentine 15,96 12,57

10 20 30 40 50 60 70 80 90 Mt

On veut obtenir une figure de ce type :

Chine

Inde

États-Unis

Russie

France

Canada

Australie

Allemagne

Pakistan

Turquie

Ukraine

Royaume-Uni

Iran

Argentine

La solution la plus rapide est de réaliser le diagramme à l’aide d’un logiciel adapté, comme un

tableur, par exemple. On peut alors exporter la figure et l’inclure dans le document. Hélas, dans

ce cas, le style de la figure ne sera pas parfaitement assorti à la typographie du document, et on

risque de rencontrer des difficultés pour la mise à l’échelle de la figure.

Faire la figure avec TikZ réclameévidementunpetiteffortquiseralargementvalidéparla

qualité du résultat obtenu.

Comme nous l’avons vu précédemment, l’opération plot effectue un tracé à l’aide de coordonnées

de points.

Nous pouvons décider, par exemple, de représenter chaque valeur par une barre horizontale.

Chaque valeur est donc l’abscisse d’un point dont il faut fixer l’ordonnée.


5.2. DIAGRAMME À BARRES HORIZONTALES 71

Pour cela, nous allons procéder, à l’aide du tableur, à un pré-traitement des données pour

préparer les fichiers textes nécessaires.

On va produire les deux fichiers suivants :

"producBle2004.txt"

91.96 14

72.16 13

58.74 12

45.41 11

39.69 10

25.86 9

21.91 8

25.43 7

19.50 6

21.00 5

17.52 4

15.47 3

14.57 2

15.96 1

"producBle2005.txt"

97.45 14

68.64 13

58.74 12

47.70 11

36.89 10

26.78 9

25.09 8

23.69 7

21.61 6

21.50 5

18.70 4

14.86 3

14.31 2

12.57 1

On a placé les données en abscisse et on a numéroté les ordonnées par valeurs décroissantes

pour que les barres horizontales se placent les unes en dessous des autres, par pays. On utilisera

l’option xcomb de l’opération plot qui permet de relier chaque point à l’axe des ordonnées par une

barre horizontale, comme on a vu précédemment.

Attention : en français le séparateur décimal est la virgule. On a utilisé la fonction de

recherche-remplacement de notre éditeur de texte pour mettre des points décimaux à la place des

virgules.

5.2.2 Barres horizontales : plot file, xcomb

Maintenant, si on utilise la commande :

\draw[thick] plot[xcomb] file {producBle2004.txt};

Le résultat donne quelque chose de ce type :

On constate que la figure déborde dans la marge droite de la feuille. En effet la Chine produit

91,96 Mt de blé, or l’unité par défaut de TikZ estlecentimètreetonobtientdoncunebarrede

presque un mètre.

Il va falloir jouer avec l’échelle de la figure pour obtenir un affichage de taille correcte en ajoutant

des options à l’environnement tikzpicture.

Un facteur multiplicatif pour les abscisses peut être défini à la suite de l’option xscale=.

Pour que la figure tienne sur la largeur de la feuille, ce facteur doit être inférieur à 0,1 et il sera

nécessaire de faire quelques essais pour parvenir à un résultat satisfaisant.

Comme il y a 14 pays dans la liste, le diagramme fera au moins 14 cm de haut, ce qui est

beaucoup.

On pourra, de même, réduire cette hauteur en fixant un facteur multiplicatif pour les ordonnées

àlasuitedel’optionyscale=.

Voici ce qu’on obtient avec, par exemple : [xscale=0.09,yscale=0.6]


72 CHAPITRE 5. REPRÉSENTATION DE DONNÉES

On peut maintenant se préoccuper du style des barres. Si on veut une présentation en histogramme

on peut écrire par exemple :

\draw[line width=4mm,color=blue!50]

plot[xcomb] file {producBle2004.txt};


5.2. DIAGRAMME À BARRES HORIZONTALES 73

5.2.3 Installation d’une grille : grid, xstep, ystep

On va placer des lignes verticales pour faciliter la lecture des informations. On utilise pour cela

une grille dont le pas sera astucieusement choisi :

\draw (0,0) grid[xstep=10,ystep=15] (100,15);

L’option xstep=10 place les lignes verticales tous les 10 millions de tonnes et l’option ystep=15

place les lignes horizontale toutes les 15 unités, ce qui représente en réalité uniquement la ligne du

bas et la ligne du haut.

On a aussi ajouté une sous-grille en gris de pas plus petit (5 Mt) :

\draw[gray,very thin] (0,0) grid[xstep=5,ystep=15] (100,15);

Cette commande a été placée avant la commande précédente dans l’environnement tikzpicture

de façon à ce que le reste de la figure soit dessiné par dessus.

5.2.4 Étiquetage du repère : \foreach, node

On utilisera ensuite des commandes \foreach pour graduer les abscisses de la grille de repérage

et pour placer les noms de pays en ordonnées.

\foreach \x in {10,20,...,90} \draw(\x,15)node[above]{\x};

Cette commande place les nombres en haut du diagramme.


74 CHAPITRE 5. REPRÉSENTATION DE DONNÉES

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Chine

Inde

États-Unis

Russie

France

Canada

Australie

Allemagne

Pakistan

Turquie

Ukraine

Royaume-Uni

Iran

Argentine

\foreach \n/\y in {Chine/14,Inde/13,États-Unis/12,Russie/11,

France/10,Canada/9,Australie/8,Allemagne/7,Pakistan/6,

Turquie/5,Ukraine/4,Royaume-Uni/3,Iran/2,Argentine/1}

\draw (0,\y) node [left] {\n};

Nous utilisons ici une nouvelle forme de la commande \foreach qui permet de contrôler plusieurs

variables simultanément. Les valeurs proposées entre accolades sont, dans ce cas, une liste

de valeurs multiples.

Dans cette forme de la commande \foreach, ilyaicideuxvariables:

\n qui va prendre pour valeurs les noms de ville

\y qui va prendre pour valeurs les ordonnées du point d’étiquetage

De même que les deux variables sont séparées par un / dans la déclaration \n/\y leurs valeurs

respectives dans la liste qui suit sont aussi séparées par un / comme pour Chine/14 par exemple.

5.2.5 Deux séries plus une légende : plot, shift, node

Il est possible de placer la seconde série statistique (la production de blé 2005) sur le même

diagramme en utilisant une couleur différente et en décalant légèrement les barres des deux séries

verticalement avec yshift. Lapremièresérieestdécaléede2mmverslehautavecyshift=2mm,

et la seconde série est décalée de 2 mm vers le bas avec yshift=-2mm :

\draw [line width=3mm,color=blue!50,yshift=2mm]

plot[xcomb] file {producBle2004.txt};

\draw [line width=3mm,color=green!50,yshift=-2mm]

plot[xcomb] file {producBle2005.txt};

C’est une bonne idée d’ajouter par la même occasion une légende, dans deux nœuds correctement

placés :

\draw(60,5)node[fill=blue!50,above] {Production 2004};

\draw(60,5)node[fill=green!50,below] {Production 2005};


5.3. COURBE DES VARIATIONS DE DONNÉES 75

10 20 30 40 50 60 70 80 90 Mt

Chine

Inde

États-Unis

Russie

France

Canada

Australie

Allemagne

Pakistan

Turquie

Ukraine

Royaume-Uni

Iran

Argentine

Production 2004

Production 2005

Les principaux pays producteurs de blé (en millions de tonnes)

5.3 Courbe des variations de données

5.3.1 Production annuelle de riz : pré-traitement

On désire présenter par une courbe l’évolution de la production mondiale de riz durant les

années 1997 à 2006.

Les données sont présentées dans la table suivante :

Année Production de riz en Mt

1997 577

1998 583

1999 612

2000 598

2001 603

2002 572

2003 588

2004 615

2005 627

2006 633

640

630

620

On désire présenter les variations ainsi :

610

600

590

580

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Il semble tout à fait naturel de penser à procéder de la même façon que dans le paragraphe

précédent :


76 CHAPITRE 5. REPRÉSENTATION DE DONNÉES

— créer un fichier de texte contenant ces données ;

— utiliser la commande \draw plot file {nomDuFichier.txt}.

Hélas, ce n’est pas aussi simple : TikZ supporteassezmallespointsdontlescoordonnéessont

grandes. L’unité par défaut du dessin est le centimètre. Avec 2006 on obtient donc une figure de

plus de 20 m de large.

On peut alors espérer utiliser l’option scale pour modifier l’échelle du dessin. Hélas, ça ne

marche pas non plus, car TikZ utiliseaussipoursescalculsinternesdesnombresd’amplitude

limitée.

On découvre expérimentalement (ça ne semble pas clairement documenté dans le manuel de

l’auteur) qu’il vaut mieux limiter les coordonnées des points à des valeurs comprise entre 500 cm et

+500 cm. On peut malgré tout utiliser des nombres plus grands dans les calcul, TikZestsimplement

incapable d’utiliser des points dont les coordonnées sortent de cet intervalle. Il est dans ce cas

impossible de dessiner, même en réduisant la fenêtre d’affichage avec la commande \clip ou en

changeant d’échelle avec l’option scale.

Si une erreur de compilation survient avec un message de ce type :

! dimension too large. \pgf@yy

on doit penser à vérifier que certaines coordonnées ne sont pas trop grandes.

Nos données ne sont pas du tout comprises dans cet intervalle. Nous allons donc effectuer un

pré-traitement, à l’aide d’un tableur par exemple, pour obtenir des données plus adaptées au dessin.

On peut décider de :

— soustraire 1990 aux années ;

— diviser par 10 les nombres de millions de tonnes.

7 57.7

8 58.3

9 61.2

10 59.8

11 60.3

On produit ainsi le fichier : "producRiz.txt"

12 57.2

13 58.8

14 61.5

15 62.7

16 63.3

5.3.2 Courbe des variations : plot file

La commande \draw plot file {producRiz.txt}; permet d’obtenir immédiatement un résultat

visible :


5.3. COURBE DES VARIATIONS DE DONNÉES 77

5.3.3 Quadrillage : grid, step

On va ajouter une grille en faisant varier les abscisses entre 7 (pour 1997) et 16 (pour 2006),

les ordonnées entre 57 (pour un minimum de 57,2) et 64 (pour un maximum de 63,3) :

\draw (7,57) grid (16,64);

Pour faciliter la lecture, on peut quadriller plus finement selon les ordonnées en fixant pour

l’opération grid l’option [ystep=0.5] :

On constate que la ligne horizontale inférieure du quadrillage est absente. En effet les erreurs

d’arrondi dans le calcul du quadrillage produisent parfois des problèmes de ce type.

Pour corriger ce problème, il suffit de faire quelques essais en modifiant progressivement la

valeur de l’option ystep qui fixe le pas vertical de la grille du quadrillage. Dans le cas présent, on

obtient un résultat satisfaisant en augmentant très légèrement le pas, avec :

\draw (7,57) grid [ystep=5.00001mm] (16,64);


78 CHAPITRE 5. REPRÉSENTATION DE DONNÉES

5.3.4 Annotations, décorations : \foreach, node, mark

On peut maintenant étiqueter les axes du quadrillage pour faciliter la lecture des données qui

sont affichées.

On commence par l’axe des ordonnées avec la commande \foreach :

\foreach \y in {58,59,...,64}

\draw (7,\y) node[left,scale=0.8]{\y0};

Pour l’étiquetage des ordonnées, on remarquera que la variable \y prend les valeurs de 58 à 64,

mais que le contenu du nœud est {\y0}, c’est-à-direlavaleurde\y suivie du caractère 0, cequi

fera donc : 580, 590, ... jusqu’à 640.

\foreach \x in {1997,1998,...,2006}

\draw (\x-1990,57) node [below,scale=0.8] {\x};

Pour l’étiquetage des abscisses, on utilise les capacités de calcul de la version 2 de PGF. La

variable \x prend les valeurs successives de 1997 à 2006, mais les nœuds contenant les années

doivent être placés aux points d’abscisses successives 7, 8, ... jusqu’à 16. On place donc chaque

nœud en (\x-1990,57)

L’abscisse \x-1990 est la valeur de \x àlaquelleonsoustrait1990.Ainsilesabscissesseront

bien les valeurs 7, 8, ... jusqu’à 16 (valeurs inférieures à 500).

Cette syntaxe, qui accepte des formules de calcul dans les commandes TikZ, est réservée

à la version 2 de TikZ &PGF. Deplusellenefonctionnequesilebibliothéquecalc aété

chargée dans le préambule, dans lequel il faut donc placer \usetikzlibrary{calc} juste après

\usepackage{tikz}.

Pour terminer, on va effectuer une petite amélioration esthétique de la figure en accentuant la

visibilité des points significatifs. Pour cela, on ajoute, à l’opération plot,l’option[mark=ball,mark

size=3pt] pour obtenir :

640

630

620

610

600

590

580

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Production annuelle mondiale de riz en million de tonnes


5.4. DIAGRAMME À SECTEURS 79

5.4 Diagramme à secteurs

5.4.1 Répartition par catégories socioprofessionnelles

Voici la répartition, en pourcentage, de la population française, par catégories socioprofessionnelles,

pour l’année 1999 :

Catégorie %

Agriculteurs exploitants 2

Artisans, commerçants, chefs d’entreprise 3

Cadres, professions intellectuelles supérieures 5

Professions intermédiaires 9

Employés 13

Ouvriers 12

Retraités 18

Autres sans activité professionnelle 38

Dans ce cas, il est assez naturel de représenter ces données à l’aide d’un diagramme à secteurs.

Le disque complet représentera la population française. Chaque catégorie socioprofessionnelle

sera associé à un secteur d’angle proportionnel au pourcentage de la population qu’elle représente.

Artisans

Voici l’aspect de la figure que l’on désire réaliser :

3%

2% Agriculteurs

Ouvriers

12%

Employés

13%

Intermédiaires

9%

5%

Cadres

Retraités

18%

38%

Inactifs

5.4.2 Calcul des angles : pré-traitement avec un tableur

Dans TikZ, il n’y a pas de commande spécifique prévue pour construire automatiquement des

diagrammes à secteurs.

Il va donc falloir construire chaque secteur à l’aide de l’opération arc écrite sous la forme

suivante :

\draw (X 0 ,Y 0 ) -- (↵ : R) arc (↵ :

: R) -- cycle;

R

(X 0 ,Y 0 )


On constate qu’il est nécessaire, pour tracer un secteur, de calculer au préalable les angles qui

définissent sa forme, l’angle du secteur, mais aussi l’angle que fait le rayon du début du secteur

avec l’horizontale, puis celui que fait le rayon de la fin du secteur avec l’horizontale :


80 CHAPITRE 5. REPRÉSENTATION DE DONNÉES

Catégorie % angle en ° début du secteur fin du secteur

Agriculteurs 2 7,2 0 7,2

Artisans 3 10,8 7,2 18

Cadres 5 18 18 36

Intermédiaires 9 32,4 36 68,4

Employés 13 46,8 68,4 115,2

Ouvriers 12 43,2 115,2 158,4

Retraités 18 64,8 158,4 223,2

inactifs 38 136,8 223,2 360

Ces résultats ont été obtenus à l’aide d’un tableur.

5.4.3 Dessiner les secteurs : \draw, arc, cycle, fill, $

Pour dessiner un secteur on utilise son angle de début et son angle de fin.

On peut aussi étiqueter ce secteur, par exemple, en notant la catégorie à l’extérieur et en plaçant

le pourcentage à l’intérieur.

Expliquons en détail deux exemples :

— Agriculteurs (2% secteur de 0°à 7,2°);

— Employés (13% secteur de 68,4°à 115,2°).

2% Agriculteurs

\draw[fill=black!2!blue!2] (0,0)--(0:4.5)arc(0:7.2:4.5)--cycle;

\draw (3.6:4) node {2\%};

\draw (3.6:5.6) node {Agriculteurs};

Le secteur est centré à l’origine (X 0 ,Y 0 )=(0, 0), lerayonducercleestR =4, 5 cm et le secteur

de ↵ =0° à =7, 2° est colorié avec un mélange de 2% de noir et de bleu [fill=black!2!blue!2],

c’est-à-dire proportionnellement au pourcentage de la population qu’il représente. Ainsi le secteur

sera d’autant plus sombre que son angle sera grand.

L’étiquette « 2% » est placée à 4 cm du centre, à l’intérieur du secteur, avec un angle de 3,6°(la

moitié de 7,2°) c’est-à-diresurlabissectricedel’angledusecteur.L’étiquette«Agriculteurs»est

placée, avec le même angle à 5,6 cm du centre, c’est-à-dire à l’extérieur du secteur.

Employés

13%

\draw[fill=black!13!blue!13]

(0,0)--(68.4:4.5)arc(68.4:115.2:4.5)--cycle;

\draw ({(68.4+ 115.2)/2}:4) node {13\%};

\draw ({(68.4+ 115.2)/2}:5.6) node {Employés};


5.4. DIAGRAMME À SECTEURS 81

Cette fois-ci, le secteur de, ↵ = 68, 4° à = 115, 2°, estcoloriéavecunmélangede13%denoir

et de bleu. Il est donc plus sombre que le précédent.

Pour aligner les étiquettes, l’angle de la bissectrice ↵ + aétécalculécommemoyennedes

2

angles ↵ et qui délimitent le secteur.

On a utilisé pour cela les capacités de calcul de la version 2 de PGF :

ainsi, ({(68.4+115.2)/2}:4) sera évalué à (91.8:4)

On remarque ici que pour effectuer le calcul, l’expression à évaluer doit être placée entre accolades

{(68.4+115.2)/2}, pouréviterlesconflitsdesyntaxe.

En résumé, sur ces deux exemples, on remarque que les trois commandes utilisées pour la

construction de chaque secteur colorié et étiqueté, ont la structure générale suivante :

\draw[fill=black!\p!blue!\p]

(0,0) -- (\a:4.5) arc (\a:\b:4.5) -- cycle;

\draw ({(\a+\b)/2}:4) node {\p\%};

\draw ({(\a+\b)/2}:5.6) node {\c};

— \a est l’angle ↵

–utilisépourdéfinirdedébutdusecteur.

— \b est l’angle

–utilisépourdéfinirdefindusecteur.

— \p est le pourcentage de la population représentée

–utilisépourfixerl’intensitélacouleur;

–utilisépourdéfinirletextel’étiquetteintérieure.

— \c est la catégorie socioprofessionnelle

–utiliséepourdéfinirletextel’étiquetteextérieure.

De plus, la taille du diagramme complet est contrôlée par les valeurs des rayons de trois cercles :

— le cercle des secteurs : de rayon R =4,5 (en centimètres)

— le cercle des étiquettes intérieures de pourcentage : de rayon 4

— le cercle des étiquettes extérieures de catégorie : de rayon 5,6

5.4.4 Diagramme complet : \foreach

Pour dessiner tous les secteurs du diagramme, les commandes ci-dessus doivent être exécutées

en faisant varier les valeurs de \a, \b, \p et \c.

On va utiliser pour cela quatre variables \a/\b/\p/\c dans la commande \foreach et créer la

liste des valeurs que doivent prendre ces variables à l’aide du tableau donné au début.

Par exemple, les trois premières lignes du tableau :

Catégorie % angle en ° début du secteur fin du secteur

Agriculteurs 2 7,2 0 7,2

Artisans 3 10,8 7,2 18

Cadres 5 18 18 36

vont fournir les valeurs respectives des variables \a/\b/\p/\c sous la forme :

{0/7.2/2/Agriculteurs, 7.2/18/3/Artisans, 18/36/5/Cadres,...

On obtiendra ainsi avec une commande \foreach unique le diagramme complet avec tous les

secteurs coloriés et étiquetés :

\begin{tikzpicture}

\foreach \a/\b/\p/\c in

{

0/7.2/2/Agriculteurs, 7.2/18/3/Artisans,

18/36/5/Cadres, 36/68.4/9/Intermédiaires,

68.4/115.2/13/Employés, 15.2/158.4/12/Ouvriers,

158.4/223.2/18/Retraités, 223.2/360/38/Inactifs


82 CHAPITRE 5. REPRÉSENTATION DE DONNÉES

}

{

}

\end{tikzpicture}

\draw[fill=black!\p!blue!\p]

(0,0) -- (\a:4.5) arc (\a:\b:4.5) -- cycle;

\draw ({(\a+\b)/2}:4) node {\p\%};

\draw ({(\a+\b)/2}:5.6) node {\c};

On remarque ci-dessus :

— la liste des données, entre accolades, après \foreach \a/\b/\p/\c in

— les trois commandes de construction d’un secteur qui sont insérées entre des accolades et

forme donc le bloc des instructions exécutées à chaque étape par la commande \foreach

Et voici le diagramme obtenu :

Employés

Ouvriers

12%

13%

Intermédiaires

9%

Cadres

5%

3% Artisans

2% Agriculteurs

Retraités

18%

38%

5.5 Résumé

Inactifs

Répartition par catégorie socioprofessionnelle en France en 1999

On a vu ici des exemples de représentations graphiques de données.

Àpartirdesériesstatistiquesvariéesenregistréessousformedefichiersdetexte,onadessiné,

des courbes, des diagrammes à barres horizontales ou verticales, des histogrammes et des

diagrammes à secteurs.

On a montré qu’il est souvent nécessaire d’effectuer un traitement des données au préalable à

l’aide d’une application auxiliaire comme un tableur par exemple, pour obtenir les cordonnées des

points significatifs du diagramme.

On a aussi constaté qu’un diagramme se construit par essais successifs, en construisant d’abord

une première figure, puis en procédant à des modifications progressives pour obtenir une figure

satisfaisante.

Attention : Ne jamais utiliser de coordonnées de points en dehors de l’intervalle [ 500; 500]

en centimètres.


Chapitre 6

Graphes : Introduction

6.1 Notions de base

On va montrer ici, à l’aide d’exemples simples, comment construire des diagrammes de graphes

constitués de nœuds reliés par des arcs.

6.1.1 Nœuds et Arcs : \draw, --, node, et\node

Allons d’abord de Paris à Strasbourg, le plus simple est d’écrire :

\draw (0,0)node[draw]{Paris} -- (4,-1)node[draw]{Strasbourg};

Paris

Strasbourg

Mais on peut aussi définir d’abord les villes puis les relier ensuite :

\node[draw] (P) at (0,0) {Paris};

\node[draw] (S) at (4,-1) {Strasbourg};

\draw (P) -- (S);

Paris

Strasbourg

Si l’on regarde attentivement, on constate que les deux écritures donnent des résultats légèrement

différents :

— Dans le premier cas, node est une opération exécutée sur un chemin. On peut considérer

chaque nœud comme une décoration du point auquel il est associé. La ligne tracée par la

commande \draw joint deux points, les nœuds sont des objets ajoutés ensuite et centrés sur

les points. L’option draw de l’opération node trace le contour du nœud.

— Dans le second cas, \node est une commande TikZ quipermetdedéfinirunnœud,dele

nommer et de le dessiner. On peut alors considérer les nœuds comme des objets préexistants

que l’on va ensuite relier avec la commande \draw. Ces nœuds ne sont pas des points, il ont

une certaine dimension, la ligne tracée joint les bords de ces objets.

La syntaxe de définition d’un nœud avec la commande \node est :

\node[] () at () {};

Par défaut, un nœud a la forme d’un rectangle qui englobe son contenu comme on le voit dans

les deux cas de figure ci-dessus.

83


84 CHAPITRE 6. GRAPHES : INTRODUCTION

S’il n’y a pas l’option draw, lecontourn’estpastracé,maislerectangleadesdimensionsnon

nulles même si le contenu est vide comme on peut le constater en comparant les deux exemples

ci-dessous :

\draw (0,0) --(1,1) --(2,0);

(1, 1)

\node (A) at (1,1) {};

\draw (0,0) --(A) --(2,0);

(A)

(0, 0)

(2, 0) (0, 0)

(2, 0)

Dans la figure de gauche, le trait du chemin passe par les trois points de référence, il n’y a pas

de nœud.

Dans celle de droite, le nœud, nommé (A), qui a été dessiné est visible, bien qu’il soit vide, car

le trait du chemin s’interrompt à la frontière du nœud, alors que celle-ci est elle-même invisible.

6.1.2 Chemin annoté : \draw avec opération node

La première méthode (ajouter des nœuds sur un chemin) a déjà été utilisée précédemment, par

exemple pour annoter les figures de géométrie.

On peut préciser la position des nœuds autour des points du chemin en ajoutant à l’opération

node des options de position comme above ou below par exemple.

\draw (0,0)node[above]{Paris}--(4,-1)node[below]{Strasbourg};

Paris

Strasbourg

6.1.3 Graphe : \node puis \draw avec nom de nœud

La seconde méthode (relier par un chemin des nœuds nommés précédemment) nous intéresse

davantage dans ce chapitre, car elle sera plutôt utilisée pour construire des diagrammes de graphes.

Dans ce cas, on modifiera le style des traits, à l’aide d’options de la commande \draw, comme

par exemple [,>=latex] pour obtenir des flèches :

\draw[,>=latex] (P) -- (S);

Paris

Strasbourg

6.2 Styles des nœuds et des arcs

6.2.1 Les arcs : \draw, --, |-, -|, to et options de flèches

Nous allons maintenant étudier comment construire des graphes constitués de nœuds et d’arcs.

On présentera les différentes options qui permettent de préciser le style des arcs et des nœuds.

Nous avons constaté sur l’exemple précédent que l’arc entre deux nœuds est une ligne droite

qui relie les centres des nœuds, mais s’arrête à la périphérie, sur la frontière rectangulaire du nœud.

On peut remplacer la liaison -- par une liaison |- (départ vertical, arrivée horizontale) ou -|

(départ horizontal, arrivée verticale) :


6.2. STYLES DES NŒUDS ET DES ARCS 85

Lille

Paris

Strasbourg

\draw[->,>=latex] (P) |- (L);

\draw[->,>=latex] (L) -| (S);

\draw[->,>=latex] (S) -| (P);

On peut aussi utiliser une liaison to, suivied’uneoptiondecourbure.

Pour cette option de courbure, le plus simple est d’indiquer vaguement ce que l’on veut, soit une

courbure vers la droite avec [bend right], soitunecourbure vers la gauche avec [bend left] :

Lille

Paris

Strasbourg

\draw[->,>=latex] (P) to[bend right] (L);

\draw[->,>=latex] (L) to[bend left] (S);

\draw[->,>=latex] (S) to[bend left] (P);

Pour l’option bend, lacourbureestrelativeàladirectiondeparcoursducheminenlignedroite

défini par deux points successifs.

Attention : Le mot courbure prête ici à confusion. Pour l’option bend left par exemple, cela

signifie que le chemin subit une déformation courbe qui le place sur la gauche, dans le sens du

parcours du chemin en ligne droite directe.

Pour que tout soit parfaitement clair, voici quelque exemples de flèches tracées avec to[bend

left], lechemindirectétantvisualiséengris:

L’importance de la courbure de l’option bend peut être modifiée en précisant après un signe =

un angle en degrés (0°correspond à la ligne droite) :

90°

45°

Paris

20°


Strasbourg

\draw[->,>=latex] (P) to[bend left=0] (S);

\draw[->,>=latex] (P) to[bend left=20] (S);

\draw[->,>=latex,dashed] (P) to[bend left] (S);

\draw[->,>=latex] (P) to[bend left=45] (S);

\draw[->,>=latex] (P) to[bend left=90] (S);


86 CHAPITRE 6. GRAPHES : INTRODUCTION

Avec l’opération de liaison to, onpeutaussiêtreencoreplusprécisetutiliserl’optionout=

qui définit l’angle polaire en degrés de sortie du nœud origine et l’option in= pour l’angle d’entrée

dans le nœud extrémité :

out=45

Paris

in=0

out=0

Lille

in=-90

in=180

Strasbourg

out=230

\draw[->,>=latex] (P) to[out=45,in=-90] (L);

\draw[->,>=latex] (L) to[out=0,in=180] (S);

\draw[->,>=latex] (S) to[out=230,in=0] (P);

6.2.2 Extrémités des arcs : [->|, *-o, >->>, )-(

De nombreuses variations sont possibles pour définir les extrémités des arcs. On se reportera à

la documentation générale pour plus d’informations sur ce sujet. Voici quelques exemples :

\draw[{[-]}] (0,0) -- (1,1); \draw[*-o] (2,0) -- (3,1);

\draw[>->>] (4,0) -- (5,1); \draw[)-(] (6,0) -- (7,1);

\draw[|


6.2. STYLES DES NŒUDS ET DES ARCS 87

\node[draw,rectangle,rounded corners=3pt] (P)at(0,0){Paris};

\node[draw,minimum height=1cm,dashed] (L)at(2,1) {Lille};

\node[draw,ellipse] (S)at(6,-1) {Strasbourg};

\node[draw,diamond,aspect=2.5] (B)at(0,-1.5) {Bourges};

\node[draw,circle,fill=gray!50] (D)at(4,-2) {Dijon};

Remarque : L’option diamond est accompagnée de son option aspect qui fixe le rapport entre

la largeur et la hauteur du nœud.

6.2.4 Abstraction des styles : \tikzstyle, \tikzset

Pour les graphes un peu complexes dans lesquels figurent des nœuds et des arcs de styles variés,

il est parfois utile de nommer les styles. Plutôt que de procéder aux copier-coller des options, on

définira des styles à l’aide de la commande \tikzstyle (pour PGF version 1) ou de la commande

\tikzset (pour PGF version 2).

On définit, par exemple, un style pour ville et le style de Paris sera, par exemple, capitale :

\tikzstyle{ville}=[draw,rectangle,rounded corners=3pt]

\tikzstyle{capitale}=[draw,ellipse,very thick,fill=black!25]

ou avec la commande \tikzset de PGF version 2 :

\tikzset{ville/.style={draw,rectangle,rounded corners=3pt}}

\tikzset{capitale/.style={draw,ellipse,very thick,fill=black!25}}

Il suffira alors d’écrire dans le code :

\node[capitale] (P)at(0,0){Paris};

\node[ville] (L)at(2,1){Lille}; . . .

On définit de même des styles radial et transversal pour les arcs :

\tikzset{radial/.style={very thick,->,>=stealth’}}

\tikzset{transversal/.style={,>=stealth’,thick,dashed}}

On peut alors effectuer les liaisons :

\draw[radial] (P)--(L);

\draw[transversal] (D)--(B); . . .

[capitale]

Paris

Bourges

Lille

[radial]

[transversal]

Dijon

[ville]

Strasbourg

Remarque : Un des avantages principaux de la définition de style est de rendre le code beaucoup

plus lisible.

Mais il y a plus important encore, les commandes \tikzstyle ou \tikzset peuvent être définies

àl’extérieurdel’environnement{tikzpicture}.Danscecas,touteslesfiguresquisuiventpourront

utiliser les styles définis. Ceci permet ainsi d’uniformiser le style de plusieurs figures distinctes. Par

contre, si les commandes \tikzstyle ou \tikzset sont définies à l’intérieur d’un environnement

{tikzpicture}, laportéeestlimitéeàcetenvironnement.


88 CHAPITRE 6. GRAPHES : INTRODUCTION

Attention : La commande \tikzstyle de TikZ &PGF version 1 est toujours valable dans

la version 2, mais, on lui préférera la nouvelle commande \tikzset qui permet de définir des styles,

mais qui offre aussi des possibilités supplémentaires que l’on utilise par ailleurs.

Les définitions de style précédentes peuvent ainsi être définies globalement dans une unique

commande \tikzset.

\tikzset{ville/.style={draw,rectangle,rounded corners=3pt},

capitale/.style={draw,ellipse,very thick,fill=black!25},

radial/.style={very thick,->,>=stealth’},

transversal/.style={,>=stealth’,thick,dashed}}

Les styles ainsi définis pourront être ensuite utilisés dans tous les environnements {tikzpicture}

qui suivent.

6.2.5 Points d’ancrage des nœuds : N.south, N.left, N.below

On a vu en géométrie comment placer un nœud autour d’un point. On montre ici comment

atteindre certains points d’ancrage d’un nœud :

\node[draw] (N) at (2,2) {\Large Paris};

\draw[->,>=latex] (0,0) -- (N.north);

\draw[->,>=latex] (0,0) -- (N.south);

\draw[->,>=latex] (0,0) -- (N.west);

\draw[->,>=latex] (0,0) -- (N.east);

Paris

Pour visualiser les différents points d’ancrage d’un nœud, nous allons d’abord créer un nœud de

grande taille en utilisant les options de décoration vues dans le paragraphe précédent pour définir

son style :

node « N »

\tikzstyle{noeud}=[minimum width=5cm,minimum height=3cm,

rectangle,rounded corners=10pt,draw,

fill=yellow!75,text=red,font=\bfseries]

\node[noeud] (N) at (0,0) {\Large node \og{}N\fg{}};

Une fois le nœud « N » placé, on dessine sur la figure les principaux points d’ancrage, avec leurs

noms :

(N.north)


(N.west) ⇥

(N.center)

node ⇥« N »

⇥(N.east)


(N.south)


6.2. STYLES DES NŒUDS ET DES ARCS 89

\draw (N.north) node{$\times$} node[above]{(N.north)};

\draw (N.south) node{$\times$} node[below]{(N.south)};

\draw (N.west) node{$\times$} node[left]{(N.west)};

\draw (N.east) node{$\times$} node[right]{(N.east)};

\draw[blue] (N.center) node{$\times$} node[above=3pt]{(N.center)};

En réalité, il y a de très nombreux points d’ancrage, ce qui permet, comme toujours avec TikZ

d’être extrêmement précis dans la disposition des objets. Voici quelques autres des principaux

points d’ancrage :

(N.north west)

+

(N.40)

(N.north east)

+

node « N »

+ +

(N.text) (N.base)

(N.15)

+

(N.south west)

+

(N.south east)

Les noms de tous ces points sont assez compréhensibles. On remarquera en particulier les points

(N.15) et (N.40) qui font référence aux points d’intersection de la frontière du nœud avec la droite

passant par le centre et qui fait un angle de 15°(respectivement 40°) avecl’horizontale.

6.2.6 Flèches vers les ancres : N.north, N.center, N.15

Le nom (N) fait référence au centre du nœud comme (N.center), maisn’estcependantpas

identique. Une flèche qui pointe vers (N) asonextrémitésurlafrontièredunœud,tandisqu’une

flèche qui pointe vers (N.center) asonextrémitésurlecentredunœudcommeonpeutleconstater

sur la figure suivante qui résume les différents cas :

\draw[->] (etiquetteN) -- (N);

\draw[->] (etiquetteNcenter) -- (N.center);

...

(N.center)

(N)

(N.north west)

(N.north)

(N.north east)

(N.40)

(N.15)

(N.west)

node « N »

(N.east)

(N.text)

(N.south west)

(N.south)

(N.south east)

(N.base)


90 CHAPITRE 6. GRAPHES : INTRODUCTION

6.3 Techniques avancées

6.3.1 Tracer un arc sans avancer : edge

En plus des opérations de chemin --, |-, -| et to, quidéfinissentlaformedestraitsdeliaison,

on dispose aussi de edge (avec les mêmes options que pour l’opération to) quidessineuneligne

jusqu’au point suivant, mais laisse le crayon à l’origine pour les liaisons suivantes, en étoile :

\draw[->,>=latex] (P) edge[bend left] (L)

edge[out=0,in=90] (S)

edge (D)

edge[bend right] (B);

[bend left]

Paris

Lille

[out=0,in=90]

[bend right]

Bourges

Dijon

Strasbourg

6.3.2 Étiquetage des arcs : sloped, midway, pos

Après spécification dans une commande \draw d’un chemin (A)--(B), l’opérationnode qui

suit place, par défaut, un nœud au point (B). Sionajouteàl’opérationnode l’option midway le

nœud sera placé à mi-chemin du point (A) et du point (B).

En plus de l’option midway,ilexisteaussilesoptionsvery near start, near start, near end,

very near end pour les placements approximatifs, et l’option pos= qui permet une plus grande

précision.

Le nombre qui suit pos= est le pourcentage du chemin à parcourir pour placer le nœud : 0 en

(A), 1en(B), 0.5aumilieude(A)--(B).

\draw (0,0) node{A} -- (4,2) node{B}

node[midway]{M} node[near end]{N};

\draw (5,0) node{A} to[bend right]

node[very near start]{R} node[pos=0.7]{S} (9,2) node{B};

\draw (9,0) node{A} to[bend left]

node[pos=0.5]{M} node[pos=0.25]{Q} (13,2) node{B};

A

B

near end

midway N

M

very near start

A R

pos=0.7

S

B

A

M

pos=0.5

Q

pos=0.25

B

Les étiquettes sont écrites horizontalement par défaut, mais comme on le voit sur les exemples

ci-dessous, ajouter l’option sloped permet d’incliner les étiquettes selon la pente du chemin :

node[sloped,midway]{M}

A

B

midway

M N

near end

very near start

R

avec sloped

A

pos=0.7

S

B

A

pos=0.25

Q

M

pos=0.5

B


6.3. TECHNIQUES AVANCÉES 91

6.3.3 Inclinaison des étiquettes : sloped, rotate

Il est aussi possible de modifier l’inclinaison par défaut du texte de l’étiquette dans l’opération

node avec l’option rotate= suivie d’un angle en degrés :

rotate=45

Texte

node[draw]{Texte}

Texte

node[draw,rotate=45]{Texte}

La rotation du texte se fait à partir de la position normale du texte, c’est-à-dire par rapport à

l’horizontale.

La rotation peut aussi être appliquée sur des nœuds placés à une position intermédiaire d’un

chemin entre deux points consécutifs :

N

pos=0.25

rotate=45

pos=0.75

R

N

sloped,pos=0.25

sloped,pos=0.75

R

rotate=45

Si l’option sloped est présente sur l’opération node, larotationdutextesefaitàpartirdela

tangente au chemin à la position de l’étiquette.

6.3.4 Modification de la taille des annotations : scale

On peut enfin modifier la taille des étiquettes de l’opération node avec l’option scale= suivie

d’un coefficient multiplicatif :

scale=0.75

P

scale=1.5

N

G

sloped,scale=0.75

sloped,scale=1.5

P

N

G

6.3.5 Insérer une sous-figure : scope, shift, rotate, scale

Supposons qu’on ait deux figures, chacune définie dans un environnement tikzpicture :

J

B

C

Figure 1 :

Figure 2 :

I

O

O

Dans chaque figure, le point O apourcoordonnées(0, 0). Sioncopielecodedesdeuxfigures

àl’intérieurd’unmêmeenvironnementtikzpicture, ellesneserontplusdisjointes:

C

J

B

OO

I


92 CHAPITRE 6. GRAPHES : INTRODUCTION

Le problème est alors le suivant : comment créer dans un même environnement tikzpicture

un dessin comportant ces deux figures, mais disjointes ? Et, de plus, on aimerait pouvoir recopier

directement le code de chaque figure séparée, et ne pas avoir à recalculer de nouvelles coordonnées.

Heureusement, il existe un environnement scope qui peut être vu comme un sous-environnement

tikzpicture auquel on peut affecter des options de décalage comme l’option xshift (suivie d’un

décalage horizontal), l’option yshift (suivi d’un décalage vertical) ou l’option shift (suivi des

coordonnées d’un vecteur de translation).

Par exemple : [xshift=2] [yshift=25mm] ou [shift={(5,2)}]

On remarque, dans ce dernier cas, les accolades autour des coordonnées du vecteur de translation.

Ces accolades sont nécessaires ici, pour que la virgule ne soit pas considérée comme un

séparateur d’options.

Prenons le code de chacune de nos deux figures et insérons les codes respectifs dans un environnement

scope, quenousplaçonsensuitedansunenvironnementtikzpicture. Pourdécalerla

seconde figure, on ajoute à son environnement scope l’option [shift={(5,-1)}] :

\begin{tikzpicture}

\begin{scope}

% ... Figure 1

\end{scope}

\begin{scope}[shift={(5,-1)}]

% ... Figure 2

\end{scope}

\end{tikzpicture}

O

J

I

C

shift={(5,-1)}

B

O

Ajoutons l’option [rotate=60] au scope qui contient le code de la première figure, une rotation

de 60° est donc appliquée à cette figure :

rotate=60

J

I

C

B

O

shift={(5,-1)}

O

Remarque : la rotation ne concerne que le dessin du chemin. On constate que les textes ont

conservé leur alignement original.

C’est un peu surprenant, mais raisonnable : si vous avez réalisé une figure complexe avec de

nombreuses annotations textuelles, vous pouvez ainsi la faire tourner facilement, les annotations

restent lisibles car elles conservent la même orientation. Il est cependant parfois utile de modifier

l’ancrage de certains nœuds.

L’option [shift={(5,-1)},rotate=-45,scale=1.5] amaintenantétéaffectéeauscope contenant

le code de la seconde figure, celle-ci a donc subi une translation, une rotation et sa taille a

été augmentée de 50%.


6.3. TECHNIQUES AVANCÉES 93

C

rotate=60

scale=1.5

J

I

O

shift={(5,-1)}

O

rotate=-45

B

Remarque : Attention, l’effet des options rotate ou scale, quandellessontappliquéesàundes

environnements scope ou tikzpicture, n’estpaslemêmequesiellessontappliquéesàl’opération

node :

— rotate ou scale pour les environnements scope ou tikzpicture :

ce sont les lignes du dessin qui constitue la figure qui subissent les transformations. La figure

tourne, sa taille est modifiée, mais les annotations textuelles effectuées à l’aide de nœuds

gardent leurs tailles et leurs orientations :

— rotate ou scale pour l’opération node :

ce sont les textes contenus dans le nœud qui subissent les transformations. Une fois ces

transformations effectuées, il n’y a plus de changement des textes, ni en taille, ni en orientation

lors d’une modifications des options de scope ou tikzpicture. Cependant, il y a

déplacement des textes qui restent liés à leurs points d’ancrage qui ont bougé.

6.3.6 Textes longs : text width, justified, centered

Le contenu d’un nœud est en général assez court et placé sur une seule ligne. Toutefois, il est

possible de mettre dans un nœud des textes plus longs, sur plusieurs lignes, comme par exemple

dans la légende d’une figure.

L’option text width permet de limiter la largeur du contenu textuel du nœud et de provoquer

ainsi son affichage sur plusieurs lignes :

Voici un commentaire

bavard qui

ne tiendra pas sur

3cm

Voici un commentaire

bavard qui ne

tiendra pas sur 3 cm

text justified

Voici un commentaire

bavard

qui ne tiendra

pas sur 3 cm

text centered

\node[draw,text width=3cm] at(0,0){Voici...cm};

\node[draw,text width=3cm,text justified] at(4,0){Voici...cm};

\node[draw,text width=3cm,text centered] at(8,0){Voici...cm};

Les options text justified ou text centered permettent de préciser le type d’alignement

du texte.

En général, la largeur d’un nœud est assez limitée. Dans ce cas, les césures provoquées par

L A TEX, lors de la mise en page, seront parfois gênantes.

Les options text badly ragged ou text badly centered permettent d’interdire les césures

dans le texte du nœud :

Voici un

commentaire

bavard qui ne

tiendra pas sur

3cm

text badly ragged

Voici un

commentaire

bavard qui ne

tiendra pas sur

3cm

text badly centered


94 CHAPITRE 6. GRAPHES : INTRODUCTION

Il est aussi possible d’utiliser simultanément les options minimum width, minimum height et

text width dans un même nœud. Ainsi on contrôle la taille du rectangle du nœud :

minimum width=6cm

Voici un commentaire

bavard

qui ne tiendra

pas sur 3 cm

text width=3cm

minimum height=4cm

\node[draw,text width=3cm,text centered,

minimum width=6cm,

minimum height=4cm] at (0,0) {Voici...cm}

6.3.7 Contournement d’un nœud

Si on construit un graphe complexe, il peut parfois arriver que certains nœuds gênent le passage

d’un arc, comme ci-dessous, où les options les plus simples ne permettent pas d’aller de A à B sans

rencontrer les autres nœuds.

On veut relier A à B par une flèche qui contourne les obstacles :

P

B

Q

A

R

On va d’abord définir un nœud auxiliaire (n), invisible, légèrement à droite et en dessous (2 mm)

du coin sud-est du nœud (P) :

\coordinate[shift={(2mm,-2mm)}] (n) at (P.south east);

Pour cela, on a utilisé l’option [shift={(2mm,-2mm)}], appliquéeàl’ancre(P.southeast)du

nœud (P).

On trace ensuite :

\draw[->,thick,>=latex,rounded corners=5pt] (A) |- (n) |- (B);

|-

P

. |-

(n)

Q

B

in=220

A

out=0

R

Une petite marque discrète « · »àétéajoutéesurlafigurepourmontrerlapositiondupoint

auxiliaire (n) « invisible » à côté du point (P).

On remarque qu’il était aussi possible d’éviter les obstacles avec une flèche courbe qui passe

entre Q et R, à condition d’ajuster les angles de sortie et d’entrée dans les nœuds, à l’aide des

options out= et in= de l’opération to.


6.4. EXERCICES 95

6.4 Exercices

Dans chaque exercice, on demande de réaliser la figure spécifiée. Toutes ces figures peuvent être

construites uniquement en TikZ avecdesnœudsetdesarcs,endéfinissantévidementdesstylesà

l’aide des différentes options.

La principale difficulté, dans ces exercices, est de réaliser la figure la plus proche possible du

modèle en respectant les positions et les angles.

6.4.1 Voyelle ou Consonne

A

B

Voyelle

C

Consonne

D

E

Aide

On place les lettres à 1 cm les unes des autres et « Voyelle » et « Consonne » à 3 cm de chaque

côté. On définit trois styles :

\tikzstyle{lettre}=[circle,draw,fill=yellow!50,text=blue]

\tikzstyle{type}=[circle,fill=red!25]

\tikzstyle{fleche}=[->,>= stealth’,thick]

Il n’y a plus qu’à lier les différents nœuds.

6.4.2 Les points cardinaux

Est

Sud

Nord

Ouest

Aide

On définit le style des points cardinaux :

\tikzstyle{point}=[circle,fill=blue!25,minimum width=5em]

Le mot le plus long est « Ouest », on fixe donc minimum width=5em, unelargeurd’aumoins5

fois la largeur de la lette « m », pour que tous les cercles soient de même taille. On définit le style

des flèches :


96 CHAPITRE 6. GRAPHES : INTRODUCTION

\tikzstyle{fleche}=[,>=latex,line width=2mm]

On trace :

\node[point] (N) at (2,0){Nord};

\node[point] (S) at (-2,0){Sud};

\draw[fleche] (N)--(S);

...

6.4.3 Orientations

Horizontal

Montée à 45°

Sur le Dos

Descente à 60°

Vertical

Aide

On définit les nœuds H : (0,0) , M : (2,0), S : (6,0), D : (6,0) et V : (9,0) avec l’option

draw,rotate= et les angles 45, 180, 60, 90, et le style pour les flèches :

\tikzstyle{fleche}=[,>=stealth’,very thick]

Les liens sont assez délicats à établir en raison des rotations des nœuds. La figure a été obtenue

avec les options suivantes :

\draw[fleche] (H.south) to[bend right=90] (S.north);

\draw[fleche] (M.east) to[bend left] (D.west);

\draw[fleche] (D.east) to[out=-60,in=-90] (V.west);

Par exemple, sur la première ligne on relie (H.south) à (S.north) qui est au dessous du nœud

(S), carlenœud(S) est sur le dos [rotate=180], etsonnordestenbas!

6.4.4 Pentagone

Solution

Pentagone de rayon 2 centré sur l’origine :

\tikzstyle{sommet}=[circle,draw,thick,fill=yellow]

\draw (90:2) node[sommet]{}

-- (162:2) node[sommet]{}

-- (234:2) node[sommet]{}

-- (306:2) node[sommet]{}

-- (378:2) node[sommet]{}

-- cycle;

Le premier sommet tracé est celui du haut.


6.4. EXERCICES 97

6.4.5 Benzène

Le benzène est un hydrocarbure aromatique monocyclique, de formule C 6 H 6

H

H

C

C

C

H

H

C

C

C

H

H

Solution

Les C et les H sont placés et nommés à l’aide d’une commande \foreach

L’origine est au centre de la molécule, et les atomes sont placés en coordonnées polaires, l’angle

étant défini par la variable \a.

Les C sont nommés a, b, c, d et e (noms pris successivement par la variable \n) etlesHassociés

sont nommés respectivement aa, bb, cc, dd et ee (noms engendrés successivement par \n\n).

% les C et les H

\foreach \n/\a in {a/30,b/90,c/150,d/210,e/270,f/330}

{\node (\n) at (\a:1) {C};

\node (\n\n) at (\a:2) {H};}

% les liaisons C - H

\foreach \n in {a,b,c,d,e,f} \draw [thick] (\n)--(\n\n);

On remarque la possibilité, avec la commande \foreach, deconstruiredesnomsdenœudpar

concaténation de variables et de les réutiliser plus tard.

Il suffit ensuite de dessiner les liaisons, simples ou doubles.

% les liaisons simples entre C

\draw [thick](a)--(b);s

\draw [thick] (c)--(d);

\draw [thick] (e)--(f);

% les liaisons doubles entre C

\draw [double,thick] (b)--(c);

\draw [double,thick] (d)--(e);

\draw [double,thick] (f)--(a);


98 CHAPITRE 6. GRAPHES : INTRODUCTION

6.4.6 Arbre généalogique

Pépé Mémé Papy Mamie

Papa

Maman

Bibi

Aide

On définit le style des liens :

\tikzstyle{lien}=[->,>=stealth,rounded corners=5pt,thick]

On peut ensuite définir, avec la commande \tikzstyle, troisstylesdistinctspourBibiles

hommes et les femmes, mais si l’on dispose de la version 2.00 de TikZ &PGF, onpourrautiliser

la commande \tikzset pour créer un style paramétrable :

\tikzset{individu/.style={draw,thick,fill=#1!25},

individu/.default={green}}

Ici, l’option individu donne un fond fill=green!25 par défaut, mais elle peut accepter un nom

de couleur qui remplacera le #1 dans la définition. Ainsi individu=red donne un fond fill=red!25.

On peut alors placer les nœuds, puis les liens :

\node[individu] (B) at (0,0) {Bibi};

\node[individu=blue] (P) at (-3,2) {Papa};

\node[individu=red] (M) at (3,2) {Maman};

...

\draw[lien] (B) |- (-1,1) -| (P);

\draw[lien] (B) |- (1,1) -| (M);

...

On remarque l’utilisation de points auxiliaires pour permettre un tracé des flèches des liens en

zigzag.

6.5 Résumé

On construit des graphes en définissant et en nommant des nœuds, qui sont des boîtes de texte,

avec la commande \node, puisonlesreliepardesarcsaveclacommande\draw.

On peut modifier le style, la taille et l’orientation des textes écrits dans les nœuds avec les

options rotate scale.

Les arcs sont tracés à l’aide de la commande \draw, etdesesdifférentesopérationscomme|-,

-| ou to qui permettent de modifier la forme des arcs. Avec l’opération edge, ilestaussipossible

de tracer des arcs à partir d’un node, sans avancer.

Les options comme thick, dashed, ->, *-o ou [-( permettent de préciser les styles de trait ou

de flèche.

On peut aussi ajouter des annotations sur les arcs avec l’opération node et une des options

midway, pos= ou sloped.

Pour la construction de figures complexes, l’environnement scope permet de décomposer le

diagramme en sous-figures créées d’abord indépendamment, puis assemblées ensuite avec des transformations

éventuelles en utilisant des options comme shift, rotate ou scale.


Chapitre 7

Graphes : Exemples

On a présenté, dans le chapitre précédent, les outils de base pour dessiner des graphes. On va

maintenant réaliser des graphes complexes pour montrer comment mettre en œuvre ces différents

outils.

7.1 Graphe d’une relation

7.1.1 Relations entre quadrilatères

On connaît différentes relations entre quadrilatères, comme : un carré est un rectangle, un carré

est un losange.

On veut tracer un graphe exprimant ces différentes relations entre les types de quadrilatère

suivant : parallélogramme, rectangle, carré, losange.

Chaque type de quadrilatère sera représenté par un nœud et chaque relation sera représentée

par une flèche.

Par exemple « Carré est un Rectangle » : Carré Rectangle

carrés est strictement inclus dans l’ensemble des rectangles.

signifie que l’ensemble des

7.1.2 Des nœuds et des flèches : node et ->

La figure étant assez complexe, on va la construire pas à pas en indiquant, à chaque étape,

uniquement ce qui diffère de l’étape précédente.

On place d’abord un nœud (node) pourchaquetypedequadrilatèreetonlenommeàl’aide

de son initiale :

\begin{tikzpicture}

\node (Q) at (0,3) {Quadrilatère};

\node (P) at (0,1.5) {Parallélogramme};

\node (R) at (-3,0) {Rectangle};

\node (L) at (3,0) {Losange};

\node (C) at (0,-1.5) {Carré};

\end{tikzpicture}

99


100 CHAPITRE 7. GRAPHES : EXEMPLES

Quadrilatère

3

Parallélogramme

1.5

Rectangle

Losange

0

Carré

3 0 3

1.5

Le placement des nœuds a été fait au crayon sur un papier, puis simulé en centrant chaque

nœud sur des points de coordonnées raisonnables.

Pour rendre la figure plus lisible, on va définir un style de nœud en écrivant chaque nom en

bleu sur fond jaune clair, dans un rectangle encadré de noir.

On définit un style quadri àajoutercommeoptionsurchaquenœud:

\tikzstyle{quadri}=[rectangle,draw,fill=yellow!50,text=blue]

\node[quadri] (Q) at (0,3) {Quadrilatère}; ... etc.

Quadrilatère

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Carré

On ajoute maintenant les relations « est un » reliant les nœuds par des flèches. On définit estun,

le style de ces flèches, pour les tracer en pointillés très épais, avec une pointe de type latex.

On ajoute ainsi le code suivant à notre figure :

\tikzstyle{estun}=[->,dotted,very thick,>=latex]

\draw[estun] (P)--(Q);

\draw[estun] (R)--(Q); \draw[estun] (R)--(P);

\draw[estun] (L)--(Q); \draw[estun] (L)--(P);

\draw[estun] (C)--(Q); \draw[estun] (C)--(P);

\draw[estun] (C)--(L); \draw[estun] (C)--(R);


7.1. GRAPHE D’UNE RELATION 101

Quadrilatère

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Carré

Le résultat manque de lisibilité, car certaines flèches traversent les nœuds et d’autres se superposent.

Évitons d’abord les superpositions en remplaçant les droites par des courbes. Pour cela le lien

– est remplacé par un lien to avec une option [bend left] (courbé à gauche) ou [bend right]

(à droite).

Modifions d’abord « Rectangle-Quadrilatère » et « Losange-Quadrilatère » :

\draw[estun] (R) to[bend left] (Q);

\draw[estun] (L) to[bend right] (Q);

Quadrilatère

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Carré

Le nœud « Carré » est mal placé. Pour séparer les flèches superposées et rendre les relations

entre quadrilatères visibles, on déplace le nœud « Carré » à droite du nœud « Losange » et on

courbe ensuite la flèches « Carré-Quadrilatère » et la flèche « Carré-Parallélogramme » :

\node[quadri] (L) at (4,1.5) {Losange};

\node[quadri] (C) at (7,0) {Carré};

\draw[estun] (C) to[bend right] (Q);

\draw[estun] (C) to[bend left] (P);

Quadrilatère

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Carré


102 CHAPITRE 7. GRAPHES : EXEMPLES

Il est encore possible d’améliorer la figure.

7.1.3 Graphe final : courbure bend, ancrageP.east

On va redresser la flèche « Losange-Quadrilatère » et la faire arriver au coin sud-est du nœud

«Quadrilatère»: \draw (L)--(Q.south east);

On procède ensuite à d’autres petites modifications de position des extrémités des flèches

« Carré-Losange » et « Carré-Parallélogramme ».

Pour terminer, on place sur le côté gauche de la figure, une légende qui précise la sémantique

de la flèche :

\draw[estun] (-4.5,2.5) -- (-3,2.5) node[midway,above]{est un};

est un

Quadrilatère

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Carré

\begin{tikzpicture}

% définition des styles

\tikzstyle{quadri}=[rectangle,draw,fill=yellow!50,text=blue]

\tikzstyle{estun}=[->,>=latex,very thick,dotted]

% les nœuds

\node[quadri] (Q) at (0,3) {Quadrilatère};

\node[quadri] (P) at (0,1.5) {Parallélogramme};

\node[quadri] (R) at (-3,0) {Rectangle};

\node[quadri] (L) at (3,0) {Losange};

\node[quadri] (C) at (5,-1.5) {Carré};

% les flèches

\draw[estun] (P)--(Q);

\draw[estun] (R)to[bend left](Q); \draw[estun] (R)--(P);

\draw[estun] (L)--(Q.south east); \draw[estun] (L)--(P);

\draw[estun] (C)to[bend right](Q.east); \draw[estun] (C)to[bend left](P);

\draw[estun] (C)--(L.south east); \draw[estun] (C)to[bend left](R);

% la légende

\draw[estun] (-4.5,2.5)--(-3,2.5)node[midway,above]{est un};

\end{tikzpicture}


7.2. ORGANIGRAMME INFORMATIQUE 103

L’exemple précédent avait pour but de montrer comment contrôler finement la position des

nœuds et des arcs. Il est d’usage, en général, de ne pas représenter les flèches que l’on peut déduire

par transitivité comme ci-dessous :

Quadrilatère

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Carré

7.2 Organigramme informatique

7.2.1 Somme des N premiers nombres entiers

Dessiner un organigramme du programme qui calcule la somme des N premiers nombres entiers

avec l’algorithme suivant :

DÉBUT

Lire un entier positif N

S 0

TANT QUE N>0 FAIRE

S S + N

N N 1

Afficher la somme S

FIN

7.2.2 Style des nœuds : draw, ellipse, fill, text

Comme dans l’exemple précédent, on va représenter un graphe composé de nœuds reliés par des

flèches. Mais, dans ce cas, il y a plusieurs types de nœuds que l’on désire différencier graphiquement.

On va définir des styles pour chaque type de nœud du diagramme :

— debfin pour les repères de Début et de Fin : ellipse ;

— es pour les Entrées-Sorties : rounded corners ;

— instruct pour les instructions : rectangle ;

— test pour le test : diamond.

\begin{tikzpicture}

\tikzstyle{debutfin}=[ellipse,draw,text=red]

\tikzstyle{instruct}=[rectangle,draw,fill=yellow!50]

\tikzstyle{test}=[diamond, aspect=2.5,thick,

draw=blue,fill=yellow!50,text=blue]

\tikzstyle{es}=[rectangle,draw,rounded corners=4pt,fill=blue!25]

\end{tikzpicture}

On va ensuite placer les éléments en leur attribuant un nom significatif :

\node[debutfin] (debut) at (-2,5) {Début};

\node[es] (lire) at (-2,4) {Lire un entier positif $N$};

\node[test] (test) at (0,0) {$N>0$ \ ?};

\node[instruct] (init) at (-2,2.5) {$S\leftarrow 0$};

\node[instruct] (plus) at (0,-2.5) {$S\leftarrow S+N$};

\node[instruct] (moins) at (0,-3.5) {$N\leftarrow N-1$};


104 CHAPITRE 7. GRAPHES : EXEMPLES

\node[es] (afficher) at (-4,-2) {Afficher la somme $S$};

\node[debutfin] (fin) at (-4,-3) {Fin};

Début

5

Lire un entier positif N

4

S 0

2, 5

N>0 ?

0

Afficher la somme S

Fin

S

S + N

N N 1

2

2, 5

3

3, 5

4 2 0

7.2.3 Forme des flèches : >=, rounded corners, |-

Il suffit de représenter la séquence ordonnée des instructions par des flèches dont le style suite

est d’abord défini :

\tikzstyle{suite}=[->,>=stealth’,thick,rounded corners=4pt]

\draw[suite] (debut) -- (lire);

\draw[suite] (lire) -- (init);

\draw[suite] (init) -- (test.north);

\draw[suite] (test) -- (plus);

\draw[suite] (plus) -- (moins);

\draw[suite] (test) -| (afficher);

\draw[suite] (afficher) -- (fin);

On remarquera en particulier : \draw[suite] (init)--(test.north); le branchement au

sommet du losange de test.

Et aussi : \draw[suite] (test)-|(afficher); le branchement avec virage à angle droit en

sortie du test.


7.2. ORGANIGRAMME INFORMATIQUE 105

Début

Lire un entier positif N

S 0

N>0 ?

Afficher la somme S

Fin

S

S + N

N N 1


(1, 1.5)

Il manque la flèche qui boucle entre l’instruction

N N 1 et le sommet du losange de test.

Comme elle doit contourner la figure par la

droite, on va introduire deux points auxiliaires

rendus visibles ci-contre par ⇥.

On ajoute donc la commande :

\draw[suite] (moins) |- (3,-4.5)

|- (1,1.5) -- (test.north);

N>0 ?

S S + N

N N 1

(3, 4.5)


Il ne reste plus qu’à étiqueter les sorties du losange de test :

\draw[suite] (test) -- (plus)

node[midway,fill=white] {oui};

\draw[suite] (test) -| (afficher)

node[near start,fill=white] {non};


106 CHAPITRE 7. GRAPHES : EXEMPLES

7.2.4 Organigramme final

Début

Lire un entier positif N

S 0

non

N>0 ?

Afficher la somme S

Fin

oui

S S + N

N N 1

Code complet de la figure :

\begin{tikzpicture}

% style des nœuds

\tikzstyle{debutfin}=[ellipse,draw,text=red]

\tikzstyle{instruct}=[rectangle,draw,fill=yellow!50]

\tikzstyle{test}=[diamond, aspect=2.5,thick,

draw=blue,fill=yellow!50,text=blue]

\tikzstyle{es}=[rectangle,draw,rounded corners=4pt,fill=blue!25]

% style des flèches

\tikzstyle{suite}=[->,>=stealth’,thick,rounded corners=4pt]

% placement des nœuds

\node[debutfin] (debut) at (-2,5) {Début};

\node[es] (lire) at (-2,4) {Lire un entier positif $N$};

\node[test] (test) at (0,0) {$N>0$ \ ?};

\node[instruct] (init) at (-2,2.5) {$S\leftarrow 0$};

\node[instruct] (plus) at (0,-2.5) {$S\leftarrow S+N$};

\node[instruct] (moins) at (0,-3.5) {$N\leftarrow N-1$};

\node[es] (afficher) at (-4,-2) {Afficher la somme $S$};

\node[debutfin] (fin) at (-4,-3) {Fin};

% Placement des flèches

\draw[suite] (debut) -- (lire);

\draw[suite] (lire) -- (init);

\draw[suite] (init) -- (test.north);

\draw[suite] (test) -- (plus) node[midway,fill=white]{oui};

\draw[suite] (plus) -- (moins);

\draw[suite] (moins)|-(3,-4.5) |- (1,1.5)--(test.north);

\draw[suite] (test)-|(afficher)node[near start,fill=white]{non};

\draw[suite] (afficher) -- (fin);

\end{tikzpicture}


7.3. DIAGRAMMES SYNTAXIQUES 107

7.3 Diagrammes syntaxiques

7.3.1 Grammaire des expressions mathématiques

Dessiner les diagrammes de définition de la grammaire (simplifiée) des expressions mathématiques

:

— Une Expression est une somme de Termes séparés par + ;

— Un Terme est une produit de Facteurs séparés par ⇥ ;

— Un Facteur est : soit une Variable, soit une Expression entre ( et ) ;

— Une Variable est : soit X, soitY ,soitZ.

Pour le spécialiste, voici cette grammaire, notée en BNF :

Expression ::= Terme {"+" Terme} *

Terme ::= Facteur {"⇥" Facteur} *

Facteur ::= Variable | "(" , Expression , ")"

Variable ::= "X" | "Y " | "Z"

Remarque : pour simplifier on se limite à trois variables et on ne prévoit aucune valeur

numérique. Voici quelques exemples :

X ; X ⇥ Y ; X + Y ; X +(Y ⇥ Z) ; (X + Y ) ⇥ (Z + X)

7.3.2 Alignement des nœuds, étiquetage

On connaît bien maintenant les méthodes de construction de graphes que nous allons appliquer

àceproblème.

On définit différents styles :

— element pour les éléments syntaxiques (Terme Facteur . . .) ;

— terminal pour les élément terminaux de la grammaire (+ ⇥ ...);

— fleche pour les arcs de liaison.

\tikzstyle{element}=[rectangle,draw,fill=white]

\tikzstyle{terminal}=[circle,draw]

\tikzstyle{fleche}=[->,>=stealth’,thick,rounded corners=4pt]

On place ensuite les nœuds en les alignant correctement, puis les arcs orientés pour lier les

différents nœuds.

\begin{tikzpicture}

\node[above right] at (-1,0) {Expression};

\node[element] (T) at (4,0) {Terme};

\node[terminal] (p) at (4,-1) {$+$};

\draw[fleche] (0,0) -- (T); \draw[fleche] (T) -- (8,0);

\draw[fleche] (6,0) |- (p); \draw[fleche] (p) -| (2,0);

\end{tikzpicture}

Expression

Terme

+

De même, on va construire les diagrammes syntaxiques successifs :

Terme

Facteur


108 CHAPITRE 7. GRAPHES : EXEMPLES

\node[above right] at (-1,0) {Terme};

\node[element] (F) at (4,0) {Facteur};

\node[terminal] (m) at (4,-1) {$\times$};

\draw[fleche] (0,0) -- (F); \draw[fleche] (F) -- (8,0);

\draw[fleche] (6,0) |- (m); \draw[fleche] (m) -| (2,0);

Facteur

Variable

( Expression )

\node[above right] at (-1,0) {Facteur};

\node[element] (V) at (4,0) {Variable};

\node[terminal] (po) at (2,-1) {$($};

\node[element] (E) at (4,-1) {Expression};

\node[terminal] (pf) at (6,-1) {$)$};

\draw[fleche] (0,0) -- (V); \draw[fleche] (V) -- (8,0);

\draw[fleche] (1,0) |- (po); \draw[fleche] (po)--(E);

\draw[fleche] (E) -- (pf); \draw[fleche] (pf) -| (7,0);

Variable

X

Y

Z

\node[above right] at (-1,0) {Variable};

\node[terminal] (x) at (4,0) {$X$};

\node[terminal] (y) at (4,-1) {$Y$};

\node[terminal] (z) at (4,-2) {$Z$};

\draw[fleche] (0,0) -- (x); \draw[fleche] (x) -- (8,0);

\draw[fleche] (2,0) |- (y); \draw[fleche] (y) -| (6,0);

\draw[fleche] (1,0) |- (z); \draw[fleche] (z) -| (7,0);

7.3.3 Regroupement de figures : scope et yshift

Les quatre figures ont été construites dans des environnements tikzpicture séparés. On aimerait

maintenant les regrouper en une seule figure.

On pourrait recopier simplement leur code dans un seul environnement tikzpicture :

\begin{tikzpicture}

\node[above right] at (-1,0) {Expression}; ...

\node[above right] at (-1,0) {Expression}; ...

\node[above right] at (-1,0) {Terme}; ...

\node[above right] at (-1,0) {Variable}; ...

\end{tikzpicture}

Malheureusement, dans ce cas, toutes les figures seraient superposées puisque les coordonnées

ont été positionnées à l’origine.

On pourrait alors penser à modifier les coordonnées de tous les nœuds. C’est possible, mais ce

serait long.

On va utiliser une instruction qui permet de décaler chaque figure vers le bas de 2.5 cm par

rapport à la précédente. En fait, il est plus précis de dire : décaler la deuxième figure de 2.5 cm,

la troisième de 5 cm, etc.


7.4. GRAPHE DE PREUVE 109

Le décalage vertical s’obtient avec l’option yshift, etpourpréciseràquellepartieducode

s’applique cette option, on insère le code concerné dans un environnement scope. Lorsque TikZ

applique l’option [yshift=-2.5cm] au point (-1,0), iltraceenfaitlepoint(-1,-2.5), etc.

On applique ensuite à chaque scope les décalages successifs :

[yshift=-2.5cm], [yshift=-5cm], [yshift=-7.5cm].

\begin{tikzpicture}

\node[above right] at (-1,0) {Expression}; ...

\begin{scope}[yshift=-2.5cm]

\node[above right] at (-1,0) {Expression}; ...

\end{scope}

\begin{scope}[yshift=-5cm]

\node[above right] at (-1,0) {Terme}; ...

\end{scope}

\begin{scope}[yshift=-7.5cm]

\node[above right] at (-1,0) {Variable}; ...

\end{scope}

\end{tikzpicture}

Expression

Terme

+

Terme

Facteur


Facteur

Variable

( Expression )

Variable

X

Y

Z

7.4 Graphe de preuve

7.4.1 Résolution d’une équation : 2x +3=7

On veut expliquer, à l’aide d’un schéma, la résolution de l’équation du premier degré : 2x+3 = 7


110 CHAPITRE 7. GRAPHES : EXEMPLES

Résolution de l’équation 2x +3 = 7

On soustrait 3 àchaquemembre 2x +3 3 = 7 3

On simplifie 2x = 4

2x

On divise chaque membre par 2

= 4 2 2

On simplifie x = 2

La solution est S = {2}

On veut présenter le schéma de résolution sous cette forme :

2x +3 = 7

3 3

2x = 4

/2 /2

x = 2

S = {2}

7.4.2 Placement des nœuds : \node (a) at (x,y), below

La figure finale est proposée ci-dessus pour montrer l’objectif à atteindre. En réalité un diagramme

de ce type a été fait à la main au brouillon au préalable. On code ensuite successivement

les différents éléments en procédant par essais et erreurs pour obtenir le résultat voulu.

On va représenter notre équation à l’aide de 3 nœuds en nommant les membres de gauche (g)

et de droite (d). Ainsi les nœuds (g) et (d) pourront être origines des flèches :

\begin{tikzpicture}

\node (g) at (-1.25,4.5) {$2x+3$};

\node at (0,4.5) {$=$};

\node (d) at (1,4.5) {$7$};

\end{tikzpicture}

2x +3 = 7

Un maniaque de la précision remarquera un léger défaut d’alignement du signe égal par rapport

àsapositiondansl’équationstandard: 2x +3=7

Pour corriger ça, on peut penser à l’option [below] que l’on ajoute au nœud égal :

\node[below] at (0,5) {$=$};

2x +3

= 7

Hélas le résultat est pire ! Il faut ajuster la valeur de la descente en procédant par essais successifs

jusqu’à obtenir : [below=-5pt]

2x +3 = 7

On va aussi encadrer les deux membres de l’équation en définissant le style membre qu’on

ajoutera ensuite comme option des nœuds (g) et (d).

\tikzstyle{membre}= [rectangle,draw,thick,dotted]

\node[membre] (g) at (-1.25,4.5) {$2x+3$};

\node[membre] (d) at (1,4.5) {$7$};


7.4. GRAPHE DE PREUVE 111

2x +3 = 7

On peut maintenant compléter le diagramme :

2x +3 = 7

2x = 4

x = 2

S = {2}

Plusieurs ajustements des coordonnées des différents nœuds ont été nécessaires pour obtenir

une disposition satisfaisante et des espacements corrects.

\node[membre] (gg) at (-1,2.5) {$2x$};

\node [below=-5pt] at (0,2.5) {$=$};

\node[membre] (dd) at (1,2.5) {$4$};

\node[membre] (ggg) at (-1,0.5) {$x$};

\node [below=-5pt] (egal) at (0,0.5) {$=$};

\node[membre] (ddd) at (1,0.5) {$2$};

\node[membre] (reponse) at (0,-1) {$S=\{2\}$};

On remarque que l’on a nommé (egal) le nœud contenant le signe égal de l’avant dernière

équation et (reponse) le nœud contenant la dernière équation. En effet, on à l’intention de les relier

par une flèche.

7.4.3 Placement et étiquetage des flèches : ->, midway

On va donc maintenant placer des flèches qui indiquent, à l’aide d’étiquettes, les opérations à

effectuer sur chaque mempbre de l’équation. Par exemple :

\draw[->] (g)--(gg) node[midway]{$-3$};

\draw[->] (d)--(dd) node[midway]{$-3$};

2x +3 = 7

3 3

2x = 4

On a utilisé l’option [->] de la commande \draw pour obtenir une flèche, et l’option [midway]

de node pour placer l’étiquette à mi-chemin de l’origine et de l’extrémité.

La définition pour les flèches et les étiquettes des styles respectifs operation et etiquette

permettent d’améliorer la pointe des flèches et de dessiner des étiquettes sur fond gris clair :

\tikzstyle{operation}=[->,>=latex]

\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=black!20]

\draw[operation] (g)--(gg) node[etiquette]{$-3$};

\draw[operation] (d)--(dd) node[etiquette]{$-3$};


112 CHAPITRE 7. GRAPHES: EXEMPLES

2x +3 = 7

3 3

2x = 4

7.4.4 Flèches courbes : bend, to

2x +3 = 7

3 3

2x = 4

/2 /2

x = 2

S = {2}

\begin{tikzpicture}

\tikzstyle{membre}= [rectangle,draw,thick,dotted]

\tikzstyle{operation}=[->,>=latex]

\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=black!20]

\node[membre] (g) at (-1.25,4.5) {$2x+3$};

\node[below=-5pt] at (0,4.5) {$=$};

\node[membre] (d) at (1,4.5) {$7$};

\node[membre] (gg) at (-1,2.5) {$2x$};

\node [below=-5pt] at (0,2.5) {$=$};

\node[membre] (dd) at (1,2.5) {$4$};

\node[membre] (ggg) at (-1,0.5) {$x$};

\node [below=-5pt] (egal) at (0,0.5) {$=$};

\node[membre] (ddd) at (1,0.5) {$2$};

\node[membre] (reponse) at (0,-1) {$S=\{2\}$};

%flèches

\draw[operation] (g)--(gg) node[etiquette]{$-3$};

\draw[operation] (d)--(dd) node[etiquette] {$-3$};

\draw[operation] (gg)--(ggg) node[etiquette]{$/2$};

\draw[operation] (dd)--(ddd) node[etiquette] {$/2$};

\draw[operation] (egal)--(reponse);

\end{tikzpicture}

Mais on peut faire mieux pour que la figure remplace la solution rédigée.

On va d’abord éviter d’intercaler les étiquettes « 3 »ou«/2 »entreleséquationsetlesplacer,

de chaque côté des équations, comme des commentaires « on soustrait 3 »ou«ondivisepar2 »:

On change la flèche de droite en flèche courbe en remplaçant – par to et en précisant, en option,

l’angle de sortie du nœud, pour l’origine de la flèche, et l’angle d’entrée dans le nœud suivant, pour

l’extrémité.

On décale ensuite les étiquettes, en ajoutant les options left ou right aux nœuds correspondants.


7.4. GRAPHE DE PREUVE 113

\draw[operation] (g) to[out=180,in=180]

node[etiquette,left]{on soustrait $3$} (gg);

\draw[operation] (d) to[out=0,in=0]

node[etiquette,right]{on soustrait $3$} (dd);

\draw[operation] (gg) to[out=180,in=180]

node[etiquette,left]{on divise par $2$}; (ggg)

\draw[operation] (dd) to[out=0,in=0]

node[etiquette,right]{on divise par $2$} (ddd);

2x +3 = 7

on soustrait 3 on soustrait 3

2x = 4

on divise par 2 on divise par 2

x = 2

La position des flèches n’est pas encore tout à fait satisfaisante. On va légèrement modifier les

angles d’entrée et de sortie et préciser les points d’entrée et de sortie des flèches sur les nœuds.

De plus, on peut remonter légèrement la ligne de la troisième équation.

\draw[operation] (g) to[out=200,in=135]

node[etiquette,left]{on soustrait $3$} (gg.north west);

\draw[operation] (d) to[out=0,in=45]

node[etiquette,right]{on soustrait $3$} (dd.north east);

\draw[operation] (gg.south west) to[out=-135,in=180]

node[etiquette,left]{on divise par $2$} (ggg);

\draw[operation] (dd.south east) to[out=-45,in=0]

node[etiquette,right] {on divise par $2$}; (ddd)

on soustrait 3

2x +3 = 7

2x = 4

on soustrait 3

on divise par 2 on divise par 2

x = 2

7.4.5 Exercice d’amélioration

Àtitred’exercice,onlaisseralelecteurpoursuivrel’améliorationdelafigurepourobtenir,par

exemple, la présentation suivante :


114 CHAPITRE 7. GRAPHES : EXEMPLES

2x +3 = 7

on soustrait 3 on soustrait 3

2x +3 3 = 7 3

on simplifie

2x = 4

on divise par 2 on divise par 2

2x

2

=

4

2

on simplifie

Solution :

x =2

S = {2}

7.5 Résumé

On a vu ici des exemples de graphes complexes et le moyen de les réaliser en utilisant les

commandes \node et \draw et leurs différentes options.

On a montré la nécessité de structurer le dessin en plaçant d’abord les nœuds, puis les arcs à

partir d’un modèle fait à la main sur papier au préalable.

Mais on a aussi pris conscience qu’un diagramme se prépare d’abord soigneusement avec un

papier et un crayon. Il faut ensuite le modifier par améliorations successives, à l’aide de corrections

du plus en plus fines.


Chapitre 8

Des figures aux illustrations

8.1 Les anneaux olympiques

Dans cet exemple, la figure est décorative, mais sa construction exige une grande précision

mathématique.

Description des anneaux olympiques

Les cinq anneaux olympiques sont centrés aux points A, B, C, D, et E. Leur rayon et leur

position sont précisés sur le diagramme suivant :

3

2,5

A + 3,2

C

3,2 + 3,2 3,2 + E

3,2

3,2

+

B

+

D

De plus, ils sont en couleur et entrelacés ainsi :

115


116 CHAPITRE 8. DES FIGURES AUX ILLUSTRATIONS

Centre Pays Couleur

A Europe Bleu

B Asie Jaune

C Afrique Noir

D Océanie Vert

E Amérique Rouge

8.1.1 Un anneau : circle, fill, even odd rule

On trace d’abord deux cercles concentriques :

\draw (0,0) circle(2.5) circle(3);

Puis on met une couleur à l’intérieur avec l’option : fill=lightgray

Hélas, ce n’est pas ce que l’on désire. On a déjà vu précédemment que la définition de l’intérieur

d’une région n’est pas simple (voir le manuel : interior rules). Dans le cas présent, l’option à

appliquer est : even odd rule

On peut éviter de tracer les frontières de l’anneau en remplaçant \draw par :

\fill[lightgray,even odd rule] (0,0) circle(2.5) circle(3);

8.1.2 Entrelacer les anneaux : \coordinate, fill et arc

On va maintenant définir et nommer les coordonnées des centres des cercles et tracer les anneaux

:

\coordinate (A) at (-6.4,0);

\coordinate (B) at (-3.2,-3.2);

\coordinate (C) at (0,0);

\coordinate (D) at (3.2,-3.2);

\coordinate (E) at (6.4,0);

\fill[blue,even odd rule] (A) circle(2.5) circle(3);

\fill[yellow,even odd rule] (B) circle(2.5) circle(3);

\fill[black,even odd rule] (C) circle(2.5) circle(3);

\fill[green,even odd rule] (D) circle(2.5) circle(3);

\fill[red,even odd rule] (E) circle(2.5) circle(3);


8.1. LES ANNEAUX OLYMPIQUES 117

On reconnaît bien les anneaux olympiques. Hélas, ils ne sont pas entrelacés, mais placés les uns

sur les autres selon leur ordre de création.

Sur la figure qui suit, on a dessiné des secteurs angulaires de 30° qui repèrent la zone où l’anneau

bleu devrait être au dessus de l’anneau jaune et la zone où l’anneau jaune devrait être au dessus

de l’anneau noir.

Donc, une fois les anneaux superposés normalement, il suffit de dessiner à nouveau, par dessus,

les arcs d’anneaux correspondants aux zones concernées. C’est-à-dire les régions coloriées en gris :

Par exemple, pour entrelacer les deux anneaux bleu et jaune, on va faire passer un arc d’anneau

bleu sur le jaune avec la commande :

\fill[blue] (A) ++(0:3)

arc(0:-30:3) -- ++(-30:-0.5)

arc(-30:0:2.5) -- cycle;


118 CHAPITRE 8. DES FIGURES AUX ILLUSTRATIONS

(A)• 1 arc(-30:0:2.5) • • ++(0:3)


5 2

30°

4


--++(-30:-0.5)

• 3 arc(0:-30:3)

Suivons pas à pas la frontière de la région coloriée :

1. (A) origine

2. ++(0:3) avance, au départ, sans tracer de 3 dans la direction 0°

3. arc(0:-30:3) trace un arc de rayon 3 de 0° à 30°

4. --++(-30:-0.5) trace vers le centre un trait de 0,5 direction 30°

5. arc(-30:0:2.5) trace un arc de rayon 2,5 de 30° à 0°

6. --cycle retour au point de départ 2.

On procède de la même façon pour le recouvrement de la partie jaune en remplaçant l’origine

(A) par le point (B) et les angles de 0° à 30° par l’intervalle des angles de 90° à 60° = 90° 30°.

En résumé : on trace d’abord tous les anneaux, puis ensuite, on retrace la partie des anneaux

entrelacés qui doit être au dessus.

8.1.3 La figure complète : \newcommand

On remarque que le dessin d’un anneau est déterminé par son centre et sa couleur. La partie

de recouvrement est déterminée par son centre, sa couleur et son angle de départ. Il semble donc

naturel d’en faire des commandes :

\newcommand{\anneau}[2]%

{\fill[#2,even odd rule] (#1) circle (2.5) circle (3);}

— #1 est le centre

— #2 est la couleur


8.1. LES ANNEAUX OLYMPIQUES 119

\newcommand{\recouvrement}[3]%

{\fill[#3] (#1) ++(#2:3)

arc (#2:{#2-30}:3) -- ++({#2-30}:-0.5)

arc ({#2-30}:#2:2.5) -- cycle;}

— #1 est le centre

— #2 est la couleur

— #3 est l’angle de départ du recouvrement

On note l’utilisation des calculs dans la définition de cette commande. Pour que cet exemple

fonctionne correctement, il ne faut pas oublier d’inclure dans le préambule \usetikzlibrary{calc},

après avoir chargé le package TikZ (uniquementavecPGF version 2).

On trace alors les anneaux olympiques avec :

\anneau{A}{blue} \anneau{C}{black} \anneau{D}{green}

\anneau{B}{yellow} \anneau{E}{red}

\recouvrement{A}{0}{blue} \recouvrement{B}{90}{yellow}

\recouvrement{C}{0}{black} \recouvrement{D}{90}{green}


120 CHAPITRE 8. DES FIGURES AUX ILLUSTRATIONS

8.2 Diagrammes de Venn

Dans cet exemple, les diagrammes illustrent un sujet mathématique, mais la construction de

ces diagrammes ne demande pas de précision particulière.

Les diagrammes de Venn permettent de faire des schémas d’ensembles. On se limitera à deux

ensembles d’un même référentiel.

On choisit de représenter le référentiel E par un rectangle et les ensembles A et B par des

cercles concourants dans ce rectangle, mais on pourrait aussi choisir de représenter ces ensembles

par d’autres formes quelconques.

On va construire les diagrammes classiques qui représentent : A, B, A[B, A\B, A\B, B \A,

A B et leurs complémentaires dans le référentiel E.

On proposera deux méthodes différentes pour réaliser ces diagrammes.

8.2.1 Ensembles E, A, B : rectangle, circle, \newcommand

Àpartirdel’origineO point d’intersection bas des deux cercles, on placera les centres ⌦ A et

⌦ B à2cmdeO, respectivementà135° et à 45°, commeonlevoitsurlafigure:

\begin{tikzpicture}

\draw (-4,-1) rectangle (4,4); % E

\draw (0,0) ++(135:2) circle (2); % A

\draw (0,0) ++(45:2) circle (2); % B

\end{tikzpicture}


(4, 4)

++(135:2) ⌦ B ⌦ A ++(45:2)

⇥ ⇥

135°

45°

O

⇥ ( 4, 1)

Pour éviter d’avoir à réécrire chaque fois les coordonnées des différents dessins, on propose de

les définir comme des commandes L A TEX qu’ilserafaciled’utiliserensuitedanslescommandes

TikZ. On gagne ainsi du temps à la rédaction, mais surtout, on rend le code plus compréhensible.

On va définir les commandes L A TEX \E, \A et \B pour représenter respectivement les ensembles

E, A et B :

\newcommand{\E}{(-4,-1) rectangle (4,4)}

\newcommand{\A}{(0,0) ++(135:2) circle (2)}

\newcommand{\B}{(0,0) ++(45:2) circle (2)}

Chaque fois que, par exemple, la commande \E sera rencontrée dans le code TikZ, elle sera

remplacée par le texte (-4,-1) rectangle (4,4)

Ainsi, le code \tikz\draw\E\A\B; produit :

Pour l’instant, seuls les contours ont été tracés. Il est possible de les colorier en remplaçant la

commande \draw par la commande \fill.


8.2. DIAGRAMMES DE VENN 121

8.2.2 Coloriage : \fill, color, opacity

Écrire : \fill[cyan] \E; \fill[red] \A; \fill[blue] \B; donne :

A

B

E

Les couleurs sont un peu violentes ! Mais surtout, l’ensemble B qui a été dessiné en dernier,

cache une partie de l’ensemble A.

Pour éclaircir la couleur de E, onvaremplacer \fill[cyan] \E; par

\fill[cyan!50] \E; Hélas, cela provoque une erreur de compilation avec le message :

! Missing \encsname inserted. \penalty

En effet, \fill[cyan] est une abréviation de \fill[color=cyan] qui est permise par la syntaxe

de TikZ, car cyan est reconnu sans ambiguïté comme une couleur par la commande \fill.

Par contre cyan!50 provoque une erreur. Dans ce cas, il est obligatoire d’écrire

\fill[color=cyan!50].

On peut éviter ce type de problème en écrivant systématiquement color= lorsqu’on définit une

couleur.

Pour éviter ensuite le recouvrement de l’ensemble A par l’ensemble B, onpeutdéfinirun

coloriage transparent à l’aide de l’option opacity.

\fill[color=cyan!50] \E;

\fill[opacity=0.5,red] \A;

\fill[opacity=0.5,blue] \B;

E

A

B

8.2.3 Méthode par superposition de couleurs

Dans cette première méthode, le coloriage des régions sera effectué en plusieurs couches. Certaines

zones du dessin seront coloriées plusieurs fois.

Effacer une zone peut être considéré comme la colorier en blanc (la couleur du fond).

A, B et A [ B : \draw et \fill

Le disque de A est simplement colorié dans le rectangle de E :

\draw[cyan] \E; \fill[cyan] \A;

Le complémentaire A est obtenu en coloriant le rectangle de E puis en effaçant le disque de A,

c’est-à-dire en le coloriant en blanc :

\fill[cyan] \E; \fill[white] \A;


122 CHAPITRE 8. DES FIGURES AUX ILLUSTRATIONS

A

A

De même pour les ensembles B et B :

B

B

Pour l’ensemble A [ B, onvasuperposerlesdisquesreprésantantA et B, etpourl’ensemble

A [ B, onferademêmeencoloriantenblanc:

\fill[cyan] \E; \fill[white] \A; \fill[white] \B;

A [ B

A [ B

A \ B, A \ B, B \ A et A B : \clip et scope

Pour l’ensemble A \ B, ilfautcolorieruniquementlapartieducercledeA qui est aussi dans

le cercle de B.

Pour cela, on va utiliser la commande \clip qui définit une région de découpage dans laquelle

les commandes suivantes seront effectuées. On placera le code dans un environnement scope pour

limiter la portée du découpage :

\draw[cyan] \E;

\begin{scope}

\clip \B;

\fill[cyan] \A;

\end{scope}

\fill[cyan] \E;

\begin{scope}

\clip \B;

\fill[white] \A;

\end{scope}

A \ B

A \ B


8.2. DIAGRAMMES DE VENN 123

L’ensemble A \ B et son complémentaire A \ B peuvent se dessiner par simple coloriageeffacement

:

\draw[cyan] \E;

\fill[cyan] \E;

\fill[cyan] \A;

\fill[white] \A;

\fill[white] \B;

\fill[cyan] \B;

A \ B

A \ B

De même pour les ensembles B \ A et B \ A :

B \ A

B \ A

Enfin : A B =(A [ B) \ (A \ B) et on a déjà vu précédemment comment représenter la

réunion et l’intersection :

\draw[cyan] \E;

\fill[cyan] \A;

\fill[cyan] \B;

\begin{scope}

\clip \B;

\fill[white] \A;

\end{scope}

\fill[cyan] \E;

\fill[white] \A;

\fill[white] \B;

\begin{scope}

\clip \B;

\fill[cyan] \A;

\end{scope}

A

B

A

B

8.2.4 Méthode par coloriage entre les frontières

Dans cette seconde méthode, on va d’abord définir les frontières qui entourent les différents

ensembles, puis colorier l’intérieur des régions définies par ces frontières.

Comme on l’a déjà dit précédemment, le mode par défaut de coloriage des régions est l’option

nonzero rule qu’il est inutile de spécifier, l’autre mode qu’il est possible définir est even odd

rule.

La définition de ces modes est compliquée (voir le manuel : interior rules). En particulier, le

mode par défaut tient compte du sens de parcours de la frontière pour déterminer la région à

colorier. Or, quand on trace un rectangle ou un cercle, le sens du tracé est inconnu. Dans ce cas,

le coloriage donne très souvent des résultats inattendus et difficiles à interpréter.


124 CHAPITRE 8. DES FIGURES AUX ILLUSTRATIONS

Conseil : Dès qu’une région est compliquée (en plusieurs morceaux ou avec des trous), il est

très fortement conseillé d’utiliser even odd rule comme option de coloriage. Il faut donc, dans ce

cas, le spécifier explicitement dans chaque commande \fill.

Dans le mode even odd rule, lecoloriagesefaitdefaçonasseznaturelle,l’extérieurestblanc,

l’intérieur est colorié. Il suffit donc de savoir ce qu’on appelle intérieur et extérieur :

— l’espace situé autour de la figure totale est à l’extérieur

— chaque fois qu’on franchit une frontière :

— si on est à l’extérieur on passe à l’intérieur

— si on est à l’intérieur on passe à l’extérieur

Attention : Dans toute cette section even odd rule est explicitement spécifié dans chaque

commande \fill.

Définition des frontières :

rectangle, circle et arc

Les frontières de E, A et B ont été définies précédemment avec les commandes \E, \A et \B.

Le code \tikz\draw\E\A\B; produit :

Nous allons définir, de même pour A [ B, A \ B, A \ B et B \ A, lescommandesrespectives

\AuB, \AnB, \AmB et \BmA.

Pour : A [ B : \draw (0,0) arc(-135:135:2) arc(45:315:2);

Et donc la commande :

\newcommand{\AuB}{(0,0) arc(-135:135:2) arc(45:315:2)}

45°

135°

315°

O

135°

Pour : A \ B : \draw (0,0) arc (-45:45:2) arc (135:225:2);

Et donc la commande :

\newcommand{\AnB}{(0,0) arc (-45:45:2) arc (135:225:2)}

135°

45°

225°

45°

O


8.2. DIAGRAMMES DE VENN 125

Pour : A \ B : \draw (0,0) arc (225:135:2) arc (45:315:2);

Et donc la commande :

\newcommand{\AmB}{(0,0) arc (225:135:2) arc (45:315:2)}

135°

45°

225°

315°

O

Et de même pour B \ A la commande :

\newcommand{\BmA}{(0,0) arc(-135:135:2) arc(45:-45:2)}

Coloriage des régions :

\fill, even odd rule

Maintenant que les frontières sont définies, le coloriage ne pose plus de problème et on va

obtenir les mêmes résultats que précédemment avec :

\draw[cyan] \E;

\fill[cyan] \AuB;

% ou respectivement \AnB \AmB \BmA

Et les complémentaires avec :

\draw[cyan,even odd rule] \E \AuB;

% resp. \AnB \AmB \BmA

Pour l’ensemble A B , on n’a pas défini de frontière particulière. C’est en effet inutile, car

l’option even odd rule permet un coloriage correct en utilisant pour frontière de A B la réunion

de celle de A et de B ainsi :

\draw[cyan] \E;

\fill[cyan,even odd rule]

\A \B;

\fill[cyan,even odd rule]

\E \A \B;


126 CHAPITRE 8. DES FIGURES AUX ILLUSTRATIONS

8.3 Personnages et décors

Dans cet exemple, on a choisi d’illustrer un problème de mathématiques récréatives. Les choix

esthétiques sont ceux de l’auteur, mais on laisse le lecteur libre de refaire la figure selon sa propre

inspiration.

Cœur brisé

Vous venez de plaquer l’ex-amour de votre vie !

Vous l’abandonnez sur la jetée, altitude de ses yeux humides : 4 m et vous ramez irrésistiblement

vers le large, altitude de vos yeux impitoyables : 1 m.

Solution

À quelle distance du rivage échapperez-vous

à son regard déchirant, en disparaissant à l’horizon ?

h

— R est le rayon de la terre ;

— h la hauteur des yeux au dessus du sol ;

R

— d la distance entre l’œil et l’horizon ;

— c la distance au sol (arc de cercle). ↵ R

d

On a cos(↵) = R donc c = R↵ et d = R tan(↵)

R + h

On peut prendre R ⇡ 6365 km, h 1 =0, 001 km, h 2 =0, 004 km.

Comme ↵ est très petit, on a c 1 ⇡ d 1 ⇡ 3, 568 km et c 2 ⇡ d 2 ⇡ 7, 136 km

Donc le cœur est définitivement brisé à environ 15 km

8.3.1 L’océan : \shade, arc, top color, bottom color

On va dessiner un arc avec un grand rayon :

\draw (0,0) arc (105:75:25) -- cycle;

105° 75°

(0, 0)

On peut alors remplacer la commande \draw, lacommande\shade pour colorier l’océan et définir

les couleurs des dégradés, par exemple les options : top color=blue et bottom color=lightgray


8.3. PERSONNAGES ET DÉCORS 127

8.3.2 Le quai : \fill, rectangle, rotate

Le quai est un rectangle : \fill (0,0)rectangle(1,0.2);

Il suffit de le tourner un peu en ajoutant l’option [rotate=12] pour le mettre en place à gauche

de l’image :

8.3.3 Les personnages : \fill, ellipse, circle

Les personnages sont de petites silhouettes constituées d’une ellipse et d’un cercle dessinés avec

la commande \fill, etdontlesdimensionsontétérenduessatisfaisantesavecquelquesessais:

\fill (0,0)ellipse(0.12 and 0.25) (0,0.35)circle(0.1);

Quelques essais sont encore nécessaires pour placer le personnage sur le quai à l’aide des options

[rotate=12,shift={(0.8,0.3)}] :

Le second personnage rame dans une barque que nous allons d’abord dessiner avant de l’y

placer.

\fill (0,0)--(1,0)--(1.1,0.2)--(-0.1,0.1)--cycle;% barque

\draw[line width=2pt] (-0.2,0.4)--(0.5,0.2)--(1.2,0.4);% rames

On ajoute le personnage en l’inclinant légèrement pour produire un effet plus dynamique :

\fill[shift={(0.5,0.25)},rotate=-10] % personnage

(0,0)ellipse(0.12 and 0.25) (0,0.35)circle(0.1);

Il n’y a plus qu’à le placer la barque au large en insérant les instructions précédentes dans un

environnement scope avec les options appropriées :

\begin{scope} [shift={(11,0.4)},rotate=-10]

% ...

\end{scope}

Il faut bien insister sur le fait que pour arriver à placer correctement les différents éléments du

dessin, de nombreux essais ont été nécessaires.

8.3.4 Le cœur : \draw, .. controls and ..

Pour dessiner une figure quelconque, on peut utiliser des courbes de Bézier. Une courbe de

Bézier est définie à l’aide de quatre points de contrôle :

— A, lepointdedépartdelacourbe;

— S, lepointtelqueAS est la tangente à la courbe en A ;

— T ,lepointtelqueBT est la tangente à la courbe en B ;

— B, lepointd’arrivéedelacourbe.


128 CHAPITRE 8. DES FIGURES AUX ILLUSTRATIONS

\draw (A) .. controls (S) and (T) .. (B);

S

T

⇥ A


B

Une fois les points A et B placés, on peut modifier la courbure en jouant de façon assez intuitive

avec les points S ou T .OnmontreicideuxdéplacementsdupointT et l’effet produit sur la courbe :

S

T

S

T

⇥ A


B

⇥ A


B

On peut considérer que plus AS ou BT sont longs, plus la courbe colle à la tangente. On

constate donc que les déplacements des points de contrôle S est T ont un effet global sur la forme

de la courbe, mais sans en déplacer les extrémités A et B.

Une autre syntaxe permet de définir les vecteurs tangents ! u = AS ! et ! v = BT ! en coordonnées

relatives par rapport à A et B respectivement :

\draw (A) .. controls +(u) and +(v) .. (B);

u

v

A

B

On peut maintenant construire des formes complexes constituées d’arcs de Bézier raccordés

bout à bout. Si, de plus, on aligne les vecteurs tangents aux extrémités communes, on obtient

facilement des courbes lisses.

Par exemple, on peut commencer à dessiner un cœur ainsi :

\draw (0,0) ..controls +(0,2) and +(0,2).. (3,0); % arc 1

\draw (3,0) ..controls +(0,-2) and +(0,2).. (0,-4); % arc 2

+(0, 2)

1

+(0, 2)

(0, 0)

(3, 0)

+(0, 2)

2 +(0, 2)

(0, 4)


8.3. PERSONNAGES ET DÉCORS 129

En ajoutant deux arcs supplémentaires, on complète le cœur avec une symétrie par rapport à

l’axe vertical : \draw[fill=red] (0,0) ... cycle;

4

1

( 3, 0)

(0, 0)

(3, 0)

3

2

(0, 4)

8.3.5 Cœurs multicolores : \shift, rotate, ball color

Les options de la commande \draw peuvent être modifiées pour changer l’aspect du cœur,

comme par exemple :

\draw [scale=0.25,rotate=45,ball color=blue]

(0,0) .. controls +(0,2) and +(0,3) .. (3,0)

.. controls +(0,-2) and +(0,2) .. (0,-4)

.. controls +(0,2) and +(0,-2) .. (-3,0)

.. controls +(0,2) and +(0,2) .. (0,0);

On va donc créer une commande ayant pour paramètres les options de la commande \draw et

faire appel à cette commande plusieurs fois, pour dessiner les cœurs à des endroits différents avec

des orientations différentes :

% Commande \coeur

\newcommand{\coeur}[1][fill=red] % rouge par défaut

{\draw [#1] (0,0)

.. controls +(0,2) and +(0,2) .. (3,0)

.. controls +(0,-2) and +(0,2) .. (0,-4)

.. controls +(0,2) and +(0,-2) .. (-3,0)

.. controls +(0,2) and +(0,2) .. (0,0);}

% Dessin

\coeur[shift={(1.3,2)},ball color=red,scale=0.35]

\coeur[shift={(0.3,1.8)},ball color=orange,scale=0.2,rotate=35]

\coeur[shift={(2.2,1.6)},ball color=magenta,scale=0.2,rotate=-20]

\coeur[shift={(1.8,2.5)},ball color=green,scale=0.25,rotate=-25]

\coeur[shift={(2.7,2.1)},ball color=yellow,scale=0.15,rotate=10]

(0, 0)•


130 CHAPITRE 8. DES FIGURES AUX ILLUSTRATIONS

8.3.6 La figure complète : scope, shift, rotate

On regroupe enfin tous les éléments pour obtenir l’illustration de l’énoncé du problème :

8.3.7 La solution : scope, shift, rotate

La figure proposée dans la solution est une figure géométrique classique qu’il sera facile de

réaliser à titre d’exercice.

Pour simplifier les calculs d’angles et de coordonnées, dessinons un demi-triangle équilatéral :

45°

h

(5,

5

p

3

)

R

d

↵= 30° R

(0, 0) (5, 0)

\begin{tikzpicture}

% angle alpha

\draw[->,red,>=stealth’] (1.5,0) arc (0:30:1.5);

\draw[red] (15:1.5) node[right]{$\alpha$};

% angle droit

\draw (4.5,0)|-(5,0.5);

% triangle

\draw[thick] (0,0)-- node[pos=0.6,above]{$R$} (5,0)

-- node[midway,right]{$d$} (5,{5/sqrt(3)})

-- node[pos=0.1,above]{$h$}

node[pos=0.5,above left]{$R$}(0,0);

% arcs

\draw[blue,thick,dashed] (0:5) arc (0:-15: 5);

\draw[blue,thick] (0:5) arc (0:30: 5);

\draw[blue,thick,dashed] (30:5) arc (30:45: 5);

\end{tikzpicture}

8.4 Résumé

On a vu dans ce chapitre comment dessiner des figures complexes en composant des lignes

élémentaires comme rectangle, circle, arc ou en utilisant des courbes de Bézier. Les courbes

dessinées peuvent être les frontières de régions qu’il est possible de colorier avec fill.

Ainsi TikZ permetnonseulementdeconstruiredesfigurespurementgéométriquesdegrande

précision, mais il peut aussi permettre de réaliser certains travaux d’illustration.

15°


Chapitre 9

Compléments techniques

9.1 Transformations avec scope

On va étudier ici l’effet des options de transformation xshift, yshift, shift, scale et rotate,

sur une même figure, que l’on désire dessiner plusieurs fois sur un diagramme unique, à des positions

différentes.

Pour cela, on placera cette figure dans sa position d’origine, en écrivant son code dans un

environnement tikzpicture, eteninsérantunecopiedececodedansunenvironnementscope,

contrôlé par des options de transformation.

Les exemples suivants seront donc tous rédigés sur ce modèle :

\begin{tikzpicture}

% code de la Figure

\begin{scope} []

% code de la Figure

\end{scope}

\end{tikzpicture}

Voici la petite figure qui va nous servir à visualiser les transformations. Elle est inscrite dans

un rectangle de 1,5 cm sur 2 cm de côtés :

(1.5, 2)

(0, 1)

(0, 0)

(1, 0)

\begin{tikzpicture}

% code de la Figure

\draw [,>=stealth’] (1,0) -- (0,0) -- (0,1);

\draw[thick] (1.5,0) -- (0,2) -- (1.5,2) -- cycle;

\end{tikzpicture}

Les transformations dont il est question ici sont appliquées au repère dans lequel sont exécutées

les commandes TikZ quiconstruisentlafigure.Lafiguresembledoncsubirlesmêmestransformations,

mais il s’agit en réalité de changement du repère dans lequel est dessinée la figure. Il faut

donc faire attention à l’ordre dans lequel sont effectuées ces transformations.

9.1.1 Translations : xshift, yshift ou shift

Pour éviter de superposer les deux dessins, on va d’abord effectuer une translation en utilisant

une des options xshift, yshift ou shift :

131


132 CHAPITRE 9. COMPLÉMENTS TECHNIQUES

(0, 0)

[xshift=6cm]

[yshift=35mm]

[shift={(6cm,35mm)}]

(0, 0)

(0, 0)

On remarquera que dans le cas de l’option shift=, lescoordonnéesduvecteurdetranslation

doivent être insérées entre des accolades. Ceci est nécessaire, car la virgule qui sépare les coordonnées

ne doit pas être interprétée comme un séparateur d’options.

On va maintenant montrer comment faire tourner ou dilater la figure. Dans tous les cas suivants,

on utilisera au préalable l’option xshift=6cm pour éviter la superposition des deux figures.

9.1.2 Combinaison de translation et rotation : [xshift=6cm,rotate=45]]

L’option rotate= attend pour paramètre l’angle de la rotation en degrés :

(0, 0)

xshift=6cm

rotate=45

Attention : On conseille vivement de toujours écrire en premier l’option de translation

(xshift, yshift ou shift), mais ce n’est pas obligatoire.

En effet le centre de la rotation est l’origine actuelle, c’est-à-direl’originedelafigureaprès

qu’elle ait subi le xshift=6cm dans l’exemple précédent.

Mais si on effectue la rotation en premier, le centre est l’origine (0, 0) de départ. Dans ce cas la

translation suivante est alors effectuée dans un repère ayant déjà subi la rotation.

Voici ce que donne : \begin{scope}[xshift=6cm,rotate=30]

(0, 0)

xshift=6cm

rotate=30


9.1. TRANSFORMATIONS AVEC SCOPE 133

Si on le compare à : \begin{scope}[rotate=30,xshift=6cm]

xshift=6cm

(0, 0)

rotate=30

on constate que l’ordre des options est important et le résultat est plus difficile à interpréter dans

le second cas.

Il est donc plus facile de toujours faire la translation en premier. Le résultat final est alors plus

facile à comprendre.

9.1.3 Translation et changement d’échelle : [xshift=6cm,scale=0.5]

Le changement d’échelle est une homothétie, appliquée au repère dans lequel sont exécutées

les commandes de construction de la figure, ce qui provoque effectivement une modification de la

taille de la figure.

L’option scale= attend pour paramètre le rapport d’homothétie :

scale=0.5

(0, 0)

xshift=6cm

Attention : On conseille, comme dans le cas précédent, de toujours écrire en premier une

option de translation (xshift, yshift ou shift) bienquecenesoitpasobligatoire.

En effet le centre de l’homothétie est l’origine actuelle, c’est-à-direl’originedurepèredans

lequel est tracée la figure après qu’elle ait subi le xshift=6cm dans l’exemple précédent.

Si on on effectue l’homothétie en premier, le centre est l’origine (0, 0) de départ. Dans ce cas

la translation suivante est alors effectué dans un repère ayant déjà subi l’homothétie et dont les

unités ont été multipliées par le rapport d’homothétie.

Voici ce que donne : \begin{scope}[xshift=5cm,scale=1.5]

scale=1.5

(0, 0)

xshift=5cm

Si on le compare à : \begin{scope}[scale=1.5,xshift=5cm]


134 CHAPITRE 9. COMPLÉMENTS TECHNIQUES

(0, 0)

xshift=5cm ⇥1.5 =7.5cm

on constate, comme précédemment avec la rotation, que l’ordre des options est important et le

résultat est toujours surprenant dans le second cas.

On a vu, sur les exemples, que le coefficient de l’option scale (rapport d’homothétie), peut

être inférieur à 1, pour rétrécir, ou supérieur à 1, pour dilater la figure. Il peut aussi être négatif.

On peut evidemment composer les trois transformations, translation en premier, homothétie et

rotation ensuite dans un ordre quelconque.

Par exemple : \begin{scope}[xshift=6cm,rotate=60,scale=2.25]

scale=2.25

(0, 0)

xshift=6cm

rotate=60

Les options [xshift=6cm,scale=2.25,rotate=60], écritesdanscetordre,donnentlamême

figure.

Attention : Toutes ces options de transformation s’appliquent au repère dans lequel sera tracée

la figure définie dans l’environnement scope, c’est-à-direquelestransformationsontuneffetsur

l’ensemble des chemins (path) dessinés(draw). Par contre, ces transformations n’ont aucun effet

sur l’épaisseur des traits, sur la taille ou l’inclinaison des textes contenus dans les nœuds (node)

qui annotent éventuellement la figure.

9.1.4 Épaisseur des traits : \draw et line width

Attention : En première lecture, vous pouvez ignorer ce paragraphe assez technique. Par

contre si vous avez l’intention de faire des transformations précises sur des figures dans lesquelles

les traits ont des épaisseurs différentes, il sera nécessaire de le lire attentivement.

On va considérer une figure de référence qui ressemble à la précédente, mais avec des traits

d’épaisseurs différentes :

\draw [,>=stealth’] (1,0) -- (0,0) -- (0,1);

\draw[very thick] (0,2) -- (1.5,2) -- (1.5,0);

\draw[line width=3mm,color=blue!50] (0,2) -- (1.5,0);

Elle est située à gauche et a été reproduite deux fois avec des options scale différentes pour

chaque environnement scope :


9.1. TRANSFORMATIONS AVEC SCOPE 135

[line width=3mm]

[very thick]

[scale=2.5]

[scale=0.5]

On constate que la forme de la figure a été transformée à l’exception de l’épaisseur des traits

qui est restée constante. L’homothétie porte sur les chemins (path) dessinéspar\draw mais pas

sur leur épaisseur définie par des options de la commande \draw.

L’épaisseur du trait peut être définie avec l’option line width= suivie d’une dimension, ou

avec une des options suivantes : ultra thin (0.1pt), very thin (0.2pt), thin (qui est line

width=0.4pt épaisseur par défaut si aucune option n’est spécifiée), semithick (0.6pt), thick

(0.8pt), very thick (1.2pt) etultra thick (1.6pt)

Si on veut obtenir des figures semblables, il faut modifier le code situé à l’intérieur de l’environnement

scope pour définir l’épaisseur de chaque trait en multipliant l’épaisseur originale par le

coefficient de l’option scale.

Dans le cas où l’environnement scope est contrôlé par [scale=0.5], toutecommandedela

forme : \draw[line width=] ...; où est une dimension, sera remplacée par :

\draw[line width={0.5*}] ...;

Par exemple :

\draw ...; par \draw[line width={0.5*0.4pt}] ...;

\draw[very thick] ...; par \draw[line width={0.5*1.6pt}] ...;

\draw[line width=3mm] ...; par \draw[line width={0.5*3mm}] ...;

Ne pas oublier d’insérer les calculs entre accolades.

Maintenant, le changement d’échelle est appliqué à la figure complète (épaisseur des traits

comprise). Voici ce que donnera, après correction, notre figure :

[scale=2.5]

[scale=0.5]

Remarque : Pour que cet exemple fonctionne correctement, il ne faut pas oublier d’inclure

dans le préambule \usetikzlibrary{calc} après avoir chargé le package TikZ (uniquementavec

PGF version 2).


136 CHAPITRE 9. COMPLÉMENTS TECHNIQUES

9.1.5 Taille et inclinaison de textes : transform shape

Attention : En première lecture, vous pouvez ignorer ce paragraphe qui est assez technique.

Par contre si vous avez l’intention de faire des transformations précises sur des figures contenant

de nombreuses annotations textuelles, il sera nécessaire de le lire attentivement.

On va considérer une figure de référence qui ressemble à la précédente, mais avec des annotations

textuelles variées en taille et en orientation :

\draw [,>=stealth’] (1,0) -- (0,0) -- (0,1);

\path (1.5,2) node{$\oplus$}

node[left,scale=1.5,rotate=45]{Texte};

et lui faire subir deux transformations :

node{$\oplus$}

Texte

node[scale=1.5,rotate=45]

[scale=0.5]

[scale=2]

Texte Texte

30°

On constate que la forme de la figure a été transformée et que les annotations textuelles sont

correctement placées, mais elles ont conservé la même taille et la même inclinaison. Laplupart

du temps, on veut simplement modifier la taille de la figure et c’est donc tout à fait satisfaisant,

les annotations gardent une taille assortie à celle du texte qui accompagne la figure.

Par contre, si on a l’intention de montrer une image réduite ou dilatée du diagramme avec

des texte proportionnels correctement inclinés, il va falloir ajouter à la figure l’option [transform

shape] qui va faire subir aux nœuds les transformations définies dans les environnements {scope} :

Texte

Texte

Texte

On remarque qu’on a bien obtenu des figures de formes semblables, textes compris. Seule

l’épaisseur des trais est restée constante.


9.2. AU SUJET DES ARBRES 137

9.1.6 Exercice

Àtitred’exercice,faitessubirunquartdetourettriplezlafigure.

Texte

Solution

\begin{tikzpicture} [scale=3,rotate=90,transform shape]

\draw[,>=stealth’,very thick] (1,0)--(0,0)--(0,1);

\path (1.5,2) node{$\oplus$}

node[left,scale=1.5,rotate=45]{Texte};

\end{tikzpicture}

9.2 Au sujet des arbres

En mathématiques, la structure d’arbre est un cas important de la théorie des graphes. TikZ

propose de nombreuses opérations spécifiques pour la construction des arbres.

Nous allons montrer sur un exemple vu précédemment sous forme d’exercice, comment dessiner

d’un arbre généalogique :

% définition des styles

\tikzstyle{lien}=[->,>=stealth,rounded corners=5pt,thick]

\tikzset{individu/.style={draw,thick,fill=#1!25},

individu/.default={green}}

% définition de l’arbre

\begin{tikzpicture}

\node[individu] (B) at (0,0) {Bibi};

\node[individu=blue] (P) at (-3,2) {Papa};

\node[individu=red] (M) at (3,2) {Maman};

\node[individu=blue] (GPP) at (-4.5,4) {Pépé};

\node[individu=red] (GMP) at (-1.5,4) {Mémé};

\node[individu=blue] (GPM) at (1.5,4) {Papy};

\node[individu=red] (GMM) at (4.5,4) {Mamie};

\draw[lien] (B) |- (-1,1) -| (P);

\draw[lien] (B) |- (1,1) -| (M);

\draw[lien] (P) |- (-4,3) -| (GPP);

\draw[lien] (P) |- (-2,3) -| (GMP);

\draw[lien] (M) |- (2,3) -| (GPM);

\draw[lien] (M) |- (4,3) -| (GMM);

\end{tikzpicture}


138 CHAPITRE 9. COMPLÉMENTS TECHNIQUES

Pépé Mémé Papy Mamie

Papa

Maman

Bibi

On va d’abord rappeler le vocabulaire usuel concernant les arbres.

Ci-dessus, le nœud « Bibi » est la racine de l’arbre. Ce nœud « Bibi » a deux nœuds fils : le

nœud « Papa » et le nœud « Maman ». Les nœuds terminaux, ou feuilles de l’arbre, sont donc les

nœuds « Pépé », « Mémé », « Papy » et « Mamie ».

Remarque : Cet arbre représente les ancêtres de Bibi, donc, du point de vue mathématique,

Papa et Maman, les parents de Bibi, sont bien les nœuds fils du nœud « Bibi », au sens de la

structure d’arbre, demêmeque«Papy»et«Mamie»sontmathématiquementdeuxnœuds frères

du nœud parent «Maman».

9.2.1 Définition : \node node et child

Si on définit un nœud avec la commande \node, l’opérationchild permet de lui associer des

fils sous la forme suivante :

\node {Racine} child{ node{Fils1}...} child{ node{Fils2}...};

et ceci de façon récursive.

On peut donc définir l’exemple précédent ainsi :

\begin{tikzpicture}

\node [individu] {Bibi}

child { node [individu=blue]{Papa}

child { node [individu=blue]{Pépé} }

child { node [individu=red]{Mémé} }

}

child { node [individu=red]{Maman}

child { node [individu=blue]{Papy} }

child { node [individu=red]{Mamie} }

};

\end{tikzpicture}

Bibi

Papa

Maman

Pépé

Mémé Papy

Mamie

On remarque que les nœuds ont été définis avec leur place dans l’arbre, les arcs ont été automatiquement

tracés. Par contre la distance entre les frères est par défaut toujours la même et au

second niveau, les nœuds se superposent.


9.2. AU SUJET DES ARBRES 139

9.2.2 Espacement des frères : sibling distance

Une option de l’opération child permet de modifier cette distance entre frères : sibling

distance. Parexempleàlaracine:

\node [individu]{Bibi} [sibling distance=3cm] ...

Bibi

Papa

Maman

Pépé

Mémé Papy

Mamie

On constate hélas que si la distance entre frères a augmenté, il y a toujours superposition au

second niveau car l’option sibling distance propage son effet sur tous les sous-arbres. Il faut

donc redéfinir cette option à chaque étage en faisant varier la distance selon le niveau, par exemple :

\node [individu] {Bibi} [sibling distance=6cm]

node [individu=blue]{Papa} [sibling distance=3cm]

node [individu=red]{Maman} [sibling distance=3cm]

Bibi

Papa

Maman

Pépé

Mémé

Papy

Mamie

Construire un arbre est toujours une tâche assez délicate. En pratique, il est toujours nécessaire

de bien réfléchir pour fixer correctement la sibling distance, etcela,àtouslesniveaux.

Heureusement, il existe des noms de style créés automatiquement lors de la construction d’un

arbre et que l’on peut définir globalement, ce qui évite de le faire sur chaque fils à chaque niveau.

Le style level s’applique à l’arbre entier. Les styles level 1, level 2, etc.s’appliquentrespectivement

aux fils de niveau 1, 2, etc.

On obtient exactement le même arbre en supprimant, sur tous les nœuds où on les avait mises,

les options sibling distance, àconditiondedéfinirglobalementpourlafigurelesstyleslevel

1 et level 2 :

\begin{tikzpicture}

[level 1/.style={sibling distance=6cm},

level 2/.style={sibling distance=3cm}]

\node [individu] {Bibi}

child{ node [individu=blue]{Papa}

% etc.

}

child{ node [individu=red]{Maman}

% etc.

};

\end{tikzpicture}


140 CHAPITRE 9. COMPLÉMENTS TECHNIQUES

9.2.3 Forme globale : level distance et grow

On peut aussi préciser la distance entre les niveaux avec l’option level distance et modifier

la direction de croissance de l’arbre avec une des options grow ou grow’

— grow=down :lesfilssontau-dessousdupère,degaucheàdroite(grow’ :dedroiteàgauche)

(valeur par défaut)

— grow=up :lesfilssontau-dessusdupère,dedroiteàgauche(grow’ :degaucheàdroite)

— grow=right :lesfilssontàdroitedupère,debasenhaut(grow’ :dehautenbas)

— grow = left :lesfilssontàgauchedupère,dehautenbas(grow’ :debasenhaut)

Par exemple : \node{Bibi} [grow’=up,level distance=2cm,sibling distance=6cm]

sibling distance=3cm

level 2

Pépé

Mémé

sibling distance=3cm

level 2

Papy

Mamie

Papa

sibling distance=6cm

level 1

Bibi

Maman

level distance=2cm

9.2.4 Étiquetage des arcs : edge from parent

Parfois, il peut être utile de placer des textes sur les arcs. L’opération edge from parent,

placée à la fin de la définition d’un fils (child), si elle est suivie de nœuds (node), place les textes

de ces nœuds sur l’arc reliant le fils à son parent, comme le montre la figure suivante :

Pépé

Mémé

Papy

Mamie

# Descendant

Papa

Maman

Ancêtre "

Bibi

Pour bien comprendre la figure obtenue ci-dessus, lire attentivement le code suivant qui a permis

de placer les textes sur les arcs :

\node [individu] {Bibi}

child{ node [individu=blue]{Papa}

child{ node [individu=blue]{Pépé}

edge from parent node{$\downarrow$ Descendant}

}

child{node [individu=red]{Mémé}}

edge from parent node[below left]{Ancêtre $\uparrow$}

}

child{ node [individu=red]{Maman}

child{node [individu=blue]{Papy}}

child{node [individu=red]{Mamie}}

};


9.3. LIAISONS ENTRE FIGURES : OVERLAY 141

9.2.5 Style des arcs : edge from parent path

Pour finir on va montrer comment on peut modifier le tracé et le style des arcs reliant les nœuds.

L’option edge from parent path permet de définir l’arc comme un chemin quelconque. Pour

faire référence aux nœuds origine et extrémité du chemin, on peut utiliser les commandes respectives

\tikzparentnode et \tikzchildnode, parexempleonpeutdéfinircommeoptionde

l’environement tikzpicture :

[edge from parent path={[->,>=stealth’,thick]

(\tikzparentnode) to [out=90,in=-90] (\tikzchildnode)}]

Pépé

Mémé

Papy

Mamie

Papa

Maman

Bibi

Les nombreuses autres opérations sont disponibles dans TikZ pouraméliorerlareprésentation

des arbres, mais elle sortent du cadre de cet ouvrage.

On conseille donc au lecteur qui voudrait dessiner des arbres complexes de se reporter au manuel

de référence.

9.3 Liaisons entre figures : overlay

Parfois on peut avoir envie de montrer du doigt certains points remarquables d’une figure.

Pour cela, on veut en général écrire, en dehors de la figure, dansletexted’accompagnement,des

commentaires relatifs à des points particuliers désignés sur la figure.

Par « en dehors de la figure » on veut dire, dans la page L A TEX, mais en dehors de l’environnement

tikzpicture qui définit la figure. On peut aussi dessiner sur la page des liens entre deux

environnements tikzpicture distincts définissant deux figures différentes.

Voici, dans le cadre ci-dessous, un exemple contenant du texte L A TEX et quatre figures TikZ

dont deux visibles :

— la première figure est le parallélogramme ;

— la seconde est le couple de flèches.

Les deux autres figures TikZ sontinvisibles,cesontdesnœudsquirepèrentsimplementles

origines des flèches dans le texte L A TEX.

Cette figure est un parallélogramme.


Ce point est le milieu des diagonales de ce parallélogramme.

Les extrémités des flèches sont des nœuds situés dans quatre figures TikZdifférentesetnommés:


142 CHAPITRE 9. COMPLÉMENTS TECHNIQUES

(figure) ,lepointsituéentrelesmots«figure»et«est»delapremièrelignedetexte;

(parallelogramme) ,lesommetnord-ouestduparallélogramme;

(centre) ,lecentreduparallélogramme;

(point) ,lepointsituéentrelesmots«point»et«est»delalignedetextequisuitlafigure.

On veut pouvoir dessiner les flèches avec les instructions suivantes :

\draw [->] (figure) to[bend right,thick] (parallelogramme);

\draw [->] (point) to[bend left,thick,dashed] (centre);

Deux questions se posent :

— comment peut-on définir les nœuds (figure) et (point) ?

— comment partager des noms de nœuds entre différentes figures ?

(en effet, on sait que la portée d’un nom est limitée à la figure dans laquelle il est défini)

9.3.1 Définitions globales des noms : remember picture

Pour définir le nœud (figure), il faut insérer une figure TikZ entrelemot«figure»etlemot

«est»delapremièrelignedetexte,etpourrendrelaportéedecenomglobale,ilfautajouter

l’option [remember picture].

Cette figure \tikz[remember picture]\coordinate(figure); est un

On procède de même pour le nœud (point) :

Ce point \tikz[remember picture]\coordinate(point); est le milieu

Ces deux figures TikZ ne dessinent rien sur les lignes de texte. C’est pour cela qu’on les a

appelées figures invisibles.

La figure elle-même ne pose pas de problème. On a simplement défini deux points, le centre

(centre) et le point (parallelogramme) le sommet en haut à gauche du parallélogramme, et

pour rendre la portée de ces noms globale il faut aussi ajouter l’option [remember picture]

\begin{tikzpicture} [remember picture]

\draw (-3,-2)--(3,2) (-2,1)--(2,-1);

\draw[thick] (-3,-2)--(2,-1)--(3,2)--(-2,1)--cycle;

\node (centre) at (0,0){$\bullet$};

\node (parallelogramme) at (-2,1){};

\end{tikzpicture}

9.3.2 Dessiner d’une figure à l’autre : overlay

Les flèches sont ensuite dessinées par dessus la figure et le texte dans une nouvelle figure définie

avec les deux options [remember picture,overlay]. Lapremière,remember picture, indique

qu’il faut utiliser les noms globaux, la seconde, overlay, indiquequelafigureseradessinéeen

surimpression sur la page. Le code suivant peut être placé n’importe où, à condition que ce soit

après la définition des noms utilisés :

\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]

\draw [->] (figure) to[bend right,thick] (parallelogramme);

\draw [->] (point) to[bend left,thick,dashed] (centre);

\end{tikzpicture}

Attention : La mise en place d’une figure avec les options overlay et remember picture

exige au moins deux compilations du texte source.

En général, après la première compilation, les parties définies avec l’option overlay sont mal

placées sur la page. Il ne faut pas s’en inquiéter, le résultat satisfaisant sera obtenu après une autre

compilation.


9.4. RÉSUMÉ 143

9.3.3 La page courante est un nœud : current page

TikZ fournitunnomdenœudspécialcurrent page qui donne accès à la page courante sous

la forme d’un rectangle qui représente la page complète. C’est un rectangle dont chaque sommet

apourcordonnéesundescoinsdelapage.Onpeutdonc,àpartirdecenœud,définirn’importe

quelle position absolue sur la page courante.

On peut par exemple écrire TikZ aucentredelapageaveclecodesuivant:

\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]

\node [rotate=60,scale=10,text opacity=0.3]

at (current page.center) {Ti\textit{\color{orange}k}Z};

\end{tikzpicture}

Attention : Il est parfois difficile de comprendre quelle est la page courante, car la mise en

page est faite automatiquement par L A TEX.

Si le dessin ne se situe pas dans la page prévue, on peut essayer de déplacer le code de la figure

dans le texte source, ou forcer un saut de page à l’aide de la commande \newpage, etcompilerà

nouveau deux fois.

9.4 Résumé

On a ajouté ici des précisions sur l’utilisation de l’environnement scope qui permet d’insérer

une sous-figure dans une figure. L’effet des options xshift, yshift, shift, scale et rotate sur

l’épaisseur des traits et sur les annotations textuelles a été étudié en détail.

On a présenté, sur un exemple simple, quelques uns des outils de base que TikZ fournitspécifiquement

pour la construction de graphes de type arbre.

On a aussi montré comment il est possible d’écrire n’importe où sur une page et créer des liens

entre différentes figures définies et le texte du document, à l’aide des options remember picture

et overlay.

TikZ


Annexe A

La syntaxe de TikZ

La syntaxe de TikZ admetdenombreusesconstructionsspécialisées,avecparfoisdesraccourcis

et des exceptions, et il peut être difficile de s’y retrouver. Pour cela il peut être bon de classer

les formes syntaxiques en grandes catégories : environnements, commandes, options, opérations de

chemin, coordonnées.

Toutes ces catégories se retrouvent dans l’exemple suivant, qui trace un triangle en pointillés :

\begin{tikzpicture}

\draw [dashed] (0,0) node[below]{O} -- (1,1) -- (2,0) -- cycle;

\end{tikzpicture}

O

{tikzpicture} est un environnement, \draw est une commande, [dashed] est une option,

(0,0) est un couple de coordonnées, node est une opération de chemin avec une option [below]

et un argument {O}, -- est une opération de chemin avec un argument (1,1) , -- cycle est aussi

une opération de chemin.

A.1 Les environnements : {tikzpicture}, {scope}

TikZ nedéfinitquedeuxenvironnementsausensdeL A TEX :{tikzpicture} et {scope}. Le

premier est utilisé chaque fois qu’on veut insérer une figure TikZ dansundocumentL A TEX, le

deuxième peut être utilisé à l’intérieur du précédent pour définir un contexte ayant ses propres

options graphiques.

A.2 Les commandes

Ce sont des commandes au sens de L A TEX, qui se reconnaissent à ce qu’elles commencent par

le caractère \.

Commandes utilisables dans tout le document

Certaines commandes peuvent être utilisées dans le document L A TEX endehorsdel’environnement

{tikzpicture}.

Ce sont :

\usetikzlibrary

Pour charger, au début, dans le préambule du document, certaines bibliothèques TikZ utiles

comme : arrows, patterns ou calc.

Par exemple : \usetikzlibrary{patterns, arrows}

145


146 ANNEXE A. LA SYNTAXE DE TIKZ

\tikzset

Pour définir des options globalement dans tout le document.

Par exemple : \tikzset{rougegris/.style={draw=gray,fill=red}}

Appliquée à un nœud, cette option encadrera le nœud en gris et coloriera l’intérieur en

rouge. Par exemple : node[rougegris]{texte}.

La commande \tikzset peut aussi être à l’intérieur d’un environnement {tikzpicture}.

Son effet sera alors limité à cet environnement.

\tikzstyle

C’est l’ancienne forme de la commande \tikzset. Ellerestetoujoursutilisable,sousla

forme \tikzstyle{rougegris}=[draw=gray,fill=red]

\tikz

C’est l’équivalent de l’environnement {tikzpicture} pour les figures dont le code est court

(un paragraphe au plus).

Par exemple : \tikz \draw (0,0) circle (1); pour tracer un cercle centré à l’origine et

de rayon 1.

\foreach

C’est une instruction de programmation rendue disponible dans tout le document dès le

chargement de TikZ. Elle permet d’exécuter des instructions de manière répétée (au sens

informatique, c’est une boucle).

Par exemple : \foreach \x in {1,2,3} {$x=\x$, } donne :

x =1, x =2, x =3,

La commande peut être utilisée aussi à l’intérieur d’un environnement {tikzpicture}.

Par exemple, pour tracer cinq cercles concentriques :

\tikz \foreach \r in {1,2,...,5} \draw (0,0) circle (\r mm);

Commandes dans l’environnement {tikzpicture}

Les autres commandes ne peuvent être utilisées que dans un environnement {tikzpicture}.

Les principales sont :

\clip, \coordinate, \draw, \fill, \filldraw, \node, \path

A.3 Les coordonnées

A.3.1 Forme générale : (...)

Syntaxiquement, la position d’un point est indiquée par une expression de coordonnées, comme

(x,y) (coordonnées cartésiennes) ou (a:r) (coordonnées polaires) ou (nom) (point nommé), ou

(nom.ancre) (ancre d’un noeud, comme (n.north)), ou ++(x,y) (coordonnées relatives à la position

du crayon).

Il y a d’autres formes, mais d’une manière générale, une expression de coordonnées s’écrit entre

parenthèses.

A.3.2

Calculs sur les nombres : package pgfmath

Depuis la version 2 de TikZ, il est possible d’écrire des calculs portant sur les nombres grâce au

package pgfmath, qui est chargé automatiquement avec TikZ. Les formules de calcul disponibles

sont celles qu’on peut utiliser pour le tracé de courbes avec l’opération plot.

Dans une expression de coordonnées, on peut utiliser ces calculs :

p !

3

({sqrt(3)/2},1/2) désigne le point de coordonnées

2 , 1 ·

2

Comme on le voit, si le calcul utilise des parenthèses, il faut l’encadrer par des accolades.


A.4. LES OPÉRATIONS DE CHEMIN 147

A.3.3

Calculs sur les coordonnées : bibliothèque calc

Une autre sorte de calcul est rendue possible avec le chargement de la bibliothèque calc.

Contrairement au package \pgfmath, dontlechargementestautomatiqueetimplicite,lechargement

de calc doit être explicite, avec \usetikzlibrary{calc}. Nousn’avonspasparlédanscet

ouvrage des possibilités offertes par calc. Seréféreraumanuelofficiel:12.4Coordinate Calculations

page 113.

Avec cette bibliothèque, il est possible de faire des calculs portant directement sur les couples

de coordonnées (par exemple faire la somme de deux couples, faire le produit d’un nombre par un

couple). Mais cela introduit une syntaxe spéciale : les calculs de ce type doivent être écrits entre

les symboles ($ et $), comme($ (1,2) + (3,4) $).

En plus de ces calculs avec des opérations mathématiques, cette syntaxe permet d’effectuer de

manière interne les calculs liés à des constructions géométriques :

— Point de tangence de la tangente menée d’un point à un cercle ;

— Barycentre de plusieurs points, combinaisons linéaires ;

— Point d’intersection de deux segments ;

— Image d’un point par une similitude directe dont on donne le centre, le rapport et l’angle ;

— Projection orthogonale d’un point sur un segment ;

— Point à une distance donnée d’un autre sur un segment.

Ces possibilités peuvent être intéressantes pour éviter d’avoir à calculer par soi-même des coordonnées.

En ceci, elles rapprochent TikZ d’unlogicieldeconstructiongéométriquecommeGeo-

Gebra.

Cependant, la syntaxe de ces instructions est souvent un peu ésotérique et manque d’unité.

Voici un exemple tiré du manuel : ($(1,1)!.5!60:(2,2)$) désigne l’image du point (2,2) par la

similitude directe de centre (1,1), derapport0.5etd’angle60°.

Si le seul but est d’éviter les calculs, on peut aussi le faire en utilisant GeoGebra ou un logiciel

de calcul formel comme logiciel auxiliaire. Mais cela fige le résultat des calculs et il faut tout

recommencer dès qu’on veut changer une coordonnée quelque part.

A.4 Les opérations de chemin

Ce sont les opérations qu’on peut écrire dans les commandes qui définissent des chemins ou qui

agissent sur des chemins, comme dans

\draw, \fill, \filldraw, \path, \clip.

Syntaxe opération argument

La plupart des opérations ont une syntaxe de la forme opération argument, oùopération est le

nom de l’opération et argument est l’argument. La syntaxe d’une opération dépend, pour l’argument,

de cette opération. La plupart des arguments sont simples (un couple de coordonnées ou un

nom de nœud), excepté pour plot et child (cette dernière étant récursive).

La seule opération qui n’a pas de nom est l’opération de positionnement explicite, qu’on utilise

au début d’un chemin pour fixer la position du crayon : elle a seulement un argument, qui est la

position en question.

Dans l’exemple suivant, les expressions désignant des opérations ont été encadrées :

\draw (0,0) -- (1,1) circle (1) ;

La première est l’opération de positionnement explicite du crayon en (0, 0), ladeuxièmecelle

de tracé d’un segment, la troisième celle de tracé d’un cercle. Après chaque opération, la position

du crayon est réactualisée.

(1, 1)

(0, 0)


148 ANNEXE A. LA SYNTAXE DE TIKZ

Cette opération de positionnement peut être utilisée plusieurs fois dans un même chemin. Dans

ce cas-là, le chemin peut être en différents morceaux non connectés. Par exemple :

\draw (0,0) -- (1,1) (2,2) -- (3,3);

Il y a deux positionnements explicites (0, 0) et (2, 2). Lecheminestformédedeuxsegmentsnon

connectés. Cette possibilité est à utiliser avec prudence, elle rend le code plus difficile à interpréter.

Il vaudrait mieux écrire :

\draw (0,0) -- (1,1);

\draw (2,2) -- (3,3);

C’est un peu plus long à écrire, mais plus clair et plus modulaire. Cependant, un avantage de

regrouper les opérations en un seul chemin est de pouvoir factoriser les options graphiques en un

seul endroit, dans la commande \draw.

Principales opérations

Les principaux symboles ou noms d’opérations sont :

--, -|, |-, --cycle

rectangle, circle, arc, grid, plot, --plot,

to

Les opérations se rapportant aux nœuds sont spéciales :

node, edge, child

On écrit ces dernières à l’intérieur d’un chemin, mais ce qu’elles définissent n’est pas considéré

comme un élément du chemin. Cette distinction est importante pour l’ordre du tracé (les noeuds

sont tracés après le reste), les remplissages avec fill et la fermeture des régions avec --cycle (les

noeuds ne font pas partie de la région à remplir).

Il existe quelques autres opérations dont nous n’avons pas ou peu parlé :

..controls and .., ellipse, parabola, sin, cos, let

A.5 Les options

Les options explicites : [...]

Syntaxiquement, on écrit les options entre crochets, séparées par des virgules. La spécification

d’une option peut prendre plusieurs formes, dont les principales sont [clé] et [clé=valeur].

Elles peuvent s’appliquer à tout un environnement {tikzpicture},àunenvironnement{scope},

àuncheminutilisépar\draw, \fill, \clip.

\filldraw, ou\path, etàlaplupartdesopérationsdechemin,parexemplenode, to ou grid.

Exemple :

\begin{tikzpicture} [scale=0.75]

\draw [gray, very thin] (-2,-2) grid [step=0.5cm] (2,2);

\draw (0,0) node [below, fill=white] {$O$} node{$\bullet$};

\draw [dashed,red,thick] (0,0) circle(1);

\end{tikzpicture}

O •


A.5. LES OPTIONS 149

Les options implicites : raccourcis

Le mécanisme qui interprète les options est défini par le package pgfkeys, chargéautomatiquement

avec TikZ, et qui peut être utilisé en dehors de TikZ. Ce mécanisme comporte des

possibilités d’abstraction, d’abréviations et de valeurs par défaut qui sont souvent pratiques, mais

qui peuvent sembler parfois mystérieuses et entraîner des confusions, d’autant plus que certains

raccourcis peuvent aussi être obtenus à l’aide de commandes qui cachent le mécanisme d’options.

Exemple : coordinate

Un bon exemple est donné par le mot-clé coordinate permettant d’attribuer un nom symbolique

à un point ou un nœud.

On le rencontre sous différentes formes : comme commande, comme opération de chemin, comme

clé d’option, comme valeur d’option.

Voici différents exemples ayant pour effet de nommer (o) l’origine du repère :

— commande : \coordinate (o) at (0,0);

— opération de chemin : \path (0,0) coordinate (o);

— clé d’option : \path (0,0) node [coordinate] (o);

— valeur d’option : \path (0,0) node [shape=coordinate] (o);

En fait, le « vrai » concept de coordinate est le dernier : c’est une valeur possible de l’option

shape pour un nœud. Dire que shape apourvaleurcoordinate signifie que le noeud n’a pas

d’étendue, et donc qu’il peut être vu comme un simple point, et donc qu’il peut servir à repérer

les coordonnées de ce point.

Mais penser à ce concept en ces termes est à un niveau de détail technique un peu compliqué

pour l’usage habituel, qui consiste seulement à donner un nom à un point. C’est pour cela que le

langage offre les autres possibilités, qui se ramènent toutes de manière interne à dire qu’il y a un

nœud (parfois implicite) dont l’option shape apourvaleurcoordinate.

Exemple : draw

Pour tracer un chemin, on utilise habituellement la commande \draw. Maiscen’estqu’un

raccourci pour dire que l’option draw du chemin a pour valeur une certaine couleur (la couleur

actuellement en vigueur, c’est-à-dire la valeur de l’option color).

Autrement dit, le mot-clé draw indique une option de couleur plutôt que réellement une instruction

demandant de dessiner. Mais, dans le mécanisme interne, le fait de spécifier cette couleur

apourconséquencederendreletracéeffectif.

Exemple :

\begin{tikzpicture} [scale=0.4]

\draw [red] (0,0) circle (1) ;

% 1 trace en rouge

\path[color=blue] (0,0) circle (2);

% 2 ne trace pas

\path[color=blue,draw] (0,0) circle (3); % 3 trace en bleu

\path[color=blue,draw=green] (0,0) circle (4);% 4 trace en vert

\path [draw=gray] (0,0) circle (5);

% 5 trace en gris

\end{tikzpicture}

1 2 3 4 5


150 ANNEXE A. LA SYNTAXE DE TIKZ

On constate à cette occasion que la commande de base pour un chemin est \path, quise

contente de définir un chemin, mais ne le trace pas forcément. Les autres commandes de chemin,

comme \clip, \draw, \fill, ne sont en fait que des raccourcis qui se ramènent de manière

interne à la commande \path, enaffectantcertainesoptions.

A.6 Utiliser des commandes L A TEX dans TikZ

TikZ estuneextensiondeL A TEX. Bien qu’il définisse ses propres règles syntaxiques, il peut

quand même bénéficier de certains mécanismes de L A TEX, en particulier l’utilisation de commandes

vues comme des macros de remplacement de texte.

La manuel ne précise pas exactement ce qui est possible ou pas, mais l’expérience et les exemples

montrent qu’il est possible de définir ses propres commandes comme abréviations pour engendrer

des parties du texte source.

Par exemple, on peut définir une commande qui trace un triangle équilatéral de côté 1 dont

un sommet est (0, 0) et dont un côté est dirigé suivant l’angle polaire donné en paramètre #1. On

utilise l’option rotate pour tourner le triangle dans la direction voulue.

\newcommand{\triangleE}[1]

{\draw[rotate=#1] (0,0) -- (1,0) -- (1/2, {sqrt(3)/2}) -- cycle;}

Si on a plusieurs triangles de ce type à tracer, cela évite d’avoir à écrire à chaque fois le code

détaillé :

\begin{tikzpicture}

\triangleE{10}

\triangleE{90}

\triangleE{200}

\end{tikzpicture}

200°

90°

10°

On voit donc qu’à l’intérieur d’un environnement {tikzpicture}, ilestpossibled’utiliserune

commande définie ailleurs. Cette commande sera développée sous forme de code source TikZ et

sera ensuite interprétée par TikZ.


Annexe B

Erreur ! Que faire ?

Soyons optimistes, on suppose ici que le lecteur sait déjà comment corriger les erreurs qui

peuvent survenir lors de la rédaction d’un document L A TEX.

On signale simplement ici les principales sources d’erreurs typiques de TikZ.

Lors d’une erreur de compilation, il faut d’abord consulter les dernières lignes affichées sur la

console. Onappelleconsole la fenêtre dans laquelle sont affichés les messages de compilation et les

messages d’erreur.

On va signaler ici les messages les plus fréquents provoqués par les erreurs dans TikZ etqui

doivent attirer l’attention.

On va expliquer leur origine et comment corriger les erreurs.

Oubli du « ; »

Si on voit le message suivant :

! Package tikz Error; Giving up on this path.

Did you forget a semicolon?.

C’est l’erreur la plus fréquente quand on commence à utiliser TikZ. Toute commande TikZ se

termine par un point-virgule que l’on oublie souvent.

La correction est facile.

Les nombres trop grands

Si on voit le message suivant :

! Dimension too large.

\pgf@xx

Ce message est suivis du numéro d’une ligne contenant en général des coordonnées trop grandes.

En effet, dans TikZ, il vaut mieux limiter les coordonnées des points à des valeurs comprises entre

500 et +500.

Il suffit donc de concevoir le dessin de façon à maintenir les coordonnées de tous les points de

la figure dans un intervalle plus limité.

Le « ! » dans la définition des couleurs

Si on voit le message suivant :

! Missing \endcsname inserted.


\penalty

151


152 ANNEXE B. ERREUR ! QUE FAIRE ?

Ce message assez mystérieux est suivi du numéro d’une ligne qui contient en général une option

de couleur comme par exemple : \draw[red!50]...

Le responsable de l’erreur est ici le « ! » et le raccourci dans la définition de la couleur du tracé.

On corrige l’erreur en évitant le raccourci : \draw[color=red!50]...

Le problème de babel français et de « : »

Remarque : Dans la dernière version de TikZ &PGF (la version 2.10) qui est actuellement

fournie avec la distribution TEXlive 2011, ce problème de babel et du « : » est corrigé.

Si on dispose d’une version plus ancienne et si on voit le message suivant :

! Paragraph ended before \tikz@plot@samples@recalc was complete.


\par

ou le message suivant :

! File ended while scanning use of \tikz@plot@samples@recalc.

< inserted text >

\par

Ces messages assez mystérieux sont suivis du numéro d’une ligne contenant en général une

commande \plot avec une option [domain=a:b]. C’est le deux-points qui est responsable de

l’erreur.

Le plus simple, pour corriger cette erreur, est d’ajouter la commande \shorthandoff{:} dès

le début de l’environnement {tikzpicture}

Mais on peut aussi voir le message suivant :

! Argument of \tikz@plot@samples@recalc has an extra }.


\par

Ceci peut se produire si l’environnement {tikzpicture} est inséré dans une commande \fbox.

Dans ce cas la commande \shorthandoff{:} doit être placée à l’extérieur de la commande \fbox,

ainsi :

{\shorthandoff{:}

\fbox{\begin{tikzpicture}

\draw plot[domain=-2:5] (\x,\x/5);

\end{tikzpicture}}}

Ce problème d’incompatibilité des packages tikz et babel français est étudié en détail dans le

chapitre « Courbes ».

Un package récent, microtype, permetderésoudreleproblèmeglobalementdefaçonsimple.

Il suffit d’ajouter :

\usepackage[babel=true,kerning=true]{microtype} après la déclaration d’utilisation du package

babel.

Ainsi le caractère « : » ne semble plus poser de problème.

Remarque : Dans la dernière version de TikZ &PGF (la version 2.10) qui est actuellement

fournie avec la distribution TEXlive 2011, ce problème de babel et du « : » est corrigé.


Annexe C

Où trouver de l’aide ?

Un site Internet, créé par les auteurs, accompagne ce livre. On y trouvera le code de tous les

exemples présentés ici, plus quelques compléments.

Àpartirdusite,ilestaussipossibledecontacterlesauteurs:Touteslesquestions,toutesles

critiques et toutes les suggestions sont les bienvenues.

http://math.et.info.free.fr/TikZ/index.html

Livres à lire

On trouve sur Internet la documentation de l’auteur Till Tantau :

Version la plus récente de « TikZ &PGF Manual »

Ce document au format PDF de 560 pages est une référence très complète, mais reste d’un

abord un peu difficile...

Si vous êtes plutôt débutant en L A TEX, nous vous conseillons en particulier chez l’éditeur H&K :

«L A TEXpourl’impatient».Lalecturepréalabledecetouvrageremarquable,simple,maiscependant

très complet vous sera très utile :

http://www.h-k.fr/liens/tp/latex_pour_impatient.htm

Autres liens vers Internet

En anglais

L’auteur de TikZ estTill Tantau qui a aussi créé pour L A TEX lepackageBeamerquipermetde

réaliser des présentations sous forme de diaporama.

http://www.tcs.uni-luebeck.de/mitarbeiter/tantau/

On trouvera sur le site TEXample.net des exemples proposés par l’auteur et concernant de très

nombreux domaines :

http://www.texample.net/tikz/examples/author/till-tantau/

En français

Allez sur le site Altermundus :

http://www.altermundus.fr/

153


Annexe D

Glossaire

Ce glossaire contient la liste alphabétique des commandes, opérations et options du langage

TikZ utiliséesdanscelivreetbrièvementcommentées.

Pour chaque item il y a une référence à la documentation de Till Tantau dans laquelle cet item

est défini.

Cette référence est donnée sous la forme : Titre de la section, numéro de la section et page.

Conventions d’écriture

Version la plus récente de « TikZ &PGF Manual »

Dans le langage de TikZ, le même mot peut souvent représenter des éléments syntaxiques

distincts. Pour aider à comprendre les nombreux raccourcis et les variations syntaxiques on notera

dans ce glossaire les éléments différents ainsi :

— les commandes préfixées par une contre-oblique, ainsi : \draw ;

— les coordonnées ou les noms entre parenthèses, ainsi : (x,y) (a:r) (P) ;

— les options entre crochets, ainsi : [above] ;

— les environnements entre accolades, ainsi : {scope} ;

— les opérations de chemin et autres mots clés, ainsi : arc west ;

— les concepts présentés dans ce livre, ainsi : chemin.

Liste alphabétique

-- (The Line-To Operation 13.2 page 118)

-- est le symbole de l’opération qui trace un segment sous la forme :

\draw (a,b) -- (c,d); du point (a,b) au point (c,d)

On peut aussi obtenir un tracé en lignes horizontales et verticales avec |- ou -| ou des

lignes courbes avec to ou .. controls and ..

[->] (Graphic Parameters : Arrow Tips 14.3.4 page 134)

C’est une option graphique applicable à un trait ou un chemin, pour dessiner une pointe de

flèche placée à l’extrémité du trait.

Exemple : \draw [->] (a,b) -- (c,d); Différents styles de pointe de flèche sont possibles,

comme par exemple |->, *-o, |>, [-( ou ->>.Onpeutchangeraussiledessindespointes

avec l’otption >= suivie de latex ou stealth.

(x,y), (x,y,z), (a:r), (P) (Specifying coordinates 12 page 103)

TikZ proposeplusieursfaçonsd’exprimerlescoordonnéesdespoints:

— (x,y) coordonnées cartésiennes à 2 dimensions ;

— (x,y,y) coordonnées cartésiennes à 3 dimensions ;

— (a:r) coordonnées polaires angle et distance au centre ;

155


156 ANNEXE D. GLOSSAIRE

— (P) coordonnées du nœud dont le nom (P) aétédéfiniparexempleavec:

\draw (x,y) node(P){Texte}; ou \coordinate (P) at (x,y);

++(x,y) (Relative and Incremental Coordinates 12.3 page 112)

++ est le symbole qui précède des coordonnées pour indiquer que celles-ci doivent être

considérées comme relatives au point précédent.

\draw (4,3) -- ++(1,3); équivalent à \draw (4,3) -- (5,6);

[above], [above left], [above right] (Positioning Nodes 15.5 page 154)

Options de placement des nœuds. (Voir : node)

arbre (Making Trees Grow 17 page 183)

(Voir : child)

arc (The Arc Operation 13.8 page 121)

arc est l’opération de chemin qui trace un arc sous la forme :

\draw (x,y) arc (d:f:r); àpartirdupoint(x,y) un arc de rayon r dont le rayon origine

forme un angle de d° avec l’horizontale et le rayon extrémité à un angle de f° avec

l’horizontale.

[below], [below left], [below right] (Positioning Nodes 15.5 page 154)

Options de placement des nœuds. (Voir : node)

[bend left], [bend right] (Curves 40.2 page 367)

Options pour fixer la courbure d’un ligne. (Voir : to)

[bottom color=], [top color=] (Choosing a Shading Color 14.5.2 page 140)

Options pour fixer les couleurs de dégradés. (Voir : \shade)

[text centered] (Options for the Text in Nodes 15.4 page 152)

Option de mise en forme de texte. (Voir : node)

chemin (Actions on Paths 14 page 130)

(Voir : \path ou \draw)

child (Making Trees Grow 17 page 183)

child est une opération placée à la suite d’une opération node qui permet de définir un fils

du noeud dans une structure d’arbre.

De nombreuses options sont disponibles pour contrôler les dimensions de l’arbre comme

sibling distance ou level distance ou la direction dans laquelle il se développe comme

grow.

On peut aussi étiqueter les nœuds à l’aide de edge from parent et dessiner les arcs entre

les nœuds avec edge from parent path .

circle (The Circle and Ellipse Operations 13.7 page 121)

circle est l’opération de chemin qui trace un cercle sous la forme :

\draw (x,y) circle (r); de centre (x,y) et de rayon (r).

On peut aussi tracer une ellipse en donnant les rayons sur les deux axes sous la forme

\draw (x,y) circle (r and s);

[circle] (Nodes and Their Shapes 15.2 page 147)

Abréviation de [shape=circle], fixelaformed’unnœud.(Voir:node)

\clip (Clipping and Fading : Soft Clipping 14.7 page 142)

\clip... est la commande qui restreint la région d’affichage. Tous les dessins qui suivent

cette commande seront limités à cette région.


157

[color=] (Specifying a Color 14.2 page 131)

Option pour définir la couleur. (Voir : \draw, \fill, node ou {scope})

.. controls and .. (The Curve-To Operation 13.3 page 119)

(A) ..controls (U) and (V) .. (B) trace une courbe de Bézier entre le point (A) et

le point (B), les tangentes en (A) et (B) étant respectivement déterminées par les points de

contrôle (U) et (V).

[coordinate] (Nodes and Their Shapes 15.2 page 146)

Abréviation de [shape=coordinate] qui fixe la forme d’un nœud.

C’est une forme de nœud spéciale, de dimension nulle, qui permet de considérer le nœud

comme un simple point et de le nommer pour un usage ultérieur. (Voir : node)

\coordinate (Nodes and Their Shapes 15.2 page 146)

\coordinate (A) at (x,y); est la forme abrégée de la commande qui permet de nommer

et de placer un nœud de dimension nulle :

\path (x,y) coordinate (A); ou

\draw (x,y) node[coordinate] (A){}; ou

\node (A) at (x,y) node[shape=coordinate]{};

--cycle (The Cycle Operation 13.4 page 119)

--cycle; est l’opération de fin de chemin qui consiste à relier le dernier point au premier.

(current page) (Referencing the Current Page Node 15.13.2 page 170)

Nœud spécial qui représente la page entière. (Voir : [overlay])

[dashed] (Graphic Parameters : Dash Pattern 14.3.2 page 134)

Option de style pointillé en tirets. (Voir : \draw)

[diamond] (Nodes and Their Shapes 15.2 page 147)

Abréviation de [shape=diamond], fixelaformed’unnœud.(Voir:node)

[domain=] (Plotting a Function 18.5 page 194)

Option pour le domaine de définition d’une fonction. (Voir : plot)

[dotted] (Graphic Parameters : Dash Pattern 14.3.2 page 134)

Option de style pointillé. (Voir : \draw)

[double] (Graphic Parameters : Double Lines 14.3.5 page 136)

Option de style de trait double. (Voir : \draw)

\draw (Drawing a Path 14.3 page 131)

\draw... est la commande qui permet de tracer un chemin.

De nombreuses options permettent de préciser le mode de tracé. On peut fixer l’épaisseur

des traits avec thin, thick, line width=, letypedetraitavecdashed, dotted, double

etc.

east (Positioning Nodes Using Anchors 15.5.1 page 154)

Option d’ancrage [anchor=east] d’un nœud. (Voir : node)

.east (Positioning Nodes Using Anchors 15.5.1 page 154)

Pour la référence (P.east) point d’ancrage à un nœud. (Voir : node)

edge from parent (Edges From the Parent Node 17.6 page 191)

Opération d’accès au parent d’un nœud dans un arbre. (Voir : child )


158 ANNEXE D. GLOSSAIRE

edge from parent path, (Edges From the Parent Node 17.6 page 191)

Style pour définir les arcs dans un arbre. (Voir : child )

[ellipse] (Nodes and Their Shapes 15.2 page 147)

Abréviation de [shape=ellipse], fixelaformed’unnœud.(Voir:node)

[even odd rule] (Interior Rules 14.4.2 page 138)

Règle de définition de région. (Voir : \clip ou \fill)

figure (Creating a Picture 11.2 page 96)

(Voir : {tikzpicture} \tikz)

\fill (Filling a Path 14.4 page 136)

\fill... est la commande qui colorie la région limitée par un chemin.

La couleur du coloriage peut être précisée avec par exemple :

\draw[fill=red]... ou aussi \fill[color=red]... On peut aussi obtenir des effets

de transparence avec l’option opacity.

Il existe deux règles pour définir le mode de coloriage des régions limitées par un chemin :

nonzero rule, pardéfautoueven odd rule

\filldraw (Drawing a Path 14.3 page 131) (Filling a Path 14.4 page 136)

\filldraw.. est la forme abrégée de la commande \path[fill,draw].. qui permet de

tracer le chemin et colorier la région. (Voir : \fill et \draw)

\foreach (The Foreach Statement 44 page 389)

La commande \foreach s’utilise sous la forme :

\foreach in

— est une ou plusieurs commandes L A TEXséparéespardesbarres. Exemples:

\x ou \x/\y/\z

— est une liste de valeurs séparées par des virgules :

Exemples : {2,texte,0.5} ou avec 3 variables {1/un/I,5/cinq/V}

— sont des instructions qui contiennent la ou les variables et qui seront

exécutées de façon répétitive en donnant aux variables successivement les valeurs fournies

dans la liste.

grid (The Grid Operation 13.9 page 121)

grid est l’opération de chemin consistant à tracer un quadrillage (grille).

La forme d’utilisation la plus simple est \draw (A) grid (B); qui trace une grille dont

(A) et (B) sont deux sommets d’une diagonale.

Le pas de la grille peut être fixé avec les options step, xstep ou ystep

[grow=] (Default Growth Function 17.5.2 page 187)

Option pour fixer la direction de croissance d’un arbre. (Voir : child)

[in=], [out=] (Curves 40.2 page 367)

Options pour fixer la courbure. (Voir : to)

[text justified] (Options for the Text in Nodes 15.4 page 152)

Option de mise en forme de texte. (Voir : node)

latex (Arrow Tip Library 22 page 224)

Style de pointe de flèche, [>=latex]. (Voir:->)

[left], [right] (Positioning Nodes 15.5 page 154)

Options de placement des nœuds. (Voir : node)


159

[level distance=] (Default Growth Function 17.5.2 page 187)

Option pour fixer l’écart entre les niveaux dans un arbre. (Voir : child)

[line width=] (Graphic Parameters : Line Width 14.3.1 page 132)

Option pour fixer l’épaisseur du trait. (Voir : \draw)

[mark=] (Placing Marks on the Plot 18.7 page 198)

Option pour marquer les points d’une courbe avec *,+,x. (Voir:plot)

[midway] (Placing Nodes on a Line or Curve Explicitly 15.8 page 161)

Option pour placer des nœuds sur une ligne. (Voir : -- ou to)

[minimum size] (Creating Nodes 59.2 page 474)

Ou aussi [minimum width] et [minimum height]

Option pour fixer les dimensions d’un nœud. (Voir : node)

[near end] (Placing Nodes on a Line or Curve Explicitly 15.8 page 161)

Option pour placer des nœuds sur une ligne. (Voir : -- ou to)

[near start] (Placing Nodes on a Line or Curve Explicitly 15.8 page 161)

Option pour placer des nœuds sur une ligne. (Voir : -- ou to)

nœud (Nodes and Edges 15 page 146)

(Voir : node ou \node)

node (Nodes and Edges 15 page 146)

node est une opération de chemin qui écrit un texte L A TEX, placé par défaut dans une boîte

rectangulaire centrée à la position du crayon.

Son utilisation de base est \draw (a,b) node {texte};

De nombreuses options sont possibles, pour contrôler différents aspects :

— la position : above, below, left, right, above left, etc.

— La couleur du texte : node [red] {texte}

— La couleur du fond : node [fill=red] {texte}

— la forme : circle, rectangle, coordinate

\node (Nodes and Their Shapes 15.2 page 146)

\node (A) at (x,y){Texte}; est la forme abrégée de la commande :

\path (x,y) node (A){Texte};

[nonzero rule] (Interior Rules 14.4.2 page 138)

Règle de définition de région. (Voir : \clip ou \fill)

north (Positioning Nodes Using Anchors 15.5.1 page 154)

Option d’ancrage [anchor=north] d’un nœud. (Voir : node)

Autres valeurs, [anchor=north west], [anchor=north east]

.north (Positioning Nodes Using Anchors 15.5.1 page 154)

Pour la référence (P.north) point d’ancrage à un nœud. (Voir : node)

Autres valeurs, (P.north west), (P.north east)

\newcommand définition d’une commande. (Voir : L A TEX)

On peut aussi utiliser \def en TEX.

[opacity=] (Transparency 19 page 202)

Option pour définir le niveau de transparence. (Voir : \fill)


160 ANNEXE D. GLOSSAIRE

[out=], [in=] (Curves 40.2 page 367)

Options pour fixer la courbure d’une ligne. (Voir : to)

[overlay] (Referencing Nodes Outside the Current Pictures 15.13 page 169)

L’option overlay associée à l’option remember picture permet de tracer, sur une même

page, des chemins entre des figures définies dans des environnements {tikzpicture} distincts.

Il est aussi possible de dessiner n’importe où sur la page en utilisant le nœud spécial

(current page) qui représente le rectangle de la feuille.

\path (Actions on Paths 14 page 130)

\path... est la commande de base de TikZ quidéfinitunchemin.

Toutes les autres commandes en sont des cas particuliers comme :

\clip..., \draw..., \fill..., \filldraw..., \shade..., etc.

plot (Plots of Functions 18 page 193)

plot est une opération de chemin qui trace la courbe représentative d’une fonction donnée

par une formule.

On peut préciser le domaine de définition de la fonction avec l’option [domain=] et le nombre

de points à calculer avec l’option [samples=].

Par exemple : plot[domain=-2:2,samples=50] (\x,2*\x+3)

plot coordinates (Plotting Points Given Inline 18.3 page 194)

plot coordinates est une opération de chemin qui trace une représentation graphique

d’une liste de points.

Par défaut, une courbe reliant les points est dessinée. On peut aussi tracer des barres,

horizontales avec l’option [xcomb], verticalesavec[ycomb] ou à partir de l’origine avec

[polar comb].

On peut aussi marquer les points de la courbe avec l’option [mark=].

La liste des coordonnées de tous les points à afficher est définie en ligne, entre accolades.

Par exemple : plot[ycomb] coordinates {(1,2) (3,5) (5,1)}

plot file (Plotting Points Read From an External File 18.4 page 194)

plot file est une opération de chemin qui trace une représentation graphique d’une liste

de points. (Voir : plot coordinates)

La liste des coordonnées de tous les points à afficher est définie dans un fichier texte dont

le nom est donné entre accolades.

Par exemple : plot[mark=*] file {data.txt}

plot function (Plotting a Function Using Gnuplot 18.6 page 196)

plot function est une opération de chemin qui trace la courbe représentative d’une fonction

donnée par une formule Gnuplot.

La formule est transmise à Gnuplot qui va calculer les coordonnées de tous les points à

afficher. (Voir : plot)

On peut préciser le domaine de définition de la fonction avec l’option [domain=] et le nombre

de points à calculer avec l’option [samples=].

Par exemple :

plot[domain=-pi:pi,samples=50] function {x+sin(x)}

polar comb (Smooth Plots, Sharp Plots, and Comb Plots 18.8 page 199)

Option pour tracer des barres à partir de l’origine. (Voir : plot)

[pos=] (Placing Nodes on a Line or Curve Explicitly 15.8 page 161)

Option pour placer des nœuds sur une ligne. (Voir : -- ou to)


161

rectangle (The Rectangle Operation 13.5 page 120)

rectangle est l’opération de chemin consistant à tracer un rectangle.

La forme d’utilisation la plus simple est \draw (A) rectangle (B); qui trace un rectangle

dont (A) et (B) sont deux sommets d’une diagonale.

[rectangle] (Nodes and Their Shapes 15.2 page 147)

Abréviation de [shape=rectangle] fixe la forme d’un nœud. (Voir : node)

région (Interior Rules 14.4.2 page 138)

Une région est limitée par un chemin. (Voir : \clip ou \fill)

[remember picture] (Referencing a Node in a Different Picture 15.13.1 page 169)

Option qui mémorise les noms des nœuds définis dans des environnements {tikzpicture}

distincts. (Voir : [overlay])

[right], [left] (Positioning Nodes 15.5 page 154)

Option de placement des nœuds. (Voir : node)

[rotate=] (Coordinate Transformations 21.3 page 218)

Option pour effectuer une rotation. (Voir : node ou {scope})

[rounded corners=] (Rounding Corners 13.6 page 120)

Option qui arrondit les angles des lignes. (Voir : \draw ou node)

[scale=] (Coordinate Transformations 21.3 page 218)

Option pour effectuer un changement d’échelle. (Voir : node ou {scope})

{scope} (Using Scopes to Structure a Picture 11.3 page 99)

L’environnement {scope} permet de dessiner une sous-figure et de lui appliquer globalement

différentes transformations ou styles, comme : shift, scale, rotate, etc.

[samples=] (Plotting a Function 18.5 page 194)

Option qui fixe le nombre des points à calculer pour une fonction. (Voir : plot)

\shade (Shading a Path 14.5 page 139)

\shade... est la forme abrégée de la commande \path[shade]... qui permet de colorier

la région définie par un chemin avec des effets de dégradés de couleurs.

Différentes options permettent de préciser le dégradé comme shading ou les couleurs comme

top color ou bottom color.

[shift=], [xshift=], [yshift=] (Coordinate Transformations 21.3 page 218)

Option pour effectuer une translation. (Voir : node ou {scope})

[sibling distance=] (Default Growth Function 17.5.2 page 187)

Option pour fixer l’écart entre fils dans un arbre. (Voir : child)

[sloped] (Placing Nodes on a Line or Curve Explicitly 15.8 page 161)

Option pour aligner des nœuds sur une ligne. (Voir : -- ou to)

[smooth] (Smooth Plots, Sharp Plots, and Comb Plots 18.8 page 199)

Option qui provoque le lissage d’une courbe. (Voir : plot)

south (Positioning Nodes Using Anchors 15.5.1 page 154)

Option d’ancrage [anchor=south] d’un nœud. (Voir : node)

Autres valeurs, [anchor=south west], [anchor=south east]


162 ANNEXE D. GLOSSAIRE

.south (Positioning Nodes Using Anchors 15.5.1 page 154)

Pour la référence (P.south) point d’ancrage à un nœud. (Voir : node)

Autres valeurs, (P.south west), (P.south east)

stealth (Arrow Tip Library 22 page 224)

Style de pointe de flèche, [>=stealth]. (Voir:->)

[step=], [xstep=], [ystep=] (The Grid Operation 13.9 page 121)

Option pour fixer le pas de la grille. (Voir : \grid)

[tension=] (Smooth Plots, Sharp Plots, and Comb Plots 18.8 page 199)

Option qui contrôle le niveau de lissage d’une courbe. (Voir : plot)

[text width=] (Options for the Text in Nodes 15.4 page 152)

Option pour fixer mise en forme du texte d’un nœud. (Voir : node)

[thick], [very thick] (Graphic Parameters : Line Width 14.3.1 page 132)

Option pour fixer l’épaisseur du trait. (Voir : \draw)

[thin], [very thin] (Graphic Parameters : Line Width 14.3.1 page 132)

Options pour fixer l’épaisseur du trait. (Voir : \draw)

TikZ (Loading the Package and the libraries 11.1 page 96)

Pour utiliser TikZ, on doit charger le package tikz :

\usepackage{tikz}

Si on veut de plus utiliser des bibliothèques additionnelles, il faut les charger explicitement,

par exemple :

\usetikzlibrary{arrows,calc}

Ne pas confondre le package tikz avec \tikz, quiestunecommandeéquivalenteàun

environnement {tikzpicture} (contenant un code bref).

\tikz (Creating a Picture Using a Command 11.2.2 page 98)

Commande brève pour la création de figure TikZ. (Voir : {tikzpicture})

{tikzpicture} (Creating a Picture Using an Environment 11.2.1 page 96)

On écrit les commandes de dessin dans l’environnement {tikzpicture}

\begin{tikzpicture} ... \end{tikzpicture}

Pour les dessins dont le code tient en un paragraphe, on peut utiliser la commande brève :

\tikz \draw (0,0) -- (1,1);

\tikzset (How Graphic Options Are Processed 11.4.1 page 100)

\tikzset est une commande TikZ quipermetdedéfinirdesoptions,desstylesoudesclés.

Par exemple :

\tikzset{fondRouge/.style={fill=red}}

\tikzstyle (How Graphic Options Are Processed 11.4.1 page 100)

C’est une ancienne commande de la version 1.00 de TikZ &PGF utilisée pour définir une

option de style. Par exemple :

\tikzstyle{fondRouge}=[fill=red]

On peut toujours utiliser cette commande dans la version 2.00, mais maintenant, on utilisera

plutôt la commande \tikset

to (The To Path Operation 13.13 page 125)

(A) to (B) est une opération de chemin comme (A)--(B) mais on peut lui associer des

options pour obtenir des lignes courbes, comme : [bend left], [bend right], [in=] ou

[out=]


163

[top color=], [bottom color=] (Choosing a Shading Color 14.5.2 page 140)

Options pour fixer les couleurs de dégradés. (Voir : \shade)

west (Positioning Nodes Using Anchors 15.5.1 page 154)

Option d’ancrage [anchor=west] d’un nœud. (Voir : node)

.west (Positioning Nodes Using Anchors 15.5.1 page 154)

Pour la référence (P.west) point d’ancrage à un nœud. (Voir : node)

[xcomb] (Smooth Plots, Sharp Plots, and Comb Plots 18.8 page 199)

Option pour tracer des barres horizontales. (Voir : plot)

[x=] (The XY- and XYZ-Coordinate Systems 21.2 page 217)

Option qui permet de changer le vecteur unité des X, qui vaut par défaut : [x={(1cm,0pt)}]

par rapport à un repère absolu.

[y=] (The XY- and XYZ-Coordinate Systems 21.2 page 217)

Option qui permet de changer le vecteur unité des Y, qui vaut par défaut : [y={(0pt,1cm)}]

par rapport à un repère absolu.

[ycomb] (Smooth Plots, Sharp Plots, and Comb Plots 18.8 page 199)

Option pour tracer des barres verticales. (Voir : plot)

[z=] (The XY- and XYZ-Coordinate Systems 21.2 page 217)

Option qui permet de changer le vecteur unité des Z, qui vaut par défaut :

[z={(-0.3535cm,-0.3535cm)}] par rapport à un repère absolu.

En effet, les points de l’espace sont effectivement affichés dans un repère à deux dimensions

qui vérifie par défaut : ! k =

1

2 p 2

! i

1

2 p 2

Pour obtenir le repère mathématique français usuel on peut définir :

[x={(-0.353cm,-0.353cm)}, z={(0cm,1cm)}, y={(1cm,0cm)}]

! j .


% avec \usetikzlibrary{fadings} en préambule pour le dégradé

\newcommand{\Fin}{node[xshift=-1.5ex,rotate=10]{F}

node[rotate=170]{i}

node[xshift=1.5ex,rotate=45]{n}}

\begin{tikzpicture}[scale=10,transform shape]

\draw (0,0) \Fin;

\draw (-1em,-1ex) -- (1em,-1ex);

\path[scope fading=south] (-1em,-0.25em) rectangle (1em,-3.75ex);

\draw[yscale=-1] (0,2ex) \Fin;

\end{tikzpicture}

F

F

i

n

i

n

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