Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

24 2. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK2.11. Példa. Tanulmányozzuk a következ® függvény folytonosságát:⎧ √⎨ sin 1−x 2 −2y 2, ha 1−xf(x, y) =√1−x 2 −2y 2 > 0⎩2 −2y 21, ha 1−x 2 −2y 2 = 0.(2.5.2)A függvény értelmezési tartománya az 1 − x 2 − 2y 2 = 0 ellipszis és a belseje. Az ellipszis bels®pontjaiban a fügvénynek van határértéke és egyenl® a behelyettesítési értékkel, tehát a függvényfolytonos a bels® pontokban. Ha (x, y) az értelmezési halmaz olyan bels® pontja amelyre 1 − x 2 −−2y 2 → 0, akkorlim f(x, y) =1−x 2 −2y 2 →0tehát az ellipszis pontjaiban is folytonos a függvény.sin √ 1−xlim2 −2y√ 2= 1,1−x 2 −2y 2 →0 1−x2 −2y 22.1. Feladat. Határozzuk meg a következ® függvények határértékét a megadott pontokban, ha létezik!a) f(x, y) = xyx 2 +y 2 (0,0)b) f(x, y) = xy2x 2 +y 2 (0,0)c) f(x, y) = x+yx−y(0,0)d) f(x, y) = (x−1)(y−2)(x−1) 2 +(y−2) 2 (1,2)e) f(x, y) = (x−3)2 (y+2)(x−3) 2 +(y+2) 2 (3, −2)f) f(x, y) = x2 −y 2x 2 +y 2 (0,0)g) f(x, y) = (x+y) sin 1 sin 1 x y(0,0)h) f(x, y) = xy2 −4xx 2 +y 2 −4y+4(0,2)i) f(x, y) = sin(x2 +y 2 )x 2 +y 2 (0,0)j) f(x, y) = (1+xy) −1x 2 +y{2 (0,0)x+y, ha x+y racionálisk) f(x, y) =x 2 +y 2 , ha x+y irracionális(0,0)2.2. Feladat. Állapítsuk { meg hol folytonosak a következ® függvények:xy, ha (x, y) ≠ (0,0)xa) f(x, y) =2 +y 21, ha (x, y) = (0,0){xy, ha x 2 −y 2 ≠ 0xb) f(x, y) =2 −y 22, ha x 2 −y 2 = 0{2, ha xy ≠ 0c) f(x, y) =1, ha xy = 0{x sin 1 yd) f(x, y) =, ha y ≠ 00, ha y = 0{(1+xe) f(x, y) =2 y 2 ) −1x 2 +y 2 , ha (x, y) ≠ (0,0)1, ha (x, y) = (0,0).2.12. Példa. A Maple segítségével a következ® utasításokkal tudunk határértéket számolni:lim(x,y)→(−1,2)2x+3y4x+5y