TS Soal UAS Transpor Sedimen dan Polutan - istiarto - Universitas ...

Universitas Gadjah Mada
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan
Program Pascasarjana
U J I A N A K H I R S E M E S T E R
T R A N S P O R S E D I M E N D A N P O L U T A N
D R. IR. I S T I A R T O, M. E NG. | S E L A S A , 20- J AN- 2009 | O P E N B OOK | W A K T U : 40 M E N I T
Kerjakan sendiri, jangan bekerjasama dengan sesama peserta ujian.
Saya percaya, Anda dapat saya percayai.
Selamat bekerja, semoga sukses.
Suatu sungai beraliran subkritik, seragam, dan turbulen dengan parameter hidraulik sebagai berikut:
debit : Q = 81 m 3 /s (konstan)
kecepatan : U = 0.90 m/s
kedalaman : h = 1 m
lebar : B = 90 m (sungai sangat lebar)
kecepatan geser : u ∗ = 0.07 m/s
Di suatu tempat di salah satu sisi/tepi sungai tersebut, terdapat outlet buangan air kotor (waste water). Debit
dan konsentrasi polutan dari buangan tersebut adalah Q w = 0.5 m 3 /s dan C w = 30 kg/m 3 (debit polutan G 0 =
15 kg/s). Polutan tersebut dianggap telah menyebar (berdifusi) ke seluruh kedalaman aliran dalam sekejap;
hanya penyebaran polutan ke arah transversal yang menjadi pokok bahasan.
SOAL A
[DI KERJAKAN DI KELAS DALAM WAK T U MAXIMUM 40 ME N IT]
1) Sebutkan persamaan matematik yang akan Saudara pakai untuk menelaah penyebaran polutan
tersebut dan bagaimana Saudara mendapatkan persamaan tersebut dari persamaan konveksi-difusi
sebaran polutan.
[Nilai = 10]
2) Tuliskan persamaan yang merupakan penyelesaian analitik dari persamaan konveksi-difusi sebaran
polutan di atas. Dapatkah persamaan di atas diselesaikan secara numerik?
[Nilai = 10]
SOAL B
[BOLE H DI KE R JAKAN DI LUAR KE LAS, HAR US DI KUMPULKAN P A LIN G LAMB AT P ADA
SE LASA, 27 JAN UARI 2009, P UKUL 09:00 DI BIRO S2]
1) Hitunglah jarak tempat polutan telah menyebar ke seluruh lebar sungai.
[Nilai = 10]
2) Gambarlah grafik sebaran (distribusi) transversal konsentrasi polutan di stasiun yang berada pada
jarak 0.5 km, 10 km, dan 20 km dari outlet buangan air kotor.
[Nilai = 10]
3) Gambarlah kontour konsentrasi polutan. Jarak dan konsentrasi polutan boleh dinyatakan dalam
variabel tak berdimensi. Skala gambar arah longitudinal tidak harus sama dengan skala gambar arah
transversal. Usahakan agar gambar rapi, jelas, dan mudah dibaca.
[Nilai = 10]
-o0o-
UAS Transpor Sedimen dan Polutan 2008 Hlm. 1 dari 4

Universitas Gadjah Mada
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan
Program Pascasarjana
P E NY E LE SAI AN
1. Persamaan transpor polutan
Dari data yang diberikan dalam soal, dapat diketahui bahwa aliran di sungai tersebut adalah satu arah (unidirectional
flow) dengan kecepatan sama dengan kecepatan rata-rata tampang dan konstan, V(u,0,0) = U.
Dengan itu, diffusivity adalah konstan dan sama dengan nilai rata-ratanya, tx tx
, ty ty
, tz tz
.
Penyebaran polutan tersebut, dengan demikian, dapat dinyatakan dengan persamaan matematis transpor
polutan (persamaan konveksi-difusi) sebagai berikut:
c
c
U
t
x
tx
2
c
2
x
ty
2
c
2
y
tz
2
z
c
2
(1)
Dari informasi soal, diketahui beberapa hal di bawah ini.
− Karena debit dan konsentrasi polutan di titik buang konstan, maka c t
0 .
− Polutan telah menyebar di seluruh kedalaman aliran, maka c z
0 dan C = c.
− Bahasan hanya penyebaran polutan ke arah lateral (transversal, arah y), maka c x
0 .
Dengan demikian, persamaan transpor polutan di atas dapat disederhanakan menjadi:
2
2
2
2
2
C
C
U ty x
2
y
(2)
2. Penyelesaian analitis persamaan transpor polutan
Penyelesaian di atas dapat diselesaikan dengan cara numeris, misal dengan metode beda hingga, elemen
hingga, atau volum hingga. Persamaan tersebut dapat pula diselesaikan secara analitis. Untuk kasus
penyebaran polutan di medium yang sangat luas (unbounded area), penyelesaian analitis persamaan tersebut
adalah:
C
u
x,
y
h
G
0
4
ty
2
y U
exp
xU
4ty
x
Dalam persamaan di atas, G 0 adalah debit polutan dalam satuan massa per waktu.
Apabila penyebaran polutan terjadi di suatu medium sempit (bounded area), maka saat polutan mencapai
dinding batas, akan terjadi pantulan di dinding batas. Penyelesaian pantulan ini dapat dilakukan dengna
metode pencerminan atau titik buang imajiner. Dinding berlaku sebagai cermin dan titik buang imajiner adalah
hasil pencerminan titik buang sesungguhnya terhadap dinding batas.
C
N
0 u 0 u 2
n1
x
y C x,
y y
C x,
y y
C x,
nB y y
, (4)
u
Dalam persamaan di atas, y 0 adalah jarak titik buang terhadap dinding batas, n dan N berturut-turut adalah
nomor urut dan jumlah pencerminan. Dari data yang diberikan dalam soal, diketahui:
− titik buang berada di tepi sungai, sehingga y 0 = 0,
− sungai cukup lebar, B = 90 m >> h = 1 m, sehingga pencerminan terhadap dinding batas tepi sungai di
seberang titik buang sebenarnya dapat diabaikan (n = 0); namun di sini, ditetapkan n = 1.
Dari dua hal di atas, maka persamaan penyelesaian analitis sebaran polutan arah transversal menjadi:
C
x
yC
x,
y
C x,
y
C x,2B
y
C x,
2B
y
u
u
u
u
0
, (5)
Persamaan 3 dan 5 dipakai untuk menghitung sebaran polutan. Sebelum itu, diperlukan penetapan koefisien
difusi (diffusivity), yang untuk sebuah sungai, koefisien difusi dihitung berdasarkan kedalaman aliran dan
kecepatan geser:
(3)
UAS Transpor Sedimen dan Polutan 2008 Hlm. 2 dari 4

Universitas Gadjah Mada
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan
Program Pascasarjana
ty
0.6
hu
0.6 10.07
0.042 m /s
2
3. Stasiun tempat polutan telah menyebar ke seluruh lebar sungai
Pada jarak L y dari titik buang, polutan telah menyebar ke seluruh lebar sungai. Jarak ini dapat diperkirakan
dengan memakai persamaan berikut:
L
y
y
UB
ty
2
(6)
Koefisien y bernilai 0.5 untuk titik buang yang berada di tepi sungai. Dengan demikian, polutan telah
menyebar ke seluruh lebar sungai pada jarak:
2
0.9 90
L y 0.5 86785.7 m 87 km.
0.042
4. Sebaran polutan pada jarak 0.5, 10, dan 20 km dari titik buang
Sebaran polutan pada jarak x = 0.5 km = 500 m, serta pada jarak-jarak 10 km dan 20 km, dihitung dengan
memakai Persamaan 3 dan 5. Hitungan dan presentasi hasil hitungan dalam bentuk grafik dapat dilakukan
dengan bantuan spreadsheet. Nilai G 0 dalam Persamaan 3 diperoleh dari nilai debit dan konsentrasi polutan,
G 0 = c w Q w = 0.5×30 = 15 kg/s.
Sajian grafis sebaran polutan di ketiga tempat disajikan pada Gambar 1. Dalam grafik tersebut, jarak dan
konsentrasi dinyatakan dalam besaran tak berdimensi:
y y
B
dan
Q Q
C C w
G 0
atau
C C
Q
G 0
apabila Q w

Universitas Gadjah Mada
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan
Program Pascasarjana
5. Kontur konsentrasi polutan di sepanjang sungai
Kontur konsentrasi polutan di sepanjang sungai dibuat berdasarkan nilai-nilai konsentrasi polutan di sejumlah
titik di sepanjang sungai. Konsentrasi polutan di hitung dengan Persamaan 3 dan 5. Hitungan akan lebih mudah
apabila dilakukan automatisasi dengan pembuatan program komputer. Program dapat dibuat dengan bahasa
pemrograman yang lazim dikenal seperti Fortran, Basic, atau C. Dalam penyelesaian soal ini, hitungan
konsentrasi di setiap titik dan presentasi sebaran konsentrasi polutan dalam bentuk kontour dilakukan dengan
Paket Program MatLab.
Hasil hitungan sebaran polutan di sepanjang sungai yang dinyatakan dengan kontour konsentrasi polutan
disajian pada Gambar 2. Pada grafik kontour konsentrasi polutan, jarak longitudinal, x, dinyatakan dalam
besaran tak berdimensi:
x
UB
x
ty
2
Perhatikan bahwa jarak longitudinal disajikan dalam skala logaritmik, sedangkan jarak transversal tetap
disajikan dalam skala normal. Cara ini ditempuh mengingat polutan menyebar dengan lambat, konsentrasi
besar berada pada jarak dekat, sedang konsentrasi kecil berada jarak jauh. Jika x disajikan dalam skala normal,
kita tidak akan dapat melihat dengan jelas sebaran polutan di bagian yang berada di dekat (10 km pertama)
titik buang.
Pada grafik, ditunjukkan pula tempat-tempat berjarak x = 0.5, 10, 20, dan 87 km.
y
y
B
GAMBAR 2: KONSENTRASI POLUTAN DI SEPANJANG SALURAN
x
UB
x
ty
2
-o0o-
UAS Transpor Sedimen dan Polutan 2008 Hlm. 4 dari 4