ArchitektÃºrÃ¡k Ã©s operÃ¡ciÃ³s rendszerek: AdatreprezentÃ¡ciÃ³

Architektúrák és 

operációs rendszerek: 

Balogh, Lőrentey: Architektúrák és operációs rendszerek – 2005–2006. első félév 

Adatreprezentáció 

Balogh Ádám 

Lőrentey Károly 

Eötvös Loránd Tudományegyetem 

Informatikai Kar 

Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék

Tartalomjegyzék 


1. Egész számok ábrázolása 

2. Törtszámok ábrázolása 

3. Szövegek ábrázolása 

4. Digitális logika 

2005. október 13., 12:52 Adatábrázolás 

2. oldal

Helyi értékes számrendszerek 

• Emlékeztetőül a tízes számrendszer: 


• Általánosítás: 

273.43 = 2 · 10 2 + 7 · 10 1 + 3 · 10 0 + 4 · 10 -1 + 3 · 10 -2 

– Legyen b > 1 a számrendszer pozitív egész alapszáma (bázisa) 

– Legyenek a i 

∈ { 0, …, b – 1 } számjegyek 

– Az (…a 2 

a 1 

a 0 

.a -1 

a -2 

...) b 

, b-számrendszerbeli szám számértéke: 

• Példák: 

… + a 2 

b 2 + a 1 

b 1 + a 0 + a -1 

b -1 + a -2 

b -2 + … = Σa i 

b i 

– (453.82) 9 

= 4 · 81 + 5 · 9 + 3 + 8/9 + 2/81 = 372 + 74/81 ≈ 372.91358 

– (242.13) 5 

= 2 · 25 + 4 · 5 + 2 + 1/5 + 3/25 = 72 + 8/25 = 72.32 

– (11021.121) 3 

= 1 · 81 + 1 · 27 + 2 · 3 + 1 + 1/3 + 2/9 + 1/27 ≈ 115.592 


3. oldal

Helyi értékes számrendszerek 


• A tíznél nagyobb alapszámú számrendszerek leírásához 

a 0-9 számjegyeket az angol ábécé betűivel egészítjük ki: 

– (3E8) 16 

= 3 · 256 + 14 · 16 + 8 = 1000 

– (BEEF) 16 

= 11 · 4096 + 14 · 256 + 14 · 16 + 15 = 48879 

– (CICA) 20 

= 12 · 8000 + 18 · 400 + 12 · 20 + 10 = 103450 

• Vigyázat, a jelölés nem egységes! 

– Ahány ember, annyi jelölés 

– Gyakran csak a szövegkörnyezetből derül ki az alapszám 

– (BEEF) 16 

helyett általában 0xBEEF-et írnak (C nyelv) 

– (7342) 8 

helyett gyakran 07342-t írnak (szintén C nyelv) 


4. oldal

Átszámolás új alapszámra 


• A számrendszerek között a cél-alapszámmal 

történő sorozatos maradékos osztással tudunk 

átszámolni 

– A legkisebb helyiértéktől kezdve kapjuk meg a 

számjegyeket: jobbról balra haladunk 

– Az osztás maradéka lesz az eredmény következő 

számjegye 

– A hányadost ismét leosztjuk 

– Addig ismételjük, míg nullát nem kapunk 


5. oldal

Átszámolási példa 

• Írjuk át 1000-et nyolcas alapra! 


1000 div 8 = 125 

125 div 8 = 15 

15 div 8 = 1 

1 div 8 = 0 

1000 mod 8 = 0 

125 mod 8 = 5 

15 mod 8 = 7 

1 mod 8 = 1 

(vége) 

Eredmény: 1000 = (1750) 8 


6. oldal

Nevezetes számrendszerek 


• Tízes számrendszer 

– Ezt szoktuk meg, ezt szeretjük 

– Az ujjaink számától eltekintve 

kevés praktikus haszna van 

• Hatos, tizenkettes stb. 

számrendszerek 

– Hagyományos 

mértékegységrendszerek 

– „Tucat” 

– Könnyű harmadolhatóság 

• Hatvanas számrendszer 

– Babilóniai eredet 

– Időmérés, trigonometria 

(fokok/órák, percek, 

másodpercek) 

• Kettes (bináris) számrendszer 

– Számjegyek: bitek (0, 1) 

• Tizenhatos számrendszer 

– Számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 

9, A, B, C, D, E, F 

– A nyers bináris adatok 

leggyakoribb megjelenítési 

formája 

• Nyolcas számrendszer 

– A tizenhatos „régimódi” 

alternatívája 

• Hatvannégyes számrendszer 

– Adatátvitel (base64 kódolás, 

email mellékletek) 


7. oldal

Érdekesség: egzotikus számrendszerek 

• Negatív alapú számrendszerek 


– Ugyanezen képlet alapján 

– A számjegyek ugyanazok, mint a pozitív megfelelőnél 

– Pl: (18005) -10 

= 2005; (2015) -10 

= -2005; Nincs szükség előjelre! 

• Valós alapú számrendszerek 

– Pl. √2 alapú számrendszer 

– Általában csak a 0, 1 számjegyeket megengedve 

– Az egész számok kifejtése általában végtelen hosszú 

• Kiegyensúlyozott ternáris számrendszer 

– Hármas alap, -1, 0, +1 számjegyek („tritek”) 

– Sok szép, szimmetrikus tulajdonság 

– A binárishoz hasonlóan könnyű aritmetika 

– Szovjet kísérleti számítógépek alkalmazták, ma sajnos nincs 

használatban, pedig megépíteni is könnyű 


8. oldal

Számábrázolás feladata 


• Feladat: számhalmazokat ügyes kódolással 

bitsorozattal ábrázolni 

– A bitsorozat hossza általában előre adott, rögzített 

• Neve: szóhossz, n-nel fogjuk jelölni 

• n a gyakorlatban általában 8, 16, 32 vagy 64 

• Így véges számú (2 n db) különböző számot írhatunk le 

– Ugyanaz a bitsorozat más és mást jelenthet a 

különböző megoldásokban 

– Így jelöljük a bitsorozatot: b n-1 

…b 2 

b 1 

b 0 

– Példa: 01101011 (vajon mit jelent?) 


9. oldal

Nemnegatív egész számok ábrázolása 


• Triviális feladat, egyszerűen használjuk a bináris 

számrendszerbeli átírás számjegyeit 

– A kettes számrendszer az informatika számrendszere 

– Leibniz (1703) világított rá először 

– Neumann János tette általánossá alkalmazását 

– Példák: 

00000000 := (0) 2 

= 0 

01101011 := (1101011) 2 

= 107 

11111111 := (11111111) 2 

= 255 

• Ábrázolható számtartomány: [0 .. 2 n -1] 


10. oldal

Néhány kerek szám 


2 0 = 1 

2 1 = 2 

2 2 = 4 

2 3 = 8 

2 4 = 16 

2 5 = 32 

2 6 = 64 

2 7 = 128 

2 8 = 256 

2 9 = 512 

2 10 = 1024 

2 11 = 2048 

2 12 = 4096 

2 13 = 8192 

2 14 = 16384 

2 15 = 32768 

2 16 = 65536 

2 31 = 2147483648 

2 32 = 4294967296 

2 64 = 18446744073709551616 

2 128 = 3402823669209 

3846346337460 

7431768211456 


11. oldal

SI Informatikai mennyiségprefixek 

• kilobyte (kB) 10 3 

• kibibyte (KiB) 2 10 


• megabyte (MB) 10 6 

• gigabyte (GB) 10 9 

• terabyte (TB) 10 12 

• petabyte (PB) 10 15 

• exabyte (EB) 10 18 

• zettabyte (YB) 10 21 

• yottabyte (YB) 10 24 

• mebibyte (MiB) 2 20 

• gibibyte (GiB) 2 30 

• tebibyte (TiB) 2 40 

• pebibyte (PiB) 2 50 

• exibyte (EiB) 2 60 

• A gyakorlatban általában kettőhatványértelemben 

használjuk a baloldali jelöléseket is 


12. oldal

Előjelbites számábrázolás 


• Hogyan ábrázoljunk negatív számokat? 

• Ötlet: a legnagyobb helyiértékű bitet használjuk fel az 

előjel ábrázolására 

– Ha b n 

értéke 0, akkor a sorozat értéke (b n-1 

…b 2 

b 1 

b 0 

) 2 

, egyébként 

-(b n-1 

…b 2 

b 1 

b 0 

) 2 

– Példák: 

00000000 := (0000000) 2 

= 0 10000000 := -(0000000) 2 

= 0 

01101011 := (1101011) 2 

= 107 10000001 := -(0000001) 2 

= -1 

01111111 := (1111111) 2 

= 127 11111111 := -(1111111) 2 

= -127 

– Ábrázolható számtartomány: [-2 n-1 -1 .. 2 n-1 -1] 

– Gépi feldolgozásra kellemetlen, kényelmetlen ábrázolás: 

• Dupla nulla; emellett a nullából visszalépve váratlan ugrás történik 

• Összeadás, kivonás nehézkes, az előjelbitet figyelembe kell venni 


13. oldal

Egyes komplemens ábrázolás 


• Az előjelbitet továbbra is fenntartjuk, de a negatív 

számokat úgy ábrázoljuk, hogy az abszolútértékük 

valamennyi bitjének értékét az ellenkezőjére állítjuk 

– Ezzel megszűnik a 0000… és az 1111… sorozatok közötti 

kellemetlen ugrás, jobban kezeljük tehát az alulcsordulást 

– Példák: 

00000000 := (0000000) 2 

= 0 10000000 := -(01111111) 2 

= -127 

01101011 := (1101011) 2 

= 107 10010100 := -(01101011) 2 

= -107 

01111111 := (1111111) 2 

= 127 11111111 := -(00000000) 2 

= 0 

– Ábrázolható számtartomány: [-2 n-1 -1 .. 2 n-1 -1] (mint előbb) 

– Használata mára szinte teljesen kikopott a gyakorlatból 

– A nullát továbbra is duplán ábrázoljuk! 


14. oldal

Kettes komplemens számábrázolás 


• Kézenfekvő javítás a két nullaérték összevonása 

• A negatív számokat egyszerűen ábrázoljuk úgy, hogy 

nullából egy pozitív számot kivonva hagyjuk alulcsordulni az 

eredményt 

– Pontos leírás: a -k szám ábrázolásához először k bináris 

reprezentációjának komplemensét képezzük, majd az így kapott 

számhoz hozzáadunk 1-et 

– Példák: 

00000000 := (0) 2 

= 0 10000000 := -(01111111) 2 

= -(10000000) 2 

= -128 

01101011 := (1101011) 2 

= 107 10010100 := -(10010011) 2 

= -(1101100) 2 

= -108 

01111111 := -(0) 2 

= 127 11111111 := -(1) 2 

= -1 

– Ábrázolható számtartomány: [-2 n-1 .. 2 n-1 -1] 

– Ez szinte valamennyi mai számítógép-architektúra belső 

számábrázolási módszere 


15. oldal

Kettes komplemens számábrázolás 


• Összeadás, kivonás közben nem kell előjelekkel 

bíbelődni: 

– Összeadáskor egyszerűen összeadjuk a számokat 

– Kivonáskor megváltoztatjuk a kivonandó előjelét 

(komplemens+1), majd egyszerűen összeadunk 

– Példa: Mennyi 45 – 23? 

1. Számábrázolás 

45 = 00101101, 23 = 00010111 

2. A kivonandó előjelváltása 

-23 = 11101001 

3. Összeadás 45 – 23 = 45 + (-23) 

00101101 + 11101001 = 00010110 (túlcsordulást levágva) 

4. Visszaírás tizedes alakba 

00010110 = 22 


16. oldal

Bájtsorrend 


• A különböző processzorok más és más sorrendben tárolják a 

memóriában az egész számokat reprezentáló bájtsorozatokat 

– A választás önkényes, egyik megoldás sem egyértelműen „jobb” a többinél 

• Big-endian: A legmagasabb helyiértékű bájt kerül a legkisebb 

memóriacímre 

– 1144201745 = 0x44332211 = 44 33 22 11 

– Motorola 68000, SPARC, System/370 

– Előnye: könnyen olvasható, érthető 

• Little-endian: A legkisebb helyiértékű bájt kerül az első címre 

– 1144201745 = 0x44332211 = 11 22 33 44 

– Intel x86, MOS Technology 6502, DEC VAX 

– Előnye: a szó bájtokra vagy duplabájtokra bontásakor a kisebb helyiértékű 

részek kisebb címeken lesznek megtalálhatók, ami valamivel intuitívebb 

• Az elnevezéseket illetően lásd Swift Gulliver utazásait 


17. oldal

Bájtsorrend 


• Egyes processzorok esetében a bájtsorrend menet 

közben konfigurálható 

– ARM, PowerPC, DEC Alpha, MIPS, PA-RISC, IA64 (Itanium) 

• Régebbi architektúrákon „vegyes” bájtsorrend is 

előfordult (middle-endian) 

– PDP-11: 0x44332211 = 33 44 11 22 

• Architektúrák közötti adatátvitelkor gondoskodni kell 

alkalmas bájtsorrend-konverziókról 

– Ha erről megfeledkezünk, értelmetlen adatokat kapunk 

– Igen gyakori, kellemetlen hibaforrás 

– Az internet protokollok egységesen big-endian ábrázolást 

rögzítenek 


18. oldal

Binary Coded Decimal (BCD) 


• Gyakran van szükség tízes számrendszerbeli számok 

ábrázolására 

– Pl. számviteli rendszerek 

– A bináris ábrázolás használható volna, de az oda-vissza konverzió 

rontaná a hatékonyságot 

• Ötlet: a tízes alapú számaink számjegyeit kódoljuk egy-egy 

négyes bitcsoportban! 

0 = 0000 2 = 0010 1 = 0001 3 = 0011 4 = 0100 

5 = 0101 6 = 0110 7 = 0111 8 = 1000 9 = 1001 

– A fennmaradó hat kódpozícióhoz nem rendelünk értéket, vagy pl. 

előjel jelölésére használjuk 

– A reprezentációhoz négyes bitcsoportokra osztjuk a bitsorozatot 

– Példa: 4255 = 0100001001010101 (n = 16) 

– Ábrázolható számtartomány: [0 .. 10 n/4 ] 


19. oldal

„Bigints”, tetszőleges pontosság 


• Ha nem férünk el egy szóban, rakjunk több szót 

egymás mellé 

• Az elemi műveletek úgy végezhetők, mintha 2 n 

alapú számrendszerben dolgoznánk, és a szavak 

volnának a számjegyeink 

– Az összeadó/szorzótáblát a gép elemi műveletei 

implementálják 

– A tulajdonképpeni műveleteket „kézzel” 

programozzuk be 

• A reprezentálható számtartomány a 

memóriamérettől függ, gyakorlatilag korlátlan 


20. oldal

Gray-kód 


• Frank Gray, Bell Labs, 1953 

• Bináris számrendszer, melyben az egymás utáni 

értékek csupán egy bitben különböznek 

egymástól 

– Motiváció: (mechanikus) kapcsolók nem tudnak 

pontosan egyszerre váltani, ezért kapcsolás közben a 

belőlük épített számlálók egy rövid ideig rossz 

értéket látszanak felvenni 

– A Gray-kód használata elkerüli a dupla 

kapcsolásokat, így a hibaforrás meszűnik 

– Számlálás céljára használatos (+1 művelet) 


21. oldal

Gray-kód előállítása 


• Ábrázolási tartomány: nemnegatív egészek, [0..2 n ] 

• n szélességű Gray-sorozatok rekurzív definíciója: 

– Ha n = 1, akkor a sorozat: {0, 1} 

– Egyébként az n széles sorozatot az n – 1 széles sorozatból 

állítjuk elő 

• Először az n-1-sorozat minden eleme elé írjunk nullát 

• Majd az így kapott sorozat után írjuk le az n-1-sorozat 

megfordítottját, minden elem elé egy 1-est írva 

– Példák: 

• n = 2: {00, 01, 11, 10} 

• n = 3: {000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100} 


22. oldal

5 széles Gray-sorozat 


00000 01100 11000 10100 

00001 01101 11001 10101 

00011 01111 11011 10111 

00010 01110 11010 10110 

00110 01010 11110 10010 

00111 01011 11111 10011 

00101 01001 11101 10001 

00100 01000 11100 10000 


23. oldal

Gray-kód alkalmazásai 


• Kapcsolókkal működő adatátviteli 

szerkezeteknél a mai napig használják 

• Kombinatorikus programozási feladatok 

– Pl. soroljuk fel egy H halmaz összes részhalmazát 

– Ha a k. bit 1, akkor az aktuális részhalmaz 

tartalmazza H k. elemét 

• Hanoi tornyai probléma 

– Rendeljük a k. bitet a k. koronghoz 

– Ha a Gray-sorozat következő elemében a k. bit 

változott, akkor azt a korongot kell mozgatni a 

következő lépésben 


24. oldal

Linear Feedback Shift Register (LFSR) 


• Pszeudovéletlen számsorozatokat is használhatunk számlálásra 

• Egy lináris visszacsatolású eltolóregiszter ügyes 

visszacsatolófüggvénnyel igen hosszú ciklusú, véletlennek látszó 

bitsorozatot generál 

• A leggyorsabb számlálók 

– Közvetlenül hardverben építhetők 

• Rengeteg érdekes alkalmazás 

– Kriptográfia 

1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 

Visszacsatolás 

– GPS (minden műhold saját, 1023 bit hosszú szekvenciát generál) 

– Digitális televíziózás 

• A bitfolyam zavaró szabályosságainak elfedésére 

0 


25. oldal 

1 

1 

XOR kapuk 

Kimenet








26. oldal

Törtszámok ábrázolása 


• A cél a valós számok ábrázolása véges 

bitsorozattal 

– Tökéletes pontossággal lehetetlen 

– Maximum megszámlálható részhalmazokat tudunk 

csak ábrázolni 

– A cél az „érdekes” számok minél jobb közelítése 

• Érdekesség: vannak olyan valós számok, 

amelyek számjegyeit logikai képtelenség 

számítógéppel előállítani 

– Kiszámíthatatlan számok, Alan Turing 

– Lásd: megállási probléma 


27. oldal

Fixpontos számábrázolás 


• Használjuk a papíron megszokott tizedespontos ábrázolást 

– A „kettedespontot” képzeljük mindig ugyanazon két bitpozíció közé 

– Példák: (5+3-as ábrázolással, nyolcbites szavakkal) 

• 00110111 = (00110.111) 2 

= 6.875 

• 00000001 = (0.001) 2 

= 0.125 

• 00001000 = (1) 2 

= 1 

• 10101011 = -(01010.101) 2 

= -10.625 (kettes komplemens) 

• Viszonylag kényelmes ábrázolási mód 

– A reprezentált számok homogén eloszlásúak 

– Az összeadás/kivonás változatlan módon elvégezhető 

– A szorzás/osztás után normalizálni kell 

• Maja civilizáció 

– 20-as alapú, fixpontos számábrázolás 


28. oldal

Racionális számábrázolás 


• Minden racionális szám felírható két egész szám hányadosaként 

• Ábrázoljuk a számlálót és a nevezőt külön-külön! 

• A négy alapművelet az ismert összefüggések alapján elvégezhető 

– (p/q) · (u/v) = pu / qv 

– (p/q) / (u/v) = pv / qu 

– (p/q) ± (u/v) = (pv ± qu) / qv 

• A műveletek után célszerű egyszerűsíteni a számláló és a nevező 

legnagyobb közös osztójával 

• Az elérhető pontosság a megengedhető szélességtől függ 

– Túlcsordulás esetén ügyes algoritmussal meg kell találni a 

legközelebbi ábrázolható számot 

– Gyakori a tetszőleges pontosságú egészek használata 

• Viszonylag művelet- és tárigényes számábrázolási mód 


29. oldal

Komplex számok ábrázolása 


• Általában két külön szám ábrázolásával 

– Valós és képzetes részre bontás 

– Polárkoordinátás felírás 

• 2i alapú egzotikus számrendszer is használható 

– Számjegyek: 0, 1, 2, 3 

– Nincs szükség külön előjel használatára 

– Szorzás, osztás a valós számoknál „szokásos” 

algoritmussal elvégezhető 

– Lásd Knuth II. 


30. oldal

Lebegőpontos számábrázolás 

• Induljunk ki a számok „tudományos” jelöléséből: 


– e {0, 1}: előjel 

a = (-1) e · m · 10 k 

– m [1, 10): mantissza, törtrész 

– k Z: kitevő, exponens 

– Példák: 3.14159 = (-1) 0 · 3.14159 · 10 0 

-2919.2 = (-1) 1 · 2.9192 · 10 3 

• A digitális számábrázoláshoz az (e, m, k) hármasokat 

fogjuk szabványos formában rögzíteni 

– A mantissza hosszától függ a pontosság 

• Babilóniai Birodalom: 60-as alapú lebegőpontos 

számrendszer, kitevő nélkül 

– A nullát ismerték, de csak számjegyek között volt rá szükség 


31. oldal

IEEE 754 


• 32 bites ábrázolás (egyszeres pontosság) 

– 1 bit előjel, 8 bit kitevő, 23 bit „szignifikáns” 

e kitevő+127 szignifikáns 

31 30 

23 

22 

– A kitevő -126 és 127 között lehet, 127 hozzáadásával 

kerül eltárolásra 

– A mantissza „kettedespont” előtti számjegye 

nemnulla számokra garantáltan egy, ezt nem tároljuk 

– Példa: 

154.1 ≈ (10011010.00011001100110011…) 2 

= (1.001101000011001100110011…) 2 

· 2 (111) 

= 01000011000110100001100110011001 


32. oldal 

0

IEEE 754 


• A csupa nulla és csupa 1 bitből álló kitevő speciális 

jelentéssel bír 

– Kitevő és szignifikáns is 0: a nulla szám 

• Az előjel szerint -0, +0 számokat is reprezentálhatunk 

– Kitevő 0, szignifikáns nem 0: denormalizált szám 

• Alulcsordulás elkerülésére használják 

– Ha a kitevő 255, a szignifikáns 0: végtelen mennyiség 

• Az előjel a -∞ és a +∞ között tesz különbséget 

• 42/0 = +∞, -42/0 = -∞ 

– Ha a kitevő 255, a szignifikáns nem 0: „nemszám” érték 

• NaN, Not a Number 

• Hibajelzésre szolgálnak, pl. 0/0 esetén 

• Dupla pontosság is definiált 

– 64 bit, 11 bit kitevő (1023-as eltolás), 52 bit mantissza 


33. oldal

Konverzió tizedes számrendszerből 


e kitevő+127 szignifikáns 

31 30 

42.5 

0.625 

= (101010.1) 2 

= (1.010101) 2 

· 2 101 ; (101 + 1111111) 2 

= (10000100) 2 

= 01000010001010100000000000000000 

= (0.101) 2 

23 

22 

= (1.01) 2 

· 2 -1 ; (-1 + 1111111) 2 

= (01111110) 2 

= 00111111001000000000000000000000 


34. oldal 

0

Konverzió tízes számrendszerbe 

• 11000010101101100000000000000000 = ? 

Kitevő: 10000101 = (10000101) 2 

– (01111111) 2 

= (00000110) 2 

= 6 


Szignifikáns: 01101100... = (1.01101100...) 2 

= 1.421875 

Eredmény: -1 · 1.421875 · 32 = -45.5 

• 00000000000000000000000000000001 = ? 

Normalizálatlan szám! 

0.000000000000000000001 · 2 -126 

= 2 -22 · 2 -126 = 2 -148 

≈ 2.8025969 · 10 -45 

Ez a legkisebb abszolútértékű reprezentáns 

• 01111111011111111111111111111111 = ? 

1.1111111111111111111111 · 2 127 

≈ 2 · 2 127 = 2 128 = 2.80259692 · 10 39 

Ez a legnagyobb abszolútértékű reprezentáns 


35. oldal

IEEE754 reprezentánsok sűrűségeloszlása 

Egységnyi hosszú intervallumba eső 

reprezentánsok száma 


... 

Normalizált 

reprezentánsok 

-2 -123 -2 -124 -2 -125 -2 -126 

Normalizálatlan 

reprezentánsok 

0 2 -126 2 -125 2 -124 2 -123 

... 


36. oldal

A lebegőpontos ábrázolás problémái 


• Sok véges tizedestörtnek végtelen a „kettedes” kifejtése 

– 1/5, 1/10, 1/100, stb. 

– Pénzügyi, számviteli alkalmazásokra nem jó (lásd BCD) 

• Mindig észben kell tartani, hogy közelítő 

mennyiségekkel dolgozunk 

– Szigorú egyenlőségvizsgálat szinte mindig hiba: 

f := 0.1; while not f = 10.0 do f := f + 0.1; end; 

– A fenti programkód végtelen ciklust eredményez! 

– Mindig kisebb/nagyobb relációt vizsgáljunk, vagy 

ε-sugarú környezettel hasonlítsunk: 

f := 0.1; while f < 10.0 do f := f + 0.1; end; 

f := 0.1; while f – ε > 10.0 or f + ε < 10.0 do f := f + 0.1; end; 


37. oldal

A lebegőpontos ábrázolás problémái 

• A számábrázolás tartománya nem homogén 

– Nullához közel nagyon sűrűek a reprezentánsok 


– Ahogy növeljük az abszolútértéket, úgy csökken a pontosság 

• Két egymáshoz közeli számot kivonva egymásból 

romlik a pontosság 

– A mantissza elejéről kiesnek az azonos számjegyek 

– Ha nem vigyázunk, egészen rossz eredményt kapunk 

• Több nagyságrendben eltérő számokat összeadva a 

nagyobb szám „lenyeli” a kisebbet 

– Nem mindegy, hogy milyen sorrendben adunk egy számsorozatot! 

• Nullával közeli számmal osztva is hibát vezetünk be 

• A numerikus analízis nevű tudományág egyik feladata, hogy stabil 

algoritmusokat találjon, melyek elkerülik a fenti szituációkat 


38. oldal

Szimbolikus számábrázolás 


• Egyelőre csak erre specializált matematikai 

programcsomagokban 

• A pontosan nem reprezentálható függvényeredmények 

helyett megőrizzük a kiszámolandó formulát, így 

dolgozunk tovább 

– Azonosságok segítségével egyszerűsítjük a képletet 

• √(x 2 + 2x + 1) = x + 1 

– Mesterséges intelligencia algoritmusok 

• Első alkalmazások: szimbolikus deriválás, Lisp, 

hatvanas évek 

• Manapság: „új matematika” 

– Mathematica, Maple 


39. oldal








40. oldal

Karakterek, -halmazok, -kódolások 


• Karakter: egy nyelvi szimbólumot, grafémát reprezentáló 

információegység 

– Példák: A ! 5 % Ж ق vagy akár a szóköz 

– Nem tartalmazza a megjelenítés pontos módját (a karakter alakját) 

– A különböző megjelenítési variációkat (pl. a, a, a) ugyanannak a 

karakternek tekintjük 

• Karakterhalmaz (kódkészlet): ezek valamely együttese 

• Karakterkódolás: a karakterhalmaz elemei és az őket 

reprezentáló bitsorozatok közötti hozzárendelés 

– Egy adott karakterhalmazhoz több különböző szabványos kódolás 

is tartozhat 

• Karakterek sorozatát sztringeknek vagy füzéreknek szokás 

hívni 


41. oldal

EBCDIC 


• Az IBM „hagyományos” kódtáblázata 

– Lyukkártyák olvasható kódolása volt 

– Emberi szemmel is viszonylag könnyen leolvasható 

– Az IBM nagyszámítógépeken a mai napig használják 

• Nyolcbites kódolás, sok nemzeti és egyéb 

variáns 

– 95 közös kódpozíció 

• Jellegzetessége, hogy az angol ábécé 26 

betűjének kódpozíciói nem folytonosak 

– Az i/j és az r/s betűk közé más karakterek ékelődnek 

– Oka a lyukkártyás eredet 


42. oldal

EBCDIC 


http://aspell.net/charsets/ 


43. oldal

Emlékeztető: Lyukkártya 


• 187.25mm széles, 82.55mm magas (7.75''x3.25'') 

• A fenti kártyán, balról jobbra: betűk (A-Z), 

számjegyek (0-9) és speciális szimbólumok 

http://www.staff.ncl.ac.uk/roger.broughton/iomedia/pc.htm 


44. oldal

ASCII (ISO 646) 


• American Standard Code for Information Interchange 

• 1963, a Bell cég távírógép-kódjaiból 

• Hétbites, 127 karaktert tartalmazó kódtábla 

– Angol ábécé, számjegyek, írásjegyek, maroknyi speciális karakter 

(\^_`|~) 

– Nyomtatási képpel rendelkező karakterek: 

!"#$%&'()*+,-./0123456789:;? 

@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_ 

`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~ 

– Az első 32 kódpozíción ún. vezérlő karakterek találhatók 

• Többségük mára okafogyottá vált 

• Minden idők legsikeresebb informatikai szabványa 

– Az IBM nagyszámítógépeken kívül mindenhol ezt használják 

– Manapság a Unicode kezdi leváltani 


45. oldal

ASCII (ISO 646) 


http://aspell.net/charsets/ 


46. oldal

ISO 8859 


• Nyolcbites karakterkódolások ISO/IEC nemzetközi 

szabványa 

– ASCII kompatibilis, az első 127 jel megegyezik vele 

– Jelenleg 15 különböző kódlapot ír le 

– ISO 8859-1: Nyugat-európai kódkészlet (Latin-1) 

• A Latin-2 ő, ű helyén õ, ill. û áll, a magyar szövegek így is olvashatók, 

bár a rossz ékezetek szúrják a szemet 

– ISO 8859-2: Közép-európai kódkészlet (Latin-2) 

• Teljes magyar ábécé 

– ISO 8859-15: A Latin-1 második kiadása (Latin-9) 

• Euró karakter (€), egzotikusabb francia, finn és észt betűk 

– ISO 8859-16: A Latin-2 második kiadása (Latin-10) 

• Euró karakter, alsó idézőjelek 

• Sajnos az ű karakter kódpozíciója eltér a Latin-2-től 


47. oldal

ISO 8859-1 és -2 



48. oldal

Unicode és UCS 


• Universal Character Set, ISO/IEC 10646 

– Jelenleg mintegy százezer karaktert tartalmazó kódkészlet 

– Kb. 2 21 különböző karakterig bővíthető 

• Pontos érték: 2 20 + 2 16 = 0x10FFFF = 1114112 karakter 

– Minden élő (és sok holt) nyelv összes írásjele, matematikai 

szimbólumok, valamennyi korábbi karakterkészlet összes jele 

– Több-bájtos karakter-kódok 

• Unicode: ipari szabvány 

– Kezdetben jóval egyszerűbb és korlátozottabb volt 

– Mára a kettő teljesen kompatibilis 

– A Unicode szabványok részletes használati útmutatót, 

implementációs segédletet is adnak az egyes karakterekhez 

– Rendezési, megjelenítési, szerkesztési útmutatók 


49. oldal

Unicode kódtáblázat 


http://www.ianalbert.com/misc/unichart.php 


50. oldal

Unicode és UCS 

• A Unicode általános, nemzetközi kódkészlet 


– Latin ábécéktől a kínai írásjeleken át az egyiptomi 

hieroglifákig 

– Jellegzetesség, hogy az ékezetes karaktereket 

építőelemeikből egyesével is öszerakhatjuk 

– Igen kifinomult megjelenítési, szerkesztési, rendezési, 

konverziós szabályok 

• A karakterekhez a szabvány számértéket rendel 

– Jelölésük: U+kódpozíció; példa: 'A' = U+0041 

• A kódpozícióhoz különféle szabványos 

eljárásokkal rendelhetünk bitsorozatokat 

– UTF-8, UCS-2, UTF-16, UTF-32/UCS-4 


51. oldal

A Unicode kódok 


• A 1114112 kódpozíciót a könnyebb kezelhetőség 

érdekében 17 db 65536 (2 16 ) kódot 

tartalmazó„síkra” (plane) osztották 

• A legelső síkba kerültek a leggyakoribb 

karakterek 

– Basic Multilingual Plane (BMP) 

– Ezen a karakterek reprezentációja a leggazdaságosabb 

– Egyes reprezentációk csak ezt az egy síkot támogatják 

• Az első 256 kódpozíció megegyezik a Latin-1 

kódtáblázat kiosztásával 

– Ebből következően az első 128 pozíció az ASCII 


52. oldal

Basic Multilingual Plane (BMP) 


• Az ábra minden négyzete 256 kódpozíciót takar: 

– Latin karakterek 

– Egyéb európai karakterek 

– Nyelvészeti karakterek 

– Közelkelet 

– Afrika 

– Dél-Ázsia 

– Kelet-Ázsia 

– Egységesített CJK 

– Ausztrália 

– Szimbólumok 

– Ékezet-építő karakterek 

– Tiltott (UTF-16), ill. privát felhasználás 

– Egyéb 

– Kiosztatatlan 

http://en.wikipedia.org/wiki/Basic_multilingual_plane 


53. oldal

UTF-32 / UCS-4 


• Ötlet: minden Unicode karaktert reprezentáljunk a kódpozíciójával 

– Négy bájton kényelmesen elfér 

– A legegyszerűbb megoldás 

– Példa: az „Szőr” sztring kódjai: 

0x00000053 0x0000007A 0x00000151 0x00000072 

• Minden karaktert azonos hosszúságú bitsorozat reprezentál 

– Az ékezet-építő karakterek miatt így is előfordulhat, hogy egyetlen 

megjelenített szimbólumot több négybájtos karakteren ábrázolunk 

– Pl. az „ő” betűt az U+006F U+030B párral is megadhatjuk: 

0x00000053 0x0000007A 0x0000006F 0x0000030B 0x00000072 

• Hátrányai: 

– A reprezentáció függ az alkalmazott bájtsorrendtől 

– Viszonylag gazdaságtalan kódolás (32 bájt négy karakterért!) 

• Az extra biteket viszont különböző egyéb célokra használhatjuk 

– Nulla bájtokat tartalmaz, ami megzavarhatja a korábban írt programokat 

• Viszonylag ritkán használatos 


54. oldal

UTF-8 


• 1993, Ken Thompson, Rob Pike 

• Az egyes Unicode karaktereket 1-4 bájt hosszúságú 

bájtsorozatokra képezi 

– Az ASCII karakterek reprezentációja nem változik: 

0xxxxxxx 

– A BMP többi karaktere két vagy három bájt hosszú: 

110xxxxx 10xxxxxx 

1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx 

– A többi 16 sík karakterei négybájtosak: 

11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx 

(7 bit) 

(11 bit) 

(16 bit) 

(21 bit) 

– A karakterekhez a lehető legrövidebb sorozatot rendeljük 

– Az első bájt legmagasabb helyiértékű egyes bitjeinek száma határozza meg 

a sorozat hosszát 

– A további bájtok egyértelműen megkülönbeztethetőek a karakterkezdő 

bájtoktól 


55. oldal

UTF-8 

• Például a „Szőr” reprezentációja: 


'S' = U+0053, 0x53 = (1010011) 2 

'z' = U+007A, 0x7A = (1111010) 2 

'ő' = U+0151, 0x0151 = (101010001) 2 

'r' = U+0072, 0x72 = (1110010) 2 

01010011 01111010 11000101 10010001 01110010 

0x53 0x7A 0xC5 0x91 0x72 

S z ő r 


56. oldal

UTF-8 


• Előnyök 

– Bájtsorrend-független reprezentáció 

– Az U+0000 (0x00) karaktertől eltekintve egy karakter 

reprezentációjában sem fordul elő nulla bájt 

• A létező programok jó része számára így az UTF-8 szövegek 

kezelhetőek maradnak 

– Állapotmentes kódolás; ha hiba történik, a következő 

karaktertől egyértelműen folytatható a dekódolás 

• Hátrányok 

– A változó hossz miatt a sztringműveletek nehézkesebbek 

– Elvileg ugyanaz a karakter többféleképpen is kódolható volna 

• Pl. 00000001 =?= 11000000 10000001 

• A jelenlegi szabvány már tiltja a hosszabb forma elfogadását 

• Az adatátvitelben az UTF-8 kezdi felváltani az ASCII-t 


57. oldal



• A C, C++, Java, C# programozási nyelvek 

„széles” karaktereinek reprezentációja 

• Az UTF-16 a BMP karaktereit egységesen 2 

bájton, a többi sík (ritka) karaktereit pedig 4 

bájton reprezentálja 

• A BMP karaktereinek számértéke megegyezik az 

Unicode kódpozíciójukkal 

– Például „Szőr”: 0x0053 0x007A 0x0151 0x0072 

• Ha csak a BMP karaktereit engedjük meg, az így 

kapott egyszerűsített kódolás az UCS-2 


58. oldal



• Az UTF-16-ban a BMP-n kívül rekedt (2 20 db) 

kódpozíciót két duplabájtos kóddal ábrázoljuk 

– Surrogate pairs, „pótpárok” 

– A duplabájtos összetevők értéke 0xD800 és 0xDFFF közé esik 

• Ez egy 11 bit széles tartomány, amit két 10 bites részre osztunk: 

Felső fél: 

Alsó fél: 

110110xxxxxxxxxx 

110111xxxxxxxxxx 

• A BMP-ben ezekhez a pozíciókhoz nincs karakter rendelve 

• Az x-ek helyére szabadon választható 10+10 bit értéke az ábrázolandó 

karakter Unicode pozíciója mínusz 2 16 

– Példa: mükénéi Lineáris B „Nő” karakter: U+10081 

0x10081 – 0x10000 = 0x0081 = (0000000000 0010000001) 2 

(1101100000000000 1101110010000001) 2 

= 0xD800 0xDC81 


59. oldal



• Előnyök: 

– A népszerű programozási nyelvek beépített támogatást adnak 

– Viszonylag gazdaságos kódolás 

– A hétköznapi használatban lévő karakterekre egységesen kétbájtos 

reprezentációhossz 

• Hátrányok: 

– A BMP-n kívüli karakterek változó hosszúságú kódolást 

eredményeznek 

– A konkrét reprezentáció függ az architektúra bájtsorrendjétől 

• UTF-16, UTF-16BE, UTF-16LE 

• A szövegeket bájtsorrend-jelző (BOM, Byte Order Mark) U+FEFF 

karakterrel szokás kezdeni („nulla hosszúságú nem törhető térköz”) 

• Az U+FFFE kódpozícióhoz nincs karakter rendelve, így egyértelmű a 

döntés 

• Az UTF-16-t gyakran használják belső ábrázoláshoz 


60. oldal




2. Tört számok ábrázolása 




61. oldal

Digitális áramkörök, logikai kapuk 


• A digitális áramkörökben csupán két logikai 

értéket különböztetünk meg 

– Pl. 0V := 0 (hamis), 5V := 1 (igaz) 

• A logikai kapuk egyszerű digitális áramkörök, 

melyeket építőkockaként használhatunk 

bonyolultabb áramkörök készítéséhez 

• A kapuk összeállításához valamilyen 

kapcsolóként viselkedő áramköri 

elemre van szükség 

– Relé, vákumcső, tranzisztor 


62. oldal 

B 

C 

E

NEM kapu (NOT) 


• A NEM kapu a bemenetére érkező jel 

ellenkezőjét állítja elő a kimenetén 

– „Inverter” avagy „fordító” 

U be 

+U cc 

U ki 


63. oldal 

A 

A X 

0 1 

1 0 

X

NEM-ÉS kapu (NAND) 


• A NAND kapu értéke mindig 1, kivéve ha 

mindkét bemenete is 1 

U 1 

U 2 

+U cc 

U ki 


64. oldal 

A 

B 

A B X 

0 0 1 

0 1 1 

1 0 1 

1 1 0 

X

NEM-VAGY kapu (NOR) 


• A NOR kapu értéke csak akkor 1, ha mindkét 

bemenete 0 

U 1 

+U cc 

U 2 

U ki 


65. oldal 

A 

B 

A B X 

0 0 1 

0 1 0 

1 0 0 

1 1 0 

X

ÉS kapu (AND) 


• Az ÉS kapu csak akkor ad 1-es értéket, ha 

mindkét bemenete egyaránt 1-es 

U 1 

U 2 

+U cc 

+U cc 

U ki 


66. oldal 

A 

B 

A B X 

0 0 0 

0 1 0 

1 0 0 

1 1 1 

X

VAGY kapu (OR) 


• A VAGY kapu kimenetére akkor kerül 1-es jel, 

ha legalább az egyik bemenete 1-es 

U 1 

+U cc 

U 2 

+U cc 


67. oldal 

U ki 

A 

B 

A B X 

0 0 0 

0 1 1 

1 0 1 

1 1 1 

X

Kizáró VAGY kapu (XOR) 


• Akkor kerül 1 a kimenetére, ha pontosan egy 

bemenete 1-es 

A 

B 

X 

A B X 

0 0 0 

0 1 1 

1 0 1 

1 1 0 


68. oldal

Boole-függvények 


• Boole-függvényeknek nevezzük az egy vagy több 

igazságértékről igazságértékre képező 

függvényeket 

– A Boole-függvényeket egyértelműen megadhatjuk, ha felírjuk, 

hogy mely paraméterértékekre milyen értéket vesznek fel 

(igazságtábla, 2 n számú sor) 

• Bármely Boole-függvényhez készíthető egy 

NOT, OR, AND kapukból álló, őt előállítható 

áramkör 

– Az igazságtábla 1-es értékű soraihoz rendeljünk AND 

kapukat a megfelelően beinvertált bemenetekkel, majd kössük 

őket össze OR kapuval 


69. oldal

Boole-függvények 

• Pl. Többségi függvény: 

A B C A B C 


A B C M 

0 0 0 0 

0 0 1 0 

0 1 0 0 

0 1 1 1 

1 0 0 0 

1 0 1 1 

1 1 0 1 

1 1 1 1 

A 

B 

C 


70. oldal 

ABC 

ABC 

ABC 

ABC 

M

NAND (és NOR) áramkörök 


• A NAND és NOR kapuk egymagukban is 

képesek a többi kapu megvalósítására 

– NOT: egyszerűen kössük össze a bemeneteket 

– AND, OR: 

A 

B 

A 

B 

A&B 

A&B 


71. oldal 

A 

B 

A 

B 

A|B 

A|B

Példa: 1 bites összeadó áramkör 


• Adjuk össze A-t és B-t! 

– Az összeg kerüljön S-be 

– Az esetleges túlcsordulást (átvitelt) jelezzük C-ben 

A 

B 

C 

A B S C 

0 0 0 0 

0 1 1 0 

1 0 1 0 

1 1 0 1 


72. oldal 

S

Példa: Teljes összeadó áramkör 


• Ha többbites összeadót szeretnénk építeni, 

bemenő átvitelre is szükség van: 

A 

B 

C' 

C 

A B C S C' 

0 0 0 0 0 

0 0 1 1 0 

0 1 0 1 0 

0 1 1 0 1 

1 0 0 1 0 

1 0 1 0 1 

1 1 0 0 1 

1 1 1 1 1 


73. oldal 

S

Példa: többites összeadó 


• Ha több bites számokat szeretnénk összeadni, 

egyszerűen egymás mellé kötjük a teljes 

összeadóinkat: 

C 

A3 

Teljes 

összeadó 

B3 

C2 

A2 

Teljes 

összeadó 

B2 

Teljes 

összeadó 

Teljes 

összeadó 


74. oldal 

C1 

A1 

B1 

S3 S2 S1 S0 

C0 

A0 

B0

ArchitektÃºrÃ¡k Ã©s operÃ¡ciÃ³s rendszerek: AdatreprezentÃ¡ciÃ³

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?