Penggenerasian Ciri I : Transformasi Linier - Teknik Elektro UGM

Transformasi KL kemudian ditentukan dengan :
⎡ y(0)
⎤
⎢ ⎥
⎢
y(1)
⎥
⎢⎣
y(2)
⎥⎦
=
⎡2 / 6
⎢
⎢ 0
⎢
⎣
1/ 3
1/
1/
−1/
6
2
3
1/
−1/
−1/
6 ⎤
⎥
2⎥
3⎥
⎦
⎡x(0)
⎤
⎢ ⎥
⎢
x(1)
⎥
⎢⎣
x(2)
⎥⎦
di mana y(0), y(1) besesuaian dengan dua nilai eigen terbesar.
6.4 DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Diberikan sebuah matrik X dengan rank r, akan ditunjukkan bahwa ada NxN matrik-matrik unitary U
dan V sedemikian hingga :
X = U
1/
⎡Λ
⎢
⎣ O
2
O⎤
⎥ V
H
0 ⎦
atau Y ≡
1/
⎡Λ
⎢
⎣ O
2
O ⎤
⎥ = U H XV (6.22)
0 ⎦
1/ 2
di mana Λ matrik diagonal r x r dengan elemen-elemen λ
i
dan λ
i
adalah nilai-nilai eigen bukan nol r
dari matrik X H X yang terkait. O menyatakan matrik elemen nol. Dengan kata lain, ada matrik unitary U dan
V sedemikian hingga matrik tertransformasi Y adalah diagonal. Dari (6.22) dapat ditunjukkan bahwa :
r 1
X = ∑ −
=
i 0
H
λi
u i v i
(6.23)
di mana u i , v i berturut-turut merupakan kolom pertama r dari U dan V. Lebih tepatnya, u i , v i berturutturut
adalah vektor-vektor eigen dari XX H dan X H X. Nilai-nilai eigen λ
i
dikenal sebagai nilai-nilai singular
dari X dan pengekspansian menurut (6.23) sebagai dekomposisi nilai singular (SVD : singular value
decomposition) dari X atau representasi spektral dari X.
Contoh 6.3. Diberikan suatu matrik X sebagai berikut. Tujuannya adalah menghitung dekomposisi nilai
singularnya.
X =
⎡6
⎢
⎢
0
⎢4
⎢
⎣0
Langkah 1 : Mencari nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari X T ⎡52
36⎤
X = ⎢ ⎥
⎣36
73 ⎦
Ini adalah λ 0 = 100, λ 1 = 25 dan vektor eigen yang bersesuaian adalah v 0 = [0,6 ; 0,8] T ; v 1 = [0,8 ; -0,6] T .
6⎤
1
⎥
⎥
0⎥
⎥
6⎦