Többváltozós függvények Jegyzet - Pécsi Tudományegyetem

48 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG3.6.2. Deníció. Az f : U → R, U ⊂ R n nyílt halmaz, függvény i index vektorhoz tartozó parciálisderiváltja∂ i f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) := ∂ i 11 ∂ i 22 . . . ∂ inn f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) =az f egy |i|-ed rend parciális deriváltja (feltéve, ha létezik).∂ |i|∂x i 11 ∂x i 22 . . . ∂x i 2f = f (|i|)x i 121 x i 22 ...x i 223.6.1. Megjegyzés. 1. Az el®bbi szimbólum azt jelenti, hogy f-et parciálisan deriváljuk az x 1változó szerint i 1 -szer, az x 2 változó szerint i 2 -ször, . . . , az x n -változó szerint i n -szer.2. Ha |i| = 1, akkor az 1 hosszúságú n dimenziós index vektorok a következ®k:(1,0,0, . . . ,0), (0,1,0, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,0,1).Az ezekhez tartozó deriváltak éppen az f függvény∂ 1 f, ∂ 2 f, . . . , ∂ n fn darab els®rend parciális deriváltjai.3. Ha |i| = 2, akkor a 2 hosszúságú n dimenziós index vektorok aés a(2,0, . . . ,0), (0,2,0, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,2)( 1 0, . . . ,0, i 1 ,0, . . . , j 1 ,0, . . . ,0), i, j = 1, n, i ≠ j.vektorok. Összesen n + ( n2) kett® hosszúságú index vektor van. Ezen vektorokhoz tartozó parciálisderiváltak∂l 2 f(x 1 , x 2 , . . . , x l , . . . , x n ), l = 1, nés a vegyes másodrend parciális deriváltakakkor∂ 2 ijf(x 1 , . . . , x i , . . . , x j , . . . , x n ), i, j = 1, n, i ≠ j.A továbbiakban használni fogjuk a következ® jelölést: hah = (h 1 , h 2 , . . . , h n ) ∈ R nh i := h i 11 ·h i 22 ·. . .·h inn , i! := i 1 ! i 2 ! . . . i n ! , i = (i 1 , i 2 , . . . , i n ) ∈ N n .3.6.3. Deníció. Az f : U → R, U ⊂ R n nyílt halmaz, m-szer dierenciálható U-n, ha léteznekaz összes (m−1)-ed rend parciális deriváltjai és mindegyik dierenciálható U-n.3.6.2. Megjegyzés. Ha f m-szer dierenciálható, akkor a 3.6.1 Tétel alapján a vegyes másodrendparciális deriváltak egyenl®ek. Innen indukcióval következik, hogy a ∂ i f kiszámításakor azeredmény független a parciális deriváltak kiszámításának sorrendjét®l.3.6.2. Tétel. Legyen U ⊆ R n nyílt halmaz, f : U → R n-szer dierenciálható U-n, és legyen[a, a+h] = {a+th : 0 ≤ t ≤ 1} ⊆ U.Akkor az F : [0,1] → R, F (t) = f(a+th) is n-szer dierenciálható ésF (m) (t)m!= ∑ ∂ i f(a+th)h i , m = 1, n.i!|i|=m i∈N n