Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

42 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG> D_y:=Diff(f[x,y],y)=diff(f[x,y],y);>a:=subs(x=1,y=2,D_x);> b:=subs(x=1,y=2,D_y);>abs_d:=sqrt(3^2+4^2);> D_{irany}:=a*(3/5)+b*(4/5);> evalf(D_{irany});3.4. Feladat. Tekintsük az f, g, függvényeket.a) Mutassuk meg, hogy f, g dierenciálható, számítsuk ki az f ′ , g ′ derivált mátrixukat.b) Határozzuk meg a h = g ◦f függvényt, mutassuk ki, hogy dierenciálható.c) Számítsuk ki a h derivált mátrixát, ha1) f, g : R 2 → R 2 , f(x, y) = (x 2 y, e y−x ) és g(u, v) = (v cos u, ue v )2) f : R 3 → R 2 , g : R 2 → R 2 , f(x, y, z) = (x 2 yz, e y−x+z ) és g(u, v) = (v 2 +u 2 , uv)3) f, g : R 3 → R 3 , f(x, y, z) = (xyz, e y−x , cos z) és g(u, v, w) = (vw sin u, uwe v , u−w 2 ).3.5. A dierenciálszámítás középérték-tételeiIsmeretes, hogy valós változó valós érték függvények esetén igaz az ú.n. Lagrange-féle középértéktétel:3.5.1. Tétel. Ha f : [a, a+h] → Ra) f folytonos [a, a+h]-n ésb) f dierenciálható (a, a+h)-n,akkor létezik τ ∈ (0,1) úgy, hogyf(a+h)−f(a) = f ′ (a+τh)·h.Megmutatjuk, hogy n-változós valós érték függvények esetére ez a tétel általánosítható.Továbbá megmutatjuk, hogy n-változós vektor érték függvények esetén a tétel nem igaz, csakegy becslést lehet adni a ‖f(a+h)−f(a)‖ kifejezésre.3.5.2. Tétel. Legyen f :U →R, U ⊆R n nyílt halmaz, a∈U, h=(h 1 , . . . , h n ) T . Ha f dierenciálhatóaz [a, a+h] = {a+th, t ∈ [0,1]} ⊆ U halmazon, akkor létezik τ ∈ (0,1) úgy, hogyf(a+h)−f(a) = f ′ (a+τh)h⎛ ⎞h 1⎜ ⎟= (∂ 1 f(a+τh), . . . , ∂ n f(a+τh))· ⎝ . ⎠ =h nn∑= ∂ j f(a+τh)·h j .j=1(3.5.1)