DIKTAT KALKULUS 1

DIKTAT KALKULUS 1Penyusun:Drs. Warsoma Djohan M.Si.Dr. Wono Setya BudhiDepartemen Matematika, Fakultas MIPAInstitut Teknologi BandungAgustus 2007

PengantarKalkulus merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi hampir semua departemen/jurusandi Institut Teknologi Bandung (kecuali Departemen Desain dan SeniMurni). Berdasarkan kebutuhan yang berbeda pada berbagai departemen yang adaITB, sejak tahun ajaran 2004 pelaksanaannya dibagi dua yaitu perkuliahan KalkulusElmenter dan Kalkulus. Diktat ini ditulis untuk digunakan pada perkuliahan Kalkulus,meskipun tidak menutup kemungkinan untuk dipakai pada perkuliahan KalkulusElementer, dengan membuang beberapa topik yang tidak diperlukan.Dari segi konsep, isi perkuliahan kalkulus dapat dikatakan sudah baku, artinya tidakbanyak mengalami perubahan untuk jangka waktu yang cukup panjang. Bagian yangsecara berkala perlu direvisi adalah teknik penyajiannya. Selain itu soal-soal yang disajikanmulai banyak diaktualkan dengan situasi saat ini, melalui pemecahan problemproblemreal sederhana yang dijumpai sehari-hari.Penyusunan diktat ini bertujuan untuk mengefektifkan proses pembelajaran. Padaproses pembelajaran konvensional, biasanya dosen menjelaskan perkuliahan sambilmencatat di papan tulis. Mahasiswa umumnya menyalin catatan tersebut sambilmenyimak penjelasan dosen. Proses pembelajaran lebih banyak mendengarkan ceramahdari dosen. Peran serta mahasiswa sebagai pembelajar sangat terbatas. Melaluidiktat ini diharapkan proses pembelajaran dapat lebih diefektifkan. Fungsi dari diktatini, bagi dosen untuk dipakai menjelaskan materi kuliah, sedangkan bagi mahasiswasebagai pengganti catatan kuliah. Dengan demikian waktu pembelajaran di kelasdapat digunakan secara lebih efektif untuk caramah dan diskusi. Perlu diperhatikanbahwa pada diktat ini soal-soal yang disajikan umumnya tidak disertai solusi. Hal inimemang disengaja karena pembelajaran akan lebih efektif bila solusinya dibicarakanbersama-sama mahasiswa di kelas.Idealnya ada dua materi yang disediakan, yaitu buku teks yang rinci dan beningan(transparancies) untuk ceramah. Mengingat sempitnya waktu yang ada, untuk saatini penulis baru dapat menyediakan beningan saja, tetapi ditulis dengan cukup rinci.Penulis 1 (Warsoma Djohan) mulai merancang diktat ini pada awal Juli tahun 2004.Penyusunan didasarkan pada buku teks yang digunakan yaitu: Kalkulus dan GeometriAnalitis, edisi 5, jilid 1, E.J. Purcell & D. Varberg. Pada tahun ajaran 2005, isi diktatdirevisi bersama-sama dengan penulis 2 (Wono Setya Budhi). Semoga diktat ini dapatberguna untuk meningkatkan kualitas pembelajaran Kalkulus.Penyusun,Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi

Daftar IsiBAB 1 Sistem Bilangan, Pertaksamaan dan Koordinat Kartesius 4BAB 2 Fungsi dan Limit 14BAB 3 Turunan 32BAB 4 Penggunaan Turunan 42BAB 5 Integral 57BAB 6 Penggunaan Integral 78BAB 7 Fungsi-Fungsi Transenden 92

Sistem Bilangan / Himpunan BilanganHimpunan Bilangan Asli: N = {1, 2, 3, 4, 5, ···}Himpunan Bilangan Bulat: Z = {···, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ···}Himpunan Bilangan Rasional: Q = { p q| p, q ∈ Z, q≠0}Perhatikan gambar segitiga di samping. Panjang sisi miringnyaadalah √ 2. Apakah bilangan tersebut merupakanbilangan rasional (periksa!).Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilanganreal, disimbolkan R. JelasN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.Notasi Interval: Misalkana, b ∈ R,1. (a, b) ={ x | a

Polinom / Suku BanyakBentuk umum: p(x) =a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ···+ a n x n , dengann bilangan asli, a 0 ,a 1 , ···,a n bilangan 2 real (disebut koefisien dari polinom),dan x bilangan real yang belum ditentukan (variabel).Derajat polinom adalah nilai n terbesar yang koefisiennya tidak nol.Contoh: p(x) =x 4 − 2x 3 − 7x 2 +8x +12, derajat p(x) adalah 4.Bilangan real t disebut akar dari polinom p(x) bila p(t) =0.Pada contoh terakhir, t =2adalah akar p(x),sebab p(t) =p(2) = 2 4 − 2 · 2 3 − 7 · 2 2 +8· 2+12=0Polinom Linear/Derajat Satu: p(x) =ax+b, a ≠0 akarnya x = −ba .Polinom Kuadrat/Derajat Dua: p(x) =ax 2 + bx + c, a ≠0.Akar-akarnya x 1 = −b+√ D2adan x 2 = −b−√ D2aDi sini ada tiga kemungkinan akar:• D>0, Dua akar real berbeda (x 1 ≠ x 2 ).• D =0, Dua akar kembar (x 1 = x 2 ).• D0 grafik cekungke atas (membuka ke atas) sebaliknya bila a

Hati-Hati:• Jangan mengalikan pertaksamaan dengan bilangan yang tidak diketahui tandanyailustrasi:1x−1 < 1.• Sebaiknya, hindari mencoret faktor yang sama, ilustrasi: (x−3)3 (x+1)(x−3) 2 ≤ 0.Harga MutlakMisalkan x ∈ R. Hargamutlakdarix, ditulis |x| =Contoh: |3| =3, |−4| =4, |0| =0.{ −x x ≤ 0x x > 0Sifat 2 :Misalkana dan b bilangan-bilangan real,1. |ab| = |a||b|2. ∣ a ∣ = |a|b |b|3. |a + b| ≤|a| + |b| ilustrasi |3+(−4)| ≤|3| + |−4|.4. |a − b| ≥||a| −|b||Latihan:1. Tuliskan tanpa tanda mutlak: (a) |x − 4| (b) |x +2| + |x +3|2. Tentukan solusi dari (a) |x − 3| = x − 3 (b) |x − 1| =2.Akar KuadratMisalkan x ≥ 0. Akar kuadrat dari x, ditulis √ x adalah bilangan realnon-negatif a sehingga a 2 = x.Ilustrasi: (a) √ 9=3, (b) √ (−4) 2 =4.Secara umum : Bila b ∈ R maka √ b 2 = |b|.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Pertaksamaan yang memuat nilai mutlak dan akar kuadratSifat 2 (buktikan/ilustrasikan !):• |x|

Sistem Koordinat Kartesius / Persegi PanjangPelopor: Pierre de Fermat (1629) & René Descartes (1637)Sumbu horizontal dinamakan sumbu-x (absis) dan sumbu vertikal dinamakansumbu-y (ordinat). Setiap pasangan terurut bilangan (a, b) dapatdigambarkan sebagai sebuah titik pada koordinat tersebut dan sebaliknya,setiap titik pada bidang koordinat Kartesius berkorespondensi dengan satubuah pasangan bilangan (a, b).Jarak dua titik di bidangMisalkan P(x 1 ,y 1 ) dan Q(x 2 ,y 2 ) dua buah titik pada bidang, jaraknyaadalah d(P, Q) = √ (x 2 − x 1 ) 2 +(y 2 − y 1 ) 2Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Garis LurusBentuk umum: Ax + By + C =0 dengan A, B, dan C konstanta.Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 ) yangmemenuhi persamaan tersebut.Hal 2 khusus:• Bila A =0, persamaan berbentuk y = −CB, grafiknya sejajar sumbu-x.• Bila B =0, persamaan berbentuk x = −C , grafiknya sejajar sumbu-y.A• Bila A, B tak nol, Ax + By + C =0⇐⇒ y = − A B x − C B .Misalkan (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 ) dua titik padagaris tersebut. Kemiringan garis didefinisikansebagai m = y 2−y 1x 2 −x 1Buktikan bahwa m = − A B .Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 ) :y − y 1= x − x 1y 2 − y 1 x 2 − x 1Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x 1 ,y 1 ) :y − y 1 = m(x − x 1 )Misalkan garis l 1 dan l 2 dua buah garis dengan kemiringan m 1 dan m 2 .Kedua garis tersebut sejajar ⇐⇒ m 1 = m 2Kedua garis tersebut saling tegak lurus ⇐⇒ m 1 · m 2 = −1 (mengapa?)Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

LingkaranLingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titiktertentu (disebut pusat lingkaran). Persamaan lingkaran yang berpusatdi (0, 0) dan jari-jari r adalah: x 2 + y 2 = r 2 (gambar sebelah kiri).Bila pusat lingkaran berada di titik (p, q) maka persamaannya menjadi(x − p) 2 +(y − q) 2 = r 2 (gambar sebelah kanan).24y13y2K2 K1 0 1 2x1K1K2K1 0 1 2 3 4xK1lingkaran x 2 + y 2 =3lingkaran (x − 1) 2 +(y − 2) 2 =3Latihan: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 −2x+y 2 +4y−20 = 0Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

ElipsBentuk umum elips yang berpusat di (0, 0) : x2a + y22 bUntuk elips yang berpusat di (p, q) persamaannya2=1(gambar kiri).(x − p)2a 2 +(y − q)2b 2 =1y321y6543K3 K2 K1 0 1 2 3xK121K2K3K2 K1 0 1 2 3 4 5xK1Latihan: Gambarkan elips berikut 4x 2 − 24x + y 2 − 4y +39=0.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

HiperbolaBentuk umum : x2a − y2 −x2=1 atau 2 b2 a 2+ y2b 2 =18866y4y422K4 K2 0 2 4xK2K4 K2 0 2 4xK2K4K4K6K6K8K8x 24 − y29 =1 − x24 + y29 =1Garis putus-putus mempunyai persamaan 2y =3x dan merupakan asimtotterhadap hiperbola tersebut.Bila kedua parabola di atas dirotasi berlawanan arah dengan putaran jarumjam sebesar 45 o maka diperoleh:xy =1 −xy =1Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

FungsiMisalkan A dan B dua buah himpunan.Fungsi dari A ke B adalah aturanmemasangkan (memadankan) setiapelemen di A dengan satu elemen di B.Bila elemen-elemen dari A lebih banyakdari elemen-elemen B, dapatkah kitamembuat fungsi dari A ke B?Sebuah fungsi disebut fungsi real bila B ⊂ R.Pembahasan selanjutnya akan dibatasi untuk A, B ⊂ R.Notasi fungsi: y = f(x) dengan: x elemen A, f(x) aturan pemadanannya,dan y adalah elemen B yang merupakan pasangan dari x.Pada persamaan berikut, tentukan mana yang mendefinisikan fungsi:1. y = x 2 + x 42. xy 3 =13. x 2 y =14. x 2 + y 2 =15. x 3 + y 3 =16. x 2 + y 3 =1Daerah Definisi (daerah asal/wilayah/domain) dari suatu fungsi f(x),dinotasikan D f adalah himpunan semua bilangan real yang menyebabkanaturan fungsi berlaku/terdefinisi.Daerah Nilai (daerah hasil/jelajah/range) dari suatu fungsi f(x), dinotasikanR f = { y | y = f(x), x∈ D f } (berisi semua pasangan dari x).Contoh 2 :TentukanD f dan R f dan grafik dari fungsi-fungsi berikut:1. f(x) =x + √ x2. f(x) =x 2 − 1 ≤ x ≤ 1{ x2x ≤ 03. f(x) =1 x>04. f(x) =|x|5. f(x) = [|x|], bilangan bulatterbesar, yang lebih kecil atausama dengan x.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil/Gasal:Fungsi f disebut fungsi genap bila memenuhi f(−a) =f(a). Grafikdari fungsi genap simetri terhadap sumbu-yFungsi f disebut fungsi ganjil bila memenuhi f(−a) =−f(a). Grafiknyasimetri terhadap titik asal (titik pusat koordinat).Latihan:1. Periksa apakah fungsi berikut termasuk fungsi ganjil / genap.(a) y = x 2(b) y = x 3 (c) y = x 5 +3x 2 +1(d) y = |x − 1|(e) y =[|x|](f) y =[|x 2 |]2. Adakah fungsi yang sekaligus genap dan ganjil? (bahas!)Pergeseran Grafik Fungsi:Diberikan grafik fungsi y = f(x)dan a > 0. Selanjutnya dibentukfungsi g(x) =f(x − a), maka gambargrafik g(x) dapat diperoleh denganmenggeser grafik f(x) sejauh ake kanan (jelaskan !).Diskusi: Jikaa>0, jelaskan cara memperoleh grafik-grafikh = f(x + a), l(x) =f(x)+a dan m(x) =f(x) − a dari grafik f(x).Contoh: Berdasarkan grafik y = x 2 , gambarkan grafik h = x 2 +4x +3Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Operasi pada fungsiMisalkan f(x) dan g(x) fungsi 2 real dengan daerah definisi D f dan D g .• (f + g)(x) =f(x)+g(x),• (f − g)(x) =f(x) − g(x),• (fg)(x) =f(x) g(x),D f+g = D f ∩ D gD f−g = D f ∩ D gD fg = D f ∩ D g• (f/g)(x) =f(x)/g(x), D f/g = D f ∩ D g ∩{x|g(x) ≠0}• f n (x) =f(x) f(x) ··· f(x)} {{ }nsukuD f n = D fContoh: Misalkanf(x) = 4√ x +1dan g(x) = √ 9 − x 2 .Tentukan f + g, f − g, fg, f/g,danf 5 beserta daerah definisinya.Peta/Image dan Prapeta/Preimage:Misalkan f suatu fungsi dengan daerah definisi D f dan daerah nilai R f .Misalkan A ⊂ D f dan B ⊂ R.• Peta dari A oleh f adalah f(A) ={y ∈ R f | y = f(x), x∈ A}• Prapeta dari B oleh f adalah f −1 (B) ={x ∈ D f | f(x) ∈ B}(ilustrasikan kedua konsep di atas dengan gambar)Contoh: Diberikan f(x) =x 2 ,tentukan f([0, 1]), f([− 1 2 , 1]), f −1 ([0, 1]), f −1 ([−1, 1]), danf −1 ({−1})Diskusi: Benar atau salah (a) f −1 (f(A)) = A , (b) f(f −1 (B)) = BWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Fungsi KomposisiPerhatikan dua buah fungsi f(x) =6xx 2 −9 dan g(x) =√ 3x.Dibentuk fungsi baru (g ◦ f)(x) =g(f(x))√Jadi (g ◦ f)(x) =g( 6xx 2 −9 )= 6xx 2 −9Fungsi demikian disebut sebagai fungsi komposisi dari f dan g.Masalah: Bagaimana cara menentukan D g◦f dan R g◦fPerhatikan gambar di bawah ini. Titik-titik dari D f yang dapat dievaluasioleh fungsi komposisi g ◦ f adalah titik-titik yang oleh fungsi f dipetakanke dalam D g (mengapa?). Sebut A = R f ∩ D g , maka:D g◦f = f −1 (A) danR g◦f = g(A)Contoh 2 :1. f(x) =1+x 2 dan g(x) = √ 1 − x.Tentukan f ◦ g, D f◦g ,danR f◦g2. f(x) = √ x(10 − x) dan g(x) = √ 4 − x 2 .Tentukan g ◦ f, D g◦f ,danR g◦fWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Fungsi TrigonometriPerhatikan gambar lingkaran berjari-jarisatu di sebelah kiri. Posisi titik P=(x, y).Sudut t-positif dihitung berdasarkan arahyang berlawanan jarum jam dengan satuanradian. 1 0 = 1180 π rad.Definisi:f(t) =sint = y dan g(t) =cost = x.D f = D g = ... R f = R g = ...Sudut t +2π dan t menentukan posisi titik P yang sama, sehingga,sin(t +2π) =sint dan cos(t +2π) =cost.Dikatakan fungsi tersebut periodik dengan periode 2π.sin(−t) =− sin tcos(−t) =costsin 2 t +cos 2 t =1⎫⎪⎬⎪⎭jelaskan !Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Fungsi-Fungsi Trigonometri Lainnya:• f(x) = tan t = sin tcos tD f = {x | x ≠ 2k+12π, k ∈ Z}, R f = R• f(x) =cott = cos tsin tD f = ... R f = ...• f(x) =sect = 1cos tD f = ... R f = ...• f(x) =csct = 1sin tD f = ... R f = ...latihan: Periksa apakah fungsi 2 tersebut termasuk fungsi ganjil/genaplatihan: Apakah fungsi 2 tersebut periodik, berapa periodenya ?Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Sifat-Sifat Penting Fungsi Trigonometri:• sin 2 x +cos 2 x =1, 1 + tan 2 x =sec 2 x, 1+cot 2 x =csc 2 x• sin(−x) =sinx dan cos(−x) =cosx• sin(x + y) =sinx cos y +cosx sin ycos(x + y) =cosx cos y − sin x sin y• sin 2 x = 1 2 − 1 2 cos(2x) dan cos2 x = 1 2 + 1 2 cos(2x)• sin x +siny =2sin( x+y2 )cos(x−y 2 )cos x +cosy =2cos( x+y2 )cos(x−y 2 )cos x − cos y = −2 sin( x+y2 )sin(x−y 2 )Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Konsep LimitMisalkan I =(a, b) suatu interval buka di R dan c ∈ I. Fungsi f(x)dikatakan terdefinisi di I kecuali mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi disemuatitik pada I\{c} dan di c boleh terdefinisi boleh juga tidak.Ilustrasi:Diskusi: Adakahbentuklaindarif(x) yang memenuhi definisi di atas?Pada gambar 2 di atas, berapakah nilai limit f(x) bila x mendekati titik c.Untuk memudahkan pembahasan konsep limit, hayatilah pengertian berikut:|x − a|

Perhatikan fungsi f(x) = 2x2 −3x−2x−2, D f = R\{2}x f(x)0.00000 1.000001.00000 3.000001.90000 4.800001.95000 4.900001.99999 4.99998.2.00000 ?.2.00001 5.000022.05000 5.100002.10000 5.200003.00000 7.00000f(x) = 2x2 −3x−2x−2= (2x+1)(x−2)x−2=2x +1 D f = R\{2}Amatilah fungsi di atas beserta grafiknya, lalu lengkapilah implikasi berikut:• Tentukan δ 1 supaya |x − 2|

Definisi Limit: Misalkanf(x) terdefinisi pada I =(a, b), kecuali mungkindi c ∈ I. Limit dari f(x) untuk x mendekati c disebut L, dinotasikanlim f(x) =L artinya untuk setiap ɛ>0, dapat dicari δ>0 sehinggax→c|x − c|

8. limx→cf n (x) =9. limx→cn √ f(x) = n( ) nlim f(x) ,x→c√lim f(x) ,x→cn ∈ Nlim f(x) ≥ 0 untuk n genapx→c10. Bila p(x) polinom maka lim p(x) =p(c)x→c11. Prinsip Apit. Misalkanf,g, dan h tiga fungsi dengang(x) ≤ f(x) ≤ h(x) untuk setiap x ∈ I. Bila limlim h(x) =L maka limx→cx→cg(x) =L danx→cf(x) =L (Ilustrasikan secara grafik!)Sifat-Sifat Limit Fungsi Trigonometri:1. limx→csin x =sinc dan limx→ccos x =cosc2. limx→0sin xx=1 dan limx→03. limx→0tan xx=1 dan limx→0xsin x =1xtan x =1Hati 2 , bila lim u ≠0x→csin umaka limx→c u≠1Soal-Soal: Hitung limit-limit berikut ini1. limx→3x 4 −3x3x 2 −5x+7x2. lim2 −2x−3x→3 x−32x3. lim3 +3x 2 −2x−3x→1 x 2 −1x−sin(2x)4. limx→0 2x+tan x9. Bila f(x) =5. lim (x − 1 π) tan(3x)x→ 1 2 π 21+cos x6. limx→π sin(2x)7. limx→0x 2 cos 1 x8. lim [|x|]x→1{ x x < 112 x +1 x ≥ 1 tentukan lim f(x)x→1(dengan alat yang ada saat ini dua soal terakhir akan sukar untuk dihitung,kita tunda dulu sampai konsep berikutnya dibahas)Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Limit SepihakGambar di samping adalah grafikdari fungsi pada contoh no. 9 diatas. Di sini terlihat bahwa fungsif(x) mengalami loncatan pada titikx =1. Sekarang coba lengkapi implikasiberikut ini:• Tentukan δ 1 supaya |x − 1|

Hasil terakhir menunjukan bahwa limit kiri dari f(x) untuk x menuju 1dari kiri bukan 1,5. Apakah limit kirinya ada ?Definisi Limit Kanan: Misalkanf(x) terdefinisi pada I =(a, b), kecualimungkin di c ∈ I. Limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kanan disebutL, dinotasikan lim f(x) =L artinya untuk setiap ɛ>0, dapat dicarix→c +δ>0 sehingga x − c

Limit di takhingga:Bagian ini mengamati perilaku fungsi f(x) bila x membesarmengecilIlustrasi:Perhatikan f(x) = 11+x 2Bila x membesar terus tanpabatas, ditulis x → ∞, nilaif(x) ’cenderung’ menuju 0.Fenomena ini mendasari konsep limit di takhinggatanpa batas.Misalkan f terdefinisi pada [c, ∞).lim = L artinya untuk setiap ɛ>0,x→∞dapat dicari bilangan M sehinggax>M=⇒ |f(x) − L| 0,limx→−∞dapat dicari bilangan M sehinggax

Limit Takhingga:Bagian ini mengamati perilaku fungsi f(x) di mana nilai f(x) membesar/mengeciltanpa batas.Misalkan f terdefinisi pada (a, b) yang memuattitik c. lim f(x) =∞ artinya untuk setiapx→c +bilangan M, dapat dicari δ>0, sehingga0

Kekontinuan Fungsif(c) =···f(c) =···f(c) =···lim x→c + lim x→c + lim f(x) =···x→c+lim f(x) =···x→c− lim f(x) =···x→c− lim f(x) =···x→c− Kekontinuan di satu titik:Misalkan f(x) terdefinisi pada interval buka I dan c ∈ I. Fungsi f disebutkontinu di titik c jikaf(c) = lim f(x)x→c⇐⇒ f(c) = lim f(x) = lim x→c− x→c +{Contoh: Misalkanf(x) =x 2 −4x−2x ≠25 x =2Periksa kekontinuan f dititik x =2.Akibat: Bila f(x) kontinu di c maka limx→cf(x) =f(limx→cx)Kekontinuan sepihak:• Fungsi f disebut kontinu kiri di x = c bila f(c) = lim f(x)x→c −• Fungsi f disebut kontinu kanan di x = c bila f(c) = lim f(x)x→c +Pada ketiga ilustrasi di halaman 29, tentukan fungsi yang kontinu sepihak.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Kekontinuan pada interval:• Fungsi f disebut kontinu pada interval buka (a, b) bila f kontinu disetiap titik pada (a, b)• Fungsi f disebut kontinu pada interval tutup [a, b] bila f kontinu pada(a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.Sifat-sifat:1. Suatu polinom p(x) kontinu pada seluruh R.2. Fungsi rasional ( p(x) , p(x) dan q(x) polinom), kontinu pada seluruhq(x)daerah definisinya.3. Fungsi f(x) =|x| kontinu di seluruh R4. Fungsi f(x) = n√ x dengan n ∈ N kontinu diseluruh daerah definisinya5. Bila f dan g kontinu di titik c dan k ∈ R maka:kf, f + g, f − g, fg, f g dengan g(c) ≠0,fn , dan n√ f kontinu di c.Soal-soal:1. Sketsakan sebuah grafik fungsi yang memenuhi semua sifat berikut:• Daerah definisinya [−2, 4]• f(−2) = f(0) = f(1) = f(3) = f(4) = 1• f kontinu di seluruh D f kecuali di -2, 0, 3• lim f(x) =2, lim f(x) =2,dan lim f(x) =1x→−1− x→0+x→3− ⎧⎨ −1 x ≤ 02. Tentukan a dan b agar f(x) = ax + b 0

Teorema Nilai Antara:Misalkan f kontinu pada [a, b]. Bila w bilangan diantara f(a) dan f(b),maka terdapat bilangan c ∈ [a, b] sehingga f(c) =wDiskusi: Bila f tak kontinu, apakah sifat di atas masih berlaku ?Contoh 2 :1. Tunjukkan p(x) =x 3 +3x − 2 mempunyai akar real diantara 0 dan 1.2. Tunjukkan p(x) =x 5 +4x 3 − 7x +14mempunyai paling sedikit satu akar real.3. Misalkan f kontinu pada [0, 1] dengan 0 ≤ f(x) ≤ 1. Tunjukkan f mempunyaititik tetap. (titik tetap adalah titik c yang bersifat f(c) =c)4. Tunjukkan selalu terdapat dua titik pada cincin kawat melingkar yang temperaturnyasama. (petunjuk gambarkan cincin pada koordinat kartesius denganpusatnya di titik (0,0) dan bentuk f(θ) sebagai fungsi temperaturnya).5. Pada pukul Pk 4.00 seorang biarawan secara perlahan mendaki gunung dan tibadipuncaknya pada sore hari. Keesokan harinya dia menuruni gunung tersebutmulai Pk 5.00 dan tiba di bawah Pk 11.00. Tunjukkan bahwa ada titik pada jalanyang dilaluinya yang menunjukkan waktu yang sama saat naik dan turun.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Turunan : (Konsep Garis Singgung)Perhatikan sebuah titik P yang terletak pada sebuah kurva di bidang kartesius.Apakah yang dimaksudkan dengan garis singgung di titik P ?Euclides memberi gagasan garis singgung adalah garis yang memotongkurva tersebut di satu titik, tetapi bgm dengan kurva ketiga di atas ?Untuk mendefinisikan pengertian garissinggung secara formal, perhatikanlah gambardi samping kiri. Garis talibusur m 1menghubungkan titik P dan Q 1 padakurva. Selanjutnya titik Q 1 kita gerakkanmendekati titik P . Saat sampai di posisiQ 2 , talibusurnya berubah menjadi garism 2 . Proses ini diteruskan sampai titik Q 1’berimpit’ dengan titik P , dan garis talibusurnyamenjadi garis singgung m.Agar fenomena ini dapat dirumuskan secaramatematis, perhatikan kembali gambardisebelah kiri. Kemiringan garis talibusuryang melalui P dan Q adalah:f(c + h) − f(c)msec =hKemiringan garis singgung di titik P =(c, f(c)) didefinisikan sebagai:f(c+h)−f(c)m = lim msec = limh→0 h→0hWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Masalah kecepatan sesaat:Perhatikan sebuah benda yang jatuh bebas. Hasil percobaanmenunjukan posisinya setiap saat S(t) =16t 2 .Ingin diketahui berapa kecepatannya saat t =1?t 1 t 2 S(t 1 ) S(t 2 ) Vrata-rata = S(t 2)−S(t 1 )t 2 −t 164−161 2 16 64 =482−136−161 1,5 16 361,5−1 =4019,36−161 1,1 16 19,36=33, 61,5−116,3216−161 1,01 16 16,3216=32, 161,01−116,032016−161 1,001 16 16.0320161,001−1=32, 016Dengan tabel di atas kita hanya dapat menghitung kecepatan rata-rataantara t =1dan t =1+∆t, tetapi yang ingin dihitung adalah kecepatansesaat pada t =1. Untuk itu kita definisikan kecepatan sesaat tersebutsebagai berikut:V = Vsesaat = lim V S(t+∆t)−S(t)rata-rata = lim∆t→0 ∆t→0∆tPerhatikan kembali rumus garis singgung dan bandingkan dengan rumuskecepatan sesaat. Keduanya mempunyai rumusan matematika yang sama.Pada kehidupan sehari-hari, asih banyak sekali masalah-masalah fisis yangmempunyai model matematika yang sama dengan rumus di atas. Untukitu, dalam matematika diperkenalkan konsep baru yang disebut turunan.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Definisi turunan:Misalkan f sebuah fungsi real dan x ∈ D f .Turunan dari f di titik x, ditulis f ′ f(x+h)−f(x)(x) = limh→0hSoal 2 : (dikerjakan hanya dengan definisi turunan).1. Cari kemiringan garis singgung terhadap y = x 2 − 2x di titik (2, 0).2. Seekor bakteri berkembang sehingga beratnya setelah t jam adalah12 t2 +1gram. Berapa laju perkembangannya pada sat t =2jam ?3. Massa sepotong kawat (1 dimensi) yang panjangnya sejauh x cm dariujung kirinya adalah x 3 gram. Berapa rapat massanya pada posisi 3cm dari ujung kirinya?Notasi-notasi lain untuk turunan:f ′ f(x+h)−f(x)(x) = limh→0hf ′ f(t)−f(x)(x) = limt→x t−xNotasi Leibniz:f ′ ∆y(x) = lim∆x→0∆x = dydxWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Simbol-simbol berikut mempunyai arti yang sama:f ′ (x) = dydx = D[f] =D x[f]Hubungan turunan dan kekontinuan:Bila f ′ (c) ada maka f(x) kontinu di x = c.Fungsi f(x) =|x| telah diketahui diseluruh R. Dengan memakai definisiturunan, periksa apakah f ′ (0) ada, lalu simpulkan kebalikan sifat di atas.Perhatikan grafik di atas, lalu tentukan apakah f(x) kontinu / mempunyaiturunan di titik-titik a, b, c dan d. (beri penjelasan !)Aturan-aturan Turunan:• Misalkan k suatu konstanta, maka D x [k] =0(buktikan !)• D x [x] =1• Misalkan n ∈ N maka D x [x n ]=nx n−1 (buktikan !)• Misalkan k suatu konstanta, maka D x [kf(x)] = kD x [f(x)]• D x [(f ± g)(x)] = D x [f(x)] ± D x [g(x)]• D x [(fg)(x)] = D x [f(x)] g(x)+f(x) D x [g(x)] = f ′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x)• D x [( f g )(x)] = D x[f(x)] g(x)−f(x) D x [g(x)](g(x)) 2= f ′ (x)g(x)−f(x)g ′ (x)(g(x)) 2• Misalkan n ∈ N maka D x [x −n ]=−nx −n−1Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Aturan Turunan Fungsi Trigonometri:• D x [sin x] =cosx (buktikan !) D x [cos x] =− sin x• D x [tan x] =sec 2 xD x [cot x] =− csc 2 x• D x [sec x] =secx tan x D x [csc x] =− csc x cot xSoal-soal:1. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikuta. f(x) = √ 2x 2 b. f(x) = x2 −x+1x 2 +12. Cari persamaan garis singgung terhadap y = 1x 2 +1 di titik (1, 1 2 )3. Tentukan titik 2 pada grafik y = 1 3 x3 + x 2 − x yang kemiringan garissinggungnya bernilai 14. Tentukan pers. garis singgung pada y =4x − x 2 yang melalui (2, 5).5. Seekor lalat merayap dari kiri ke kanan sepanjang kurva y =7− x 2 .Seekor laba-laba menunggunya di titik (4, 0). Tentukan jarak antarakeduanya pada saat pertama kali saling melihat.6. Tunjukkan kurva y = √ 2sinx dan y = √ 2cosx berpotongan tegaklurus pada 0

Contoh: TentukanD x [sin(x 3 − 3x)].Pandang y =sin(u) dengan u = x 3 − 3x, makaD x [sin(x 3 − 3x)] = D x [y] =D u [y] D x [u]=cos(u)(3x 2 − 3) = cos(x 3 − 3x)(3x 2 − 3)Aturan rantai bersusun: Misalkan f = f(u),u= u(v), dan v = v(x)maka dfdx = dfdududvdvdx = D u[f] D v [u] D x [v]Contoh: TentukanD x [sin 3 (x 3 − 3x)].Pandang y = u 3 , u =sin(v), danv = x 3 − 3x, makaD x [sin 3 (x 3 − 3x)] = D x [y] =D u [y] D v [u] D x [v]=3u 2 cos(v)(3x 2 − 3)=3sin 2 (x 3 − 3x) cos(x 3 − 3x)(3x 2 − 3)Hati 2 dengan notasi f ′ :Mis. f = f(u) dan u = u(x), maka notasi f ′ berarti dfdfdu, bukandx .Ilustrasi: f(x 2 )=sin(x 2 ).Disini u = x 2 dan f ′ =cos(x 2 ),tetapi dfdx =cos(x2 )2xSoal-soal:1. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut:( ) 4xa. y =2 −1d. y =sin 3 (cos x 3 )x+4( ) 3sin xb. y =e. y = sin(cos 2 x 3 )cos(2x)c. y =sin 3 (cos x)f. y = sin(cos(sin 2x))2. Sisi sebuah kubus bertambah dengan laju 16 cm/menit.a. Cari laju pertambahan volumenya pada sat sisinya 20 cm.b. Cari laju perubahan luas permukaannya saat sisinya 15 cmWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

3. Perhatikan gambar roda-piston di samping. Roda berputarberlawanaan jarum jam dengan laju 2 rad/detik. Pada saatt =0, P berada di posisi (1, 0).a. Tentukan kedudukan titik P setiap saat.b. Tentukan ordinat dari titik Q setiap saat.c. Tentukan kecepatan gerak titik Q.4. Dua buah kapal bertolak dari titik yang sama. KapalA bergerak ke timur dengan laju 20 km/jam. Kapal Bbergerak ke utara dengan laju 12 km/jam. Seberapa cepatmereka berpisah setelah 3 jam?5. Garis singgung terhadap kurva y = x 2 cos(x 2 ) di x = √ πakan memotong sumbu-x di posisi berapa?Turunan tingkat tinggi:Misalkan f(x) sebuah fungsi dan f ′ (x) turunan pertamanya.Turunan kedua dari f adalah f ′′ (x) =Dx 2[f] =d2 f f= lim′ (x+h)−f ′ (x)dx 2 h→0hDengan cara yang sama turunan ketiga, keempat dst. diberi notasi:f ′′′ (x) =D 3 x [f] =d3 fdx 3 ,f(4) (x) =D 4 x [f] =d4 fdx 4 , ···Salah satu penggunaan turunan tingkat tinggi adalah pada masalah gerakpartikel. Bila S(t) menyatakan posisi sebuah partikel, maka kecepatannyaadalah v(t) =S ′ (t) dan percepatannya a(t) =v ′ (t) =S ′′ (t).Contoh: 1. Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-x dengan posisitiap saat S(t) =t 3 − 12t 2 +36t − 30.a. Kapan kecepatannya nol? b. Kapan kecepatannya positif ?c. Kapan dia bergerak mundur? d. Kapan percepatannya positif?e. Ilustrasikan gerak partikel tersebut2. Cari rumus umum turunan ke n dari y = 11−x .Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Pendiferensialan Implisit:Perhatikan grafik dari y 3 +7y = x 3 .Akan dicari persamaan garis singgungnyayang melalui titik (2, 1).Masalah: bagaimana mencaripersamaan tersebut ?dydxdariSebuah fungsi dikatakan berbentuk implisit bila berbentuk F (x, y) =0.Pada bentuk ini, variabel x dan y tercampur dalam suatu ekspresi.Contoh: (a.) y 3 +7y − x 3 =0 (b.) sin(xy)+xy 3 − 5=0Prinsip: Perhatikan bentuk implisit F (x, y) =0. Untuk mencariturunkan kedua ruas terhadap x dengan mengingat bahwa y = y(x).dUntuk mencari2 y, kita pandang turunan pertama sebagai G(x, y, y ′ ),dx 2lalu turunkan terhadap x dengan mengingat y = y(x) dan y ′ = y ′ (x).dydx ,Soal-soal:1. Carilah dydx dan d2 ydaridx 2a. y 3 +7y − x 3 =0b. x 3 y 4 − 1=0c. y = √ sin(xy 2 )d. y2x 3 − 1=y 3 22. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal (garis yang ⊥thd garis singgung) terhadap y 3 − xy 2 +cos(xy) =2di titik (0, 1).3. Tunjukkan hiperbola 2 xy =1dan x 2 − y 2 =1berpotongan ⊥.Sifat: Bila r ∈ Q maka D x [x r ]=rx r−1 (buktikan!)Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Diferensial dan Aproksimasi:Pikirkan: Bagaimanakah orang menghitung nilai sin(31 0 ),Apakah data yang ada di tabel 2 nilainya eksak?√ 4, 1 dll ?Perhatikan grafik di samping kiri.Koordinat titik P =(x 0 ,y 0 )x 0 ,x∈ D f . Sebut ∆x = x − x 0 .Diferensial dari variabel/peubah bebas x,dx =∆x = x − x 0sedangkan ∆y = f(x) − f(x 0 )Diferensial dari peubah tak bebas y adalah: dy = f ′ (x 0 ) dxAmati dan pahami arti geometri (lihat gambar) dari pengertian 2 tersebut!Secara geometri kita lihat bila titik x 0 dan x semakin dekat maka perbedaan∆y dan dy akan semakin kecil. Hal ini mendasari hampiran berikut:f(x 0 +∆x) − f(x 0 )=∆y ≈ dy = f ′ (x 0 ) dxContoh: Tentukan √ 3.9 dengan menggunakan hampiran diferensial.Bentuk f(x) = √ x dan tetapkan x 0 =4.f ′ (x) = 12 √ x , jadi f ′ (x 0 )=f ′ (4) = 1 4f(x) − f(x 0 ) ≈ f ′ (x 0 )(x − x 0 )f(x) ≈ f(x 0 )+f ′ (x 0 )(x − x 0 )Pada x =3, 9 diperoleh √ 3.9 =f(3, 9) ≈ f(4)+f ′ (4)(3, 9−4)√ 3, 9 ≈ 2 −1(−0.1) = 1, 9754Perhatikan: Pada hampiran diferensial titik x 0 selalu dipilih supaya nilaif(x 0 ) mudah dihitung.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Soal-Soal:1. Gunakan hampiran diferensial untuk menaksir nilai sin( 31180 π).2. Dari pengukuran diperoleh rusuk sebuah kubus 11,4 cm dengan galat/ kesalahan±0,05 cm Hitung volume kubus dan taksir kesalahannya.3. Limit berikut merupakan suatu turunan. Tentukan fungsi asalnya dan turunannya(menggunakan aturan turunan).3(2+h)a. lim2 −2(2) 23/p−3/xc. limh→0hp→x p−xtan(b. limπ 4 +∆x)−1∆x→0∆xd. limx→π2sin x−1x− π 24. Gambarkan sebuah fungsi f yang memenuhi semua kriteria berikut:• Daerah definisinya D f =[−2, 3]• f(−2) = f(−1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = 1• f kontinu di D f kecuali di −2, −1, 1• lim f(x) = lim f(x) =2,dan lim f(x) = 1x→−1− x→1+x→1 − 2• f tidak memiliki turunan di 0 dan 2.5. Sebuah kotak baja berbentuk kubus, tebal dindingnya 0,25 cm dan volumenya 40cm 3 . Gunakan diferensial untuk mengaproksimasi volume bahannya.6. Sebuah bak berbentuk kerucut terbalik diisi air dengan laju 8 dm 3 /menit. Bilatinggi kerucut 12 dm dan jari-jari atasnya 6 dm, tentukan laju permukaan air naikpada saat tinggi air 4 dm.7. Pada tengah hari, sebuah pesawat terbang ke utara melewati kota Bandung dengankecepatan 640 km/jam. Pesawat kedua bergerak ke timur dan melintasiBandung 15 menit kemudian. Bila keduanya terbang dengan ketinggian yangsama, seberapa cepat mereka berpisah pada saat Pk 13.158. Sebuah tongkat panjang 20 dm bersandar di dinding. Ujung bawah tongkat ditariksepanjang lantai menjauhi dinding dengan kecepatan 2 dm/detik. Pada saat ujungbawahnya berjarak 4 dm dari dinding, seberapa cepat ujung tangga atas bergesermenuruni dinding.9.Tangki di sebelah kiri (ukuran dalam dm) diisiair dengan laju 2 liter/menit. Seberapa cepatpermukaan air naik pada saat tinggi air 30 cm ?Petunjuk: Tunjukkan volume air pada kerucutterpotong dengan jari-jari alas a, jari-jari atas bdan tinggi h adalah V = 1 3 πh(a2 + ab + b 2 )Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Maksimum & Minimum Nilai Fungsi:Misalkan f sebuah fungsi dengan daerah definisi D f dan c ∈ D f .• f disebut mencapai maksimum di c bila f(c) ≥ f(x) ∀ x ∈ D f danf(c) disebut nilai maksimum.• f disebut mencapai minimum di c bila f(c) ≤ f(x) ∀ x ∈ D f danf(c) disebut nilai minimum.Titik di mana f mencapai maksimum/minimum disebut titik ekstrim.maksimum ada □ maksimum ada □ maksimum ada □minimum ada □ minimum ada □ minimum ada □Bila f kontinu dan D f berupa selang tutup [a, b] maka f mempunyaititik mempunyai titik maksimum dan minimumGrafik berikut menggambarkan kemungkinan tempat terjadinya ekstrim.Tempat-tempat kemungkinan terjadinya ekstrim (calon ekstrim):⎫• Titik ujung interval⎪⎬• Titik stasioner (titik dengan sifat f ′ (x) =0).Titik• Titik singular (titik di mana f tidak mempunyai turunan)⎪⎭ kritisWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Contoh 2 :1. Tentukan titk 2 ekstrim dari fungsi-fungsi berikut:a. f(x) =−2x 3 +3x 2 pada [− 1 2 , 2].b. f(x) =x 2 3 pada [−1, 2].2. Carilah dua buah bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasilkalinya maksimum.3. Carilah bilangan yang bila dikurangi kuadratnya bernilai maksimum.(bilangan tersebut berada diantara 0 dan 1, mengapa?).4.Sebuah kotak persegipanjang dibuatdari selembar kertas dengan memotongnyasisi-sisinya sepanjang x cmdan melipatnya. Tentukan x supayavolumenya maksimum.5. Kawat sepanjang 16 cm dipotong jadi dua bagian. Salah satu potongandibentuk jadi bujur sangkar dan potongan lainnya dibuat jadilingkaran. Berapa ukuran potongan tersebut agar:a. jumlah seluruh luasnya minimum.b. umlah seluruh luasnya maksimum.6. Sebuah kerucut dibuat dari potongan selembar lingkaran kertas berjarijari10 cm. Tentukan volume maksimum kerucut yang dapat dibuat.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Kemonotonan Grafik Fungsi:Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada interval I.• f disebut monoton naik pada I bila ∀ x 1

Seperti pada masalah ekstrim global, calon-calon ekstrim lokal adalah titiktitikkritis. Aturan berikut dipakai menentukan jenis titik kritis:Pengujian ekstrim lokal: Mis. fungsi f kontinupada interval buka (a, b) yang memuat titik kritis c.• Bila tanda f ′ (x) berubah dari negatif ke positifdisekitar c, makac titik minimum lokal• Bila tanda f ′ (x) berubah dari positif ke negatifdisekitar c, makac titik maksimum lokal• Bila tanda f ′ (x) dikiri dan kanan c sama dan≠0, maka, maka c bukan titik ekstrim lokal⎫⎪⎬⎪⎭Perhatikanilustrasigrafikdi bawahDiskusi: Apakah titik ekstrim global termasuk ekstrim lokal ?Contoh: Tentukan titik-titik ekstrim lokal dari f(x) = x2 −2x+4x−2Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal:Mis. f ′ (x), f ′′ (x) ada pada (a, b) yang memuat c dan f ′ (c) =0, maka:• bila f ′′ (c) < 0 maka c adalah titik maksimum lokal.• bila f ′′ (c) > 0 maka c adalah titik minimum lokal.=⇒ Uji terakhir ini kurang berguna karena hanya berlaku untuk titik stasionerContoh: Tentukan titik-titik ekstrim lokal dari f(x) = x2 −2x+4x−2Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Kecekungan dan Titik Balik/Belok:Misalkan f fungsi yang terdiferensialkan pada interval I yang memuat c.• f disebut cekung ke atas bila f ′ monoton naik.• f disebut cekung ke bawah bila f ′ monoton turun.• Titik c disebut titik balik/belok bila terjadi perubahan kecekungan dikiri dan kanan c.Pengujian kecekungan: Mis. fungsi f terdiferensial dua kali padainterval buka (a, b).}• Bila f ′′ (x) > 0 maka f cekung ke atas.Buktikan !• Bila f ′′ (x) < 0 maka f cekung ke bawah.Contoh: Tentukan kecekungan dan titik balik dari(b) f(x) =x 3 (b) f(x) = 13x 2/3(c) f(x) = x2 −2x+4x−2Soal-soal:1. Cari (jika ada) titik-titik ekstrim dari(a) f(x) =x 4 − 4x (b) f(x) = xx 3 +22. Sebuah surat akan diketik pada kertas denganbatas-batas seperti pada gambar di samping.Bila luas tulisan 50 cm 2 ,Berapaukuranx dany supaya luas kertas seminimum mungkin.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

3. Anton berada di perahu dayung 2 km dari titik terdekat B pada sebuahpantai. Ia melihat rumahnya yang terletak di pantai, 6 km dari titik B,sedang terbakar. Bila Anton dapat mendayung dengan laju 6 km/jamdan berlari 10 km/jam, Tentukan jalur yang harus diambilnya supayasecepat mungkin sampai di rumah.4. Tentukan ukuran sebuah tabung lingkaran tegak yang volumenya sebesarmungkin yang dapat ditempatkan di dalam sebuah kerucut berukurantinggi a cm dan jari-jari alas b cm.5. Pagar setinggi h meter berdiri sejajarsebuah gedung tinggi, sejauh w meterdarinya. Tentukan panjang tangga terpendekyang dapat dicapai dari tanah di seberangpuncak pagar ke dinding bangunan.6.Secarik kertas berbentuk persegi panjang denganlebar a, salah satu sudutnya dilipat seperti padagambar di samping kiri. Tentukanlah x agar:(a) Luas segitiga BCD maksimum.(b) Luas segitiga ABC minimum.(c) panjang z minimum.7.Prinsip Fermat dalam optik mengatakanbahwa cahaya melintas dari titik A ke Bsepanjang jalur yang memerlukan waktutersingkat. Misalkan cahaya melintas dimedium satu dengan kecepatan c 1 dan dimedium kedua dengan kecepatan c 2 .Perlihatkanbahwa sin αc 1= sin βc 2Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Garis y = ax + b disebut asimptot miringterhadap fungsi f bila memenuhi salah satu dari:(a) lim f(x) − (ax + b) =0 ilustrasi −→x→∞(b)limx→−∞f(x) − (ax + b) =0Menentukan asimptot miring:a. Hitung limx, bila hasilnya takhingga atau nol maka asimptotmiring tidak ada, bila berhingga dan tak nol maka hasilnya a.x→∞f(x)b. Hitung limx→∞(f(x)−ax), bila hasilnya nol maka asimptot miring tidakada, bila bukan nol maka hasilnya adalah b.c. Lakukan langkah (a) dan (b) untuk x →−∞.=⇒ Jelaskan mengenai prosedur di atas!Contoh: Tentukan semua asimptot dari f(x) = x2 −2x+4x−2Menggambar Grafik Fungsi:Langkah-langkah menggambar grafik dari sebuah fungsi f:• Tentukan daerah definisinya• Tentukan (jika mudah) perpotongan f dengan sumbu-sumbu koordinat• Periksa kesimetrian grafik, apakah fungsi ganjil atau genap.• Dengan uji turunan pertama, tentukan daerah kemonotonan dan titiktitikekstrim lokal & global.• Dengan uji turunan kedua, tentukan daerah kecekungan dan titik-titikbaliknya.• Tentukan asimptot-asimptot dari f.• Sketsakan grafik f.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Contoh: Sketsakan grafik (a) f(x)=3x5 −20x 332(b) f(x) = x2 −2x+4x−2Teorema Nilai Rata-Rata:Misalkan f kontinu pada [a, b] dan terdiferensial di (a, b), maka terdapattitik c ∈ (a, b) dengan sifat: f ′ (c) = f(b)−f(a)b−a(lihat ilustrasi di bawah).Contoh: Cari titik c yang memenuhi teorema nilai rata-rata terhadap:(a) f(x) =2 √ x pada [1, 4] (b) f(x) =x 2/3 pada [−8, 27]Soal-soal:1. Tentukan limit-limit berikut:3−2xa. limx→∞ x+53xb. lim√ x+3x+1x→∞ x 2 −x+11c. limx→∞2x+1 √x 2 +3d. limx→−∞2x+1 √x 2 +3e. limx→∞( √2x2+3− √ 2x 2 − 52. Tentukan asimptot-asimptot dari :a. f(x) = 2xx−3)f. limx→−∞3+xg. limx→3 + 3−x3+xh. limx→3 − 3−x9x 3 +1x 2 −2x+21+cos xj. limx→0 − sin xb. f(x) = 2x4 −3x 3 −2x−4x 3 −1Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

3. Buat sketsa grafik yang memenuhi semua kriteria berikut:• f kontinu diseluruh R• f(2) = −3, f(6) = 1• f ′ (2) = 0, f ′ (x) > 0 untuk x ≠2, f ′ (6) = 3• f ′′ (6) = 0, f ′′ (x) > 0 untuk 2

Anti Turunan/Integral Tak TentuDiketahui fungsi F (x) dan turunannyaF (x)x 2 +2x 2x 2 − 3F ′ (x)2x2x2xSecara umum jika F (x) =x 2 + c,dengan c ∈ R, berlaku F ′ (x) =2xPada bagian ini akan dipelajari proses kebalikan dari turunan.Diberikan F ′ (x) =x 2 , tentukan aturan F (x).Dugaan kita: F (x) =x 2 + c dengan c sebarang bilangan real.Apakah ada jawaban lain ?. Gunakan sifat berikut ini untuk menjawabnya:Sifat: Misalkan F dan G dua buah fungsi dengan sifat F ′ (x) =G ′ (x)maka terdapat konstanta c sehingga F (x) =G(x)+cFungsi F disebut anti turunan ∫ dari fungsi f,dinotasikan A(f) atau f(x) dx bila F ′ (x) =f(x)Gambar di samping memperlihatkan anti turunandari f(x) =2x (kurva berwarna merah). Antiturunannya adalah f(x) =x 2 + c yaitu kurvakurvaberwarna hijau.Sifat-sifat:Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

∫1. Misalkan r ∈ Q, r≠ −1 maka x r dx = xr+1r +1 + c∫2. Misalkan r ∈ Q, r≠ −1 maka u r u ′ (x) dx = ur+1r +1 + c∫∫3. sin xdx= − cos x + c, cos xdx=sinx + c∫∫⎫4. kf(x) dx = k f(x) dx∫∫ ∫ ⎪⎬(f(x)+g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx Sifat linear∫∫ ∫(f(x) − g(x)) dx = f(x) dx − g(x) dx⎪⎭Contoh-contoh: Tentukan anti turunan berikut1. ∫ ( )4− 3 x 5 x dx 42. ∫ 4x 6 +3x 5 −8dxx 53. ∫ (5x 3 − 18) 7 15x 2 dx4. ∫ 3t 3√ 2t 2 − 1 dx5. ∫ sin 10 x cos xdx6. ∫ |x| dxPengantar Persamaan Diferensial (PD):Pada pasal sebelumnya kita telah mempelajari cara mencari sebuah fungsibila diketahui turunannya. Sekarang kita akan memperluasnya.Perhatikan masalah mencari fungsi y = F (x), bila turunannya F ′ (x)diberikan. Masalah ini dapat dituliskan dalam bentukdydx = F ′ (x) (1)Bentuk ini dinamakan persamaan diferensial. Secara umum, persamaandiferensial adalah persamaan yang melibatkan turunan fungsi.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Contoh 2 persamaan diferensial:y ′ +2xy =sin(x) y ′′ +3y ′ +4y − cos x =2 y ′′′ +3x 2 y ′ =2yMasalah: bagaimana mencari fungsi y = F (x) yang merupakan solusi PD tersebut.Perhatikan kembali PD (1), solusinya adalah:∫y = F ′ (x) dx = F (x)+c c bilangan real sebarang (2)Secara geometris, masalah menyelesaikan persamaan diferensial dydx = F ′ (x)sama dengan masalah mencari lengkungan yang garis singgungnya di setiaptitik sudah diberikan.Isoklin (warna merah) dan beberapa kurva solusi (warna biru) dari dydx =2x.Metode Pemisahan VariabelSecara umum, tidak ada prosedur baku untuk mencari solusi persamaandiferensial. Untuk saat ini pembicaraan akan dibatasi pada persamaandiferensial yang sangat sederhana. Metode pencarian solusinya menggunakanmetode pemisahan variabel. Prinsip dari metode ini adalah mengumpulkansemua suku yang memuat peubah x dengan dx dan yang memuatpeubah y dengan dy, kemudian diintegralkan.Contoh: Tentukan solusi dari dydx = x +3x2 yang melalui (0, 1)y 2Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Jawab: Tulis sebagai y 2 dy = x +3x 2 dx∫∫y 2 dy =x +3x 2 dxy 33 = 1 2 x2 + x 3 + cy = 3 √12 x2 + x 3 + cSyarat melalui (0,1) menghasilkan c =1, jadi y = 3 √12 x2 + x 3 +1Catatan: Solusi PD yang masih memuat konstanta sebarang disebut solusiumum, sedangkan yang sudah diberi syarat tertentu sehingga konstantanyabisa ditentukan, disebut solusi khusus.Soal-soal:1. Tunjukan fungsi yang diberikan merupakan solusi PD ybs:a. y = √ 4 − x 2 dy,dx + x y =0b. y = A cos x + B sin x, y ′′ + y =02. Dari sebuah gedung yang tingginya 100 m, sebuah bola dilempar tegaklurus ke atas dengan kecepatan 200 m/det. Setelah meluncur ke atas,bola jatuh ke tanah. Bila percepatan gravitasi g m/det 2 ,• Cari kecepatan dan posisinya 4 detik kemudian ?• Berapa tinggi maksimum yang dicapai bola ?• Berapa waktu yang dibutuhkan sampai mencapai tanah ?3. Cari persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannyadua kali absisnya.4. Cari persamaan-xy dari kurva yang melalui (1,2) dan kemiringannyapada setiap titik adalah setengah kuadrat ordinatnya.5. Dapatkah PD y ′ + x 2 y − sin(xy) =0diselesaikan dengan metodepemisahan variabel ?Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Penerapan Ekonomi:Pabrik ’KeSeTrum’ yang dipimpin tuan TeKoTjai akan mengamati perilakupenjualan accu mobil menggunakan konsep turunan. Untuk itudimunculkan notasi-notasi sebagai berikut:• x : banyaknya accu yang terjual.• p(x) : harga satuan accu.Pikirkan, mengapa harga ini bergantung pada x.Pada pembahasan ini semua variabel diasumsikan kontinu.• R(x) : pendapatan total. R(x) =xp(x)• C(x) : biaya total (biaya tetap + biaya produksi)contoh a. C(x) =10.000 + 50x. biaya per unit 50b. C(x) =10.000 + 45x + 100 √ x. Biaya per unit 45x+100√ xx• P (x) : laba total. P (x) =R(x) − C(x) =xp(x) − C(x).Misalkan pabrik ’KeSeTrum’akan memproduksi2000 buah accu dan fungsi biayanya terlihat sepertigambar di samaping. Bila kemudian produksinyaakan dinaikkan sebanyak ∆x, berapakah pertambahanbiaya ∆C ? Untuk nilai ∆x

Soal-Soal:1. Misalkan C(x) = 8300+3, 25+40 3√ x. Cari biaya rata-rata tiap satuandan biaya marginalnya untuk x = 1000.2. Sebuah perusahaan memprediksi akan dapat menjual 1000 barang tiapminggu jika harga satuannya 3000. Penjualan akan meningkat sebanyak100 unit untuk tiap penurunan harga sebanyak 100. Jika xmenyatakan banyaknya barang yang terjual tiap minggu (x ≥ 1000),tentukana. fungsi harga p(x)b. banyaknya satuan barang dan harganya yang akan memaksimumkanpendapatan mingguan.c. pendapatan mingguan maksimum.3. Dalam menjual x satuan botol minuman, fungsi harga dan fungsi biayaproduksinya diberikan oleh p(x) =5, 00 − 0.002x dan C(x) =3, 00 + 1, 10x. Tentukan pendapatan marginal, biaya marginal dankeuntungan marginal. Tentukan tingkat produksi yang menghasilkanlaba maksimum.4. Perusahaan XYZ memproduksi kursi rotan. Produksi maksimum dalamsatu tahun adalah 500 kursi. Jika perusahaan itu membuat x kursi danmenetapkan harga jual satuannya px) = 200 − 0, 15x, biaya tahunannyaC(x) = 4000 + 6x − 0, 001x 2 . Tentukan tingkat produksi yangmemaksimumkan laba.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Notasi Sigma (Σ)Notasi ini digunakan untuk menyingkat penulisan suatu ’jumlahan’:n∑a 1 + a 2 + a 3 + ···+ a n = dengan a i ∈ RDengan notasi tersebut, maka berlaku sifat-sifat berikut:∑• n n∑1=... c = ...i=1i=1∑• n ∑⎫⎪ca i = c n ⎬a iSifat linear⎪ ⎭i=1i=1∑• n ∑(a i ± b 1 )= n ∑a i ± ni=1i=1b ii=1i=1Perhatikan jumlahan S n =1+2+3+···+ nn 1 2 3 4 5 6 ...S n 1 3 6 10 15 21 ...S nn1 3 22 5 7232...Jadi S nn= n+1 atau S2 n = n(n+1)2disusunmenjadiBeberapa Jumlah Khusus (hafalkan):n∑1. i =1+2+3+···+ n = n(n+1)22.3.i=1n∑i=1i 2 =1 2 +2 2 +3 2 + ···+ n 2 = n(n+1)(2n+1)6n∑i 3 =1 3 +2 3 +3 3 + ···+ n 3 =i=1Contoh: Tentukan nilai daria in 1 2 3 4 5 6 ...S n 1 3 6 10 15 21 ...S n 2 3 4 5 6 7n 2 2 2 2 2 2...[ ] 2 n(n+1)2n∑[(i − 1)(4i + 3)]i=1Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Luas Daerah di Bidang:Archimedes (± 2000 tahun yang lalu) :A(P n ) ≤ L (Luas Lingkaran) sehingga limn→∞A(P n )=π ≤ LL ≤ A(T n ) sehingga L ≤ limn→∞A(T n )=πKesimpulan: Luas lingkaran dengan jari 2 satu adalah πWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Perhatikan sebuah keping tipis di bidang.Bagaimana cara menentukan luas keping tersebut?Pola yang dilakukan Archimedes ditirudengan cara menghampiri keping tersebut denganpersegipanjang-persegipanjang.10101088866644422200 1 2 3n=400 1 2 3n=800 1 2 3n=6410101088866644422200 1 2 3n=400 1 2 3n=800 1 2 3n=64Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar:Perhatikan daerah yangdibatasi oleh f(x) =x 2 ,sumbu-x, garis x =1dangaris x = 3. Misalkanluas daerah ini adalah K.Luas ini akan dihampiridengan poligon-poligonluar seperti pada gambardi samping.Partisikan interval [1, 3] atas n bagian, sama lebar.Lebar tiap subinterval ∆x = 3−1n= 2 nP :1=x 0

L(R n ) = f(x 1 )∆x + f(x 2 )∆x + f(x 3 )∆x + ···+ f(x n )∆xn∑= f(x i )∆x==lim L(R n)= 26n→∞ 3= 2 n= 2 n= 2 ni=1n∑x 2 i ∆xi=1n∑i=1(1+ 2inn∑i=1[ n∑i=1[) 22n(1+ 4in + 4i2n 2 )1+n + 4 nn∑i=14in∑n +n∑i + 4 n 2i=1= 2+ 8 n 2 n(n +1)2i=1]4i 2n 2]n∑i 2i=1+ 8 n 3 n(n + 1)(2n +1)6= 2+ 4(n2 + n)+ 4(2n3 +3n 2 + n)n 2 3n 3= 263 + 8 n + 43n 2Jelas K ≤ L(R n ) sehingga K ≤ limn→∞L(R n )= 26 3Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam:Perhatikan daerah yangdibatasi oleh f(x) =x 2 ,sumbu-x, garis x = 1dan garis x = 3. Misalkanluas daerah iniadalah K. Luas iniakan dihampiri denganpoligon-poligon dalamseperti pada gambar disamping.Partisikan interval [1, 3] atas n bagian, sama lebar.Lebar tiap subinterval ∆x = 3−1n= 2 nP :1=x 0

lim L(T n)= 26n→∞ 3Jelas L(T n ) ≤ K sehingga limn→∞L(T n )= 263 ≤ KDari hasil terakhir ini dan hasil di halaman 61 paling bawah, diperoleh:263 ≤ K ≤ 263Jadi K = 263Fenomena ini menunjukan bahwa perhitungan luas tidak bergantung padajenis poligon yang dipakai. Untuk n →∞keduanya memberikan hasilyang sama.Hampiran dengan poligon 2 luarHampiran dengan poligon 2 dalamLatihan: Ikutilah prosedur seperti contoh sebelumnya untuk menghitungluas daerah yang dibatasi oleh grafik-grafik berikut:(a) y = x 2 +1; x =0; x =2. (b) y = x 3 ; x =1; x =4.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Jumlah Riemann:Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada interval tutup [a, b].Partisikan interval [a, b] atas n bagian (tidak perlu sama lebar)P : a = x 0

Contoh:1. Tentukan suatu jumlah Riemann dari f(x) =x 3 +2x pada [1, 5].2. Tentukan suatu jumlah Riemann dari f(x) = x 2 +1 pada [−1, 2]memakai 6 subinterval sama lebar dan titik wakilnya adalah ujungkanan tiap subinterval.Integral Tentu:Misalkan f terdefinisi pada interval [a, b] dengan P, ∆x i dan x i mempunyaiarti seperti pada pembahasan sebelumnya. Tetapkan |P|, dibacaNorm P, sebagai panjang dari subinterval yang paling lebar.n∑Jika f(x i )∆X i ada maka disebut integral tentu/Riemannlim|P|→0i=1darif pada [a, b], dinotasikanDiskusi:∫ baf(x) dx = lim|P|→0• Benarkah : jika n →∞maka |P| → 0• Benarkah : jika |P| → 0 maka n →∞n∑f(x i )∆X ii=1Kesimpulan:Jika .....................maka∫ baf(x) dx = limn→∞n∑f(x i )∆X ii=1Arti Geometris Integral tentu:∫ baf(x) dx = Aatas − A bawahWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Sifat-sifat:1.∫ af(x) dx =0dan∫ b∫ af(x) dx = − f(x) dx Buktikan !aab2. (Sifat linear) Misalkan k konstanta, maka:∫ b• kf(x) dx = k∫ bf(x) dxaa∫ b• (f(x)+g(x)) dx =a∫ b• (f(x) − g(x)) dx =∫ b ∫ bf(x) dx + g(x) dxaa∫ b ∫ bf(x) dx − g(x) dxaa3. (Sifat penambahan selang) Misalkan f terintegralkan pada intervalyang memuat titik a, b, dan c, maka∫ bf(x) dx =∫ cf(x) dx +∫ bf(x) dxaa4. Jika f(x)

Perhatikan fungsi f(x) ={ 1x 2 x ≠01 x =0Sepanjang interval [−2, 2] fungsi ini tidak terintegralkansebab nilai f(x) tak terbatas disekitartitik nol.Sifat: Bila f terbatas dan kontinu (kecuali disejumlah berhingga titik)pada [a, b] maka f terintegralkan.Fungsi-fungsi berikut terintegralkan sepanjang [a, b]:• polinom• fungsi rasional (syarat penyebut tidak nol sepanjang [a, b])• fungsi sinus dan cosinus.Soal-soal:1. Dengan konsep limit jumlah Riemann, hitunglaha.∫ 2(2x 2 − 8) dx b.∫ 2[|x|] dx−12. Nyatakan limit berikut sebagai suatu integral tentua. limn→∞√ n∑ 4ini=14n−1b. limn→∞n∑(1+ 2i ) 2n ni=1Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Teorema Dasar kalkulus 1:Misalkan f kontinu di [a, b] dan F suatu anti turunan dari f, maka∫ bf(x) dx = F (b) − F (a)aContoh:∫ 2(a) (2x 2 − 8) dx (b)−1∫ 10x +1x 2 +2x +6 dx (substitusi u = x2 +2x +6)Pendiferensialan fungsi berbentuk integral:∫ xPerhatikan bentuk f(t) dt (a konstanta). Bentuk tersebut merupakanasebuah fungsi dengan variabel bebas ....Ilustrasi:∫ x3t 2 dt = t 3 | x 0 = x3 .Sifat berikut memberikan aturan mendiferensialkan fungsi seperti di atas.0⎡Teorema Dasar kalkulus 2: D x⎣∫ x⎤f(t) dt⎦ = f(x)aContoh: Tentukan turunan dari1. (a)∫ xsin √ tdt(b)∫ x2sin √ tdt(c)∫ x3sin √ tdt11−2xWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Teorema Nilai Rata 2 Integral:Jika f kontinu pada [a, b] maka terdapatbilangan c ∈ [a, b] sehingga∫ baf(x) dx = f(c)(b − a)Bila f fungsi genap maka∫ a∫ af(x) dx =2 f(x) dx−a0Bila f fungsi ganjil maka∫ a−af(x) dx =0Bila f fungsi periodik dengan periode p maka∫b+pa+pf(x) dx =∫ baf(x) dxSoal-soal Mandiri:1. Hitung nilai integral-integral berikut:a.∫ 32(x 3 − 3x 2 +3 √ x ) dx b.∫ 51( y 2 )− 1(y 3 − 3y) 2dy c.∫ 3−2[|x|] dx2. Carilah bilangan c yang memenuhi Teorema Nilai Rata 2 integral darixf(x) = √ sepanjang interval [0, 3]x2 +16Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

3. Misalkan f(x) =∫ x24. Misalkan f fungsi ganjil dengan01+tdt. tentukan daerah kemonotonan dari f.1+t2 ∫ 1f 2 (x) dx =1.Tentukan∫ 1(f 2 (x)+x 2 f(x)+f 3 (x) ) dx0−15. Tentukan f ′ (x) dari∫ x2(a) f(x) =sin(x) cos tdt (b) f(x) =∫ 1x 2√ u 2 +1du6. Tuliskan limn→∞1n∑( 1i=14+ 31 n) 23nsebagai integral tentu7. Gunakan Teorema Dasar kalkulus I untuk menghitung limn→∞xn∑i=1√4in4nWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

METODE NUMERIKMetode Numerik adalah prosedur 2 /teknik 2 /skema 2 yang digunakan untukmencari solusi hampiran dari masalah matematika memakai operasioperasialjabar (tambah, kurang, kali dan bagi), pangkat dan akar.Alasan pemakaian metode numerik:• Pencarian solusi eksak/ analitis sukar/tidak mungkin.• Jumlah hitungan yang dilakukan sangat besarIlustrasi: (a)∫ 21e x2 dx (b) Cari solusi x 2 =lnx (c) SPL ukuran besar.Solusi yang diperoleh dari suatu metode numerik selalu berupa hampiran/aproksimasi,tetapi ketelitiannya selalu dapat dikontrol/dikendalikan.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Pengintegralan NumerikPada perhitungan∫ baf(x) dx, umumnya ada tiga macam fungsi f(x):a. f(x) fungsi sederhana (anti turunannya mudah dicari)b. f(x) fungsi yang rumit (anti turunannya sukar/tidak mungkin dicari)c. f(x) hanya diketahui berupa tabulasi nilai (data hasil percobaan)Berikan contoh dari ketiga jenis integral tak tentu di atas !!Jenis (a) dapat diselesaikan secara analitis dan diperoleh hasil eksak, sedangkanjenis (b) dan (c) diselesaikan secara numerik sehingga hasilnyaberupa hampiran/aproksimasi.yy=f(x)abxPada pasal ini akan dibahas tiga buah metode numerik untuk hampiranintegral, yaitu: metode Persegi Panjang/Riemann, metodeTrapesium danmetode Simpson/Parabol.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Metode Persegi Panjang Kiri / Left Riemann Sum (LRS)Perhatikan integral tentu∫ baf(x) dx. Fungsi f(x) fungsi dapat bernilainegatif ataupun tak kontinu, asalkan titik diskontinuitasnya berhingga.yy=f(x)xx 0 x 1x i-1 x i x nGambar 1: Ilustrasi metode Persegi Panjang Kiri / Left Riemann SumPartisikan interval [a, b] atas n bagian, sama lebar:P : x 0 = a

Galat Metode LRS :∫ b(f(x) dx = [hf(x 0 )+hf(x 1 )+···+ hf(x n−1 )] + E n ,adengan E n = (b−a)22n f ′ (c), a ≤ c ≤ b .Contoh: Tentukan n agar galat hampiran LRS pada∫ 10e −x2 dx < 0, 0001.Metode Persegi Panjang Kanan / Right Riemann Sum (RRS)yy=f(x)xx 0 x 1x i-1 x i x nGambar 2: Ilustrasi metode Persegi Panjang Kanan / Right Riemann Sum∫ ba∫ x 1 ∫ x 2∫ x nf(x) dx = f(x) dx + f(x) dx + ···+ f(x) dxx 0 x 1 x n−1≈ hf(x 1 )+hf(x 2 )+···+ hf(x n )Hampiran ini disebut metode Persegi Panjang Kanan (Right RiemannSum).Galat Metode RRS : E n = − (b−a)22n f ′ (c), a ≤ c ≤ b .Contoh: Tentukan n supaya galat hampiran RRS terhadaphitung hampiran nilai integral tersebut.∫ 10e −x2 dx < 0, 0001, laluWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Metode Persegi Panjang Tengah / Midpoint Riemann Sum (MRS)yy=f(x)x 0x 1/2x 1x i-1Gambar 3: Ilustrasi metode Persegi Panjang Tengah / Midpoint Riemann Sumx i-1/2x ix nx∫ ba∫ x 1 ∫ x 2∫ x nf(x) dx = f(x) dx + f(x) dx + ···+x 0 x 1x n−1f(x) dx≈ hf(x 12 + hf(x 3 2 )+···+ hf(x n− 1 2 )Hampiran ini disebut metode Persegi Panjang Tengah (Midpoint Riemann Sum).Galat Metode MRS : E n = (b−a)324n 2 f ′′ (c), a ≤ c ≤ b .Contoh: Gunakan metode MRS untuk mengaproksimasitentukan batas galatnya.∫ 10e −x2 dx memakai n=6, danWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Metode Trapesiumyy=f(x)x 0 x 1xx i-1 x i x nGambar 4: Ilustrasi metode TrapesiumPartisikan interval [a, b] atas n bagian, sama lebar:P : x 0 = a

Metode Simpson (Parabol)]Gambar 5: Ilustrasi metode Simpson/ParabolPartisikan interval [a, b] atas n bagian (n genap):P : x 0 = a

Perhitungan Luas Daerah/Keping:Perhatikan keping yang dibatasi olehfungsi positif f(x), garis x = a, garisx = b dan sumbu-x. Akan dihitung luaskeping tersebut memakai konsep integral.Bentuk partisi P : a = x 0

Jadi luasnya L =∫ b|f(x)| dx.Bagaimana bila fungsi f memuat bagiannegatif (lihat ilustrasi). Prinsip menghitungluas daerahnya sama saja denganilustrasi sebelumnya, hanya nilai fungsi fharus dihitung positif.aUntuk menghindari tanda mutlak biasanya dihitung sbb:∫ c ∫ d∫ bL = L I + L II + L III = f(x) dx + (−f(x)) dx + f(x) dxacdPerhatikan bentuk keping yang lebihumum dengan batas-batas: fungsi f(x),fungsi g(x), garis x = a dan garis x = b.Prinsip dasar: gambarkan elemen luasnyalalu tentukan panjang dan lebar darielemen tersebut.Luas elemen integrasi: ∆L i =[f(x i ) − g(x i )] ∆x i .Luas daerah seluruhnya: L =∫ ba[f(x) − g(x)] dx.Alternatif lain dari keping di bidang adalah sepertipada gambar di samping kiri. Keping ini dibatasioleh grafik x = f(y), garis y = c, garisy = d,dan sumbu-y. Pada kasus ini partisi dibuat padasumbu-y sepanjang [c, d]:P : c = y 0

Luas elemen integrasi: ∆L = f(y i )∆y i dengan ∆y i = y i − y i−1 .Luas daerah seluruhnya : L =∫ dcf(y) dy.Pada gambar-gambar di halaman berikutnya, lakukanlah sebagai berikut:• Nyatakanlah batas-batas daerah yang dimaksud• Gambarkan elemen integrasi untuk menghitung luas daerahnya.• Tuliskan rumus elemen luasnya.• Tuliskan rumus luasnya sebagai integral tentu.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Soal-Soal:1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik-grafik y = x +6, y =x 3 ,dan2y + x =02. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = √ x, sumbu-y,garis y =0dan garis y =13. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dengan kecepatan v(t) =3t 2 − 24t +36.Tentukanperpindahan dan jarak tempuh keseluruhanselama interval waktu −1 ≤ t ≤ 9.4. Misalkan y = 1 x 2 untuk 1 ≤ x ≤ 6a. Hitung luas daerah di bawah kurva tersebut.b. Tentukan c sehingga garis x = c membagi daerah tersebut atas duabagian dengan luas sama.c. Tentukan d sehingga garis y = d membagi daerah tersebut atasdua bagian dengan luas samaWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Volume Benda yang Luas Irisan Penampangnya DiketahuiPerhatikan gambar sebuah benda pejal di atas. Benda tersebut terletaksepanjang interval [a, b]. Luas irisan penampang benda tersebut pada setiapposisi x adalah A(x) (diketahui). Akan dihitung volumenya.Partisikan interval [a, b]: P : a = x 0

2. Alas sebuah benda adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-x dangrafik y =sinx, 0 ≤ x ≤ π. Penampang yang tegak lurus sumbu-xberbentuk segitiga sama sisi. Tentukan volumenya.3. Alas sebuah benda adalah suatu daerah R yang dibatasi oleh y = √ xdan y = x 2 . Tiap penampang dengan bidang yang tegak lurus sumbuxberbentuk setengah lingkaran dengan garis tengah yang melintasidaerah R. Tentukan volume benda tersebut.4.Tentukan volume irisan dua buah silinderberjari-jari satu seperti pada gambardisamping. Petunjuk: penampangmendatar dari benda tersebut berbentukbujur sangkar.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Volume Benda Putar: Metode Cakram dan CincinPerhatikan sebuah keping yang dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x) ≥ 0,sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b (gambar sebelah kiri). Keping inidiputar terhadap sumbu-x sehingga terbentuk gambar di sebelah kanan.Dengan menggunakan konsep integral Riemann, akan dihitung volumenya.Bentuk partisi P : a = x 0

4. Daerah diantara grafik y = x 2 dan y = √ 8x diputar terhadap sumbu-y.5. Daerah yang dibatasi oleh grafik y = √ x, garis x =4dan sumbusumbukoordinat diputar terhadap garis x = −1.6. Daerah yang dibatasi oleh grafik y = √ x, garis x =4dan sumbusumbukoordinat diputar terhadap garis y =5.7. Daerah diantara y = x 2 dan y = √ 8x diputar terhadap garis y = −2.8. Daerah diantara y = x 2 dan y = √ 8x diputar terhadap garis x =3.Volume Benda Putar: Metode Kulit TabungMetode ini pada prinsipnya sama saja dengan metode cakram/cincin. Perbedaannyaadalah partisi dilakukan pada sumbu yang tegak lurus terhadapsumbu putar (lihat gambar berikut).Pada metode kulit tabung dipilih x i = x i−1+x i2.∆V i = πx 2 i f(x i) − πx 2 i−1 f(x i)∆V i = π (x 2 i − x2 i−1 )f(x i)∆V i = π 2 x i + x i−12(x i − x i−1 ) f(x i )∆V i =2π x i f(x i )∆x iVolume benda putar seluruhnya:∫ b2 πxf(x) dx.aBahas soal-soal pada pasal sebelumnya memakai metode kulit tabung.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

KerjaDefinisi: Kerja = Gaya × perpindahan,dinotasikan: W = F × dDefinisi di atas berlaku bila gaya dan perpindahannya berupa konstanta.Sekarang coba perhatikan dua ilustrasi berikut ini:Sebuah pegas ditarik sejauh d cm dari posisialamiahnya. Gaya yang diperlukan untukmenarik pegas tersebut tidak konstan.Semakin panjang pegas ditarik, gaya yangdiperlukan semakin besar. Jadi pada situasiini gaya yang bekerja tidak konstan.Sebuah bak kerucut terbalik berisi penuh air. Seluruhair tersebut dipompa sampai ke permukaanbak. akan dihitung kerja yang dilakukan. Padamasalah ini kita lihat perpindahan komponen airberbeda-beda, air dekat permukaan atas hanyaberpindah sedikit, sedangkan yang dibagian bawahpindah lebih jauh. Jadi pada masalah ini perpindahannyatidak konstan.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Untuk menghitung kerja secara umum, perhatikan sebuah benda yang ditarikoleh gaya F (x) dan berpindah dari x = a sampai x = b (lihat gambarpaling atas pada halaman 86).Partisikan interval [a, b] atas x 0 = a

Momen & Titik Berat/Pusat MassaDua buah benda masing-masing dengan massa m 1 dan m 2 dihubungkandengan sepotong kawat kaku dan ringan (massa kawat diabaikan). Posisimasing-masing benda adalah x 1 dan x 2 . Titik x adalah titik tumpuan agarkeadaan sistem setimbang. Dari hukum fisika:(x 1 − x) m 1 +(x 2 − x) m 2 =0Besaran (x i − x) m i disebut momen. Secara umum momen sebuah bendaterhadap sebuah titik/garis adalah massa × jarak benda terhadap titik/garistersebut.Sekarang perhatikan sistem n buah benda dengan massa m 1 ,m 2 , ···,m nyang dihubungkan oleh kawat ringan sepanjang sumbu-x sbb.:Dimanakah titik tumpuan x harus diletakkan agar sisyem menjadi setimbang.Menurut hukum fisika, agar setimbang maka momen total bendaterhadap titik x harus bernilai nol. Jadi:(x 1 − x) m 1 +(x 2 − x) m 2 + ···+(x n − x) m n =0n∑x i m ii=1Bila kita susun diperoleh: x = n∑Titik x disebut titik beratBesaran m =Besaran M =m ii=1n∑m i disebut massa total benda.i=1n∑x i m i disebut momen total benda terhadap titik 0.i=1Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Contoh: Massa sebesar 4, 2, 6 dan 7 pon diletakkan pada posisi 0, 1, 2dan 4. Tentukan titik berat dari sistem tersebut.Titik Berat Kawat/Benda Satu DimensiPerhatikan sepotong kawat yang diletakkan sepanjang sumbu-x pada posisix = a sampai x = b. Bila rapat massa benda tersebut homogen makatitik beratnya terletak ditengah-tengah kawat, x = a+b2. Sekarang akanditinjau kasus di mana rapat massa benda tidak homogen. Misalkan rapatmassanya adalah δ(x).Bentuk partisi P : x 0 = a

Distribusi Massa Pada BidangPerhatikan n buah benda denganmassa m 1 ,m 2 , ···,m n yang terletakdi bidang dengan koordinat(x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ), ···, (x n ,y n ).Misalkankoordinat titik beratnya adalah (x, y).(Perhatikan bahwa x adalah jarak titikberat ke sumbu-y dan y adalah jaraktitik berat ke sumbu-x)x = M ym ,y = M n∑xm , m =i=1m i} {{ }massa total, M y =n∑x i m ii=1} {{ }momen thd sb-y, M x =n∑y i m ii=1} {{ }momen thd sb-xContoh: Lima buah benda dengan massa 1, 4,2, 3, dan 6 gram terletakpada koordinat (6, −1), (2, 3), (−4, 2), (−7, 4) dan (2, −2). Tentukan titikberatnya (pusat massanya).Pusat Massa Keping HomogenPerhatikan sebuah keping homogenseperti pada gambar di samping.Partisikan interval [a, b] danperhatikan subinterval [x 1−1 ,x i ].Tetapkan x i titik tengah antara x i−1dan x i . Bentuk persegi panjangseperti pada gambar di samping.Pusat massa persegipanjang tersebut terletak pada perpotongan diagonalnya(lihat gambar). Misalkan rapat massa keping adalah δ (konstanta),Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

maka:∆m = δ (f(x i ) − g(x i )) ∆x i∆M y = xδ (f(x i ) − g(x i )) ∆x i∫ bm = δ (f(x) − g(x)) dxa∫ bM y = δ x (f(x) − g(x)) dx∆M x = f(x i)+f(x i )2δ (f(x i ) − g(x i )) ∆x i M x = δ 2a∫ ba(f 2 (x) − g 2 (x) ) dxPusat massanya (x = M ym , y = M x). Pusat massa keping homogen inimtidak bergantung pada rapat massa δ, dan biasa disebut sentroid.Catatan: Perhitungan pusat massa untuk keping tak homogen memerlukankonsep integral lipat dua, akan dipelajari pada Kalkulus 2.Latihan:1. Tentukan sentroid keping yang dibatasi oleh y = x 3 dan y = √ x.2. Tentukan rumus sentorid untuk keping homogen yang dibatasi olehgrafik x = f(y), x = g(y), garis y = c dan garis y = d. Asumsikang(y)

Fungsi-Fungsi TransendenFungsi real secara umum dibagi atas dua kelas yaitu:• fungsi aljabar (polinom, fungsi rasional, akar, harga mutlak).• fungsi transenden, yaitu yang bukan fungsi aljabar (contoh sin x).Pada bagian ini akan dipelajari berbagai macam fungsi transenden disertaisifat-sifatnya.Fungsi Logaritma AsliPerhatikan fungsi∫ x1merupakan fungsi aljabar karena1t k dt dengan x>0, k ∈ Z, k ≠1. Fungsi tersebut∫ x1Untuk k =1, fungsi di atas berbentuk11−kt k dt = 1dt. Fungsi ini tidak dapat ditentukansecara eksplisit seperti di atas.∫ x11t( 1x k−1 − 1 ) .Fungsi logaritma asli, ditulis ln didefinisikan sbb. ln x =∫ x11t dt , x > 0Secara geometri, fungsi ln x dapat diilustrasikan sebagai berikut:Perhatikan daerah yang dibatasi f(t) = 1 , sumbu-x, t =1,dant = xtuntuk x>1,∫ x1∫x1t dt = Luas R untuk x

Berdasarkan teorema dasar Kalkulus 2, makaD x [ln x] = 1 xLatihan:1. Tentukan D x [ln √ x ]2. Tunjukkan D x [ln |x|] = 1 x , jadi diperoleh ∫ 1u3. Tentukan∫ 3−1x10 − x 2 dxdu =ln|u| + cSifat 2 :Misalkana dan b bilangan-bilangan positif dan r ∈ Q• ln 1 = 0• ln(ab) =lna +lnb• ln( a )=lna − ln bb• ln(a r )=r ln aGrafik Fungsi Logaritma AsliMisalkan f(x) =lnx, x > 0. Grafik memotong sumbu-x pada x =1f ′ (x) = 1 x> 0, jadi grafikselalu monoton naik.f ′′ (x) = −1 < 0, jadi grafikx 2selalu cekung ke bawah.⎫lim f(x) =−∞ ⎬x→0 +f(x) =∞ ⎭limx→∞lihat Purcell edisi 5, pasal 7.1soal-soal 39 dan 40.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Penurunan Fungsi dengan Bantuan Fungsi Logaritma Asli:Fungsi logaritma asli dapat digunakan untuk menyederhanakan proses perhitunganturunan fungsi yang memuat pemangkatan, perkalian dan pembagianseperti diilustrasikan berikut ini:Tentukan turunan dari fungsi y = √ 1−x 2Jawab:( √1−x )2ln y =ln(x+1) 2/3(x+1) 2/3ln y =ln (√ 1 − x 2) − ln(x +1) 2/3ln y = 1 2 ln ( 1 − x 2) − 2 3ln(x +1)Selanjutnya kita turunkan kedua ruas terhadap x1y y′ = 1 211−x 2 (−2x) − 2 31y ′ = y ( 12 1−x(−2x) − 2 2 3y ′ = √ 1−x 2(x+1) 2/3 ( 1211x+11x+1)1−x 2 (−2x) − 2 31x+1)Soal-Soal:1. Tentukan turunan dari:a. y =ln ( x 2 − 5x +6 )b. y = 1ln x +ln( )1x2. Tentukan integral-integral berikut:a. ∫ 42x+1 dxb. ∫ 4x+2x 2 +x+5 dxc. y =ln 3√ xd. y =ln(sinx)c. ∫ ln xxd.dx∫ 1x+1x 2 +2x+2 dx0[ 13. Hitunglah limn→∞ n +1 + 1n +2 + ···+ 12ndengan cara menyusun bagian dalam kurung siku sebagai:[11+1/n + 11+2/n + ···+ 11+n/n]1nlalu terapkan konsep integral tentu sebagai limit jumlah Riemann.]Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Fungsi Invers dan TurunannyaPada setiap grafik di atas, periksalah kebenaran pernyataan berikut:• Setiap satu titik x berpasangan dengan tepat satu titik y• Setiap satu titik y berpasangan dengan tepat satu titik xSebuah fungsi disebut fungsi satu-satu , bila untuk setiap titik y berpasanganhanya dengan satu titik x.fungsi f bersifat satu-satu ⇐⇒ f monoton murni (ilustrasikan)Misalkan f fungsi satu-satu. Kita definisikan fungsi baru, dinamakan fungsiinvers , disimbolkan f −1 ,denganaturan:f −1 (b) =a ⇐⇒ f(a) =bPerhatikan pada aturan fungsi di atas b ∈ R f dan a ∈ D f .Secara umum D f −1 = R f , dan R f −1 = D ff −1 (f(a)) = a dan f(f −1 (b)) = b• fungsi y = f(x) =x 3 mempunyai invers dengan aturan f −1 (y) = 3√ y• fungsi y = f(x) =x 2 tidak mempunyai invers (bukan fungsi satu-satu).Catatan: penulisan nama peubah/variabel pada fungsi invers tidak harus menggunakanhuruf y, boleh saja menggunakan sebarang simbol, misalnya f −1 (t) atau f −1 (x). Halyang perlu diperhatikan adalah formula dari aturan tersebut.Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Contoh-Contoh:1. Tunjukkan f(x) =x 5 +2x +1memiliki invers2. Tunjukkan f(x) =2x +6memiliki invers dan tentukan aturannya.3. Tentukan fungsi invers dari f(x) = x1−x .Menggambar Grafik Fungsi dan InversnyaMisalkan diberikan grafik dari fungsi f(x), kita akan menggambar grafikfungsi inversnya pada koordinat yang sama. Dengan demikian f dan f −1keduanya kita tuliskan dalam variabel yang sama, yaitu x.Prinsip: misalkan titik (a, b) pada grafik f(x), maka titik (b,a) beradapada grafik f −1 (lihat gambar di bawah, sebelah kiri).Dengan demikian grafik f −1 (x) dapat diperoleh dari grafik f(x) denganmencerminkannya (titik demi titik) terhadap garis y = x (gambar kanan).Turunan Fungsi InversAkan ditinjau hubungan turunan fungsi dengan turunan fungsi inversnya.Pada gambar di samping, diberikan garislurus f(x) yang melalui titik (a, b) dan(c, d). Fungsi invernya f −1 (x) adalah garislurus yang melalui titik (b, a) dan d, c).Gradien f di titik (a, b) adalah m 1 = b−da−c .Gradien f −1 di titik (b, a) adalah m 2 = a−cb−d = 1 m 1Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Dengan demikian, bila (a, b) pada grafik f maka (f −1 ) ′ (b) = 1f ′ (a)Sekarang kita perhatikan untuk fungsi sebarang f(x).Terhadap fungsi f, kemiringan garissinggung di titik (a, b) adalah kemiringangaris p, yaituf ′ (a). Terhadap grafik f −1 ,garis singgung singgung di titik (b, a) (garisq) merupakan cermin dari garis p terhadapgari y = x. Berdasarkan hasil di halamansebelumnya, maka (f −1 ) ′ (b) = 1f ′ (a) .Sifat: Misalkan (x,y) pada grafik fungsi f maka (f −1 ) ′ (y) = 1f ′ (x) .Soal-Soal:1. Tunjukkan f(x) = x3 +1x 3 +2 punya invers dan tentukan aturan f −1 (x).2. Tentukan (f −1 ) ′ (4) bika = f(x) =x 2 +2x +1.∫ x √3. Misalkan f(x) = 1+2t2 dt, x > 00a. Tunjukkan f(x) punya inversb. Jika f(2) = A, tentukan(f −1 ) ′ (A)Fungsi Exponen AsliPerhatikan kembali fungsi logaritma asli f(x) =lnx, x>0.f ′ (x) = 1 x> 0. Jadif fungsi monoton naik, sehingga mempunyai invers.Fungsi inversnya disebut fungsi exponen asli dan dinotasikan sbb.x = f −1 (y) =expy ⇐⇒ y = f(x) =lnxPerhatikan, di sini D f −1 = R f = R dan R f −1 = D f =(0, ∞)Sifat: (a.)exp(ln x) =x, x > 0 dan ln(exp y) =y, y ∈ RWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Pada gambar di samping disajikangrafik fungsi y =expx yang diperolehdari pencerminan grafiky =lnx terhadap sumbu-y = x.Untuk mengamati sifat-sifat lanjutdari fungsi exponen, kita definisikanbilangan baru, yaitu e yangbersifat ln e =1(lihat ilustrasi).e =2.71828182845904 ···Misalkan x ∈ R maka exp x =exp(x ln e) =exp(lne x )=e x .Dari sifat fungsi invers: e ln x = x, x > 0 dan ln(e x )=y, y ∈ RSifat-Sifat:• e a e b = e a+b edan a= e a−be b ∫• D x [e x ]=e x sehingga e u du = e u + cBukti: Misalkan y =lnx, makax =lnyD x [x] =D x [ln y]1= 1 y y′y ′ = yy ′ =lnxSoal-Soal1. Tentukan D x [e √x ] dan D x [x 2 ln x]2. Tentukan ∫ e −4x dx dan ∫ x 2 e −x3 dx3. Tentukan luas daerah yang dibatasi grafik y = e −x dan garis yangmelalui titik (0, 1) dan (1, 1 e ). Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Fungsi Eksponen UmumFungsi eksponen umum didefinisikan sebagai berikut:Misalkan a>0 dan x ∈ R, fungsi eksponen umum a x := e x ln aSifat-Sifat: 1. Misalkan a, b > 0 dan x, y ∈ R• a x a y = a x+y• axa y = a x−y• (a x ) y = a xy2. D x [a x ]=a x ln a∫3. a x dx = 1ln a ax + c• (ab) x = a x b x• ( )ab =a xb xContoh: (1) Tentukan D x [3 √x ](2) Tentukan∫ 22 x3 x 2 dxFungsi Logaritma UmumFungsi logaritma umum didefinisikan sebagai invers dari fungsi eksponenumum sebagai berikut:Misalkan a>0 dan a ≠1, y =log a x ⇐⇒ x = a ySifat: • log a x = ln xln aSoal-Soal:• D x [log a x]= 1x ln a1. Tentukan (a) D x [x x ] (b) D x [(x 2 +1) sin x ] (c) D x [(ln x 2 ) 2x+3 ]2. Tentukan (a) ∫ x 2 x2 dx (b)∫ 415 √ x√ xdx3. Misalkan f(x) = ax −1a x +1, a > 0,a≠1. Tunjukkan f(x) punya inversdan cari rumus untuk f −1 (x).4. Tunjukkan limh→0(1 + h) 1 h = eWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 20081

Masalah 2 Pertumbuhan dan Peluluhan EksponensialPada tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan berjumlah 4 · 10 9 orang.Salah satu model pertumbuhan mengatakan laju pertambahan pendudukberbanding lurus dengan jumlah penduduk saat itu (wajarkah model ini ?).Misalkan t menyatakan waktu dalam tahun, dengan t =0adalah tahun1975 dan y adalah jumlah penduduk saat t, makady= ky k=0, 0198 (konstanta, hasil statistik).dtKonstanta k dicari dari hasil sensus ditahun-tahun sebelumnya (jelaskan).Dengan menyelesaikan persamaan diferensial di atas, maka kita dapatmemperkirakan jumlah penduduk setiap saat.∫ ∫dydyy = kdt ⇐⇒ y = kdt ⇐⇒ ln |y| = kt + cKarena y selalu poistif maka tanda mutlak bisa dihilangkan, jadiln y = kt + c ⇐⇒ y = e kt+c ⇐⇒ y = e c e ktUntuk mencari nilai c, kita gunakan y(0) = 4 · 10 94 · 10 9 = e c e 0 , jadi e c =4· 10 9 .y =4· 10 9 e ktPrakiraan jumlah penduduk pada tahun 2004 (t =29) adalah:y =4· 10 9 e 0,0198·29 ≈ 7, 102837564.10 9Diskusi:Bila t besar sekali (t −→ ∞), menuju berapakah jumlah penduduk ?dengan demikian, wajarkan model pertumbuhan di atas ?Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Soal-Soal:1. Laju pembiakan bakteri adalah sebanding dengan jumlah bakteri saatitu. Jumlah bakteri pada Pk 12.00 adalah 10000. Setelah 2 jamjumlahnya menjadi 40000. Berapa jumlahnya pada pk 17.00 ?2. Akibat memancarkan sinar radioaktif, Karbon-14 meluluh (berkurangberatnya dengan laju sebanding dengan jumlah zat saat itu. Waktuparuhnya (waktu untuk mencapai setengah beratnya) adalah 5730 tahun.Bila pada saat awal terdapat 10 gram, berapakan beratnya setelah 2000tahun ?Tugas Mandiri: Pelajari model bunga majemuk (Purcell jilid 1 (terjemahan,Edisi 5 Pasal 7.5 halaman 403)Model Pertumbuhan Logistik (optional)Model pertumbuhan yang telah di bahas bukanlah model matematika yangideal, karena bila t membesar terus, jumlah individu menuju nilai ∞. Halini tentunya tidak realistik. Bila jumlah individu terlalu banyak sedangkanjumlah makanan terbatas tentunya yang mati akan banyak. Model yanglebih baik adalah model logistik sbb.:y ′ = ky(L − y),k, L konstantaDua grafik di bawah ini menjelaskan keadaan jumlah penduduk bila t membesar.Gambar sebelah kiri untuk keadaan awal yK.(Jelaskan!).Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Fungsi Trigonometri InversFungsi-fungsi trigonometri bukanlah fungsi satu-satu. Supaya fungsi inversnyadapat didefinisikan, maka daerah definisinya dibatasi (pada bagianyang monoton murni saja). karena fungsi-fungsi trigonometri bersifat periodik,pembatasan daerah definisinya diambil yang berada disekitar x =0.Fungsi Invers Sinusx =sin −1 y ⇐⇒ y =sinx dengan − π 2

Contoh: Hitunglah(a.) sin −1 ( √ 2/2) (c.) cos −1 ( √ 3/2) (e.) cos(cos −1 (0, 6))(b.) sin −1 (− 1 2 ) (d.) cos −1 (− 1 2 ) (f.) sin −1 (sin(3π/2))Fungsi Invers Tangensx = tan −1 y ⇐⇒ y = tan xD tan −1 = RR tan −1 =(−π/2,π/2)Fungsi Invers Secanx =sec −1 y ⇐⇒ y =secxD sec −1 =(−∞, −1] ∪ [1, ∞)R sec −1 =(0, π 2 ) ∪ (π 2 ,π)Sifat: sec −1 y =cos −1 ( 1 y )Sifat-Sifata. sin ( cos −1 x ) = √ 1 − x 2 (buktikan!)b. cos ( sin −1 x ) = √ 1 − x 2c. sec ( tan −1 x ) = √ 1+x 2d. tan ( sec −1 x ) { √− x2 − 1 x ≤−1=+ √ x 2 − 1 x ≥ 1(buktikan!)Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Turunan Fungsi Trigonometri Invers:a. D x [sin −1 x]=1√1 − x2−1

Fungsi-Fungsi Hiperbol dan InversnyaFungsi hiperbol dibentuk dari berbagai kombinasi fungsi exponen sbb:1. sinh x = 1 22. cosh x = 1 23. tanh x = sinh xcosh x(e x − e −x)(e x + e −x)4. coth x = cosh xsinh x5. sech x = 1cosh x6. csch x = 1sinh xDari definisi di atas, buktikanlah isi tabel berikut ini:sinh xcosh xdaerah definisi R Rsifat fungsi ganjil genapturunan fungsi cosh xsinh xkemonotonan naik turun di (−∞, 0)naik di (0, ∞)titik ekstrim tidak ada min. global di x =0kecekungan cekung ke bawah di (−∞, 0) cekung ke atascekung ke atas di (0, ∞)titik belok x =0 tidak adaWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Sifat-Sifat:• cosh 2 x − sinh 2 x =1• 1 − tanh 2 x =sech 2 x• 1 − coth 2 x = −csch 2 x• D x [tanh x] =sech 2 x• D x [sech x] =−sech x tanh xD x [coth x] =−csch 2 xD x [csch x] =−csch x coth xContoh: Tentukan(a)D x [cosh 2 (3x − 1)](b) ∫ tanh xdxWarsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Invers Fungsi Hiperbolx =sinh −1 y ⇐⇒ y =sinhxx =cosh −1 y ⇐⇒ y =coshx x ≥ 0x = tanh −1 y ⇐⇒ y = tanh xx =sech −1 y ⇐⇒ y =sechx x ≥ 0Sifat-Sifat:a. sinh −1 x =ln(x + √ x 2 +1)b. cosh −1 x =ln(x + √ x 2 − 1) x ≥ 1c. tanh −1 x = 1 2 ln ( )1+x1−x−1