I Tavi

nana jafariZe � maia wilosani � nani wulaia
maTematika
moswavlis wigni
7

s a r C e v i
I Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 VI klasSi Seswavlili masalis gameoreba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 . wiladebi da maTze moqmedebani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 . ricxviTi gamosaxuleba . cvladiani gamosaxuleba . . . . . . . . . . . . . . 11
3 . ariTmetikul moqmedebaTa Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Tema: Tvlis sistemebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 gamosaxulebaTa mniSvnelobebis Sedareba . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 ricxvis naturaluri xarisxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 gayofadobis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
jgufuri mecadineoba: viTamaSoT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 ricxvTa gayofadobis zogierTi Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Tema: sxva moqmedeba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 simravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7 simravleTa toloba . qvesimravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8 simravleTa TanakveTa da gaerTianeba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
I Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1 geometriuli figurebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 wrfisa da wertilebis urTierTmdebareoba . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 wrfeebis urTierTmdebareoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 sxivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 monakveTi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 naxevarsibrtye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7 kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8 kuTxis gazomva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9 kuTxis biseqtrisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10 mosazRvre kuTxeebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11 vertikaluri kuTxeebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
12 kuTxe or wrfes Soris; wrfeTa marTobuloba . . . . . . . . . . . . . 97
13 texili, mravalkuTxedi, samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
14 samkuTxedis simaRle,biseqtrisa, mediana . . . . . . . . . . . . . . . . 104
15 wrewiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Tema: geometriuli agebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
II TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

III Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1 monacemebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2 cxrilebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3 wriuli diagrama . piktograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
jgufuri mecadineoba: avagoT diagrama kompiuterSi . . . . . . . . . . . . 130
4 monacemTa saSualo, moda, mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5 procenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6 ricxvis povna misi procentis mixedviT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7 ori ricxvis Sefardebis procentuli gamosaxuleba . . . . 143
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8 proporcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9 proporciuli sidideebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10 ricxvis dayofa proporciul nawilebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Tema: oqros kveTa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11 ukuproporciuli sidideebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Tema: ariTmetikuli saSualos gamoyeneba amocanebis amoxsnisas . . . . 165
III Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
III TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
IV Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
1 uaryofiTi ricxvebi . ricxviTi RerZi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2 racionaluri ricxvebis Sedareba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3 ricxvis moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4 racionaluri ricxvebis Sekreba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5 racionaluri ricxvebis gamokleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6 racionaluri ricxvebis gamravleba-gayofa . . . . . . . . . . . . . 205
7 gamravlebis ganrigebadobis kanoni, frCxilebis gaxsna . . 210
8 gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9 gantolebis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10 amocanebis amoxsna gantolebebis meSveobiT . . . . . . . . . . . . . 222
11 problemis moZieba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Tema: amocanebis amoxsnis xelovneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
IV TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
V Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
1 mimdevroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
2 sakoordinato sibrtye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
3 grafiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

4 paraleluri gadatana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
5 RerZuli simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6 wrfeTa paralelobis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7 paralelur wrfeTa Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
8 samkuTxedis kuTxeebis jami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9 samkuTxedebis tolobis I da II niSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10 tolferda samkuTxedis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
11 samkuTxedis tolferdobis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
12 monakveTis SuamarTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13 samkuTxedebis tolobis III niSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
14 samkuTxedis gare kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
15 samkuTxedis utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
16 marTkuTxa samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
17 kuTxis biseqtrisis Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
18 paralelogrami . paralelogramis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . 294
19 rombi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
20 marTkuTxedi . kvadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
V TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
VI Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
1 xarisxis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
2 erTwevri . erTwevrebis gamravleba da axarisxeba . . . . . . . 317
3 mravalwevri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
4 erTwevrisa da mravalwevris namravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5 mravalwevrebis namravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
6 igiveoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
7 Semoklebuli gamravlebis formulebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8 mravalwevris daSla mamravlebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9 kubebis jami da kubebis sxvaoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
es sainteresoa: Semoklebuli gamravlebis formulebis gamoyeneba
miaxloebiT gamoTvlebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Tema: paskalis samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
VI Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
VI TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
pasuxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

6
rogor visargebloT wigniT
wignze muSaoba rom gagiadvildeT, mizanSewonilad CavTvaleT gagacnoT
wignis agebuleba.
wigni Sedgeba Tavebisagan, xolo TiToeuli Tavi _ paragrafebisgan.
yovel TavSi mocemulia testebi rubrikiT `Seamowme Seni codna~. testebze
muSaoba dagexmarebaT TviTSemowmebasa da Seswavlili masalis
ganmtkicebaSi. wignSi ganmartebebi dabeWdilia muqi SriftiT, xolo
Tvisebebi, formulebi, zogierTi saWiro daskvna _ ferad fonSi.
TiTqmis yovel TavSi mocemulia am TavSi gadmocemul masalasTan dakav-
Sirebuli saintereso Tema.
yovel paragrafSi SexvdebiT zogierTs Semdegi niSnebidan:
*
s.f.
- umartivesi kiTxvebi, romelTac axali masalis axsnis
procesSi Tavad moswavlem unda gasces pasuxi;
- wyvilebSi samuSao;
- SedarebiT rTuli amocana;
- savarjiSoebi, romelic emsaxureba gavlili masalis
gameorebas;
- sagulisxmo faqti.
wignis bolos mocemulia sagnobrivi saZiebeli da Semoklebuli aRniSvnebisTvis
gamoyenebuli maTematikuri niSnebi. gTavazobT agreTve zomis
erTeulebs, laTinur da berZnul anbans, kvadratebis cxrils da amocanebis
pasuxebs, damxmare literaturis CamonaTvals.
gisurvebT warmatebebs!

I Tavi
am TavSi gavecnobiT ricxvTa gayofadobis niSnebs
da Tvisebebs. simravleebs da maTze moqmedebebs,
ricxvis naturaluri xarisxis cnebas.

I
Tavi
8
1 VI
klasSi Seswavlili masalis
gameoreba
1. wiladebi da maTze moqmedebani
1. wiladis ZiriTadi Tviseba: wiladis sidide ar Seicvleba, Tu
mis mricxvelsa da mniSvnels gavamravlebT an gavyofT erTsa
da imave naturalur ricxvze.
magaliTad: 5 25 18 3
= ; = .
8 40 24 4
2. wiladebis gasaerTmniSvnelianeblad saWiroa:
a) vipovoT mocemuli wiladebis mniSvnelebis (umciresi) saer-
To jeradi, romelic (umciresi) saerTo mniSvneli iqneba.
b) TiToeuli wiladisTvis vipovoT damatebiTi mamravli,
risTvisac saerTo mniSvneli gavyoT mocemuli wiladebis mniSvnelebze.
g) TiToeuli wiladis mniSvneli da mricxveli gavamravloT mis
damatebiT mamravlze.
magaliTad: 1 1 1
, , . daviyvanoT umcires saerTo mniSvnelze.
6 15 20
u. s. j. (6;15;20)=60. 1
6
10 1 4 1 3
= , = , = .
60 15 60 20 60
3. tolmniSvneliani wiladebi rom SevkriboT (gamovakloT),
saWiroa pirveli wiladis mricxvels davumatoT (gamovakloT)
meore wiladis mricxveli, mniSvneli ki igive davtovoT
magaliTad: 3 2 5 7 3 4 1
+ = ; − = = .
11 11 11 8 8 8 2
4. sxvadasxvamniSvneliani wiladebi rom SevkriboT (gamovakloT),
saWiroa:
a) es wiladebi gavaerTmniSvnelianoT.
b) SevkriboT (gamovakloT) isini tolmniSvneliani wiladebis
Sekrebis (gamoklebis) wesis mixedviT.
magaliTad: 8
9
7 32 21 53
12 36 36 117
+
+ = = = .
36
5. Sereuli wiladebi rom SevkriboT, saWiroa, cal-calke SevkriboT
maTi mTeli da wiladi nawilebi.
6. Sereuli wiladebi rom gamovakloT, saWiroa cal-calke gamovakloT
maTi mTeli da wiladi nawilebi. Tu maklebis wiladi
nawili metia saklebis wilad nawilze, maSin saklebis erTi er-
Teuli unda gadavaqcioT arawesier wiladad.

magaliTad:
a) 2 5
7 12
14
125 1
5 35
11 −
− = = ; b) 4
35
2
2
9
7 10 21 45 10 21
2 1 1
15 45 45
34
− + −
− = =
= .
45
7. wiladebi rom gadavamravloT, saWiroa maTi mricxvelebis namravli
davweroT mricxvelad, xolo mniSvnelebis namravli ki
_ mniSvnelad (Tu Sesakvecia, sasurvelia gadamravlebamde
SevkvecoT).
magaliTad: 12 34 4 2 8
⋅ =
17 39 13 13
⋅ = .
8. wiladi rom wiladze gavyoT saWiroa gasayofi gavamravloT
gamyofis Sebrunebul ricxvze:
8 16 8 15 5 5
: = ⋅ = = .
9 15 9 16 3⋅ 2 6
9. Sereuli wiladebi rom gadavamravloT (gavyoT), saWiroa isini
jer gadavaqcioT arawesier wiladebad da Semdeg gadavamravloT
(gavyoT):
5 3
11 210
58 11 29
1
11 11 32 16
13
: = ⋅ = = .
16
10. aTwiladi rom Cveulebriv wiladad gadavaqcioT, saWiroa
mZime ukuvagdoT da miRebuli ricxvi davweroT mricxvelSi,
xolo mniSvnelSi ki davweroT ricxvi gamosaxuli 1-iT da
marjvniv miwerili imdeni nuliT, ramdeni aTwiladi niSanic
iyo aTwiladSi.
275 11
magaliTad: 2 75
2
100 4
3
, = = =
4
11. Cveulebrivi wiladi rom aTwiladad gadavaqcioT, saWiroa
mricxveli gavyoT mniSvnelze.
a) 3
=0,375;
8
7
b)
20 =0,35;
g) 1
=0,166...;
6
5
d) =0,555...;
9
2
e) =0,181818... .
11
SevniSnoT, rom g), d) da e) SemTxvevaSi gayofis procesi
usasrulod grZeldeba. aseT aTwiladebs perioduli
aTwiladebi ewodeba. 0,1666... perioduli aTwiladis CanawerSi
meordeba cifri 6. mas periods uwodeben, 0,166... ricxvs
mokled ase weren: 0,1(6). aseve 0,555...=0,(5). 0,1818...=0,(18).
12. Tu ukveci wiladis mniSvnels ar gaaCnia 2-isa da 5-isagan gansxvavebuli
martivi mamravli, maSin wiladi gadaiqceva sasrul
aTwiladad. yvela sxva SemTxvevaSi miiReba perioduli
aTwiladi.
9

I
Tavi
10
savarjiSoebi:
gamoiangariSeT:
1.
a) 2 5 3
+ 3 ;
9 4
b) 7 5
− ;
8 6
g) 2
7 − 3 ;
9
d) 2 5 7
+ ;
6 8
e) 7 3
v) 8 2
5
+ 1 ;
4 12
3
− ;
8
z) 8 7
− ;
9
T) 7 4 5
− ;
11
i) 7 3 5
− 5 ;
4 6
k) 3 8 7
− .
17 12
2.
a) 9 5
⋅ ;
10 6
b) 3
24 4 ⋅ ;
5
g)
26 39
57 74
⋅ ; d) ⋅ ;
37 85
e) 23 5
v)
⋅ ;
69
7
30 12 ⋅ ; z) 5 2 1
⋅ ;
5
T) 6 2 1
⋅ 10 ; i)
9 8
14 6
⋅ 6 ;
15 11
k) 8 9
⋅ 1 .
15 16
3.
a) 3 1 2
: ;
2 3
b) 4
15 31 : ; g) 4
5
3
4 3 : ;
5 1
d) : ;
9 3
e) 1 7
9 13 : ; v)
5 7 1 3
: 4 ;
8 4
z) 1 1
8
3
2
3 14
9 33
8 15 1
8
5
⎛
⎞
⋅⎜ : − + ⎟ − ;
⎝
⎠ 6
T) 2 3 1
3
5
1
4 13
2
: + : :
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ;
⎝ ⎠
i) 3 1 1
1
15 15 13
2
2
5 5
1
7 11
⎛
⎞
⎜ − : + ⎟ ⋅ − ;
⎝
⎠ 7
k) 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 14 ⎞
⎜ + + +
5
⎝ 2 4 8 6 ⎟ ⋅ ⎜ +
⎠ ⎝ 3 15 ⎟ : .
⎠
4.
a) 5
7 4
: 0, 125 + 1, 456 : + 4, 5⋅ ;
16 25 5
b) 10 3 75 2 1 ⎛ ⎞
− , ⎜ + 1, 4 15
⎝ 3 ⎟ : ;
⎠ 9
6 4
g)
1
0 03
2
3 1
⎛
−
⎞
⎜ ⎟ : ,
⎝ ⎠ ;
⎛
2
⎜ − 2, 65
⎞
4
⎝ 20 ⎟ ⋅ +
⎠ 5
3
0 3 1
20
d)
1
2
1 88 2 3
⎛
, −
⎞
⎜ ⎟ :
⎝ ⎠ .
⎛
1
, +
⎞
⎜
⎝ 25 ⎟ ⋅
⎠ 80
5.
a) 2
-
8 3
+
1
1 ; b)
2 1 2 4
5 : 3 1 $ 2 ;
3 23 4 6
9 9 5 5
g) 1
5 +
3
3 -
4
4
5 10 15
15
+
127
1 5
4 +
2
3 - 2
4 6 3
12 ;
13
d) 1
5 +
7
3 -
11
1
12 36 18
2
: 1 -
5
5 7
4 +
13
2 - 5
6 24 18
43
· 1 .
101

2. ricxviTi gamosaxuleba . cvladiani gamosaxuleba
gamosaxulebas, romelic cvlads Seicavs, cvladiani gamosaxuleba
ewodeba.
gamosaxuleba SesaZloa Seicavdes erT an ramdenime cvlads.
2x(y+3), 3x2 –5xy+7 _ cvladiani gamosa xulebebia.
2 1 3 2
4 7
5 18
2
1 1
− ⋅ ;
+
;
1 3
− 2 : 3 _ ricxviTi gamosa xulebebia.
3 2 4
cxadia, nebismier ricxviT gamosaxulebas erTi garkveuli mniSvneloba
aqvs.
cvladiani gamosaxulebis mniSvneloba rom vipovoT, gamosaxulebaSi
cvladis nacvlad am cvladis winaswar mocemuli mniSvneloba
unda CavsvaT.
savarjiSoebi:
1
1 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba, Tu a=3, b=
5
, c=2,3.
a) 2a; b) 10b; g) 5c; d) 3,2a;
e) 5–b;
i) 2a–1,5;
1
v) a–1 3 ;
k) 9–3b;
3
z) b+3
10
;
l) 5c+7,2;
T) 7–c;
m) 8b+3,1;
n) 4a+b; o) 17b–c; p) 0,5c+a;
1
J) a +b.
5
2 cnobilia, rom a da b cvladebis raRac mniSvnelobebisaTvis
a + b = 8. ra mniSvnelobas miiRebs a da b cvladebis imave mniSvnelobebisaTvis
Semdegi gamosaxuleba.
a) 2
a + b
; b) a+b+ 8
a + b ; g) 3(a+b); d) a + b
+
4 .
2 a + b
3 SeadgineT naxazze mocemuli CarCos farTobis gamosaTvleli
gamosa xuleba.
4* CawereT cvladiani gamosaxuleba mocemuli mimdevrobisaTvis:
a) 5·1, 5·2, 5·3, 5·4, 5·5, 5·6, . . . ;
b) 7+1, 7+2, 7+3, 7+4, 7+5, 7+6, . . . ;
g) 2·1+3, 2·2+3, 2·3+3, 2·4+3, 2·5+3, 2·6+3, . . . ;
d)
7· 1 - 2 ,
3· 1
7· 2 - 2 ,
3· 2
7· 3 - 2 ,
3· 3
7· 4 - 2 ,
3· 4
7· 5 - 2 ,
3· 5
7· 6 - 2 , . . . .
3· 6
6 eqvsi wlis win ani P-jer ufrosi iyo nikaze. Tu ani axla 18 wlisaa,
ramdeni wlis aris nika (SeadgineT Sesabamisi gamosaxuleba)?
7 meqoTne erTi doqis gaakeTebas a saaTs undeba, xolo erT qoTans
igi a saaTSi amzadebs. ramden saaTSi daamzadebs meqoTne 10 doqsa
2
da 6 qoTans?
sami wertili
` . . . ~ niSnavs ` da
a.S. ~
11

I
Tavi
msgavsi wevrebi rom
SevkriboT, saWiroa
S e v k r i b o T m a T i
k o e f i c i e n t e b i ,
a s o i T i n a w i l i k i
u c v l e l a d g a d a -
vitanoT.
12
3. ariTmetikul moqmedebaTa Tvisebebi
nebismieri a, b da c ricxvebisaTvis sruldeba:
1. gadanacvlebadobis Tviseba:
a) a + b = b + a SekrebisaTvis
b) ab = ba gamravlebisaTvis
2. jufTebadobis Tviseba:
a) (a + b) + c = a + (b + c) SekrebisaTvis
b) (ab)c = a(bc) gamravlebisaTvis
3. ganrigebadobis Tviseba:
savarjiSoebi:
a(b+c)=ab+ac jamisTvis
a(b–c)=ab–ac sxvaobisTvis
1 gamoTvaleT yvelaze racionaluri xerxiT:
a) 2,24+8,13+5,76+2,87; b) 2,14+3,15–1,14+4,85;
g) 7,27–8,12+9,73–1,88–1,5; d) 4,08–3,75+3,92–2,25;
3 3 4 1
e) 8 7 – 2
4
+ 5
7
– 1
4
; v) 3,76 · 7,81 · 0 · 37;
z) 2·57·5; T) 4·78·25; i) 3,75 · 0,125 · 2 · 8;
k) 0,6·3,4·5; l) 0,5·7,1·20; m) 1,25·8,91·8.
2 isargebleT namravlis ganrigebadobis TvisebiT da SeasruleT
moqmedeba:
a) 5,8·2,7+5,8·1,3;
e) 7·0,32+7·0,18;
3 gaamartiveT:
b) 52·35;
v) 39·45;
2
g) 4 3 ·6;
z) 31·62;
1
d) 4 2 ·8;
T) 3
5
·4.
12
a) 2,7a·3,1; b) 12,5m·2n; g) 3(n+5);
d) 8(10+n); e) 4,5(8–n); v) 8(2n+0,2);
3 3
z) 2 x·7 ;
4 11
T) 1 (8n+16);
4
i) 2(
1 1
x– ).
3 2
4 gaamartiveT gamosaxuleba da gamoTvaleT misi mniSvneloba,
roca m=0,1 da n=2.
a) 4m+7n–2,1n; b) 17,58m–5,105m+7n;
1 2
2
g) 19 n - 3 n + 9m
; d) 31 n +
5
4 m +
5
5 -
2
1
6 3
9 12 18 3 .

5 gaxseniT frCxilebi da SeaerTeT msgavsi wevrebi:
a) 3x+2(4x–1); b) 5+0,3(3x–2);
g) 5(t+2)+3(2t–1); d) 4(2x+2)+2x–1.
6 gaamartiveT gamosaxuleba:
a) 3a+7a; b) 4b+9b; g) 8a–4a;
d) 10x–4x; e) 7,8x+4,5x; v) 257,05a–18,3a;
z) 2
a +
1
1 a -
1
b ;
3 3 3
1
T) m + m -
3
n
4 4 ; i)
5
x
6
1
1 x
3
3
4
a
2a
5a
3a
1
4
+ ;
k) 3,7a+4,1b–3,4b; l) 18,27x–5,4x+7y; m) 37,01b+4,9a–3,18a.
7 gadaixazeT qvemoT mocemuli cxrili rveulSi da SeavseT:
a) x y 2x 4y 2x–4y+7 b) u v 3(u+v) 2uv 3(u+v)–2uv
3 0 3 2
1,5 0,25 5 1
4 2
8 ipoveT naxazze mocemuli oTxkuTxedis
perimetri, Tu a tolia:
a) 3,1 dm; b) 2,4 sm;
g)5,02 sm; d) 4 dm.
9* arsebobs Tu ara naturaluri ricxvi, romlis cifrebis namravlia
588?
1
2
3
2
13

I
Tavi
14
Tvlis sistemebi
Tema
Tvlis sistema - aris ricxvebis Caweris saSualeba, ise rom
maTi wakiTxva da maTze ariTmetikuli moqmedebis Sesruleba
moxerxebuli iyos.
naturaluri ricxvebis Caweris umartives sistemaSi ricxvebi,
mxolod erTi cifriT Caiwereboda, magaliTad: erTi - I ; ori -
I I ; sami - I I I ; . . . . Tvlis aseT sistemaSi ricxvebze moqmedebebi
martivad ganisazRvreboda. magaliTad:
cxadia, aseTi Canaweri didi ricxvebisaTvis sakmaod mouxerxebelia
da maTze ariTmetikuli moqmedebebis Sesrulebis dros
didia Secdomis daSvebis Sansic.
arqeologiuri gaTxrebis Sedegad dadasturda, rom paleoliTis
xanidan, adamianebi cdilobdnen dasaTvleli
sagnebi daejgufebinaT 3, 4, 5 an 7-eulebad. aseTi dajgufeba
aadvilebda Tvlas da radgan, yvelaze xSirad isini TiTebis
daxmarebiT iTvlidnen, amitom daiwyes dajgufeba 5-5-ad, an
10-10-ad. SemdgomSi 10 aseuli – 1 aTaseuli... Tu daTvlisas
aRmoCndeboda, rom sagnebis raodenoba iyo 2 aseuli, 7 aTeuli
da kidev 4 sagani, maSin 2-jer imeorebdnen aseulebis niSans,
7-jer – aTeulebis niSans da 4-jer erTeulebis niSans. cxadia
es niSnebi ar gavda erTmaneTs, da amitom aseT CanawerSi
niSnebi SeiZleboda ganlagebuliyo nebismieri mimdevrobiT,
anu CanawerSi niSnakebis mdebareobas ar hqonda mniSvneloba,
mniSvneloba hqonda mxolod maT raodenobas. Tvlis aseT sistemebs
arapo ziciuri ewodeba.
Zvel romSi ricxvebis aRsaniSnad specialuri simboloebi
arsebobda: 1 – I, 5 – V , 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D da 1000 – M-iT
aRiniSneboda.

omauli ricxvebis saSualebiT ricxvebi 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 14, 19,
20, .... Sesabamisad ase aRiniSneba:
ricxvebis Caweris Tanamedrove, AaTobiTi sistema, Zvel indoeTSi
Caisaxa. mogvianebiT ki arabebis meSveobiT evropaSic
(X s.) gavrcelda.
Tanamedrove poziciur sistemaSi cifris mniSvneloba
damokidebulia imaze, Tu romel adgilze dgas igi. magali-
Tad, 728-Si aseulebis TanrigSi weria 7, rac imas niSnavs, rom
am ricxvSi Svidi aseulia. Sesabamisad, 2 aTeuli da 8 erTeuli.
es ricxvi ase Caiwereba: 728 = 7·100 + 2·10 + 8.
Tu, sazogadod, samniSna ricxvs abc -Ti aRvniSnavT, maSin
abc = 100a + 10b + c. Sesabamisad oTxniSna ricxvi ase gamoisaxeba:
abcd = 1000a + 100b + 10c + d.
proeqti damoukidebeli kvlevisTvis:
moiZieT informacia Cvenamde moRweuli Tvlis sistemebis
Sesaxeb. moamzadeT Tema „Tvlis sistemebi“ da waikiTxeT
gakveTilze, risTvisac gamoiyeneT wignis bolos miTiTebuli
literatura da internet misamarTi.
15

I
Tavi
16
Tbilisi
180 km
2 gamosaxulebaTa
210 km
mniSvnelobebis
Sedareba
1. ori avtomanqana erTdroulad gavida
Tbilisidan erTi da imave mimar-
TulebiT. pirveli moZraobda 60 km/sT,
meore ki _ 70 km/sT siCqariT. romeli avtomanqana
ufro Sors iqneba Tbi lisidan
3 sT-is Semdeg da ramdeni kilometriT?
amoxsna:
3 saaTSi I avtomanqana gaivlida 3·60=180
km-s, xolo meore – 3·70=210 km-s. radgan
210 km metia, vidre 180 km, amitom
Tbilisidan ufro Sors II avtomanqana
iqneba. Tan 210 – 180 = 30 km-iT.
2. nika 1974 wlis 26 maiss daibada, misi da nato ki – 1976 wlis 26
maiss. CamoTvlili winadadebebidan romelia WeSmariti da romeli
mcdari?
a) nato da nika asakiT tolebi arian;
b) nato ufrosia nikaze;
g) nato umcrosia nikaze.
cxadia, radgan nika 2 wliT adre daibada vidre nato, amitom WeSmariti
iqneba g) winadadeba. danarCeni ori ki – mcdari.
yoveli ori a da b ricxvisaTvis marTebulia erT­erTi Semdegi
sami Tanafardobidan, danarCeni ori ki – mcdari.
sityvierad: simboloTi:
a naklebia b­ze a < b
a metia b­ze a > b
a udris b­s a = b
`~ simboloebs utolobis niSnebi ewodeba.
or gamosaxulebas, SeerTebuls `~ niSniT, utoloba
ewodeba.
magaliTad, 2·80 < 7·50 – ricxviTi utolobaa.
CavweroT utolobis saxiT:
1) temperatura zafxulSi 25 gradusze meti da 40 gradusze naklebi
iyo. Tu temperaturas t asoTi aRvniSnavT, miviRebT, rom t>25° da
t

miRebuli ori utoloba SesaZlebelia erTi, egreTwodebuli, ormagi
utolobis saxiT ase CavweroT:
25° < t < 40°.
2) moswavleTa raodenoba skolis nebismier klasSi ar aris naklebi
28-ze da ar aRemateba 40-s.
moswavleTa raodenoba ar aris naklebi 28-ze niSnavs, rom klasSi
SesaZlebelia iyos 28 an 28-ze meti moswavle da Tu moswavleTa raodenobas
n-iT aRvniSnavT, maSin SegviZlia CavweroT: n>28 an n=28,
rac mokled ase Caiwereba: n ≥ 28.
moswavleTa raodenoba ar aRemateba 40-s, niSnavs, rom klasSi
SesaZlebelia iyos 40 an 40-ze naklebi moswavle, e. i. n an < niSnebiTaa Sedgenili, mkacri
utolobebi ewodeba, xolo ≥ an ≤ niSnebiT Sedgenils _ aramkacri
utolobebi.
magaliTi 1.
SeadareT ricxvebi: a) 18,324 da 18,334; b) 3,61 da 3,057.
amoxsna:
a) 18,324
18,334 ) → radgan 20,
amitom 18,324 < 18,334. amitom 3,61 > 3,057.
magaliTi 2.
1-el a) magaliTSi wiTeli cifrebi SecvaleT ise, rom
ricxvebi erTmaneTis toli aRmoCndes. SesaZloa Tu ara,
rom igive movimoqmedoT 1-el b) maga liTSic?
SeadareT a + b da 2a – b gmosaxulebaTa mniSvnelobebi, Tu:
a) a = 0 da b = 0; b) a = 2 da b = 3; g) a = 8 da b = 2.
amoxsna:
a) a + b = 0 + 0 = 0, 2a – b = 2·0 – 0 = 0.
e.i. roca a = b = 0, maSin a + b = 2a – b.
b) a + b = 2 + 3 = 5, 2a – b = 2·2 – 3 = 1.
e.i. roca a = 2 da b = 3, maSin a + b > 2a – b.
g) a + b = 8 + 2 = 10, 2a – b = 2·8 – 2 = 14.
roca a = 8 da b = 2, maSin a + b < 2a – b.
C a n a w e r i
28 > a < 40
arasworia!
17

I
Tavi
18
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. or gamosaxulebas, SeerTebuls „>“ an „ 3m + 1;
b) 21,5 < 3,7 ≤ 8; d) 18
2
≥ x ≥ 3,7.
9
6 CawereT ormagi utolobis saxiT:
a) 2m > 5 da 2m < 10; g) x metia 8-ze da naklebia 9-ze;
b) 3n + 1 ≤ 3 da 3n + 1 > 3; d) 2a ar aRemateba 18-s da metia 12-ze.

7 CawereT utolobis saxiT:
a) x naklebia 7-ze an udris 7-s;
b) y ar aRemateba 17-s;
g) 2a–1 metia 9-ze da ar aRemateba 20-s;
d) x araa naklebi 7-ze da naklebia 16-ze;
e) a metia 9-ze an udris 9-s;
v) x metia an tolia 0-ze.
8 gakveTilis bolos moswavlebma maswavlebels davalebisa da
sakontrolo weris rveulebi Caabares, sul 49 cali. yvela moswavlem
Caabara Tu ara orive rveuli?
9 daasaxeleT 3-is jeradi ricxvi, romelic iyofa 20-ze.
10* ramdeni samSabaTi iyo im TveSi, romlis 5 ricxvi iyo samSabaTi.
11 wris ra nawilia daStrixuli?
12 dawereT udidesi da umciresi naturaluri
ricxvebi, romelTa CanawerSi yvela cifri TiTojer gvxvdeba.
13* amoxseniT gantoleba:
a) ((2(x+1)+10):5+8)·3–6=30.
b) (((((5x+7):2–1):2+25):3+4)·5=70.
14* mocemulia naturalur ricxvTa mimdevroba: 6; 11; 16; 21; 26 ...
daakvirdiT mas da gamoTqviT varaudi, ra kanonzomierebiTaa
es mimdevroba Sedgenili. ekuTvnis Tu ara am mimdevrobas
ricxvebi: 91; 125; 137; 226?
amocana damoukidebeli kvlevisTvis:
15 erTi kviris ganmavlobaSi daakvirdiT, ra dros andomebT
TiToeuli sagnis momzadebas. gamoitaneT daskvna, romel
sagans ufro swrafad amzadebT da romlis momzadebas uTmobT
yvelaze met dros.
19

I
Tavi
(7,24,25)
20
(35,12,37)
(5, 12, 13)
(65,72,97)
10 1 = 10
10 2 = 100
10 3 = 1 000
10 4 = 10 000 = 10 aTasi
10 5 = 100 000 = 100 aTasi
10 6 = 1 milioni
10 9 = 1000 milioni =
= 1 miliardi
10 12 = 1000 miliardi =
= 1 trilioni
10 15 = 1000 trilioni =
= 1 kvadrilioni
10 18 = 1000 kvadrilioni =
= 1 kvintilioni
kvadratis farTobia:
S = a2 a sm
(kv. sm)
kubis moculoba:
V = 33 = 27 sm3 3 sm
(33,54,65)
a sm
3 sm
(65,48,73)
(15, 8, 7)
(3, 4, 5)
3 sm
(45,28,53)
(39,30,89)
3 ricxvis
(21, 20, 29)
(91,60,109)
(65,88,137)
naturaluri xarisxi
1. mefes sami Svili hyavda. ramdeni memkvidrisgan
Sedgeba mefis meoTxe Taoba, Tu CavTvliT, rom
misi STamomavlebis yovel warmomadgenels sami
Svili hyavda?
erTi da imave Tanamamravlebis namravli SegviZlia
CavweroT gamosaxulebis saxiT, romelsac xarisxi
ewodeba. magaliTad, 7·7·7·7·7=7 5 .
a ricxvis n naturaluri xarisxi – an , sadac n>1,
ewodeba n cali ricxvis namravls, romelTagan
TiToeuli a­s tolia. a­s xarisxis fuZe ewodeba,
n­s _ xarisxis maCvenebeli.
miRebulia, rom a1 = a .
moyvanili magaliTis SemTxvevaSi 7 xarisxis fuZea, 5 _ xarisxis
maCvenebeli.
xarisxi a fuZiTa da n maCvenebliT Semdegnairad iwereba _ a n ,
xolo ikiTxeba `a xarisxad n~, an `a-s n xarisxi~.
xarisxis ganmartebidan,
a 2 = a · a; a 3 = a · a · a; a 4 = a · a · a · a.
n
zogadad, a = a· a· ... · a
1 42 4 3
-
.
n jer
ricxvis xarisxis povnas xarisxSi ayvanas an axarisxebas uwo deben.
34 =
S
3· 3· 3· 3
4- jer
. 03 = 0·0·0 = 0.
73 =
S
7· 7· 7.
81 = 8.
3- jer
daasaxeleT xarisxis fuZe, xarisxis maCvenebeli da
gamoTvaleT:
a) 3 5 ; b) 2 4 ; g) 5 3 .
SeasruleT moqmedeba: 3·5 2 ·2 2 – 2·4 3 + 7.
SevTanxmdeT, rom me-2 xarisxs `kvadrati~ vuwodoT,
me-3 xarisxs _ `kubi~.

cxadia, paragrafis dasawyisSi dasmuli problema ase gadawydeba:
mefe
I Taoba
xarisxis ganmartebis Semdeg SegviZlia mravalniSna ricxvi saTanrigo
Sesakrebebad Semdegnairad CavweroT:
27865=2·10000+7·1000+8·100+6·10+5=2·10 4 +7·10 3 +8·10 2 +6·10+5.
magaliTi 1.
ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba: a) 2·10 3 ; b) 2 6 +3 4 .
amoxsna:
a) 103 = 10·10·10 = 1000; 2·10 3 = 2·1000 = 2000.
b) 2 6 = 2·2·2·2·2·2 = 64; 2 6 = 64;
3 4 = 3·3·3·3 = 81
2 6 + 3 4 = 64 + 81 = 145.
1
2
3
II Taoba
1
2
3
4
5 . . . . . .
6
7
8
9
me-4 Taoba Sedgeba
3 4 =81 memkvidrisgan
magaliTi 2.
ipoveT 144-isa da 80-is udidesi saerTo gamyofi da umciresi
saerTo jeradi.
amoxsna:
144
12 · 12
2 · 2 · 3 · 2 · 2 · 3
e.i. 144 = 2 4 · 3 2
240 = 2 4 · 3 · 5
240
24 · 10
3 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5
u.s.g. (144;240) = 2 4 · 3 = 48
144 = 2·2·3·2·2·3 = 2 4 ·3 2 .
240 = 3·2·2·2·2·5 = 2 4 ·3·5.
144 = 24 · 32 240 = 24 · 3 · 5
u.s.j. (144;240) = 2 4 · 3 2 · 5 = 720
ganxiluli sqemis mixedviT aRwereT mocemuli
ricxvebis udidesi saerTo gamyofisa da umciresi saerTo
jeradis moZebnis xerxebi.
aTiaTaseulebi
gavixsenoT:
2 7 8 6 5
aTaseulebi
aseulebi
aTeulebi
ufrCxilo gamosa xulebaSi
pirvelad Sesruldeba
axarisxeba.
wiTeli cifrebiT miTi-
Tebulia moqmedebis
rigi.
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
21
erTeulebi

I
Tavi
22
imetyvele sworad!
a 5
1. 315 ?
= S
3· 3· ... · 3.
2. S
8· 8· ... · 8 = 8 .
? -jer
a _ xarisxis fuZea
5 _ xarisxis maCvenebelia
a5 _ xarisxia
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
6- jer
3. 1 300 = ? . 4. 10000000 =10 ?
.
5. (2n) 6 = ( 2n) · ( 2n) · ... · ( 2n)
14444 244 4 3
= ? . 6. 5a· 5a·5a·5a=(5a) ?
.
savarjiSoebi:
? -jer
1 CawereT xarisxis saxiT:
a) 0,7·0,7·0,7·0,7; g) 5·5·5; e) y· y· y· ... · y
1 42 4 3
25- jer
.
b)
2 2 2 2
· · · ;
5 5 5 5
d) (a–b)(a–b); v) S
4· 4· ... · 4
30- jer
.
2 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba:
a) a4 , Tu a=2; b) 0,01y4 , Tu y=2; 3; 10;
g) b3 , Tu b=0,1; d) 2b3 +3, Tu b=11; 0; 15;
e) n4 , Tu n=5; v) 3x3 –4y2 , Tu x=1 da y=2;
z) 30·a3 +4,5·b4 , Tu a=0,1 da b=10; T) 3x4 +2x3 –x2 +8, Tu x=2.
3 gamoiangariSeT:
a) 24 ; b) (0,7) 2 ; g) 73 ; d) 42 ; e) 2
3
4
` j ; v) 34 .
4 gamoiangariSeT:
a) 3 4 – ( 1
2 ) 2 + 3·2 3 ; b) 0,1 4 · 5 + 0,2 3 · 10 .
a xarisxad 5
a-s mexuTe xarisxi
a ayvanili mexuTe xarisxSi
5 kalkulatorisTvis Sedgenili moqmedebaTa romeli TanamimdevrobiT
iqneba SesaZlebeli gamosaxulebis mniSvnelobis povna?
a) 3,5 3 A. 7,1 y S 14 =
b) 18 4 B. 4 y S 18 =
g) 4 18 C. 3,5 y S 3 =
d) 7,1 14 D. 18 y S 4 =
a 5

6 kvadratuli formis mindvris sigrZe 8 m-ia. ipoveT am mindvris
farTobi kvadratul metrebSi da Semdeg gamosaxeT igi
kvadratul santimetrebSi.
7 ipoveT im kubis moculoba da zedapiris farTobi, romlis wibos
sigrZea a) 5 sm; b) a sm.
8* kubis wibo a sm-ia. rogor Seicvleba misi moculoba, zedapiris
farTobi, Tu wibos sigrZes:
a) gavadidebT 3-jer, b) SevamcirebT 2-jer?
9 ipoveT Semdegi ricxvebis umciresi saerTo jeradi da udidesi
saerTo gamyofi:
a) 36-is da 45-is; b) 40-is da 48-is; g) 72-is da 180-is.
10 daasaxeleT orniSna ricxvebi, romlebsac aqvT mxolod sami
gamyofi.
11 ras udris ori martivi ricxvis umciresi saerTo jeradi.
12 sul mcire ramdeni metri qsovili unda hqondes gamyidvels,
rom misi gayidva SeZlos rogorc sam-sami, ise xuT-xuTi metrobiT.
13 rZis ra umciresi raodenobaa saWiro, rom misi ganawileba
SeiZlebodes rogorc 8 litrian, aseve 12 litrian WurWlebSi.
14 navsadguridan erTdroulad gadis 2 gemi. erTi yovel 6 TveSi
brundeba navsadgurSi, meore ki _ yovel 15 TveSi. ra drois
Semdeg aRmoCndeba orive gemi erTdroulad navsadgurSi.
15 samzareulo oTaxSi, romlis sigrZea 575 sm da sigane 375 sm,
unda daagon kvadratuli formis metlaxis filebi.
a) sul didi, ramdeni santimetri SeiZleba iyos aseTi filebis
sigrZe?
b) ramdeni aseTi zomis filis dagebaa saWiro?
16 roca giorgi 9 wlis gaxda, mamam dabadebis dReze aCuqa yulaba,
romelSic 1 lari iyo da dapirda, rom yovel momdevno
dabadebis dReze yulabaSi Caagdebda 2-jer mets, vidre wina
dabadebis dRes. ra Tanxa eqneba giorgis, roca mas 20 weli
Seusruldeba?
17 qvemoT mocemulia garkveuli kanonzomierebiT dalagebuli
naturaluri ricxvebi. daadgineT es kanonzomiereba da
gaagrZeleT mwkrivi sami elementiT (SesaZloa erTze meti
xerxiTac ki):
a) 1, 2, 4, . . . b) 2, 4, 8, . . . g) 1, 4, 9, . . .
d) 3, 9, 27, . . . e) 5, 25, 125, . . . v) 1, 8, 27, . . .
1m 2 = 1m · 1m =
= 100·100 sm 2 =
= 10000 sm 2 =
= 10 4 sm 2
23

I
Tavi
2,51 =
=
5 1
2 + +
2
10 10
24
ifiqreT da iazrovneT:
18 romelia meti:
a) 53 Tu 33 ; b) 28 Tu 48 ; g) 110 Tu 101 ; d) ( 1
e) 2 6 Tu 6 2 ; v) 3 8 Tu 3 6 ; z) 4 6 Tu 3 6 ; T) ( 1
2) 2
2) 4
Tu ( 1
2) 5
;
Tu 1.
19 ricxvis CanawerSi miuTiTeT Sesabamisi Tanrigebi da gaSaleT
es ricxvi saTanrigo SesakrebTa jamad:
a) 2751; b) 3001; g) 50,12; d) 18,105;
e) 1057,109; v) 3,5; z) 3,53; T) 3,5301.
20 ? magivrad CasviT iseTi ricxvi, rom miiRoT swori toloba:
a) 1m = 10 ?
mm; b) 1 m2 = 10 ?
sm2 = 10 ?
mm2 ;
g) 1kg = 10 ?
g; d) 1 t = 10 ?
kg = 10 ?
g;
e) 1km = 10 ?
m = 10 ?
sm; v) 1 sT = ? wT = ? wm.
21 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba:
a) 0,7 2 + 25·3;
b) 18,5:0,05·100 – 5·23 ;
g) 152 + 117,45:(35 – 28,9 + 6,9);
d) [(132,5 – 121,7)·0,1:0,4 + 4] – 0,33 :0,9;
e) 2b + c2 :a + 4, Tu a = 2, b = 5 da c = 4;
v) 15c:(1 – b), Tu c = 0,3 da b = 0,1.
22 ipoveT Secdoma amoxsnaSi:
a) 4·7 + 8 = 4·15 = 60; b) 38 – 8:2 = 30:2 = 15; g) 7 + 82 = 225;
d) 5 + 3·2 3 = 5 + 216 = 221; e) 5·32 – 100 = 225 – 100; v) 142 :2 = 49.
23 cnobilia, rom a) u.s.g. (a;b) = b. ipoveT u.s.j. (a;b);
b) u.s.j. (a;b) = a. ipoveT u.s.g. (a;b).
24 SeavseT Tavisufali ujrebi mocemuli nimuSis mixedviT. gamoitaneT
Sesabamisi daskvna.
a 35 40 70 100
b 63 25 105 125
u.s.g. (a;b) 7
u.s.j. (a;b) 315
a · b 2205
u.s.j. (a;b) × u.s.g. (a;b) 2205

amocana damoukidebeli kvlevisTvis:
25*. mocemulia ricxvTa mwkrivi:
a) 3, 6, 9, 12, 15; b) 4, 8, 12, 16, 20;
g) 1, 4, 7, 10, 13; d) 2, 7, 12, 17, 22.
SeamCnieT kanonzomiereba da dawereT mwkrivis kidev sami wevri.
26* buratinos gakveTilze ramdenime ricxvis Sekreba daavales.
magaliTis gadawerisas man ramdenime Secdoma dauSva: erTerT
SesakrebSi erTeulebis TanrigSi 3-ianis nacvlad 9-iani
gadmowera, meore SesakrebSi aseulebis Tanri gSi 7-iani CaTvala
1-ianad, xolo mesame SesakrebSi aTaseulebis TanrigSi 6-ianis
nacvlad 5-iani Cawera. amis Semdeg man Sekriba es ricxvebi da
miiRo 72438. Sekrebisas mas axali Secdoma ar dauSvia. ra pasuxs
miiRebda buratino, sworad rom gadmoewera magaliTi?
27 dawereT marTkuTxa formis nakveTis perimetris gamosaTvleli
gamosaxuleba, Tu nakveTis sigrZe 12 m-iT metia siganeze.
ipoveT nakveTis sigrZe da sigane, Tu am nakveTis SemosaRobad
saWiroa 72 m sigrZis mavTulbade.
28 * romeliRac Tvis sami xuTSabaTi luw ricxvebs daemTxva. kviris
ra dRe iyo am Tvis 26 ricxvi?
29 a) kvadratis ra nawilia gaferadebuli?
b) ipoveT kvadratis daStrixuli nawilis
farTobi, Tu kvadratis gverdis sigrZe 6 sm-ia.
30* gayaviT 32 bavSvi or jgufad ise, rom pirvel jgufSi bavSvebis
raodenoba iyos meore jgufis bavSvebis raodenobis
3
.
5
31 ori martivi ricxvis jami kentia. ras udris am ori ricxvidan
umciresi?
32 CawereT yvela samniSna ricxvi, romelic SeiZleba CavweroT
cifrebiT 3; 4; 6 (ricxvSi cifrebi ar gameordes) da daalageT
isini zrdadobis mixedviT.
33 SeadgineT yvela samniSna ricxvi, romlebic Caiwereba cifrebiT
2 da 4 da daalageT isini klebis mixedviT.
25

I
Tavi
26
Seamowme Seni codna:
1 mTeli ricxvi, romelic akmayofilebs utolobas, 0 ≤ x < 2 aris:
a) 2; b) mxolod 1; g) 0 da 1; d) mxolod 0.
2 x ricxvia ar aris naklebi 5-ze niSnavs:
a) x >5; b) x < 5; g) x ≥ 5; d) x ≤ 5.
3 x ar aRemateba 5-s niSnavs:
a) x > 5; b) x < 5; g) x ≥ 5; d) x ≤ 5.
4 gamosaxuleba a + b – c tolia:
a) a + c – b; b) b – c + a; g) b – c – a; d) b + c – a .
5 gamosaxuleba a (bc) tolia:
a) ab + ac; b) ab · ac; g) abc; d) ab – ac.
6 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba:
`
7
1
12
18
19
: ` 2, 42: 1, 21 -
9
1 0, 32 .
16
7. gamoTvaleT kalkulatoris gamoyenebis gareSe:
32527 · 32324 · 32528 · 32323.
8. ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba:
a) 0,01y 4 , Tu y=3; b) 2b 3 +3, Tu b=5;
g) 2x 4 –5x 3 +x 2 +3x+2, Tu x=5.
9. gamoiangariSeT:
a) 0,23 +0,4·24 ; b) 10·5·24 ; g) 8·0,53 +25·0,2 2 ;
2
4 2
d) 3 - ` j .
5
10. SeavseT cxrilis carieli ujrebi:
x y 2x 3 y 2x–3y+4
5 1
2,5 0,1
7,4 2,8
1,5 8
12,6 7,5
11 Caweris gareSe daasaxeleT romeli Tanrigis erTeulebi iqneba
0-is toli Semdeg ricxvebSi:
a) samas ocdarva milion orasocdaxuTi;
b) samas ori milion ocdaxuTiaTas erTi;
g) ormocdaSvidi milion as ori aTas ocdasami.
12 CawereT yvela xuTniSna ricxvi, romlis cifrTa jami 2-is tolia.

4 gayofadobis
niSnebi
1. 50 litriani WurWlidan Tafli unda gadanawildes qilebSi.
daadgineT:
a) ramdeni 2- li triani,
b) ramdeni 5-litriani qila dasWirdeba mefutkres?
g) SesaZlebelia Tu ara, rom Tafli mxolod 3-litrian qilebSi
gadanawildes?
amoxsna:
Tu 50 litriani WurWlidan Tafls 2 litrian qilebSi CavasxamT,
maSin dagvWirdeba 50:2 = 25 qila, xolo Tu 5-litrian qilebSi –
50:5 = 10 qila. Tafli mxolod 3 litrian qilebSi ver gadanawildeba,
radgan 50 ar iyofa 3-ze. am SemTxvevaSi gaivseba 16 cali 3-litriani
qila, meCvidmeteSi ki aRmoCndeba Casasxmeli mxolod 2 litri:
50 = 16·3 + 2.
diax, Tqven mSvenivrad iciT, rom naturaluri ricxvebis gayofisas
yovelTvis naturaluri ricxvi ar miiReba. zemoT ganxiluli
da misi msgavsi zogierTi sxva problemis gadasawyvetad ki
mosaxerxebelia vicodeT zogierT ricxvze gayofadobis niSnebi.
vityviT, rom a ricxvi iyofa b ricxvze (davweroT a b) Tu
ganayofi a:b naturaluri ricxvia.
e.i. sruldeba toloba: a=bn, sadac a, b da n naturaluri ricxvebia.
CamovayaliboT 2-ze, 3-ze, 5-ze, 9-ze, 10-ze da 4-ze gayofadobis
niSnebi.
1. 2­ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic luwi cifriT
bolovdeba.
luwi cifrebia 0, 2, 4, 6, 8.
kenti cifrebia 1, 3, 5, 7, 9.
a iyofa 2-ze niSnavs, rom arsebobs iseTi naturaluri k ricxvi,
romlisTvisac sruldeba: a=2k.
a=2k _ luwi ricxvis formulaa.
1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...
oris jeradi ricxvebi
naturalur ricxvTa mwkrivSi yoveli me-2 ricxvi orze iyofa.
-Ti maTematikaSi
aRiniSneba sityva
„iyofa“.
50 10
radgan 50 = 5·10
75 5
radgan 75 = 5 · 15
a 3
e.i. a = 3k
27

I
Tavi
„ar iyofa“ aRiniSneba
„ “ simboloTi.
28
2. 10­ze iyofa is da mxolod is naturaluri ricxvi, romelic
0­iT bolovdeba
a 10, e.i. a=10k, k naturaluri ricxvia. a=10k – 10-is jeradi ricxvis
formulaa.
3. 5-ze iyofa is da mxolod is naturaluri ricxvi, romlis
bolo cifria 5 an 0 .
a 5, e.i. a = 5k, sadac k naturaluri ricxvia.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21...
5-is jeradi ricxvebi
naturalur ricxvTa mwkrivSi yoveli me-5 ricxvi 5-is jeradia.
4. 3­ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami
iyofa 3­ze.
magaliTad, 7452 3, radgan 7+4+5+2=18 da 18 3.
magram 3+5+6=14 da 356 ar iyofa 3-ze.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16...
3-is jeradi ricxvebi
naturalur ricxvTa mwkrivSi yoveli me-3 ricxvi 3-is jeradia.
5. 9­ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami iyofa
9­ze.
magaliTad, 2358 9, radgan (2 + 3 + 5 + 8 = 18 da 18 9), xolo 2337 ar
iyofa 9-ze, radgan 2 + 3 + 3 + 7 = 15 da 15 9. ikiTxeba: 15 ar iyofa
9-ze.
6. 4-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis bolo ori cifrisagan
Sedgenili ricxvi iyofa 4-ze .
magaliTad, , radgan 24 4.
dawereT: a) 2-is jerad, b) 3-is jerad,
g) 9-is jerad, d) 4-is jerad ricxvTa mwkrivi.
1. daasaxeleT mwkrivis pirveli wevri.
2. rogor miiReba mwkrivis yoveli wevri wina wevrisagan?
3. ra SegiZliaT TqvaT mwkrivis bolo wevrze?
4. rogor miiReba mwkrivis nebismieri wevri pirveli wevrisagan?
5. gaaCnia Tu ara msgavsi Tvisebebi naturalur ricxvTa mwkrivs?

magaliTi 1.
ricxvs 2351-s marjvniv mivuweroT erTi cifri ise, rom miRebuli
ricxvi gaiyos: a) 4-ze, b) 3-ze, g) 9-ze.
amoxsna:
a) 2351* .
es ricxvi 4-ze gaiyofa, Tu 1* ricxvi gaiyofa 4-ze. aseTi ricxvebia:
12 da 16.
23512 4 an 23516 4
b) 2 + 3 + 5 + 1 = 11 .
e.i. bolo cifri SesaZloa iyos:
1; 4; 7
23511 3 23514 3 23517 3
g) 2+3+5+1 = 11, bolo cifri SesaZloa iyos mxolod 7.
23517 9, radgan 2+3+5+1+7=18 da 18 9.
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. abc4 ? 2-ze; 2. abc5 ? 5-ze;
3. abc3 ? 5-ze; 4. abc34 ? 4-ze;
5. m52 ? 4-ze; 6. mn0 iyofa ? .
7. Tu ricxvis cifrTa jami iyofa ? maSin es ricxvi iyofa ? .
8. ricxvs, romelic iyofa n ricxvze, n ricxvis ? ewodeba.
9. ricxvs, romelzec iyofa n ricxvi, n ricxvis ? ewodeba.
10. luwi ricxvis momdevno ricxvi ? ricxvia.
savarjiSoebi:
1 Semdegi ricxvebidan amowereT iseTebi, romlebic iyofa:
a) 3-ze; b) 9-ze; g) 5-ze; d) 4-ze; e) 2-ze; v) 3-zec da 5-zec:
335; 4781; 1002; 3005001; 6303;
304505; 2536; 5600; 78905; 56704.
2 varskvlavis nacvlad CawereT cifrebi ise, rom miRebuli ricxvi
gaiyos mocemul ricxvze (ganixileT yvela SesaZlo SemTxveva).
a) 234* gaiyos 5-ze; b) 387* gaiyos 4-ze;
g) 25*1 gaiyos 3-ze; d) 45*9 gaiyos 9-ze;
e) 378* gaiyos 10-ze; v) *124 gaiyos 3-ze.
orniSna ricxvi aRvniSnoT
ab, maSin ab=10a+b.
aseulebi
a b c samniSna ricxvi.
aTeulebi
erTeulebi
abc = 100a + 10b + c
275 = 2 · 100 + 7 · 10 + 5
29

I
Tavi
30
3 mwkrivSi dgas 137 jariskaci. gaTvla xdeba pirvel-meoreze. ra
nomeria bolo jariskaci?
4* gaeciT pasuxi wina amocanaSi dasmul SekiTxvas Tu jariskacebi
gaiTvlian:
a) pirvel-mexuTeze; b) pirvel-mesameze.
5 moifiqreT amocana, sadac dagWirdebaT a) 5-ze, b) 9-ze gayofadobis
wesi.
6 SeiZleba Tu ara 9 galiaSi Tanabrad gadavanawiloT 71 kurdReli?
7 romel ricxvze gaiyofa unaSTod sami erTmaneTis momdevno
ricxvis jami?
8 dawereT:
a) 3-is jeradi ricxvebi, romlebic moTavsebulia 191-sa da 237-s
Soris;
b) 4-is jeradi ricxvebi, romlebic moTavsebulia 137-sa da 172-s
Soris.
9 SesaZlebelia Tu ara, rom kenti ricxvi gaiyos 4-ze? (pasuxi
daasabuTeT).
10 maRaziaSi Sesulma natom SeamCnia, rom safuleSi mxolod 5
TeTriani da 10 TeTriani monetebi hqonda, SeuZlia Tu ara
natos gamyidvels zustad gadauxados (xurdis dabrunebis
gareSe) 6 cali saSlelis, 2 rveulis, 2 namcxvris Rirebuleba,
Tu 1 saSleli Rirs 8 TeT ri, 1 rveuli _ 33 TeTri, xolo 1
namcxvari _ 50 TeTri.
11* ramdeni bavSvia klasSi, Tu maTi 3
dadis inglisurze,
5
4 7 dadis
fran gulze da cnobilia, rom mTeli klasis moswavleTa naxevari
15-ze naklebia.
12* dawereT udidesi xuTniSna ricxvi, romlis CanawerSi gvxvdeba
yvela kenti cifri da romelic iyofa 5-ze.
13* dedam salomes supermarketSi 4 saSleli, rveulebi – TiTo
40 TeTrad, Tojina 4 larad, 12 feradi fanqari da 8 naWeri
namcxvari uyida. gamyidvelma 19 lari da 30 TeTri uangariSa.
salomem dedas uCurCula, rom gamyidveli Secda, sworad
mixvda Tu ara salome? pasuxi daasabuTeT.
14* ipoveT:
a) samniSna ricxvi, romlis pirveli cifria 1 da romelic iyofa
9-zec da 5-zec, magram ar iyofa 2-ze.
b) samniSna ricxvi, romlis pirveli cifria 7 da romelic iyofa
9-zec, 5-zec da 2-zec.

15 giorgim, nikam da vaJam tyeSi soko wiTeli (niyvi) moagroves.
Sin misulebma gadawyvites soko Tanabrad gaeyoT. SeZleben
Tu ara biWebi motanili sokos Tanabrad ganawilebas, Tu:
a) giorgim ipova 37, nikam _ 40, vaJam ki _ 31 soko;
b) giorgim _ 23, nikam _ 18, vaJam ki _ 15 soko?
16.
Tu A svetis ujraSi mocemuli raodenoba metia B svetis Sesabamis
ujraSi mocemul raodenobaze, airCieT (A);
Tu B svetis ujraSi mocemuli raodenoba metia A svetis
Sesabamis ujraSi mocemul raodenobaze, airCieT (B);
Tu ujrebSi mocemuli raodenobebi tolia, airCieT (C);
Tu mocemuli informacia araa sakmarisi SedarebisTvis,
airCieT (D).
A B A B C D
8 × 7 gamosaxulebis
aTeulebis ricxvi
17. wamebis raodenoba 6 sT-Si
2335:5 gamosaxulebis
aseulebis cifri
wuTebis raodenoba erT
kviraSi
18. 3(8x+4) 4(3+6x)
19. 2(x+1)+3x–2 5x
20. 2 4 4 2
21.
23 -sa da 99 -s Soris
5 5
moTavsebul mTel ricxvTa
raodenoba
11 59
-sa da -s Soris
3 3
moTavsebul mTel ricxvTa
raodenoba
22. avtomobilSi gadaixades 2400 lari da kidev mTeli Rirebulebis
3
5
nawili. ra Rirda avtomobili?
23. ramdeniT gaizrdeba ricxvi 12, Tu mis cifrebs gadavaadgilebT.
daasaxeleT yvela orniSna ricxvi, romelic cifrebis gadaadgilebiT
imdeniTve gaizrdeba.
31

I
Tavi
32
jgufuri mecadineoba
TamaSobs ori moTamaSe.
viTamaSoT!
I TamaSi.
I moTamaSe asaxelebs ricxv 1-s an 2-s, meore moTamaSes SeuZlia
dasaxelebul ricxvs daumatos 1 an 2 da asaxelebs miRebul jams.
igebs is, vinc pirvelad daasaxelebs 51-s.
ver mixvdiT?
CaatareT erTmaneTSi es TamaSi ramdenjerme. romelma
moTamaSem moigo?
aRwereT, rogor unda iTamaSos moTamaSem (romelma?) sworad,
rom moigos.
II TamaSi.
qvebis grovaSi 100 qvaa. moTamaSes erT svlaze SeuZlia aiRos 1 an 3
qva. igebs is moTamaSe, romelic bolo qvas aiRebs.
romeli moTamaSe moigebs, Tu
a) pirveli moTamaSe aiRebs 3 qvas;
b) pirveli moTamaSe aiRebs 1 qvas.
III TamaSi.
qvis grovaSi 120 qvaa. moTamaSeebi, monacvleobiT, survilisamebr
iReben
a) 1, 2, 3 an 4, b) 1, 2, 3, 4 an 5 qvas. romeli moTamaSe moigebs da rogori
wesiT unda iTamaSos man, rom moigos, Tu mogebulad iTvleba is
moTamaSe, romelic aiRebs bolo qvas?

5 ricxvTa
gayofadobis zogierTi
Tviseba
1. saaxalwlo zeimze Tovlis babuam I a da I b klasis moswavleebs
saCuqrad TiTo yuTi Sokoladis fila miutana. ganawile bis
Semdeg aRmo Cnda, rom:
a) I a klasis TiToeul moswavles Sexvda sam-sami fila, xolo I b
klasis moswavleebs ki _ oTx-oTxi fila. SeeZlo Tu ara Tovlis
babuas imave raodenobis Sokoladis fila (1 yuTi) 12 bavSvisTvis
Tanabrad gaenawilebina?
b) I a klasis TiToeul moswavles ergo eqvs-eqvsi fila, I b klasisas
_ oTx-oTxi. SeeZlo Tu ara Tovlis babuas imdenive Sokoladis
fila (1 yuTi) 24 bavSvisTvis Tanabrad gaena wilebina?
Tqven ukve iciT zogierT ricxvze, magaliTad, 2-ze, 3-ze, 5-ze, 9-ze,
10-ze gayofadobis niSnebi. SeiZleba Tu ara davadginoT, kidev
sxva ricxvebze, magaliTad 12-ze, 24-ze, 15-ze da a. S. gayofadobis
niSnebi?
amisTvis gavecnoT ricxvTa gayofadobis ramdenime Tvisebas.
Tviseba 1. Tu a (bc), maSin a b da a c.
marTlac, a (bc) niSnavs, rom ganayofSi miiReba mTeli ricxvi
da sruldeba toloba: a=(bc)·n (1) Tu gamoviyenebT gamravlebis
jufTebadobis Tvisebas, (1)-s SeiZleba aseTi saxe mivceT a=b(cn).
radgan cn-ic mTeli ricxvia, es imas niSnavs, rom a b. analogiurad,
a=c(bn), saidanac Cans, rom a c.
marTlac, radgan 24 8, amitom 24 2 da 24 4 (2·4=8).
36 6, amitom 36 2 da 36 3 (2·3=6).
sainteresoa, sruldeba Tu ara zemoT Camoyalibebuli
winadadeba piriqiT?
e.i. Tu a b da a c gaiyofa Tu ara a ricxvi maT namravlze, bc-ze?
ganixileT ramdenime magaliTi.
rogorc xedavT, Cvens mier Camoyalibebuli winadadeba zogjer
sruldeba, zogjer ara. magaliTad, 12 iyofa 6-zec da 4-zec, magram
12 ar iyofa 6·4-ze.
mocemul sqemaze kargad Cans rom 4·6=24 martiv
mamravlebad daSlaSi u. s. g. (6;4)=2 orjer Sedis _
erTxel, rogorc 4-is, meored ki rogorc 6-is gamyofi.
amitom cxadia, 12 aRar gaiyo maT namravlze.
meores mxriv, 12 3 da 12 4. amasTan 12 12 (12=3·4) da
u. s. g. (3;4)=1.
yuradReba!
C a n a w e r i a b ( a
i y o f a b - z e ) a r
aRniSnavs raime
moqmedebas a da b
ricxvebs Soris.
igi aris winadadeba,
romelic a-sa
da b-s zogierTi
mniSvne lobisTvis
WeSmaritia, zogierTisTvis
ki _
mcdari.
12 24
2 · 2 · 3 2 · 2 · 2 · 3
4 · 6
33

I
Tavi
naSTi yovelTvis
nak lebia gamyofze.
cxrili 1
3-ze gayofis
naSTebi
naturaluri
34
ricxvebi
Tviseba 2. Tu a ricxvi iyofa b da c ricxvebze da u. s. g. (b;c)=1,
maSin a gaiyofa bc-ze.
am Tvisebidan gamomdinare advilad davaskvniT:
a) 6-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic iyofa 3-zec da 2-zec.
b) 15-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic iyofa 3-zec da
5-zec.
CamoayalibeT 12-ze, 18-ze, 36-ze gayofadobis niSnebi. moiyvaneT
Sesabamisi magaliTebi.
Tviseba 3. Tu a ricxvi iyofa c ricxvze da b ricxvic iyofa c-ze,
maSin a + b da a – b ricxvebic gaiyofa c-ze.
marTlac, a c, niSnavs a=cn, xolo b c ki niSnavs, rom b=cm, maSin
a+b=cn+cm gamravlebis ganrigebadobis kanonis safuZvelze
a+b=c(n+m), radgan n+m naturaluri ricxvia, miviReT (a+b) c.
analogiurad SeiZleba vaCvenoT, rom (a–b) c, sadac a>b.
WeSmaritia Tu mcdari winadadeba:
a) Tu a da b ricxvebidan arc erTi ar iyofa c-ze, maSin a+b ar
gaiyofa c-ze.
b) Tu a ricxvi iyofa c-ze da b ricxvi ar iyofa c-ze, maSin a+b ar
gaiyofa c-ze.
moiyvaneT Sesabamisi magaliTebi.
winadadeba `a b mcdaria~ imas niSnavs, rom a ricxvis b ricxvze gayofisas
miiReba aranulovani naSTi.
nebismieri a da b naturaluri ricxvebisaTvis Sesruldeba toloba:
a = bn + r,
sadac a _ gasayofia, b _gamyofi, n _ ganayofi, xolo
r _ naSTi. amasTan 0 ≤ r < b ,
(r=0, roca a b)
14:4=3(2), e. i. 14=3·4+2.
0 1 2
0
3
6
9
......
3n
......
1
4
7
10
......
3n+1
......
2
5
8
11
......
3n+2
......
am formulis mixedviT ukve advilad CavwerT:
1) ricxvi, romelic 3-ze gayofisas naSTSi gva-
Zlevs 1-s, iqneba a=3n+1.
2) ricxvi, romelic 3-ze gayofisas naSTSi gva-
Zlevs 2-s, iqneba b=3n+2.
cxadia, 3-ze gayofisas sxva aranulovan naSTs ver
miviRebT, radgan naSTi 3-ze naklebi ricxvia.
daumtkiceblad miviRoT Semdegi Tviseba.
dawereT 1-eli cxrilis msgavsi cxrili
5-ze, 6-ze gayofis naSTebisaTvis.

Tviseba 4. ori ricxvis jami gaiyofa c ricxvze, Tu TiToeuli
ricxvis c-ze gayofisas miRebuli naSTebis jami iyofa c-ze.
e. i. Tu a = cm + r 1 da b = cn + r 2 da amasTan, (r 1 + r 2 ) c, maSin (a + b) c.
marTlac, 18-is 5-ze gayofisas miiReba naSTi 3, xolo 22-is 5-ze
gayofisas miRebuli naSTia 2. maTi jami 18 + 22 = 40 iyofa 5-ze:
(2 + 3 = 5).
moiyvaneT kidev ramdenime magaliTi, raTa darwmundeT
me-4 Tvisebis marTebulobaSi.
naturalur ricxvebs kidev bevri Tviseba aqvT. gavecnoT erT
maTgans.
ganvixiloT 2-iT da 6-iT daboloebul ricxvTa namravli.
magaliTad, a) 2·6=12; b) 12·6=72; g) 2·16=32; d) 22·6=132.
maSasadame, SeiZleba davaskvnaT, rom 2-iT daboloebuli ricxvis
namravli 6-iT daboloebul ricxvze gvaZlevs ricxvs, romelic
bolovdeba 2-iT. e. i. imave cifriT, ra cifriTac bolovdeba 2·6.
aseve, ..... 4 × ..... 7 = ..... 8 (4·7=28)
..... 3 × ..... 8 = ..... 4 (3·8=24)
aqedan (.....3) 2 = ..... 9 ( 3 2 = 9 ).
(.....4) 2 = ..... 6 ( 4 2 = 16 ).
da a.S.
magaliTi 1.
a ricxvi 7-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 3-s, b ricxvi _ 2-s, c
ricxvic _ 2-s. ra ricxvs miviRebT naSTSi, Tu 7-ze gavyofT: a) a+b-s,
b) a+b+c-s.
amoxsna:
a) a = 7n + 3, xolo b = 7m + 2.
aqedan a + b = 7n + 3 + 7m + 2.
ariTmetikul moqmedebaTa
Tvisebebis gamoyenebiT
a + b = 7(n + m) + 5.
miviReT, rom a + b ricxvi 7-ze gayofisas naSTSi mogvcems 5-s.
b) radgan c = 7k + 2, miviRebT
a + b + c = 7n + 3 + 7m + 2 + 7k + 2 = 7(n + m + k) + 7 = 7(n + m + k + 1).
miRebuli Sedegidan Cans, rom naSTSi miviReT 0, e. i. (a + b + c) 7.
magaliTi 2.
davasabuToT: a) 9-ze gayofadobis; b) 4-ze gayofadobis niSani.
amoxsna:
a) dasabuTeba CavataroT oTxniSna ricxvisTvis. sxva ricxvebisTvisac
damtkiceba analogiuri iqneba.
ganvixiloT oTxniSna abcd ricxvi.
Tviseba 3 da Tvi seba
4 sruldeba SesakrebTa
nebismieri
ra o de no bi s Tvisac.
35

I
Tavi
353 = 3·100 + 10·5 + 3
4785 = 47·100 + 8·10 + 5
55623 = 556·100 + 2·10 + 3
36
cxadia, miRebuli jami gaiyofa 9-ze, Tu mocemuli ricxvis cifrTa
jami a+b+c+d gaiyofa 9-ze. da piriqiT, Tu a+b+c+d ar gaiyo 9-ze
jamic da e.i. abcd ricxvic ar gaiyofa 9-ze. r. d. g.
b) davamtkicoT abc samniSna ricxvisaTvis.
.
miRebuli jami gaiyofa 4-ze mxolod maSin, roca 10b+c anu bc ricxvi
gaiyofa 4-ze. r. d. g.
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. a=bn, sadac a, b da n naturaluri ricxvebia niSnavs, rom a ? n.
2. Tu a 3 da (a+b) 3, maSin b ? 3.
3. Tu a 7 da (a+b) 7, maSin b ? 7.
4. Tu a 6 da a 7 , maSin a ? .
5. Tu a 12 da a 8 , maSin aucileblad a ? 96.
6. a ricxvi 12-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 4-s, xolo b ricxvi – 5-s,
maSin a+b-s 12-ze gayofisas naSTSi miiReba ? .
savarjiSoebi:
1 daamtkiceT, rom: a) luwi ricxvebis jami luwi ricxvia;
b) ori kenti ricxvis jami luwi ricxvia;
g) luwi da kenti ricxvis jami kenti ricxvia.
2* ramdeni kenti orniSna ricxvi arsebobs?
3 daasaxeleT 4-is jeradi ricxvebi, romlebic moTavsebulia:
a) 58-sa da 81-s Soris, b) 127-sa da 179-s Soris.
4 cnobilia, rom a 18. gaiyofa Tu ara a ricxvi 9-ze?
5 cnobilia, rom a 39. gaiyofa Tu ara a ricxvi 3-ze?
6 daamtkiceT, rom
a) ori momdevno naturaluri ricxvis namravli gaiyofa 2-ze.
b) sami momdevno naturaluri ricxvis jami gaiyofa 3-ze, xolo
namravli 6-ze.

7 moqmedebaTa Sesrulebis gareSe daadgineT, mocemuli jamidan
Tu sxvaobidan, romeli iyofa unaSToT 2-ze, 3-ze, 5-ze, 7-ze.
a) 288+38+351+953; b) 351+1254+78;
g) 255+750+1555; d) 847–77.
8 ricxvebi Cawerilia saTanrigo SesakrebTa jamis saxiT. daadgineT,
romeli iyofa 10-ze, 3-ze, 4-ze, 5-ze. axseniT ratom?
a) 5·10 5 +3·10 3 +2·10 2 +10; b) 4·10 3 +3·10 2 +7·10+5;
g) 3·10 4 +4·10 3 +5·10 2 +4·10+1; d) 7·10 5 +5·10 3 +2·10 2 +7·10+2.
9 daamtkiceT, rom: a) ( 258 2 – 33·51 + 47 2 ) 10; b) ( 123 2 – 62 2 ) 5.
10* varskvlavebis nacvlad CasviT cifrebi ise, rom Sesruldes:
a) *378* 36; b) 4*25 45; g) 2895* 6; d) 56** 18.
11 daamtkiceT, rom
a) (2344 2 – 1) 5-ze; b) (3789 2 – 1) 10-ze.
12. ipoveT ra cifriT bolovdeba ricxvi (733 + 29·39)·3 – 257 2 .
13 daamtkiceT, rom 56**7 ricxvi ar SeiZleba iyos romelime naturaluri
ricxvis kvadrati.
14* varskvlavebis nacvlad 42*4* CasviT cifrebi ise, rom miRebuli
ricxvi gaiyos 36-ze.
15 ra cifriT bolovdeba 25 3 – 24 2 + 22 3 gamosaxulebis mniSvneloba.
16* ipoveT yvela orniSna ricxvi, romelic oTxjer metia Tavisive
cifrebis jamze.
17* iam Sekriba yvela naturaluri ricxvi 1-dan 110-mde. daamtkiceT,
rom miRebuli jami unaSTod gaiyofa 37-ze.
18* daamtkiceT, rom:
a) nebismieri naturaluri n ricxvisaTvis (n + 7) (n + 12) 2;
b) nebismieri mTeli m da n ricxvebisaTvis mn (m + n) 2.
19 k-s nebismieri naturaluri mniSvnelobisaTvis 12k + 1 gamosaxulebis
mniSvneloba:
a) iyofa 3-ze; b) ar iyofa 4-ze;
g) SeiZleba gaiyos 2-ze; d) arc erTi pasuxi swori ar aris.
20 k-s nebismieri naturaluri mniSvnelobisaTvis 7k + 5 gamosaxulebis
mniSvneloba:
a) iyofa 5-ze; b) ar iyofa 5-ze;
g) iyofa 7-ze; d) arc erTi pasuxi swori ar aris.
21 viciT, rom (7k + 14) 3-ze maSin k-s nebismieri naturaluri mniSvnelobisaTvis
We Smritia:
a) (7k + 14) 6; b) (7k + 14) 14;
g) (7k + 14) 21; d) arc erTi pasuxi swori ar aris.
37

I
Tavi
38
22 ramdeni samniSna ricxvi arsebobs, romlis aTeulebis cifria 5
da romelic iyofa 9-ze?
23 Tu n ricxvi 5-ze gayofisas naSTs gvaZlevs 2-s, Semdegi
winadadebebidan romelia aucileblad WeSmariti?
a) n luwi ricxvia;
b) n + 3 ar SeiZleba iyos martivi;
g) (n + 2) 7-ze gayofis naSTi 2-is tolia.
24* 2011 wlis 1 ianvari SabaTi iyo:
a) ra dRe iqneba imave wlis 31 dekemberi?
b) ramdeni SabaTi iqneba 2011 wlis ganmavlobaSi?
g) ramdeni samSabaTi iqneba 2011 wlis ganmavlobaSi?
25* 1 marti orSabaTia. ra dRe iqneba imave wlis:
a) 5 aprili? b) 20 aprili; g) 7 maisi?
miTiTeba: marti _ 31 dRe, aprili _ 30 dRe da kidev 7 dRe, sul 68 dRe.
26* erT samefoSi saocari xe xarobda. xes 45 vaSli da 20 limoni
esxa. mebaRe yovel dRiurad or nayofs wyvetda, maT adgilze ki
maSinve Cndeboda erTi axali nayofi. amasTan, Tu mebaRe erTi
da igive nayofs mowyvetda, maSin Cndeboda limoni, xolo sxvadasxva
nayofis mowyvetas vaSlis gaCena mohyveboda. SesaZlebelia
Tu ara am xeze bolo nayofi iyos limoni?
27 SeiZleba Tu ara 4731 gazeTisgan Semdgari Sekvra gaiyos 3 tol
nawilad? 9 tol nawilad?
28 ramdeni erTnairi Semadgenlobis Taiguli SeiZleba Seikras
15 vardisa da 18 mixakisagan?
29 nakiania weliwadi, romlis Tebervali 29 dRiania. kviris romeli
dRe iqneba nakiani wlis TebervalSi 5-jer, Tu 1 Tebervali iyo
kvira?
30 ori kvadratiT Seqmnili figuris ra nawilia Seferadebuli?
2
31 erTi ricxvis
3
nawili udris meore ricxvs. ipoveT am
ricxvebis Sefardeba.
32 velosipedistma 47,5 km-is gavlis Semdeg 15 km/sT siCqariT
1
kidev 1 saaTi iara. ramdeni kilometri gaiara velosipe-
3
distma sul?

ifiqreT da iazrovneT:
33. ganvixiloT 2-is xarisxebis bolo cifrebi
2 1 = 2 2 5 = 3 2
2 2 = 4 2 6 = 6 4
2 3 = 8 2 7 = 128
2 4 = 16 2 8 = 256
daukvirdiT miRebul Sedegebs da gamoitaneT gonivruli daskvna
_ rogor vipovoT 2-is romelime maRali xarisxis bolo cifri?
ganixileT 3-is, 7-is da 8-is xarisxebis bolo cifrebi.
piTagora
(Zv.w.580-500 w.w.)
udidesi berZeni
maTematikosi
piTagorelebis azriT, ricxvebi iyofa or
jgufad: keTilad da borotad, bednierebisa
da ubedurebis momtanad. maTve dayves naturaluri
ricxvebi luw da kent ricxvebad. aseve
srulyofil da arasrulyofil, martiv da
Sedgenil, megobrul, samkuTxa, kvadratul,
xuTkuTxa da a.S. ricxvebad.
ricxvebs, romlebic Tavisive sakuTari
gamyofebis jamis tolia, srul yofil ricxvebs
uwodebdnen. pirveli srulyofili ricxvia
6.
6 = 1 + 2 + 3 .
aseve srulyofili ricxvia
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
2258 4 · 64 + 2 = 2
sul aRmoCenilia 23 srulyofili ricxvi.
martiv ricxvebs, romelTa sxvaoba 2-is tolia,
Zveli berZeni maTematikosebi tyup ricxvebs
uwodebdnen:
3 da 5; 5 da 7; 11 da 13; 17 da 19 da a. S. tyupi
ricxvebia.
39

I
Tavi
40
1 ∇ 2
3 ∇ 2
2 ∇ 1
sxva moqmedeba
Tema
Cven ukve gavecaniT ricxvebze sxvadasxva moqmedebebs: Sekrebas,
gamoklebas, gamravlebas, gayofas da axarisxebas. es operaciebi
Sesabamisi simboloebiTaa aRniSnuli
k-
jer
k
6444 7444 8 6 47 4 8
magaliTad, a + a + a + a ≡ 4a, a + a + ... + a ≡ ka, a · a · ... · a k ≡ a .
ra Tqma unda, SesaZlebelia, rom ricxvebze ganisazRvros kidev
raime axali moqmedeba.
magaliTad, Tu a ◊ b simboloTi aRvniSnavT Semdeg moqmedebas:
a ◊ b = ab + a.
maSin 7 ◊ 5 = 7·5 + 7 = 42, xolo 5 ◊ 7 = 5·7 + 5 = 40.
1. Tu a • b = a 2 + b 2 , maSin
a) 3 • 5 = b) 2 • 3 = g) 7 • 1 = d) 0 • 5 =
2. SeamowmeT 1-el magaliTSi ganmartebuli moqmedebisTvis sruldeba
Tu ara:
a) a • b = b • a; b) a • (b • c) = (a • b) • c.
moiyvaneT Sesabamisi magaliTebi.
3. Team a da b ricxvebisTvis axali moqmedeba gansazRvra da man es
magaliTebze aCvena:
1 2 = 5 2 2 = 6
3 1 = 5 4 2 = 8
SeecadeT, gamoicnoT, Tan CaweroT, Tu rogor gansazRvra
Team a b moqmedeba.
4. moifiqreT axali moqmedeba. SeadgineT cxrili ricxvebze
moqmedebaTa SedegebiT. gacvaleT miRebuli cxrilebi
da CawereT megobris mier gansaz Rvruli moqmedeba nebismieri
a da b ricxvebisTvis: „a ∇ b = ..........“.
5. amoxseniT gantoleba:
a) x • 2 = 23;
Tu a • b = 3a + 4b.
b) 5 • x = 19; g) 3 • 7 = x + 11.
2a + b
6. a • b =
a − b
gamoTvaleT:
a) 4 • 2; b) 3 • 0; g) 5 • 4.

Seamowme Seni codna:
1. Tu a89b : 6 = 3ab,
maSin 2a+b tolia:
a) 9; b) 12; g) 8; d) 5.
2. Tu a ricxvi iyofa 6-zec da 8-zec, maSin a aucileblad gaiyofa:
a) 48-ze; b) 10-ze; g) 24-ze; d) 16-ze.
3. 7 9 -is bolo cifria:
a) 7; b) 1; g) 2; d) 9.
4. 35789177-is 9-ze gayofisas naSTSi miiReba:
a) 7; b) 3; g) 4; d) 2.
5. a ricxvi 15-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 13-s, maSin a ricxvis
5-ze gayofis naSTi iqneba
a) 1; b) 4; g) 13; d) 3.
6. a ricxvi 8-e gayofisas naSTSi gvaZlevs 5-s, b ricxvi ki _ 4-s, maSin a+b-s
8-ze gayofisas naSTSi miiReba:
a) 3; b) 1; g) 4; d) 5.
7. a ricxvi 9-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 7-s, maSin 3a-s 9-ze gayofisas
naSTSi miiReba:
a) 2; b) 3; g) 7; d) 1.
8. sam yuTSi awyvia burTulebi: erTSi Savi, meoreSi wiTeli da mesameSi
TeTri. TiToeuli yuTi imave ferad aris SeRebili, ra feris bur-
Tulebic aris masSi. viRacam ise gadaalaga burTulebi, rom arc erTi
yuTis feri aRar emTxveva masSi moTavsebuli burTulebis fers. roca
Savi yuTi gaxsnes, masSi wiTeli burTulebi aRmoCnda. ra feris yuTSia
TeTri burTulebi?
a) TeTrSi; b) SavSi; g) wiTelSi; d) monacemebi sakmarisi ar aris.
9. (2·5·7·9+10)-is 7-ze gayofiT miRebuli naSTia:
a) 1; b) 3; g) 2; d) 6.
10. Tu x * y = x:2 + 3y, maSin 4 * 1 = :
a) 4; b) 5; g) 6; d) 2.
41

I
Tavi
42
naxiri
rema
arve
fara
xalxi, anbani, iseve,
rogorc naxiri, fara,
rema, kolti _ mravals
anu simravles
aRniS navs.
6 simravle
1. CamoTvaleT saqarTvelos mosazRvre saxelmwifoebi.
2. dawereT 45-sa da 80-s Soris moTavsebuli yvela martiv ricxvTa
simravle.
yvelas kargad gvesmis, Tu ra igulisxmeba, roca vambobT:
qarTuli anbanis aso-niSnebis simravle, VII a
klasis moswavleTa simravle, planetebis simravle
da ase Semdeg.
simravleTa Teoriis fuZemdebeli, germaneli maTematikosi,
georg kantori ambobda: `simravle aris bevri,
romelsac Cven erTianad gaviazrebT~. marTlac, roca
vambobT, Cveni klasis moswavleTa simravle, vgulisxmobT
ara calkeul moswavles, aramed yvelas erTad.
simravle didi A,B,C... 1) asoebiT aRvniSnoT.
sagnebs, romelTa erTobliobasac simravle warmoadgens,
am si mravlis elementebi ewodeba.
simravlis elementebi patara a,b,c,d... asoebiT aRvniSnoT.
magaliTad, Tu vixilavT amierkavkasiis qveynebis
simravles, maSin misi elementebi iqneba _ saqarTvelo,
somxeTi, azerbaijani. kontinentTa simravlis
elementebia: evrazia, afrika, CrdiloeTi da samxreT
amerika, avstralia, antarqtida. luw martiv ricxvTa
simravle Seicavs erT elemenets, esaa ricxvi 2.
imis aRsaniSnavad, rom a aris A simravlis elementi,
vwerT: a∈A da vkiTxulobT `a ekuTvnis A simravles~,
an `a aris A simravlis elementi~.
Tu a ar aris A simravlis elementi, vwerT: a∉A da
vkiTxulobT `a ar ekuTvnis A simravles~ an `a ar aris
A simravlis elementi~.
imis Casawerad, rom A aris simravle, romlis elementebia
a,b,c, viyenebT simravlis Semdeg aRniSvnas:
A={a;b;c}.
zemoT ganxilul magaliTebSi simravle Sedgeboda sasruli raodenobis
elementebisagan. aseT simravles sasruli simravle ewodeba.
magram gana yvela simravle elementTa sasrul raodenobas
1) „A, B, C ...“ ikiTxeba: „ A, B, C da a.S.“
„ ... “ „ da a.S. “

Seicavs? magaliTad, naturalur ricxvTa simravlis elementTa
raodenoba ar aris sasruli. aseT simravles usasrulo simravle
ewodeba.
1. moiyvaneT usasrulo simravlis magaliTebi.
2. dawereT: a) Tqveni saswavlo nivTebis simravle;
b) Tqveni klasis moswavle gogonaTa simravle;
g) erTiani saqarTvelos mefeTa simravle;
d) planetaTa simravle.
3. WeSmaritia Tu mcdari gamonaTqvami:
a) ungreTi evropis qveynebis simravlis elementia;
b) TurqeTi afrikis qveynebis simravlis elementia;
g) C da D wertilebi AB monakveTis wertilTa simravlis elementebia.
4. simboloebis saSualebiT CawereT Semdegi winadadeba:
a) ricxvi 5 A simravlis elementia;
b) ricxvi 9 A simravlis elementi ar aris;
g) A erTelementiani simravlea, romlis elementia 2.
vTqvaT, A aris dedamiwis bunebriv TanamgzavrTa simravle. maSin A
iqneba erTelementiani simravle, romlis elementia `mTvare~. e. i.
A={mTvare}
Tu mocemulia B simravle _ B={1;2;3;4;5;6}, am SemTxvevaSi va mbobT:
simravle mocemulia elementTa CamoTvliT.
zogjer SeuZlebelia romelime simravlis yvela elementis CamoTvla.
magaliTad: 1) varskvlavTa simravlisa, 2) AB monakveTis wertilTa
simravlisa, 3) dedamiwaze mcxovreb yvela drois adamianTa
simravlisa. cxadia, am simravleTa elementebs ver CamovTvliT.
aseT SemTxvevaSi vambobT: simravle mocemulia aRweriT.
naturalur ricxvTa simravlis aRsaniSnavad xmaroben Canawers
{1; 2; 3; 4; ...}. savsebiT gasagebia, ra igulisxmeba mravalwertilSi.
aseTi aRniSvna SeiZleba sxva simravleebisTvisac gamoviyenoT, Tu
zustad garkveulia is elementebi, romlebsac mravalwertili
gulisxmobs.
magaliTad: {2; 4; 6; 8; ...} _ luw ricxvTa simravlea,
{3; 6; 9; ...} _ 3-is jerad ricxvTa simravle,
miRebulia, naturalur ricxvTa simravle N-iT aRiniSnos.
magaliTi 1.
dawereT yvela im orniSna ricxvTa simravle, romelic iyofa 3-ze
da romlis CanawerSi gvxvdeba cifri 1.
43

I
Tavi
44
amoxsna:
gamoviyenoT 3-ze gayofadobis niSani da gaviTvaliswinoT, rom
orniSna ricxvis CanawerSi erT-erTi cifri aris 1. miviRebT, rom
meore iqneba 2, 5 an 8, e. i. saZiebeli simravle aris eqvselementiani
simravle:
{12; 21; 15; 51; 18; 81}
imetyvele sworad!
2 ekuTvnis naturalur ricxvTa simravles.
2∈N 2 naturaluri ricxvia.
2 naturalur ricxvTa simravlis elementia.
A={3;5}
yuradReba!
naturaluri
ricxvi
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. sagnebs, romelTa erTobliobasac simravle warmoadgens, am
simravlis ? ewodeba;
2. simravles, romelic usasrulo raodenobis elementebisagan
Sedgeba, ? simravle ewodeba;
3. {1; 2; 3; 6; 9; 18} aris ? -is gamyofTa simravle;
4. Tu A={2; 4; 7; 7,5}, maSin 7∈A, 2 ? A, 4 ? A, 7,3 ? A;
5. Tu A kent ricxvTa simravlea, maSin 13 ? A, 2 ? A.
savarjiSoebi:
A simravlis elementebia 3 da 5.
A orelementiani simravlea, romlis elementebia 3 da 5.
2≠{2}
simravle, romlis
elementia ricxvi 2
ricxvi ar SeiZleba
simravlis toli iyos!
1 dawereT: a) Tqveni klasis maswavlebelTa simravle;
b) I semestrSi Sesaswavl saganTa simravle;
g) Tqveni klasis moswavle gogonaTa (biWunaTa) simravle;
d) Tqveni saswavlo nivTebis simravle.
2 WeSmaritia Tu mcdari qvemoT dawerili winadadebebi:
a) 2,3∈N; b) 5∈N; g) 3 ∉N; d) 100 000 ∈ N;
7
e) 5,1∈{1;3;5;4;7}; v) 3∉{2; 4; 6; 18; 35; 3,1}.

3 dawereT yvela im orniSna ricxvTa simravle, romlebic 25-ze
gayofisas naSTSi gvaZlevs 2-s.
4 rogor daxasiaTdeba aRweriT Semdegi simravleebi?
a) {rioni}; b) {5; 10; 15; ...}; g) {0}; d) { 1
5
4 7
; ;
9 13
10
; ; ...} .
17
5 dawereT: a) 25-sa da 57-s Soris moTavsebul 7-is jerad ricxvTa
simravle; b) luw martiv ricxvTa simravle; g) orniSna martiv
ricxvTa simravle, romlis CanawerSi gvxvdeba cifri 9; d) orniSna
ricxvTa simravle, romlebic srul kvadrats warmoadgenen.
6 Semdegi winadadebebidan romelia WeSmariti da romeli mcdari:
a) yoveli ori naturaluri ricxvis jami naturalur ricxvTa
simra vlis elementia;
b) yoveli ori naturaluri ricxvis sxvaoba naturalur ricxvTa
simravlis elementia;
g) yoveli ori naturaluri ricxvis Sefardeba naturalur ricxvTa
simravlis elementia;
d) yoveli ori naturaluri ricxvis namravli naturalur ricxvTa
simravlis elementia.
7 dawereT:
a) samelementiani simravle, romlis elementebia qarTveli
mefeebi;
b) xuTelementiani simravle, romlis elementebia saqarTvelos
mdinareebi;
g) oTxelementiani simravle, romlis elementebia kavkasionis
mwvervalebi;
d) samelementiani simravle, romlis elementebia qarTveli
maTematikosebi.
8 ramden adgilas unda gadavxerxoT xis mori, rom miviRoT xuTi
kunZi?
9 100 metr distanciaze (dasawyisSic da boloSic) TiTo metris
daSorebiT bavSvebma droSebi daasves. ramdeni droSaa sul dasobili?
10* ra cifriT bolovdeba: a) 7 6 ; b) 3 9 .
11* naxazze mocemulia marTkuTxa para le le pipedis
Slili. dawereT paralelepipedis gverdiTi da
sruli zedapiris farTobis gamo saTvleli gamosaxulebebi
da ipoveT maTi mniS vneloba, roca:
a) x = 10 da y = 18; b) x = 12,5 da y = 15.
12 arsebobs Tu ara ricxvi, romlis cifrebis namravlia
264?
x
25 sm
y
45

I
Tavi
46
7 simravleTa
toloba .
qvesimravle
1. dawereT: a) 18-is jeradi yvela orniSna ricxvis simravle;
b) simravle yvela im orniSna ricxvisa, romelic iyofa 2-zec
da 9-zec.
2. dawereT: a) saqarTvelos mefe-qalTa simravle;
b) qarTvel mefeTa simravle, romelTa mefobis peri odsac
`oqros xanas~ uwodeben.
daakvirdiT TiToeul amocanaSi miRebul simravleebs da upasuxeT:
ra aqvT maT saerTo da riT gansxvavdebian isini erTmaneTisgan.
vityviT, rom A da B simravleebi tolia da CavwerT A=B,
Tu es simravleebi Sedgeba erTi da imave elementebisagan.
ganmartebidan cxadia, rom, Tu A=B, maSin A simravlis yoveli
elementi aris B simravlis elementic da B simravlis yoveli
elementi A simravlis elementicaa. magaliTad, ganvixiloT ori
A={1;5;7} da B={5;7;1} simravle. es simravleebi Sedgeba erTi da
imave elementebisagan, e.i. A=B.
Tu A da B simravleebi araa toli, weren – A ≠ B.
Tu M={0; 5; 1; 2} da F={0; 5; 1}, am SemTxvevaSi, vxedavT, 2∈M, magram
2∉F e. i. M∉F.
1) dawereT qarTvel kosmonavtTa simravle.
2) dawereT 5x–7=9 gantolebis naturalur amonaxsenTa simravle.
radgan arc qarTveli kosmonavti gvyavs jerjerobiT da 5x–7=9
gantolebis amonaxsenic – x = 3,2 araa naturaluri ricxvi, orive
SemTxvevaSi miviReT simravle, romelsac ar gaaCnia arc erTi
elementi.
simravles, romelic arc erT elements ar Seicavs, carieli
simravle ewodeba. mas ∅ simboloTi aRniSnaven.
ganvixiloT ori, A da B simravle, A={2;5} da B={2;5;7}. rogorc
vxedavT, 2∈A da 2∈B, 5∈A da 5∈B, e. i. A simravlis yoveli elementi
B simravlis elementia.
Tu A simravlis yoveli elementi B simravlis elementicaa,
maSin A simravles B simravlis qvesimravles uwodeben da
weren: A ⊂ B, Tu A simravle ar aris B simravlis qvesimravle,
weren – A ⊄ B.

ganxilul magaliTSi A ⊂ B, anu {2;5} ⊂ {2;5;7}.
miRebulia, rom carieli simravle nebismieri simravlis qvesimravlea,
∅ ⊂ A.
B
magaliTi 1.
or A da B simravles Soris damokidebuleba
– A ⊂ B, sqematurad SesaZlebelia
ase gamovsaxoT (nax. 2).
dawereT A={2;4;3} simravlis yvela qvesimravle.
amoxsna:
nax. 2
A
A
radgan ∅ simravle nebismieri simravlis qvesimravlea, amitom
∅ ⊂ A.
A simravlis erTelementiani qvesimravleebia: {2}, {4}, {3}.
A simravlis orelementiani qvesimravleebia: {2;4}, {2;3}, {4;3}.
A simravlis samelementiani qvesimravle TviT A simravlea.
{2;4;3},
e. i. A simravles gaaCnia 8 qvesimravle.
esenia: ∅, {2}, {4}, {3}, {2;4}, {2;3}, {3;4}, {2;4;3}.
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. A aris 20-ze nakleb martiv ricxvTa simravle. A=B, maSin B={ ? }.
2. Tu A Tqvens saklaso oTaxSi myof ucxoplanetelTa simravlea,
maSin A = ? .
3. M qarTvel kompozitorTa simravlea, xolo F yvela drois
kompo zitorTa simravle, maSin M ? F.
B
C
nax. 1.
Tu A ⊂ B da
B ⊂ C,
maSin A ⊂ C.
yuradReba!
2∈{2;5;7} da {2}⊂{2;5;7}.
47

I
Tavi
48
B
A C
4. K qarTvel xelovanTa simravlea, xolo L qarTvel mocekvaveTa
simravle, maSin L ? K.
5. Tqvens klasSi myof gogonaTa simravle ? klasis moswavleTa
simravlisa.
savarjiSoebi:
1 WeSmaritia Tu ara qvemoT moyvanili winadadebebi:
a) {0;2}⊂{0;1;2;4;5}; b) {3;4;5;6}⊂{3;6;9;12};
g) {∅}⊂∅; d) {0}⊂∅; e) ∅⊂{0}; v) ∅⊂{∅};
z) {3;5;9}={9;3;5}; T) {2; 4; 6; 8; ...} = N.
pasuxi daasabuTeT.
2 arsebobs Tu ara iseTi simravle, romelsac aqvs:
a) mxolod erTi qvesimravle;
b) mxolod ori qvesimravle;
g) mxolod sami qvesimravle.
dadebiTi pasuxis SemTxvevaSi moiyvaneT Sesabamisi magaliTebi.
3 dawereT A = {5;7;8;9} simravlis orelementiani qvesi mra vleebi.
4 SeadgineT sityvebi, romelTa Semadgeneli asoebis simravle
warmoa dgens sityva `WeSmariteba~-s Semadgeneli asoebisgan
Semdgari simravlis qve simravleebs.
5 A iyos qarTuli taZrebis simravle. dawereT misi xuTelementiani
qvesimravle.
6 dawereT K = {2;7;11} simravlis yvela qvesimravle.
7 M qarTvel sportsmenTa simravlea. daasaxeleT simravlis
xuTelementiani qvesimravle, romlis elementebia:
a) fexburTelebi; b) moWadrake qalebi; g) kalaTburTelebi.
8 naxazze mocemulia ABC samkuTxedi. daxazeT:
a) AMN samkuTxedi, romlis wertilTa simravle
ABC samkuTxedis wertilTa simravlis qve simravlea;
b) EF monakveTi, romlis wertilTa simravle BC
monakveTis wertilTa simravlis qvesimravlea.
a
9 A={12;18;2;6} B={1;4;2;3}.
2b
saxis ramdeni ricxvi iqneba B
simravlis elementi, Tu a∈A da b∈B?

10 kentia, Tu luwi qvemoT mocemuli ricxvi, Tu cnobilia, rom
a kenti ricxvia:
a) 3a + 1; b) 8a – 4; g) 4a + 3; d) 7a + 6.
11 ramdeni elementisagan Sedgeba orniSna ricxvTa simravle.
12 ras udris umciresi xuTniSna da udidesi oTxniSna ricxvebis
sxvaoba.
13 ipoveT is udidesi ricxvi, romlis 15-ze naSTiani gayofisas
ganayofSi miiReba 12.
14 SeavseT qvemoT moyvanili cxrili. dawereT gamosa xu leba
(ori xerxiT), romelic gviCvenebs kviris ganmavlobaSi
aRebul Tanxas, Tu cnobilia, rom saaTobrivi anazRaureba
3 laris tolia.
dReebi
saaTebis
raodenoba
orSabaTi 7 sT
samSabaTi 6 sT
oTxSabaTi 5 sT
xuTSabaTi 7 sT
paraskevi
saaTebis mTliani
raodenoba
4 sT
aRebuli
Tanxa
15* wriul distanciaze, romlis sigrZe 100 metria, TiTo metris
daSorebiT bavSvebma droSebi daasves. sul ramdeni droSaa
dasobili?
piTagora ambobda: `Cemi megobaria is, vinc aris Cemi meore me,
rogorc ricxvebi 220 da 284~.
riTaa SesaniSnavi es ricxvebi? _ TiToeulis sakuTar
gamyofTa jami meoris tolia. maT megobruli ricxvebi ewodeba.
megobruli ricxvebis Semdegi wyvili aRmoCenilia marokoeli
swavlulis ibi al-banis (1256-1321 ww.) traqtatSi. esenia 17296 da
18416.
dReisaTvis cnobilia megobrul ricxvTa 1100 wyvili.
49

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50
8 simravleTa
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 20.
TanakveTa da
gaerTianeba
1. dafaze weria naturaluri ricxvebi 1-dan
20-mde. giam gadaxaza yoveli meore ricxvi wi-
Teli carciT, nanam ki yoveli mesame lurji
carciT. dawereT simravle im ricxvebisa,
romlebic gadaxazulia:
a) wiTeli carciT (A simravle);
b) lurji carciT (B simravle); g) orive
feris carciT (C simravle).
daakvirdiT miRebul simravleebs da upasuxeT: rogor miiReba
C simravlis elementebi A da B simravlis elementebisgan?
vTqvaT, mocemuli gvaqvs ori – A da B simravle. am simravleTa
eleme ntebis saSualebiT SevadginoT axali C simravle Semdegi
wesiT: C iyos yvela im elementTa simravle, romlebic ekuTvnis
rogorc A, ise B simravles. amgvarad Sedgenil C simravles
A da B simravleebis TanakveTa ewodeba da Caiwereba ase:
C=A B ( – TanakveTis niSania).
vTqvaT, M={1;5;7}, N={3;5;7}.
radgan 5∈M da 5∈N, 7∈M da 7∈N, amitom M N={5;7}.
vTqvaT, mocemulia raime A da B simravle. maTi elementebis saSualebiT
SevadginoT axali M simravle, romelic Seicavs rogorc A
simravlis, aseve B simravlis yovel elements da Sedgeba mxolod
am elementebisagan. aseTi wesiT Sedgenil simravles A da B simravleebis
gaerTianeba ewodeba da Caiwereba ase: M=A B.
vTqvaT, A Tqveni klasis moswavle gogonaTa simravlea, B ki _
moswavle vaJebis simravle, maSin A B iqneba Tqveni klasis moswavleTa
simravle.
aCveneT, rom nebismieri A da B simravleebisTvis sruldeba:
a) A ∅ = ∅; b) Tu A ⊂ B, maSin A B = A.
simravleTa TanakveTa da gaerTianeba sqematurad SesaZlebelia
ase gamovsaxoT:
A C
A B=C
B
nax. 1
A C
A B=C
B

eiler-venis diagramebis daxmarebiT
SesaZlebelia amoixsnas bevri amocana.
ganvixiloT ramdenime aseTi amocana.
amocana 1.
klasSi 35 moswavlea. aqedan 20 dadis maTematikis, 11 ki biologiis
wreze. 10 bavSvi ar dadis arc erT wreze. ramdeni moswavle dadis
orive wreze?
amoxsna:
vaCvenoT eileris wreebis gamoyenebiT.
im `biologebis~ raodenoba,
romlebic maTematikaze ar da-
m
dian iqneba 35–10–20=5, radgan
`biologebis~ saerTo raodenoba
aris 11, maSin orive wreze mosiarule
moswavleTa raodenoba iqneba 11–5=6.
amocana 2.
cnobilia, rom WeSmaritia Semdegi sami winadadeba:
10
A
11–5=6
b
B
35–10–20=5
� TuTiyuSi Citia; � Jako TuTiyuSia; � Jako laparakobs.
romeli daskvna gamomdinareobs aucileblad?
a) yvela TuTiyuSi laparakobs;
b) ar arsebobs molaparake Citi;
g) Tu Citi laparakobs, maSin is TuTiyuSia;
d) arsebobs molaparake Citi.
amoxsna:
A iyos yvela Citebis simravle, B – molaparake Citebis simravle,
C ki TuTiyuSebis simravle.
winadadeba “TuTiyuSi Citia” niSnavs, rom yvela TuTiyuSi Citia
anu TuTiyuSebis simravle Citebis simravlis qvesimravlea, e.i.
C⊂A.
radgan Jako TuTiyuSia, Jako∈C da radgan Jako laparakobs, Jako∈B.
e.i. Jako∈B⊂C. maSasadame, Sesabamis eiler-venis diagramebs eqneba
aseTi saxe.
a) winadadeba swori rom iyos, maSin unda
sruldebodes piroba C⊂B. e.i.
A B
C
a) swori pasuxi ar aris;
b) pasuxi rom swori iyos, unda Sesruldes
piroba Jako∉A. g) pasuxi rom iyos swori,
unda Sesruldes piroba B⊂C.
d) swori pasuxia, radgan Jako∈A.
Jako
10
leonard eileri
(1707-1783)
didi Sveicarieli maTematikosi
leonard eileri
(1707-1783) rigi
amocanebis amoxsnisas
xSirad sargeblobda
msgavsi naxatebiT. mis
pativsacemad aseT wreebs
eileris wreebi uwodes.
amocanebis amoxsnis
grafikulma me-
Todma gansakuTrebuli
gamoyeneba hpova ingliseli
maTematikosis
(logikosi) jon venis
(1843-1923) SromebSi.
man daxvewa da ganavi-
Tara es meTodi. amitom
am diagramebs zogjer
eiler-venis diagramebsac
uwodeben.
51

I
Tavi
52
magaliTi 1.
vTqvaT A={3;5;1;2}, B={3;1;0} ipoveT: a) A B; b) A B.
amoxsna: a) 3∈A da 3∈B; 1∈A da 1∈B, e. i. A B={3;1}.
b) A B={3;5;1;2;0}.
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
N
1. Tu
M
K a , maSin M ? a; N ? a; MK ? a;
2. Tu 2∈A da 2∈A B, maSin 2 ? B;
3. Tu 2∈A da 2∉A B, maSin 2 ? B;
4. Tu 5∈A da 5∉B, maSin 5 ? A B;
5. a) Tu A={2;4;6} da B={2;3}, maSin A ? B={2};
b) Tu M⊂K, maSin M ? K=K;
g) Tu E⊂F, maSin E ? F=E.
savarjiSoebi:
1 M simravle iyos 2-is jerad ricxvTa simravle, K _ 3-is jerad
ricxvTa simravle. ipoveT M K .
2 eileris wreebis saSualebiT aCveneT, rom:
a) A A=A; b) A ∅=A; g) A A=A.
d) Tu B⊂A, maSin A B=A, sadac A da B nebismieri simravleebia.
3 a da b gansxvavebuli wrfeebia. ramden elements SeiZleba Seicavdes
a da b wrfeebis wertilTa simravleebis TanakveTa?
4 ipoveT naxazze mocemuli AB da CD monakveTebis wertilTa
simravleebis TanakveTa da gaerTianeba:
a) b)
A C B D A C D B
5 a) qarTvel studentTa simravlis TanakveTa sportsmenTa
simravlesTan aris ? .
b) saqarTveloSi mcxovreb mdedrobiTi sqesis adamianTa
simravlis TanakveTa 15 wlamde asakis bavSvebis simravlesTan
aris ? .
g) Tqveni klasis moswavle gogonebis simravlis gaerTianeba
Tqvenive klasis moswavle vaJebis simravlesTan aris ? .
d) Tqveni klasis friadosan moswavleTa simravles TanakveTa
skolis friadosan moswavleTa simravlesTan aris ? .

6 gadaixazeT naxazze mocemuli figurebi rveulSi da wiTlad
SeaferadeT ABC da ACD samkuTxedebis wertilTa simravleebis
1) gaerTianeba; 2) TanakveTa.
a) B C b) A C g)
A D
D B
7 vTqvaT A={1;2;8}, B={2;4;6}, C={1;3;2}. ipoveT:
a) A B C ; b) A B C .
B
D
A C
8 M iyos qarTuli anbanis xmovan aso-bgeraTa, F ki _ TanxmovanTa
simravle. ramden elementiani simravlea: a) M F ; b) M F ?
9 klasSi inglisurs swavlobs 15 bavSvi, germanuls – 17, orive
enas erTdroulad – 8 bavSvi. ramdeni bavSvia klasSi?
10 ramden elementiani simravlea A B, Tu A aris 1–dan 10–is
CaTvliT yvela naturaluri ricxvis kvadra tebis simravle,
xolo B – amave ricxvebis kubebis simravle.
11* qeTis kata yovelTvis axvelebs wvimis wina dRes. dRes katam
daaxvela. xval wvima iqneba – daskvna qeTim sworia Tu ara qeTis
daskvna?
12* mocemulia, rom WeSmaritia Semdegi ori winadadeba
� mxolod yvavebma ician frena;
� yvela yvavi Savia.
romeli daskvna gamomdinareobs maTgan aucileblad?
a) Tu Citi Savia, man icis frena;
b) Tu Citi Savia, maSin is yvavia;
g) Tu Citi dafrinvas, maSin is Savia;
d) bulbulma icis frena.
13* gia da daTo Sevidnen TxuTme t sar Tulian saxlSi, romlis
pirveli sarTuli quCis done zea. gia avida me xuTe sar Tulze.
romel sarTulze unda avides daTo, rom orjer meti raodenobis
safe xuri aiaros? (sarTulebs Soris safexurebis raodenoba
Tanabaria).
14 gaSaleT saTanrigo Sesakrebebad: a) 34097; b) 287401.
15 ricxvi 478,47 daamrgvaleT:
a) meaTedamde; b) mTelamde sizustiT.
53

I
Tavi
54
I Tavis damatebiTi savarjiSoebi:
1 dawereT 5-dan 37-mde moTavsebul: a) luw ricxvTa simravle;
b) 4-is jerad ricxvTa simravle; g) im ricxvTa simravle, romlebic 6-ze gayofisas
naSTSi 2-s gvaZleven.
2* dawereT 8-dan 11-mde moTavsebul im ukvec wiladTa simravle, romelTa mniSvnelia:
a) 3; b) 7.
3. qvemoT moyvanili winadadebebidan, romelia WeSmariti da romeli mcdari:
a) ricxvebi, romelTa bolo cifria 0, iyofa 5-ze;
b) 5-ze iyofa mxolod 0-iT daboloebuli ricxvebi;
g) Tu a iyofa 2-ze, maSin a+2 gaiyofa 4-ze;
d) sami momdevno ricxvis namravli iyofa 6-ze.
4 daasaxeleT is udidesi da umciresi naturaluri ricxvi, romelTa Sorisacaa
moTavsebuli gamosaxulebis mniSvneloba:
1
7 18
19
91 : 61 +
1 2 2
556 116 -
5 4
10 2
a) `1 : ` 2, 42: 1, 21 1 · 0, 32 ; b) 2 4 5
12 19
16
:
5 7 5 ;
2 2 2 1 23
41 · 1 - 14 : 72 101 : - 134
5 23 5 5 50
7
85 -
5 2
83 : 2
g) 30 18 3 ; d) (2,4+(3,21–0,3)·2–0,44:2):
2
.
0, 04
5
5 gamoTvaleT kalkulatoris gamoyenebis gareSe:
32527·32324 – 32528·32323.
6* ipoveT umciresi ricxvi, romelic 2-ze, 3-sa da 11-ze gayofisas naSTSi gva-
Zlevs 1-s.
7* daamtkiceT, rom Tu a+1 iyofa 3-ze, maSin (4 + 7a) aseve gaiyofa 3-ze.
8 CawereT Semdegi ricxvebis jams damatebuli maTive gaorkecebuli namravli:
a) a da x; b) 3 da y; g) x, y da z.
9 CawereT b da a ricxvebis c ricxvze gayofiT miRebuli ganayofTa jami.
10 1 kg kanfeti 2 lari Rirs. dawereT x kilogrami kanfetis Rirebuleba.
ra Rirs: a) 15kg? b) 32kg? g) 3,5kg? d) a kg kanfeti?
11 a luwi ricxvia. WeSmaritia, Tu mcdari:
a) a + 4 luwi ricxvia; b) 2a –3 luwi ricxvia;
g) 5a + 5 kenti ricxvia; d) 3a aris 6-is jeradi.
12 CawereT utolobis saxiT, romelia meti:
a) a + 2 Tu a + 3; b) b + 1 Tu b – 1.
1 2
13 SeiZleba Tu ara
1 + x
gamosaxuleba iyos erTze meti? pasuxi daasabuTeT.

14 WeSmaritia Tu ara:
a) 5 1 1 11 3
5
7 16 : 2 1 5 2 · 3 ; b) +
3
-
1
-
1 2 1 1
1 · 2 17 - 21 +
6 2 12 12 7
7 5 3 7 3 2 3 ;
g) 7,4 · 0,38 – 0,19 · 5,4 · 2 < 0,76 · 8,3 – 8,3 · 0,66.
15* daamtkiceT, rom x-is nebismieri naturaluri mniSvnelobisaTvis Semdegi
utolobebi WeSmaritia:
a) 9x 2 – 5 > 0; b) 2x 2 – 1 > 0.
16 telegramis gagzavnisas TiTo sityvaSi 9 TeTrs ixdian da kidev 20 TeTrs
momsaxurebisas:
a) ra Rirs telegramis gagzavna, Tu is x sityvisgan Sedgeba. ipoveT miRebuli
gamosaxulebis mniSvneloba, roca x = 5; 10; 12.
b) ramdeni sityvisagan Sedgeba telegrama, Tu mis gagzavnaSi 2 lari
gadaixades?
17 ramdeni naturaluri ricxvi akmayofilebs utolobas:
a) 22 ≤ n ≤ 38; b) 76 ≤ n ≤ 105.
18 amoxseniT gantoleba: a) x + 165376:323 = 704;
b) 383·x + 22222 = 101503; g) y:703 + 1987 = 7891;
d) 3x + 2x – 18 = 32; e) x + 3,7 + 4x + 2,4 = 96.
19 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba yvelaze moxerxebuli xerxiT:
a) 9999 + 9999 + 9999 + 5; b) 999 + 998 + 997 + 6;
g) 998 + 998 + 998 + 9; d) 99999 + 99999 + 10.
20 dawereT marTkuTxedis perimetris gamosaTvleli gamosaxuleba, Tu sigrZe
3-jer metia siganeze. ipoveT aseTi marTkuTxedis gverdebis sigrZe, Tu
perimetri a) 40 sm-ia, b) 60 sm-ia.
21 ipoveT sami ricxvi, romelTa jamia 222, Tu meore ricxvi 2-jer meti, mesame
ki 3-jer metia pirvelze.
22 ipoveT sami naturaluri ricxvi, romelTa jamia 111111, Tu pirveli 2-jer
naklebia, mesame ki 2-jer meti meoreze.
23 ipoveT: a) 892 ; b) 152 ; g) 232 ; d) 26 ; e) 122 ; v) 142 ;
z) 0,33 ; T) 54 ; i) 0,24 ; k) 35 ; l) 3,12 ; m) 162 ; n) 172 .
24 ra cifriT dabolovdeba:
a) 235 · 35 – 25 · 17; b) 31 · 510 + 63 · 97;
g) 482 – 322 ; d) 273 – 57 · 32.
25 daasaxeleT 356-ze naklebi udidesi ricxvi, romelic 3-ze gayofisas naSTSi
gvaZlevs 2-s.
55

I
Tavi
56
26 udidesi orniSna ricxvi, romelsac sami gamyofi aqvs.
27 *-is nacvlad CawereT iseTi cifri (cifrebi), rom miRebuli ricxvi:
a) 6*35 gaiyos 3-ze; b) 823*2 gaiyos 4-ze;
g) 12*5 gaiyos 9-ze; d) 2870* gaiyos 6-ze.
e) *245 gaiyos 3-ze; v) 705*1 gaiyos 9-ze;
z) 825*4 gaiyos 4-ze; T) 825*4 gaiyos 6-ze.
28 1 ivnisi SabaTia, ra dRe iqneba:
a) imave wlis 28 ivnisi; b) imave wlis 18 ivlisi;
g) imave wlis 1 agvisto; d) imave wlis 23 ivnisi.
29 daasruleT winadadeba:
a) saklebi gaadides 18-iT, maklebi Seamcires 10-iT, maSin sxvaoba ...
b) saklebi gaadides 20-iT, maklebi gaadides 20-iT, maSin sxvaoba ...
g) gasayofi gaadides 2-jer, gamyofi – 4-jer, maSin ganayofi ...
d) gasayofi gaadides 4-jer, gamyofi Seamcires 2-jer, maSin ganayofi ...
e) I Tanamamravli gaadides 2-jer, meore ki Seamcires 4-jer, maSin namravli ...
v) I Tanamamravli gaadides k-jer, II ki Seamcires k-jer, maSin namravli ...
30 dawereT formula ricxvebisa, romlebic
a) 7-ze gayofisas naSTSi gvaZleven 1-s;
b) 5-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 3-s;
g) 3-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 2-s;
d) 10-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 8-s;
e) 5-is jeradi ricxvebis;
v) 6-is jeradi ricxvebis.
31 skolaSi 1000 moswavlea. 640 moswavle inglisurs swavlobs. 550 – rusuls.
100 moswavle ar swavlobs arc erT enas. ramdeni moswavle swavlobs orive
enas?
32 500 me-7 klaselidan 450 dadis curvaze an fexburTze. 220 dadis mxolod
curvaze, 150 ki mxolod fexburTze. ramdeni bavSvi dadis curvazec da
fexburTzec.
33 A samis jerad ricxvTa simravlea. dawereT A simravlis 5-is jerad orniSna
ricxvTa qvesimravle.
34 dawereT Tqveni skolis friadosan moswavleTa simravlis TanakveTa Tqveni
klasis moswavleTa simravlesTan.
35 A={2;5;12}; B={5;12;3;18}.
ipoveT: a) A B; b) A B; g) A simravlis yvela qvesimravle;
d) B simravlis yvela qvesimravle.

36 cnobilia, rom a + b = 3a – 4b. ipoveT:
a) 5 + 3; b) 10 + 7; g) 8 + 1; d) 7 + 5; e) 3 + 2.
37 erTi rveuli x TeTri Rirs, 1 wigni – y TeTri. dawereT 5 rveulisa da 7
wignis Rirebulebis gamosaTvleli gamosaxuleba.
38 erT nakveTze x xe darges, meoreze 2-jer meti, mesameze ki 3-iT meti, vidre
meoreze. dawereT gamosaxuleba: ramdeni xe darges samive nakveTze.
39 erTi manqana x km/sT siCqariT moZraobs meore 5 km/sT-iT meti siCqariT. ra
manZils gaivlis orive manqana 5 saaTSi?
40 1 Tojina x lari Rirs, 1 burTi ki y lari. dawereT gamosaxuleba:
a) ra Rirs 3 Tojina da 2 burTi;
b) ramdeni lariT meti Rirs 7 burTi 2 Tojinaze;
g) ramdeni lariT naklebi Rirs 1 Tojina 2 burTze.
41 dawereT 36-isa da 24-is martiv gamyofTa simravleebis TanakveTa, gaer-
Tianeba.
42 ipoveT AAsimravlis yvela qvesimravle:
a) A={2}; b) A={2;5}; g) A={2;5;3}; d) A={1;2;–2;0}.
43* daamtkiceT, rom:
a) (15·11 + 6·11) iyofa 7-ze; b) (38·13 + 14·13) iyofa 4-ze.
udidesma berZenma maTematikosma evklidem daamtkica, rom martiv ricxvTa simravle
usasruloa.
gamoCenilma berZenma mecnierma eratosTenem (Zv. w. 276-194) mogvca wesi, romlis
saSualebiTac SesaZlebelia vipovoT raime ricxvze naklebi yvela martivi ricxvi.
SevadginoT cxrili (nax. 1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
1 araa martivi ricxvi, amitom gadavxazoT.
2 _ martivi ricxvia, igi davtovoT. gadavxazoT misi jeradi yvela ricxvi.
3-ic martivia da davtovoT. gadavxazoT yvela misi jeradi ricxvi, e. i. 4-dan dawyebuli
yoveli mesame (yvela gadaxazuls vTvliT). amis Semdeg pirveli gadauxazavi
ricxvi martivi iqneba. esaa ricxvi 5. mas vtovebT da vxazavT yvela mis jerads da
a. S. sabolood gadaixazeba yvela Sedgenili ricxvi da darCeba martivi ricxvebi.
martivi ricxvebis moZebnis am wess eratosTenes saceri hqvia.
57

I
Tavi
58
Seamowme Seni codna:
1. mocemulia, rom A={2; 3; 7; –7} maSin WeSmaritia:
a) 2∉A; b) –3∉A; g) –7∉A; d) 7∈A.
2. A simravle 7-is jerad ricxvTa simravlea, maSin WeSmaritia:
a) 19∈A; b) 20∈A; g) 21∉A; d) 47∉A.
3. Tu A simravle 3-is jerad ricxvTa simravlea, B simravle ki – 6-is
jerad ricxvTa simravle, maSin WeSmaritia:
a) A = B; b) A ⊂ B;
g) B ⊂ A; d) arc erTi pasuxi swori ar aris.
4. simravle, romelsac mxolod erTi qvesimravle aqvs, aris:
a) erTelementiani simravle; b) carieli simravle;
g) orelementiani simravle; d) aseTi simravle ar arsebobs.
5. Tu a∈A da B nebismieri simravlea, maSin aucileblad:
a) a∈B; b) a∈A B; g) a∈A B; d) A B=∅.
6. Tu A ⊂ B da b∈B, maSin aucileblad:
a) b∈A; b) b∈A da b∈B; g) b∈A B; d) b∈A B.
7. naxazze mocemulia AB da CD monakveTebi. maSin AB monakveTis
wertilTa simravlis TanakveTa DC monakveTis wertilTa simravlesTan
aris:
a) ∅; b) {A;B;P}; g) {P}; d) {P;B}.
8. mocemulia A={1;2;3}; B={2;3}; C={1;2;3} maSin A B aris:
a) ∅; b) {2}; g) {1;2;3;4;6}; d) {2;4;6}.

9. mocemulia, rom A={1;2}; B={2;3}; C={1;2;3}. maSin WeSmaritia:
a) A B=C; b) B C=A; g) A C=B; d) A B=C.
10. mocemulia A ⊂ B, maSin WeSmaritia:
a) Tu x∈B, maSin x∈A; b) Tu x∉B, maSin x∉A;
g) Tu x∉A, maSin x∉B; d) Tu x∈A, maSin x∉B.
Tu A svetis ujraSi mocemuli raodenoba metia B svetis Sesabamis
ujraSi mocemul raodenobaze, airCieT (A);
Tu B svetis ujraSi mocemuli raodenoba metia A svetis Sesabamis
ujraSi mocemul raodenobaze, airCieT (B);
Tu ujrebSi mocemuli raodenobebi tolia (C);
Tu mocemuli informacia araa sakmarisi SedarebisvTis, airCieT
(D).
A B A B C D
11. 3,1·2,3 3,2·2,2
2 1
12. 3
32 +1
7 7 –28 26–20 A B C D
7
13. 37,9·18,5 74·11 A B C D
14. 3 6 9 3 A B C D
15. 3 0 0 3 A B C D
16. a da b ricxvebs Soris operacia asea ganmartebuli: a · b = b 2 – a 2
risi tolia 4 · 5:
a) 9; b) 10; g) 11; d) 12.
17*. a=5k+2 b=25p+3, maSin a+b moicema formuliT:
a) 5n; b) 5n+1; g) 5n+2; d) 5n+3.
18. im ricxvis formula, romelis 13-ze gayofisas naSTia 3, iqneba:
a) 3k+13; b) 13k+3; g) 13k–3; d) 3k–13.
19*. orSabaTobiT ninos kata Tevzs miirTmevs, xolo 5-is jerad
ricxvebSi ki rZes. roca kata Tevzsac SeWams da rZesac miirTmevs,
muceli stkivdeba. am Tvis romel ricxvSi etkineba aucileblad
ninos katas muceli, Tu am Tvis pirveli ricxvi xuTSabaTia?
a) 5; b) 10; g) 15; d) 20.
59

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I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva
● a ricxvis n naturaluri xarisxi – an , sadac n>1, ewodeba n cali
ricxvis namravls, romelTagan TiToeuli a­s tolia. a­s xarisxis
fuZe ewodeba, n­s _ xarisxis maCvenebeli.
miRebulia, rom a1 = = a . n a a· a· ... · a
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-
.
n jer
● vityviT, rom a ricxvi iyofa b ricxvze (davweroT a b) Tu ganayofi
a:b naturaluri ricxvia.
●
1. 2-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic luwi cifriT bolovdeba.
2. 10-ze iyofa is da mxolod is naturaluri ricxvi, romelic 0-iT
bolovdeba
3. 5-ze iyofa is da mxolod is naturaluri ricxvi, romlis bolo cifria 5
an 0.
4. 3-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami iyofa 3-ze.
5. 9-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami iyofa 9-ze.
6. 4-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis bolo ori cifrisagan
Sedgenili ricxvi iyofa 4-ze.
● Tu a (bc), maSin a b da a c.
● Tu a ricxvi iyofa b da c ricxvebze da u. s. g. (b;c) = 1, maSin a gaiyofa
bc-ze.
● Tu a ricxvi iyofa c ricxvze da b ricxvic iyofa c-ze, maSin a + b da a – b
ricxvebic gaiyofa c-ze.
● ori ricxvis jami gaiyofa c ricxvze, Tu TiToeuli ricxvis c-ze gayofisas
miRebuli naSTebis jami iyofa c-ze.
● sagnebs, romelTa erTobliobasac simravle warmoadgens, am simravlis
elementebi ewodeba.
● vityviT, rom A da B simravleebi tolia da CavwerT A=B, Tu es simravleebi
Sedgeba erTi da imave elementebisagan.
● C iyos yvela im elementTa simravle, romlebic ekuTvnis rogorc A,
ise B simravles. amgvarad Sedgenil C simravles A da B simravleebis
TanakveTa ewodeba da Caiwereba ase:
C=A B ( – TanakveTis niSania).