Download

DERET FOURIER
(Jean Baptiste Joseph Fourier ahli matematika dan fisika Prancis)
• Fungsi dengan periode T = 2π (T = 2π /ω, ω = 1)
f
( x)
=
∞ ∑
n=
1
( a cos nx + b nx)
a0 +
n
n
sin
Koefisien
deret
Fourier :
a
a
0
n
=
=
1
2π
1
π
π
∫
−π
π
∫
−π
f ( x)
dx
f ( x)cosnxdx
n
= 1,2, L
b
n
=
1
π
π
∫
−π
f
( x)sin
nxdx
n
= 1,2, L
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
1

Bentuk lain dalam penulisan deret Fourier
f
( x)
=
1
2
∞ ∑
n=
1
( a cos nx + b nx)
a0 +
n
n
sin
a
0
=
1
π
π
∫
−π
f
( x)
dx
Koefisien
deret Fourier :
a
b
n
n
1
=
π
1
=
π
π
∫
−π
π
∫
−π
f ( x)cosnxdx
f ( x)sin
nxdx
n = 1,2, L
n = 1,2, L
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
2

Contoh :
⎧−
k jika −π
< x < 0
f ( x)
= ⎨
dan f ( x + 2π
) = f ( x)
⎩ k jika 0 < x < π
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
3

Penyelesaian :
a
0
1
2π
π
( x)
dx =
1 ⎡
⎢
2π
⎣
0
1 ⎡
= ⎢ −
2π
⎣
( −k)
dx +
= ∫ f ∫ ∫
−π
−π
π
0
⎤
kdx⎥
⎦
0 π ⎤
kx + kx ⎥
− π 0⎦
=
0
a n
π
0
1
1 ⎡
= ∫ f ( x)cosnxdx=
⎢ ∫(
−k)cosnxdx
+
π
π
∫
−π
⎣−π
0
1 ⎡ sin nx 0
= ⎢ − k +
π ⎣ n − π
π
⎤
k cosnxdx⎥
⎦
sin nx
k
n
π ⎤
⎥ =
0⎦
0
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
4

Penyelesaian :
b n
=
π
0
π
1
1 ⎡
⎤
b n
= ∫ f ( x)sin
nxdx=
⎢ ∫(
−k)sin
nxdx + ∫k
sin nxdx⎥
π
π
−π
⎣−π
0 ⎦
1 ⎡ cosnx
0 cosnx
π ⎤
= ⎢ k − k ⎥
π ⎣ n − π n 0⎦
k
2k
( cos0
− cos( −nπ
) − cos nπ
+ cos0) = ( 1−
cos nπ
)
nπ
f ( x)
f ( x)
=
∞
= ∑
n=
1
2k
nπ
4k
⎛
⎜sin
x
π ⎝
( 1−
cosnπ
)
+
1
sin 3x
3
+
1
sin 5x
5
+
1
7
nπ
⎞
sin 7x
+ L⎟
⎠
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
5

DERET FOURIER T = 2L
• Fungsi dengan periode T = 2L ( T = 2π /ω, L= π /ω)
f
( x)
Koefisien
deret
Fourier :
=
∞ ⎛ nπx
a + ∑ 0 ⎜an
cos + bn
sin
n=
1⎝
L
a
a
b
0
n
n
=
=
=
1
2L
1
L
1
L
L
∫
−L
L
∫
−L
L
∫
−L
f ( x)
dx
f ( x)cos
f ( x)sin
nπx
dx
L
nπx
L
dx
nπx
L
⎞
⎟
⎠
n = 1,2, L
n = 1,2, L
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
6

Contoh :
f
⎧0
jika − 2 < x < −1
⎪
( x)
= ⎨k
jika −1
< x < 1 T = 2L
= 4, L = 2
⎪
⎩0
jika 1 < x < 2
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
7

Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
8
Penyelesaian :
2
1
1
4
1
4
1
)
(
4
1
1
1
2
2
0
k
kx
kdx
dx
x
f
a =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
= ∫
∫
−
−
L ,L
3,7,11
,
2
1,5,9,
,
2
0,
2
sin
2
1
1
2
sin
2
1
2
cos
2
1
2
)cos
(
2
1
1
1
2
2
=
= −
=
=
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
= ∫
∫
−
−
n
jika
n
k
a
n
jika
n
k
a
genap
n
jika
a
n
n
k
x
n
n
k
dx
x
n
k
dx
x
n
x
f
a
n
n
n
n
π
π
π
π
π
π
π

Penyelesaian :
b n
1
2
2
−2
nπx
1 ⎡
f ( x)sin
dx = ⎢
2 2 ⎣
= ∫
∫
1
−1
k sin
nπx
2
⎤
dx⎥
⎦
=
1
2
⎡
⎢
⎣
k
n
cos
nπx
2
1 ⎤
⎥
−1⎦
=
0,
untuk
n=
1,2,3,L
f
f
( x)
( x)
∞ = a + ∑ 0
=
=
k
2
+
n
1
2k
π
a
⎛
⎜
⎝
n
nπ
cos x
2
π
cos x
2
−
1
3
cos
3π
x
2
+
1
5
cos
5π
x
2
⎞
− + L⎟
⎠
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
9