Cours 7

COURS NR. 7
Tests statistiques usuels (II):
Chi-carré

Les tests paramétriques et les tests
non paramétriques
• Un test paramétrique est un test qui a des postulats sur la
population (on connaît la moyenne et son écart-type).
• Un test non paramétrique est un test qui n’a pas de
postulats sur la population: peut s’effectuer sur n’importe
quel type de populations.

Tests non paramétriques
• Situation du problème :
• Les tests utilisés précédemment, utilisent des
hypothèses sur les distributions et nécessitent des
calculs qui peuvent être longs.
• On qualifie de non paramétriques les méthodes
statistiques qui sont applicables dans des conditions
générales quant aux distributions des populations
parents : “distribution free”.
• Deux cas sont examinés :
• Application à 2 échantillons indépendants
• Application à 2 échantillons appariés

Tests non-paramétriques
Un analyste peut parfois désirer tester une hypothèse
qui ne concerne ni la moyenne, ni la variance, ni
un autre paramètre d’une distribution de données
Ce type de test d’hypothèse est alors appelé test
« non-paramétrique »
Mentionnons les 3 situations les plus fréquentes où le
recours à des tests non paramétriques sera
nécessaire :
1. Lorsque l’hypothèse que nous posons ne concerne pas un
paramètre
2. Lorsqu’un jeu de données ne satisfait pas une hypothèse de
distribution
3. Lorsque les données sont ordonnées en rangs

Pourquoi et quand utiliser des statistiques
non-paramétriques?
Les tests non paramétriques ne font aucune hypothèse sur la
distribution sous-jacente des données. On les qualifie
souvent de tests distribution free. L’étape préalable
consistant à estimer les paramètres des distributions
(p.e. moyenne et écart type) avant de procéder au test
d’hypothèse proprement dit n’est plus nécessaire.
Quand?:
1. L’échelle des données est ordinale plutôt que sous forme
d’intervalles ou de rapports. Dans ce cas les opérations
arithmétiques n’ont pas de sens!
2. Les mesures sont sur des échelles d’intervalles ou de
rapports mais les distributions de fréquences observées
sont très éloignées de la distribution normale.

Généralités – Conditions d’application

Var. continues (quantitative)
comparaison des moyennes
• Séries non appariées
• grand effectif
• 2 échantillons : Test t (test de Student)
• > 2 échantillons : Anova
• Séries appariées
• grand effectif
• 2 échantillons : Test t de Student pour séries appariées
• > 2 échantillons : Anova pour séries appariées

Var. qualitatives binaires (comparaison des
proportions)
• Séries non appariées
• grand effectif
2
• Chi 2 ( )
• test non paramétrique (effectifs théorique ≤ 5)
• Test exact de Fisher

χ² - test
Le test du Khi carré est principalement utilisé en finance pour tester
une hypothèse concernant la variance d’une population
Contrairement aux distributions Normale et de Student, la distribution
du Khi carré est asymétrique et bornée négativement par 0
Pour que ce test puisse s’appliquer, il faut que la population soit
normalement (ou quasi-normalement) distribuée et que toutes les
observations soient indépendantes
2
n1
( n 1)
s
2
0
2

χ² - test
• La forme de la distribution du Khi carré dépend de
la valeur de son paramètre (k = nombre de degré
de liberté)

La loi du Khi carré: 2
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Principe
• L’analyse se fait à l’aide d’un tableau de corrélation
(variables quantitatives regroupées en classes) ou (plus
souvent) de contingence (variables qualitatives).
• Il ne concerne que des données discrètes.
• On calcule les fréquences attendues de chacune des
cases puis les écarts entre celles-ci et les fréquences
observées.
• L'analyse de fréquence pour les variables mesurées sur
une échelle nominale ou ordinale
• Test non paramétrique qui vérifie si la distribution observé
est différent de celui attendu (théorique)
• Les fréquences sont données par le nombre de cas et ne
sont pas des pourcent ou rangs

• Sert à comparer deux distributions, après deux modèles,
qui comprennent:
• comparaison entre une distributions observées (ou empirique) et un
échantillon avec une distribution théorique. On cherche à déterminer
si un échantillon est semblable a un modèle théorique particulier,
• la comparaison des deux distributions observées dans le but de
décider soit l'indépendance des deux critères, soit l’ homogénéité
d'un tableau de contingence

• On peut démontrer que si l'hypothèse de
l'indépendance est satisfaite alors 2 déterminée la
formule par chi 2 déterminé par la formule est
assujettie a une loi de probabilité 2 avec (L-1) (C-1)
degrés de liberté.
• L = lignes
• C- colonnes
• Pour cette loi 2 , peut être déterminée 2 α
correspondent au seuil de signification α et qui vérifie
la condition:
• Avec cette valeur on définit la région critique du test
•

Utilisation du chi-carré
• Un test d’ajustement « goodness-of-fit » : Est-ce que les
données observées s’ajustent bien aux données théoriques ?
• On veut savoir si une nouvelle gomme à mâcher (D) est
préférée aux autres marques concurrentes (A, B, C)
• 32 participants:
A B C D
Observée 4 5 8 15
• Il semble que la nouvelle gomme à mâcher soit la préférée,
mais comment en être certain ?

Utilisation du chi-carré
• Si les participants n’avaient pas une préférence
particulière, chacune des marques aurait autant de
chance d’être choisie.
A B C D
Observée 4 5 8 15
Attendue 8 8 8 8
2
obs
k
i1
o
a 2
i
a
i
i
, k le nombre de catégories
• Si l’hypothèse nulle est vraie (les fréquences observées seront les mêmes que les
fréquences attendues) le numérateur sera petit et le chi-carré sera près de zéro.

Calculs
A B C D
Observée 4 5 8 15
Attendue 8 8 8 8
• Attention: pour effectuer le test du chi-carré il faut au moins 5 fréquences
attendues par cellule.
2
obs
2
obs
4 8 5 8 8 8 15 8
2 2 2 2
8 8 8 8
9.25

Chi-carré critique
dl k
1
dl 4 1 3 0.05

Décision
• Comme le chi-carré observé ( 2 obs = 9.25) est plus grand
que le chi-carré critique ( 2 0.05 (3)= 7.815), on rejette
l’hypothèse nulle et on accepte l’hypothèse alternative.
Les participants préfèrent la nouvelle gomme à mâcher
aux trois autres marques concurrentes.
A B C D
Observée 4 5 8 15
Attendue 8 8 8 8

Chi-carré critique
dl ( L 1)( C 1)
dl (2 1)(4 1) 3
0.01

Test sur une variance ou un écart type d’une
population
On calcule la statistique du Khi-deux
On compare cette statistique à 2 (n-1)d.l. ou 2 1-(n-1)d.l.
Règles de décision
1
2 = ( n
)s
2
2
Test unilatéral à droite:
H 0 : 2 = 0
2
ou H 0 : 2 ≤ 0
2
H a : 2 0
2
On rejette H 0 si 2 2 (n-1)
H 0 : 2 = 0
2
ou H 0 : 2 ≥ 0
2
H a : 2 < 0
2
On rejette H 0 si 2 < 2 1-(n-1)

Test sur une variance ou un écart type d’une
population
On calcule la statistique du Khi-deux:
On compare cette statistique à 2 1-/2(n-1) d.l.
et à 2 /2(n-1) d.l.
1
2 = ( n
)s
2
2
Règle de décision
Test bilatéral
H 0 : 2 = 0
2
H a : 2 0
2
On rejette H 0 si 2 > 2 /2 ou 2 < 2 1-/2

La loi du Khi carré: 2
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Conformité. Test du χ 2
Pour calculer la statistique χ 2 , on a besoin des:
- fréquences absolues observées
- fréquences absolues attendues
Remarque importante: les fréquences du tableau sont des fréquences absolues
observées, jamais des fréquences relatives!

Homogénéité. Test du χ 2
Guérit Ne guérit pas Total
Groupe A (serum) 75 25 100
Groupe B (sans sérum) 65 35 100
Total 140 60 200
Fréquences observées
Guérit Ne guérit pas Total
Groupe A (serum) 70 30 100
Groupe B (sans sérum) 70 30 100
Total 140 60 200
Fréquences attendues sous H 0
2
2
2
75
70 65
70 25
30 35
30
2
70 70
2
( h 1)(
k 1)
1;
0.95
3.84
30
30
2
2.38
Impossibilité de rejeter H 0