integrasi numerik kapasitas panas debye material logam ...

SIGMA, Vol. 13, No. 2, Juli 2010: 107-113
ISSN: 1410-5888
INTEGRASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE
MATERIAL LOGAM MENGGUNAKAN
METODE NEWTON-COTES
E. Juarlin, A. Limbong, dan P. L. Gareso
Jurusan Fisika FMIPA Universitas Hasanuddin
Email: eko_juarlin@yahoo.co.id
Abstract There are three kinds of heat capacity: Classical heat capacity, Einstein heat
capacity, and Debye heat capacity. Debye model assumes that atoms vibrate and
its number of states contributes to heat capacity. The last step in the Debye model
formula derivation is the derivation of internal energy with respect to temperature.
The integration can not be solved analytically but it can be solved numerically. Numerical
integration methods using in this paper is the Newton-Cotes method which
uses 240 segments. Numerical integration is approximated by first order to five
order polynom.
Keywords: Debye heat capacity, Newton-Cotes formula, Simpson Method
1. Pendahuluan
Panas, salah satu sifat material, bersifat penting sebagai salah satu kriteria aplikasi
material. Para peneliti Cooper and Rizzuto (1971), Civjan et al (1972), Garai (2004), Rycerz, et
al. (2004), Mohelnikova (2006), Korkut, et al. (2008), dan Nascimento et al. (2009) melaporkan
bahwa sifat panas, perlakuan panas, perpindahan panas mempunyai dampak yang besar
dalam sifat material lainnya. Salah satu bagian dari sifat panas adalah kapasitas panas. Dari
kapasitas panas, ada banyak informasi yang dapat diperoleh. Salah satu informasi tersebut
adalah panas yang diserap atau dilepaskan selama terjadi perpindahan panas maka jumlah
panas yang diberikan atau dilepaskan dapat diketahui. Para peneliti melaporkan bahwa
kapasitas panas berkaitan dengan sifat-sifat lainnya (Garai, 2004; Rycerz, et al., 2004;
Mohelnikova, 2006).
Kapasitas panas dibagi dua jenis ditinjau dari keadaan sistem ketika menerima atau
melepaskan panas, yaitu kapasitas panas pada tekanan tetap (Cp) dan kapasitas panas pada
volume tetap (Cv). Kapasitas panas pada volume tetap Cv dibagi menjadi tiga, yaitu: kapasitas
panas klasik, kapasitas panas Einstein dan kapasitas panas Debye (Kittel, 1953). Kapasitas
panas Debye diturunkan dari energi sistem osilator harmonik kuantum dan rapat keadaan
sebagai fungsi temperatur. Dalam model Debye, integrasi untuk mendapatkan kapasitas panas
Debye, tidak bisa diselesaikan secara analitik.
Dalam makalah ini, penulis menghitung integrasi di dalam rumus kapasitas panas Debye
untuk logam menggunakan metode numerik. Metode numerik Newton-Cotes (N-C) digunakan
untuk menyelesaikan integrasi numerik tersebut. Metode N-C adalah metode yang mudah, dan
sudah mapan.
2. Metode Newton-Cotes
Untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dapat digunakan metode trapesium dan
metode Simpson. Metode trapesium adalah menghitung luas di bawah kurva berdasarkan
1
interpolasi linear. Metode Simpson adalah menghitung luas di bawah kurva berdasarkan
3
3
interpolasi pangkat dua. Metode Simpson adalah menghitung luas di bawah kurva
8
berdasarkan interpolasi pangkat tiga. Misalkan sebuah fungsi ( x)
fungsi tersebut dirumuskan:
f berada di a < x < b . Integral
SIGMA Vol. 13, No. 2, Juli 2010 107

E. Juarlin, A. Limbong, dan P. L. Gareso
b
∫ f
x=
a
108 SIGMA Vol. 13, No. 2, Juli 2010
( x)
I = dx
(1)
Jarak antara a dengan b dibagi menjadi n interval dan jarak antar interval adalah
b − a
h =
n
Formula Newton-Cotes (N-C) adalah salah satu teknik menghitung integral. Suatu kurva
yang diintegralkan terhadap sumbu x, didiskritisasi sepanjang sumbu x. Titik-titik diskritisasi
diinterpolasi. Bentuk interpolasi bisa berupa interpolasi linear, pangkat dua, pangkat tiga dan
seterusnya. Formula integrasi numerik N-C menyatakan bahwa sebuah fungsi yang
diintegrasikan, dapat diekspansikan menjadi:
b
∫
x=
a
( ) = ( ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) ) x f w x f w x f w x f w h dx x
f α K
(2)
Beberapa konstanta tersaji dalam tabel berikut:
3. Hasil dan Pembahasan
1
1
2
Tabel 1. Konstanta Polinom dengan N adalah orde polinomial.
N α w i
1
2
3
4
5
1
2
1
3
3
8
2
45
5
288
2
1 1
1 4 1
3
1 3 3 1
3
7 32 12 32 7
19 75 50 50 75 19
Menurut Purwanto (2007) rumus kapasitas panas logam adalah:
3
TD
3
⎛ T ⎞ x dx ⎛T
⎞ 9N
k
D
a
C
⎜
⎟
v 36Nak
∫ − ⎜ ⎟
(3)
⎝T
⎠ = 0 ( exp(
x)
−1)
⎝ T
D x
⎠ ⎛ ⎛T
⎞ ⎞
D
⎜
⎜exp⎜
⎟ −1
⎟
⎝ ⎝ T ⎠ ⎠
Integrasi di persamaan (3) diselesaikan menggunakan metode N-C. Kurva kapasitas panas
Debye logam terhadap suhu terdapat di gambar 1. Ketika suhu logam rendah, kurva dapat
diaproksimasi menjadi fungsi kubik dari suhu. Ketika suhu logam tinggi, kurva mendekati garis
asimptot.
N
N

Integrasi Numerik Kapasitas Panas Debye Material Logam Menggunakan Metode Newton-Cotes
Gambar 1. Kapasitas panas Debye (Purwanto, 2007)
Fungsi terintegrasi di persamaan (3) digambarkan dalam gambar 2. Fungsi tersebut dibagi
menjadi fugsi naik dan fungsi turun. Titik puncak fungsi berada di (2,820;1,421435). Fungsi naik
bila diaproksimasi dengan fungsi polinomial, menghasilkan kesalahan terkecil bila diaproksimasi
dengan fungsi polinom derajat empat yang menghasilkan persamaan:
4
3
2
y = 0.
049x
− 0.
3906x
+ 0.
8722x
+ 0.
0558x
− 0.
0061
Fungsi turun bila diaproksimasi dengan fungsi polinomial, menghasilkan kesalahan terkecil bila
diaproksimasi dengan fungsi polinom derajat lima yang menghasilkan persamaan:
−10
5
−8
4
−6
3
−4
2
−4
y = 10 x − 5.
10 x + 8.
10 x − 6.
10 x − 7.
10 x + 1.
4223
Gambar 2. Fungsi Terintegrasi di Rumus Debye
⎛ T ⎞
Gambar 4 menggambarkan suku kedua ruas kanan persamaan (3) terhadap
⎜
⎟ . Dalam suku
⎝TD
⎠
tersebut ada garis asimptot pada suhu tinggi. Hal tersebut terjadi karena fungsi
⎛TD
⎞
bersifat divergen dan fungsi ⎜ ⎟ bersifat konvergen.
⎝ T ⎠
SIGMA Vol. 13, No. 2, Juli 2010 109
−1
⎛ ⎛T
⎞
D ⎞
⎜
⎜exp⎜
⎟ −1
⎟
⎝ ⎝ T ⎠ ⎠

Right Second Term in Eq. 19
x 105
8
7
6
5
4
3
2
1
E. Juarlin, A. Limbong, dan P. L. Gareso
0
0 1 2 3 4 5
T/TD
6 7 8 9 10
Gambar 4. Fungsi Suku Kedua Ruas Kanan P. 3
Contoh logam yang diambil dalam makalah ini adalah logam logam Perak. Perak mempunyai
suhu Debye 250 K (Hajra, 1987).
⎛ T ⎞
Grafik kapasitas panas Debye terhadap
⎜
⎟ untuk formula N-C berpangkat satu sampai lima
⎝TD
⎠
T
terdapat di gambar 5a-5e. Grafik konstanta panas Debye terhadap sama untuk logam
TD
lainnya. Tetapi, grafik konstanta panas Debye terhadap T berbeda untuk logam lainnya.
Cv
x 104
2.5
2
1.5
1
0.5
Numeric Debye Heat Constant using 1st order polynomial
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
T/TD
Gambar 5a. Kapasitas panas Debye menggunakan formula N-C polinom orde 1
110 SIGMA Vol. 13, No. 2, Juli 2010

Integrasi Numerik Kapasitas Panas Debye Material Logam Menggunakan Metode Newton-Cotes
Cv
x 104
2.5
2
1.5
1
0.5
Numeric Debye Heat Constant using 2nd order polynomial
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
T/TD
Gambar 5b. Kapasitas panas Debye menggunakan formula N-C polinom orde 2
Cv
x 104
2.5
2
1.5
1
0.5
Numeric Debye Constant using 3rd order polynomial
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
T/TD
Gambar 5c. Kapasitas panas Debye menggunakan formula N-C polinom orde 3
SIGMA Vol. 13, No. 2, Juli 2010 111

Cv
x 104
2.5
2
1.5
1
0.5
E. Juarlin, A. Limbong, dan P. L. Gareso
Numeric Debye Constant using 4th order polynomial
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
T/TD
Gambar 5d. Kapasitas panas Debye menggunakan formula N-C polinom orde 4
Cv
x 105
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Numeric Debye Constant using 5th order polynomial
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
T/TD
Gambar 5e. Kapasitas panas Debye menggunakan formula N-C polinom orde 5
Formula N-C dapat mensimulasikan konstanta panas Debye sampai polinom orde lima. Grafik
kapasitas panas Debye menggunakan formula N-C orde satu sampai orde empat tidak
menunjukkan perbedaan yang berarti. Garis asimptotik untuk keempat grafik tersebut adalah
4
2,5 ⋅ 10 J/K. Garis asimptotik dicapai pada suhu tinggi yang berarti bahwa kapasitas panas
112 SIGMA Vol. 13, No. 2, Juli 2010

Integrasi Numerik Kapasitas Panas Debye Material Logam Menggunakan Metode Newton-Cotes
logam menurut Debye adalah sama. Khusus untuk polinom orde 5, grafik lambat mencapai
garis asimptotik dan mempunyai nilai asimptotik yang lebih besar. Hal itu menunjukkan bahwa
kesalahan numerik mulai tampak di orde lima formula N-C.
4. Kesimpulan
Formula N-C dapat mensimulasikan konstanta panas Debye. Hasil yang mirip didapatkan
dari polinom orde satu sampai orde empat. Hasil tersebut adalah hasil simulasi kapasitas panas
Debye terbaik. Saran penelitian adalah perhitungan numerik kapasitas panas logam metode
Einstein dan perhitungn kapasitas panas logam menggunakan metode lainnya.
Kepustakaan
Cooper, J. R. and Rizzuto, C. 1971. “Magnetic Susceptibility, Electronic Specific Heat and
Transport Properties of Some Intermetallic Compounds of Cerium.” Journal de Physique
Colloque C1, 32: 1136-1138.
.
Civjan et al. 1972. “Effects of Heat Treatment on Mechanical Properties of Two Nickel-
Chromium-Based Casting Alloys.” J. Dent. Res, 51 (6): 1537-1545.
Korkut, et al. 2008. “Effect of Heat Treatment on Some Mechanical Properties of Laminated
Window Profiles Manufactured Using Two Types of Adhesives.” Int. J. Mol. Sci. 9 (4):
454-463.
Nascimento, et al. 2009. “Effect of Solution Heat Treatment in Nanoscale Mechanical Properties
of ASTM A 744Gr. CN3Mn Superaustenitic Stainless Steel.” 11 th International Conference
oan Advanced Material.
Garai, J. 2004. “Correlation between Thermal Expansion and Heat Capacity.” arXiv:
physics/0404117.
Rycerz, L., et al. 2004. “Heat Capacity and Thermodynamic Properties of LaBr3 at 300 – 1100
K, Z.” Naturforsch. 59a.
Mohelnikova, J. 2006. “Determination of Specific Heat of a Building Material.” WSEAS
Transactions on Heat and Mass Transfer, 1 (11): 789-791.
Kittel, C. 1953. Introduction to Solid State Physics. New York: John Wiley & Sons,.
Purwanto, A. 2007. Fisika Statistik. Surabaya: Gava Media.
Hajra, J. P. 1987. “A New Formalism for Representation of Heat Capacity in Metals.” Bulletin
Material Science, 9 (3), India.
SIGMA Vol. 13, No. 2, Juli 2010 113