Tugas Teori Hamburan Bagian 1 (total nilai 100)

staff.fisika.ui.ac.id

Tugas Teori Hamburan Bagian 1 (total nilai 100)

Tugas Teori Hamburan

Bagian 1 (total nilai 100)

Ambil suatu sistem 2 partikel non-identik dengan spin total s = 1 (sebenarnya s = 1 ħ, namun

2 2

kita set ħ = 1). Dalam ruang momentum keadaan bebas (free state) sistem dengan momentum

relatif p dapat dinyatakan oleh


∣pλ ⟩ ≡ ∣ ∣p ⟩∣ ∣ẑλ ⟩ , (1)

dengan ∣ ∣ ẑλ ⟩ keadaan eigen (eigenstate) operator spin- 1 2

s, yang dikuantisasi pada sumbu z, yaitu

(

s · ẑ

)∣ ∣ẑλ ⟩ = s z

∣ ∣ẑλ ⟩ = λ ∣ ∣ ẑλ ⟩ . (2)

Tugas 1: Tunjukkan orthonormalitas dan relasi kelengkapan (completeness relation) ∣ ∣ ẑλ ⟩ .

Tugas 2: Nyatakan operator spin s dalam matriks Pauli σ, tuliskan matriks s x , s z , s z .

Tugas 3: Kerjakan operator paritas P pada ∣ ∣ pλ


, tunjukkan hasilnya.

Dari ∣ ⟩ ∣ pλ kita definisikan keadaan basis (basis state) ∣pλ untuk sistem itu sebagai berikut:

⟩π


∣ pλ ≡ 1 (


π 1 + ηπ P )∣ ⟩

∣ pλ , (3)

2

dengan η π = ±1 nilai eigen (eigenvalue) paritas dan label π = ± menunjukkan paritas.

Tugas 4: Tunjukkan bahwa ∣ pλ merupakan keadaan eigen operator paritas.

⟩π

Tugas 5: Tunjukkan orthogonalitas ∣ ⟩

pλ , yaitu dengan mengerjakan ⟨

π π p ′ λ ′∣ ∣ pλ

⟩π .


Tugas 6: Tentukan nilai konstanta ρ pada relasi kelengkapan ∣ pλ

⟩π , yaitu

ρ ∑ ∫

dp ∣ ⟩ππ⟨ ∣ pλ pλ = 1 . (4)

πλ

(Petunjuk: Gunakan relasi kelengkapan pada Pers. (4) pada π ′⟨

p ′ λ ′∣ ∣pλ ⟩ π .)

Bagian 2 (total nilai 100)

Interaksi antar kedua partikel dalam sistem tidak merubah paritas, dengan kata lain PV P −1 = V .

Struktur umum potensial itu dalam ruang momentum dapat dinyatakan sebagai berikut:

V (p ′ , p) ≡ ⟨ p ′∣ ∣ ⟩ ∑

∣ V ∣p = f i (p ′ , p, ˆp ′ · ˆp) ( s · ˆp ′) a i

( ) bi

s · ˆp , (5)

i

1


dengan f i (p ′ , p, ˆp ′ · ˆp) merupakan fungsi skalar tidak bergantung pada spin, konstanta a i dan b i

bernilai nol atau bilangan bulat positif.

Tugas 7: Tentukan syarat bagi a i dan b i agar potential itu tidak merubah paritas.

Tugas 8: Tunjukkan bahwa operator spin s · (p × p ′ ) dapat dinyatakan dalam bentuk umum

(

s · ˆp

′ ) a i

(

s · ˆp

) bi

.

Bagian struktur umum potensial pada Pers. (5) yang bergantung pada spin dinyatakan dalam

operator helisitas ( s · ˆp ) . Keadaan eigen operator helisitas yaitu keadaan helisitas ∣ ∣ˆpm ⟩ :

(

s · ˆp

)∣ ∣ˆpm ⟩ = m ∣ ∣ˆpm ⟩ . (6)

Orthonormalitas dan relasi kelengkapan keadaan eigen ∣ ∣ˆpm ⟩ masing-masing yaitu


⟨ˆpm ∣ ∣ˆpm ⟩ = δ m ′ m (7)

∑∣

∣ˆpm ⟩⟨ˆpm ∣ = 1 . (8)

m

Keadaan ∣ ∣ˆpm ⟩ dapat diperoleh dengan memutar keadaan ∣ ⟩ ẑm sebagai berikut:


∣ˆpm ⟩ = R(ˆp) ∣ ⟩

ẑm

= ∑ ∣

∣ẑn ⟩⟨ ẑn ∣ ∣R(ˆp) ∣ ∣ẑm ⟩

n

= ∑ n

D 1 2 nm (ˆp) ∣ ∣ ẑn ⟩ , (9)

dengan R(ˆp) merupakan operator rotasi

R(ˆp) = R(ϕθ0) = e −is zϕ e −is yθ

(10)

dan D 1 2

m ′ m

(ˆp) elemen matriks rotasi

D 1 2

m ′ m (ˆp) = D 1 2

m ′ m (ϕθ0) = ⟨ ẑm ′∣ ∣R(ˆp) ∣ ∣ẑm ⟩

= ⟨ ẑm ′∣ ∣e −iszϕ e −isyθ∣ ∣ẑm ⟩

= e −im′ ϕ ⟨ ẑm ′∣ ∣e −isyθ∣ ∣ẑm ⟩

= e −im′ϕ d 1 2

m ′ m

(θ) , (11)

dengan

d 1 2

m ′ m (θ) = ⟨ ẑm ′∣ ∣ e

−is y θ ∣ ∣ ẑm ⟩ . (12)

Matriks d 1 2 (θ) dan D 1 2 (ˆp) masing-masing didapatkan sebagai berikut:


cos θ d 1 2 − sin θ ⎞

2

2 (θ) = ⎜




(13)

sin θ 2

cos θ 2

2



e −i 1 2 ϕ cos θ 1

D 1 2 −e−i 2 ϕ sin θ 2

2 (ˆp) = ⎜




⎠ . (14)

e i 1 2 ϕ sin θ 2

e i 1 2 ϕ cos θ 2

Tugas 9: Kerjakan perkalian skalar ⟨ˆp ′ m ′∣ ∣ˆpm ⟩ . (Catatan: Ini bukanlah Pers. (7).)

Tugas 10:

Cari hubungan antara d 1 2

m ′ m (θ) dan d 1 2

m ′ ,−m (π − θ) serta antara d 1 2

m ′ m

(θ) dan

d 1 2

−m ′ m

(π − θ). (Petunjuk: Gunakan Pers. (13).)

Tugas 11: Cari hubungan antara D 1 2

m ′ m (ϕθ0) dan D 1 2

m ′ ,−m (ϕ+π, π −θ, 0) serta antara D 1 2

m ′ m (ϕθ0)

dan D 1 2

−m ′ m

(ϕ + π, π − θ, 0).

Tugas 12: Kerjakan elemen matriks ⟨ ẑλ ′∣ ∣ ( s · ˆp ′) a( ) b ∣ ⟩

s · ˆp ∣ẑλ . (Petunjuk: Gunakan Pers. (8)

dan (9).)

Bagian 3 (total nilai 100)

Elemen matriks potensial V dan elemen matriks T dalam keadaan basis ∣ ∣ pλ

⟩π didefinisikan

sebagai berikut:

V π

λ ′ λ(p ′ , p) ≡ π


p ′ λ ′∣ ∣ V

∣ ∣pλ

⟩π

(15)

T π λ ′ λ(p ′ , p) ≡ π


p ′ λ ′∣ ∣ T

∣ ∣pλ

⟩π . (16)

Tugas 13: Kerjakan elemen matriks potensial V π

λ ′ λ (p′ , p) untuk λ ′ = λ, gunakan struktur umum

potensial pada Pers. (5).

Tugas 14: Kerjakan elemen matriks potensial Vλ π ′ λ (p′ , p) untuk λ ′

umum potensial pada Pers. (5).

= −λ, gunakan struktur

Tugas 15: Kerjakan persamaan Lippmann-Schwinger untuk elemen matriks T dalam keadaan

basis ∣ ∣ pλ

⟩π .

Selamat ’bermain’ dengan orthogonalitas, relasi kelengkapan, dan trigonometri.

Tugas diserahkan melalui email ke imamf@fisika.ui.ac.id.

Deadline: 7 Juni 2010

3

More magazines by this user
Similar magazines