Fungsi dan Grafik Fungsi dan Grafik Diferensial dan ... - Ee-cafe.org

Sudaryatno Sudirham 

Studi Mandiri 

Fungsi dan Grafik 

Diferensial dan Integral 

Darpublic 

ii

Studi Mandiri 



oleh 

Sudaryatno Sudirham 

i

Hak cipta pada penulis, 2010 

SUDIRHAM, SUDARYATNO 

Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral 

Oleh: Sudaryatmo Sudirham 

Darpublic, Bandung 

fdg-1110 

http://www.ee-cafe.org 

Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135. 

Fax: (62) (22) 2534117 

ii

Kata Pengantar 

Dalam buku ini penulis mencoba menyajikan bahasan matematika bagi 

pembaca untuk memperoleh pengertian dengan lebih mudah tentang 

kalkulus. Walaupun materi yang dibahas adalah materi matematika, 

namun uraian dengan bahasa matematika telah dicoba untuk sangat 

dibatasi. Pendefinisian dan pembuktian formula-formula diganti dengan 

pernyataan-pernyataan serta gambaran grafis yang lebih mudah difahami. 

Penulis berharap bahwa pengertian dasar yang bisa diperoleh dari buku 

ini akan mendorong minat untuk mendalami materi lebih lanjut. 

Buku ini dutujukan untuk umum. Bahan utama isi buku adalah catatan 

penulis sewaktu mengikuti kuliah di Institut Teknologi Bandung, 

sedangkan contoh-contoh hubungan diferensial dan soal-soal persamaan 

diferensial penulis ambil dari buku “Analisis Rangkaian Elektrik”. 

Bahasan dibatasi pada fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal 

berupa bilangan nyata. 

Karakterisasi fungsi-fungsi serta perhitungan diferensial dan integral 

sangat dipermudah dengan bantuan komputer. Hal demikian banyak 

dilakukan dalam meghadapi persoalan yang kompleks. Namun buku ini 

tidak membahas cara perhitungan dengan menggunakan komputer 

tersebut, melainkan menyajikan bahasan mengenai pengertian-pengertian 

dasar tentang fungsi serta hitungan diferensial dan integral. 

Akhir kata, penulis harapkan tulisan ini ada manfaatnya. Saran-saran 

pembaca sangat diharapkan untuk perbaikan lebih lanjut. 

Bandung, Nopember 2010 

Wassalam, 

Penulis 

iii

A. Schopenhauer, 1788 – 1860 

dari 

Mini-Encyclopédie, France Loisirs 

ISBN 2-7242-1551-6 

iv

Daftar Isi 

Kata Pengantar 

Daftar Isi 

Bab 1: Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1 

Fungsi. Domain. Kurva, Kekontinyuan, Simetri. Bentuk 

Implisit. Fungsi Bernilai Tunggal dan Bernilai Banyak. 

Fungsi dengan Banyak Peubah Bebas. Koordinat Polar. 

Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan. 

Bab 2: Fungsi Linier 15 

Fungsi Tetapan. Fungsi Linier – Persamaan Garis 

Lurus. Pergeseran Kurva. Perpotongan Garis. 

Bab 3: Gabungan Fungsi Linier 27 

Fungsi anak Tangga. Fungsi Ramp. Pulsa. Perkalian 

Ramp dan Pulsa. Gabungan Fungsi Ramp. 

Bab 4: Mononom dan Polinom 37 

Mononom: Mononom Pangkat Dua; Mononom Pangkat 

Tiga. Polinom: Fungsi Kuadrat. Penambahan Mononom 

Pangkat Tiga. 

Bab 5: Bangun Geometris 55 

Persamaan Kurva. Jarak Antara Dua Titik. Parabola. 

Lingkaran. Elips. Hiperbola. Kurva berderajat Dua. 

Perputaran Sumbu. 

Bab 6: Fungsi Trigonometri 69 

Peubah Bebas Bersatuan Derajat. Peubah Bebas 

Bersatuan Radian. Fungsi Trigonometri Inversi. 

Bab 7: Gabungan Fungsi Sinus 85 

Fungsi Sinus Dan Cosinus. Kombinasi Fungsi Sinus. 

Spetrum Dan Lebar Pita. 

Bab 8: Fungsi Logaritma. Natural, Eksponensial, Hiperbolik 95 

Fungsi Logaritma Natural. Fungsi Exponensial. Fungsi 

Hiperbolik. 

Bab 9: Turunan Fungsi-Fungsi (1) 105 

Pengertian Dasar. Mononom. Polinom. Nilai Puncak. 

Garis Singgung. 

iii 

v 

v


Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari 

Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi 

Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx 

dan dy. 


Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. 

Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi 

Logaritmik. Fungsi Eksponensial. 

Bab 12: Integral (1) 141 

Integral Tak Tentu. Penggunaan Integral Tak Tentu. 

Luas Sebagai Suatu Integral. Penggunaan Dalam 

Praktek. 


Luas Sebagai Suatu Integral - Integral Tentu. Penerapan 

Integral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. 


Volume Sebagai Suatu Integral. Panjang Kurva. Nilai 

Rata-Rata Suatu Fungsi. Pendekatan Numerik. 

Bab 15: Persamaan Diferensial 179 

Pengertian. Solusi. Persamaan Diferensial Orde Satu 

Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. Persamaan 

Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan Diferensial 

Linier Orde Satu. Solusi Pada Berbagai Fungsi 

Pemaksa. 

Bab 16: Persamaan Diferensial (2) 193 

Persamaan Diferensial Linier Orde Dua. Tiga 

Kemungkinan Bentuk Solusi. 

Bab 17: Koordinat Polar 201 

Relasi koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku. 

Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar. Persamaan 

Garis Lurus. Parabola, Elips, Hiperbola. Lemniskat dan 

Oval Cassini. Luas Bidang. 

Indeks 213 

Referensi 215 

Biodata penulis 216 

vi Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Bab 1 

Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 

1.1. Fungsi 

Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran 

lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi 

besaran x. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur. 

Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan 

y = f (x) 

(1.1) 

Perhatikan bahwa penulisan y = f (x) 

bukanlah berarti y sama dengan f 

kali x, melainkan untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari x 

yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y 

akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai. 

y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan menjadi peubah-takbebas 

(y) dan peubah-bebas (x). Peubah-bebas x adalah simbol dari suatu 

besaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan. 

Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilai 

yang dimiliki x. 

Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah 

sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda. 

Kita ambil contoh dalam relasi fisis 

L T = L 0 (1 + λT 

) 

dengan L T adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L 0 adalah 

panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai 

panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi 

temperatur makin panjang batang logam. Namun sebaliknya, makin 

panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi. 

Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akan 

bertambah panjang namun tidak bertambah temperaturnya. 

Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas, 

sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus 

ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi. 

1

1.2. Domain 

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x 

bervariasi. Dalam kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk 

sebagai berikut: 

a). rentang nilai berupa bilangan-nyata yang terletak antara dua nilai a 

dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai 

a < x < b 

Ini berarti bahwa x bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun 

lebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, yang dapat 

kita gambarkan sebagi berikut: 

a 

b 

a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut. 

b). rentang nilai 

a ≤ x < b 

yang kita gambarkan sebagai 

a 

b 

Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan 

rentang setengah terbuka. 

c). rentang nilai 

a ≤ x ≤ b 

Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini 

adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan 

a 

b 

1.3. Kurva, Kekontinyuan, Simetri 

Kurva. Fungsi y = f (x) 

dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam 

visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal 

memanjang dari −∞ ke arah kiri sampai +∞ ke arah kanan, ditetapkan 

sebagai sumbu-x atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi 

2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

0 serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat 

menggambarkan nilai-nilai x pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah x 

memiliki nilai yang berupa bilangan-nyata. 

y 3 

Q[-2,2] 

2 

1 

0 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4 

III -1 IV 

R[-3,-3] 

II 

-2 

-3 

P[2,1] 

S[3,-2] 

-4 

Gb.1.1. Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku. 

Catatan: Suatu bilangan-nyata dapat dinyatakan dengan desimal 

terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1, 2, 3, ......adalah 

bilangan-nyata bulat; 1,586 adalah bilangan-nyata dengan desimal 

terbatas; π adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas, yang 

jika dibatasi sampai sembilan angka di belakang koma nilainya 

adalah 3,141592654. 

Selain sumbu-x ditetapkan pula sumbu-y yang tegak lurus pada sumbu-x, 

memanjang ke −∞ arah ke bawah dan +∞ arah ke atas, yang melewati 

titik referensi 0 di sumbu-x dan disebut ordinat. Titik perpotongan 

sumbu-y dengan sumbu-x merupakan titik referensi yang disebut titikasal 

dan kita tulis berkoordinat [0,0]. Pada sumbu-y ditetapkan juga 

satuan skala seperti halnya pada sumbu-x, yang memungkinkan kita 

untuk menggambarkan posisi bilangan-nyata di sumbu-y. Besaran fisik 

yang dinyatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu-y tidak 

harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-x; misalnya sumbu-x 

menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu-y 

menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala. 

Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu-x dan sumbu-y, 

selanjutnya kita sebut bidang x-y, akan terbagi dalam 4 kuadran, yaitu 

kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1. 

I 

3

Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita nyatakan posisinya sebagai 

K[x k ,y k ], dengan x k dan y k berturut-turut menunjukkan jumlah skala di 

sumbu-x dan di sumbu-y dari titik K yang sedang kita tinjau. Pada 

Gb.1.1. misalnya, posisi empat titik yang digambarkan di kuadran I, II, 

III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[2,1], Q[-2,2], R[-3,-3] dan 

S[3,-2]. 

Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nyata akan berkaitan dengan 

satu titik di bidang x-y. Dengan cara inilah pasangan nilai yang dimiliki 

oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi y = f(x) dapat divisualisasikan 

pada bidang x-y. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi y di bidang 

x-y, dan kurva ini memiliki persamaan y = f(x), sesuai dengan 

pernyataan fungsi yang divisualisasikannya. 

Contoh: sebuah fungsi 

y = 0, 5x 

(1.2) 

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y. Jika kita muatkan dalam 

suatu tabel, nilai x dan y akan terlihat seperti pada Tabel-1.1. 

Tabel-1.1. 

x -1 0 1 2 3 4 dst. 

y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst. 

Fungsi y = 0, 5x 

yang memiliki pasangan nilai x dan y seperti 

tercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti 

terlihat pada Gb.1.2. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titikasal 

[0,0] dan memiliki kemiringan tertentu (yang akan kita pelajari 

lebih lanjut), dan persamaan garis ini adalah y = 0, 5x 

. 

2,5 

y 

2 

R 

1,5 

Q ∆y 

1 

∆x 

0,5 

P 

0 

-0,5 

-1 

0 1 2 3 x 4 

Gb.1.2. Kurva dari fungsi 

y = 0, 5x 


Dengan contoh ini, relasi (1.2) yang merupakan relasi fungsional, 

setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan yaitu 

persamaan dari kurva yang diperoleh. Ruas kiri dan kanan 

persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita 

bisa mendapatkan dengan mudah nilai y jika diketahui nilai x, dan 

sebaliknya kita juga dapat memperoleh nilai x jika diketahui nilai y. 

Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi y = 0, 5x 

membentuk 

kurva dengan persamaan y = 0, 5x 

di bidang x-y. Dalam contoh ini titiktitik 

P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-0,5], 

Q[2,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini 

perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara 

paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris. 

Kekontinyuan. Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x 

tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang 

tersebut. Syarat untuk terjadinya fungsi yang kontinyu dinyatakan 

sebagai berikut: 

Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan 

kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: 

(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = 

c; 

(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita 

tuliskan sebagai lim f ( x) 

= f ( c) 

yang kita baca limit f(x) 

x→c 

untuk x menuju c sama dengan f(c). 

Contoh: Kita lihat misalnya fungsi y = 1/x. Pada x = 0 fungsi ini 

tidak terdefinisi karena 1/0 tidak dapat kita tentukan berapa nilainya; 

lim f ( x) 

tidak terdefinisi jika x menuju nol. Kedua persyaratan 

x→c 

kekontinyuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinyu di x 

= 0. Hal ini berbeda dengan fungsi yang terdefinisikan di x = 0 

(lihat selanjutnya ulasan di Bab-3) sebagai 

y = u( 

x), 

y = 1 untuk x ≥ 0 

y = 0 untuk x < 0 

5

yang bernilai 0 untuk x < 0 dan bernilai 1 untuk x ≥ 0. Perhatikan 

Gb.1.3. 

1 

y 

y = 1/x 

0 

-10 -5 0 5 x 10 

y = 1/x 

-1 

Tak terdefinikan di x = 0. 

y 

1 

0 

0 

y = u(x) 

Gb.1.3. Fungsi 

x 

Terdefinisikan di x = 0 

y = 1/ 

x dan y =u(x) 

Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik 

tertentu 

a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka 

kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; 

b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva 

fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 

c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva 

fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. 

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, 

kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0]. 

Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini. 

Kurva y = 0,3x 2 simetris terhadap sumbu-y. Jika kita ganti nilai x = 

2 dengan x = - 2, nilai tidak berubah karena x berpangkat genap. 


Kurva y = 0,05x 3 simetris terhadap titik-asal [0,0]. Di sini x 

berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika x diganti 

– x dan y diganti – y. 

2 2 

Kurva x + y = 9 simetris terhadap sumbu-x, simetris terhadap 

sumbu-y, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga 

simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV. 

y = 0,3x 2 

6 

3 

y 

tidak berubah bila x diganti −x 

tidak berubah jika x dan y 

diganti dengan −x dan −y 

0 

-6 -3 0 3 6 

-3 y 2 + x 2 = 9 

y = 0,05x 3 tidak berubah jika 

x diganti −x 

x dan y diganti dengan −x dan −y 

-6 

x dan y dipertukarkan 

y diganti dengan −y 

Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi yang memiliki simetri. 

1.4. Bentuk Implisit 

Suatu fungsi kebanyakan dinyatakan dalam bentuk eksplisit dimana 

peubah-tak-bebas y secara eksplisit dinyatakan dalam x, seperti 

y = f (x) . Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana 

nilai y tidak diberikan secara eksplisit dalam x. Berikut ini adalah 

beberapa contoh bentuk implisisit. 

x 

x 

2 

xy = 1 

y 

x 

2 

2 

+ y 

2 

= x 

= 1 

+ xy + y 

2 

= 8 

(1.3) 

7

Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x 

akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y. Contoh 

pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk 

eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem 

koordinat x-y dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh 

yang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan 

bentuk persamaan kuadrat 

yang akar-akarnya adalah 

2 

2 

2 ( 2 = 

x + xy + y = 8 ⇒ y + xy + x −8) 

0 

y , y 

1 

2 

− x ± 

= 

x 

2 

− 4( x 

2 

2 

− 8) 

Nilai y 1 dan y 2 dapat dihitung untuk setiap x yang masih memberikan 

nilai nyata untuk y. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita 

tuliskan sebagai 

2 

2 

− x x − 4( x − 8) 

y = ± 

(1.4) 

2 2 

yang merupakan bentuk pernyataan eksplisit y = f (x) 

. Kurva fungsi 

ini terlihat pada Gb.1.5. 

y 8 

4 

0 

-4 -2 0 2 4 

x 

-4 

Gb.1.5. Kurva 

-8 

− x 

y = ± 

2 

x 

2 

− 4( x 

2 

2 

−8) 


1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banyak 

Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi yang hanya memiliki satu nilai 

peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi 

bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal. 

1). 

2 

y = 0,5x 

. 

Pada fungsi ini setiap nilai x hanya memberikan satu nilai y. Kurva 

dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva 

fungsi ini simetris terhadap sumbu-y namun dalam gambar ini 

terutama diperlihatkan rentang x ≥ 0. 

8 

y 

6 

4 

2 

0 

-1 0 1 2 3 x 4 

2 

Gb.1.6. Kurva y = 0,5x 

2). y = + x . 

Pada fungsi ini, y hanya mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia 

bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb 1.7. 

y 

1,6 

1,2 

0,8 

0,4 

0 

0 0,5 1 1,5 x 2 

Gb.1.7. Kurva 

y = + 

x 

9

3). y = − x . 

Peubah tak-bebas y hanya mengambil nilai negatif. Oleh karena itu 

ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8. 

Sesungguhnya kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva 

y = + x . Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana y mengambil nilai 

baik positif maupun negatif. 

0 

0 0, 1 1, x 2 

-0,4 

-0,8 

4). y = log10 

x . 

-1,2 

y 

-1,6 

Gb.1.8. Kurva 

y = − 

x 

Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baiknya kita mengingat 

kembali tentang logaritma. 

log 10 adalah logaritma dengan basis 10; log 10 a berarti 

berapakah 10 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi 

y = log10 

x berarti 10 

y = x 

y 1 = log 10 1 = 0 ; 

y 2 = log 10 1000 = 3 ; 

y 3 = log 10 2 = 0,30103; ...dst. 

Kurva fungsi 

y = log10 

x terlihat pada Gb.1.9. 

0,8 

y 

0,4 

0 

-0,4 

0 1 2 3 x 4 

-0,8 

Gb.1.9. Kurva 

y = log10 

x 


5). 2 

y = x = x . 

Fungsi ini berlaku untuk nilai x negatif maupun positif. 

2 

Perhatikanlah bahwa x tidak hanya sama dengan x, melainkan 

± x. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.10. 

Gb.1.10. Kurva y = |x| = √x 2 

Fungsi Bernilai Banyak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat 

lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai 

banyak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banyak. 

1). Fungsi y = ± x . 

Perhatikan bahwa ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Sesungguhnya 

x bernilai ± x dan bukan hanya x saja. Kurva fungsi ini terlihat 

pada Gb.1.11. Jika y hanya mengambil nilai positif atau negatif 

saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan 

pada contoh 2 dan 3 pada fungsi bernilai tunggal . 

y 

2 

1,5 

1 

0,5 

0 

-0,5 

-1 

y 4 

3 

2 

1 

0 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4 

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 

x 

-1,5 

-2 

Gb.1.11. Kurva 

y = ± 

x 

11

2). Fungsi y 

2 1 

= . 

x 

Fungsi ini bernilai banyak; ada dua nilai y untuk setiap nilai x. 

Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.12. 

10 

y 

5 

0 

-5 

0 1 2 3 

x 

-10 


y 2 = 1/ 

x ⇒ y = ± 1/ 

x 

1.6. Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas 

Fungsi dengan banyak peubah bebas tidak hanya tergantung dari satu 

peubah bebas saja, x, tetapi juga tergantung dari peubah bebas yang lain. 

Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas x dan t dinyatakan 

sebagai 

y = f ( x, 

t) 

(1.5) 

Sesungguhnya dalam peristiwa fisis banyak fungsi yang merupakan 

fungsi dengan peubah-bebas banyak, misalnya persamaan gelombang 

berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi 

(x) dan waktu (t). 

Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banyak 

sebagai 

w = f ( x, 

y, 

z, 

u, 

v) 

(1.6) 

untuk menyatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas x, y, 

z,u,dan v. 

Fungsi dengan peubah bebas banyak juga mungkin bernilai banyak, 

misalnya 


2 2 2 2 

ρ = x + y + z 

(1.7) 

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hanya meninjau nilai positif 

dari ρ dan kita nyatakan fungsi yang bernilai tunggal ini sebagai 

2 2 2 

ρ = + x + y + z 

(1.8) 

1.7. Sistem Koordinat Polar 

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam 

skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. 

Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinyatakan oleh jarak titik 

ke titik asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r 

dengan sumbu-x yang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku 

posisi titik dinyatakan sebagai P(x,y) maka dalam koordinat polar 

dinyatakan sebagai P(r,θ). 

Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah 

y = r sin θ ; 

x = r cosθ ; 

2 

r = x + y 

2 

− 

θ = tan 1 ( y / x) 

Hubungan ini terlihat pada Gb.1.13. 

y 

rcosθ 

θ 

r 

Gb.1.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar. 

P 

rsinθ 

x 

13

1.8. Fungsi Parametrik 

Dalam koordinat sudut-siku fungsi y = f (x) 

mungkin juga dituliskan 

sebagai 

y = y(t) x = x(t) 

(1.10) 

jika y dan x masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi yang 

demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter. 

1.9. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan 

Dalam buku ini kita hanya akan membahas fungsi-fungsi dengan peubah 

bebas tunggal sedangkan fungsi dengan banyak peubah bebas dibahas di 

buku lain. Kita juga membatasi diri hanya pada bilangan nyata. Bilangan 

kompleks belum akan kita bahas sehingga fungsi-fungsi kompleks tidak 

dicakup oleh buku ini. 

Bahasan dari Bab-2 mengenai fungsi linier sampai dengan Bab-16 

mengenai persamaan diferensial dilakukan dalam pengertian koordinat 

sudut-siku. Koordinat polar dibahas pada Bab-17. 


Bab 2 

Fungsi Linier 

2.1. Fungsi Tetapan 

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞. 

Kita tuliskan 

y = k 

[2.1] 

dengan k bilangan-nyata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.2.1. berupa 

garis lurus mendatar sejajar sumbu-x, dalam rentang nilai x dari −∞ 

sampai +∞. 

y 5 

y = 4 

0 

-5 0 x 5 

-4 

y = −3,5 

Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan): 

y = 4 dan y = −3, 5 . 

2.2. Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus 

Persamaan (2.1) adalah satu contoh persamaan garis lurus yang 

merupakan garis mendatar sejajar sumbu-x, dengan kurva seperti 

terlihat pada Gb.2.1. Kurva yang juga merupakan garis lurus tetapi tidak 

sejajar sumbu-x adalah kurva yang memiliki kemiringan tertentu. 

Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan y terhadap 

perubahan x, atau kita tuliskan 

∆y 

⎛ "delta y" 

⎞ 

kemiringan = m = , ⎜dibaca : ⎟ (2.2) 

∆x 

⎝ "delta x" 

⎠ 

15

Dalam hal garis lurus, rasio 

∆y 

memberikan hasil yang sama di titik 

∆x 

manapun kita menghitungnya. Artinya suatu garis lurus hanya 

mempunyai satu nilai kemiringan, yaitu yang diberikan oleh m pada 

fungsi y = mx . Gb.2.2. berikut ini memperlihatkan empat contoh kurva 

garis lurus yang semuanya melewati titik-asal [0,0] akan tetapi dengan 

kemiringan yang berbeda-beda. Garis y = x lebih miring dari 

y = 0, 5x , garis y = 2x 

lebih miring dari y = x dan jauh lebih miring 

dari y = 0, 5x 

, dan ketiganya miring ke atas. Makin besar nilai m, garis 

akan semakin miring. Garis yang ke-empat memiliki m negatif −1,5 dan 

ia miring ke bawah (menurun). 

8 

y 

6 

4 

2 

0 

-1 0 

-2 

1 2 3 x 4 

-4 

-6 

y = 2x 

y = -1,5 x 

Gb.2.2. Empat contoh kurva garis lurus 

y = mx . 

Secara umum, persamaan garis lurus yang melalui titik-asal [0,0] adalah 

y = mx 

(2.3) 

dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan 

semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika 

m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun). 

2.3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis 

y = x 

y = 0,5x 

Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [0,0] 

melainkan memotong sumbu-y misalnya di titik [0,2]? Misalkan garis ini 

memiliki kemiringan 2. Setiap nilai y pada garis ini untuk suatu nilai x, 

sama dengan nilai y pada garis yang melalui [0,0], yaitu y = 2x, ditambah 

2. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai 

y = 2 x + 2 . Perhatikan Gb.2.3. 


10 

8 

6 

4 

2 

-4 

Gb.2.3. Garis lurus melalui titik [0,2], kemiringan 2. 

Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong 

sumbu-y di [0,b] adalah 

( y − b) 

= mx 

(2.4) 

b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah 

sumbu-y positif (ke atas) yang berarti garis memotong sumbu-y di atas 

titik [0,0]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu-y negatif (ke 

bawah); ia memotong sumbu-y di bawah titik [0,0]. Secara singkat, b 

pada (2.4) menunjukkan pergeseran kurva y sepanjang sumbu-y. 

Kita lihat sekarang garis yang memiliki kemiringan 2 dan memotong 

sumbu-x di titik [a,0], misalnya di titik [1,0]. Lihat Gb.2.4. 

Dibandingkan dengan garis yang melalui titik [0,0] yaitu garis y = 2x 

, 

setiap nilai y pada garis ini terjadi pada (x−1) pada garis y = 2x 

; atau 

dengan kata lain nilai y pada garis ini diperoleh dengan menggantikan 

nilai x pada garis y = 2x 

dengan (x−1). Contoh: y = 2,8 pada garis ini 

terjadi pada x = x 1 dan hal ini terjadi pada x = ( x 1 −1) 

pada kurva 

y = 2x . 

y 8 

y = 2x + 2 

y = 2x 

0 

-1 0 

-2 

1 2 3 x 4 

6 

y = 2x 

4 

2 

y =2(x–1) 

0 

-1 0 1 2 3 x 

-2 x 1 −1 x 1 

4 

-4 

Gb.2.4. Garis lurus melalui titik [1,0]. 

17

Secara umum persamaan garis yang melalui titik [a,0] dengan 

kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan x pada persamaan 

y = mx dengan (x−a). Persamaan garis ini adalah 

y = m( x − a) 

(2.5) 

Pada persamaan (2.5), jika a positif garis y = mx tergeser ke arah 

sumbu-x positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah 

sumbu-x negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (2.5) menunjukkan 

pergeseran kurva y sejajar sumbu-x. 

Pada contoh di atas, dengan tergesernya kurva ke arah kanan dan 

memotong sumbu-x di titik [1,0] ia memotong sumbu-y di titik [0,-2]. 

Suatu garis yang titik perpotongannya dengan kedua sumbu diketahui, 

pastilah kemiringannya diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringannya 

adalah 

∆y 

0 − ( −2) 

2 

m = = = = 2 

∆x 1 1 

dan persamaan garis adalah 

y = 2x 

− 2 

(2.6) 

Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (2.4), dengan 

memberikan m = 2 dan b = −2. 

Secara umum, persamaan garis yang memotong sumbu-sumbu koordinat 

di [a,0] dan [0,b] adalah 

Contoh: 

y 

8 

6 

4 

2 

0 

-4 

y = mx + b 

-1 0 1 2 3 x 4 

-2 

b 

dengan m = − 

(2.7) 

a 

garis memotong sumbu x di 2, 

dan memotong sumbu y di 4 

4 

Persamaan garis: y = − x + 4 = −2x 

+ 4 

2 


Bagaimanakah persamaan garis lurus yang tidak terlihat perpotongannya 

dengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapat 

dicari jika diketahui koordinat dua titik yang ada pada garis tersebut. 

Lihat Gb.2.5. 

Pada Gb.2.5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, yaitu 

∆y 

( y2 

− y1) 

m = = 

(2.8) 

∆x 

( x2 

− x1 

) 

y 

8 

6 

4 

2 

-4 

[x 1 ,y 1 ] 

[x 2 ,y 2 ] 

0 

-1 0 1 2 x 3 

-2 

Gb.2.5. Garis lurus melalui dua titik. 

Persamaan (2.8) ini harus berlaku untuk semua garis yang melalui dua 

titik yang diketahui koordinatnya. Jadi secara umum harus berlaku 

y2 

− y1 

m = (2.9) 

x2 

− x1 

Dengan demikian maka persamaan garis yang memiliki kemiringan ini 

adalah 

y2 

− y1 

y = mx = x 

(2.10) 

x1 

− x1 

Persamaan (2.10) inilah persamaan garis lurus melalui titik asal dan 

sejajar dengan garis melalui dua titik (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 ). 

Contoh: Carilah persamaan garis yang melalui dua titik P(5,7) 

dan Q(1,2). 

19

yP 

− yQ 

7 − 2 

Kemiringan garis ini adalah y = = = 1, 25 

x p − xQ 

5 − 1 

Garis dengan kemiringan ini dan melalui titik asal adalah 

y = 1, 25x 

Perhatikan bahwa persamaan ini adalah persamaan garis yang 

melalui titik asal, dan sejajar dengan garis yang melalui titik 

P(5,7) dan Q(1,2) . Kita masih harus mencari perpotongannya 

dengan salah satu sumbu agar kita dapatkan persamaan garis yang 

melalui titik P dan Q tersebut. Untuk itu kita perhatikan hal 

berikut lebih dulu. 

Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi 

y = f (x) 

akan tergeser sejajar sumbu-x sebesar x 1 skala jika x diganti dengan (x − 

x 1 ), dan tergeser sejajar sumbu-y sebesar y 1 skala jika y diganti dengan (y 

− y 1 ) 

y = f (x) menjadi y = f ( x − x 1) 

atau y − y1 = f ( x ) (2.11) 

Walaupun (2.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia 

berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan 

kurva garis lengkung yang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutnya. 

y 

Contoh: 

8 

6 

4 

-4 

y = 2x 

2 

0 

-1 0 

-2 

1 2 3 x 4 

kurva semula 

y + 2 = 2x (pergeseran –2 

searah sumbu-y) 

atau 

y = 2(x – 1) (pergeseran +1 

searah sumbu-x) 


Contoh: Kita kembali pada contoh sebelumnya, yaitu persamaan 

garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2). Persamaan garis 

seharusnya adalah y − b =1, 25x 

atau y = 1,25( 

x − a) 

. Nilai a dan 

b dapat kita peroleh jika kita masukkan koordinat titik yang 

diketahui, misalnya P(5,7). Dengan memasukkan koordinat titik 

ini kita dapatkan persamaan 7 − b = 1,25 × 5 atau 7 = 1,25(5 − a) 

. 

Dari sini kita akan mendapatkan nilai a = −0,6 dan juga b = 0,75 

sehingga persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2) 

dapat diperoleh, yaitu y − 0 ,75 = 1, 25x 

atau y = 1 ,25( x + 0,6) 

. 

Garis ini memotong sumbu-y di +0,75 dan memotong sumbu-x di 

−0,6. 

2.4. Perpotongan Garis 

Dua garis lurus 

y 1 = a1x 

+ b1 

dan y 2 = a2x 

+ b2 

berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi y 1 = y2 

sehingga 

b2 

− b 

⇒ x 1 

P = 

a1 

− a2 

⇒ yP 

= a1xP 

+ b1 

Contoh: 

a + 

1xP 

+ b1 

= a2xp 

b2 

atau 

yP 

= a2xP 

+ b2 

Titik potong dua garis y 1 = 2x 

+ 3 dan y2 

= 4x 

− 8 

y 1 = y2 

→ 2x 

+ 3 = 4x 

− 8 → 2x 

= 11 

(2.12) 

11 

x P = = 5,5 ; y P = 2x 

+ 3 = 2 × 5,5 + 3 = 14 

2 

atau y P = 4 × 5,5 − 8 = 14 

Jadi titik potong adalah 14] P[(5,5), . Perhatikan Gb.2.6. berikut 

ini. 

21

y 

30 

20 

y 1 

y 2 

10 

0 

-10 -5 0 5 10 

-10 

P ⇒ Koordinat P memenuhi 

persamaan y 1 maupun y 2 . 

x 

-20 

-30 

Gb.2.6. Perpotongan dua garis. 

Jika kedua garis memiliki kemiringan yang sama sudah barang tentu kita 

tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga 

mereka berpotongan di ∞. 

Contoh: Dua garis y 1 = 4x 

+ 3 dan y2 

= 4x 

− 8 adalah 

sejajar. 

2.5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordinat 

Pada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu 

koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akan 

memiliki kemiringan garis 

m = tan θ 

(2.13) 

dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu-x 

atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb.2.7. 

y 

5 − 

m = tan θ 

θ 

| 

| 

5 

x 

−5 − 

Gb.2.7. Panjang per skala sama di sumbu-x dan y. 


Sesungguhnya formulasi (2.13) berlaku umum, baik untuk pembagian 

skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika 

pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ yang terlihat dalam grafik 

menunjukkan kemiringan garis sebenarnya; jika pembagian tidak sama 

besar sudut θ yang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarnya 

sehingga sudut θ sebenarnya harus dihitung dari formula (2.13) dan 

bukan dilihat dari grafik. 

2.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri 

Pada fungsi linier 

y = m( x − a) 

+ b , peubah y akan selalu memiliki nilai, 

berapapun x. Peubah x bisa bernilai dari −∞ sampai +∞. Fungsi ini juga 

kontinyu dalam rentang tersebut. 

Kurva fungsi 

y = mx simetris terhadap titik asal [0,0] karena fungsi ini 

tak berubah jika y diganti dengan −y dan x diganti dengan −x. 

2.7. Contoh-Contoh Fungsi Linier 

Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa 

fungsi linier dengan kurva yang kita gambarkan berbentuk garis lurus, 

merupakan bentuk fungsi yang biasa kita jumpai dalam praktik rekayasa. 

1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan 

memperoleh percepatan. 

F = ma ; a adalah percepatan 

Jika tidak ada gaya lain yang melawan F, maka dengan percepatan a 

benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai 

v ( t) 

= v 0 + at 

v kecepatan gerak benda, v 0 kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatan 

awal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah 

v ( t) 

= at 

2) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda 

adalah V , dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara 

anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar 

23

Elektron yang 

muncul di 

permukaan katoda 

akan mendapat 

percepatan dari 

adanya medan 

listrik sebesar 

anoda 

V 

E = 

l 

a = eE 

a adalah percepatan yang dialami elektron, e muatan elektron, E 

medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu 

tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada 

waktu mencapai katoda adalah 

v k = at 

3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada 

posisi semula jika tarikan yang dilakukan masih dalam batas 

elastisitas pegas. Gaya yang diperlukan untuk menarik pegas 

sepanjang x merupakan fungsi linier dari x. 

dengan k adalah konstanta pegas. 

F = kx 

4) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i 

jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V. 

Arus yang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan 

relasi 

V 

i = GV = , dengan G = 

1 

R 

R 

G adalah tetapan yang disebut konduktansi listrik dan R disebut 

resistansi listrik.Persamaan ini juga bisa dituliskan 

V = iR 

yang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan. 

Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka 

resistansi dapat dinyatakan dengan 

R = 

ρl 

A 

24 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral 

] 

l 

katoda

ρ disebut resistivitas bahan logam. 

Kerapatan arus dalam logam adalah 

atas kita peroleh 

j = 

i 

A 

= 

V 

RA 

1 

= 

ρ 

i 

j = dan dari persamaan di 

A 

V 

l 

= σE 

dengan E = V / l adalah kuat medan listrik dalam logam, σ = 1 / ρ 

adalah konduktivitas bahan logam. 

Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau 

dV 

gradien dari V yang kita tuliskan E = . Mengenai pengertian 

dx 

gradien akan kita pelajari di Bab-9. 

5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk 

terjadinya difusi, 

yaitu penyebaran 

materi menembus 

materi lain, adalah 

adanya perbedaan 

materi masuk 

di x a C a 

konsentrasi. Situasi 

ini analog dengan 

C x 

peristiwa aliran 

muatan listrik di mana 

faktor pendorong 

x a ∆x x 

untuk terjadinya aliran muatan adalah perbedaan tegangan. 

materi keluar 

di x 

Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi yang berdifusi dapat 

kita tuliskan sebagai 

dC 

J x = −D 

dx 

D adalah koefisien difusi, dC/dx adalah variasi konsentrasi dalam 

keadaan mantap di mana C 0 dan C x bernilai konstan. Relasi ini 

disebut Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa 

fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien 

konsentrasi; dengan kata lain fluksi materi yang berdifusi merupakan 

fungsi linier dari gradien konsentrasi. 

25

Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hanya berkenaan 

dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kita 

menyadari bahwa fungsi linier bukan hanya sekedar pernyataan suatu 

garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi yang banyak dijumpai dalam 

praktik rekayasa. 

Soal-Soal 

1. Tentukan persamaan garis-garis yang membentuk sisi segi-lima 

yang tergambar di bawah ini. 

5 

4 

y 

3 

y 1 y 2 

2 

1 

0 

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 

-1 

y 5 

y 3 

-2 

-3 

y 4 

-4 

-5 

x 

2. Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut pada 

soal nomer-1 di atas. 

3. Carilah persamaan garis yang 

a) melalui titik asal (0,0) dan sejajar garis y 2 ; 

b) melalui titik asal (0,0) dan sejajar dengan garis y 3 . 

4. Carilah persamaan garis yang melalui 

a) titik potong y 1 − y 2 dan titik potong y 3 – y 4 ; 

b) titik potong y 3 − y 4 dan titik potong y 1 – y 5 ; 

c) titik potong y 1 − y 2 dan titik potong y 4 – y 5 . 

5. Carilah persamaan garis yang 

a) melalui titik potong y 1 – y 5 dan sejajar dengan garis y 2 ; 

b) melalui titik potong y 4 – y 5 dan sejajar dengan garis y 1 . 


Bab 3 

Gabungan Fungsi Linier 

Fungsi-fungsi linier banyak digunakan untuk membuat model dari 

perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin 

merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau yang lain. Artinya 

waktu, temperatur, tekanan dan lainnya itu menjadi peubah bebas, x, 

sedangkan besaran fisis yang tergantung padanya merupakan peubah tak 

bebas, y. 

Pada umumnya perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika 

dalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier, 

besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsifungsi 

linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis 

tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis 

rangkaian listrik. 

3.1. Fungsi Anak Tangga 

Fungsi tetapan membentang pada nilai x dari −∞ sampai +∞. Jika kita 

menginginkan fungsi bernilai konstan yang muncul pada x = 0 dan 

membentang hanya pada arah x positif, kita memerlukan fungsi lain yang 

disebut fungsi anak tangga satuan yang didefinisikan bernilai nol untuk 

x < 0, dan bernilai satu untuk x ≥ 0 dan dituliskan sebagai u (x) 

. Jadi 

u( 

x) 

= 1 untuk x ≥ 0 

= 0 untuk x < 0 

(3.1) 

Jika suatu fungsi tetapan y = k dikalikan dengan fungsi anak tangga 

satuan, akan kita peroleh suatu fungsi lain yang kita sebut fungsi anak 

tangga (disebut juga undak), yaitu 

y = ku(x) 

(3.2) 

Fungsi anak tangga (3.2) bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai k untuk x 

≥ 0. Gb.3.1. memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi 

y = 3,5u 

( x) 

dan fungsi y = −2,5u( 

x) 

yang bernilai nol untuk x < 0 

dan bernilai 3,5 dan −2,5 untuk x ≥ 0. 

27

y 

5 

y = 3,5 u(x) 

0 

-5 0 x 5 

-4 

y = −2,5 u(x) 

Gb.3.1. Fungsi anak tangga. 

Fungsi anak tangga seperti (3.2) dikatakan mulai muncul pada x = 0 dan 

k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga yang baru 

muncul pada x = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser. 

Fungsi demikian ini dinyatakan dengan mengganti peubah x dengan 

( x − a) . Dengan demikian maka fungsi anak tangga 

y = ku( x − a) 

(3.3) 

merupakan fungsi yang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anak 

tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini 

bergeser ke arah positif sumbu-x dan jika negatif bergeser ke arah negatif 

sumbu-x. Gb.3.2. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini. 

y 5 

y = 3,5 u(x−1) 

0 

-5 0 1 

x 5 

-4 

Gb.3.2. Kurva fungsi anak tangga tergeser. 

Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai yang terdefinisi 

di x = 0. Oleh karena itu fungsi ini kontinyu di x = 0, berbeda dengan 

fungsi y = 1/x yang tidak terdefinisi di x = 0 (telah disinggung di Bab-1). 


3.2. Fungsi Ramp 

Telah kita lihat bahwa fungsi y = ax berupa garis lurus dengan 

kemiringan a, melalui titik [0,0], membentang dari x = -∞ sampai x = +∞. 

Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk x 

< 0, yang dapat diperoleh dengan mengalikan ax dengan fungsi anak 

tangga satuan u(x) (yang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk 

x < 0). Jadi persamaan fungsi ramp adalah 

y = axu(x) 

(3.4) 

Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan. 

Fungsi ramp tergeser adalah 

y = a( x − g) 

u( 

x − g) 

(3.5) 

dengan g adalah pergeserannya. Perhatikanlah bahwa pada (3.5) 

bagian y1 = a( 

x − g) 

adalah fungsi linier tergeser sedangkan 

y2 = u( 

x − g) 

adalah fungsi anak tangga satuan yang tergeser. Gb.3.3. 

memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan y 1 = xu( 

x) 

, fungsi ramp 

y 2 = 2xu( 

x) 

, dan fungsi ramp tergeser y 3 = 1,5( x − 2) u( 

x − 2) 

. 

3.3. Pulsa 

y 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

y 2 = 2xu(x) 

y 1 = xu(x) 

0 

-1 0 1 2 3 x 4 

Gb.3.3. Ramp satuan y 1 = xu(x), ramp y 2 = 2xu(x), 

ramp tergeser y 3 = 1,5(x-2)u(x-2). 

y 3 = 1,5(x-2)u(x-2) 

Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x 1 tertentu dan 

menghilang pada x 2 >x 1 . Bentuk pulsa ini dapat dinyatakan dengan 

gabungan dua fungsi anak tangga, yang memiliki amplitudo sama tetapi 

29

erlawanan amplitudo dan berbeda pergeserannya. Persamaan umumnya 

adalah 

y = au( x − x1 ) − au( 

x − x2) 

(3.6) 

x 1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga yang pertama dan x 2 

adalah pergeseran fungsi anak tangga yang ke-dua, dengan x 2 > x 1 . 

Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah yang memberikan bentuk 

pulsa, yang muncul pada x = x 1 dan menghilang pada x = x 2 . Selisih 

( x2 − x1 ) disebut lebar pulsa 

lebar pulsa = x 2 − x 1 

(3.7) 

Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo 2, yang muncul pada x 

= 1 dan menghilang pada x = 2, yang persamaannya adalah 

y = 2u( 

x −1) 

− 2u( 

x − 2) 

= 2 

{ u( 

x −1) 

− u( 

x − 2) } 

lebar 

pulsa 

2 

1 

y 1 =2u(x-1) 

y 1 +y 2 = 2u(x-1)-2u(x-2) 

0 

-1 0 1 2 3 x 4 

-1 

y 2 =-2u(x-2) 

-2 

Gb.3.4. Fungsi pulsa 2u(x-1)-2u(x-2) 

Apa yanga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, yaitu 

y ′ = { u( x −1) 

− u( 

x − 2) }, adalah pulsa beramplitudo 1 yang muncul pada 

x = 1 dan berakhir pada x = 2. Secara umum pulsa beramplitudo A yang 

muncul pada x = x 1 dan berakhir pada x = x 2 adalah 

y′ = A{ u( x − x1 ) − u( 

x − x2) 

}; lebar pulsa ini adalah (x 2 – x 1 ). 

Contoh lain: Pulsa yang muncul pada x = 0, dengan lebar pulsa 3 

y = 4 u( 

x) 

− u( 

x − 3) . 

dan amplitudo 4, memiliki persamaan { } 


Fungsi pulsa memiliki nilai hanya dalam selang tertentu yaitu sebesar 

lebar pulsanya, ( x2 − x1) 

, dan di luar selang ini nilanya nol. Oleh karena 

itu fungsi apapun yang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki 

nilai hanya dalam selang di mana fungsi pulsanya juga memiliki nilai. 

Dalam praktek, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5. 

memperlihatkan deretan pulsa 

perioda 

y 

Gb.3.5. Deretan Pulsa. 

Peubah x biasanya adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul 

biasa diberi simbol t on sedangkan selang waktu di mana ia menghilang 

diberi simbol t off . Satu perioda T = t on + t off . Nilai rata-rata deretan pulsa 

adalah 

ton 

y rr pulsa = ymaks 

(3.8) 

T 

dengan y maks adalah amplitudo pulsa. 

x 

3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa. 

Persamaan umumnya adalah 

{ ( x − x ) − u( 

x − )} 

y = mxu( x) 

× A u 1 x2 

(3.9) 

dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan 

amplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulis 

y = mAx 

{ u x − x ) − u( 

x − )} 

( 1 x2 

Perhatikan bahwa u ( x) 

= 1 karena ia adalah fungsi anak tangga satuan. 

Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp y 1 = 2xu( 

x) 

dengan 

fungsi pulsa y 2 = 1,5{ u( 

x −1) 

− u( 

x − 3) } yang hanya memiliki nilai 

antara x = 1 dan x = 3. Perhatikan bahwa hasil kalinya hanya memiliki 

31

nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan yang merupakan hasil 

kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp. 

y 

10 

3 

= y 

1 

= 3x 

y2 

= 2xu( 

x) 

× 1,5{ u( 

x −1) 

− u( 

x − 3) } 

{ u( 

x −1) 

− u( 

x − 3) } 

8 

6 

4 

2 

y 3 = y 1 y 2 

y 1 =2xu(x) 

y 2 =1,5{u(x-1)-u(x-3)} 

0 

-1 0 1 2 3 4 x 5 

Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp y 1 dan pulsa y 2 . 

Perkalian fungsi ramp 1 mxu( 

x) 

y = dengan pulsa y2 = 1{ u( 

x) 

− u( 

x − b) 

} 

membentuk fungsi gigi gergaji y = ( m × 1) x{ u( 

x) 

− u( 

x − b) 

} yang 

muncul pada t = 0 dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7). 

y 

10 

8 

y 1 =mxu(x) 

6 

4 

2 

y 3 = y 1 y 2 =mx{u(x)-u(x-b)} 

y 2 ={u(x)-u(x-b)} 

0 

b 

-1 0 1 2 3 4xx 

5 

Gb.3.7. Kurva gigi gergaji 

Seperti halnya pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasanya terjadi secara 

periodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8. 

Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah 

y rr gigi - gergaji = 

ymaks 

2 

(3.10) 


dengan y maks adalah nilai puncak gigi gergaji. 

y 

6 

4 

2 

0 

0 1 2 3 4 x 5 

Gb.3.8. Gigi gergaji terjadi secara periodik. 

3.5. Gabungan Fungsi Ramp 

Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk 

y = axu( 

x) 

+ b( 

x − x1) 

u( 

x − x1 

) 

+ c( 

x − x2) 

u( 

x − x2) 

+ ....... 

(3.11) 

Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, y 1 = 2xu( 

x) 

dan 

y 2 = −2( 

x − 2) u( 

x − 2) seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan dua 

fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x = 2, karena 

mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi 

gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi yang pertama pada saat 

mencapai x = 2. 

y 

y 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

-2 

-4 

-6 

-8 

y 1 =2xu(x) 

y 3 = 2xu(x)−2(x−2)u(x−2) 

0 1 2 3 4 5 x 

y 2 = −2(x−2)u(x−2) 

Gb.3.9. Gabungan ramp y 1 dan ramp tergeser y 2 . 

Gb.3.10. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, y 1 = 2xu( 

x) 

dan y = −4( 

x − 2) u( 

x − 2) 

. Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan 

33

negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi yang pertama. Oleh 

karena itu fungsi gabungan y 3 = y 1 + y 2 akan menurun mulai dari x = 2. 

y 

15 

10 

5 

0 

-5 

-10 

y 1 =2xu(x) 

y 2 = −4(x−2)u(x−2) 

y 3 = 2xu(x)−4(x−2)u(x−2) 

0 1 2 3 4 5 

x 

Gb.3.10. Gabungan ramp y 1 dan ramp tergeser y 2 . 

Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa 

y pulsa = u( x −1) 

− u( 

x − 3) akan kita peroleh bentuk kurva seperti 

terlihat pada Gb.3.11. 

y 

15 

10 

5 

0 

5 

0 1 2 3 4 5 

-5 

x 

-10 

y 2 = −4(x-2)u(x-2) 

y 3 = {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} 

y 1 =2xu(x) 

Gb.3.11. Kurva {2xu(x)−4xu(x−2)}{u(x-1)-u(x-3)} 

Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menyatakan bentuk 

gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.12. 

Gb.3.12. Gelombang segitiga. 

x 


Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai dalam 

bentuk gelombang sinyal di rangkaian listrik, terutama elektronika. 

Rangkaian elektronika yang membangkitkan gelombang gigi gergaji 

misalnya, kita jumpai dalam osciloscope. 


Fungsi anak tangga satuan yang tergeser y = u( x − a) 

hanya mempunyai 

nilai untuk x ≥ a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi yang dikalikan 

dengan fungsi anak tangga ini juga hanya memiliki nilai pada rentang x ≥ 

a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinyu. 

Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hanya fungsi yang 

memiliki sumbu-x sebagai sumbu simetri yang akan tetap simetris 

terhadap sumbu-x apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan 

yang tergeser. 

35

Soal-Soal 

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai pada 

bentuk gelombang sinyal dalam rangkaian listrik. 

1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak 

tangga berikut ini : 

a) y 1 : y maks = 5, muncul pada x = 0. 

b) y 2 : y maks = 10 , muncul pada x = 1. 

c) y 3 : y maks = −5 , muncul pada x = 2. 

2. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 3, gambarkanlah kurva fungsi 

berikut ini. 

a). y 4 = y1 

+ y2 

; b). y5 

= y1 

+ y3 

; c). y6 

= y1 

+ y2 

+ y3 

3. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini : 

a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada x = 0. 

b). Amplitudo 10, lebar pulsa 2, muncul pada x=1. 

c). Amplitudo −5, lebar pulsa 3, muncul pada x=2. 

4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik yang berupa deretan 

pulsa dengan amplitudo 10, lebar pulsa 20, perioda 50. 

5. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan 

amplitudo 10 dan perioda 0,5. 

6. Tentukan persamaan siklus pertama 

dari kurva periodik yang 

digambarkan di samping ini. 

7. Tentukan persamaan siklus pertama 

dari bentuk kurva periodik yang 

digambarkan di samping ini. 

y 

y 

5 

perioda 

0 

1 2 3 4 5 6 

x 

−3 

perioda 

5 

0 x 

1 2 3 4 5 6 

−5 


Bab 4 

Mononom dan Polinom 

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kx n , dengan k 

adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. 

Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut ini 

beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit 

3 2 

y1 

= x + 5x 

− 3x 

+ 7 

2 2 

y2 

= ( x − 5) 

y3 

= 10x 

y4 

= 5 

Contoh yang pertama, y 1 , adalah fungsi polinom berpangkat tiga, yaitu 

pangkat tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y 2 , adalah fungsi 

berpangkat empat. Contoh y 3 dan y 4 adalah fungsi mononom berpangkat 

satu dan berpangkat nol yang telah kita kenal sebagai fungsi linier dan 

fungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus. 

4.1. Mononom 

Mononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang sebagai 

fungsi genap, kita tuliskan 

2 

y = kx 

(4.1) 

Karena x di-kuadratkan, maka mengganti x dengan −x tidak akan 

mengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu-y. Nilai y hanya 

akan negatif manakala k negatif. 

Kita ingat bahwa pada fungsi linier y = kx nilai k merupakan 

kemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah 

positif sumbu-x, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besar 

kemiringan garis makin tajam. 

Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu-x 

jika k positif dan akan berada di bawah sumbu-x jika k negatif . Jika k 

makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1. 

memperlihatkan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k. 

37

Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam. 

Perhatikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k. 

10 

y y = 5x 2 y = 3x 2 

9 

8 

7 

y = x 2 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

-3 -2 -1 

0 

0 1 2 3 

Gb.4.1. Kurva fungsi 

2 

y = kx dengan k positif. 

Gb.4.2 memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurva 

dengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu pada 

titik [0,0], kurva untuk k negatif menunjukkan adanya nilai y maksimum 

pada titik [0,0]. 

x 

0 

-5 -4 -3 -2 -1 0 

-20 

1 2 3 4 5 

-40 

-60 

-80 

y 

-100 

y = −10x 2 

y = −2x 2 

Gb.4.2. Kurva fungsi 

2 

y = kx dengan k negatif. 

Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif; 

kita akan melihat bagaimana jika kurva ini digeser. Pergeseran kurva 

sebesar a skala sejajar sumbu-x diperoleh dengan menggantikan peubah x 

dengan (x − a), dan pergeseran sejajar sumbu-y sebesar b skala diperoleh 

dengan mengganti y dengan (y − b). Dengan demikian persamaan 

mononom pangkat dua yang tergeser menjadi 

2 

− b) 

= k( 

x − ) 

(4.3) 

( y 

a 


Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0, 

a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k = 

10, persamaan dapat kita tuliskan menjadi 

2 

y 1 = 10x 

y 

2 

2 = 10( 

x − 2) 

y 3 = 10( x − 2) + 30 

2 

100 

y 3 = 10(x−2) 2 + 30 

y 1 = 10x 2 50 

y 2 = 10(x−2) 2 

0 

-5 -3 -1 1 3 5 

Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangkat dua. 

Perhatikanlah bahwa y 2 adalah pergeseran dari y 1 ke arah positif sumbu-x 

sebesar 2 skala; y 3 adalah pergeseran dari y 2 ke arah positif sumbu-y 

sebesar 30 skala. Bentuk lengkungan kurva tidak berubah. 

Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap yang lain adalah 

berpangkat 4, 6 dan seterusnya. Semua mononom pangkat genap akan 

membentuk kurva yang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat 

dua yaitu simetris terhadap sumbu-y, berada di atas sumbu-x jika k 

positif dan berada di bawah sumbu-x jika k negatif. Gb.4.4. 

memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap yang 

memiliki koefisien k sama besar. 

Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makin 

cepat nilai y bertambah namun hal ini hanya terlihat mulai dari x = 1. 

Pada nilai x lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin 

tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat 

dimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jika 

pangkat makin besar. 

x 

39

y 

3 

2 

y 2 = 2x 4 

1 

y 1 = 2x 2 

y 3 = 2x 6 0 

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x 1.5 

Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien 

sama. 

Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jika 

koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yang 

sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap yang lebih tinggi. 

Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan 

koefisien yang yang meningkat dengan meningkatnya pangkat. 

y 1 = 6x 6 

y 2 = 3x 4 

y 3 = 2x 2 

Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama. 

Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k, nilai y juga makin cepat 

meningkat. Kecepatan peningkatan y dengan koefisien yang lebih besar 

sudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari satu. Gejala kelandaian pada 

nilai x yang kecil tetap terlihat. 

Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yang 

makin besar pada pangkat yang makin besar. Bila koefisien makin 

kecilpada pangkat yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalah 

seperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini. 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 

y 

x 


y = 6x 2 

y = 3x 4 

y = x 6 

Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan 

koefisien yang makin rendah pada mononom 

berpangkat tinggi. 

Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil. 

Kurva pangkat tinggi baru akan menyusul kurva berpangkat rendah pada 

nilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkat 

rendah terjadi pada nilai y yang besar. 

Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh 

peristiwa fisis. 

1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan 

memperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi 

waktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinyatakan sebagai 

v ( t) 

= at 

(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7). 

Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 

1 

s ( t) 

= at 

2 

2). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan 

waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan 

elektron pada waktu mencapai katoda adalah 

v k = at 

2 

41

anoda 

] 

katoda 

l 

(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7). 

Waktu tempuh dapat dihitung dari formula 

= l. 

1 

2 

2 

s ( t) 

= at , di mana s(t) 

3). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang, 

fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan 

j r 

sentral adalah ψ = e k dengan k adalah vektor bilangan gelombang 

yang searah dengan rambatan gelombang. 

gelombang 

Energi kinetik elektron sebagai 

gelombang, E k , adalah 

E 

k 

2 

h k 

= 

2m 

2 

e 

k = 2π , λ : panjang 

λ 

E k 

m e massa electron, h suatu konstanta. 

E k dan k memiliki relasi mononomial 

pangkat dua 

(Dari Bab-8, ref. [4]) 

k 

Mononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah 1 dan 

dalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis y = kx . 

Pangkat ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Gb.4.5. 

memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil. 

Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia 

bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Makin 

tinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai y untuk x > 1. 


Untuk x < 1 kurva makin landai yang berarti makin tajam 

“pembengkokan” garis lurus yang terjadi di dalam rentang −1 ≤ x ≤ 1. 

Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil. 

Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien 

k, perpotongan kurva dengan garis y = kx bisa terjadi pada nilai x < 1. 

4.2. Polinom Pangkat Dua 

Fungsi polinom pangkat dua berbentuk 

2 

y = ax + bx + c 

(4.4) 

Berikut ini kita akan melihat apa yang terjadi pada proses penambahan 

mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing 

mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom 

positif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurva 

masing-masing mononom diperlihatkan pada Gb.4.6. 

150 

y 

y 1 =2x 2 

0 

-10 0 

3 

2 

1 

0 

-1.5 -1 -0.5 -1 0 0.5 1 1.5 

-2 

-3 

y = 2x y = 2x 5 

y 2 =15x 

y 3 =13 

y = 2x 3 

x 

-150 

Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat. 

43

Jika kurva y 2 = 15x ditambahkan pada y 1 = 2x 2 maka kurva y 1 akan 

bertambah tinggi di sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah di 

sebelah kiri titik [0,0] seperti terlihat pada Gb.4.7.a. 

y 1 =2x 2 

150 

y 

y 4 =2x 2 +15x 

-10 0 

0 

x 

(a) 

x = −15/2 

y 2 =15x 

-150 

150 

sumbu simetri y 

−15/4 

y 4 =2x 2 +15x 

−15/2 

-10 0 

0 

x 

(b) 

sumbu simetri 

150 

y 

-150 

y 5 = 2x 2 +15x+13 

y 4 = 2x 2 +15x 

-10 0 

0 

x 

(c) 

-150 

Gb.4.7. Penjumlahan y 1 = 2x 2 , y 2 = 15x, dan y 3 = 13 


Karena y2 = 15x 

melalui titik [0,0] dan y 1 = 2x 2 juga melalui titik [0,0] 

maka penjumlahan kedua kurva akan memberikan kurva 

y = y + y = x 15x 

(4.5) 

4 1 2 2 2 + 

yang juga melalui titik [0,0]. Selain di x = 0 kurva penjumlahan ini juga 

memotong sumbu-x di x = −15/ 2 karena dua titik ini (yaitu x = 0 dan 

x = −15/ 2 ) memenuhi persamaan y 3 = 2x 

2 + 15x 

= 0 . Kurva ini 

memiliki sumbu simetri yang memotong sumbu-x di x = −15/ 4 seperti 

terlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13 ditambahkan pada y 4 

tebentuklah 

y = x + 15x 

13 

(4.6) 

5 2 2 + 

yang merupakan pergeseran dari y 4 ke arah positif sumbu-y sebesar 13 

skala, seperti terlihat pada Gb.4.7.c. 

Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4) 

yang dapat kita tuliskan sebagai 

⎛ 2 

y = a⎜ 

x + 

⎝ 

⎛ 

= a⎜ 

x + 

⎝ 

b 

a 

b 

2a 

2 

y = ax + bx + c 

b 

a 

⎞ ⎛ 

x⎟ 

+ c = a⎜ 

x + 

⎠ ⎝ 2 

2 2 

⎞ b − 4ac 

⎟ − 

⎠ 4a 

2 2 

⎞ b 

⎟ − + c 

⎠ 4a 

(4.7) 

Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva y 

adalah kurva y = ax 2 

b 

yang tergeser sejajar sumbu-x sejauh − 

2a 

kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y sejauh 

Perhatikan Gb.4.8. 

⎛ 2 ⎞ 

⎜ 

b − 4ac 

− ⎟ . 

⎜ ⎟ 

⎝ 

4a 

⎠ 

45

y 

y = ax 2 +bx +c 

x 1 

x 2 

y = ax 2 

b 

− 

2a 

} 

Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax 2 sejajar sumbu-x ke kiri 

sejauh 

–b/2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y ke bawah 

sejauh –(b 2 −4ac)/4a. 

b 

Sumbu simetri terletak pada x = − dan kurva memotong sumbu-x di 

2a 

sebelah kiri dan kanan sumbu simetri ini, yaitu di x 1 dan x 2 . Dari 

persamaan (4.7) kita dapatkan 

0 

-50 

0 

⎛ 

⎜ 

b 

− 

⎝ 

2 

x 

− 4ac 

⎞ 

⎟ 

4a 

⎠ 

2 2 

⎛ b ⎞ b − 4ac 

y = a⎜ 

x + ⎟ − = 0 → 

⎝ 2a 

⎠ 4a 

⎛ 

a⎜ 

x + 

⎝ 

b 

2a 

2 2 

⎞ b − 4ac 

⎟ = 

⎠ 4a 

2 2 

2 

⎛ b ⎞ b − 4ac 

⎛ b ⎞ b − 4ac 

→ ⎜ x + ⎟ = → ⎜ x + ⎟ = ± 

2a 

2 

2 

⎝ ⎠ 4a 

⎝ 2a 

⎠ 4a 

x , x 

1 

2 

2 

b b − 4ac 

= − ± 

(4.8) 

2a 

2a 

yang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat. 

Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungan 

dengan sumbu-x; dua akar nyata dari persamaan kuadrat menjadi sama 

besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu-y bernilai nol 


− 

2 

− ac 

= 0 ⇒ ( b 

4a 

4 2 

− 4ac) 

= 0 

(4.9) 

Jika ( b 2 − 4ac) 

< 0 maka kurva tidak memotong sumbu-x. Keadaan ini 

memberikan akar kompleks yang belum akan kita bahas. 

Tinjauan di atas memberikan hal-hal berikut: 

2 

1. Jika c = 0, maka fungsi menjadi y = ax + bx yang memotong sumbu- 

b 

b 

x di x = 0 dan x = − dan memiliki sumbu simetri di x = − 

a 

2a 

yang juga menjadi sumbu simetri kurva fungsi kuadrat 

2 

y = ax + bx + c . 

2 

2. Nilai puncak fungsi y = ax + bx + c 

2 

y = ax + bx ditambah c yaitu 

2 

b 

y = − + c 

4 a 

adalah nilai puncak 

2 

b − 4 ac 

atau − . 

4a 

2 

3. Fungsi kuadrat y = ax + bx + c 

memotong sumbu-x di 

x 

1,2 

= − 

b 

± 

2a 

b 

2 

− 4ac 

2a 

47

4.3. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga 

3 

Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan y = kx . Jika k positif, fungsi 

ini akan bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x 

negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurva 

fungsi ini diperlihatkan pada Gb.4.9. 

y 

y =−3x 3 

500 

400 

300 

200 

100 

y = 2x 3 

0 

-5 -4 -3 -2 -1 0 

-100 

1 2 3 4 5 

x 

-200 

y = 2x 3 

-300 

-400 

-500 

y =−3x 3 

Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx 3 . 

Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu-x dengan 

pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan 

(x − a), dan jika tergeser sejajar sumbu-y sebesar b skala kita peroleh 

dengan mengganti y dengan (y − b) . Fungsi mononom pangkat tiga yang 

tergeser akan menjadi 

dengan bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.4.10. 

3 

y = k( x − a) 

+ b 

(4.10) 


600 

y 

400 

y = 10x 3 

200 

0 

-5 -3 -1 1 3 5 

-200 

y = 10(x−2) 3 

x 

-400 

y = 10(x−2) 3 + 100 

-600 

Gb.4.10. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser. 

Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua, 

terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum yang 

berbentuk 

3 2 

y = ax + bx + cx + d 

(4.11) 

3 

Karena y = kx naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahan 

ke fungsi kuadrat akan menyebabkan kurva fungsi kuadrat naik di 

sebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0]. 

3 

Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan y 1 = ax dan b =19, c = −80, d 

2 

= −200 untuk menggambarkan kurva fungsi y 2 = bx + cx + d seperti 

terlihat pada Gb.4.11.a. 

49

y2 = 19x 

2 − 80x 

− 200 

2000 

y 

y 1 = 

4x 3 

- 

10 

0 

0 10 

x 

(a) 

-2000 

y 

3 

= y 

1 

3 

= 4x 

+ y 

2 

+ 19x 

2 

− 80x 

− 200 

y 2 

2000 

y 

0 

-10 0 10 

x 

(b) 

y 1 

-2000 

Gb.4.11. Mononom pangkat tiga y 1 dan fungsi kuadrat y 2 . 

Dengan a positif maka kurva y 1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilai 

negatif untuk x < 0. Kurva fungsi kuadrat y 2 telah kita kenal. Jika y 1 

ditambahkan pada y 2 maka nilai-nilai y 2 di sebelah kiri titik [0,0] akan 

berkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah. 

Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.9.b. 

Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan y 1 dan y 2 menghasilkan 

kurva y 3 yang memotong sumbu-x di tiga titik. Ini berarti bahwa 

3 2 

persamaan pangkat tiga ax + bx + cx + d = 0 (dengan nilai koefisien 

yang kita ambil) memiliki tiga akar nyata, yang ditunjukkan oleh 

perpotongan fungsi y 3 dengan sumbu-x tersebut. 


Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif, 

penurunan kurva y 1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam. Hal ini 

menyebabkan pengurangan nilai y 2 didaerah ini juga tidak terlalu banyak. 

Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a. Di sini 

fungsi pangkat tiga memotong sumbu-x di tiga tempat akan tetapi yang 

terlihat hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x negatif. 

Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan 

yang ke-tiga ini. 

2000 

y 2 

y 3 = y 1 + y 2 

y 1 

-2000 

-10 10 

(a) a kurang positif 

2000 

y 2 

-10 15 

(b) a terlalu positif 

y 3 = y 1 +y 2 

y 1 

-2000 

Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga y = y 1 + y 2 . 

Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y 1 di daerah negatif sangat 

tajam. Pengurangan y 2 di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva yang kita 

51

peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidak 

memotong sumbu-x di daerah negatif. Hanya ada satu titik potong di 

sumbu-x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadrat yang sudah kita 

bahas di sub-bab sebelumnya. 

Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatif 

akan membuat kurva y 1 bernilai positif di daerah x negatif dan bernilai 

negatif di daerah x positif. Hal ini menyebabkan nilai y 2 akan bertambah 

di daerah negatif dan akan berkurang di daerah positif. Jika a tidak 

terlalu negatif, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihat 

pada Gb.4.13.a. 

y 3 = y 1 + y 2 

2000 

y 1 

y 2 

0 

-10 0 15 

(a) 

-2000 

y 3 = y 1 + y 2 

y 2 

15 

y 1 

0 

-10 0 

(b) 

-2000 

Gb.4.13. Fungsi pangkat tiga y 3 = y 1 + y 2 dengan a negatif. 

Kurva berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi 

perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif. Makin negatif a 


makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurva 

berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat, seperti terlihat pada 

Gb.4.13.b. 

CATATA: Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangkat tiga 

dengan sumbu-x tidak semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien 

a pada mononom pertama ax 3 . Bentuk dan posisi kurva fungsi 

kuadratnya, juga akan menentukan letak titik potong. 


Peubah x pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari −∞ 

sampai +∞. Nilai peubah y akan mengikuti nilai x. Fungsi polinom 

kontinyu dalam rentang x tersebut. Demikian pula halnya jika kita 

mempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom dengan 

polinom, y = y 1 × y2 

. 

Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua 

2 

y = kx simetris 

terhadap sumbu-y karena penggantian x dengan −x tidak mengubah 

fungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom yang 

berpangkat genap. Kenyataan ini menimbulkan istilah simetri genap 

untuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu-y; misalnya fungsi 

cosinus yang akan kita pelajari di bab lain. 

Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga 

3 

y = kx 

simetris terhadap titik asal [0,0]. Penggantian y dengan −y dan 

penggantian x dengan −x tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlaku 

pula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetri 

ganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0], 

seperti fungsi sinus yang akan kita pelajari di Bab-6. 

Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononom 

berpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbu 

simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagi 

mononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukan 

untuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil. 

Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangkat satu yang juga 

merupakan mononom berpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini juga 

simetris terhadap titik asal [0,0]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier 

dengan kurva yang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsi 

mononom pangkat tiga. Kelinieran ini menyebabkan penjumlahan 

53

dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurva 

fungsi pangkat dua; kurva yang tergeser ini memiliki sumbu simetri 

yang sejajar dengan sumbu-y. 

Soal-Soal 

1. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan 

sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini. 

2 

y1 

= 4x 

; 

2 

y2 

= 5x 

− 7 ; 

2 

y3 

= 3x 

−12 ; 

2 

y4 

= −4x 

+ 8 

2. Dari soal nomer-1, tentukanlah koordinat titik perpotongan 

antara kurva-kurva fungsi berikut ini 

y 

1 dan y2 

; y2 

dan y3 

; y3 




2 

2 

2 

1 2 

3 + 

y = 5x 

−10x 

; y = 3x 

−12x 

; y = −4x 

2x 

4. Dari soal nomer-3, selidikilah koordinat titik perpotongan 

kurva-kurva fungsi berikut. 

y 


; y2 


; y1 




2 

2 

y 1 = 5x 

−10x 

− 7 ; y2 

= 3x 

−12x 

+ 2 ; y3 

= −4x 

+ 2x 

+ 8 

6. Dari soal nomer-5, selidikilah koordinat titik perpotongan 

kurva-kurva fungsi berikut. 

y 


; y2 


; y1 


y 

y 

3 

4 

y 

3 

2 


Bab 5 

Bangun Geometris 

5.1. Persamaan Kurva 

Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai 

F ( x, 

y) 

= 0 

(5.1) 

Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi 

persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi 

persamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletak 

pada kurva. 

Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa di 

antaranya telah kita pelajari di bab pertama. 

Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik 

tertentu 

a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka 

kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; 

b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva 

funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 

c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva 

funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. 

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, 

kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0]. 

ilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata 

dari y dan x yang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaan 

terdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai yang 

berasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut. 

Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidak 

memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal ini 

telah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pembatasan 

pembahasan. 

2 2 

Contoh: y + x = 1. Jika kita cari nilai y kita dapatkan 

y = ± 

1− 

x 

2 

55

Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan di 

bawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kita 

membatasi x hanya pada rentang −1 ≤ x ≤ 1. Karena kurva ini 

simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas 

pada rentang −1≤ 

y ≤1 

. 

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengan 

sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan 

koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x 

= 0. 

2 2 

Contoh: y + x = 1 . Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] 

dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan 

S[0,−1]. 

Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akan 

mendapatkan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidak 

akan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidak 

memotong sumbu-x maupun sumbu-y. 

Asimptot. Suatu titik P[x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurva 

menjauhi titik-asal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garis 

tertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakan 

asimptot dari kurva. 

2 

2 

Contoh: y ( x − x) 

= x + 10 . 

2 

Persamaan ini memberikan 

y = ± 

2 

x + 10 

x( 

x − 1) 

Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal ini 

berarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satu 

agar x(x−1) positif; jika x negatif maka x(x−1) akan tetap positif. 

Jadi haruslah x < 0 atau x > 1. Tidak ada bagian kurva yang berada 

antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah 

asimptot dari kurva. Lihat Gb.5.1. 


4 

y 

0 

-4 0 4 

Soal-Soal: 

-4 

Gb.5.1. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis patah-patah). 

Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai 

2 

2 

2 x + 10 1 + 10 / x 

y = = 

2 

x − x 1 − 1/ x 

Jika x → ±∞ maka y 2 = 1, dan y = ±1. Garis mendatar y = 1 dan y 

= −1 juga merupakan asimptot dari kurva. 

Tentukan sumbu simetri, titik-titik potong dengan sumbu 

koordinat, dan garis asimptot kurva-kurva dari fungsi berikut: 

1 

y = x + ; y = x 2 + 1 ; 

x 

y 1 

= 

x 

2 + 1 

; 

y = x 2 −1; 

y 1 

= 

x 

2 −1 

. 

5.2. Jarak Antara Dua Titik 

Jika koordinat dua titik diketahui, misalnya P[x p ,y p ) dan Q[x q ,y q ], maka 

jarak antara keduanya adalah 

PQ 

2 

2 

= ( x p − xq 

) + ( y p − yq) 

(5.2) 

Formula ini sangat bermanfaat jika kita hendak mencari tempat 

kedudukan titik yang berjarak tertentu dari suatu titik lain. Kita akan 

melihatnya pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini. 

57

Soal-Soal: 

1). Diketahui dua titik P(-2,1) dan Q(2,-3). Dengan menggunakan 

persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan titik-titik 

yang berjarak sama terhadap P dan Q. 

2). Diketahui dua titik P(-1,0) dan Q(2,0). Dengan menggunakan 

persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan R yang 

sedemikian rupa sehingga RP = 2× RQ. 

5.3. Parabola 

Kita telah melihat bentuk kurva 

2 

y = kx 

(5.3) 

yang simetris terhadap sumbu-y. Bentuk kurva ini disebut parabola. 

Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarak 

antara satu titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletak 

di sumbu-y sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu, 

seperti diperlihatkan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola, 

dan garis tertentu y = −p disebut garis direktriks dan titik puncak 

parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya. 

y 

y=kx 2 

Q[0,p] 

P[x,y] 

[0,0] 

x 

R[x,−p] 

Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks. 

Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut. 

2 2 

2 2 2 

2 2 

PQ = (PR − p) 

+ x = ( y − p) 

+ x = y − 2 py + p + x 

PR = (y + p) 


Karena PQ = PR, maka 

2 

2 2 

y − 2 py + p + x = y + p 

2 

2 2 2 

2 

y − 2 py + p + x = y + 2 py + p 

+ 

2 

x 

y = yang berarti 

4 p 

2 

x = + 4 py 

atau 

k = 1 

4 p 

atau 

1 

p = 

4k 

Dengan demikian persamaan parabola dapat kita tuliskan 

dengan direktiks y = −p dan titik fokus Q[0,p]. 

1 2 

y = x 

(5.4) 

4 p 

Contoh: Persamaan parabola 

2 

y = 0,5x 

dapat kita tuliskan 

Soal-Soal: 

1 2 1 2 

y = x = x 

2 4 × 0,5 

dan parabola ini memiliki direktrik y = − p = −0, 5 dan 

titik fokus di Q[0,(0,5)]. 

Tentukan titik fokus dan direktrik parabola-parabola berikut: 

5.4. Lingkaran 

2 

2 

y + 4x 

= 8 ; x − 8y 

= 4 ; 

2 

2 

x + 2x 

− 4y 

− 3 = 0 ; y + x + y = 0 

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama 

terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran. 

Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [0,0] maka jarak suatu titik X[x,y] 

ke titik-asal adalah 

XO = 

2 2 

x + y 

59

Jika jarak ini tertentu, r misalnya, maka 

x 2 + y 

2 = r 

Oleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pusat [0,0] adalah 

dengan r adalah jari-jari lingkaran. 

2 2 2 

x + y = r 

(5.5) 

Jika titik pusat lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dapat 

melihatnya sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pusat di 

P[a,b] mempunyai persamaan 

2 2 2 

( x − a) 

+ ( y − b) 

= r 

(5.6) 

Gb.5.3. memperlihatkan bentuk lingkaran dengan jari-jari 1 yang disebut 

2 2 

lingkaran-satuan, berpusat di [0,0] dengan persamaan x + y = 1 . 

y 1 

y 

1 

0,5 

-1 [0,0] 

0,5 

1 x 

-1 

Gb.5.3. Lingkaran 

Pada Gb.5.3 ini pula diperlihatkan lingkaran dengan r 2 = 0,4 berpusat di 

[(0,5),(0,5)] yang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu-x sebesar 0,5 

skala dan sejajar sumbu-y sebesar 0,5 skala, dengan persamaan 

2 

2 

( x − 0,5) + ( y − 0,5) = 0,4 


Soal-Soal: 

Tentukan persamaan dan cari titik-titik potong dengan sumbu-sumbu 

koordinat lingkaran berikut 

5.5. Elips 

1) Titik pusat di P(1,2), jari-jari 4. 

2) Titik pusat di Q(-2,1), jari-jari 5. 

3) Titik pusat R(2,3) jari-jari 3. 

4) Titik pusat S(3,2) jari-jari 2. 

Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik 

tertentu adalah konstan. Kedua 

titik tertentu tersebut merupakan 

X[x,y] 

dua titik fokus dari elips. 

Perhatikan Gb.5.4. Misalkan 

diketahui posisi dua titik P[−a,0] 

dan Q(a,0]. Jarak antara titik 

sembarang X[x,y] dengan kedua 

titik tersebut masing-masing 

adalah 

2 2 

XP = ( x + c) 

+ y dan 

P[-c, 0] Q[c, 0] x 

Gb.5.4. Elips 

XQ = 

2 2 

( x − c) 

+ y 

Jika jumlah antara keduanya adalah konstan, misalkan 2a, maka 

2 2 

2 2 

( x + c) 

+ y + ( x − c) 

+ y = 2a 

Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di 

kuadratkan, akan kita peroleh 

2 2 2 

2 2 2 2 

( x + c) 

+ y = 4a 

− 4a 

( x − c) 

+ y + ( x − c) 

+ y 

yang dapat disederhanakan menjadi 

c 

2 2 

a − x = ( x − c) 

+ y 

a 

61

Jika kedua ruas di kuadratkan kita dapatkan 

2 

2 c 2 2 2 2 

a − 2cx 

+ x = x − 2cx 

+ c + y 

2 

a 

yang dapat disederhanakan menjadi 

2 2 

x y 

+ = 1 

2 2 2 

a a − c 

Kita perhatikan penyebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhir 

ini, dengan melihat pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisi 

selalu lebih besar dari sisi yang ketiga, (XP + XQ) > PQ atau 2a > 2c, 

sehingga penyebut suku ke-2 di ruas kiri selalu positif dan memiliki akar 

nyata; misalkan 

persamaan elips 

a 2 − c 

2 = b . Dengan demikian kita mendapatkan 

2 2 

x y 

+ = 1 

2 b 

2 

a 

(5.7) 

Titik-titik potong dengan sumbu-x adalah [±a,0] dan titik-titik potong 

dengan sumbu-y adalah [0,±b]. Jadi suatu elips dilingkupi oleh satu segi 

panjang 2a×2b; 2a adalah sumbu panjang elips dan 2b adalah sumbu 

pendeknya. (Perhatikan bahwa jika a = b yang berarti c = 0, kita 

mendapatkan persamaan lingkaran). 

Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-x, kita bisa 

melihatnya sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah 

2 

2 

( x − p) 

( y − q) 

+ = 1 

2 

2 

a b 

(5.8) 

dengan p adalah pergeseran sejajar sumbu-x dan q adalah pergeseran 

sejajar sumbu-y. Gb.5.5. adalah elips dengan persamaan 

2 

2 

( x − 0,5) ( y − 0,25) 

+ 

1 

2 

0,5 

= 1 


1 

y 

0 

-1 0 1 2 x 

Soal-Soal: 

-1 

Gb.5.5. Elips tergeser. 

Tentukan titik-titk fokus dan gambarkan (skets) elips berikut: 

5.6. Hiperbola 

2 2 

1) 9x + 4x 

= 36 ; 

2 2 

2) 4x + 9y 

= 144 ; 

2 2 

3) 4x + y = 1; 

2 

2 

4) 16( x − 2) + 9( y + 3) = 144 

Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya 

antara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperbola 

dapat dilakukan seperti halnya dengan penurunan persamaan elips di 

atas. 

Perhatikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−c,0] dan 

Q(c,0]. 

Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masingmasing 

adalah 

2 2 

XP = ( x + c) 

+ y dan 

XQ = 

2 2 

( x − c) 

+ y 

63

y 

X(x,y) 

P[-c,0] 

Q[c,0] 

x 

Gb.5.6. Posisi titik X terhadap P[-c,0] dan Q[c,0]. 

Jika selisih antara XP dan XQ harus tetap, misalnya 2a, maka 

2 

2 

( x + c) 

+ y − ( x − c) 

+ y = 2a 

Suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di 

kuadratkan, kemudian dilakukan penyederhanaan 

( c / a) 

x − a = ( x − c) 

+ y 

Jika kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh 

x 

a 

2 

2 

− 

c 

2 

y 

2 

− a 

2 

2 

2 

= 1 

Kita lihat lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) = 2a selalu 

lebih kecil dari PQ = 2c. Jadi a < c sehingga penyebut pada suku kedua 

2 2 2 

ruas kiri selalu positif, misalkan c − a = b . Dengan demikian kita 

dapatkan persamaan 

x 

a 

2 

2 

− 

b 

y 

2 

2 

= 1 

Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7. 

2 

2 

(5.9) 


y 

+∞ 

X(x,y) 

-c -a a c 

x 

Gb.5.7. Kurva hiperbola 

Dengan memberi nilai y = 0, kita dapatkan titik potong hiperbola dengan 

sumbu-x yaitu [±a,0]. Dengan memberikan nilai x = 0, kita tidak 

memperoleh solusi untuk y. Kurva tidak memotong sumbu-y; tidak ada 

bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a. 

Soal-Soal: 

Gambarkan (skets) hiperbola berikut: 

1) x 2 2 

− y = 1 

9 16 

; 2) y 2 2 

− x = 

9 16 

1 ; 

3) x 2 2 

− y = 1 

16 9 

; 4) x 2 2 

− y = − 

9 16 

1 

5.4. Kurva Berderajat Dua 

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus 

kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua. Bentuk umum persamaan 

berderajat dua adalah 

−∞ 

2 

2 

Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 

(5.10) 

Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan 

B = C = D = F = 0; 

A = 1; E = −4 

p 

65

1 2 

sehingga diperoleh persamaan (5.4) y = x . 

4 p 

Lingkaran satuan adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan 

B = D = E = 0 ; A = 1; C = 1; F = −1 

Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari 

(5.10), di mana 

A = B = C = 0 ; 

D = −a; 

E = 1; 

F = −b 

yang memberikan persamaan garis lurus y = ax + b . Namun dalam 

kasus terakhir ini persamaan berderajat dua (5.10) berubah status menjadi 

persamaan berderajat satu. 

Bentuk Ax 2 dan Cy 2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah 

sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun 

bentuk Bxy, yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum pernah 

kita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lihat. 

5.5. Perputaran Sumbu Koordinat 

Dalam bangun geometris yang sudah kita lihat, mulai dari parabola 

sampai hiperbola, tidak satupun mengandung bentuk Bxy. Hal Ini 

sesungguhnya merupakan konsekuensi dari pemilihan koordinat. Dalam 

bangun hiperbola misalnya, kita telah memilih titik-titik fokus P[−c,0] 

dan Q[c,0] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu-x dan memotong 

sumbu-x di x = ±a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus di 

P[−a,−a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8. 

y 

P[-a,-a] 

Q[a,a] 

x 

Gb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a] 

Selisih jarak XP dan XQ yang tetap kita misalkan 2a 

2 

2 

( x + a) 

+ ( y + a) 

− ( x − a) 

+ ( y − a) 

= 2a 


2 

2

Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan kemudian kedua 

ruas dikuadratkan dan dilakukan penyederhanaan, akan kita peroleh 

x + y − a = 

2 2 

( x − a) 

+ ( y − a) 

Jika ruas kanan dan kiri dikuadratkan lagi kita dapatkan 

2 

2xy = a 

(5.11) 

Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva 

persamaan ini simetris terhadap garis y = x, yaitu garis bagi kuadran II 

dan III seperti terlihat pada Gb.5.9. 

5 

0 

-5 0 

-5 

Gb.5.9. Kurva 2xy = a 2 . 

Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbola 

sebelumnya pada Gb.5.7. terlihat bahwa kurva pada Gb.5.9. memiliki 

sumbu simetri yang terputar 45 o berlawanan dengan arah perputaran 

jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 yaitu sumbu-x. 

Apakah memang demikian? Kita akan lihat secara umum mengenai 

perputaran sumbu ini. Perhatikan Gb.5.10. 

y’ 

y 

P[x,y] 

P[x’,y’] 

x’ 

O 

β 

α 

Q 

Q’ 

Gb.5.10. Perputaran sumbu. 

x 

67

Sumbu x-y diputar sebesar α menjadi sumbu x’-y’. Titik P dapat 

dinyatakan dengan dua koordinat P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, atau 

P[x’,y’] dengan referensi sumbu x’-y’. Dari Gb.5.10. kita dapatkan 

Sementara itu 

x = OQ = OPcos( α + β) 

y = PQ = OPsin( α + β) 

x' 

= OQ' = OPcosβ 

y' 

= PQ' = OPsinβ 

Dengan kesamaan (lihat fungsi trigonometri di Bab-6) 

cos( α + β) 

= cosαcosβ − sin αsinβ 

sin( α + β) 

= sin αcosβ + cosαsinβ 

Dengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadi 

x = x'cosα − y'sin 

α 

y = x'sin 

α + y'cosα 

Persamaan (5.15) inilah persamaan rotasi sumbu. 

(5.12) 

(5.13) 

(5.14) 

(5.15) 

Kita coba aplikasikan (5.15) pada (5.11) yang memiliki kurva pada 

Gb.5.10, di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45 o sehingga 

cos α = sin α = 1/ 2 . Oleh karena itu kita peroleh 

x' −y' 

x' + y' 

x = dan y = 

2 

2 

Nilai x dan y ini kita masukkan ke (5.11) dan kita mendapatkan 

x' 

−y' 

x' 

+ y' 

2 2 2 

2 × = ( x') 

− ( y') 

= a 

2 2 

Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9) 

sumbu simetri adalah sumbu-x, sedangkan di sini sumbu simetri adalah 

sumbu-x’ yaitu sumbu-x yang diputar 45 o . 

Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadi 

lengkaplah pergeseran kurva yang kita bahas. Pergeseran kurva sejajar 

sumbu-x dan sumbu-y yang telah kita bahas sebelumnya dapat pula kita 

pandang sebagai pergeseran atau translasi sumbu koordinat. Dengan 

demikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordinat, di mana 

sumbu-sumbu simetri dari suatu kurva tidak berimpit dengan sumbu 

koordinat, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [0,0]. 


Bab 6 

Fungsi Trigonometri 

6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat 

Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai 

peubah-bebas. 

y = sin θ; 

y 

y 

1 

3 

5 

y 

2 

= cosθ 

sin θ 

= tan θ = ; 

cos θ 

1 

= secθ = ; 

cosθ 

y 

y 

4 

6 

cosθ 

= cot θ = 

sin θ 

1 

= cscθ = . 

sin θ 

(6.1) 

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaransatuan, 

yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini 

diperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif 

berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jarijari 

r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. 

y 

1 

O 

θ 

-1 [0,0] -θ Q 1 x 

r 

P 

-1 

P’ 

Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1. 

69

Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, maka 

PQ 

sin θ = = PQ 

(6.2) 

r 

PQ = 0 pada waktu θ = 0 o , dan membesar jika θ membesar sampai 

mencapai maksimum PQ = 1 pada waktu θ = 90 o . Kemudian PQ 

menurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 180 o . Sesudah itu PQ 

menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 pada 

waktu θ = 270 o , kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktu 

θ = 360 o . Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya 

terjadi pada waktu θ = 720 o . Kejadian berulang lagi dan demikian 

seterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat 

kita memperoleh 

o 

o 

o 

sin 0 = 0; sin 90 = 1; sin180 = 0; 

o 

o 

sin 270 = −1; 

sin 360 = 0 

Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka 

OQ 

cos θ = = OQ 

r 


(6.3) 

OQ = 1 pada waktu θ = 0, dan mengecil jika θ membesar sampai 

mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = π/2. Kemudian OQ 

meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = −1 pada waktu θ = π. 

Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ 

= 0 pada waktu θ = 1,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = 1 

pada waktu θ = 2π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus 

berikutnya terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan 

demikian seterusnya. Secara singkat 

o 

cos0 = 1; 

o 

cos270 = 0; 

o 

cos90 = 0; 

o 

cos360 = 1 

o 

cos180 = −1; 

Pada Gb.6.1, jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil 

Pitagoras memberikan PQ 2 + OQ 2 = OP 2 =1, maka 

Dari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga 

2 2 

sin ( θ ) + cos ( θ) 

= 1 

(6.4.a)

P′ 

Q −PQ 

sin( −θ) 

= = = −sin 

θ 

r r 

OQ 

cos( −θ) 

= = cosθ 

r 

(6.4.b) 

(6.4.c) 

Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil 

dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai 

antara −1 dan +1. 

Fungsi Tangent. 

PQ 

tan θ = 

(6.4.d) 

OQ 

P′ 

Q −PQ 

tan( −θ) 

= = = − tan θ 

(6.4.e) 

OQ OQ 

Nilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0 o , dan akan menuju +∞ jika θ menuju 

90 o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ pada 

waktu θ menuju −90 o . Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞. 

Nilai tanθ = 1 bila θ = 45 o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1 

jika θ = −45 o . Lihat pula kurva pada Gb.6.5. 

Fungsi Cotangent. 

OQ 

cot θ = 

(6.4.f) 

PQ 

OQ OQ 

cot( −θ) 

= = = −cot 

θ 

(6.4.g) 

P′ 

Q − PQ 

Nilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0 o karena PQ akan menuju 0 

walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90 o karena OQ = 0. 

Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akan 

menuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90 o karena P’Q menuju −∞. Lihat pula 

kurva Gb.6.6. 

71

Fungsi Secan dan Cosecan 

1 r 

secθ = = 

(6.4.h) 

cosθ 

OQ 

1 r 

cscθ = = 

(6.4.i) 

sin θ PQ 

Nilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90 o karena OQ menuju 0 dan secθ = 

1 pada waktu θ = 0 o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ = 1. 

Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju 

0. Lihat pula Gb.6.7. 

Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan dengan 

mengunakan Gb.6.2., yaitu 

cosα 

y 

1 

sinα cosβ 

β 

sinα 

sinα sinβ 

α 

cosα sinβ 

β 

-1 [0,0] 1 x 

cosα cosβ 

-1 

Gb.6.2. Relasi-relasi 

sin( α + β) 

= sin αcosβ + cosαsinβ 

cos( α + β) 

= cosαcosβ − sin αsinβ 

(6.5) 

Karena 

sin( −β) 

= −sinβ 

dan cos( −β) 

= cosβ 

maka kita peroleh pula 

sin( α − β) 

= sin αcosβ − cosαsinβ 

cos( α − β) 

= cosαcosβ + sin αsinβ 

(6.6) 


6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y 

r 

θ 

s 

Bilangan-nyata dengan desimal yang tidak terbatas, 

π, digunakan untuk menyatakan besar sudut dengan 

satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ 

didefinisikan dengan persamaan 

θ = 

s , s = rθ 

(6.7) 

r 

Jika θ = 360 o maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = 2πr . 

Jadi jumlah radian dalam sudut 360 o adalah 2π. Dengan demikian maka 

ukuran sudut 

θ 1 = 180 o adalah π rad. 

θ 2 = 90 o adalah 0,5π 

rad. 

θ 3 = 1 o adalah ( π /180) rad. dst. 

Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri 

akan kita gambarkan pada sistem koordinat x-y, yang kita ketahui bahwa 

sumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi 

sinus 

y = sin(x) 

(6.8) 

terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari −2π sampai +2π. 

Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 atau θ = 90 o , 

mencapai nilai nol pada x = π atau θ = 180 o , mencapai minimum −1 (arah 

negatif) pada x = 1,5π atau θ = 270 o , kembali nol pada x = 2π atau θ = 

360 o ; inilah satu perioda. 

−2π 

1,5 

y 

1 

0,5 

0 

−π 0 π 2π 

-0,5 

-1 

-1,5 

Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda. 

x 

73

Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus 

y = cos(x) 

(6.9) 

terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0 

atau θ = 0 o , mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90 o , mencapai 

minimum −1 (arah negatif) pada x = π atau θ = 180 o , kembali nol pada x 

= 1,5π atau θ = 270 o , dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satu 

perioda, 2π. 

−π 

1,5 

y 

1 

0,5 

-1,5 

Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus. 

Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan 

perioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yang 

sama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitu 

sin( x) 

= −sin( 

−x) 

sedangkan cos( x) 

= cos( −x) 

(6.10) 

Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki 

simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebut 

memiliki simetri genap. 

Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi 

sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar 

sumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakan 

dalam cosinus 

y = sin( x) 

= cos( x − π / 2) 

(6.11) 

Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi 

-1 

perioda 

0 

0 π 2π x 

-0,5 

sin( x) 

y = tan( x) 

= 

(6.12) 

cos( x) 


Karena cos(x) = 0 pada x = +π/2 dan −π/2, maka tan(x) bernilai tak 

hingga pada x = +π/2 dan −π/2. 

y 

3 

2 

1 

0 

-1,5π -π -0,5π 0 

-1 

0,5π π 1,5π 

-2 

-3 

Gb.6.5. Kurva y = tan(x) 

Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent. 

cos( x) 

1 

y = cot( x) 

= = 

(6.13) 

sin( x) 

tan( x) 

Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0. 

Lihat Gb.6.6. 

3 

2 

1 

0 

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π 

-1 

-2 

-3 

Gb.6.6. Kurva y = cot (x) 

75

Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus. 

1 

y = sec( x) 

= 

(6.14.a) 

cos( x) 

Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai 

1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1. 

Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus. 

1 

y = csc( x) 

= 

(6.14.b) 

sin( x) 

Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 kara 

pada nilai x ini sin(x) bernilai 0. 

3 

2 

1 

-1,5π -π 

0 

-0,5π 0 0,5π π 1,5π 

-1 

-2 

(a) y = sec(x) 

-3 

3 

2 

1 

-1,5π -π 

0 

-0,5π 0 

-1 

0,5π π 1,5π 

-2 

(b) y = csc(x) 

-3 

Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x) 


Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut: 

y = 2sin x ; y = 3sin 2x 

; y = 2cos3x 

; 

y = 3cos(2x 

+ π / 4) ; y = 2 tan( x / 3) 

6.3. Fungsi Trigonometri Inversi 

y = sin(x 

Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan ) , maka fungsi 

sinus inversi dituliskan sebagai 

−1 

y = arcsin x atau y = sin x 

(6.15) 

Perhatikan bahwa sin −1 x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x 

yang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan 

x. 

Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsi 

y = sin −1 x tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada 

Gb.6.8.a. 

Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanya 

meninjau fungsi sinus inversi pada 

π π 

− ≤ y ≤ . Dengan pembatasan ini 

2 2 

maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin −1 x. Jadi nilai 

utama y = sin −1 x terletak pada 

π −1 π 

− ≤ sin x ≤ . Kurva fungsi 

2 2 

y = sin −1 x yang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b. 

Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin −1 x = 0 karena pada y = 0 sin(y) = 

0 = x. Pada x = 1, y = sin −1 x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x. 

Contoh: 

− 

y = sin 1 (1) = 0,5π 

; 

− 

y = sin 1 ( −1) 

= −0,5π 

− 

sin 1 π 

y = (0,5) = ; 

6 

− 

sin 1 π 

y = ( −0,5) 

= − 

6 

77

2π 

y 

π 

-1 

0 

0 

1 

x 

y 

0,5π 

0,25π 

−π 

−2π 

0 

-1 -0,5 0 0,5 1 

-0,25π 

-0,5π 

x 

a) b) 

Gb.6.8. Kurva y = sin −1 x 

Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3. 

(fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan 

horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan 

memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang 

π π 

− ≤ y ≤ , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi 

2 2 

sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi. 

Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan 

−1 

π −1 

y = cos x = − sin x 

(6.16) 

2 

Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip 

segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π/ 2 − α dan sin α = cosβ 

. 

Oleh karena itu jika sin α = x maka cos β = x sehingga 

−1 

cos x 

= β = π 

−1 

/ 2 − α = π / 2 − sin x 


Karena dengan pembatasan 

π π 

− ≤ y ≤ pada fungsi sinus inversi 

2 2 

memberikan 

π −1 π 

1 

− ≤ sin x ≤ maka nilai-nilai utama dari cos − x akan 

2 2 

terletak pada ≤ 

− 1 

0 cos x ≤ π . Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi 

cosinus inversi pada nilai utama. 

Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y 

digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4. 

dalam rentang 0 ≤ x ≤ π . 

y 

-1 

π 

0 

0 

1 

x 

y 

1π 

0,75π 

0,5π 

−π 

0,25π 

a) b) 

Gb.6.9. Kurva y = cos −1 x 

Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah 

0 

-1 -0,5 0 0,5 1 

y = tan −1 x 

(6.17) 

π 

dengan nilai utama 

1 π 

− < tan 

− x < 

2 

2 

Untuk fungsi ini, nilai y = ±(π / 2) 

tidak kita masukkan pada 

pembatasan untuk y karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada 

nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlihatkan kurva y = tan −1 x lengkap 

sedangkan Gb.6.10.b. dibatasi pada nilai − 0,5π < y < 0. 5π 

. 

x 

79

1,5π 

y 

π 

0,5π 

-3 -2 

0 

-1 0 1 2 3 

-0,5π 

-π 

x 

0,5π 

y 

0,25π 

0 

-10 -5 0 5 x 10 

-0,25π 

-1,5π 

a) b) 


y = tan −1 x 

Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b 

ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent, 

dalam rentang 

π −1 π 

− < tan x < 

2 2 

Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi. 

Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan 

−1 

π −1 

y = cot x = − tan x 

(6.18) 

2 

dengan nilai utama < 

− 1 

0 cot x < π 

0 dan π tidak masuk dalam pembatasan y karena pada nilai tersebut y 

menjadi tak hingga. 

Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip 

segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π/ 2 − α dan tan α = cotβ 

. 

Oleh karena itu jika tan α = x maka cot β = x sehingga 

−1 

cot x 

= β = π 

-0,5π 

−1 

/ 2 − α = π / 2 − tan x 

Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb.6.11. 


1π 

y 

0,5π 

0 

-10 -5 0 5 x 10 


y 

= cot −1 

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan 

bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6. 

Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi 

x 

1 

y = sec 

−1 x = cos 

−1 

(6.19) 

x 


π 

− 1 

0 ≤ sec x ≤ π . 

0,75π 

0,5π 

0,25 

0 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 


y 

= sec −1 

x 

Fungsi Cosecan Inversi. 

1 

csc 

−1 x = sin 

−1 

(6.20) 

x 


π −1 π 

− ≤ csc x ≤ 

2 2 

81

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi 

terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya. 

0,5π 

y 

0,25π 

0 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4 

-0,25π 

-0,5π 


y = csc −1 x 

Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi 

dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan 

gambar segitiga siku-siku. 

1). Dari fungsi y = sin −1 x , yaitu sudut y yang sinus-nya adalah x 

dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama 

dengan 1 seperti terlihat di bawah ini. 

y 

1 

x 

Dari gambar ini selain fungsi 

dapat peroleh 

cos 

2 

y = − x , 

1 

2 

1 − x 

y = sin −1 x dan sin y = x , kita 

x 

y = , dst. 

2 

− x 


tan 

2). Dari fungsi cosinus inversi y = cos −1 x dapat kita gambarkan 

segitiga siku-siku seperti di bawah ini. 

1

1 2 

1 x − 

y 

x 

Selain 

cos y = x dari gambar ini kita dapatkan 

sin 

2 

y = − x , 

1 

2 

1 − x 

tan y = , dst. 

x 

3). Dari fungsi y = tan −1 x , kita gambarkan segitiga seperti di 

bawah ini. 

Selain 

tan y = 

sin 

x , kita peroleh 

x 

y = , 

2 

+ x 

1 

2 

1 + x 

y 

1 

cos 

y = , dst 

2 

+ x 

1 

x 

1 

4). Dari fungsi y = sec −1 x kita gambarkan 

y 

x 

x 2 − 1 

1 

Dari gambar ini kita peroleh 

tan 

2 

y = − x , 

1 

x 

2 −1 

sin y = , dst. 

x 

83

Soal-Soal: 

1) Dari fungsi y = cot −1 x tentukan sin y dan cos y 

2) Dari fungsi y = csc −1 x tentukan tan y dan cos y 


Bab 7 

Gabungan Fungsi Sinus 

7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus 

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnya 

gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan 

listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi 

waktu, sehingga kita akan melihatnya dengan menggunakan waktu 

sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik. 

Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detik 

disebut frekuensi siklus, dengan simbol f , dengan satuan Hertz (1 Hz = 1 

siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T 0 maka 

1 

f 0 = (7.1) 

T0 

Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakan 

jumlah radian untuk menyatakan sudut. Karena satu siklus perubahan 

sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus per 

detik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi 

siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan 

radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut 

(ω), dan juga dengan perioda (T 0 ), adalah 

2π 

ω = 2πf0 

= 

(7.2) 

T0 

Suatu fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) A 

dituliskan sebagai 

⎛ 2πt 

⎞ 

y = Acosωt 

= Acos⎜ 

⎟ 

(7.3) 

⎝ T0 

⎠ 

Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan 

yang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menyatakan fungsi 

sinus y = sin(x) 

atau fungsi cosinus y = cos(x) 

dengan x sebagai 

peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menyatakan 

fungsi cosinus y = cos ωt 

dengan t sebagai peubah bebas dengan 

satuan detik. Faktor ω-lah yang membuat satuan detik menjadi 

radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik. 

85

Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita 

geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi 

sinus. Gb.7.2. 

⎛ π ⎞ 

⎛ 2πt 

⎞ 

y = Acos⎜ 

ωt 

− ⎟ = Asin 

ωt 

= Asin⎜ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

(7.4) 

⎝ T0 

⎠ 

y 

A 

T 0 

0 

0 t 

-A 

Gb.7.1. Fungsi cosinus 

y 

⎛ 2πt 

⎞ 

y = Acosωt 

= Acos⎜ 

⎟ 

⎝ T0 

⎠ 

A 

T 0 

0 

0 t 

-A 

Gb.7.2. Fungsi sinus 

⎛ 2πt 

⎞ ⎛ π ⎞ 

y = Asin 

ωt 

= Asin⎜ 

⎟ 

= Acos⎜ωt 

− ⎟ 

⎝ T0 

⎠ ⎝ 2 ⎠ 

Pergeseran fungsi cosinus sebesar T s diperlihatkan pada Gb.7.3. 

Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah 

y = Acosω 

⎛ 2πt 

( t − T ) = Acos⎜ 

− s 

s 

T ⎟ 0 T0 

⎠ 

⎝ 

2πT 

⎞ 


y 

A 

T 0 

0 

0 T s 

t 

-A 

Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser 

Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan 

pergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran 

adalah T s . Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 yang kemudian menjadi 

kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu 

fungsi sinusoidal sembarang, yaitu dengan menuliskannya dalam bentuk 

cosinus, dengan memasukkan pergeseran yang terjadi yaitu yang 

ditunjukkan oleh posisi puncak yang pertama. 

Untuk selanjutnya, peristiwa-peristiwa yang berubah secara sinusoidal 

kita nyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus, yang dianggap 

sebagai bentuk normal 

Perhatikanlah bahwa T s adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga 

fungsi sinusoidal dengan pergeseran T s kita tuliskan (Gb.7.3) 

yang dapat pula kita tuliskan 

y = Acos 

ω 

y = Acos 

( t − ) 

T s 

( ωt 

− ω ) 

Pada penulisan terakhir ini, ωT s mempunyai satuan radian, sama dengan 

satuan ωt. Selanjutnya 

2πTs 

ϕ = ωTs 

= 

(7.5) 

T0 

disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak 

pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita 

tuliskan 

( ω − ϕ) 

T s 

y = cos t 

(7.6) 

87

Jika ϕ = π/2 maka kita mempunyai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah 

fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita 

menambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus. 

7.2. Kombinasi Fungsi Sinus. 

Dalam tinjauan selanjutnya, jika disebut fungsi sinus, yang dimaksudkan 

adalah fungsi sinus yang dinyatakan dalam bentuk normal, yaitu cosinus. 

Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain yang 

bukan sinus, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus. 

Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi 

jumlah dari beberapa komponen sinus, yang memiliki amplitudo, sudut 

fasa, dan frekuensi yang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu, 

fungsi akan terdiri dari komponen-komponen yang berupa komponen 

searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi 

dasar f 0 , dan harmonisa yang memiliki frekuensi harmonisa nf 0 . 

Sebaliknya dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi 

sinus yang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa yang 

berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk 

sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk 

fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus yang 

menyusunnya. 

Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan kelipatan 

bulat n dari frekuensi dasar f 0 . Frekuensi f 0 kita sebut sebagai frekuensi 

dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda T 0 = 1/f 0 . 

Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2f o ), harmonisa 

ketiga (3f 0 ), dan seterusnya, yang secara umum kita katakan harmonisa 

ke-n mempunyai frekuensi nf 0 . 

7.3. Spektrum Dan Lebar Pita. 

Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa 

mempertanyakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalnya. 

Bagaimana penyebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau 

dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga 

mempertanyakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponenkomponen 

tersebut. 


4 

y 

y 

4 

0 

-5 15 t 

-4 y = 3 cos 2f 0 t 

-5 

0 

15 t 

-4 y = 1 + 3 cos 2f 0 t 

y 

4 

- 5 

0 

15 

t 

- 4 

y = 1+ 

3cos 2πf0t 

− 2cos(2π(2 

f0) 

t) 

1 

-5 15 

-4 

y = 1+ 

3cos 2π f0t 

− 2cos(2π(2 

f0) 

t + π / 4) 

Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik. 

Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi yang dinyatakan 

dengan persamaan 

( 2πf 

t) + 15sin( 2π(2 

f ) t) − 7,5cos( 2 (4 f t) 

y = 10 + 30 cos 0 0 

π 0) 

Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga 

komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen 

berfrekuensi nol karena y(t) = A cos(2πft) = A jika f = 0. Komponen 

sinus yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen 

inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku 

ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3 

tidak ada. 

Fungsi ini dinyatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk 

melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku 

dengan bentuk yang sama yaitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan 

89

di depan bahwa bentuk normal pernyataan fungsi sinusoidal adalah 

menggunakan fungsi cosinus, yaitu y = Acos( 

2πft 

+ ϕ) 

. 

Dengan menggunakan kesamaan 

sin( 2πft ) = cos(2πft 

− π / 2) dan −cos( 

2πft 

) = cos(2πft 

+ π) 

persamaan fungsi di atas dapat kita tulis 

y = 10 + 30 cos(2πf0t) 

+ 15cos(2π2 

f0t 

− π / 2) + 7,5cos(2π4 

f0t 

+ π) 

Dalam pernyataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam 

bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap 

komponen seperti dalam tabel berikut. 

Frekuensi 0 f 0 2 f 0 4 f 0 

Amplitudo 10 30 15 7,5 

Sudut fasa − 0 −π/2 π 

Fungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernyataan 

suatu sinyal (dalam rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkan 

apa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Suatu 

spektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo 

maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari 

frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu 

: 0, f 0 , 2f 0 , dan 4f 0 . Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut 

adalah 10, 30, 15, dan 7,5 satuan (volt misalnya, jika ia adalah sinyal 

tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f 0 , 2f 0 dan 

4f 0 berturut turut adalah 0, −π/2, dan π radian. 

Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitu 

grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi 

frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a) 

dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b). 


40 

Amplitudo 

30 

20 

10 

0 

0 1 2 3 4 5 

Frekuensi [×f 0] 

Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo 

2π 

Sudut Fasa 

π/2 

0 

0 1 2 3 4 5 

−π/2 

−2π 

Frekuensi [×f 0] 

Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa. 

Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat 

dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan syarat tertentu. 

Fungsi persegi misalnya, yang juga periodik, dapat diuraikan menjadi 

jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian 

fungsi persegi ini adalah sebagai berikut : 

A 

y = Acos(2πf 

0t 

− π / 2) + cos(2π3 

f0t 

− π/ 

2) 

3 

A 

A 

+ cos(2π5 

f0t 

− π/ 

2) + cos(2π7 

f0t 

− π/ 

2) + .... 

5 

7 

Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunyai sudut 

fasa sama besar yaitu –π/2; amplitudonya menurun dengan meningkatnya 

frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada 

harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut. 

91

Frekuensi: 0 f 0 2f 0 3f 0 4f 0 5f 0 .. nf 0 

Amplitudo: 0 A 0 A/3 0 A/5 .. A/n 

Sudut Fasa: - -π/2 - -π/2 - -π/2 .. -π/2 

Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun 

dari harmonisa-harmonisanya. 

a) b) 

c) 

d) 

e) 

Gb.7.10. Uraian fungsi persegi. 

a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. 

c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. 

d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + 

harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada 

harmonisa ke-21. 

Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan 

menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan 

makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan 

terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsi 

yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentuk 

yang kita inginkan. 

Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi 

frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidak 

hanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum. 

Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas 


frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap 

amplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi 

tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita 

tetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2% 

dari amplitudo sinus dasar. 

Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga 

perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar 

jika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan. 

Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah 

nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band 

width). 

93

Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum 

1. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut ini 

dalam format cosinus y = Acos( 

x − xs 

) : 

a). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0, frekuensi 

siklus 10 siklus/skala. 

b). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0,02, 

frekuensi siklus 10 siklus/skala. 

c). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa 0 o , frekuensi sudut 10 

rad/skala. 

d). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa +30 o , frekuensi sudut 

10 rad/skala. 

2. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan 

sinus berikut ini 

y = 4 + 5sin 2π2000t 

− 2cos 2π4000t 

+ 0,2sin 2π8000t 

Dengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%, 

tentukan lebar pita fungsi ini. 

3. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut. 

o 

y = 3cos(2π1000t 

− 60 ) - 2sin2π2000t 

+ cos2π8000t 


y = 10cos100t 

+ 2cos300t 

+ cos500t 

+ 0.2cos1500t 

+ 0,02cos5000t 


y = 10 + 10cos 2π500t 

+ 3cos 2π1000t 

+ 2cos 2π1500t 

+ 0,2cos 2π2000t 


Bab 8 

Fungsi Logaritma atural, Eksponensial, 

Hiperbolik 

8.1. Fungsi Logarithma atural. 

Definisi. Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis 

bilangan e. Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangannyata 

dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang 

koma, nilainya adalah 

e = 2,7182818284 

Bilangan e merupakan salah satu bilangan-nyata yang sangat penting 

dalam matematika: 

ln e = 1 

(8.1) 

ln e a = a ln e = a 

(8.2) 

Kita lihat sekarang fungsi logaritma natural. Fungsi logaritma natural 

dari x dituliskan sebagai 

y = ln x 

(8.3) 

Fungsi ini didefinisikan melalui integral (mengenai integrasi akan kita 

pelajari pada Bab-12), yaitu 

= 

∫ 

x 1 

ln x dt 

(8.4) 

1 t 

Di sini kita akan melihat definisi tersebut secara grafis di mana integral 

dengan batas tertentu seperti (8.4) berarti luas bidang antara fungsi 1/t 

dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x . Perhatikan Gb.8.1. Nilai 

fungsi y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan 

sumbu-t, dalam rentang antara t = 1 dan t = x. 

6 

y 

5 

4 

3 

2 

1 

1/t 

ln x 

0 

t 

0 1 2 x 3 4 

Gb.8.1. Definisi ln x ditunjukkan secara grafis. 

95

Kurva fungsi y = ln x dalam koordinat x-y adalah seperti pada Gb.8.2. 

Nilai ln x = 1 terjadi pada nilai x = e. 

2 

y 

1,5 

1 

0,5 

-1 

-1,5 

-2 

Gb.8.2. Kurva y = ln x. 

y = ln x 

0 

0 

-0,5 

1 2 e 3 x 4 

Sifat-Sifat. Sifat-sifat logaritma natural mirip dengan logaritma biasa. 

Jika x dan a adalah positif dan n adalah bilangan rasional, maka: 

ln ax = ln a + ln x 

ln 

ln x 

ln e = 1 

ln e 

x 

= ln x − ln a; 

a 

n 

x 

= nln 

x 

= x 

ln x bernilai negatif untuk x < 1 

(8.5) 

Soal-Soal 

Dengan membagi luas bidang di bawah kurva (1/t) pada Gb.8.1 

dalam segmen-segmen selebar ∆t = 0,1 dan mendekati luas segmen 

sebagai luas trapesium, hitunglah 

1). ln 1,5 2). ln 2 ; 3). ln 0,5 


8.2. Fungsi Eksponensial 

Antilogaritma dan Fungsi Eksponensial. Antilogaritma adalah inversi 

dari logaritma; kita melihatnya sebagai suatu fungsi 

x = ln y 

(8.6) 

Mengingat sifat logaritma sebagaimana disebutkan di atas, ekspresi ini 

ekivalen dengan 

yang disebut fungsi eksponensial. 

x 

y = e 

(8.7) 

Fungsi eksponensial yang penting dan sering kita jumpai adalah fungsi 

eksponensial dengan eksponen negatif; fungsi ini dianggap mulai muncul 

pada x = 0 walaupun faktor u(x), yaitu fungsi anak tangga satuan, tidak 

dituliskan. 

−bx y = ae ; x ≥ 0 

(8.8) 

Eksponen negatif ini menunjukkan bahwa makin besar bx maka nilai 

fungsi makin kecil. untuk suatu nilai b tertentu, makin besar x fungsi ini 

akan makin menurun. Makin besar b akan makin cepat penurunan 

tersebut. 

Dengan mengambil nilai a = 1, kita akan melihat bentuk kurva fungsi 

eksponensial (8.8) untuk beberapa nilai b, dalam rentang x ≥ 0 seperti 

terlihat pada Gb.8.3. Pada Gb.8.3. ini terlihat bahwa makin besar nilai b, 

makin cepat fungsi menurun. 

y 

1 

0,8 

0,6 

e − x 

e −2x 

0,4 

0,2 

0 

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 x 4 

Gb.8.3. Perbandingan kurva y = e −x dan y = e −2x . 

97

Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% 

dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/b. Pada saat x 

= 5b kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah 

di bawah 1% dari nilai awalnya. Oleh karena itu fungsi eksponensial 

biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/b. 

Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A adalah 

−at 

y = Ae u(t) 

(8.9) 

Faktor u(t) adalah fungsi anak tangga satuan untuk menyatakan bahwa 

kita hanya meninjau keadaan pada t ≥ 0. Fungsi ini menurun makin cepat 

jika a makin besar. Didefinisikanlah 

sehingga (8.9) dituliskan 

1 

τ = 

(8.10) 

a 

/ 

y = Ae u( 

t) 

(8.11) 

−t τ 

τ disebut konstanta waktu; makin kecil τ, makin cepat fungsi 

eksponensial menurun. 

Gabungan Fungsi Eksponensial. Gabungan fungsi eksponensial yang 

banyak dijumpai dalam rekayasa adalah eksponensial ganda yaitu 

penjumlahan dua fungsi eksponensial. Kedua fungsi mempunyai 

amplitudo sama tetapi berlawanan tanda; konstanta waktu dari keduanya 

juga berbeda. Persamaan fungsi gabungan ini adalah 

−t 

/ τ1 −t 

/ τ2 

( − e ) u( 

t) 

y = A e 

(8.12) 

Bentuk kurva dari fungsi ini terlihat pada Gb.8.4. 

Fungsi ini dapat digunakan untuk memodelkan surja. Gelombang surja 

(surge) merupakan jenis pulsa yang awalnya naik dengan cepat sampai 

suatu nilai maksimum tertentu kemudian menurun dengan agak lebih 

lambat. Surja tegangan yang dibangkitkan untuk keperluan laboratorium 

berbentuk “mulus” namun kejadian alamiah yang sering dimodelkan 

dengan surja tidaklah mulus, misalnya arus terpaan petir. 


5 

A 

4 

3 

y 

1 

= Ae 

y 

2 

−t 

/ τ 

= Ae 

1 

−t 

/ τ 

y = A e 

2 

−t 

/ τ1 −t 

/ τ2 

( − e ) 

2 

1 

0 

0 

0 1 2 3 4 5 

t/τ 

Gb.8.4. Kurva gabungan dua fungsi eksponensial. 

Soal-Soal 

1. Gambarkan dan tentukan persamaan kurva fungsi eksponensial 

yang muncul pada x = 0 dan konstanta τ , berikut ini : 

a). y a = amplitudo 5, τ = 2. 

b). y b = amplitudo 10, τ = 2. 

c). y c = amplitudo −5, τ = 4. 

2. Dari fungsi pada soal 10, gambarkanlah bentuk kurva fungsi 

berikut. 

a). y 

c). y 

d 

b). y 

e 

f 

= y 

= y 

a 

a 

= y 

a 

+ y 

+ y 

b 

c 

+ y 

b 

+ y 

3. Gambarkanlah bentuk kurva fungsi berikut. 

a). 

b). 

y 

y 

c 

−0,5x 

10{ 1− 

e } 

−0,2x 

{ 10 − 5e 

} 

u( 

1 = 

x 

u( 

2 = 

x 

) 

) 

99

8.3. Fungsi Hiperbolik 

Definisi. Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi 

hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh) 

v −v 

v −v 

e + e 

e − e 

cosh v = ; sinh v = 

(8.13) 

2 

2 

Persamaan (8.13) ini merupakan definisi dari cosinus hiperbolik dan 

sinus hiperbolik. Definisi ini mengingatkan kita pada fungsi trigonometri 

biasa cosinus dan sinus. Pada fungsi trigonometri biasa, jika x = cosθ dan 

y = sinθ maka fungsi sinus dan cosinus ini memenuhi persamaan 

“lingkaran satuan” (berjari-jari 1), yaitu 

2 2 2 2 

x + y = 1 = sin θ + cos θ . 

Pada fungsi hiperbolik, jika x = cosh v dan y = sinh v, maka fungsifungsi 

ini memenuhi persamaan “hiperbola satuan”: 

2 2 

x − y = 1 

Hal ini dapat kita uji dengan mensubstitusikan cosh v untuk x dan sinh v 

untuk y dan kita akan mendapatkan bahwa persamaan “hiperbola satuan” 

akan terpenuhi. Kita coba: 

2v 

−2v 

2v 

−2v 

2 2 2 2 e + 2 + e e − 2 + e 4 

x − y = cosh v − sinh v = 

− 

= = 1 

4 

4 4 

Bentuk kurva fungsi hiperbolik satuan terlihat pada Gb. 8.5. dengan 

v −v 

v −v 

e + e 

e − e 

x = cosh v = ; y = sinh v = 

2 

2 

4 

y 3 

2 

1 

v = 0 

v = ∞ 

P[x,y] 

0 

-1 0 1 2 3 

x 

4 

-2 

-3 

-4 

Gb.8.5. Kurva fungsi hiperbolik satuan. 


Jika kita masukkan 

v −v 

e + e 

x = cosh v = ; 

2 

v −v 

e − e 

y = sinh v = 

2 

maka titik P[x,y] akan berada di bagian positif kurva tersebut. Karena e v 

selalu bernilai positif dan e −v = 1/e v juga selalu positif untuk semua nilai 

nyata dari v, maka titik P[x,y] selalu berada di bagian positif (sebelah 

kanan sumbu-y) kurva hiperbolik. 

Mirip dengan fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik yang lain 

didefinisikan sebagai 

v −v 

v −v 

sinh v e − e 

cosh v e + e 

tanh v = = ; coth v = = 

(8.14) 

v −v 

v −v 

cosh v 

e 

+ e 

sinh v 

e 

− e 

1 2 

1 2 

sech v = = ; csch v = = (8.15) 

cosh v v −v 

v v −v 

e + e 

sinh e − e 

Identitas. Beberapa identitas fungsi hiperbolik kita lihat di bawah ini. 

1). 2 2 

cosh v − sinh v = 1 . Identitas ini telah kita buktikan di atas. 

Identitas ini mirip dengan identitas fungsi trigonometri biasa. 

2 2 

2). 1 − tanh v = sech v . Identitas ini diperoleh dengan membagi 

identitas pertama dengan cosh 2 v. 

2 

2 

3). coth v − 1 = csch v . Identitas ini diperoleh dengan membagi 

identitas pertama dengan sinh 2 v. 

4). 

5). 

cosh v + sinh v = e 

u 

. Ini merupakan konsekuensi definisinya. 

−u 

cosh v − sinh v = e . Ini juga merupakan konsekuensi 

definisinya. 

101

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik. Gb.8.6 berikut ini memperlihatkan 

kurva fungsi-fungsi hiperbolik. 

(a) 

1 

e 

2 

x 

y 

4 

3 

2 

1 

0 

y = sinh x 

-2 -1 0 1 2 

-1 

1 

− e − x 

-2 

2 

-3 

-4 

y = cosh x 

4 

y 

3 

x 

2 

c) 

b) 

1 

y = sech x 

0 

-2 -1 0 1 x 2 

-1 

4 

y = cosh x y 

3 

2 

1 

1 x 

e 

y = sinh x 

2 

0 

-2 -1 0 1 2 

-1 

-2 

-3 

-4 

x 


y 

4 

3 

2 

y = coth x 

1 

y = tanh x 

0 

-2 -1 0 1 x 2 

-1 

y = coth x 

-2 

-3 

d) 

-4 

y 

4 

3 

2 

y = cschx 

y = sinh x 

1 

-2 -1 

0 

0 

-1 

1 x 2 

-2 

e) 

y = cschx 

-3 

-4 

Gb.8.6. Kurva-kurva fungsi hiperbolik. 

103

Soal-Soal 

1). Turunkan relasi sinh( u + v) 

dan cosh( u + v) 

. 

2). Diketahui sinh v = −3/ 4 . Hitung cosh v, coth v, dan csch v. 

3). Diketahui sinh v = −3/ 4 . Hitung cosh v, tanhv, dan sech v. 


Bab 9 

Turunan Fungsi-Fungsi (1) 

(Fungsi Mononom, Fungsi Polinom) 

9.1. Pengertian Dasar 

Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik yang terletak pada 

suatu garis lurus diketahui, misalnya [x 1, y 1 ] dan [x 2 ,y 2 ], maka kemiringan 

garis tersebut dinyatakan oleh persamaan 

∆y 

( y2 

− y1) 

m = = 

(9.1) 

∆x 

( x2 

− x1) 

Untuk garis lurus, m bernilai konstan dimanapun titik [x 1, y 1 ] dan [x 2 ,y 2 ] 

berada. Bagaimanakah jika yang kita hadapi bukan garis lurus melainkan 

garis lengkung? Perhatikan Gb.9.1. 

y 

y = f(x) 

P 2 

∆y 

P 1 

∆x 

(a) 

y 

y = f(x) 

x 

P 1 

P′ 2 

∆y′ 

x 

(b) 

Gb.9.1. Tentang kemiringan garis. 

Pada Gb.9.1.a. ∆y/∆x merupakan kemiringan garis lurus P 1 P 2 dan bukan 

kemiringan garis lengkung y = f(x). Jika ∆x kita perkecil, seperti terlihat 

pada Gb.9.1.b., ∆y/∆x menjadi ∆y′/∆x′ yang merupakan kemiringan 

garis lurus P 1 P′ 2 . Jika ∆x terus kita perkecil maka kita dapatkan 

∆x′ 

105

kemiringan garis lurus yang sangat dekat dengan titik P 1 , dan jika ∆x 

mendekati nol maka kita mendapatkan kemiringan garis singgung kurva 

y di titik P 1 . Jadi jika kita mempunyai persamaan garis y = f (x) 


melihat pada suatu titik tertentu [x,y], maka pada kondisi dimana ∆x 

mendekati nol, persamaan (9.1) dapat kita tuliskan 

lim 

∆x→0 

∆y 

= 

∆x 

lim 

∆x→0 

f ( x + ∆x) 

− f ( x) 

= f ′( 

x) 

∆x 

(9.2) 

f ′(x) 

merupakan fungsi dari x karena untuk setiap posisi titik yang kita 

tinjau f ′(x) 

memiliki nilai berbeda; f ′(x) 

disebut fungsi turunan dari 

f (x) , dan kita tahu bahwa dalam hal garis lurus, f ′(x) 

bernilai konstan 

dan merupakan kemiringan garis lurus tersebut. Jadi formulasi (9.1) tidak 

hanya berlaku untuk garis lurus. Jika ∆x mendekati nol, maka ia dapat 

diaplikasikan juga untuk garis lengkung, dengan pengertian bahwa 

kemiringan m adalah kemiringan garis lurus yang menyinggung kurva 

lengkung di titik [x,y]. Perhatikan Gb. 9.2. 

y 

(x 2 ,y 2 ) 

(x 1 ,y 1 ) 

Gb.9.2. Garis singgung pada garis lengkung. 

Jika fungsi garis lengkung adalah y = f (x) 

maka f ′(x) 

pada titik [x 1 ,y 1 ] 

adalah kemiringan garis singgung di titik [x 1 ,y 1 ], dan f ′(x) di titik (x 2 ,y 2 ) 

adalah kemiringan garis singgung di [x 2 ,y 2 ]. Bagaimana mencari f ′(x) 

akan kita pelajari lebih lanjut. 

∆y 

Jika pada suatu titik x 1 di mana lim seperti yang dinyatakan oleh 

∆x→0 

∆x 

(9.2) benar ada, fungsi f(x) memiliki turunan di titik tersebut dan 

dikatakan sebagai “dapat didiferensiasi di titik tersebut” dan nilai 

x 


∆y 

lim merupakan nilai turunan di titik tersebut (ekivalen dengan 

∆x→0 

∆x 

kemiringan garis singgung di titik tersebut). 

Persamaan (9.2) biasanya ditulis 

dy 

dx 

= 

= 

lim 

d 

dx 

∆x→0 

∆y 

( y) 

= lim 

∆ x→0 

∆x 

(9.3) 

f ( x + ∆x) 

− f ( x) 

= f ′( 

x) 

∆x 

dy kita baca “turunan terhadap x dari fungsi y”, atau “turunan fungsi y 

dx 

terhadap x”. Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan 

fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan. 

Misalnya y merupakan fungsi t , y = f (t) 

; maka penurunan y hanya bisa 

dilakukan terhadap t, tidak terhadap x. 

9.2. Fungsi Mononom 

Kita lihat uraian-uraian berikut ini. 

dy df ( t) 

y ′ = = = f ′( 

t) 

dt dt 

1). y 0 = f ( x) 

= k , bernilai konstan. Di sini 

2). y1 = f1 ( x) 

= 2x 

f ( x + ∆x) 

− f ( x) 

0 

y0 ′ = lim 

= = 0 

∆x→0 

∆x 

∆x 

⇒ 

2( x + ∆x) 

− 2x 

2∆x 

f1 ′( 

x) 

= lim 

= = 2 

∆x→0 

∆x 

∆x 

107

y 

10 

8 

6 

4 

2 

f ( x) 

2x 

1 

= 

f 1 ′( 

x) 

= 2 

Gb.9.3. Fungsi mononom y = 2x dan turunannya. 

Kurva f 1′ ( x ) membentuk garis lurus sejajar sumbu-x; ia bernilai 

konstan 2 untuk semua x. 

3). 2 

y 2 = f2( x) 

= 2x 

0 

2 2 

2 

2 2 

2( x + ∆x) 

− 2x 

2( x + 2x∆x 

+ ∆x 

) − 2x 

f2′ 

( x) 

= lim 

= lim 

∆ x→0 

∆x 

∆x→0 

∆x 

= lim (2 × 2x 

+ 2∆x) 

= 4x 

∆x→0 

Turunan fungsi ini membentuk kurva garis lurus dengan kemiringan 

4. 

4). 3 

y 3 = f3( x) 

= 2x 

0 1 2 3 4 5 

x 

3 3 

2( x + ∆x) 

− 2x 

f3′ 

( x) 

= lim 

∆x→0 

∆x 

3 2 

3 3 3 

2( x + 3x 

∆x 

+ 3x∆x 

+ ∆x 

) − 2x 

= lim 

∆x→0 

∆x 

= lim 

2 

2 2 2 

2 × 3x 

+ 2 × 3x∆x 

+ 2∆x 

= 6x 

∆x→0 

Turunan fungsi ini membentuk kurva parabola. 


′′′ 

5). Secara umum, turunan mononom 

adalah 

n 

y = f ( x) 

= mx 

(9.4) 

′ ( n−1) 

y = ( m × n) 

x 

(9.5) 

Jika n pada (9.4) bernilai 1 maka kurva fungsi y = f (x) 

akan 

berbentuk garis lurus dan turunannya akan berupa nilai konstan, 

y ′ = f ′( 

x) 

= k 

Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x, 

y ′ = f ′(x) 

. Dengan demikian maka fungsi turunan ini dapat 

diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya 

y ′′ = f ′ 

(x) 

yang mungkin masih juga merupakan fungsi x dan masih dapat 

diturunkan lagi untuk memperoleh fungsi turunan berikutnya lagi 

dan demikian seterusnya. 

Contoh: 

y ′′ ′ = f ′′′ 

(x) 

dy 

y ′ = f ′( x) 

= kita sebut turunan pertama, 

dx 

2 

d y 

y = f ′′ ( x) 

= 

2 

dx 

′′ turunan kedua, 

3 

d y 

y = f ′′′ ( x) 

= 

3 

dx 

′′′ turunan ke-tiga, dst. 

3 

y 4 = f4( x) 

= 2x 

′ (3−1) 

2 

(2 1) 

4 2(3) 

6 ; 4′′ 

− 

y = x = x y = 6(2) x = 12x; 

y4 

= 12 

6) Dari (9.4) dan (9.5) kita dapat mencari titik-potong antara kurva suatu 

fungsi dengan kurva fungsi turunannya. 

Fungsi mononom n 

y = f ( x) 

= mx memiliki turunan 

′ ( n−1) 

y = ( m × n) 

x . Koordinat titik potong P antara kurva mononom 

f(x) dengan turunan pertamanya diperoleh dengan 

109

′ n 

( n−1) 

y = y → mx = ( m × n) 

x 

⇒ x P = n dan n 

yP = mxP 

Koordinat titik potong kurva mononom dengan kurva-kurva turunan 

selanjutnya dapat pula dicari. 

Gb.9.4. memperlihatkan kurva mononom 

4 

y = x dan turunanturunannya 

3 

y ′ 2 

= 4x , y ′′ =12x , y ′′ ′ = 24x 

, y ′′′′ = 24 . 

2 

y ′′ = 12x 

4 

y = x 

200 

100 

0 

y ′′ = 12x 

3 

y ′ = 4x 

y ′′′ = 24x 

2 

y ′′′ ′ = 24 

3 

y ′ = 4x 

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 

-100 

9.3. Fungsi Polinom 

Gb.9.4. Mononom dan fungsi turunan-nya. 

Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Kita lihat contohcontoh 

berikut. 

1). y 1 = f1 ( x) 

= 4x 

+ 2 

{ 4( x + ∆x) 

+ 2} − { 4x 

+ 2} 

f1 ′( 

x) 

= lim 

= 4 

∆x→x 

∆x 

Kurva fungsi ini dan turunannya terlihat pada Gb.9.5. 


y 

10 

8 

6 

4 

2 

f 1 (x) = 4x + 2 

f 1 ′(x) = 4 

0 

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 x 2 

-2 

Gb.9.5. f 1 (x) = 4x + 2 dan turunannya. 

Suku yang bernilai konstan pada f 1 (x), berapapun besarnya, positif 

maupun negatif, tidak memberikan kontribusi dalam fungsi turunannya. 

2). y 2 = f2 ( x) 

= 4( x − 2) 

⇒ f 2( 

x) 

= 4x 

− 8 

10 

-10 

-15 

3). 2 

y 3 = f3( 

x) 

= 4x 

+ 2x 

− 5 

y 

⇒ f 2 ′( 

x) 

= 4 

Gb.9.6. f 2 (x) = 4(x – 2) dan turunannya. 

2 

2 

{ 4( x + ∆x) 

+ 2( x + ∆x) 

− 5} − { 4x 

+ 2x 

− 5} 

y3′ 

= lim 

∆x→0 

= 4 × 2x 

+ 2 = 8x 

+ 2 

4). 3 2 

y 4 = f4( 

x) 

= 5x 

+ 4x 

+ 2x 

− 5 

5 

f 2 ′( 

x) 

= 4 

0 

-1 0 1 2 3 

x 

4 

-5 

f 2 ( x) 

= 4( x − 2) 

∆x 

3 

2 

3 2 

{ 5( x + ∆x) 

+ 4( x + ∆x) 

+ 2( x + ∆x) 

− 5} − { 5x 

+ 4x 

+ 2x 

− 5} 

y4′ 

= lim 

∆x→0 

∆x 

2 

2 

= 5 × 3x 

+ 4 × 2x 

+ 2 = 15x 

+ 8x 

+ 2 

-4 

111

5) Secara Umum: Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlah 

beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing 

mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom 

itu memang memiliki turunan. 

9.4. ilai Puncak 

Kita telah melihat bahwa turunan fungsi di suatu nilai x merupakan 

kemiringan garis singgung terhadap kurva fungsi di titik [x,y]. Jika titik 

[x p ,y p ] adalah titik puncak suatu kurva, maka garis singgung di titik 

[x p ,y p ] tersebut akan berupa garis mendatar yang kemiringannya nol. 

Dengan kata lain posisi titik puncak suatu kurva adalah posisi titik di 

mana turunan pertama fungsi bernilai nol. 

Polinom Orde Dua. Kita ambil contoh fungsi polinom orde dua (fungsi 

kuadrat): 

Turunan pertama fungsi ini adalah 

y = 2x 

2 + 15x 

+ 13 

y ′ = 4 x +15 

Jika kita beri y ′ = 0 maka kita dapatkan nilai x p dari titik puncak yaitu 

x p = −(15/4) = −3,75 

Jika nilai x p ini kita masukkan ke fungsi asalnya, maka akan kita 

dapatkan nilai puncak y p . 

2 

y p = 2x 

p + 15xp 

+ 13 

2 

= 2(-3,75) + 15× 

( −3,75) 

+ 13 = −15,125 

Secara umum, x p dari fungsi kuadrat 

dengan membuat 

2 

y = ax + bx + c 

dapat diberoleh 

y ′ = 2 ax + b = 0 

(9.6) 

sehingga diperoleh 

b 

x p = − 

(9.7) 

2a 


Nilai puncak, y p dari fungsi kuadrat 

dengan memasukkan x p 

2 

y = ax + bx + c 

dapat diperoleh 

y 

p 

2 2 

2 b b − 4ac 

= axp 

+ bxp 

+ c = − + c = − 

(9.8) 

4a 

4a 

Maksimum dan Minimum. Bagaimanakah secara umum menentukan 

apakah suatu nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum? 

Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak. Lihat 

Gb.9.7. 

P 

y 

y′ 

y′ 

x 

Q 

Gb.9.7. Garis singgung di sekitar titik puncak. 

Turunan pertama di suatu titik pada kurva adalah garis singgung pada 

kurva di titik tersebut. Di sekitar titik maksimum, mulai dari kiri ke 

kanan, kemiringan garis singgung terus menurun sampai menjadi nol di 

titik puncak kemudian menjadi negatif. Ini berarti turunan pertama y′ di 

sekitar titik maksimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di 

titik maksimum bernilai negatif. 

Sebaliknya, di sekitar titik minimum, mulai dari kiri ke kanan, 

kemiringan garis singgung terus meningkat sampai menjadi nol di titik 

puncak kemudian menjadi positif. Ini berarti turunan pertama y′ di sekitar 

titik minimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di titik 

minimum bernilai positif. 

Jadi apabila turunan kedua di titik puncak bernilai negatif, titik puncak 

tersebut adalah titik maksimum. Apabila turunan kedua di titik puncak 

bernilai positif, titik puncak tersebut adalah titik minimum. 

113

2 

Dalam kasus fungsi kuadrat y = ax + bx + c , turunan pertama adalah 

y ′ = 2 ax + b dan turunan kedua adalah y′ = 2a 

. Jadi pada fungsi 

kuadrat, apabila a bernilai positif maka ia memiliki nilai minimum; jika a 

negatif ia memiliki nilai maksimum. 

Contoh: Kita lihat kembali contoh fungsi kuadrat yang dibahas di 

atas. 

y = 2x 

2 + 15x 

+ 13 

Nilai puncak fungsi ini adalah y p = −15, 125 dan ini merupakan 

nilai minimum, karena turunan keduanya y ′′ = 4 adalah positif. 

Lihat pula Gb.10.5.c. 

Contoh: Kita ubah contoh di atas menjadi: 

y = −2x 

2 + 15x 

+ 13 

Turunan pertama fungsi menjadi 

y ′ = −4 x + 15 , yang jika y′ 

= 0 memberi x p = + 3,75 

Nilai puncak adalah 

y p 

= −2 (3,75)^2 + 15 × 3,75 + 13 = + 41,125 

Turunan kedua adalah y ′′ = −4 

bernilai negatif. Ini berarti 

bahwa nilai puncak tersebut adalah nilai maksimum. 

Contoh: Dua buah bilangan positif berjumlah 20. Kita diminta 

menentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa 

sehingga perkaliannya mencapai nilai maksimum, 

sementara jumlahnya tetap 20. 

Jika salah satu bilangan kita sebut x maka bilangan yang 

lain adalah (20−x). Perkalian antara keduanya menjadi 

2 

y = x( 20 − x) 

= 20x 

− x 

Turunan pertama yang disamakan dengan nol akan 

memberikan nilai x yang memberikan y puncak . 

y ′ = 20 − 2x 

= 0 memberikan x = 10 


dan nilai puncaknya adalah 

y puncak 

= 200 −100 

= 100 

Turunan kedua adalah y ′′ = −2 

; ia bernilai negatif. Jadi 

y puncak yang kita peroleh adalah nilai maksimum; kedua 

bilangan yang dicari adalah 10 dan (20−10) = 10. Kurva 

dari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.9.8. 

120 

y 

100 

80 

60 

40 

20 

-5 -20 0 5 10 15 20 x 25 

-40 

0 

Gb.9.8. Kurva y = x( 20 − x) 

Kurva tersebut memotong sumbu-x di 

y = x( 20 − x) 

= 0 ⇒ x1 = 0 dan x2 

= 20 

Dalam contoh di atas kita memperoleh hanya satu nilai maksimum; 

semua nilai x yang lain akan memberikan nilai y dibawah nilai 

maksimum y puncak yang kita peroleh. Nilai maksimum demikian ini kita 

sebut nilai maksimum absolut. 

Jika seandainya y puncak yang kita peroleh adalah nilai minimum, maka ia 

akan menjadi minimum absolut, seperti pada contoh berikut. 

Contoh: Dua buah bilangan positif berselisih 20. Kita diminta 

menentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa 

sehingga perkaliannya mencapai nilai minimum, sementara 

selisihnya tetap 20. 

Jika salah satu bilangan kita sebut x (positif) maka bilangan 

yang lain adalah (x + 20). Perkalian antara keduanya 

menjadi 

115

y = x( 

x + 20) = x 

2 + 20x 

Turunan pertama yang disamakan dengan nol akan 

memberikan nilai x yang memberikan y puncak . 

y ′ = 2 x + 20 = 0 sehingga x = −10 

dan nilai puncak adalah 

y puncak 

= 100 − 200 = −100 

Turunan kedua adalah y ′′ = + 2 ; ia bernilai positif. Jadi 

y puncak yang kita peroleh adalah nilai minimum; kedua 

bilangan yang dicari adalah −10 dan (−10+20) = +10. 

Kurva fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.9.9. 

y 40 

-25 -20 -15 -10 -5 -20 0 x 5 

-100 

-120 

Gb.9.9. Kurva y = x( x + 20) 

Polinom Orde Tiga. Fungsi pangkat tiga diberikan secara umum oleh 

20 

0 

-40 

-60 

-80 

3 2 

y = ax + bx + cx + d 

(9.10) 

Turunan dari (10.29) adalah 

y ′ = 3ax 

2 + 2bx 

+ c 

(9.11) 

Dengan membuat y ′ = 0 kita akan mendapatkan x p . 

y′ 2 

= 0 = 3axp + 2bxp 

+ c 

Ada dua posisi nilai puncak, yaitu 


x 

p1 

, x 

p2 

− 2b 

± 

= 

− b ± 

= 

b 

2 

3a 

4b 

6a 

2 

− 3ac 

−12ac 

(9.12) 

Dengan memasukkan x p1 dan x p2 ke penyataan fungsi (10.11) kita peroleh 

nilai puncak y p1 dan y p2 . Namun bila x p1 = x p2 berarti dua titik puncak 

berimpit atau kita sebut titik belok. 

Contoh: Kita akan mencari di mana letak titik puncak dari kurva 

3 2 

fungsi y = 2x 

− 3x 

+ 3 dan apakah nilai puncak 

merupakan nilai minimum atau maksimum. 

Jika turunan pertama fungsi ini kita samakan dengan nol, 

akan kita peroleh nilai x di mana puncak-puncak kurva 

terjadi. 

y′ 

= 6x 

2 − 6x 

= 6x( 

x −1) 

= 0 

memberikan x = 0 dan x = 1 

Memasukkan nilai x yang diperoleh ke persamaan asalnya 

memberikan nilai y, yaitu nilai puncaknya. 

x = 0 

x = 1 

memberikan 

memberikan 

y 

y 

puncak 

puncak 

= + 3 

= + 2 

Jadi posisi titik puncak adalah di P[0,3] dan Q[1,2]. Apakah 

nilai puncak y puncak minimum atau maksimum kita lihat dari 

turunan kedua dari fungsi y 

y ′′ = 12x 

− 6 

Untuk x = 0 ⇒ y ′′ = −6 

Untuk x = 1⇒ 

y ′′ = + 6 

Jadi nilai puncak di P[0,3] adalah suatu nilai maksimum, 

sedangkan nilai puncak di Q[1,2] adalah minimum. Kurva 

dari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.9.10. 

117

15 

y 

10 

5 

P[0,3] Q[1,2] 

R 

0 

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 

-5 

x 

-10 

-15 

y s 

9.5. Garis Singgung 

-20 

3 2 

Gb.9.10. Kurva y = 2x 

− 3x 

+ 3 dan garis singgung di R. 

Persamaan garis singgung pada titik R yang terletak di kurva suatu fungsi 

y = f (x) secara umum adalah y s = mx dengan kemiringan m adalah 

turunan pertama fungsi di titik R. 

3 2 

Contoh: Lihat fungsi y = 2x 

− 3x 

+ 3 yang kurvanya diberikan 

pada Gb.9.10. 

Turunan pertama adalah y ′ = 6x 

2 − 6x 

= 6x( 

x −1) 

. Titik R dengan 

absis x R = 2 , memiliki ordinat y R = 2 × 8 − 3 × 4 + 3 = 7 ; jadi 

koordinat R adalah R(2,7). Kemiringan garis singgung di titik R 

adalah m = 6 × 2 × 1= 

12 . 

Persamaan garis singgung y s =12 x + K . Garis ini harus melalui 

R(2,7) dengan kata lain koordinat R harus memenuhi persamaan 

garis singgung. Jika koordinat R kita masukkan ke persamaan 

garis singgung akan kita dapatkan nilai K. 

y s =12 x + K ⇒ 7 = 12 × 2 + K ⇒ K = 7 − 24 = −17 

. 

Persamaan garis singgung di titk R adalah y s = 12x 

−17 


9.6. Contoh Hubungan Diferensial 

Berikut ini adalah beberapa contoh relasi diferensial. (ref. [3] Bab-2) 

Arus Listrik. Arus litrik adalah jumlah muatan listrik yang mengalir per 

detik, melalui suatu luas penampang tertentu. Ia merupakan laju aliran 

muatan. Kalau arus diberi simbol i dan muatan diberi simbol q maka 

dq 

i = 

dt 

Satuan arus adalah ampere (A), satuan muatan adalah coulomb (C). Jadi 

1 A = 1 C/detik. 

Tegangan Listrik. Tegangan listrik didefinisikan sebagai laju perubahan 

energi per satuan muatan. Kalau tegangan diberi simbol v dan energi 

diberi simbol w, maka 

dw 

v = 

dq 

Satuan daya adalah watt (W). Satuan energi adalah joule (J). Jadi 1 W = 

1 J/detik. 

Daya Listrik. Daya listrik didefinisikan sebagai laju perubahan energi. 

Jika daya diberi simbol p maka 

dw 

p = 

dt 

Dari definisi tegangan dan arus kita dapatkan 

dw dw dq 

p = = = vi 

dt dq dt 

Karakteristik Induktor. Karakteristik suatu piranti listrik dinyatakan 

dengan relasi antara arus yang melewati piranti dengan tegangan yang 

ada di terminal piranti tersebut. Jika L adalah induktansi induktor, v L dan 

i L masing-masing adalah tegangan dan arus-nya, maka relasi antara arus 

dan tegangan induktor adalah 

di 

v L 

L 

L = 

dt 

Karakteristik Kapasitor. Untuk kapasitaor, jika C adalah kapasitansi 

kapasitor, v C dan i C adalah tegangan dan arus kapasitor, maka 

i 

C = 

dv 

C 

dt 

c 

119

Soal-Soal 

1. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut untuk kemudian menentukan 

nilai puncak 

2 

y1 

= 5x 

− 10x 

− 7; 

2 

y2 

= 3x 

− 12x 

+ 2 ; 

2 

y3 

= −4x 

+ 2x 

+ 8 

2. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut untuk kemudian menentukan 

nilai puncak 

3 2 

y1 

= 2x 

− 5x 

+ 4x 

− 2 ; 

4 3 2 

y2 

= x − 7x 

+ 2x 

+ 6 ; 

7 3 2 

y3 

= 3x 

− 7x 

+ 21x 


Bab 10 


(Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari 

Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit) 

10.1. Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi 

Misalkan kita memiliki dua fungsi x, v (x) 

dan w (x) 

, dan kita hendak 

mencari turunan terhadap x dari fungsi y = vw . Misalkan nilai x berubah 

sebesar ∆x, maka fungsi w berubah sebesar ∆w, fungsi v berubah sebesar 

∆v, dan fungsi y berubah sebesar ∆y. Perubahan ini terjadi sedemikian 

rupa sehingga setelah perubahan sebesar ∆x hubungan y = vw tetap 

berlaku, yaitu 

( y + ∆y) 

= ( v + ∆v)( 

w + ∆w) 

(10.1) 

= ( vw + v∆w 

+ w∆v 

+ ∆w∆v) 

Dari sini kita dapatkan 

∆ y ( y + ∆y) 

− y ( wv + v∆w 

+ w∆v 

+ ∆w∆v 

− vw 

= 

= 

) 

∆x 

∆x 

∆x 

∆w 

∆v 

∆v∆w 

= v + w + 

∆x 

∆x 

∆x 

Jika ∆x mendekati nol maka demikian pula ∆v dan ∆w, sehingga 

juga mendekati nol. Persamaan (10.2) akan memberikan 

(10.2) 

∆v∆w 

∆x 

dy d( vw) 

dw dv 

= = v + w 

(10.3) 

dx dx dx dx 

Inilah formulasi turunan fungsi yang merupakan hasilkali dari dua 

fungsi. 

Contoh: Kita uji kebenaran formulasi ini dengan melihat suatu fungsi 

mononom 5 

y = 6x yang kita tahu turunannya adalah 4 

y ′ = 30x . Kita 

pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian dua fungsi y = vw 

dengan 3 

v = 2x dan 2 

w = 3x . Menurut (10.3) turunan dari y menjadi 

121

3 2 

d(2x 

× 3x 

) 3 2 2 4 4 4 

y ′ = 

= 2x 

× 6x 

+ 3x 

× 6x 

= 12x 

+ 18x 

= 30x 

dx 

Ternyata sesuai dengan apa yang diharapkan. 

Bagaimanakah 

d ( uvw) 

jika u, v, w ketiganya adalah fungsi x. Kita 

dx 

aplikasikan (10.3) secara bertahap seperti berikut. 

d( 

uvw) 

d( 

uv)( 

w) 

dw d( 

uv) 

= = ( uv) 

+ w 

dx dx dx dx 

dw ⎧ dv du ⎫ 

= ( uv) 

+ w⎨u 

+ v ⎬ 

dx ⎩ dx dx ⎭ 

dw dv du 

= ( uv) 

+ ( uw) 

+ ( vw) 

dx dx dx 

(10.4) 

Contoh: Kita uji formula ini dengan mengambil fungsi penguji 

sebelumnya, yaitu 5 

y = 6x yang kita tahu turunannya adalah 

4 

y ′ = 30x . Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian tiga 

fungsi y = uvw dengan u = 2x 

, 

(10.9) turunan dari y adalah 

2 

v = 3x , dan w = x . Menurut 

dy d( 

uvw) 

2 2 2 

= = (2x 

× 3x 

)(1) + (2x 

× x)(6x) 

dx dx 

2 

4 4 4 4 

+ (3x × x)(4x) 

= 6x 

+ 12x 

+ 12x 

= 30x 

Ternyata sesuai dengan yang kita harapkan. 

10.2. Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi 

Yang dimaksud di sini adalah bagaimana turunan 

dy jika y = v n dengan 

dx 

v adalah fungsi x, dan n adalah bilangan bulat. Kita ambil contoh fungsi 

6 3 2 

y 1 = v = v × v × v dengan v merupakan fungsi x. Jika kita 

aplikasikan formulasi (10.4) akan kita dapatkan 


2 

3 

dy1 

3 2 dv 3 dv 2 dv 

= ( v v ) + ( v v) 

+ ( v v) 

dx dx dx dx 

2 

5 dv 4 ⎛ dv dv ⎞ ⎛ dv dv ⎞ 

3 2 

= v + v ⎜v 

+ v ⎟ + v ⎜v 

+ v ⎟ 

dx ⎝ dx dx ⎠ ⎜ dx dx ⎟ 

⎝ 

⎠ 

5 dv 5 dv 5 dv 4⎛ 

dv dv ⎞ 

= v + 2v 

+ v + v ⎜v 

+ v ⎟ 

dx dx dx ⎝ dx dx ⎠ 

5 

= 6v 

dv 

dx 

Contoh ini memperlihatkan bahwa 

yang secara umum dapat kita tulis 

6 6 

dv dv dv 5 

= = 6v 

dx dv dx 

dv 

n 

dx 

dv 

dx 

n−1 

dv 

= nv 

(10.5) 

dx 

Contoh: Kita ambil contoh yang merupakan gabungan antara 

perkalian dan pangkat dua fungsi. 

2 3 3 2 

y = ( x + 1) ( x −1) 

Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan 

pangkat suatu fungsi. 

dy 

= ( x 

dx 

= ( x 

2 

= 6x 

2 

2 

( x 

= 6x( 

x 

+ 1) 

+ 1) 2( x 

3 

2 

3 

3 

+ 1) ( x 

−1)( 

x 

d( 

x −1) 

dx 

3 

3 

2 

3 

−1)(3x 

3 

+ ( x 

−1) 

+ 6x( 

x 

2 

2 

2 

+ 1) (2x 

) + ( x 

3 

3 

−1) 

3 

3 

2 

+ x −1) 

d( 

x + 1) 

dx 

2 

−1) 

3( x 

2 

2 

2 

−1) 

( x 

2 

3 

+ 1) 2x 

+ 1) 

2 

2 

123

10.3. Fungsi Rasional 

Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi 

v 

y = (10.6) 

w 

Tinjauan atas fungsi demikian ini hanya terbatas pada keadaan w ≠ 0 . 

Kita coba memandang fungsi ini sebagai perkalian dari dua fungsi: 

−1 

y = vw 

(10.7) 

Kalau kita aplikasikan (10.3) pada (10.7) kita peroleh 

atau 

−1 

dy d ⎛ v ⎞ d( 

vw ) dw − 

= ⎜ ⎟ = = v + w 

dx dx ⎝ w ⎠ dx dx 

−2 

dv −1 

dv − v dv 1 dv 

= −vw 

+ w = + 

dx dx 2 

w dx w dx 

1 ⎛ dv dw ⎞ 

= ⎜ w − v ⎟ 

2 

w ⎝ dx dx ⎠ 

d 

dx 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

v 

w 

⎛ dv dw ⎞ 

⎜w 

− v ⎟ 

⎞ ⎝ dx dx ⎠ 

⎟ = 

⎠ 

2 

w 


−1 

1 

dv 

dx 

(10.8) 

Inilah formulasi turunan fungsi rasional. Fungsi v dan w biasanya 

merupakan polinom dengan v mempunyai orde lebih rendah dari w. 

(Pangkat tertinggi peubah x dari v lebih kecil dari pangkat tertinggi 

peubah x dari w). 

Contoh: 

2 

1). 

x − 3 

y = 

3 

x 

2). 

2 1 

2 

y = x + 

x 

3 2 2 

dy x (2x) 

− ( x − 3)(3x 

) 

= 

dx 

6 

x 

4 4 2 2 

2x 

− (3x 

− 9x 

) − x + 9 

= 

= 

6 

4 

x 

x

2 

dy x × 0 −1× 

2x 

2 

= 2x 

+ 

= 2x 

− 

dx 

4 

3 

x 

2 

3). 

x + 1 2 

y = ; dengan x ≠ 1 (agar penyebut tidak nol) 

2 

x −1 

2 

2 

dy ( x −1)2 

x − ( x + 1)2 x 

= 

dx 

2 2 

( x −1) 

3 

3 

2x 

− 2x 

− 2x 

− 2x 

− 4x 

= 

= 

2 2 

2 2 

( x −1) 

( x −1) 

10.4. Fungsi Implisit 

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun 

sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk 

eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita 

pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke 

dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi 

implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat 

didiferensiasi terhadap x. Kita akan mengambil beberapa contoh. 

Contoh: 

1). 2 2 

x + xy + y = 8 . Fungsi implisit ini merupakan sebuah 

persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, 

maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar 

kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di 

kedua ruas, dan kita akan peroleh 

dy dx dy 

2x 

+ x + y + 2y 

= 0 

dx dx dx 

dy 

( x + 2y) 

= −2x 

− y 

dx 

Untuk titik-titik di mana ( x + 2y) 

≠ 0 kita peroleh turunan 

dy 

dx 

= − 

2x 

+ y 

x + 2y 

Untuk suatu titik tertentu, misalnya [1,2], maka 

125

dy 2 + 2 

= − = −0,8 

. 

dx 1 + 4 

Inilah kemiringan garis singgung di titik [1,2] pada kurva fungsi y 

bentuk implisit yang sedang kita hadapi. 

2). 4 3 4 

x + 4xy 

− 3y 

= 4 . Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah 

persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita 

akan memperoleh 

3 

4 

3 dy 3 d(4x) 

d(3y 

) 

4x 

+ 4x 

+ y − = 0 

dx dx dx 

3 2 dy 3 3 dy 

4x 

+ 4x(3y 

) + 4y 

−12y 

= 0 

dx 

dx 

2 3 dy 3 3 

(12xy − 12y 

) = −4( 

x + y ) 

dx 

Di semua titik di mana 2 3 

( xy − y ) ≠ 0 kita dapat memperoleh 

turunan 

3 3 

dy − ( x + y ) 

= 

dx 2 3 

3( xy − y ) 

10.5. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat 

Pada waktu kita mencari turunan fungsi yang merupakan pangkat dari 

suatu fungsi lain, y = v n , kita syaratkan bahwa n adalah bilangan bulat. 

Kita akan melihat sekarang bagaimana jika n merupakan sebuah rasio 

p 

n = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0, serta v adalah 

q 

fungsi yang bisa diturunkan. 

Fungsi (10.9) dapat kita tuliskan 

y 

p / q 

= v 

(10.9) 

q p 

y = v 

(10.10) 

yang merupakan bentuk implisit fungsi y. Jika kita lakukan diferensiasi 

terhadap x di kedua ruas (10.10) kita peroleh 

qy 

dy 

= pv 

dx 

q−1 p−1 


dv 

dx

Jika y ≠ 0, kita dapatkan 

p / q p−1 

dy d( 

v ) pv dv 

= = 

(10.11) 

dx dx q−1 

qy dx 

Akan tetapi dari (10.9) kita lihat bahwa 

sehingga (10.11) menjadi 

y 

p / q q−1 

p−( 

p / ) 

( v ) = v 

q−1 q 

p / q p−1 

dy d( 

v ) pv 

= = 

dx dx p−( 

p / q) 

qv 

= 

= 

= 

p 

q 

p 

q 

( p / q) 

−1 

v 

dv 

dx 

( p−1) 

− p+ 

( p / q) 

v 

dv 

dx 

dv 

dx 

(10.12) 

Formulasi (10.12) ini mirip dengan (10.5), hanya perlu persyaratan 

bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1. 

10.6. Kaidah Rantai 

Apabila kita mempunyai persamaan 

x = f ( t) 

dan y = f ( t) 

(10.13) 

maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian 

disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita 

eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang 

berbentuk 

y = F(x) 

(10.14) 

Bagaimanakah 

dy 

= F ′(x) 

dari (10.14) ber-relasi dengan 

dx 

dy 

dx 

= g′ 

( t) 

dan = f ′( 

t) 

? 

dt 

dt 

Pertanyaan ini terjawab oleh kaidah rantai berikut ini. 

127

Jika y = F(x) 

dapat diturunkan terhadap x dan 

x = f (t) dapat diturunkan terhadap t, maka 

y = F( f ( t) 

) = g( 

t) 

dapat diturunkan terhadap t 

menjadi 

dy dy dx = 

dt dx dt 

(10.15) 

Relasi ini sudah kita kenal. 

10.7. Diferensial dx dan dy 

Pada pembahasan fungsi linier kita tuliskan kemiringan garis, m, sebagai 

∆y 

( y2 

− y1) 

m = = 

∆x 

( x2 

− x1) 

kita lihat kasus jika ∆x mendekati nol namun tidak sama dengan nol. 

Limit ini kita gunakan untuk menyatakan turunan fungsi y(x) terhadap x 

pada formulasi 

dy 

dx 

= 

lim 

∆x→0 

∆y 

= 

∆x 

f ′( 

x) 

Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa 

sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap 

x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan 

fungsi dari x: 

Kita ambil definisi sebagai berikut 

y = F(x) 

(10.16) 

1. dx, kita sebut sebagai diferensial x, merupakan bilangan nyata 

berapapun nilainya, dan merupakan peubah bebas yang lain 

selain x; 

2. dy, kita sebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx 

yang dinyatakan dengan 

dy = F' 

( x) 

dx 

(10.17) 

Kita telah terbiasa menuliskan turunan fungsi y terhadap x sebagai 


dy 

= f ′(x) 

. 

dx 

Perhatikanlah bahwa ini bukanlah rasio dari dy terhadap dx melainkan 

turunan fungsi y terhadap x. Akan tetapi jika kita bersikukuh memandang 

relasi ini sebagai suatu rasio dari dy terhadap dx maka kita juga akan 

memperoleh relasi (10.17), namun sesungguhnya (10.17) didefinisikan 

dan bukan berasal dari relasi ini. 

Pengertian terhadap dy lebih jelas jika dilihat secara geometris seperti 

terlihat pada Gb.10.1. Di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar 

dx satuan, maka di sepanjang garis singgung di titik P nilai y akan 

berubah sebesar dy. Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia 

“mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy 

dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika 

“mengarah ke bawah”. 

y 

y 

dy 

dx 

P dx dy 

P 

θ 

θ 

x 

x 

y 

dx 

P 

dy 

θ 

x 

Gb.10.1. Penjelasan geometris tentang diferensial. 

dy 

= tan θ ; dy = (tan θ) 

dx 

dx 

dy 

1. adalah laju perubahan y terhadap perubahan x. 

dx 

2. dy adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis 

singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah 

sebesar dx skala. 

y 

dy 

dx 

P 

θ 

x 

129

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula 

turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam Tabel-10.1. Dalam 

tabel ini v adalah fungsi x. 

Tabel-10.1 

Turunan Fungsi 

Diferensial 

dc 

1. = 0 ; c = konstan 1. dc = 0 ; c = konstan 

dx 

2. 

dcv dv = c 

2. dcv = cdv 

dx dx 

d( v + w) 

dv dw 

3. = + 

3. d ( v + w) 

= dv + dw 

dx dx dx 

4. 

dvw dw dv 

= v + w 4. d ( vw) 

= vdw + wdv 

dx dx dx 

⎛ v ⎞ 

d⎜ 

⎟ 

⎝ w ⎠ 

5. = 

dx 

dv 

w 

dx 

− v 

2 

w 

dw 

dx 

⎛ 

5. d⎜ 

⎝ 

v 

w 

⎞ wdv − vdw 

⎟ = 

⎠ 

2 

w 

n 

dv 

6. 

dx 

n−1 

dv 

n n−1 

= nv 

6. dv = nv dv 

dx 

−1 

7. 

dcx n 

n 

= cnx 

7. n n−1 

d( 

cx ) = cnx dx 

dx 

Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. 

1. Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri Tabel-10.1), 

kemudian dikalikan dengan dx. 

2. Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan 

Tabel-10.1) 

Kita ambil suatu contoh: cari dy dari fungsi 

3 3 2 − 

y = x − x + 5x 

6 


Turunan y adalah : y ′ = 3x 

2 − 6x 

+ 5 

sehingga 

2 

dy = (3x 

− 6x 

+ 5) 

dx 

Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam 

tabel di atas: 

3 2 

2 

dy = d( 

x ) + d( 

−3x 

) + d(5x) 

+ d( 

−6) 

= 3x 

dx − 6xdx 

+ 5dx 

2 

= (3x 

− 6x 

+ 5) dx 

131

Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut. 

3 2 

y = ( x − 1) ( x + 3) ; 

3 4 

y = ( x − 2x) 

; 

2 2 −3 

y = ( x + 2) ( x + 1) 

2x 

+ 1 

y = ; 

2 

x − 1 

2 

⎛ x + 1⎞ 

y = ⎜ ⎟ ; 

⎝ x − 1⎠ 

2x 

y = 

2 

3x 

+ 1 

2xy 

+ y 

x 

x 

2 

3 

y 

2 

+ y 

3 

2 

= x 

= 1; 

x − y 

= 2 

x − 2y 

= x + y; 

2 

+ y 

2 

; 


Bab 11 


(Fungsi-Fungsi Trigonometri, Trigonometri 

Inversi, Logaritmik, Eksponensial) 

11.1. Turunan Fungsi Trigonometri 

Jika 

y = sin x maka 

dy d sin x sin( x + ∆x) 

− sin x 

= = 

dx dx 

∆x 

sin x cos∆x 

+ cos xsin 

∆x 

− sin x 

= 

∆x 

Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh 

karena itu 

Jika 

y = cos x maka 

d sin x = cos x 

(11.1) 

dx 

dy d cos x cos( x + ∆x) 

− cos x cos x cos ∆x 

− sin xsin 

∆x 

− cos x 

= = 

= 

dx dx 

∆x 

∆x 

Jik ∆x menuju nol, maka sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh karena itu 

d cos x 

= − sin x 

(11.2) 

dx 

Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari. 

2 

d tan x d ⎛ sin x ⎞ cos x − sin x( 

−sin 

x) 

1 2 

= ⎜ ⎟ = 

= = sec x 

dx dx cos x 

2 

2 

⎝ ⎠ cos x cos x 

2 

d 2 

cot x d ⎛ cos x ⎞ − sin 

= ⎜ ⎟ = 

dx dx ⎝ sin x ⎠ 

d sec x 

= 

dx 

d csc x 

= 

dx 

d 

dx 

d 

dx 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

x − cos x(cos 

x) 

−1 

= = −csc 

2 

2 

sin x sin x 

1 ⎞ 0 − ( −sin 

x) 

sin x 

⎟ = 

= = sec x tan x 

cos x 

2 

2 

⎠ cos x cos x 

1 ⎞ 0 − (cos x) 

− cos x 

⎟ = = = −csc 

x cot x 

sin x 2 

2 

⎠ sin x sin x 

x 

133

Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut. 

2 

y = tan( 4x 

) ; y = 5sin (3x) ; y = 3cos 

y = cot(3x 

+ 6) ; 

4 

4 

2 

3 

y = sin (2x) 

− cos(2x) 

y = sec x − tan x ; y = (csc x + cot x) 

Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekayasa. Berikut ini kita akan melihat 

turunan fungsi trigonometri dalam rangkaian listrik. (ref. [3] Bab-4). 

1). Tegangan pada suatu kapasitor merupakan fungsi sinus v C = 

200sin400t volt. Kita akan melihat bentuk arus yang mengalir pada 

kapasitor yang memiliki kapasitansi C = 2×10 -6 farad ini. 

Hubungan antara tegangan kapasitor v C dan arus kapasitor i C adalah 

i 

C = 

Arus yang melalui kapasitor adalah 

dv 

d 

dt 

dv 

C 

dt 

6 

C 

C 

C = = 2 × 10 × 

= 

i 

dt 

C 

2 

( 200sin 400t) 0,160cos400t 

ampere 

Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daya yang diserap 

kapasitor adalah 

pC 

= vCiC 

= 200sin 400t 

× 0,16cos 400t 

= 32cos 400t 

sin 400t 

= 16sin 800t 

watt 

Bentuk kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di bawah ini. 

v C 

i C 

p C 

200 

100 

i C 

v C 

p C 

2 

x 

-100 

0 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 

t [detik] 

-200 

Pada waktu tegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai 

menurun dari nilai maksimumnya. Dengan kata lain kurva arus 

mencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari kurva tegangan; dikatakan 


ahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaan 

kemunculan ini disebut perbedaan fasa yang untuk kapasitor 

besarnya adalah 90 o ; jadi arus mendahului tegangan dengan beda 

fasa sebesar 90 o . 

Kurva daya bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kali 

lipat dari frekuensi tegangan maupun arus. Variasi ini simetris 

terhadap sumbu waktu. Kapasitor menyerap daya selama setengah 

perioda dan memberikan daya selama setengah perioda berikutnya. 

Secara keseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; daya ini 

disebut daya reaktif. 

2). Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus 

terhadap waktu sebagai i L = −0,2cos400t ampere. Berapakah 

tegangan antara ujung-ujung induktor dan daya yang diserapnya ? 

Hubungan antara tegangan induktor v L dan arus induktor i L adalah 

diL 

vL = L 

dt 

diL 

d 

vL = L = 2 ,5 × − 0,2 cos 400t 

= 2,5 × 0,2 × sin 400t 

× 400 = 200sin 400 

dt dt 

( ) t 

Daya yang diserap inductor adalag tegangan kali arusnya. 

pL 

= vLiL 

= 200sin 400t 

× ( −0.2cos 400t) 

= −40sin 400t 

cos 400t 

= −20sin 800t 

W 

Kurva tegangan, arus, dan daya adalah sebagai berikut. 

v L 

i L 

p L 

200 

100 

v L i L 

p L 

0 

0 

-100 

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik] 

-200 

Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal dari 

kurva arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih sering 

dikatakan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini merupakan 

kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90 o , artinya 

arus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 90 o . 

Daya bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu, 

yang berarti tak terjadi transfer energi netto; ini adalah daya reaktif. 

135

11.2. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi 

1) y = sin −1 x 

1 

y 

2 

1 − x 

x 

x = sin y ⇒ dx = cos ydy ⇒ 

dy 

dx 

= 

1 

1 − x 

2 

dy 

dx 

= 

1 

cos 

y 

2) y = cos −1 x 

3) y = tan −1 x 

4) y = cot −1 x 

1 2 

1 − x 

y 

x 

2 

1+ 

x 

y 

1 

2 

1+ 

x 

y 

x 

x 

1 

x = cos y ⇒ dx = −sin 

ydy ⇒ 

dy −1 

= 

dx sin y 

dy 

dx 

= 

−1 

1 − x 

1 

x = tan y ⇒ dx = dy ⇒ 

2 

cos y 

dy = cos 

2 y 

dx 

dy 1 

= 

dx 1+ 

x 

2 

−1 

x = cot y ⇒ dx = dy ⇒ 

2 

sin y 

dy = −sin 

2 y 

dx 

dy 

dx 

−1 

= 

1+ 

x 

2 

2 


5) y = sec −1 x ⇒ 

x 

y 

1 

1 

0 − ( −sin 

x) 

x = sec y = ⇒ dx = 

dy 

cos y 

2 

cos y 

2 

dy cos y 1 ⎛ ⎞ 

⎜ x 

= = × ⎟ 

x 2 − 1 dx sin y 2 

x ⎜ 2 ⎟ 

⎝ x − 1 ⎠ 

1 

= 

2 

x x − 1 

6) y = csc −1 x 

x 

y 

x 2 − 1 

1 

1 0 − (cos x) 

x = csc y = ⇒ dx = dy 

sin y 

2 

sin y 

2 

dy sin y 1 

= = − × 

dx − cos y 2 

x 

= 

x 

− 1 

x 

2 

− 1 

x 

x 

2 

− 1 

Soal-Soal 

1). Jika α = sin −1 

(0.5) 

carilah cos α , tan α , sec α , dan csc α . 

− 

2). Jika α = cos 1 ( −0.5) 

carilah 

sin α , tan α , sec α , dan csc α . 

−1 

−1 

3). Hitunglah sin (1) − sin ( −1) 

. 

−1 

−1 

4). Hitunglah tan (1) − tan ( −1) 

. 

−1 

−1 

5). Hitunglah sec (2) − sec ( −2) 

. 

11.3. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi 

Jika v = f(x), maka 

d(sin 

v) 

d(sin 

v) 

= 

dx dv 

d(cosv) 

d(cosv) 

= 

dx dv 

dv 

dx 

dv 

dx 

= cosv 

dv 

dx 

= −sin 

v 

dv 

dx 

137

Jika w = f(x), maka 

d(tan 

v) 

d ⎛ sin v ⎞ cos x + sin x dv 2 

= ⎜ ⎟ = 

= sec v 

dx dx cosv 

2 

⎝ ⎠ cos x dx 

d 2 

(cot v) 

d ⎛ cosv 

⎞ dv 

= ⎜ ⎟ = −csc 

v . (Buktikan!). 

dx dx ⎝ sin v ⎠ dx 

d(secv) 

= 

dx 

d 

dx 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 

cos 

2 

⎞ 0 + sin v 

⎟ = 

v 2 

⎠ cos v 

dv 

dx 

2 

= secv 

tan v 

dv 

dx 

d(cscv) 

d ⎛ 1 ⎞ 

dv 

= ⎜ ⎟ = −cscv 

cot v . (Buktikan!). 

dx dx ⎝ sin v ⎠ 

dx 

−1 

d(sin 

w) 

= 

dx 

−1 

d(cos 

w) 

= − 

dx 

−1 

d(tan 

dx 

−1 

d(cot 

dx 

−1 

d(sec 

dx 

−1 

d(csc 

dx 

1 

1 − w 

w) 

1 

= 

1 + w 

1 

2 

1 − w 

2 

w) 

1 

= − 

1 + w 

w) 

= 

w 

w) 

= − 

w 

1 

w 

2 

dw 

dx 

2 

dw 

dx 

2 

1 

w 

dw 

dx 

−1 

2 

dw 

dx 

. (Buktikan!). 




dw 

dx 


dw 


−1 

dx 

dv 

dx 

Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut. 

y = sin 

−1 

1 

y = tan 

3 

(0,5x) ; 

−1 

x 

; 

3 

y = cos 

y = sec 

−1 

−1 

(2x) 

4x 


11.4. Turunan Fungsi Logaritmik 

Walaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telah 

mengetahui bahwa fungsi f ( x) 

= ln x didefinisikan melalui suatu 

integrasi (lihat bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.1) 

x 1 

f ( x) 

= ln x = 

∫ 

dt ( x > 0) 

1 t 

y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, di 

selang antara t = 1 dan t = x pada Gb.11.1. 

6 

5 

y 

4 

3 

2 

1 

1/t lnx 

ln(x+∆x)−lnx 

Kita lihat pula 

0 

0 1 2 x 3 t 

x 

4 

1/x 

x+∆x 1/(x+∆x) 

Gb.11.1. Definisi lnx dan turunan lnx secara grafis. 

ln( x + ∆x) 

− ln( x) 

1 ⎛ ∆ ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

∆ ∆ ∫ 

x+ x 1 

dt 

(11.3) 

x x ⎝ x t ⎠ 

Apa yang berada dalam tanda kurung (11.3) adalah luas bidang yang 

dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, antara t = x dan t = x + ∆x. Luas 

bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika 

∆x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (∆x × 1/x); 

dan jika ∆x mendekati nol luas tersebut sama dengan (∆x × 1/x). Pada 

keadaan batas ini (11.3) akan bernilai (1/x). Jadi 

d ln x 1 = (11.4) 

dx x 

139

Jika v adalah v = f(x), kita mencari turunan dari lnv dengan 

memanfaatkan kaidah rantai. Kita ambil contoh: v = 3x 

2 + 4 

d ln v d ln v 

= 

dx dv 

dv 

dx 

1 d(3x 

+ 4) 6x 

= 

= 

2 

2 

3x 

+ 4 dx 3x 

+ 4 


ln( 2 

x 

y = x + 2x) ; y = ln ; y = ln(cos x) ; y = ln(ln x) 

2 + 2x 

11.5. Turunan Fungsi Eksponensial 

Fungsi eksponensial berbentuk 


2 

x 

y = e 

(11.5) 

Persamaan (11.5) berarti ln y = x ln e = x , dan jika kita lakukan 

penurunan secara implisit di kedua sisinya akan kita dapatkan 

d ln y 1 

= 

dx y 

dy 

dx 

= 1 

atau 

dy 

dx 

x 

= = 

(11.6) 

Jadi turunan dari e x adalah e x itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial yang 

tidak berubah terhadap operasi penurunan yang berarti bahwa penurunan 

dapat dilakukan beberapa kali tanpa mengubah bentuk fungsi. Turunanturunan 

dari 

x 

y = e adalah 

x 

y ′ 

x 

= e y ′′ 

x 

= e y ′′′ 

= e dst. 

Formula yang lebih umum adalah jika eksponennya merupakan suatu 

fungsi, v = v(x) 

. 

Kita ambil contoh: 

y = e 

v 

v 

y 

e 

de de dv v dv 

= = e 

(11.7) 

dx dv dx dx 

tan −1 x 

dy tan 

= e 

dx 

−1 

x 

d tan 

−1 

−1 

tan x 

x e 

= 

dx 

2 

+ x 


x −x 

x −x 

2 x e − e e − e 

−1 

sin x 1/ x 

y = x e ; y = ; y = ; y = e ; y = e 

2 

x −x 

e + e 

1

Bab 12 

Integral (1) 

(Macam Integral, Pendekatan umerik) 

Dalam bab sebelumnya, kita mempelajari salah satu bagian utama 

kalkulus, yaitu kalkulus diferensial. Berikut ini kita akan membahas 

bagian utama kedua, yaitu kalkulus integral. 

Dalam pengertian sehari-hari, kata “integral” mengandung arti 

“keseluruhan”. Istilah “mengintegrasi” bisa berarti “menunjukkan 

keseluruhan” atau “memberikan total”; dalam matematika berarti 

“menemukan fungsi yang turunannya diketahui”. 

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui kita diminta untuk 

mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x 

tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan 

dy = f (x) 

(12.1) 

dx 

Persamaan seperti (12.1) ini, yang menyatakan turunan fungsi sebagai 

fungsi x (dalam beberapa hal ia mungkin juga merupakan fungsi x dan y) 

disebut persamaan diferensial. Sebagai contoh: 

dy 2 

= 2x 

+ 5x 

+ 6 

dx 

2 

d y dy 2 2 

+ 6xy 

+ 3x 

y = 0 

2 

dx dx 

Pembahasan yang akan kita lakukan hanya mengenai bentuk persamaan 

diferensial seperti contoh yang pertama. 

12.1. Integral Tak Tentu 

Suatu fungsi y = F(x) 

dikatakan sebagai solusi dari persamaan 

diferensial (12.1) jika dalam rentang a< x dan 

dapat memenuhi 

dF( 

x) 

= f ( x) 

(12.2) 

dx 

Perhatikan bahwa jika F(x) memenuhi (12.2) maka F ( x) 

+ K dengan K 

adalah suatu nilai tetapan sembarang, juga akan memenuhi (12.2) sebab 

141

d 

[ F( 

x) 

+ K] 

dx 

dF( 

x) 

dK 

= + 

dx dx 

Jadi secara umum dapat kita tuliskan 

dF( 

x) 

= + 0 

dx 

(12.3) 

∫ 

f ( x) 

dx = F( 

x) 

+ K 

(12.4) 

yang kita baca: integral f(x) dx adalah F(x) ditambah K. 

Persamaan (12.2) dapat pula kita tulisan dalam bentuk diferensial, yaitu 

dF ( x) 

= f ( x) 

dx 

yang jika integrasi dilakukan pada ruas kiri dan kanan akan memberikan 

∫ 

dF x) 

= 

∫ 

f ( x) 

dx 

( (12.5) 

Jika kita bandingkan (12.5) dan (12.4), kita dapat menyimpulkan bahwa 

∫ 

dF ( x) 

= F( 

x) 

+ K 

(12. 6) 

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri 

ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak 

tentu; masih ada nilai tetapan K yang harus dicari. 

Kita ambil dua contoh untuk inegrasi integrasi tak tentu ini 

1) Cari solusi persamaan diferensial 

dy = 5x 

dx 

Kita tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk diferensial 

dy = 5x 

Menurut relasi (9.4) dan (9.5) di Bab-9, 

Oleh karena itu 

5 


4 

d( x ) = 5x 

dx 

4 

dx 

4 

5 5 

y = 

∫ 

5 x dx = 

∫ 

d( 

x ) = x + K 

2). Carilah solusi persamaan dy = x 

2 y 

dx 

Kita tuliskan dalam bentuk diferensial 

4 

2 

dy = x ydx 

dan kita 

kelompokkan peubah dalam persamaan ini sehingga ruas kiri

mengandung hanya peubah tak bebas y dan ruas kanan hanya 

mengandung peubah bebas x. Proses ini kita lakukan dengan membagi 

kedua ruas dengan √y. 

y 

−1 / 2 

dy = x 

Ruas kiri memberikan diferensial d( 2y 

) y dy 

memberikan diferensial 

2 

dx 

1/ 2 −1/ 

2 

= dan ruas kanan 

⎛ 1 3 ⎞ 2 

d⎜ 

x ⎟ = x dx , sehingga 

⎝ 3 ⎠ 

( 1/ 2 ⎛ 1 3 ⎞ 

2y 

) = d⎜ 

x ⎟ 

⎠ 

d 

⎝ 3 

Jika kedua ruas diintegrasi, diperoleh 

1 

2y + K 

3 

1/ 2 

3 

+ K1 

= x 2 atau 

1 / 2 1 3 

1 3 

2 y = x + K2 

− K1 

= x + K 

3 

3 

Dua contoh telah kita lihat. Dalam proses integrasi seperti di atas terasa 

adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. 

Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan 

tersebut. 

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta 

sembarang K. 

∫ 

dy = y + K 

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat 

dikeluarkan 

∫ 

ady = a∫ 

dy 

3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari y n dy diperoleh dengan 

menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya 

dengan (n + 1). 

n+ 

1 

n y 

∫ 

y dy = + K, 

jika n ≠ −1 

n + 1 

Penggunaan Integral Tak Tentu. Dalam integral tak tentu, terdapat 

suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti 

143

ahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan 

banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K. 

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan 

menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal. 

Kita akan mencoba memahami melalui pengamatan kurva. Jika kita 

2 

gambarkan kurva y = 10x kita akan mendapatkan kurva bernilai 

tunggal seperti Gb.12.1.a. Akan tetapi jika kita melakukan integrasi 

10x 

∫ 

3 dx tidak hanya satu kurva yang dapat memenuhi syarat akan 

3 

tetapi banyak kurva seperti pada Gb.12.1.b; kita akan mendapatkan satu 

kurva jika K dapat ditentukan. 

y i = 10x 2 +K i 

y = 10x 2 50 

100 

y 

100 

y 

50 

K 3 

K 2 

K 1 

-5 -3 -1 1 3 x 5 -5 -3 -1 1 3 x 5 

a) b) 

Gb.12.1. Integral tak tentu memberikan banyak solusi. 

Sebagai contoh kita akan menentukan posisi benda yang bergerak dengan 

kecepatan sebagai fungsi waktu yang diketahui. Kecepatan sebuah benda 

bergerak dinyatakan sebagai v = at = 3t 

, dengan v adalah kecepatan, a 

adalah percepatan yang dalam soal ini bernilai 3, t waktu. Kalau posisi 

awal benda adalah s 0 = 3 pada waktu t = 0, tentukanlah posisi benda 

pada t = 4. 

Kita ingat pengertian-pengertian dalam mekanika bahwa kecepatan 

ds 

adalah laju perubahan jarak, v = ; sedangkan percepatan adalah laju 

dt 

dv 

perubahan kecepatan, a = . Karena kecepatan sebagai fungsi t 

dt 

diketahui, dan kita akan mencari posisi (jarak), maka kita gunakan relasi 

ds 

v = yang memberikan ds = vdt 

dt 


sehingga integrasinya memberikan 

2 

t 

2 

s = 

∫ 

atdt = 3 + K = 1,5t 

+ K 

2 

Kita terapkan sekarang kondisi awal, yaitu s 0 = 3 pada t = 0. 

3 = 0 + K yang memberikan K = 3 

Dengan demikian maka s sebagai fungsi t menjadi s = 1,5t 

2 + 3 

sehingga pada t = 4 posisi benda adalah s 4 = 27 

Luas Sebagai Suatu Integral. Kita akan mencari luas bidang yang 

dibatasi oleh suatu kurva y = f (x) 

, sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x 

= q. Sebagai contoh pertama kita ambil fungsi tetapan y = 2 seperti 

terlihat pada Gb.12.2. 

2 

y 

y = f(x) =2 

A px 

∆A px 

0 

Gb.12.2. Mencari luas bidang di bawah y = 2. 

Jika luas dari p sampai x adalah A px , dan kita bisa mencari fungsi 

pertambahan luas ∆A px yaitu pertambahan luas jika x bertambah menjadi 

x+∆x, maka kita dapat menggunakan fungsi pertambahan tersebut mulai 

dari x = p sampai x = q untuk memperoleh A pq yaitu luas dari p sampai q. 

Pertambahan luas yang dimaksud tentulah 

∆A px 

∆A px = 2 ∆x atau = 2 = f ( x) 

∆x 

Jika ∆x diperkecil menuju nol maka kita dapatkan limit 

lim 

∆x→0 

Dari (12.8) kita peroleh 

A 

p x x+∆x q 

∆A 

px 

∆x 

dA 

= 

dx 

px 

= f ( x) 

= 2 

(12.7) 

(12.8) 

= 

∫ 

dApx 

= 

∫ 

2 dx = 2x 

K 

(12.9) 

px + 

x 

145

Kondisi awal (kondisi batas) adalah A px = 0 untuk x = p. Jika kondisi ini 

kita terapkan pada (12.9) kita akan memperoleh nilai K yaitu 

sehingga 

0 = 2 p + K atau K = −2 

p 

(12.10) 

A px = 2x 

− 2 p 

(12.11) 

Kita mendapatkan luas A px (yang dihitung mulai dari x = p) merupakan 

fungsi x. Jika perhitungan diteruskan sampai x = q kita peroleh 

A pq 

= 2q 

− 2 p = 2( q − p) 

(12.12) 

Inilah hasil yang kita peroleh, yang sudah kita kenal dalam planimetri 

yang menyatakan bahwa luas segi empat adalah panjang kali lebar yang 

dalam kasus kita ini panjang adalah (q − p) dan lebar adalah 2. 

Bagaimanakah jika kurva yang kita hadapi bukan kurva dari fungsi 

tetapan? Kita lihat kasus fungsi sembarang dengan syarat bahwa ia 

kontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q seperti digambarkan pada Gb.12.3. 

y 

f(x) 

f(x+∆x ) 

y = f(x) 

A px 

∆A px 

Gb.12.3. Fungsi sembarang kontinyu dalam a ≤ x ≤ b 

Dalam kasus ini, ∆A px bisa memiliki dua nilai tergantung dari apakah 

dalam menghitungnya kita memilih ∆A px = f(x)∆x atau ∆A px = f(x+∆x)∆x. 

Namun kita akan mempunyai nilai 

∆ = f ( x) 

∆x 

≤ f ( x0 ) ∆x 

≤ f ( x + ∆x) 

∆x 

(12.13) 

A px 

dengan x 0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x. Jika ∆x 

kita buat mendekati nol kita akan mempunyai 

∆ = f ( x) 

∆x 

= f ( x0 ) ∆x 

= f ( x + ∆x) 

∆x 

(12.14) 

A px 

0 

p x x+∆x q 

Dengan demikian kita akan mendapatkan limit 

x 


lim 

∆x→0 

Dari sini kita peroleh 

A 

∆A 

px 

∆x 

dA 

= 

dx 

px 

= f ( x) 

(12.15) 

= 

∫ 

dApx 

= 

∫ 

f ( x) 

dx = F( 

x) 

K 

(12.16) 

px + 

Dengan memasukkan kondisi awal A px = 0 untuk x = p dan kemudian 

memasukkan nilai x = q kita akan memperoleh 

A 

pq = F( q) 

− F( 

p) 

= F( 

x) 

] q p 

(12.17) 

12.2. Integral Tentu 

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. 

Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai 

suatu limit. Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu 

kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang 

diarsir pada Gb.12.4.a. 

Sebutlah luas bidang ini A pq . Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan 

kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian 

menjumlahkannya untuk memperoleh A pq . Jika penjumlahan luas segmen 

kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada 

Gb.12.4.b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luas 

yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini A pqb (jumlah luas 

segmen bawah). 

Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas 

segmen seperti tergambar pada Gb.12.4.c, kita akan memperoleh luas 

yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas 

segmen ini A pqa (jumlah luas segmen atas). 

Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan 

terjadinya error. Antara A pqb dan A pqa ada selisih seperti terlihat pada 

Gb.12.4.d. Jika x 0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen kek, 

yaitu antara x k dan (x k +∆x), maka berlaku 

f ( x ) ≤ f ( x0 ) ≤ f ( x + ∆x) 

(12.18) 

k 

k 

k 

147

y 

y = f(x) 

(a) 

0 

p x 2 x k x k+1 x n 

x 

y 

y = f(x) 

(b) 

0 


x 

y 

y = f(x) 

(c) 

0 

y 


y = f(x) 

x 

(d) 0 p x 2 x k x k+1 x n x 

Gb.12.4. Menghitung luas bidang di bawah kurva. 

Jika pertidaksamaan (12.18) dikalikan dengan ∆x k yang yang cukup kecil 

dan bernilai positif, maka 

f 

( xk 

) ∆ xk 

≤ f ( x0 k ) ∆xk 

≤ f ( xk 

+ ∆x) 

∆xk 

(12.19) 

Jika luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (12.19) kita 

jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita 

buat), kita akan memperoleh 


n 

n 

n 

∑ f ( xk 

) ∆xk 

≤∑ 

f ( x0k 

) ∆xk 

≤ ∑ f ( xk 

+ ∆x) 

∆xk 

(12.20) 

k = 1 

k = 1 

k = 1 

Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, A pqb ; ruas paling 

kanan adalah jumlah luas segmen atas, A pqa ; ruas yang di tengah adalah 

jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan A n . Jelaslah bahwa 

A 

pqb ≤ An 

≤ Apqa 

(12.21) 

Nilai A n dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita 

cari. Error yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. Jika n 

kita perbesar menuju tak hingga dan semua ∆x k menuju nol, maka luas 

bidang yang kita cari adalah 

A 

pq = lim Apqb 

= lim An 

= lim Apqa 

(12.22) 

∆x 

→0 

∆x 

→0 

∆x 

→ 

k k 

k 

0 

Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit 

yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau 

atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu, 

dituliskan 

∫ 

A f ( x) 

dx 

(12.23) 

= q pq 

p 

Integral tertentu (12.23) ini terkait dengan integral tak tentu (9.12) 

A 

pq 

q 

= 

∫ 

f ( x) 

dx = F( 

x) 

] = F( 

q) 

− F( 

p) 

(12.24) 

p 

q 

p 

Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah, 

penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan 

dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan: 

a. integrasi untuk memperoleh F ( x) 

= 

∫ 

f ( x) 

dx ; 

b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q); 

c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p); 

d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) − F(p). 

Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang 

bernilai positif dalam rentang p ≤ x ≤ q , namun pembahasan itu 

berlaku pula untuk fungsi yang dalam rentang p ≤ x ≤ q sempat 

bernilai negatif. Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang 

disebut dengan A px dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang 

baru ini akan berlaku umum, yaitu 

149

A px adalah luas bidang yang dibatasi oleh y = f (x) 


sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian 

yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian 

yang di bawah sumbu-x. 

Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 13.2. Kita akan 

menghitung luas antara y = x 

3 −12x 

dan sumbu-x dari x = −3 sampai x 

= +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.12.5. 

3 − 

y = x 12 x 

20 

Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-x 

dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian 

yang di atas sumbu-x kita mempunyai luas 

0 

0 

4 

3 x ⎤ 

2 

A a = 

∫ 

( x −12x) 

dx = − 6x 

⎥ = −0 

− (20,25 − 54) = 33,75 

−3 

4 ⎥⎦ 

−3 

Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan 

3 

3 

4 

3 x ⎤ 

2 

A b = 

∫ 

( x −12x) 

dx = − 6x 

⎥ = 20,25 − 54 − (0) = −33,75 

0 

4 ⎥⎦ 

0 

Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-x 

dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x 

A 

- 20 

Gb.12.5. Kurva y = x 

3 −12x 

pq 

0 

x 

- 4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 

= Aa 

− Ab 

10 

- 10 

= 33 ,75 − ( −33,755) 

= 67,5 

Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai 

A px , formulasi 

q 

A = 

∫ 

f ( x) 

dx = F( 

q) 

− F( p) 

) 

p 

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di 

bawah sumbu-x. 


Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.12.6. kita 

dapatkan 

A pq = −A 

+ 

1 + A2 

− A3 

A4 

yang kita peroleh dari A f ( x) 

dx = F( 

q) 

− F( p) 

) 

pq 

= 

∫ 

q 

p 

y 

y = f(x) 

p 

A 1 

A 2 

A 3 

A 4 

q 

x 

Gb.12.6. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik. 

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Kita akan menghitung luas bidang 

di antara kurva y 1 = f1 ( x) 

dan y 2 = f2 ( x) 

pada batas antara x = p dan x 

= q . Kurva yang kita hadapi sudah barang tentu harus kontinyu dalam 

rentang p ≤ x ≤ q . Kita tetapkan bahwa kurva y 1 = f1 ( x) 

berada di atas 

y 2 = f2 ( x) 

meskipun mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang 

berada di bawah sumbu-x. Perhatikan Gb.12.7. 

y 

y 1 

p 0 

x x+∆x 

q 

y 2 

x 

Gb.12.7. Menghitung luas bidang antara dua kurva. 

Rentang p ≤ x ≤ q kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya 

diperlihatkan pada Gb.12.7. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x), 

dimana ∆ x = ( q − p) 

/ n . 

151

Luas segmen dapat didekati dengan 

A segmen = { f1 ( x) 

− f2( 

x) 

} ∆x 

(12.25) 

yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh 

n 

x= 

q−∆x 

∑ A segmen = ∑{ f1 ( x) 

− f2( 

x) 

} ∆x 

(12.25) 

1 

x= 

p 

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita 

sampai pada suatu limit 

n→∞ 

q 

A pq = lim ∑ Asegmen 

= 

∫ { f1( 

x) 

− f2( 

x) 

} dx (12.26) 

p 

1 

Kita lihat beberapa contoh. 

1). Jika y 1 = 4 dan y 2 = − 2 berapakah luas bidang antara y 1 dan y 2 

dari x 1 = p = −2 sampai x 2 = q = +3. 

+ 3 

+ 3 

A pq = 

∫ 

({ 4 − ( −2) 

} dx = 6x] − 2 = 18 − ( −12) 

= 30 

−2 

Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas 

yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar y 1 − y2 

= 6 

dan panjang x 2 − x1 

= 5 . 

2 

2). Jika y 1 = x dan y 2 = 4 berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1 

dan y 2 . 

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada 

perpotongan antara y 1 dan y 2 . 

2 

y 1 = y2 

→ x = 4 ⇒ x1 

= p = −2, 

x2 

= q = 2 

Perhatikan bahwa y 1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak 

minimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian 

kurva y 1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada 

di di bawah y 2 = 4. 

2 

2 

⎛ 3 ⎞⎤ 

2 

8 8 16 16 32 

(4 ) ⎜ 

x ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ − 

A pq = 4 ⎟⎥ 

∫ 

− x dx = x − = ⎜8 

− ⎟ − ⎜− 

8 − ⎟ = − = 

− 2 

⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠⎥ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3 3 

⎦-2 

Jika kita terbalik dalam memandang posisi y 1 terhadap y 2 kita akan 

melakukan kesalahan: 


2 

2 

⎛ 3 ⎞⎤ 

2 

8 8 16 16 

* ( 4) ⎜ 

x 

⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ − + 

A pq = 4 ⎟⎥ 

∫ 

x − dx = − x = ⎜ − 8⎟ − ⎜ + 8⎟ 

= − = 0 

− 2 

⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠⎥ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3 

⎦-2 

2 

3). Jika y 1 = −x 

+ 2 dan y2 = −x 

berapakah luas bidang yang 

dibatasi oleh y 1 dan y 2 . 

Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi 

y 1 adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yang 

memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y 2 adalah garis lurus 

melalui titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yang 

berarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka 

bagian kurva y 1 yang membatasi bidang yang akan kita cari 

luasnya berada di atas y 2 . 

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva. 

y = y 

1 

2 

⇒ −x 

2 

+ 2 = −x 

atau 

− x 

2 

+ x + 2 = 0 

2 

2 

−1 

+ 1 + 8 

−1 

− 1 + 8 

x1 

= p = 

= −1; 

x2 

= q = 

= 2 

− 2 

− 2 

2 

2 

⎛ 3 2 ⎞⎤ 

2 

( 2 ) ⎜ x x 

A 2 ⎟ 

pq = 

⎥ 

∫ 

−x 

+ + x dx = − + + x 

−1 

⎜ 3 2 ⎟ 

⎝ 

⎠⎥ 

⎦−1 

⎛ 8 ⎞ ⎛ −1 

1 ⎞ 

= ⎜− 

+ 2 + 4⎟ 

− ⎜− 

+ − 2⎟ = 4,5 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ 

Penerapan Integral Tentu. Pembahasan di atas terfokus pada 

penghitungan luas bidang di bawah suatu kurva. Dalam praktik kita tidak 

selalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis, 

yang berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat 

pula divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan 

ordinat dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian 

seolah-olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua 

contoh dalam kelistrikan. 

1). Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 

200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 

jam ? 

153

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p 

dan energi diberi simbol w, maka 

dw 

p = yang memberikan w = 

dt 

∫ 

pdt 

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau 

batas bawah dari wktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, 

dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap 

selama 8 jam adalah 

8 8 

w = 

∫ 

pdt = 100 = 100 

0 ∫ 

dt t 

0 

8 

0 

= 800 Watt.hour [Wh] 

= 0,8 kilo Watt hour [kWh] 

2). Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai 

i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang 

dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ? 

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q. 

dq 

i = sehingga q = 

dt ∫ 

idt 

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah 

5 5 

5 

0,05 2 1,25 

q = 

∫ 

idt = 0,05 = = = 0,625 coulomb 

0 ∫ 

tdt t 

0 2 0 2 

Pendekatan umerik. Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita 

fahami bahwa langkah-langkah dalam menghitung suatu integral adalah: 

1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses 

perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar, 

∆x. 

2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai 

∫ 

q 

n 

f ( x) 

dx = lim ∑ f ( xk 

) ∆xk 

p 

∆x→0 

k = 1 

dengan f(x k ) adalah nilai f(x) dalam interval ∆x k yang 

besarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggi 

dalam segmen ∆x k jika ∆x menuju nol. 


Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆x 

sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(x k ) sama dengan nilai 

terendah ataupun tertinggi dalam ∆x k , hasil perhitungan akan lebih rendah 

ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi 

masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan 

cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan 

kita dapat menghitung dengan bantuan komputer. 

Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi 

oleh kurva y = x 

3 −12x 

dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Luas 

ini telah dihitung dan menghasilkan A pq = 67, 5 . Kali ini perhitungan 

= 

∫ 3 3 

A pq ( x −12x) 

dx akan kita lakukan dengan pendekatan numerik 

− 3 

dengan bantuan komputer. Karena yang akan kita hitung adalah luas 

antara kurva dan sumbu-x, maka bagian kurva yang berada di bawah 

sumbu-x harus dihitung sebagai positif. Jika kita mengambil nilai ∆x = 

0,15 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagi dalam 40 segmen. 

Perhitungan menghasilkan 

A 

pq 

40 

= ∑ ( x 

k = 1 

3 

k 

−12x 

Error yang terjadi adalah sekitar 0,15%. 

k 

) = 67,39875 ≈ 67,4 

Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagi 

dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan 

A 

pq 

120 

( 

= ∑ 

k = 

1 

3 

k 

−12x 


x 

k 

) = 67,48875 ≈ 67,5 

Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%, 

maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai. 

Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap 

segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum 

masing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitung 

luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas 

setiap segmen menjadi 

155

( f ( x min ) + f ( x )) × ∆x 

/ 2 

Asegmen 

= k 

kmaks 

(12.27) 

Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan 

komputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupun 

menggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana. 

Soal-Soal: 

1. Carilah titik-titik perpotongan fungsi-fungsi berikut dengan 

sumbu-x kemudian cari luas bidang yang dibatasi oleh kurva 

fungsi dengan sumbu-x. 

2 3 

y = 2 x − x 

2 ; y − y = x 

2. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh kurva dan garis berikut. 

2 

Luas antara kurva y = x dan garis x = 4 

2 

Luas antara kurva y = 2x 

− x dan garis x = −3 

3. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh dua kurva berikut. 

4 2 

y = x − 2x dan 

12.3. Volume Sebagai Suatu Integral 

2 

y = 2x 

y = 2x 

2 − 5 dan y = −2x 

2 + 5 

Di sub-bab sebelumnya kita menghitung luas bidang sebagai suatu 

integral. Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk 

menghitung volume. 

Balok. Kita ambil contoh sebuah balok 

seperti tergambar pada Gb.12.8. Balok ini 

dibatasi oleh dua bidang datar paralel di p 

dan q. Balok ini diiris tipis-tipis dengan tebal 

irisan ∆x sehingga volume balok, V, 

merupakan jumlah dari volume semua irisan. 

Gb.12.8. Balok 

Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan 

di sebelah kanan maka volume irisan ∆V adalah 

Volume balok V adalah 

A( 

x) 

∆ x ≤ ∆V 

≤ A( 

x + ∆x) 

∆x 


∆x

∑ 

q 

V = A( 

x) 

∆ x 

p 

dengan A (x) 

adalah luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x). 

Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti A (x) 

maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu 

q 

V ≈ A( 

x) 

∆ x 

∑ 

p 

Jika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka 

q 

q 

V = lim ∑ A( 

x) 

∆x 

= 

∆x→o 

∫ 

A( 

x) 

dx 

(12.28) 

p 

p 

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x. 

Satu kerucut dapat dibayangkan sebagai 

segitiga yang berputar sekitar salah satu 

sisinya. Sigitiga ini akan menyapu satu 

volume kerucut seperti terlihat pada 

Gb.12.9. Segitiga OPQ, dengan OQ 

y 

O 

P 

Q 

x 

berimpit dengan sumbu-x, berputar 

∆x 

mengelilingi sumbu-x. 

Gb.12.9. Rotasi Segitiga OPQ 

mengelilingi sumbu-x 

Formula (12.28) dapat kita terapkan disini. Dalam hal ini A(x) adalah 

luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan 

garis OP. 

h 

h 

2 

h 

2 2 

V = 

∫ 

A( x) 

dx = 

∫ 

π[ r( 

x) 

] dx = 

∫ 

πm 

x dx (12.29) 

0 

0 

0 

dengan m adalah kemiringan garis OP dan h adalah jarak O-Q. Formula 

(12.29) akan memberikan volume kerucut 

2 3 

2 3 

πm 

h π(PQ/OQ) 

h 2 h 

Vkerucut 

= = 

= πr 

(12.30) 

3 3 

3 

dengan OQ = h dan r adalah nilai PQ pada x = h. 

Bagaimanakah jika OQ tidak berimpit dengan sumbu-x? Kita akan 

memiliki kerucut yang terpotong di bagian puncak. Volume kerucut 

157

terporong demikian ini diperoleh dengan menyesuaikan persamaan garis 

OP. Jika semula persamaan garis ini berbentuk y = mx berubah menjadi 

y = mx + b dengan b adalah perpotongan garis OP dengan sumbu-y. 

Rotasi Bidang Sembarang. Jika f(x) 

kontinyu pada a ≤ x ≤ b , rotasi bidang 

antara kurva fungsi ini dengan sumbu-x 

antara a ≤ x ≤ b sekeliling sumbu-x akan 

membangun suatu volume benda yang 

dapat dihitung menggunakan relasi (12.10). 

y 

f(x) 

0 a b 

∆x 

x 

Gb.12.10. Rotasi bidang 

mengelilingi sumbu-x 

Dalam menghitung integral (12.28) penyesuaian harus dilakukan pada 

A(x) dan batas-batas integrasi. 

A( x) 

= π r( 

x) 

2 = π f ( x) 

( ) ( ) 2 

= ∫ b π a 

sehingga V ( f x) 

) 

Gabungan Fungsi Linier. Jika f(x) pada 

(12.31) merupakan gabungan fungsi linier, 

kita akan mendapatkan situasi seperti pada 

Gb.12.11. 

2 

( dx 

(12.31) 

Gb.12.11. Fungsi f(x) merupakan 

gabungan fungsi linier. 

Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada Gb.12.11. terdapat tiga 

rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume 

total sebagai jumlah volume dari tiga bagian. 

Fungsi f(x) Memotong Sumbu-x. Formula (12.29) menunjukkan bahwa 

dalam menghitung volume, f(x) dikuadratkan. Oleh karena itu jika ada 

bagian fungsi yang bernilai negatif, dalam penghitungan volume bagian 

ini akan menjadi positif. 

12.4. Panjang Kurva Pada Bidang Datar 

Jika kurva y = f (x) 

kita bagi dalam n segmen masing-masing selebar 

∆x, maka ∆l dalam segmen tersebut adalah 


y 

2000 

0 a b 

∆x 

x

∆ l = PQ = 

∆x 

2 

+ ∆y 

2 

Salah satu segmen diperlihatkan pada Gb.12.12. 

Ada satu titik P′ yang terletak pada kurva di segmen ini yang terletak 

antara P dan Q di mana turunan fungsi y ′(P′) 

, yang merupakan garis 

singgung di P′, sejajar dengan PQ. Menggunakan pengertian y ′(P′) 

ini, 

∆l dapat dinyatakan sebagai 

∆l 

= 

y 

∆x 

2 

+ 

2 

2 

[( y′ 

( P ′)) 

∆x] = 1+ 

( y′ 

(P′)) ∆x 

y = f(x) 

Q 

P 

∆l ∆y 

∆x 

x 

a 

b 

Gb.12.12. Salah satu segmen pada kurva y = f (x) 

. 

Setiap segmen memiliki y ′(P′) 

masing-masing yaitu y′ 

k , dan ∆l 

masing-masing yaitu ∆l k . Jika n dibuat menuju ∞, panjang kurva dari x = 

a ke x = b adalah 

n 

n 

n 

lab 

= 2 

∆lk 

= + ( yk′ 

) ∆x 

= ∑ 

2 

lim ∑ lim ∑ 1 

lim 1 + ( yk′ 

) ∆x 

n→∞ 

n→∞ 

∆x→0 

k = 1 

k = 1 

k = 1 

atau 

2 

b ⎛ dy ⎞ 

lab = 

∫ 

1 + ⎜ ⎟ dx 

(12.32) 

a ⎝ dx ⎠ 

Perlu kita ingat bahwa panjang suatu kurva tidak tergantung dari posisi 

sumbu koordinat. Oleh karena itu (12.32) dapat ditulis juga sebagai 

b dx 

lab ∫ ′ 

2 

⎛ 

dy 

a′ dy 

⎟ ⎞ 

= 1 + 

⎜ dengan a′ dan b′ adalah batas-batas peubah 

⎝ ⎠ 

bebas. 

159

12.5. ilai Rata-Rata Suatu Fungsi 

Untuk fungsi y = f (x) 

yang kontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q nilai 

rata-rata fungsi ini didefinisikan sebagai 

y 1 q 

( rr ) x = 

− ∫ 

f ( x dx 

q p 

) 

(12.33) 

p 

(Penulisan (y rr ) x untuk menyatakan nilai rata-rata fungsi x) 

Definisi (12.33) dapat kita tuliskan 

q 

( y rr ) x ⋅( 

q − p) 

= 

∫ 

f ( x) 

dx 

(12.34) 

p 

Ruas kanan (12.34) adalah luas bidang antara kurva fungsi y = f (x) 

dengan sumbu-x mulai dari x = p sampai x = q. Ruas kiri (12.34) dapat 

ditafsirkan sebagai luas segi empat dengan panjang (q − p) dan lebar 

(y rr ) x . Namun kita perlu hati-hati sebab dalam menghitung ruas kanan 

(12.34) sebagai luas bidang antara kurva fungsi y = f (x) 

dengan sumbux 

bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x memberi kontribusi positif 

pada luas bidang yang dihitung; sedangkan dalam menghitung nilai ratarata 

(12.33) kontibusi tersebut adalah negatif. 

Sebagai contoh, kita ambil fungsi 

y = x 

3 −12x 

. Luas bidang antara 

y = x 

3 −12x 

dengan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3 adalah positif, 

A pq = 67,5 (telah pernah kita hitung). Sementara itu jika kita 

menghitung nilai rata-rata fungsi ini dari x = −3 sampai x = +3 hasilnya 

adalah (y rr ) x = 0 karena bagian kurva yang berada di atas dan di bawah 

sumbu-x akan saling meniadakan. 


Bab 13 

Integral (2) 

(Integral Tak Tentu) 

Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan 

integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan 

pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang 

mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan 

sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat 

perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi. 

13.1. Integral Fungsi Tetapan: 

∫ adx 

∫ adx = ax + K karena dax = adx 

Contoh: 

y = 

∫ 

2 dx = 2x 

+ K 

13.2. Integral Fungsi Mononom: 

∫ 

x n dx 

n+ 

1 

n n−1 

n x 

Karena dx = x dx dengan syarat n ≠ −1, maka 

∫ 

x dx = + K 

n + 1 

2 2 2 3 

Contoh: y = 

∫ 

2 x dx = 2∫ 

x dx = x + K 

3 

n m 

13.3. Integral Fungsi Polinom 

∫ 

( x + x ) dx 

Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu 

polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya. 

n m n m 

Karena d( x + x ) = x dx + x dx maka 

∫ 

( x 

n 

+ x 

m 

n+ 

1 

m+ 

1 

x x 

) dx = + + K, 

n + 1 m + 1 

Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini. 

∫ 

5dx 

; 

∫ 

∫ 

2xdx; 

1 

2 

( x − 2x 

+ 4) dx ; 

0 

∫ 

∫ 

4 

4x 

dx; 

dengan syarat n ≠ −1, 

m ≠ −1 

∫ 

(2x 

+ 5) dx ; 

3 2 

(4x 

+ 6x 

+ 4x 

+ 2) dx 

161

13.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi: 

∫ 

v n dx 

n+ 

1 

n v 

Jika v adalah polinom, maka 

∫ 

v dv = dv + K 

n + 1 

n+ 

1 

v 

d = v 

n + 1 

n 

dv 

mencari 

∫ 

v n dx . 

karena 

dengan syarat n ≠ −1. Formulasi ini digunakan untuk 

2 

Contoh: Hitunglah y = 

∫ 

( 2x 

+ 1) dx 

dv 

Misalkan v = 2 x + 1 → dv = 2dx 

→ dx = 

2 

2 3 

3 2 

2 v v 8x 

+ 12x 

+ 6x 

+ 1 

y = 

∫ 

(2x 

+ 1) dx = 

∫ 

dv = + K = 

+ K 

2 6 

6 

4 3 2 1 

= x + 2x 

+ x + + K 

3 

6 

Kita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akan 

diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu. 

2 

2 

4x 

4x 

y = x + dx = x + x + dx = + + x + K′ 

∫ 

(2 1) 

∫ 

(4 4 1) 

3 2 

Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya, 

Contoh: Hitunglah 

2 

Misalkan 1 − x = v → 

K ′ = K + 1/ 6 . 

3x 

y = 

∫ 

dx 

2 

1 − x 

dv 

dx 

dv 

= −2x 

→ dx = 

− 2x 

1/ 2 

3x 

3x 

dv 3 − 1/ 2 3 v 

y = 

∫ 

dx = = − v dv = − = −3 

2 1/ 2 

1− 

x v − 2x 

2 ∫ 

2 1/ 2 


2 

∫ 

( 1) dx ; 

∫ 

4x 

+ 

3 

2 

2 

1− 

x 

x + 1 dx ; 

1 

x 

∫ 

2 + 5xdx 

; 

∫ 

dx ; 

+ 

∫ 

dx 

2 

(3x 

2) 

2 

2x 

+ 1 


13.5. Integral Fungsi Berpangkat -1: 

∫ v 

dv 

Karena 

dv 

dv 

d (ln v) 

= , maka v K 

v ∫ 

= ln + . Integrasi ini 

v 

memecahkan masalah persyaratan n ≠ −1 pada integrasi 

∫ 

v n dx . 

2x 

Contoh: Carilah integral y = 

∫ 

dx 

2 

x + 1 

2 dv 

dv 

Misalkan v = x + 1→ 

= 2x 

→ dx = 

dx 

2x 

2x 

2x 

dv 

2 

y = 

∫ 

dx = 

∫ 

= ln v + K = ln( x + 1) 

+ K 

2 

x + 1 v 2x 

Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini. 

2 

dx x dx dx xdx xdx xdx 

+ 1 

∫ 

; 

∫ 

; 

∫ 

; 

∫ 

; 

− − + ∫ 

; 

2x 

3 

3 

4 2 3 1 2 

1 − 

∫ 2 

x x x x 4x 

+ 

13.6. Integral Fungsi Eksponensial: 

∫ 

e v dv 

Karena de 

v = v 

e dv maka v v 

e dv = e + K 

Soal-Soal: 

2 

2x 

x 

x / 3 

∫ 

e dx ; 

∫ 

xe dx ; 

∫ 

e dx ; 

∫ 

1 + 

∫ 

e 

x 

dx 

2e 

13.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi : 

∫ 

a v dv 

v 

v v 

v a 

Karena da = a ln adv maka 

∫ 

a dv = + K 

ln a 

Contoh: Carilah 

Misalkan v = 2x → 

∫ 

2x 

y = 3 dx 

dv 

dv 

= 2 → dx = 

dx 

2 

v 

2x 

3 1 3 

y = 

∫ 

3 dx = 

∫ 

dv = + K 

2 2 ln 3 

x 

2x 

163

13.8. Integral Fungsi Trigonometri 

∫ 

∫ 

Karena d sin v = cosvdv 

maka cos v dx = sin v + K 

Karena d cosv 

= −sin 

vdx maka sin v dx = −cosv 

+ K 

Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain 

termuat dalam Tabel-13.1. 

Contoh: Carilah integral tak tentu 


∫ 

y = sin 2xdx 

dv 

dv 

Misalkan v = 2x 

→ = 2 → dx = 

dx 

2 

sin v −cosv 

cos 2x 

y = 

∫ 

sin 2xdx 

= 

∫ 

dv = = − 

2 2 2 


∫ 

sin 4xdx ; 

∫ 

cos(2x 

+ 2) dx ; 

∫ 

4cos3xdx 

. 

∫ 

∫ 

∫ 

2sin x cos xdx ; 

2 

sin xdx ; 

∫ 

∫ 

2 

cos axdx 

2 

sin x cos xdx . 

sin 2x 

cos 2 xsin 

xdx ; 

∫ 

dx . 

2 − cos 2x 

13.9. Integral Fungsi Hiperbolik 

∫ 

∫ 

Karena d(sinh v) 

= cosh v maka cosh vdv = sinh v + K 

Karena d(cosh v) 

= sinh vdv maka sinh vdv = cosh v + K 

Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat 

dalam Tabel-13.1. 

Contoh: Carilah y = 

∫ 

cosh( 2x 

+ 1) 

dx 

dv 

dv 

Misalkan v = 2x 

+ 1→ 

= 2 → dx = 

dx 

2 

1 

y = 

∫ 

cosh(2x 

+ 1) dx = 

∫ 

cosh( v) 

dv = 

2 

1 

= sinh(2x 

+ 1) + K 

2 

1 

sinh 

2 

v + K

Soal-Soal: Carilah integral berikut 

∫ 

sinh x 2 sinh x 

2 

dx ; 

∫ 

tanh xdx ; 

∫ 

cosh 2xdx 

; 

∫ 

dx ; 

∫ 

tanh xdx 

4 

x 

cosh x 

13.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi 

Integral fungsi-fungsi yang berbentuk 

∫ 

dv 

1 − v 

2 

dv 

, 

∫ + 

2 

1 v 

dv 

∫ 

dan setrusnya mulai nomer 20 sampai 31, 

2 

v v −1 

menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi. 

Contoh: Carilah 

dx 

y = 

∫ 

2 

1 − 4x 

2 dv 

Jika kita membuat pemisalan v = 1 − 4x 

maka = −8x 

atau 

dx 

dv 

dx = . Kalau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan 

− 8x 

integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk 

1 / 2 dv 

∫ 

v 

− 

− 8x 

yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat 

ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v. 

Namun bentuk 

dx 

ini dapat kita transformasi menjadi bentuk 

∫ 2 

1 − 4x 

yang termuat dalam Tabel-13.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x 

dv 

dv 

yang akan memberikan = 2 atau dx = . Persoalan integral kita 

dx 

2 

menjadi 

dx dv 1 dv 

y = 

∫ 

= 

∫ 

= 

2 

2 ∫ 2 

1 − 4x 

2 1 − v 

2 

1 − v 

yang menghasilkan y = 

1 −1 

1 − 

sin v + K = sin 

1 (2x) 

+ K 

2 

2 

Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini. 

dx dx dx dx dx 

∫ 

; 

∫ 

; 

∫ 

; 

∫ 

; 

2 2 

2 

2 ∫ 2 

1 + 4x 

1 − x 4 + x x 4 + x 1 − x 

, 

165

13.9. Relasi Diferensial dan Integral 

Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya. 

Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9 

dan 16, 17 yang sering kita temui. 

Tabel-13.1. 

dv 

1. dv = dx 

dx 

1. dv = v + K 

2. d ( kv) 

= kdv 

2. 

∫ 

kdv = k∫ 

dv 

3. d v + w) 

= dv + dw 

3. ∫ 

( dv + dw) 

= 

∫ 

dv + 

∫ dw 

n n−1 

4. dv = nv dv 

n+ 

1 

n v 

4. 

∫ 

v dv = + C ; n≠1 

n + 1 

dv 

dv 

5. d (ln v) 

= 

5. v K 

v 

∫ 

= ln + 

v 

6. de 

v = v 

e dv 

6. v v 

e dv = e + K 

v v 

7. da = a ln adv 

v a 

7. 

∫ 

a dv = + K 

ln a 

8. d(sin v) 

= cosvdv 

8. cos vdv = sin v + K 

9. d(cosv) 

= −sin 

vdv 

9. sin vdv = −cosv 

+ K 

2 

10. d(tan v) 

= sec vdv 10. 

∫ 

sec 2 vdv = tan v + K 

2 

11. d(cotv) 

= −csc 

vdv 11. csc 2 vdv = −cotv 

+ K 

12. d(sec v) 

= secv 

tan vdv 12. sec tan vdv = secv 

+ K 

13. d(cscv) 

= −cscvcot 

vdv 13. csc cotvdv = −cscv 

+ K 

14. d(sinh v) 

= cosh v 

14. cosh vdv = sinh v + K 

15. d(cosh v) 

= sinh vdv 15. sinh vdv = cosh v + K 

2 

16. d(tanh v) 

= sech vdv 16. sec h 

2 vdv = tanh v + K 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 


v

2 

17. d(coth 

v) 

= −csch 

vdv 17. csch 

2 vdv = −cothv 

+ K 

18. d( sechv) 

= −sechv 

tanh vdv 

19. d( cschv) 

= −cschvcoth 

vdv 

∫ 

∫ 

∫ 

18. sec hv tanhvdv 

= −sechv 

+ K 

19. csch v cothvdv 

= −coshv 

+ K 

1 dv 

20. d(sin 

− v) 

= 

20. ∫ dv −1 

= sin v + K 

2 

2 

1− 

v 

1 − v 

1 dv 

21. d(cos 

− − 

v) 

= 

21. ∫ dv −1 

= − cos v + K ′ 

2 

2 

1− 

v 

1 − v 

−1 

dv 

dv −1 

22. d tan v = 

22. 

2 

1+ 

v 

∫ 

= tan v + K 

2 

1 + v 

−1 

−dv 

dv −1 

23. d cot v = 

23. 

2 

1 + v 

∫ 

= −cot 

v + K 

2 

1+ 

v 

−1 

dv 

dv −1 

24. d sec v = 

24. 

2 ∫ 

= sec v + K , v >0 

2 

v v −1 

v v −1 

−1 

−dv 

dv 

25. d csc v = 

−1 

25. 

2 ∫ = − csc v + K , v >0 

v v −1 

2 

v v −1 

1 dv 

26. d(sinh 

− v) 

= 

26. ∫ dv −1 

= sinh v + K 

2 

2 

1+ 

v 

1 + v 

−1 

dv 

27. d (cosh v) 

= 

27. 

dv −1 

∫ 

= cosh v + K 

2 

2 

v −1 

v − 1 

1 dv 

28. d(tanh 

− v) 

= 

28. ∫ dv −1 

= tanh v 

2 

+ K ; jika |v|1 

2 

1− 

v 

−1 

−dv 

dv 

−1 

30. d(sech 

v) 

= 

30. 

2 ∫ 

= −sech 

v + K; 

2 

v 1− 

v 

v 1− 

v 

−1 

31. d(csch 

v) 

= 

v 

−dv 

2 

1+ 

v 

dv 

−1 

31. 

∫ 

= −csch 

v + K; 

2 

v 1+ 

v 

167

Catatan Tentang Isi Tabel-13.1. 

Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-13.1 kita dapat 

melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup: 

Fungsi mononom dan polinom: 

∫ vdv 

Fungsi polinom berpangkat: 

Fungsi exponensial: 

∫ 

v 

e dv ; 

∫ 

v n dv ; 

∫ 

v 

a dv 

2 

2 

Fungsi trigonometri: 

∫ 

cos vdv ; 

∫sin vdv ; 

∫sec vdv ; 

∫ 

csc vdv ; 

∫ 

sec tan vdv ; 

∫csc cot vdv . 

∫ 

dv 

v 

tetapi tidak: 

∫ 

tan vdv ; 

∫ 

cot vdv ; 

∫sec vdv ; 

∫ 

csc vdv . 

Fungsi hiperbolik: 

∫ 

cosh vdv ; 

∫ 

vdv 

∫ 

2 

csc h vdv ; 

∫ 

sec hv tanh vdv ; 

∫ 

csch v coth vdv . 

2 

sinh ; 

∫ 

sec h vdv ; 

tetapi tidak: 

∫ 

tanh vdv ; 

∫ 

coth vdv ; 

∫sec hvdv 

; 

∫ 

csc hvdv 

. 

Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri 

inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti 

∫ 

∫ 

dv 

1 − v 

2 

dv 

2 

v 

− 1 

dv 

; 

∫ + 

2 

1 v 

dv 

; 

∫ − 

2 

1 v 

; 

∫ 

v 

; 

∫ 

v 

dv ; 

2 ∫ 

v −1 

dv 

1 − v 

2 

; 

∫ 

v 

dv 

1 + v 

2 

dv 

1 + v 

2 

tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti 

∫ 

sin 

− 1 

vdv 

; 

∫ 

tan 

− 1 

xdx 

; 

∫sinh 

−1 

vdv 

; 

. 

; 

∫ 

tanh 

−1 

vdv 

Tabel-13.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang 

dv 

berbentuk 

2 2 

2 2 

∫ 

; 

∫ 

a ± v dv; 

∫ 

v − a dv; 

dsb 

2 2 

a + v 


Bab 14 

Integral (3) 

(Integral Tentu) 

14.1. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu 

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. 

Konsep dasar dari integral tertentu adalah luas bidang yang dipandang 

sebagai suatu limit. 

Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y = 

f(x), sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang 

diarsir pada Gb.14.1.a. 

Sebutlah luas bidang ini A pq . Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan 

kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian 

menjumlahkannya untuk memperoleh A pq . 


segmen seperti tergambar pada Gb.14.1.b, kita akan memperoleh luas 

yang lebih kecil dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas 

segmen ini A pqb (jumlah luas segmen bawah). 


segmen seperti tergambar pada Gb.14.1.c, kita akan memperoleh luas 

yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas 

segmen ini A pqa (jumlah luas segmen atas). 

Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan 

terjadinya galat (error). Antara mereka ada selisih seperti digambarkan 

pada Gb.14.1.d. 

Jika x 0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen ke-k, yaitu 

antara x k dan (x k +∆x), maka berlaku 

f ( xk 

) ≤ f ( x0k 

) ≤ f ( xk 

+ ∆x) 

(14.1) 

Jika pertidaksamaan (14.1) dikalikan dengan ∆x k yang yang cukup kecil 

dan bernilai positif, maka 

f ( xk 

) ∆ xk 

≤ f ( x0 k ) ∆xk 

≤ f ( xk 

+ ∆x) 

∆xk 

(14.2) 

169

y 

y = f(x) 

(a) 

y 

0 

p x 2 x k x k+1 x n q 

y = f(x) 

x 

(b) 

y 

0 


y = f(x) 

x 

(c) 

0 

y 


y = f(x) 

x 

(d) 0 p x 2 x k x k+1 x n q x 

Gb.14.1. Menghitung luas bidang di bawah kurva. 


Sekarang luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (14.2) kita 

jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita 

buat), kita akan memperoleh 

n 

n 

n 

∑ f ( xk 

) ∆xk 

≤∑ 

f ( x0k 

) ∆xk 

≤∑ 

f ( xk 

+ ∆x) 

∆xk 

(14.3) 

k = 1 

k = 1 

k = 1 

Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, A pqb ; ruas paling 

kanan adalah jumlah luas segmen atas, A pqa ; ruas yang di tengah adalah 

jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan A n . Jelaslah bahwa 

Apqb 

≤ An 

≤ Apqa 

(14.4) 

Nilai A n dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita 

cari. Galat (error) yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. 

Jika n kita perbesar menuju tak hingga, seraya menjaga agar semua ∆x k 

menuju nol, maka luas bidang yang kita cari adalah 

Apq 

= lim Apqb 

= lim An 

= lim Apqa 

(14.5) 

Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit 

yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau 

atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu, 

dituliskan 

∫ 

A = q pq f ( x) 

dx 

(14.6) 

p 

Integral tertentu (14.6) ini terkait dengan integral tak tentu (9.12) 

q 

q 

Apq 

= 

∫ 

f ( x) 

dx = F( 

x) 

] p = F( 

q) 

− F( 

p) 

(14.7) 

p 

Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah, 

penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan 

dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan: 

a. integrasi untuk memperoleh F ( x) 

= 

∫ 

f ( x) 

dx ; 

b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q); 

c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p); 

d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) − F(p). 

171

Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang 

bernilai positif dalam rentang p ≤ x ≤ q , namun pembahasan itu berlaku 

pula untuk fungsi yang dalam rentang p ≤ x ≤ q sempat bernilai negatif. 

Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang disebut dengan A px 

dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang baru ini akan 

berlaku umum, yaitu 

A px adalah luas bidang yang dibatasi oleh y = f (x) 

dan sumbu-x 

dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di 

atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x. 

Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 14.2. 

y = x3−12x 20 

0 

x 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 

-10 

-20 


y = x 

3 − 12x 

Kita akan menghitung luas antara y = x 

3 − 12x 

dan sumbu-x dari x = −3 

sampai x = +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.14.2 

Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-x 

dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian 

yang di atas sumbu-x kita mempunyai luas 

0 

0 

4 

3 x ⎤ 

2 

A a = 

∫ 

( x −12x) 

dx = − 6x 

⎥ 

−3 

4 ⎥⎦ 

−3 

= −0 

− (20,25 − 54) = 33,75 

Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan 

3 

3 

4 

3 x ⎤ 

2 

A b = 

∫ 

( x −12x) 

dx = − 6x 

⎥ 

0 

4 ⎥⎦ 

0 

= 20,25 − 54 − (0) = −33,75 

10 

y 


Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-x 

dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x 

A pq = Aa 

− Ab 

= 33 ,75 − ( −33,755) 

= 67,5 

Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai 

A px , formulasi 

q 

A = 

∫ 

f ( x) 

dx = F( 

q) 

− F p 

p 

( )) 

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di 

bawah sumbu-x. 

Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.14.3. kita 

dapatkan 

yang kita peroleh dari 

A pq = −A1 + A2 

− A3 

+ A4 

q 

Apq 

= 

∫ 

f ( x) 

dx = F( 

q) 

− F p 

p 

y 

y = f(x) 

( )) 

p 

A 4 

A 1 

A 2 

A 3 

q 

x 

Gb.14.3. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik. 

173

14.2. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva 

Kita akan menghitung luas bidang di antara kurva y 1 = f1 ( x) 


y 2 = f2 ( x) 

pada batas antara x = p dan x = q . Kurva yang kita hadapi 

sudah barang tentu harus kontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q . Kita 

tetapkan bahwa kurva y 1 = f1 ( x) 

berada di atas y 2 = f2 ( x) 

meskipun 

mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-x. 

Perhatikan Gb.14.4. 

Rentang 

p ≤ x ≤ q kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya 

diperlihatkan pada Gb.14.4. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x), 

dimana ∆ x = ( q − p) 

/ n . 

y 

y 1 

p 

0 

y 2 

x 

∆A px 

x+∆x 

q 

x 

Gb.14.4. Menghitung luas bidang antara dua kurva. 

Luas segmen dapat didekati dengan 

A segmen = { f1 ( x) 

− f2( 

x) 

} ∆x 

(14.8) 

yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh 

n 

x= 

q−∆x 

∑ A segmen = ∑{ f1 ( x) 

− f2( 

x) 

} ∆x 

(14.9) 

1 

x= 

p 

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita 

sampai pada suatu limit 

n→∞ 

q 

A pq = lim ∑ Asegmen 

= 

∫ { f1( 

x) 

− f2( 

x) 

} dx (14.10) 

p 

1 

Kita akan melihat beberapa contoh 

Contoh 1: Jika y 1 = 4 dan y 2 = − 2 berapakah luas bidang antara y 1 

dan y 2 dari x 1 = p = −2 sampai x 2 = q = +3. 

+ 3 

+ 3 

A pq = 

∫ 

({ 4 − ( −2) 

} dx = 6x] − 2 = 18 − ( −12) 

= 30 

−2 


Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas 

yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar y 1 − y2 

= 6 

dan panjang x 2 − x1 

= 5 . 

2 

1 x 

Contoh 2: Jika y = dan y 2 = 4 berpakah luas bidang yang dibatasi 

oleh y 1 dan y 2 . 

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada 

perpotongan antara y 1 dan y 2 . 

2 

y1 

= y2 

→ x = 4 

⇒ x1 

= p = −2, 

x2 

= q = 2 

Perhatikan bahwa y 1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak 

minimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian 

kurva y 1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada 

di di bawah y 2 = 4. 

2 

2 

⎛ 3 ⎞ 

2 

(4 ) 4 

2 

3 ⎥ ⎥ ⎤ 

⎜ 

x 

A pq = ⎟ 

∫ 

− x dx == x − 

− ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠⎦-2 

⎛ 8 ⎞ ⎛ − 8 ⎞ 16 −16 

32 

⎜8 

− ⎟ − ⎜− 

8 − ⎟ = − = 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3 3 

Jika kita terbalik dalam memandang posisi y 1 terhadap y 2 kita akan 

melakukan kesalahan: 

2 

2 

⎛ 3 ⎞⎤ 

2 

* ( 4) ⎜ x 

A 4 ⎟ 

pq = ⎥ 

∫ 

x − dx = − x 

− 2 

⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠⎥ 

⎦-2 

⎛ 8 ⎞ ⎛ − 8 ⎞ −16 

+ 16 

⎜ − 8⎟ 

− ⎜ + 8⎟ 

= − = 0 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3 

2 

Contoh 3: Jika y 1 = −x 

+ 2 dan y2 = −x 

berapakah luas bidang yang 

dibatasi oleh y 1 dan y 2 . 

Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi y 1 

adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yang 

memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y 2 adalah garis lurus melalui 

titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yang berarti ia 

menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka bagian kurva y 1 

yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya berada di atas y 2 . 

175

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva. 

2 

y1 

= y2 

→ −x 

+ 2 = −x 

2 

atau − x + x + 2 = 0 

2 

2 

−1 

+ 1 + 8 

−1 

− 1 + 8 

x1 

= p = 

= −1; 

x2 

= q = 

= 2 

− 2 

− 2 

2 

2 

⎛ 3 2 ⎞⎤ 

2 

( 2 ) ⎜ 

x x 

A pq = 

2 ⎟⎥ 

∫ 

−x 

+ + x dx = − + + x 

−1 

⎜ 3 2 ⎟ 

⎝ 

⎠⎥ 

⎦−1 

⎛ 8 ⎞ ⎛ −1 

1 ⎞ 

= ⎜− 

+ 2 + 4⎟ 

− ⎜− 

+ − 2⎟ 

= 4,5 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ 

14.3. Penerapan Integral 

Pembahasan di atas terfokus pada penghitungan luas bidang di bawah 

suatu kurva. Demikian juga di bab sebelumnya. Hal tersebut dilakukan 

untuk memudahkan visualisasi. Dalam praktek kita tidak selalu 

menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis yang 

berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat pula 

divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan ordinat 

dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian seolaholah 

kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua contoh 

dalam kelistrikan. 

Contoh 1: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 

200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ? 

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan 

energi diberi simbol w, maka 

dw 

p = yang memberikan w = 

dt 

∫ 

pdt 

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas 

bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan 

satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 

jam adalah 

8 8 

8 

w = 

∫ 

pdt = 100 100 

0 ∫ 

dt = t 

0 

0 

= 800 Watt.hour [Wh] = 0,8 kilo Watt hour [kWh] 


Contoh 2: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu 

sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan 

melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ? 

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q. 

dq 

i = sehingga q = 

dt ∫idt 

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah 

5 5 

5 

0,05 2 1,25 

q = 

∫ 

idt = 0,05 = = = 0,625 

0 ∫ 

tdt t 

0 2 0 2 

coulomb 

14.4. Pendekatan umerik 

Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita fahami bahwa langkahlangkah 

dalam menghitung suatu integral adalah: 

1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses 

perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar, 

∆x. 

2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai 

q 

n 

∫ 

f ( x) 

dx = lim ∑ f ( xk 

) ∆xk 

p 

∆x→0 

k = 1 

dengan f(x k ) adalah nilai f(x) dalam interval ∆x k yang besarnya akan 

sama dengan nilai terendah dan tertinggi dalam segmen ∆x k jika ∆x 

menuju nol. 

Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆x 

sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(x k ) sama dengan nilai 

terendah ataupun tertinggi dalam ∆x k , hasil perhitungan akan lebih rendah 

ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi 

masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan 

cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan 

kita dapat menghitung dengan bantuan komputer. 

Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi 

oleh kurva y = x 

3 −12x 

dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Lauas 

177

ini telah dihitung dan menghasilkan A pq = 67, 5 . Kali ini kita melakukan 

perhitungan pendekatan secara numerik dengan bantuan komputer. 

= 

∫ 3 3 

A pq ( x −12x) 

dx 

− 3 

Karena yang akan kita hitung adalah luas antara kurva dan sumbu-x, 

maka bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x harus dihitung sebagai 

positif. Jika kita mengambil nilai ∆x = 0,15 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 

akan terbagi dalam 40 segmen. Perhitungan menghasilkan 

A 

pq 

40 

= ∑ ( x 

k = 1 

k 

3 

− 12x 


k 

) = 67,39875 ≈ 67,4 

Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagi 

dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan 

120 

3 

A pq = ∑ ( xk 

−12xk 

) = 67,48875 ≈ 67,5 

k = 1 


Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%, 

maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai. 

Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap 

segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum 

masing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitung 

luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas 

setiap segmen menjadi 

( f ( x min ) + f ( x )) × ∆x 

/ 2 

Asegmen 

= k 

kmaks 

(14.13) 

Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan 

komputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupun 

menggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana. 


15.1. Pengertian 

Bab 15 

Persamaan Diferensial 

(Orde Satu) 

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau 

lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai: 

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan 

persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak kita 

pelajari di buku ini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan 

satu peubah bebas. 

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi 

3 

d y 

turunan fungsi yang ada dalam persamaan. adalah orde 

3 

dx 

2 

d y 

dy 

tiga; adalah orde dua; adalah orde satu. 

2 

dx 

dx 

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah 

pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. 

2 5 

⎛ 3 

d y ⎞ ⎛ 2 

d y ⎞ y x 

Sebagai contoh: ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + = e adalah persamaan 

⎜ 3 

dx ⎟ ⎜ 2 

dx ⎟ 2 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x + 1 

diferensial biasa, orde tiga, derajat dua. 

Dalam buku ini kita hanya akan membahas persamaan diferensial biasa, 

orde satu dan orde dua, derajat satu. 

15.2. Solusi 

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaan 

diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya 

y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya. 

Kita ambil satu contoh: 

179

−x 

dy 

y = ke adalah solusi dari persamaan + y = 0 karena turunan 

dt 

−x 

dy 

y = ke adalah 

− x 

= −ke 

, dan jika ini kita masukkan dalam 

dt 

−x 

−x 

persamaan akan kita peroleh − ke + ke = 0 

Persamaan terpenuhi. 

Pada contoh di atas kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu 

mempunyai solusi yang melibatkan satu tetapan sembarang yaitu k. Pada 

umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang 

mengandung n tetapan sembarang. Pada persamaan diferensial orde dua 

yang akan kita bahas di bab berikutnya, kita akan menemukan solusi 

dengan dua tetapan sembarang. Nilai dari tetapan ini ditentukan oleh 

kondisi awal. 

15.3. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat 

Dipisahkan 

Solusi suatu persamaan diferensial bisa diperoleh apabila peubah-peubah 

dapat dipisahkan; pada pemisahan peubah ini kita mengumpulkan semua 

y dengan dy dan semua x dengan dx. Jika hal ini bisa dilakukan maka 

persamaan tersebut dapat kita tuliskan dalam bentuk 

f ( y) 

dy + g( 

x) 

dx = 0 

(15.1) 

Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi umum 

dengan satu tetapan sembarang K, yaitu 

Kita ambil dua contoh. 

∫ 

f y) 

dy 

∫ 

g( 

x) 

dx) 

= 

( + K 

(15.2) 

1). 

x 

dy x− 

y 

dy e 

= e . Persamaan ini dapat kita tuliskan = 

dx 

dx y 

e 

sehingga kita dapatkan persamaan dengan peubah terpisah 

sehingga 

y x 

e dy − e dx = 0 


y x 

y x 

e − e = K atau e = e + K 

∫ 

y 

e dy − 

x 

∫ 

e dx = K 


dy 

2). 

dx 

= 1 

xy 

. Pemisahan peubah akan memberikan bentuk 

dx 

dx 

ydy − = 0 dan K 

x ∫ 

ydy − 

∫ 

= 

x 

sehingga 

2 

y 

2 

− ln x = K 

atau 

2 

y = ln x + K′ 

15.4. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu 

Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk 

dy ⎛ y ⎞ 

= F⎜ 

⎟ 

dx ⎝ x ⎠ 

(15.3) 

Persamaan demikian ini dapat dipecahkan dengan membuat peubah 

bebas baru 

y 

v = 

x 

Dengan peubah baru ini maka 

dy dv 

y = vx dan = v + x 

dx dx 

Persamaan (14.2) menjadi 

dv 

v + x = F(v) 

(15.4) 

dx 

yang kemudian dapat dicari solusinya melalui pemisahan peubah. 

dx dv 

+ = 0 

x v − F( 

v) 

(15.5) 

Solusi persamaan aslinya diperoleh dengan menggantikan v dengan y/x 

setelah persamaan terakhir ini dipecahkan. 

2 2 

Kita ambil contoh: ( x + y ) dx + 2xydy 

= 0 

Persamaan ini dapat kita tulis 2 y 

x (1 + ) dx + 2xydy 

= 0 atau 

2 

x 

2 

181

2 

2 

y y 

(1 + ) dx = −2 

dy sehingga 

dy 1 + ( y / x) 

= − = F( 

y / x) 

2 

x x 

dx 2( y / x) 

yang merupakan bentuk persamaan homogen. 

Peubah baru v = y/x memberikan 

y = vx dan 

dan membuat persamaan menjadi 

2 

dv 1 + v 

v + x = − atau 

dx 2v 


dv dx 

= − 

2 

(1 + 3v 

) / 2v 

x 

dy 

dx 

= v + 

dv 

x 

dx 

2 

2 

dv 1 + v 1 + 3v 

x = −v 

− = − 

dx 2v 

2v 

dx 2vdv 

atau + 0 

x 2 

1 + 3v 

= 

Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan v 

sebagai fungsi x. Kita perlu pengalaman untuk ini. 

Kita tahu bahwa 

d(ln 

x) 

1 

= . Kita coba hitung 

dx x 

2 

2 

2 

d ln(1 + 3x 

) d ln(1 + 3x 

) d(1 

+ 3x 

) 1 

= 

= (6x) 

dx 

2 

2 

d(1 

+ 3x 

) dx 1 + 3x 

Kembali ke persamaan kita. Dari percobaan perhitungan di atas 

kita dapatkan solusi dari 

dx 2vdv 

+ 0 

x 2 

1 + 3v 

= 

1 2 1 

adalah ln x + ln(1 + 3v 

) = K = ln K′ 

atau 

3 

3 

2 

3ln x + ln(1 + 3v 

) = K = ln K′ 

3 2 

sehingga x (1 + 3v 

) = K′ 

Dalam x dan y solusi ini adalah 

2 

2 2 

( 1 + 3( y / x) 

) = K atau ( x + 3 y ) = K 

3 

x ′ 

x ′ 


15.5. Persamaan Diferensial Linier Orde Satu 

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol. 

Dalam menentukan derajat ini kita harus memperhitungkan pangkat dari 

peubah dan turunannya; misal y(dy/dx) adalah berderajat dua karena y 

dan dy/dx masing-masing berpangkat satu dan harus kita jumlahkan 

untuk menentukan derajat dari y(dy/dx). 

Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan 

dalam bentuk 

dy 

+ Py = Q 

(15.6) 

dx 

dengan P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan. Persamaan diferensial 

bentuk inilah selanjutnya akan kita bahas dan kita akan membatasi pada 

situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena kita 

akan langsung melihat pemanfaatan praktis dengan contoh yang terjadi 

pada analisis rangkaian listrik. 

Dalam analisis rangkaian listrik, peubah fisis seperti tegangan dan arus 

merupakan fungsi waktu. Oleh karena itu persamaan diferensial yang 

akan kita tinjau kita tuliskan secara umum sebagai 

dy 

a + by = f (t) 

(15.7) 

dt 

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada 

peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara 

yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan. 

Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan 

rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a 

dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian. 

Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan 

ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak. 

Persamaan diferensial seperti (15.7) mempunyai solusi total yang 

merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus 

adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan (15.7) sedangkan solusi 

homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen 

dy 

a + by = 0 

(15.8) 

dt 

183

Hal ini dapat difahami karena jika f 1 (t) memenuhi (15.7) dan fungsi f 2 (t) 

memenuhi (15.8), maka y = (f 1 +f 2 ) akan memenuhi (15.7) sebab 

( f + f ) 

dy d 

a + by = a 1 2 + b( 

f1 

+ f2) 

dt 

dt 

df 

= 1 df 

+ 2 df 

a bf 

1 

1 + a + bf2 

= a + bf1 

+ 0 

dt dt dt 

Jadi y = (f 1 +f 2 ) adalah solusi dari (15.7), dan kita sebut solusi total yang 

terdiri dari solusi khusus f 1 dari (15.7) dan solusi homogen f 2 dari (15.8). 

Peristiwa Transien. Sebagaimana telah disebutkan, persamaan 

diferensial seperti (14.7) dijumpai dalam peristiwa transien, yaitu selang 

peralihan dari suatu keadaan mantap ke keadaan mantap yang lain.. 

Peralihan kita anggap mulai terjadi pada t = 0 dan peristiwa transien yang 

kita tinjau terjadi dalam kurun waktu setelah mulai terjadi perubahan 

yaitu dalam kurun waktu t > 0. Sesaat setelah mulai perubahan kita beri 

tanda t = 0 + dan sesaat sebelum terjadi perubahan kita beri tanda t = 0 − . 

Solusi Homogen. Persamaan (15.8) menyatakan bahwa y ditambah 

dengan suatu koefisien konstan kali dy/dt, sama dengan nol untuk semua 

nilai t. Hal ini hanya mungkin terjadi jika y dan dy/dt berbentuk sama. 

Fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan fungsi itu 

sendiri adalah fungsi eksponensial. Jadi kita dapat menduga bahwa solusi 

dari (15.8) mempunyai bentuk eksponensial y = K 1 e st . Jika solusi dugaan 

ini kita masukkan ke (15.8), kita peroleh 

( as + b) 0 

st st 

aK1 se + bK1e 

= 0 atau K1 

y = 

(15.9) 

Peubah y tidak mungkin bernilai nol untuk seluruh t dan K 1 juga tidak 

boleh bernilai nol karena hal itu akan membuat y bernilai nol untuk 

seluruh t. Satu-satunya cara agar persamaan (15.9) terpenuhi adalah 

as + b = 0 

(15.10) 

Persamaan (15.10) ini disebut persamaan karakteristik sistem orde 

pertama. Persamaan ini hanya mempunyai satu akar yaitu s = −(b/a). Jadi 

solusi homogen yang kita cari adalah 

st −( 

b / a) 

t 

ya 

= K1e 

= K1e 

(15.11) 

Nilai K 1 masih harus kita tentukan melalui penerapan suatu persyaratan 

tertentu yang kita sebut kondisi awal yaitu kondisi pada t = 0 + sesaat 


setelah mulainya perubahan keadaan. Ada kemungkinan bahwa y telah 

mempunyai nilai tertentu pada t = 0 + sehingga nilai K 1 haruslah 

sedemikian rupa sehingga nilai y pada t = 0 + tersebut dapat dipenuhi. 

Akan tetapi kondisi awal ini tidak dapat kita terapkan pada solusi 

homogen karena solusi ini baru merupakan sebagian dari solusi. Kondisi 

awal harus kita terapkan pada solusi total dan bukan hanya untuk solusi 

homogen saja. Oleh karena itu kita harus mencari solusi khusus lebih 

dulu agar solusi total dapat kita peroleh untuk kemudian menerapkan 

kondisi awal. 

Solusi khusus. Solusi khusus dari (15.7) tergantung dari bentuk fungsi 

pemaksa f(t). Seperti halnya dengan solusi homogen, kita dapat 

melakukan pendugaan pada solusi khusus. Bentuk solusi khusus haruslah 

sedemikian rupa sehingga jika dimasukkan ke persamaan (15.7) maka 

ruas kiri dan ruas kanan persamaan itu akan berisi bentuk fungsi yang 

sama. Jika solusi khusus kita sebut y p , maka y p dan turunannya harus 

mempunyai bentuk sama agar hal tersebut terpenuhi. Untuk berbagai 

bentuk f(t), solusi khusus dugaan y p adalah sebagai berikut. 

Jika f ( t) 

= 0 , maka y p = 0 

Jika f ( t) 

= A = konstan, maka y p = konstan = K 

Jika 

Jika 

αt 

f ( t) 

= Ae = eksponensial, maka 

αt 

y p = eksponensial = Ke 

f ( t) 

= Asin 

ωt 

, atau f ( t) 

= Acosωt 

, maka 

y p = Kc 

cosωt 

+ Ks 

sin ωt 

Perhatikan : y = Kc 

cosωt 

+ Ks 

sin ωt 

adalah 

bentuk umum fungsi sinus maupun cosinus. 

Solusi total. Jika solusi khusus kita sebut y p , maka solusi total adalah 

s t 

y = y p + ya 

= y p + K1e 

(15.12) 

Pada solusi lengkap inilah kita dapat menerapkan kondisi awal yang akan 

memberikan nilai K 1 . 

Kondisi Awal. Kondisi awal adalah kondisi pada awal terjadinya 

perubahan yaitu pada t = 0 + . Dalam menurunkan persamaan diferensial 

pada peristiwa transien kita harus memilih peubah yang disebut peubah 

185

status. Peubah status harus merupakan fungsi kontinyu. Nilai peubah ini, 

sesaat sesudah dan sesaat sebelum terjadi perubahan harus bernilai sama. 

Jika kondisi awal ini kita sebut y(0 + ) maka 

− 

y (0 

+ ) = y(0 

) 

(15.13) 

Jika kondisi awal ini kita masukkan pada dugaan solusi lengkap (14.12) 

akan kita peroleh nilai K 1 . 

+ + 

+ + 

y ( 0 ) = y p(0 

) + K1 

→ K1 

= y(0 

) − y p(0 

) (15.14) 

y p (0 + ) adalah nilai solusi khusus pada t = 0 + . Nilai y(0 + ) dan y p (0 + ) adalah 

tertentu (yaitu nilai pada t = 0 + ). Jika kita sebut 

+ + 

y( 0 ) − y p (0 ) = A0 

(15.15) 

maka solusi total menjadi 

s t 

y = y p + A0 

e 

(15.16) 

15.6. Solusi Pada Berbagai Fungsi Pemaksa 

Tanpa Fungsi Pemaksa, f(t) = 0. Jika f(t) =0 maka solusi yang akan kita 

peroleh hanyalah solusi homogen saja. Walaupun demikian, dalam 

mencari soluai kita akan menganggap bahwa fungsi pemaksa tetap ada, 

akan tetapi bernilai nol. Hal ini kita lakukan karena kondisi awal harus 

diterapkan pada solusi total, sedangkan solusi total harus terdiri dari 

solusi homogen dan solusi khusus (walaupun mungkin bernilai nol). 

Kondisi awal tidak dapat diterapkan hanya pada solusi homogen saja 

atau solusi khusus saja. 

Contoh: Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan 

dv 

+ 1000 v = 0 

dt 

untuk t > 0. Kondisi awal adalah v(0 + ) = 12 V. 

Persamaan karakteristik : s + 1000 = 0 → s = −1000 

Dugaan solusi homogen : 

Dugaan solusi khusus: 

Dugaan solusi total 

−1000t 

va 

= A0e 

v p = 0 (karena tidak ada 

st 

−1000t 

: v = v p + A0e 

= 0 + A0e 

fungsi pemaksa) 


Kondisi awal : v(0 

) = v(0 

) = 12 V. 

Penerapan kondisi awal pada 

memberikan : 12 = 0 + A 

Solusi total 

+ 

0 

− 

menjadi : v = 12 e 

dugaan solusi total 

→ A = 12 

0 

−1000 

t 

V 

Contoh: Pada kondisi awal v(0 + ) = 10 

menghasilkan persamaan 

dv 

+ 3 v = 0 

dt 

V, analisis transien 



Dugaan solusi khusus : 

Dugaan solusi total: 

+ 


) = 10 V 

−3 

t 

va 

= A0e 

v p = 0 

−3t 

v = vp 

+ A0e 

Penerapan kondisi awal memberikan: 10 = 0 + A0 

−3t 

Solusi total menjadi: v = 10 e V 

Fungsi Pemaksa Berbentuk Anak Tangga. Kita telah mempelajari 

bahwa fungsi anak tangga adalah fungsi yang bernilai 0 untuk t < 0 dan 

bernilai konstan untuk t > 0. Jadi jika kita hanya meninjau keadaan 

untuk t > 0 saja, maka fungsi pemaksa anak tangga dapat kita tuliskan 

sebagai f(t) = A (tetapan). 

Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan 

− 

10 3 dv 

+ v =12 

dt 

dengan kondisi awal v(0 + ) = 0 V. 

−3 

−3 

Persamaan karakteristik : 10 s + 1 = 0 → s = −1/10 

= −1000 


−1000 

t 

va 

= A0e 

187

Karena f(t) = 12 konstan, kita dapat menduga bahwa solusi khusus 

akan bernilai konstan juga karena turunannya akan nol sehingga 

kedua ruas persamaan tersebut dapat berisi suatu nilai konstan. 


Masukkan v p 

vp 

= K 

dugaan ini ke persamaan : 

−1000 

t 

Dugaan solusi total : v = 12 + A0e 

V 

+ 


) = v(0−) 

= 0. 

0 + K = 12 ⇒ vp 

= 12 

Penerapan kondisi awal memberikan: 0 = 12 + A0 

→ A0 

= −12 

−1000t 

Solusi total menjadi : v = 12 −12 

e V 

Contoh: Pada kondisi awal v(0 + ) = 11 V, analisis transien 

menghasilkan persamaan 

dv 

+ 5 v = 200 

dt 




Dugaan solusi lengkap: 

Kondisi awal : 

−5 

t 

va 

= A0e 

v p = K → 0 + 5K 

= 200 → v p = 40 

−5t 

−5t 

v = v p + A0e 

= 40 + A0e 

+ 

v(0 

) = 11V. Penerapan kondisi awal memberikan: 

11 = 40 + A0 

→ A0 

= −29 

−5t 

Tanggapan total: v = 40 − 29 e V. 

Fungsi Pemaksa Berbentuk Sinus. Berikut ini kita akan mencari solusi 

jika fungsi pemaksa berbentuk sinus. Karena solusi homogen tidak 

tergantung dari bentuk fungsi pemaksa, maka pencarian solusi homogen 

dari persamaan ini sama seperti apa yang kita lihat pada contoh-contoh 

sebelumnya. Jadi dalam hal ini perhatian kita lebih kita tujukan pada 

pencarian solusi khusus. 

Dengan pengertian bahwa kita hanya memandang kejadian pada t > 0, 

bentuk umum dari fungsi sinus yang muncul pada t = 0 kita tuliskan 

y = Acos( ωt 

+ θ) 


Melalui relasi 

{ cosωt 

cosθ − sin ωt 

θ} 

y = Acos( 

ωt 

+ θ) 

= A 

sin 

bentuk umum fungsi sinus dapat kita tuliskan sebagai 

y = Ac 

cosωt 

+ As 

sin ωt 

dengan Ac 

= Acosθ 


As 

= −Asin 

θ 

Dengan bentuk umum seperti di atas kita terhindar dari perhitungan 

sudut fasa θ, karena sudut fasa ini tercakup dalam koefisien A c dan A s . 

Koefisien A c dan A s tidak selalu ada. Jika sudut fasa θ = 0 maka A s = 0 

dan jika θ = 90 o maka A c = 0. Jika kita memerlukan nilai sudut fasa θ dari 

fungsi sinus yang dinyatakan dengan pernyataan umum, kita dapat 

As 

menggunakan relasi tan θ = . 

Ac 

Turunan fungsi sinus akan berbentuk sinus juga. Oleh karena itu, 

penjumlahan y = sinωt dan turunannya akan berbentuk fungsi sinus juga. 

y = A cosωt 

+ A sin ωt 

; 

c 

dy 

= −Ac 

ωsin 

ωt 

+ Asω 

cosωt 

dt 

2 

d y 

= −Ac 

ω 

2 

dt 

2 

s 

cosωt 

− A ω 

s 

2 

; 

sin ωt 

Contoh: Pada kondisi awal v(0 + ) = 0 V suatu analisis transien 

dv 

menghasilkan persamaan + 5 v =100cos10t 

dt 



v 

a 

= A e 

−5 

t 

0 

Fungsi pemaksa berbentuk sinus. Solusi khusus kita duga akan 

berbentuk sinus juga. 

189


v p = Ac 

cos10t 

+ As 

sin10t 

Substitusi solusi khusus ini ke persamaan memberikan: 

− 10Ac 

sin10t 

+ 10As 

cos10t 

+ 5Ac 

cos10t 

+ 5As 

sin10t 

= 100cos10t 

→ −10Ac 

+ 5As 

= 0 dan 10As 

+ 5Ac 

= 100 

→ As 

= 2Ac 

→ 20Ac 

+ 5Ac 

= 100 ⇒ Ac 

= 4 dan As 

= 8 

Solusi khusus: v p = 4cos10t 

+ 8sin10t 

−5 

t 

Dugaan solusi total : v = 4cos10t 

+ 8sin10t 

+ A0e 

+ 

Kondisi awal v(0 

) = 0. 

Penerapan kondisi awal : 0 = 4 + A0 

→ A0 

= −4 

−5t 

Jadi: v = 4cos10t 

+ 8sin10t 

− 4e 

V 

Contoh: Apabila kondisi awal adalah v(0 + ) = 10 V, bagaimanakah 

solusi pada contoh sebelum ini? 

Solusi total telah diperoleh; hanya kondisi awal yang berubah. 

−5t 

Solusi total : v = 4 cos10t 

+ 8sin10t 

+ A0e 

+ 

Kondisi awal v(0 

) = 10 → 10 = 4 + A0 

→ A0 

= 6 

−5 

t 

Jadi : v = 4 cos10t 

+ 8 sin10t 

+ 6 e V 

Ringkasan. Solusi total terdiri dari solusi khusus dan solusi homogen. 

Solusi homogen merupakan bagian transien dengan konstanta waktu 

yang ditentukan oleh tetapan-tetapan dalam persamaan, yang dalam hal 

rangkaian listrik ditentukan oleh nilai-nilai elemen rangkaian. Solusi 

khusus merupakan solusi yang tergantung dari bentuk fungsi pemaksa, 

yang dalam hal rangkaian listrik ditentukan oleh masukan dari luar; 

solusi khusus merupakan bagian mantap atau kondisi final. 


− τ 

= ( ) t / 

y y p t + A0 

e 

Solusi khusus : 

ditentukan oleh fungsi pemaksa. 

merupakan komponen mantap; 

tetap ada untuk t →∞. 

Solusi homogen : 

tidak ditentukan oleh fungsi pemaksa. 

merupakan komponen transien; hilang pada t 

→∞; sudah dapat dianggap hilang pada t = 5τ. 

konstanta waktu τ = a/b pada (14.10) 

Soal-Soal: 

1. Carilah solusi persamaan diferensial berikut. 

dv 

+ 

a). + 10v 

= 0 , v(0 

) = 10 ; 

dt 

dv 

+ 

b). + 15v 

= 0 , v(0 

) = 5 

dt 


di 

+ 

a). + 8i 

= 0 , i(0 

) = 2 ; 

dt 

di 4 

+ 

b). + 10 i = 0 , i(0 

) = −0,005 

dt 

191


dv 

+ 

a). + 10v 

= 10u( 

t) 

, v(0 

) = 0 ; 

dt 

dv 

+ 

b). + 10v 

= 10u( 

t) 

, v(0 

) = 5 

dt 


di 4 

+ 

a). + 10 i = 100u( 

t) 

, i(0 

) = 0 ; 

dt 

di 4 

+ 

b). + 10 i = 100u( 

t) 

, i(0 

) = −0,02 

dt 


dv 

+ 

a). + 5v 

= 10cos(5t) 

u( 

t) 

, v(0 

) = 0 ; 

dt 

dv 

+ 

b). + 10v 

= 10cos(5t) 

u( 

t) 

, v(0 

) = 5 

dt 


Bab 16 

Persamaan Diferensial (2) 

(Orde Dua) 

16.1. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua 

Secara umum persamaan diferensial linier orde dua berbentuk 

2 

d y dy 

a + b + cy = f ( t) 

(16.1) 

2 

dt dt 

Pada persamaan diferensial orde satu kita telah melihat bahwa solusi 

total terdiri dari dua komponen yaitu solusi homogen dan solusi khusus. 

Hal yang sama juga terjadi pada persamaan diferensial orde dua yang 

dengan mudah dapat ditunjukkan secara matematis seperti halnya pada 

persamaan orde pertama. Perbedaan dari kedua macam persamaan ini 

terletak pada kondisi awalnya. Pada persamaan orde dua terdapat dua 

kondisi awal dan kedua kondisi awal ini harus diterapkan pada dugaan 

solusi total. Dua kondisi awal tersebut adalah 

+ − dy + − 

y (0 ) = y(0 

) dan (0 ) = y'(0 

) 

(16.2) 

dt 

Solusi homogen. Solusi homogen diperoleh dari persamaan rangkaian 

dengan memberikan nilai nol pada ruas kanan dari persamaan (4.25), 

sehingga persamaan menjadi 

2 

d y dy 

a + b + cy = 0 

(16.3) 

2 

dt dt 

Agar persamaan ini dapat dipenuhi, y dan turunannya harus mempunyai 

bentuk sama sehingga dapat diduga y berbentuk fungsi eksponensial y a = 

Ke st dengan nilai K dan s yang masih harus ditentukan. Kalau solusi 

dugaan ini dimasukkan ke (16.3) akan diperoleh : 

2 

( as + bs + ) = 0 

2 st st st 

st 

aKs e + bKse + cKe = 0 atau Ke 

c 

(16.4) 

193

Fungsi e st tidak boleh nol untuk semua nilai t . Kondisi K = 0 juga tidak 

diperkenankan karena hal itu akan berarti y a = 0 untuk seluruh t. Satusatunya 

jalan agar persamaan ini dipenuhi adalah 

2 

as + bs + c = 0 

(16.4) 

Persamaan ini adalah persamaan karakteristik persamaan diferensial 

orde dua. Secara umum, persamaan karakteristik yang berbentuk 

persamaan kwadrat itu mempunyai dua akar yaitu: 

2 

− b ± b − 4ac 

s1, 

s2 

= (16.5) 

2a 

Akar-akar persamaan ini mempunyai tiga kemungkinan nilai, yaitu: dua 

akar riil berbeda, dua akar sama, atau dua akar kompleks konjugat. 

Konsekuensi dari masing-masing kemungkinan nilai akar ini terhadap 

bentuk solusi akan kita lihat lebih lanjut. Untuk sementara ini kita 

melihat secara umum bahwa persamaan karakteristik mempunyai dua 

akar. 

Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai dua solusi 

homogen, yaitu: 

s1t 

s t 

a1 = K1e 

dan ya2 

= K2e 

(16.6) 

y 

2 

Jika y a1 merupakan solusi dan y a2 juga merupakan solusi, maka jumlah 

keduanya juga merupakan solusi. Jadi solusi homogen yang kita cari 

akan berbentuk 

Konstanta K 1 

solusi total. 

s1t 

s t 

a = K1 e + K2e 

(16.7) 

y 

2 

dan K 2 kita cari melalui penerapan kondisi awal pada 

Solusi Khusus. Sulusi khusus kita cari dari persamaan (16.1). Solusi 

khusus ini ditentukan oleh bentuk fungsi pemaksa, f(t). Cara menduga 

bentuk solusi khusus sama dengan apa yang kita pelajari pada persamaan 

orde satu. Kita umpamakan solusi khusus y khusus = y p . 

Solusi Total. Dengan solusi khusus y p maka solusi total menjadi 

s1t 

s t 

= y p + ya 

= y p + K1 e + K2e 

(16.8) 

y 

2 


16.2. Tiga Kemungkinan Bentuk Solusi 

Sebagaimana disebutkan, akar-akar persamaan karakteristik yang 

berbentuk umum as 2 + bs + c = 0 dapat mempunyai tiga kemungkinan 

nilai akar, yaitu: 

a). Dua akar riil berbeda, s 1 ≠ s 2 , jika {b 2 − 4ac } > 0; 

b). Dua akar sama, s 1 = s 2 = s , jika {b 2 −4ac } = 0 

c). Dua akar kompleks konjugat s 1 , s 2 = α ± jβ , jika {b 2 −4ac } < 0. 

Tiga kemungkinan nilai akar tersebut akan memberikan tiga 

kemungkinan bentuk solusi yang akan kita lihat berikut ini, dengan 

contoh solusi pada persamaan diferensial tanpa fungsi pemaksa. 

Dua Akar yata Berbeda. Kalau kondisi awal y(0 + ) dan dy/dt (0 + ) kita 

terapkan pada solusi total (16.8), kita akan memperoleh dua persamaan 

yaitu 

+ + 

+ 

y( 0 ) y p (0 ) K1 K2 

dan y'(0 

) y′ 

+ 

= + + 

= p (0 ) + s1K1 

+ s2K2 

yang akan menentukan nilai K 1 dan K 2 . Jika kita sebut 

(16.9) 

+ 

+ + 

A 0 = y( 0 

+ ) − y p (0 ) dan B0 

= y′ 

(0 ) − y ′ p (0 ) (16.10) 

maka kita peroleh 

dan dari sini kita memperoleh 

K 1 + K2 

= A0 

dan s1K1 

+ s2K2 

= B0 

s2A0 

− B0 

K1 = 


s2 

− s1 

sehingga solusi total menjadi 

s1 

A0 

− B0 

K2 

= 

s1 

− s2 

s2A0 

− B0 

s t s A B 

1 1 0 − 0 s t 

= y p + e + e (16.11) 

s2 

− s1 

s1 

− s2 

y 

2 

Berikut ini kita lihat suatu contoh. Seperti halnya pada persamaan orde 

pertama, pada persamaan orde dua ini kita juga mengartikan solusi 

persamaan sebagai solusi total. Hal ini didasari oleh pengertian tentang 

kondisi awal, yang hanya dapat diterapkan pada solusi total. Persamaan 

yang hanya mempunyai solusi homogen kita fahami sebagai persamaan 

dengan solusi khusus yang bernilai nol. 

195

Contoh: Dari analisis transien suatu rangkaian listrik diperoleh 

persamaan 

2 

d v 

3 dv 6 

+ 8,5 × 10 + 4 × 10 v = 0 

2 

dt 

dt 

dengan kondisi awal v(0 + )=15 V dan dv/dt(0 + ) = 0 

2 

3 6 

Persamaan karkteristik : s + 8,5 × 10 s + 4 × 10 = 0 

3 2 

→ akar - akar : s1, 

s2 

= −4250 

± 10 (4,25) − 4 

s1 

= −500, 

s2 

= −8000 

( dua akar riil berbeda). 

Dugaan solusi total: 

Kondisi awal : 

−500t 

−8000t 

v = 0 + K1e 

+ K2e 

(solusi homogen nol) 

+ − 

a). v(0 

) = v(0 

) = 15 V →15 

= K1 

+ K2 

⇒ K2 

= 15 − K1 

dv + 

b). (0 ) = 0 → 0 = K1s1 

+ K2s2 

= K1s1 

+ (15 − K1) 

s2 

dt 

− 15s2 

− 15( −8000) 

⇒ K1 

= = 

= 16 ⇒ K2 

= 15 − K1 

= −1 

s1 

− s2 

− 500 + 8000 

−500 

t −8000 

t 

Solusi total: v = 16e 

− e V 

(hanya terdiri dari solusi homogen). 

Dua Akar yata Sama Besar. Kedua akar yang sama besar tersebut 

dapat kita tuliskan sebagai 

s 1 = s dan s2 

= s + δ ; dengan δ → 0 

(16.12) 

Dengan demikian maka solusi total dapat kita tulis sebagai 

s1t 

s2t 

y = y p + K1e 

+ K2e 

st ( s+δ) 

t 

= y p + K1e 

+ K2e 

(16.13) 

Kalau kondisi awal pertama y(0 + ) kita terapkan, kita akan memperoleh 

+ + 

y(0 

) = y p (0 ) + K1 

+ K2 

+ + 

→ K1 

+ K2 

= y(0 

) − y p (0 ) = A0 

Jika kondisi awal kedua dy/dt (0 + ) kita terapkan, kita peroleh 


y′ 

+ 

(0 ) y′ 

+ 

= p (0 ) + K1s 

+ K2( 

s + δ) 

( K1 

K2) 

s K2 

y′ 

+ 

(0 ) y′ 

+ 

→ + + δ = − p (0 ) = B0 

Dari kedua persamaan ini kita dapatkan 

A0 

s + K2δ = B0 

Solusi total menjadi 

Karena 

⎡⎛ 

B0 

= y p + ⎢⎜ 

A0 

− 

⎣⎝ 

B0 

− A0 

s 

→ K2 

= 

δ 

B0 

→ K1 

= A0 

− 

− 

δ 

A0 

s 

⎛ B0 

− A0 

s ⎞ st B0 

− A0 

s ( s+δ) 

t 

y = y p + ⎜ A0 

− ⎟e 

+ e 

⎝ δ ⎠ δ 

− 

δ 

A0 

s ⎞ B0 

⎟ + 

⎠ 

− 

δ 

A0 

s δ t ⎤ st 

e ⎥ e 

⎦ 

⎡ 

⎛ δ t 

1 e ⎞⎤ 

st 

= y p + ⎢A0 

+ ( B0 

− A0 

s) 

⎜− 

+ ⎟⎥ 

e 

⎢ 

⎜ ⎟ 

⎣ 

⎝ 

δ δ 

⎠⎥ 

⎦ 

⎛ δ t 

1 e ⎞ ⎛ δt 

e 1⎞ 

lim ⎜ 

lim ⎜ − 

− + ⎟ = 

⎟ = t 

δ→0⎜ 

⎟ 0⎜ 

⎟ 

⎝ 

δ δ δ→ 

⎠ ⎝ 

δ 

⎠ 

maka solusi total dapat kita tulis 

[ A + B A s) 

t] e 

st 

(16.14) 

(16.15.a) 

y = y p + 0 ( 0 − 0 

(16.15.b) 

Solusi total seperti dinyatakan oleh (16.15.b) merupakan bentuk khusus 

yang diperoleh jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar sama 

besar. A 0 dan B 0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi 

awal. Dengan demikian kita dapat menuliskan (16.15.b) sebagai 

[ K + K t] e 

st 

y = y p + a b 

(16.15.c) 

dengan nilai K a yang ditentukan oleh kondisi awal, dan nilai K b 

ditentukan oleh kondisi awal dan s. Dalam rangkaian listrik, nilai s 

tergantung dari elemen-elemen yang membentuk rangkaian dan tidak ada 

kaitannya dengan kondisi awal. Dengan kata lain, jika kita mengetahui 

bahwa persamaan karakteristik rangkaian mempunyai akar-akar yang 

sama besar (akar kembar) maka bentuk tanggapan rangkaian akan seperti 

yang ditunjukkan oleh (16.15.c). 

197

Contoh: Pada kondisi awal v(0 + )=15 V dan dv/dt(0 + )=0, analisis 

transien rangkaian listrik memberikan persamaan 

2 

d v 3 dv 6 

+ 4 × 10 + 4 × 10 v = 0 

2 

dt dt 

2 

6 

Persamaan karakteristik : s + 4000s 

+ 4 × 10 = 0 

Di sini 

solusi total 

6 6 

s1, 

s2 

= −2000 

± 4 × 10 − 4 × 10 = −2000 

= s 

terdapat dua akar sama besar; oleh karena itu 

akar - akar : 

v = vp 

+ 

Jadi : v = 

akan 

berbentuk : 

st 

st 

( K + K t) e = 0 + ( K + K t) e , karena v = 0. 

a 

b 

Aplikasi kondisi awal pertama pada solusi total ini memberikan 

+ 

v(0 

) = 15 = Ka. 

dv + 

Aplikasi kondisi awal kedua (0 ) = 0 

dt 

dv st 

st 

memberikan = Kbe 

+ ( Ka 

+ Kbt) 

s e 

dt 

dv + 

→ (0 ) = 0 = Kb 

+ Kas 

→ 

dt 

−2000 t 

( 15 + 30000t 

) e V 

a 

b 

Kb 

= −Kas 

= 30000 

Akar-Akar Kompleks Konjugat. Kita belum membahas bilangan 

kompleks di buku ini. Kita baru memandang fungsi-fungsi yang 

memiliki nilai bilangan nyata. Namun agar pembahasan menjadi 

lengkap, berikut ini diberikan solusinya. 

Dua akar kompleks konjugat dapat dituliskan sebagai 

Solusi total dari situasi ini adalah 

s1 = α + jβ 

dan s2 

= α − jβ 

p 

( α+ jβ) 

t ( α− jβ) 

t 

y = y p + K1e 

+ K2e 

= y p + 

+ jβ 

t − jβ 

t αt 

( K e + K e ) e 

Aplikasikan kondisi awal yang pertama, y(0 + ), 

1 

2 

(16.16) 


+ + 

y(0 

) = y p (0 ) + 

→ 

( K + K ) 

1 

+ + 

K1 

+ K2 

= y(0 

) − y p (0 ) = A0 

dv + + 

Aplikasi kondisi awal yang kedua, (0 ) = y′ 

(0 ) , 

dt 

dy dy p 

jβt 

− jβt 

αt 

= + ( jβK1e 

− jβK2e 

) e 

dt dt 

jβt 

− jβt 

αt 

+ ( K1e 

+ K2e 

) α e 

Kita akan memperoleh 

dy + 

(0 ) y′ 

+ 

(0 ) y′ 

+ 

= = p (0 ) + 

dt 

→ jβ 

jβ 

2 

( jβK 

− jβK 

) + ( K + K ) 

( K1 

K2 

) ( K1 

K2 

) y′ 

+ 

(0 ) y′ 

+ 

− + α + = − p (0 ) = B0 

K1 

+ K2 

= A0 

( K − K ) + α( K + K ) 

1 

2 

1 

1 

B0 

− αA0 

2 = B0 

→ K1 

− K2 

= 

jβ 

A0 

+ ( B0 

− αA0 

) / jβ 

A0 

− ( B0 

− αA0 

) / jβ 

K 1 = 

K2 

= 

2 

2 

Solusi total menjadi 

y = y 

= y 

= y 

p 

p 

p 

⎛ A + B 

+ 

0 ( 0 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ ⎜ A 

⎜ 

⎝ 

0 

e 

+ jβ 

t 

+ e 

2 

− jβ 

t 

⎛ ( B 

+ 

⎜ A cosβt 

+ 

0 

0 

⎝ 

− αA0 

) / jβ 

e 

2 

( B 

+ 

+ jβ 

t 

0 

− αA0 

) e 

β 

− αA0 

) ⎞ 

sinβt 

⎟ e 

β ⎠ 

αt 

2 

A − ( B 

+ 

0 0 

+ jβ 

t 

− e 

2 j 

1 

− jβ 

t 

2 

⎞ 

⎟ e 

⎟ 

⎠ 

α 

− αA0 

) / jβ 

e 

2 

αt 

− jβ 

t 

⎞ 

⎟ e 

⎠ 

αt 

(16.17) 

A 0 dan B 0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi awal 

sedangkan α dan β memiliki nilai tertentu (dalam rangkaian listrik 

ditentukan oleh nilai elemen rangkaian). Dengan demikian solusi total 

dapat kita tuliskan sebagai 

y = y p + 

αt 

( K βt 

+ K sinβt) e 

a cos b 

(16.18) 

199

dengan K a dan K b yang masih harus ditentukan melalui penerapan 

kondisi awal. Ini adalah bentuk solusi total khusus untuk persamaan 

diferensial yang memiliki persamaan karakteristik dengan dua akar 

kompleks konjugat. 

Persamaan (16.8) menunjukkan bahwa bila persamaan karakteristik 

memberikan dua akar kompleks konjugat, maka solusi persamaan 

diferensial orde dua akan terdiri dari solusi khusus y p ditambah fungsi 

sinus yang teredam. 

Soal-Soal: 


2 

d v dv 

+ dv + 

a). + 7 + 10v 

= 0 ; v(0 

) = 0, (0 ) = 15 

2 

dt dt 

dt 

b). 

2 

d v dv 

+ dv + 

+ 4 + 4v 

= 0 ; v(0 

) = 0 , (0 ) = 10 

2 

dt dt 

dt 

c). 

2 

d v dv 

+ dv + 

+ 4 + 5v 

= 0 ; v(0 

) = 0 , (0 ) = 5 

2 

dt dt 

dt 


2 

d v dv 

+ dv(0) 

a). + 10 + 24v 

= 100u( 

t) ; v(0 

) = 5, = 25 

2 

dt dt 

dt 

b). 

2 

d v dv 

+ dv(0) 

+ 10 + 25v 

= 100u( 

t); 

v(0 

) = 5, = 10 

2 

dt dt 

dt 

c). 

2 

d v dv 

+ dv(0) 

+ 8 + 25v 

= 100u( 

t); 

v(0 

) = 5, = 10 

2 

dt dt 

dt 


2 

d v dv 

+ dv + 

a). + 6 + 8v 

= 100[cos1000 t] 

u( 

t) 

, v(0 

) = 0, (0 ) = 0 

2 

dt dt 

dt 

b). 

2 

d v dv 

+ dv + 

+ 6 + 9v 

= 100[cos1000 t] 

u( 

t) 

, v(0 

) = 0, (0 ) = 0 

2 

dt dt 

dt 

c). 

2 

d v dv 

+ dv + 

+ 2 + 10v 

= 100[cos1000 t] 

u( 

t) , v(0 

) = 0, (0 ) = 0 

2 

dt dt 

dt 


Bab 17 

Koordinat Polar 

Sampai dengan Bab-16 kita membicarakan fungsi dengan kurva-kurva 

yang digambarkan dalam koordinat sudut-siku, x-y. Di bab ini kita akan 

melihat sistem koordinat polar. 

17.1. Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku 

Pada pernyataan posisi satu titik P[x P ,y P ] pada sistem koordinat sudutsiku 

terdapat hubungan 

y P = r sin θ ; x P = r cosθ 

(17.1) 

dengan r adalah jarak antara titik P dengan titik-asal [0,0] dan θ adalah 

sudut yang dibentuk oleh arah r dengan sumbu-x, seperti terlihat pada 

Gb. 17.1. 

y 

y P 

r 

P[r,θ] 

θ 

[0,0] x P x 

Gb.17.1. Posisi titik P pada sistem koordinat polar. 

Dalam koordinat polar, r dan θ inilah yang digunakan untuk menyatakan 

posisi titik P. Posisi titik P seperti pada Gb. 17.1. dituliskan sebagai 

P[r,θ]. 

17.2. Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar 

Di Bab-5 kita telah melihat persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di 

O[a,b] dalam koordinat sudut-siku, yaitu 

2 2 2 

( x − a) 

+ ( y − b) 

= c 

201

Kita dapat menyatakan lingkaran ini dalam koordinat polar dengan 

mengganti x dan y menurut relasi (17.1), yaitu 

yang dapat dituliskan sebagai 

2 

2 2 

( r cosθ − a) 

+ ( r sin θ − b) 

= c 

(17.2.a) 

2 2 

2 2 2 

2 2 

( r cos θ − 2ra 

cosθ + a ) + ( r sin θ − 2rbsin 

θ + b ) − c = 0 

2 

( r − 2r( 

a cosθ + bsin 

θ) 

) 

r 

2 2 2 

+ a + b − c = 0 

2 2 2 

( r − 2( a cosθ + bsin 

θ) 

) + a + b − c = 0 

dengan bentuk kurva seperti Gb.17.2.a 

(17.2.b) 

Jika lingkaran ini berjari-jari c = a dan berpusat di O[a,0] maka 

persamaan (17.2.b) menjadi 

r ( r − 2a 

cosθ) 

= 0 

(17.2.c) 

Pada faktor pertama, jika kita mengambil r = 0 , kita menemui titik 

pusat. Faktor ke-dua adalah 

r − 2 a cosθ 

= 0 

(17.2.d) 

merupakan persamaan lingkaran dengan bentuk kurva seperti pada 

Gb.17.2.b. 

b 

y 

[0,0] 

θ 

r 

a 

(a) 

P[r,θ] 

[0,0] 

Gb.17.2. Lingkaran 

Berikut ini tiga contoh bentuk kurva dalam koordinat bola. 

x 

y 

θ 

r 

a 

(b) 

P[r,θ] 

x 


Contoh: r = 2(1 

− cosθ) 

. Bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.17.3 

yang disebut kardioid (cardioid) karena bentuk yang seperti hati. 

Gb.17.3 Kurva kardioid, r = 2(1 

− cosθ) 

Perhatikan bahwa pada θ = 0, r = 0; pada θ = π/2 , r = 2; pada θ = π, 

r = 4; pada θ = 1,5π, r = 2. 

Contoh: 

P[r,θ] 

r 

0 

-5 -3 -1 1 x 

-1 

2 

r = 16cosθ 

. Bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.17.4 

3 

2 

1 

0 

-5 -3 -1 1 3 x 5 

-1 

-2 

-3 

Gb.17.4 Kurva 

2 

r = 16cosθ 

Perhatikan bahwa pada θ = 0, r = 4; pada θ = π/2 , r = 0; pada θ = π, 

r = 4; pada θ = 1,5π, r = 0. 

Contoh: r θ = 2 . Untuk θ > 0 bentuk kurva fungsi ini terlihat pada 

Gb.17.5 

y 

3 

2 

1 

-2 

-3 

r 

θ 

y 

θ 

P[r,θ] 

203

2 

y 

1,5 

1 

0,5 

r 

θ 

P[r,θ] 

0 

-1 0 1 2 x 3 

θ = π 

-0,5 

θ = 3π θ = 4π θ = 2π 

-1 

Gb.17.5 Kurva r θ = 2 

y = 2 

Pada persamaan kurva ini jika θ = 0 maka 0 = 2; suatu hal yang tidak 

benar. Ini berarti bahwa tidak ada titik pada kurva yang bersesuaian 

dengan θ = 0. Akan tetapi jika θ mendekati nol maka r mendekati ∞; 

garis y = 2 merupakan asimptot dari kurva ini. Perhatikanlah bahwa 

perpotongan kurva dengan sumbu-x tidak berarti θ = 0 dan terjadi pada θ 

= π, 2π, 3π, 4π, dst. 

17.3. Persamaan Garis Lurus 

Salah satu cara untuk menyatakan persamaan kurva dalam koordinat 

polar adalah menggunakan relasi (17.1) jika persamaan dalam koordinat 

sudut-siku diketahui. Hal ini telah kita lakukan misalnya pada persamaan 

lingkaran (17.2.a) menjadi (17.2.b) atau (17.2.c). Berikut ini kita akan 

menurunkan persamaan kurva dalam koordinat polar langsung dari 

bentuk / persyaratan kurva. 

Gb.17.6 memperlihatkan kurva dua garis lurus l 1 sejajar sumbu-x dan l 2 

sejajar sumbu-y. 

y 

l 1 

y 

O 

r 

θ 

a 

P[r,θ] 

x 

b 

O 

l 2 

r 

θ 

P[r,θ] 

x 

Gb.17.6 Garis lurus melalui titik-asal [0,0]. 

Garis l 1 berjarak a dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini 

harus memenuhi 


Inilah persamaan garis l 1 . 

r cos θ = a 

(17.3) 

Garis l 2 berjarak b dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini 

harus memenuhi 


r sin θ = b 

(17.4) 

Kita lihat sekarang garis l 3 yang berjarak a dari titik asal dengan 

kemiringan positif seperti terlihat pada Gb.17.7. Karena garis memiliki 

kemiringan tertentu maka sudut antara garis tegak-lurus ke l 3 , yaitu β 

juga tertentu. Kita manfaatkan β untuk mencari persamaan garis l 3 . Jika 

titik P harus terletak pada l 3 maka 


r cos( β − θ) 

= a 

(17.5) 

y 

P[r,θ] 

A 

α 

l 3 

a 

β 

r 

θ 

O 

x 

Gb.17.7. Garis lurus l 3 berjarak a dari [0,0], memiliki kemiringan positif. 

Jika kita bandingkan persamaan ini dengan persamaan (17.3) terlihat 

bahwa persamaan (17.5) ini adalah bentuk umum dari (17.3), yang akan 

kita peroleh jika kita melakukan perputaran sumbu. Jika perputaran kita 

lakukan sedemikian rupa sehingga memperoleh kemiringan garis positif, 

maka akan kita peroleh persamaan garis seperti (17.5). Apabila 

perputaran sumbu kita lakukan sehingga garis yang kita hadapi, l 4 , 

memiliki kemiringan negatif, seperti pada Gb.17.8., maka persamaan 

garis adalah 

r cos( θ − β) 

= a 

(17.6) 

205

y 

P[r,θ] 

r a 

θ 

β 

O 

l 4 

x 

Gb.17.8. Garis lurus l 4 berjarak a dari [0,0], kemiringan negatif. 

17.4. Parabola, Elips, Hiperbola 

Ketiga bangun geometris ini telah kita lihat pada Bab-5 dalam koordinat 

sudut-siku. Kita akan melihatnya sekarang dalam koordinat polar. 

Eksentrisitas. Pengertian sehari-hari dari istilah eksentrik adalah 

menyimpang dari yang umum. Dalam matematika, eksentrisitas adalah 

rasio antara jarak suatu titik P terhadap titik tertentu dengan jarak antara 

titik P terhadap garis tertentu. Titik tertentu itu disebut titik fokus dan 

garis tertentu itu disebut direktriks; kedua istilah ini telah kita kenal pada 

waktu pembahasan mengenai parabola di Bab-5. Sesungguhnya, dengan 

pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola, 

elips, dan hiperbola. 

Perhatikan Gb.17.8. Jika e s adalah eksentrisitas, maka 

PF 

e s = 

(17.7) 

PD 

D 

A 

direktriks 

r 

θ 

F 

Gb.17.8. Titik fokus dan garis direktriks. 

Jika kita mengambil titik fokus F sebagai titik asal, maka 

k 

y 

PF = r 

B 

P[r,θ] 

x 


dan dengan (17.7) menjadi 

r = e s PD ; sedangkan 

PD = AB = AF + FB = k + r cosθ 

sehingga r = es 

( k + r cosθ) 

= esk 

+ esr 

cosθ 


esk 

r = 

(17.8) 

1 − es 

cosθ 

Nilai e s menentukan persamaan bangun geometris yang kita akan 

peroleh. 

Parabola. Jika e s = 1, yang berarti PF = PD, maka 

k 

r = 

(17.9) 

1− 

cosθ 

Inilah persamaan parabola. 

Perhatikan bahwa jika θ mendekati nol, maka r mendekati tak hingga. 

Jika θ = π/2 maka r = k. Jika θ = π titik P akan mencapai puncak kurva 

dan r = k/2, yang berarti bahwa puncak parabola berada di tegah-tengah 

antara garis direktriks dan titik fokus. Hal ini telah kita lihat di Bab-5. 

Elips. Jika e s < 1, misalnya e s = 0, 5 , PF = PD/2, maka 

k 

r = 

(17.10) 

2 − cosθ 

Inilah persamaan elips. 

Perhatikan bahwa karena − 1 ≤ cosθ ≤ + 1 maka penyebut pada 

persamaan (17.10) tidak akan pernah nol. Oleh karena itu r selalu 

mempunyai nilai untuk semua nilai θ. Jika θ = 0 maka r = k, titik P 

mencapai jarak terjauh dari F. dan jika θ = π/2 maka r = k/2 . Jika θ = π 

maka r = k/3, titik P mencapai jarak terdekat dengan F. 

Hiperbola. Jika e s > 1, misal e s = 2 , berarti PF = 2 × PD , maka 

2k 

r = 

(17.11) 

1 − 2cosθ 

Inilah persamaan hiperbola. 

207

Jika θ mendekati π/3 maka r menuju tak hingga. Jika θ = π / 2 maka r = 

2k. Jika θ = π , titik P ada di puncak kurva, dan r = k/3 = PF. 

17.4. Lemniskat dan Oval Cassini 

Di laut Aegea di hadapan selat Dardanella, terdapat sebuah pulau yang 

penting dalam mitologi Yunani yaitu pulau Lemnos atau Limnos. Pulau 

vulkanik ini berbentuk tak beraturan dengan dua teluk yang menjorok 

dalam ke daratan di pantai utara dan pantai selatan. 

Giovanni Domenico Cassini dikenal juga dengan nama Jean Dominique 

Cassini (1625 – 1712) adalah astronom Italia. Cassini menemukan empat 

di antara sembilan atau sepuluh satelit planet Saturnus. Ia pula yang 

menemukan celah cincin Saturnus, antara cincin terluar dengan cincin 

ke-dua yang paling terang; celah itu kemudian disebut Cassini’s division. 

Bangun-geometris yang disebut lemniskat dan oval Cassini merupakan 

situasi khusus dari kurva yang merupakan tempat kedudukan titik-titik 

yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan. 

Misalkan dua titik tertentu tersebut adalah F 1 [a,π] dan F 2 [a,0]. Lihat 

Gb.17.9. 

θ = π 

Gb.17.9. Menurunkan persamaan kurva dengan 

persyaratan PF 1 ×PF 2 = konstan 

Dari Gb.17.9. kita dapatkan 

2 

2 

( PF ) = ( r sin θ) + ( a + r cosθ) 

1 

2 2 

= r + a + 2ar 

cosθ 

2 

2 

( PF ) = ( r sin θ) + ( a − r cosθ) 

2 

F 1 [a,π] 

θ = π/2 

2 2 

= r + a − 2ar 

cosθ 

r 

P[r,θ] 

θ θ = 0 

F 2 [a,0] 

2 

2 

Misalkan hasil kali 

2 

PF1 × PF 2 = b , maka kita peroleh relasi 


4 

b = 

2 2 

2 2 

( r + a + 2ar 

cosθ) × ( r + a − 2ar 

cosθ) 

4 4 2 2 

2 

= r + a + 2a 

r − (2ar 

cosθ) 

4 4 2 2 2 

= r + a + 2a 

r (1 − 2cos θ) 

(17.12) 

Kita manfaatkan identitas trigonometri 

2 2 2 

cos2θ 

= cos θ − sin θ = 2cos θ −1 

untuk menuliskan (17.12) sebagai 

4 

4 

4 

2 

2 

b = r + a − 2a 

r cos2θ 

(17.13) 

Jika b kita buat ber-relasi dengan a yaitu b = ka maka persamaan (17.13) 

ini dapat kita tuliskan 

Untuk r > 0, persamaan ini menjadi 

r 

2 

4 2 2 

4 4 

0 = r − 2a 

r cos 2θ + a (1 − k ) 

2 

2 

2 

= a cos 2θ ± a cos 2θ − (1 − k ) 

(17.14) 

Lemniskat. Bentuk kurva yang disebut lemniskat ini diperoleh pada 

kondisi khusus (17.14) yaitu k = 1, yang berarti b = a atau 

2 

PF1 × PF 2 = a . Pada kondisi ini persamaan (17.14) menjadi 

2 2 2 

0 = r ( r − 2a 

cos2θ) 

Faktor pertama r = 0 akan memberikan sebuah titik. Faktor yang ke-dua 

memberikan persamaan 

r 

2 2a 

2 

= cos 2θ 

Dengan mengambil a = 1, kurva dari persamaan ini terlihat pada 

Gb.17.10. 

4 

209

θ = π/2 

0,6 

θ = π 

0,2 

θ = 0 

0 

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 

-0,2 

Gb.17.10. Kurva persamaan (17.14), k = 1 = a. 

Bentuk lemniskat masih akan diperoleh pada k > 1, misalnya k = 1,1. 

Pada keadaan ini, dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yang 

akan diperoleh terlihat seperti pada Gb.17.11. 

θ = π 

-0,6 

θ = π/2 

1,5 

1 

0,5 

0 

-1 

θ = 0 

-2 -1 0 1 2 

-0,5 

-1,5 

Gb.17.11. Kurva persamaan (17.14), k = 1,1 & a = 1. 

Oval Cassini. Kondisi khusus yang ke-tiga adalah k < 1, misalkan k = 

0,8. Dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yang diperoleh adalah 

seperti pada Gb.17.12, yang disebut “oval Cassini”. Kurva ini terbelah 

menjadi dua bagian, mengingatkan kita pada Cassini’s division di planet 

Saturnus. 


θ = π/2 

1,5 

1 

0,5 

θ = π 

0 

θ = 0 

-2 -1 0 1 2 

-0,5 

-1 

-1,5 

Gb.17.12. Kurva persamaan (17.14), k = 0,8 & a = 1. 

17.5. Luas Bidang Dalam Koordinat Polar 

Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva dan 

dua garis masing-masing mempunyai sudut kemiringan α dan β. Lihat 

Gb.17.12 

y 

θ = β 

∆θ 

Gb.17.12. Mencari luas bidang antara kurva dan dua garis. 

Antara α dan β kita bagi dalam n segmen. 

β − α 

∆ θ = 

n 

Luas setiap segmen bisa didekati dengan luas sektor lingkaran. Antara θ 

dan (θ + ∆θ) ada suatu nilai θ k sedemikian rupa sehingga luas sektor 

lingkaran adalah 

2 

A k = ( r k ∆θ 

) / 2 

Luas antara θ = α dan θ = β menjadi 

θ 

θ = α 

x 

211

2 

2 

∑( 

r k ∆θ) 

/ 2 = ∑( f ( θk 

)) 

∆θ 

A αβ = 

/ 2 

Jika n menuju ∞, ∆θ menuju nol, kita dapat menuliskan luas bidang 

menjadi 

atau 

Aαβ 

= lim 

∆θ→0 

1 β 

= 

2 ∫α 

∑ 

[ f ( θ) 

] 

2 

( rk 

∆θ) / 2 = lim 

∆θ→0 

2 

dθ 

∫ β 2 

r 

Aαβ 

= dθ 

α 2 

∑ 

[ f ( θ) 

] 

2 

∆θ / 2 

(17.15) 

Penutup 

Bab-17 adalah bab terakhir tulisan ini. Penulis rasa cukup 

ringan untuk dibaca. Sudah barang tentu untuk memahami 

lebih jauh kalkulus pembaca perlu mempelajari buku-buku 

referensi matematika yang memang ditujukan untuk 

belajar matematika; bahkan mengikuti kuliah matematika. 


IDEKS 

a 

akar kompleks 198 

akar nyata 195, 196 

anak tangga 27, 187 

antilogaritma 97 

b 

banyak 11, 12 

c 

cardioid 203 

cosecan 72, 76, 81 

cosinus 70, 74, 78, 85 

cotangent 71, 75, 80 

d 

diferensial 166 

domain 2 

e 

eksentrisitas 206 

eksponensial 97, 98, 140, 

163 

elips 61, 207 

f 

fungsi 1 

fungsi pemaksa 186, 187 

g 

garis lurus 15, 204 

garis singgung 113, 118 

geometris 55 

gigi gergaji 32 

h 

hiperbola 63, 207 

hiperbolik 100, 101, 164 

i 

implisit 7 

integral 141, 143, 145, 147, 

153, 156, 161, 166, 169, 176 

inversi 77, 82, 136, 165 

k 

kekontinyuan 5 

kemiringan 15 

kondisi awal 185 

kurva 2 

l 

lebar pita 88, 92 

lemniskat 208 

lingkaran 59, 202 

linier 15 

logarithma natural 95 

logaritmik 133, 139 

luas bidang 174, 211 

m 

mononom 37, 39, 41, 42, 48, 

107, 161 

nilai puncak 112 

nilai rata-rata 160 

numerik 141, 177 

o 

orde dua 193, 195 

orde satu 179, 181, 183 

oval cassini 210 

213

p 

parabola 58, 207 

parametrik 14 

pergeseran 16, 87 

perpotongan 21 

persamaan diferensial 179, 

193 

peubah 1 

peubah-bebas 1, 12 

peubah-tak-bebas 1 

polar 13, 201 

polinom 37, 43, 48, 110, 161 

pulsa 29, 31 

r 

ramp 29, 31 

rantai 127 

rasional 124 

rentang 2 

s 

secan 72, 76, 81 

simetri 6 

sinus 70, 73, 77, 85, 88, 188 

spektrum 88, 91 

t 

tangent 71, 74, 79 

tetapan 15, 161 

trigonometri 69, 164, 165 

tunggal 9 

turunan 105, 136, 139 

214 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Referensi 

1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut 

Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan 

dalam buku ini. 

2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison 

Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika 

di ITB, tahun 1963 - 1964. 

3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, 

ISBN 979-9299-54-3, 2002. 

4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010. 

5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010. 

215

Biodata Penulis 

Nama: Sudaryatno Sudirham 

Lahir: di Blora pada 26 Juli 1943 

Istri: Ning Utari 

Anak: Arga Aridarma 

Aria Ajidarma. 

1971 : Jurusan Teknik Elektro – Institut Teknologi Bandung. 

1972 – 2008 : Dosen Institut Teknologi Bandung. 

1974 : Tertiary Education Research Center – UNSW − Australia 

1979 : EDF – Paris Nord dan Fontainbleu − Perancis 

1981 : INPT - Toulouse − Perancis; DEA 1982; Doktor 1985. 

Mata Kuliah yang pernah diberikan: “Pengukuran Listrik”; “Pengantar 

Teknik Elektro”; “Pengantar Rangkaian Elektrik”; “Material 

Elektroteknik”; “Phenomena Gas Terionisasi”; “Dinamika Plasma”; 

“Dielektrika”; “Material Biomedika”. 

Buku dan Artikel: “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, 2002, 

2005; “Metoda Rasio TM/TR Untuk Estimasi Susut Energi Jaringan 

Distribusi”; Penerbit ITB, 2009; “Fungsi dan Grafik, Diferensial Dan 

Integral”; Penerbit ITB, Penerbit ITB, 2009, e-book 2010; “Analisis 

Rangkaian Elektrik (1)”, e-book, 2010; “Analisis Rangkaian Elektrik 

(2)”, e-book, 2010; ”Mengenal Sifat Material (1)”, e-book, 2010; 

216 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral



217

Fungsi dan Grafik Fungsi dan Grafik Diferensial dan ... - Ee-cafe.org

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?