Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral - Ee-cafe.org

P′Q −PQsin( −θ)= = = −sinθr rOQcos( −θ)= = cosθr(6.4.b)(6.4.c)Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecildari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilaiantara −1 dan +1.Fungsi Tangent.PQtan θ =(6.4.d)OQP′Q −PQtan( −θ)= = = − tan θ(6.4.e)OQ OQNilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0 o , dan akan menuju +∞ jika θ menuju90 o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ padawaktu θ menuju −90 o . Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞.Nilai tanθ = 1 bila θ = 45 o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1jika θ = −45 o . Lihat pula kurva pada Gb.6.5.Fungsi Cotangent.OQcot θ =(6.4.f)PQOQ OQcot( −θ)= = = −cotθ(6.4.g)P′Q − PQNilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0 o karena PQ akan menuju 0walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90 o karena OQ = 0.Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akanmenuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90 o karena P’Q menuju −∞. Lihat pulakurva Gb.6.6.5

Fungsi Secan dan Cosecan1 rsecθ = =(6.4.h)cosθOQ1 rcscθ = =(6.4.i)sin θ PQNilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90 o karena OQ menuju 0 dan secθ =1 pada waktu θ = 0 o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ = 1.Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju0. Lihat pula Gb.6.7.Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan denganmengunakan Gb.6.2., yaitucosαy1sinα cosββsinαsinα sinβαcosα sinββ-1 [0,0] 1 xcosα cosβ-1Gb.6.2. Relasi-relasisin( α + β)= sin αcosβ + cosαsinβcos( α + β)= cosαcosβ − sin αsinβ(6.5)Karenasin( −β)= −sinβdan cos( −β)= cosβmaka kita peroleh pulasin( α − β)= sin αcosβ − cosαsinβcos( α − β)= cosαcosβ + sin αsinβ(6.6)6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinusy = cos(x)(6.9)terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0atau θ = 0 o , mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90 o , mencapaiminimum −1 (arah negatif) pada x = π atau θ = 180 o , kembali nol pada x= 1,5π atau θ = 270 o , dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satuperioda, 2π.−π1,5y10,5-1,5Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus.Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik denganperioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yangsama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitusin( x)= −sin(−x)sedangkan cos( x)= cos( −x)(6.10)Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memilikisimetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebutmemiliki simetri genap.Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsisinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajarsumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakandalam cosinusy = sin( x)= cos( x − π / 2)(6.11)Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi-1perioda00 π 2π x-0,5sin( x)y = tan( x)=(6.12)cos( x)8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus.1y = sec( x)=(6.14.a)cos( x)Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus.1y = csc( x)=(6.14.b)sin( x)Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 karapada nilai x ini sin(x) bernilai 0.321-1,5π -π0-0,5π 0 0,5π π 1,5π-1-2(a) y = sec(x)-3321-1,5π -π0-0,5π 0-10,5π π 1,5π-2(b) y = csc(x)-3Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x)10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

2πyπ-1001xy0,5π0,25π−π−2π0-1 -0,5 0 0,5 1-0,25π-0,5πxa) b)Gb.6.8. Kurva y = sin −1 xJika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3.(fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkanhorizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akanmemperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentangπ π− ≤ y ≤ , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi2 2sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi.Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan−1π −1y = cos x = − sin x(6.16)2Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancipsegitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π/ 2 − α dan sin α = cosβ.Oleh karena itu jika sin α = x maka cos β = x sehingga−1cos x= β = π−1/ 2 − α = π / 2 − sin x12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Karena dengan pembatasanπ π− ≤ y ≤ pada fungsi sinus inversi2 2memberikanπ −1 π1− ≤ sin x ≤ maka nilai-nilai utama dari cos − x akan2 2terletak pada ≤− 10 cos x ≤ π . Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsicosinus inversi pada nilai utama.Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-ydigambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4.dalam rentang 0 ≤ x ≤ π .y-1π001xy1π0,75π0,5π−π0,25πa) b)Gb.6.9. Kurva y = cos −1 xTangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah0-1 -0,5 0 0,5 1y = tan −1 x(6.17)πdengan nilai utama1 π− < tan− x

1,5πyπ0,5π-3 -20-1 0 1 2 3-0,5π-πx0,5πy0,25π0-10 -5 0 5 x 10-0,25π-1,5πa) b)Gb.6.10. Kurvay = tan −1 xJika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.bini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent,dalam rentangπ −1 π− < tan x

1πy0,5π0-10 -5 0 5 x 10Gb.6.11. Kurvay= cot −1Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikanbentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversix1y = sec−1 x = cos−1(6.19)xdengan nilai utamaπ− 10 ≤ sec x ≤ π .0,75π0,5π0,250-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4Gb.6.12. Kurvay= sec −1xFungsi Cosecan Inversi.1csc−1 x = sin−1(6.20)xdengan nilai utamaπ −1 π− ≤ csc x ≤2 215

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsiterakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya.0,5πy0,25π0-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4-0,25π-0,5πGb.6.12. Kurvay = csc −1 xHubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversidengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakangambar segitiga siku-siku.1). Dari fungsi y = sin −1 x , yaitu sudut y yang sinus-nya adalah xdapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring samadengan 1 seperti terlihat di bawah ini.y1xDari gambar ini selain fungsidapat peroleh2xcos y = 1−,21 − xy = sin −1 x dan sin y = x , kitaxy = , dst.2x1 −16 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integraltan2). Dari fungsi cosinus inversi y = cos −1 x dapat kita gambarkansegitiga siku-siku seperti di bawah ini.

1 21 x −yxSelaincos y = x dari gambar ini kita dapatkan2xsin y = 1 − ,21 − xtan y = , dst.x3). Dari fungsi y = tan −1 x , kita gambarkan segitiga seperti dibawah ini.Selaintan y =x , kita perolehxsin y = ,21 + x21 + xy1cosx1y = , dst2x1 +4). Dari fungsi y = sec −1 x kita gambarkanyxx 2 − 11Dari gambar ini kita peroleh2xtan y = 1 − ,x2 −1sin y = , dst.x17

Soal-Soal:1) Dari fungsi y = cot −1 x tentukan sin y dan cos y2) Dari fungsi y = csc −1 x tentukan tan y dan cos y18 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

BAB 7Gabungan Fungsi Sinus7.1. Fungsi Sinus Dan CosinusBanyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnyagelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang teganganlistrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsiwaktu, sehingga kita akan melihatnya dengan menggunakan waktusebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik.Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detikdisebut frekuensi siklus, dengan simbol f , dengan satuan Hertz (1 Hz = 1siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T 0 maka1f 0 = (7.1)T0Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakanjumlah radian untuk menyatakan sudut. Karena satu siklus perubahansudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus perdetik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensisiklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuanradian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut(ω), dan juga dengan perioda (T 0 ), adalah2πω = 2πf0=(7.2)T0Suatu fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) Adituliskan sebagai⎛ 2πt⎞y = Acosωt= Acos⎜⎟(7.3)⎝ T0⎠Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatanyang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menyatakan fungsisinus y = sin(x)atau fungsi cosinus y = cos(x)dengan x sebagaipeubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menyatakanfungsi cosinus y = cos ωtdengan t sebagai peubah bebas dengansatuan detik. Faktor ω-lah yang membuat satuan detik menjadiradian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik.19

Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kitageser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsisinus. Gb.7.2.⎛ π ⎞⎛ 2πt⎞y = Acos⎜ωt− ⎟ = Asinωt= Asin⎜⎟⎝ 2 ⎠(7.4)⎝ T0⎠yAT 000 t-AGb.7.1. Fungsi cosinusy⎛ 2πt⎞y = Acosωt= Acos⎜⎟⎝ T0⎠AT 000 t-AGb.7.2. Fungsi sinus⎛ 2πt⎞ ⎛ π ⎞y = Asinωt= Asin⎜⎟= Acos⎜ωt− ⎟⎝ T0⎠ ⎝ 2 ⎠Pergeseran fungsi cosinus sebesar T s diperlihatkan pada Gb.7.3.Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalahy = Acosω⎛ 2πt( t − T ) = Acos⎜−ssT ⎟ 0 T0⎠⎝2πT⎞20 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

di depan bahwa bentuk normal pernyataan fungsi sinusoidal adalahmenggunakan fungsi cosinus, yaitu y = Acos(2πft+ ϕ).Dengan menggunakan kesamaansin( 2πft ) = cos(2πft− π / 2) dan −cos(2πft) = cos(2πft+ π)persamaan fungsi di atas dapat kita tulisy = 10 + 30 cos(2πf0t)+ 15cos(2π2f0t− π / 2) + 7,5cos(2π4f0t+ π)Dalam pernyataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalambentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiapkomponen seperti dalam tabel berikut.Frekuensi 0 f 0 2 f 0 4 f 0Amplitudo 10 30 15 7,5Sudut fasa − 0 −π/2 πFungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernyataansuatu sinyal (dalam rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkanapa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Suatuspektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudomaupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi darifrekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu: 0, f 0 , 2f 0 , dan 4f 0 . Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turutadalah 10, 30, 15, dan 7,5 satuan (volt misalnya, jika ia adalah sinyaltegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f 0 , 2f 0 dan4f 0 berturut turut adalah 0, −π/2, dan π radian.Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitugrafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsifrekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a)dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b).24 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Frekuensi: 0 f 0 2f 0 3f 0 4f 0 5f 0 .. nf 0Amplitudo: 0 A 0 A/3 0 A/5 .. A/nSudut Fasa: - -π/2 - -π/2 - -π/2 .. -π/2Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangundari harmonisa-harmonisanya.a) b)c)d)e)Gb.7.10. Uraian fungsi persegi.a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3.c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 +harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai padaharmonisa ke-21.Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa denganmenambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akanmakin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukanterus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsiyang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentukyang kita inginkan.Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggifrekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidakhanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum.Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas26 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggapamplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensitertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kitatetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2%dari amplitudo sinus dasar.Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah jugaperlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasarjika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan.Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalahnol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (bandwidth).27

Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum1. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut inidalam format cosinus y = Acos(x − xs) :a). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0, frekuensisiklus 10 siklus/skala.b). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0,02,frekuensi siklus 10 siklus/skala.c). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa 0 o , frekuensi sudut 10rad/skala.d). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa +30 o , frekuensi sudut10 rad/skala.2. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungansinus berikut iniy = 4 + 5sin 2π2000t− 2cos 2π4000t+ 0,2sin 2π8000tDengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%,tentukan lebar pita fungsi ini.3. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.oy = 3cos(2π1000t− 60 ) - 2sin2π2000t+ cos2π8000t4. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.y = 10cos100t+ 2cos300t+ cos500t+ 0.2cos1500t+ 0,02cos5000t5. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.y = 10 + 10cos 2π500t+ 3cos 2π1000t+ 2cos 2π1500t+ 0,2cos 2π2000t28 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Referensi1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di InstitutTeknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisandalam buku ini.2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addisonWesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematikadi ITB, tahun 1963 - 1964.3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,ISBN 979-9299-54-3, 2002.4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010.5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.29