Hamburan Kaon-Nukleon Dalam Model Pertukaran Hyperon

staff.fisika.ui.ac.id

Hamburan Kaon-Nukleon Dalam Model Pertukaran Hyperon

Lembar PersetujuanJudul Skripsi : Hamburan Kaon-Nukleon Dalam Model Pertukaran HyperonNama : Ryky NelsonNPM : 0303020678Skripsi ini telah diperiksa dan disetujuiDepok, 28 Juni 2007MengesahkanPembimbing IPembimbing IIDr. Agus SalamDr. Imam FachruddinPenguji IPenguji IIDr. Muhammad HikamDr. Anto Sulaksono


Kata MotivasiThe LORD is my strength and song, and he is become my salvation: he is myGod, and I will prepare him a habitation; my father’s God, and I will exalt him.The LORD is a man of war: the LORD is his name.(KJV Exodus 15:3)The LORD will perfect that which concerneth me: thy mercy, O LORD,endureth forever: forsake not the works of thine own hands.(KJV Psalm 138:8)Apapun juga yang kamu perbuat, perbuatlah dengan segenap hatimu sepertiuntuk Tuhan dan bukan untuk manusia.(ITB Kolose 3:23)iii


waktu yang diberikan kepada penulis untuk berdiskusi dan juga pengetahuanpengetahuannumerik serta komputasi yang sangat berguna dan berhargabuat penulis. Terimakasih juga untuk kesabarannya menunggu penulismengerti sedikit demi sedikit tentang komputasi serta untuk pelajaran tentangkerapihan dan ketekunan yang diberikan kepada penulis.4. Dr. Muhammad Hikam dan Dr. Anto Sulaksono sebagai penguji TugasAkhir serta juga untuk semua pengetahuan yang telah diberikan kepadapenulis selama kuliah di fisika.5. Semua dosen di departemen Fisika, khususnya kepada Dr. rer. nat. RosariSaleh (bu Ocha) untuk pengetahuan fisika dan nilai-nilai moral yang baikyang disharingkan ke penulis, juga kepada Dr. L. T. Handoko untuk pengetahuanfisika partikelnya dan juga untuk humor-humornya.6. Teman-teman Fisika 2003, khususnya Devi dan Kiat untuk dukungannyadan masukan-masukannya untuk membuat penulis tidak betah di peminatanini. Juga untuk teman-teman penghuni ’warnet’ Lab. Teori : Andhika,Victor, Bayu, Popo, dan Nowo.7. Teman-teman persekutuan dan RTB : Arman, Yudhis, Ardo (Thanks Dobuat motornya) dan banyak lagi yang tidak dapat disebutkan satu persatu.Terima kasih untuk kebersamaan dan persekutuannya selama di kampus ini.Juga kepada AAKK-ku terima kasih untuk dukungan dan semua doanya.Teruskan perjuangan kalian menikmati pengalaman-pengalaman yang indahdi kampus ini.8. Mba Ratna dan semua pegawai TU Fisika untuk bantuannya kepada penulisdalam mengurus administrasi di fisika.9. Semua teman-teman dan orang-orang yang tidak dapat disebutkan satupersatu yang telah mendukung penulis selama studi di kampus ini, terimakasih buat perhatian, dukungan semangat dan doa kalian.Semoga topik dalam karya tulis ini bisa terus dikembangkan di waktu kedepan untuk kemajuan fisika teori di Indonesia. Karya tulis ini tidaklah lepasv


AbstrakTelah dibuat model potensial kaon-nukleon (KN). Potensial ini diturunkandari diagram Feynman, berdasarkan reaksi pertukaran hyperon untuk orde yangterendah. Potensial yang dihasilkan difit terhadap data cross section total sehinggadiperoleh nilai konstanta kopling.Kata kunci: hamburan, persamaan Lippmann-Schwinger, diagram Feynman,potensial KN, hyperon.AbstractA Potential model is made for kaon-nucleon (KN) interaction. This Potentialis derived from Feynman diagram for hyperon exchange reaction of lowest order.This potential is fitted to total cross section to get the copling constant.Keywords: scattering, Lippmann-Schwinger equation, Feynman diagram, KNpotential, hyperon.vii


Daftar IsiKata MotivasiKata PengantarAbstrakDaftar IsiDaftar Gambariiiivviiviiix1 Pendahuluan 11.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Hamburan Dua Partikel Dalam Formulasi Tiga Dimensi 42.1 Kinematika Hamburan Dua Partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Persamaan Lippmann-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Matriks-G dan Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Model Interaksi KN 143.1 Diagram Feynman Untuk Interaksi KN . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Penurunan Interaksi KN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Potensial Efektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Perhitungan, Hasil dan Diskusi 244.1 Perhitungan Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24viii


4.2 Hasil dan Diskusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Kesimpulan dan Saran 29A Aljabar Dirac 30B Aturan Feynman 33C Pion Threshold 35D Perhitungan Numerik 38D.1 Integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38D.2 Penyelesaian Persamaan Lippmann-Schwinger . . . . . . . . . . . 40Daftar Acuan 42ix


Daftar Gambar2.1 Hamburan dalam kerangka Lab. dan kerangka P.M. . . . . . . . . 63.1 Diagram hamburan nukleon-nukleon . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Diagram orde terendah untuk hamburan kaon-nukleon . . . . . . 163.3 Diagram Feynman untuk hamburan KN dalam kerangka P.M. . . 173.4 Diagram-diagram Feynman yang berkontribusi dalam hamburankaon-Nukleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.1 Cross section total untuk hamburan K + p. Garis tebal menunjukkanhasil dari model yang melibatkan suku orde terendah. Garisputus-putus kecil menunjukkan hasil plot dengan set I, sedangkangaris putus-putus besar menunjukkan hasil plot dengan set III. . . 264.2 Plot data dengan menggunakan data eksperimen dan tiga set parameteryang diberikan oleh tabel 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . 27C.1 Proses tumbukan kaon dengan nukleon yang menghasilkan pionthreshold dalam kerangka Lab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35C.2 Proses tumbukan kaon dengan nukleon yang menghasilkan pionthreshold dalam kerangka P.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36x


Bab 1Pendahuluan1.1 Latar BelakangPertanyaan yang terus muncul hingga saat ini di dalam fisika nuklir adalah tentanginteraksi antar partikel-partikel hadron. Seperti yang kita tahu, partikelpartikelhadron seperti proton dan neutron bukanlah partikel yang benar-benardasar. Fisikawan telah mengidentifikasi bahwa partikel-partikel ini memiliki strukturdasar yang kini dikenal sebagai quark.Para Fisikawan saat ini berusaha menjelaskan tentang interaksi nuklir kuatdengan model yang menggunakan quark sebagai partikel elementer dan partikelmediasinya 1 . Teori dengan dasar model ini dikenal sebagai quantum chromodynamics(QCD). Teori ini cukup mudah diaplikasikan untuk sistem hamburanenergi tinggi (high energy physics). Namun, untuk sistem energi rendah dansedang (low and medium energy physics) teori ini cukup sulit diaplikasikan, karenauntuk energi yang semakin rendah kita perlu memperhitungkan lebih banyakproses (diagram). Kesulitan ini membuat para fisikawan berpikir untuk mengembangkanmodel lain yang tidak berdasarkan QCD, suatu model yang dapat diselesaikandengan lebih mudah. Beberapa model lain yang dikembangkan didasarkanpada teori meson dan chiral peturbation theory (ChPT). ChPT merupakan teoriyang mirip dengan QCD. Perbedaan yang mendasar antara teori ini dengan QCDadalah pada beberapa asumsi, antara lain yaitu menurut ChPT quark itu tidakbermassa.1 partikel mediasi (propagator) adalah partikel yang dipertukarkan di dalam intermediatestate ketika dua atau lebih partikel berinteraksi.1


Model interaksi nuklir kuat yang lebih tua dibandingkan model-model yangberdasarkan ChPT dan hingga saat ini masih sering digunakan para fisikawanadalah model yang berdasarkan pada teori meson. Teori ini (juga teori QCD)mengambil analogi dari teori quantum electrodymanics (QED). Menurut teorimeson diasumsikan meson sebagai parikel elementer di alam dan berperan sebagaipropagator.Berkembangnya pengetahuan di eksperimen fisika nuklir menunjukkan bahwabukan hanya parikel meson (boson) yang mungkin dipakai sebagai propagator.Ternyata dalam beberapa interaksi yang terjadi partikel jenis baryon 2 jugadimungkinkan untuk digunakan sebagai propagator. Saat ini teori meson telahberkembang menjadi hadron exchange model, yaitu model yang menggunakanhadron sebagai propagatornya. Dalam penelitian ini akan dibahas interaksi antarpartikel nuklir yang menggunakan model ini, yaitu interaksi antara partikelbaryon dengan meson dengan menggunakan hadron sebagai partikel mediasinya.1.2 Perumusan MasalahPenelitian terhadap interaksi hamburan kaon-nukleon (KN) menjadi kajian yangcukup menarik beberapa dekade terakhir ini. Hamburan KN cukup menarik untukditeliti karena merupakan fenomena yang ideal untuk mempelajari asal mulagaya nuklir nonresonan, selain itu penelitian terhadap interaksi KN diperlukanuntuk mendeskripsikan atom K − . Dalam penelitian ini dicoba dicari formulasidari potensial KN dengan hadron exchange model menggunakan aturan Feynmandan dengan menggunakan model di [1]. Hasil perhitungan observable, yaitu crosssection total, dibandingkan dengan data eksperimen untuk melihat keakuratanbentuk potensial ini dalam memproduksi data secara teoritik.Selain itu karena perhitungan kita juga menggunakan data energi tinggi makakami mempertimbangan untuk menggunakan teknik 3-D yang memakai basismomentum-helisitas sebagai basis perhitungannya [2].2 Baryon dan meson membentuk keluarga hadron, yaitu partikel-partikel yang dapat berinteraksimelalui gaya nuklir kuat.2


1.3 Metode PenelitianPenelitian dimulai dengan menurunkan bentuk potensial KN dari diagram reaksihamburan KN dengan menggunakan aturan Feynman. Di dalam menyusunamplitudo hamburan M digunakan model yang terdapat di [1]. Selanjutnyadilakukan perhitungan untuk mendapatkan elemen matriks-T sebagai solusi daripersamaan Lippmann-Schwinger (LS) dengan teknik 3-D. Dengan elemen matriks-T itu kita mencari observable hamburan.1.4 TujuanPenelitian ini bertujuan untuk menghasilkan suatu model potensial KN yangdapat diaplikasikan untuk proyek penelitian lain yang melibatkan hamburan KNdi dalamnya.3


Bab 2Hamburan Dua Partikel DalamFormulasi Tiga DimensiAda suatu hal yang selalu menarik untuk dipelajari oleh para fisikawan, yaitu :interaksi antar partikel. Interaksi antar partikel dapat dipelajari dengan mengkajiproses hamburan. Dalam bab ini akan dibahas secara ringkas tentang hamburandua partikel menurut mekanika kuantum.Dalam pengkajian proses hamburan secara analitik kita dapat menggunakandua teknik perhitungan yang saat ini cukup familiar, yaitu : teknik gelombangparsial (partial wave / P.W.) dan teknik tiga dimensi (3D). Teknik gelombang parsialadalah teknik yang menggunakan eigenstate momentum angular total sebagaibasis perhitungannya. Teknik ini cukup baik untuk perhitungan kasus hamburandengan energi rendah, mengingat karena gaya nuklir bersifat short range, sehinggauntuk energi rendah perhitungan terhadap beberapa momentum angular totalterendah sudah cukup memadai.Namun begitu, jika kita mencoba menghitung kasus hamburan pada levelenergi yang cukup tinggi teknik P.W. tidak lagi menjadi alternatif yang cukupbaik, karena kita butuh jumlah momentum angular yang lebih banyak untuk dihitung,sehingga perumusan dan perhitungan numerik yang kita lakukan akan semakinberat. Alternatif teknik perhitungan yang lain adalah teknik tiga dimensi(3D). Teknik ini menggunakan state vektor momentum dan helisitas sebagai basisperhitungannya. Teknik ini telah dikembangkan untuk beberapa sistem hamburan,seperti sistem dua partikel spinless yang identik [3], dan sistem nukleonnukleon(NN) [4, 5]. Dalam [5] ditunjukkan perhitungan dengan teknik 3D, yang4


dapat mereproduksi data eksperimen cukup baik, menggunakan interaksi NNrealistik Bonn-B [6] dan AV18 [7]. Terakhir dalam [2] dikembangkan teknik 3Duntuk hamburan partikel berspin 0 dan 1 . Teknik 3D dalam [2] tersebut dipakai2dalam penelitian kita, mengingat sistem yang kita pelajari adalah kaon (spin 0)dan nukleon (spin 1 2 ).2.1 Kinematika Hamburan Dua PartikelDua kerangka yang kita gunakan di sini adalah kerangka laboratorium (Lab.) dankerangka pusat massa (P.M.). Misalkan m 1 menyatakan massa partikel 1, yangmerupakan proyektil, dan m 2 massa partikel 2, yang merupakan target. Di dalamkerangka laboratorium (Lab.) pada keadaan awal (sebelum mengalami hamburan)m 1 dan m 2 memiliki momentum masing-masing k 1 dan k 2 = 0, kemudianpada keadaan akhir (sesudah hamburan) momentum yang dimiliki m 1 dan m 2adalah k ′ 1 dan k ′ 2. Dalam menghitung proses hamburan sangat memudahkan jikakita menggunakan momentum relatif (p), yang didefinisikan sebagai :p ≡ m 2k 1 − m 1 k 2m 1 + m 2. (2.1)Yang menarik dari p adalah bahwa vektor momentum ini tidak bergantung padakerangka acuan yang digunakan (dengan kata lain selalu sama dalam semuakerangka acuan) dan besarnya bersifat kekal dalam proses hamburan, yaitu :|p| = |p ′ |.Dalam perhitungan teoritik kerangka yang lebih menguntungkan untuk dipakaiadalah kerangka P.M. Dalam kerangka ini momentum awal dan momentumakhir bagi m 1 adalah p 1 dan p ′ 1 , sedang bagi m 2 adalah p 2 dan p ′ 2 . Transformasiyang menghubungkan besaran momentum antara kerangka Lab. dan kerangkaP.M. dinyatakan oleh persamaan berikut :p = p 1 = −p 2 = m 2m k 1 = µ m 1k 1 , (2.2)dengan m = m 1 + m 2 danadalah massa tereduksi.µ = m 1m 2m 1 + m 2(2.3)5


xxk’k 11θ Labzpp’θ P.M.zk’ 2Gambar 2.1: Hamburan dalam kerangka Lab. dan kerangka P.M.Energi kinetik total sistem (E k ) dalam suatu kerangka acuan adalah penjumlahandari energi kinetik masing-masing partikel dalam kerangka tersebut. Energikinetik bersifat kekal dalam proses hamburan, sehingga berlaku persamaanberikut :E k Lab. = E k1 = E ′ k1 + E ′ k2 (2.4)E k Lab. = k2 1= k′2 1+ k′2 2(2.5)2m 1 2m 1 2m 2E k P.M. = p22µ = p′22µ. (2.6)Skema hamburan di kerangka Lab. dan P.M. dapat dilihat pada gambar 2.1.Dalam proses hamburan kita misalkan proyektil datang pada arah sumbu-z denganmomentum k 1 = k 1 ẑ dan p = p ẑ, dan hamburan terjadi pada bidang ˆx−ẑ.Dari sini, dengan menggunakan persamaan-persamaan transformasi momentumdari kerangka Lab. ke P.M. kita bisa membuat relasi antara sudut hambur dikerangka P.M. (θ P.M. ) dengan sudut hambur di kerangka Lab. (θ Lab. ), yaitu :( )m1θ P.M. = θ Lab. + arcsin sin θ Lab. (2.7)m 2dan relasi kebalikannya adalah :( ) sin θP.M.θ Lab. = arctancos θ P.M. + m1m2(2.8)6


2.2 Persamaan Lippmann-SchwingerPersamaan LS untuk matrik-T adalah persamaan utama yang digunakan untukmenghitung proses hamburan dua partikel secara non-relativistik. Persamaantersebut dapat dituliskan sebagai berikut :T = V + V G 0 (E)T , (2.9)T adalah matriks hamburan yang didefinisikan sebagai berikut :T |φ〉 ≡ V |ψ〉 , (2.10)dengan |φ〉 menggambarkan keadaan bebas, |ψ〉 keadaan hamburan dan V adalahinteraksi yang memicu terjadinya hamburan. G 0 (E) adalah propagator bebasdalam proses hamburan yang merupakan fungsi dari energi (E = p2) dan didefinisikansebagai berikut2µ:G 0 (E) = limǫ→01E − H 0 + iǫ. (2.11)Arti fisis dari pers. (2.9) adalah bahwa dalam hamburan dua partikel dimungkinkanterjadinya hamburan berkali-kali (multiplescattering) dalam intermediate state,karena secara matematis pers. (2.9) dapat diekspansi menjadi :T = V + V G 0 V + V G 0 V G 0 V + V G 0 V G 0 V G 0 V + · · · (2.12)Penurunan yang cukup lengkap dari persamaan LS dapat dilihat di [8] dan [9]serta di buku-buku mekanika kuantum lainnya.Untuk memecahkan persamaan LS bagi matriks-T, kita memperkenalkan basisyang kita pakai, yaitu basis momentum-helisitas. Pada subbab ini hanyaakan dibahas sekilas tentang basis momentum-helisitas dan bagaimana perumusanpersamaan LS dengan menggunakan basis ini. Pembahasan tentang basismomentum-helisitas dan pemecahan matriks-T yang lebih mendetail denganmenggunakan basis momentum-helisitas untuk sistem partikel berspin 0 dan 1 2dapat dilihat di [2]. Basis momentum-helisitas adalah basis yang dibentuk daristate vektor momentum dan state helisitas (helicity). Helisitas adalah proyeksi7


spin pada arah vektor momentum. Basis momentum-helisitas dituliskan sebagaiberikut :|p; ˆpλ〉 π= 1 √2(1 + η π P) |p; ˆpλ〉 , (2.13)dengan λ = ± 1 adalah nilai eigen dari operator helisitas S · ˆp, S merupakan2spin total sistem dan η π = ±1 merupakan nilai eigen dari operator paritas P.Orthoginalitas dari basis ini adalah :π ′ 〈p ′ ; ˆp ′ λ ′ |p; ˆpλ〉 π= δ ηπ ′η π[δ(p ′ − p)δ λ ′ λ − i η π δ(p ′ + p)δ λ ′ ,−λ], (2.14)sedangkan Completeness relation dari basis ini adalah :∑∫1dp |p; ˆpλ〉 π2 π〈p;ˆpλ| = 1 . (2.15)πλPemecahan matriks-T dengan basis momentum-helisitas dilakukan denganmenghitung nilai elemen matriks-T. Elemen matriks-T dan V dalam basis momentum-helisitasdidefinisikan sebagai :T π λ ′ λ(p ′ ,p) ≡ π〈p ′ ; ˆp ′ λ ′ |T |p; ˆpλ〉 π, (2.16)V πλ ′ λ(p ′ ,p) ≡ π〈p ′ ; ˆp ′ λ ′ |V |p; ˆpλ〉 π(2.17)Dengan memasukkan definisi untuk matriks-T di atas ke dalam pers. (2.9) dandengan menggunakan completeness relation yang diberikan oleh pers. (2.15), makaakan kita dapatkan persamaan LS untuk matriks-T dalam basis momentumhelisitassebagai berikut :Tλ π λ(p ′ ,p) = V π′ λ λ(p ′ ,p) + ′ π〈p ′ ; ˆp ′ λ ′ |V G 0 (p)T |p; ˆpλ〉 π= Vλ πλ(p ′ ,p) + 1 ∑∫dp ′′ V ′ λ π2′ λ ′′(p′ ,p ′′ )G 0 (p ′′ )Tλ π λ(p ′′ ,p) , (2.18)′′λ ′′Untuk banyak hal dalam perhitungan proses hamburan, penting sekali untukmencari sifat simetri (simetrisitas) antar elemen-elemen dalam matriks-Vmaupun matriks-T. Dalam [2] didapatkan relasi simetri untuk V sebagai berikut:V πλ ′ −λ(p ′ ,p) = −iη π V πλ ′ λ(p ′ , −p) (2.19)V π −λ ′ λ(p ′ ,p) = iη π V πλ ′ λ(−p ′ ,p) (2.20)V π −λ ′ −λ(p ′ ,p) = V πλ ′ λ(−p ′ , −p) , (2.21)8


dan untuk T sebagai berikut :T π λ ′ −λ(p ′ ,p) = −iη π T π λ ′ λ(p ′ , −p) (2.22)T π −λ ′ λ(p ′ ,p) = iη π T π λ ′ λ(−p ′ ,p) (2.23)T π −λ ′ −λ(p ′ ,p) = T π λ ′ λ(−p ′ , −p) . (2.24)Dengan memakai pers. (2.19) dan pers. (2.23), pers. (2.18) dapat disederhanakanmenjadi :T π λ ′ λ(p ′ ,p) = V πλ ′ λ(p ′ ,p) +∫dp ′′ V πλ ′ 1 2(p ′ ,p ′′ )G 0 (p ′′ )T π 12 λ(p′′ ,p) . (2.25)Untuk potensial, secara umum kita bisa membaginya menjadi dua suku yaitusuku yang tidak bergantung pada spin dan suku yang bergantung pada spin.Perkiraan ini cukup beralasan karena ketika menurunkannya dari diagram kitaakan menemukan bahwa potensial hanya bergantung pada spinor nukleon, bentukpropagator dan model verteks. Kebergantungan terhadap faktor spin muncul darispinor dan bentuk propagator. Kebergantungan ini akan muncul dalam bentukoperator helisitas. Secara matematis bentuk umum dari potensial dapat ditulis :V (p ′ ,p) = V ns (p ′ ,p) + V s (p ′ ,p,S · ˆp ′ ,S · ˆp) (2.26)dengan S = 1 σ dan σ adalah matrik Pauli.2Jika operator helisitas bekerja pada eigenstate helisitas akan dihasilkan nilaieigen λ, sehingga dari sini kita dapatkan :V λ ′ λ(p ′ ,p) ≡ 〈ˆp ′ λ |V (p ′ ,p)| ˆpλ〉= V ns (p ′ ,p) 〈ˆp ′ λ ′ |ˆpλ〉 + 〈ˆp ′ λ ′ |V s (p ′ ,p,S · ˆp ′ ,S · ˆp)| ˆpλ〉[]= V ns (p ′ ,p) + V s (p ′ ,p,λ ′ ,λ) 〈ˆp ′ λ ′ |ˆpλ〉[]= V ns (p ′ ,p,α ′ ) + V s (p ′ ,p,α ′ ,λ ′ ,λ) 〈ˆp ′ λ ′ |ˆpλ〉= F(p ′ ,p,α ′ ,λ ′ ,λ) 〈ˆp ′ λ ′ |ˆpλ〉 , (2.27)dengandanF(p ′ ,p,α ′ ,λ ′ ,λ) ≡ V ns (p ′ ,p,α ′ ) + V s (p ′ ,p,α ′ ,λ ′ ,λ) , (2.28)α ′ ≡ ˆp ′ · ˆp = cos θ ′ cos θ + sin θ ′ sin θ cos(φ ′ − φ) . (2.29)9


Dengan menggunakan pers. (2.27), pers. (2.17) menjadi [2] :[]Vλ πλ(p ′ ,p) = F(p ′ ,p,α ′ ,λ ′ ,λ) + η ′ π F(p ′ ,p, −α ′ ,λ ′ , −λ) 〈ˆp ′ λ ′ |ˆpλ〉 , (2.30)dengan〈ˆp ′ λ ′ |ˆpλ〉 = ∑ m1e im(φ′ −φ) 2dmλ (θ ′ ) d′12mλ(θ) , (2.31)dan⎛d 1 cos θ 2 − sin θ ⎞22(θ) = ⎜⎝sin θ cos θ ⎟⎠ . (2.32)2 2adalah matrik-d untuk nilai j = 1 2 [10].Jika kita menggunakan perjanjian di awal, yaitu ˆp = ẑ (α ′dengan mendefinisikan besaran berikut := cos θ ′ ) danmaka diperolehα ′′ ≡ ˆp ′′ · ˆp = cos θ ′′ , (2.33)β ≡ ˆp ′′ · ˆp ′ = cos θ ′ cos θ ′′ + sinθ ′ sin θ ′′ cos(φ ′′ − φ ′ )= α ′ α ′′ + √ 1 − α ′2√ 1 − α ′′2 cos(φ ′′ − φ ′ ) , (2.34)sehingga pers. (2.25) menjadi :[Tλ π λ(p ′ ,pẑ) = e ′ iλφ′ Vλ πλ(p ′ ,p,α ′ ) +′V πλ ′ λ(p ′ ,pẑ) = e iλφ′ V πλ ′ λ(p ′ ,p,α ′ ) , (2.35)∫ ∞{p ′ ,p ′′ , (φ ′ − φ ′′ ),β0∫ 1 ∫ 2πdp ′′ p ′′2 dα ′′−1 0}dφ ′′× V πλ ′ 1 2G 0 (p ′′ ) e iλ(φ′′ −φ ′) T π 1 ,p,α ′′ )2 λ(p′′= e iλφ′ Tλ π λ(p ′ ,p,α ′ ) ′ . (2.36)Pada persamaan di atas, T π λ ′ λ (p′ ,p,α ′ ) memenuhi persamaanTλ π λ(p ′ ,p,α ′ ) = 1′ 2π Vπ λ λ(p ′ ,p,α ′ , 1)′+∫ ∞0dp ′′ p ′′2 ∫ 1−1dα ′′ V π λ ′ 1 2(p ′ ,p ′′ ,α ′ ,α ′′ ) G 0 (p ′′ ) T π 12 ,λ(p′′ ,p,α ′′ ) ,](2.37)10


dengandanV π λ ′ 1 2(p ′ ,p ′′ ,α ′ ,α ′′ ) ≡∫ 2π0dφ ′′ e iλ(φ′′ −φ ′) V πλ ′ 1 (p ′ ,p ′′ ) , (2.38)2V π λ ′ λ(p ′ ,p ′ ,α ′ , 1) ≡∫ 2π0dφ ′′ e −iλφ′ V πλ ′ λ(p ′ ,pẑ) = (2π)V πλ ′ λ(p ′ ,p,α ′ ) . (2.39)Persamaan (2.37) merupakan bentuk akhir persamaan LS yang akan dipecahkansecara numerik.Elemen matriks T π λ ′ λ (p′ ,p,α ′ ) memiliki sifat simetri sebagai berikut [2]:T π −λ ′ λ(p ′ ,p,α ′ ) = (−) λ iη π T π λ ′ λ(p ′ ,p, −α ′ ) , (2.40)T π λ ′ ,−λ(p ′ ,p,α ′ ) = (−) λ′ iη π T π λ ′ λ(p ′ ,p, −α ′ ) , (2.41)T π −λ ′ ,−λ(p ′ ,p,α ′ ) = −T π λ ′ λ(p ′ ,p,α ′ ) . (2.42)Dengan sifat simetri tersebut kita tidak perlu menyelesaikan persamaan (2.37) untukmendapatkan T π λ ′ λ (p′ ,p,α ′ ) untuk semua kombinasi λ ′ , λ. Untuk tiap keadaanparitas kita hanya perlu menyelesaikan satu persamaan (2.37) untuk memperolehT1π 12 2(p ′ ,p,α ′ ). Nilai T π λ ′ λ (p′ ,p,α ′ ) untuk kombinasi λ ′ , λ yang lain diperoleh denganmenggunakan relasi simetri (2.40) - (2.42).2.3 Matriks-G dan ObservableObservable yang kita ingin amati dalam penelitian kita adalah cross section. Untukmenghitung observable kami memperkenalkan matriks-G yang didefinisikansebagai :G ν ′ ν(p ′ ,p) = −µ(2π) 2 〈p ′ ν ′ |T |pν〉 , (2.43)dengan ν dan ν ′ adalah eigen value dari operator S z dan S ′ z.Karena dalam menghitung elemen matriks-T kita menggunakan basis momentum-helisitas,sedang untuk menghitung elemen matrik-G kita menggunakan sumbu-zsebagai sumbu kuantisasi spin, maka diperlukan hubungan antara elemenmatriks-T dalam basis momentum-helisitas dengan elemen matriks-T dalam basis|pν〉 ≡ |p〉 |ν〉 .11


Dalam hal ini |ν〉 adalah keadaan spin dengan sumbu kuantisasi pada arah ẑ.Elemen matriks-T dalam basis ini adalah :T ν ′ ν(p ′ ,p) ≡ 〈p ′ ν ′ |T |pν〉 . (2.44)Untuk menghubungkan pers. (2.44) dengan matriks-T dalam basis momentumhelisitasakan kita gunakan persamaan berikut [10, 2] :12〈ẑν|pλ〉 = Dνλ (ˆp) , (2.45)dengan12Dνλ (ˆp) = e−iνφ d12νλ(θ) , (2.46)menyatakan fungsi-D Wigner untuk sistem dengan spin j = 1 2 .Dengan menggunakan pers. (2.45) juga completeness relation (2.15) serta sifatsimetri (2.22)-(2.24), maka akan kita dapatkan relasi antara pers. (2.44) denganmatriks-T dalam basis momentum-helisitas, yaitu [2] :T ν ′ ν(p ′ ,p) = 1 2∑πλ ′ λ12DUntuk kondisi ˆp = ẑ pers. (2.47) menjadi :12 ∗ν ′ λ(ˆp ′ ) D′ νλ (ˆp) T λ π λ(p ′ ,p) . (2.47)′T ν ′ ν(p ′ ,pẑ) = 1 2 e−i(ν′ −ν)φ ′ ∑ πλ ′12dν λ(θ ′ )T π ′ λ ν(p ′ ,p,α ′ ) ′ . (2.48)Dengan memasukkan pers. (2.48) ke pers. (2.43), serta dengan menggunakandefinisi (2.44) akan kita dapatkan elemen matriks-G, yaitu :G ν ′ ν(p ′ ,pẑ) = −2µπ 2 e −i(ν′ −ν)φ ′ ∑ πλ ′12dν λ(θ ′ )T π ′ λ ν(p ′ ,p,α ′ ) ′ . (2.49)Karena kebergantungan matrik G terhadap sudut azimuth muncul dalam bentukperkalian terhadap e −i(ν′ −ν)φ ′ , maka matriks G simetri terhadap sumbu-z, sehinggakita bebas untuk menentukan nilai φ ′ . Karena di awal kita telah menetapakanbahwa bidang hambur adalah bidang ˆx − ẑ maka kita memilih nilai φ ′ = 0.Kemudian untuk keperluan menghitung observable kami perkenalkan besaranobservable spin umum untuk sistem dengan spin 0 dan 1, yaitu : 2I 〈σ µ 〉 f= 1 ∑〈σ α 〉2 iTr { }Gσ α G † σ µ , (2.50)α12


dengan (µ,α = 0, 1, 2, 3).Untuk kasus sederhana dimana spin proyektil tidak terpolarisasi, dan keadaanspin partikel terhambur tidak diukur maka besaran yang akan kita peroleh adalahspin average differential cross section (penampang lintang yang dirata-ratakanterhadap spin), yaitu :I 0 = 1 2 Tr{ GG †} . (2.51)Differential cross section dalam Lab. kita cari dengan mengunakan persamaan[2]:dσdˆk ′ 1= 1 k 1 k 1′2 p 2∑|G ν ′ ν(p ′ ,p)| 2 . (2.52)ν ′ ν13


Bab 3Model Interaksi KNPada bab ini akan dipaparkan penurunan interaksi KN yang berangkat darianalogi teori pertukaran meson. Penurunan potensial dikerjakan dalam ruangmomentum dari diagram Feynman untuk beberapa proses hamburan KN denganmenggunakan aturan Feynman. Secara formal bentuk interaksi KN dapatditurunkan dari Lagrangian, tetapi oleh adanya aturan Feynman, penurunannyadapat dilakukan dengan lebih praktis.3.1 Diagram Feynman Untuk Interaksi KNSalah satu ide awal yang fundamental tentang interaksi nuklir kuat pertama kalidiajukan oleh Yukawa [11] untuk menjelaskan interaksi yang terjadi di antara duanukleon (NN interaction). Dengan mengambil analogi dari QED Yukawa mencobamembuat formulasi potensial untuk interaksi nuklir kuat yang didasarkanatas teori pertukaran partikel. Dalam teorinya ini Yukawa mengusulkan partikelbaru yang memiliki massa ’intermediate’ yang bertanggung jawab dalam interaksinuklir kuat. Karakter massive dari partikel yang dipertukarkan diperlukan untukmenghasilkan interaksi dengan jangkauan yang terbatas. Skema pertukaran partikeloleh nukleon-nukleon ditunjukkan oleh gambar 3.1. Beberapa tahun kemudianpartikel baru itu berhasil ditemukan dan kita mengenalnya saat ini sebagaipion (meson-π). Karena keberhasilan ini banyak fisikawan yang kemudian tertarikuntuk mengembangkan ide Yukawa. Bukan hanya pion, partikel-partikel baruyang mungkin untuk dipertukarkan kemudian diusulkan dalam teori ini. Semuapartikel ini kemudian digolongkan sebagai meson, yaitu partikel-partikel boson14


NNπNNGambar 3.1: Diagram hamburan nukleon-nukleonyang dapat berinteraksi melalui gaya nuklir kuat. Kita mengenal ide Yukawa saatini sebagai teori pertukaran meson (meson exchange theory) [untuk singkatnya :kita sebut ’teori meson’]. Meson-meson baru yang diusulkan saat itu diantaranyaadalah : δ, ω, ρ, η dan σ. Di antara meson-meson baru itu hampir semuanyatelah berhasil ditemukan (diidentifikasi) melalui eksperimen, kecuali meson-σ.Dalam perkembangannya, para fisikawan kemudian menemukan bahwa partikeljenis baryon pun mungkin untuk dipertukarkan dalam proses menghasilkaninteraksi nuklir kuat [12]. Baryon adalah fermion yang dapat berinteraksi melaluigaya nuklir kuat, dan nukleon termasuk di dalamnya. Selain itu ditemukan pulamodel-model baru untuk menjelaskan interaksi nuklir kuat seperti model quark[13, 14], dll.Model yang akan diaplikasikan di sini untuk menurunkan interaksi KN adalahmodel pertukaran baryon. Baryon yang dipertukarkan di dalam sistem ini adalahhyperon. Hyperon (Y) merupakan baryon yang memiliki strangeness (S) karenamemiliki quark s (strange) sebagai penyusunnya. Semua hyperon tepatnya memilikistrangeness < 0. Hyperon yang dipakai dalam penelitian ini yaitu : lambda(Λ) dan sigma (Σ). Hyperon ini dimungkinkan dipakai sebagai propagator karenadapat menghasilkan reaksi yang tetap menjaga kekekalan bilangan baryon (B)dan strangeness (S). Reaksi KN dapat dituliskan sebagai berikut :K + N hyperon−−−−→ K + Natau secara diagram ditunjukkan oleh gambar 3.2.Dalam semua reaksi yang melibatkan interaksi nuklir kuat, kekekalan (kon-15


KNΓ 1NYΓ 2KGambar 3.2: Diagram orde terendah untuk hamburan kaon-nukleonservasi) B dan S harus tetap terjaga. Semua baryon memiliki B = 1 1 , tetapihanya hyperon yang memiliki strangeness sedangkan nukleon tidak (S = 0).Kaon merupakan partikel yang memiliki strangeness, tetapi mimiliki nilai B = 0karena kaon bukanlah baryon melainkan meson. Kehadiran hyperon di keadaanintermediate tidak mengganggu kekekalan B dan S sehingga kita bisa memakainyasebagai mediator dalam perhitungan petensial. Properti dari kaon, nukleon danhyperon dapat dilihat pada tabel 3.1.Tabel 3.1: Daftar massa dan strangeness nukleon, kaon dan hyperon [15].Partikel masa(Mev) SNukleonp 938.3 0n 939.6 0KaonK + 493.65 +1K 0 497.67 +1K − 493.67 −1¯K 0 498 −1HyperonΣ + 1189.4 −1Σ 0 1192.6 −1Σ − 1197.4 −1Λ 1115.6 −11 Anti-partikelnya memiliki B = −1.16


KN(p’ K ) (p’ N )Γ 1N(p N )Y(q)Γ 2K(p K )Gambar 3.3: Diagram Feynman untuk hamburan KN dalam kerangka P.M.Dalam reaksinya di kerangka P.M., seperti yang di tunjukan oleh gambar 3.3,nukleon datang dengan momentum-4 p N akan teranhilasi di verteks satu (Γ 1 ).Di verteks ini juga kemudian akan terkreasi partikel kaon dengan momentum-4p ′ Kdan hyperon dengan momentum-4 q. Hyperon kemudian akan teranhilasi diverteks dua (Γ 2 ) bersama dengan kaon yang datang dengan momentum-4 p K dandi Γ 2 ini juga akan terkreasi nukleon dengan momentum-4 p ′ N . Sehingga partikelyang dapat teramati dalam eksperimen sebagai hasil dari hamburan hanyalahpartikel nukleon dengan momentum-4 p ′ N dan kaon dengan momentum-4 p′ K .Antara p K , p N , p ′ K p′ Ndengan p N , p ′ N , p K, dan p ′ Kdan q berlaku relasi-relasi berikut :q = p N − p ′ K = p ′ N − p K , (3.1)p N = −p K , (3.2)p ′ N = −p ′ K , (3.3)adalah momentum-3 awal dan akhir untuk nukleondan kaon. Hyperon yang muncul pada keadaan intermediate (keadaan yangtidak teramati) disebut sebagai partikel virtuil, sehingga jika m Y adalah massahyperon, maka dalam hal ini tidak berlaku relasi q 2 = m 2 Y . Interaksi yangdihasilkan dalam model ini dikenal sebagai pseudo-potensial. Ini karena secarahistoris fenomena yang terjadi lebih mirip dengan fenomena eksitasi atom ketikamenyerap foton dibandingkan fenomena tumbukan dua buah partikel. Namunbegitu kita akan tetap menyebutnya sebagai potensial. Potensial inilah yang akankita turunkan dan kita uji dengan data eksperimen.Penjabaran diagram hamburan KN yang lebih detail untuk orde terendahdapat dilihat pada gambar 3.4. Dalam penelitian kami data eksperimen yang17


ppK + K + p K 0Λ 0 Σ 0Σ +p K + p K + pK0K 0 n K 0n K + nΛ 0 Σ 0 Σ −n K 0 n K 0 n K +Gambar 3.4: Diagram-diagram Feynman yang berkontribusi dalam hamburankaon-Nukleontersedia hanyalah data hamburan K + p. Karena data yang tersedia hanyalahdata K + p maka kita hanya akan fokus pada diagram K + p. Untuk hamburan Kndatanya sangat sulit sekali direproduksi, ini karena netron tidak stabil.3.2 Penurunan Interaksi KNUntuk menurunkan bentuk interaksi KN berdasarkan diagram pada gambar3.3 kita menerapkan aturan Feynman [16, 17] (lihat lampiran-B). Di sini kitamenggunakan notasi m N , m K dan m Y masing-masing untuk menunjukkan massanukleon, kaon dan hyperon. Proses hamburan KN yang digambarkan dalamdiagram 3.3 adalah dalam kanal u. Dari diagram ini kita dapatkan amplitudohamburan M sebagai berikut :M = ū(p ′ N) g KY N γ 5 ̸ q + m Yq 2 − m 2 Yg KY N γ 5 u(p N ) , (3.4)dengan u adalah spinor Dirac untuk nukleon. γ 5 didefiniskan sebagai berikut :γ 5 ≡ iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . (3.5)18


dengan γ µ adalah matrik Dirac (lihat lampiran-A). Untuk bentuk propagatordan verteks diambil dari model dalam [1].Dengan menggunakan definisi q pada pers. (3.1), kami peroleh amplitudohamburan :M = 1 2 g2 KY N ūγ 5 [ p/′N − p/ K + m Y(p ′ N − p K) 2 − m 2 Y+ p/ N − p/ ′ K + m ]Yγ 5 u . (3.6)(p N − p ′ K )2 − m 2 Ydengan propagator yang simetri terhadap nukleon dan kaon pada keadaan awaldan akhir. Selanjutnya untuk menyederhanakan pers. (3.6), kita menggunakanidentitas-identitas berikut :Dengan relasi-relasi di atas kita dapatkan :γ 5 γ 5 = 1 , (3.7)γ 5 γ µ = −γ µ γ 5 , (3.8)p/ N u = m N u , (3.9)ū p/ ′ N = m N ū . (3.10)ūγ 5 p/ N γ 5 u = −ūγ 5 γ 5 p/ N u = −m N ūu , (3.11)ūγ 5 p/ ′ Nγ 5 u = −ūp/ ′ Nγ 5 γ 5 u = −m N ūu , (3.12)−ūγ 5 p/ K γ 5 u = ūp/ K γ 5 γ 5 u = ūp/ K u , (3.13)−ūγ 5 p/ ′ Kγ 5 u = ūγ 5 γ 5 p/ ′ Ku = ūp/ ′ Ku , (3.14)ūγ 5 m Y γ 5 u = m Y ūγ 5 γ 5 u = m Y ūu . (3.15)dengan hasil-hasil di atas pers. (3.6) menjadi :{ [ ]M = g2 KY N 112 (p ′ N − p +(mK) 2 − m 2 Y(p N − p ′ K )2 − m 2 Y − m N )ūuY}ūp/ K u ūp/ ′ K+(p ′ N − p +u . (3.16)K) 2 − m 2 Y(p N − p ′ K )2 − m 2 YSpinor Dirac yang kita gunakan adalah :u =√W2m N( 1σ · p NW), (3.17)19


dengan W = E N + m N . Dari definisi u kita dapatkan :ūu = u † γ 0 u√ √ ( W′ W=1 σ · ) ( ) ( )p′ N 1 0 1σ · p N2m N 2m N W ′ 0 −1W√ √ ( W′ W=1 σ · ) ( )1p′ N2m N 2m N W ′ − σ · p NW√W′[W= 1 − (σ · p′ N )(σ · p ]N). (3.18)2m N W ′ WSelain ituūγ µ u = u † γ 0 γ µ u . (3.19)untuk µ = 0 menjadi :u † γ 0 γ 0 u = u † u==√ √ ( W′ W1 σ · ) ( 1p′ N σ · p N2m N 2m N W ′√W′[W1 + (σ · p′ N )(σ · p ]N)2m N W ′ Wsedangkan untuk µ = i (i = 1, 2, 3) menjadi :u † γ 0 γ i u = u † α i uW ′ ), (3.20)√ √ ( W′ W=1 σ · ) ( ) ( )p′ N 0 σi1σ · p N2m N 2m N W ′ σ i 0W√W′(W= 1 σ · ) ⎛ ⎞σ i (σ · p N )p′ N ⎜ ⎝W ⎟⎠2m N W ′=σ i√W′(W σi (σ · p N )+ (σ · )p′ N)σ i2m N W W ′. (3.21)Jika kita masukkan pers. (3.18), (3.20) dan (3.21) ke pers. (3.16) maka dida-20


patkan :√M = g2 KY N W ′W2 2m N{ [ ]11×(EN ′ − E K) 2 − (p ′ N − p +K) 2 − m 2 Y(E N − EK ′ )2 − (p N − p ′ K )2 − m 2 Y[× (m Y − m N ) 1 − (σ · p′ N )(σ · p ]N)W ′ W(1+[E(EN ′ − E K) 2 − (p ′ N − p K) 2 − m 2 K 1 + (σ · p′ N )(σ · p )N)YW ′ W+ (σ · p K)(σ · p N )+ (σ · p′ N )(σ · p ]K)WW ′1+(E N − EK ′ )2 − (p N − p ′ K )2 − m 2 Y+ (σ · p′ K )(σ · p N)W[ (E K′ 1 + (σ · p′ N )(σ · p )N)W ′ W(3.22)+ (σ · p′ N )(σ · p′ K )W ′ ] } . (3.23)Karena dalam kerangka P.M. p N = −p K = p dan p ′ N = −p′ K = p′ makapers. (3.23) menjadi :M = g2 KY N2√ {W′( ) (WΛ 1 + Λ 2 ∆m Y N 1 − (σ · )p′ )(σ · p)2m N W ′ W[ (+ Λ 1 E K 1 + (σ · ) p′ )(σ · p)− p2W ′ W W − (σ · ]p′ )(σ · p)W ′(+ Λ 2[E K′ 1 + (σ · ) p′ )(σ · p)− p′2W ′ W W − (σ · ] }p′ )(σ · p)′ W= g2 KY N2[+√ {W′[ ( ) )]W ( )∆m Y N Λ1 + Λ 2 + Λ1 E K − p2+ Λ 2(E K ′ − p′22m N WW ′− ∆m Y NW ′ W× (σ · p ′ )(σ · p)(( ) EKΛ1 + Λ 2 + Λ1W ′ W − 1 ) ( E′+ Λ KW ′ 2W ′ W − 1 W})]. (3.24)21


denganW ′ = E ′ N + m N , (3.25)∆m Y N = m Y − m N , (3.26)1Λ 1 =(EN ′ − E , (3.27)K) 2 − (p ′ + p) 2 − m 2 Y1Λ 2 =. (3.28)(E N − EK ′ )2 − (p ′ + p) 2 − m 2 YPers. (3.24) bisa juga kita sederhanakan menjadi :M = g2 KY N2√W′W2m N{V 1 (p ′ ,p) + V 2 (p ′ ,p) ( σ · p ′)( σ · p )} , (3.29)dengan( ) )( )V 1 (p ′ ,p) = ∆m Y N Λ1 + Λ 2 + Λ1 E K − p2+ Λ 2(E K ′ − p′2WW ′V 2 (p ′ ,p) = − ∆m (Y N( ) EKΛ1 + ΛW ′ 2 + Λ1WW ′ W − 1 ) ( E′+ Λ KW ′ 2W ′ W − 1 ).W(3.30)3.3 Potensial EfektifKita bisa menurunkan bentuk potensial efektif (V ) dari M melalui pembandinganbentuk persamaan untuk differential cross section yang diturunkan menggunakanM dengan yang diturunkan menggunakan T dalam kerangka yang sama. Dari[17] kita ketahui matriks-S yang diturunkan dari M untuk sistem hamburan KNdalam kerangka P.M. adalahS = −i(2π) m N δ 4 (P f − P i )√4EN E ′ N E KE ′ KM , (3.31)dengan P f dan P i menyatakan momentum-4 total sistem sesudah dan sebelumhamburan. Dengan definisi matriks-S ini kita dapatkan diferential cross section[17] :dσ = dp1(2π) 6 12E K12E N12E ′ K12E ′ N|M| 2 (2m N ) 2(2π)4v rδ(E f − E i ) , (3.32)dengan E f dan E i adalah energi total sistem dalam kerangka P.M. sesudah dansebelum hamburan, sedang v r adalah kecepatan relatif partikel 1 terhadap partikel2 (dalam perhitungan relativistik disebut juga sebagai kecepatan invariant).22


Hubungan matriks-S dan matriks-T dapat kita lihat di [9] :S = −i(2π) δ(E f − E i )T . (3.33)Dari matriks-S ini kita dapatkan diferential cross section [9] :dσ = dp δ(E f − E i ) (2π)4v r|T | 2 . (3.34)Jika kita ambil aproximasi Born yang pertama (first Born approximation),yaitu : T = V , maka kita bisa mendapatkan potensial efektif V dengan menyamakanpers. (3.32) dengan pers. (3.34), sehingga didapatkan :V (p ′ ,p) = 1√ √ √ √ 1 1 mN mNM(p ′ ,p) . (3.35)(2π) 3 2E K 2EK′ E N EN′Pers. (3.35) lah yang kita masukkan ke pers. (2.25) sebagai potensial. Persamaanini sudah menyatakan elemen matriks potensial yang direpresentasikan denganmenggunakan basis |p〉, dimana basis ini jika di representasikan dalam ruangkonfigurasi menjadi〈r|p〉 ≡1(2π) 3/2eip·r . (3.36)23


Bab 4Perhitungan, Hasil dan DiskusiPada bab ini dipaparkan tentang perhitungan observable dan fitting parameterparameterpotensial dengan menggunakan model potensial yang telah dibuat.4.1 Perhitungan NumerikPersamaan yang akan dipecahkan secara numerik adalah (2.37) dengan menggunakanpotensial (3.35). Pemecahan secara numerik dimulai dengan mengubahbentuk integral analitiknya menjadi integral numerik. Metode integrasi yang kitapakai di sini adalah metode kuadratur Gauss-Legendre [18].Proses perhitungan numerik akan mengubah pers. (2.37) menjadi persamaanlinear berikut (lihat lampian-D) :∑A ia,jb Tλ π λ(p ′ j ,α b ) = Vλ π λ(p ′ i ,p 0 ,α a , 1) , (4.1)denganA ia,jb ≡ 2πb,j{δ ji δ ba − 2µ w b[¯δ j0w j p 2 jp 2 0 − p 2 j− δ j0 p 0 D]}V λπλ ′ , 1 (p i ,p j ,α a ,α b ) . (4.2)2Persamaan linear inilah yang dipecahkan dengan teknik komputasi menggunakanbahasa pemograman Fortran 90 untuk mendapatkan elemen matriks-T, sekaligusmenghitung nilai observable (cross section).Program pertama kali dibuat untuk perhitungan kasus sistem tanpa spin [3].Tujuannya adalah mempelajari program teknik perhitungan 3D sederhana untukmendapatkan elemen matriks-T. Hasil yang didapat sesuai dengan yang dikerjakandi [3]. Kemudian teknik perhitungan dikembangkan untuk kasus sistem24


dengan spin 0 dan 1 [2]. Potensial yang dipakai adalah potensial ‘mainan’. Tujuannyaadalah mengembangkan program yang dapat dipakai untuk keperluan2kami dalam penelitian ini. Hasil yang didapat cukup cukup baik dan masuk akal.Setelah memastikan program ini memberikan hasil yang baik, maka kami hanyatinggal mengganti bentuk potensialnya dengan model yang kami buat.Karena tujuan kami adalah menghasilkan sebuah model potensial maka untukitu kami melakukan fitting parameter-parameter potensial. Fitting dilakukanterhadap data yang didapat dari [19, 20]. Input data adalah momentum kaondalam kerangka Lab. (p K Lab. ) dan cross section total. Data yang kami gunakankami batasi pada range p K Lab. 145 − 600 (MeV). Alasannya adalah untuk menjaminproses kita berada pada kanal elastik (menghindari produksi pion) [lihatlampiran-C], karena model potensial yang kami buat hanya melibatkan proseshamburan elasitik di dalamnya. Alasan lainnya adalah untuk menghindari efekrelativistik, karena walaupun model potensial yang kita buat diturunkan dariamplitudo hamburan yang invariant, tetapi perhitungan cross section yang kitalakukan itu berangkat dari persamaan LS yang menggunakan basis perhitungannon-relavistik.Untuk keperluan fitting kita memakai program yang telah dibuat oleh CERN,yaitu MINUIT dengan MINFIT sebagai program interface-nya. Program-programini diintagrasikan dengan program-program yang kami buat untuk kemudian dilakukanself test terlebih dahulu untuk menguji apakah program yang kami buatbisa bekerja dengan baik untuk menghasilkan nilai parameter potensial. Kamimendapatkan hasil yang cukup baik dalam pengujian ini. Sehingga kamisimpulkan bahwa program ini cukup siap diaplikasikan untuk keperluan menghasilkanparameter-parameter dari model potensial yang kami buat.4.2 Hasil dan DiskusiDalam range p K Lab. 145−600 (MeV) ada 15 data eksperimen yang kami gunakanuntuk fitting. Untuk model potensial yang hanya melibatkan orde terendah daridiagram Feynman (gambar 3.2) kami mendapatkan hasil fitting yang ditampilkandalam tabel 4.1.25


Tabel 4.1: Daftar nilai konstanta kopling. Set I diambil dari [21], set II didapatdari fitting terhadap data di bawah range pion threshold, set III diambil dari [1].Konstanta Kopling I II III|g KΛN | / √ 4π 3.53 4.85 0.842|g KΣN | / √ 4π 1.53 3.02 1.304σ tot (mb)555045403530252015105eksperimenset Iset IIset III0100 200 300 400 500 600p K Lab. (MeV)Gambar 4.1: Cross section total untuk hamburan K + p. Garis tebal menunjukkanhasil dari model yang melibatkan suku orde terendah. Garis putus-putus kecilmenunjukkan hasil plot dengan set I, sedangkan garis putus-putus besar menunjukkanhasil plot dengan set III.26


σ tot (mb)6050403020100eksperimenSet ISet IISet III500 1000 1500 2000p K Lab. (MeV)Gambar 4.2: Plot data dengan menggunakan data eksperimen dan tiga set parameteryang diberikan oleh tabel 4.1.Hasil plot gambar dengan dengan set parameter yang diberikan dalam tabel4.1 ditunjukkan oleh gambar 4.1. Dari gambar 4.1 kita mendapatkan bahwa hasilyang didapat terlalu jauh dari data eksperimen. Kemungkinan hasil model yangkurang baik ini adalah karena kurangnya diagram yang kita perhitungkan. Kitabelum memasukkan kontribusi diagram dari resonan dan juga meson (sebagaipropagator). Untuk kelanjutan penelitian ke depan perlu dipertimbangkan untukmemasukkan kontribusi dari dua jenis diagram ini. Selain itu hasil yang kurangbaik ini juga bisa disebabkan oleh karena kita belum memasukkan koreksi darifaktor bentuk hadron. Kita tahu bahwa baik kaon dan nukleon merupakan partikelyang masih memiliki struktur, karena itu untuk kelanjutan penelitian kedepan perlu juga dipertimbangkan untuk memasukkan faktor bentuk hadron kedalam model yang kita buat.Jika kita bandingkan tiap plot data pada gambar 4.1 dengan menggunakantiga set parameter yang diberikan dalam tabel 4.1, kita lihat ternyata plot yanglebih menyerupai kurva eksperimen adalah plot data dengan menggunakan set I,yaitu set yang didapat dari [21]. Set ini didapat dengan menghitung proses hamburanKN juga. Set III yang didapat dengan memperhitungkan proses produksikaon memberikan hasil yang juga jauh dari kurva eksperimen.Dalam gambar 4.2 kami coba memplot data hingga di luar daerah pion thresholddengan menggunakan tiga set parameter yang diberikan oleh tabel 4.1. Tujuanplot hingga di luar daerah pion threshold hanyalah untuk melihat kelakuan27


dari tiap-tiap kurva. Kita tidak bisa memberikan memberikan kesimpulan apapuntentang kebaikkan model yang kami buat di luar pion threshold ini. Ini karena setparameter yang kami dapat adalah hasil fitting di bawah pion threshold. Untukplot data hingga di luar pion threshold kita lihat ternyata semua kurva (termasukdata eksperimen) menunjukkan kecenderungan yang sama, yaitu semakin tinggimomentum kaon (semakin besar energi kinetiknya) semakin kecil nilai crosssection-nya. Dengan kata lain semakin besar energi kinetik kaon semakin kecilpeluang terjadinya interaksi antara kaon dan nukleon.28


Bab 5Kesimpulan dan SaranTelah dibuat pemodelan interaksi KN dengan menggunakan orde terendah daridiagram Feynmannya dengan Λ dan Σ 0 sebagai mediator. Melihat dari hasil yangkami peroleh dapat disimpulkan bahwa model sederhana yang kami buat denganmenggunakan diagram orde terendah masih belum cukup untuk memberikan hasilyang cukup baik. Perlu dipertimbangkan untuk memakai beberapa resonan danmeson sebagai mediator. Selain itu juga perlu dipertimbangkan memasukkanfaktor bentuk hadron ke dalam potensial.Dari penelitian ini kami juga mendapatkan bahwa pengerjaan menggunakanteknik 3D kurang efisien dipakai untuk range energi rendah. Program yang dibuatuntuk penelitian ini dengan memakai teknik-3D cukup memakan waktu yanglama untuk men-generate data jika dijalankan dalam PC biasa. Kurang efisiennyatekinik ini karena untuk memecahkan persamaaan LS untuk kasus energi rendahkita berhadapan dengan matriks yang sama besarnya dengan matriks yangdigunakan untuk memecahkan persamaan LS untuk kasus energi tinggi (lihatlampiran-D). Ke depannya perlu dicari cara untuk menyederhanakan programagar berjalan lebih efisien atau jika hanya ingin bekerja dalam range energi rendahperlu dipertimbangkan memakai teknik parsial wave saja. Dengan menggunakanteknik ini untuk kasus hamburan energi rendah, pemecahan persamaan lineardengan ukuran matriks yang besar dapat dihindari.29


Lampiran AAljabar DiracDi dalam tulisan ini kita menggunakan perjanjian yang digunakan juga dalam[1]. Momentum-4 kontravarian didefinisikan sebagai berikut ( = c = 1):p µ ≡ (p 0 ,p 1 ,p 2 ,p 3 ) ≡ (E p ,p) , (A.1)dan untuk momentum-4 kovariannya adalahp µ ≡ (p 0 ,p 1 ,p 2 ,p 3 ) ≡ (E p , −p)= g µν p ν , (A.2)dengan matriks transfromasi g µν didefinisikan sebagai⎛⎞1 0 0 0g µν = ⎜0 −1 0 0⎟⎝0 0 −1 0⎠0 0 0 −1(A.3)dan perkalian skalarnya (scalar product) diberikan oleh persamaan berikut :p · q ≡ p µ q µ ≡ E p E q − p · q .(A.4)Matriks Dirac yang dipakai dalam tulisan ini adalahγ µ ≡ (γ 0 ,γ) , (A.5)denganγ 0 =( ) 1 00 −1, γ =( ) 0 σ−σ 0, (A.6)30


dan σ adalah matriks Pauli :( ) 0 1σ 1 = , σ 2 =1 0( ) 0 −ii 0Matriks Pauli memenuhi relasi antikomutasidan juga relasi komutasi, σ 3 =( ) 1 00 −1. (A.7){σ i ,σ j } ≡ σ i σ j + σ j σ i = 2δ ij , (A.8)[σ i ,σ j ] ≡ σ i σ j − σ j σ i = 2ǫ ijk σ k , (A.9)dimana ǫ ijk adalah bentuk non-kovarian dari tensor antisimetri Levi-Civita yangakan didefiniskan kemudian di pers. (A.14).Matriks Dirac memenuhi relasi antikomutasidan relasi komutasi{γ µ ,γ ν } ≡ γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν (A.10)[γ µ ,γ ν ] ≡ γ µ γ ν − γ ν γ µ = −2iσ µν , (A.11)dengan tensor σ µν adalah :( ) ( )σσ ij k00 σ=0 σ k dan σ 0i i= iσ i 0. (A.12)Relasi lainnya yang cukup berguna adalahγ 5 = γ 5 ≡ iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = 1 24 iǫ µνρσγ µ γ ν γ ρ γ σ =( ) 0 11 0, (A.13)dengan tensor antisimetri Levi-Civita didefinisikan⎧⎪⎨ +1 untuk permutasi genap (seperti 0,1,2,3)ǫ ijk & ǫ µνρσ = −1 untuk permutasi ganjil⎪⎩0 jika ada dua atau lebih indeks sama(A.14)Perkalian skalar antara γ dan vektor-4 dapat ditulis sebagaiγ µ p µ = γ 0 p 0 − γ · p ≡ p/ .(A.15)31


Spinor Dirac untuk partikel bebas yang digunakan dalam tulisan ini adalah√ ( )E + m 1u = σ · p χ s(A.16)2mE + muntuk E > 0 danv =√E + m2m(− σ · p )E + m χ s1(A.17)untuk E < 0 dengan E = E p = √ m 2 + p 2 dan χ s adalah dua komponen darispin state. Normalisasi dari spinor Dirac adalahū(p,s)u(p,s) = 1 ,¯v(p,s)v(p,s) = −1 ,(A.18)(A.19)dengan adjoint spinor Dirac didefinisikan sebagai berikutū(p,s) = u † γ 0 ,¯v(p,s) = v † γ 0 .(A.20)(A.21)32


Lampiran BAturan FeynmanMatriks-M yang digunakan di sini didefiniskan sebagai :√ ∏S = −i(2π) 4 δ 4 (P f − P i )j(n j /V ) M , (B.1)dengan P f dan P i adalah momentum-4 total sistem sesudah dan sebelum hamburan,sedangkan⎧m j /E j ⎪⎨untuk fermion eksternaln j =1 ⎪⎩2E juntuk boson eksternal ,dan V = (2π) 3 . Dengan begitu M bebas konstanta normalisasi.Relasi antara M dengan cross section untuk reaksi 1 + 2 → 3 + 4 adalah :dσ = 1v rel12E 112E 2|M| 2 ∏ j(2m j )d 3 p 3(2π) 3 2E 3d 3 p 4(2π) 3 2E 4(B.2)(B.3)× (2π) 4 δ 4 (p 1 + p 2 − p 3 − p 4 ) , (B.4)dengan m j menyatakan massa fermion eksternal yang terlibat, sedangkan v rel(kecepatan relatif antar dua partikel datang) dapat ditulis sebagai berikut :⎧E tot |p in | untuk sistem dalam kerangka P.M. (|p in | = |p 1 | = |p 2 |)⎪⎨v rel E 1 E 2 = m 2 |p 1 | untuk sistem dalam kerangka Lab.⎪⎩ √(p1 · p 2 ) 2 − (m 1 m 2 ) 2 secara umum .(B.5)33


Aturan untuk penulisan iM dari diagram Feynman adalah :1. External Lines1 untuk setiap boson spinless yang diserap dan dipancarkan.u(p) untuk setiap fermion spin 1 yang diserap.2ū(p) untuk setiap fermion spin 1 yang dipancarkan.22. Faktor vertexVertexKoplingKY N g KY N γ 5KY ∗ ( 1+ )N g2 KY ∗ Nγ 5KY ∗ ( 1 2 − )N −ig KY ∗ N3. Internal LinesDi sini kita hanya melibatkan satu jenis propagator saja, yaitu propagatorfermion yang secara umum ditulis :i(q/ + m)q 2 − m 2 + imΓ(B.6)dengan q, m dan Γ masing-masing menyatakan momentum-4, massa, danlebar energi dari propagator.34


Lampiran CPion ThresholdKetika reaksi KN berlangsung dimungkinkan terjadinya produksi partikel baruapabila energi total yang tersedia di awal (sebelum hamburan) cukup untuk memproduksipartikel baru. Partikel hadron teringan yang mungkin tercipta padaproses hamburan KN adalah pion (meson-π). Reaksi KN yang menghasilkanpion dapat ditulis sebagai :K + N → K + N + π(C.1)Karena dalam reaksi KN nukleon sebagai target memiliki momentum awalsama dengan nol, maka energi total awal sistem dalam kerangka Lab adalah :E Lab. = E kin K + m k + m N ,(C.2)dengan m K , m N dan E kin K adalah massa kaon, massa nukleon dan energi kinetikkaon. E kin K terendah yang memungkinkan terjadinya produksi pion disebutenergi kinetik pion threshold, K Th . Nilai K Th inilah yang akan kita cari di sini.Reaksi KN dalam kerangka Lab. dalam kondisi pion threshold dapat dilihatpada gambar C.1.V K Lab.KSebelumV N Lab. = 0 V’ K Lab. = V’ N Lab. = V π Lab. = VNSesudahKπNGambar C.1: Proses tumbukan kaon dengan nukleon yang menghasilkan pionthreshold dalam kerangka Lab.35


VK P.M.KSebelumV N P.M.NV’ K P.M. = V’ N P.M. = V π P.M. = 0K NπSesudahGambar C.2: Proses tumbukan kaon dengan nukleon yang menghasilkan pionthreshold dalam kerangka P.M.Perhitungan hamburan lebih mudah jika dikerjakan dalam kerangka P.M.(pusat momentum). Reaksi KN pada kerangka P.M. ditunjukan oleh gambarC.2. Untuk mencari K Th , dalam kerangka P.M. semua partikel setelah reaksiakan menjadi diam terhadap kerangka P.M. Jika pada kerangka Lab. kaon mempunyaikecepatan v K Lab. , maka kecepatan kaon v K P.M. dan nukleon v N P.M. dikerangka P.M. adalah :v K P.M. = v K Lab. − v P.M.1 − v K Lab. v P.M. , (C.3)danv N P.M. = −v P.M. , (C.4)dengan v P.M. adalah kecepatan kerangka P.M. bergerak relatif terhadap kerangkaLab. Persamaan terakhir diperoleh seperti itu karena kecepatan nukleon padakerangka Lab. adalah nol. Dalam kerangka P.M. berlaku :p K = p Nm K v√ K P.M.= m N v√ N P.M.1 − v2K P.M.1 − v2N P.M.. (C.5)Jika kita subtitusikan pers. (C.3) dan (C.4) ke pers. (C.5) serta dengan menggunakansedikit manipulasi aljabar kita dapatkan :v P.M. =m K v 2 K P.M.m K + m N√1 − v2K P.M.. (C.6)Syarat ambang di kerangka P.M. untuk terjadinya produksi pion adalah :E K P.M. + E N P.M. = m K + m N + m π , (C.7)36


dimanaE K P.M. = energi total awal kaon =m K√1 − v2K P.M., (C.8)E N P.M. = energi total awal nukleon =m N√1 − v2N P.M.. (C.9)Energi total dalam kerangka P.M. didapat dengan menjumlahkan pers. (C.8)dan (C.9) :E total P.M. = E K P.M. + E N P.M. . (C.10)Dengan memasukkan pers. (C.3) dan (C.4) ke pers. (C.10) juga dengan menyisipkanpers. (C.6) di dalamnya, maka pers. (C.10) tersederhanakan menjadi:E K P.M. + E N P.M. =√m 2 K + m2 N + 2E K Lab.m N . (C.11)dimana E K Lab. menyatakan energi total kaon dalam kerangka Lab.Jika kita menerapkan syarat ambang, yaitu pers. (C.7), maka pers. (C.11)menjadi :√m 2 K + m2 N + 2E K Lab.m N = m K + m N + m π . (C.12)Karena energi kinetik dalam perhitungan relativistik didefinisikan sebagai K =E −m, maka bisa kita dapatkan K Th (= E K Lab. −m K ) dari pers. (C.12), yaitu :K Th = m π2m K + 2m N + m π2m N. (C.13)atau jika kita tulis dalam besaran momentum, maka momentum pion thresholddalam kerangka Lab. adalah :p K Th =Jika kita memasukkan data berikut :√KTh 2 + 2K Thm K . (C.14)m K = 495.66 Mev ,m N = 938.95 Mev ,m π = 137.30 Mev . (C.15)ke dalam pers. (C.13) dan (C.14), maka akan kita dapatkan :K Th = 219.82 Mev dan p K Th = 516.00 Mev . (C.16)37


Lampiran DPerhitungan NumerikD.1 IntegrasiDalam persamaan LS [pers. (2.25)] kita menemukan integrasi terhadap 3 variabel,yaitu : p ′′ , θ ′′ , dan φ ′′ . Pemecahan secara numerik dimulai dengan mengubahbentuk integral analitiknya menjadi integral numerik. Metode integrasi yangkita pakai di sini adalah metode kuadratur Gauss-Legendre [18], dimana semuafungsi yang akan kita integrasikan harus dipetakan ke dalam batas [−1, 1] :I =∫ ba= ∑ idxf(x) =∫ 1−1w i f(x i ) = ∑ idxdy f(y)v i ( dxdy ) if(y i ) ,(D.1)dimana x i dan y i adalah titik-titik integrasi sedangkan w i dan v i adalah pemberat.Untuk integrasi terhadap θ ′′ karena variabel integrasi adalah cosθ ′′ makabatasnya adalah [−1, 1] sehingga kita tidak perlu lagi melakukan pemetaan terhadapkuadrature. Jumlah titik integrasi yang cukup memadai untuk integrasiterhadap variabel θ ′′ adalah 24 titik.Sedangkan untuk intergrasi terhadap φ ′′ kita dapat melakukan pemetaan secaralinear :x i = b − a2 y i + b + a2w i = 1 2 (b − a)v i .(D.2)Untuk integrasi terhadap variabel φ ′′ kita dapat mengurangi batas integrasi dari38


[0, 2π] menjadi [0, π ] dengan menggunakan relasi berikut :2I ====∫ 2π0∫ 2π0∫ π0∫ π/20dφ ′′ f(cos(φ ′ − φ ′′ ))e im(φ′ −φ ′′ )dφ ′′ f(cos φ ′′ )e imφ′′dφ ′′ {f(cos φ ′′ )e imφ′′ + f(− cos φ ′′ )e im(φ′′ +π)()dφ{f(cosφ ′′ ′′ ) e imφ′′ + e im(2π−φ′′ )+ f(− cos φ ′′ )(e im(φ′′ +φ) + e im(π−φ′′ )) } . (D.3)Dengan hubungan ini jumlah titik integrasi dapat dikurangi. Kami dapatkanjumlah titik integrasi yang memadai untuk integrasi terhadap φ ′′ adalah 10 titik.Khusus intergrasi terhadap φ ′′ kita dapat mengevaluasinya secara independent,sehingga persamaan LS [pers. (2.25)] dapat disederhanakan menjadi persamaanintegrasi dua-dimensi (2D) [pers. 2.37].Untuk integrasi terhadap p ′′ , kita menggunakan metode integrasi yang samadengan metode yang digunakan untuk potensaial AV18 [5]. Dalam metode ini kitamembatasi titik atas integrasi pada suatu nilai tertentu, q 3 . Menurut pengalaman,q 3 cukup aman diletakan pada nilai 150 fm −1 . Kemudian kita membagi daerahintegrasinya menjadi dua, yaitu : daerah momentum rendah dengan interval[0,q 2 ] dan daerah momentum tinggi dengan interval [q 2 ,q 3 ]. Untuk matriks-Tnilai signifikan diberikan oleh momentum rendah maka untuk daerah momentumtinggi, [q 2 ,q 3 ], kita menggunakan hanya pemetean secara linear, sedangkan untukdaerah momentum rendah, [0,q 2 ] kita menggunakan pemetaan hiperbolik :}1 + y i( 2 qx i =1q 1− ( 1 q 1− 2 w i =1− 2 q 2)v i{ }q 2)y 2.i 1q 1− ( 1 q 1− 2 q 2)y i(D.4)Di sini q 1 adalah nilai momentum dimana [0,q 2 ] terbagi menjadi dua interval,yaitu : yaitu [0,q 1 ] dan [q 1 ,q 2 ], dan jumlah titik integrasi untuk kedua intervalini sama. Menurut pengalaman nilai q1 dan q 2 yang biasa digunakan adalah 3fm −1 dan 10 fm −1 . Jumlah titik integrasi yang cukup memadai untuk integrasiterhadap variabel p ′′ adalah 40 titik.39


D.2 Penyelesaian Persamaan Lippmann-SchwingerPropagator bebas G 0 (E) dalam persamaan LS dapat ditulis sebagi berikut :G 0 (E p ) = limǫ→01E p − E p ′′ + iǫ =PE p − E p ′′− iπδ(E p − E p ′′) ,(D.5)dengan P menyatakan bagian dari principal value yang pada dasarnya bernilai1. Bagian ini menjadi singular saat E p = E p ′′ atau p = p ′′ . Singularitas inidiatasi dengan menambahkan satu suku yang tidak mengubah nilai integrasinya(bernilai nol). Jika misal principal value adalah :I =∫ ∞0dx P x2 f(x)a 2 − x 2 ,(D.6)dimana integrasi singular pada x = a, maka untuk menghilangkan singularitasnyakita menambahkan suku kedua yang bernilai nol, yaitu :−sehingga persamaannya menjadi :I ==∫ ∞0∫ ∞0∫ ∞0dx a2 f(a)a 2 − x 2∫dx P x2 f(x) ∞a 2 − x − 20dx a2 f(a)a 2 − x 2(D.7)dx x2 f(x) − a 2 f(a)a 2 − x 2 . (D.8)Karena integrasi terhadap p ′′ tidak dikerjakan sampai ∞ tetapi pada suatubatas nilai q 3 maka pers. (D.8) menjadi :I =∫ q30dx x2 f(x) − a 2 f(a)a 2 − x 2− 1 ( )2 a f(a) ln q3 − aq 3 + a(D.9)Jika pers. (D.9) kita masukan ke dalam pers. (D.5) dan kemudian kita aplikasikanpada pers. (2.37), maka suku ke dua dari pers. (2.37) akan menjadi:∫ {1 ∫q3p ′′2 V π2µ dα ′′ dp ′′ λ ′ 1 2−1 0[ ∫ q3−0dp(p ′ ,p ′′ ,α ′ ,α ′′ ) T π 12 λ (p′′ ,p,α ′′ )p 2 − p ′′2pp 2 − p + 1 ′′2 2 ln q 3 − pq 3 + p + 1 ]2 iπ p V π λ ′ 1 (p ′ ,p,α ′ ,α ′′ )T1π22 λ (p,p,α′′ )}.(D.10)40


Dengan konvensi pergantian tanda berikut :p ′ = p i , p ′′ = p j , p = p 0 , α ′ = α a , α ′′ = α b (D.11)Pers. (2.37) dalam bentuk integrasi numerik dapat diubah menjadi :Vλ π λ(p ′ i ,p 0 ,α a , 1) = 2π ∑ [w j p{δ ji δ ba − 2µ w b¯δ 2 jj0 − δp 2 b,j0 − p 2 j0 p 0 Dj}× V π λ ′ 1 2(p i ,p j ,α a ,α b )T π λ ′ λ(p j ,α b )]= ∑ b,jA ia,jb T π λ ′ λ(p j ,α b ) ,(D.12)denganD ≡[ ∑kw k p 0p 2 0 − p 2 j+ 1 ( ) ]2 ln q3 − p 0+ 1 q 3 + p 0 2 iπ(D.13)danA ia,jb ≡ 2π{δ ji δ ba − 2µ w b[¯δ j0w j p 2 jp 2 0 − p 2 j− δ j0 p 0 D]}V λπλ ′ , 1 (p i ,p j ,α a ,α b ) . (D.14)2A ia,jb adalah matriks yang berukuran (n p ′′ × n θ ′′) 2 , dimana n p ′′ dan n θ ′′ adalahjumlah titik integrasi p ′′ dan θ ′′ . Pers. (D.12) merupakan persamaan linearyang kita pecahkan dengan menggunakan metode dekomposisi LU [18] untukmendapatkan elemen matriks-T.41


Daftar Acuan[1] T. Mart, PhD thesis, Johannes Gutenberg-Universität Mainz, (1996).[2] A. Irga, Hamburan Partikel Ber-Spin 0 dan 1 Dalam Basis Momentum-2Helicity, skripsi S-1, Departemen Fisika UI, (2006).[3] Ch. Elster, J. H. Thomas dan W. Glöckle, Few-Body Systems 24, 55 (1998).[4] R. A. Rice dan Y. E. Kim, Few-Body Systems 14, 127 (1993).[5] I. Fachruddin, PhD thesis, Ruhr University-Bochum, (2003).[6] R. Machleidt, Adv. Nucl. Phys. 19, 189 (1989).[7] R. B. Wiringa, V. G. J. Stoks, dan R. Schiavilla, Phys. Rev. C51, 38 (1995).[8] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, (Addison-Wesley, 1994).[9] W. Glöckle, The Quantum Mechanical Few-Body Problem (Springer Verlag,Berlin, 1983).[10] M. E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum (Wiley, New York,1957).[11] H. Yukawa, Proc. Phys. Math. Soc. Jpn 17, 48 (1935).[12] H. Polinder dan Th. A. Rijken, Phys. Rev. C72, 065210 (2005).[13] N. Isgur dan G. Karl, Phys. Rev. D 18, 4187 (1978).[14] S. Capstick dan N. Isgur, Phys. Rev. D 34, 2809 (1986).[15] W. E. Burcham dan M. Jobes, Nuclear and Particle Physics, (LongmanScientific & Technical, 1995)42


[16] F. Gross, Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, (John Wiley &Sons, Inc., 1993).[17] J. J. Sakurai, Advance Quantum Mechanics, (Addison-Wesley, 1967).[18] W. H. Press, et. al, Numerical Recipes in Fortran, (Cambridge UniversityPress, New York, 1992).[19] K. Abe et al., Phys. Rev. D11, 1719 (1972).[20] W. Cameron et al., Nucl. Phys. B78, 93 (1974).[21] J. Antolin, Z. Phys. C 31, 417 (1986).[22] S. Ogawa, S. Sawada, T. Ueda, W. Watari, dan M. Yonezawa, Suppl. Prog.Theor. Phys. 39, 140 (1967).[23] F. Halzen dan A. Martin, Quark and Lepton, (John Willey & Sons, Inc.,1984).[24] R. Machleidt, K. Holinde dan Ch. Elster, Phys. Rep. 149, 1 (1987).[25] K. S. Krane, Modern Physics, (John Wiley & Sons, Inc., 1996).43

More magazines by this user
Similar magazines