inteleqti

eqe.ge

inteleqti

gamomcemloba

inteleqti


guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,

ia mebonia, lamara qurCiSvili

maTematika

VIII klasis saxelmZRvanelo

redaqtori Teimuraz vefxvaZe

grifi mieniWa 2012 wels ssip ganaTlebis xarisxis ganviTarebis

erovnuli centris (brZaneba # 375, 18. 05. 2012) mier

gamomcemloba inteleqti

Tbilisi 2012


guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,

ia mebonia, lamara qurCiSvili

maTematika

I nawili

VIII klasis saxelmZRvanelo

gamomcemloba inteleqti

Tbilisi 2012

Guram Gogishvili, Teimuraz Vepkhvadze,

Ia Mebonia, Lamara Kurchishvili

maTHS VIII

Part 1

Intelekti Publishers

Tbilisi 2012

ISBN 978-9941-439-35-3 (VIII klasi, I nawili)

ISBN 978-9941-439-37-7 (saerTo)

© gamomcemloba `inteleqti~, 2012.

gamomcemloba inteleqti

Tbilisi, ilia WavWavaZDis gamz. 5. tel.: 225 05 22

www.intelekti.ge info@intelekti.ge inteleqti@caucasus.net

intelekti Publishers

5 Ilia Chavchavadze Ave., Tbilisi, Georgia. Tel.: (995 32) 225 05 22


Cveno keTilo megobaro!

mogesalmebiT da gilocavT axali saswavlo wlis dadgomas!

imedia, Cveni saxelmZRvanelo karg megzurobas gagiwevT maTematikis

didebul samyaroSi mogzaurobisas. SevecadeT, praqtikuli

amocanebis ganxilviT dagarwmunoT maTematikis Seswavlis aucileblobaSi.

gaxsovdeT, aq miRebuli codna da misi gamoyenebis unari

sxva sagnebis ukeT aTvisebaSic dagexmarebaT.

Tu pirveli gacnobisas romelime sakiTxi kargad ver gaiazreT,

ar daRondeT, gaagrZeleT muSaoba _ amave sakiTxs saxelmZRvaneloSi

kvlav araerTxel SexvdebiT da aucileblad daZlevT mas.

warmatebiT gevloT maTematikis Seswavlis gzaze.

guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,

ia mebonia, lamara qurCiSvili

avtorTa madloba

axali saxelmZRvaneloebis Seqmna da maTi skolaSi danergva ganaTlebis

mimdinare reformis mniSvnelovani nawilia.

eqspertTa, pedagogTa da saxelmZRvaneloebis avtorTa erToblivi ZalisxmeviT

Seiqmna VII-XII klasebis saxelmZRvaneloebi, romlebic damkvidrda

saSualo skolebSi. yoveli axali wignis werisas viTvaliswinebdiT

maswavlebelTa mosazrebebs. madlobas movaxsenebT maT nayofieri Tanam-

SromlobisTvis.

gansakuTrebuli madlierebiT gvsurs aRvniSnoT eqspertTa Rvawli; maT

mier Sedgenili 2011-2016 wlebis erovnuli saswavlo gegmis mixe dviT daiwera

VIII klasis axali saxelmZRvanelo. gaviTvaliswineT yvela cvlileba

erovnul saswavlo gegmaSi, eqspertebTan konsultaciebis dros gamoTqmuli

mosazrebebi da wina wlebSi miRebuli gamocdileba.

madlobas movaxsenebT yvelas, vinc Tavis arCevans am wignze SeaCerebs.

vfiqrobT es saxelmZRvanelo maT imedebs aucileblad gaamarTlebs.

3


sarCevi

rogor visargebloT wigniT

1

gameoreba. statistikis elementebi. Ggeometriuli figurebi

1. ricxvebi da maTze moqmedebebi

2. cvladiani gamosaxuleba. Ggantoleba. gantolebis saSualebiT

amocanebis amoxsna

3. vagrZelebT procentis ganxilvas

4. wre da misi nawilebi

5. monacemTa analizi da statistika

1) monacemTa mopoveba da dajgufeba

2) monacemTa warmodgenis xerxebi. wriuli diagrama

6. geometriuli gardaqmnebi. Mmobruneba

7. paraleluri wrfeebi. Pparalelur wrfeTa aqsioma

8. wrfeTa paralelobis niSnebi

9. mravalkuTxedis kuTxeebis jami

10. kuTxis biseqtrisis Tviseba

amocanebi gameorebisTvis

2

Sesabamisoba simravleebs Soris da misi gamosaxvis xerxebi

1. dasabuTebis xerxebi

1) debulebis sawinaaRmdego debuleba

2) debulebis dasabuTeba kontrmagaliTis gamoyenebiT

2. naSTi. Ggayofadobis niSnebi

3. Sesabamisoba or simravles Soris

4. Aasaxva erTi simravlidan meoreSi

5. wrfivi damokidebuleba

amocanebi gameorebisTvis

3

gantolebaTa sistemebi

1. wrfivi orucnobiani gantoleba

2. wrfiv orucnobian gantolebaTa sistema

3. wrfiv orucnobian gantolebaTa sistemis amoxsnis grafikuli xerxi

4. Casmis xerxiT wrfiv orucnobian gantolebaTa sistemis amoxsna


5. Sekrebis xerxiT wrfiv orucnobian gantolebaTa sistemis amoxsna

6. Aamocanebis amoxsna wrfiv orucnobian gantolebaTa

sistemis saSualebiT

Aamocanebi gameorebisTvis

7. gamosaxulebaTa gardaqmnis magaliTebi

amocanebi gameorebisTvis

4

kvadratuli da kuburi fesvebi. piTagoras Teorema

1. kvadratuli fesvi

2. piTagoras Teorema

3. kvadratuli fesvis Semcveli gamosaxulebebis gardaqmna

4. piTagoras Teoremis zogierTi gamoyeneba

5. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis sinusi, kosinusi da tangensi

6. kuburi fesvi

amocanebi gameorebisTvis

damatebiTi amocanebi maTematikuri Se jibrebebisTvis

5

oTxkuTxedebi. farTobi. farTobis Tvisebebi. M

moculobis Tvisebebi

1. OoTxkuTxedi. Aamozneqili oTxkuTxedi

2. Uutolobebis Tvisebebi da maTi gamoyeneba

3. Pparalelogrami

1) paralelogramis Tvisebebi

2) ra SemTxvevaSi SeiZleba iyos oTxkuTxedi paralelogrami

Aamocanebi gameorebisTvis

4. Pparalelogramis kerZo saxeebi. Prombi. rombis Tvisebebi

marTkuTxedi. marTkuTxedis Tvisebebi

kvadrati

amocanebi gameorebisTvis

5. koordinatTa meTodis da geometriuli gardaqmnebis

zogierTi gamoyeneba

6. trapecia

7. Talesis Teorema

8. vagrZelebT Talesis Teoremis gamoyenebaTa ganxilvas

samkuTxedis Suaxazi

trapeciis Suaxazi

amocanebi gameorebisTvis

(ricxviT monacemTa statistikuri maxasiaTeblebi)


9. farTobi

zogierTi umartivesi figuris farTobi 82

samkuTxedis farTobi

paralelogramis farTobi

trapeciis farTobi

nebismieri mravalkuTxedis farTobi

10. sivrculi figurebi. moculobis Tvisebebi

amocanebi gameorebisTvis

6

erTucnobiani utoloba. xarisxi mTeli maCvenebliT

1. erTucnobiani utoloba

2. utolobebis gamoyenebis magaliTebi

3. xarisxi mTeli maCvenebliT

4. ricxvis standartuli forma

amocanebi gameorebisTvis

7

albaToba

1. fardobiTi sixSire da albaToba

2. SeuZlebeli xdomiloba. aucilebeli xdomiloba. albaTobis skala

Aamocanebi gameorebisTvis

3. albaTobis formula

4. vagrZelebT albaTobis gamoTvlis magaliTebis ganxilvas

testi gameorebisTvis

sagnobrivi saZiebeli

pasuxebi


ogor visargebloT wigniT

wigniT sargebloba rom gagiadvildeT, ramdenime rCevas mogcemT.

saxelmZRvanelos TiToeuli Tavi masSi mocemuli ZiriTadi sakiTxebis

CamonaTvaliT iwyeba.

TiToeuli Tavi paragrafebisgan Sedgeba. paragrafebi, rogorc wesi,

ornawiliania. pirveli nawili Teoriul masalas eTmoba. misi gadmocema

praqtikuli magaliTebis ganxilviT mimdinareobs. am nawils Seswavlili

masalis SejamebiT vasrulebT.

s

a

g

j

i

es niSnaki migvaniSnebs paragrafis meore nawilis dawyebas _ `sxvada

sxva~. aq istoriuli sakiTxebi da sxva damxmare masalaa mocemuli.

es niSnaki amocanebis CamonaTvals win uZRvis.

zogierTi paragrafis Teoriul nawilsa da amocanebs mosdevs savarjiSoebi,

romliTac Seswavlil (maT Soris _ gasul wlebSic)

sakiTxebs gaimeorebT. am nawilis dawyebas gvauwyebs es sagangebo

niSnaki.

SemogTavazebT jgufuri muSaobis proeqtebs _ es TanaklaselebTan

erToblivad muSaobis gamocdilebas Seg ma tebT. aq SeiZleba dag-

WirdeT informaciis damo u ki de be li moZiebac da misi damuSavebac.

vin iqneba pirveli. am niSnakiT warmodgenili amocanebis amoxsnisas

ecadeT, gamWriaxobasTan erTad sxa rti azrovnebac gamoavlinoT.

Cveni

leqsikoni

teqstis ukeT gagebis mizniT saWirod CavTvaleT zo gi er Ti sityvis

warmomavlobis, misi msgavsi mniSv ne lo be bi s an sinonimebis

miTiTeba. aRniSnuli miTiTebebi Cvens leq si konSia mocemuli.

am saTauriT gamoyofil Ca na werebs Tqven xSi rad SexvdebiT. igi

Tqvens sityvaTa ma rag sac gaamdidrebs da ufro gasagebs gaxdis

wignis Si na arss.

!

rveulSi

am niSnakiT drodadro SegaxsenebT, rom yvela amocana unda

gadaita noT rveulSi da DSemdeg SeasruloT. wignSi Canawerebi ar

unda gakeTdes!

gaufrTxildiT wigns!

6

masSi Tqvenma Canawerebma wigni SeiZleba

sxvebisTvis gamousadegari gaxados!


1

gameoreba. statistikis elementebi.

geometriuli figurebi

am TavSi gaimeorebT gasul wels Seswavlil zogierT sakiTxs,

amasTanave, gaiRrmavebT da gaifarTovebT codnas Semdegi mimar-

TulebebiT:

• procenti (maT Soris 1-ze naklebi; 100-ze meti)

• monacemTa Segroveba da sxvadasxva xerxiT warmodgena

• geometriuli gardaqmnebi

• wrfeebis paralelurobis niSnebi da maTi gamoyeneba

1.1 ricxvebi da maTze moqmedebebi

gavixsenoT, rogor farTovdeboda Cveni codna ricxvebisa da maTi gamoyenebebis

Sesaxeb. dadebiTi racionaluri ricxvebiT, ZiriTadad, Tvlisa da

gazomvis Sedegebs warmovadgendiT.

magaliTad, AB monakveTis gazomvisas erT eulis sigrZis AU monakveTi AB-

Si 3-jer mo Tavsda, AB-s sigrZe 3-iT

— na tu raluri ricxviT gamoisaxa.

AC monakveTis gazomvisas erTeuli

sigr Zis monakveTi AC-Si 6-jer mo-

Tavsda da kidev darCa monakveTi, romelSic erTeulis sigrZis monakveTis

mexuTedi orjer moTavsda — AC-s sigrZe 6 2 -ia. es ricxvi SeiZleba wiladis

5

saxiTac CavweroT — 32 . yo ve li naturaluri ricxvic Caiwereba wiladis

5

saxiT, magaliTad, 3= 3 1 . yo vel ricxvs, romelic a (a∈N, b∈N) wiladis saxiT

b

SeiZleba Caiweros, saerTo sa xeli aqvs — dadebiTi racionaluri ricxvi.

dadebiTi racionaluri ricxvi aTwiladis saxiTac Caiwereba — an sasruli

aT wi ladis saxiT (magaliTad, 6 =6,4), an — usasrulo perioduli aTwiladis

sa xiT (magaliTad, =0,333...=0,(3)). racionaluri ricxvis aTwiladis

saxiT Ca sa werad, ZiriTadad, gayofis wess viyenebT — vyofT a-s b-ze.

• ra SemTxvevaSi Caiwereba dadebiTi racionaluri ricxvi sasruli aTwiladis

saxiT (rogor ukavSirdeba es sakiTxi wiladis mniSvnelis gamyofebs)

• ras ewodeba perioduli aTwiladis periodi

• gaixseneT aTwiladebis Sedarebis wesi da SeadareT: 1,5145 da 1,5139.

• gaixseneT damrgvalebis wesi da daamrgvaleT: 3,145 measedebamde; 42,976

meaTedebamde, 2,3(27) perioduli aTwiladi meaTasedebamde. ra ricxvebi warmoadgens

2,3(27)-s miaxloebiT, 0,01 sizustiT, metobiT da naklebobiT

7


gavixsenoT, rom procentic wiladis (aTwiladis) Caweris erT-erTi formaa:

1%=0,01. procentiT zogierTi wiladi (aTwiladi) naturaluri ricxvis

saxiT warmoidgineba. magaliTad:

0,25=25%; 1 2 =50%; 0,21=21%; 0,02=2%; 1

10 =10%.

dadebiT racionalur ricxvebTan erTad Tqven uaryofiT racionalur

ricxvebsac gaecaniT — isini SeiZleba a (a∈Z, b∈N) wiladis saxiT Caiweros.

b

dadebiTi racionaluri ricxvebi, uaryofiTi racionaluri ricxvebi da

nuli racionalur ricxvTa simravles qmnis. es simravle Q-Ti aRiniSneba.

• gaixseneT da CawereT mimarTebebi naturalur, mTel da racionalur

ricxvTa simravleebs Soris, anu N, Z da Q simravleebs Soris. (magaliTad,

N⊂Z — yoveli naturaluri ricxvi mTeli ricxvicaa).

racionalur ricxvebs Tqven ricxviTi wrfis wertilebiTac gamosaxavdiT.

• ipoveT ricxviT wrfeze wertili, romelic 4,5-is mopirdapire ricxvs

gamosaxavs. risi tolia manZili am wertilidan sa Ta vemde

0 1 2 3 4 5

• risi tolia TiToeuli am ricxvis (4,5-isa da –4,5-is) moduli

• vTqvaT, a raime racionaluri ricxvia. aRwereT a ricxvis moduli

geometriuli warmodgenis gamoyenebiT an mis gareSe.

• ra formuliT warmoadgenT |a|-s (ganixileT SemTxvevebi, rodesac a

dadebiTia, uaryofiTia an nulia).

gaixseneT racionaluri ricxvis xarisxi da CawereT

xarisxis saxiT im kubis mo culoba, romlis gverdis

sigrZe 7,5 sm-ia.

7,5 sm

7,5 sm

7,5 sm

SevajamoT: gavixseneT racionaluri ricxvebi, maTi Caweris wesebi,

gamoyenebebi; mimarTebebi naturalur, mTel da racionalur ricxvTa

simravleebs Soris — mokled isini SeiZleba ase warmovadginoT:

N ⊂ Z ⊂ Q.

Cveni

leqsikoni

racionaluri ricxvi _ terminis Sinaarsi teqstSia aRwerili, saxelwodeba

warmoiSva laTinuri ratio-dan, rac Sefardebas, Tanafardobas

niSnavs. rationalis _ gonivruls, mizanSewonils niSnavs.

8


s

dadebiTi racionaluri ricxvebi

Zvel babilonsa da egvipteSic ki iyo

cnobili. eg viptelebi, rogorc wesi,

wiladebs gamosaxavdnen 1-is toli

mricxvelis mqone wi ladebis jamis

saxiT. ricxvebis Caweris poziciuri

sistema (60-obiTi sistema) Zi riTadad

Zvel babilonSi, 4 aTasi wlis win Seiqmna. Cveni

welTaRricxvis da saw yisSi wiladebs iyenebdnen CineTsa da indoeTSic.

aTwiladebi da maTze moqmedebebi pirvelad samaryandeli maTematikosis

kaSis naS ro mebSi gvxvdeba (me-15 saukune). evropaSi es siaxle

mxolod me-16 saukuneSi gavr celda. uaryofiT ricxvebs didi berZeni

maTematikosi diofantec (Cv. w. a. III sau kune) iyenebda, Tumca, XVI

saukunemde bevri evropeli maTematikosi maT cru, mat yuara ricxvebsac

uwodebda. mxolod XVII saukuneSi, dekartis mier koordinatTa

sis temis SemoRebis Semdeg, Seicvala aseTi damokidebuleba uaryofiTi

ricxvebis mi marT _ roca moxerxda dadebiT da uaryofiT ricxvebze

geometriuli warmod genebis Ca moyalibeba.

rogorc xedavT, ricxvis cnebis gafarToebis Tanamimdevroba emTxveva

Tqven mier misi Seswavlis Tanamimdevrobas.

naturaluri

ricxvebi da nuli

arauaryofiTi

racionaluri ricxvebi

racionaluri

ricxvebi

iqneb imsjeloT, gamoTqvaT varaudebi am istoriulad Camoyalibebuli

Tanamimdevrobis asaxsnelad.

a

SearCieT swori pasuxi

62

1 CawereT aTwiladis saxiT:

1000

1) 0,62 2) 0,062 3) 6,2 4) 0,0062.

2 CawereT wiladis saxiT: 3,006

1)

30

2)

306

1000

1000

3) 3006

1000

4) 30006 .

10000

3 1%=

1) 0,01 2) 0,1 3) 1 4) 0,001.

4 10%

1) 0,1 2) 0,01 3) 0,001 4) 1.

9


5 uaryofiTi ricxvis moduli

1) uaryofiTia 2) dadebiTia 3) nulia 4) aradadebiTia

6 3,25 SeiZleba ase CavweroT:

1) 3+ 25

10

2) 3+25 3) 3+ 2 10 + 5

100

4) 3+ 2

100 + 5

1000 .

7 3125,351 — am ricxvSi xazgasmuli cifri miuTiTebs

5

1)

10 -s 2) 5

5

-s 3)

100

1000 -s 4) 5

10000 -s.

8 gamosaxeT larebiT 57 lari da 5 TeTri

1) 0,575 lari 3) 57,05 lari

2) 57,5 lari 4) 5,75 lari.

9 |–9,8|=

1) –9,8 2) –9 3) –10 4) 9,8.

10 vTqvaT, a uaryofiTi racionaluri ricxvia, maSin a ricxvis gamomsaxveli

wertilidan saTavemde manZili aris

1) a 2) |a| 3) ±a 4) 0.

11 vTqvaT, a nulisgan gansxvavebuli racionaluri ricxvia. maSin a

da –a mo pir dapire ricxvebis gamomsaxvel wertilebs Soris manZili

(ricxviT wrfeze) aris

1) |a| 2) 2a 3) 2|a| 4) |a|

2 .

12 Tu –a dadebiTia, maSin a

1) dadebiTia 2) nulis tolia

3) uaryofiTia 4) arauaryofiTia.

13 4·10 5 +3·10 2 +7·10 1 +5=

1) 43750 2) 4375 3) 437,5 4) 400375.

14 1 km=

1) 10 6 sm 2) 10 3 sm 3) 10 4 sm 4) 10 5 sm.

15 mocemulia: a) –17∈N b) –5 1 ∈Z g) 0,(3)∈Z d) 1,(3)∈Q. maTgan WeSma

ri tia.

3

1) a) 2) g) 3) d) 4) b) da d).

16 mocemulia a) N ⊂ Z, b) Q ⊂ N, g) Z ⊂ N, d) N ⊂ Q ⊂ Z. maTgan WeSma

ritia.

1) a) da d) 2) b) 3) a) 4) b) da g).

10


17 Tu racionaluri a ricxvis gamomsaxveli wertili ricxviT wrfeze

a-s mopirdapire ricxvis gamomsaxveli wertilidan 12,5 erTeuliTaa

daSorebuli, maSin a aris

1) 12,5 an –12,5 2) 0 3) 6 an –6 4) 6,25 an –6,25.

18 ipoveT im mTeli ricxvebis odenoba, romlebic metia –3,2-ze da

naklebia 2,5-ze

1) 5 2) 6 3) 4 4) 7.

19 Tu ricxviT wrfeze A wertilis koordinatia –2,7, B wertilisa

ki 1,7, maSin AB monakveTis sigrZea

1) 2,7 2) 1,7 3) 4,4 4) 3,4.

20 winaswari Sefasebis gamoyenebiT (dawvrilebiTi gamoTvlebis gareSe)

ipoveT is gamosaxuleba, romlis mniSvneloba 23-sa da 24-s Sorisaa

1) 15,82+1,4+8,1 2) 7,66+9,11+6,939

3) 6,99+3,89+15,39 4) 4,673+12,15+5,008.

amoxseniT amocanebi

21 kotem gamoiyena kalkulatori da Sekriba ricxvebi:

572,9; 31,8 da 36,36. kotes pasuxia 927,26.

• gamoiyeneT winaswari Sefaseba da aRmoaCineT Secdoma;

• ra Secdoma dauSva, Tqveni azriT, kotem

927,26

22 ricxviT wrfeze gamosaxulia a da b ricxvebi; Sesabamisi wertilebia

A da B, O aTvlis saTavea, OA>OB.

SeadareT:

a) a da b ricxvebi;

b) –a da –b ricxvebi;

g) |a| da |b|;

d) a+2 da b+2;

e) a–16 da b–16.

A

a

O

0

B

b

23 mocemulia simravle:

A={0; 3,3; – 5 9 ; 7

9 ; 13 9 ; 102,5; –3 4 5 ; 7,(3)}.

a) ipoveT simravle yvela im ricxvisa, romelic ekuTvnis

A-sac da N-sac, anu N∩A simravles;

A-sac, Z-sac da Q-sac, anu Q∩Z∩A simravles;

A-sac da Q-sac, anu Q∩A simravles.

b) ipoveT simravle yvela im ricxvisa, romelic ekuTvnis A-s da

ar ekuTvnis:

• Z simravles; • Q simravles; • N simravles.

11


24 ipoveT raime racionaluri ricxvi, romelic Semdeg or ricxvs

Sorisaa:

a) 0,47 da 0,48; b) –1,06 da –1,05;

g) 3,12345 da 3,123451; d)

e) 1 9

z)

1

100

da 2 9 ; v) 1

20

2

7

da 1

10 ; T) 1 2

da 3 7 ;

da 1

10 ;

da 2 3 .

miTiTeba. g) 3,12345 SeiZleba ase CavweroT:

3,1234500;

analogiurad, 3,123451=3,1234510.

erT-erTi saZiebeli ricxvia 3,1234505.

T) 1 2 = 6

12 ; 2 3 = 8

7

12

. am ricxvebs Sorisaa ricxvi:

12

. meore xerxi:

1

2 =0,50, 2 3 =0,666... erT-erTi saZiebeli ricxvia 0,6; anu 3 5 .

25 warmoadgineT raime nimuSi, roca WeSmaritia winadadeba:

• ori mTeli ricxvis jami ar aris naturaluri ricxvi.

• mTeli ricxvisa da racionaluri ricxvis sxvaoba ar aris mTeli

ricxvi.

• mTeli ricxvisa da racionaluri ricxvis namravli ar aris mTeli

ricxvi.

• mTeli ricxvisa da racionaluri ricxvis namravli mTeli ricxvia.

26 sworia Tu ara, rom:

• nebismieri ori mTeli ricxvis jami naturaluri ricxvia

• nebismieri racionaluri ricxvis naturalur ricxvze gayofiT

racionaluri ricxvi miiReba

• nulisa da nebismieri racionaluri ricxvis namravli nulia

• nebismieri mTeli ricxvisa da racionaluri ricxvis sxvaoba

mTeli ricxvia

• nebismieri racionaluri ricxvis nebismier racionalur ricxvze

gayofiT racionaluri ricxvi miiReba

27 mocemulia ricxvebi:

0

0,60;

10 ; 0,6; 6 3 ; 0; 2 5 ; 3 5 ; 0,33; 0,(4); 0,4; 4 9 .

ramdenia am ricxvebs Soris:

a) gansxvavebuli,

b) gansxvavebuli mTeli ricxvi

g) daasaxeleT mocemul ricxvebs Soris udidesi da umciresi.

12


28 ojaxis Semosavlidan 240 lari komunalur gadasaxadebSi daixarja,

rac Semosavlis 32%-s Seadgens. daadgineT ojaxis Semosavali.

29 1989 wlis aRweriT saqarTveloSi miaxloebiT

2581,4 aTasi mamakaci iyo, rac mTeli mosaxleobis

47,4%-s Seadgenda. ramdeni mosaxle iyo

miaxloebiT 1989 wlis aRweriT saqarTveloSi

30 2002 wlis aRweris mixedviT saqarTveloSi

miaxloebiT 4,4 milioni mosaxle

iyo. gamoiyeneT wina amocana da SeadareT

es ricxvi 1989 wlis monacemebs. gamosaxeT

cvlileba procentebiT.

31 CineTSi 1989 wlis monacemebiT miaxloebiT

1 275 mln mosaxle iyo, qveynis far-

Tobi — 9,5 mln km 2 ; saqarTvelos farTobi miaxloebiT

69,5 aTasi km 2 -ia. SeadareT CineTi da

saqarTvelo mosaxleobis simWidrovis mixedviT

(1 km 2 -ze mosaxleTa odenoba). gamoiyeneT:

a) winaswari Sefaseba; b) kalkulatori;

g) weriTi gayofa.

32 daakvirdiT, aRmoaCineT asoebis am ganlagebaSi raime kanonzomiereba.

ra aso iqneba Tqven mier aRmoCenili kanonzomierebis mixedviT

102-e adgilze

a b g d e v a b g d e v a b g d e v...

33 vTqvaT, mariamis ojaxi yovelTviurad 280 kilovatsaaT

eleqtroenergias moixmars. 2006 wlis 1

ivnisidan 100-dan 300-mde kilovatsaaTi eleqtroenergiis

moxmarebis SemTxvevaSi 1 kilovatsaaTis

fasma 3,2 TeTriT moimata (iyo — 12,8 TeTri).

• ramdeni procentiT gaizarda gadasaxdeli

Tanxa

• ra Tanxa Seadgina mariamis ojaxSi moxmarebuli

eleqtroenergiis gadasaxadma 2006 wlis

maisis TveSi

• ra Tanxa Seadgina ojaxis am gadasaxadma 2006

wlis ivnisSi

13


1.2

cvladiani gamosaxuleba. gantoleba.

gantolebis saSualebiT amocanebis amoxsna

axla cvladiani gamosaxuleba, gantoleba da gantolebis saSualebiT

amocanebis amoxsna gavixsenoT.

suraTze samkuTxedia gamosaxuli. vTqvaT,

cnobilia, rom misi erT-erTi gverdi 12 sm-ia,

12 sm 5 sm meore _ 5 sm. Tu mesame gverdis sigrZis ricxviT

mniSvnelobas x-iT aRvniSnavT, maSin samkuTxedis

perimetrisTvis gvaqvs cvladiani gamosaxuleba:

12+5+x.

SeiZleba Tu ara am gamosaxulebaSi x nebismieri ricxvi iyos

gavixsenoT samkuTxedis erT-erTi Tviseba: nebismieri ori gverdis jami

metia mesame gverdze.

imedia, ar gagiWirdebaT dadgena, rom x naklebia 17-ze da metia 7-ze.

magaliTad, Tu x=10, maSin

12+5+x=27.

27 aris mocemuli cvladiani gamosaxulebis mniSvneloba, roca x=10.

vTqvaT, axla cnobilia samkuTxedis perimetri — 26 sm da mxolod ori

gverdi: 5 sm da 12 sm. samkuTxedis mesame gverds vipoviT, Tu amovxsniT

gantolebas:

12+5+x=26.

axla is igiveobebic gavixsenoT, romelTa gamoyenebiT gamosaxulebebs

gardavqmnidiT, vamartivebdiT (Semoklebuli gamravlebis formulebi).

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ; (a–b) 2 =a 2 –2ab+b 2 ; (a+b)(a–b)=a 2 –b 2 .

B

a

C b H

a–b

E

b

A

F

L

b

G a–b D

am igiveobebs geometriul warmodgenebsac vukav-

Si reb diT. magaliTad, am suraTze ABCD kvadratia.

SeadareT daStrixuli figuris da EBHL marTkuTxedis

farTobebi. romeli igiveobis aRwera SeiZleba

am Se da rebis safuZvel ze

SevajamoT: gavixseneT gasul wels Seswavlili zogierTi sakiTxi.

momavalSi sxva sakiTxebsac gavixsenebT.

14


s

Tu x:y=3:2, maSin vambobT, rom x da y cvladebi aris 3-isa da 2-is proporciuli.

moxdenili agebulebis adamianzec amboben xolme: mSvenieri

proporciebi aqvso. Tu arCevnebis dros pirvelobas politikuri

partiebi ecilebian da ara calkeuli kandidatebi, maSin es saarCevno

sistema pro por ciulia.

Tu, magaliTad, mosaxleoba moiTxovs raime produqcias da ver xerxdeba

am moTxovnis dakmayofileba, amboben

xolme: darRveulia proporcia moTxovnasa

da miwodebas Soriso.

es suraTic moTxovnasa da miwodebas

Soris dar Rveul proporcias asaxavs.

Svili: dedi, 5 lari momeci ra

deda: 1 larze mets ver miiReb!

proeqti

oqros kveTis proporciazec visaubreT

gasul wels.

C wertili AB monakveTs oqros kveTis

x

A C B

proporciiT kveTs (AB monakveTis oqros

kveTas axdens), Tu AC

AB = BC

AC , anu, Tu AB=a, AC=x, x

a =a–x x .

x 2 +ax–a 2 =0.

aseTi saxis gantolebis amoxsna Zvel babilonSic SeeZloT —

mis fesvebs sakmaod ma Rali sizustiT poulobdnen. Tqvenc male

SeZlebT msgavsi amocanebis gadawyvetas.

gaixseneT oqros kveTasTan dakavSirebuli masala, romelsac

gasul wels gaecaniT: oq ros kveTa maTematikaSi, oqros kveTa bunebasa

da xelovnebaSi. gamoiyeneT li te ra tura, magaliTad,

avTandil benduqiZe, maTematika, seriozuli da saxaliso, Tbilisi,

2005, an interneti, magaliTad, en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio.

moamzadeT da warmoadgineT moxseneba oqros kveTis Sesaxeb.

15


a

SearCieT swori pasuxi

1 (x–1)(x–1,5)=0 gantolebas

1) erTi fesvi aqvs 2) ori fesvi aqvs

3) sami fesvi aqvs 4) ara aqvs fesvebi.

2 rom vipovoT a-s yvela is mniSvneloba, romlisTvisac 4a–1 da 8a–13

gamosaxulebebis mniSvnelobebi tolia, unda amovxsnaT gantoleba:

1) 4a=8a 2) 4a–1=8a

3) 4a–1=8a–13 4) 8a–1=4a–13.

3 erT-erTi gantolebis amoxsnisas jer am gantolebis orive mxares

gamoakles 8, Semdeg yvela wevris 3-ze gayofiT miiRes: x=9. aRadgineT

Tavdapirveli gantoleba.

1) 3x–8=19 2) 3x+8=35

3) 3x=27 4) x+8=17.

4 mocemulia gantolebebi:

a) 3x=9–4x, b) 4x+6=4x+11,

g) |x|= –5, d) |x|=x.

maTgan romel gantolebas ara aqvs fesvi

1) a) da d) 2) a) 3) d) 4) b) da g).

5 3x=x+7 gantolebis tolfasi gantolebaa:

1) 3x=7 2) 2x=7 3) x=7 4) 3x+7=x.

6 mocemulia gantolebaTa wyvilebi:

a) 8x=–4 da 8x+x=x–4 b) 3x=11 da 3x+5=x+11

g) 8x=36 da 25–x=7x+11 d) 25–x=7x–11 da 8x=3.

maTgan tolfas gantolebaTa wyvilia

1) a) 2) b) 3) g) 4) d).

7 vTqvaT, a dadebiTi ricxvia, b — uaryofiTi. ricxviT wrfeze

am ricxvebis gamomsaxvel wertilebs Soris manZilis gamosaTvleli

formulaa:

1) a+b 2) a–b

3) b–a 4) 2(a–b).

8 qvanaxSiris maRarodan 240 t qvanaxSiris gamosatanad

saWiroa 4 vagonis Sevseba. imave saxis ramdeni

vagonia saWiro 300 t qvanaxSiris gamosatanad

am amocanis amosaxsnelad sakmarisia amoixsnas proporcia:

1) 240

4 = x

300 2) 240

4 = 300

x 3) 540

4 = 300

x 4) 600

4 = x

300 .

16


9

SeiZleba Tu ara, rom samkuTxedis gverdebi 1-is, 2-isa da 3-is

proporciuli iyos

1) Tu samkuTxedi maxvilkuTxaa, SeiZleba

2) Tu samkuTxedi blagvkuTxaa, SeiZleba

3) Tu samkuTxedi sxvadasxvagverdaa, SeiZleba

4) ar SeiZleba.

10 ra ricxvebi miiReba 60-is gayofiT 2-is da 3-is proporciul

nawilebad

1) 12 da 24 2) 20 da 40 3) 10 da 50 4) 24 da 36.

11 oqrosa da vercxlis erT-erT SenadnobSi oqrosa da vercxlis

masebis Sefardebaa: 2:13. am Senadnobis masis ra nawilia vercxlis masa

2

1) 2) 13

2

3)

4) 13

13 13

15

15 .

12 200 kilovatsaaTi eleqtroenergiis Rirebuleba 32 laria. 250

ki lovatsaaTi eleqtroenergiis Rirebulebis (larebSi) sapovnelad

SeiZleba amovxsnaT proporcia:

1)

3)

32

200 = x

250 2) 3200

200 = 250

x

200

3200 = x

250 4)

amoxseniT amocanebi

32

250 = x

200 .

14

13 gaarkvieT – ra wesiT xdeboda 2006 wlis ivnisSi Tbilisis mosaxleobis

mier moxmarebuli eleqtroenergiis Rirebulebis dadgena

(1 kilovatsaaTis

fasi da mo kidebuli iyo

moxmarebuli eleqtroenergiis

odenobaze) da

ipoveT eleqtroenergiis

gadasaxadi 2006 wlis

ivnisis TveSi, roca moxma

rebulia

a) 80 kilovatsaaTi;

b) 160 kilovatsaaTi;

g) 350 kilo vatsaaTi.

gamoiyenebT Tu ara am

Sem Txve vaSi raime proporcias

abonentTa sayuradRebod!

saqarTvelos energetikis maregulirebeli komisiis 2006

wlis maisis dadgenileba ##18-is Tanaxmad eleqtroenergiis

Sesasyidi tarifi mosaxleobis seqtorisaTvis 2006 wlis 1

ivnisidan ganisazRvreba Semdegi odenoba:

# moxmarebuli eleqtroenergiis raodenoba

(30 kalendarul dReSi)

TeTr/kvtsT

1 100 kvtsT-is CaTvliT 13.480

2 101 kvtsT-dan 300 kvtsT-is CaTvliT 16.000

3 301 kvtsT da meti 17.697

im SemTxvevaSi, Tu saangariSsworebo periodi metia an naklebia

30 dReze, safexurebis intervali icvleba Sesabamisad

normirebuli saSualo dRiuri moxmarebis mixedviT.

inglisuri da franguli enebis Semswavlel kursebze 45 studenti

swavlobs. im studentebis ricxvi, romlebic inglisurs swavloben, ise

Seefardeba im studentebis ricxvs, romlebic franguls swavloben,

rogorc 7:2. amasTanave, inglisurs 25 studentiT meti swavlobs,

vidre franguls. ramdeni studenti swavlobs orive enas, marto

inglisurs, marto franguls

17


15 sam dReSi fotogamofena 2940-ma adamianma

daaTvaliera. pirvel dRes damTvalie

rebelTa ricxvi ise Seefardeba meore

dRis damTvalierebelTa ricxvs, rogorc

5:6. meore dRes damTvalierebelTa ricxvi

ise Seefardeba mesame dRis dam Tva li e-

rebelTa ricxvs, rogorc 4:9. ramdenma

daaTvaliera gamofena TiToeul dRes

16 SeiZleba Tu ara zRvaSi ise ganlagdes

sami gemi, rom maT Soris a, b da

c manZilebi akmayofilebdes pirobebs:

a da b proporciuli iyos 2 da 3-is;

b da c ki – 4 da 9-is

17 ABC samkuTxedis perimetri 23 sm-ia. E wertili AC gverds ekuTvnis.

CBE samkuTxedis perimetri 17 sm-ia. ABE samkuTxedis perimetri – 14

sm. ipoveT BE.

18 ABC samkuTxedis C kuTxe marTia. cnobilia, rom C wertili abscisaTa

RerZs ekuTvnis. amasTanave, cnobilia A da B wertilebi: A(10;0); B(2;6).

ipoveT C wertili.

19 miTiTebuli zomebis mixedviT SeadgineT figuris

S farTobis gamomsaxveli sxvadasxva formula

Semdegi ori wesis gamoyenebiT:

a) dayaviT figura marTkuTxedebad horizontalurad

gavlebuli wrfiT;

b) dayaviT figura marTkuTxedebad vertikalurad

gavlebuli wrfiT.

algebruli wesebiT SeamowmeT miRebuli gamosaxulebebis

igivuri toloba.

b

d

a

c

c

20

d

b

amoxseniT wina amocanis analogiuri amocana

suraTze gamosaxuli figuris SemTxvevaSi.

a

21 mocemulia kvadrati, romlis gverdis sigrZea

a+b. ise gaavleT horizontaluri da vertikaluri

wrfeebi, rom kvadrati daiyos oTxkuTxedebad,

romelTagan ori kvadratia da farTobis formulebis

gamoyenebiT miiReT formula:

a) (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ;

b) (a+b) 2 =(a+ b 2 )2 +2(a+ b 2 ) b 2 +( b 2 )2 .

a

b

a

b

18


22 SecvaleT* niSnaki raime iseTi gamosaxulebiT, rom swori toloba

miiRoT:

a) (2x+*) 2 =4x 2 +12xy+9y 2 .

b) (4a+*) 2 =16a 2 +*+4;

g) (*–5m) 2 =9n 2 –*+25m 2 ;

d) (*–0,1b) 2 =*–ab+0,01b 2 .

23 1,002 2 da 0,997 2 ricxvebis meaTasedebamde sizustiT povnis mizniT:

• gamoiyeneT kalkulatori;

• gamoiyeneT Semoklebuli gamravlebis formulebi (1+a) 2 da (1–a) 2

saxis gamosaxulebebisTvis da kalkulatoris gareSe ipoveT saTanado

mniSvnelobebi.

• SeiZleboda Tu ara TiToeul SemTxvevaSi gamogveyenebina miaxloebiTi

toloba (1+a) 2 ≈ 1+2a; (1–a) 2 ≈ 1–2a

• ra SemTxvevaSia gamarTlebuli Tqveni azriT am miaxloebiTi

tolobebis gamoyeneba

24 (erTi Zveleburi amocanis mixedviT) glexi ori

sxvadasxva Rirebulebis Rvinos hyidda, pirvelis

fasi — 1 fuTi — 30 lari (igulisxmeT, rom

1 fuTi 16 litria), meoris fasi — 1 fuTi —

18 lari.

TiToeuli RviniT savse 1-fuTiani WurWlebis

ra nawilebi unda Seeria glexs, rom 1 fuTi

axali Rvinis fasi yofiliyo 21 lari

25 gvaqvs oqrosa da vercxlis ori Senadnobi.

erT-erTSi am metalebis masebis Sefardebaa 2:3,

meoreSi — 3:7. TiToeuli Senadnobis ramdeni

kilogrami unda aviRoT, rom miviRoT 8 kg

axali Senadnobi, romelSic oqros da vercxlis

masebis Sefardebaa 5:11

miTiTeba. aviRoT I Senadnobi — x kg. meore — (8–x) kg.

19


1.3 vagrZelebT procentis ganxilvas

gavixsenoT, rom ricxvebs procentis saxiTac CavwerdiT xolme. magaliTad,

3

4 = 75

75

100

=0,75=75%. amrigad, ricxvis 75%-is povna, ricxvis

100

-is povnas niSnavs

da amitom ricxvs vamravlebT 75

100

-ze (anu 0,75-ze). imis nacvlad, rom vTqvaT:

`mosaxleobis 0,25~, an `mosaxleobis 1 4

~, vambobT xolme: mosaxleobis 25%.

xSirad, praqtikaSi `mcire~ procentTanac gvaqvs xolme saqme. magaliTad,

1%-ze naklebTanac, roca 0,01-ze nakleb nawils vixilavT.

magaliTi 1

2005 wels umaRles saswavleblebSi misaReb er-

Tian erovnul gamocdaze maTematikaSi 5000 abiturientisTvis

SeTavazebuli 40 amocanidan yvelaze

rTuli aRmoCnda erT-erTi 5-quliani amocana. is

unaklod amoxsna mxolod 34-ma abiturientma anu

34

5000

nawilma, rac 0,0068-is tolia. es aTwiladi

SeiZleba procentebiT ga movsaxoT. amisTvis ki,

rogorc ukve iciT, sakmarisia 100-ze gamravleba. miviRebT 0,0068=0,68%-s.

SeiZleba proporciac gamoviyenoT

1 nawili _ 100%

0,0068 _ x%

x=0,0068⋅100=0,68

SeiZleba 100%-ze meti procentis magaliTic ganvixiloT.

magaliTi 2

vTqvaT, qveynis biujetis saSemosavlo nawili (ganmartebisTvis ixileT

paragrafis `leqsikoni~) gasul welTan SedarebiT 1,4-jer gaizarda.

ga mov saxoT es ricxvi procentebiT:

1,4=1,4·100%=140%.

amrigad, es axali monacemi gasuli wlis aseTive monacemis 140%-s

Seadgens.

magaliTi 3

vTqvaT, mewarmis Semosavali wels gasul welTan SedarebiT 3,5-jer

gaizarda.

• wina wlis Semosavlis ramdeni procentia wels mewarmis Semosavali

• ramdeni procentiT gaizarda Semosavali

am magaliTSi dasmul kiTxvebze, imedia, SeZlebT pasuxis gacemas;

gaiTvaliswineT, rom 3,5=350%, 2,5=250%.

(3,5x aris x-is 350%; x gaizarda 2,5x-iT, rac aris x-is 250%).

20


SevajamoT: a ricxvis m% aris a·m

100 .

ricxvis k nawili ricxvis 100k%-ia.

2-jer gazrda niSnavs 100%-iT gazrdas,

3-jer gazrda niSnavs 200%-iT gazrdas,

3,5-jer gazrda _ 250%-iT,

5-jer gazrda – 400%-iT,

n-jer gazrda _ (n–1)·100%-iT.

ricxvis 0,001 aris am ricxvis 0,1%.

ricxvis 0,0001 aris am ricxvis 0,01%.

ricxvis 0,2% aris am ricxvis 0,002 nawili.

ricxvis 0,02% aris am ricxvis 0,0002 nawili.

SeiZleba xSirad proporciac gamoviyenoT; gaiTvaliswineT, rom 1=100%.

Cveni

leqsikoni

biujeti (franguli _ budget) _

1. saxelmwifos, qalaqis, dawesebulebis, sa war mos, ojaxis Semosavalgasavlis

nusxa drois garkveuli monakveTisTvis _ xar j TaRricxva.

magaliTad, qalaq Tbilisis 2011 wlis biujetis dagegmvisas Semosavlebi

605 788 000 lariT ganisazRvra.

igi Sedgeba sxvadasxva gadasaxadebiT, qonebis gayidvisgan miRebuli Semosav

lebiT, sa xelmwifo biujetidan miRebuli TanxiT da sxva.

biujetis mixedviT igegmeba gasavalic ganaTlebis, janmrTelobis, kulturis,

sa bi nao mSeneblobis sferoebSi da sxva.

2. visime piradi Semosavali da xarjebi.

s

pirvelad rodis gamoiyenes procenti da misi simbolo

am kiTxvas gasul wels vupasuxeT. wels 1-ze nakleb procentzec

gvqonda saubari. 1-ze naklebi procentisTvisac saTanado saxeli da

aRniSvnaa SemoRebuli, Tumca maT farTo gamoyeneba ar aqvs.

erTi measedi erTi procentia, erTi meaTasedi _ erTi promile. misi

aRniSvnaa _ 1a. 0,6%-s asec CavwerT: 6a _ promileebis mTeli ricxviT

gamoisaxa 6 mea Tasedi nawili. medikosebi zogierTi gamokvlevisas

miRebul monacemebs promileebSi ga mo saxaven.

21


a

SearCieT swori pasuxi

1 0,001=

1) 1% 2) 0,1% 3) 0,01% 4) 0,001%.

2 0,2%=

1) 0,2 2) 0,02 3) 0,002 4) 0,0002.

3 ricxvis meaTasedi nawili aris am ricxvis

1) 1% 2) 0,01% 3) 0,001% 4) 0,1%.

4 ricxvis 0,3% rom vipovoT, es ricxvi unda gavamravloT

1)

3

10 -ze 2) 3

100 -ze 3) 3-ze 4) 3

1000 -ze.

5 ricxvis 400% rom vipovoT, es ricxvi unda

1) gavyoT 4-ze 2) gavamravloT 4-ze

3) gavyoT 40-ze 4) gavamravloT 40-ze.

6 Tu dadebiT ricxvs gavzrdiT 400%-iT, maSin es ricxvi gaizrdeba

1) 4-jer 2) 3-jer 3) 5-jer 4) 6-jer.

7 Tu dadebiT ricxvs gavzrdiT 6-jer, maSin is gaizrdeba

1) 600%-iT 2) 500%-iT

3) 400%-iT 4) 60%-iT.

8 Tu mocemul dadebiT ricxvs jer gavzrdiT 100%-iT, Semdeg _

200%-iT, maSin mocemuli ricxvi gaizrdeba

1) 300%-iT 2) 600%-iT 3) 500%-iT 4) 200%-iT.

9 Tu mocemul dadebiT ricxvs gavzrdiT 200%-iT, Semdeg _ 100%-

iT, maSin mocemuli ricxvi gaizrdeba

1) 300%-iT 2) 600%-iT 3) 500%-iT 4) 200%-iT.

10 rogor Seicvleba ori dadebiTi ricxvis namravli, Tu erT ricxvs

gavzrdiT 20%-iT, xolo meores SevamcirebT 20%-iT

1) gaizrdeba 4%-iT 2) Semcirdeba 4%-iT

3) Semcirdeba 96%-iT 4) ucvleli darCeba.

11 rogor Seicvleba ori dadebiTi ricxvis namravli, Tu erT ricxvs

gavzrdiT 200%-iT, xolo meores SevamcirebT 2-jer

1) gaizrdeba 50%-iT 2) Semcirdeba 50%-iT

3) gaizrdeba 100%-iT 4) ar Seicvleba.

22


amoxseniT amocanebi

12 erT-erTi skolis me-8 klaselebs sTxoves daesaxelebinaT sayvareli

sportuli TamaSi (erTi). aRmoCnda, rom yoveli moswavle

y

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 f k C W d

x

sportis qomagia. gamokiTxvis Sedegebi diagramazea

mocemuli (vertikalur RerZze _ moswavleTa

odenobebi, horizontalurze _ sportuli

TamaSebi, f-fexburTi, k-kalaTburTi, C-CogburTi,

W-Wad raki, d-da na rCeni saxeobebi).

• sul ramdeni moswavle gamoikiTxa

• moswavleTa saerTo odenobis ramdeni

procenti ani Webs upiratesobas fexburTs an kalaTburTs

• ramdeni procentiT meti aniWebs upiratesobas

ka laT burTs WadrakTan SedarebiT

• ramdeni procentiT meti aniWebs upiratesobas

Cog burTs WadrakTan SedarebiT

• am diagramis mixedviT SeiZleba Tu ara

miviCnioT, rom klaselebs Soris aris wyalburTis

qomagi, xel burTis qomagi

13 fexburTSi 2006 wlis msoflio Cempionatis finalur matCze dasaswrebi

bileTis fasi maspinZlis _ germaniis

gundis gamosvlebis Sesabamisad

meryeobda. meoTxedfinalSi germanelTa

gamarjvebis Semdeg arsebuli fasi

100%-iT gaizarda. naxevarfinalSi damarcxebis

Semdeg es axali fasi 2,5-jer

Semcirda. ramdeni procentiT Seicvala

bileTis meoTxedfinalamde arsebuli

fasi (gaizarda, Tu Semcirda)

14 vTqvaT, dolaris gacvliTi kursi larTan mimarTebaSi iyo _

22 ivniss 1 dolari _ 1,775 lari;

25 ivniss _ 1 dolari _ 1,772 lari;

13 ivliss _ 1 dolari _ 1,760 lari.

am dReebSi meanabrem bankidan 200-200 dolari gamoitana (sul _

600 dolari). TiToeul SemTxvevaSi banki meanabris mier gamotanili

Tanxidan itovebda 0,01%-s — momsaxurebis gadasaxads. sul ramden

lars aiRebda meanabre am sam dReSi ga mo tanili Tanxebis larebze

gacvliT

15 saqonlis fasi 10%-iT Seamcires, Semdeg _ kidev 10%-iT. ramdeni

pro cen tiT iafi gaxdeboda saqoneli, misi fasi Tavdapirvelad 20%-

iT rom Se em ci rebinaT (pasuxi miuTiTeT procentis measedebamde

sizustiT)

23


16 navTobis gadamuSavebisas miiRes 30% navTi, 53% mazuTi, danarCeni

_ narCenebi.

a) ramden procents Seadgens narCenebi

b) ra odenobis navTi da mazuTi miiReba 20 t navTobis gadamuSavebisas

1

2 %-iT gaiz-

17 erT-erTi sawarmos aqciis (fasiani qaRaldis) fasi

arda. ra Rirs amJamad aqcia, Tu misi Zveli fasi iyo

a) 200 lari, b) 300 lari, g) 50 lari

18 ujrian rveulSi daxazeT kvadrati, romlis gverdis

sigrZe ujris gverdis sigrZeze orjer metia. daxazeT

raime marTkuTxedi, romlis farTobi daxazuli

kvadratis farTobis

a) 200%-ia, b) 150%-ia, g) 400%-ia.

19 vTqvaT, TiToeuli kaklis (nayofis) naWuWis

masa nayofis masis miaxloebiT 60%-ia. rogor

fiqrobT, ra ufro xelsayrelia: dasarCevi (naWu-

Wiani) kaklis yidva _ 1 kg _ 5 larad, Tu dar-

Ceulis _ nigvzis yidva 1 kg _ 12,5 larad

20 sami metalis SenadnobSi am metalebis masebi 1, 2 da 5-is proporciulia.

Senadnobis masis ramden procents Seadgens TiToeuli

metalis masa

1

21 erT-erT firmaSi muSakTa xelfasi misi 5 nawiliT Semcirda. mdgomareobis

gamosworebis Semdeg xelfasi Zvel odenobas daubrunda.

ramdeni procentiT gazrdila mdgomareobis gamosworebis Semdeg

firmis muSakTa xelfasi

x

22 x da y dadebiTi ricxvebia. gaizrdeba Tu Semcirdeba y ricxvi,

Tu x-s gavzrdiT 20%-iT, y-s SevamcirebT 20%-iT. ramdeni procentia

zrda an kleba

23 marTkuTxedis formis nakveTis zomebis SecvliT kvlav marTkuTxedis

formis nakveTi miiRes _ sigrZe gaizarda 40%-iT, sigane

Semcirda 40%-iT. gaizarda Tu Semcirda nakveTis farTobi

24 muqi saRebavebiT dafaruli zedapiri sinaTlis

98%-s STanTqavs. ramdenjer naklebia sinaTlis

arekvlili nawili dacemulze, STanTqmulze

24


proeqti

vTqvaT, meanabre apirebda erTi wliT 20 000 laris Setanas erTerT

bankSi. am bankis wesdebiT 1 wlis Semdeg meanabris Tanxas damatebiT

daericxeboda Setanili Tanxis 11,25% _ sargebeli, fulis

gamotanisas ki daeqviTeboda (daukavdeboda) saxelmwifo gadasaxadi

_ daricxuli sargeblis 10%. Tu meanabre amave Tanxas aSS dolarebis

Sesabamisi odenobiT Secvlida da Seitanda bankSi, maSin erTi wlis

Semdeg mas daericxeboda Setanili Tanxis 9,25%. am SemTxvevaSic,

Tanxis gamotanisas, daeqviTeboda daricxuli Tanxis 10%.

vTqvaT, meanabre apirebda Tanxis Setanas 2006 wlis 19 ivnisidan

13 ivlisamde _ erT-erT dRes.

dolaris larSi gacvlis kursis cvlileba

1.7780

1.7760

1.7740

1.7720

1.7700

1.7680

1.7660

1.7640

19.06.2006

20.06.2006

21.06.2006

22.06.2006

23.06.2006

26.06.2006

27.06.2006

28.06.2006

29.06.2006

30.06.2006

03.07.2006

04.07.2006

05.07.2006

06.07.2006

07.07.2006

10.07.2006

11.07.2006

12.07.2006

13.07.2006

14.07.2006

• ipoveT TiToeul SemTxvevaSi 1 wlis Semdeg asaRebi Tanxa.

• gaiTvaliswineT laris kursis mimarTeba am periodSi dolaris

kursTan da mocemuli diagramis mixedviT imsjeleT _ romel dRes

da romeli valutis (larisa Tu dolaris) Setana aRmoCndeboda ufro

xelsayreli meanabrisTvis, Tu gacvlis es kursi ar Seicvleboda

(gaiTvaliswineT, rom es banki anabris Tanxebs ufasod cvlida sxva

valutaSi). ramdeni lari SeiZleba ezarala meanabres Tu valutisa

da dRis SerCevisas saukeTeso variantis magier yvelaze uaress

SearCevda

• iqneb damatebiT raime sxva faqtorebis gaTvaliswinebacaa saWiro

gamoTqviT varaudebi gacvlis kursis cvlilebis gaTvaliswinebiTac

da imsjeleT.

• rogor aisaxeba miRebul Sedegebze saxelmwifo gadasaxadis

gauqmeba (amJamad es gadasaxadi gauqmebulia).

25


1.4 wre da misi nawilebi

suraTze wrewiria gamosaxuli. misi centri O wertilia. A

A

wertili wrewiris wertilia, OA monakveTi radiusia (mis sigrZesac

radiuss vuwodebT xolme). vTqvaT, OA=r. O

sibrtyis ra wertilTa simravlea es wrewiri

am suraTze daStrixulia sibrtyis yvela im werti

lis simravle, romlebidanac manZili mocemul

O

O wertilamde mocemul ricxvs (radiuss) ar aRemateba _ wre.

wre wrewiriT SemosazRvruli figuraa,

wrewiri wris sazRvaria, igi wris nawilia.

A da B wertilebi wrewirs or nawilad hyofs, Ti Toeuli A C

maTgani wrewiris rkalia A da B boloebiT.

am rkalebis gansxvavebis mizniT TiToeulze damatebiT TiTo

B

wer tili aviReT _ C da D. axla am rkalebs ase davasaxelebT:

ACB rkali da ADB rkali. maT asec aRvniSnavT: ∪ACB, ∪ADB.

D

qorda aris monakveTi, romelic wrewiris or

A

B

wertils aerTebs erTmaneTTan.

D

suraTze ori qordaa gamosaxuli, erT-erTi — CD — centrze

gadis. centrze gamaval qordas diametri ewodeba.

O

C

diametri udidesi qordaa. am debulebis dasabuTebaSi

suraTis TvalsaCinoeba davixmaroT.

• vTqvaT, radiusi (radiusis sigrZe) r-is tolia. AB ki raime A

qordaa, romelic centr ze ar gadis.

B

• risi tolia diametri (diametris sigrZe)

O

• gaixseneT samkuTxedis utoloba da miiRebT, rom AB


am suraTze wre oTx seqtoradaa dayofili. vTqvaT, maTi

Sesabamisi centruli kuTxeebi ise Seefardeba, rogorc 1:5:2:4.

vipovoT TiToeuli centruli kuTxe. am kuTxeebis zomebis

jami 360 0 -ia. maSasadame, gvaqvs:

x+5x+2x+4x=360 0

12x=360 0

x=30 0 , 5x=150 0 , 2x=60 0 , 4x=120 0 .

SevajamoT: gavixseneT: wrewiri sibrtyis yvela im wertilis simravlea,

romlebic am sibrtyis mocemuli wertilidan erTi da imave manZiliTaa

daSorebuli; wrewiriT SemosazRvruli sibrtyis nawili wrea; seqtori

wris nawilia, romelic ori ra di usiTaa SemosazRvruli; centruli

kuTxe wris centridan gamosuli ori sxiviT Seq mnili kuTxea.

s

adamianebi uZvelesi droidan iyenebdnen mraval xelsawyos,

romlebic wrewirs an wres da mis nawilebs ganasaxierebdnen. mxolod

borbalic ki ikmarebda amis dasturad.

* * *

wresTan dakavSirebiT gavixsenoT Zveli qarTuli

(amJamad miviwyebuli) TamaSi laxtaoba. is meomarTa

aRzrdasa da wvrTnas uwyobda xels. TamaSi

alyaSemortymul cixesimagreze ieriSs mogvagonebs:

moTamaSeTa erTi gundi miwaze moniSnuli wrewiris

SigniT dgas da miwaze dawyobil laxtebs (qamrebs,

romelTac balTa ara aqvs) icavs. laxtis erTi

bolo wrewirzea, TviT laxti ki diametrze Zevs.

meore gundis wevrebi wres garSemo uvlian da

cdiloben laxtis an TviT mo wi na aRm degis `gatacebas~

wridan ise, rom Tavad ar `daiWran~, anu gadaurCnen

mowinaaRmdegis fe xis Sexebas. Tu laxti motacebulia, maSin laxtis

daxmarebiTac cdiloben danarCeni lax tebis motacebas. Tu moitaces,

laxtiT dauwyeben fexebSi cemas wreSi myofT. mom tacebelTa `daWris~

Semdeg gundebi cvlian poziciebs.

* * *

meore magaliTi fexburTSi 9-metrian zonas ukav-

Sirdeba. fexburTis matCis dros sajarimo dartymis

Sesrulebisas burTi wesebis darRvevis adgilze ideba.

mas im wrewiris centrad warmoidgenen, romlis radiusi

9 metri unda iyos. sajarimo darty mis Sesrulebis

dros am wrewiris SigniT mowinaaRmdege gundis romelime

mo Ta maSis yofna akrZalulia.

27


* * *

sityva centri sxva azriTac ixmareba. ma galiTad,

SesaZlebelia gaigonoT: `satelevizio

cen tris max lob lad saswavlo centri amoq medda~.

am winadadebaSi centri dawesebulebebis aRsaniSnavad

gamoiyeneba.

Tu vinmem, an raimem sayovelTao yuradReba

mi iq cia, maSin amboben xolme: `yuradRebis

centrSi moeqcao~.

* * *

wre saerTo interesebis mqone adamianTa jgufsac aRniSnavs, zogjer

ki _ garemocvasac. magaliTad: `batoni givi saqmiani wreebis warmomadgenelia~,

`nona Wadrakis wreSi dadis~; `es biWi cud wreSi aRmoCnda~.

Tu vinme zomierebis, wesierebis farglebs scildeba, amboben xolme: `is

wres gadadis~. Tqven TviTon axseniT ras unda niSnavdes wre Semdeg

winadadebaSi: `dinamo~ Tasis gaTamaSebis meore wreSi gavida~.

* * *

aviaciis moqmedebis ares _ aviaciis moqmedebis radiussac uwodeben

xolme. Tu saxls garSemo cecxli moedo, amboben: `saxli cecxlis

rkalSi moeqcao~.

* * *

sityva seqtori sxva azriTac gamoiyeneba xolme. magaliTad: `privatizaciis

Sedegad es qarxana kerZo seqtorSi aRmoCnda~ niSnavs, rom

qarxana saxelmwifo sakuTrebidan kerZo mflobelobaSi gadavida.

a

SearCieT swori pasuxi

1 wrewiri ewodeba sibrtyis yvela im wertilis simravles, romlebic

am sibrtyis mocemuli wertilidan

1) mocemul manZilze metad ar aris daSorebuli

2) mocemul manZilze naklebad ar aris daSorebuli

3) mocemuli manZiliT aris daSorebuli.

2 wre ewodeba sibrtyis yvela im wertilis simravles, romlebic

am sibrtyis mocemuli wertilidan

1) mocemuli manZiliT aris daSorebuli

2) mocemul manZilze metad ar aris daSorebuli

3) mocemul manZilze metad aris daSorebuli.

28


3 wrewiris radiusia 7,8 m. am wrewiris diametria

1) 7,8 m 2) 3,9 m

3) 15,6 m 4) 156 m.

4 wrewiris diametri 18,7 dm-ia. am wrewiris radiusia

1) 18,7 dm 2) 9,35 dm

3) 37,4 dm 4) 0,935 dm.

5 wrewiris diametri mis radiusze

1) orjer naklebia 2) samjer metia

3) orjer metia.

6 wrewiris centria P(4,8; 0) wertili. wrewiri gadis koordinatTa

saTaveze. am wrewiris radiusia

1) 2,4 2) 4,8 3) 9,6.

7 wrewiris raime ori wertilis SemaerTebel monakveTs

1) am wrewiris radiusi ewodeba

2) Sesabamisi wris seqtori ewodeba

3) am wrewiris qorda ewodeba.

8 wrewiris udidesi qorda

a) radiusis tolia 2) diametris tolia 3) diametrze metia.

9 suraTze daStrixuli seqtori aris wris

1

1) 25% 2) 8% 3) 12,5% 4) 8 %.

10 romel suraTzea daStrixuli wris 25%

1) 2) 3)

11 suraTze BOC aris AOB kuTxis

1) 75% 2) 33 1 3 % 3) 50% 4) 45%.

O



A

B

C

12 suraTze daStrixuli seqtori aris wris

1 1

5

1

1) 2 2) 12 3) 12 4) 3 .


29


13 AOB, BOC, COD da AOD centruli kuTxeebi ise Seefardeba,

rogorc 10:14:3:9. AOD seqtori aris wris

1) 40% 2) 25% 3) 9%.

A

O

B

14 suraTze Seferadebuli nawili aris

1) ori seqtoris gaerTianeba

2) ori segmentis gaerTianeba

3) ori wris gaerTianeba.

15 suraTze mocemuli wrewiris simetriis RerZia

1) a 2) b 3) c.

D

C

a

b

c

amoxseniT amocanebi

16 wris centri A(–3;1) wertilia, radiusi ori erTeulis tolia.

aageT naxazi da miuTiTeT sakoordinato sibrtyis romel meoTxedebSia

wris wer ti lebi.

17 wrewiris centri koordinatTa saTaveSia, radiusi 5 erTeulia.

ipoveT am wrewiris sakoordinato RerZebTan gadakveTis wertilebis

koordinatebi.

18 wrewiris centria P(4; 0) wertili, radiusi 3-is tolia. ipoveT am

wrewiris abscisaTa RerZTan gadakveTis wertilebis koordinatebi.

19 wrewiris centri P(–3; 0) wertilia. wrewiri gadis koordinatTa sa-

Taveze. ipoveT am wrewiris abscisaTa RerZTan gadakveTis wertilebis

koordinatebi.

20 wris centri P(0; 3) wertilia, radiusi _ 2 erTeuli. CamoTvlil

wertilTagan romeli ekuTvnis wres:

A(0;2), B(1;3), C(3;3), D(0;6), E(0;5)

SeasruleT naxazi.

21 wrewiri kveTs ordinatTa RerZs (0;1) da (0;–5) wertilebSi. misi

centri ordinatTa RerZzea. ipoveT wrewiris centris koordinatebi.

22 wrewirze moniSneT A, B da C wertilebi. daasaxeleT romelime

oTxi rkali.

23 wrewiris centri koordinatTa saTavea, wrewiri sakoordinato

RerZebs kveTs A(4;0), B(0;–4), C(–4;0) da D(0;4) wertilebSi. am wertilebiT

SemosazRvruli rkalebidan romeli

a) ar Seicavs II meoTxedis 2-ze met wertils;

b) Seicavs mxolod im wertilebs, romelTa abscisebi arauaryofiTi

ricxvebia;

30


g) Seicavs mxolod im wertilebs, romelTa koordinatebis namravli

aradadebiTi ricxvebia;

d) Seicavs mxolod im wertilebs, romelTa ordinatebi aradadebiTi

ricxvebia

24 A(–3;0) da B(7;0) — wrewiris diametris bolo wertilebia. ipoveT

am wrewiris centris koordinatebi.

25 A(0;–2) im wrewiris wertilia, romlis centria P(0;1). ipoveT am

wrewiris diametri.

26 A(0; 6,4) da B(0;–3,2) wrewiris diametris boloebia. ipoveT am

wrewiris radiusi da centris koordinatebi.

27 wrewiri ordinatTa RerZs M(0;10,2) da N(0;12,1) wertilebSi kveTs.

ipo veT MN qordis sigrZe.

28 wrewiris radiusia 8 sm. SeiZleba Tu ara, rom misi romelime

qorda iyos

a) 1 sm; b) 8 sm; g) 17 sm;

d) 16 sm; e) 18 sm

29 a da b wrfeebi P wertilSi ikveTeba. wrewiri, romlis centria P wertili,

a wrfes A da B wertilebSi kveTs, b wrfes ki _ C da D wertilebSi.

da a saxeleT:

a) APD centruli kuTxis toli centruli kuTxe;

b) centruli kuTxe, romelic APD kuTxis mosazRvrea.

30 AOB da BOC centruli kuTxeebis zomebi Sesabamisad

aris 50 0 da 28 0 . ipoveT

a) AOC centruli kuTxis gradusuli zoma.

b) EOF centruli kuTxis gradusuli zoma, Tu OE da

OF aris mocemuli AOB da BOC kuTxeebis biseqtrisebi.

31 wris centrze gavlebuli AB da CD wrfeebiT Seqmnili erT-erTi

centruli kuTxe 42 0 -ia. ipoveT danarCeni centruli kuTxeebi.

32

ipoveT α.


C

33 cnobilia, rom AB da CD marTobuli diametrebia.

∠1+∠2=128 0 . ipoveT ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 _ centruli

kuTxeebi.

A

1 2 3

5 4

D

B

31


C

B

34 AB da CD diametrebiT Seqmnili ori kuTxe ise

O Seefardeba, rogorc 2:3. ipoveT es centruli kuTxeebi.

A

D

35 wrewirze ise SearCies A, B, C da D wertilebi, rom

AOB, BOC, COD da AOD centruli kuTxeebis gradusuli

zomebi 3, 3, 2 da 1 ricxvebis proporciuli aRmoCnda.

ipoveT TiToeuli kuTxe.

36 wris centri koordinatTa saTavea, radiusi 2,4 erTeulia. daStrixeT

wrewiris A(2,4;0) da B(0;–2,4) wertilebze gavlebuli AB qordiT

miRebuli segmenti, romlis nebismieri wertilis koordinatebis

namravli aradadebiTi ricxvia.

37 suraTze wris formis nakveTebia gamosaxuli. Tqveni varaudiT,

mocemuli wris romel wertilebSi unda ganalagoT solebi, rom

isini iyos erTmaneTisgan rac SeiZleba Sors; rac SeiZleba axlos:

A

D

O

C

B

a)

O

O'

b)

O

O'

38 aRwereT da Semdeg daxazeT wris simetriuli figura l wrfis

mimarT:

a) l b)

l

g)

d)

l

l

39 daxazeT O centris mqone wrewiri. moniSneT wrewirze raime A

wertili. ipoveT mocemuli wrewiris OA mimarTuli monakveTiT paraleluri

gadatanisas miRebuli figura.

32


1.5 monacemTa analizi da statistika

1. monacemebis mopoveba da dajgufeba

gasul wels gavecaniT sxvadasxva mizniT monacemTa mopovebis (Segrovebis)

zo gi erT xerxs:

I _ gamokiTxvis Catareba. am gziT adgenen pirovnebis an gundis popularobis

do nes, politikosebSi `ZalTa ganawilebas~ arCevnebis Catarebamde,

satelevizio kon kursis gamarjvebulis vinaobas da a. S. zogjer gamokiTxvas

internetis ga moyenebiTac atareben.

II _ cnobarebis gamoyeneba (maT Soris internetSi ganTavsebuli cnobarebisac).

magaliTad, monacemebi okeaneebze, kosmosze, ekonomikur sakiTxebze,

msoflioSi mosaxleobis ganawilebaze da a. S. cnobarebiT SeiZleba moviZioT.

III _ dakvirveba. magaliTad, TbilisSi transportis moZraobisa da mgzavrTa

odenobis Seswavlis mizniT 2006 wlis ivlisSi dakvirvebas studentebi

axdendnen.

IV _ eqsperimentis Catareba. magaliTad, vatarebT eqsperiments _ monetis

mra val jerad agdebas da vakvirdebiT gerbisa da safasuris mosvlaTa

odenobas.

mopovebuli monacemebis dasamuSaveblad _ mosawesrigeblad vaxdenT

maTi raime niSniT dalagebas (dajgufebas), zogjer ki sixSireTa cxrils

SevadgenT.

magaliTi

erT-erTi humanitaruli organizaciis davalebiT ninom da beqam Caatares

gamokiTxva, raTa daedginaT: ramdenSviliani ojaxebi cxovreben maTTvis

uaxloes sacxovrebel korpusSi.

beqa miRebul Sedegebs TanamimdevrobiT iwerda:

1, 2, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 5, 2.

nino ki Tavidanve aseT

cxrilSi ganalagebda monacemebs:

Svilebis

odenoba

erTeulebi sixSire

1 3

2 12

cxadia, monacemebis aseTi 3 7

cxriliT _ sixSireTa cxriliT 4 2

warmodgena ufro xelsayrelia.

5 1

daasaxeleT, ra upiratesoba aqvs

aseT war mod genas Tavdapirvel warmodgenasTan SedarebiT

zogjer gamoiyeneba cxrilebi, romlebSic yoveli monacemisTvis sixSires-

Tan erTad, an mis nacvlad, miTiTebulia fardobiTi sixSire _ six Si ris

Sefardeba monacemTa saerTo raodenobasTan. mas, rogorc wesi, procentebiT

ga mosaxaven. magaliTad, warmodgenili monacemebisTvis fardobiTi sixSireebi

pro cen tebiT ase gamoisaxeba: 12%, 48%, 28%, 8% da 4%.

• risi tolia am fardobiT sixSireTa jami

• ipoveT dasaxelebul monacemTa saSualo, moda da gabnevis diapazoni.

aRwereT es monacemebi am maxasiaTeblebiT.

33


SevajamoT: ganvixileT monacemTa Segrovebis, klasifikaciisa da sixSire-

Ta cxriliT warmodgenis magaliTi.

s

bevri Tqvengani, SesaZlebelia, yuradRebiT adevnebs xolme Tvals

fexburTis matCebs. fexburTis matCis damTavrebis Semdeg

xSirad televiziiT matCis statistikas gvamcnoben

_ monacemebs, romlebic TamaSis msvlelobas asaxavs.

magaliTad, safrangeTsa da italias Soris erT-erTi

saerTaSoriso matCis zogierTi monacemi aseTi iyo:

italia

safrangeTi

jarimebi 15 21

kuTxurebi 5 10

gafrTxileba 1 2

gaZeveba 0 1

karisken dartyma 5 10

karSi dartyma 3 5

TamaSgare 3 2

burTis floba 50% 50%

golebi 1 1

matCis Semdgomi

penaltebi

5 3

am monacemebis mixedviT bevri ma xa siaTebliT safrangeTis gundi uke-

Tesadac gamoiyureboda. Tumca, mniSv nelovani iyo

matCis Semdgom pe naltebSi italielTa upira teso

ba. gadamwyveti aRmoCnda italielTa saocari

sa Ta maSo disciplina da sportuli Jini _ italiam

Rirseulad gaimarjva.

a

SearCieT swori pasuxi

1 vTqvaT, ricxviTi monacemebia:

2; 2; 3; 3; 3; 5; 5; 5. am monacemebSi 3-is sixSirea

1) 2 2) 3 3) 1 4) 2.

2 wina amocanaSi warmodgenil monacemebSi 3-is fardobiTi sixSirea

1) 75% 2) 37,5% 3) 32,5% 4) 35%.

3 vTqvaT, ricxviTi monacemebia: 5, 5, 6, 6, 6, 10. am monacemebis Sesabamisi

sixSireTa cxrilia

34


1)

ricxvi 5 6 10

sixSire 2 3 1

2)

ricxvi 5 6 10

sixSire 8 2 6

3)

ricxvi 5 6 10

sixSire 2 1 5

4) ricxvi 5 6 10

sixSire 2 6 10

amoxseniT amocanebi

4

5

vTqvaT, ricxviTi monacemebia: 5, 5, 5, 6, 6, 6, 10, 10, 2; 5; 2; 5; 10;

10; 3; 2; 3; 5.

SeadgineT fardobiT sixSireTa cxrili.

kamaTeli gaagores 20-jer. ricxvi 1 movida 5-jer. 2 _ 2-jer; 3

_ 4 jer; 4 _ 3-jer, 5 _ 2-jer, 6 _ 4-jer.

SeadgineT: a) am ricxvebis mosvlis sixSireTa cxrili;

b) fardobiT sixSireTa cxrili.

6

moneta aagdes 25-jer. safasuri gamoCnda 14-jer, gerbi

_ 11-jer. SeadgineT safasurisa da gerbis gamoCenis:

a) sixSireTa cxrili;

b) fardobiT sixSireTa cxrili.

7

Tqveni klaselebisTvis yvelaze popularuli

kinofilmebis, sportsmenebis, msaxiobebis, politikosebis

da telegadacemebis xuTeulebis mixedviT

CaatareT gamokiTxva _ TiToeulma Tanaklaselma

yoveli xuTeulidan unda daasaxelos misi azriT

yvelaze popularuli. Semdeg SeadgineT

Sesabamisi sixSireebis cxrili, fardobiTi

sixSireebis cxrili da imsjeleT maT Sesaxeb.

8

gamoikiTxa 50 axalgazrda _ ramdeni filmi naxa kinoTeatrSi gasul

TveSi. gamokiTxvis Sedegebi sixSireTa cxriliTaa warmodgenili.

nanaxi filmebis odenoba 0 1 2 3 4 5

sixSire 12 10 15 9 3 1

• ramdenma axalgazrdam naxa aranakleb 2 filmisa

• ramdenma naxa ara umetes 2 filmisa

35


• filmebis ra odenobaa warmodgenili

udidesi sixSiriT

• SeadgineT fardobiT sixSireTa cxrili.

• daasruleT svetovani diagramis Sed ge na

(rveulSi).

sixSire

10

5

0 filmebis odenoba

9 wignebis gamyidveli aRricxavda dRiur navaWrs.

aRmoCnda, rom erTi dRis ganmavlobaSi TiTo

wigni oTxma iyida; or-ori _ xuTma, sam-sami _

samma; oTxi _ erTma; xuTi _ erTma; eqvs-eqvsi

_ orma. SeadgineT monacemebis:

a) sixSireTa cxrili;

b) fardobiT sixSireTa cxrili.

10 anim gamokiTxa Tanaklaselebi da aRmoCnda, rom diliT 7 sT-dan 7 sT

15 wT-mde misi 1 Tanaklaseli dgeba; 7 sT 15 wT-dan 7 sT 30 wT-mde

_ 4 Tanaklaseli; 7 sT 30 wT-dan 7 sT 45 wT-mde _ 8 Tanaklaseli;

7 sT 45 wT-dan 8 sT-mde _ 1 Tanaklaseli. TviTon ani, rogorc wesi,

miaxloebiT 7 sT 50 wT-ze dgeba. Se ad gineT fardobiT sixSireTa

cxrili.

11 fardobiT sixSireTa cxriliT warmodgenilia qarTul enaSi abiturientTa

naSromebis gasworebis Sedegebi

Secdomebis odenoba 0 1 2 3 4 5 6

sixSire 4 5 14 24 10 2 1

• ris tolia sxvaoba daSvebul SecdomaTa udides da umcires

odenobebs Soris

• SecdomaTa ra ricxvia tipuri mocemuli monacemebisTvis

• miuTiTeT _ ra statistikuri maxasiaTeblebiT isargebleT

kiTxvebze pasuxebis gasacemad

12 cxriliT warmodgenilia 100-larian aqciaTa odenobebi, romlebic

erT-erTi sawarmos TanamSromlebma SeiZines.

ipoveT am monacemebis

saSualo, gabnevis diapazoni

da moda. axseniT am maxa sia-

Teb le bis praqtikuli azri

_ ra SeiZleba Se it yoT am

cxrilidan

aqciaTa

ricxvi

erTeulebi sixSire

2 20

5 12

10 7

25 4

100 2

36


proeqti

winadadebis sigrZe vuwodoT winadadebaSi Semaval

sityvaTa odenobas.

SearCieT ramdenime wigni Tqveni saxelmZRvaneloebidan.

SeadgineT TiToeuli saxelmZRvanelos raime

gverdze winadadebebis sigrZeTa sixSireTa cxrili.

• SeadareT saxelmZRvaneloebi winadadebis sigrZeTa

sixSireebis cxrilis mixedviT.

• ramden sityviani winadadeba gvxvdeba ufro xSirad TiToeul

wignSi

• romelSia meti `grZeli~ winadadebebi

• ra daskvnas gaakeTebdiT am cxrilebis mixedviT (saxelmZRvanelos

teqstis gaazrebisa da sxva faqtorebis Sesaxeb).

2. monacemTa warmodgenis xerxebi. wriuli diagrama

monacemTa gamosaxvis ramdenime xerxs gasul wels gavecaniT:

vixilavdiT cxrilis gamoyenebiT monacemebis warmodgenas. magaliTad,

Tqvenc SeZlebT SeavsoT cxrili, romelic warmoadgens Tqveni skolis VII-XI

klasebis moswavleTa klasebis mixedviT dayofas (klasifikacias).

SeiZleba Tu ara erTdroulad warmovadginoT

VII da VIII klaselTaTvis aRniSnuli principis Sesabamisi

svetovani diagramebi Cven wamoviwyeT am

cxrilis Sedgena VIII klasel TaT vis. imedia, Tqven

daasrulebT mas.

gaixseneT _ kidev ra saxis diagramebs gaecaniT

SarSan

vTqvaT, TbilisSi zafxulis erTi kviris ganklasifikacia

klasebis

mixedviT (VII-XI)

VII VIII IX X XI

moswavleTa odenoba 4 5 14 24 10

• moifiqreT _ sxva ra principiT SeiZleba daiyos jgufebad VII-XI klasis

moswavleebi

• vTqvaT, cnobilia, rom VII klasSi 50 moswavlea. maT Soris 10 friadze

swavlobs (aqvT Sefasebebi 9 an 10), 15 – kargad (Sefaseba – 8), 21 damakmayofileblad

(Sefaseba – 6 an 7). danarCeni – aradamakmayofileblad.

SeadgineT svetovani diagrama am klasifikaciis Sesabamisad.

vTqvaT, VIII klaselTa Sesabamisi monacemebia: 9

– friadze, 13 – kargad, 25 – damakmayofileblad,

3 – ara damakmayofileblad.

odenobebi

friadi

kargi

damakmay.

aradamakm.

2

Sefasebebi

37


mavlobaSi haeris temperatura Semdeg na i rad icvleboda:

30

20

10

10 11 12 13 14 15 16

TariRi

cxadia, Tqven iolad daasrulebT am di ag ramis agebas. warmoadgineT es

monacemebi wertilovani diagramiTac. Semdeg ki am ori sa xis diagramidan

daasaxeleT is, romelic ukeT warmoaCens dReebis mixedviT tem pe raturis

cvlilebas.

axla monacemTa warmodgenis kidev erT xerxze SevCerdeT – wriul diagramaze.

wri uli diagrama, rogorc wesi, monacemTa erTobliobis Semadgenel

nawilebs Soris Ta na fardobis TvalsaCinod gamosaxvisTvis gamoiyeneba.

vTqvaT, maRaziaSi dRis ganmavlobaSi puris gayidvidan Semosuli Tanxa

mTeli na vaW ris 40%-ia, Saqris _ 18%, karaqis _ 15%, sxva produqtebis _

27%.

wriuli diagramis asagebad sruli kuTxe _ 360 0 am

mona ce mebis proporciul na wi lebad unda davyoT:

360 0 ⋅0,4=144 0 , 360 0 ⋅0,18≈65 0,

15%

27%

360 0 ⋅0,15=54 0, 360 0 ⋅0,27≈97 0

SuadRis

temperatura

Semdeg wre iyofa miRebuli sidideebis — centruli

kuTxeebis Sesabamis seqtorebad.

wriuli digramebi asec SeiZleba warmovadginoT:

SuaRamis

temperatura

10 ivlisi 30 0 20 0

11 ivlisi 32 0 24 0

12 ivlisi 34 0 22 0

13 ivlisi 27 0 22 0

14 ivlisi 25 0 18 0

15 ivlisi 34 0 20 0

16 ivlisi 36 0 23 0

18% 15%

18%

15%

18%

40%

40%

27%

40%

27%

fardobiTi sixSire %

40

30

20

10

0,5 0,6 0,7 0,8 dro (sT)

suraTze svetovani diagramiTaa warmodgenili

sawarmoSi TiTo detalze

daxarjuli drois aRricxvis fardobiT

sixSireTa cxrili; magaliTad, im detalebis

odenobis fardobiTi six Sire,

romlebzedac 0,5 sT daixarja, 16%-ia,

0,6 sT _ 20%, 0,7 sT _ 40%; 0,8 sT _ 24%.

• SeadgineT Sesabamisi wriuli diagrama.

38


SevajamoT: gavixseneT monacemTa TvalsaCinod warmodgenis ramdenime

xerxi da gavecaniT kidev erT xerxs _ wriul diagramas.

1. monacemTa TvalsaCinod warmodgenis ra xerxebs icnobT

2. ra SemTxvevaSia mosaxerxebeli monacemebis xazovani diagramiT

warmodgena _ risi gaazreba SeiZleba am diagramaze erTi Sexedvi-

Tac ki

3. ra SemTxvevaSi gamoiyeneba wriuli diagrama

4. ra SemTxvevaSi ar aris, Tqveni azriT, moxerxebuli wriuli

diagramis gamoyeneba

a

SearCieT swori pasuxi

13 wris formis gazoni rva tol seqtorad gayves. 1 da

5-nom ria nebze vardi gaaSenes. 2 da 6-ze _ tita, 3 da

7-ze _ mixaki, 4 da 8-ze _ koindari.

• ipoveT TiToeuli seqtoris Sesabamisi centruli

kuTxe.

• gazonis ra nawili uWiravs TiToeuli saxeobis

mcenares gamo sa xeT es ricx vi procentebiT.

3 2

4 1

5 8

6 7

14 TvalzomiT wre dayaviT iseT sam seqtorad, romelTa Sesabamisi

centruli kuTxeebi 3-is, 4-is da 11-is proporciulia. Sedegi SeamowmeT

transportiriT.

15 wre dayaviT iseT sam seqtorad, romelTagan erTis Sesabamisi

centruli kuTxe aris sruli kuTxis 35%, meore _ 40%. ipoveT

TiToeuli seqtoris Sesabamisi kuTxe da SeasruleT naxazi (transportiris

gamoyenebiT).

16 diagramaze sawarmos oTxi ganyofilebis mTeli wlis xarjia gamosaxuli.

• gamoTvaleT sawarmos mTeli wlis xarji

(oTxive ganyofilebis);

• daadgineT: mTeli xarjis ramdeni

procentia (miax lo ebiT) TiToeuli gan yo -

fi lebis xarji.

• daxazeT wre da dayaviT oTx seqtorad

ise, rom seq to rebis Sesabamisi cen t ruli

kuTxeebi iyos miRebuli pro centebis propor

ci uli.

xarji (l)

2000

1000

I II III IV

39


17 suraTze 50 sportsmenis Sefasebis procentuli

mona cemebia. daxazeT amave mo nacemebis

aRsawerad svetovani di ag rama.

`xuTi~

10%

`oTxi~

24%

4% `ori~

18 gamokiTxeT Tqvens Tanaklaselebs _ weliwadis

romel drosaa daba d e buli. SeadgineT:

`sami~

a) sixSireTa cxrili; b) fardobiT sixSireTa cxrili.

g) wriuli diagrama;

19 mocemulia sami wlis ganmavlobaSi erT-erT qveyanaSi Seqmnili

kinofilmebis odenobaTa cxrili

wlebi

2009

2010

2011

filmebis odenoba

130

107

280

• SeadgineT am cxrilis Sesabamisi

svetovani diagrama (vertikalur

RerZze aiReT danayofebi 0, 100, 200,

300 _ kinofilmebis odenobebi).

• SeadgineT Sesabamisi fardobiT

sixSireTa cxrili (gamoTvlebi awarmoeT

miaxloebiT, meaTedebamde sizustiT).

• SeadgineT wriuli diagrama.

20 CaatareT Tqvens TanaklaselebSi gamokiTxva _ fexburTelTa nakrebebs

Soris (espaneTi, italia, inglisi, germania) romeli

qveynis gunds gulSematkivroben isini

pasuxebi SeiZleba iyos _ erTi romelime gundi,

an _ arc erTi.

SeadgineT Sesabamis fardobiT sixSireTa cxrili

da wriuli diagrama.

21 gaecaniT da SeadareT erTmaneTs Wvavis, xorblis

I xarisxisa da xorblis II xarisxis fqvilisgan

damzadebuli puris kvebiTi Rirebulebebis

zogierTi monacemi (ganixileba TiToeuli saxeobis

100 grami puri). yoveli niSnis mixedviT

SeadgineT svetovani da wriuli diagramebi

da ganixileT isini.

puris saxeoba

(mg)

kalciumi

(mg)

fosfori

(mg)

magniumi

(mg)

rkina

(mg)

kaloriuloba

(kkal)

Wvavis 21 174 57 3,6 170

xorblis I x. 26 83 35 1,6 240

xorblis II x. 23 131 51 3,2 218

40


22 maTematikaSi semestruli Sefasebebis

mi xed viT erT-erTi klasis moswav

le ebi Semdegnairad ga nawildnen:

SeadgineT Sesabamisi svetovani da

wriuli diagramebi.

Sefaseba

moswavleTa

odenoba

9-10 3

7-8 10

6 17

6-ze naklebi 2

23 erT-erT fermaSi naTesebis ganawileba

Semdegi saxiT warmogvidgeba:

xorblis naTesebs ukavia

mTeli farTobis 63%,

qers _ 16%,

siminds _ 12%,

lobios _ 9%.

SeadgineT Sesabamisi wriuli diagrama.

24

cxriliT mocemulia erT-erTi dawesebulebis TanamSromelTa ganawileba

samuSao staJis mixedviT:

samuSao staJi

araumetes 3

weli

4 weli 5 weli

6 da meti

weli

fardobiTi sixSire (%) 8 12 16 64

SeadgineT wriuli diagrama am monacemebis mixedviT.

25

cxrilSi mocemulia erT-erTi wlis

monacemebi ZiriTad nav Tobmompovebel

qveynebSi navTobis yoveldRiuri mopovebis

Sesaxeb (1 bareli _ 159 litria).

SeadgineT saTanado svetovani da wriuli

diagramebi, romelic gviCvenebs am qveynebs

So ris navTobis dRiuri mopovebis

Ta na far do bas.

qveynebi dRiuri mopoveba

(mln. bareli)

saudis arabeTi 10,4

ruseTi 9,3

aSS 8,7

irani 4,1

meqsika 3,8

41


26 am cxrilSi mocemulia nav-

Tobis mTeli maragis odenobebi

(miaxloebiT) Zi ri Tad navTobmompovebel

da udidesi maragis

mqone qve y neb Si.

SeadgineT saTanado svetovani

da wriuli

diagramebi;

SeadareT isini

wina amocanaSi

Sedgenil

di ag ramebs.

qveynebi

navTobis maragi

(miliardi bareli)

saudis arabeTi 267

ruseTi 60

aSS 21

irani 132

meqsika 13

kanada 179

kuveiti 104

erayi 115

gaerTianebuli

emiratebi

98

venesuela

79

27 cxrilSi mocemulia evropis xuTi saukeTeso gundis mier CempionTa

ligaSi monawileobis garkveul etapze aRebuli Tanxebi. SeecadeT

miaxloebiT aagoT Sesabamisi svetovani da wriuli diagramebi.

# klubebi

TamaSebSi monawileobisTvis

aRebuli Tanxa (dolari)

reklamebSi aRebuli

Tanxa (dolari)

sul

(dolari)

1 arsenali 25 672 125 29 999 000 55 671 125

2 barselona 28 228 125 20 733 000 48 961 125

3

4

5

lioni 14 328 125 25 162 000 39 490 125

Celsi 10 578 125 28 084 000 38 662 125

milani 17 578 125 14 284 000 31 862 125

28 cxriliT mocemulia erT-erTi ojaxis sa Sualo Tviuri Semosavlis

ganawilebis Se sa xeb gamokiTxvis Sedegebi.

ojaxis Tviuri danaxarjebi

kveba 35%

tansacmeli 5%

janmrTeloba 10%

transporti 12%

ganaTleba 8%

gadasaxadebi 20%

sxva xarjebi 10%

• aageT wriuli diagrama.

• yoveli 100 laridan ramdeni lari

ixar je ba sursaTze, transportze

42


29 cxriliT mocemulia dedamiwis

xmeleTis zedapiris farTobis ganawileba

kontinentebis mixedviT:

• miaxloebiT ramdeni kvadratuli

kilometria dedamiwis

xmeleTis zedapiris farTobi

• dedamiwis xmeleTis zedapiris

ramdeni procentia evraziis far-

Tobi

• aageT kontinentebis mixedviT

farTobis ganawilebis wriuli

diagrama.

• cnobilia, rom evropis xmeleTis

farTobi dedamiwis mTeli xmeleTis

farTobis miaxloebiT 7%-ia. ramdeni

procentia aziis farTobi

kontinentebi

farTobi

afrika 29,22 mln km 2

avstralia 7,56 mln km 2

samxreT

amerika

CrdiloeT

amerika

18,13 mln km 2

20,36 mln km 2

evrazia 53,44 mln km 2

antarqtida 12,40 mln km 2

30 erTiani erovnuli gamocdebisTvis mzadebis periodSi Catarda

mosamzadebeli wera maTematikaSi. Sedegebi

aseTi iyo: 0-29 qula miiRo moswavleTa

saerTo odenobis 12%-ma; 30-59 qula _

55%-ma; 60-84 qula _ 29%-ma, 85-100 qula

_ 4%-ma. SeadgineT moswavleTa niSnebis

ganawilebis wriuli diagrama.

proeqti

geometriul figuraTa Tvisebebis gamoyeneba

gaixsneT VII klasis saxelmZRvanelos mixedviT savele

samuSaoebis Catarebisas `wrfis monakveTis~ gamosaxvis

(swori xazis gavlebis) erT-erTi xerxi.

marTobuli wrfeebis agebisas iyeneben specialur

xelsawyos — ekers. suraTis mixedviT SeecadeT aRweroT

marTobuli `wrfeebis~ gavlebis wesi, an mocemuli

mimarTulebisadmi marTobuli mimarTulebis wrfis

gavlebis wesi.

K

A

C

B

1. suraTis mixedviT aRwereT tbis napiris A

da B punqtebs Soris manZilis povnis procesi —

moqmedebaTa Tanamimdevroba (toli monakveTebi

erTnairadaa moniSnuli). rogor gaavlebdiT `wrfes~

mocemuli mimarTulebiT rogor mozomavT wrfeze

tol monakveTebs rogor gamoiyenebdiT ekers

miTiTebuli marTi kuTxis asagebad

43


2. suraTis mixedviT dawvrilebiT aRwereT

mdinaris siganis gazomvis procesi.

viyenebT ekers da sazom lents. Tqven mier

miRebuli Sedegebi ra debulebis Tanaxmad

aris swori

A

C

D

C

A

O

D

B

3. suraTis mixedviT

B

aRwereT rogor vpoulobT A da B punqtebs Soris

manZils, romlebic tbis sxvadasxva mxaresaa (toli

monakveTebi suraTze erTnairadaa moniSnuli). ra

de bu leba gamoiyeneT

4. suraTis mixedviT aRwereT xevis erTi

napiris B wertilidan meore napiris A

wertilamde manZilis povnis procesi (toli

kuTxeebi erTnairadaa moniSnuli). amjerad

kuTxis mzomi xelsawyoc dagWirdebaT.

44


1.6 geometriuli gardaqmnebi. mobruneba

gavixsenoT gasul wels Seswavlili geometriuli gardaqmnebi _ RerZuli

simetria, paraleluri gadatana.

1) a suraTze gamosaxulia X da Y wertilebi da a wrfe, Y

wertili a wrfes ekuTvnis, X wertili ar ekuTvnis a wrfes.

ganvixilavT simetrias a wrfis mimarT. gaixseneT:

X

• rogor avagoT X wertilis simetriuli X¢ wertili

Y • ra wertilia a wrfis mimarT Y wertilis simetriuli

suraTze tolferda samkuTxedia gamosaxuli, BD misi

biseqtrisaa.

B

Tu warmovidgenT, rom es samkuTxedi gadavkeceT BD

wrfeze, maSin DABD daemTxveva DCBD-s _ BD wrfis mimarT

simetriis dros ABD samkuTxedi (wertilTa simravle) aisaxeba

BDC samkuTxedze, es samkuTxedebi toli samkuTxedebia, BD

aris ABC-s simetriis RerZi.

• ras ewodeba samkuTxedis simaRle, mediana, biseqtrisa

A

D

• ra Tviseba aqvs tolferda samkuTxedSi wverodan

gavlebul biseqtrisas

• ra Tviseba aqvs tolferda samkuTxedis fuZesTan mdebare kuTxeebs

C

2)

B

m m B1 n n

B2

A

C

a

vTqvaT, a||b da am wrfeebze gamaval sibrtyeze Zevs DABC.

suraTze gamosaxulia a wrfis mimarT da b wrfis mimarT RerZul simetriaTa

mimdevrobiT Catarebis procesi _ ganvixilavT am simetriebis kompozicias.

a wrfis mimarT RerZuli simetriisas DABC-dan miviReT misi toli A 1

B 1

C 1

samkuTxedi, b wrfis mimarT simetriisas DA 1

B 1

C 1

-dan miiReba DA 2

B 2

C 2

.

gaixseneT, rom am ori RerZuli simetriis kompozicia aris paraleluri

mimarTuli monakveTiT _ ABC samkuTxedis yoveli wertili


gadatana BB 2

gadadis erTi da imave manZiliT (BB 2

monakveTis toli

manZiliT, romelic 2-jer aRemateba wrfeebs Soris

manZils, (m+n)-s da erTi da imave mimarTulebiT

(B-dan B 2

-sken)).


M(x, y) wertilis paraleluri gadatana OP

mimarTuli monakveTiT (P=P(a; b)) gvaZlevs

M¢(x+a, y+b) wertils.

C1

A1

b

A2

C2

Mx (; y)

M( x+a; y+b)

Pa (; b)

0

45


3) vTqvaT, O wertilidan gamomavali yoveli sxivi

B

brunavs O wertilis garSemo erT sibrtyeSi erTi da

x D

imave mimarTulebiT, erTi da imave a kuTxiT.

am mobrunebisas sibrtyis yoveli wertili gadadis

A

iseT X¢ wertilSi, rom OX¢=OX da ÐX¢OX=a. am kuTxes

C


ewodeba mobrunebis kuTxe. X¢ wertili miiReba X

A x B

O

wertilisgan saaTis isris moZraobis sawinaaRmdego

C D

mimarTulebiT O centris garSemo a sididis kuTxiT

mobrunebisas.

A¢B¢C¢D¢ marTkuTxedi miiReba ABCD marTkuTxedisgan saaTis isris

sawinaaRmdego mimarTulebiT a kuTxiT mobrunebisas.

suraTze warmodgenilia O centris garSemo

C

a kuTxiT mobruneba saaTis isris sawinaaRmdego

mimarTulebiT da mobruneba 360 0 -a kuTxiT _

B

D

saaTis isris mimarTulebiT. ABCD kvadrati am ori

mobrunebisas erTsa da imave A¢B¢C¢D¢ kvadratze

A

aisaxeba. magaliTad, mobruneba 200 0 -iT saaTis isris

mimarTulebiT igivea, rac mobruneba 160 0 -iT _ saaTis

B C

isris sawinaaRmdego mimarTulebiT.


O

mobrunebisas yoveli figuridan misi toli figura

A D

miiReba.

A

B

C

O centris garSemo saaTis isris sawinaaRmdego

mimarTulebiT a kuTxiT mobrunebisas DABC-dan misi

toli DA¢B¢C¢ miiReba _ DA¢B¢C¢=DABC.

O

A

B

C

SevajamoT: ganvixileT kidev erTi geometriuli gardaqmna _ mobruneba;

figuris (magaliTad, wertilis, samkuTxedis, oTxkuTxedis)

mobrunebis mocema niSnavs, rom cnobilia: 1) mobrunebis O

centri, 2) mobrunebis a kuTxe, 3) mobrunebis mimarTuleba.

1. ra unda iyos mocemuli mobrunebis mocemis dros

2. vTqvaT, mocemulia mobrunebis centri, mobrunebis kuTxe da

mobrunebis mimarTuleba. rogor avagoT X¢ wertili, romelic miiReba

X wertilisgan am mobrunebiT

3. sibrtyis ra wertili gadadis imave wertilSi RerZuli simetriisas

46


a

SearCieT swori pasuxi

1 1. Ox RerZis mimarT simetriisas yoveli M(x; y) wertili gadadis

1) M(x; y) wertilSi 2) M(-x; y) wertilSi

3) M(x; -y) wertilSi 4) M(-x; -y) wertilSi.

2 Tu M(x; y) wertilidan Oy RerZis mimarT simetriisas miiReba

M(x¢; y¢) wertili, maSin

1) x=x¢, y=y¢ 2) x=-x¢, y=y¢

3) x=-x¢, y=-y¢ 4) x=x¢, y=-y¢.

3 B

ABC tolgverda samkuTxedis simetriis RerZebia

1) AB gverdze gamavali wrfe

2) BC gverdze gamavali wrfe

3) gverdebze gamavali samive wrfe

4) samkuTxedis yovel wverosa da mis mopirdapire

A

C gverdis Sua wertilze gamavali wrfeebi _ 3 wrfe.

4 paraleluri wrfeebis mimarT ori RerZuli simetriis kompozicia

1) aris RerZuli simetria 2) aris paraleluri gadatana

3) ar aris paraleluri gadatana 4) aris mobruneba.

5 Tu M(x; y) wertili Ox RerZis mimarT RerZuli simetriisas gadadis

M¢(2; -5) wertilSi, maSin

1) x=2, y=-5 2) x=-2, y=-5

3) x=-2, y=5 4) x=2, y=5.

6 Tu paraleluri gadatanisas koordinatTa saTave gadadis P(0; 5)

wertilSi, maSin amave paraleluri gadataniT M(x; y) wertili gadadis

1) M¢(x; y+5) wertilSi 2) M¢(x+5; y) wertilSi

3) M¢(x+5; y+5) wertilSi 4) M¢(x; y) wertilSi.

7 Tu paraleluri gadatanisas koordinatTa saTave gadadis P(5; 0)

wertilSi, maSin amave paraleluri gadatanisas M(x; y) wertili gadadis

1) M¢(x; y+5) wertilSi 2) M¢(x+5; y) wertilSi

3) M¢(x+5; y+5) wertilSi 4) M¢(x; y) wertilSi.

8 Tu paraleluri gadatanisas koordinatTa saTave gadadis P(3; 5)

wertilSi, maSin amave paraleluri gadatanisas M(x; y) wertili gadadis

1) M¢(x; y) wertilSi 2) M¢(x+3; y+5) wertilSi

3) M¢(x; y+5) wertilSi 4) M¢(x+3; y) wertilSi.

9 sibrtyeze mocemulia ori wertili. ramdeni sxvadasxva paraleluri

gadatana SeiZleba davasaxeloT am ori wertilis mixedviT

1) 2 2) 3 3) 4 4) 1.

47


10 sibrtyeze mocemulia sami wertili, romlebic erT wrfes ar

ekuTvnis. ramdeni sxvadasxva paraleluri gadatanis dasaxeleba

SeiZleba am wertilebis mixedviT

1) 2 2) 4 3) 6 4) 1.

11 sibrtyeze mocemulia sami wertili _ A(2; 1), B(3; 1), C(5, 1); ramdeni

sxvadasxva paraleluri gadatanis dasaxeleba SeiZleba am wertilebis

mixedviT

1) 2 2) 4 3) 6 4) 1.

12 romeli wertili gadadis Tavis TavSi nebismieri kuTxiT mobrunebisas

1) sibrtyis nebismieri wertili

2) mobrunebis centri

3) mobrunebis centrisgan gansxvavebuli nebismieri wertili

4) mobrunebis centridan 1 sm-iT daSorebuli wertilebi.

13 wrfis raime wertilis garSemo ra kuTxiT mobrunebisas SeiZleba

gadavides es wrfe amave wrfeSi

1) 90 0 -is toli kuTxiT 2) 180 0 -is toli kuTxiT

3) 45 0 -is toli kuTxiT 4) 60 0 -is toli kuTxiT.

14 monakveTis mobrunebisas misi Sua wertilis garSemo mobrunebis ra

zomis kuTxis SemTxvevaSi SeiZleba miviRoT igive monakveTi

1) 180 0 -is 2) 90 0 -is 3) 45 0 -is 4) 60 0 -is.

15 koordinatTa saTavis garSemo saaTis isris sawinaaRmdego mimarTulebiT

180 0 -is toli kuTxiT mobrunebisas nebismieri M(x; y) wertili

gadadis

1) M(x; -y) wertilSi 2) M(-x; -y) wertilSi

3) M(-x; y) wertilSi 4) M(x; y) wertilSi.

16 koordinatTa saTavis garSemo saaTis isris sawinaaRmdego mimarTulebiT

90 0 -iani kuTxiT mobrunebisas M(0; 6) wertili gadadis

1) M¢(0; -6) wertilSi 2) M¢(-6; 0) wertilSi

3) M¢(-6; -6) wertilSi 4) M¢(6; 0) wertilSi.

amoxseniT amocanebi

17 a) b)

suraTze gamosaxulia brtyeli figurebi _ kvadrati da wre.

aRwereT wrfeebi, romelTa mimarT simetriisas es figurebi Tavis

TavSi gadadis (simetriis RerZebi).

48


18 aRwereT marTkuTxedis simetriis RerZebi.

19 daaxasiaTeT yvela is wrfe, romelic mocemuli RerZuli simetriisas

amave wrfeSi gadadis.

20 sakoordinato sibrtyeze daxazeT ABCD marTkuTxedi, A(2; 0), B(2; 9),

C(9; 9), D(9; 0)

a) daasaxeleT raime oTxi wertili, romlebic AB gverdis paralelur

simetriis RerZs ekuTvnis;

b) daasaxeleT raime oTxi wertili, romlebic BC gverdis paralelur

im wrfes ekuTvnis, romelic marTkuTxedis simetriis RerZia.

21

daxazeT suraTze gamosaxuli

asoebis simetriis RerZebi.

22 gamoiyeneT samkuTxedis utoloba da

aCveneT, rom ABCDE texilis sigrZe metia AE

monakveTis sigrZeze.

A

B

C

D

E

miTiTeba. AB+BC+CD+DE>AC+CD+DE...

23 rogor mivideT umoklesi gziT A

wertilidan B wertilSi a `gzis~ raime

wertilis gavliT

A

a M N

B

A

miTiTeba. nacvlad AMB, ANB da sxva amgvari texilebis

sigrZeebisa, ganvixilavT A¢MB, A¢NB da a. S. `gzebs~ da maT Soris

virCevT umokless. A¢ aris A wertilis simetriuli a wrfis mimarT.

49


M

24 maxvili kuTxis SigniT mocemulia M wertili.

aageT umciresi perimetris mqone MAB samkuTxedi,

romlis A da B wveroebi kuTxis gverdebzea.

A

M

B

miTiTeba. aageT M¢ da M¢¢ wertilebi,

romlebic M-is simet riulia kuTxis gverdebis

mimarT.

M

25 aageT sakoordinato sibrtyeze wertilebi, romlebic simetriulia

A(3; -2), B(4; 0) da C(0; -6) wertilebis:

a) O x

RerZis mimarT; b) O y

RerZis mimarT;

g) I meoTxedis biseqtrisaze gamavali wrfis mimarT.

ipoveT miRebuli wertilebis koordinatebi.

26 P wertilis simetriuli wertili II sakoordinato kuTxis

biseqtrisaze gamavali wrfis mimarT aris P¢(-4; 6). ipoveT P wertilis

koordinatebi.

27 aRniSneT rveulSi A, B da C wertilebi. aageT

is wertilebi, romlebSic gadadis es wertilebi im

paraleluri gadatanisas, romelsac:

a) A gadahyavs B-Si; b) B gadahyavs C-Si;

g) A gadahyavs C-Si; d) B gadahyavs A-Si;

e) C gadahyavs B-Si.

A

B

C

28 arsebobs Tu ara paraleluri gadatana, romlis dros:

a) kvadratis erTi gverdi gadadis am kvadratis meore gverdSi

b) samkuTxedis erTi gverdi gadadis am samkuTxedis meore gverdSi

B

H

Q

29 suraTze 5 toli samkuTxedia

gamosaxuli. daasaxeleT samkuTxedi,

a) romelic miiReba ABC samkuTxedisgan

paraleluri gadataniT

(miuTiTeT mimarTuleba),

b) romelic miiReba DRN samku-

Txe disgan paraleluori gadataniT

(miuTiTeT mimarTuleba).

A

C

D

P

R

N

S

F

K

M

E

G

50


30 mocemulia wertilebi A(4; 10), B(0; -12), C(2; 0). daasaxeleT

wertilebi, romlebic miiReba am wertilebidan paraleluri gadataniT

O x

RerZis mimarTulebiT 3 erTeulis manZilze.

31 paralelur gadatanas O(0; 0) wertili gadahyavs P(8; 0) wertilSi, M

wertili _ M¢(-5; 4) wertilSi. ipoveT M-is koordinatebi.

32 mocemulia wertilTa simravle {(2; 3), (3; -1), (-5; 1), (0; 0), (-5; 3), (0;

-2); (1; -1), (3; 2)}. paralelur gadatanas yoveli M wertili gadahyavs

M¢ wertilSi O y

RerZis mimarTulebiT 2 erTeulis manZilze.

daasaxeleT wertilTa mocemul simravleSi wertilTa wyvilebi,

romlis wertilebidan am paraleluri gadataniT erT-erTi gadadis

meoreSi.

33 aRniSneT rveulSi ori wertili _ O da A. aageT is wertili,

romelSic gadava A wertili O wertilis garSemo mobrunebiT:

a) 90 0 -is toli kuTxiT saaTis isris moZraobis sawinaaRmdego

mimarTulebiT;

b) saaTis isris sawinaaRmdego mimarTulebiT 60 0 -is toli kuTxiT;

g) saaTis isris mimarTulebiT 120 0 -is toli kuTxiT.

34 mocemulia sami wertili O, C da D. aageT C¢D¢

monakveTi, romelic miiReba CD monakveTis brunviT

O wertilis garSemo a kuTxiT saaTis isris

sawinaaRmdego mimarTulebiT, Tu:

a) a=90 0 , b) a=180 0 , g) a=270 0 .

O

D

C

35 mocemulia wertilebi: A(6; 0), B(-2; 0), C(1; 4), D(-2; -7).

a) ra wertilebi (daasaxeleT koordinatebi) miiReba mocemuli

wertilebidan O(0; 0) saTavis garSemo saaTis isris moZraobis

mimarTulebiT 90 0 -iani kuTxiT.

b) Seicvleba Tu ara a) SemTxvevaSi miRebuli wertilebis

koordinatebi Tu A, B, C da D wertilebis mobruneba moxdeba saaTis

isris moZraobis sawinaaRmdego mimarTulebiT (imave kuTxiT); ipoveT

es koordinatebi.

B

C

36 mocemulia ABCD kvadrati. ra figura miiReba am

kvadratis brunviT O wertilis garSemo saaTis isris

O moZraobis mimarTulebiT 90 0 ; 180 0 -is toli kuTxeebiT

A

D

37 mocemulia wertilTa simravle sakoordinato sibrtyeze: X={(2; 0),

(0; -1), (-7; -3), (-5; -2), (3; 1), (-3; 7), (1; -3), (-1; 0)}.

amowereT im wertilTa wyvilebi, romelTagan pirveli gadadis

meoreSi saTavis garSemo 90 0 -is toli kuTxiT mobrunebisas.

51


38

a)

F

F

b)

F

F

g)

F

F

O

romel SemTxvevaSi SeiZleba vTqvaT, rom F¢ figura, romelic tolia

F figuris, miiReba F-isgan O wertilis garSemo mobrunebiT

39 mocemul A da A¢ wertilebisTvis aageT ramdenime iseTi mobrunebis

centri, romlis garSemo raime kuTxiT mobrunebisas A gadadis A¢-Si.

O

O

40 gamosaxeT suraTze kuTxe, romelic miiReba AOB

marTi kuTxis mobrunebisas a kuTxiT O wertilis

garSemo saaTis isris sawinaaRmdego mimarTulebiT

da ipoveT mocemuli da miRebuli kuTxeebis gaer-

Tianebisa da TanakveTisas miRebuli kuTxeebis

zomebi, Tu

a) a=30 0 ; b) a=45 0 ; g) a=60 0 .

A

O

!

rveulSi

B

B

C

41 mocemulia kvadrati, daasaxeleT saaTis isris

moZraobis sawinaaRmdego mimarTulebiT yvela is

mobrunebebi, romlebis drosac es kvadrati Tavis

O

TavSi gadadis.

A

D

52


1.7 paraleluri wrfeebi. paralelur wrfeTa aqsioma

suraTebze ori wrfis urTierTganlagebis SemTxvevebia

gamosaxuli.

zeda suraTze wrfeebis gadakveTis SemTxvevaa gamosaxuli,

am wrfeebs erTi saerTo wertili aqvs. qveda suraTze wrfeebis

paralelurobis SemTxvevaa warmodgenili _ wrfeebi erT

sibrtyeze mdebareobs da maT saerTo wertili ara aqvs.

SeiZleba Tu ara sxva SemTxvevac gvqondes magaliTad, or

wrfes ori an sami saerTo wertili hqondes

Tqven es SemTxvevebi, albaT, SeuZleblad migaCniaT. Tumca, maTematikaSi

yoveli gamoTqmuli debulebis WeSmaritoba an unda dasabuTdes, an es

debuleba WeSmaritad unda iyos miCneuli (gamocxadebuli). pirvel SemTxvevaSi

vambobT, rom gvaqvs Teorema, romelic unda davasabuToT (davamtkicoT);

meore SemTxvevaSi ki gamoTqmul debulebas aqsioma ewodeba.

erT-erTi aqsioma, romelsac eyrdnoba zemoT gamosaxuli SemTxvevebis

ganxilva, ase SeiZleba CamovayaliboT:

or wertilze erTaderTi wrfe gadis.

• SeecadeT am aqsiomaze dayrdnobiT daamtkicoT Teorema:

or wrfes erTze meti saerTo wertili ar SeiZleba hqondes.

erT-erTi aqsioma paralelur wrfeTa aqsiomis saxeliTaa cnobili, mas

momavalSi Teoremebis damtkicebisas gamoviyenebT xolme. am aqsiomas, Cven ase

CamovayalibebT:

wertilze, romelic mocemul wrfes ar ekuTvnis ar SeiZleba am

wrfis paraleluri erTze meti wrfis gavleba.

am aqsiomis Tanaxmad, A wertilze a wrfis A

1 paraleluri ori wrfis gavleba SeuZlebelia.

2

axla im SemTxvevas davubrundeT, roca ori a

4 wrfe ikveTeba.

3

gadakveTisas oTxi kuTxe miiReba. maTi zomaTa

jami 360 0 -ia. or-ori maTgani gaSlil kuTxes _ 180 0 -s Seadgens,

isini mosazRvre kuTxeTa wyvilebia. magaliTad, Ð1 da Ð2, Ð1 da

Ð4. vertikalur kuTxeTa wyvilebia: Ð1 da Ð3, Ð2 da Ð4.

daamtkiceT, rom Ð1=Ð3, Ð2=Ð4.

vertikaluri kuTxeebi tolia.

miRebuli 4 kuTxidan ori maxvilia da ori blagvia, an oTxive marTia.

gaixseneT, rom pirvel SemTxvevaSi wrfeebs Soris kuTxe vuwodeT am oTxi

kuTxidan maxvil kuTxes. meore SemTxvevaSi _ wrfeebi marTobulia, maT Soris

kuTxe 90 0 -ia.

Tu ori wrfe paraleluria, maSin vityviT, rom maT Soris kuTxe aris 0 0 .

53


SevajamoT: warmodgenilia wrfeTa urTierTganlagebis SemTxvevebi.

CamovayalibeT aqsioma, romelsac eyrdnoba mxolod

aRniSnuli SemTxvevebis arseboba _ or wertilze erTaderTi

wrfe gadis.

aqsioma aris maTematikuri debuleba,

romelic dasabuTebis gareSea miCneuli

WeSmaritad. debulebas, romlis WeSmaritoba

dasabuTebis (damtkicebis) gziT

unda dadgindes, Teorema ewodeba.

s

didi berZeni maTematikosi evklide iyo pirveli,

vinc maTematikis erT-erTi nawili _ geometria warmoadgina

daumtkiceblad Camoyalibebuli maTematikuri

debulebebisa (aqsiomebis) da maTze dayrdnobiT damtkicebuli

Teoremebis saxiT. Zveli welTaRricxvis V da

IV saukuneebSi Seqmnili misi didebuli maTematikuri

Txzuleba _ `sawyisebi~ _ 13 wignisgan Sedgeboda. 9

wignSi geometriuli masala iyo gadmocemuli.

evklide zogierT aqsiomas postulats uwodebda.

magaliTad, paralelur wrfeTa aqsioma. aqsioma masTan

V postulatis saxelwodebiT iyo mocemuli.

evklide aleqsandriaSi cxovrobda. mis bevr Tanamedroves gauCnda

survili `sawyisebiT~ Seeswavla maTematika. mefemac ki mimarTa mas _

xom ar SeiZleba geometriis ufro martivad Seswavlao. amaze evklidem

upasuxa _ geometriaSi ar arsebobs sagangebo samefo gzebio! saukuneebis

manZilze `samefo gzebi~ ar gamoCenila, Tumca geometriis Seswavlis

formebi mniSvnelovnad gamartivda da yvela moswavles mieca SesaZlebloba

geometria Seiswavlos daubrkoleblad, xalisiTac ki!

1. ra maTematikur debulebas ewodeba aqsioma

2. ras ewodeba Teorema

3. rogor CamoayalibebT aqsiomas or wertilze gamavali wrfis Sesaxeb

4. rogor CamoayalibebT paralelur wrfeTa aqsiomas

5. ras ewodeba vertikaluri kuTxeebi

6. vertikaluri kuTxeebis ra Tvisebas icnobT

54


a

SearCieT swori pasuxi

1 debulebas, romelic dasabuTebis (damtkicebis) gareSea miCneuli

WeSmaritad, ewodeba

1) Teorema 2) aqsioma 3) gansazRvreba 4) cneba.

2 debulebas, romlis WeSmaritebas vadgenT damtkicebis gziT, ewodeba

1) Teorema 2) aqsioma 3) gansazRvreba 4) cneba.

3 vertikaluri kuTxeebi

1) ar aris toli 2) SeiZleba toli ar iyos

3) aucileblad marTia 4) tolia.

4 mosazRvre kuTxeebis jami aris

1) 180 0 2) 90 0 3) 270 0 4) 360 0 .

5 or wrfes Soris kuTxe ar SeiZleba iyos

1) maxvili 2) marTi 3) 30 0 -is toli 4) blagvi.

6 sibrtyis yovel or wertilze

1) ori wrfe gadis 2) sami wrfe gadis

3) wrfe ar gadis 4) erTaderTi wrfe gadis.

7 ar SeiZleba, rom or wrfes

1) erTi saerTo wertili hqondes

2) ar hqondes saerTo wertili

3) ori saerTo wertili hqondes

4) orze naklebi saerTo wertili hqondes.

8 Tu ori wrfe marTobulia, maSin maT Soris kuTxe aris

1) 180 0 2) 30 0 3) 60 0 4) 90 0 .

9 Tu ori wrfis gadakveTisas miRebuli 4 kuTxidan erT-erTi kuTxe

120 0 -ia, maSin am wrfeebs Soris kuTxe

1) 120 0 -ia 2) 30 0 -ia 3) 60 0 -ia 4) 90 0 -ia.

10 Tu ori wrfe paraleluria, maSin maT Soris kuTxe aris

1) 0 0 2) 90 0 3) 30 0 4) 60 0 .

amoxseniT amocanebi

11 cnobilia, rom mosazRvre kuTxeebis zomebi 2-isa da 3-is

proporciulia. ipoveT es kuTxeebi.

55


12 A, D da E wertilebi erT wrfes


ekuTvnis. suraTze miTiTebuli kuTxeebis


zomebia a, b da g. cnobilia, rom a da b aris

D A

E 2-isa da 3-is proporciuli, b da g aris 4 da

5-is proporciuli.

• ra ricxvebis proporciulia a, b da g

• ipoveT TiToeuli _ a, b da g _ gradusis

measedamde sizustiT.

C

B

13 AB da CD diametrebiT Sedgenili ori kuTxis

Sefardebaa 1:5. ipoveT kuTxe AB da CD wrfeebs Soris.

O

14 a kuTxe mis mosazRvre kuTxeze 40 0 -iTaa meti.

ipoveT a.

A

D

15 b kuTxis mosazRvre kuTxisa da a kuTxis jami 200 0 -ia. a da b

kuTxeebidan romelia meti da ramdeni gradusiT

16 erT wertilSi sami wrfe ikveTeba. miRebuli kuTxeebidan erT-erTi

28 0 -ia, meore _ 36 0 .

a) ipoveT danarCeni kuTxeebi.

b) ipoveT kuTxe am sami wrfidan yovel ors Soris.

17 kuTxis zoma aris a, a


22 aCveneT, rom, Tu mocemulia sami wrfe, maSin maTgan or-orad aRebul

wrfeebis gadakveTis wertilTa raodenoba SeiZleba iyos 0, 1, 2 an 3.

23 gamoiyeneT RerZuli simetria a wrfis mimarT,

aqsioma or wertilze erTaderTi wrfis gavlebis

Sesaxeb da aCveneT, rom, Tu ori wrfe marTobulia

a wrfis, maSin isini paraleluria.

a

b

c

24 aCveneT, rom M wertilze, romelic mocemul

a wrfes ar ekuTvnis SeiZleba a wrfis paraleluri wrfis gavleba.

(ixileT suraTi, mocemulia wertili M da a wrfe).

miTiTeba. gamoiyeneT debuleba _ mocemul wertilze SeiZleba

gavavloT erTaderTi wrfe, romelic

M

mocemuli wrfis marTobulia; amrigad, M

wertilze SeiZleba gaavloT a wrfis marTobuli

b wrfe da b wrfis marTobuli c wrfe.

a

25 aCveneT, rom, Tu mocemulia a wrfe da M wertili, romelic a wrfes

ar ekuTvnis, maSin am M wertilze SeiZleba gavavloT erTaderTi wrfe,

romelic a wrfis paraleluria.

miTiTeba. gamoiyeneT paralelurobis aqsioma.

26 gamoiyeneT paralelurobis aqsioma da daasabuTeT, rom, Tu ori

wrfe mesame wrfis paraleluria, maSin es wrfeebi paraleluria.

27 daamtkiceT, rom, Tu wrfe paraluluri wrfeebidan erT-erTs kveTs,

maSin is meoresac gadakveTs.

57


1.8 wrfeTa paralelurobis niSnebi

1 2

4 3

5 6

8 7

vTqvaT, raime c wrfe a da b wrfeebs sxvadasxva wertilebSi

kveTs. gadavnomroT gadakveTisas miRebuli rva kuTxe ise,

rogorc es suraTzea naCvenebi. Ð4-sa da Ð6-s Siga jvaredini

(Siga jvaredinad mdebare) kuTxeebi ewodeba.

Siga jvaredini kuTxeebia Ð3 da Ð5-c. Ð3-sa da Ð6-s Siga

calmxrivi (Siga calmxrivad mdebare) kuTxeebi ewodeba. Siga

calmxrivi kuTxeebia Ð4 da Ð5-c.

advili dasamtkicebelia, rom:

• Tu Siga jvaredini kuTxeebis erTi romelime wyvilis kuTxeebi tolia,

maSin meore wyvilis kuTxeebic tolia;

• Tu Siga jvaredini kuTxeebis erTi romelime wyvilis kuTxeebi tolia,

maSin Siga calmxrivi kuTxeebis nebismieri wyvilis kuTxeebis jami aris 180 0 .

• Tu Siga calmxrivi kuTxeebis raime wyvilis kuTxeebis jami 180 0 -ia, maSin

meore wyvilis kuTxeebis jamic 180 0 -ia.

• Tu Siga calmxrivi kuTxeebis raime wyvilis kuTxeebis jami 180 0 -ia, maSin

Siga jvaredini kuTxeebis nebismieri wyvilis kuTxeebi tolia.

• gamoyaviT TiToeul am TeoremaSi piroba (anu is, rac mocemulia) da daskvna

(anu is, rac unda damtkicdes).

• CawereT suraTis mixedviT TiToeuli es Teorema kuTxeebis miTiTebiT.

magaliTad, pirveli Teorema ase Caiwereba:

vTqvaT, Ð4=Ð6 (pirobaa), maSin Ð3=Ð5 (daskvnaa)

• daamtkiceT Camoyalibebuli Teorema.

axla gavecnoT wrfeTa paralelurobis erT-erT niSans _ Teoremas, romelic

saSualebas gvaZlevs davadginoT paraleluria, Tu ara mocemuli ori wrfe.

a

b

l

Teorema. Tu ori wrfis mesameTi gadakveTisas miRe bu li

Siga jvaredini kuTxeebi (erTi romelime wyvilis kuTxeebi)

tolia, maSin mocemuli ori wrfe paraleluria.

damtkiceba: vTqvaT, Siga jvaredini toli kuTxeebidan

TiToeuli 90 0 -ia. maSin l^a da l^b. wina paragrafis mixedviT

viciT, rom am SemTxvevaSi a||b.

c

vTqvaT, Siga jvaredini toli kuTxeebidan

TiToeuli maxvili kuTxea (toli

kuTxeebi suraTzea moniSnuli)

AB monakveTis Sua wertilze _ O wertilze _ gavavloT

OP^a.

gadavzomoT _ QB=AP.

a

b

B

O

P

Q

A

58


maSin advili saCvenebelia, romO DOBQ=DAPO (I niSniT _

Ð1=Ð2, OA=OB, BQ=AP).

samkuTxedebis tolobidan gamomdinareobs:

Ð3=Ð4.

amitom P, O da Q wertilebi ekuTvnis erT wrfes,

Ð6=Ð5=90 0 .

radgan PQ wrfe marTobulia a da b wrfeebis, amitom a||b.

a

b

B

P

5

O

2 6 4

Q

3

1

A

Tu toli Siga jvaredini kuTxeebidan TiToeuli blagvia

a

(Ð1 da Ð3), maSin maTi mosazRvre kuTxeebi (Ð2 da Ð4) toli

2 1

Siga jvaredini kuTxeebia. amitom, rogorc ukve vaCveneT, a||b.

3

• damtkicebuli Teoremis mixedviT, SeecadeT wrfeebis

4

b

paraleluroba Siga calmxriv kuTxeebs daukavSiroT da

CamoayaliboT wrfeTa paralelurobis sxva niSanic.

• gaixseneT wina paragrafSi erT-erT amocanaSi Camoyalibebuli debuleba

_ Tu ori wrfe mesame wrfis paraleluria, maSin es ori wrfe paraleluria. es

wrfeTa paralelurobis kidev erTi niSania.

2. CamoayalibeT wrfeTa paralelurobis niSani, romelic wina paragrafSi

davamtkiceT. gamoyaviT am TeoremaSi piroba da daskvna. axla SevucvaloT

adgilebi pirobas da daskvnas da CamovayaliboT miRebuli Teorema _ mocemuli

Teoremis Sebrunebuli Teorema:

Tu ori wrfe paraleluria, maSin maTi mesame wrfiT

gadakveTisas miRebuli Siga jvaredini kuTxeebi tolia.

vTqvaT, a||b. davamtkicoT:

a

b

2

B

A

1

M

Ð1=Ð2.

Tu Ð1¹Ð2, maSin gadavzomoT BAM kuTxe, romelic

tolia Ð2-is.

ÐBAM=Ð2.

es kuTxeebi Siga jvaredini kuTxeebia, amitom MA||b.

paralelurobis aqsiomis mixedviT ki M wertilze

SeuZlebelia b wrfis paraleluri ori wrfis gavleba.

amrigad, mcdaria daSveba, rom Ð1¹Ð2 da vRebulobT Ð1=Ð2.

maSin maTi mosazRvre Ð3 da Ð4 Siga jvaredini kuTxeebic

tolia.

2

4

3

1

59


60

SevajamoT: CamovayalibeT da davamtkiceT wrfeTa paralelurobis ni-

Sani. Tu ori wrfis gadakveTisas Siga jvaredini kuTxeebi tolia, maSin

wrfeebi paraleluria.

am Teoremidan gamomdinareobs wrfeTa paralelurobis sxva niSnebic:

Tu ori wrfis gadakveTisas Siga calmxrivi kuTxeebis jami 180 0 -ia, maSin

wrfeebi paraleluria.

davamtkiceT wrfeTa paralelurobis niSnis Sebrunebuli Teoremac,

romelic paralelur wrfeTa Tvisebas warmogvidgens _ Tu ori wrfe

paraleluria, maSin maTi gadakveTisas miRebuli Siga jvaredinad mdebare

kuTxeebi tolia.

a

SearCieT swori pasuxi

1 sibrtyeze mdebare ori wrfe paraleluria,

1) Tu am wrfeebs aqvs uamravi saerTo wertili

2) Tu am wrfeebs aqvs ori saerTo wertili

3) Tu es wrfeebi ikveTeba

4) Tu am wrfeebs saerTo wertili ara aqvs.

2 ori wrfis paralelurobis niSani ar aris

1) Tu ori wrfe mesame wrfis paraleluria, maSin es wrfeebi

paraleluria

2) Tu ori wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli Siga calmxrivi

kuTxeebis jami 180 0 -ia, maSin es wrfeebi paraleluria

3) Tu ori wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli Siga jvaredini

kuTxeebi tolia, maSin wrfeebi paraleluria

4) Tu ori wrfis nebismieri wrfiT gadakveTisas miRebuli Siga

jvaredini kuTxeebis jami 180 0 -ia, maSin es wrfeebi paraleluria.

3 Tu a||c da b||c (a, b, c wrfeebia), maSin

1) a||b

2) a ar aris paraleluri b wfis

3) a da b ikveTeba

4) a^b.

4 SearCieT araswori winadadeba

a 1 2

b

5 6

7 8

4

3

1) Ð3 da Ð5 Siga jvaredini kuTxeebia

2) Ð4 da Ð6 ar aris Siga calmxrivi kuTxeebi

3) Ð4 da Ð5 Siga calmxrivi kuTxeebia

4) Ð3 da Ð6 Siga jvaredini kuTxeebia.

5 Tu ori wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli Siga jvaredini

kuTxeebi tolia, maSin

1) Siga calmxrivad mdebare kuTxeebis jami 180 0 -ia

2) Siga calmxrivad mdebare kuTxeebi tolia

3) am kuTxeTagan TiToeuli aucileblad 90 0 -ia

4) am kuTxeTagan TiToeuli aucileblad maxvilia.


amoxseniT amocanebi

6 a da b wrfeebis c wrfiT gadakveTisas miRebuli rva kuTxidan Siga

jvaredini ori kuTxe tolia da maTi jami 60 0 -ia.

• ipoveT danarCeni kuTxeebidan TiToeulis zoma.

• ra SeiZleba vTqvaT a da b wrfeebis urTierTganlagebis Sesaxeb

(ikveTeba, paraleluria) pasuxi daasabuTeT.

a 1 2

7 vTqvaT, Ð4=Ð6 da Ð5=120 0 .

b

5 6

7 8

4

3

• ipoveT Ð2+Ð6.

• aris Tu ara a da b wrfeebi paraleluri

8 vTqvaT, Ð3+Ð6=180 0 , Ð7=135 0 .

• ipoveT Ð2+Ð8.

• aris Tu ara a da b wrfeebi paraleluri

9 vTqvaT, me-7 amocanis suraTis mixedviT, Ð3+Ð6=170 0 . ipoveT Ð4+Ð5.

10 me-7 amocanis suraTis mixedviT: Ð1=Ð7=128 0 . ipoveT Ð4+Ð6.

11 me-7 amocanis suraTis mixedviT, Ð2=Ð6=20 0 .

• ipoveT danarCeni eqvsi kuTxis zomaTa jami.

• aris Tu ara a da b wrfeebi paraleluri

12 aris Tu ara suraTze gamosaxuli a da b wrfeebi

paraleluri

a 30 0

b

30 0

13

a

b

140 0

40 0

aris Tu ara suraTze gamosaxuli a da b wrfeebi

paraleluri

14 a da b wrfeebis c wrfiT gadakveTisas miRebuli rva kuTxidan erTi

kuTxe 145 0 -ia. Siga calmxrivi ori kuTxis jamia 180 0 . ipoveT am rva kuTxidan

umciresis zoma.

15 `mosazRvre kuTxeebis jami 180 0 -ia~. CamoayalibeT am Teoremis

Sebrunebuli Teorema. WeSmaritia Tu ara igi

pasuxi daasabuTeT.

16 `Tu samkuTxedi tolgverdaa, maSin is tolferdaa~.

• WeSmaritia Tu ara es Teorema

• CamoayalibeT Sebrunebuli Teorema.

• WeSmaritia Tu ara Sebrunebuli Teorema

61


17 ori paraleluri wrfis mesamiT gadakveTisas miRebuli ori kuTxis

jami 70 0 -ia. ipoveT danarCeni kuTxeebi.

18 ori paraleluri wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli rva

kuTxidan or Siga calmxriv kuTxes Soris sxvaoba 60 0 -ia. ipoveT am rva

kuTxis zomebi.

19 ipoveT ori paraleluri wrfis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli

Siga calmxrivi ori kuTxis biseqtrisebs Soris kuTxe.

20

B

40 0 A

C

ÐABC=40 0 . gavlebulia AB da BC wrfeebis paraleluri

wrfeebi (ixileT suraTi). ipoveT am wrfeebs Soris

kuTxe.

21 `paralelurgverdebiani kuTxeebi~ tolia, an maTi gradusuli zomebis

jami 180 0 -ia. daamtkiceT (gamoiyeneT wina amocanis amoxsna).

22 paralelurgverdebiani kuTxeebidan erTi meoreze 40 0 -iT metia. ipoveT

am kuTxeebidan TiToeulis zoma.

A

23 ÐABC=60 0 . BA sxivis D wertilze gaavles BA-s

D

K

marTobuli DE wrfe da BC-s paraleluri DK wrfe.

ipoveT DE da DK wrfeebs Soris kuTxe.

B

E C

24 ori paraleluri wrfe gadakveTilia mesame

wrfiT. gavlebulia Siga jvaredini kuTxeebis

biseqtrisebi (ixileT suraTi). daamtkiceT, rom

isini paralelur wrfeebzea ganlagebuli.

25 a da b wrfeebis mesame wrfiT gadakveTisas miRebuli 8 kuTxidan oTxi

kuTxe tolia da TiToeulis zoma 40 0 -ia, danarCeni oTxi kuTxec tolia

da TiToeulis zoma 140 0 -ia. am mocemulobis mixedviT, SeiZleba Tu ara

davaskvnaT, rom a||b

62


1.9 mravalkuTxedis kuTxeebis jami

1) samkuTxedis kuTxeebis jami.

Teorema. samkuTxedis kuTxeebis jami 180 0 -ia.

damtkiceba. mocemuli ABC samkuTxedis

kuTxeebi gadav nomreT _ Ð1, Ð2, Ð3. samkuTxedis

B wveroze gavavloT AC wrfis paraleluri

wrfe. cxadia,

Ð4+Ð3+Ð5=180 0 . (1)

samkuTxedis yvela kuTxes `Tavi movuya roT~

B wveroSi.

A

1

C

2

5

3

4 B

M

N

es SesaZlebelia, radgan Ð1=Ð4, Ð2=Ð5 _ rogorc Siga jvaredini kuTxeebi.

amis gaTvaliswinebiT, (1) tolobidan miiRebT

Ð3+Ð2+Ð1=180 0 .

samkuTxedis kuTxis mosazRvre kuTxes samkuTxedis gare kuTxe ewodeba.

B

A

1

2

3 4

C

magaliTad, Ð4 aris ABC samkuTxedis gare

kuTxe. gaiTvaliswineT, rom samkuTxedis

kuTxeebis jamia 180 0 , amasTanave, Ð3+Ð4=180 0

da daamtkiceT:

samkuTxedis gare kuTxe am kuTxis aramosazRvre

kuTxeebis jamis tolia _ Ð4=Ð1+Ð2.

2) n-kuTxedis kuTxeebis jami

Teorema. amozneqili n-kuTxedis kuTxeebis jami 180 0 (n-2)-is tolia.

damtkiceba: ganvixilavT SemTxvevas _ n>3. n-kuTxedis SigniT aviRoT O

wertili da SevaerToT monakveTebiT mravalkuTxedis

wveroebTan. radgan mravalkuTxedi amozneqilia, is moicavs

yvela am monakveTs. es monakveTebi mravalkuTxeds hyofs

saerTo O wveros mqone n cal samkuTxedad.

O

yvela samkuTxedis kuTxeTa jami aris 180 0. n. maSasadame,

mravalkuTxedis kuTxeebis jamisa da O wverosTan mdebare

kuTxeebis jami aris 180 0. n. radgan O wverosTan mdebare kuTxeebis

jami 360 0 -ia, amitom mravalkuTxedis kuTxeebis jami aris

180 0. n-360 0 =180 0 (n-2).

Tu n=3, am formuliT samkuTxedis kuTxeebis jamic miiReba.

63


64

a

1. risi tolia samkuTxedis kuTxeebis jami

2. risi tolia nebismieri amozneqili n-kuTxedis kuTxeebis jami

3. ra Teoremebi da aqsiomebi gamoviyeneT samkuTxedis kuTxeebis

jamis formulis miRebisas

SearCieT swori pasuxi

1 Tu tolferda samkuTxedSi fuZesTan mdebare

erTi kuTxe 40 0 -ia, maSin wverosTan mdebare

kuTxe

1) 80 0 -ia 2) 40 0 -ia

3) 100 0 -ia 4) 120 0 -ia.

2 tolgverda samkuTxedis TiToeuli kuTxe

1) 80 0 -ia 2) 180 0 -ia 3) 30 0 -ia 4) 60 0 -ia.

3 marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxeebis jamia

1) 90 0 2) 60 0 3) 120 0 4) 180 0 .

4 tolferda marTkuTxa samkuTxedSi maxvili kuTxea

1) 90 0 2) 45 0 3) 120 0 4) 60 0 .

5 nebismieri paralelogramis kuTxeebis jami aris

1) 360 0 2) 180 0 3) 90 0 4) 120 0 .

6 samkuTxeds SeiZleba hqondes

1) 2 marTi kuTxe 2) mxolod 1 marTi kuTxe

3) ori blagvi kuTxe 4) sami marTi kuTxe.

7 amozneqili eqvskuTxedis kuTxeebis jami aris

1) 560 0 2) 720 0 3) 180 0 4) 1080 0 .

8 wesieri eqvskuTxedis (wesier eqvskuTxeds yvela kuTxe toli aqvs)

TiToeuli kuTxe aris

1) 150 0 2) 60 0 3) 120 0 4) 135 0 .

9 suraTis mixedviT ipoveT Ð2-is zoma

1) 50 0 2) 130 0

3) 120 0 4) 110 0 .

10

C

A

70 0 B

70 0 2

suraTis mixedviT

1) ÐB=70 0 , ÐC=60 0 2) ÐB=60 0 , ÐC=50 0

3) ÐB=35 0 , ÐC=70 0 4) ÐB=70 0 , ÐC=40 0 .

60 0


amoxseniT amocanebi

(ganvixilavT mxolod amozneqil mravalkuTxedebs)

11 daasabuTeT:

a) yovel samkuTxeds aqvs erTi mainc kuTxe, romlis zoma araa

naklebi 60 0 -ze;

b) yovel samkuTxeds aqvs aranakleb 2 maxvili kuTxe.

12 sworia Tu ara, rom

a) samkuTxeds SeiZleba hqondes ori kuTxe, romelTagan TiToeulis

zoma 89 0 -ia;

b) marTkuTxa samkuTxedSi maxvili kuTxeebis jami 90 0 -ia;

g) tolgverda samkuTxedi aris kerZo SemTxveva maxvilkuTxa

samkuTxedisa;

d) samkuTxeds SeiZleba hqondes kuTxeebi, romelTa zomebia 74 0 , 43 0

da 62 0 ;

e) marTkuTxa samkuTxedi SeiZleba iyos tolgverda samkuxedi;

v) sxvadasxvagverda samkuTxedi SeiZleba iyos blagvkuTxa samkuTxedi;

z) samkuTxeds SeiZleba hqondes ori marTi kuTxe;

T) marTkuTxa samkuTxeds SeiZleba hqondes blagvi kuTxe;

i) samkuTxeds SeiZleba hqondes mxolod erTi blagvi kuTxe.

13 ipoveT gadanomrili kuTxeebis zomebi:

90 0 50 0

6

1

145 0 50 0

5

2

60 0

80 0 4

3

7

14

80 a) ipoveT Ð1;

0

b) ipoveT Ð2;

135 0

g) daaxasiaTeT samkuTxedi gverdebis mixedviT

(pasuxi

2

1

daasabuTeT).

15 blagvkuTxa tolferda samkuTxedis erTi kuTxe aris 40 0 . ipoveT

danarCeni kuTxeebi.

16 daasabuTeT: Tu erTi samkuTxedis ori kuTxe Sesabamisad udris

meore samkuTxedis or kuTxes, maSin am samkuTxedebis mesame kuTxeebic

tolia.

65


17 SeadgineT gantoleba da amoxseniT amocana.

samkuTxedis ori kuTxe tolia. mesame kuTxis

zoma tolia maTi zomebis jamis. ipoveT samkuTxedis

samive kuTxis zoma.

18 marTkuTxa samkuTxedis erT-erTi maxvili kuTxis zoma 5-jer metia

meore maxvili kuTxis zomaze. ipoveT TiToeuli maxvili kuTxe.

19 samkuTxedis udidesi kuTxis zoma 5-jer metia umciresi kuTxis

zomaze. mesame kuTxis zoma 3-jer metia umciresi kuTxis zomaze.

ipoveT TiToeuli kuTxis zoma.

20 viyenebT kompiuters. gamoviyenoT programa da SevecadoT avagoT

ABC samkuTxedi Semdegi pirobebis mixedviT: AB=5, ÐA=30 0 , ÐB=60 0 .

axseniT agebis Sedegi.

21 ipoveT gadanomrili kuTxeebidan TiToeulis zoma:

a) b) g)

50 0

4

5

1 2 70 0

60 0 40 0

3

6

55 0

22

1

daasaxeleT:

4 2

a) samkuTxedis kuTxeebi; b) eqvsive gare

3

kuTxe;

g) sami kuTxe, romelic ar aris arc

6 samkuTxedis kuTxe, arc _ gare kuTxe;

5

9 12

7

d) Ð4-is mosazRvre kuTxeebi da

8

11

10

aramosazRvre kuTxeebi;

e) sami gare kuTxe, romlebisTvisac Ð3 da

Ð5 ar aris mosazRvre kuTxeebi;

v) vertikalur kuTxeTa eqvsi wyvili.

23 ABC samkuTxedSi ÐA=35 0 , B wverosTan mdebare gare kuTxis zoma 105 0 -

ia. ipoveT samkuTxedis B da C kuTxeebi.

A

24 axseniT, ratom ar SeiZleba A wertilidan a wrfeze ori

marTobis daSveba

a

66


25 kalkulatori. ABC samkuTxedSi ÐB=32 0 , ÐC=80 0 . mariami da niniko

iyeneben kalkulators A kuTxis zomis sapovnelad.

niniko iyenebs

xerxs:

32+80=112

180–112=68

mariami iyenebs

xerxs:

180-32-80=68

Tqveni azriT, romeli xerxi sjobs, ratom

26


98 0

155 0

suraTis mixedviT ipoveT a-s mniSvneloba.

121 0

90 0

27 jgufuri muSaoba

• SeecadeT sxvadasxva xerxiT daamtkicoT:

1) samkuTxedis kuTxeebis jamis formula;

2) mravalkuTxedis kuTxeebis jamis formula.

• daasabuTeT, rom mravalkuTxedis TiToeul

wverosTan TiTo-TiTod aRebuli gare kuTxeebis

jami 360 0 -is tolia.

• daasabuTeT, rom wesieri mravalkuTxedis yo veli

gare kuTxe erTi da imave zomisaa.

• vTqvaT, TiToeuli maTgani 18 0 -ia. ipoveT mravalkuTxedis gverdebis

ricxvi.

• arsebobs Tu ara mravalkuTxedi, romelsac oTxze meti marTi

gare kuTxe aqvs samze meti blagvi kuTxe aqvs (igulisxmeba, rom

mravalkuTxedis TiToeul wverosTan TiTo gare kuTxea aRebuli)

28 ramdeni gverdi aqvs mravalkuTxeds, Tu misi kuTxeebis jamia:

a) 1080 0 ; b) 1620 0 ; g) 3960 0 ; d) 1800 0

29 ramdeni gverdi aqvs mravalkuTxeds, Tu misi TiToeuli kuTxea:

a) 144 0 ; b) 170 0 ; g) 171 0 ; d) 150 0

30 SeiZleba Tu ara, rom mravalkuTxedis kuTxeebis jami toli iyos:

a) 9180 0 -is; b) 2040 0 -is; g) 3600 0 -is

67


1.10 kuTxis biseqtrisis Tviseba

B

M

C

A

vTqvaT, tbis maxloblad gamavali ori avtomagistrali

rai me kuTxiT ikveTeba. tbis napirze navmisadgomis

mosawyobad ra wertils SearCevdiT, rom misgan magistralebamde

manZilebi to li iyos

magistralebi AB da AC wrfeebiTaa gamosaxuli. vTqvaT,

nav misadgomis savaraudo wertilia M. Tu AM aris

BAC kuTxis biseq t risa, maSin M wertilidan kuTxis

gverdebamde manZilebi tolia. es Tviseba mxolod biseqtrisis

wertilebs aqvs. es kuTxis biseqtrisis Tvisebaa:

kuTxis biseqtrisa aris sim rav le yvela im wertilisa, romelic

mocemul kuTxes ekuTvnis da am kuTxis gverdebidan Tanabrad aris

daSorebuli.

es Tviseba Semdegi ori Teoremis WeSmaritobas niSnavs:

Teorema 1. kuTxis biseqtrisis nebismieri wertili Tanabrad aris

daSorebuli kuTxis gverdebidan.

daakvirdiT suraTs: Tu AO biseqtrisaa, OB da OC

— gver debze daSvebuli marTobebi, maSin AOC da AOB

marTkuTxa sam kuTxedebi tolia (hipotenuziT da TiTo

maxvili kuTxiT) da, maSasadame,

BO=OC.

Teorema 2. nebismieri wertili, romelic ekuTvnis mocemul kuTxes

da am kuTxis gverdebidan toli manZilebiTaa daSorebuli, mocemuli

kuTxis biseqtrisas ekuTvnis.

A

B

C

O

B

daakvirdiT suraTs — amjerad AOC da AOB marTkuTxa

samkuTxedebis toloba TiTo kaTetisa da hipotenuzis

O

tolobidan gamomdinareobs (AO hipotenuza saer-

Toa). toli samkuTxedebis toli kaTetebis mopirdapire

A

C

kuTxeebic tolia,

∠BAO=∠CAO.

amrigad, AO biseqtrisaa.

aris Tu ara Teorema 2 Teorema 1-is Sebrunebuli, xolo Teorema 2

Teorema 1-is Sebrunebuli

SevajamoT: Camoyalibebulia kuTxis biseqtrisis Tviseba, romelsac

mravali praq ti ku li gamoyeneba aqvs, erT-erTi warmod genilia teqstSi.

68


SearCieT swori pasuxi

1 vTqvaT, ∠PBA=90 0 , ∠PCA=90 0 , ∠BAP=∠PAC, maSin

1) PB≠PC 2) PB=PC

3) damatebiTi monacemebis gareSe PB da PC monakveTebis

tolo ba ze verafers vityviT.

A

B

P

A

C

2

C

vTqvaT, ∠ACB=90 0 , ∠ADB=90 0 , AC=AD, maSin

D

1) ∠ACB=∠ABD 2) ∠ADB=∠ABC

3) ∠CBA=∠ABD 4) ∠ACB=∠CBA.

B

amoxseniT amocanebi

B

3 BD monakveTi ABC samkuTxedis biseqtrisaa. D-

dan BC wrfemde manZili 4 sm-ia. ipoveT manZili D

werti lidan AB wrfemde.

A

D

C

4 M wertili ∠ABC kuTxes ekuTvnis. M wertilidan AB da BC wrfeebze

daS ve bu li ME da MF marTobebi tolia. ∠EBM=20 0 . ipoveT ABC kuTxis

gradusuli zoma.

A

5 E da F wertilebi ABC kuTxis gverdebze

E

Zevs, BE=BF. E da F wertilebi tolradiusiani

K urTierT ga dam kveTi wrewirebis centrebia, M

M

da K am wrewirebis ga dakveTis wertilebia, isini

mocemul kuTxes ekuTvnis.

B

F C

daasabuTeT, rom:

• ∆BME=∆BMF;

• ∆BEK=∆BFK;

• B, M da K wertilebi erT sxivs — B kuTxis biseqtrisas ekuTvnis.

6 vTqvaT, ABC samkuTxedis AK da BD

biseqtri sebi M wertilSi ikveTeba. daasabu-

TeT, rom CM sxivi C kuTxis biseqtrisaa.

B

M

K

A

D

C

miTiTeba. M wertilidan gaavleT AC, BC da AB gver de bi sadmi

marTobebi. gamoiyeneT Teorema 1 da Teorema 2.

69


B

7 ABC samkuTxedis biseqtrisebi M wertil-

Si ikve Te ba. M wertilidan AB gverdamde

manZili 10 sm-ia. ipoveT manZilebi M wertilidan

BC da AC gver debamde.

A

M

C

8 B

ABC samkuTxedis A kuTxis zoma 60 0 -

ia. sam ku Txedis biseqtrisebi O wertilSi

ikveTeba, O wer tilidan AC gverdamde man-

Zili 7 sm-ia.

O

• ipoveT manZilebi O wertilidan BC da

A

C AB gver de bamde.

• ipoveT AO.

y

A

9 OA wrfe I da III sakoordinato kuTxeebs tol nawi

le bad yofs. B wertili mesame meoTxeds ekuTvnis.

misi abs ci sa –5-ia. ipoveT ordinati.

O

x

60 0 miTiTeba. gadavzomoT: BD=BC, maSin ∠1=∠2, magram ∠1=∠A+∠DCA

10 SeadgineT wina amocanis analogiuri amocana da amoxseniT.

11 B da C wertilebi A kuTxis gverdebze Zevs,

B

AB≠AC.

A

C

• romel wrfes ekuTvnis B da C wertilebidan

tolad daSorebuli wertilebi

• rogor vipovoT A kuTxis biseqtrisaze is

wertili, ro melic B da C wertilebidan toladaa

daSorebuli

B

12 M kuTxis gverdebze SerCeulia N da K wertilebi

ise, rom MN=MK, M kuTxis biseqtrisaa MP.

daasabuTeT, rom MK monakveTis SuamarTobisa da

MP biseqtrisis gada kve Tis wertili MN monakve-

Tis SuamarTobzea.

B

M

N

K

P

13 ABC samkuTxedis AB gverdis sigrZe metia BC gverdis

sigrZeze. daasabuTeT, rom AB gverdis mopirdapire

D

1 2

kuTxis zomac metia BC gverdis mopirdapire kuTxis

C zomaze.

A

(gare kuTxis Tviseba). e. i. ∠1>∠A, ∠2>∠A, ∠C>∠A.

70


14 gamoiyeneT wina amocana, tolferda samkuTxedis Tvisebebi da daasruleT

winadadebebi:

• samkuTxedSi toli gverdebis mopirdapire kuTxeebi ... .

• Tu samkuTxedSi erTi gverdis sigrZe metia meore gverdis sigrZeze,

maSin pirvelis mopirdapire kuTxis gradusuli zoma ... .

• Tu samkuTxedSi erTi gverdis sigrZe naklebia meore gverdis sigrZeze,

maSin pirvelis mopirdapire kuTxis gradusuli zoma ... .

15 daasruleT winadadeba:

samkuTxedSi toli kuTxeebis mopirdapire gverdebi ...

16 vTqvaT, samkuTxedis erT-erTi kuTxis gradusuli zoma metia meore

kuTxis gradusul zomaze. SeiZleba Tu ara, rom

• pirveli kuTxis mopirdapire gverdi toli iyos meore kuTxis

mopirdapire gverdis

• pirveli kuTxis mopirdapire gverdi naklebi iyos meore kuTxis

mopirdapire gverdze ra daskvnis gamotana SeiZleba

17 daasruleT winadadeba:

• marTkuTxa samkuTxedis kaTeti hipotenuzaze ... .

• erTi wertilidan wrfisadmi gavlebuli daxrili am wertilidan

gavlebul marTobze ... .

g

1 2

1 daasaxeleT kuTxeTa wyvilebi _ Siga jvaredini,

vertikaluri, mosazRvre, Siga calmxrivi.

3

4

5 6

8

7

2

A

6

5

B

1 2 3

4 8

D

C

7

ABCD paralelogramia.

qvemoT mocemuli tolobebidan

romelia swori

a) Ð2=Ð5; b) Ð3+Ð4=180 0 ;

g) Ð7+Ð8=180 0 ; d) Ð3+Ð6=180 0 ;

e) Ð7=Ð4; v) Ð1+Ð4=180 0 ;

z) Ð1=Ð7; T) Ð1+Ð8=180 0 .

71


a

b

3 TiToeuli tolobis mixedviT romeli ori

wrfea paraleluri

a) Ð1=Ð6; b) Ð1=Ð2;

g) Ð1=Ð5; d) Ð2=Ð4;

e) Ð3+Ð5=180 0 ; v) Ð4=Ð6.

2

3

1

4

5

6

d

4 ipoveT im mravalkuTxedis kuTxeebis jami,

romlis gverdebis ricxvi aris 30.

5 tolferda samkuTxedis erTi gare kuTxe 40 0 -ia. ipoveT fuZesTan

mdebare kuTxeebis biseqtrisebis Semcvel wrfeebs Soris kuTxe.

6 dadebiTi a ricxvi gazardes 2-jer. ramdeni procentiT unda

SevamciroT miRebuli ricxvi, rom kvlav a ricxvi miviRoT

7

a

b (a>0, b>0) wiladis mricxveli 300%-iT gazardes. ra ricxvze unda

gavamravloT mniSvneli, rom wiladi 8-jer gaizardos

8 samkuTxedis gverdebi mTeli ricxvebiT gamoisaxeba. misi ori gverdi 8

sm da 12 sm-ia. ipoveT mesame gverdis udidesi SesaZlo mniSvneloba.

9 xuTkuTxedis kuTxeebi ise Seefardeba, rogorc 4:4:3:4:3. ipoveT es

kuTxeebi.

10 samkuTxedis kuTxeebis Sefardebaa 1:2:3. umciresi gverdi 6 dm-ia.

ipoveT udidesi gverdi.

11 daxazeT ori samkuTxedi ise, rom maTi saerTo nawili iyos

a) erTi wertili; b) monakveTi; g) samkuTxedi;

d) xuTkuTxedi; e) eqvskuTxedi; v) oTxkuTxedi.

A

12 B

ABCD oTxkuTxedis gverdebia AB=8 sm BC=7 sm CD=5

sm, AD=12 sm. aageT AD wrfis mimarT B da C wertilebis

simetriuli B 1

da C 1

wertilebi. ipoveT AB 1

C 1

DCB

C

eqvskuTxedis perimetri.

D

13 ABCDE wesieri xuTkuTxedia. BC da

AE wrfeebi ikveTeba F wertilSi. ipoveT

ÐAFB.

F

B

C

D

A

E

72


14 wesieri n-kuTxedis kuTxeebisa da erT-erT wverosTan mdebare gare

kuTxis jami 780 0 -ia. ramdeni gverdi aqvs am mravalkuTxeds

C

D

15 ABCDEF wesieri eqvskuTxedia. ipoveT AC da AD

wrfeebs Soris kuTxe.

B

E

16 maxvili kuTxeebis ra udidesi raodenoba

SeiZleba hqondes mravalkuTxeds

17 SeiZleba Tu ara, rom

• samkuTxedis ori biseqtrisa iyos marTobuli

• samkuTxedis ori simaRle iyos marTobuli

A

F

C

18 B

D

ABCDE mravalkuTxedi simetriulia l

wrfis mimarT:

ÐA=70 0 ; ÐBCD=140 0 . ipoveT ÐB.

A

70 0 140 0

l

E

19 marTkuTxa samkuTxedis hipotenuza orjer metia erT-erT kaTetze.

ipoveT am samkuTxedis maxvili kuTxeebi.

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