TEKNIK PENGOLAHAN ISYARAT DIGITAL
TEKNIK PENGOLAHAN ISYARAT DIGITAL
TEKNIK PENGOLAHAN ISYARAT DIGITAL
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>TEKNIK</strong> <strong>PENGOLAHAN</strong> <strong>ISYARAT</strong> <strong>DIGITAL</strong><br />
Kuliah 9 – Filter Digital<br />
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.<br />
Program Studi Teknik Elektro<br />
Program Studi Teknik Informatika<br />
Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer<br />
Universitas Mercu Buana Yogyakarta<br />
2009
Kuliah 9<br />
Teknik Pengolahan Isyarat Digital<br />
Teknik Elektro UMBY<br />
FILTER <strong>DIGITAL</strong><br />
Filter merupakan nama umum yang mengacu pada sistem LTI untuk melakukan<br />
seleksi frekuensi. Dengan demikian sistem LTI waktu-diskret juga disebut filter digital.<br />
Ada dua jenis filter digital:<br />
1. Filter FIR (Finite-duration Impulse Response = Tanggapan Impulse Durasiberhingga)<br />
Yaitu jika tanggapan impuls dari sistem LTI mempunyai durasi yang berhingga.<br />
Dengan demikian untuk filter FIR maka h[n] = 0 untuk n < n1 dan untuk n > n2. Filter<br />
FIR juga sering disebut filter non-rekursif atau moving average (MA) filter.<br />
2. Filter IIR (Infinite-duration Impulse Response = Tanggapan Impulse Durasi-takberhingga)<br />
Yaitu jika tanggapan impuls dari sistem LTI mempunyai durasi yang tak berhingga.<br />
Filter IIR juga sering disebut filter-rekursif atau autoregresif (AR) filter.<br />
Matlab mempunyai fungsi untuk implementasi filter FIR dan IIR yaitu filter.m<br />
Tiga Elemen Dasar<br />
Oleh karena filter yang akan dibahas adalah sistem LTI, maka diperlukan tiga<br />
elemen dasar untuk menggambarkan struktur filter digital, seperti yang diperlihatkan<br />
pada gambar-gambar berikut.<br />
1. Adder (Penjumlah)<br />
Elemen ini mempunyai dua input dan satu output. Penjumlahan tiga atau lebih<br />
isyarat dapat dilakukan dua penjumlah (adder) secara berturutan. Elemen<br />
penjumlah digambarkan sbb:<br />
1
2. Multiplier (Gain) atau Pengali<br />
Pengali merupakan elemen dengan satu input dan satu output. Perkalian dengan 1<br />
biasanya tidak dituliskan secara eksplisit. Elemen pengali dengan gain = a<br />
digambarkan sbb:<br />
3. Elemen Tunda (Delay Element)<br />
Elemen ini akan menunda isyarat yang melaluinya sebanyak satu sampel.<br />
Biasanya diimplementasikan menggunakan register geser. Elemen tunda dengan<br />
digambarkan sbb:<br />
Struktur Filter IIR<br />
Fungsi sistem filter IIR dinyatakan sbb:<br />
M<br />
−n<br />
∑bn<br />
z<br />
−1<br />
−M<br />
B(<br />
z)<br />
n=<br />
0 b0<br />
+ b1z<br />
+ ... + bM<br />
z<br />
H ( z)<br />
= = =<br />
N<br />
−1<br />
−N<br />
A(<br />
z)<br />
−n<br />
1+<br />
a1z<br />
+ ... + aN<br />
z<br />
∑ an<br />
z<br />
n=<br />
0<br />
Dengan bn dan an adalah koefisien filter, dan a0 = 1.Orde filter IIR adalah sama dengan N<br />
jika aN ≠ 0. Persamaan diferensial (persamaan beda) untuk filter IIR dapat dinyatakan<br />
sbb:<br />
M<br />
∑<br />
m=<br />
0<br />
N<br />
∑<br />
y(<br />
n)<br />
= b x(<br />
n − m)<br />
− a y(<br />
n − m)<br />
(2)<br />
m<br />
Terdapat beberapa cara implementasi filter IIR pada persamaan (2), yaitu cara atau<br />
bentuk langsung, bentuk kaskade, dan bentuk paralel. Dengan cara langsung, persamaan<br />
beda pada persamaan (2) diimplementasikan menggunalan elemen-elemen tunda, pengali,<br />
n=<br />
1<br />
m<br />
(1)<br />
2
dan elemen penjumlah. Misalkan bahwa M = N = 4, maka persamaan beda dapat<br />
diuraikan sbb:<br />
y(n) = b0 x(n) + b1 x(n – 1) + b2 x(n – 2) + b3 x(n – 3) + b4 x(n – 4)<br />
– a1 y(n – 1) – a2 y(n – 2) – a3 y(n – 3) – a4 y(n – 4) (3)<br />
Dan dapat diimplementasikan menggunakan elemen-elemen dasar pengali, penjumlah,<br />
dan elemen tunda seperti digambarkan pada gambar berikut.<br />
direct form I structure<br />
Tampak bahwa terdapat dua garis tunda yang berdekatan satu sama lain dan dihubungkan<br />
oleh pengali dengan gain = 1. Dengan demikian satu garis tunda dapat dihilangkan dan<br />
penghilangan ini mengarahkan pada struktur kanonis yang disebut struktur bentuk<br />
langsung II (direct form II structure).<br />
direct form II structure<br />
3
Contoh 1<br />
Filter IIR dinyatakan dengan fungsi sbb:<br />
H ( z)<br />
−1<br />
−2<br />
⎛ 1 + 0z<br />
+ z<br />
⎜<br />
−1<br />
⎝1<br />
− 0.<br />
8z<br />
+ 0.<br />
6z<br />
−1<br />
⎞⎛<br />
2 − z<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎠⎝1<br />
− 0.<br />
75z<br />
= −2<br />
−1<br />
Gambarkan struktur bentuk langsung I dan II.<br />
Penyelesaian<br />
−1<br />
−2<br />
⎛ 1+<br />
0z<br />
+ z<br />
H ( z)<br />
= ⎜<br />
−1<br />
⎝1<br />
− 0.<br />
8z<br />
+ 0.<br />
6z<br />
⎛<br />
= ⎜<br />
⎝1<br />
− 0.<br />
8z<br />
−1<br />
−1<br />
2 + z + 2z<br />
=<br />
−1<br />
1−<br />
1.<br />
55z<br />
+ 1.<br />
2z<br />
−2<br />
−2<br />
2 + 2z<br />
− z<br />
−2<br />
+ 0.<br />
6z<br />
− 0.<br />
75z<br />
−2<br />
−2<br />
−1<br />
⎞⎛<br />
2 − z<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎠⎝1<br />
− 0.<br />
75z<br />
−3<br />
− z<br />
+ 0.<br />
45z<br />
−1<br />
−1<br />
−3<br />
−1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−3<br />
− z<br />
+ 0.<br />
6z<br />
−2<br />
+<br />
0.<br />
45<br />
2<br />
1<br />
x(n) y(n)<br />
z -1<br />
z -1<br />
z -1<br />
1<br />
2<br />
-1<br />
z<br />
Direct form I structure<br />
−3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1.55<br />
-1,2<br />
-0,45<br />
1<br />
2<br />
x(n) y(n)<br />
1,55<br />
-1,2<br />
-0,45<br />
z -1<br />
z -1<br />
z -1<br />
1<br />
2<br />
-1<br />
Direct form II structure<br />
z -1<br />
z -1<br />
z -1<br />
4
Struktur Filter FIR<br />
Fungsi sistem filter FIR dinyatakan sbb:<br />
∑ − M 1<br />
−1<br />
1−M<br />
−n<br />
H ( z)<br />
= b0<br />
+ b1z<br />
+ ... + bM<br />
−1z<br />
= bn<br />
z<br />
n=<br />
0<br />
(4)<br />
Sehingga tanggapan impuls h(n) adalah<br />
⎧bn untuk 0 ≤ n ≤ M −1<br />
h(<br />
n)<br />
= ⎨<br />
(5)<br />
⎩0<br />
untuk yang lain<br />
Dan persamaan diferensialnya menjadi:<br />
y(n) = b0 x(n) + b1 x(n -1) + ... + bM-1 x(n – M +1) (6)<br />
yang merupakan konvolusi linier berhingga.<br />
Orde filter FIR adalah (M – 1) sedangkan panjang filter adalah M (yaitu sama<br />
dengan jumlah koefisien yang ada). Struktur filter FIR selalu bersifat stabil dan relatif<br />
sederhana jika dibandingkan dengan struktur IIR. Lebih jauh, filter FIR dapat dirancang<br />
supaya mempunyai tanggapan fase linier yang sangat bermanfaat dalam beberapa aplikasi<br />
tertentu.<br />
Terdapat beberapa struktur filter FIR, yaitu:<br />
1. Bentuk langsung,<br />
2. Bentuk kaskade,<br />
3. Bentuk fase linier, dan<br />
4. Bentuk sampling frekuensi.<br />
Dalam pembahasan ini hanya akan dijelaskan bentuk yang pertama. Misalkan panjang<br />
filter M = 5 (yaitu filter FIR orde 4), maka persamaan (6) menjadi<br />
y(n) = b0 x(n) + b1 x(n – 1) + b2 x(n – 2) + b3 x(n – 3) + b4 x(n – 4) (7)<br />
dan struktur bentuk langsungnya diilustrasikan pada gambar berikut.<br />
5
Tampak bahwa persamaan (7) diimplementasikan sebagai garis tunda sadapan (tapped<br />
delay lines) karena tidak terdapat jalur umpan balik atau feed back.<br />
Contoh 2<br />
Filter FIR dinyatakan dengan persamaan diferensial sbb:<br />
y ( n)<br />
=<br />
10<br />
∑<br />
k = 0<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
5−k<br />
x(<br />
n − k)<br />
Tentukan diagram blok struktur bentuk langsung-nya.<br />
Penyelesaian<br />
y(<br />
n)<br />
10<br />
= ∑<br />
k=<br />
0<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
5<br />
5−k<br />
x(<br />
n − k)<br />
4<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
y(<br />
n)<br />
= ⎜ ⎟ x(<br />
n)<br />
+ ⎜ ⎟ x(<br />
n −1)<br />
+ ⎜ ⎟ x(<br />
n − 2)<br />
+ ⎜ ⎟ x(<br />
n − 3)<br />
+ ⎜ ⎟ x(<br />
n − 4)<br />
+ x(<br />
n − 5)<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
Atau<br />
2<br />
3<br />
3<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
+ ⎜ ⎟x(<br />
n − 6)<br />
+ ⎜ ⎟ x(<br />
n − 7)<br />
+ ⎜ ⎟ x(<br />
n − 8)<br />
+ ⎜ ⎟ x(<br />
n − 9)<br />
+ ⎜ ⎟ x(<br />
n −10)<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
y(n) = 0,03125 x(n) + 0,0625 x(n – 1) + 0,125 x(n – 2) + 0,25 x(n – 3) + 0,5 x(n – 4)<br />
+ x(n – 5) + 0,5 x(n – 6) + 0,25 x(n – 7) + 0,125 x(n – 8) + 0,0625 x(n – 9)<br />
+ 0.03125 x(n – 10)<br />
b0 = 0,03125 b6 = 0,5<br />
b1 = 0,0625 b7 = 0,25<br />
b2 = 0,125 b8 = 0,125<br />
b3 = 0,25 b9 = 0,0625<br />
b4 = 0,5 b10 = 0,03125<br />
b5 = 1<br />
Anda dapat mencoba menggambarkan diagram blok struktur bentuk langsung-nya<br />
sendiri.<br />
2<br />
4<br />
5<br />
6
Soal 1<br />
H ( z)<br />
−1<br />
−2<br />
⎛ 1 + 0z<br />
+ z<br />
2 ⎜<br />
−1<br />
⎝1<br />
− 0.<br />
8z<br />
+ 0.<br />
6z<br />
−1<br />
⎞⎛<br />
2 − z<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎠⎝1<br />
− 0.<br />
75z<br />
= −2<br />
−1<br />
Gambarkan struktur bentuk langsung I dan II.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
7