inteleqti

eqe.ge

inteleqti

sarCevirogor visargebloT wigniTI Tavi gameoreba. iracionaluri ricxvebi.erTucnobian utolobaTa sistema§1.1. racionaluri ricxvebi§1.2. kvadratuli fesvi. kvadratuli fesvis Semcveli gamosaxulebisgardaqmna. iracionaluri ricxvebi§1.3. dasabuTebis xerxebi§1.4. namdvili ricxvebi§1.5. n-uri xarisxis fesvi. fesvis Tvisebebi§1.6. proporcia da ukuproporcia§1.7. proporciul nawilebad dayofa§1.8. ricxviTi utoloba. utolobaTa damtkiceba§1.9. wrfiv erTucnobian utolobaTa sistemaamocanebi gameorebisTvisII Tavi monacemTa analizi da statistika§2.1. monacemTa mopoveba da dajgufeba§2.2. monacemTa warmodgenis saSualebebi§.2.3. monacemTa Semajamebeli ricxviTi maxasiaTeblebi.saSualo kvadratuli gadaxraamocanebi gameorebisTvisIII Tavi funqcia. geometriuli gardaqmnebi sibrtyeze§3.1. funqcia§3.2. funqciis mocemis xerxebi§3.3. funqciis Tvisebebi§3.4. wrfivi funqcia§3.5. naSTTAa ariTmetika§3.6. geometriuli gardaqmnebi. RerZuli simetria. centruli simetria§3.7. veqtori. veqtorebis Sekreba. veqtoris ricxvze gamravleba


§3.8. paraleluri gadatana§3.9. geometriuli gardaqmnebis sxvadasxva gamoyeneba§3.10. viwyebT kvadratuli funqciis Seswavlas§3.11. kvadratuli funqciis Tvisebebi§3.12. kvadratuli gantolebis amoxsna. vietis Teorema§3.13. kvadratuli utoloba§3.14. funqciaTa kompozicia§3.15. vagrZelebT funqciaTa Tvisebebis ganxilvasIV Tavi gantoleba. gantolebaTa sistemebi. progresiebi§ 4.1. mTeli da wiladuri gantolebebi§ 4.2. amocanebis amoxsna§ 4.3. geometriul figuraTa warmodgena algebrulidamokidebulebebis saSualebiT§ 4.4. orucnobian gantolebaTa sistema. amocanebis amoxsnaorucnobian gantolebaTa sistemis gamoyenebiT§ 4.5. wrfivi orucnobiani utolobaV Tavi progresiebi§ 5.1. mimdevroba. rekurentuli wesiT mocemuli mimdevrobebi§ 5.2. n-uri wevris formulebi§ 5.3. ariTmetikuli progresiis pirveli n wevris jamis formula§ 5.4. geometriuli progresiis pirveli n wevris jamis formulaVI Tavi geometriuli figurebi. trigonometriuliTanafardobebi marTkuTxa samkuTxedSi§6.1. mravalwaxnagebi§6.2. koordinatebi§6.3. msgavsebis asaxva. msgavsi mravalkuTxedebi§6.4. samkuTxedebis msgavsebis niSnebi§6.5. msgavsi figurebis perimetrebisa da farTobis Sefardeba§6.6. proporciuli monakveTebi marTkuTxa samkuTxedSi§6.7. trigonometriuli funqciebi. trigonometriuli TanafardobebimarTkuTxa samkuTxedSi


VII Tavi albaToba§6.1. elementaruli xdomiloba. albaToba. xdomilobis albaToba§6.2. xdomilobaTa jamis albaToba§6.3. xdomilobaTa namravli. damoukidebel xdomilobaTanamravlis albaTobaamocanebi gameorebisTvisVIII Tavi wrewiri. wre§7.1 wrewiri. wre. wris nawilebi§7.2 wrewiris mxebi da mkveTi§7.3 rkali. rkalis gradusuli zoma§7.4 wrewirTan dakavSirebuli kuTxeebisa da monakveTebis Tvisebebi§7.5 Caxazuli da Semoxazuli wrewirebi§7.6 wiris sigrZe. wrewiris sigrZe. wris farTobi§7.7 wertilTa geometriuli adgili. amocanebi agebazeamocanebi gameorebisTvismaTematikuri terminebis leqsikonimaTematikuri niSnebisagnobrivi saZiebeliberZnuli anbanilaTinuri anbanitrigonometriuli cxrilipasuxebi


ogor visargebloT wigniTwigniT sargebloba rom gagiadvildeT, ramdenime rCevas mogcemT.saxelmZRvanelos TiToeuli Tavi masSi mocemuli ZiriTadi sakiTxebisCamonaTvaliT iwyeba.TiToeuli Tavi paragrafebisgan Sedgeba. paragrafebi, rogorc wesi,ornawiliania. pirveli nawili Teoriul masalas eTmoba. misi gadmocemapraqtikuli magaliTebis ganxilviT mimdinareobs. am nawils Seswavlilimasalis SejamebiT vasrulebT.sagjies niSnaki migvaniSnebs paragrafis meore nawilis dawyebas _ `sxvadasxva~. aq istoriuli sakiTxebi da sxva damxmare masalaa mocemuli.es niSnaki amocanebis CamonaTvals win uZRvis.zogierTi paragrafis Teoriul nawilsa da amocanebs mosdevs savarjiSoebi,romliTac Seswavlil (maT Soris _ gasul wlebSic)sakiTxebs gaimeorebT. am nawilis dawyebas gvauwyebs es sagangeboniSnaki.SemogTavazebT jgufuri muSaobis proeqtebs _ es TanaklaselebTanerToblivad muSaobis gamocdilebas Seg ma tebT. aq SeiZleba dag-WirdeT informaciis damo u ki de be li moZiebac da misi damuSavebac.vin iqneba pirveli. am niSnakiT warmodgenili amocanebis amoxsnisasecadeT, gamWriaxobasTan erTad sxa rti azrovnebac gamoavlinoT.Cvenileqsikoniteqstis ukeT gagebis mizniT saWirod CavTvaleT zo gi er Ti sityviswarmomavlobis, misi msgavsi mniSv ne lo be bi sa an sinonimebismiTiTeba. aRniSnuli miTiTebebi Cvens leq si konSia mocemuli.am saTauriT gamoyofil Ca na werebs Tqven xSi rad SexvdebiT. igiTqvens sityvaTa ma rag sac gaamdidrebs da ufro gasagebs gaxdiswignis Si na arss.!rveulSiam niSnakiT drodadro SegaxsenebT, rom yvela amocana undagadaita noT rveulSi da DSemdeg SeasruloT. wignSi Canawerebi arunda gakeTdes!gaufrTxildiT wigns!6masSi Tqvenma Canawerebma wigni SeiZlebasxvebisTvis gamousadegari gaxados!


1gameoreba. iracionaluri ricxvebi.erTucnobian utolobaTa sistemaam TavSi gavimeorebT da gavifarTovebT Cvens codnasricxvebis Sesa xeb, ricxviTi utolobebis, wrfivi erTucnobianiutolobis Sesaxeb. gavecnobiT iracionalur ricxvebs,wrfiv erTucnobian utolobaTa sistemis amoxsnasa da misgamoyenebebs.1.1 racionaluri ricxvebi1) ricxvebis Seswavla naturaluri ricxvebiT daviwyeT. Tvlis, an gadanomrvisdros am ricxvebs viyenebT. isini naturalur ricxvTa mwkrivis saxiTwarmovadgineT:1, 2, 3, ....temperaturis cvlilebis gamosaxvisas mTeli uaryofiTi ricxvebis gamoyenebadaviwyeT _ Tu haeris temparatura, magaliTad, 2 0 -iT Semcirda, maSin escvlileba SeiZleba ase gamovsaxoT _ cvlileba –2 0 -ia; –2 mTeli uaryofiTiricxvia.mTel ricxvebs mTel ricxvTa mwkrivis saxiTac warmovadgendiT:mTeli ricxvebi644444444474444444448...; - 3; - 2; - 1 0; ; 2; 3;...1444424444 3 144 2443mTeli uaryofiTi ricxvebi;mTeli dadebiTi ricxvebinaturalur ricxvTa simravles _ simravles, romelsac yvela naturaluriricxvi adgens, N-iT aRvniSnavT, mTel ricxvTa simravles _ Z-iT.gazomvis Sedegebis warmodgenisas (magaliTad, sigrZis, farTobis, drois,wonis da a.S.) dadebiT racionalur ricxvebs viyenebdiT.AB C DmagaliTad, vTqvaT, SevarCieT sigrZis zomis erTeuli, romelic suraTzegamosaxuli AB monakveTiTaa warmodgenili. Tu igi CD monakveTSi 4-jer mo-Tavsdeba da kidev darCa monakveTi, romelSic AB-s mexuTedi 3-jer moTavsda,maSin CD-s sigrZes warmovadgenT ricxviT _ 4 53 an5 23 -iT (AB monakveTis mexuTediCD-Si 23-jer moTavsda). 523 dadebiTi racionaluri ricxvia, igi wiladissaxiTaa Cawerili.7


yoveli dadebiTi racionaluri ricxvi Caiwerebasadac m da n naturaluri ricxvebia.m saxiT,ndadebiT racionalur ricxvebTan erTad uaryofiT racionalur ricxvebsacviyenebdiT (magaliTad, temperaturis gamosaxvisas). isini ba saxiT Caiwereba,a mTe li uaryofiTi ricxvia, b _ naturaluri.dadebiTi racionaluri ricxvebi, uaryofiTi racionaluriricxvebi da nuli racionalur ricxvTa simravles qmnis. am simravlesQ-Ti aRvniSnavT.• gaixseneT da CawereT mimarTebebi N, Z da Q simravleebs Soris (magaliTad,Z⊂Q).• warmoadgineT es mimarTebebi venis diagramiT.• vTqvaT, a da b naturaluri ricxvebia. ra SeiZleba vTqvaT a+x=b damx=n gantolebebis amonaxsnebis Sesaxeb _ ra SemTxvevaSia es ricxvebi naturaluri,mTeli, racionaluri?aSearCieT swori pasuxi1 Q-Ti aRvniSnavT1) mTel ricxvTa simravles2) naturalur ricxvTa simravles3) racionalur ricxvTa simravles4) dadebiT racionalur ricxvTa simravles.2 mocemulia formulebi: a)N N⊂Q, b) Z⊂Q, g) Q⊂N. maTgan WeSmaritia1) mxolod a) 2) g) 3) mxolod b) 4) a) da b).3 naturaluri ricxvis mTel ricxvze ganayofi ar SeiZleba iyos1) mTeli ricxvi 2) naturaluri ricxvi3) racionaluri ricxvi 4) nuli.4 ori uaryofiTi racionaluri ricxvis jami ar SeiZleba iyos1) mTeli ricxvi2) -1-ze naklebi racionaluri ricxvi3) nuli.4) -0,001-ze meti racionaluri ricxvi.8


5 CamoTvlili winadadebebidan romelia WeSmariti?1) yoveli racionaluri ricxvi mTelia2) yoveli mTeli ricxvi racionaluria3) yoveli mTeli ricxvi naturaluria4) Tu ricxvi ar aris naturaluri, maSin is mTelia.6 vTqvaT, a da b naturaluri ricxvebia da a+x=b gantolebis fesvicnaturaluria, maSin1) ab 3) a=b 4) a≥b.7 vTqvaT, m da n naturaluri ricxvebia da m>n, maSin m+x=n gantolebisfesvi1) naturaluria 2) ar aris naturaluri3) dadebiTi racionaluri ricxvia 4) nulia.8 Tu raime a da b naturaluri ricxvebisTvis ax=b gantolebis fesvicnaturaluria, maSin1) a aris b-s jeradi 2) a aris b-s gamyofi3) a da b Tanamartivi ricxvebia 4) aucileblad, a=b.9 vTqvaT, a da b naturaluri ricxvebia, a luwia, b _ kenti. maSinax=b gantolebis fesvi1) naturaluri ricxvia 2) mTeli ricxvia3) nulia 4) racionaluri ricxvia.10 Tu m da n raime naturaluri ricxvebia da, amasTanave, m aris n-isjeradi, maSin nx=m gantolebis fesvi1) n-is jeradi ricxvia 2) m-is jeradi ricxvia3) naturaluri ricxvia 4) ar aris mTeli ricxvi.2) axla racionaluri ricxvebis Caweris saxeebi gavixsenoT. wiladis saxesTanerTad vicnobT ba racionaluri ricxvis aTwiladis saxiT warmodgenasac.aTwiladis saxiT Casawerad, ZiriTadad, gayofis wess viyenebT _ vyofTa-s b-ze.magaliTad, 85 =5:8=0,625.Tu 227 -is aTwiladis saxiT Cawera gvsurs da 7-s vyofT 22-ze, maSin gayofisprocesi usasrulod gagrZeldeba: 227 =7:22=0,31818...amasTanave, am SemTxvevaSi cifrebi 1 da 8 erTi da imave TanamimdevrobiTusasrulod meordeba. aseT SemTxvevaSi vambobT: gvaqvs usasrulo perioduliaTwiladi 0,31818..., romlis periodia 18 da mas ase CavwerT: 0,3(18), an ase:0,318. amrigad, 227 Caiwera usasrulo perioduli aTwiladis saxiT: 227 =0,3(18).9


5 Caiwera sasruli aTwiladis saxiT: 5 =0,625.88• gamoiyeneT Mkalkulatori, an gayofis wesi da aCveneT, rom ,4 1 ,5 1 ,8 3 50 7Caiwereba sasruli aTwiladis saxiT.• aCveneT, rom , ,3 1 2399wereba.2 usasrulo perioduli aTwiladebis saxiT Cai-7• aris Tu ara zemoTganxiluli yoveli wiladis usasrulo aTwiladis saxiTCawerisas periodSi Semavali cifrebis odenoba wiladis mniSvnelze naklebi?_ SeecadeT daasabuToT: Tu wiladis mniSvneli aris n, maSin am wiladisusasrulo perioduli aTwiladis saxiT Cawerisas periodSi cifrebis odenobaar aRemateba (n-1)-s.• SeadareT ganxilul magaliTebSi wiladebis mniSvnelebi _ ra martivgamyofebs Seicavs im wiladebis mniSvnelebi, romlebic sasruli aTwiladissaxiT Caiwera?daukvirdiT cxrils:, , , , , ,4 1 5 1 8 3 10 1 201 251 50 7 wiladebi, romlebic sasruliaTwiladis saxiT Caiwereba, , , , , ,3 1 23 2 1 1 199 7 6 9 12301 wiladebi, romlebic usasruloperioduli aTwiladis saxiT Caiwereba• SeecadeT gamoTqvaT varaudi _ ra SemTxvevaSi SeiZleba Caiweros mocemuliwiladi sasruli aTwiladis saxiT, usasrulo perioduli aTwiladissaxiT?SeamowmeT Tqveni varaudi sxva wiladebisTvisac, agreTve maSinac,roca im ricxvis warmodgena gvsurs, romelic ar aris ukveci wiladiTCawerili (magaliTad, 21 ). 60• daukvirdiT ricxvis aTwiladis saxiT Caweris im process, romelic SemdegimagaliTebiTaa warmodgenili:,4 3 =3 $ 5 $ 50752 $ 2 $ 5 $ 5=,40 7 =77 5 5 1750 1752 $ 2 $ 2 $ 5=$ $2 $ 2 $ 2 $ 5 $ 5 $ 5=1000= .gamoiyeneT es wesi zemoT ganxiluli ricxvebis sasrul aTwiladebadwarmodgenisas. SeecadeT am procesis saSualebiT daasabuToT Tqven miergamoTqmuli varaudi wiladebis sasrul, an usasrulo periodul aTwiladadCaweris Sesaxeb.axla aTwiladebis wiladebis saxiT (mTeli da naturaluri ricxvis SefardebissaxiT) Caweraze visaubroT.gaixseneT aTwiladebis 10-ze, 100-ze, 1000-ze (10-is xarisxebze) gamravlebisada gayofis wesebi. es wesebi usasrulo perioduli aTwiladebis Sem-TxvevaSic SeiZleba gamoviyenoT; magaliTad, 0,(3)⋅10=(0,33...)⋅10=3,333...=3,(3).10


magaliTi 1CavweroT wiladis saxiT: 0,(3).vTqvaT, 0,(3)=n, maSin 3,(3)=10n, 3+0,(3)=10n, 3+n=10n, 9n=3, n= 3 , n=3 1 ; 9maSasadame, 0,(3)= 3 =3 1 . 9magaliTi 2CavweroT wiladis saxiT: 0,(27).vTqvaT, n=0,(27), maSin, 100n=27,(27)_n=0,(27)99n=27, n=27 =113 . 99perioduli aTwiladis wiladis saxiT Cawerisas, Tu periodi mZimisSemdeg iwyeba, wiladi nawilis mricxvelSi iwereba periodSimiTiTebuli ricxvi, mniSvnelSi _ imdeni 9-iani, ramdeni cifricaaperiodSi.magaliTi 3CavweroT wiladis saxiT: 12,14(2)n=12,14(2).am SemTxvevaSic wina magaliTebSi gamoyenebuli procesi gamoviyenoT.jer 100n ganvixiloT:100n=1214,(2). (1)radgan periodSi erTi cifria, orive mxaris 10-ze gamravlebiT mivi-RebT:10⋅100n=12142,(2). (2)(1) da (2)-dan900n=12142,(2) –1214,(2), anu 900n=12142-1214.maSasadame,n =10928, n2732.900=225• gamoiyeneT am magaliTebSi warmodgenili procesi da aCveneT:0,(9)=1, 0,(43)= 43 , 0,3(29)=326 .99 990dedamiwidan mzemde miaxloebiT 150 milioni kilometria,anu 1,5⋅10 8 km. gaixseneT racionaluri ricxvisCaweris standartuli forma da warmoadgineT amformiT: Savi zRvis zedapiris farTobi _ 422 aTasikm 2 . atlantis okeanis zedapiris farTobi _ 92milioni km 2 . ra upiratesoba aqvs, Tqveni azriT,Caweris am formas?11


28 qalis kaba 25%-iT fasdaklebis Semdeg 150 lariRirs. ra Rirda kaba fasis daklebamde?29 adamianis normaluri masis da simaRlis damokidebulebazogjer gamartivebuli saxiT _ ori formuliTmoicema:a) P=h-100, P _ wona kilogramebiT, h _ simaRlesantimetrebiT;b) P= 211 h-220; es wesi amerikis SeerTebul StatebSigamoiyeneba. aq P wona funtebiT gamoisaxeba _ 1 funti=0,454kg, h simaRle duimebiT _ 1 duimi 2,54 sm-ia.• ipoveT TiTouli wesis mixedviT 170 sm simaRlis adamianis normalurimasa.• SeadareT miRebuli Sedegebi.30 2000 wels msoflios mosaxleoba miaxloebiT 6,2 miliard mcxovrebsSeadgenda. vTqvaT, mcxovrebTa odenoba x wlis Semdeg (2000 wlidan)SeiZleba gamoviTvaloT formuliT:p=6,2⋅10 9 ⋅1,017 x .am formulis mixedviT CawereT gamosaxulebamcxovrebTa odenobis sapovnelad 2010, 2015, 2020 wlebisTvis.2010 wlis es savaraudo Sedegi SeadareT am wlisrealur monacemebs (maT internetSi aRmoaCenT).vTqvaT, am formulaSi x SevcvaleT –x-iT damiRebul formulas viyenebT x wlis win mcxovrebTaodenobis sapovnelad. dawereT gamosaxuleba1980, 1990 wlebSi mcxovrebTa ricxvisTvis(standartuli formiT).axla racionaluri ricxvebis geometriuliwarmodgenis Sesaxeb visaubroT. racionalurricxvebs ricxviTi wrfis wertilebiT gamovsaxavdiT. suraTze SvidimTeli ricxvia gamosaxuli. Tu erTeulis sigrZis yovel miRebulmonakveTs gavyofT, magaliTad, raime n tol nawilad, n>1, gayofiswertilebi n-mniSvnelian wiladebs gamosaxavs.magaliTad,32 -s gamosaxavs wertili, romelic 6-sa da 7-s Sorisaa5da miiReba 6-dan marjvniv erTeulis mexuTedis 2-jer gadadebiT.• gaixsneT ricxvis moduli da aRwereT raime racionaluri aricxvis moduli geometriuli warmodgeniT, an mis gareSe.• ra formulebiT warmoadgenT |a|-s (ganixileT SemTxvevebi: a>0,a


3) axla racionaluri ricxvebis geometriuli warmodgenis Sesaxeb visaubroT.racionalur ricxvebs ricxviTi wrfis wertilebiT gamovsaxavdiT. suraTzeSvidi mTeli ricxvia gamosaxuli. Tu erTeulis sigrZis yovel miRebulmonakveTs gavyofT, magaliTad, raime n tolnawilad, n>1, gayofis wertilebi n-mniSvnelian -3 -2 -1 0 1 2 3wiladebs gamosaxavs.yoveli racionaluri ricxvi ricxviTi wrfis raime wertiliTgamoisaxeba. am wertils racionalur wertils uwodeben.magaliTad,32 -s gamosaxavs wertili, romelic 6-sa da 7-s Sorisaa da miiReba6-dan marjvniv erTeulis mexuTedis 2-jer gadadebiT.5• gaixseneT ricxvis moduli da aRwereT raime racionaluri a ricxvismoduli geometriuli warmodgeniT, an mis gareSe.• ra formulebiT warmoadgenT |a|-s (ganixileT SemTxvevebi: a>0, a


proeqti moipoveT masala (gamoiyeneT cnobarebi, enciklopediebi,gasuli wle bis saxelmZRvaneloebi) da warmoadgineTricxvTa simravleebis gafarToebis istoriuli mimoxilva,naturaluri ricxvebidan racionalur ricxvebamde ricxvTa simravlisgafarToebis praqtikuli da maTematikuri aspeqtebi (ix. mag.,r. kuranti, h. robinsi _ `ra aris maTematika~, Tbilisi, ganaTleba1965; a. benduqiZe _ maTematika. seriozuli da saxaliso, Tbilisi,2005). gamoiyeneT sxva popularuli literatura, interneti(mag. http://www.mccme.ru). SeadareT ricxvTa sistemis gafarToebisistoriuli Tanamimdevroba skolaSi maTi Seswavlis Tanamimdevrobas.sZvel egvipteSi gamoiyeneboda mxolod 32 da is wiladebi, romelTamricxveli erTis tolia. magaliTad, , , , ...2 1 3 1 4 1 5 1 sxvawiladebs isini aRniSnuli ricxvebis jamis saxiT warmoadgendnen,magaliTad,5,6=2 1 +3 1 2019 =2 1 +4 1 +5 1 .ricxvebis aseTi warmodgenisas dauSvebeli iyo raimeSesakrebis gameoreba. magaliTad, 1+1+1 . 3 5 5SeecadeT egvipturi wiladebiT warmodginoTricxvebi:5,7,7,9,17.8 8 12 10 30aSearCieT swori pasuxi31 Tu ricxviT wrfeze raime wertilidan saTavemde manZili 4,7-ia,maSin es wertili aucileblad gamosaxavs1) 4,7-s 2) –4,7-s 3) 3,7-s 4) 4,7-s an –4,7-s.32 Tu ricxvis moduli 3,2-ia, maSin ricxviT wrfeze misi gamomsaxveliP wer tili SeiZleba iyos1) mxolod P(3,2) 2) mxolod P(–3,2)3) P(3,2) an P(–3,2) 4) P(3,2) an P(6,4).33 vTqvaT, a da b racionaluri ricxvebia.suraTis mixedviT1) a>b 2) |a||b| 4) |a|=|b|.a 0 b16


34 vTqvaT, x racionaluri ricxvia, x>2. maSin ricxviT wrfeze x-isa da2-is Sesabamis wertilebs Soris manZilia1) 2x 2) 2+x 3) 2-x 4) x-2.35 Tu ricxviT wrfeze x-isa da 2-is Sesabamis wertilebs Soris man-Zili 7-ia, maSin aucileblad1) x-2=7 2) 2-x=7 3) |x-2|=7 4) x-2=14.36 Tu a da b racionaluri ricxvebis Sesabamis wertilebs Soris man-Zili 10 erTeulia, maSin SeuZlebelia1) |a-b|=10 2) a-b=10 3) b-a=10 4) a-b=b-a.37 Tu ricxviT wrfeze x racionaluri ricxvi daSorebulia saTavidan7,5-ze naklebi manZiliT, maSin aucileblad1) x


43 mocemulia racionaluri ricxvebi: 0,35; 0,(3); 0,3; 41 ; 0,4; 0,33.• daalageT es ricxvebi zrdis mixedviT;• gamosaxeT isini ricxviT wrfeze (miaxloebiT).44 cxrilSi mocemulia dasavleT evropis ramdenime qveynis teritoriaTafarTobebiqveyana farTobi(km 2 )portugalia 92082espaneTi 504 782safrangeTi 547 026belgia 30513luqsemburgi 2576holandia 41526• mocemuli ricxvebi da am rgva leT aTaseu lebamde,• moiZieT saqarTvelos teritoriis farTobis si di -dec da isic daamrgvaleT aTaseulebamde,• daalageT qveynebi maTi teritoriebis farTobebiszrdis mixedviT,• moniSneT suraTze miaxloebiT TiToeuli qveynis Sesabamisi wertili.050000 100000(km 2 )45 ricxviTi wrfis B wertili 2,5-s gamosaxavs, C wertili _ 5,8-s.B wertili AC monakveTis Sua wertilia. ipoveT ricxvi, romelsac Awertili gamosaxavs.46 M, N da K ricxviTi wrfiswertilebia; maTi koordinatebia,Sesabamisad –6, –1 da 5. MN da NKmonakveTebis Sua wertilebia P da Q.• ipoveT PQ monakveTis sigrZe.• ipoveT PK monakveTis sigrZe.47 gamosaxeT 0, a da b sqematurad _ pirobis mixedviT:a) a


49 gamoiyeneT geometriuli warmodgena da ipoveT yvela is mTeli xricxvi, romelic akmayofilebs pirobas: |x-2|3, maSin manZilebis jamia (a-3)+(a+3)=2a. amrigad, 2a=7,2; a=3,6; Tu a


1.2kvadratuli fesvi. kvadratuli fesvis Semcveligamosaxulebebis gardaqmna. iracionaluri ricxvebi1) gavixsenoT piTagoras Teorema:marTkuTxa samkuTxedSi kaTetebis sigrZeTa kvadratebis jamihipotenuzis sigrZis kvadratia.vTqvaT, kaTetebis sigrZeebia a=1, b=1. am SemTxvevaSi1 2 +1 2 =c 2 , 2=c 2 .gavixsenoT, rom dadebiT ricxvs, romlis kvadratia c2-is tolia, ase CavwerdiT: 2; amrigad, c= 2. es ricxviaris magaliTi iseTi ricxvisa, romelic ar aris racionaluriricxvi _ ar arsebobs racionaluri ricxvi, romlisbkvadrati 2-is tolia. `geometriul enaze~ SeiZleba asec vTqvaT: ar arsebobsiseTi m da n naturaluri ricxvebi, rom suraTze mocemulitolferda marTkuTxa samkuTxedis kaTetis1nnawili m-jer1moTavsdes hipotenuzaSi, anu hipotenuzis sigrZes ver gamovsaxavTmn wiladis saxiT _ racionaluri ricxviT; am SemTxvevaSiasec vityviT: am marTkuTxa samkuTxedis hipotenuza da1kaTeti uTanazomo monakveTebia.suraTis mixedviT aRwereT ricxviT wrfeze 2-is gamomsaxveli wertilis fargliTa da saxazaviTagebis procesi.wina paragrafSi Cven isic aRvniSneT, rom yovelor racionalur ricxvs Soris uamravi racionaluri 0 1 2 2ricxvia, kerZod _ 1,4-sa da 1,5-s Sorisac. maSasadame,1,4 da 1,5 racionalur wertilebs Soris uamravi racionaluri wertilia;Tumca, maT Soris araracionaluri wertilebic aris, magaliTad, wertili,romelic 2-s gamosaxavs; amasTanave,1 < 2 < 214 , < 2 < 1,5141 , < 2 < 142 ,1,4 da 1,5 aris 2-is miaxloebiTimniSvnelobebi Sesabamisad, naklebobiT dametobiT;SeiZleba Tu arasaxiT?2 Caiweros sasruli, an usasrulo perioduli aTwiladissasruli aTwiladiT, an usasrulo perioduli aTwiladiT mxolodracionaluri ricxvis Cawera SeiZleba; 2 Caiwereba usasrulo araperioduliaTwiladis saxiT. is SeiZleba warmovadgonoT miaxloebiT sasruliaTwiladis saxiT. magaliTad, 2≈1,4142135.2 ar aris erTaderTi naturaluri ricxvi, romelic racionaluri ricxviskvadratis saxiT ar warmoidgineba.20


Tu naturalur ricxvTa mwkrividan _1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...amovSliT naturaluri ricxvebis kvadratebs (`srul kvadratebs~), dagvrCebaricxvebi:2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, ....aq CamoTvlili yoveli ricxvidan kvadratuli fesvi iracionaluri ricxvia:2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, ...analogiurad, Tu nm wiladi ricxvi, raime wiladis kvadrats ar warmoadgens,maSinmniracionaluria. magaliTad,2 ;4 ; ;3 5 11 7 1611 iracionaluriricxvebia.iracionaluri ricxvia agreTve yoveli wrewiris sigrZis Sefardeba amavewrewiris diametrTan _ π ricxvi: π≈3,14159.dadebiT iracionalur ricxvebTan erTad SeiZleba davasaxeloT uaryofi-Ti iracionaluri ricxvebic:- 2, - 3, - 5, -2, , ...7- rricxviT wrfeze 5 da – 5 ricxvebi saTavis mimarT simetriuli wertilebiTgamoisaxeba, saTavemde am wertilebidan manZilebi 5-ia, maT Soris man-Zili _ 2 5.• gaixseneT mocemuli dadebiTi a ricxvidan kvadratuli fesvis cneba.• rogor Caiwereba a ricxvidan dadebiTi kvadratuli fesvi _ ariTmetikulikvadratuli fesvi, uaryofiTi kvadratuli fesvi?aSearCieT swori pasuxi1 romeli ar aris iracionaluri ricxvi?1) 2 2) 3 3) r 4) 53 .2 romeli ar aris racionaluri ricxvi?1) 0,7 2) 533) 4 4) 7.3 romeli ar aris racionaluri ricxvi?1) 9 2) 16 3)454 risi tolia im kvadratis gverdi, romlis farTobia 8 m 2 ?1) 2m 2) 16m 3) 4m 4) 8 m.5 ra ricxvis kvadratia 5?1) 25-is 2) 5-isa da – 5-is 3) 51 -is 4) 25-is da – 25-is.4)4 .921


6 Tu raime a ricxvisTvis a 2=- a, maSin aucileblad7 049= ,1) a>0 2) a≥0 3) a=0 4) a≤0.1) –0,7 2) 0,7 3) ±0,7 4) 0,49.8 5 2_ i =1) 5 2) –5 3) 5 4) 25.9 Tu samkuTxedis gverdebia 5 sm, 12 sm da 13 sm, maSin es samkuTxedi1) maxvilkuTxaa 2 ) marTkuTxaa3) blagvkuTxaa 4) ar aris marTkuTxaamoxseniT amocanebi10 sworia Tu ara, rom:a) yoveli racionaluri ricxvi iracionaluri ricxvicaa,b) arsebobs racionaluri ricxvi, romelic iracionaluricaa,g) yoveli mTeli ricxvi, racionaluri ricxvia,d) yoveli naturaluri ricxvi raime naturaluri ricxvidankvadratuli fesvia,e) arsebobs naturaluri ricxvi, romlidanac fesvi iracionaluriricxvia,v) arsebobs mTeli ricxvi, romelic iracionaluricaa?11 CamoTvlili ricxvebidan romelia racionaluri ricxvi da romeli_ iracionaluri:5; 25; 27; 2 10; 1 49 ; r ; 11?312 daasaxeleT ori momdevno mTeli ricxvi, romelTa Sorisaa:a) 7 b) 15 g) 27 d) 200 e) 150 v) 490.13 ipoveT kalkulatoris saSualebiT (miaxloebiT) _ mZimis Semdegmxo lod ori aTwiladi niSnis miTiTebiT:a) 608, b) 717. ipoveT miRebuli ricxvebis kvadratebi. miiReTTu ara fesvqveSa ricxvebi?14 avtomobili damuxruWebidan gaCerebamde gadis garkveul manZils_ samuxruWe manZils, romlis sidide damokidebulia avtomobilis1 2moZraobis siCqareze. am damokidebulebas d = $kv formula gamosaxavs,sadac v siCqarea, d _ samuxruWe manZili, k mudmivi ricxvidamokidebulia gzis safarze da avtomobilze.22


sagzao SemTxvevisas moasfaltebulgzaze, sadac siCqaris SezRudva 60km/sTia,sapatrulo policiis TanamSromlebmagazomvis Sedegad daadgines, rom avtomobilsdamuxruWebis Semdeg gaCerebamdemouxda 14,2 m-is gavla.daadgineT, moZraobda Tu ara avtomobiligadaWarbebuli siCqariT, Tu cnobiliarom moasfaltebul gzaze, roca siCqare mocemulia km/sT-Si,xolo manZili metrebSi, maSin k=354,2.15A Bsakoordinato wrfeze moniSnulia ori wertili_ A da B. 3, 5,7 da 04 , ricxve-0 1 2 3 4 5bidan romels SeiZleba Seesabamebodes A da romels _ B wertili?16 romeli ricxvia meti:a) 1,(56) Tu 1,56, b) –0,229 Tu -5, g) –4,(44) Tu –4,44,22d) π Tu 3,141, e) 1 32 Tu 1,6668, v) 3,(14) Tu π,z)1 Tu 0,33, T) 2 23 + Tu π?17 daalageT zrdis mixedviT: 4,62; 3,(31); -2,65; -2,64; 3 31 ; 4 32 .18 daalageT klebis mixedviT: 1,471; 2,045; 2,0(45); 1,(37); -0,077;1,3(7).-9 7 ;19 vTqvaT, a da b usasrulo aTwiladebia: a=1,0539..., b=2,0620... daamrgvaleTa da b:a) meaTedebamde, b) measedebamde, g) meaTasedebamde.TiToeul SemTxvevaSi ipoveT (a+b)-s miaxloebiTi mniSvneloba.20 ipoveT miaxloebiT im wris farTobi, romlis diametri 20 sm-ia(π ricxvi daamrgvaleT measedebamde da gaixseneT, romr radiusiani wris farTobi S=πr 2 formuliT gamoiTvleba).21 ipoveT x-is is mniSvneloba, romlisTvisac:a) x = 3, b) 3 x =0, g) x - 5 = 0,d) x = 04 , , e) 4 x = 2, v) 4 x - 3 = 0.23


2) axla kvadratuli fesvis Semcveli gamosaxulebebis gamartivebis xerxebigavixsenoT. isini ariTmetikuli fesvis Semdeg Tvisebebzea dafuZnebuli.I. Tu a≥0, b≥0, maSinab = a $ bII. Tu a≥0, b>0, maSinab=abIII. nebismieri a ricxvisTvisa2=| a |axla am Tvisebebis gamoyenebis magaliTebi warmovadginoT.magaliTi 1gamoitaneT mamravli fesvis niSnis gareT:a) 45 , b) 48amoxsna. a) radgan 45=9⋅5, 45 = 9 $ 5= 3 5 ;b) radgan 48=16⋅3, 48 = 16 $ 3= 4 3 .magaliTi 2gaamartiveT:a) 3 7 + 7 7 , b) 4 5- 3 5+ 5 .amoxsna. a) 3 7 + 7 7 = ^3 + 7h 7 = 10 7 ;b) 4 5- 3 5+ 5= ^4 - 3 + 1h $ 5=2 5 .magaliTi 3gaamartiveT: 7 3 - 27 .amoxsna. 7 3- 27 = 7 3- 9 $ 3= 7 3- 3 3= ^7 - 3h 3=4 3.magaliTi 4gaamartiveT:a) 2 $ 8 , b) 3 $ 15.amoxsna. a) 2 $ 8 = 2 $ 8 = 16 = 4 ;b) 3 $ 15= 3 $ 15 = 9 $ 5= 3 5 .25


nebismieri namdvili ricxvi SeiZleba sakoordinato wrfis wertiliTgamoisaxos, sakooridanto wrfis yoveli wertili raime namdvil ricxvsgamosaxavs. am ricxvs aRniSnuli wertilis koordinats vuwodebT.warmovidginoT, rom sakoordinato wrfesTan wrewiris Sexebis wertilisaTaves _ O wertils _ emTxveva. es wertili moniSnulia. wrewiri gavagoreTwrfeze.OAπvTqvaT wrewiris diametris sigrZe erTi erTeulia. am wrewiris sigrZe,rogorc iciT, aris π erTeuli. roca moniSnuli wertili kvlav sakoordinatowrfeze aRmoCndeba, maSin axali Sexebis A wertili π ricxvs gamosaxavs.SevajamoT: racionalur da iracionalur ricxvTa simravleebi _ Q daI _ qmnis namdvil ricxvTa R simravles. nebismieri namdvili ricxvisakoordinato wrfis wertiliT gamoisaxeba. sakoordinato wrfisyoveli wertili raime namdvil ricxvs gamosaxavs.namdvili ricxvis moduli aris manZili am ricxvis gamomsaxveliwertilidan saTavemde. a ricxvis moduls ase CavwerT: |a|. maSasadame,|a|=a, Tu a>0; |a|=-a, Tu a


32 CawereT wiladi ise, rom mniSvneli fesvs ar Seicavdes da gamoTvaleTmiaxloebiT:a)110 - 3, b) 1,2 3 + 103-3g) , d) .1 - 2 32 5 + 2 1033 cnobilia, rom x 2 =a gantolebis erT-erTi fesvia –2,4. ipoveT a.34 cnobilia, rom 4x 2 =a gantolebis erT-erTi fesvia 0. ipoveT a.35 cnobilia, rom ax 2 =12 gantolebis erT-erTi fesvia 5. ipoveT a.36 cnobilia, rom |a|x 2 =16 gantolebis erT-erT fesvia -2. ipoveT a.37 SeadareT:a) 4,174da 4,1(67); b) 3 da 25; , g) 8 da 2,8;d) 3+ 57 , da 5,4; e) 8 da 7,(9); v) 6,27 da 6,26(9).38 WeSmaritia Tu ara toloba:2a) _ 3 - 2i = 7 -4 3, b) 7 - 4 3 = 3 - 2,2g) _ 3 - 2 2i = 3 -2 2, d) _ 5 - 3 3i = 5 -3 3?pasuxi daasabuTeT.39 warmoadgineT sruli kvadratis saxiT:a) 3+2 2, b) 9+4 5, g) 14–6 5, d) 17–12 2.40 cnobilia, rom a≥0, b≥0, c≥0. gaamartiveT:41 gaamartiveTa + b + c + 2 ac + bc + a + b + c - 2 ac + bc .x + 2 x - 1 + x -2 x -1gamosaxuleba, Tu 1≤x≤2.42* daamtkiceT: Tu a 2 ≥b, a>0, b>0, maSin:a) a + b =b) a - b =2 2a + a - b a - a - b2 + ,22 2a + a -b a - a - b2 - .2251


1.5 n-uri xarisxis Nfesvi. fesvis Tvisebebi1) vTqvaT, n aris 1-ze meti naturaluri ricxvi. n-uri xarisxis fesvi aricxvidan ewodeba ricxvs, romlis n xarisxi aris a.magaliTad, –2 aris mexuTe xarisxis fesvi –32-dan; marTlac, (–2) 5 =–32.Tu a arauaryofiTi ricxvia, maSin yoveli n>1-sTvis arsebobs erTaderTiarauaryofiTi namdvili x ricxvi, romlisTvisac x n =a. am ricxvs ase CavwerT:nx= a , mas ariTmetikuli n-uri xarisxis fesvi vuwodoT.Tu a>0 da n luwia, maSin arsebobs n-uri xarisxis ori fesvi a-dan. erT–n nerTi (dadebiTi) aris a , meore (uaryofiTi) aris – a .kenti n-sTvis n-uri xarisxis fesvi a ricxvidan erTaderTia, mas aseCavwerT:n 3a . magaliTad, 8 =2, 3- 8 =–2, 3 a 3 =a.16 25 3sworia: ar aris swori:416 = 24=-481625 5 3 81=4625= !338 = 2- 8 =- 24316 = ! 2- 8 = 22x = | x |2x = ! x, roca x ! 0,2x = x, roca x < 0.ariTmetikuli fesvis Tvisebebi:Tu n>1, k>1, n∈N, k∈N, a≥0, b>0, maSinna a1.n n nab = a b, 2.nb=n ,b3.n k nka = a, 4.n nk ka = a .n k n5. a = _ ai ,kdavasabuToT, magaliTad, pirveli da mexuTe Tviseba.n n n1. ab = a $ bTu am tolobis orive mxares n-ur xarisxSi aviyvanT, miviRebT tol sidideebs,n n namasTanave, a $ 0, b $ 0, ab $ 0. amitom toloba WeSmaritia.n k nk5. a = ^ ahpirveli Tvisebis Tanaxmad, SeiZleba davweroT:kka = a$ a... a = a $ a...a = ^ ah144424443n n n n n nk Tanamamravli• SeecadeT daasabuToT sxva tolobebic.52


magaliTivipovoT43-is miaxloebiTi mniSvneloba meaTasedebamde sizustiT.43 da -4 3 iracionaluri ricxvebia, isini usasrulo araperioduliaTwiladebiT gamoisaxeba.radgan 1 4


CvenileqsikonimaTematikur niSans , romliTac fesvi gamovsaxeT, ra dikals uwodeben.es niSani, `r~-is saxecvlilebiTaa miRebuli. am aso Ti iwyebalaTinuri sityva radix _ fesvi.aSearCieT swori pasuxi1 namdvili ricxvebi, romelTa meoTxe xarisxi 11-is tolia, Semdegiricxve bia:1) 11 da –11 2) 11 da – 113 33) 11 da _ 114)411 da _411.2 Tu n luwi naturaluri ricxvia, maSin nebismieri x-sTvis x n n =1) x 2) –x 3) |x| 4) ±x3 Tu n kenti naturaluri ricxvia, n>1, maSin nebismieri x-sTvisn x n =1) x 2) –x 3) ±x 4) |x|4 5- 243 =1) 3 2) –3 3) ±3 4) |–3|.5 Tu3x =–0,2, maSin x=1) 0,008 2) –0,008 3) 0,08 4) –0,08.6 6 a 6 =a, toloba sworia mxolod maSin, roca1) a


11 0,2664-is meaTedebamde damrgvalebiT miiReba1) 0,26 2) 0,266 3) 0,3 4) 0,2664.12 vTqvaT, 4,5091


22 romel or momdevno mTel ricxvs Sorisaa moTavsebuli ricxvi:3a) 2 , b) 35 , g) 5- 4034 6, d) 200 , e) 450 , v) 800 .23 gaamartiveT gamosaxuleba:3 3 3 3 4 4 3 3 5 5a) 4 $ 250, 243 $ - 3, 72 $ 18, 2 $ 256,128 $ 8;3 4524b) ,162,64 3,-250,3 4 5381 32 486 432344 8 4g) ,48,1280,512,6256 345 3224 gamoTvaleT:6 6 8 88a) 7 , 2 ,8 ^ 2 ,4- h _-5i5 53b) 5 ,3 3 39^ 2 , 2 ,9- h _-5i .44875;4818754.25 vTqvaT, 0≤a


30 vTqvaT, 0,125


1.6 proporcia da ukuproporcia1) saRebavi qilebiT iyideba. TiToeul qilaze vkiTxulobT:qilaSi 3 kg saRebavia da gankuTvnilia 8 kvadratulimetri farTobis SesaRebad.ramdeni qila unda viyidoT, rom 18 kvadratuli metrifarTobis kedeli SevReboT?vTqvaT, saWiroa x kg saRebavi. maSin ar gagiWirdebaTproporciis dawera, romlidanac x-is povnaa SesaZlebeli:x18 =3 8 , (1)TiToeuli Sefardeba xom 1 kvadratuli metris SesaRebad saWiro saRebavisodenobas miuTiTebs.(1) proporcia SeiZleba asec CavweroT:188= x 3 . (2)• ras gviCvenebs am proporciis pirveli Sefardeba?• ras gviCvenebs am proporciis meore Sefardeba?proporciis ZiriTadi Tvisebis Tanaxmad, (1) tolobidan miiReba _18·3=x·8ipoveT x (an SeafaseT misi mniSvneloba) da upasuxeT kiTxvebs:• sakmarisi iqneba Tu ara 2 cali qila 18 kvadratuli metris SesaRebad?• ramdeni qila unda viyidoT?2) ganvixiloT proporciis gamoyenebis magaliTebi.magaliTi 1Tu kvadratis gverdi aris a, maSin misi perimetri gamoisaxeba formuliT:P=4a, perimetrisa da gverdis Sefardeba mudmivi sididea P =4. es Sefardebaazomis erTeulzec ar aris damokidebuli, Tu a=2 sm, maSin P=8 sm, P =4, Tuaa=3 dm, maSin P=12 dm, P a =4.Tu ori sidide ise icvleba rom maTi Sefardeba nulisgan gansxvavebulierTi da imave ricxvis tolia, maSin aseT sidideebs proporciuli sidideebiewodeba.Tu y da x proporciuli sidideebia, maSinx y =k (k nulisgan gansxvavebuliricxvia).Tu x 1da x 2aris x-is ori mniSvneloba, y 1da y 2_ y-is Sesabamisi mniS v nelobebi,maSin k= y 2x= y 12x, anu y 21y= x 21x_ es proporciuli cvladebis damaxa sia-1Tebeli Tvisebaa: Tu sidideebi ise icvleba, rom erTi sididis mniSvnelobebisSefardeba udris meore sididis mniSvnelobebis Sefardebas, maSin aseTisidideebi proporciuli sidideebia.• Tu sidideebi mxolod dadebiT mniSvnelobebs iRebs, maSin rogorCamoayalibebT proporciulobis (anu pirdapirproporciulobis) damaxasiaTebelTvisebas?58


magaliTi 2vTqvaT, avtomobilis gasavleli manZili 480 km-ia. sxvadasxva mudmivisiCqariT moZraobisas am manZilis gavlas sxvadasxva dro sWirdeba. cxrilSinaCvenebia t (sT) dros damokidebuleba V (km/sT) siCqareze:t (sT) 8 6 4 4,8v (km/sT) 60 80 120 100cxrilidan Cans, rom 8·60, 6·80, 4·120, 4,8·100 namravlebi tolia. esmosalodnelia, radgan yvela aseTma t·v namravlma erTi da igive manZili _gasavleli manZili 480 km unda warmogvidginos.tolobebi: 8·60=6·80=4·120=4,8·100 asec SeiZleba CavweroT:60:8 1 =80: 6 1 =120: 4 1 =100: 4,811maSasadame, 60, 80, 120, 100 ricxvebi da8 , 1 1, 6 4 , 1ricxvebi4,8proporciulia. am SemTxvevaSi vambobT, rom 60, 80, 120, 100 ricxvebi da 8,6, 4, 4,8 ricxvebi ukuproporciulia, anu t da v sidideebi ukuproporciulia.Tu x da y sidideebs Sesabamis mniSvnelobaTa nebismieri wyvilis xynamravli erTi da igive nulisgan gansxvavebuli ricxvia, maSin x da yukuproporciulia. vTqvaT, xy=k (k¹0). maSin k-s ukuproporciulobiskoeficienti ewodeba.x 1y 1=x 2y 2tolobidan vRebulobT proporcias y 2y 1= x 1x 2_ es ukuproporciulobis Tvisebaa.SevajamoT: gavixseneT proporcia _ proporcia ori Sefardebis tolobaa:ab = c d, a da d proporciis kidura wevrebia, b da c _ Sua wevrebi.proporciis ZiriTadi Tviseba ase Caiwereba:ad=bcganvixileT proporciuli da ukuproporciuli sidideebis magaliTebi.proporciulobis SemTxvevaSi sidideebis mniSvnelobebis Sefardeba erTi daimave, nulisgan gansxvavebuli ricxvis tolia, ukuproporciuli sidideebiki is sidideebia, romelTagan erT-erTi sididis mniSvnelobebi meorismniSvnelobebis Sebrunebuli ricxvebis proporciulia; ukuproporciulisidideebis mniSvnelobaTa namravli erTi da imave nulisgan gansxvavebuliricxvis tolia.1. ra aris proporcia?2. ra aris proporciis ZiriTadi Tviseba?3. ras ewodeba proporciuli sidideebi?4. ras ewodeba ukuproporciuli sidideebi?5. ra Tviseba aqvs proporciul sidideebs?6. ra Tviseba aqvs ukuproporciul sidideebs?59


aSearCieT swori pasuxi1 romeli tolobaa proporcia?1) 2+3=20:4 2) 15–5=100:10 3) 48:6=240:30 4) 2·7=16–2.2 avtomobilma 3 saaTSi 125 kilometri gaiara. ra dro dasWirdeba masimave siCqariT moZraobisas 200 km-is gasavlelad? am kiTxvaze pasuxisgasacemad romel proporcias ver gamoiyenebT?1)3125 = 200x2)3125 =200 x3) 1253 =200 x4) 125200 =3 x .3 Sefardebebis romeli wyvilisgan SeiZleba proporciis Sedgena?1) 459 , 10 22) 6 8 , 4 33) 4012 , 4 954 ipoveT x:4=15:3 proporciis ucnobi wevri.1) 12 2) 6 3) 60 4) 20.4)818 , 20 45 .5 Tu y sidide x-is proporciulia, x 1da x 2x-is ori mniSvnelobaa, y 1da y 2maTi Sesabamisi mniSvnelobebi (y sididis), maSin1) y 1y 2= x 1x 22) y 1y 2= x 2x 13) x 1y 1=x 2y 24) x 2-x 1=y 2-y 1.6 Tu y aris x-is ukuproporciuli, x 1da x 2aris x-is ori mniSvneloba,y 1da y 2aris maTi Sesabamisi mniSvnelobebi (y-is); maSin1)y 1y 2= x 1x 22) y 1y 2= x 2x 13) y 1x 2=y 2x 14) y 2-y 1=x 2-x 1.7BTu AE=ED=DC, maSin1) S BDCS ABD= 1 32) S BDCS ABD= 1 2AEDC3) S BDCS ABD= 2 34) S BDCS ABD= 2 5 .8 klasSi gogonebisa da biWebis raodenobebisSefardeba aris 5:3. klasSi 12 biWia. ramdeni gogonaaklasSi?1) 25 2) 16 3) 18 4) 20.9 SearCieT ukuproporciuli sidideebi:1) wesieri samkuTxedis gverdi da misi perimetri2) mravalkuTxedis gverdebis n ricxvi da kuTxeebis jami3) samkuTxedis gverdebi da am gverdebisadmi gavlebuli simaRleebi4) kubis moculoba da misi zedapiris farTobi.60


10 SearCieT proporciuli sidideebi.1) kubis erTi waxnagis farTobi da misi zedapiris farTobi2) kubis erTi waxnagis farTobi da misi moculoba3) samkuTxedis gverdebi da am gverdebisadmi gavlebuli simaRleebi4) kvadratis diagonali da misi farTobi.11 rukaze, romlis masStabia 1:400 000, erT-erTi arxis sigrZe 32 smsigrZis monakveTiTaa gamosaxuli. romel proporcias gamoiyenebT amarxis sigrZis (sm-Si) sapovnelad?1) 1:400 000=32:x 2) 1:400 000=x:323) 32:400 000=1:x 4) 400 000:32=x:1.amoxseniT amocanebi12 TviTmfrinavi erTi qalaqidan meoreSi Cafrenas2,7 saaTs andomebs. am qalaqebs Soris manZili3630 km-ia. miaxloebiT ramden saaTs moandomebses TviTmfrinavi imave siCqariT frenisas 5687km-is gavlas? daamrgvaleT pasuxi meaTedebamde.SeiZleba gamoiyenoT kalkulatori.13 mxatvari saWiro feris misaRebad erTmaneTsurevs 2 nawil wiTel saRebavs da 3 nawilyviTel saRebavs. ramdeni grami wiTeli saRebavidasWirdeba mas 12 g yviTel saRebav-Tan Sesarevad?14 siarulisas 60 wuTSi Cven 200 kalorias vxarjavT.miaxloebiT ramden kalorias davxarjavT siarulisas15 wuTSi?15 kote 2 wuTSi 84 sityvas krefs. man Seafasa, romdasabeWdi aqvs miaxloebiT 420 sityva. sul mcire dadro dasWirdeba mas 420 sityvis asakrefad?16 erT-erT arCevnebSi deputatobis kandidatma miiRo 20 000 moqalaqisxma. mis mier miRebuli xmebis raodenoba ise Seefardeba yvela danarCenikandidatis mier miRebuli xmebis saerTo raodenobas, rogorc 4:3.ramdeni xma miiRo yvela danarCenma kandidatma erTad?17 16 wT-Si Seavses cisternis 0,56 nawili. moaswreben Tu ara 3 sT 30wT-Si 7 aseTive cisternis Sevsebas?18 cnobilia, rom 17 litri navTis masa 13,6 kg-ia. Caeteva Tu ara 12 kgnavTi 16-litrian WurWelSi?61


19 erTnairi sigrZis ori oTaxidan erTissigane 4 metria, meoris _ 3,2 m. pirvelioTaxis iatakis SesaRebad 0,6 kg saRebavidaixarja. sakmarisi iqneba Tu ara 0,5 kgsaRebavi meore oTaxis iatakis SesaRebad?20 ori tumbos erTdrouli muSaobiT wyliT savse auzidan 15 saaTisganmavlobaSi amotumbes wyali. ra dro dasWirdeboda imave auzidanwylis amotumbvas, Tu imave tipis 5 tumbos gamoviyenebdiT?21 5 c (centneri) rZisgan 80 kg yveli miiRes.a) ramdeni kg yvelis miReba SeiZleba 3 crZisgan, 12 c rZisgan?b) ramdeni centneri rZea saWiro 8 kg yvelismisaRebad, 16 kg yvelis misaRebad?22 Tu WiqaSi 8 Cais kovz Saqris fxvnils CavyriT,aivseba Wiqis 2 . ramdeni Cais kovzi Saqris fxvniliT3SeiZleba 2 aseTive Wiqis avseba, aseTive Wiqis 1 -is avseba?223 SearCieT qvemoT CamoTvlilTagan proporciuli daukuproporciuli sidideebi.a) marTkuTxedis fuZe da simaRle, roca farTobi ucvlelia;b) kubis wibo da moculoba;g) muSis mier detalis damzadebisTvis daxarjuli dro da mis miercvlaSi (1 dRis samuSao droSi) damzadebuli detalebis raodenoba;d) wignis wakiTxuli gverdebis ricxvi da wasakiTxi gverdebis ricxvi;e) samkuTxedis gverdebi da maTdami gavlebuli simaRleebi.24 gavixsenoT, rom sxeulis masa misi simkvrivisa da moculobisnamravlis tolia:a) rogor Seicvleba sxeulis simkvrive,Tu mis moculobas 1,5-jer gavzrdiT?b) rogorc Seicvleba sxeulis moculoba,Tu mis simkvrives 2,5-jerSevacirebT?g) moiZieT saTanado monacemebi fizikis cnobarebSi an internetSi dadaadgineT: ramdenjer metia raime moculobis mqone aluminis sxeulismasa amave moculobis mqone vercxlis sxeulis masaze?62


25 marTkuTxa paralelepipedis sigrZe 2-jer gaadides, sigane _ 3-jer.rogor unda SevcvaloT simaRle, rom moculoba ucvleli darCes?26 avtomanqanis gadacemaTa kolofSi ori kbilanadisko dakavSirebulia erTmaneTTan. pirvels aqvs17 kbilana, meores _ 40. pirvelma diskom 500bruni gaakeTa. ramden bruns gaakeTebda meoredisko?27 gogonam sami albomi iyida, amis Semdeg mas darCa 2 lari da 10TeTri. ra Tanxa darCeboda gogonas, eqvsi albomi rom eyida? SeiZlebaTu ara amocanis kiTxvaze pasuxis gacema?28 sandro skolidan saxlisken gaemarTa. imave drossaxlidan mis Sesaxvedrad dedamisi gamoemarTaorjer ufro Cqari svliT. romeli maTgani iqnebaskolasTan ufro axlos Sexvedris momentSi?29 vatom Tavis das mariams aseTi amocana SesTavaza:`sami qaTami 3 dReSi 3 kvercxs debs. ramden kvercxsdadebs 12 qaTami 12 dReSi?mariamma swrafad upasuxa _ 12 kvercxs. sworia Tu ara mariamispasuxi?30 samma xelosanma 5 dReSi 60 fanjara SeReba. ramdenixelosani iqneba saWiro, rom 2 dReSi 64 fanjaraSeiRebos?31 momaragebuli iyo 7 Tvis manZilze 560jariskacis samyofi sakvebis maragi. saWirogaxda am sakvebis 10 Tveze ganawileba. amitomjariskacebis nawili sxva qalaqSi undagadaiyvanon. ramdeni jariskacia gadasayvani?32AMBKCABC samkuTxedis farTobi 36 sm 2 -ia. ACgverdze aRebulia K wertili ise, romAK:KC=2:1. AB gverdze aRebulia M wertiliise, rom AM:MB=1:3.ipoveT AMK samkuTxedis farTobi.33 kubi, romlis wibos sigrZe aris 1 m daWres kubebad, romlis wibo1 sm-ia. es kubebi mWidrod daalages erT wrfeze. ra sigrZis mwkvrivimiiReba?63


34 vTqvaT, S manZilia (km-Si), t _ dro (saaTebSi), v siCqarea, v=18 km/sT.• CawereT formuliT S sididis damokidebuleba t droze mocemulisiCqaris SemTxvevaSi.• ra damokidebulebaa S da t sidideebs Soris?• ra formuliT Caiwereba igive damokidebuleba, roca siCqare m/wmiTaris gamosaxuli, S _ metriT, xolo t _ wamiT?35 cnobilia, rom y aris x-is proporciuli. proporciulobiskoeficienti k= 1 . risi tolia gamotovebuli elementi am sidideebis2mniSvnelobaTa Semdeg (x; y) wyvilebSi:(2; ....), (–5; ....), (....; 3), (0; ....)?36 cnobilia, rom wrfiv orucnobian gantolebaTa sistemis pirveligantolebis ucnobebis koeficientebi proporciulia meore gantolebisucnobebis koeficientebis.a) SeiZleba Tu ara, rom aseT sistemas hqondes erTaderTi amonaxsni?b) SeiZleba Tu ara, rom aseT sistemas hqondes uamravi amonaxsni?g) SeiZleba Tu ara, rom sistemas ar hqondes amonaxsni?37 a) daasabuTeT: Tu raime samkuTxedis gverdebi mocemuli marTkuTxasamkuTxedis gverdebis proporciulia, maSin es samkuTxedic marTkuTxaa.b) CamoayalibeT Sebrunebuli Teorema. WeSmaritia Tu mcdari esTeorema?38 WeSmaritia Tu ara debuleba: Tu raime ori samkuTxedi marTkuTxaa,maSin maTi gverdebi proporciulia?64


1.7 proporciul nawilebad dayofaCven ukve vicnobT statistikur monacemTa TvalsaCinod warmodgenis erTerTxerxs _ monacemTa warmodgenas wriuli diagramiT, romelic, rogorcwesi, monacemTa Soris Tanafardobis TvalsaCinod gamosaxvisTvis gamoiyeneba.vTqvaT, maRaziaSi dRis ganmavlobaSi puris gayidvidanSemosuli Tanxa navaWris 40%-ia, Saqris gayidvidanSemosuli Tanxa navaWris 18%-ia, karaqis _ 15%, sxvaproduqtebis _ 27%. Sesabamisiwriuli diagramis asagebad saWiroa15%360 0 davyoT mocemuli ricxvebis27%proporciul nawilebad da vipovoT im18%centruli kuTxeebis zomebi, romelTaSesabamisi seqtorebi warmogvidgens40%oTxive monacems. magaliTad, vTqvaT, gvsurs 462 davyoT2-is, 4-isa da 5-is proporciul nawilebad. es niSnavsvipovoT sami ricxvi a, b, c, romelTa jamia 462 da romlebicproporciulia 2-is, 4-is, 5-is; e. i.a2 , b 4 da c Sefardebebi tolia.5Tu proporciulobis koeficienti aris k, maSina=2k, b=4k, c=5k,462=2k+4k+5k, saidanac, k=42, 2k=84, 4k=168, 5k=210.• axseniT, zemoT ganxiluli wriuli diagramis Sedgenisas ratom gviwevsmxolod 360 0 -is 0,4; 0,18; 0,15; 0,27 nawilebis povna?SevajamoT: ganvixileT ricxvis mocemuli ricxvebis proporciul nawilebadgayofis magaliTebi.aSearCieT swori pasuxi1 Tu samkuTxedis kuTxeebi 1, 2 da 3-is proporciulia, maSin misiumciresi kuTxe aris1) 45 0 2) 30 0 3) 90 0 4) 25 0 .2 Tu oTxkuTxedis kuTxeebi 1, 2, 3 da 4-is proporciulia, maSin misiudidesi kuTxis zoma aris1) 36 0 2) 216 0 3) 108 0 4) 144 0 .3 samkuTxedis gverdebi SeiZleba iyos proporciuli ricxvebis1) 2, 3, 7 2) 1, 2, 3 3) 1, 3, 4 4) 3, 4, 5.65


4 Tu samkuTxedis gverdebi 6, 8, 10-is proporciulia, maSin essamkuTxedi1) maxvilkuTxaa 2) marTkuTxaa3) blagvkuTxaa 4) ar aris marTkuTxa.5 samkuTxedis perimetri 180 sm-ia. misi gverdebi 5, 12 da 13-isproporciulia. ipoveT am samkuTxedis umciresi gverdis sigrZe.1) 15 sm 2) 12 sm 3) 10 sm 4) 30 sm.6 ipoveT samkuTxedis udidesi kuTxe, Tu misi kuTxeebi proporciulia2-is, 3-isa da 7-is.1) 115 0 2) 135 0 3) 145 0 4) 105 0 .7 ipoveT samkuTxedis umciresi kuTxe, Tu kuTxeebi 1, 3 da 4-isproporciulia.1) 20,5 0 2) 22,5 0 3) 21,5 0 4) 18,5 0 .amoxseniT amocanebi8 cnobilia, rom sami mdinaris sigrZeebi 21-is, 18-isa da 16-isproporciulia. umciresi maTgani 500 km-iT moklea udidesze. ipoveTTiToeuli mdinaris sigrZe.9 muSebis sami brigada erTnair samuSaossxvadasxva droSi asrulebs: pirveli _8 saaTSi, meore _ 6 saaTSi, mesame _ 5saaTSi. erTsa da imave droSi maT sul 118erTnairi detali daamzades. ramdeni detalidaumzadebia TiToeul maTgans?miTiTeba. gaiTvaliswineT, rom 1 saaTSi pirveli samuSaos 1 8 -sasrulebs, meore _ 1 6 -s da mesame 1 5-s. maSasadame, 118 undagavyoT miRebuli ricxvebis proporciulad.10 samkuTxedis gverdebi 3-is, 5-isa da 6-is proporciulia. udidesigverdi umciress aRemateba 64,2 sm-iT. ipoveT samkuTxedis gverdebi.11 ori kubis wiboebi ise Seefardeba, rogorc 3:4. maTi moculobebisjami 156 sm 3 -ia. risi tolia TiToeuli kubis moculoba?12 sami ricxvis jami 140-ia. pirveli ricxvi ise Seefardeba meores,rogorc 2:3. meore ise Seefardeba mesames, rogorc 4:5. ipoveT esricxvebi.13 arsebobs Tu ara iseTi samkuTxedi, romlis pirveli gverdi iseSeefardeba meores, rogorc 2:3, meore ise Seefardeba mesames, rogorc4:5?66


14 im samuSaosTvis, romelsac pirveli muSa 4 sT-Si asrulebs, meores6 sT sWirdeba, mesames _ 4,5 sT. aseTi muSaobiT samivem erTadcvlaSi 460 erTnairi detali daamzada. ramdeni detali daumzadebiaTiToeuls?15 Senadnobi Sedgeba spilenZis, vercxlisa da nikelisgan, romelTamasebi 13-is, 4-is da 3-is proporciulia. ipoveT Senadnobis masa, TuSenadnobSi 4,8 kg-iT meti spilenZi Sedis, vidre nikeli.16 ori qalaqidan, romelTa Soris 280 kilometria,erTmaneTis Sesaxvedrad moto cikli da avtomanqanagamovida. avtomanqanis mier 2 saaTSi gavlili manZi lisgasavlelad motocikls 5 saaTi sWirdeba.maTi Sexvedris momentSi ra manZili eqnebagavlili avtomanqanas?17 moswavleebma iyides erTnairi wignebi daerTnairi rveulebi, sul _ 40 cali. yoveliwignis fasis Sefardeba rveulis fasTan aris 3:2. yvela wignSi imdenivegadaixades, ramdenic yvela rveulSi. ramdeni wigni iyides?miTiTeba. SeiZleba airCioT aseTi gza _ 40-is gayofa 1 3 da 1 2 -isproporciul nawilebad; ratom?18 vTqvaT, wertili moZraobs ABC tolgverda samkuTxedis gverdebzeda gadaadgildeba A-dan B-Si 4 m/wm siCqariT, B-dan C-Si _ 3 m/wmsiCqariT, xolo C-dan A-Si _ 6 m/wm siCqariT. mTeli gzis gasavleladmas sWirdeba 36 wm.• ra manZils gadis 1 wm-Si wertili A-dan B-sken moZraobisas?• ra manZils gadis 1 wm-Si wertili B-dan C-Si moZraobisas?• ra manZils gadis 1 wm-Si wertili C-dan A-Si moZraobisas?• ra dros xarjavs wertili TiToeuli gverdis gavlisas?• risi tolia TiToeuli gverdis sigrZe?19 maRaziam gamomcemlobidan Seisyida 4-lariani,5-lariani da 10-lariani wignebi. sul _ 880 cali.amasTanave, 4-larian, 5-larian da 10-larian wignebSierTnairi Tanxebi gadaixada.• ra ricxvebis proporciulia TiToeuli fasiswignebis odenobebi?• ramdeni 4-lariani, 5-lariani da 10-lariani wigni iyida maRaziam?20 Brogor gavyoT samkuTxedi B-dan gavlebuliwrfiT (wrfeebiT):a) toli farTobebis mqone or samkuTxedad?b) or samkuTxedad, romelTa farTobebisSefardebaa 1:2?g) or samkuTxedad, romelTa Sefardebaa 2:3?AC d) sam samkuTxedad, romelTa farTobebisSefardebaa 1:2:3?67


1.8 ricxviTi utoloba. utolobaTa damtkicebagavixsenoT, rom ricxvebs ricxviTi wrfis wertilebiT gamov saxavT.C D A B–3 –2 –1 0 1 2 3magaliTad, suraTze B da C wertilebiT, Sesabamisad, 2,6 da –2,3-iagamosaxuli. A wertili gamosaxavs 2-s (OA= 2 _ im kvadratis diagonalissigrZea, romlis gverdi 1 erTeulia).ori namdvili ricxvidan isaa meti, romelic ricxviT wrfezeufro marjvnivaa (romlis Sesabamisi wertili ufro marjvnivaa);magaliTad,2>1; 1>–2,2; 0>–2,2; 2,5> 2. (1)Tu a ricxvi metia b ricxvze, vwerT: a>b. am SemTxvevaSi vityviT agreTve,rom b naklebia a-ze da vwerT: bb da c nebismieri ricxvia,maSin a+c>b+c3. (ricxvze gamravleba)Tu a>b da c>0, maSin ac>bc;Tu a>b da cd,maSin a+c>b+d5. (utolobaTa gamravleba)Tu a, b, c, d dadebiTi ricxvebia daa>b, c>d, maSin ac>bdmagaliTi7>5 da 5> 2 utolobebidan gvaqvs:7> 2.9>3, 9+2>3+2,11>52>1 da 3>0 utolobebidan miiReba3 2>3.–31amitom 5+ 2>3+1; 5+ 2>4radgan 2>1, 5>2,amitom 10>2.68


es Tvisebebi SeiZleba sxva formiTac warmovadginoT _ gaviTvaliswinoT,rom, Tu a>b, maSin bb>c, an c1; 5≥2≥1; a 2 ≥0≥-a 2 .am ormag utolobebsac aqvs zemoT dasaxelebuli xuTi Tviseba.magaliTad,Tu 2


sutolobis > da < niSnebi ingliselma maTematikosma heriotma(1560-1621) SemoiRo. am niSnebis SemoReba tolobis niSnebisSemoRebidan 74 wlis Semdeg moxda. aRsaniSnavia heriotis wvlilimaTematikuri Canawerebis gamartivebaSic.aSearCieT swori pasuxi1 Tu a–b=–1,5, maSin1) a=b 2) a>b 3) a≤b 4) a=b.2 Tu a–b=0, maSin1) a≤b 2) aa 4) –b–6,5a, maSin1) a=0 2) a>0 3) ab, maSin1) –a>–b 2) –abd 2) ac=bd 3) ac≥bd 4) ac≤bd.8 Tu x nebismieri namdvili ricxvia, maSin1) |x|a 4) b≤3


12 Tu 3


23 x>-15, y≤-2,5. CamoTvlilTagan romeli mniSvnelobis miRebaSeuZlia x-2y gamosaxulebas?1) -12,5 2) -10 3) -20 4) 0.amoxseniT amocanebi24 vTqvaT, a da b dadebiTi ricxvebia da a11.a bb25 vTqvaT, a dadebiTi ricxvia. daasa buTeT ori xerxiT (sxvaobisganxilviT da saSualoebs Soris kavSiris ganxilviT):a +1a$ 2.26 vTqvaT, a uaryofiTi ricxvia. daasabuTeT sxvadasxva xerxiT (magaliTad,gamoiyeneT utolobaTa Tvisebebi, saSualo sidideebs Sorisdamokidebuleba): a +1a# - 2.27 cnobilia, rom a≥7,2, b≥-2,4.a) ra umciresi mniSvnelobis miReba SeuZlia a+b gamosaxulebas,b) ra umciresi mTeli mniSvnelobis miReba SeuZlia a+b gamosaxulebas?28 cnobilia, rom a≤3,4, b


35 gamosaxulebaSi gamoyaviT sruli kvadrati da ipoveT am gamosaxulebisumciresi mnvneloba:a) 4x 2 +4x+9, b) a 2 +4a+1,g) 25x 2 -20x+12, d) 16a 2 -40a+50.36 giorgim 3 sT avtomobiliT imgzavra, 5 sT _ motocikliT; laSam _ 4sT avtomobiliT, 4 sT _ moticikliT. orive SemTxvevaSi avtomobilissiCqare iyo v 2, motociklis _ v 1, v 2>v 1. SeadareT giorgisa da laSasmier gavlili manZilebi.37 suraTze marTkuTxa samkuTxediagamosaxuli: a, b kaTetebiTa da chipotenuziT. vTqvaT, CD=h simaRlea,AD=d, DB=e.• piTgoras Teoremis gamoyenebiT h 2gamo saxeT jer b da d ricxvebiT, Semdeg_ e da a ricxvebiT.• SekribeT miRebuli tolobebi da gamosaxeT h 2 hipotenuziTa da d da e ricxvebiT.• h gamosaxeT d da e ricxvebiT _ daasabuTeTM rom marTkuTxasamkuTxedis marTi kuTxis wverodan gavlebuli simaRleL hipotenuzazekaTetebis gegmilebis (d-s da e-s) geometriuli saSualoa.• daasabuTeT, rom marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis wverodangavlebuli mediana kaTetebis gegmilebis ariTmetikuli saSualoa.• gamoiyeneT dasabuTebuli debulebebi da warmoadgineT saSualoebsSoris (ariTmetikulsa da geometriuls Soris) Tanafardobis kideverTi geometriuli damtkiceba.38 vTqvaT, a, b da c dadebiTi ricxvebia. daasabuTeT:a + b + c $ ab + bc + acmiTiTeba. gamoiyeneT saSualoebs Soris kavSirebi a da b, ada c, b da c wyvilebisTvis.39 (jgufuri muSaoba) a) daasabuTeT sxvadasxva xerxiT: Tu a da bdadebiTi ricxvebia da a>b, maSin a 2 >b 2 (geometriuli xerxi, algebrulixerxi, sawinaaRmdegos daSvebis xerxi).b) daasabuTeT sxvadasxva xerxiT:• Tu a>b, maSin a 3 >b 3 .• Tu a 3 >b 3 , maSin a>b.g) vTqvaT, a, b, c, d dadebiTiricxvebia. daasabuTeT, Tu ad-bc


40 daasabuTeT: Tu a>0, b>0, c>0, maSin2a)


1.9 wrfiv erTucnobian utolobaTa sistema1) gavixsenoT wrfiv erTucnobian utolobaTa amoxsnis magaliTebi, amonaxsnTasimravleebis geometriuli gamosaxva. gavecnoT im aRniSvnebs, romlebicricxviTi simravleebis erT-erTi saxis _ ricxviTi Suale debisTvisgamo iyeneba:wrfivierTucnobianiutoloba anormagi utolobamisi tolfasiutoloba,romliTacamonaxsnebimoicemageometriuligamosaxvaamonaxsnebissimravlis(ricxviTiSualedis)aRniSvna6x>4,8 x>0,8 (0,8; +∞)3x≥12 x≥4 [4; +∞)5x


amoxsna. vTqvaT, moZraobis siCqarea xkm/sT. pirobiT A-dan C-Si CasvlaSi4sT-ze naklebi dro ar unda daxarjos, anu 4 saaTSi gavlili manZili ar undaiyos meti 400km-ze: 4x≤400. xolo mTeli manZilis (400+480=880(km)) gavlazeunda daxarjos 11 sT, an naklebi (aq gaviTvaliswineT C-Si erTsaaTianigaCereba), anu 11 saaTSi gavlili manZili ar unda iyos naklebi 880-ze:11x≥880.veZebTa x-is im mniSvnelobebs, romlebic orive pirobas akmayofilebs _ anumocemul utolobaTa saerTo amonaxsnebis simravles (utolobaTa amonaxsnebissimravleebis TanakveTas). SeiZleba asec vTqvaT: vxsniT utolobaTa sistemas:4x# 400)11x$ 880. (1)es erTunobian utolobaTa sistemaa.erTucnobian utolobaTa sistema orze meti utolobisganac SeiZlebaSedgebodes. magaliTad,*3x> 64x< 105x> 15 .am sistemis amonaxsni aris x-is is mniSvnelobebi, romlebic samiveutolobas akma yofilebs.amovxsnaT utolobaTa sistema niSnavs, vipovoT yvela misiamonaxsni an davadginoT, rom sistemas ara aqvs amonaxsni.or sistemas ewodeba tolfasi sistemebi, Tu maTi amonaxsnebis simravleebitolia.magaliTad, (1) sistema tolfasia sistemis:x # 100)x $ 80 .gamovsaxoT amonaxsnebis simravleebi (TiToeuliuto lo bis) erT wrfeze:(2)zogjer TiToeul simravles calkeul sakoordinatowrfeze gamosaxaven.maSasadame, orive utoloba WeSmaritia, roca80≤x≤100. (1) utolobis amonaxsnTa simravle [80; 100]Sualedia;avtomobilis siCqare unda iyos aranakleb 80 km/sTda araumetes _ 100km/sT.(2) sistema tolfasia x > 2* x < 25 ,sistemis.x > 376


am SemTxvevaSic amonaxsnTa simravlis Zieba orgvarad CavatarOoT:suraTidan Cans, rom ar arsebobs x-is mniSvneloba, romelic samiveutolobas akmayofilebs. sistemas amonaxsni ara aqvs.aSearCieT swori pasuxi1 A=(–2; 18) da B=(-4; 11) ricxviTi Sualedebis TanakveTa A∩B=1) (-4;18) 2) (-2;11)3) (-4;11) 4) (-2;18).2 mocemulia formulebi:a) 3∈[3; 18), b) 3∈ (3; 18) , g) 3∈ [2; 5), d) 3∈ (5; 18).maTgan WeSmaritia1) b) 2) d) 3) a) da g) 4) mxolod g).3 vTqvaT, 4


7 a-s mniSvnelobebi, romlebisTvisacx > 5) sistemas ara aqvs amonaxsni,x < aaris1) 5-ze meti ricxvebi 2) 7-ze meti ricxvebi3) ricxvebi, romlebic 5-s ar aRemateba 4) 6-ze meti ricxvebi.8 Tu A aris ax+b>0 utolobis amonaxsnTa simravle, B aris cx+d>0uto lobis amonaxsnTa simravle (x ucnobia), maSinax + b > 0)cx + d > 0sistemis amonaxsnTa simravle aucileblad aris1) A∪B 2) A∩B 3) A 4) B.9 x < 1)x # 3sistemis amonaxsnTa simravlea1) (–∞,1) 2) (1; 3) 3) (3;+ ∞) 4) (–∞; 1].10x # 2)x > 1utolobaTa sistemis amonaxsnTa simravlea1) (2; 1) 2) (1;2] 3) (1; 2) 4) (–∞; 2].11x $ - 1)x > 2sistemis amonaxsnTa simravlea1) (2; +∞) 2) [2;+ ∞) 3) (–2;2) 4) (–∞; –1].amoxseniT amocanebi12 amoxseniT sistema:x - 2 > - 1a) * b)x + 5 < 9 ,Zx $ 35 ,]d) [ x < 10e)]x > 0 ,\1 + y # - 3*y - 2 $ - 8,g)Zx < 1]-[ x < - 21 ,]x > - 18 , ,\v)4y+ 21 $ 3*10 - 9y$ 1,*x > - 15 ,x# 0x < 5 .78


13 amoxseniT sistema:7xa)- 12 $ 13x6y- 1 < 3y+ 14* b) *1 - 4x> 13 , 8 - y > 3y,g)d)3z+ 2 $ 7 + 4z* e) 2x+ 6 > 3x- 1*4z- 1 # 2z+ 7,5x- 1 $ 2x+ 8,v)z - 9 $ 3z- 3*3z+ 4 $ z + 110,2z+ 8 # z + 4)2z+ 8 $ z - 1.11 amoxseniT sistema:y y>a) 2- 3* 5b)21 - y > 1,x -d)>2 1 1* e)x + 3 > 0,3x+ 5 > 5* xg)x $ 8,5-2x> - 3* x x,8- #4 2 1v)*xx - 3,-10x< 35,\ Z\Z-5x> - 202 ,5 2x# 4]]-g) [ 3x> - 2d) [ 3x- 1125 , # 102 ,]-4x< 1225 , ,]3x$ 1 2x,\-\ZZ24, 5x+ 20 # 1 - 45 , x 5 2x> 9 x]]+ -e) [ 1 - x $ 3x+ 5v) [ x + 28,4 $ 9 - 3x]]10, 01 - 3x# 2 - 5x,4x- 1 > 10, 4 - 2x.\\16 A da B iaxtebze erTad 49 mgzavria. A-ze ufrometi mgzavria, vidre B-ze. B-zemgzavrTa gaoTxkecebisas ufrometi mgzavri aRmoCnda, vidre A-ze66 mgzavris damatebisas. ramdenimgzavria TiToeul iaxtaze?17 A da B punqtebidan, romelTa Soris 300 km-ia, gamovida oriavtomobili. A-dan gamosulis siCqare 25km/sT-iT metia B-dangamosulis siCqareze. isini erTmaneTs Sexvdnen moZraobis dawyebidan 2sT-ze nakleb droSi. siCqaris SezRudva am gzaze 90km/sT-ia. moaswrebsTu ara B-dan gamosuli avtomobili A-Si Casvlas 4 sT-Si?79


18 erT-erTi raionis pensionerebisTvis gamoyofilisamgzavro baraTebis odenoba 10-is jeradia.baraTiT isargebla 300-ze naklebma pensionerma, racgamoyofili samgzavro baraTebis odenobaze 120-iTnaklebi aRmoCnda. 2-jer meti baraTi rom gamoeyoT, maSin baraTebisodenoba 800-s gadaaWarbebda. ipoveT im pensionerebis odenoba, vincsamgzavro baraTiT isargebla.19 120 litri tevadobis avzSi A miliT yovel wuTSi 12 litri wyaliCaedineba; B miliT avzidan wyali gaedineba. Tu carieli avzis orivemils erTdroulad gavxsniT, 10 wuTSi avzSinaxevarze naklebi da meoTxedze meti wyalidagvigrovdeba. wuTSi ramdeni litri wyaligaedineba B milidan?20 ipoveT a, Tu cnobilia, rom3x- 6 $ 0)10 + 3x# a - 4utolobaTa sistemas aqvs erTaderTi amonaxsni.21 samkuTxedis gverdebi mTeli ricxvebiT gamoisaxeba. risi toliSeiZleba iyos erT-erTi gverdi, Tu:a) sxva ori gverdis sigrZeebia: 5sm da 4 sm, perimetri ar aRemateba15 sm-s.b) sxva ori gverdis sigrZeebia: 8 sm da 5sm, perimetri ar aRemateba 20 sm-s.80


2) praqtikuli amocanebis amoxsnisas xSirad gviwevs wrfivi or ucnobianigantolebis amonaxsnis mTel an naturalur ricxvebSi moZieba _ mTeli danaturaluri amonaxsnebis SerCeva. es SerCeva xSirad utolobebis amoxsnasukavSirdeba.mTel ricxvebSi gantolebebis amoxsnis sakiTxis SeswavlaSi aRsaniSnaviadiofantes (moRvaweobda III saukuneSi) Rvawli. mis saxels atarebs, magaliTad,gantolebaax+by=c (1)a, b da c mTeli ricxvebia, veZebT mTel amonaxsnebs.imedia ar gagiWirdebaT imis dasabuTeba, rom Tu (x 0; y 0) (1) gantolebiserT-erTi mTeli amonaxsnia da a da b Tanamartivi ricxvebia, maSin amgantolebis yoveli amonaxsni moicema formulebiT:sadac t nebismieri mTeli ricxvia.dasabuTebis sqema aseTi SeiZleba iyos:x=x 0+bty=y 0-at, (2)• SeamowmeT, rom (2) formulebiT mocemuli x da y ricxvebi akmayofilebs(1)-s.• vTqvaT, (x 1; y 1) aris (x 0; y 0)-isgan gansxvavebuli raime mTeli amonaxsni,maSinax 1+by 1=ax 0+by 0,a(x 1-x 0)=b(y 0-y 1),x 1-x 0= ab (y0 -y 1).radgan x 1-x 0mTelia, amasTanave, b da a Tanamartivia, amitomy- y0 1vTqvaT,a =t. aCveneT, rom x1 =x 0+bt da y 1=y 0-at.amocanay- y0 1 mTelia.aSesaZenia 1 t xorbali. gvaqvs 60 kg da 80 kg tevadobis tomrebi. savsetomrebis ra umciresi odenoba dagvWirdeba, rom SeZenili xorbali sawyobSimivitanoT?amoxsna. vTqvaT, 60 kg-iani tomrebis odenobaa x, 80 kg-iani tomrebis _ y.maSin gvaqvs:60x+80y=1000,3x+4y=50. (3)veZebT am gantolebis amonaxsnebs arauaryofiT mTel ricxvebSi.cxadia, 3(–50)+4·50=50.maSasadame, (-50; 50) (3)-is erT-erTi (mTeli) amonaxsnia, amitom yvelaamonaxsni moicema formulebiT:x=-50+4t,y=50-3t.81


arauaryofiTi mTeli amonaxsnebis misaRebad mogiwevT t-s mimarT- 50 + 4t$ 0)50 - 3t$ 0sistemis amoxsna. Zt50] $4[] t #50 ,\3121# t # 162 , axla mTeli t ricxvebi unda SevarCioT:2 3t=13, 14, 15, 16.Sesabamisi arauaryofiTi amonaxsnebia:(2; 11), (6; 8), (10; 5), (14; 2). (4)maTgan pirveli _ tomrebis umcires odenobas Seesabameba: 2+11=13.axla (3) gantolebis mTeli arauaryofiTi amonaxsnebi sxva xerxiTvipovoT:• (3)-dan erT-erTi ucnobi gamosaxeT meoriT, magaliTad,2 ^25 - 2yh 25 2yx,-=> 0.33• SeecadeT (4) amonaxsnebi sinjvis meTodiT ipovoT.• SeadareT amoxsnis xerxebi erTmaneTs _ ra upiratesoba aqvs TiToeulmaTgans?SevajamoT: ganvixileT amocanebi, romelTa amoxsnisas SevadgineT erTucnobian utolobaTa sistema. ganvsazRvreT erTucnobian utolobaTasistemis amonaxsnTa simravle, romelic sistemis uto lobebisamonaxsnebis simravleebis TanakveTaa; igi SeiZ le ba carieli simravleiyos.1. ras ewodeba erTucnobian utolobaTa sistemis amonaxsni?2. ras niSnavs _ amovxsnaT utolobaTa sistema?3. SeiZleba Tu ara, rom utolobaTa sistemas ar hqondes amonaxsni?4. ra saxiT SeiZleba CavweroT yvela im ricxvis simravle, romelicmetia 5-ze?5. ra saxiT SeiZleba CavweroT yvela im ricxvis simravle, romelicar aRemateba 5-s?6. ra saxiT SeiZleba CavweroT im x ricxvTa simravle, romlebicmetia 3-ze da ar aRemateba 7-s?82


sdiofante _ III saukunis udidesi maTematikosia.mis naSromebSi tradiciulma berZnulma maTematikamaxleburi ganviTareba daiwyo _ algebruli gamokvlevebisruliad damoukidebeli gaxda (adreric xvebi aucileblad geometriul obieqtebsukavSirdeboda). diofantem daiwyo garkveuli simboloebis damkvidreba maTematikaSi. sxvadasxva konkretulisaxis gantolebaTa amoxsniT is iZleodaamo xsnis zogad wesebs. misi naSromi `ariTmetika~maTematikis istoriaSi erT-erTi umniSvnelovanesia.aSearCieT swori pasuxi22 -12≤x+3 - 12x + 3 < 10)x + 3 $ - 12x + 3 < 10)x $ - 12 .23x # 42 ,) sistema tolfasia ormagi utolobis:x > - 31)-4,2≤x


28 |x|>5 utolobis amonaxsnTa simravlea1) (–5; 5) 2) [-5; 5] 3) (–∞; –5)∪(5; +∞) 4) (5; +∞).29 |x|>-5 utolobis amonaxsnTa simravlea1) (-5; 5) 2) (-∞; +∞) 3) (–∞; –5)∪(5;+ ∞) 4) (5;+ ∞).amoxseniT amocanebi30 amoxseniT naturalur ricxvebSi (sxvadasxva xerxiT):a) 3x+5y=60, b) 5x+7y=140, g) 7x+9y=252,d) 5x+9y=180. e) 5x+13y=260.miTiTeba. e) I xerxi: cxadia, 5x+13y=260-is erT-erTi mTeliamonaxsnia (0; 20); nebismieri mTeli amonaxsnia x=0+13t;y=20-5t, t∈Z;13t> 0)20 - 5t> 0,t > 0)t < 4, t=1,2,3,pasuxi: (13;15); (26; 10), (39;5).II xerxi: 5x=260-13y, x=52-13 y; 552-13 y>0. aq y>0, y iyofa 5-ze, x>0. saidanac y=5, 10, 15;5Sesabamisadx=39, 26, 13.31 gvsurs 20,5 litri wveni gavanawiloT 0,7 l da 0,9l tevadobis qilebSi ise, rom yvela qila aivsos.qilebis ra umciresi odenoba ikmarebs?32 17x+19y=300 gantolebis erT-erTi mTeli amonaxsnia (2700; –2400).ipoveT gantolebis yvela naturaluri amonaxsni.33 gamoiyeneT wina amocanis Sedegi da amoxseniT amocana: 3000 litriRvino unda Camoasxan 170-litrian da 190-litrian kasrebSi. SeiZlebaTu ara Seivsos yvela gamoyenebuli kasri am odenobis RviniT?34 cnobilia, rom n cali 4-kilogramiani da m cali 5-kilogramianiindauris saerTo masa 26 kg-ia. ipoveT m da n.35 ormagi utoloba CawereT sistemis saxiT da amoxseniT es sistema:a) -1≤2x+1


36 amoxseniT ormagi utoloba:a) -5≤2+3x≤0, b) 1,2≤12,3-2x


II xerxi|3x-6|>6, 3|x-2|>6, |x-2|>2.am utolobas is x ricxvebi akmayofilebs,romlebidan 2-mde manZili2-ze metia, anu x∈(4; +∞), an x∈(-∞; 0).winadadeba: `x ekuTvnis (-∞; 0) Sualeds, an x ekuTvnis(4;+∞) Sualeds~ `simravlur enaze~ ase Caiwereba:x∈ (-∞; 0)∪(4; +∞).aq gamoyenebuli `an~ kavSiri niSnavs: sruldeba an erTimaTgani, an meore, an orive. TiToeul aseT SemTxvevaSi miRebuliamonaxsnebis gaerTianebiT miiReba amocanis amonaxsnTa simravle.41 amoxseniT sxvadasxva xerxiT:a) |x-0,5|0, b>0 2) a≤0, b>0 3) a


5 vTqvaT, ricxviT wrfeze a da b ricxvebis Sesabamis wertilebsSoris n erTeulia, c da d-s Soris _ m erTeuli da m>n. maSin am oTxiwertilidan kidura wertilebs Soris manZili SeuZlebelia naklebiiyos1) m-ze 2) m+n-ze 3) 2n-ze 4) 2m-ze.6 vTqvaT, ricxviTi wrfis M(x) wertilidan P(5) wertilamde manZili7,2 erTeulis tolia, maSin M-is kooridnati akmayofilebs gantolebas:1) |x-5|=7,2 2) |x+5|=7,2 3) |x|=5 4) |x|=7,2.7 Tu sakoordinato wrfis raime M(x) wertilidan N(-1) wertilamdemanZili 7,2-s ar aRemateba maSin x koordinati akmayofilebs utolobas1) |x-1|≤7,2 2) |x–1|


2) Tu dajarimdi, maSin avtomobilis marTvisas mobiluri telefoniTsaubrobdi3) Tu avtomobilis marTvisas mobiluri telefoniT saubrob, maSinar dajarimdebi4) Tu ar dajarimdi, maSin avtomobilis marTvisas mobi luritelefoniT ar saubrobdi.amoxseniT amocanebi13 racionaluria, Tu iracionaluri:a) 9, b) 5, g) 53 , d) 0,3030030003....,e) 5,272272227..., v) π, z) 22 , T) 3,14159,7i)3 , k) 5,(71).314 sqematurad ganalageT dasaxelebuli ricxvebisimravleebis mixedviT:a) 5, b) 16, g) –7, d) 1,732,e)-4 , v) 0,(345), z) –0,35(5), T) 11,5i) 5, k) 81.NZ QR15 nebismieri ori racionaluri ricxvis, vTqvaT a-s da b-s,ariTmetikuli saSualo b a+2b l aris racionaluri ricxvi, a da b-sSoris. nebismieri ori iracionaluri ricxvisTvisac aris Tu aramaTi ariTmetikuli saSualo iracionaluri ricxvi, romelic mocemulricxvebs Sorisaa?16 marTkuTxa samkuTxedis kaTetebze da hi potenuzaze agebulia naxevarwreebi, ra damo kidebulebaaSeferadebuli figurebis farTobebsSoris?17 CawereT standartuli saxiT ganayofi:0,00000930,00318 daalageT ricxvebi zrdis mixedviT: 4,8⋅10 5 ; 8,3⋅10 -4 ; 3,2⋅10 -1 .19 daalageT ricxvebi klebis mixedviT: 9,1⋅10 -5 ; 8,3⋅10 3 ; 1,5⋅10 1 ; 6,4⋅10 4 .88


20 TqvaT, kompiuteri yovel wm-Si 4 milionoperacias asrulebs. ra droSi Seasrulebs igi10 trilion (10 000 000 000 000) operacias?21 vTqvaT, kompiuters SeuZlia erTi operaciis0,000004 wm-Si Sesruleba. ramden wm-SiSeasrulebs 8 trilion operacias?22 vTqvaT, erTi kuburi milimetri sisxli5800000 wiTel nawilaks Sei cavs; ramdeni wiTelinawilakia 50 kubur milimetr sisxlSi?23 gamoiyeneT martiv mamaravlebad daSla da gaamartiveT (gamoitaneTmamravli fesvis niSnis gareT):a) 960, b) 3380, g) 307328,d) 1778112, e) 176256.24 amoxseniT utoloba:a) 3x>12, b) –2x≤17, g) (a 2 +1)x≥a,d) (-a 2 -1)x-a.25 or yuTSi 15 birTvia. pirveli yuTis birTvebisgaxuTkecebuli odenobac ki meore yuTSibirTvebis odenobaze naklebia. SeadgineTutoloba da daadgineT, ramdeni birTvi SeiZlebaiyos pirvel yuTSi.26 amoxseniT:a) –3


30 nikam 8000 lari or sxvadasxva bankSi ganaTavsa,erTSi wliuri daricxva 4%-ia, meoreSi _ 3%.erTi wlis Semdeg man orive bankidan 250 lariTmeti aiRo, vidre Seitana. ra Tanxa Seitana nikamTiToeul bankSi?31 Tu oqros Semcvel orSenadnobs 3:7 SefardebiT gadavadnobT, miviRebTSenadnobs, romelic 87% oqros Seicavs. 7:3Sefardebis SemTxvevaSi miiReba 83% oqrosSemcveli Senadnobi. ramden procent oqrosSeicavs I Senadnobi?miTiTeba. vTqvaT, I da II Senadnobebi Sesabamisad Pp% da q% oqrosSeicavs. pirvel SemTxvevaSi aviRoT 3m kg I Senadnobi da 7mkg II Senadnobi. (nu SegaSinebT amdeni axali cvladis Semotana!)pirvel gantolebas amocanis pirobis Tanaxmad aqvs saxe:p qm m , m m100 $ 3 + 100 $ 7 = 0 87 ^ 3 + 7 h.imedia ar gagiWirdebaT amave gziT meore gantolebis Sedgenacda miRebuli sistemis amoxsna.32* marilis xsnaridan ori litri wylis aorTqlebisSemdeg am xsnarSi marilis Semcveloba 20% gaxda.miRebuli xsna risTvis 10 litri gamoxdili wylisdamatebis Semdeg marilis pro centuli Semc veloba2-jer Semcirda. ipoveT marilis pro centuliSemcveloba sawyis xsnarSi (miviCnioT, rom 1 lwyali 1 kg-s iwonis).miTiTeba. aRvniSnoT sawyisi xsnaris wona x-iT (xkg), marilisprocentuli Semcveloba _ p%-iT. wylis aorTqlebis Semdegmarilis odenoba ar icvleba.90

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