Analitikus mértan 3. FELADATLAP S´ıkbeli egyenesek 1. Írjuk fel ...

1.
Analitikus mértan 3. FELADATLAP
Síkbeli egyenesek
Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely
(i) áthalad az M0(1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, −1) vektorral;
(ii) áthalad az origón és párhuzamos a b(3, 3) vektorral;
(iii) áthalad az A(1, 7) ponton és párhuzamos az Oy tengellyel;
(iv) áthalad az M1(2, 4) és M2(2, −5) pontokon.
2. Egy egyenes az x = 1 − 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
az egyenes irányvektorát és irénytényezőjét.
3.
Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek
(i) iránytényezője m = −5 és átmegy az A(1, −2) ponton;
(ii) iránytényezője m = 8 és az Oy tengelyen egy 2 hosszúságú szakaszt határoz meg;
(iii) áthalad az A(−2, 3) ponton és az Ox tengellyel 60 ◦ -os szöget zár be.
(iv) átmegy a B(1,7) ponton és merőleges az n(4, 3) vektorra.
4. Adott az ABC háromszög: A(1, 1), B(−2, 3), C(4, 7). Írjuk fel az oldalak valamint az A
csúcshoz tartozó oldalfelező és magasság egyenleteit! E: x = 1, x + y − 3 = 0.
5. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(−2, 5) ponton és a
koordinátatengelyeken egyenlő hosszúságú szakaszokat határoz meg. E: x + y − 3 = 0.
6. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(12, 6) ponton és az
egyenes valammint a koordinátatengelyek által meghatározott háromszög területe 150.
E: 3x + 4y − 60 = 0, x + 3y − 30 = 0.
7. Adottak az ax + by + c = 0 és x = x0 + lt, y = y0 + mt egyenesek. Adjunk meg szükséges
és elégséges feltételt ahhoz, hogy az egyenesek legyenek
(1) metszőek;
(2) párhuzamosak.
8. Adottak egy háromszög oldalainak az M1(1, 2), M2(3, 4), M3(5, −1) felezőpontjai. Határozzuk
meg az oldalak egyenleteit!
9. Egy paralelogramma két oldalának egyenletei: x + y − 2 = 0 és 2x − y + 5 = 0. Írjuk fel
a paralelogramma másik két oldalának az egyenletét, ha tudjuk, hogy az átlók az M(3, 1)
pontban metszik egymást. E: x + y − 6 = 0, 2x − y − 3 = 0.
10. Igazoljuk, hogy az a háromszög , amelynek csúcsai az A(3, 3), B(6, 3) és C(3, 6) pontok
derékszögű és egyenlőszárú! Írjuk fel a háromszög oldalfelező merőlegeseinek az egyenleteit!
11. Az origóból egy d egyenesre húzott merőleges talppontja az A(1, 2) pont. Írjuk fel a d
egyenes egyenletét! E: x + 2y − 5 = 0.
12. Határozzuk meg a B(−2, 1) pontnak a d : 2x + y + 1 = 0 egyenesre eső vetületét!
E: B ′
− 6
7
, .
5 5

13. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a C(1, 3) ponton és egyenlő
távolságra van az M1(−1, 0) és M2(1, −1) pontoktól!
E: x + 2y − 7 = 0, −7x + 2y + 1 = 0.
14. Határozzuk meg a D(−1, 2) pont szimmetrikusainak a koordinátáit a d : x + y + 1 = 0
egyenesre, majd az E(−1, −4) pontra vonatkozóan! E: D1(−3, 0), D2(−1, −10).
15. Határozzuk meg a d1 : −x + 2y − 1 = 0 egyenes szimmetrikusát a d2 : x − y = 0
egyenesre majd az A(−2, 5) pontra vonatkozóan! E: 2x + y − 1 = 0, x − 2y + 23 = 0.
16. Adott három, A(8, 0), B(3, 6), C(0, 3) pont. A BC egyenes az Ox tengelyt D-ben, az
AB egyenes az Oy tengelyt E-ben metszi. Igazoljuk, hogy az [OB], [AC], [DE] szakaszok
felezőpontjai kollineárisak!
17. Adott egy háromszög két csúcsa: A(−6, 2) és B(2, −2), valamint a H(1, 2) ortocentrum.
Határozzuk meg a harmadik C csúcs koordinátáit! E: C(2, −34).
18. Határozzuk meg az ABC háromszög köré írt kör középpontjának koordinátáit, ha
16 5
A(1, 2), B(3, −2) és C(5, 6). E: , .
3 3
19. Határozzuk meg az alábbi egyenesek által bezárt szögeket
1) y = 2x + 1 és y = −x + 2;
2) y = 3x − 4 és x = 3 + t, y = −1 − 2t;
3) y = 2x/5 + 1 és 4x + 3y − 12 = 0;
4) 2x + 3y = 0 és x − y + 5 = 0;
5) x − 3y + 2 = 0 és x = 2 − t, y = 3 + 2t.
E: 1)45◦ ; 2) 45◦ ; 3) arctg 14
; 4) arccos
23
√ 26
26
; 5) arctg7
5 .
20. Határozzuk meg azt az A(3, 1) ponton áthaladó egyenest, amely 45 ◦ -os szöget zár be a
2x + 3y − 1 = 0 egyenlettel megadott egyenessel. E: x − 5y + 2 = 0, 5x + y − 16 = 0.
21. Határozzuk meg az x + 3y = 0, x = 3, x − 2y + 3 = 0 egyenesek által meghatározott
háromszög csúcsait és szögeit.
22. Adott az A(1, −2), B(5, 4) és C(−2, 0) csúcsú háromszög . Határozzuk meg az A szög
külső és belső szögfelezőjének az egyenletét! E: −x + 5y + 11 = 0, 5x + y − 3 = 0.
23. Határozzuk meg az O(0, 0), A(1, 2) és B(−5, 7) pontok távolságát a 6x + 8y − 15 = 0
egyenestől.
24. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(8, 9) ponton és amelynek
az x − 2y + 5 = 0 valamint az x − 2y = 0 egyenesek közé eső szakaszának hossza
5.
25. Határozzuk meg az alábbi párhuzamos egyenesek közti távolságot
1) x − 2y + 3 = 0 és 2x − 4y + 7 = 0;
2) 3x − 4y + 1 = 0 és x = 1 + 4t, y = 3t ;
3) x = 2 − t, y = −3 + 2t és x = 2s, y = 5 − 4s.
2

E: 1) 1
2 √ 5 .
26. Határozzuk meg az x + 2y − 10 = 0 és x − 2y + 2 = 0 egyenesek által meghatározott
szög azon szögfelezőjét, amely áthalad az A(1, 3) ponton.
27. Egy ABC háromszög esetén A(2, 5), B(1, 3), C(7, 0). Határozzuk meg a magasságok
hosszát! E: √ 5, 3√ 2
2 , 3√ 5.
28. Adottak az A(−2, 1), B(3, 1), C(1, 5) pontok. Határozzuk meg a B pont távolságát az
A csúcshoz tartozó oldalfelezőtől! E: √ 5.
29. Igazoljuk, hogy az x − 3y + 1 = 0, x − 3y + 12 = 0, 3x + y − 1 = 0 és 3x + y + 10 = 0
egyenesek által meghatározott négyszög egy négyzet. Határozzuk meg a területét! E: 12.1.
30. Egy négyzet egyik oldalának egyenlete x + 3y − 5 = 0. Határozzuk meg a négyzet többi
oldalának az egyenleteit, ha tudjuk, hogy a négyzet szimmetriaközéppontja a P (−1, 0)
pontban található.
E: −15x + 5y + 15 = 0, −15x + 5y + 9 = 0, x + 3y + 35
= 0.
3
31. Adottak egy háromszög két oldalának egyenletei: 3x − 2y + 1 = 0 és x − y + 1 = 0
valamint az egyik oldalfelezőjének az egyenlete 2x − y − 1 = 0. Határozzuk meg a harmadik
oldal egyenletét! E: 5x − 3y − 1 = 0 vagy x = 3.
32. Határozzuk meg egy háromszög oldalainak egyenletét, ha ismerjük az egyik csúcsot:
B(2, −1) valamint a különböző csúcsokhoz tartozó magasság 3x − 4y + 27 = 0 és szögfelező
x − 2y − 5 = 0 egyenleteit!
33. Állapítsuk meg, hogy az M(−3, 2) pont az x+y −4 = 0, 3x−7y +8 = 0, 4x−y +31 = 0
egyenesek által meghatározott háromszög belsejében van-e.
34. Adottak az x + 2y − 1 = 0, 5x + 4y − 17 = 0, x − 4y + 11 = 0 egyenesek. Határozzuk
meg a magasságok egyenleteit anélkül, hogy kiszámítanánk a csúcsok koordinátáit.
35. Adott egy M(3, 3) pont és egy ABC háromszög az oldalak egyenleteivel: AB : x + 2y −
4 = 0, BC : 3x + y − 2 = 0, AC : x − 3y − 4 = 0.
1) Számítsuk ki az ABC háromszög területét!
2) Az M pontnak az AO, OB és AB egyeneskre eső vetületét rendre P, Q, R-rel jelölve,
bizonyítsuk be, hogy a P, Q, R pontok egy egyenesen vannak.
3) Írjuk fel az AB és P Q egyenesek által meghatározott sugársor egyenletét. Határozzuk
meg a sugársor N(0, 5) ponton átmenő egyenesének az egyenletét.
36. Igazoljuk, hogy bármely ABC háromszögben a H magasságpont, a G súlypont és az
O oldalfelező merőlegesek metszéspontja egy egyenesen vannak (Euler egyenes).
37. Egy ABCD négyszög csúcsai az A(4, 3), B(5, −4), C(−1, −3), D(−3, −1) pontok.
1) Számítsuk ki az E és F pontok koordinátáit, ha {E} = AB ∩CD és {F } = BC ∩AD.
2) Igazoljuk, hogy az [AC], [BD] és [EF ] átlók felezőpontjai kollineárisak. (Az ABCDEF
alakzatot teljes négyszögnek nevezzük.)
3

38. Egy ABC háromszög területe 3, két csúcsa pedig az A(3,1) és B(1, −3) pontok.
Határozzuk meg a C csúcs koordinátáit az alábbi esetekben:
1) a C csúcs az Oy tengelyen van;
2) az ABC háromszög súlypontja az Ox tengelyen fekszik.
39. Egy paralelogramma területe 18, két csúcsa az A(2, 1) és B(5,-3) pont. A két átló az
Oy tengelyen metszi egymást. Határozzuk meg a másik két csúcs koordinátáit!
40. Írjuk fel az A(1, 1) ponton áthaladó és a B(−1, 0) és C(−1, −1) pontoktól egyenlő
távolságra levő egyenesek egyenletét!
41. Az xOy síkban adottak az A(6, 0), B(1, 5) és C(0, 4) pontok.
a) Számítsuk ki az ABC háromszög oldalainak hosszát!
b) Igazoljuk, hogy az OABC négyszög körbeírható!
c) Igazoljuk, hogy az O-ból a háromszög oldalaira bocsájtott merőlegesek talppontjai
kollineárisak.
42. Egy derékszögű xOy koordináta-rendszerben adottak az A(a, 0), B(b, 0) rögzített pontok
és az M(0, λ), λ ∈ R pontok. Határozzuk meg:
a) az AM egyenes egyenletét;
b) a B ponton áthaladó és AM-re merőleges egyenes egyenletét;
c) az előző két pontban meghatározott egyenesek metszéspontjának mértani helyét!
4