Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem
Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem
Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
48 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG3.6.2. Deníció. Az f : U → R, U ⊂ R n nyílt halmaz, függvény i index vektorhoz tartozó parciálisderiváltja∂ i f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) := ∂ i 11 ∂ i 22 . . . ∂ inn f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) =az f egy |i|-ed rend parciális deriváltja (feltéve, ha létezik).∂ |i|∂x i 11 ∂x i 22 . . . ∂x i 2f = f (|i|)x i 121 x i 22 ...x i 223.6.1. Megjegyzés. 1. Az el®bbi szimbólum azt jelenti, hogy f-et parciálisan deriváljuk az x 1változó szerint i 1 -szer, az x 2 változó szerint i 2 -ször, . . . , az x n -változó szerint i n -szer.2. Ha |i| = 1, akkor az 1 hosszúságú n dimenziós index vektorok a következ®k:(1,0,0, . . . ,0), (0,1,0, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,0,1).Az ezekhez tartozó deriváltak éppen az f függvény∂ 1 f, ∂ 2 f, . . . , ∂ n fn darab els®rend parciális deriváltjai.3. Ha |i| = 2, akkor a 2 hosszúságú n dimenziós index vektorok aés a(2,0, . . . ,0), (0,2,0, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,2)( 1 0, . . . ,0, i 1 ,0, . . . , j 1 ,0, . . . ,0), i, j = 1, n, i ≠ j.vektorok. Összesen n + ( n2) kett® hosszúságú index vektor van. Ezen vektorokhoz tartozó parciálisderiváltak∂l 2 f(x 1 , x 2 , . . . , x l , . . . , x n ), l = 1, nés a vegyes másodrend parciális deriváltakakkor∂ 2 ijf(x 1 , . . . , x i , . . . , x j , . . . , x n ), i, j = 1, n, i ≠ j.A továbbiakban használni fogjuk a következ® jelölést: hah = (h 1 , h 2 , . . . , h n ) ∈ R nh i := h i 11 ·h i 22 ·. . .·h inn , i! := i 1 ! i 2 ! . . . i n ! , i = (i 1 , i 2 , . . . , i n ) ∈ N n .3.6.3. Deníció. Az f : U → R, U ⊂ R n nyílt halmaz, m-szer dierenciálható U-n, ha léteznekaz összes (m−1)-ed rend parciális deriváltjai és mindegyik dierenciálható U-n.3.6.2. Megjegyzés. Ha f m-szer dierenciálható, akkor a 3.6.1 Tétel alapján a vegyes másodrendparciális deriváltak egyenl®ek. Innen indukcióval következik, hogy a ∂ i f kiszámításakor azeredmény független a parciális deriváltak kiszámításának sorrendjét®l.3.6.2. Tétel. Legyen U ⊆ R n nyílt halmaz, f : U → R n-szer dierenciálható U-n, és legyen[a, a+h] = {a+th : 0 ≤ t ≤ 1} ⊆ U.Akkor az F : [0,1] → R, F (t) = f(a+th) is n-szer dierenciálható ésF (m) (t)m!= ∑ ∂ i f(a+th)h i , m = 1, n.i!|i|=m i∈N n