Probabilitas dan distribusi diskret - Blog untuk staff dan dosen d3ti ...

Probabilitas dan
distribusi diskret
Hartatik. M.Si
Materi:
1. Pengantar probabilitas
a. pengertian prob
b. permutasi kombinasi
c. populasi , sample, var acak
2. Distribusi prob Diskrit
a. distribusi binomial
b. distribusi poisson
c. distribusi hipergemoetrik
3. Perhitungan dengan spss
Teknik Informatika UNS 2010
A. Pengertian probabilitas
1.1 Arti dan Pentingnya Probabilitas
I. PENGANTAR PROBABILITAS
Probabilitas merupakan suatu nilai untuk mengukur
besarnya tingkat kemungkinan terjadinya suatu
kejadian yang acak.
Kejadian Acak atau random event ialah suatu kejadian
yang tak dapat ditentukan dengan pasti sebelumnya.
Probabilitas merupakan suatu frekuensi relatif dari
suatu sukses yang diperoleh jika suatu percobaan
dilakukan berulang-ulang sampai tak terbatas
didalam situasi dan kondisi yang sama.

Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S
yang terjadi dalam n cara, maka probabilitas kejadian A
adalah :
P (A) = n(A)/n(S) = m/n
Perumusan ini harus memenuhi ketentuan :
Probabilitas A harus merupakan bilangan non-negatif atau
bukan bernilai negatif, yaitu : P (A) 0 .
Nilai probabilitas suatu peristiwa berkisar antara :
0 P (A) 1
Jumlah probabilitas A ditambah A (bukan A) harus sama
dengan 1.
Atau : P (A) + P (A) = 1 P (A) = 1 – P (A)
Contoh :
Sebuah dadu yang seimbang memiliki enam sisi. Lima
dari keenam sisi tersebut dicat biru sedangkan satu
sisi selebihnya dicat hijau.bila dadu tersebut dilempar
sebanyak satu kali, berapa :
a. probabilitas timbulnya sisi yang bercat biru
b. probabilitas timbulnya sisi yang bercat hijau
Jawab : a. P (Biru) = 5/6
b. P (Hijau) = 1/6
1.2 Peristiwa (event) dan Notasi Himpunan
Ruang sampel adalah kumpulan (himpunan) dari semua
hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu
percobaan.
Keseluruhan dari titik sampel dinamakan Ruang sampel
dan dilambangkan dengan S.
Contoh : S = { 1,2,3,4,5,6} ruang vektor
Kejadian yang dapat terjadi di dalam suatu eksperimen
(percobaan) dan biasanya dilakukan berulang kali
dinamakan Titik Sampel. A = { 2 } titik sampel
dimana A S
Peristiwa/kejadian (event)
Kumpulan (himpunan) dari hasil yang muncul
atau terjadi pada suatu percobaan statistik.
Perlu diperhatikan :
Peristiwa A atau B dinotasikan dengan A B
Peristiwa A dan B dinotasikan dengan A B
Peristiwa A dan B merupakan peristiwa yang
saling lepas, A B =0

1.3 Probabilitas Suatu Peristiwa
Gambar peristiwa saling lepas
Kejadian A,B dan C tidak mungkin terjadi secara bersamaan
Peristiwa yang saling lepas (Mutually Exclusive)
Bila A dan B dua kejadian sembarang pada S dan berlaku A
B =Ø, maka A dan B dikatakan dua kejadian saling lepas
atau saling terpisah.
Secara matematis dua himpunan A dan B dikatakan saling
lepas atau terpisah (disjoint) jika dan hanya jika mereka
tidak memiliki unsur yang sama dan A B = 0 ( himpunan
kosong ).
A
B
C
Bila A dan B saling lepas dan merupakan peristiwa dalam
sebuah ruang sampel yang terbatas , maka :
P (A B) = P (A) + P (B)
Dimana : A B = 0 dan P (A B) = 0.
Contoh : Bila sebuah dadu dilempar sekali , berapakah
probabilitas timbulnya mata dadu 1 atau 3
Jawab : Jika A = peristiwa timbulnya mata dadu 1
B = peristiwa timbulnya mata dadu 3
P(A) = 1/6 dan P(B) = 1/6
A dan B merupakan dua peristiwa yang saling lepas.
P (A B) = P (A) + P (B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Kejadian Majemuk
Bila A dan B peristiwa sembarang pada ruang sampel S,
maka gabungan kejadian A dan B ditulis A B adalah
kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B
atau pada kedua-duanya. Kejadian A B disebut
kejadian majemuk, dan
A B yaitu kumpulan titik sampel yang ada pada A dan
B disebut kejadian majemuk.
P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B)
Dua peristiwa dikatakan tidak saling lepas bila kedua peristiwa
tersebut tidak usah terpisah.

Gambar peristiwa tidak saling lepas
Peristiwa yang saling bebas (independen)
Dua peristiwa dikatakan independen jika dan
hanya jika terjadi atau tidak terjadinya peristiwa
pertama tidak mempengaruhi peristiwa kedua.
A
B
Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S
dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak
mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B
tidak mempengaruhi kejadian A. Jika A dan B
merupakan dua kejadian saling bebas, maka berlaku
rumus :
P (A B ) = P (A) . P (B)
Contoh Soal
1. Kita ambil satu kartu secara acak dari satu set kartu bridge
yang lengkap. Bila A = kejadian terpilihnya kartu as dan B =
kejadian terpilihnya kartu wajik, Hitung P ( A peluang
B )
jawab:
P(A) = 4 /52; P(B) = 13/52;
maka P( A B)
1/ 52
P( AB)
P(
A)
P(
B)
P(
AB)
4/5213/52
1/5216/52
4/13
2. Jika diketahui dua kejadian A dan B saling bebas dengan P(A)=
0,3 dan P(B)= 0,4 maka berlaku:
3. Sebuah kotak berisi 3 bola merah, 4 bola putih dan 3 bola biru. Jika
diambil 1 bola secara acak dengan syarat:
a. Setelah diambil bola dikembalikan lagi, tentukanlah probabilitas
terpilihnya: bola merah, bola putih, bola biru, tidak merah, merah atau
putih.
jawab:
banyaknya bola dlam kotak n = 3+4+3 = 10
- P(bola merah) = 3/10 - P(bola putih) = 4/10
- P(bola biru) = 3/10
- P(tidak merah)= 1- P(bola merah)=1-3/10 = 6/10 = 3/5
- P(merah atau putih) = 3/10 + 4/10 = 7/10
P( A B)
P(
A).
P(
B)
(0,3)(0,4) 0,12

. Setelah diambil bola tidak dikembalikan, tentukan probabilitas
terpilih: merah, putih, biru, merah atau putih, merah dan
biru.
jawab: P(merah) = 3/10
P(putih) = 4/9
P(biru) = 3/8
P( merah atau putih) = 3/10 + 4/9 = 67/90
P(merah dan biru) = 3/10 . 3/8 = 9/80
Latihan soal:
1. Pada pelemparan dua buah dadu, tentukanlah:
a. ruang sampel S
b. Bila A menyatakan kejadian munculnya dua dadu dengan muka
sama, hitung P(A)!
c. Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu
kurang dari 5, hitunglah P(B)!
2. Peluang seorang mahasiswa lulus kalkulus adalah 2/3 dan
peluang ia lulus bahasa Inggris adalah 4/9. Bila peluang lulus
sekurang-kurangnya satu mata kuliah di atas adalah 4/5,
berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah itu
3. Pada pelemparan dua buah mata dadu, tentukanlah probabilitas
munculnya muka dua dadu dengan jumlah 5 atau 11!
4. Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya
muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua
dadu yang tidak sama!
5. Pada pelemparan dua dadu, apakah kejadian munculnya muka X ≤
3 dadu I dan kejadian munculnya muka Y ≥ 3 dadu II saling
bebas
1.4 Pengertian Probabilitas
bersyarat
Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat
bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi disebut
Probabilitas bersyarat (conditional probability)
Rumus Probabilitas bersyarat
Probabilitas bersyarat
P (B A) = P (A) . P (B/A) )
Atau
P(A B) = P (B) . P (A/B)
Bila A dan B merupakan peristiwa yang independen
dan memiliki probabilitas lebih besar dari nol ,
maka :
P (A/B) = P (A) dan P (B/A) = P (B).
Jadi prob bersyarat :
P A
B
PA B
P(B)
Jadi merupakan kejadian A dengan syarat B,
di mana A dan B tidak saling lepas

Contoh soal :
Misalkan
sebuah
dadu
dilemparkan; ; B = kejadian
munculnya
bilangan
kuadrat
murni, dan
diketahui
bahwa peluang munculnya bilangan ganjil = 1/9 dan
peluang
munculnya
bilangan
genap = 2/9. Bila
diketahui A = {4,5,6} telah terjadi, tentukanlah P(BA)!
Jawab:
S = {1,2,3,4,5,6}, P(genap) ) = 2/9, P(ganjil) ) = 1/9
B = {1,4}
A = {4,5,6} P(A) = 2/9 + 1/9 + 2/9 = 5/9
AB B ={4} P(AB) = 2/9
P(B/A) = P(AB) = 2/9 = 2/5
P(A) 5/9
Aturan bayes
Contoh bayes:

Hukum probabilitas:
1. Hukum penjulahan
Latihan bayes!
2. Aturan bersyarat:
3. Aturan perkalian:
4. Aturan bayes

Latihan prob!
3. Misalkan diberikan populasi sarjana di suatu kota yang dibagi
menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :
Bekerja
Menganggur
Jumlah
Laki-laki
460
40
500
1. Bila dalam suatu keluarga yang mempunyai 4(empat) orang
anak, diketahui paling sedikit mempunyai seorang anak lakilaki,
tentukanlah nilai kemungkinan keluarga tersebut
mempunyai :
a. Dua anak laki-laki
b. Empat anak laki-laki
Wanita
Jumlah
140
600
260
300
Misalkan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan
melakukan promosi barang di suatu kota tersebut. Bila
ternyata yang terpilih adalah dalam status telah bekerja,
berapakah probabilitasnya bbahwa dia :
a. laki-laki b. wanita
400
900
B. PERMUTASI DAN KOMBINASI
2.1 Pengertian Permutasi
1. Permutasi dari n obyek seluruhnya :
nP n = n! = n.(n - 1).(n - 2) … 2.1
= n.(n - 1)!
2. Permutasi sebanyak r dari n obyek yang
berbeda
nPr = n !
( n – r ) !
3. Permutasi keliling ( circular permutation )
Sejumlah n obyek yang berbeda dapat disusun secara teratur
dalam sebuah lingkaran dalam ( n – 1 ) ! Cara
4. Permutasi dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan.
n n !
n 1 , n 2 , …, n k = n 1 ! n 2 !…n k !
Kalau urutan diperhatikan atau dibedakan , persoalan disebut
permutasi.

Contoh soal
1 . Hitung jumlah permutasi 3 jilid buku A , B , C !
Jawab : 3
P 3
= 3 ! = 3 . 2 . 1 = 6
2. Dalam berapa cara 2 huruf yang berbeda dari kata “Laut“ dapat diatur atau
dipilih dalam suatu urutan tertentu
Jawab : n
P r
= 4
P 2
= 4 ! = 4 ! = 4.3.2.1 = 12 cara
(4-2) ! 2 ! 2.1
3 . Dalam berapa cara kata Tamara dapat dipermutasikan
Jawab : n ! = 6 ! =120 cara
n 1
! n 2
! n 3
! n 4
! 1 ! 3 ! 1 ! 1 !
4. Lima orang anak sedang melakukan siskusi dengan membentuk lingkaran,
ada berapa cara mereka bisa mengatur duduknya
Jawab: (n-1)! = (5-1)! = 4.3.2.1 = 24 cara.
Latihan soal :
1. Berapa banyak susunan huruf yang
dapat dibentuk dari huruf dalam
kata: PEMILU, ALUMNI, STATISTIKA,
PROBABILITAS
2. Ada berapa banyak susunan huruf
dapat dibentuk dari huruf dalam kata
PELUANG bila:
a. semua huruf dipakai;
b. memakai 6 huruf saja;
c. Memakai 5 huruf saja;
d. Memakai kurang dari 5 huruf.
2.2 Kombinasi
Latihan soal
Kombinasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda :
n n !
r = r ! . ( n – r ) !
Kalau urutan tak diperhatikan atau tak dibedakan , persoalan
disebut kombinasi.
1. Suatu perguruan tinggi di Jakarta memberikan
kesempatan kepada 3 orang staf dosen untuk
melanjutkan studinya setingkat lebih tinggi. Sedangkan
yang memenuhi persyaratan ada 9 orang dosen. Ada
berapa carakah pimpinan perguruan tinggi tersebut
memilih 3 dari 9 orang tersebut
Jawab:
9!
9 C 3 = = 84 cara
6!3!
2. Seorang anak perempuan mempunyai 3 bunga yang
jenisnya berlainan. Berapa banyak cara berbeda yang
dapat dibuat
Jawab: 3!
Ia dapat memilih 1 dari 3 bunga = 3 C 1 = = 3
2!1!

Ia dapat memilih 2 dari 3 bunga = 3 C 2 = 3
Ia dapat memilih 3 dari 3 bunga = 3 C 3 = 1
Maka banyaknya cara membentuk susunan bunga adalah:
3 C 1 + 3 C 2 + 3 C 3 = 3 + 3 + 1 = 7
3. Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana ekonomi dan 7 sarjana
hukum. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana
ekonomi dan 3 sarjana hukum. Berapa banyak cara untuk
membuat tim itu, jika:
a. Tiap orang dapat dipilih dengan bebas;
b. Seorang sarjana hukum harus ikut dalam tim itu;
c. dua orang sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu
4. Suatu panitia akan dibentuk dengan jumlah anggota 5
orang. Berapa carakah pembentukan panitia tersebut
dapat dilakukan jika calon anggota terdiri dari 4 orang
pria dan 3 orang wanita, dan panitia harus
a. Terbentuk tanpa persyaratan lain
b. Terdiri dari 3 pria dan 2 wanita
c. Terdiri dari 2 pria dan 3 wanita
2.3 Aplikasi Excel
Permutasi
Langkah-langkah dengan Excel
Insert fungsi fx dan pilih category statisticals
Pilih fungsi permutate
Isilah kotak number dengan banyaknya objek dan
kotak number_chosen dengan jumlah objek yang
diambil dan klik OK
Maka hasilnya akan tampak pada result seperti pada
gambar 2a
kombinasi
Langkah-langkah dengan Excel
Insert fungsi fx dan pilih category math&trig
Pilih fungsi combin
Isilah kotak number dengan banyaknya objek dan
kotak number_chosen dengan jumlah objek yang
diambil dan klik OK
Maka hasilnya akan tampak pada result seperti pada
gambar 2b

Gambar 2a (menghitung permutasi)
Gambar 2a (menghitung kombinasi)
C. POPULASI, SAMPEL & DISTRIBUSI TEORITIS
VARIABEL DISKRIT DAN FUNGSI PROBABILITAS
3.1 Variabel Random atau Variabel Acak
Variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh
terjadinya hasil suatu percobaan dinamakan variabel random.
Contoh :
Bila 2 mata uang dilempar 1 x , maka ruang sampelnya :
S = { AA,AG, GA , GG }
Variabel Acak yang terdapat dalam fungsi probabilitas :
a. Variabel diskrit
Variabel diskrit hanya dapat dinyatakan dengan nilai – nilai yang
terbatas jumlahnya , dan dinyatakan dengan bilangan bulat.
b. Variabel kontinu
Variabel kontinu dinyatakan dengan harga yang terdapat dalam suatu
interval.
Fungsi Distribusi
PDF (probability distribution Function) : P( X=x )=f(x)
CDF (Cumulative distribution Function) : F ( x ) = P ( X
x )
Jika kita mempunyai variabel acak x maka fungsi
sebenarnya adalah
sigma )
F ( x ) = P ( X x )=
dengan
f( x ) ; x diskrit (dinyatakan dengan
f ( x ) dx ; x kontinu (dinyatakan
integral)

3.2 Nilai Harapan (Mean/Rata–rata)
dan Varians Dist. Diskrit
Nilai harapan suatu variabel acak x ditulis E (x)
didefinisikan
E (x) = x. f (x)
Var (x) = x2 =E [ x – E (x) ] 2 =E (x 2 ) –{E (x) } 2
Jika k suatu bilangan , maka E ( k ) = k
Contoh : E (3) = 3 dan seterusnya.
Latihan Soal
1 .Dua buah dadu dilempar . Jika x = jumlah mata dadu yang timbul ,
berapakah:
a. P (3 < x 6)
b. Rata–rata (Nilai harapan)
Jawab:
a. P (3 < x 6) = P (x = 4) + P (x = 5) + P (x = 6)
= f (4) + f (5) + f (6)
= 3/36 + 4/36 + 5/36 = 12/36 = 1/3
b. E (x) = x . f(x)
= 2.1/36 + 3.2/36 + 4.3/36 + 5.4/36 + 6.5/36 +
7.6/36 + 8 .5/36 + 9 . 4/36 + 10.3/36 +
11.2/36 + 12.1/36 = 252/36 = 7
2 . Jika Nilai E (x) = 1/3 dan E (x 2 ) = 1/3 . Tentukan Nilai
Variansnya.
Jawab : Var (x) = E (x 2 ) – { E (x) } 2
= 1/3 – (1/3) 2 = 1/3 – 1/9 = 2/9
3 . Jika E (x) = 2 , berapa nilai dari : a. E [ 3 (x + 2)]
b. E [x – 3 (x + 2)]
Jawab : a. E [ 3 (x + 2) ] = E [ 3x + 6 ]
= E (3x) + E (6)
= 3. E (x) + 6
= 3 . 2 + 6 = 6 + 6 = 12
b. E [ x – 3 (x + 2) ] = E (x) – E [ 3 (x + 2) ]
= 2 – 12 = -10
4. Jika x mata dadu seimbang , berapa nilai harapan (rata – rata) nya
Jawab :
E (x) = x . f (x)
= 1 .1/6 + 2 .1/6 + 3 .1/6 + 4 .1/6 + 5 .1/6 + 6 . 1/6
= 21/6 = 3,5
II. DISTRIBUSI PROB DISKRET

a. Distribusi BINOMIAL
Ciri-ciri Percobaan Bernouli:
• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:
(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan;
(b) transaksi saham: jual- beli,
(c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.
• Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap
untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal,
dan P(p) + P(q)= 1.
• Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas.
• Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.
Distribusi bernoulli yang diulang n kali merupakan distribusi
BINOMIAL
Rumus Distribusi Binomial :
b (x / n , p) = P (X = x)= n C x p x . q n-x ;
x = 0,1,…n, q = 1 – p
Dimana : - b ( x / n , p ) 0
- b ( x/n , p ) = ( q + p ) n = 1
Rata – rata ( Mean ) = x = n . p
Varians ( x ) = x2 = n . p . q
Distribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusi
binomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal.
Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi 4 syarat
sebagai berikut :
Jumlah percobaan harus tetap, n kali
Setiap percobaan harus menghasilkan dua alternatif
yaitu sukses atau tidak sukses merupakan percobaan
Binomial.
Semua percobaan mempunyai nilai probabilitas yang
sama untuk sukses.
Percobaan – percobaan tersebut harus bebas satu sama
lain.
Latihan Soal
1. Bila sekeping uang logam yang seimbang dilempar sebanyak 6 kali,
berapa:
a. probabilitas memperoleh 5 sisi gambar
b. probabilitas memperoleh paling sedikit 5 sisi gambar
Jawab : a. n = 6 ; p = ½ ; q = 1 – p = 1 – ½ = ½
b ( x / n , p ) = b ( 5/6 , ½ ) = ( ½ ) 5 . ( ½ ) 6-5
= 6! (½) 5 . (½) 1 = 3/32
5!.1!
b. n = 6 ; x = 6 ; p = 1/2
b ( x/n , p ) = b ( 6/6 , ½ ) = ( ½ ) 6 . ( ½ ) 6-6
= 6 ! ( ½ ) 6 . ( ½ ) 0 = 1/64
6!0!
Probabilitas memperoleh 5 sisi gambar adalah :
b ( 5/6 , ½ ) + b ( 6/6 , ½ ) = 3/32 + 1/64 = 6/64 + 1/64 = 7/64

B. Distribusi Poisson
2. Jika x berdistribusi Binomial dengan n = 4 dan p = 1/6 , berapa :
a. Rata – rata dari x
b. Varians (x)
Jawab : a. n = 4 ; p = 1/6 ; q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6
E ( x ) = n.p = 4.1/6 = 2/3
b. Var ( x ) = x 2 = n.p.q = 4.1/6.5/6 = 20/36
= 5/9
3. Ada 4000 paku pada sayap . Probabilitas kerusakan sebuah paku
khusus pada permukaan sayap pesawat terbang adalah 0,001. Berapa E
( x ) nya
Jawab : E (x) = n . p = 4000 . (0,001) = 4
Ciri-ciri Distribusi Poisson
Digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya
kejadian menurut satuan waktu atau ruang.Distribusi
Poisson digunakan sebagai pendekatan dari distribusi
binomial.
Rumus Distribusi Poisson
f ( x ) = x . e - = p ( x/n , p )
x!
Dimana : x = 0 , 1, 2 … n dan e = 2,71828…
Rata – rata = x = n . p
Varians (x) = x 2 = n . p
Dalam distribusi Poisson Rata – rata dengan Variansnya
adalah sama
Latihan soal !
1. Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali , berapa
probabilitas timbulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1, 2 , 3 ,4 , 5
kali
Jawab:
probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping
uang logam sebanyak satu kali adalah :
p = 1.( ½ ) 5 = 1/32
Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisi angka
dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak 64 kalimenjadi :
f( x ) = 64 1/32 x 31 / 32
64-x
x
Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial, maka
diambil =n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh :
f ( x ) = x . e - = 2 x . e -2 ; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
x ! x ! e -2 = 0 ,1353
x 0 1 2 3 4 5
f ( x ) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036

2. Jika x berdistribusi Poisson dengan n = 7 dan p = 1/4
berapa :
a. Rata – rata x
b. Varians (x)
jawab : a. E (x) = n . p = 7.1/4 = 7/4
b. Var (x) = n . p = 7 . 1/4 = 7/4
3. Mata uang dilempar 6 kali . Jika x = banyaknya gambar,
berapa E (x)
Jawab : n = 6 ; p = ½
E (x) = n.p = 6.1/2 = 3
Latihan soal:
X
P(X)
8 12 16 20 24
¼ 1/12 1/6 1/8 3/8
1. Dari tabel diatas tentukan:
a. mean X;
b. standar deviasi X;
c. E(2X – 3 ) 2
2. Misalkan X adalah suatu variabel acak dengan
E{(X-1) 2 } =10 dan E{(X-2) 2 } = 6 , tentukan mean X dan
simpangan baku X.
3. Bila sekeping uang logam dilemparkan 6 kali, hitunglah
probabilitas memperoleh:
a. 5 muka b. paling sedikit 5 muka
4. Bila 20 dadu dilemparkan sekaligus, tentukanlah:
a. rata-rata dari banyaknya muncul muka 3;
b. simpangan baku dari banyaknya muncul muka 3!
5. Bila variabel acak X berdistribusi binomial dengan n = 100,
p = 0,005, hitunglah P(X=15)!
6. Bila 5 uang logam dilemparkan sebanyak 128 kali,
hitunglah probabilitas munculnya 5 muka sebanyak
0,1,2,3,4 dan 5 dari seluruh pelemparan!
C. Distribusi Hipergeometrik
Perbedaan distribusi binomial dengan distribusi multinomial
terletak pada cara pengambilan sampelnya. Penggunaan distribusi ini
hampir sama dengan distribusi binomial. Misalnya distribusi binomial
diterapkan pada sampling dari sejumlah barang (sekotak kartu,
sejumlah hasil produksi) sampling harus dikerjakan dengan
pengembalian setiap barang setelah diamati. Sebaliknya distribusi
hipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada
sampling tanpa pengembalian.
Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat:
1. Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari N
benda.
2. Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-k
diberi nama gagal.
60

Distribusi Hipergeometrik
Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang
menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan
ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k
gagal dinyatakan sebagai:
k
Nk
x
nx
h(x;N,n,k)
; x 0, 1, 2,......,n
N
n
Contoh (5.8)
Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5
fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang
duduk dalam panitia.
Jawab:
Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia.
X={0,1,2,3}
Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus
0 5
x 0 h( 0; 8, 5, 3)
1
56
1 4
x 1 h( 1; 8, 5, 3)
15
56
Tabel 5.6 Distribusi hipergeometrik
;
3 5
8
5
3 5
8
5
2 3
x 2 h( 2; 8, 5, 3)
30
56
;
3 2
x 3 h( 3; 8, 5, 3)
10
56
x 0 1 2 3
h(x;8,5,3) 1
56
3 5
x5x
8
5
3 5
8
5
3 5
8
5
h(x; 8, 5, 3) ; x 0, 1, 2,
3
15
56
30
56
10
56
61
62
Teorema(5.3)
Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata dan
variansi sbb:
nk dan
2
Nn (n)( k )( 1 k )
N
N 1 n n
Contoh (5.9)
Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.8) kemudikan
gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang 2
Jawab:
Dari contoh 5.8 diketahui n=15 dan p=0.4
( 5)( 3)
Diperoleh
3
2
0,
375 dan 405 3 3
40 8
39 ( 5) 401
40
0,
3113
Menggunakan teorema Chebyshev
2 1, 491 dan 2
0,
741
2
adalah
Jadi, selang yang ditanakan adalah dari -0,741 sampai 1,491
63
Contoh_ hipergeometrik:
Suatu pabrik ban mempunyai data bahwa dari pengiriman sebanyak
5000 ban ke sebuah toko tertentu terdapat 1000 cacat. Jika ada
seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapa
probabilitasnya memuat tepat 3 yang cacat.
Jawab:
Karena n=10 cukup kecil dibandingkan N=5000, maka probabilitasnya
dihampiri dengan binomial dengan p= 10/5000= 0,2 adalah probailitas
mendapat satu ban. Jadi probabilitas mendapat tepat 3 ban cacat:
h( 3; 5000, 10, 1000) b( 3; 10, 0. 2)
3 2
b(x; 10, 0. 2) b(x; 10, 0. 2)
x0 x0
0, 8791 0,
6778
0,
2013
64

Contoh c2.
Pendekatan Hipergeometrik dapat juga
dilakukan untuk menyelesaikan persoalan
binomial :
Binomial untuk pengambilan contoh
dengan pemulihan (dengan pengembalian)
Hipergeometrik untuk pengambilan contoh
tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)
Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola
Merah, 2 bola Biru dan 1 buah Putih. Berapa peluang
a. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang
dilakukan secara acak dengan pemulihan
b. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang
dilakukan secara acak tanpa pemulihan
Soal a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial :
p = 2/5 = 0.40 n = 4 x = 2
b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus
Binomial)
Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik
N = 5 n = 4 k = 2 x = 2
N-k = 3 n-x=2
h(2; 5, 4,2) =
2
C2
C2
5
1 3 3
0.
60
3
C 5 5
4
Aplikasi Excel menghitung distribusi Binomial
Langkah-langkahnya sbb:
1. Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function.
2. Pilih menu statistical pada function category
3. Pilih menu Binomdist pada function name, dan OK.
Maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:
APLIKASI SOFTWARE
BINOMDIST
Number_s : ………… (masukkan nilai X)
Trials : ……….. (masukkan nilai n)
Probability : ………… (masukkan nilai p)
Cumulative: ………… (tulis kata False)
Nilai P(x) ada pada baris Formula result atau tanda (=)

Contoh 1 :
PT MJF mengirim buah melon ke Hero. Buah yang dikirim 90% diterima
dan sisanya ditolak. Setiap hari 15 buah dikirim ke Hero. Berapa peluang
hanya 13 buah diterima
Jawab:
Diketahui n=15; dimana X = 13 dengan p= 0,9 nilai P ( x = 13 ) = …
Untuk menghitung dist. Binomial , contoh 1,dengan SPSS langkahlangkahnya
sbb:
1. Definisikan variabel x, lalu ketik nilai variabelnya
2. Kilk menu transform dan pilih compute
3. Ketik ekspresi perhitungan seperti pada layar dibawah ini, tekan
OK (dengan CDF)
maka tampil hasil perhitungan pada data editor seperti pada gambar 2
Gambar 2
Atau dengan PDF:
Klik transform
Klik compute
Ketik di traget variable :’nama variable”
Klik : cdf binomial
Isikan konstanta nya
Klik: OK
P( X=13 )
0,2669

Perhitungan Distribusi Poisson
Langkah-langkahnya
1. Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function
2. Pilih menu statistical pada function category
3. Pilih menu POISSON pada function name, tekan OK
maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:
POISSON
X : ………… (masukkan nilai x)
Mean : ……….. (masukkan nilai )
Cumulative : ………… (tulis FALSE / 0 )
Contoh 2:
Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi,
peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ
meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan
tersebut akan membagikan dividen
Jawab:
Nilai = 12 dan nilai X = 5, maka akan didapat nilai P( X = 5 ) = …
Untuk menghitung dist. Poisson langkah-langkahnya sbb:
1. Definisikan variabel x, lalu ketik data misal 1 sampai 5
2. Kilk menu transform dan pilih compute
3. Ketik ekspresi perhitungan seperti pada layar dibawah ini, tekan
OK
maka tampil hasil perhitungan pada data editor seperti pada gambar 2

Gambar 2
CONTOH_ DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
Suatu pabrik ban mempunyai data bahwa dari
pengiriman sebanyak 5000 ban ke sebuah toko
tertentu terdapat 1000 cacat. Jika ada seseorang
membeli 10 ban ini secara acak dari toko
tersebut, berapa probabilitasnya memuat tepat 3
yang cacat
P(X=5) = 0,127
Untuk menghitung dist. hipergeometrik langkah-langkahnya sbb:
1. Definisikan variabel x, lalu ketik data misal 1 sampai 5
2. Kilk menu transform dan pilih compute
3. Ketik ekspresi perhitungan seperti pada layar dibawah ini, tekan
OK (pilih PDFHIPERGEOM)
maka tampil hasil perhitungan pada data editor seperti pada gambar 3

Output/hasil:
Lakukan perhitungan!
1. Ada 33 perusahaan di BEJ akan memberikan
deviden dan 20 di antaranya akan
membagikan dividen di atas 100/lembar.
Bapepam sebagai pengawas pasar saham
akan melakukan pemeriksaan dengan
mengambil 10 perusahaan. Berapa dari 10
perusahaan tersebut, 5 perusahaan akan
membagikan saham di atas 100/lembarnya
2. CONTOH C2
3. Rata-rata jumlah panggilan lewat telepon
yang masuk bagian pelayanan Telkom per
menit adalah 5 buah. Berapa probabilitas
dalam satu menit tertentu tidak terdapat
panggilan yang masuk dari pelanggan
Berapa probabilitas dalam satu menit lebih
dari 5 panggilan masuk
3.

……..